cuaderno no. 7 categorías

CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 7

Categoras

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de ColombiaSede de Bogota

30 de junio de 2014

ii

Cuaderno dedicado a Luis Alberto, mi hermano

Contenido

Prologo iv

1. Categoras 11.1. Concepto de categora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Tipos de morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Tipos de objetos y dualidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Subobjeto y objeto cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Interseccion y union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Imagen y coimagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7. Nucleos y conucleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8. Producto y suma fibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9. Imagen inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.10. Producto y coproducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.11. Las categoras ModA y Ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Categoras abelianas 542.1. Categoras aditivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2. Categoras abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3. Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. Funtores 683.1. Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2. Funtores exactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3. Lmites y colmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Bibliografa 86

iii

Prologo

La coleccion Cuadernos de algebra consta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestra;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos; categoras; algebra homologica;algebra no conmutativa; algebra conmutativa y geometra algebraica. Cada cuadernoes fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombiaen los ultimos 25 anos, y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas encada uno de ellos, como tambien en el libro Anillos, Modulos y Categoras, publicadopor la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edicionesta totalmente agotada (vease [5]). Un material similar, pero mucho mas completoque el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Al-gebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (vease[4]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de algebra sea su presentacion ordenaday didactica, as como la inclusion de muchas pruebas omitidas en la literatura ysuficientes ejemplos que ilustran la teora. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categoras

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa

5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometra algebraica

Los cuadernos estan dividido en captulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada captulo se anade al final una lista de ejercicios que debera sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de categoras. Este cuaderno consta de tres partes: en la primerase presentan las nociones basicas de categoras las cuales se ilustran en las categorasde modulos y anillos. En la segunda se definen las categoras aditivas y abelianas y

iv

PROLOGO v

se introducen las sucesiones exactas. La terecera parte esta dedicada a los funtores,transformaciones naturales y al estudio de lmites y colmites.

Para una buena compresion del presente cuaderno se recomienda al lector consul-tar los cuadernos 1, 2, 3 y 6 (veanse [6], [7], [8] y [9]) ya que usaremos los resultadosy la notacion consignados en ellos. En particular, A denotara un anillo no ncesaria-mente conmutativo y con unidad 1; A denota el grupo multiplicativo de los elemen-tos invertibles del anillo A. Si f es un homomorfismo de anillos, entonces f(1) = 1.Salvo que se advierta lo contrario, los modulos seran considerados a derecha. Si Mes un A-modulo a derecha lo denotaremos tambien por MA. Si N es un submodulode M escribiremos N M . Para n 1, Mn(A) es el anillo de matrices cuadradasde tamano n n con componentes en A, GLn(A) denota el grupo lineal generalde orden n sobre A, es decir, GLn(A) = Mn(A)

. La matriz identica de tamanon n se denota por En. An denota el A-modulo libre derecho de vectores columnade longitud n con entradas en A.

El autor desea agradecer a Milton Armando Reyes Villamil, discpulo y amigo,por el trabajo cuidadoso realizado al digitar el contenido del presente cuaderno.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]

vi PROLOGO

Captulo 1

Categoras

1.1. Concepto de categora

La teora de categoras y funtores ha adquirido en los ultimos anos un desarrollo talque se ha convertido en una rama del algebra y la logica con metodologa y dinamicapropias. Para un buen numero de areas de la matematica, entre ellas el algebra, lateora de categoras ha jugado un papel importante de lenguaje, a traves del cual sepresentan y obtienen resultados de una manera global y elegante. Esta funcion dellenguaje fue precisamente la que nos motivo a incluir en esta coleccion de cuadernosalgunos elementos basicos de teora de categoras.

Nuestro proposito es presentar los conceptos basicos en categoras, ilustrandolosa traves de dos casos particulares: la categora de A-modulos derechos, ModA, y lacategora de anillos con unidad Ani. Esta escogencia, ademas de generalizar algunasconstrucciones y resultados presentados en [6], [7] y [8], prepara el terreno para laintroduccion a la K-toera que haremos en el ultimo captulo.

Con el fin de evitar caer en los rigores de la logica, no definimos los conceptosde objeto y morfismo de una categora. En su lugar definimos una categora comouna coleccion de objetos y morfismos sujetos a ciertos axiomas.

Definicion 1.1.1. Una categora C se define por:(a) Una coleccion no vaca cuyos elementos se llaman objetos. Esta coleccion se

denota por Ob(C).(b) Una coleccion no vaca de conjuntos disyuntos y eventualmente vacos:

{MorC(X, Y )}X,Y Ob(C).

Los elementos del conjunto MorC(X, Y ) se denominan morfismos del ob-jeto X en el objeto Y y se denota tambien por Mor(X, Y ). Un elemento de

1

2 CAPITULO 1. CATEGORIAS

MorC(X,Y ) se representa por f : X Y , Xf Y , o sencillamente X Y .

X se llama el dominio del morfismo f , mientras que Y es llamado el codo-minio.

La reunion de todos los conjuntos de morfismo de C sera notada Mor(C), estoes,

Mor(C) :=

X,Y Ob(C)Mor(X, Y ).

(c) Una operacion entre morfismos llamada composicion, tal que si X, Y, Z sonobjetos de C, f Mor(X, Y ) y g Mor(Y, Z), existe un unico morfismog f Mor(X,Y ):

Mor(X, Y )Mor(Y, Z) Mor(X,Z) (1.1.1)(f, g) 7 g f (1.1.2)

La operacion cumple las siguientes condiciones:

(i) Es asociativa, es decir, dados f Mor(X, Y ), g Mor(Y, Z) y h Mor(Z,W ) se cumple

(h g) f = h (g f). (1.1.3)

(ii) Para cada objeto X en C existe un morfismo identidad iX en Mor(X,X)tal que

iX f = f, g iX = g, (1.1.4)para todo f Mor(Y,X) y todo g Mor(X, Y ).

Observacion 1.1.2. (i) Es claro a partir de la Definicion 1.1.1 la unicidad delmorfismo identidad.

(ii) Si en (1.1.1) Mor(X, Y ) o Mor(Y,Z) son vacos, la composicion no se define.(iii) Para representar la composicion de morfismos en una categora se utilizan

diagramas . As pues, las composiciones en (1.1.3) y (1.1.4) pueden representarsepor el diagrama

X W

Y Z

-

?

f@@@@R

hg-

g

gf6h

h (g f) = (h g) f

1.1. CONCEPTO DE CATEGORIA 3

Y X

X Y

-f

?f=iXf

iX

?g=giX

-g

(iv) Un diagrama se dice conmutativo si para cualesquiera dos objetos X,W enel, todos los caminos de X a W son equivalentes.

