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ANÁLISIS COMPLEJO

GUIA

Eduardo Arias

7

Cuadernos de Matemática

de la Escuela Politécnica Nacional

CUADERNOS DE MATEMÁTICA

DE LA ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

E. ARIAS

ANÁLISIS COMPLEJO

GUIA

Cuadernos de Matemática No. 7

ANÁLISIS COMPLEJO: GUIA

Eduardo Arias

Responsable de la Edición: Andrés MerinoRevisión técnica: Jonathan Ortiz

Registro de derecho autoral No.ISBN: 978-0000-111-22

Publicado por la Unidad de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de la Escuela PolitécnicaNacional, Ladrón de Guevara E11-253, Quito, Ecuador.

Primera edición: 2016Primera impresión: 2016

c© Escuela Politécnica Nacional 2016

ÍNDICE GENERAL

1. Números complejos y operaciones 3

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Operaciones sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Representación geométrica de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1. C visto como un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2. Comportamiento de “i” a través de productos sucesivos . . . . . . . . 8

1.4. Representación polar de un z ∈ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Potencia entera de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Funciones complejas, límites y continuidad 33

2.1. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.1. Límites infinitos y al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. Diferenciación compleja 57

3.1. Ecuaciones de Cauchy-Riemman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1. Condición necesaria para la diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.2. Condición suficiente para la diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2. Diferenciabilidad de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3. Funciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.1. Coordenadas Conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.2. Condición necesaria y suficiente de holomorfía en un punto . . . . . . 69

3.3.3. Condición necesaria y suficiente de holomorfía en un conjunto . . . . 69

3.4. Funciones Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

III

IV Índice general

3.4.1. Armónica Conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Integración compleja 75

4.1. Integral de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.1. Orientación de contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.2. Integrales de funciones complejas a variable real . . . . . . . . . . . . . 79

4.2. Integrales de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3. Independencia de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.1. Fórmulas integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5. Sucesiones y Series 99

5.1. Sucesiones y Series Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.1.1. Sucesiones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.1.2. Series Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2. Sucesiones y Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.1. Sucesiones de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.2. Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3. Series de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

PREFACIO

El presente libro es la recopilación de los apuntes de clase de la asignatura “AnálisisComplejo” dictada por el profesor Phd. Paúl Acevedo en la carrera de Matemática de laEscuela Politécnica Nacional, y recopilados por el estudiante Eduardo Arias, el cual cursóla asignatura en el semestre referencial 2016-A.

1

NÚMEROS COMPLEJOS Y OPERACIONES

Introducción

Se dice que z es un número complejo si z = (a, b) donde a, b ∈ R. Además, al conjuntode todos los números complejos se los denotará como C.

DEFINICIÓN 1.1: Número complejo

OBSERVACIÓN. (a, b) es un elemento de R2. Básicamente, C será equivalente a R2, pero conoperaciones de producto y división.

OBSERVACIÓN. La idea de introducir C es que es posible definir un producto cerrado y quecumpla las siguientes propiedades de asociatividad, conmutatividad y distributividad conrespecto a la suma.

Podemos ver que a un número complejo lo podemos expresar como

z = (a, b) = a (1, 0)︸︷︷︸

1

+b (0, 1)︸︷︷︸

i

= a · 1 + b · i

con

1 := (1, 0),

i := (0, 1),

además, definimos al cero como

0 := (0, 0).

Así, podemos reescribir al conjunto C de la definición (1) como

C = z = a + bi : a, b ∈ R.

Definamos al conjuntoR = (x, 0) : x ∈ R.

Nótese que R es un subespacio vectorial de R2, de dimensión 1.

3

4 Números complejos y operaciones

Definiendo la aplicación siguiente

T : R −→ R

(x, 0) 7−→ x

se puede probar que T es lineal y biyectiva, es decir,

R ≈ R1

Decimos que el conjunto A es isomorfo al conjunto B si y solo si existe una función biyectivaf : A → B que preserva ciertas propiedades; por ejemplo, en este caso decimos que R esisomorfo a R, pues la aplicación T es biyectiva y preserva las propiedades de los reales.

De lo anterior se puede ver que

T(1, 0) = 1⇐⇒ (1, 0) ≈ 1

⇐⇒ (1, 0) = 1.

Aunque esta última expresión es un abuso de notación.

Existen dos formas de explicar la expresión R ⊆ C :

1. Dado que R ⊆ R2, entonces tenemos que R ⊆ C, ahora como R ≈ R tenemos que

R ⊆ C.

La demostración se la deja al lector.

2. También, como para todo z ∈ C existen únicos a, b ∈ R tales que z = a + ib. Enparticular para todo x ∈ R, entonces

x = x · 1 + 0 · i

y este es un elemento de C, por lo cual se tiene que

R ⊆ C.

Operaciones sobre C

Para todo z1 = (a1, b1), z2 = (a2, b2) ∈ C y para todo α ∈ R se definen las siguientesoperaciones:

1. Sumaz1 + z2 = (a1 + a2, b1 + b2).

DEFINICIÓN 1.2: Operaciones

1R es isomorfo a R.

1.2 Operaciones sobre C 5

2. Producto por un escalarα · z = (αa, αb).

3. Producto entre complejos

z1 · z2 = (a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1)

Este producto cumple las propiedades de asociatividad, conmutatividad y dis-tributividad con respecto a la suma.

Tomando en cuenta al neutro aditivo como

0 := (0, 0)

y al neutro del producto como1 := (1, 0),

Ahora, para todo z = (a, b) ∈ C, su inverso aditivo es

−z := (−a,−b)

y su inverso multiplicativo si z 6= 0 es

z−1 :=1

a2 + b2 (a,−b). (1.1)

Con lo anterior podemos probar que (C,+, ·) es un cuerpo.

OBSERVACIÓN. Gracias a que C es un campo se lo puede considerar como un conjunto deescalares. Con esta nueva definición, los elementos de C definen números, no vectores.

C = a + ib : a, b ∈ R

Donde i es el número imaginario tal que cumple la propiedad

i · i = −1.

Gracias a que C es un cuerpo, podemos tratarlo como al cuerpo R, es decir, podemosutilizar sus propiedades de cuerpo.

Para todo z ∈ C, tal que z = a + ib donde a, b ∈ R se notan las siguientes funciones

a = Re(z) y b = Im(z).

DEFINICIÓN 1.3: Parte real y parte imaginaria de un número complejo


Representación geométrica de C

En R, un elemento a se lo puede representar como un punto:

En C, a un elemento z también se lo puede representar como un punto:

Mediante estos gráficos y lo mostrado en la sección anterior se puede notar que para todoelemento z ∈ C se lo puede ver como un elemento de un cuerpo, es decir, podemos utilizarsus propiedades de cuerpo como son la multiplicación y división.

Al plano donde a cada z ∈ C se lo considera un escalar se lo nota como Plano Comple-jo, Plano Z o Plano de Argand.

DEFINICIÓN 1.4: Plano Complejo

Podemos crear la noción de “tamaño” asociada a un número complejo de la siguientemanera. Para todo z ∈ C, a la distancia que existe entre z y el elemento 0 lo notaremoscomo |z| y lo definiremos como:

|z| =√

Re(z)2 + Im(z)2.

Además a esta función la llamaremos módulo de z.

DEFINICIÓN 1.5: Módulo

Para todo z ∈ C, az := a− ib

lo llamaremos el conjugado de z y notaremos como z.

DEFINICIÓN 1.6: Conjugado de un número complejo

1.3 Representación geométrica de C 7

Para todo z ∈ C∗ con las definiciones (5) y (6) podemos reescribir la ecuación (1.1) de lasiguiente manera

z−1 =z

|z|2 , (1.2)

además para todo z1, z2 ∈ C y z2 6= 0 podemos definir la división entre números complejoscomo:

z1

z2= z1 · z−1

2

=z1 · z2

|z2|2.

(1.3)

EJERCICIO 1.1. 1. Muestre que para todo z1, z2 ∈ C:

a) Re(z1z1) = Re(z1)Re(z2)− Im(z1) Im(z2)

b) Im(z1z2) = Re(z1) Im(z2) + Im(z1)Re(z2).

2. Muestre que para todo z1, z2 ∈ C se verifica la siguiente ecuación:

|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(

|z1|2 + |z2|2)

.

Esta identidad se la conoce como “igualdad del paralelogramo”. Explique el porqué de esta denominación.

C visto como un espacio vectorial

Sabemos que a la tetrapleta (R2, R,+, ·) es un espacio vectorial de dimensión 2, por teneruna base de dos elementos.2 Por otro lado, (R, R,+, ·) es un espacio vectorial de dimensión1. Visto esto se preguntarán ¿qué sucede con (C, R,+, ·) y (C, C,+, ·)?

Pues bien, veamos sus bases:

1. Notemos que una base para (C, R,+, ·) es el conjunto

B1 = 1, i,

pues para todo z ∈ C se necesitan dos únicos a, n ∈ R tales que

z = a + ib = a · 1 + b · i.

La demostración se lo deja como ejercicio para el lector.

2. Por otro lado, veamos que el conjunto

B2 = 1

2Por ejemplo la base B = (1, 0); (0, 1)


es una base para (C, C,+, ·) con el campo C. En efecto, notemos que

z = z · 1,

para cualquier z ∈ C.

Comportamiento de “i” a través de productos sucesivos

Notemos que a partir de su definición podemos ver lo siguiente:

i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = 1, . . .

como pueden observar se cumple que la sucesión (ik)k∈Z se la puede representar como:

ik =

1 si k = 4n con n ∈ Z,

i si k = 4n + 1 con n ∈ Z,

−1 si k = 4n + 2 con n ∈ Z,

−i si k = 4n + 3 con n ∈ Z.

(1.4)

OBSERVACIÓN. Nótese que a la ecuación (1.4) la podemos simplificar como

ik = ir ,

donde r es el residuo de la división de k para 4, en otras palabras

k ≡ r (mod 4).

EJEMPLO 1.1. Calculemos, las siguientes expresiones:

1. (1 + i)3858

(1 + i)3858 =(

(1 + i)2)1929

= (2i)1929

= 21929(i)1929

= 21929i.

2. (1− i)3859

(1− i)3859 =(

(1− i)2)1929+1

= (−2i)1929(1− i)

= (−2)1929(i)1929(1− i)

= −21929i(1− i)

= −21929 + i21929.


Observemos que estos dos casos son particulares, no necesariamente se cumple una propie-dad similar.

La observación anterior solo se puede utilizar cuando tenemos una potencia de la forma

(a)k,

donde k ∈ Z y a ∈ C tal que existe un entero l que es divisible para k y además existe unb ∈ C tal que al = bi, si se cumple esto, entonces se cumple que

(a)k = bmim,

donde m ∈ Z tal que k = lm.

Por otro lado, para el presente folleto usaremos a x y y para declarar variables reales y az para denotar una variable compleja.

Sea K un campo, se dice que el campo K es algebráicamente cerrado si todo polinomiocon coeficientes en K tiene todas sus raíces en K.

DEFINICIÓN 1.7: Algebráicamente cerrado

De esta definición sale que el campo R no es algebráicamente cerrado. En efecto, bastaconsiderar el polinomio

p(x) = x2 + 1, ∀x ∈ R.

Este polinomio no tiene raíces en los reales.

El campo C es algebráicamente cerrado.

TEOREMA 1.1: Teorema fundamental del álgebra

La demostración de este teorema la realizó G.F. Gauss, la cual es bastante compleja, perose simplificó sustancialmente con el análisis complejo.

Decimos que un conjunto X es ordenado o tiene orden si posee una relación “” quecumple con las siguientes propiedades para todo x, y, z ∈ X:

1. Reflexividad:x x.

2. Antisimetria:x y ∧ y x =⇒ x = y.

3. Transitividad:x ∧y z =⇒ x z.

DEFINICIÓN 1.8: Orden


Además, cuando para todo x, y ∈ X con x 6= y implica que x y o y x se dice quees un orden total, o que X está ordenado totalmente.

OBSERVACIÓN. R es un cuerpo totalmente ordenado.3

Para todo X un conjunto totalmente ordenado con la relación de orden “”, la leytricotomía dice que para todo x, y ∈ X se cumple que

x y ⊻ y x ⊻ x = y.

DEFINICIÓN 1.9: Tricotomía

PROPOSICIÓN 1.2. C no es un cuerpo totalmente ordenado, es decir no existe una re-lación de orden total en C.

Demostración. Se procederá a demostrarlo por reducción a lo absurdo. Así, supongamosque C es un cuerpo totalmente ordenado, y denotemos como “” un orden total en esteconjunto. Como R es un subconjunto de C, se tiene la relación de orden total “≻” al menosdebe cumplir con las propiedades de la relación de orden en R.

Por tricotomía, si0 ≺ i (1.5)

se tiene lo siguiente

0 ≺ i

0 · i ≺ i2

0 ≺ −1

1 ≺ 0

i · 1 ≺ 0

i ≺ 0. (1.6)

Las ecuaciones (1.5) y (1.6) se contradicen, por lo cuál se termina la demostración y conclui-mos que el cuerpo C no es totalmente ordenado.

OBSERVACIÓN. Por ejemplo, si z ≤ 10 implica que z ∈ R.

LEMA 1.3. Para todo z1, z2 ∈ C se tiene que

z1 + z2 = z1 + z2.

Demostración. Sean z1, z2 ∈ C expresados en su forma binomial, notemos que sus conjuga-

3La demostración no compete al presente curso.


dos se encuentran dados por

z1 = a1 − ib1 y z2 = a2 − ib2.

Ahora, si sumamos esto obtenemos lo siguiente

z1 + z2 = a1 − ib1 + a2 − ib2

= (a1 + a2)− i(b1 + b2)

= z1 + z2.

De lo que concluimos quez1 + z2 = z1 + z2.

PROPOSICIÓN 1.4 (Propiedades del conjugado de z ∈ C). Las siguientes propiedadesse cumplen para todo z1, z2, . . . , zn ∈ C :

1.n

∑i=1

zi =n

∑i=1

zi

2.n

∏i=1

zi =n

∏i=1

zi

3. z = z

4. z = z⇐⇒ z ∈ R.

Demostración. Sean z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2, . . . , zn = an,+ibn ∈ C, con a1, b2, a2, b2, . . . , an, bn ∈R..

Las propiedades 1 y 2 se van a demostrar por inducción.

1. Por inducción supongamos que n=2, por el lema (1.3) se tiene que

z1 + z2 = z1 + z2.

Ahora, supongamos un caso para n = k, con k ∈ K∗+ y k ≥ 2.

k

∑i=1

zi + zk+1 =

(k

∑i=1

ai + ak+1

)

− i

(k

∑i=1

bi + bk+1

)

=

(k+1

∑i=1

ai

)

− i

(k+1

∑i=1

bi

)

=k+1

∑i=1

zi.


2. Similar al ejercicio anterior, para n = 2 se tiene que

z1z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2)

=(

a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + b1a2))

=(

a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + b1a2)) (1.7)

Por otro lado, se tiene que

z1 z2 = (a1 − ib1)(a2 − ib2)

=(

(a1a2 − b1b2)− i(a1b2 + a2b1))

. (1.8)

De las ecuaciones (1.7) y (1.8) se tiene la igualdad.

Ahora, supongamos que se cumple para n = k, con k ∈ K∗+ y k ≥ 2. Por la definiciónde producto de números complejos (2), se tiene que

k

∏i=1

zi = a + ib,

con a, b ∈ R.

Utilizando el resultado anterior se tiene que

(k+1

∏i=1

zi

)

=

(k

∏i=1

zi

)

· zk+1 (1.9)

= (a + ib)(ak+1 + ibk+1)

=(

aak+1 − bbk+1 + i(abk+1 + bak+1))

=(

aak+1 − bbk+1 − i(abk+1 + bak+1),)

(1.10)

con ak+1, bk+1 ∈ R tales que zk+1 = ak+1 + ibk+1.

Por otro lado se tiene que

k+1

∏i=1

zi =k

∏i=1

zi · zk+1 (1.11)

=k

∏i=1

zi · zk+1

= (a− ib)(ak+1 − ibk+1)

=(

(aak+1 − bbk+1)− i(abk+1 + ak+1b))

(1.12)

de las ecuaciones (1.10) y (1.12) se sigue el resultado.

3. Sea z = a + ib ∈ C, con a, b ∈ R. Por la definición (5) se tiene que

z = a− ib.


Es claro que z ∈ C, por lo cual

z = a− ib

= a + ib

= z.

4. Sea z = a + ib ∈ C, con a, b ∈ R. Supongamos que se cumple la condición

z = z

y veamos la forma del elemento z. Así, se tiene que

z = z (1.13)

a + ib = a− ib (1.14)

Pero para que se cumpla la ecuación (1.14) b = 0, así a z se lo puede representar como

z = a + i0,

o lo que es lo mismo z ∈ R.

Nótese que a la ecuación (1.13) se la puede escribir de la siguiente manera

Re(z) = z.

Para todo espacio vectorial (X, K,+, ·), se define el producto interno como la función

〈·, ·〉 : X× X −→ K

(x, y) 7−→ 〈x, y〉

tal que para todo x, y, z ∈ X y para todo α ∈ K se cumplen las siguientes propiedades:

1. 〈αx + y, z〉 = α〈x, z〉+ 〈y, z〉,

2. 〈x, y〉 = 〈y, x〉,

3. 〈x, x〉 ≥ 0,

4. y 〈x, x〉 = 0⇐⇒ x = 0.

DEFINICIÓN 1.10: Producto interno

PROPOSICIÓN 1.5 (Propiedades del módulo de z ∈ C). Las siguientes propiedades secumplen para todo z1, z2, . . . , zn ∈ C :


1.

∣∣∣∣∣

n

∏i=1

zi

∣∣∣∣∣=

n

∏i=1|zi|

2. |z|2 = z · z

3.

∣∣∣∣∣

n

∑i=1

zi

∣∣∣∣∣≤

n

∑i=1|zi|

4. 〈z1, z2〉 = z1 · z2 define un producto interno sobre C.

5.∣∣∣|z1| − |z2|

∣∣∣ ≤ |z1 − z2|

Demostración. Sean z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2, . . . , zn = an,+ibn ∈ C, con a1, b2, a2, b2, . . . , an, b2 ∈R..

Las propiedades 1 y 2 se van a demostrar por inducción.

1. Para n = 2, se tiene que

|z1 · z2|2 = |(a1 + ib2)(a2 + ib2)|2

= |(a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + b1b2)|2

= (a1a2 − b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)

2.

= (a1a2)2 + (a1b2)

2 + (b1a2)2 + (b1b2)

2. (1.15)


|z1|2|z2|2 = |a1 + ib1|2|a2 + ib2|2

=(

(a1)2 + (b1)

2)(

(a2)2 + (b2)

2)

= (a1a2)2 + (a1b2)

2 + (b1a2)2 + (b1b2)

2. (1.16)

De las ecuaciones (1.15) y (1.16) se sigue el resultado.

Ahora, supongamos que se cumpla para un caso n = k, con k ∈ Z∗+ y n ≥ 2. Nóteseque

k

∏i=1

zi = z = a + ib. (1.17)

Como supusimos que se cumple para n = k, se tiene que∣∣∣∣∣

k

∏i=1

zi

∣∣∣∣∣=

k

∏i=1|zi|. (1.18)

Ahora, se tiene∣∣∣∣∣

k+1

∏i=1

zi

∣∣∣∣∣= |z · zk+1|

= |z||zk+1| por (1.17)


=

∣∣∣∣∣

k

∏i=1

zi

∣∣∣∣∣|zk+1|| por (1.18)

=k+1

∏i=1|zi|.

Por el principio de inducción finita tenemos que para todo n ∈ Z∗+ y z1, . . . , zn ∈ C secumple que

∣∣∣∣∣

n

∏i=1

zi

∣∣∣∣∣=

n

∏i=1|zi|.

2. Sea z = a + ib ∈ C, se tiene que

|z|2 = Re(z)2 + Im(z)2

= (a)2 + (b)2

= (a + ib)(a− ib)

= z · z.

3. Para n = 2, se tiene que

|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2)

= (z1 + z2)(z1 + z2)

= z1 · z1 + z2 · z2 + z1 · z2 + z2 · z1

= |z1|2 + |z2|2 + z1 · z2 + z2 · z1. (1.19)

Para concluir que |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|, se debe probar que

z1 · z2 + z2 · z1 ≤ 2|z1||z2|.

