TEMA:

ANÁLISIS DE LA FORMACIÓN DE ARRUGAS EN EL EMBUTIDO

“CUARTO REPORTE DE AVANCE DE TESIS”

ESTIMACIÓN DEL GRADO DE AVANCE: 61 %

TESISTA:

ING. LUIS ERNESTO GARCÍA GRACIANO

ASESOR:

DR. DIRK FREDERIK DE LANGE

Enero 2012

Índice:

Cronograma

Descripción del proyecto

Objetivo

Alcance

Antecedentes teóricos y revisión bibliográfica

Desarrollo teórico del fenómeno de arrugas

Modelo FEM

Referencias

AVANCE DEL PROYECTO Y CRONOGRAMA:

A continuación se presenta el programa original de las actividades del proyecto:

El avance respecto a lo planeado se muestra en el siguiente cuadro:

Nota: los porcentajes mostrados son referentes a la cantidad de trabajo de acuerdo a la estimación que se hizo al iniciar la

Tesis. Para lograrlo, de acuerdo a un análisis hecho con los tiempos estimados iniciales, se requiere de aproximadamente 18

horas a la semana, por lo que se estima es alcanzable en un semestre.

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO:

Se pretende desarrollar un estudio del fenómeno que se presenta al trabajar mecánicamente hojas

metálicas, el fenómeno es conocido como “arrugas” el cual se presenta como ondulaciones del material

específicamente al ser sometido a esfuerzos en el proceso de manufactura conocido como “embutido”.

OBJETIVO:

Desarrollar una teoría que prediga el “arrugamiento” (o presencia de arrugas) en el embutido, de tal

manera que se puedan predecir valores de los parámetros que sean determinantes en la ocurrencia de

dichas arrugas; logrando con ello, plantear una plataforma que posteriormente permita proponer

alternativas que hagan posible mantener el tamaño de las arrugas dentro de límites deseados. Lo anterior

en el marco de la reducción del “costo computacional” que hasta ahora implica dicho estudio.

AÑO 2010 AÑO 2011

MAR-DIC ENE-DIC % Activ. Prog % Realizado ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL % Activ. Prog

A Planeación 8% 8%

8% 8%

B Antecedentes 10% 10% 1% 1%

9% 9%

C Fem 16% 2% 18% 1% 1% 2%

2% 14% 16%

D Criterio 14% 5% 19% 1% 1%

9% 9% 18%

EModelo

COMSOL26%

26%2% 2% 6% 8% 4%

22%

4% 4%

F Paper 4% 4%

4% 4%

G Tesis 15% 15% 1% 1% 1% 1% 5% 4% 13%

2% 2%

48% 52% 100% 61% 4% 5% 7% 9% 5% 5% 4% 39%

AVANCE ACUMULADO 2011 ACTIVIDADES FINALES AÑO 2012

PLAN DE TRABAJO PARA COMPLETAR ACTIVIDADES AL 100%RESUMEN DE ACTIVIDADES PROGRAMADAS Y REALIZADAS

ACTIVIDAD

ALCANCE

Análisis de alternativas FEM para embutido.

Proponer una solución teórica del fenómeno en cuestión, formulando un criterio de arrugas, la

cual deberá implicar las diferentes variables que resultan ser más significativas para este estudio.

Desarrollo de un modelo computacional de FEM en un programa de aplicación diferente a los

usados en investigaciones previas (se desarrollará en COMSOL), que sirva de plataforma para,

en un futuro, implementar en este modelo la solución teórica propuesta.

ANTECEDENTES TEÓRICOS Y REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

En reportes previos se han mostrado un par de teorías que sobresalen del análisis de bibliografía

realizado:

Uno de ellos publicado en 1995 [15], presenta un estudio de la arruga mediante una simulación en FEM

con un paquete computacional no especificado; en él se logra obtener una fuerza de pisador necesaria

para evitar el arrugamiento, como esto resulta de gran relevancia para nuestro estudio, se presenta a

continuación dicho estudio.

Propone un mallado pequeño de tal manera que la arruga sea perceptible y enseguida estudian la arruga

como una onda senoidal tal como se muestra en la Figura 1.1 y entonces determinan teóricamente un

valor calculando de la fuerza necesaria por el pisador para evitar el arrugamiento. El cálculo efectuado,

es importante hacer notar, se limita al embutido cilíndrico tal como se puede apreciar en la Figura 1.2.