Ejemplo 1.1.3. El ejemplo mas sencillo de categora es la de los conjuntos, lacual se denota por Conj. Sus objetos son la coleccion de todos los conjuntos; lasfunciones conforman los morfismos, y la operacion entre estos es la composicionusual de funciones. Dado un conjunto X, el morfismo identidad es la funcion identicaiX : X X, x 7 x. Se define i := , Mor(, A) := {}, para cada conjunto A;Mor(A, ) = para cada conjunto A 6= ; A f B, f = .Definicion 1.1.4. Dadas dos categoras C, C , se dice que C es una subcategorade C si se cumplen las siguientes cuatro condiciones:(i) Todo objeto de C es tambien un objeto de C. En terminos de contenencia de

clases esto quiere decir que Ob(C ) Ob(C).(ii) Dados X, Y Ob(C ), todo morfismo f : X Y en C tambien lo es en C,

esto es, MorC (X, Y ) MorC(X, Y ).(iii) La composicion de morfismos en C es la inducida por la composicion de mor-

fismos en C.(iv) Para cada objeto X de C , el morfismo identidad es el mismo morfismo iden-

tidad de la categora C.Ejemplo 1.1.5. Otras categoras. La coleccion de todos los grupos junto con loshomomorfismos constituyen una categora denotada por Grp. La operacion entremorfismos es la composicion, mientras que el morfismo identidad se define como enConj. De otra parte, los anillos con unidad junto con los homomorfismos de anilloque preservan la unidad conforman una categora denotada por Ani. Finalmente,para un anillo con unidad A,ModA es la categora de todos los A-modulos derechoscuyos objetos son los A-modulos derechos y los morfismos son los A-homomorfismos.Tanto la operacion como las identidades se definen como en Grp y Ani. Si seconsideran A-modulos izquierdos, la categora se denota por AMod.

En cada categora debe tenerse un criterio de igualdad de objetos y morfismos.As, en las categoras descritas anteriormente, la igualdad de objetos esta caracter-izada por la igualdad de conjuntos y la igualdad de operaciones definidas en ellos.


La igualdad de morfismos se define mediante la igualdad de funciones. Notese porejemplo que el anillo producto ZN y el anillo de sucesiones formales Z[[x]] son dife-rentes, a pesar de que sus conjuntos coinciden. De esta manera, ZN y Z[[x]] no sonobjetos iguales en la categora Ani.

De otra parte, observese que la coleccion de conjuntos finitos conforma una sub-categora de Conj; la coleccion de grupos abelianos es una subcategora de Grp.

Definicion 1.1.6. Una categora C se dice pequena si Ob(C) es un conjunto.

Ejemplo 1.1.7. La categoraNat determinada por el conjunto N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }es pequena. Su unico objeto es el 0, y se define Mor(0, 0) := {0 n 0 | n N0}. Lacomposicion entre morfismos corresponde a la multiplicacion, es decir, si 0

n 0 y0

m 0 son morfismos, se define m n := mn. La asociatividad de la mutiplicacionimplica la asociatividad de la composicion. El morfismo identidad es el entero 1.

Ejemplo 1.1.8. Cualquier conjunto pre-ordenado constituye otro ejemplo de cate-gora pequena, denotada Pre. Sea P un conjunto no vaco con una relacion 4 la cuales reflexiva y transitiva. P constituye los objetos de Pre; para x, y P se define

Mor(x, y) :=

{, si x y{(x, y)}, si x 4 y.

La composicion de morfismos se define por la transitividad de la relacion 4, es decir,para x

f y, y g z se tiene que g f = h : x z, pues x 4 y, y 4 z implica x 4 z.

En adelante, si no se advierte lo contrario, se entendera que todos los objetos ymorfismos corresponden a una categora arbitraria C.

Cerramos esta seccion con el concepto de factorizacion de morfismos.

Definicion 1.1.9. Un morfismo f : X Y se dice factorizable a traves delmorfismo g : X Z (se acostumbra a decir que f es factorizable a traves del objetoZ), si existe un morfismo h : Z Y tal que el siguiente diagrama conmuta

Z

X Y

@@Rh

g

-f

es decir, f = h g.

1.2. TIPOS DE MORFISMOS 5

1.2. Tipos de morfismos

La caracterizacion de los conceptos de funcion sobreyectiva, inyectiva y biyectivade la categora Conj conduce a los conceptos de epimorfismo, monomorfismo eisomorfismo en una categora cualquiera. Estas y otras nociones seran estudiadascon algun detalle en esta seccion.

Definicion 1.2.1. Un morfismo f : X Y se dice que es un epimorfismo, sipara todo objeto Z y todo par de morfismos h, g : Y Z se cumple la implicacion

g f = h f g = h.

En otras palabras, h es un epimorfismo si es cancelable a derecha.El morfismo f se dice que es un monomorfismo si es cancelable a izquierda.

Finalmente, se dice que f es un bimorfismo, si es simultaneamente epimorfismoy monomorfismo.

A partir de las definiciones anteriores se obtienen de manera inmediata las si-guientes conclusiones:

(i) La composicion de monomorfismos es un monomorfismo. Si g f es un mono-morfismo, entonces f es un monomorfismo.

(ii) La composicion de epimorfismos es un epimorfismo. Si gf es un epimorfismo,entonces g es un epimorfismo.

(iii) El morfismo identico es un bimorfismo.

Ejemplo 1.2.2. En la categoraModA los epimorfismos coinciden con los homomor-fismos sobreyectivos. En efecto, sea f : M N un homomorfismo sobreyectivo deA-modulos, y sean g, h : N P homomorfismos tales que gf = hf . Dado n Nexiste m M tal que f(m) = n; de aqu resulta g(n) = g f(m) = hf(m) = h(n),es decir, g = h. De otra parte, sea f : M N un epimorfismo en ModA yP := N/Im(f) el modulo cociente de N por la imagen del homomorfismo f . Con-sideremos los A-homomorfismos g, h : N P definidos por g(n) := n + Im(f) yh(n) := 0 + Im(f), para todo n N . Claramente g f = h f , por lo tanto g = h,y de aqu n Im(f) para cada n N , esto es, f es sobreyectiva.

En la categoraModA los monomorfismos son los homomorfismos inyectivos. Enefecto, sea f : M N un homomorfismo inyectivo y g, h : P N homomorfismostales que f g = f h. Para cada x P se cumple que f(g(x)) = f(h(x)), de lo cualresulta que g(x) = h(x), es decir, g = h. Ahora, supongamos que f :M N es unmonomorfismo de ModA y sean m1,m2 M tales que f(m1) = f(m2). Sea P elsubmodulo cclico deM generado por m1m2 y considerense los A-homomorfismos


i, h : P M , inclusion y nulo respectivamente. Se sigue que f i = f h, de dondei = h. En particular, i(m1 m2) = m1 m2 = h(m1 m2) = 0.

Como consecuencia de lo anterior se tiene que en la categora ModA los bimor-fismos son los homomorfismos biyectivos.