Así,

z1 · z2 + z2 · z1 = (a1 + b1i)(a2 − b2i) + (a1 − b1i)(a2 + b2i)

= a1a2 + b1b2 − (a1b2 − b1a2)i + a1a2 + b1b2 + (a1b2 − b2a2)i

= 2(a1a2 + b1b2)

≤ 2(

(a12 + b1

2)(a22 + b2

2)) 1

2(1.20)

= 2|z1||z2|.

Veamos detenidamente como llegamos a la desigualdad expresada en (1.20). Tenemoslo siguiente

(a1a2 + b1b2)2 = a1

2a22 + 2a1a2b1b2 + b1

2b22,

además tenemos que

(a12 + b1

2)(a22 + b2

2) = a12a2

2 + a12b2

2 + a22b1

2 + b12b2

2.


Por propiedades en los reales tenemos que

2a1a2b1b2 ≤ a12b2

2 + a22b1

2,

es decir, tenemos que

(a1a2 + b1b2)2 ≤ (a1

2 + b12)(a2

2 + b22)

Ahora, de lo anterior y la ecuación (1.19) se sigue que

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

4. Para que 〈·, ·〉 sea un producto interno debe cumplir con la definición (10). Sea z,∈ C,debemos probar

a) que 〈z, z〉 ≥ 0. Así, por definición tenemos que

〈z, z〉 = z · z= |z|1

≥ 0.

b) que 〈z, z〉 = 0⇐⇒ z = 0.

1) Supongamos que z = 0. Se tiene que

〈z, z〉 = z · z= 0 · 0= 0,

2) Ahora, supongamos que z está expresado en su forma binomial como z =

a + ib y además 〈z, z〉 = 0. Se tiene que

〈z, z〉 = 0

z · z = 0

Re(z)2 + Im(z)2 = 0

a2 + b2 = 0,

De aquí noten que, puesto que a, b ∈ R tenemos que a2, b2 ≥ 0. Ahora, notenque

0 ≤ a2 ≤ a2 + b2 ≤ 0,

de lo cual tenemos que a2 = 0, por un razonamiento similar tenemos queb2 = 0 y de eso tenemos que

z = 0.

c) que para z1, z2 ∈ C, tenemos que 〈z1, z2〉 = 〈z1, z2〉.


Sean z1, z2 ∈ C, se tiene que

〈z1, z2〉 = z2 · z1

= z2 · z1

=< z1, z2 > .

d) por último, debemos probar que para todo α ∈ C y para todo z1, z2 ∈ C, entonces< αz1, z2 >= α < z1, z2 > .

Sean z1, z2 ∈ C y α ∈ C, tenemos que

< α · z1, z2 > = α · z1 · z2

= α · (z1 · z2)

= α < z1, z2 > .

OBSERVACIÓN. Notemos que el producto interno 〈·, ·〉 define sobre C una norma. Así, paratodo z ∈ C se define la norma de z como

‖z‖ = 〈z, z〉12

y la denotaremos por ‖z‖.La demostración se lo deja como ejercicio para el lector.

EJEMPLO 1.2. Mostrar que para todo z ∈ C se tiene que

Re(z) =z + z

2y Im(z) =

z− z

2i

Solución. Sea z = a + ib ∈ C. Nótese que su conjugado es z = a− ib. Así, se obtiene que

z + z

2=

a + ib + a− ib

2z− z

2i=

a + ib− a + ib

2i

=2a

2=

2ib

2i

= a = b

= Re(z) = Im(z)

EJEMPLO 1.3. Mostrar que para todo z ∈ C se tiene que

maxRe(z), Im(z) ≤ |z| ≤ |Re(z)|+ | Im(z)|.

Solución. Sea z = a + ib ∈ C. Por la definición (5) se tiene que

|z|2 = |Re(z)|2 + | Im(z)|2


≥ | Im(z)|2,

lo que implica queIm(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|,

e manera similar tenemos que

Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|.

De lo que cual tenemos quemaxRe(z), Im(z) ≤ |z|,

pues como verán tenemos que

Re(z) ≤ |z| y Im(z) ≤ |z|,

como la propiedad se cumple tanto para la parte real como para la imaginaria, entonces seseguirá cumpliendo para el mayor de los dos, es decir, para el máximo entre las dos.


(|Re(z)|+ | Im(z)|)2 = |Re(z)|2 + 2|Re(z)|| Im(z)|+ | Im(z)|2

≥ |Re(z)|2 + | Im(z)|2

≥ |z|2

≥ 0,

de esto se sigue que|z| ≤ |Re(z)|+ | Im(z)|.

Por todo lo anterior se tiene

maxRe(z), Im(z) ≤ |z| ≤ |Re(z)|+ | Im(z)|.

EJERCICIO 1.2. Pruebe las desigualdades siguientes:

1. Para todo z, w ∈ C

|z− w| ≥∣∣∣|z| − |w|

∣∣∣

2. Para todo z, w ∈ C tal que w 6= 0

|z + w| ≥ 12(|z|+ |w|)

∣∣∣

z

|z| +w

|w|∣∣∣.

1.4 Representación polar de un z ∈ C 19

Representación polar de un z ∈ C

El número z = x + iy con x, y ∈ R tiene su representación en el plano complejo como:

donde r el módulo de z.

r : radio.

θ : ángulo que forma el vector−→0z con el eje real.

Así, podemos ver quex = r cos θ y y = r sin θ.

En variable compleja definimos al conjunto arg(z), como el conjunto de todos los θ

posibles tales que θ es el ángulo que hace el vector−→0z con el eje real, es decir,

arg(z) = θ : θ es el ángulo que forma el vector−→0z con el eje real. (1.21)

DEFINICIÓN 1.11

Para evitar ambigüedad vamos a considerar que el argumento de z estará localizado enun intervalo de longitud 2π, y consideraremos el intervalo

θ ∈ ]− π, π ] .

Esto será lo mismo que decir, si θ es el ángulo que forma el vector−→0z con el eje real se

tiene que existe un α tal queθ ≡ α (mod 2π), (1.22)


este ángulo α será un elemento del intervalo ]− π, π ].

El argumento principal de z es el ángulo α que cumple con la ecuación (1.22) tal queα ∈ ]− π, π ] y se denotará como Arg(z).

DEFINICIÓN 1.12: Argumento principal

Con la definición anterior podemos redefinir al conjunto definido en la ecuación (1.21)como

arg(z) = θ ∈ R : θ = Arg(z) + 2kπ, k ∈ Z = Arg(z) + 2πk : k ∈ Z ⊆ R.

De la definición (12) podemos definir lo siguiente.

Para todo z = x + iy ∈ C con x, y ∈ R, se lo puede representar de la forma siguiente

z = r(cos θ + i sin θ),

donde r = |z| y θ ∈ arg(z).

DEFINICIÓN 1.13: Coordenadas polares de un número complejo

OBSERVACIÓN. Como Arg(z) es único su representación en forma polar es única. Por otrolado, si θ ∈ arg(z) su representación no es única, por ejemplo notemos que dos formas de re-presentar a i en coordenadas polares son i = 1 (cos(π) + i sin(π)) y i = 1 (cos(3π) + i sin(3π)).

Por facilidad usaremos la notación siguiente

z = |z|(cos θ + i sin θ)

= |z|(cis θ)

donde cis θ representa a la suma cos θ + i sin θ.

EJEMPLO 1.4. ¿Es verdad que para todo z1, z2 ∈ C se cumple que

arg(z1 · z2) = arg z1 + arg(z2)?

Solución. Sean z1, z2 ∈ C y sean θ1 ∈ arg(z1) y θ2 ∈ arg(z2). Se tiene que z1 = r1 cis θ1 yz2 = r2 cis θ2.

Tenemos por la definición (1.6) que

θ1 + θ2 ∈ arg(z1 · z2)

pues notemos que

z1 · z2 = (r1 cis θ1)(r2 cis θ2)

= r1r2(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 + i sin θ2)

= r1r2

(

(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1))

1.4 Representación polar de un z ∈ C 21

= r1r2

(

cis(θ1 + θ2))

Así,arg z1 + arg(z2) ⊆ arg(z1 · z2).

Por otro lado, supongamos que α ∈ arg(z1 · z2), debemos probar que α ≡ θ1 + θ2

(mod 2π).

De la suposición que α ∈ arg(z1 · z2), tenemos que existe k ∈ Z tal que α = θ1 + θ2 + 2πk,de esto obtenemos que

z1z2 = r cis(α)

= r1r2 cis(θ1 + θ2)

por la periodicidad de las funciones Seno y Coseno.

Ahora, por la definición en la ecuación (1.21) se tiene que para todo z ∈ C

arg(z) = θ ∈ R : z = r cis(θ),

con r = r1r2, además

cos(α) = cos(θ1 + θ2)

sin(α) = sin(θ1 + θ2).

Lo anterior implica queα ≡ θ1 + θ2 (mod 2π),

es decir,α ∈ arg(z1) + arg(z2).

Y todo lo anterior implica que

arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2).

EJEMPLO 1.5. ¿Es verdad que para todo z1, z2 ∈ C se cumple que

Arg(z1 · z2) = Arg(z1) + Arg(z2)?

Solución. Sean z1, z2 ∈ C. Del ejemplo anterior tenemos que

arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2),

pero notemos que por definición tenemos

arg(z1 · z2) = Arg(z1 · z2) + 2πk : k ∈ Z.


arg(z1) = Arg(z1) + 2πk : k ∈ Z

yarg(z2) = Arg(z2) + 2πk : k ∈ Z.

De esto, existe k0 ∈ Z tal que

Arg(z1 · z2) = Arg(z1) + Arg(z2) + 2πk0.

A esta expresión la podemos expresar de forma general como

Arg(z1 · z2) ≡ Arg(z|) + Arg(z2) (mod 2π).

PROPOSICIÓN 1.6 (Propiedades de multiplicación y división en coordenadas polares). 1.Para todo z1, z2 ∈ C, con z1 = r1 cis θ1, z2 = r2 cis θ2 ∈ C donde θ1 ∈ arg(z1) yθ2 ∈ arg(z2).

z1 · z2 = r1r2 cis(θ1 + θ2).

2. Para todo z1, z2 ∈ C, con z2 6= 0 y z1 = r1 cis θ1, z2 = r2 cis θ2 ∈ C donde θ1 ∈arg(z1) y θ2 ∈ arg(z2).

z1

z2=

r1

r2cis(θ1 − θ2).

Demostración. 1. Sean z1, z2 ∈ C expresados en su forma polar,

z1 · z2 = (r1 cis θ1)(r2 cis θ2)

= r1r2(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 + i sin θ2)

= r1r2

(

(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1))

= r1r2

(

cis(θ1 + θ2))

2. Sean z1, z2 ∈ C y z2 6= 0 expresados en su forma polar,

z1

z2=

r1 cis θ1

r2 cis θ2

=r1

r2(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 − i sin θ2)

=r1

r2

(

(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1))

=r1

r2cis(θ1 − θ2)

1.5 Potencia entera de un número complejo 23

EJERCICIO 1.3. 1. Para todo z ∈ C \ 0. Muestre que el argumento principal de z,se puede expresar de las siguiente maneras:

a)

Arg(z) =

arctan(

Im(z)

Re(z)

)

si Re(z) > 0,π

2si Re(z) = 0 y Im(z) > 0,

arctan(

Im(z)

Re(z)

)

+ π si Re(z) < 0 y Im(z) ≥ 0,

arctan(

Im(z)

Re(z)

)

− π si Re(z) < 0 y Im(z) < 0,

−π

2si Re(z) = 0 y Im(z) < 0.

b)

Arg(z) =

2 arctan(

Im(z)

Re(z) + |z|

)

si z ∈ R,

π si z ∈ R

2. Encuentre una ecuación que relacione los conjuntos arg(z), arg(z) y arg( 1z ). para

z ∈ C∗, para todo z ∈ C.

3. Calcular los conjuntos solución para que

2z− 1z− 2

a) tenga argumento principal π2

b) tenga argumento principal −π2 .

Potencia entera de un número complejo

Los resultados que se mostrarán en esta sección son de mucha importancia, pues conec-tan a los números complejos con las funciones trigonométricas reales.

Para todo n ∈ Z y para todo z ∈ C. Entonces se cumple que

zn = |z|n cis(nθ),

donde θ ∈ arg(z).

TEOREMA 1.7: Teorema de Moivre

OBSERVACIÓN. Este resultado se puede extender a los racionales y a su vez a los reales. Sudemostración queda de ejercicio para el lector.


Demostración. Vamos a usar inducción matemática. Para n = 1, tenemos que

z = |z| cis θ con θ ∈ arg(z),

esto es verdadero, pues es la expresión de un compleja en su forma polar.

Para n = 2, tenemos que

z2 = z · z= |z| cis θ · |z| cis θ

= |z|2(cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ)

= |z|2(

(cos2 θ− sin2 θ) + i(2 sin θ cos θ))

= |z|2(cos(2θ) + i sin(2θ))

= |z|2 cis(2θ).

Ahora, supongamos que se cumple para n = k, es decir, tenemos que

zk = |z|k cis(kθ).

Luego, debemos probar que se cumple para n = k + 1, así se tiene que

zk+1 = zk · z= |z|k cis(kθ) · |z| cis θ

= |z|k+1 cis(θ) cis(θ)

= |z|k+1(

(cos(kθ) + i sin(kθ))(cos(θ) + i sin(θ)))

= |z|k+1(

(cos(kθ) cos(θ)− sin(kθ) sin(θ)) + i(sin(kθ) cos(θ) + sin(θ) cos(kθ)))

= |z|k+1(

cos((k + 1)θ) + i sin((k + 1)θ))

= |z|k+1 cis(

(k + 1)θ)

Con lo cual queda demostrado para cualquier n ∈N.

Ahora, para n = −1, se tiene que

eiθ := cos θ + i sin θ = cis θ.

DEFINICIÓN 1.14: Fórmula de Euler

OBSERVACIÓN. Una propiedad interesante es que al teorema (1.7) le podemos añadir lafórmula de Euler y obtener que

(

eiθ)n

= einθ.


Una propiedad interesante que muestra la definición (14) es:

eiθ = cis θ

= cos(θ)− i sin θ

= cos(−θ) + i sin(−θ)

= e−iθ

=(

eiθ)−1

.

También tenemos una propiedad muy útil con la multiplicación

cis(θ) cis(λ) = cis(θ + λ).

Noten que tenemos lo siguiente

cis(θ) cis(λ) = (cos θ + i sin θ)(cos λ + i sin λ)

= (cos(θ) cos(λ)− sin(θ) sin(λ)) + i(sin(θ) cos(λ) + sin(λ) cos(θ))

= cos(θ + λ) + i sin(θ + λ)

= cis(θ + λ).

Si n ∈ Z∗, ¿existe algún w ∈ C tal que wn = z?

Para responder a esta pregunta tomamos como referencia la siguiente definición.

Para todo n ∈ Z∗ con n ≥ 2 y para todo z ∈ C. Definimos a la raíz n−ésima de z como

w = z1n .

DEFINICIÓN 1.15: Raíz n−ésima de z ∈ C

Sean z, w ∈ C tales que cumplen con la definición (15). Si los expresamos en su formapolar, tenemos que

w = |w| cis θ y z = |z| cis λ,

con θ ∈ arg(w) y λ) ∈ arg(z). Tenemos que

z = wn

= |w|n(cis(θ))n

= |w|n cis(nθ)

= |z| cis(λ)

De esto, podemos concluir dos cosas:

1. |w|n = |z| y

2. nθ ≡ λ (mod 2π).


Nótese que |z|, |w| ∈ R. Así, se tiene que

|w| = |z| 1n .

Ahora, lo segundo es equivalente a decir que existe un k0 ∈ Z∗ tal que

nθ = λ + 2πk0.

Como λ ∈ arg(z) implica que existe k1 ∈ Z tal que

λ = Arg(z) + 2k0π,

de lo que se siguenθ = Arg(z) + 2(k0 + k1)π

y

θ =Arg(z) + 2(k0 + k1)π

n.

Si tomemos a k ∈ Z tal que (k0 + k1) = k, se tiene que

θ =Arg(z) + 2kπ

n.

Así, tenemos que

w = |z|1n cis

(Arg(z) + 2πk

n

)

,

con k ∈ Z.

Sea

wk := |z|1n cis

(Arg(z) + 2πk

n

)

,

con k ∈ Z.

Notemos que w1, 22, . . . , wn−1 son distintos entre sí. A w1, 22, . . . , wn−1 los llamamos lasn raíces distintas de z. Así, sea m ∈ N y definamos a k = n + m. Tenemos lo siguiente

cis(

Arg z + 2πk

n

)

= exp

(

i

(Arg z + 2πk

n

))

= exp

(

i (Arg(z) + 2πn + 2πm)

n

)

= exp

(

i

(Arg(z) + 2πm

n+ 2π

))

= exp

(

i

(Arg z + 2πm

n

))

= cis(

Arg z + 2πm

n

)

.


Para todo z ∈ C y para todo n ∈ Z, existe w ∈ C tal que

w = zn.

Decimos la potencia n-ésima y la notamos como zn.

DEFINICIÓN 1.16: Potenciación de números complejos

En el siguiente folleto definiremos una potenciación más general.

Como podemos notar esta definición es similar a la definición (15), por tal motivo la ideaque tenemos es de que la unicidad no se cumple. Vamos a demostrar la unicidad de w.

Así, supongamos que existen w1 y w2 que cumplen con la definición (16),

w1 = |w1| exp (i Arg(w1)) = zn

w2 = |w2| exp (i Arg(w2)) = zn,

de esto tenemos que|w1| = |z| = |w2|

yArg(w1) = n Arg(z) = Arg(w2).

De esto tenemos que

exp (i Arg(w1)) = exp (i Arg(w2)) ,

y así tenemos quexw1 = w2.

LEMA 1.8. Todas las raíces n-ésimas tienen el mismo módulo |z|1n .

Demostración. Sean z ∈ C y n ∈ Z+ con n ≥ 2. Así, existen w1, w2, . . . , wn−1 ∈ C tales queson las n raíces distintas de z

1n , donde

wk = |z|1n exp

(

iArg(z) + 2kπ

n

)

,

para cualquier k ∈ 0, 1, . . . , n− 1.Ahora, para cualquier k ∈ 0, 1, . . . , n− 1, tenemos que

|wk| =∣∣∣∣|z|

1n exp

(

iArg(z) + 2kπ

n

)∣∣∣∣

=∣∣∣|z|

1n

∣∣∣ ·∣∣∣∣∣

exp(

iArg(z) + 2kπ

n

)∣∣∣∣∣


= |z|1n ·∣∣∣∣cos

(Arg(z) + 2kπ

n

)

+ i sin(

Arg(z) + 2kπ

n

)∣∣∣∣

= |z|1n ·√

cos2(

Arg(z) + 2kπ

n

)

+ sin2(

Arg(z) + 2kπ

n

)

= |z|1n .

Podemos concluir que las raíces n-ésimas tiene el mismo módulo

|z|1n .

OBSERVACIÓN. ¿Existe algún w ∈ C tal que wn = z?

La respuesta es afirmativa, Procedamos a demostrar este resultado.

Así, como a z y w se los puede expresar de la forma

w = |w|ei Arg(w)

z = |z|ei Arg(z),

así, tenemos que

w = |z| 1n eiArg(z) + 2kπ

n

con k ∈ Z. Y lo representaremos de la forma

w = z1n = n√

z.

OBSERVACIÓN. Si tratamos a 1 como un número real tenemos que para todo n ∈ N∗ secumple que

11n = 1.

Pero si lo tratamos como un número complejo, tenemos que

11n = exp

(

i

(Arg(1) + 2kπ

n

))

= exp

(

i

(2kπ

n

))

.

Es decir, el número complejo 1 tiene n raíces distintas.

Notemos que las raíces del complejo 1 forman un polígono de n lados iguales, es decir,un polígono regular. Para n = 5 tenemos el siguiente polígono:


Se deja como ejercicio para el lector la verificación de w0, . . . , w4 son las raíces quintas dela unidad.

Se dice que a, b ∈ Z∗ son coprimos si el máximo común divisor entre a y b es 1, esdecir, si

gcd(a, b) = 1.