Figura 1.1

Figura 1.2

La fuerza del pisador calculada en este trabajo es:

Donde:

= número total de elementos usados en la simulación

es calculado mediante el esfuerzo y deformación geométrica de cada elemento.

es calculado usando el radio en la simulación

es calculado mediante la deformación compartida de cada elemento de la simulación.

Después de analizar dicho trabajo, es claro que sí se propone una fuerza de pisador necesaria para

prevenir la ocurrencia de arrugas, pero también en el trabajo se evidencia una carencia de claridad en la

forma en cómo se determina cada una de las constantes mencionadas.

Existen otros estudios más actuales sobre el análisis de embutido o temas afines, los cuales no se

mencionan en este documento por la restricción que se tiene en cuanto espacio y porque dichos estudios

no representan mayor relevancia, específicamente a la predicción del arrugamiento como los aquí

expuestos, a excepción de algunos análisis por FEM que se mencionarán en el apartado correspondiente

de este reporte, pero estos últimos no se enfocan al análisis de arrugas.

ANÁLISIS DE PANDEO LIBRE

A fin de desarrollar una teoría de falla para la formación de arrugas, se planteará una similitud de la falla

al ocurrir la arruga, con el caso de falla de una viga por pandeo, para representar de mejor manera las

condiciones de arrugamiento en el embutido, se resolverá el caso de la viga por Pandeo agregando una

nueva condición de restricción.

El análisis de pandeo libre o sin restricciones es un caso tratado y resuelto en diversa bibliografía básica

de mecánica de materiales y diseño mecánico [4],[5], a continuación se presentan los resultados de

dichos estudios.

El modelo de la viga en cuestión es tal como se muestra en la Figura 2.1.

Al considerar las condiciones iniciales y resolver la ecuación de momentos en el modelo de la viga, se

obtiene la ecuación de solución para v(x) y con ello se determina la “carga crítica” Pc de Euler:

No debe perderse de vista que el análisis mostrado se ha realizado para una viga pivotada en sus

extremos de longitud L.

En la figura 2.2 se indica con Le la longitud equivalente al caso que se resolvió. En el inciso c de dicha

figura (lo cual corresponde al caso de una viga con empotramiento en los extremos) la ecuación para la

carga crítica estará dada por:

Este estudio mostrado de la literatura resulta de gran interés para la finalidad del desarrollo de tesis, ya

que como puede verse, por una parte nos da una solución de viga sin restricciones. Pero sobre todo, por

P P

L/2 L/2

P P

M

vx

(a) (b)

Figura 1

P P

L/2 L/2

P P

M

vx

(a) (b)

Figura 1

Figura 2 Casos equivalentes para diferentes modos de soporte. Figura 3

L=Le

P PP

2L=Le L/2=Le

L/4

L/4

L

(a) (b) (c)

Figura 2.1 a) Viga con soporte y cargas,

b) Deformación supuesta.

otro lado, muestra cómo es posible revisar el estudio de la viga solucionando solo una parte de la misma

y con lo demostrado, extrapolar el resultado a la forma de la viga que sea de nuestro interés.

Nótese que el inciso c de la figura 2.2 se asemeja a la forma de la viga que se desarrollará en el presente

trabajo, es decir a la ondulación o arruga.

DESARROLLO TEÓRICO DEL FENÓMENO DE ARRUGAS

ANÁLISIS DE PANDEO CON RESTRICCIÓN

Ahora se considera el modelado de la viga con una fuerza estabilizadora, la cual se origina del contacto

con dos paredes entre las que está encerrada la viga, limitando así el desplazamiento v y por lo mismo

aportando estabilidad a la deformación ilimitada en caso que ocurra el pandeo de la viga. En la figura

2.3 se ilustra la situación estudiada.

Se considera que las paredes son completamente rígidas y que no hay deformación local de la viga en las

zonas que se encuentren en contacto con las paredes. En este caso, las fuerzas que aparecen al existir una

pequeña deformación ondulatoria en la viga, se considerarán como puntuales. Asumiendo periodicidad y

simetría, se puede reducir el problema a la mitad de un periodo de la ondulación, usando una

equivalencia de longitudes similar a la indicada en la figura 2.2, por lo que la sección de la viga entre las

líneas punteadas es representativa para la viga completa de acuerdo a la longitud equivalente . Esto se esquematiza en la figura 2.4, dibujando la viga con cargas correspondientes, introduciendo una nueva

fuerza F que dará estabilidad a la viga cuando ésta empieza a deformarse debido a la fuerza de pandeo

P.

