Problema cuerda y barra circular

Luis Daniel Mesa Alvarez

(a) Una cuerda tensa esta en contacto con una barra circular de radio rsobre un arco, subteniendo un pequeno angulo ∆θ. Demostrar que la fuerzacon la que la cuerda presiona radialmente hacia la parte interior de la polea(y por tanto la fuerza ∆N con la que la polea empuja sobre la cuerda) esigual a ∆T∆θ.(b) Como consecuencia de demostrar que la fuerza normal, por unidad delongitud es igual a T

r. Esto es una especie de presion, la cual, para un valor

dado de T , se hace mayor cuando r decrece. (Esto ayuda a explicar por que,cuando una cuerda esta apretada alrededor de un paquete, penetra en estemas profundamente cuando pasa por las esquinas, en donde r es menor).(c) Si el contacto no es perfectamente liso, los valores de la tension en losdos extremos del arco pueden diferir en una cierta cantidad ∆T antes deque ocurra el deslizamiento. El valor de ∆T es igual a µ∆N , donde µ esel coeficiente de rozamiento entre la cuerda y la barra. Deducir de ellos larelacion exponencial

T (θ) = T0eµθ

Donde T0 es la tension aplicada en uno de los extremos de un arco arbitrario(θ) de la cuerda y T (θ) es la tension en el otro extremo.(d) El resultado anterior expresa la posibilidad de mantener una gran tensionT en una soga, enrrollandola alrededor de un cilindro; un fenomeno que hasido explotado por los marineros desde tiempo inmemorial. Suponga, porejemplo, que el valor de µ entre el contacto de la soga y un bolardo en unmuelle es de 0,2. Para T0 = 100 libras, calcular los valores de T correspon-dientes a una, dos, tres y cuatro vueltas completas de la soga alrededor delbolardo. (Es interesante notar que T es directamente proporcional a T0. Estopermite a los marineros producir un tiron mas o menos fuerte, a voluntad,haciendo pasar una soga alrededor de un tambor de un motor continuamenteen rotacion. El dispositivo puede describirse como un amplificador de fuerza).

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Figure 1: Cuerda sobre barra cilındrica

Solucion:Los triangulos ∆AOC y ∆BOC son congruentes.

(a) La tension es tangencial a la circunferencia que describe la seccion transver-sal del cilindro, como se muestra en la figura. Por resultados geometricos,el vector tension, es perpendicular al radio del cilindro. Recordemos que latension senala a ambos lados de la circunferencia. Si escogemos un angulomuy, muy pequeno, y lo bisecamos para formar un triangulo rectangulo, setiene las siguientes sumas de fuerza:

ΣFr = ∆N − 2∆Tsen(∆θ

2) = 0

2

ΣFθ = ∆Tcos(∆θ

2)−∆Tcos(

∆θ

2) = 0

Estos resultados se basan, bajo la suposicion de que el coeficiente de roza-miento es muy pequeno. Ahora bien, si hacemos una proximacion, mediantelos polinomios de Taylor, se tiene que sen(∆θ

2) ' ∆θ

2reemplazando en la

ecuacion de sumatoria de fuerzas en r se tiene:

ΣFr = ∆N − 2∆T∆θ

2= 0

Operando algebraicamente se tiene:

∆N = ∆θ∆T

Como se querıa demostrar.

(b) Partimos del hecho anterior ∆N = ∆θ∆T dividamos ambos lados dela igualdad por ∆θr y se obtiene que:

∆N

∆θr=

∆T

r

Como la fuerza de rozamiento es casi nula, se tiene que :

∆N

∆θr=T

r

Llamese ∆l = ∆θr entonces se tiene

∆N

∆l=T

r

Ahora, hagamos paso al lımite:

lim∆l→0

∆N

∆l= lim

∆l→0

T

r

Esto, nos da como resultado la derivada de la norma con respecto a l, portanto:

dN

dl=T

rQue era, lo que se querıa demostrar.

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(c) Con la fuerza de rozamiento se tiene que:

ΣFr = ∆N − (T + ∆T )sen(∆θ

2)− Tsen(

∆θ

2) = 0

Y por la parte angular se tiene:

ΣFθ = (T + ∆T )cos(∆θ

2)− Tcos(∆θ

2)−∆fr = 0

Por tanto se tiene que:

∆Tcos(∆θ

2) = ∆fr

Si hacemos una aproximacion al rededor de cero para las funciones seno ycoseno se tiene que:

ΣFr = ∆N −∆T∆θ

2− 2T

∆θ

2= 0

∆T = ∆fr

Se sabe que la fuerza de rozamiento es igual a ∆fr = ∆Nµ depejando ∆Nse tiene ∆N = ∆T

µreemplazando se tiene:

ΣFr =∆T

µ−∆T

∆θ

2− 2T

∆θ

2= 0

Reorganizando los terminos se tiene:

∆T

µ=

∆θ

2(∆T + 2T )

Dividimos por ∆θ y multiplicamos por µ ambos lados de la igualdad y nosqueda:

∆T

∆θ=µ

2(∆T + 2T )

Ahora, hagase paso al lımite:

lim∆θ→0

∆T

∆θ= lim

∆θ→0

µ

2(∆T + 2T )

Cuando ∆θ tiende a cero, entonces ∆T tambien tiende a cero, por ley deaccion y reaccion, por tanto:

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dT

dθ= Tµ

Ahora, reorganizando los terminos, he integrando con respecto a θ se tienelo siguiente: ∫ θ0

0

dT

dθ

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Tdθ =

∫ θ0

0µdθ

Esto, nos da como resultado:

ln(T (θ0))− ln(T0) =θ0

µ

Usuando propiedades de los logritmos se tiene que:

T (θ0)

T0

= eθ0µ

Entonces la tension sera igual a:

T (θ0) = T0eθ0µ

Que era, lo que se querıa demostrar.

(d) Por la ecuacion anterior, se sabe que:

T (θ0) = 100lb eθ00.2

Entonces se tienen los siguientes resultados:

T (2π) = 351.4lb

T (4π) = 1234.5lb

T (6π) = 4337.6lb

T (8π) = 15240.6lb

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