CUERPOS EN EL ESPACIOCUERPOS EN EL ESPACIO

UNIDAD DIDÁCTICA 12:UNIDAD DIDÁCTICA 12:

Matemáticas 2º ESOMatemáticas 2º ESO Fecha: 30/04/2012Fecha: 30/04/2012

1.- Conceptos Básicos de Geometría1.- Conceptos Básicos de GeometríaLa geometría trata de la medición y de las propiedades de

puntos, rectas, ángulos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí.

Los puntos no tienen medida, no tienen dimension (largo, alto, ancho). Son representados por letras mayúsculas

El puntoA B

C Una recta se extiende al infinito en

ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con minúscula: r,s,t….

La rectar

A

B

1.1.- Elementos Básicos de Geometría

Un plano se extiende al infinito en toda direccion y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente con una figura de cuatro lados (romboide) y se nombran con letras mayúsculas.

El plano

π

Ángulo diedro

π

π´

aristadiedro

Es la región del espacio limitada por DOS semiplanos que tienen una recta en común llamada arista.

1.2.- Ángulo diedro y poliedro

Ejemplo: Una pared del aula (en verde) y el techo (en rojo), que confluyen en una arista ( recta) en común, forman un ángulo diedro.

Ángulo poliedroEs la región del espacio limitada por tres o más planos que

concurren en un punto llamado vértice.Ejemplo: Dos paredes adyacentes del aula (en verde y en amarillo) y el suelo del aula ( en rosa) forman un ángulo en el espacio llamado triedro.

1.3.-Posiciones relativas de dos rectas

a) Paralelas: Cuando están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común.

b) Secantes: Cuando están en el mismo plano y tienen un punto en común.

c) Se cruzan: Cuando no están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común.

1.4.-Posiciones relativas de una recta y un plano

a) Recta contenida en el plano: Todos los puntos de la recta están en el plano.

b) Paralelos: No tienen ningún punto en común.

c) Secantes: La recta corta al plano en un punto.

1.5.-Posiciones relativas de dos planos

a) Paralelos: No tienen ningún punto en común.

b) Secantes: Se cortan y, por lo tanto, tienen una recta en común. 

La distancia de un punto a un plano es lo que mide el segmento perpendicular (d) desde el punto (P) al plano (Π).

1.6.-Distancia de un punto a un plano

• Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio.

• Pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

2.- Cuerpos sólidos2.- Cuerpos sólidos

Actividad

a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos?

b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características.

c. Señala 3 objetos reales que sean poliedros.

• Estos cuerpos anteriores se llaman poliedros.

• Son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

2.1.- Poliedros2.1.- Poliedros

Actividad • Observa los siguientes poliedros.

• Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?

• Cóncavos: aquellos poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar.

• Convexos: se pueden apoyar sobre todas sus caras.

(Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con

poliedros convexos)

2.1.1.- Clasificación de los poliedros2.1.1.- Clasificación de los poliedros

Actividad • En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él

se te indican algunos elementos característicos.

a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos?

Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice.

b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro?

c. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo?

2.1.2.- Elementos de un poliedro. 2.1.2.- Elementos de un poliedro. Teorema de EulerTeorema de Euler

• Caras: polígonos que lo limitan• Aristas: intersecciones de dos caras• Vértices: puntos de intersección de

tres o mas aristas• Al número de caras que concurren en

un mismo vértice se le llama orden del vértice.

TEOREMA DE EULERTEOREMA DE EULER• En los poliedros

de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla.

¿Encuentras alguna relación entre C, V y A?

CONCLUSIÓNCONCLUSIÓN

• En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos:

C + V = A + 2

Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas

1. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4.

2. Las caras de un poliedro son todas iguales.3. Hay poliedros con tres caras.4. En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas.5. Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos.6. El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3.

7. El cilindro es un poliedro.

2.1.3.- Otra clasificación de Poliedros2.1.3.- Otra clasificación de Poliedros

• Regulares: aquellos poliedros todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden.

• Irregulares: aquellos que no son regulares.

2.2. POLIEDROS REGULARES2.2. POLIEDROS REGULARES

• Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.)

DEFINICIÓN

• Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden.

2.2.1.- Condiciones de los poliedros2.2.1.- Condiciones de los poliedros

a) El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3 (orden del vértice)

b) La suma de los ángulos interiores de las caras que concurren en un vértice deben de sumar menos de 360º.

TETRAEDRO REGULAR• Formado por cuatro triángulos equiláteros. Es el

que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Representa el fuego.

• Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.• Orden del vértice: 3• Suma de los ángulos interiores de las caras:

60º. 3 = 180º

FUEGO

2.2.2.- Tipos de poliedros regulares2.2.2.- Tipos de poliedros regulares

OCTAEDRO REGULAR• Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira

libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento.

• Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.• Orden del vértice: 4• Suma de los ángulos interiores de las caras:

60º. 4 = 240º

AIRE

ICOSAEDRO REGULAR• Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el

tiene mayor volumen en relación con su superficie y representa al agua.

• Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.• Orden del vértice: 5• Suma de los ángulos interiores de las caras:

60º. 5 = 300º

AGUA

HEXAEDRO REGULAR O CUBO

• Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra.

• Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.• Orden del vértice: 3• Suma de los ángulos interiores de las caras:

90º. 3 = 270º

TIERRA

DODECAEDRO REGULAR • Formado por doce pentágonos regulares.

Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco.

• Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.• Orden del vértice: 3• Suma de los ángulos interiores de las caras:

108º. 3 = 324º

EL UNIVERSO

POLIEDROS DUALES• Es un poliedros cuyos vértices se corresponden con

los centros de las caras de un poliedro dado.• Se cumple que el número de caras de uno coincide

con el número de vértices del otro y viceversa

DESARROLLO DE POLIEDROS

• Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro.

Un desarrollo de cada sólido platónico

Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.

Poliedros en la vida cotidiana• En adornos, en farolas, lámparas, etc.

• Los balones de fútbol han estado hechos siempre

con 12 pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado), aunque hoy día se han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño rombicosidodecaedro) que tiene 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos

• Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales

• El virus de la poliomelitis y de la verruga tienen forma de Icosaedro

• En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros característicos.

CuarzoMagnetita Pirita cúbica

• En pintura, Salvador Dalí, utiliza el dodecaedro en un óleo para enmarcar su escena sobre la última cena (con sus 12 Apóstoles). También lo utiliza en su obra Crucifixión (la cruz se compone de 8 hexaedros adosados)

2.3. POLIEDROS IRREGULARES2.3. POLIEDROS IRREGULARESPRISMA

• Un prisma es un poliedro con dos bases iguales paralelas y las caras laterales, paralelogramos.

1. ¿Qué objetos reales te sugieren la idea de prisma?

2. Si los polígonos de la base son regulares, el prisma se llama regular.

3. ¿Incluirías los prismas regulares entre los poliedros regulares?

A. PRIMERA CLASIFICACIÓN:-Prismas regulares: sus bases son polígonos regulares

(todos los lados iguales)-Prismas irregulares: sus bases nos son polígonos

regulares

B. SEGUNDA CLASIFICACIÓN:-Prismas rectos: sus aristas laterales son

perpendiculares a las bases-Prismas oblicuos: sus aristas laterales no son

perpendiculares a las basesC. TERCERA CLASIFICACIÓN:-Se clasifican también según el polígono de las bases. Si

la base del prisma es un triángulo, el prisma se llamará triangular; si es un cuadrado, se llamará cuadrangular, etc.

• La altura de un prisma es la distancia que hay entres las bases (midiendo el segmento perpendicular entre ellas)

Prismas interesantes:Paralelepípedos

• Prismas cuyas 2 bases y 4 caras son paralelogramos (polígono de 4 lados)

• Si además es recto, y sus seis caras son rectángulos, se llama ortoedro.

Diagonal del ortoedro• Segmento que une dos vértices situados en distintas

caras.(Para su cálculo se emplea el Teorema de Pitágoras)

d

D2 = a2+b2+c2 D2 = d2+c2

d2 = a2+b2

Demostración

D2 = a2+b2+c2

• Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 5 cm de alto y 4 cm de ancho

Ejercicios

• Dibuja un prisma triangular y otro hexagonal y comprueba el teorema de Euler

PIRÁMIDE• Una pirámide es un poliedro cuya base es un

polígono y sus caras laterales son triángulos que concurren en el vértice de la pirámide.

• Las pirámides se puede clasificar de forma análoga a los prismas. Así, hay pirámides rectas y oblicuas, y regulares e irregulares, según que el polígono de la base sea o no regular.

• Así mismo, según el número de lados del polígono de la base, la pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

Apotema de una pirámide regular

Ejercicios• Página 247, ejercicio 23• Dibuja una pirámide

cuadrangular en el que la apotema mida 12 cm y la arista de la base 9 cm. Calcula su altura.

TRONCO DE PIRÁMIDE

• Es el poliedro que se obtiene al cortar una pirámide regular por un plano paralelo a la base.

• Las caras laterales de un tronco de pirámide son trapecios isósceles iguales y su altura coincide con la apotema del tronco de pirámide.

• Página 247, ejercicio 25

2.4.- Cuerpos redondos2.4.- Cuerpos redondos• Se llaman cuerpos de revolución

porque se generan al girar una figura plana alrededor de uno de sus lados. Por la tanto, solo tienen una cara lateral que es curva.

2.4.1. CILINDRO RECTO

• Es el que se genera al rotar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

2.4.2. CONO RECTO

• Es el que se genera al rotar un triángulo alrededor de uno de sus lados.

• Para hallar la generatriz se emplea el teorema de Pitágoras

G2 = R2+H2

2.4.3. ESFERA

• Es el que se genera al rotar un semicírculo sobre su diámetro.