DEFINICIÓN 1.17

PROPOSICIÓN 1.9. Para todo m, n ∈ N∗ tales que gcd(m, n) = 1 y para todo z ∈ C.Existe w ∈ C tal que

wmn = z.

Noten que, si m y n no son coprimos, entonces tienen al menos un factor en común. Así,supongamos que existen p, q, s ∈ Z tales que m = p · s y n = q · s, con esto se tiene que

m

n=

p · sq · s =

p

q,

con esto tenemos que

zmn = z

pq . (1.23)

En la proposición anterior utilizamos números coprimos por facilidad y evitar caer enredundancia, pues noten que en la ecuación (1.1) se redujo a operar una potencia con p y q

coprimos.

La demostración de esta proposición es muy sencilla pues, notemos que

(

w1n

)m


representa sacar las raíces n−ésimas de w y a estas elevarlas a la potencia m. De igual ma-nera, la expresión

(wm)1n

significa que debemos calcular las raíces n−ésimas del número wm.

EJEMPLO 1.6. Halle el conjunto de los z ∈ C que cumpla con la expresión

Re(

z2)

= |√

3− i|

y grafíquelo.

Solución. Supongamos que z = x + iy, donde x, y ∈ R son desconocidos. Ahora, tenemosque

Re(

(x + iy)2)

= Re(

x2 + 2ixy− y2)

= x2 − y2.

Por otro lado, calculando el módulo del número√

3− i, tenemos que

|√

3− i| = 2.

Con lo que obtenemos que el conjunto

S := z = x + iy : x2 − y2 = 2

es la solución a esta ecuación.

Y el gráfico del conjunto S es el siguiente:


EJERCICIO 1.4. 1. a) Verifique que para todo z ∈ C \ 1 se tiene que

1 + z2 + ·+ zn =1− zn+1

1− z.

b) Use lo del literal anterior para demostrar que

n

∑k=0

cos(kθ) =12+

sin(

(n + 12 )θ)

2 sin( θ2 )

, con 0 < θ < 2π

y

n

∑k=0

sin(kθ) =sin((n+1)θ

2

)

sin(

nθ2

)

sin( θ

2

) , con 0 < θ < 2π.

2. Muestre que la suma de las raíces n−ésimas de la unidad es cero, es decir,

n−1

∑k=0

exp

(

i

(2kπ

n

))

= 0.

3. Resolver la ecuaciónaz2 + bz + c = 0,

donde a, b, c ∈ C.

4. Resolver la ecuaciónz4 + (1 + i)z2 + 5i = 0.

5. Si z = 6ei π3 , calcular el valor de

|eiz|.

6. Sea z ∈ C ¿Bajo qué condiciones sobre z es posible encontrar un n ∈ Z∗ tal quezn ∈ R \ 0?

7. Bajos las condiciones del literal anterior, deduzca si existe n ∈ Z∗ tal que ( 12 −

i)n ∈ R \ 0. ¿Qué pasa con el caso (−1 + i)n = i?

8. ¿Es posible encontrar un n ∈ Z+ tal que(√

32 + i 1

2

)n= −1?

FUNCIONES COMPLEJAS, LÍMITES Y

CONTINUIDAD

De forma general, una función compleja es una función f : D ⊂ C → C, donde D esun dominio abierto.

DEFINICIÓN 2.1

Decimos que D es un dominio si D es abierto y conexo.

DEFINICIÓN 2.2: Dominio

A una función f : D ⊂ C → C, que para todo z ∈ D existe un w ∈ C tal que

f (z) = w

la llamamos univaluada o de simple evaluación.

DEFINICIÓN 2.3: Función simple

EJEMPLO 2.1. La funciónf : C −→ C

z 7−→ z2 + (3i)z.

es una función de simple evaluación, pues es la suma de funciones univaluadas.

(3i)z es una función univaluada, pues a cada z ∈ C le corresponde un w = (3i)z ∈ C,además la función z2 también es una función univaluada por la definición (2).

A una función f : D ⊂ C → C, tal que para todo z ∈ D existen w1, w2, . . . , wn ∈ C

siendo n ∈ N y n ≥ 2 cumple con lo siguiente

f (z) = w1 f (z) = w2 · f (z) = wn

la llamamos multivaluada n veces o simplemente n−valuada.

DEFINICIÓN 2.4: Función n−valuada

33

34 Funciones complejas, límites y continuidad


z 7−→ z1n

es multivaluada, pues notemos que z1n por la definición (15) tiene n valores diferentes.

Se dice que la función f : D ⊂ C → C es sw ∞ varaición o ∞−variación si para todoz ∈ D existen wnn∈N tal que

f (z) = wn, para n ∈ N.

DEFINICIÓN 2.5


z 7−→ arg(z)

por definición es de ∞−variación.

Cabe recalcar que el domino y la imagen de una función f : C → C la definimos de lamisma manera que una función real.

OBSERVACIÓN. 1. f multivaluada y f ∞−valuada no son funciones matemáticas. Sinembargo en análisis complejo se suele utilizar la denominación de función.

2. En el presente curso vamos a estudiar funciones univaluadas, pues si una función f

es n−valuada se la puede dividir en n funciones univaluadas.

Si consideramos a z en su forma binomial, es decir, z = x + iy podemos separar a unafunción f : C → C en

f (z) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y).

Sea f : C → C una función compleja, definimos la parte real de f como

Re( f ) = u(x, y)

y a su parte imaginaria comoIm( f ) = v(x, y).

DEFINICIÓN 2.6

Si z se encuentra expresada en su forma binomial, a la una función f compleja la pode-mos ver como un campo vectorial sobre R2, así

f : R2 −→ R2

(x, y) 7−→(

u(x, y), v(x, y))

.

35

OBSERVACIÓN. Si f es Fréchet-diferenciable, implica que f tiene todas sus derivadas direc-cionales. Además también implica que exista su matriz Jacobiana definida por

D f (x.y) =

∂u

∂x

∂u

∂y∂v

∂x

∂v

∂y

y lo anterior no representa la derivada de una función compleja.

Una función compleja realiza una extensión natural de una función real, es decir,

esto es gracias a que R ⊂ C, así a la función f la podemos extender a todo C.

Por otro lado, como a una función compleja la podemos ver como un campo vectorialtenemos que

la cual tiene ciertas propiedades del campo vectorial, aunque a la función copleja se la puedemanipular con mayor facilidad.

Básicamente una función compleja tiene mejores propiedades que una función real oque un campo vectorial.

OBSERVACIÓN. A esta función f se la puede ver como una función intermedia entre fun-ciones complejas y campos vectoriales.

EJEMPLO 2.4. Calcule los campos escalares de la función f (z) = z3, es decir, calcule lasfunciones u y v.

Expresemos a z en su forma binomial, así tenemos que

f (z) = z3

f (x, y) = (x + iy)3

= x3 + 3ix2y− 3xy2 − iy3

= (x3 − 3xy2)︸︷︷︸

=u(x,y)

+i (3x2y− y3)︸︷︷︸

=v(x,y)

.

Con lo cual podemos expresar a f como

f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y).


Funciones elementales complejas

Son las funciones que se pueden expresar como combinación lineal de potencias de z

tales que sus potencias sean enteros no negativos. Así

f (z) =n

∑j=0

ajzj,

donde aj ∈ C para cada j = 1, 2, · · · , n.

Notemos también que el dominio de estas funciones es todo los complejos,es decir,

dom( f ) = C.

DEFINICIÓN 2.7: Funciones polinomiales

EJEMPLO 2.5. Verifiquemos si f (z) = f (x, y) = (x2 + y2) + i(x2 − y2) es una función poli-nomial.

Utilizemos el cambio de variable

x =z + z

2

y =z− z

2i,

así, obtenemos que

f (z) = zz + i12

z2 +12

z2

Notemos por la definición (7) tenemos que esta función f no lo es, pues contiene comocombinación lineal las expresiones zz y z2.

Una función racional la definiremos como el cociente de dos funciones racionales, esdecir, sean p(z) y q(z) dos funciones polinomiales tales que

p(z)R =n

∑j=0

ajzj

yq(z) =m

∑j=0

bjzj.

La función

f (z) =p(z)

q(z)

es una función racional.

DEFINICIÓN 2.8: Funciones racionales

2.1 Funciones elementales complejas 37

Notemos que el dominio de una función racional es todos los complejos, menos los pun-to s en el qu su denominador sea cero, así

dom( f ) = C \ z| q(z) = 0.

Por extensión natural definimos a la función exponencial en los complejos como: paratodo z ∈ C expresado en su forma binomial

ez = ex(cos y + i sin y).

DEFINICIÓN 2.9: Funciones exponenciales

Notemos que el dominio de la función exponencial es todos los complejos.

PROPOSICIÓN 2.1. Sean z, z1, z2 ∈ C expresados en su forma binomial. Para la funciónexponencial tenemos las siguientes propiedades:

1. ez1+z2 = ez1 · ez2 .

2. |ez| =∣∣∣eRe(z)

∣∣∣ = |ex| .

3. arg(ez) = ı(z).

4. ez = 1⇐⇒ z = 2πki, k ∈ Z.

5. e−z = (ez)−1 = 1ez .

6. e es periódico, con periodicidad 2πi.

7. Sea n ∈ Z,entonces tenemos que (ez)n = enz.

Demostración. Sean z, z1, z2 ∈ C expresados en su forma binomial. Así, tenemos que

1. Por la la definición (9) tenemos que

ez1 · ez2 = ex1 · ex2 (cos y1 + i sin y1) (cos y2 + i sin y2)

= ex1+x2(

(cos y1 cos y2 − sin y1 sin y2) + i(sin y1 cos y2 + sin y2 cos y1))

= ex1+x2(cis(y1 + y2))

= ez1+z2 .

2. Al igual que los demás items, por la definición (9) tenemos que

|ez| = |ex(cos y + i sin y)|= |ex| |(cos y + i sin y)|

=∣∣∣eRe(z)

∣∣∣


= |ex| .

3. Notemos que para todo a ∈ R tenemos que

arg(a · z) = arg(z).

Ahora,

arg(

ex(cos y + i sin y))

= arg(cos y + i sin y)

= arg(z).

4. Supongamos que ez = 1, tenemos que

ez = 1⇐⇒ ex(cos y + i sin y) = 1

⇐⇒ sin y = 0 y ex cos y = 1

⇐⇒ y = 2kπ, con k ∈ Z y ex = 1.

5.

(ez)−1 =(

ex(cis y))−1

= e−x(

cis(−y))

= e−z.

6. Sea τ ∈ C, tal queez+τ = ez.

Así, tenemos por la definición (9) que

ez+τ = ex+Re(τ)(

cis(y + Im(τ)))

Si esto igualamos a ez obtenemos que

ex(cis y) = ex+Re(τ)(

cis(y + Im(τ)))

,

de lo que podemos concluir que

ex = ex+Re(τ),

es decir, τ es un imaginario puro. Y

cis(y + Im(τ)) = cis y,

es decir, Im(τ) = 2π o lo que es lo mismo

τ = 2iπ.


7. Esta demostración es similar a la del teorema (1.7).

Como una función compleja es la extensión natural de una real ¿esta tiene las mismaspropiedades?

Para responder a esta pregunta tomemos en cuenta a la función Exponencial. Como bienlo sabemos en los reales esta función es inyectiva, mientras que en los complejos no, pueses una función con periodicidad τ = 2iπ. Por otro lado, mientras que en los reales se tieneque para cualquier x ex

> 0, en su extensión natural a los complejos no necesariamente secumple pues existe al menos un z en los complejos tale que ez

< 0.1

Una función trigonométrica compleja es una extensión natural de una función trigono-métrica real.

Por la fórmula de Euler sabemos que

eix = cos x + i sin x, (2.1)

ademáse−iz = cos(−z) + i sin(−z)

= cos z− i sin z.(2.2)

Sumando las ecuaciones (2.1) y (2.2) obtenemos

cos x =eix + e−ix

2

para todo x en los reales. Mientras que si restamos la ecuación (2.1) de la ecuación (2.2)obtenemos

sin x =eix − e−ix

2i

para todo x en loslso reales.

Con lo anterior podemos definir a las funciones Seno y Coseno en los complejos.

De acuerdo a lo anterior definimos para todo z en los complejos

cos z =eiz + e−iz

2

y

sin z =eiz − e−iz

2i.

DEFINICIÓN 2.10: Funciones trigonométricas

Como sabemos las funciones Seno y Coseno en los reales están acotadas, pero en loscomplejos esto no sucede así y es sencillo verlo pues por definición en los reales la función

1Siempre y cuando ez sea un real.


Exponencial no se encuentra acotada.

PROPOSICIÓN 2.2. Sean z, z1, z2 ∈ C:

1. La función Coseno es par, mientras que la función Seno es impar.

2. cos2 z + sin2 z = 1.

3. sin(z1 ± z2) = sin(z1) cos(z2)± sin(z2) cos(z1).

4. cos(z1 ± z2) = cos(z1) cos(z2)∓ sin(z1) sin(z2).

Demostración.

OBSERVACIÓN. El resto de funciones trigonométricas se definen de igual manera que enlos reales. Por ejemplo

tan z =sin z

cos z.

EJEMPLO 2.6. Encuentre el dominio de la función Tangente en los complejo.

Es sencillo ver quedom(tan z) = C \ z ∈ C| cos z = 0,

así tenemos la siguiente cadena de equivalencias

cos z = 0⇐⇒ eiz + e−iz = 0

⇐⇒ e−y(

cos x + i sin x)

+ ey(

cos x− i sin x)

⇐⇒ (e−y + ey) cos x = 0 ∧ (e−y − ey) sin x = 0

⇐⇒ x =π

2(2k + 1), k ∈ Z ∧ y = 0.

De lo cual podemos concluir que

dom(tan z) = C \

z ∈ C| z =π

2k, k ∈ Z

.

En las funciones conocemos que para cualquier x ∈ R

cosh x =ex + e−x

2

y

sinh x =ex − e−x

2.


Para z ∈ C definimos al Coseno Hiperbólico como

cosh z =ez + e−z

2

DEFINICIÓN 2.11: Funciones trigonométricas hiperbólicas


y al Seno Hiperbólico como

sinh z =ez − e−z

2.

PROPOSICIÓN 2.3. Para z, z1, z2 ∈ C tenemos las siguientes propiedades:

1. Coseno Hiperbólico es una función par y Seno Hiperbólico es una función impar.

2. cosh2 z− sinh2 z = 1.

3. sinh(z1 ± z2) = sinh(z1) cosh(z2)± sinh(z2) cosh(z1).

4. cosh(z1 ± z2) = cosh(z1) cosh(z2)± sinh(z1) sinh(z2).

Demostración.

Podemos relacionar a las funciones trigonométricas con las hiperbólicas de la siguientemanera:

cos(iz) = cosh z

sin(iz) = i sinh(z).

OBSERVACIÓN. Al igual que en los reales, el resto de funciones hiperbólicas se definen deigual manera.

Sabemos que en los reales la función Logaritmo natural es la función inversa a la Expo-nencial, es decir, para cualquier x ∈ R existe y ∈ R tal que

ey = x,

dondey = ln x.

En el caso complejo la función Logaritmo Natural será la “función multivaluada inversa”de la función Exponencial ew = z.

Supongamos que existe w ∈ C expresado en su forma binomial como w = u + iv tal que

ew = z.

De lo anterior podemos ver claramente que

|z| = |ew| = eu.

como pueden observar esta exponencial es una función real, así

u = ln |z|.


Por otro lado tenemos que

arg(z) = arg (ew) = Im(w) = v,

es decir,arg(z) = v.

De lo cuál podemos ver que

w = u + iv = ln(|z|) + i arg(z),

si tomamos a lo anterior como

ln z = ln(|z|) + i arg(z)

hemos obtenidos la definición de la función Logaritmo en los complejos.

Definamos al Logaritmo Principal como

Ln z = ln(|z|) + i Arg(z).

DEFINICIÓN 2.12: Logaritmo Principal

PROPOSICIÓN 2.4. Sean z, z1, z2 ∈ C tenemos las siguientes propiedades:

1. ln(z1 · z2) = ln(z1) + ln(z2).

2. ln( z1z2) = ln(z1)− ln(z2).

3. n ln(z) ( ln (zn) .

Demostración. Sean z, z1, z2 ∈ C∗ y n ∈ N con n ≥ 2.

1.

2.

3. Sea w ∈ n ln(z), lo que implica que a w lo podemos escribir como

w = n (ln |z|+ i Arg z + i2k0π)

para algún k0 ∈ Z.

Notemos que

w = ln (|zn|) + i

n Arg(z) + 2 nk0

︸︷︷︸

k1

π

,

donde k1 ∈ Z, de lo cuál se sigue que

w = ln (|zn|) .


Por otro lado notemos que un elemento y de ln (zn) se escribe de la forma

y = ln (|zn|) + i (Arg (zn) + 2kπ) ,

con k ∈ Z.

Recordemos que para n ∈ Z con n ≥ 2 se cumple que

n arg(z) ( arg (zn) ,

y se cumple queArg (zn) ≡ n Arg(z) (mod 2π). (2.3)

Con esta última relación tenemos que

y = ln (|zn|) + i (Arg(z) + 2kπ) .

Ahora, nósete que w tiene esta forma por lo cuál

w ∈ ln (zn) .

Sabemos que

n ln(z) = n ln |z|+ in arg(z)

⊆ ln |zn|+ i arg (zn)

= ln (zn) .

Sean z ∈ C∗ y w ∈ C una potencia complpeja se define como

zw = ew ln(z).

DEFINICIÓN 2.13: Potencias Complejas

Nótese que esta definición también cumple para cualquier w ∈ R.

OBSERVACIÓN. 1. Es cierto que eLn(z) = z. Esto es gracias a que la función Logaritmoprincipal es univoca.

eLn(z) = eln|z|+i arg(z)

= eln|z|ei arg(z)

= |z| cis(

arg(z))

.

2. Mientras que Ln (ez) = z. Para probarlo daremos un contra ejemplo.

Así, sea z ∈ C expresado en su forma binomial tal que y > π. Cn esto fijémonos que

2.2 Límites 45

tenemos la siguiente cadena de igualdades:

Ln(z) = ln |ez|+ i Arg (ez)

= ln (ex) + i (y + 2πk) con k ∈ Z

= x + i (y + 2πk) con k ∈ Z

= z + i2πk con k ∈ Z.

De lo anterior es fácil ver queLn (ez) 6= z.

3. ¿Es cierto que Ln (zw) = w Ln (z)? Antes de comenzar a probar si es cierto introdu-ciremos el concepto de Potencia Principal de un número complejo2. Es fácil darnoscuenta a partir de la definición (13), que la potencia compleja es ∞ valuada, por endedebe existir la Potencia Principal, y a esta la definimos como

Zw = ew Ln z.

Para comenzar utilizaremos el valor principal de la función Potencia compleja. Así,por definiciones tenemos la siguiente cadena de igualdades:

Ln (Zw) = Ln(

ew Ln z)

= ln(

eRe(w Ln z))

+ i(

Arg(

ew Ln z) )

con k0 ∈ Z tal que Arg(ew Ln z

)= Im (w Ln z) + 2πk0. Ssí, tenemos que

= Re (w Ln z) + i(

Im (w Ln z) + 2πk0

)

= w Ln z + 2iπk0.

Como puedes ver solo tendríamos la igualdad cuando k0 = 0.

Límites

Como bien sabemos una función compleja se encuentra en la mitad de la transiciónde una función real a un campo vectorial, pero como bien lo notamos esta tiene mejorespropiedades.

Más adelante vamos a notar que calcular un límite complejo es casi igual a calcular unlímite en un campo vectorial.

2Valor pincipal de la potencia compleja.


Sea f : U ⊆ C → C una función, donde U es un abierto. Definimos al limite como

(∀ε > 0)(∃δε > 0)(0 < |z− z0| < δε ⇒ | f (z)− L| < ε)

o equivalentementelım

z→z0f (z) = L.

DEFINICIÓN 2.14: Límite

Como pueden observar la definición de límite casi no ha cambiado nada de la que cono-cemos en las reales, salvo que aquí utilizamos el módulo en lugar del valor absoluto. En elcurso de Análisis Matemático I verán que esta definición se puede generalizar.