Ejemplo 1.2.3. Analogamente a como se probo en la categoraModA, se estableceque enAni todo homomorfismo sobreyectivo de anillos es un epimorfismo. El siguien-te ejemplo muestra que el recproco no es siempre cierto. La inclusion i : Z Qes un homomorfismo no sobreyectivo, sin embargo es un epimorfismo de Ani. Enefecto, sea C un anillo y g, h : Q C homomorfismos tales que g i = h i. Paratodo racional p

qse cumple que

g

(p

q

)= g(p)g(q)1

= g(i(p))g(i(q))1

= h(i(p))h(i(q))1

= h

(p

q

)es decir, g = h.

En la categora Ani los monomorfismos coinciden con los homomorfismos in-yectivos: sea f : A B un homomorfismo en Ani y x, z elementos de A talesque f(x) = f(z). Considerese el subanillo S(x, z) de A generado por los elementosx, z (vease [7]) y las funciones i : S(x, z) A, p(x, z) 7 p(x, z), h : S(x, z) A, p(x, z) 7 p(z, x). Claramente i, h son homomorfismos de anillos que satisfacenf h = f i. Por lo tanto h = i, y en particular, h(x) = z = i(x) = x.

La prueba de que todo homomorfismo inyectivo es monomorfismo es analoga a ladada en el Ejemplo 1.2.2 para modulos. De lo discutido anteriormente se desprendeque en la categora Ani los bimorfismos no coinciden con los homomorfismos biyec-tivos, de tal manera que todo homomorfismo biyectivo es bimorfismo pero no locontrario.

Definicion 1.2.4. El morfismo f : X Y se dice una retraccion, si existe unmorfismo h : Y X tal que f h = iY . En otras palabras, f es una retraccionsi posee un inverso a derecha. Se dice que f : X Y es una corretraccion, sitiene inverso a izquierda. Un isomorfismo es un morfismo que es retraccion ycorretraccion al mismo tiempo.

Notese que para un isomorfismo el inverso por la derecha coincide con el inversopor la izquierda y es el unico que cumple esta doble condicion. Dicho morfismosera llamado el inverso de f , y sera notado por f1. Para indicar que dos objetosX, Y son isomorfos, esto es, que existe un isomorfismo entre ellos, escribimos X = Y .

1.2. TIPOS DE MORFISMOS 7

A partir de las definiciones anteriores es evidente que una retraccion es un epi-morfismo y que toda corretraccion es un monomorfismo. De esto se desprende quetodo isomorfismo es un bimorfismo. Una categora se dice balanceada si todo bi-morfismo es un isomorfismo.

Ejemplo 1.2.5. Consideremos los Z-modulos 2Z := {2k | k Z} y Z con elhomomorfismo inclusion i : 2Z Z, i(2k) = 2k, para todo k Z. Por ser iinyectivo es monomorfismo, sin embargo, i no tiene inverso a izquierda. En efecto,sea g : Z 2Z un homomorfismo tal que g i = i2Z. Si g(1) = 2m con m Z,entonces g(2) = 4m = g(i(2)) = 2, lo cual es absurdo.

De otra parte, el homomorfismo canonico j : Z Z2 es claramente sobreyectivoy, por ende, un epimorfismo. j no es una retraccion ya que el unico Z-homomorfismode Z2 en Z es nulo.

Ejemplo 1.2.6. En la categora Ani la inclusion canonica i : Z Q es unmonomorfismo ya que es un homomorfismo inyectivo. Supongase que existe un ho-momorfismo de anillos g : Q Z tal que g i = iZ. Entonces, 1 = g(1) = g(12+ 12) =2g(1

2), lo cual es absurdo ya que g(1

2) Z. En conclusion, i no es una corretraccion.

El mismo ejemplo dado en el ejemplo 1.2.5 ilustra que en Ani no todo epimor-fismo es retraccion.

Ejemplo 1.2.7. De la definicion 1.2.4 y de los dos ejemplos anteriores obtenemos:

(i) En ModA toda retraccion es un homomorfismo sobreyectivo, pero no lo con-trario. Toda corretraccion es un homomorfismo inyectivo, mas no se tiene elrecproco.

(ii) EnAni toda corretraccion es un homomorfismo inyectivo, pero no lo contrario.EnAni toda retraccion es un homomorfismo sobreyectivo, pero no lo contrario.En efecto, el homomorfismo canonico j : Z Z2 es sobreyectivo pero no esretraccion (vease el ejemplo 1.2.6)

Ejemplo 1.2.8. En teora general de anillos y modulos se demuestra que los iso-morfismos coinciden con los homomorfismos biyectivos. De aqu, y de lo anotado alfinal del ejemplo 1.2.2, se obtiene que ModA es una categora balanceada. Ani noes balanceada: como se observo en los ejemplos anteriores la inclusion i : Z Q esun bimorfismo, pero claramente no es biyectivo.

Algunos de los resultados de la presente seccion se pueden resumir en la siguientetabla, donde C es una categora cualquiera, i = inyectivo, s = sobreyectivo, biy =biyectivo,m = monomorfismo, e = epimorfismo, bim = bimorfismo, iso = isomorfis-mo, r = retraccion y c = corretraccion.


C ModA Anir e r s e r s ec m c i m c i m

iso bim biy iso bim biy iso bim

1.3. Tipos de objetos y dualidad.

En la categora ModA el modulo nulo 0 es tal que para cada A-modulo M losconjuntos HomA(0,M) y HomA(M, 0) son unitarios. Los objetos de una categoracon esta propiedad se destacan de manera especial.

Definicion 1.3.1. Un objeto I se dice inicial si para cada objeto X el conjuntoMor(I,X) es unitario. Un objeto T se dice terminal si para cualquier objeto X elconjunto Mor(X,T ) es unitario. Un objeto que es simultaneamente inicial y terminalse denomina objeto cero, y se acostumbra a denotar por 0.

Resulta a partir de las definiciones anteriores que dos objetos iniciales de unacategora son necesariamente isomorfos. Tal situacion se tiene tambien para dosobjetos terminales y para dos objetos cero.

Ejemplo 1.3.2. En Conj el conjunto vaco es el unico objeto inicial, mientras quecualquier conjunto unitario es objeto terminal.Conj no posee objeto cero. EnModAel modulo nulo 0 es objeto cero. En Ani el anillo Z de enteros es objeto inicial. Elanillo trivial 0, consistente de un solo elemento, es objeto terminal. Ani no tieneobjeto cero.

Definicion 1.3.3. El morfismo f : X Y se llama morfismo cero a izquierdasi f g = f h, para cualquier objeto Z y cualesquiera morfismos g, h : Z X. Sedice que f es un morfismo cero a derecha si gf = hf , para cualquier objeto Zy cualesquiera morfismos g, h : Y Z. Un morfismo que sea cero simultaneamentea izquierda y a derecha se llama morfismo cero.

Si I es un objeto inicial entonces cualquier morfismo I X es morfismo cero aderecha. Analogamente, si T es objeto terminal, entonces todo morfismo con codo-minio T es morfismo cero a izquierda.

