cuatroespacios_1_ (1)

7/24/2019 CUATROESPACIOS_1_ (1)

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ELIMINACIONLa eliminacin gaussiana emplea en forma recurrente la sustraccin de mltiplos de lafila del pivote de las restantes filas en la matriz de trabajo esta matriz esta formada porlas filas bajo la fila del pivote!" #er apuntes ane$os"

%ecordamos &ue la matriz A puede escribirse' una vez efectuada la eliminacingaussiana sin intercambio de filas' como el productoA LU= as( ! !Ax b LU x b L Ux b= = = por lo tanto 'Ax b Ux z Lz b= = = "

En el productoA LU= ' si ninguno de los pivotes es nulo' L es una matriz triangularinferior con unos en la diagonal ) los multiplicadores ikm de la fila k&ue fueronsustra(das de la fila i "La matriz U es triangular superior donde los elementosdiagonales son los pivotes del proceso de eliminacin"

Observe &ue la matriz

** *+ *, *

++ +,

" "-

" "

" " "

" "

- -

n

nn

u u u uu u

U

u

=

se puede escribir en la forma

* *+ * *, * * *

+ +, +

- - " " - * . . " " .

- - - * .

" " " "/

" " " " " "

" " " "

- - - - *

n

n

d u d u d u d

d u d

U DU

d

= =

as( la descomposicin A LU= se puede describir en la forma /A LDU=

0or costumbre se escribe A LDU= si bien la matriz 1 no es la original proveniente dela eliminacin gaussiana"

0or ejemplo

* - - + * * * - - + - - * -"2 -"2

+ * - - * + + * - - * - - * +

* , * - - 3 * , * - - 3 - - *

A

= =

"


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N1ME%O 4E O0E%ACIONE5"

Observando &ue si la matriz es de n $ n en el primer paso gaussiano se efectuar6n+n n operaciones ' en el paso kse efectuar6n +k k ) en total se efectuar6n

,

+ + + *!+ *! *!* + """ ! * + """ !+ + ,

n n n n n n nn n

+ + + + + + + + + = =

0ara n suficientemente grande el numero de operaciones es del orden de,

,

n"

La sustitucin atr6s es * + """ n+ + + &ue para n suficientemente grande el nmero de

operaciones es orden de+

+

n"

5OL1CIONE5 4EL 5I57EMA Ax b= "

E$aminamos las soluciones de sistemas Ax b= en donde A es una matriz posiblementerectangular de m $ n

a! 5i m n> ' mas filas &ue columnas' por ejemplo

* +

, 3

2 8

ax

by

c

=

nopodemos ' en general ' esperar &ue el sistema tenga solucin"

b! 5i m n< ' mas columnas &ue filas' por ejemplo* + ,

3 2 8

x ay

bz

=

podemos esperar infinitas soluciones"

El sistema Ax b= tiene solucin si ) slo si es posible e$presar b comocombinacin lineal de las columnas deA "

El sistema Ax b= tiene solucin si ) slo si b esta en el espacio generado por las

columnas deA de a9ora en adelante :el espacio columna de A;! "

Ejercicios ' por lo tanto nopueden 9aber m6s de m pivotes ) e$istir6n al menos nm variables libres"

Asignando valores arbitrarios a variables libres tenemos !B e$iste alguna solucin diferente de la solucin trivial -x= "

An m6s' si $ es solucinx

tambi@n lo es"

La dimensin del espacio nulo es el nmero de variables libres"

En el caso no 9omog@neo*

+

,

-

b

Ax b b

b

= =

' b distinto del vector nulo' resulta

*

+ *

, + *

* , , +

- - , * +

- - - - + 2

b

x Ux b b

b b b

= =

+

El sistema tendr6 solucin siempre &ue * , , + * ! + 2 -L b b b b = + = "

El espacio columna esta generado por las cuatro columnas de A' de las cuales dos sonindependientes' as( est6 generado por*'+' *! ','>',!T T "