PROPOSICIÓN 2.5. Sean f : C → C una función y z0 ∈ C expresado en su forma bino-mial por z0 = x0 + iy0. Si existe el límite

lımz→z0

f (z) = L,

entonces es equivalente a los límites en los campos escalares definidos por

lım(x,y)→(x0,y0)

Re ( f (z)) = Re(L)

ylım

(x,y)→(x0,y0)Im ( f (z)) = Im(L)

Demostración. Supongamos que existe el límite

lımz→z0

f (z) = L.

Así, sea ε > 0, existe δε > 0 tal que

0 < |z− z0| < δε ⇒ | f (z)− L| < ε.

Notemos que

0 < |z− z0| =√

(x− x0)2 + (y− y0)2

= ‖(x, y)T − (x0, y0)T‖

< δε,

es decir,0 < ‖(x, y)T − (x0, y0)

T‖ < δε. (2.4)

2.2 Límites 47

De manera similar tenemos que

| f (z)− L| =∣∣∣∣∣

Re(

f (z))

+ i Im(

f (z))

− Re(L)− i Im(L)

∣∣∣∣∣

=

√√√√

(

Re(

f (z))

− Re(L)

)

+

(

Im(

f (z))

− Im(L)

)2

=

∥∥∥∥∥∥

(

Re(

f (z))

, Im(

f (z)))T

−(

Re(

L)

, Im(

L))T∥∥∥∥∥∥

,

de donde podemos ver que∣∣∣Re

(

f (z))

− Re(L)∣∣∣ < ε (2.5)

y∣∣∣ Im

(

f (z))

− Im(L)∣∣∣ < ε. (2.6)

Notemos que de las desigualdades (2.4) y (2.5) tenemos que

lım(x,y)→(x0,y0)

Re ( f (z)) = Re(L).

Y de las desigualdades (2.4) y (2.6) tenemos que

lım(x,y)→(x0,y0)

Im ( f (z)) = Im(L).

OBSERVACIÓN. El limite de una función compleja se puede estudiar como el límite de uncampo vectorial, por esto es que toda la teoría que hemos visto en el curso de AnálisisVectorial sirve para la presente sección.

Los límites complejos tienen el mismo comportamiento, las mismas propiedades y lasmismas dificultados que los límites en campos vectoriales.

OBSERVACIÓN. Si una función compleja f se encuentra definida sobre una vecindad Vz0 dez0, entonces si z ∈ Vz0 tenemos que

lımz→z0

f (z) = f (z0).

EJEMPLO 2.7. Halla el límite (si existe) de

lımz→0

|z|z

.

Es fácil ver que la expresión anterior es equivalente a

lımz→0

z

|z| .


Ahora, si expresamos a z en su forma binomial obtendremos que

lım(x,y)→(0,0)

x− iy√

x2 + y2= lım

(x,y)→(0,0)

x√

x2 + y2− i lım

(x,y)→(0,0)

y√

x2 + y2.

Tomemos en cuenta la direccióny = x.

Ahora, notemos que

lımx→0+

x√

x2 + y2= lım

x→0+

x√2x2

= lımx→0+

x√2 |x|

=1√2

.,

mientras que

lımx→0−

x√

x2 + y2= − 1√

2.

Por ende este límite no existe.

Límites infinitos y al infinito

La noción de un límite infinito es que mientras más se acerca por medio de la pre-imagena un cierto número z0, la imagen en módulo se hará cada vez más grande.

Sean f : C → C una función y z0 ∈ C. Definimos un límite infinito como

(∀M > 0)(∃δM > 0)(0 < |z− z0| < δM ⇒ | f (z)| > M)

o de manera equivalentelım

z→z0f (z) = ∞.

DEFINICIÓN 2.15: Límite infinito

La noción de un límite al infinito es que mientras |z| crezca lo suficiente (tienda al infini-to) su imagen se irá aproximando a un cierto valor.

Sea f : C → C una función. Definimos un límite al infinito como

(∀ε > 0)(∃Mε > 0)(|z| > M⇒ | f (z)− L| < ε)

o de manera equivalentelımz→∞

f (z) = L.

DEFINICIÓN 2.16: Límite al infinito

2.2 Límites 49

EJEMPLO 2.8. Demuestra que se cumplen los siguientes límites

1.lımz→∞

1z2 = 0.

Por la definición (16) tenemos que

(∀ε > 0)(∃Mε > 0)(|z| > M⇒ | f (z)− L| < ε)

Sea ε > 0, debemos probar la existencia de un M > 0 tal que se cumpla la definiciónanterior.

Así, supongamos que se cumple∣∣∣∣

1z2 − 0

∣∣∣∣< ε,

si invertimos esta desigualdad tenemos que

|z2| > 1ε

,

ahora, puesto que la función Raíz Cuadrada es creciente tenemos que

|z| > 1√ε

.

TomandoM =

1√ε

se cumple el límite.

2.lımz→0

1z2 = ∞.

Por la definición (15) tenemos que, para M > 0 debemos probar que existe δ > 0 talque cumple con la definición.

Así, sea M > 0. Supongamos que se cumple que∣∣∣∣

1z2

∣∣∣∣> M,

es fácil ver que esto es equivalente a

|z| < 1√M

.

Ahora, si tomamos a

δ =1√M

se cumple el límite.


Continuidad

Se dice que una función f es continua en z0 ∈ C si

(∀ε > 0)(∃δε > 0)(|z− z0| < δε ⇒ | f (z)− f (z0)| < ε)

o equivalente mente, si cumple las tres propiedades siguientes

1. si f está definida en z0,

2. si existe el límitelım

z→z0f (z),

3. y silım

z→z0f (z) = f (z0).

DEFINICIÓN 2.17: Continuidad

Estudiar la continuidad de funciones en C es lo mismo que estudiar la continuidad decampos vectoriales.

PROPOSICIÓN 2.6. Una función f es continua en z0 si y sólo si Re( f ) e Im(z) son con-tinuas en z0.

La demostración de esta proporción es similar a la de la proposición (2.5).

Ejercicios

EJERCICIO 2.1. 1. Sea α ∈ C tal que α3 = −1 y α 6= −1. Calcular el valor de(

α2(α−

1)2)−1

.

Halle dicho valor sin calcular los valores posibles que puede tener α.

Solución. Se tiene que α3 + 1 = 0, por lo tanto

(α + 1)(α2− α + 1) = 0,

como α 6= −1, tenemos queα2 − α + 1 = 0.

Ahora, calculando, tenemos que

(

α2(α− 1)2)−1

= (α4 − 2α3 + α2)−1

2.4 Ejercicios 51

= (−α + 2 + α2)−1

= (1)−1

= 1

2. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) sinh z = 0

b) ez = −2

Solución. a) Sea z ∈ C expresado en su forma binomial. Tenemos que

sinh z = 0⇐⇒ ez − e−z

2= 0

⇐⇒ ez = e−z

⇐⇒ e2z = 1

⇐⇒ e2 cis(2y) = 1

⇐⇒ e2x cos(2y) = 1 y e2x sin(2y) = 0.

Por ende, si z = x + iy es solución de la ecuación, tenemos que

e2x cos(2y) = 1 y e2x sin(2y) = 0.

Como x ∈ R, sabemos que e2x> 0, por lo tanto

cos(2y) > 0 y e2x sin(2y) = 0,

de donde obtenemos que 2y = 2πk, para algún k ∈ Z, es decir, y = πk, paraalgún k ∈ Z. Así, tenemos que

e2x = e2x cos(2πk) = e2x cos(2y) = 1,

por lo tanto x = 0.

Por ende, todas las soluciones de la ecuación son los números complejos dela forma z = iπk, con k ∈ Z.

b) Sea z ∈ C expresado en su forma binomial. Tenemos que

ez = −2⇐⇒ ex = −2

⇐⇒ ex cos y = −2 y ex sin y = 0


como ex> 0 para cualquier x ∈ R, tenemos que

⇐⇒ ex = 2, cos y = −1 y sin y = 0

Así, tenemos que x = ln 2 y además sabemos que para que

cos y = −1,

tenemos que y = (2k + 1)π para algún k ∈ Z, pero para este mismo y

obtenemos quesin y = 0.

Así, tenemos las soluciones de la ecuación son de la forma z = ln 2 + i(2k +

1)π con k ∈ Z.

3. Muestre que:

a) sin(2z) = 2 sin(z) cos(z)

b) cos4 z + sin2 z = 1− 12

sin2(2z)

Solución. a) Tomemos z ∈, ahora por definición sabemos que

sin(2z) =e2zi − e−2zi

2i,

pero esto lo podemos expresar como

(ezi − e−iz

) (eiz + e−iz

)

2i,

y de esto tenemos que

sin(2z) = 2 sin(z) cos(z).

b) Tomemos a z ∈ C, sabemos que

sin2 z + cos2 z = 1,

entonces tenemos que

sin4 z + 2 sin2 z cos2 z + cos4 z = 1.

Notemos quesin2 z cos2 = (sin z cos z)2 = sin2(2z),

2.4 Ejercicios 53

por lo cuál obtenemos

cos4 z + sin4 z = 1− 12

sin2(2z).

4. Muestre que

a) za+b ( za · zb, para a, b ∈ C.

b) (z1z2)a = z1

a · z2a, para z ∈ C.

Solución. a) Sean z, a, b ∈ C. Tomemos w ∈ za+b, tenemos que existe k ∈ Z talque

w = e(a+b)(Ln(z)+2iπk) = ea(Ln(z)+2iπk)eb(Ln(z)+2iπk).

Ahora, dado que ea(Ln(z)+2iπk) ∈ za y eb(Ln(z)+2iπk) ∈ zb concluimos quew ∈ za · zb.

Por otro lado, notemos que para z = e, a = i y b = −i, tenemos que

za+b = e0 = 1.

Pero,za = ei−kπ com κ ∈ Z

yzb = e−i2kπ con κ ∈ Z.

De esto podemos ver queza · zb = e2kπ,

es decir, encontramos un ejemplo en el cuál se puede mostrar la contenenciaestricta. Así, concluimos que

za+b ( za · zb.

b) Sean z1, z2, a ∈ C. Tomemos w ∈ (z1 · z2)a, tenemos que existe k ∈ Z tal que

w = (z1 · z2)a = ea(ln |z1·z2|+i arg(z1z2)).

Ahora, pro propiedades del Logaritmo natural real, por propiedades delArgumento, tenemos que existe k0 ∈ Z tal que

w = ea(ln |z1|+ln |z2|+i Arg(z1)+i Arg(z2)+2iπ(k+k0)),

que es lo mismo que

w = ea(ln |z1|+i Arg(z1)+2iπk)ea(ln |z2|+i Arg(z2)+2iπk0).


Como podemos observar, ea(ln |z1|+i Arg(z1)+2iπk) ∈ z1a y ea(ln |z2|+i Arg(z2)+2iπk0) ∈

z2a, por ende tenemos que

(z1 · z2)a ⊆ z1

a · z2a.

Por otro lado, tomemos w ∈ z1a · z2

a. Así, tenemos que existen k1, k2 ∈ Z

tales que

w = z1a · z2

a = ea(ln |z1|+i Arg(z1)+2iπk1)ea(ln |z2|+i Arg(z2)+2iπk2),

que es lo mismos que

w = ea(ln |z1|+i Arg(z1)+2iπk1)+a(ln |z2|+i Arg(z2)+2iπk2)

y por propiedades de la función Logaritmo y argumento tenemos que existek0 ∈ Z tal que

w = ea(ln |z1·z2|+i Arg(z1·z2)+i2π(k0+k1+k2)),

como k0 + k1 + k2 ∈ Z tenemos que

w = ea(ln(z1·2)),

es decir, se cumple quez1

a · z2a ⊆ (z1 · z2)

a,

que con lo demostrado anteriormente tenemos que

z1a · z2

a = (z1 · z2)a.

5. Encuentre una relación entre los conjuntos ln (zw) y w ln(z).

Solución. Sean z, w ∈ C con z = x+ iy expresado en su forma binomial. Tomemosa u ∈ ln (zw), entonces existe k ∈ Z tal que por definición tenemos lo siguiente

u = ln∣∣∣ew ln(z)

∣∣∣+ i Arg

(

ew ln(z))

+ i2πk,

ahora, puesto que existe k0 ∈ Z tal que

Arg(ew ln(z)) = Im (w ln(z)) + i2πk0

y además por las definiciones (12) y (13) existe k1 ∈ Z tales que

u = w Ln(z) + i2(k + k0 + k1)π, (2.7)

2.4 Ejercicios 55

por lo cuál hemos demostrado que u ∈ w ln(z), pues k + k0 + ki ∈ Z.

Ahora, tomemos v ∈ w ln(z), entonces existe l ∈ Z tal que

v = w(ln |z|+ i Arg(z) + i2lπ),

de donde es sencillo ver que

u = w Ln(z) + w2ilπ. (2.8)

Es claro ver las ecuaciones (2.7) y (2.8) solo serán iguales si w ∈ Z. Así, tenemosque

ln (zw) ( w ln(z).

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

DIFERENCIACIÓN COMPLEJA

Como vimos en la sección anterior, si a una función compleja la vemos como un campovectorial las propiedades de límites y continuidad son equivalentes. Ahora, la pregunta es¿Se cumplirá también para la diferenciación?

Para responder a esta pregunta introduciremos la siguiente definición.

Para toda función compleja f : U ⊂ C → C, con U un abierto y z0 ∈ U un punto fijo.Decimos que la función f es diferenciable en z0 si

lımz→z0

f (z)− f (z0)

z− z0,

o equivalentemente

lımh→0

f (z0 + h)− f (z0)

h.

Si el límite existe, la derivada de f en el punto z0 la denotaremos como f ′(z0).

DEFINICIÓN 3.1: Diferenciabilidad en C

Puesto que definimos a la diferenciación como un límite dirán que si lo podemos expre-sar como un campo vectorial, pero esto no es posible, ya que si al límite de la definiciónanterior lo expresamos como un campo vectorial obtendríamos

lım(x,y)→(x0,y0)

f (x, y)− f (x0, y0)

(x, y)− (x0, y0),

pero esto no está bien definido ya que en R2 la operación de multiplicación no se encuentradefinida.

OBSERVACIÓN. Se dice que f es diferenciable en U ⊂ C si f es diferenciable en cualquierz ∈ U.

EJEMPLO 3.1.

1. f (z) = z0, con z0 ∈ C fijo.

f es diferenciable en C y además f ′(z) = 0.

2. f (z) = z. Es diferenciable en todo C y además f ′(z) = 1.

3. f (z) = zn, con n ∈ N∗.

57

58 Diferenciación compleja

Es diferenciable en todo C.

Notemos lo siguiente

f ′(z) = lımh→0

f (z + h)− f (z)

h

= lımh→0

(z + h)n − zh

h

= lımh→0

∑ni=0 (

nk)z

khn−k − zn

h

= lımh→0

(n−1

∑i=0

(n

k

)

zkhn−k−1

)

= lımh→0

(

nzn−1 +n−2

∑i=0

(n

k

)

zkhn−k−1

)

= nzn−1.

4. f (z) = z no es diferenciable en ningún punto de C.

Sea z0 ∈ C, así


z0 + h− z0

h

= lımh→0

h

h

el cuál no existe, por ende la derivada no existe.

5. f (z) = |z| no es diferenciable en ningún punto de C.


|z0 + h| − |z0|h

= lımh→0

|z0 + h|2 − |z0|2h(|z0 + h|+ |z0|)

= lımh→0

hz0 + hz0 + hh

h(|z0 + h|+ |z0|)

= lımh→0

(

hz0

h(|z0 + h|+ |z0|)+

hz0 + hh

h(|z0 + h|+ |z0|)+

hh

h(|z0 + h|+ |z0|)

)


6. f (z) = |z|2 no es diferenciable en ningún punto de C∗, excepto en z = 0.

lımz→0

|z|2 − |0|z− 0

= lımz→0

|z|2z

= lımz→0

z

59

el cuál no existe. Ahora, sea z0 ∈ C \ 0

lımh→0

|z0 + h|2 − |z0|2h

= lımh→0

d

h

= lımh→0

(z0 + h)(z0 + h)− z0z0

h

= lımh→0

z0h + hz0 + hh

h

= lımh→0

(

z0h

h+ z0 + h

)


OBSERVACIÓN. Notemos que el campo vectorial de f (z) = |z|2 es

f (x, y) = (x2 + y2, 0)

que es diferenciable.y está dado por

D f (x, y) =

(

2x 2y

0 0

)

para cualquier (x, y) ∈ R2.

Como podemos observar la función f compleja no es diferenciable, pero su campo vec-torial si lo es. Es decir, si el campo vectorial de una función compleja es diferenciable estono implica que la función compleja lo sea.

PROPOSICIÓN 3.1. Sean f y g dos funciones complejas.

1. Si f es diferenciable en z0, entonces f es continua en z0.

2. Si f y g son diferenciables en z0, entonces f + g, f − g y f · g son diferenciables.

3. Si f y g son diferenciables en z0, además g(z0) 6= 0. Entonces f /g es diferenciableen z0.

4. Regla de la cadena. Supongamos que f : U ⊂ C → C y g : B ⊂ C → C donde U

y B son abiertos tales quef (U) ⊂ B

y además si f es diferenciable en z0 ∈ U y g es diferenciable en f (z0) ∈ B.Entonces g f es diferenciable en zo ∈ B y

(g f )′(z) = g′(

f (z0))

g′(z0).

Demostración.


1. Sea f una función diferenciable en z0. Así, notemos que

lımh→0

f (z + h)− f (z0) = lımh→0

f (z + h)− f (z0)

h· (h)

= f ′(z0) · 0.

Con esto obtenemos que

lımh→0

f (z0 + h) = lımhto0

(

f (z0 + h)− f (z0))

− f (z0)

= 0 + f (z0)

= f (z0)

Ahora, si tomamos z = z0 + h, lo anterior lo podemos expresar como

lımz−z0→0

f (z) = f (z0).

Es decir, f es continua en z = z0.

2. Sean f y g dos funciones diferenciables en z0, es decir,

lımz→z0

f (z)− f (z0)

z− z0

y

lımz→z0

g(z)− g(z0)

z− z0.

Ahora,

lımz→z0

f (z)− f (z0)

z− z0+ lım

z→z0

g(z)− g(z0)

z− z0= lım

z→z0

f (z)− f (z0) + g(z)− g(z0)

z− z0

= lımz→z0

( f + g)(z)− ( f + g)(z0)

z− z0

Por ende f + g es diferenciable en z0, para la resta es de manera similar. Ahora, parala multiplicación.

Sea ε > 0. Para el producto consideremos lo siguiente

|( f · g)(z)− ( f · g)(z0)| = | f (z)(

g(z)− g(z0))

+ g(z0)(

f (z)− f (z0))

|

≤ | f (z)||g(z)− g(z0)|+ |g(z0)|| f (z)− f (z0)|(3.1)

La cantidad |g(z0)|| f (z)− f (z0)| puede controlarse fácilmente. Dado ε > 0, así tome-mos ε1 = ε

2(|g(z0)|+1) , y sea δ1. Tenemos que

|z− z0| < δ1 ⇒ |g(z0)|| f (z)− f (z0)| < |g(z0)|ε

2(|g(z0)|+ 1)<

ε

2

|z− z0| < δ1 ⇒ | f (z)| = | f (z)− f (z0) + f (z0)| = | f (z0)|+ ε1.(3.2)

3.1 Ecuaciones de Cauchy-Riemman 61

Ahora, definamos a M = | f (z0)|+ ε1, y tomemos a ε2 = ε2M y sea δ2 = δ2(

ε2M ). Luego,

definamos δ = δ1, δ2. Teniendo en cuenta las desigualdades (3.1) y (3.2), podemosllegar a que

|z− z0| < δ⇒

| f (z)||g(z)− g(z0)| <ε

2|g(z0)|| f (z)− f (z0)| <

ε

2

⇒ |( f · g)(z)− ( f · g)(z0)| < ε.

3.

4.

Ecuaciones de Cauchy-Riemman

OBSERVACIÓN. La idea es buscar una relación entre la diferenciación compleja con la dife-renciación en campos vectoriales.