Ejemplo 1.3.4. En la categora ModA el homomorfismo nulo 0 : M N es unmorfismo cero. En Ani el homomorfismo Z 0 es morfismo cero. Ademas, paracada anillo A el homomorfismo Z A que asigna a n el elemento n1 es un morfismocero a derecha; el homomorfismo trivial A 0 es un morfismo cero a izquierda.Proposicion 1.3.5. En una categora con objeto 0, para cada par de objetos X, Yexiste un unico morfismo cero en Mor(X, Y ), notado 0XY .

1.3. TIPOS DE OBJETOS Y DUALIDAD. 9

Demostracion. Existencia. Notese que si f : X Y es un morfismo cero a izquierday g : Y Z es un morfismo cero a derecha, entonces g f es un morfismo cero. Enefecto, sean h, k : Z W morfismos. Entonces

h (g f) = (h g) f = (k g) f = k (g f),

con lo cual g f resulta ser un morfismo cero a derecha. De manera analoga seestablece que g f es morfismo cero a izquierda. Resulta entonces de la definicion1.3.3 que la compuesta 0XY : X 0 Y es un morfismo cero.

Unicidad. El morfismo encontrado 0XY es factorizable a traves del objeto cero yse tiene el diagrama conmutativo

0

X Y

@@Ry

x

-0XY

Puesto que x y y son unicos, basta probar que cualquier morfismo cero f : X Yes factorizable a traves de cero (el recproco tambien es cierto y su prueba queda allector). Consideremos el diagrama

0

X Y Y

QQQQs

y

3x

-f

-iY0Y Y

Puesto que 0Y Y es morfismo cero se tiene que 0Y Y f = 0Y Y (y x). Tambien,como f es morfismo cero, entonces 0Y Y f = iY f . De las dos identidades anterioresresulta 0Y Y (y x) = f . Pero 0Y Y y = iY y por ser y morfismo cero a derecha.En total, y x = f , lo cual queramos demostrar.Ejemplo 1.3.6. En Ani el homomorfismo Z 0 es morfismo cero y no es factori-zable a traves del objeto cero, pues Ani no posee objeto cero.

Definicion 1.3.7. Una categora se dice que posee cero morfismos, si para cua-lesquiera par de objetos X,Y existe un morfismo 0XY : X Y tal que(i) f 0XY = 0XZ, para cada objeto Z y cada f Mor(Y, Z);(ii) 0XY g = 0ZY , para cada objeto Z y cada g Mor(Z,X).Notese que en una categora C con cero morfismos la coleccion de cero morfismos

{0XY }X,Y Ob(C) es unica:

0XY 0XX = 0XY , 0XY 0XX = 0XY .


Proposicion 1.3.8. Una categora C con objeto cero 0 es una categora con ceromorfismos. La coleccion de cero morfismos es la descrita en la proposicion 1.3.5.

Demostracion. Sea {0XY }XY Ob(C) la coleccion de morfismos estudiada en la pro-posicion 1.3.5. Sean x : X 0 y y : 0 Y los morfismos tales que 0XY = y x.Sea f : Y Z y consideremos el diagrama conmutativo

X Y Z

0

@@@@R

x

-0XY -f

6y

fy

esto es, f 0XY = f (y x) = (f y) x. Por lo tanto f 0XY es factorizable atraves del objeto cero, por lo tanto f 0XY = 0XZ . De manera similar se establecela condicion (ii) de la definicion 1.3.7.

Ejemplo 1.3.9. En ModA el homomorfismo nulo 0 : M N es el cero morfismo0MN . As, ModA es una categora con cero morfismos. Ani no es una categora concero morfismos, pues por ejemplo Mor(Z2,Z) = .

Es posible que una categora tenga cero morfismos sin que posea objeto cero.Tal es el caso de la categora Nat estudiada en la definicion 1.1.6. En efecto, Natno posee objeto cero pero el morfismo 0 : 0 0 es tal que n0 = 0n = 0 para todon Mor(Nat).Observacion 1.3.10. En teora de categoras las ideas vienen en parejas, cada unade las cuales es dual de la otra, en el sentido de que la definicion o afirmacion de la unase obtiene de la otra invirtiendo el sentido de las flechas en los morfismos. As pues,se habra notado como los conceptos de epimorfismo y monomorfismo son duales; dela misma manera son duales los conceptos de objeto inicial y objeto terminal. Estaobservacion lleva a la consideracion de obtener a partir de una categora arbitrariaC otra categora C, denominada la categora dual de C, y definida de la siguientemanera:

(i) Ob(C) := Ob(C);(ii) Para cualesquiera objetos X,Y de C se tiene MorC(X, Y ) := MorC(Y,X). Si

f : Y X es un morfismo en C, su dual se denota por f : X Y ;(iii) Si g MorC(Z, Y ) y f MorC(Y,X), entonces la compuesta se define por

f g := (g f).La asociatividad de esta composicion es consecuencia de la asociatividad de la com-posicion en C. Las identidades de C son las mismas que en C. De la definicionanterior es claro que (C) = C.

1.4. SUBOBJETO Y OBJETO COCIENTE 11

Observacion 1.3.11. La posibilidad de asociar a cada categora C su dual C per-mite obtener para cada concepto o afirmacion categorica P un nuevo concepto dualo afirmacion dual P . Si P es una afirmacion demostrada categoricamente (esdecir, valida en cualquier categora), entonces P se considera tambien demostradocategoricamente. Mas exactamente, se tiene el siguiente principio de dualidad :P es un teorema sobre categoras si, y solo si, P es un teorema sobre categoras.En adelante aplicaremos el principio de dualidad para omitir las pruebas de las afir-maciones duales. Escribiremos P.D. para indicar que estamos aplicando el principiode dualidad.

1.4. Subobjeto y objeto cociente

Como se vera a continuacion, las nociones de submodulo, subanillo, modulo cocientey anillo cociente admiten una generalizacion natural en categoras arbitrarias.

Definicion 1.4.1. Sea A un objeto de una categora. Se llama subobjeto de A auna pareja (X, l) donde X es un objeto y l : X A es un monomorfismo. Si esclaro por el contexto, podremos omitir el morfismo l y escribir simplemente X A.Cuando l no es isomorfismo, se dice que X es subobjeto propio de A y se escribeX A. Si f : A B es un morfismo y l : X A un subobjeto de A, entonces lacompuesta f l se denomina la restriccion de f a X y se denota por f |X : X B.

Teniendo en cuenta que la compuesta de monomorfismos es un monomorfismo,se obtiene

(X Y y Y Z) (X Z). (1.4.1)

Definicion 1.4.2. Para cada objeto A se denota por Sub(A) la coleccion de todos lossubobjetos de A. Si (X1, l1) y (X2, l2) son elementos de Sub(A) se dice que (X1, l1)esta incluido en (X2, l2), o tambien, que (X1, l1) precede a (X2, l2), lo cual sedenota X1 X2, si existe un morfismo f : X1 X2 tal que el siguiente diagramaconmuta

A

X1 X2

l1

-f

@@I l2

Notese que f es unico y es un monomorfismo, con lo cual X1 es subobjeto de X2.Esto justifica la notacion introducida para la relacion de inclusion entre subobjetos.Por (1.4.1) y ya que X X para cada objeto X, (Sub(A),) es un preorden (esdecir, es una relacion reflexiva y transitiva).