Para ello se busca alguna analogía con estudios en la literatura [7], [8]. El planteamiento para modelar

este caso se realiza tomando la mitad izquierda de la viga demostrada en la figura 2.4b, considerando

que la viga se encuentra empotrada en la mitad, justo en el punto donde se muestra la fuerza F. La

Figura 2.5 nos muestra este modelo de donde se obtendrá la ecuación de momentos.

Figura 2.4 a) Viga con soporte y cargas,

b) Deformación supuesta.

F

P P

L/2 L/2

P P

F

F/2

M

v

xF/2

(a) (b)

Figura 4

F

P P

L/2 L/2

P P

F

F/2

M

v

xF/2

(a) (b)

Figura 4

Figura 2.3 Deformación propuesta de la viga.

Pared

columnaP P

Pared

Si planteamos la ecuación diferencial del modelo (Ecuación de momentos) y la resolvemos, con esta

nueva restricción, se obtiene un nuevo valor de fuerza crítica para el pandeo, el cual se ha demostrado

corresponde a 4 veces el valor del Pandeo libre de Euler.

Se han analizado las ecuaciones encontradas y al proponer el caso específico de una viga con las

siguientes especificaciones:

Figura 2.6 Gráfica de la segunda derivada del desplazamiento en función de x

En donde en la gráfica de la Figura 2.6 muestra una parte de los resultados que se han analizado para

entender que la ecuación propuesta, presenta un rango de validez que se limita en el factor 4 mencionado

para la Fuerza Crítica.

Se tiene además una ecuación que permite determinar el valor de la fuerza de restricción, que para el

caso del embutido será la fuerza del pisador.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03Segundo derivado desplazamiento como función de posición x

P=Pc

P=2*Pc

P=3*Pc

P=4*Pc

P=5*Pc

Longitud (Le) 2.0m

Ancho 0.05m

Espesor 0.05m

Material Acero estructural

Módulo de elasticidad 210GPa

delta (gap) 0.03m

Figura 2.5 modelado de la sección de la viga.

P

F/2

M

v

x

Lo cual permite obtener que para un valor de F cercano a 8 veces la Fuerza Crítica de Euler, no hay un

valor de F capaz de lograr la estabilidad de la viga lo cual se visualiza en la Figura 2.7.

Figura 2.7 Gráfica del comportamiento de la fuerza F conforme varía P

*(donde P* es el número de veces la Fuerza Crítica

de Pandeo de Euler).

Sin embargo esto implica asumir válida la solución propuesta de la viga, por encima del valor de 4 veces

la carga crítica y esto, como ya se mencionó, no es correcto por lo que se presenta solo a manera de

referencia.

Retomando el hecho que no es claro lo que pasa después de este valor; se ha propuesto que la forma de

la viga cambie a dos secciones, una recta y una curva con la misma forma y condiciones de esta

solución, pero con una longitud reducida. Esto se muestra en la figura 2.8.

Figura 2.8 forma propuesta de la viga una vez que el valor de P es mayor a 4 veces el valor de la Fuerza Crítica en el análisis

de pandeo de Euler.

En base a las ecuaciones propuestas se ha determinado que la viga presentara una ondulación de orden 2

(dos ondulaciones en la misma longitud) cuando el valor de la fuerza crítica sea de 16 veces el valor de

la Fuerza crítica de Euler.

Tratando de resumir el comportamiento de la viga restringida, se puede decir que: la viga se ve sometida

a una fuerza paramétrica creciente a compresión axial, entonces al llegar a un valor Pc, se disturba o se

vence flexionando inmediatamente sobre la pared o restricción, en donde mantiene entonces su forma

senoidal hasta que el valor de la fuerza aplicada es 4 Pc, entonces la viga se deforma de acuerdo a la

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5 Fuerza como funcion de Pc

Pared

columnaP

Pared

P

figura 2.8 y cambia continuamente conforme la fuerza se incrementa, creciendo la parte recta y

disminuyendo la parte senoidal prácticamente a la mitad; cuando la fuerza aplicada sea de 16 Pc, la parte

recta pegada a la pared se colapsa nuevamente formando la segunda ondulación.

MODELO FEM

Con la finalidad de corroborar y ampliar los resultados encontrados analíticamente, se ha desarrollado

un modelo de una viga en la parte simétrica a la figura 2.8.