Adem6s*

, , + * * + , ! + 2 ' ' !' *' +'2! ' *' +'2! -L b b b b b b b b = + = = = ) el vector

*'+'2! es ortogonal al espacio columna"

El espacio columna esta adem6s caracterizado por los b * + , ' ' !Tb b b tales &ue

, + *+ 2 -b b b + = para &ue el sistema tenga solucin b tiene &ue estar en el espacio

columna!" 0or ejemplo +' +' 8!Tb= satisface , + *+ 2 -b b b + =

el sistema Ax b= es

* , , + +

+ 8 > 2 +

* , , - 8

Ax x

= =

e&uivalente a


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*

+ *

, + *

* , , + +

- - , * + +

- - - - + 2 -

ub

vUx b b

wb b b

y

= = = +

, + ' , , + +w y u v w y+ + + + = o sea*

+ !' + , , + 3 ,,

w y u v w y v y= = =

0or lo tanto

3 , *

- * -

+ . , - *. ,

- - *

u

vv y

w

y

= + +

?ue es la suma de una solucin particular ) la solucin del sistema 9omog@neo"

En resumen! Encontrar la solucin general de* + + *

+ 3 2 3

x

y

z

=

como la suma de una

solucin particular deAx b= mas la solucin nula de -Ax= "


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*-! 4escribir el conjunto de lados derec9os obtenibles b mediante la restriccin &ueconvierte despu@s de la eliminacin! la tercera ecuacin en - -'

para*

+

,

* -

- *

+ ,

bu

bv b

=

' DCu6l es el rango

**! Encontrar el valor de c &ue 9ace posible resolver el sistema

+ +'+ , 2', 3u v w u v w u v w c+ + = + = + + =

*+! 5i A es la matriz identidad de , $ , ' determinar las variables b6sicas ) lasvariables libres ) encontrar la solucin general de -Ax = " D&u@ sucede si A es lamatriz nula

*,! %epase los conceptos de independencia lineal' dependencia lineal' bases )dimensin"

*3! 5e defini el rango de una matriz como el nmero de filas distintas de cero en lamatriz escalonada 1" Haga ver &ue las r filas no nulas de una matriz escalonada1 son linealmente independientes" 7ambi@n las r columnas &ue contiene los

pivotes son linealmente independientes"

*2! 1sando el problema anterior 9aga ver &ue las columnas de la matriz identidadson linealmente independientes"

*8! E$amine el siguiente procedimientos para verificar la independencia lineal de unconjunto de vectores * +' '"""' kv v v "a! orme la matriz A cu)as columnas son los J vectores dados'

b! %esuelva el sistema -Ax= " Los vectores * +' '"""' kv v v son dependientes si ) slo si e$iste alguna solucin

distinta de -x = "

5i no #ay variables libres$ el rango es +' el espacio nulo es - ) los vectoresson linealmente independientes"

5i el rango es menor &ue J ' entonces al menos una variable es libre ) puedeelegirse distinta de cero ) las columnas son linealmente dependientes"

*F! 4emuestre usando *8! ' entonces un conjunto de J vectores en m eslinealmente dependientes"

*G! %epase los conceptos de combinaciones lineales' espacios generados" Conjuntoslinealmente independientes ) generadores"

LO5 C1A7%O 51KE50ACIO5 1N4AMEN7ALE5"


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Mostraremos como 9allar las bases de cada uno de los espacios fundamentalesasociados con la matriz A' a partir de L ) 1 generadas a partir de la eliminacingaussiana"Cuando el rango es r *' los espacios filas ) columnas son sencillos" Cuando el

rango es r n= o r m= o r m n= = la matriz tiene una inversa iz&uierda o unainversa derec9a o una inversa bilateral *A "

,! "- "SA()* /)-A 0" A.