Así, supongamos que f : U ⊂ C → C una función compleja y además que sea dife-renciable en z0 = x0 + iy0 ∈ U. Podemos expresar a la función f en su forma binomial,así

f (z) = u(x, y) + iv(x, y).

Ahora, como supusimos que f es diferenciable en z0 por definición tenemos que

f ′(z0) = lımh→0

f (z0 + h)− f (z0)

h

= lımh→0

(

v(x0 + h1, y0 + h2) + iv(x0 + h1, y0 + h2))

−(

u(x0, y0) + iv(x0, y0))

h1 + ih2

con h = h1 + ih2

= lımh→0

[u(x0 + h1, y0 + h2)− u(x0, y0)

h1 + ih2+ i

v(x0 + h1, y0 + h2)− v(x0, y0)

h1 + ih2

]

Si tomamos en cuenta que para h2 = 0 implica que h1 → 0 tenemos lo siguiente

=∂u

∂x(x0, y0) + i

∂v

∂y(x0, y0) (3.3)

Ahora, si tomamos en cambio viceversa obtenemos lo siguiente

=∂v

∂y(x0, y0)− i

∂u

∂x(x0, y0). (3.4)

Como supusimos que el límite existe, tenemos que las expresiones (3.3) y (3.4) son igua-


les con lo que obtenemos

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂u

∂x(x0, y0) = − ∂v

∂x(x0, y0)

. (3.5)

Condición necesaria para la diferenciación

PROPOSICIÓN 3.2. Sea f : U ∈ C → C una función compleja con U un abierto y ade-más f diferenciable en z0 = x0 + iy0 ∈ U. Entonces se cumplen las ecuaciones

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂u

∂x(x0, y0) = − ∂v

∂x(x0, y0)

,

llamadas las ecuaciones de Cauchy-Riemman.

Demostración. La demostración es exáctamente similar a lo expresado en la observación an-terior.

OBSERVACIÓN. La contra recíproca de la proposición (3.2) es muy útil para demostrar quef no es diferenciable en z0. O expresado:

Si f no cumple con las ecuaciones (3.5) en (x0, y0) ∈ R2, entonces f no es diferenciableen z0 = x0 + iy0.

Condición suficiente para la diferenciación

PROPOSICIÓN 3.3. Sea f : U ⊂ C → C una función compleja con U abierto, tal que sepuede expresar como

f (z) = u(x, y) + iv(x, y).

Si u, v,∂u

x,

∂u

y,

∂v

xy

∂v

yson continuas en (x0, y0) y además satisfacen las ecuaciones

de Cauchy-Riemman en el punto (x0, y0) entonces f es diferenciable en el punto z0 =

x0 + iy0.

EJEMPLO 3.2. Estudiar la diferenciabilidad de la función

f (z) =x

x2 + y2 − iy

x2 + y2 .

3.2 Diferenciabilidad de funciones elementales 63

Diferenciabilidad de funciones elementales

OBSERVACIÓN. Una condición necesaria de diferenciabilidad es que la función sea conti-nua. Pues como sabemos, si una función es diferenciable, entonces esta es continua.

OBSERVACIÓN. Para simplificar la escritura de las derivadas parciales no usaremos la no-tación de Leibniz1, usaremos la notación de Cauchy

fz,

que significa la derivada parcial de f con respecto a z.

Ya introducidos todos los conceptos anteriores, daremos a conocer la diferenciación delas funciones elementales y a su vez el subconjunto en donde se cumple esta propiedad.

EJEMPLO 3.3 (Función exponencial). Notemos que si tomamos a z ∈ C expresado en suforma binomial tendremos que

f (z) = ez = ex (cos y + i sin y) .

Donde los campos escalares asociados a f son

u(x, y) = ex cos y

yv(x, y) = ex sin y.

Es sencillo ver que tanto el campo escalar u como el campo escalar v son continuos en todo(x, y) ∈ R2.

Ahora, sus derivadas parciales están dadas por

ux = ex cos y uy = −ex sin y

vx = ex sin y vy = ex cos y

Las derivadas parciales de los campos escalares u y v son continuas y además cumplen conlas ecuaciones de Cauchy-Riemman en todo punto (x, y) ∈ R2. Por la condición suficientede diferenciabilidad tenemos que f es diferenciable en todo C y su derivada viene dada por

f ′(z) = ux + ivx = ex cos y + iex sin y = ez.

OBSERVACIÓN. La función f (z) = eaz, con a ∈ C es diferenciable en C y además

f ′(z) = aeaz.

EJEMPLO 3.4 (Funciones trigonométricas). Notemos que tanto el Seno como el Coseno seencuentran definidas con la función exponencial, así tenemos que la función Seno es dife-

1 ∂ f

∂z


renciable en todo z ∈ C y su derivada está dada por

(sin z)′ =12i(eiz − e−iz)′ =

12(eiz + e−iz) = cos z.

De manera similar, tenemos que la función Coseno es diferenciable en todo z ∈ C y suderivada viene dada por

(cos z)′ = − sin z.

OBSERVACIÓN. El resto de funciones trigonométricas son diferenciables en sus respectivosdominios.

EJEMPLO 3.5 (Funciones hiperbólicas). Puesto que las funciones hiperbólicas se definen demanera similar que las trigonométricas tenemos lo siguiente:

(sinh z)′ = cosh z y (cosh z)′ = sinh z,

para cualquier z ∈ C.

EJEMPLO 3.6 (Logaritmo natural principal). Por definición tenemos que para todo z ∈ C∗

podemos expresar af (z) = Ln z = ln |z|+ i Arg z.

Observemos que los campos escalares asociados a f son

u(x, y) = ln(√

x2 + y2)

y

v(x, y) = 2 arctan

(

y

x +√

x2 + y2

)

,

notemos además que hemos tomado a (x, y) en el conjunto

S = (x, y) ∈ R2 : x ≤ 0 ∧ y = 0,

en este conjunto u y v son continuos.Pueden probar que el equivalente en C al conjunto S

es el siguienteT = z ∈ C : Re(z) ≤ 0 ∧ Im(z) = 0.

Notemos que para todo z ∈ T la función f es continua. Esto se lo deja como ejercicio para ellector.

Ahora, veamos las derivadas parciales de los campos escalares u y v.

Para u es sencillo ver que∂u

∂x=

x

x2 + y2

y∂u

∂y=

y

x2 + y2 .

3.2 Diferenciabilidad de funciones elementales 65

Mientras que para v no son tan sencillas, veamos su derivada parcial con respecto a x. Te-nemos lo siguiente

∂v

∂x= 2 · 1

1 +y2

x +√

x2 + y2

· (−1) · (y)1 +

x√

x2 + y2(

+√

x2 + y2)2

=−2y

(

x +√

x2 + y2)2

+ y2· x +

√

x2 + y2√

x2 + y2

=−y

x2 + x√

x2 + y2 + y2· x +

√

x2 + y2√

x2 + y2

=−y

x2 + y2 ,

por un procedimiento similar podemos obtener que

∂v

∂y=

x

x2 + y2 .

Notemos que∂u

∂x,

∂u

∂y,

∂v

∂xy

∂v

∂y

son continuas en S.

Como podrán observar los campos escalares u y v cumplen con las ecuaciones de Cauchy-Riemman en (x, y) ∈ S. Y por la condición suficiente de diferenciabilidad f es continua enT, con su derivada f ′

f ′(z) =1z

.

OBSERVACIÓN. El logaritmo natural infinitamente valuado es diferenciable en su dominio.Notaremos como ln(z)θ0 a la función univaluada

ln(z)θ0 = ln |z|θ,

donde θ0 < θ < θ0 + 2π, con θ0 ∈ arg(z).

El siguiente gráfico muestra el dominio donde la función Logaritmo Natural Principales continua y diferenciable


Mientras que, lo expresado anteriormente si lo mostramos gráficamente es lo siguiente y deigual manera aquí ln(z)θ0 es continua y diferenciable

Si consideramos a z ∈ C \ z ∈ C : θ0 ∈ arg(z), la función ln(z)θ0 será diferenciable, yademás tendremos que

(ln(z)θ0

)′=

1z

.

Nótese que podemos extender esta propiedad a cualquier θ0, fijándolo y encontrando elconjunto donde la función Logaritmo es diferenciable.

Funciones Holomorfas

Vamos a introducir una subclase de funciones complejas, que poseen mejores propieda-des que las ya vistas. Básicamente nos referimos a las propiedades de diferenciación, inte-gración2 y poseen un comportamiento que nos permiten obtener resultados sorprendentesen análisis complejo.

Para toda función compleja f : D ⊆ C → C y z0 ∈ D. Se dice que f es holomorfa enel punto z0 si f es diferenciable en z0 y existe un r > 0 tal que f es diferenciable paratodo z ∈ Br(z0).

DEFINICIÓN 3.2: Función Holomorfa

2Que veremos en el siguiente folleto

3.3 Funciones Holomorfas 67

Para toda función compleja f : U ⊆ C → C y U un abierto. Se dice que f es holomorfaen U si f es diferenciable en U.

DEFINICIÓN 3.3

OBSERVACIÓN. Si f : U ⊆ C → C es una función diferenciable en U, entonces f es holo-morfa en U. La demostración se deja como ejercicio para el lector.3

EJEMPLO 3.7.

Coordenadas Conjugadas

Conocemos las coordenadas

(x, y) cartesianas,(r, θ) polares,(r, θ, z) cilíndricas y(r, θ, ϕ) esféricas.

La idea de introducir las Coordenadas Conjugadas es representar una función complejaya no como un campo vectorial, si no como una función que depende de z y z.

Tomemos en consideración a z ∈ C expresado en su forma binomial, y además los cam-bios de variable

x =z + z

2y =

z− z

2i

.

Se dice que(z, z)

son las coordendas conjugadas.

DEFINICIÓN 3.4: Coordenadas Conjugadas

Analicemos las derivadas en coordenadas polares. Así, sea f una función compleja dife-renciable en un punto z0 = x0 + iy0 ∈ C. Consideremos a f una función de (x, y). Tenemoslo siguiente

fx = fz · zx + fz · zx

= fz + fz,

mientras que

fy = fz · zy + fz · zy

3La idea de la demostración va utilizando la definición de conjunto abierto.


= i ( fz − fz) .

De esto podemos ver que

fx = fz + fz y fy = i ( fz − fz) . (3.6)

Notemos que si vemos como operadores a las ecuaciones de (3.6) tenemos lo siguiente

∂

∂x=

∂

∂z+

∂

∂zy

∂

∂y= i

∂

∂z− i

∂

∂z. (3.7)

De las ecuaciones expresadas en (3.7) podemos ver fácilmente que

∂

∂z=

12

(∂

∂x− i

∂

∂y

)

y∂

∂z=

12

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)

. (3.8)

Puesto que supusimos que f es diferenciable en z0 tenemos que

f ′(z) = ux + vx

=∂

∂xu +

∂

∂xv

= uz + uz + i (vz + vz)

= [uz + ivz] + [uz + ivz]

= fz + fz,

es decir,f ′(z) = fz + fz. (3.9)

Por otro lado tenemos quef ′(z) = fz − fz. (3.10)

Igualando las ecuaciones (3.9) y (3.10) tenemos que

fz + fz = fz − fz,

pero notemos que solo obtendremos la igualdad cuando fz = 0. Con lo cual tenemos lassiguientes observaciones.

OBSERVACIÓN.

1. Si f es diferenciable en z ∈ C, entonces fz = 0.

2. Si f no cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemman en z0 ∈ C implica que f nosea diferenciable en z0 y esto implica que no sea holomorfa en z0.

3. Para toda función compleja f : U ⊆ C → C que está expresada en coordenadas conju-gadas, si f depende de z. Entonces f no es holomorfa, pero si puede ser diferenciable.

4. Todas las funciones elementales son holomorfas en su dominio de diferenciabilidad.Estas demostraciones se dejan como ejercicios para el lector.

3.3 Funciones Holomorfas 69

5. La derivada de una función holomorfa f es

f ′(z) =∂ f

∂z= fz.

PROPOSICIÓN 3.4. Para toda función compleja f . Se dice que es holomorfa en S ⊆ C,si existe un abierto B ⊆ C tal que S ⊆ B y que f sea holomorfa en B.

La demostración de esta proposición es casi inmediata, pues se deduce de la definiciónde función holomorfa.

Condición necesaria y suficiente de holomorfía en un punto

PROPOSICIÓN 3.5. Para toda función compleja f : U ⊆ C → C, con U un abierto. Si f

es holomorfa, entonces f cumple con las condiciones de Cauchy-Riemman.

La demostración es un resultado rápido, pues si una función f es holomorfa implicaque esta sea diferenciable en un abierto, lo que implica que cumpla con las ecuaciones deCauchy-Riemman en ese mismo abierto.

PROPOSICIÓN 3.6. Para toda función compleja f : U ⊆ C → C, con U un abierto. Si lasderivadas parciales de sus campos escalares existen y son continuas en una isometríaT ⊆ R2 de U ⊆ C y si además f cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemman en U,entonces f es holomorfa en U.

La demostración de esta proposición se deduce de las definiciones (1) y (2), además delas condiciones suficientes de diferenciabilidad.

Condición necesaria y suficiente de holomorfía en un conjunto

PROPOSICIÓN 3.7. Para toda función compleja f : C → C expresada en coordenadasconjugadas. Si fz = 0 en un dominioa D ⊆ C y si además fz existe y es continua en D,entonces f es holomorfa en D.

aVer la definición (2) en el primer folleto.

Demostración.

PROPOSICIÓN 3.8. Para toda función compleja f : C → C expresada en coordenadasconjugadas. Si fz = 0 en z ∈ S ⊆ C y si además fz existe y es continua en z ∈ S,entonces f es holomorfa en z ∈ S.


Demostración.

PROPOSICIÓN 3.9. Para toda función compleja f : C → C que verifica las condicio-nes de Cauchy-Riemman solamente en el grafo de una función real, entonces f no esholomorfa en todo C.

Demostración.

Se dice que una función compleja f : C → C es entera si esta es holomorfa en todo C.

DEFINICIÓN 3.5: Función entera

PROPOSICIÓN 3.10. Para todas las funciones holomorfas f , g : U ⊆ C → C

1. f ± g es holomorfa en U,

2. f · g es holomorfa en U,

3. fg es holomorfa en U \ z ∈ C : g(z) 6= 0 y

4. La composición de funciones holomorfas es holomorfa.

Demostración.

PROPOSICIÓN 3.11 (Regla de L’Hôpital). Para todas las funciones complejas f y g queson holomorfas en z0 ∈ C, con f (z0) = g(z0) = 0 y g′(z0) 6= 0. Entonces tenemos que

lımz→z0

f (z)

g(z)=

f ′(z0)

g′(z0).

Demostración. Sean f y g dos funciones complejas, holomorfas en z0 ∈ C y además g′(zo) 6=0. Nótese que se tiene las siguientes igualdades

lımz→z0

f (z)

g(z)= lım

z→z0

f (z)− f (z0)

g(z)− g(z0)

= lımz→z0

f (z)− f (z0)

g(z)− g(z0)· z− z0

z− z0

= lımz→z0

f (z)− f (z0)

z− z0· z− z0

g(z)− g(z0)

= lımz→z0

f (z)− f (z0)

z− z0· 1

lımz→z0

g(z)− g(z0)

z− z0

=f ′(z0)

g′(z0).

3.4 Funciones Armónicas 71

OBSERVACIÓN. Es interesante ver que a la proposición (3.11) también la podemos utilizarcuando existen las indeterminaciones 0

0 , ∞∞

, ∞−∞, 0 ·∞, 00, ∞0 y 1∞. Es decir, estos límitespueden ser tratados como en cálculo real si es que las funciones f y g son holomorfas en z0.

Funciones Armónicas

Para todo campo escalar real f en R2, se dice que f es armónica en un conjunto S ⊆ R2

si f posee derivadas parciales de primer y segundo orden, además estas son continuasy deben satisfacer que

∂2 f

∂x2 +∂2 f

∂y2 = 0. (3.11)

DEFINICIÓN 3.6: Función Armónica

Noten que si a la ecuación (3.11) la reescribimos con la notación de Cauchy para derivadastenemos que

fxx + fyy = 0.

Es fácil ver que la ecuación (3.11) puede ser reescrita por un operador lineal aplicado alcapo escalar f , así tenemos que

(∂2

∂x2 +∂2

∂y2

)

f = 0.4

Noten que a la ecuación (3.11) también se la puede representar como

∆ f = 0,

a esta ecuación se la conoce como la la ecuación de Laplace.

Para toda función f : Y ⊆ X → X , se dice que f es de clase C2(Y) si esta tiene deriva-das de primer y segundo orden continuas en Y. Además el conjunto C2(Y) está dadopor

C2 :=

f : Y ⊆ X → X : f tiene derivadas de primer y segundo orden continuas

.

DEFINICIÓN 3.7

Para toda función f : D ⊆ C → C con D un dominio, si f es holomorfa, entonces f ′ esholomorfa en D.

TEOREMA 3.12

4Al operador(

∂2

∂x2 + ∂2

∂y2

)

se lo llama operador de Laplace o Laplaciano y se lo nota como ∆.


La demostración de este teorema queda pendiente para el próximo folleto, es introduci-do pues se lo necesita para la demostración de la siguiente proposición.

PROPOSICIÓN 3.13. Para toda función f holomorfa en un dominio D ⊆ C, si a f lapodemos representar como f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Entonces los campos escalares u

y v son armónicos en el un conjunto S ⊆ R2 que es isomorfo a D.

Demostración. Sea f : D ⊆ C → C una función holomorfa en un dominio D, además si a f lapodemos representar como f (z) = u(x, y) + iv(x, y) con u y v campos escalares de S ⊆ R2

donde S es un conjunto isomorfo al dominio D. Debemos probar que u, v ∈ C2(S) y ademáspara cualquier (x, y) ∈ S que el Laplaciano de u y el Laplaciano de v son iguales a cero.

Como f es holomorfa en D, tenemos que los campos escalares u y v son continuos, sa-tisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemman y además sabemos que sus derivadas parcialesson continuas en S. Con esto podemos ver que u, v ∈ C1(S). Ahora, tenemos que

ux = vy (3.12)

yuy = −vx. (3.13)

Recordemos que para todo z ∈ D a f ′(z) lo podemos representar como

f ′(z) = ux + ivx.

Ahora, utilizando el teorema (3.12) obtenemos que f ′ es holomorfa en el dominio D, conesto tenemos que sus campos escalares ux y vx son continuos en todo S, además sus deri-vadas parciales son continuas también en S. Noten que otra manera de representar a f ′(z)es f ′(z) = vy − iuy, así tenemos que las derivadas parciales de los campos escalares vy y uy

son continuas en todo S. Como las derivadas parciales de primer y segundo orden de u y v

son continuas en S, tenemos que u, v ∈ C2(S).

Por otro lado, notemos que al derivar la ecuación (3.12) con respecto a x tenemos que

uxx = vxy (3.14)

y si derivamos la ecuación (3.13) con respecto a y obtenemos que

uyy = −vyx. (3.15)

Ahora, si sumamos las ecuaciones (3.14) y (3.15) obtenemos lo siguiente

∆u = uxx + uyy = vxy − vyx.

ahora, por un resultado de Análisis Vectorial tenemos que si un campo escalar en T ⊆ R2 es

de clase C2(T) sus segundas derivadas parciales mixtas son iguales. Puesto que v ∈ C2(S),

3.4 Funciones Armónicas 73

se tiene que vxy = vyx y con esto tenemos que

∆u = 0.

La demostración de que ∆v = 0, es similar a esta.

Armónica Conjugada

Para todo campo escalar armónico u en un conjunto isomorfo s ⊆ R2 de un dominioD ⊆ C. Se dice que v es armónico conjugado de u si v es armónico en S y además lafunción f definida por

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

es holomorfa en D.

DEFINICIÓN 3.8

OBSERVACIÓN. Si u y v son campos escalares armónicos en S ⊆ C, esto no necesariamenteimplica que la función f (z) definida por f (z) = u(x, y) + iv(x, y) sea holomorfa en unconjunto D ⊆ C isomorfo a S. Lo mostraremos con un contra ejemplo, tomemos los camposescalares u(x, y) = x y v(x, y) = −y, notemos que u, v ∈ C2(R2), además ∆u = 0 y ∆v = 0,pero la función compleja definida por

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = x− iy = z

no es holomorfa en ningún punto de C.