Se ha resuelto en COMSOL y se presentan los resultados en la figura 3.1, en donde se aprecia como la

viga sigue incrementando una sección recta.

En adelante los resultados de la gráfica de la viga deformada son presentados en una ampliación de

factor 10.

Figura 3.1 Gráfica de la forma de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=11 una escala de

10 en la deformación.

Ahora veamos en la Figura 3.2 que cuando P*=14 la viga empieza a cambiar su comportamiento

nuevamente, presentando un desplazamiento ahora en el extremo izquierdo, lo cual corresponde a lo

esperado.

Figura 3.2 Gráfica de la forma de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=14 una escala de

10 en la deformación.

En estos últimos gráficos se muestra como empieza a suceder otro modo del pandeo en la viga tal como

se predijo de manera analítica.

MODELO DE EMBUTIDO POR FEM EN COMSOL®

A fin de lograr el objetivo final del trabajo de Tesis, se ha empezado el estudio para el desarrollo del

modelo en el software comercial COMSOL, en otros trabajos de investigación sobre modelados de

embutido mediante programas computacionales, se han desarrollado interesantes modelos mediante el

programa LS DYNA de ANSYS®. Los resultados presentados en dichos trabajos, muestran un muy

aceptable modelo del fenómeno, como ejemplo está el desarrollo de una Tesis de Maestría en Ingeniería

Mecánica [16] o bien una Tesis de Licenciatura [17].

El Programa LS DYNA utiliza para el “solver” o solucionador un método explícito que resulta bastante

adecuado para resolver este tipo de problemas, donde se presentan grandes deformaciones, por otra parte

COMSOL tiene un modo de solución implícita, lo cual le da algunas ventajas de tiempo computacional

y de gran versatilidad para diferentes físicas o problemas de múltiples físicas. Sin embargo en la

aplicación que se pretende, no se ha explorado si presente alguna limitante que le permita o no, competir

con resultados de otros programas como el ya mencionado.

Es por ello muy interesante desarrollar un modelo en COMSOL, ya que este programa cuenta además

con la particularidad de ser más manipulable al momento de pretender “programarle” la Solución

Teórica que se propone en este trabajo para determinar el arrugamiento.

Metodología propuesta para lograr el modelo en COMSOL

Para lograr el modelo de embutido se requiere básicamente solucionar y combinar dos situaciones en el

programa, lo primero es establecer un límite hasta donde el método implícito del programa es válido si

existen grandes desplazamientos de los materiales (así como grandes deformaciones), por otra parte,

establecer de manera correcta los pares de contacto entre los materiales que simularán los componentes

mínimos del proceso de embutido, tales como el pisador, la matriz, el material base, etc. Siendo estos

elementos geometrías móviles y/o que experimentan grandes deformaciones.

En ese sentido se propone trabajar de lo más básico y simple a lo más complejo, que sería nuestro

modelo final en 3D; se tiene ya la referencia que se ha tratado anteriormente en este mismo trabajo y es

la deformación de la viga en la falla conocida como pandeo Figura 4.1

Figura 4.1 Deformación de una viga simulada a Falla de Pandeo, realizada en COMSOL V4.1.

Se ha simulado ya una carga paramétrica que al llegar a un valor provoca la falla de un material

provocando en él, grandes deformaciones, sin embargo esto no es totalmente aplicable debido a las

condiciones, materiales y tipo de análisis, por tanto será válido solo como una primera referencia.

El siguiente paso que se pretende será el de realizar un modelo en 2D que involucre ahora las

condiciones y materiales adecuados y que exija un recurso computacional bajo, aún y cuando este

modelo no permita visualizar si existe la generación de arrugas. Para ello se resolverá un esquema de

modelo simétrico axialmente, tal como se muestra en la Figura 4.2.

Figura 4.2 Viga sujeta a presión entre dos paredes y sometida a una gran deformación por otro material que provoca además

desplazamientos entre las partes en contacto, realizada en COMSOL V3.5.

Finalmente se pretende aplicar condiciones similares en un modelo tridimensional que contenga las

condiciones más importantes del proceso de Embutido, mismas que se han considerado en trabajos

mencionados, ver Figura 4.3.

Figura 4.3 Ejemplo de un Modelo de geometría en 3D para el análisis de Embutido en COMSOL V4.2.