La eliminacin gaussiana produce' a partir de A' una matriz escalonada 1< sudimensin es el rango r ) sus filas distintas de cero forman una base'

"l espacio fila de A tiene la misma dimensi%n r que el espacio fila de U$ y la

misma base$ ya que estos espacios son iguales"

La razn es &ue las operaciones elementales no alteran el espacio fila< cada fila en lamatriz 1 es combinacin lineal de las filas de A' de modo &ue el nuevo espacio estacontenido en el antiguo' siendo estas operaciones reversibles el espacio fila originalesta contenido en el nuevo"

Ntese &ue no comenzamos con las m filas de A ' &ue generan el espacio fila' )descartamos mr para obtener una base" 0uede ser dif(cil decidir cu6les filas sedescartan ) cu6les se &uedanB es m6s f6cil tomar las filas no nulas de 1"

1! "- "SA()* 2U-* 0" A. 2A! % "2A!!

%ecordemos &ue el propsito fundamental de la eliminacin es simplificar ubsistema de ecuaciones lineales Ax b= sin alterara ninguna de sus soluciones" 5ereduce el sistema -Ax= al sistema -Ux= mediante operaciones elementales )como este proceso es reversible 2

* , , -

A

=

entonces

* , , +

- - , *

- - - -

U

=


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* , , + -

- - , * -

- - - - -

u

vUx

w

y

= =

u ) son variables b6sicas' corresponden a las

columnas con pivote pivotes * ) , respectivamente! ' v @ ) son variables libres ) labase es

*

-

v

y

=

= *

,

*

-

-

x

=

-

*

v

y

=

= +

*

-

*. ,

*

x

=

0ruebe &ue $* ) $+ forman una base"

Al espacio nulo de A se le llama ncleo de A' JerfA! ) si dimensin nr se le llamala nulidad de A"

4! "- "SA()* (*-U52A 0" A "(A! % !IR A !.

Con frecuencia al ECA! se le llama recorrido de A ) se le anota !IR A ' indicando&ue es el conjunto imagen de la trasformacin lineal Tx Ax= "

As( { } !


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- -Ax Ux= = los dos sistema son e&uivalentes' ) tienen las mismas soluciones"-Ax= e$presa una dependencia lineal entre las columnas de A con pesos las

componentes de $"" 0or lo tanto cada una de estas dependencias corresponde a unadependencia lineal de -Ux= entre las columnas de 1' con e$actamente los mismos

pesos"

5i el conjunto de columnas de A es independiente' entonces lo mismo es v6lido paralas correspondientes columnas de 1' ) viceversa"

A9ora para encontrar una base de !IR A ' tenemos la tarea m6s simple de 9allar unabase para el espacio columna de 1< Las r columnas de 1 &ue contienen los pivotesdistintos de cero son una base del espacio columna de 1" 7rasladando este resultadoa Aercicios9

,! also o verdadero< 5i mn entonces el espacio nulo de A es igual al espacio nuloiz&uierdo"

1! Encontrar la dimensin ) construir una base de los cuatro subespacios

fundamentales asociados a la matriz- * 3 -

- + G -A

=

4! Idem +! con

* + - *

- * * -

* + - *

A

=

"

:! Idem ,! con

- * - -

- - * -

- - - *

- - - -

A

=


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?! 4emostrar &ue si el producto de dos matrices es la matriz cero' AK- entoncesel espacio columna de K est6 en el espacio nulo de A" D?u@ sucede con elespacio fila de A ) el espacio nulo iz&uierdo de K

@! E$plicar por&u@ A$b es soluble si ) slo si el rango de A es igual al rango de

AQ' donde AQ se forma a partir de A ' aRadiendo la columna b" 5ugerencia< elrango es la dimensin del espacio columna ) el sistema es soluble si s) slo si besta en !IR A .

5A6')("S 0" 'A27* U2*.

5ea

+ * *

3 + +

G 3 3+ * *

A

=

[ ]

*

++ * *

3*

donde cada fila es un mltiplo de la primera

fila' entonces la dimensin del espacio fila es *' el rango es *"

7oda matriz de rango * puede factorizarse en la forma TA uv= "

Ejercicios

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