curiosidades del infinito

8/12/2019 Curiosidades del Infinito

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Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del

Mal cuyo limitado imperio es la tica; hablo del infinito.

Jorge Luis Borges, Discusin, p. 254

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ndice

1. Introduccin 7

2. Series infinitas 7

2.1. La suma de todos los nmeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Usando Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Continuar... 16

Referencias 17

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1. Introduccin

Desde hace varios aos he estado interesado en el Infinito en diferentes contextos. En

particular, he tenido la oportunidad de estudiarlo en el contexto de las matemticas y en elcamino, algunas veces sinuoso, me he encontrado con algunos ejemplos que han despertado

en mi una pasin obsesiva por el concepto del infinito. La principal razn de esta pasin se

debe a las aparentes contradicciones que surgen cuando se combina la idea del infinito con

otros elementos dentro del cuerpo de las matemticas. En este documento expongo algunos

de esos ejemplos relacionados con el uso del infinito, los cuales desafan la lgica y el sentido

comn.

2. Series infinitas

2.1. La suma de todos los nmeros naturales

Qu resultado obtendramos si realizamos la suma de todos los nmeros naturales

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + (1)

Por supuesto, nuestra respuesta sera que el valor de la suma es infinito, lo cual concuerda

con nuestra experiencia y con las reglas matemticas que hemos aprendido en la escuela.

Entonces podemos afirmar que: La suma de todos los nmeros naturales es infinita. Esto

lo podemos escribir de la siguiente forma

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + =

En trminos matemticos, la expresin (1) se denomina serie infinita, la cual denotaremos

por Z.

Cuando, en una serie infinita, la sucesin de las sumas parciales converge a un valor, se dice

que la serie converge. De lo contrario, se dice que la serie diverge.

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DefinamosSn como las sumas parciales de la serie anterior. Entonces tenemos que

Sn=n

k=1

k=n(n+ 1)

2

Como se puede apreciar, Sn crece indefinidamente cuando ntiende a infinito. Dado que lasucesin de las sumas parciales converge a infinito, la serie (1) es divergente y por lo tanto

no tiene una suma en el sentido usual.

Un razonamiento similar se puede utilizar para mostrar que

1 + 3 + 5 + 7 + = (2)

En este caso, las sumas parciales son

Sn=n

k=1

(2k 1) =n2

Por el momento, regresemos al caso de la suma de todos los naturales. Veamos que sucede

cuando realizamos algunas operaciones sencillas a la serie (1):

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + = 1(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + )= (2 1)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + )= (2 + 4 + 6 + 8 + ) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + )

Simplificando y usando (2), obtenemos

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + = (1 + 3 + 5 + 7 + ) =

Como podemos apreciar, hemos encontrado que el valor de Zes ahora

. Ser correcto

este resultado? Por qu encontramos dos valores diferentes para Z? Qu significa que sea

?Quiz lo ms sorprendente de este ejemplo es que podemos encontrar otro valor de Z

utilizando otras series y realizando algunas operaciones sencillas. Para ello, consideremos

la serie infinita

1 1 + 1 1 + 1 1 + 8


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Esta serie es divergente, lo cual implica que no posee suma en el sentido usual. Se le suele

llamar serie de Grandi, en honor al matemtico, filsofo y sacerdote italiano Luigi Guido

Grandi (1671-1742).

Un mtodo para calcular la suma de la serie de Grandi es tratarla como una serie telescpica

y realizar las restas que resultan, esto es:

(1 1) + (1 1) + (1 1) + = 0 + 0 + 0 + = 0.

Por otra parte, un procedimiento de agrupamiento distinto al anterior conduce a un resul-

tado aparentemente contradictorio

1 + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + = 1 + 0 + 0 + 0 + = 1.

Segn la forma en que se ubiquen los parntesis sobre la serie de Grandi, es posible obtener

un valor 0 1. Utilizando lgebra se puede obtener un tercer valor. Escribiendo

S= 1 1 + 1 1 + entonces

1 S= 1 (1 1 + 1 1 + ) =S

De lo cual resulta que S= 12 . Se llega a la misma conclusin si se calcula S, restando elresultado de S, y resolviendo2S= 1.

Supongamos vlido este ltimo resultado, el cual usaremos para realizar algunos clculos.

DefinamosS1 como

S1= 1 1 + 1 1 + =12

(3)

Con base en la expresin (3), podemos mostrar que la serie

1 2 + 3 4 + 5 6 + 9


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es igual a1

4. Sea

S2= 1 2 + 3 4 + 5

Multiplicando por 2 y haciendo algunos ajustes obtenemos

2S2 = (1 2 + 3 4 + 5 ) + (1 2 + 3 4 + 5 )= 1 + (2 + 3 4 + 5 ) + 1 2 + (3 4 + 5 6 + 7 )= 0 + (2 + 3) + (3 4) + (4 + 5) + = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 =1

2

De lo anterior se sigue queS2= 14

. Por lo tanto

S2= 1 2 + 3 4 + 5 6 + =14

(4)

Finalmente, utilizaremos (3) y (4) para calcular Z. Substrayendo S2 a Z obtenemos lo

siguiente

Z S2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ) (1 2 + 3 4 + 5 6 + )= (1 1) + (2 + 2) + (3 3) + (4 + 4) + = 4 + 8 + 12 + = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ) = 4Z

Entonces Z S2= 4Z. Al despejar Zy usando la expresin (4) obtenemos

Z=S23

= 112

De esta manera, hemos obtenido que la suma de todos los nmeros naturales es igual a una

fraccin negativa: 112 . Es decir

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + = 112

Cul de los tres resultados aqu obtenidos ser el correcto?

