cuadricas
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Tema 7 Cuádricas
(((( )))) 0
1
1 13121101
03020100
====
xaaaa
aaaa
zyx
o lo que es lo mismo, matricialmente,
DefiniciónUna cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo
a00 + 2a01x + 2a02y + 2a02z+ a11x2 + 2a12xy+ a22y
2 + 2a13xz+ a33z2 + 2a23yz= 0
(((( )))) 01
33231303
23221202
13121101 ====
z
y
x
aaaa
aaaa
aaaazyx
La matriz de orden 4, , se denomina matriz de la cuádrica y la
submatriz de orden 3, , es la matriz de la forma cuadrática asociada a la cuádrica.
A4 = aij( )0≤i ≤30≤ j ≤3
A3 = aij( )1≤i ≤31≤ j ≤3
TIPOS DE CUÁDRICAS
Elipsoides Hiperboloides de una hoja Hiperboloides de dos hojas
Paraboloides Cilindros
Invariantes de una cuádrica
Los siguientes valores son invariantes de una cuádrica respecto a unMovimiento rígido:
i) ∆ = A4
ii ) δ = A3
iii ) s = tr A( )iii ) s1 = tr A3( )iv) s2 = tr Adj A3( )( )v) En el caso del cilindro, también : s3 = A22 + A33 + A44
Ecuación reducida de una cuádrica
Elipsoide real/imaginario, hiperboloide de 1/2 hoja/s, cono real/imaginario:
Elipsoide: corte por planos paralelos a los planos coordenadosson elipses.
λ1x2 + λ2y
2 + λ3z2 +
∆δ
= 0
son elipses.
Hiperboloide de una hoja: corte por planos: z =k son elipses,x =k o y =k son hipérbolas.
Cortes por planos z=k
Si –c < k <c, no se produce intersección
12
2
2
2
2
2
−−−−====−−−−++++cz
by
ax
Hiperboloide de dos hojas:
La intersección es una elipse cuando k <-c ó k >c
Si –c < k <c, no se produce intersección
Cono
02
2
2
2
2
2
====−−−−++++cz
by
ax
Corte por planos paralelos a los coordenadosCorte por planos paralelos a los coordenados
Los cortes por planos z=k son elipses, salvo el caso z=0 que describe el vértice del cono.
Ecuación reducida de una cuádrica
Paraboloide (si suponemos nulo el tercer autovalor de A3) :
λ1x2 + λ2y
2 ± 2 −∆s2
z = 0
Eliptico, si los autovalores son del mismo signo:
2
2
2
2
by
ax
z ++++====
Hiperbólico, si son de signos distintos.
2
2
2
2
by
ax
z −−−−====
Los cortes por planos z=k, con k>0, son elipses.
La intersección con z=0 es un punto.
Paraboloide elíptico :
un punto.
Con los planos x=k e y=k se producen parábolas.
Cortes con planos z=k
Par de rectas que se cortan en el
punto de silla si k=0
Paraboloide hiperbólico :
Hipérbolas si k<0 o k>0
Cortes con planos x=kCortes con planos y=k
Ecuación reducida de una cuádrica
Cilindro elíptico/hiperbólico, par de planos secantes :
λ1x2 + λ2y
2 +s3
s2
= 0
12
2
2
2
====++++by
ax
12
2
2
2
====−−−−by
ax
Ecuación reducida de una cuádrica
Cilindro parabólico (sup. los dos últimos autovalores nulos) :
λ1x2 ± 2 −
s3
s1
y = 0
y = ax2
DefiniciónSe llama signatura lineal, σ, de la cuádrica al valor absoluto de la diferencia entre el número de permanencias de signo y de variación de signos en la sucesión de números reales:
1,s1,s2,δ{ }La signatura lineal, σ, de la cuádrica coincide con la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de la matriz A3.
Ejemplos:
Calcular la signatura lineal de la cuádrica:x2 − 3xz+ 2z2 = 0
A4 =
0 0 0 0
0 2 0 −3
0 0 0 0
0 −3 0 4
⇒
δ = 0
s1 = 6
s2 = −1
⇒ 1, 6
P}, −1
C{ , 0
C}
⇒ σ =1
Clasificación
δ≠0
σ=3∆>0 ⇒Elipsoide Imaginario
∆<0 ⇒Elipsoide Real
∆>0 ⇒Hiperboloide de una Hoja
Cuádricas no degeneradas:
∆≠0
δ≠0
σ=1∆>0 ⇒Hiperboloide de una Hoja
∆<0 ⇒Hiperboloide de dos Hojas
δ=0∆<0 ⇒Paraboloide Elíptico
∆<0 ⇒Paraboloide Hiperbólico
Clasificación
δ≠0σ=3⇒ Cono Imaginario
σ=1⇒ Cono Real
s ≠0, s ≠0⇒s2 >0
s1⋅ s3 >0⇒ Cilindro elíptico Imaginario
s⋅ s <0⇒ Cilindro elíptico Real
Cuádricas degeneradas:
∆=0
δ=0
s2≠0, s3≠0⇒s2 >0
s1⋅ s3 <0⇒ Cilindro elíptico Real
s2 <0⇒ Cilindro Hiperbólico
s2≠0, s3 =0⇒s2 >0⇒ Planos Secantes Imaginarios
s2 <0⇒ Planos Secantes Reales
s2 =0, s3≠0⇒ Cilindro Parabólico
s2 =0, s3 =0⇒ Par de planos paralelos o coincidentes
Elementos notables de las cuádricas
Centro: se obtiene resolviendo el sistema
∂f
∂xα,β,γ( ) = 0
∂f
∂yα,β,γ( ) = 0
∂f ( )
∂f
∂zα,β,γ( ) = 0
Ejes: con el centro y los autovectores de A3
Planos Principales: con el centro y los autovectores de A3 como vectores característicos