Cuestiones y problemasLa ley de gravitación universal.

1. Calcula la fuerza gravitatoria con la que se atraen dos moléculas iguales de 3,0 x 10 -25 kg separadas 2,4.10-9 m.

2. Calcula la fuerza con que la Tierra atrae 1,0 kg de masa situado en su superficie. RT=6,37.106m; M,=5,98.1024 kg.

3. Una montaña de 4.1012 kg atrae la bola de 2,0 kg de un péndulo. La masa de la montaña puede ser considerada como una masa puntual separada 3000 m del péndulo.a) Calcula la fuerza con que la montaña atrae

la bola del péndulo.b) Calcula la fuerza con que la Tierra atrae la

bola. c) Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan

sobre la bola del péndulo y calcula el ángulo a que forma el péndulo con la vertical.

d) Explica por qué, si determinásemos el ángulo a experimentalmente, podríamos calcular la masa de la Tierra aunque no conociésemos el valor de G.

4. En 1846 se descubrió Tritón, una luna de Neptuno, el único gran satélite conocido que gira en sentido inverso al del planeta anfitrión. Si el radio de su órbita es de unos 354 800 km y su período orbital es de 141,1 h, calcula la masa de Neptuno.

El campo gravitatorio

5. El asteroide Ceres tiene 550 km de radio y una masa de 7,0 x 1020 kg. ¿Cuánto pesaría una persona de 75 kg en Ceres?

6. La Luna tiene una composición similar a la de la Tierra y un volumen unas 80 veces inferior. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Luna.

7. Marte tiene un diámetro ecuatorial de 6.786 km y una masa 0,11 veces la de la Tierra. Calcula la intensidad de su campo gravitatorio, conocido el radio de la Tierra.

8 Un planeta tiene una masa 25 veces superior a la de otro. Cuando se consideran aisladamente, la intensidad del campo gravitatorio es la misma en la superficie de ambos. ¿Cuál de los dos es más denso? ¿Cuál es la relación entre las densidades medias de cada planeta?

9 Conocidos los valores de G, la intensidad del campo gravitatorio en su superficie y el radio de la Tierra, calcula a qué altura y a qué profundidad, sobre la superficie terrestre, el valor de g se reduce a la tercera parte.

10 Júpiter tiene 1,90.1027 kg de masa y 7,14.107 m de radio. Suponiéndolo esférico:a) Calcula cuánto pesaría una persona de 50 kg en

su superficie.b) Calcula la aceleración normal de esa persona si

estuviese en el ecuador; dibuja su diagrama de cuerpo libre.

11. Suponiendo que el radio de la Tierra se duplicase, ¿qué le ocurriría al peso de una persona si?:a) la masa de la Tierra permaneciese constante;b) se mantuviera invariable la densidad media de

la Tierra.

12 ¿A qué distancia de la Tierra su campo gravitatorio es equilibrado exactamente por el de la Luna? Los puntos en que esto sucede se llaman puntos de Lagrange. La distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84.108m y la relación MT/ML= 81.

13 Calcula la fuerza que experimenta un planeta de 6.1024 kg de masa situado, aproximadamente, en el vértice de un cuadrado de 1 unidad astronómica de lado, y el campo gravitatorio en dicho punto, si en los otros vértices hay masas iguales a 10.1024

kg.Energía potencial gravitatoria

14 Un meteorito de 3.000 kg se ha acercado a la Tierra desde una distancia de 15.000 km a otra de 10.000km.

¿Cuánto ha aumentado su energía cinética?

15 Calcula la energía potencial de un objeto de 20 kg a 100 m de la superficie terrestre:a) mediante la ecuación general;b) mediante la fórmula válida para pequeñas alturas.

16 Repite el problema anterior cuando el cuerpo se encuentra en la cima del Everest, a 8 748 m de altura. ¿Puede considerarse pequeña la altura del Everest?

17 ¿A qué altura sobre la superficie terrestre hay que subir para que la fórmula de pequeñas alturas de un 10 % de error? Compara el valor obtenido con la altura del Everest.

18 El cráter Barringer (Arizona) tiene 1,2 km de diámetro y fue producido por el impacto de un meteorito de unos 50 m de radio contra la Tierra hace 25 000 años. ¿A qué velocidad golpearía la superficie terrestre un meteorito de 5.000 kg que se mueve a 0,2 m s"1 cuando se encuentra a 20.000 km de distancia de la Tierra? Desprecia los efectos de rozamiento debidos a la atmósfera.

19 El meteorito del problema anterior, cuando golpea la superficie terrestre, sólo tiene 100 kg de masa y se mueve a 50 m/s. Calcula el trabajo de fricción que ha realizado la atmósfera sobre el meteorito.

20 Una masa m se mueve en el campo gravitatorio que crean dos masas M, y M2 fijas y separadas a una distancia d. Cuando m se encuentra en el punto P, a una distancia x de M, y M2, tiene una velocidad v en la dirección y sentido indicados en la figura. Si m = 1,0.103 kg, M, = M2 = 1,0.1024 kg,; d = 8.108 m, x=5.108 m y v=200 m/s, calcula:

a) El módulo, dirección y sentido de la fuerza queactúa sobre m en P.

b) El módulo de la velocidad de m cuando pasa porel punto B.