CONCLUSIONES

Se ha comparado el comportamiento de la viga en Pandeo libre de Euler y la viga con la restricción de

este caso particular, permitiendo valorar, qué tan significativa es la restricción y cómo cambia la

estabilidad de la viga. El análisis de pandeo dentro de un espacio formado por dos paredes ha mostrado

que la fuerza compresiva puede tener un valor de hasta 4 veces el nivel de la carga crítica de Euler para

la misma viga sin restricción.

El modelo de la viga restringida se ha modelado exitosamente en COMSOL.

Se está discutiendo aún un punto importante que se nos ha expuesto en un par de ocasiones en que se ha

presentado avance de nuestro modelo teórico. Esto es, que nuestra solución de viga está resuelta en el

rango elástico del material; sin embargo si se desea aplicar al proceso de embutido, es menester enfatizar

que este proceso implica una deformación plástica del material.

En este sentido se tiene una teoría aplicada a vigas que refiere a cómo es posible hacer una

consideración de que el módulo tangencial es similar en valor al módulo ingenieril [8], pero ello aún es

tema de análisis y discusión en el proceso de la formulación que se pretende establecer para esta tesis.

Se tiene una clara idea de la metodología para lograr el modelo de Embutido en COMSOL.

Se han identificado problemas y o restricciones que se deben solucionar para lograr un modelo

funcional.

De acuerdo al análisis sobre los puntos y problemas a resolver, se ha desarrollado un programa general

de actividades para lograrlo en un lapso máximo de 5 meses, posteriormente se detallarán dichas

actividades para asegurar que sea lograble el objetivo.

REFERENCIAS

[1]. Free Vibration Analysis of Multiple Delaminated Beams under Axial Compressive Load. Journal of Reinforced Plastics & Composites, Della, C. N., & Dongwei, S. (2009).

[2]. Combined Torsional-Bending-Axial Dynamics of a Twisted Rotating Cantilever Timoshenko Beam With Contact-Impact Loads at the Free End. Journal of Applied Mechanics, Sinha, S. K.

(2007).

[3]. Nonlinear dynamic modeling, instability and post-buckling analysis of a rotating beam with a flexible support, S. F. Xiao – M Yang, Republic of China, 2006

[4]. Mecánica de Materiales 7ª edición, James M Gere-Barry J Goodno, Cengage Learning, 2009.

[5]. Diseño en ingeniería mecánica de Shigley 8ª edición, Budynas-Nisbett, Mc Graw Hill, 2008

[6]. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 6ª edición, Dennis G. Zill, Ed. Thompson 1997

[7]. Introducción a las estructuras de edificación Tomo 1, Universidad Politécnica de Valencia, A. Durá – I. Cabrera – E. Fenollosa – A. Martínez B. – A. Perez – B. Serrano, 2005

[8]. Introducción a la Mecánica de los Sólidos, E. Popov, Ed. Pearson, 2000.

[9]. Prediction of flange wrinkling in deep drawing process using bifurcation criterion Ravindra K. Saxena, P.M. Dixit, 2010

[10]. Material conferencia Sistemas ópticos GOM 2009- CIMCO, Daniel Rodríguez, 2009.

[11]. Herramentales desde el diseño, Peter Ulintz, Anchor Manufacturing Group, Inc., Cleveland,OH, 2008.

[12]. Fundamentals of Modern Manufacturing, Mikell P. Groover, 2007.

[13]. Prediction of Wrinkling Initiation in Sheet Metal Forming Processes, J.B. Kim, D.Y. Yang, 2002.

[14]. Control of Blank Holder Force to Eliminate Wrinkling and Fracture in Deep-Drawing Rectangular Parts, M. Ahmetoglu, T. R. Broek, G. Kinzel, T. Altan (1) Ohio State University,

College of Engineering, Columbus, USA, 1995.

[15]. Controlled FEM Simulation for Determining History of Blank Holding Force in Deep Drawing Kozo Osakada ( l ) ,C han Chin Wang, Ken-ichi Mori, Faculty of Engineering Science, Osaka

University, Osaka, Japan,1995.

[16]. Análisis del proceso de embutido de piezas rectangulares utilizando el concepto de diámetro equivalente (análisis teórico y MEF), Ing. Francisco Javier Colorado Alonso, Facultad de

Ingeniería UASLP, 2011.

[17]. Simulación de un Proceso de Embutición Mediante Ansys LS Dyna, Natalia García Gayol, Ingeniería Mecánica, Universidad Carlos III de Madrid, 2009.