Definicion 1.4.3. Dos subobjetos de A, (X1, l1) y (X2, l2) se dicen equivalentes yescribimos (X1, l1) = (X2, l2), si existen morfismos f : X1 X2, g : X2 X1 talesque el siguiente diaframa conmuta

A

X2 X1 X2-f

l2 6

l1

-g@

@@@I l2

l2 g = l1, l1 f = l2En otras palabras, X1 X2 y X2 X1. Evidentemente = es una relacion deequivalencia en Sub(A).

Proposicion 1.4.4. Si (X1, l1) = (X2, l2) entonces X1 = X2.Demostracion. Dado que l2 g = l1, l1 f = l2, se obtiene (l1 f) g = l2 g =l1 = l1 iX1 . Como l1 es un monomorfismo se tiene que f g = iX1 . Simetricamenteencontramos g f = iX2 .Ejemplo 1.4.5. El recproco de la proposicion anterior no siempre es cierto. Porejemplo, en ModZ, 2Z y 3Z son claramente modulos isomorfos. Sean l1 : 2Z Z yl2 : 3Z Z las inclusiones. Si existieran homomorfismos f : 3Z 2Z y g : 2Z 3Ztales que l1 f = l2 y l2 g = l1 entonces l1 f(3) = l2(3), es decir, 3 = l1(2m) = 2m,para algun m Z, lo cual es contradictorio.Observacion 1.4.6. La clase de equivalencia determinada por el subobjeto (X, l)de A sera notada por (X, l), o simplemente X. SUB(A) denotara la coleccion dedichas clases de equivalencia. A menudo identificaremos X como un subobjeto deA. Notese que si X1, X2 SUB(A), la relacion definida por

X1 X2 X1 X2,es un orden en SUB(A).

Ejemplo 1.4.7. Los subobjetos de un A-modulo son, salvo equivalencia, los sub-modulos con las inclusiones. En efecto, sean l : X M un subobjeto de M yN := l(X). Sea l : N M la inclusion. Se tiene (X, l) = (N, l), como lo muestrael siguiente diagrama

M

N X N-f

l 6

l

-g

@@

@@I l


donde f(n) := x, con l(x) = n y g(x) := l(x), x X,n N .De otra parte, sean N1 y N2 submodulos distintos de M con las inclusiones

l1 : N1 M, l2 : N2 M . Se sigue que N1 6= N2. Sean n N1, n / N2 ysupongase que existe un homomorfismo g : N1 N2 tal que l2 g = l1. Se tiene quen = l1(n) = l2(g(n)) = g(n) N2, lo cual es una contradiccion.

De manera analoga se demuestra que los subobjetos de un anillo A son, salvoequivalencia, los subanillos con las inclusiones.

Un mismo objeto de una categora puede ser subobjeto de diferentes maneras,es decir, a traves de diferentes monomorfismos podemos obtener subobjetos que noson equivalentes. Sean por ejemplo en ModZ, h : 2Z Z, h(2k) = k, y l : 2Z Zla inclusion. Si existieran morfismos f, g : 2Z 2Z tales que l f = h, entoncesh(2) = h(2 1) = 1 = 1 f(2) = 2m, con m Z, obteniendose una contradiccion.Definicion 1.4.8. Una categora se dice localmente pequena, si SUB(A) es unconjunto para cada objeto A de C.

Son localmente pequenas las categoras Conj, ModA y Ani.

Si C es localmente pequena, A un objeto de C y U SUB(A), se tienen lassiguientes afirmaciones:

(i) X U se dice minimal en U , si para cada Y U se cumple

Y X Y = X.

(ii) SUB(A) se dice artiniano si cada subconjunto no vaco de SUB(A) tiene ob-jeto minimal. A se dice artiniano si SUB(A) es artiniano. C se dice artinianasi cada objeto A de C es artiniano.

(iii) X U se dice maximal en U , si para cada Y U se cumple

X Y Y = X.

(iv) SUB(A) se dice noetheriano si cada subconjunto no vaco de SUB(A) tieneobjeto maximal. A se dice noetheriano si SUB(A) es noetheriano. C se dicenoetheriana si todo objeto A de C es noetheriano.

Definicion 1.4.9. Sea C una categora cualquiera y A un objeto de C. Se diceque A cumple la condicion mnima de cadenas, si cada subconjunto no vacototalmente ordenado de SUB(A) contiene elemento minimal. De manera similar,mediante elementos maximales, se define la condicion maxima de cadenas.


Proposicion 1.4.10. Si C es una categora localmente pequena y A es un objetode C, entonces A es artiniano (noetheriano) si, y solo si, A cumple la condicionmnima (maxima) de cadenas.

Demostracion. ) Evidente.) Supongase que existe 6= U SUB(A) tal que U no posee subobjeto mini-

mal. Se tiene que dado X1 U existe X2 en U tal que X2 6= X1 y X2 X1. Resultala cadena

X3 X2 X1sin elemento minimal.

Ejemplo 1.4.11. Si A = {0} es el anillo trivial, entonces ModA solo posee unobjeto: el modulo nulo. En tal caso ModA es artiniana y noetheriana. De otraparte, si A es no trivial, entonces ModA no es artiniana ni noetheriana. En efecto,el A-modulo libre con base enumerable A(N), no es ni noetheriano no artiniano. Bastaconsiderar las cadenas de submodulos propios{ n

i=1

xiA

}n1

,

{ i=n

xiA

}n1

,

donde {xi}i=1 es una base de A(N).La coleccion de A-modulos noetherianos (artinianos) constituye una subcategora

de ModA. Los anillos y modulos noetherianos (artinianos) fueron estudiados en [9].La categora Ani no es noetheriana ni artiniana. Es suficiente considerar el anillo

de polinomios A[x1, . . . , xn, . . . ] en una cantidad infinita enumerable de indetermi-nadas con coeficientes en un anillo no trivial A, y las cadenas de subanillos propios

{A[x1, . . . , xn]}n1, {A[xn,n+1 , . . . ]}n1.Concluimos esta seccion discutiendo brevemente el concepto dual de subobjeto.