Calcula la energía potencial gravitatoria del sistema Sol-Tierra-Luna durante un eclipse lunar total. Considera órbitas circulares perfectas.

22. Calcula la energía potencial gravitatoria del

sistema Sol-Tierra-Luna durante un eclipse solar total. Considera órbitas circulares perfectas

Movimiento de cuerpos en un campo gravitatorio: satélites

23 ¿A qué altura sobre la superficie terrestre llegaráun cuerpo lanzado desde el suelo verticalmente hacia arriba?a) con v = 1 0 m/s;b) con v = 104 m/s.

24 Cuando un paracaidista abre su paracaídas, desciende hacia la Tierra con una velocidad constante, llamada velocidad límite.a) ¿Qué le ocurre a su energía potencial gravitatoria?b) ¿Y a su energía cinética?c) ¿Se conserva su energía mecánica?

25 Calcula la velocidad de escape de una masa m que se encuentra en la superficie de una distribución esférica de masa M y radio R. Teniendo en cuenta que la velocidad máxima a la que puede moverse un objeto es la de la luz c = 3.108 m/s, ¿cuál es la relación entre la masa y el radio de un agujero negro?

26 ¿Cuál es la energía total que posee un satélite de 200 kg que describe una trayectoria circular a 400 km sobre la superficie terrestre?

27 Un satélite terrestre está en órbita circular a una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra. ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa en su órbita? ¿Cuál es la velocidad inicial mínima necesaria para ponerlo en órbita?

28 Deseamos poner en órbita alrededor de la Tierra dos satélites, uno ligero y otro pesado. Justifica en qué caso será más fácil el lanzamiento.

29 Justifica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas:a) Un satélite de masa 2 m tiene una velocidad de

escape doble que otro de masa m.b) Si dos planetas tienen radios distintos, pero la

misma densidad, poseen la misma velocidad de escape.

30 El satélite americano NOAA es un satélite meteorológico de órbita polar de unos 850 km de radio.

Su masa es de unos 1 000 kg. Calcula:a) La velocidad que tiene el satélite.b) ¿Cuánto tarda en pasar por el mismo punto de la

vertical de la Tierra?c) La energía total que posee.

31 La Luna tiene una masa de 7,35.1022 kg y describe una órbita aproximadamente circular de 384 000 km de radio y 656 horas de período de rotación. Calcula: Su energía cinética. La masa de la Tierra. Su energía potencial respecto dé la Tierra.

32 ¿Qué relación numérica existe entre los diferentes tipos de energía y la energía mecánica de un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra?

33 ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la gravedad es la misma que sobre la superficie de la Luna? ¿A qué velocidad habría que lanzar un cuerpo de 60 kg desde la superficie terrestre para que llegue a esa altura con velocidad nula? Despreciar el rozamiento con el aire, go = 1,6 m s-2.

21

d

PP

BP

M1 M2

34 Un satélite artificial de 100 kg se eleva hasta una altura H sobre la superficie terrestre. En esa posición se encienden los cohetes propulsores, que le comunican una velocidad de 7000 m/s en una dirección tal que el satélite describe órbitas circulares. Calcula:

La altura H de la órbita.

La aceleración del satélite en su trayectoria y el tiempo que tarda en completar 5 órbitas completas.

La energía mecánica del satélite. MT=5,98.1024kg; RT = 6,37.106m.

35 El satélite meteorológico NOAA-7 tenía una masa de 1.400 kg y seguía una órbita polar de 845 km de radio mínimo y 879 km de radio máximo. Calcula la relación entre las velocidades en dichos puntos.

36 Desde un lugar situado a una distancia del centro de la Tierra igual a las 5/4 partes del radio terrestre, se desea poner en órbita circular un satélite terrestre. ¿Qué velocidad inicial habrá que comunicarle? ¿Cuál sería el período del satélite?

37 El radio de la órbita de la Luna en torno a la Tierra es de 400 000 km; el período de revolución es de 28 días. El radio de la órbita de Dione, uno de los muchos satélites de Saturno, es el mismo, pero su período de revolución es de 65,69 h. ¿Cuál es la masa de Saturno en relación con la de la Tierra? Supón órbitas circulares.

38 Se lanza un satélite meteorológico de la familia Meteosat, de 800 kg de masa, de forma que permanece fijo en la misma vertical de un punto del ecuador de la Tierra. Calcula:

a) La altura sobre la superficie terrestre a que está situado el satélite.

a) La energía potencial del satélite en su órbita.

39. De la superficie del Sol sale una partícula neutra con velocidad suficiente para escapar de su acción gravitatoria; dicha partícula cae en otra estrella cuyo radio es cuatro veces el del Sol y de densidad la mitad. ¿Con qué velocidad llegará la partícula a la estrella respecto de la de salida del Sol?

40 El telescopio espacial Hubble tiene una masa de 11 toneladas y gira en órbita polar alrededor de la Tierra a una altitud de 593 km. Calcula:

a) El período de revolución del satélite.b) Su velocidad de traslación.c) La energía mecánica total.

41 Un satélite describe un movimiento circular uniforme en torno a un planeta. Razona cuál o cuáles de estas magnitudes permanecen constantes: la energía cinética, la aceleración tangencial, el momento lineal, el módulo de la cantidad de movimiento.

42. Repite el problema suponiendo ahora que el satélite sigue una órbita elíptica.