INTEGRACIÓN COMPLEJA

En Cálculo Real, la noción de integral es el área bajo la curva. Para toda función f : [a, b] ⊆R→ R, definíamos lo siguiente

• P es una partición de [a, b], con a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn−1 ≤ xn = b,

• n intervalos y

• la longitud del intervalo, que en la suma de Riemman utilizábamos una longitudh = b−a

n , notemos que esta longitud h es homogénea, sin embargo podemos tomarlongitudes heterogéneas.

Además, definiremos medida de la partición como el máximo entre las variaciones dexi−1 y xi que es ∆xi, para i ∈ 1, 2, . . . , n y lo denotaremos por ‖P‖. Con esto obtenemosque la medida de la longitud está dada por ‖P‖ = max

1≤i≤n∆xi.

Cuando aproximamos una integral con sumas de Riemman tomamos un xi∗ ∈ [xi−1, x1],

para todo i ∈ 1, 2, . . . , n. Con lo que obtenemos que

SnR =

n

∑i=1

f (xi∗)∆xi,

75

76 Integración compleja

como lo vimos en Cálculo Real, con esto podemos aproximar a la integral de f mediante

∫ b

af (x)dx = lım

n→+∞

n

∑i=1

f (xi∗)∆xi.

Por otro lado, Para la aproximación de la integral con la definición de Darboux defi-nimos a Mi = max f (xi−1), f (xi), para i ∈ 1, 2, . . . , n. Con lo cuál obtenemos que laaproximación de la integral por medio de la definición de Darboux es

∫ b

af (x)dx = lım

n→+∞

n

∑i=1

Mi∆xi.

Sería ideal si estas definiciones se pudieran extender a todas las funciones complejas,pero no es así.

Ahora, consideremos una función compleja f : Ω ⊆ C → C y sean z1, z2 ∈ Ω. Tenemosdos dificultados si introducimos a la integral de f desde z1 hasta z2, o visto de otra manera∫ z2

z1f (z)dz.

1. Perdemos la noción de área bajo la curva, pues si recordamos C puede ser visto comoun espacio vectorial de dimensión 2 y

2. podemos notar que la integral depende del camino que tomemos, pues existen infini-tos caminos(curvas o contornos) en Ω que unen a los puntos z1 con z2.

Integral de contorno

Para llegar a definir la integral compleja, vamos a empezar definiendo la integral sobreuna curva. En esta sección nos dedicaremos a conocer las curvas de integración y a estudiarsu parametrización. Para esto introduciremos algunos conceptos previos.

Una parametrización α entre los conjuntos [a, b] ⊂ R y C ⊆ C se puede representarcomo una función continua tal que

α : [a, b] −→ C

t 7−→ α(t) = α1(t) + iα2(t).

DEFINICIÓN 4.1: Parametrización

A partir de la definición (1) vamos a considerar la parametrización de cualquier curvaC ⊆ C como la función z(t) = x(t) + iy(t).

Decimos que una curva C es simple si no se cruza a sí misma.

DEFINICIÓN 4.2: Curva Simple

EJEMPLO 4.1. Un ejemplo de curva simple es la siguiente

4.1 Integral de contorno 77

Decimos que una curva C es cerrada si su extremo inicial es el mismo que el final.

DEFINICIÓN 4.3: Curva Cerrada

EJEMPLO 4.2. Un ejemplo de curva cerrada es la siguiente

Decimos que una curva C donde su parametrización es z(t) = x(t) + i(t) con t ∈ [a, b],es suave si x, y ∈ C1([a, b]).

DEFINICIÓN 4.4: Curva Suave

EJEMPLO 4.3. Un ejemplo de curva suave es la siguiente


Decimos que una curva C es suave a trozos, si C es suave excepto en un número finitode puntos de C donde la derivada de x o y no existe.

DEFINICIÓN 4.5: Curva Suave a trozos

EJEMPLO 4.4. Un ejemplo de curva suave a trozos es la siguiente

Decimos que una curva C es de Jordan, si esta es simple, cerrada y suave a trozos.

DEFINICIÓN 4.6: Curva de Jordan

EJEMPLO 4.5. Un ejemplo de curva de Jordan es la siguiente

Orientación de contornos

Si C es un contorno cerrado. La orientación positiva está dada por el sentido antihorario,esto se dá cuando la curva es simple.

Cuando la curva C es cerrada, pero no simple. La orientación positiva de la curva vienedada por la persona que resuelve el ejercicio.

4.1 Integral de contorno 79

En curvas simples, la orientación positiva viene dada por la parametrización de C, esdecir, si z(t) = x(t) + iy(t), con t ∈ [a, b] es una parametrización de C, el sentido positivoviene dado por la dirección en la que t crece.

OBSERVACIÓN. Vamos a trabajar con curvas cuya orientación sea positiva.

Integrales de funciones complejas a variable real

Para esta subsección vamos a considerar a las funciones complejas y continuas

f : [a, b] −→ C

t 7−→ f (t) = u(t) + iv(t).

Definimos a la integral de una función continua f : [a, b]→ C sobre [a, b] como

∫ b

af dt =

∫ b

au dt + i

∫ b

av dt.

DEFINICIÓN 4.7

PROPOSICIÓN 4.1. Para todas las funciones continuas f , g : [a, b] → C y para todoα ∈ C se tiene las siguientes propiedades:

1.∫ b

aα f + g dt = α

∫ b

af dt +

∫ b

ag dt,

2. para todo c ∈ [a, b] se tiene que

∫ b

af dt =

∫ c

af dt +

∫ b

cf dt

y

3.∫ a

bf dt = −

∫ b

af dt.

Demostración.


Integrales de Contorno

Vamos a considerar a las funciones complejas y continuas f : Ω ⊆ C → C y los contornosC ⊆ C. Además, sea z(t) = x(t) + iy(t) con t ∈ [a, b] la parametrización de C.

Tenemos que∫

Cf (z) dz =

∫

C

(

u(x, y) + iv(x, y))

(dx + idy)

=∫

C

(

u(x, y) dx + iv(x, y) dx + iu(x, y) dy− v(x, y) dy)

=∫

C

(

u(x, y) dx− v(x, y) dy)

+ i∫

C

(

v(x, y) dx + u(x, y) dy)

(4.1)

=∫ b

a

(

u(

x(t), y(t))

x′(t) dt− v(

x(t), y(t))

y′(t) dt

)

+ i∫ b

a

(

u(

x(t), y(t))

y′(t) dt + v(

x(t), y(t

=∫ b

au(t)

(

x′(t) + iy′(t))

dt + i∫ b

av(t)

(

x′(t) + iy′(t))

dt

=∫ b

af(

z(t))

z′(t) dt.

Con esto podemos introducir la siguiente definición.

Para toda función compleja f : Ω ⊆ C → C tal que f es continua en Ω y además laparametrización de una curva C ⊆ Ω es z(t) = x(t) + iy(t), con t ∈ [a, b]. Definimos laintegral de contorno como

∫

Cf (z) dz =

∫ b

af(

z(t))

z′(t) dt.

DEFINICIÓN 4.8: Integral de contorno

PROPOSICIÓN 4.2. Para todas las funciones complejas f , g : ΩC → C, para todo α ∈ C

y para toda curva C ⊆ Ω, tales que f y g sean continuas en Ω. Se tienen las siguientespropiedades:

1.∫

C α f + g dz = α∫

C f dz +∫

C g dz,

2.∫

C f dz =∫

C1f dz +

∫

C2f dz, donde C1 ∪ C2 = C y además C1 ∩ C2 excepto en los

extremos que los unen; y

3.∫

−C f dz = −∫

C f dz.

Demostración.

OBSERVACIÓN. La integral de contorno definida en (8) no es útil para definir la integral∫

Ωf dz.

4.2 Integrales de Contorno 81

Decimos que un dominio D ⊆ C es simplemente conexo si a toda curva cerrada C ⊆ D

la podamos contraer continuamente hacia un punto z ∈ D.

DEFINICIÓN 4.9: Dominio simplemente conexo

EJEMPLO 4.6. Un ejemplo de dominio simplemente conexo es

Decimos que un dominio D ⊆ C es multiplemente conexo si existe al menos unacurva cerrada C ⊆ D tal que no la podamos contraer continuamente hacia un puntoz 6∈ D, es decir, si la contracción queda fuera del dominio D.

DEFINICIÓN 4.10: Dominio multiplemente conexo

EJEMPLO 4.7. Un ejemplo de dominio multiplemente conexo es

Para toda función compleja que es holomorfa en un dominio simplemente conexo Ω ⊆C y para cualquier contorno de Jordan C ⊆ Ω. Entonces

∮

Cf (z) dz = 0.

TEOREMA 4.3: Teorema de Cauchy para dominios simplemente conexos

OBSERVACIÓN. Generalmente cuando la curva de integración en una integral de contornoes cerrada se utiliza la notación

∮.


Demostración. Para esta demostración usaremos un resultado de Análisis Vectorial, que esel teorema de Green.

Debemos considerar dos casos, uno en la curva sea simple y otro en que la curva no seasimple.

1. Así, sea f : Ω ⊆ C → C una función holomorfa en el dominio Ω, además sea C ⊆ Ω

una curva de Jordan. Por la ecuación (4.1) tenemos que∮

Cf (z) dz =

∮

C

(

u(x, y) dx− v(x, y) dy)

+ i∮

C

(

v(x, y) dx + u(x, y) dy)

. (4.2)

Puesto que f es holomorfa en Ω, tenemos que f ′ es holomorfa en Ω, así los camposescalares u y v son de clase C2(D), con D ⊆ R

2 una isometría a Ω. Definamos al

conjunto R =C, ahora, por el teorema de Green tenemos que la ecuación (4.2) se puede

representar como∮

Cf (z) dz =

∫∫

R(−vx − uy) dA +

∫∫

R(ux − vy) dA. (4.3)

Como f es holomorfa en Ω, entonces los campos escalares U y v satisfacen las ecua-ciones de Cauchy-Riemman en el conjunto R ⊆ D, así tenemos de la ecuación (4.3)que

∮

Cf (z) dz =

∫∫

R0 dA +

∫∫

R0 dA. (4.4)

2. Supongamos que el contorno C no es simple,

como lo podemos apreciar gráficamente lo podemos dividir en dos contornos C1 y C2,y con esto tendremos que

∮

Cf (z) dz =

∮

C1

f (z) dz +∮

−C2

f () dz, (4.5)

la manera en la que tomamos a C1 y C2 nos permite utilizar la primera parte de lademostración, pues ambas curvas son curvas de Jordan.

Notemos que el teorema (4.3) solo sirve para dominio simplemente conexos. Ahora,veremos un resultado que nos ayuda cuando tenemos una integral de contorno sobre unacurva de Jordan dentro de un dominio multiplemente conexo.


COROLARIO 4.4 (Deformación de contornos). Para toda función compleja f que esholomorfa en un dominio multiplemente conexo Ω ⊆ C, para cualquier contorno de

Jordan C ⊆ Ω tal queC contiene al menos a un agujero de Ω y para toda deformación

continua C1 de C tal que C1 ⊂C y además que no esté dentro del agujero, tenemos que∮

Cf (z) dz =

∮

C1

f (z) dz.

Demostración. Sea f : Ω ⊆ C → C una función holomorfa sobre el dominio multiplementeconexo Ω. Sea C ⊆ Ω una curva de Jordan que contiene al menos a un agujero de Ω ya

demás sea C1 otra curva de Jordan tal que C1 ⊂C y que además contenga al agujero.

Notemos que gráficamente tenemos

Ahora, tomemos dos puntos uno en la curva C y otro en la curva C1, como podemosapreciar en el gráfico

Notemos que si tomamos la recta AB podemos abrir a este nuevo conjunto de la siguientemanera


Pero notemos que este conjunto es una curva de Jordan dentro de un dominio simplementeconexo, pues hicimos este proceso para evitar el agujero que contiene Ω. Denotemos a estenueva curva de Jordan como C2 y la definamos como C2 =

−→AB ∪ −C1 ∪

−→BA ∪ C, pues esta

es la dirección positiva del contorno C2. Así, por el teorema (4.3) tenemos que∮

C2

f (z) dz = 0, (4.6)

pero como el contorno C2 es igual a−→AB ∪ −C1 ∪

−→BA ∪ C tenemos que la ecuación (4.6)

podemos reescribirla de la siguiente manera∫

−→AB

f (z) dz +∫

−C1

f (z) dz +∫

−→BA

f (z) dz +∫

Cf (z) dz = 0. (4.7)

Notemos que∫

−→AB

f (z) dz = −∫

−→BA

f (z) dz, y∫

C1

f (z) dz = −∫

−C1

f (z) dz (4.8)

por lo cual podemos concluir de las ecuaciones (4.7) y (4.8) que∮

Cf (z) dz =

∮

C1

f (z) dz.

Lo que nos dice este corolario es que, si tenemos un dominio multiplemente conexo Ω,entonces la integral dentro de una curva de Jordan C que puede ser complicada de integrar,la podemos simplificar a la integral de contorno en una curva C1 mucho más simple, perosiempre y cuando esta se encuentre dentro del interior de C.

OBSERVACIÓN. Para que se cumpla el corolario (4.4), no es necesario que f se encuentredefinida en el interior de C1.

EJERCICIO 4.1. Muestre que

∮

C

1(z− z0)n

dz =

2πi si n = 1,

0 si n 6= 1 ∧ n ∈ Z,


donde z0 ∈C, y C es una curva de Jordan.

Solución. Vamos a demostrarlo en tres casos:

1. si n = 1, tenemos que f (z) = 1(z−z0)

es holomorfa en C \ z0. Notemos que f no es

holomorfa en todoC.

Ahora, por el corolario (4.4) tenemos que integrar sobre la curva C va a ser lo mismoque integrar sobre la curva C1, donde C1 ⊂ C y es la bola de centro z0 y radio r > 0.1

Con esto tenemos que una parametrización para C1 es

C1 : z(t) = z0 + r exp(it), t ∈ [0, 2π].

Con todo lo anterior tenemos que

∮

C

1z− z0

dz =∮

C1

1z− z0

dz

=∫ 2π

0

ri exp(it)z0 + exp(it)− z0

dt

=∫ 2π

0dt = 2πi.

2. Si n ≤ 0, tenemos que

∮

C

1(z− z0)n

dz =∮

C(z− z0)

−n dz,

pero (z− z0)−n es una función entera y por el teorema (4.3) tenemos que

∮

C

1(z− z0)n

dz =∮

C(z− z0)

−n dz = 0.

3. Si n > 1 y por el corolario (4.4) tenemos que

∮

C

1(z− z0)n

dz =∮

C1

1(z− z0)n

dz

= i∫ 2π

0

r exp(it)rn exp(nit)

dt

=1

rn−1

∫ 2π

0exp(−nit) dt

=1

−i(n− 1)rn−1 exp(−nit)

∣∣∣∣

2π

0

=1

−i(n− 1)rn−1

(

cos(−nt) + i sin(−nt))∣∣∣∣

2π

0

=1

−i(n− 1)rn−1

(

0)

= 0.

1Notemos que deberíamos escoger un radio tal que C1 quedase enteramente contenido dentro del interior deC, es decir, podemos escoger a r como 1

2 mınz∈C ‖z− z0‖.


Para toda función holomorfa f en un dominio multiplemente conexo Ω ⊆ C formadopor n agujeros. Para cualquier curva de Jordan C ⊂ Ω que contenga a los n agujerosen su interior, se tiene que

∮

Cf (z) dz =

n

∑i=1

∮

Ci

f (z) dz,

TEOREMA 4.5: Teorema de Cauchy para dominios multiplemente conexos

Demostración. Sea f una función holomorfa en un dominio multiplemente conexo Ω ⊆ C

que tiene n agujeros, sea C una curva de Jordan que contiene a los n agujeros en su interior.

Vamos a utilizar el método de inducción matemática para demostrar este teorema.

Base de inducción, cuando n = 2. Notemos que tenemos algo parecido al siguientegráfico

De esto podemos ver que si tomamos al contorno Γ =−−→A1B1 ∪

B1A2 ∪−−→A2B2 ∪−C2 ∪

−−→B2A2 ∪

A2B1 ∪ C, este es un camino de Jordan en un domino simplemente conexo.

Ahora por el teorema (4.3) tenemos que

0 =∮

Γf (z) dz,

por como está definido Γ tenemos que

∮

Γf (z) dz =

∫

−−→A1B1

f (z) dz +∫

B1 A2

f (z) dz +∫

−−→A2B2

f (z) dz +∫

−C2

f (z) dz

+∫

−−→B2 A2

f (z) dz +∫

A2B1

f (z) dz +∫

Cf (z) dz,

4.3 Independencia de caminos 87

por propiedades de la integral de contorno tenemos que∮

Cf (z) dz =

∮

C1

f (z) dz +∮

C2

f (z) dz.

Hipótesis de inducción, supongamos que se cumple para un k ∈ N, con k ≥ 2. Así,tenemos que existe una sucesión de puntos An y Bn tales que A1 ∈ C, B1 ∈ C1, Ai ∈Ci−1 y Bi ∈ Ci para i ∈ 2, 3, . . . , k. Gráficamente tenemos lo siguiente

De esto podemos ver que si tomamos al contorno Γ =−−→A1B1 ∪

B1A2 ∪−−→A2B2 ∪ · · · ∪

−−−−→Ai−1Bi ∪

BiAi+1 ∪ · · · ∪−−−→AnBn ∪ −Cn ∪

−−−→BnAn ∪

AnBn−1 ∪ · · · ∪

Ai+1Bi ∪−−−−→BiAi−1 ∪ · · · ∪ C,

este es un camino de Jordan en un domino simplemente conexo. De esto podemos observarque hemos formado una curva de Jordan dentro de dominio simplemente conexo. Así, porel teorema (4.3) tenemos que

0 =∮

Γf (z) dz, (4.9)

pero notemos que esta ecuación es equivalente a

0 =∫

−−→A1B1

f (z) dz +∫

B1 A2

f (z) dz +∫

−−→A2B2

f (z) dz + · · ·+∫

−−−−→Ai−1Bi

f (z) dz +∫

Bi Ai+1

f (z) dz

+ · · ·+∫

−−−→AnBn

f (z) dz +∫

−Cn

f (z) dz +∫

−−−→Bn An

f (z) dz +∫

AnBn−1

f (z) dz+

· · ·+∫

Ai+1Bi

f (z) dz +∫

−−−−→Bi Ai−1

f (z) dz + · · ·+∫

Cf (z) dz. (4.10)

Ahora, de la ecuación (4.10) y por como está definido Γ, tenemos que

∮

Cf (z) dz =

k

∑i=1

∮

Ci

f (z) dz.

Ahora, notemos que el paso por inducción es similar a lo que acabamos de hacer. Se dejalo que queda de la demostración como ejercicio para el lector.

Independencia de caminos

Para toda función continua f : Ω ⊆ C → C, y para todos los camino C, C1 ⊂ Ω queunen a los puntos z0 y z1. Decimos que la integral de contorno de f sobre C es inde-pendiente del camino si

∫

Cf (z) dz =

∫

C1

f (z) dz.

DEFINICIÓN 4.11

Cuando tenemos independencia de caminos en una integral de contorno tomamos lanotación ∫

Cf (z) dz =

∫ z1

z0

f (z) dz.


Para toda función continua f en un dominio simplemente conexo D ⊆ C. Entonces laintegral de contorno

∫

Cf (z) dz

es independiente del camino, para todo camino C enteramente contenido en D ya de-más que une al punto inicial z0 y al punto final z1.

TEOREMA 4.6: Independencia de caminos

Demostración. Sea f una función continua en un dominio simplemente conexo D ⊆ C. Ysean C, C1 ⊂ D dos caminos que unen al punto inicial z0 con el punto final z1.

Notemos que el camino C ∪−C1 es un contorno cerrado en D, por el teorema (4.3) tenemosque

∫

C∪−C1

f (z) dz = 0, (4.11)

pero esta ecuación puede ser reescrita como∫

Cf (z) dz−

∫

C1

f (z) dz = 0. (4.12)

Notemos que la ecuación (4.12) implica que∫

Cf (z) dz =

∫

C1

f (z) dz.

Para toda función f continua en un dominio D ⊆ C. Decimos que una función F es laprimitiva de f si

f ′(z) = f (z), para todo z ∈ D.