Definicion 1.4.12. Sea A un objeto. Se llama objeto cociente de A una pareja(j,X), donde X es objeto y j : A X es un epimorfismo. Coc(A) denotara lacoleccion de objetos cocientes de A. Por el principio de dualidad se tiene una relacion= de equivalencia entre objetos cocientes de A, de tal manera que si

(j1, X1) = (j2, X2) X1 = X2.Al igual que en el ejemplo 1.4.5, el recproco de la implicacion anterior no cierto

es en general. Sea A un anillo no trivial y A[x1], A[x2] anillos de polinomios concoeficientes en A. La funcion s : A[x1] A[x2] que asigna a p(x1) el polinomio p(x2)es claramente un isomorfismo. Las proyecciones

ji : A[x1] A[x2] A[xi], i = 1, 2,


son homomorfismos sobreyectivos, con lo cual (j1, A[x1]) y (j2, A[x2]) son objetoscociente de A[x1] A[x2]. Supongase que existen homomorfismos f, g tales que elsiguiente diagrama conmuta

A[x1] A[x2]

A[x2] A[x1] A[x2]

j2

?

j1

@@@@@@R

j2

-f -g

Se tiene j1(x1, 1) = x1 = f j2(x1, 1) = 1, lo cual es absurdo.

Sea COC(A) la coleccion de clases de objetos cociente equivalentes, esto es,COC(A) = Coc(A)/ =. Se dice que C es colocalmente pequena si COC(A) es unconjunto para cada objeto A de C.

Ejemplo 1.4.13. ModA es colocalmente pequena. Al seguir el razonamiento delejemplo 1.4.7 es posible demostrar que los objetos cocientes de un A-modulo son,salvo equivalencia, los modulos cociente M/N con los homomorfismos canonicosj :M M/N, j(m) = m+N, m M .

Para la categora Ani la situacion cambia. Dado un anillo A, los anillos cocienteA/I, con I ideal bilatero propio de A, junto con los homomorfismos canonicos j :A A/I, son objetos cociente de A. Sin embargo, hay objetos cociente de A noprecedentes de ideales. En efecto, si RC es el anillo clasico de fracciones del anilloconmutativo R, entonces : R RC , (a) = a1 , es un objeto cociente de R: sif, g : RC B son homomorfismos tales que f = g , se tiene que

f

(a

s

)= f((a)(s)1) = g (a)(g (s))1 = g

(a

1

)g

(1

s

)= g

(a

s

),

es decir, f = g. As, es un epimorfismo y : R RC es un objeto cociente de R.Notese que por ejemplo ZC = Q y claramente no existe n tal que

(j : Z Zn) = ( : Z Q).

La causa de todo esto parece estar en que en la categora Ani los epimorfismos nocoinciden con los homomorfismos sobreyectivos. Aun para el caso del anillo Z ladescripcion de todos los objetos cociente de Z es un problema interesante (vease elejercicio 16 del presente captulo).


1.5. Interseccion y union

En esta seccion se estudian dos de las operaciones mas comunes que se puedenrealizar con subobjetos de un objeto: la interseccion y la union.

Definicion 1.5.1. Sea {Xi li A}iI un conjunto no vaco de subobjetos de un objetoA. El subobjeto X

l A se denomina interseccion de la familia si se cumplen lassiguientes dos condiciones:

(i) Para cada i I, X precede a todo subobjeto Xi, esto es, se tiene el diagramaconmutativo

A

Xi Xli

fi@@I l

(ii) Si X g A es un morfismo para el cual existe X f

i Xi tal que li f i = g para

cada i I, entonces existe un unico morfismo X f X tal que l f = g:Xi

X X A

X

@@@@R

li

f i

-f

@@@@R

iX

6fi

-l

g

El objeto X se acostumbra a notar

iI Xi, o sencillamente,Xi.

Segun la definicion 1.4.2, cada fi es monomorfismo y unico. Notese tambien quefi f = f i para cada i I. En efecto,

li f i = g = l f = li (fi f).Observese finalmente que si g es un monomorfismo, es decir, si X es un subobjetode A que precede a cada Xi, entonces X

precede a la interseccion.

Proposicion 1.5.2. Si Xl A y X l A son intersecciones del conjunto {Xi li

A}iI de subobjetos de A, entonces

(Xl A) = (X l A),

y en particular, X = X .

1.5. INTERSECCION Y UNION 17

Demostracion. Existen morfismos X f X y, X f X tales que l f = l y,

l f = l.Es cierto el recproco de la proposicion anterior? Es decir, si X

l A es inter-seccion del conjunto {Xi li A}iI y X l

A es subobjeto equivalente a X, entoncesX es tambien interseccion. La respuesta a esta pregunta es afirmativa. En efecto,sean X h X y, X t X morfismos tales que l h = l y l t = l. Notese que eldiagrama

A

Xi X l1

fih

@@I l

es conmutativo, donde fi es como en la definicion 1.5.1. Sea X g A un morfismo

para el cual existen X ki Xi tales que li ki = g. Al ser X interseccion, existe

X k X tal que l k = g. De esta manera, el morfismo X tk X es tal quel t k = g. Como l es un monomorfismo, t k es unico con la condicion anterior.Definicion 1.5.3. Una categora se dice que posee intersecciones, si cada con-junto no vaco de subobjetos de un objeto cualquiera tiene interseccion. La categorase dice que tiene intersecciones finitas, si cada conjunto finito no vaco de sub-objetos tiene interseccion.

Ejemplo 1.5.4. Las categoras ModA y Ani tienen intersecciones. En efecto, sea

M un A-modulo y {Ni liM}iI un conjunto de subobjetos deM . Segun el ejemplo1.4.7 podemos suponer que Ni es submodulo de M y que li es la inclusion. As, la

interseccion conjuntistaNi es claramente un submodulo de M y

Ni

l M esla interseccion de la familia dada, donde l es la inclusion. Los detalles de la pruebacompleta son rutinarios. Analogamente, en Ani la interseccion corresponde a lainterseccion conjuntista de subanillos.

Definicion 1.5.5. Sea Af B un morfismo y X l1 A, Y l2 B subobjetos A y

B respectivamente. Se dice que X es llevado en Y a traves de f , si existe un

morfismo Xh Y tal que el siguiente diagrama conmuta

X Y

A B

-h

?l1

?l2

-f

Sea {Xi li A}iI un conjunto no vaco de subobjetos de un objeto A. El subobjetoX

l A se llama union del conjunto, si se cumplen las siguientes condiciones:


(i) Cada Xi precede a X

A

Xi Xli

-fi

@@I l

(ii) Si Af B es un morfismo tal que cada Xi puede ser llevado en un subobjeto

Yt B de B a traves de f , entonces X puede ser llevado en Y a traves de f ,

esto es, se tienen los siguientes diagramas conmutativos

Xi Y

A B

-hi

?li

?t

-f

X Y

A B

-h

?l

?t

-f

El objeto X se acostumbra a notar

iI Xi, o,Xi.

Notese que en la definicion anterior h y cada fi en (i) son unicos, ademas fi es unmonomorfismo. Al tomar en (ii) f = iA resulta que si cada Xi precede a un cierto

subobjeto A de A, A l A, entonces X precede a A. En efecto, se tiene en este

caso que l1 l = l h, es decir, l = l h y h es un monomorfismo.

Proposicion 1.5.6. Si Xl A y X l A son uniones del conjunto {Xi li A} de

subobjetos de A, entonces (Xl A) = (X l A). En particular, X = X .