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1 + 2 + 3 + 4 + 5 + =

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + =

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + = 112Son vlidos los procedimientos realizados? Por qu se obtienen diferentes resultados?

Qu significa cada uno ellos? Al parecer, como bien dice Borges, el infinito es un concepto

que corrompe y desatina nuestras ideas matemticas.

2.1.1. Usando Clculo

A continuacin usaremos otro mtodo para obtener nuevamente la identidad

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + = 112

Del Clculo sabemos que se cumple la siguiente identidad

1 +x+x2 +x3 +x4 +x5 + = 11

x (5)

siempre y cuando 1< x


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Ahora, consideremos la funcin zeta de Riemann (tambin llamada funcin zeta de

Euler-Riemann) definida como sigue

(s) =

n=1

1

ns =

1

1s +

1

2s +

1

3s +

1

4s + (7)Nota importante:Leonhard Euler introdujo esta funcin en la primera mitad del siglo XVIII,

considerando a la variable s como un nmero real. Ms adelante, Bernhard Riemann extendi

los valores de s a nmeros complejos, esto es, s es de la forma +it donde i =1 y , t

son nmeros reales. Actualmente, se sabe que la funcin converge cuando la parte real de s

es mayor que 1, es decir, cuando >1.

Si multiplicamos por 2s a la expresin (7) obtenemos lo siguiente

2s(s) = 2s

1

1s+

1

2s+

1

3s+

1

4s+

= 1

2s+

1

4s+

1

6s+

1

8s+

Ahora, realizemos las siguientes operaciones

(s) 2 2s(s) = 11s

+ 1

2s+

1

3s+

1

4s+

1

5s+

1

6s+

2

1

2s+

1

4s+

1

6s+

1

8s+

= 1

1s 1

2s+

1

3s 1

4s+

1

5s 1

6s+

De esta manera obtenemos la identidad

1 2 2s (s) = 1

1s 1

2s+

1

3s 1

4s+

1

5s 1

6s+ (8)

Supongamos que s= 1, entonces al sustituir en (8) obtenemos

1 2 2(1)

(1) = 111

121

+ 1

31 1

41+

1

51

1 2 21 (1 ) = 1 2 + 3 4 + 5 6 +

3(1 ) = 1 2 + 3 4 + 5 6 + 12


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Pero

(1) = 111

+ 1

21+

1

31+

1

41+

1

51+

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + Por lo tanto, usando el hecho que la suma del lado derecho es igual a 1/4, tenemos lo

siguiente

3 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ) = 1 2 + 3 4 + 5 6 + =

1

4

Finalmente, hemos obtenido nuevamente la igualdad

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + = 112

Estos resultados no son de mi invencin. Han sido estudiados por diversos matemticos

en todo el mundo durante varios siglos. Euler, al rededor de 1730, estudi este tipo de

series infinitas y en sus trabajos se puede encontrar evidencia de los obstculos con los

que se puede uno encontrar cuando se trata el concepto del infinito [1]. Aunque Euler

obtuvo algunos resultados notablemente paradjicos, l los consideraba de alguna manera

razonables. Por ejemplo, en su libro Institutiones calculi differentialis de 1755, Euler da

una justificacin de que la serie

1 + 1 + 1 + 1 + 1 +

es mayor que cualquier nmero asignable, es decir, infinito. Lo cual corrobora al sustituir

x= 1en la expresin

1 +x+x2 +x3 + = 11 x (9)

De lo cual obtenemos lo siguiente

1 + 1 + (1)2

+ (1)3

+ = 1

1 1=1

0

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Para Euler 1/0era totalmente vlido y su valor era . Por lo cual concluye que

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + =

Usando la misma expresin (9), Euler calcula el valor de diferentes series para valores

distintos dexy establece:

i. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + =

ii. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + = 1

iii. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + = 1

13 = 1

2

iv. 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + = 114 = 13

y as sucesivamente. Lo anterior se puede consultar en [2, p. 75].

3. Continuar...

Ms adelante, agregar ms ejemplos relacionados con el uso del concepto de infinito en

matemticas. Tambin espero agregar ms comentarios y una mejor discusin. Por supuesto,

tambin agregar ms referencias que pueden servir en esta casi interminable bsqueda por

comprender la idea del infinito.

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Referencias

[1] Kline, Morris (1983). Euler and Infinite Series.Mathematics Magazine56 (5): 307-314.

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[2] Euler, L. (2000). Foundations of differential calculus. (Translated from the Latin Ins-

titutiones Calculi Differentialis, Chapters 1 to 9, by Leonard Euler, 1755). Springer-

Verlag. New York. Inc. 15

[3] Padilla, Tony. (2014). What do we get if we sum all the natural numbers? consultado

el 21 de Marzo de 2014. http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html

[4] Hardy, G. H. (1949). Divergent Series, Oxford University Press.

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http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.htmlhttp://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html

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