DEFINICIÓN 4.12: Primitiva de una función

OBSERVACIÓN. Por la definición (12), F es holomorfa en D.


LEMA 4.7. Para toda función f tal que para todo z ∈ C y para algún M > 0 | f (z)| ≤ M,con C un contorno. Entonces existe un L > 0 tal que

∣∣∣∣

∫

Cf (z) dz

∣∣∣∣≤ ML.

Demostración. Sea f una función y sea C contorno, existe M > 0 tal que | f (z)| ≤ M. Tome-mos z(t) con t ∈ [a, b] parametrización del contorno C. Así, tenemos que

∣∣∣∣

∫

Cf (z) dz

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

∫ b

af(

z(t))

z′(t) dt

∣∣∣∣

≤∫ b

a

∣∣∣ f(

z(t))∣∣∣ |z′(t)| dt.

Puesto que f está recorriendo en C, tenemos que∣∣∣∣

∫

Cf (z) dz

∣∣∣∣≤ M

∫ b

a|z′(t)| dt,

además si tomamos

L :=∫ b

a|z′(t)| dt,

se tiene que∣∣∣∣

∫

Cf (z) dz

∣∣∣∣≤ ML.

Para toda función f continua en un dominio D ⊆ C tal que su integral de contornoes independiente del camino. Entonces, para todo camino C enteramente contenido enD, f tiene primitiva en D.

TEOREMA 4.8: Primer teorema fundamental del cálculo complejo

Demostración. Sea f una función continua en un dominio D ⊆ C, además sea F una funcióndefinida sobre D de la siguiente manera

F(z) =∫ z

z0

f (w) dw,

donde z0 ∈ D es fijo y z ∈ D. Debemos demostrar que para cualquier z ∈ D, se tiene queF′(z) = f (z).

Así, sea z ∈ D. Como D es un dominio siempre es posible elegir un h ∈ D tal quez + h ∈ D, además tenemos que z y z + h lo podemos unir a través de un segmento de recta.Consideremos lo siguiente

F(z + h)− F(z)

h=

1h

( ∫ z+h

z0

f (w) dw−∫ z

z0

f (w) dw)

, (4.13)


notemos que esta ecuación es equivalente a

F(z + h)− F(z)

h=

1h

∫ z+h

zf (w) dw. (4.14)

Ahora, a la ecuación (4.14) restemos f (z) y a demás tomemos el módulo, con lo queobtenemos ∣

∣∣∣

F(z + h)− F(z)

h− f (z)

∣∣∣∣=

1|h|

∣∣∣∣

∫ z+h

zf (w) dw− h f (z)

∣∣∣∣

. (4.15)

Notemos que∫ z+h

zdw = h. (4.16)

Ahora de las ecuaciones (4.15) y (4.16) tenemos que∣∣∣∣

F(z + h)− F(z)

h− f (z)

∣∣∣∣=

1|h|

∣∣∣∣

∫ z+h

z

(

f (w)− f (z))

dz

∣∣∣∣

. (4.17)

Como f es continua en h y en particular es continua en z, se cumple que

(∀ε > 0)(∃δε,z > 0)(|z− w| < δε,z ←− | f (z)− f (w)| < ε).

Así, sea ε > 0, existe δ > 0. Ahora, tomando |h| < δ y considerando w = z + th, se sigueque

|w− z| = |z + th− z| = |th| = t|h| ≤ |h| < δ.

Notemos que los w que verifican la desigualdad anterior son todos los puntos que se en-cuentran en la linea que une z con z + h. Así, por esto y el lema (4.7) tenemos que

∣∣∣∣

∫ z+h

z

(

f (w)− f (z))

dz

∣∣∣∣≤ ε|h|. (4.18)

Si |h| < δ, de la ecuación (4.17) y la desigualdad (4.18) tenemos que∣∣∣∣

F(z + h)− F(z)

h− f (z)

∣∣∣∣< ε. (4.19)

Notemos que de la desigualdad (4.19) tenemos que

lımh→0

F(z + h)− F(z)

h= f (z),

pero esto es equivalente a F′(z) = f (z).

OBSERVACIÓN. Del teorema (4.8) podemos decir que∫

f (z) dz = F(z) + C,

con C ∈ C.


PROPOSICIÓN 4.9. Para toda función f holomorfa en un dominio simplemente conexoD ⊆ C, f tiene una primitiva.

Demostración. Sea f una función holomorfa en un dominio simplemente conexo D ⊆ C.Entonces tenemos que f es continua en D. Lo que implica que la integral de contorno esindependiente del camino. De lo anterior y por el teorema (4.8) tenemos que f tiene primi-tiva.

Para tda función f continua en un dominio D ⊆ C con su primitiva F. Entonces∫

Cf (z) dz =

∫ z1

z0

f (z) dz = F(z1)− F(z0),

para todo contorno C enteramente contenido en D, donde z0 es el punto inicial y z1 elpunto final.

TEOREMA 4.10: Segundo teorema del cálculo complejo

Demostración. Sea f una función continua en un dominio D ⊆ C. sea F su primitiva en D yademás sea C un contorno enteramente contenido en D con su punto inicial z0 y su puntofinal z1, cuya parametrización es z(t) con t ∈ [a, b]. Tenemos que

∫

Cf (z) dz =

∫ b

aF(

z(t))

z′(t) dt

=∫ b

aF′(

z(t))

z′(t) dt

= F(z(b))− F(z(a))

= F(z1)− F(z0).

Fórmulas integrales de Cauchy

Para toda función holomorfa f en un dominio simplemente conexo D ⊆ C, para todo

z0 ∈ D y para todo contorno simple cerrado C ⊂ D tal que z0 ∈C. Entonces

f (z0) =1

2πi

∮

C

f (z)

z− z0dz.

TEOREMA 4.11: Primera fórmula integral de Cauchy

Demostración. Sea f una función holomorfa en un dominio simplemente conexo D ⊆ C, sea

z0 =∈ D y además sea C ⋐ D un contorno simple cerrado tal que z0 ∈C.


Notemos que la función f (z)z−z0

es holomorfa en D \ z0. Tomemos la esfera de centro z0

y radio 0 < r < ınfz∈C |z− z0|(Sr(z0)) , así por el teorema (4.5) tenemos que

∮

C

f (z)

z− z0dz =

∮

Sr(z0)

f (z)

z− z0dz. (4.20)

En particular, la integral de la ecuación (4.20) es independiente del radio que tomemos.Es decir, podemos tomar r tan pequeño como queramos, si tomamos 0 < r0 < r tal que

r0 → 0, notemos que Sr0 (z0) ⊂

Sr(z0). Tomemos M > 0 tal que | f ′(z0)| < M. Así, para ε > 0suficientemente pequeño, tenemos que para todo z ∈ Bε(z0), implica que

∣∣∣∣

f (z)− f (z0)

z− z0

∣∣∣∣< m.

De lo anterior y el ejercicio (4.1) tenemos que

f (z0) =f (z0)

2πi

∮

Sr0 (z0)

1z− z0

dz, (4.21)

pues1

2πi

∮

Sr0 (z0)

1z− z0

dz = 1.

De la ecuación (4.21) se sigue que

∣∣∣∣

12πi

∮

C

1z− z0

dz− f (z0)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

12πi

∮

Sr0 (z0)

f (z)− f (z0)

z− z0dz

∣∣∣∣∣

≤ 12π

∮

Sr0 (z0)

∣∣∣∣

f (z)− f (z0)

z− z0

∣∣∣∣· |dz|

≤ M

2π

∮

Sr0 (z0)|dz| = M

2π· 2πr = M · r,

pues tomamos z ∈ Bε(z0). Como tomamos a r0 arbitrariamente pequeño, obtenemos elresultado.

La fórmula anterior no solo nos sirve para saber el valor de esta en un punto sabiendolos valores de esta en una frontera, también nos sirve para calcular integrales complejas que,de otra manera, podrían resultar complicadas.

EJEMPLO 4.8. Sea C =

w ∈ C : |w| = 1

, calcule la integral∮

Cexp(z)

z dz.

Solución. Del teorema (4.11) tenemos que

∮

C

exp(z)z

dz = 2πi exp(0) = 2πi.


Para toda función holomorfa f en un dominio simplemente conexo D ⊆ C, para todo

z0 ∈ D y para todo contorno simple cerrado C ⊂ D tal que z0 ∈C. Entonces

f (n)(z0) =1

2πi

∮

C

f (z)

(z− z0)ndz,

con n ∈ N.

TEOREMA 4.12: Segunda fórmula integral de Cauchy

Esta extensión de la fórmula integral de Cauchy a f (k)(z0) es un resultado importante.Empezamos suponiendo que solo la primera derivada existe, y ahora esta suposición im-plica que existen todas las derivadas. En calculo la derivada no garantiza la continuidad dela función, mucho menos la diferenciabilidad. Mostraremos dos resultados que a partir deeste teorema.

COROLARIO 4.13. Para toda función holomorfa f en un dominio simplemente conexoD ⊆ C. Entonces f (n) es holomorfa en D.

Demostración. Sea F una función holomorfa en un dominio simplemente conexo D ⊆ C, seaz0 ∈ D, por el teorema (4.12) tenemos que para n ∈N

f (n)(z0) =n!

2πi

∮

C

f (z)

(z− z0)n+1 dz,

donde C ⊆ D es un contorno simple cerrado que contiene a z0 en su interior. Ademásrecordemos el ejercicio (4.1), este ejercicio nos dice que la función (z − z0)

−n es de clase

C∞(

C∪C \z0

)

y lo podemos extender a D \ z0, pues la curva C es cualquier curva deJordan que se encuentre enteramente contenida dentro de D. Ahora, tenemos que

∮

C

f (z)

(z− z0)n+1 dz

es holomorfa en D \ z0, asín!

2πi

∮

C

f (z)

(z− z0)n+1 dz,

es holomorfa en D \ z0, pero sabemos que

f (n)(z0) =n!

2πi

∮

C

f (z)

(z− z0)n+1 dz,

De donde se sigue que f (n) es holomorfa en D.

Para toda función holomorfa f en un dominio simplemente conexo D ⊆ C y para todo

TEOREMA 4.14: Desigualdad de Cauchy


z0 ∈ D. Si para todo z ∈ δBR(z0) tal que | f (z)| ≤ M, con M > 0. Entonces

∣∣∣ f (n)(z0)

∣∣∣ ≤ n!

R

n

M.

Demostración. Sea f una función holomorfa en un dominio simplemente conexo D ⊆ C, seaC una curva definida por el contorno de BR(z0) ⊂ D, con R > 0, además si suponemosque existe M > 0 tal que | f (z)| ≤ M. Sea z0 ∈ D, utilizando el teorema (4.12) con n ∈ N

obtenemos

f (n)(z0) =n!

2πi

∮

C

f (w)

(w− z0)n+1 dw (4.22)

y de lo cual tenemos

∣∣∣ f (n)(z0)

∣∣∣ =

∣∣∣∣

n!2πi

∮

C

f (w)

(w− z0)n+1 dw

∣∣∣∣

≤ n!2π

∣∣∣∣

∮

C

f (w)

(w− z0)n+1 dw

∣∣∣∣

≤ n!2π

∮

C

∣∣∣∣

f (z)

(w− z0)n+1

∣∣∣∣

dw

=n!2π

∮

Cdw

notemos que∮

C dw es la longitud de arco, por lo cual tenemos que

=n! ·M

Rn.

Para toda función f entera y acotada. Entonces f es constante.

TEOREMA 4.15: Teorema de Liuville

Demostración. Sea f una función entera y acotada. Sea además z0 ∈ C. Como f es acotada,existe M > 0 tal que | f (z)| ≤ M para todo z ∈ C. Por el teorema (4.14) tenemos que| f ′(z0)| ≤ M

R , siempre que z0 ∈ BR(z) para algún z ∈ C. Si hacemos que R→ ∞ tendremosque

| f (z0)| ≤ 0,

de donde tenemos que | f (z0)| = 0 y directamente implica que f ′(z0) = 0. Y de esto pode-mos concluir que f (z0) es constante, ahora como escogimos un zo ∈ C arbitrario tenemosque f es constante.

Este resultado es importante, pues notemos que en los reales no tenemos esta propiedad.Para mostrarlo basta poner como ejemplo a la función Seno. Sabemos que es de clase C∞(R)

ya demás está acotada, pero esto no implica que sea constante.


Para toda función compleja f definida sobre un dominio simple cerrado contenido enD ⊆ C y si para toda curva simple cerrada contenida en D cumple que

∮

C f (z) dz = 0.Entonces f es holomorfa.

TEOREMA 4.16: Teorema de Morera

Demostración. Sea f una función definida sobre un dominio simplemente cerrado D ⊆ C ysea C una curva simple cerrada que está enteramente contenida en D tal que

∮

Cf (z) dz = 0, (4.23)

entonces tenemos que la integral que une dos puntos z0 ∈ D y z1 ∈ D es independiente delcamino.

De la ecuación (4.23) y tomando dos curvas simples C1 y C2 como se muestra en el gráficoanterior tenemos que

∫

C1

f (z) dz =∫

C2

f (z) dz. (4.24)

Como f es independiente del camino en D tenemos por el teorema (4.8) tenemos que f

tiene primitiva en D. Así, sea F la primitiva de f en D, por definición de primitiva tenemosque F′(z) = f (z) para todo z ∈ D, como D es un dominio simplemente conexo tenemosque F es holomorfa en D, por lo cual tenemos que f es holomorfa en D.

LEMA 4.17. Para todo polinomio complejo p(z) de orden n, tenemos que existe R > 0tal que si |z| > R entonces

12|an| |zn| ≤ |p(z)| ≤ 3

2|an| |zn|.

Demostración. Sea p(z) un polinomio complejo de orden n, tenemos lo siguiente

|p(z)| =∣∣∣∣∣

n

∑k=0

akzk

∣∣∣∣∣

= |an| |zn|∣∣∣∣∣

n

∑k=0

ak

an zn−k

∣∣∣∣∣

.


Notemos quen

∑k=0

ak

an zn−k→ 1,

cuando z→ ∞. Recordemos que la definición ε− δ de límite es la siguiente

(∀ε > 0)(∃M > 0)

(

|z| > M⇐⇒∣∣∣∣∣

n−1

∑k=0

ak

an zn−k

∣∣∣∣∣< ε

)

. (4.25)

Sea ε > 0. Para ε tenemos que existe M > 0 tal que se cumple (4.25). Así, tenemos losiguiente

∣∣∣∣∣

n−1

∑k=0

ak

an zn−k

∣∣∣∣∣≤

n−1

∑k=0

∣∣∣∣

ak

an zn−k

∣∣∣∣

<

n−1

∑k=0

|an−k

|an|Mk+1 (4.26)

Si M ≥ 1 tenemos que de (4.26) que∣∣∣∣∣

n−1

∑k=0

ak

an zn−k

∣∣∣∣∣< max

1≤i≤n−1

∣∣∣∣

an−k

an

∣∣∣∣

(n

∑k=1

1Mk

)

≤ max1≤i≤n−1

∣∣∣∣

an−k

an

∣∣∣∣

n

Mn(4.27)

o si 0 < M < 1 tenemos de (4.26) que∣∣∣∣∣

n−1

∑k=0

ak

an zn−k

∣∣∣∣∣< max

1≤i≤n−1

∣∣∣∣

an−k

an

∣∣∣∣

n

M. (4.28)

De (4.27) y (4.28) podemos obtener ε.

Ahora, tomemos ε = 12 , existe M > 0 tal que si |z| > M implica que

∣∣∣∣∣

n

∑k=1

an−k

an zk

∣∣∣∣∣<

12

. (4.29)

Notemos que∣∣∣∣∣1 +

n

∑k=1

an−k

an zk

∣∣∣∣∣≤ |1|+

∣∣∣∣∣

n

∑k=1

an−k

an zk

∣∣∣∣∣<

32

, (4.30)

mientras que∣∣∣∣∣1 +

n

∑k=1

an−k

an zk

∣∣∣∣∣≥∣∣∣∣∣|1|+

∣∣∣∣∣

n

∑k=1

an−k

an zk

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣>

12

. (4.31)

De (??) y (4.31) tenemos que

12|an| |zn| ≤ |p(z)| ≤ 3

2|an| |zn|.


A través del teorema (4.15) vamos a demostrar que C es algebraicamente cerrado.

Otra manera de escribir que C es algebraicamente cerrado es la siguiente:

Para todo polinomio p(z) no constante de orden n, con coeficientes en C, entonces p

tiene al menos una raíz en C.

TEOREMA 4.18: C es algebraicamente cerrado

Demostración. Sea p(z) = ∑nk=0 akzk, donde ak ∈ C para cada k ∈ 1, 2, . . . , n, an 6= 0 y

además p no es constante. Por absurdo, supongamos que para todo z ∈ C tenemos quep(z) 6= 0. Definamos la función f (z) = 1

p(z), notemos que f está bien definida en todo C,

además como p es entera tenemos que f es entera. Por el lema (4.17) tenemos que | f (z)| → 0,cuando |z| → ∞.

Sea ε = 1. Para ε, existe M > 0 tal que si |z| > M implica que | f (z)| < |, pero esto esequivalente a decir que para F está acotada en C \ BM(0).

Por otro lado, para todo z ∈ BM(0) tenemos que f está acotada, pues notemos queBM(0) es un compacto y además f es continua en BM(0), por eso tenemos que f

(BM(0)

)

está acotado.

Por lo anterior tenemos que f está acotada en C ya demás es entera, por el teorema(4.15) se tiene que f es constante, esto implica directamente que p está acotado. Esta es unacontradicción, pues supusimos que p no era constante. Por lo que existe z0 ∈ C tal que

p(z0) = 0.

SUCESIONES Y SERIES

Sucesiones y Series Numéricas

Sucesiones Numéricas

Definimos una sucesión como una función z tal que

z : N −→ C

n 7−→ z(n) = zn.

Y la notaremos como el conjunto znn∈N.

DEFINICIÓN 5.1: Sucesión

Notemos que la notación znn∈N es un abuso de notación, pues como z es una funciónlo normal sería notar a la sucesión por z(N).

Para toda sucesión znn∈N y para toda función creciente σ : N → N. Decimos quezσ(n)n∈N es una subsucesión de znn∈N.

DEFINICIÓN 5.2: Subsucesión

Decimos que una sucesión znn∈N converge si existe algún z ∈ C tal que

lımn→∞

zn = z

o de manera equivalente

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(n ≥ N =⇒ zn ∈ Bε(z)).

DEFINICIÓN 5.3: Convergencia

Puesto que znn∈N ⊂ C, tenemos que a cada elemento de la sucesión lo podemosrepresentar como una suma de elementos reales, es decir, a cada zn lo podemos escribircomo zn = xn + iyn donde xn, yn ∈ R. De esto podemos ver que a la sucesión znn∈N lapodemos escribir como la suma de dos sucesiones reales xnn∈N y ynn∈N.

znn∈N = xnn∈N + iynn∈N = xn + iynn∈N.

99

100 Sucesiones y Series

PROPOSICIÓN 5.1 (Caracterización de convergencia). Para toda sucesión znn∈N ⊂C. La sucesión znn∈N converge sí y solo si Re(zn)n∈N y Im(zn)n∈N convergen.

Demostración. Sea la sucesión znn∈N ⊂ C, tal que a cada elemento n−ésimo lo podamosrepresentar como zn = xn + iyn, con xn, yn ∈ R.

Notemos que tenemos las siguientes cadenas de desigualdades

|xn − x| ≤ |zn − z| ≤ |xn − x|+ |yn − y| (5.1)

y|yn − y| ≤ |zn − z| ≤ |xn − x|+ |yn − y|. (5.2)

1. Supongamos que zn → z, tomando el limite cuando n→ ∞ en las desigualdades (1.1)y (1.2) obtenemos que xn → x y yn → y.

2. Supongamos que xn → x y yn → y, Así, si tomamos el límite cuando n → ∞ en ladesigualdad (1.1) obtenemos que zn → z.

PROPOSICIÓN 5.2. Para todo par de sucesiones znn∈N, wnn∈N ⊂ C convergentesen C, tales que zn → z y wn → w, se tiene las siguientes propiedades:

1. Unicidad del límite,

2. para todo α ∈ C se tiene que zn + αwn → z + αw,

3. znwn → zw,

4. si w 6= 0, znwn→ z

w y

5. f es continua sí y solo si f (zn)→ f (z).