Demostracion. De (i) y (ii) se obtienen de manera inmediata los siguientes diagramasconmutativos:

Xi X

A A

-fi

?

li

?l

-iA

X X

A A

-f

?l

?l

-iA

y

Xi X

A A

-f i

?

li

?l

-iA

X X

A A

-g

?l

?l

-iA

Resulta entonces l f = l, l g = l.

1.5. INTERSECCION Y UNION 19

Sea Xl A la union del conjunto {Xi li A}iI de subobjetos de A, y, X l

Aun subobjeto tal que (X

l A) = (X l A). Se tiene entonces que X l A estambien union del conjunto dado. En efecto, existen monomorfismos f, g tal que elsiguiente diagrama conmuta

Xi

X X A

X

@@@@R

li

?

fi

-f

@@@@R

iX

-l

?

g

l

De aqu obtenemos la primera condicion para la union.

A

Xi X li

-gfi

@@I l

Para la segunda condicion basta observar la siguiente secuencia de diagramas con-mutativos

Xi Y

A B

-mi

?li

?t

-k

X Y

A Y

-m

?l

?t

-k

X Y

A B

-mf

?l

?t

-k

Esto completa la prueba del recproco de la proposicion 1.5.6.

Definicion 1.5.7. Una categora se dice que tiene uniones si cada conjunto novaco de subobjetos de un objeto cualquiera tiene union. Si cada conjunto finito novaco de subobjetos de un objeto tiene union se dice que la categora tiene unionesfinitas.

Ejemplo 1.5.8. La categora ModA tiene uniones. Para ver esto, sea M un A-

modulo y {Mi li M}iI un conjunto no vaco de submodulos de M . El modulosuma

iIMi junto con la inclusion natural conforman la union de la familia dada

(la escogencia de los subobjetos de esta manera se apoya en el ejemplo 1.4.7). La


primera condicion de la union es consecuencia de la manera como se definen lasinclusiones segun el diagrama conmutativo

M

Mi

iI

Mili

-li

@@@I l

y, li(mi) = mi. Sea Mf N un homomorfismo tal que cada Mi es llevado en el

submodulo N l N a traves de f , tal como muestra el siguiente diagrama conmu-

tativoMi N

M N

-hi

?

li

?

l

-f

De esta forma,

iIMi tambien puede ser llevado en N a traves de f , lo cual se

ilustra mediante el diagrama conmutativoiI

Mi N

M N

-h

?

l

?

l

-f

donde la funcion h definida por h(mi1 + +min) := hi1(mi1) + + hin(min), esun homomorfismo de modulos que hace el diagrama anterior conmutativo.

La categora Ani tiene uniones. Para la prueba basta considerar un anillo A con

un conjunto no vaco {Ai li A}iI de subanillos de A e inclusiones. Si C es la unionde los conjuntos Ai, i I, entonces el subanillo S(C) generado por C es la union conla inclusion respectiva l. Los elementos de S(C) son sumas finitas con sumandos dela forma

an1j1 antjt , donde ajk Ajk , nk 1, k t.El siguiente diagrama es claramente conmutativo

A

Ai S(C)

li

-li

@@@I l

1.6. IMAGEN Y COIMAGEN 21

li(ai) = ai. Sea Af B un homomorfismo de anillos tal que cada Ai es llevado en un

subanillo B l B de B a traves de f . Como se ilustra en los siguientes diagramasconmutativos, S(C) es llevado tambien en B por f :

Ai B

A B?

li

-hi

?l

-f

S(C) B

A B?

l

-h

?

l

-f

con h definido por h(an1j1 . . . antjt) = hj1(aj1)

n1 . . . hjt(ajt)nt .

1.6. Imagen y coimagen

La imagen de un homomorfismo de A-modulos f :M N y el cociente M/ ker(f)admiten una interpretacion categorica como veremos a continuacion.

Definicion 1.6.1. Sea Af B un morfismo. Un subobjeto (Y l B) de B se

denomina imagen de f si se cumplen las siguientes dos condiciones:

(i) f se puede factorizar a traves de Y , es decir, existe un morfismo g : A Ytal que el siguiente diagrama conmuta

A B

Y

-f

@@Rg

l

(1.6.1)

(ii) Si f se puede factorizar a traves de otro subobjeto Y l B de B, entonces

existe un unico morfismo h : Y Y tal que l h = lB

Y Y

A

QQ

QQkl

-h PPP

PPPP

PPil6

f

1

g3g

Observese que el morfismo g en (1.6.1) es unico. Tambien, en lh = l se tiene queh es un monomorfismo y ademas h g = g. El objeto Y de la imagen se acostumbradenotar por Im(f), o tambien, f(A). Escribiremos tambien Y

l B = Im(A f B).Si A l

A es un subobjeto de A, definimos f(A) := Im(f l).Si en (1.6.1) g es epimorfismo se dira que Y

l B es imagen epimorfica de f .


Proposicion 1.6.2. Si Yl B y Y l B son imagenes de A f B, entonces

(Yl B) = (Y l B),

y en particular, Y = Y .

Demostracion. Consecuencia directa de la igualdad l h = l.

Sea Yl B una imagen de A f B y Y l B un subobjeto de B equivalente a

Yl B. Entonces Y l B es tambien imagen de A f B. Esta afirmacion se sigue

de la definicion 1.6.1.

Definicion 1.6.3. Se dice que una categora tiene imagenes si todo morfismo tieneimagen. Se dira que la categora tiene imagenes epimorficas, si todo morfismotiene imagen epimorfica.

Ejemplo 1.6.4. ModA es una categora con imagenes epimorficas. En efecto, si

Mf N es un homomorfismo de A-modulos, entonces el conjunto Im(f) = {f(m) |

m M}, es un submodulo de N mediante la inclusion l : Im(f) N el cual confor-ma la imagen de f . Notese que el morfismo g de (1.6.1) en este caso es sobreyectivo,y por lo tanto, un epimorfismo.

Im(f)

M N

@@@R

l

g

-f

g(m) = f(m), m M.

La verificacion de (ii) queda para el lector.

En la misma forma se establece que Ani es una categora con imagenes epimorfi-cas.

Observacion 1.6.5. Al aplicar dualidad obtenemos los conceptos de coimagen y

coimagen monomorfica en una categora. La coimagen de un morfismo Af B

sera notada Coim(Af B), o simplemente Coim(f). Las afirmaciones duales de

las contenidas en la proposicion 1.6.2 se cumplen para el caso de la coimagen. Poranaloga con la definicion 1.6.3 se definen las categoras con coimagenes y comiagenesmonomorficas.

Ejemplo 1.6.6. ModA es una categora con coimagenes monomorficas. En efecto,

la coimagen del homomorfismo Mf N es el modulo cociente M/ ker(f) junto con

1.7. NUCLEOS Y CONUCLEOS 23

el homomorfismo canonico j, esto es,

M/ ker(f)

M N

QQQQs

g

3j

-f

g(m) := f(m), m = m+N(f), m M.