Demostración.

1. Sea znn∈N una sucesión convergente, supongamos que zn → z y zn → w, y seaε > 0. Por la definición (3) para ε

2 existen N1, N2 : N tales que

si n > N1 =⇒ |zn − z| < ε

2(5.3)

y

si n > N1 =⇒ |zn −w| < ε

2. (5.4)

5.1 Sucesiones y Series Numéricas 101

Ahora, tomemos N := maxN1, N2, si n > N obtenemos lo siguiente

|z− w| ≤ |zn − z|+ |zn − w| < ε. (5.5)

De la desigualdad (1.5) tenemos que z = w.

2. Sean znn∈N y wnn∈N dos sucesiones convergentes, y además sea α ∈ C. Ex-presando a las sucesiones anteriores como znn∈N = xn + iynn∈N y wnn∈N =

an + ibnn∈N, con xnn∈N, ynn∈N, ann∈N, bnn∈N ⊂ R. Por hipótesis tenemosque

xn + iyn → x + iy y an + ibn → a + ib. (5.6)

Notemos que

zn + αwn = x + iyn + (α1 + iα2)(an + ibn)

= xn + α1an − α2bn + i(yn + α2an + α1bn), con α = α1 + iα2

para todo n ∈ N. Ahora, notemos que las sucesiones xn + α1an − α2bnn∈N y yn +

α2an + α1bnn∈N son sucesiones reales convergentes, tales que

xn + α1an − α2bn → x + α1a− α2b y yn + α2an + α1bn → y + α2a + α1b. (5.7)

De (1.7) tenemos quezn + αwn → z + αw.

3. Sean znn∈N y wnn∈N dos sucesiones convergentes expresadas como znn∈N =

xn + iynn∈N y wnn∈N = an + ibnn∈N. Por hipótesis tenemos que

zn = xn + iyn → x + iy y wn = an + ibn → a + ib. (5.8)

Ahora, notemos que

znwn = xnan − ynbn + i(xnbb + ynan), (5.9)

para todo n ∈ N. De (1.9) tenemos que

xnan − ynbn → xa− yb y xnbb + ynan → xb + ya. (5.10)

De (1.8) y (1.10) tenemos queznwn → zw.

4. Es similar a la anterior.

5.


Decimos que una sucesión znn∈N ⊂ C es de Cauchy si cumple con lo siguiente

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(n, m ≥ N =⇒ |zn − zm| < ε).

DEFINICIÓN 5.4: Sucesión de Cauchy

PROPOSICIÓN 5.3 (Criterio de convergencia de Cauchy). Para toda sucesión znn∈N ⊂C. La sucesión znn∈N converge sí y solo si znn∈N es de Cauchy.

Demostración.

Series Numéricas

Para toda sucesión znn∈N, decimos que

Sn =n

∑k=0

zk

es una suma parcial.

DEFINICIÓN 5.5: Sumas parciales

Una serie es una sucesión de sumas parciales y se la nota como Snn∈N, donde Sn

son las sumas parciales de una sucesión znn∈N.

DEFINICIÓN 5.6: Serie numérica

Por notación se representa a una serie como ∑n∈N

zn o+∞

∑k=0

zk.

Decimos que una serie Snn∈N converge sí y solo si existe S ∈ C tal que

lımn→+∞

Sn = ∑n∈N

zn = S.

DEFINICIÓN 5.7: Convergencia de Series

PROPOSICIÓN 5.4 (Condición necesario para que una serie converja). Para toda seriecompleja ∑

n∈N

zn sea convergente, se necesita que

lımn→+∞

zn = 0.

Demostración. Sea ∑n∈N

zn una serie convergente. Como una serie es una sucesión de sumas

parciales podemos usar el criterio de Cauchy. Así, sea ε > 0, para ε existe n ∈ N tal que si


n, n− 1 ≥ N implica que|Sn − sn−1| = |zn| < ε. (5.11)

Hemos llegado a dado un ε, existe N ∈ N tal que si n > N implica que |zn| < ε que es lomismo que zn → 0.

OBSERVACIÓN. Generalmente se usa el recíproco de la proposición (1.4), pues esta nos dáuna condición suficiente de divergencia.

Decimos que una serie ∑n∈N

zn es de Riemman, si la podemos expresar como

∑n∈N

1nα

,

donde α ∈ C.

DEFINICIÓN 5.8: Serie de Rieman

Una serie de Riemman converge sí Re(α) > 1 y diverge si 0 ≤ Re(α) ≤ 1.

Para toda serie que se pueda expresar como

∑n∈N

azn,

donde a ∈ C, la llamamos serie geométrica.

DEFINICIÓN 5.9: Serie Geométrica

EJERCICIO 5.1. ¿Bajo que condición la serie geométrica ∑n∈N

azn converge?

Solución. Sea ∑n∈N

azn una serie geométrica. Notemos que

n

∑k=0

azk = a1− zn+1

1− z. (5.12)

Ahora, si tomamos el límite cuando n→ +∞ a la ecuación (1.12) obtenemos lo siguiente

lımn→+∞

n

∑k=0

azk = a lımn→+∞

1− zn+1

1− z= a

(

1− lımn→+∞

zn+1

1− z

)

. (5.13)

Para que exista el límite anterior debemos demostrar quezn+1

1− zconverge, es decir, que

su límite existe. Así, sea ε > 0, debemos demostrar que existe N ∈ N tal que si n > N

implica que∣∣∣∣

zn+1

1− z

∣∣∣∣< ε.


Tenemos lo siguiente∣∣∣∣

zn+1

1− z

∣∣∣∣=

∣∣zn+1

∣∣

|1− z| , (5.14)

pero esto queremos que sea menor a ε.

Aplicando Logaritmo Natural1 en la ecuación (1.14) tomando en cuenta la condición quequeremos, obtenemos lo siguiente

n <ln ε + ln |1− z|

ln |z| − 1 = ρ(ε, z). (5.15)

De la desigualdad (1.15), se tiene que tomando N ∈ N tal que N < ρ(ε, z) se tiene elresultado.

Así, si |z| < | implica que

lımn→+∞

n

∑k=0

azk =a

1− z−

Si |z| ≥ 1 la serie geométrica diverge.

PROPOSICIÓN 5.5. Para toda sucesión znn∈N tal que para todo n ∈ N zn = xn + iyn,con xn, yn ∈ R. ∑

n∈N

zn converge sí y solo si ∑n∈N

xn y ∑n∈N

yn convergen.

Demostración. Sea znn∈N una sucesión tal que para todo n ∈N zn = xn + iyn, con xn, yn ∈R. Notemos que tenemos

|xn| ≤ |zn| ≤ |xn|+ |yn| (5.16)

y de similar manera|yn| ≤ |zn| ≤ |xn|+ |yn|. (5.17)

1. Supongamos que ∑n∈N

zn converge, lo que implica que la serie es de Cauchy. Sea ε > 0,

para ε, existe N ∈ N tal que si n, n− 1 ≥ N implica que∣∣∣∣∣

n

∑k=0

zk −n−1

∑k=0

zk

∣∣∣∣∣= |zn| < ε (5.18)

De las desigualdades (1.17) y (1.18) obtenemos que∣∣∣∣∣

n

∑k=0

xk −n−1

∑k=0

xk

∣∣∣∣∣= |xn| < ε. (5.19)

Como para cualquier ε > 0 existe N ∈ N tal que si n, n− 1 ≥ N implica la desigualdad(1.19), tenemos que la serie ∑

n∈N

xn es de Cauchy.

1El real.


Para la serie ∑n∈N

yn el procedimiento es similar, si no que para esta debemos usar la

desigualdad (1.17).

2. Ahora, supongamos que las series ∑n∈N

xn y ∑n∈N

yn convergen. Como convergen, se

tiene que son de Cauchy. Sea ε > 0, para ε2 , existen N1, N2 ∈ N tal que si n, n− 1 ≥

N := maxN1, N2 implica que∣∣∣∣∣

n

∑k=0

xk −n−1

∑k=0

xk

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

n

∑k=0

xk −n−1

∑k=0

xk

∣∣∣∣∣< ε, (5.20)

de ls desigualdades (1.16) y (1.20) obtenemos que∣∣∣∣∣

n

∑k=0

zk −n−1

∑k=0

zk

∣∣∣∣∣= |zn| < ε. (5.21)

De lo que podemos concluir que la serie ∑n∈N

zn es de Cauchy, lo que implica que esta

converge.

Para toda serie ∑n∈N

zn. Decimos que la serie ∑n∈N

zn converge absolutamente si ∑n∈N

|zn|converge.

DEFINICIÓN 5.10: Absolutamente Convergente


zn que converge, pero que no converge absolutamente decimos que

la serie ∑n∈N

zn converge condicionalmente.

DEFINICIÓN 5.11: Convergencia Condicional

PROPOSICIÓN 5.6. Para toda serie absolutamente convergente ∑n∈N

zn. Entonces la se-

rie ∑n∈N

zn converge.

Demostración.

DEFINICIÓN 5.12: Serie alternante



zn que se puede expresar como

∑n∈N

zn = ∑n∈N

(−1)nan,

la llamamos serie alternante.

Una serie alternante ∑n∈N

(−1)nan converge si an → 0 y La sucesión an es decreciente.2

OBSERVACIÓN. Si alguna de las condiciones anteriores falla, decimos que el criterio no con-cluye, es decir, no podemos decir si la serie converge o diverge.

OBSERVACIÓN (Criterio de la razón). Para toda serie ∑n∈N

zn, decimos que la serie converge

si

lımn→+∞

∣∣∣∣

zn+1

zn

∣∣∣∣= L < 1,

diverge si L > 1 y que el criterio no concluye si L = 1.

OBSERVACIÓN (Criterio de la raíz). Para toda serie ∑n∈N

zn, decimos que la serie converge si

lımn→+∞

∣∣∣∣

n

√

|zn|∣∣∣∣= L < 1,

diverge si L > 1 y que el criterio no concluye si L = 1.

Sucesiones y Series de Funciones

Sucesiones de Funciones

Para toda sucesión fnn∈N de funciones complejas. Para z0 ∈ C, decimos que la su-cesión fnn∈N converge puntualmente a una función compleja f en z0 si

lımn→∞

fn(z0) = f (z0)

o equivalentemente

(∀ε > 0)(∃Nε,z0 ∈N)(∀n ≥ N =⇒ | fn(z0)− f (z0)| < ε).

DEFINICIÓN 5.13: Convergencia puntual

Para toda sucesión fnn∈N de funciones complejas. Para z0 ∈ D ⊆ C, decimos que la

DEFINICIÓN 5.14: Convergencia puntual en un conjunto

2En sentido complejo, es decir, si tenemos que |a0| ≤ |a1 | ≤ |a2| ≤ · · ·.

5.2 Sucesiones y Series de Funciones 107

sucesión fnn∈N converge puntualmente a una función compleja f en D si

(∀ε > 0)(∀z ∈ D)(∃Nε ∈ N)(∀n ≥ N =⇒ | fn(z0)− f (z0)| < ε).

Para toda sucesión fnn∈N de funciones complejas, decimos que la sucesión fnn∈N

converge uniformemente a f en D ⊆ C si

(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N)(∀z ∈ D ∧ ∀n ≥ N =⇒ | fn(z)− f (z)| < ε).

DEFINICIÓN 5.15: Uniformemente convergente

Una diferencia entre (14) y (15) es que, la convergencia uniforme converge con la mismatasa de cambio en todo punto de D, mientras que en la convergencia puntual no se tieneesto.

OBSERVACIÓN. Convergencia uniforme implica convergencia puntual.

PROPOSICIÓN 5.7. Para toda sucesión de funciones fnn∈N continuas, si en D ⊆ C lasucesión converge uniformemente a f . Entonces f es continua en D.

Demostración. Sea fnn∈N una sucesión de funciones continuas, uniformemente conver-gente a f en D ⊆ C. Sea ε > 0, como la sucesión fnn∈N converge uniformemente af , tenemos que para ε

3 existe N ∈ N tal que para w, z ∈ D y para n ≥ N tenemos que| fn(w)− f (w)| < ε

3 y | fn(z)− f (z)| < ε3 . Ahora, para ε

3 existe δ1 > 0 tal que para w ∈ Bδ1(z)

implica que | fn(w)− fn(z)| < ε3 .

Para z, w ∈ D tales que cumplen con lo anterior, tenemos lo siguiente

| f (w)− f (z)| = | f (w)− fn(w) + fn(w)− fn(z) + fn(z)− f (z)|≤ | f (w)− fn(w)|+ | fn(w)− fn(z)|+ | fn(z)− f (z)|

<ε

3+

ε

3+

ε

3= ε.

Así, tomando δ = δ1 se sigue que

| f (w)− f (z)| < ε,

es decir, f es continua en D.

OBSERVACIÓN.

PROPOSICIÓN 5.8. Para toda sucesión de funciones fnn∈N continuas en Γ una curvasuave, si la sucesión fnn∈N converge uniformemente a f en Γ. Entonces

∫

Γfn(z) dz→

∫

Γf (z) dz


o lo que es equivalente

lımn→+∞

∫

Γfn(z) dz =

∫

Γf (z) dz.

Demostración. Sea fnn∈N una sucesión de funciones continuas en Γ una curva suave, yconverge uniformemente a f en Γ. Sea ε > 0, para ε = ε

L existe N ∈ N tal que para n ≥ N

implica que| fn(z)− f (z)| < ε,

donde L =∫

Γdz. Consideremos lo siguiente

∣∣∣∣

∫

Γfn(z) dz−

∫

Γf (z) dz

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

∫

Γfn(z)− f (z) dz

∣∣∣∣

≤∫

Γ| fn(z)− f (z)| dz

< εL = ε.

Series de Funciones

Como lo habíamos visto, una serie es una sucesión de sumas parciales. La idea de unaserie de funciones es la representación de sumas parciales de funciones evaluadas en unpunto, es decir, transformar una serie de funciones en una serie numérica.

Para toda sucesión de funciones complejas fnn∈N, una serie de funciones es unasucesión de sumas parciales tal que

∑n∈N

fn(z).

DEFINICIÓN 5.16: Serie de Funciones

Lo expuesto en la sección acerca de series numéricas se aplican a las series de funciones,con la diferencia que estas propiedades las aplicamos a cada z en su dominio.

Tomando esto en cuenta, es posible introducir a la convergencia uniforme de una serie.


fn(z), decimos que la serie ∑n∈N

fn(z) converge uniformemente a f

en z ∈ D si se cumple lo siguiente

(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N)

(

∀z ∈ D ∧ ∀n ≥ N =⇒∣∣∣∣∣

∑0≤k≤n

fn(z)− f (z)

∣∣∣∣∣< ε

)

.

DEFINICIÓN 5.17: Convergencia Uniforme de Series

5.3 Series de Potencia 109

Notemos que la última parte de la definición (17) es equivalente a∣∣∣∣∣

∑0≤k≤n

fn(z)− f (z)

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∑k>n

fn(z)

∣∣∣∣∣,

es decir, para analizar la convergencia uniforme de una serie de funciones solo debemosanalizar la convergencia de su cola.

Para toda sucesión de funciones complejas fnn∈N definidas sobre D ⊆ C y para∑n∈N Mk una serie real convergente tal que para todo n ∈ N y para todo z ∈ D tene-mos que | fn(z)| ≤ Mn. Entonces la serie ∑

n∈N

fn(z) converge absolutamente y además

converge uniformemente.

TEOREMA 5.9: Criterio M de Weierstrass

Demostración. Sean fnn∈N una sucesión de funciones complejas y ∑n∈N Mn una serie realconvergente. Supongamos que para todo z ∈ D y para todo n ∈N | fn(z)| ≤ Mn.

Sea ε > 0, como ∑n∈N Mn es una serie convergente tenemos que para ε existe N ∈ N talque si n ≥ N implica que

∣∣∣∣∣∑k>n

Mk

∣∣∣∣∣< ε. (5.22)

Para n ≥ N tenemos que∣∣∣∣∣∑k>n

fn(z)

∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣∑k>n

| fn(z)|∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣∑k>n

Mk

∣∣∣∣∣

. (5.23)

Ahora, de (1.22) y (1.23) tenemos que∣∣∣∣∣∑k>n

fn(z)

∣∣∣∣∣< ε. (5.24)

Pero notemos que esto se cumple para un N ∈ N dado ε, es decir, la serie ∑n∈N

fn(z) con-

verge uniformemente. Notemos que esto mismo implica que la serie ∑n∈N

fn(z) converge

absolutamente.

Series de Potencia

La idea de introducir las series de potencia es el análisis de las series de Taylor, Maclauriny de manera más importante las series de Laurent.


A toda serie de la forma ∑n∈N an(z− z0)n con la sucesión ann∈N ⊂ C se la llama

serie de potencia centrada en z0 ∈ C.

DEFINICIÓN 5.18: Series de Potencia

Al máximo radio R > 0 de la bola centrada en z0, para el cual la serie de potencia

∑n∈N an(z− z0)n converge absolutamente se lo llama radio de convergencia.

DEFINICIÓN 5.19: Radio de Convergencia de una serie de potencia

A continuación veremos una manera de encontrar dicho radio de convergencia.

Consideremos la serie de potencias ∑n∈N an(z− z0)n, por el criterio de la razón tenemos

sabemos que para que la serie de potencias converja se necesita que

lımn→+∞

∣∣∣∣

an+1(z− z0)n+1

an(z− z0)n

∣∣∣∣= |z− z0| lım

n→+∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= |z− z0|L, (5.25)

BIBLIOGRAFÍA

[1] M Distéfano, M Aznar, y M Pochulu. Errores asociados a la representación geométrica-vectorial de los números complejos: un análisis ontosemiótico, 2012.

[2] Erwin Kreyszig. Advanced engineering mathematics. John Wiley, 9th ed edición, 2006.

[3] Bernard Epstein Liang-shin Hahn. Classical complex analysis. Jones and Bartlett books inmathematics and computer science. Jones and Bartlett Publishers, 1st edición, 1996.

[4] Dennis G. Zill y Patrick D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis with Applications.Jones and Bartlett Publishers, Inc., 1 edición, 2003.

111

ÍNDICE ALFABÉTICO

Argumento principal, 18Armonica

conjugada, 71

CampoAlgebráicamente cerrado, 7

Conjugado, 4Conjunto C, 1Continuidad, 48Coordenadas

conjugadas, 65polares, 18

Curvacerrada, 75Jordan, 76simple, 74suave, 75suave a trozos, 76

Deformación de contornos, 81Desiguadad de Cauchy, 91Diferenciación, 55Dominio, 31

multiplemente conexo, 79simplemente conexo, 79

Ecuaciones de Cauchy-Riemman, 60

Fórmula de Euler, 22Fórmula integral de Cauchy

1, 892, 90

Funciómexponencial, 35

Funciónin f ty−variación, 32n−valuada, 31armónica, 69clase C2, 69coseno, 37coseno hiperbólico, 39entera, 68logaritmo principal, 41racional, 34seno, 37seno hiperbólico, 39simple, 31

Función1Parte imaginaria, 32Función1Parte real, 32

Holmorfíaen un conjunto, 65

Holomorfía, 64condición necesaria en un conjunto, 67condición necesaria puntual, 67condición suficiente puntual, 67

Independencia de caminos, 86Integral

contorno, 78

Límite, 44al infinito, 46infinito, 46

Módulo, 4

Número complejo, 1

113

114 Índice alfabético

Norma, 15

Operaciones con números complejos, 2

Parametrización, 74Parte

Imaginaria, 3Real, 3

Plano Complejo, 4Potencia compleja, 42Potenciación de números complejos, 25Primitiva, 86Propiedades de multiplicación y división en

coordenadas polares, 20

Raíz n−ésima de z ∈ C, 23Regla

de L’Hôpital, 68

Teoremade Cauchy

dominios multiplemente conexos, 84dominios simplemente conexos, 79

de Liuville, 91de Morera, 92fundamentaldel cálculo complejo

1, 872, 89

Teorema de Moivre, 21

cuadernos de matemática de la escuela politécnica nacional€¦ · 1.2 operaciones sobre c 5 2....

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