Observerse que g es inyectiva, y por lo tanto, un monomorfismo. Sea ahoraMj N

un epimorfismo para el cual existe g : N N tal que g j = f . Se tieneque j es sobreyectivo por ser epimorfismo. Este hecho permite definir una funcionh : N M/N(f) de tal forma que el siguiente diagrama conmutaN

M/ ker(f) N

M

HHHHHYg

hXXXXX

XXXXXX

XXyg

6

f

:

j*j

h(n) = m, donde j(m) = n, n N .

Veamos que h esta bien definida. Sean m,m M tales que j(m) = j(m) = n. Sesigue que g(j(m)) = g(j(m)), es decir, f(m) = f(m), de donde mm ker(f),esto es, m = m. Ademas h es evidentemente un A-homomorfismo y cumple lacondicion hj = j. La unicidad de h se desprende del hecho de ser j un epimorfismo.

La caracterizacion de las coimagenes en la categora Ani no es conocida por elautor. Remitimos al lector al ejercicio 16.

1.7. Nucleos y conucleos

En esta seccion formalizamos la nocion de nucleo de un homomorfismo. Ademas,para ciertas categoras se generaliza el teorema de correspondencia de la teora demodulos (corolario 1.7.14).

Definicion 1.7.1. Sean f, g : X Y morfismos. Se llama coigualador de f y ga un morfismo h : Y Z tal que(i) h f = h g;(ii) Para cada morfismo h : Y Z que cumpla (i), existe un unico morfismo

k : Z Z tal que el siguiente diagrama es conmutativo:X Y Z

Z

-f -g

-h

@@@@R

h?k


En ocasiones simplemente se dice que h, o, Z es el coigualador de f y g ylo denotaremos por Coig(f, g). Notese que h es un epimorfismo. En efecto, seanm,n : Z W tales que m h = n h. Se tiene que m h f = m h g y segarantiza la existencia de un unico morfismo k : Z W tal que k h = m h; poresta unicidad m = n. De aqu se sigue que h : Y Z es un objeto cociente de Y .

Proposicion 1.7.2. Sean Yh Z y Y h Z dos coigualadores de f, g : X Y . Se

tiene que (Yh Z) = (Y h Z ), y en particular, Z = Z .

Demostracion. Evidente a partir de la definicion de coigualador y de objetos co-cientes equivalentes.

Sea Yh Z un coigualador de f, g : X Y , y h : Y Z un epimorfismo

tal que (Yh Z) = (Y h Z ). Entonces Y h Z es tambien un coigualador de

f y g. En efecto, existen Zm Z , Z l Z tales que m h = h y, l h = h. Se

obtiene que h f = m h f = m h g = h g, cumpliendose as la primeracondicion de coigualador. Si Y

h Z es tal que h f = h g, entonces existeun unico morfismo Z

k Z tal que k h = h. As, se tiene el morfismo Z kl Z tal que (k l) h = h. Si existe otro Z W Z tal que w h = h, entoncesw h = k h = k l h, pero como h es epimorfismo entonces w = k l y laafirmacion esta probada.

Observacion 1.7.3. Al invertir el sentido de las flechas de los morfismos de ladefinicion 1.7.1 obtenemos el concepto de igualador de un par de morfismos f, g :X Y . El siguiente diagrama ilustra la definicion.

Z X Y

Z

-h -f -g

6k

h

h resulta un monomorfismo, con lo cual Z es un subobjeto de X. De otra parte, si

Zh X y Z h X igualadores de f, g : X Y , entonces (Z h X) = (Z h X).Recprocamente, si Z

h X es un igualador de f, g : X Z y Z h X es unsubobjeto de X equivalente a Z, entonces Z h

X es tambien igualador.Definicion 1.7.4. Una categora se dice que posee coigualadores (igualadores),si cada par de morfismos tiene coigualador (igualador).

Ejemplo 1.7.5. ModA es una categora con coigualadores e igualadores. Sean f, g :M N homomorfismos de modulos, y sea C := {m M | f(m) = g(m)}. C es


claramente un submodulo de M y se prueba facilmente que ClM es el igualador

de f y g, donde l es la inclusion. Para el coigualador consideramos el homomorfismo

diferencia f g y su imagen Im(f g). Se tiene que N j N/Im(f g), es elcoigualador de f, g, donde j es el homomorfismo canonico.

Ani tambien es una categora con coigualadores e igualadores. En efecto, si

f, g : A B es un homomorfismo de anillos, entonces C l A, donde C := {a A | f(a) = g(a)}, es el igualador, donde l es la inclusion. Ademas, B j B/U ,con U := X, X := {f(a) g(a) | a A}, es el coigualador de f y g, con j elhomomorfismo canonico y U el ideal bilatero generado por X.

Les corresponde ahora el turno a un subobjeto y a un objeto cociente muyimportantes dentro del algebra: el nucleo y el conucleo de un homomorfismo. Laconstruccion corresponde a casos particulares de igualador y coigualador respec-tivamente. Para tal efecto supondremos en adelante en esta seccion, salvo que seadvierta lo contrario, que los objetos y morfismos pertenecen a una categora concero morfismos.

Definicion 1.7.6. Se denomina nucleo del morfismo Af B al igualador de f y

0AB:

Z A Y

Z

-h -f -0AB

6k

h

Segun vimos en la observacion 1.7.3, el nucleo Zh A es un monomorfismo, es

decir, Z es subobjeto de A. Se utiliza la notacion, Z = ker(f), o tambien, (Zh

A) = ker(Af B). Segun se noto en la observacion 1.7.3, dos nucleos de f son

subobjetos equivalentes. Ademas, un subobjeto de A equivalente al nucleo de f estambien nucleo de f .

De manera dual se define el conucleo del morfismo Af B como el coigualador

de f y 0AB. Utilizaremos en este caso las notaciones coker(f) y coker(Af B).

Un categora con cero morfismos se dice que posee nucleos (conucleos), sicada morfismo tiene nucleo (conucleo).

Ejemplo 1.7.7. Segun el ejemplo 1.7.5, ModA es una categora con nucleos y

conucleos. Mas exactamente, siMf N es un homomorfismo de modulos, su nucleo

es ker(f) = {m M | f(m) = 0}, junto con la inclusion ker(f) l M . El conucleoes coker(f) = N/Im(f), junto con el homomorfismo canonico j : N N/Im(f).

Puesto que Ani no posee cero morfismos, no definimos nucleos ni conucleos.


Definicion 1.7.8. Se dice que el monomorfismo Af B es normal si f es nucleo de

algun morfismo. La categora se dice normal si cada monomorfismo es normal. Demanera dual se definen los epimorfismos conormales y las categoras conormales.

Ejemplo 1.7.9. ModA es normal y conormal. Si Mf N es un monomorfismo,

entonces f es nucleo del homomorfismo canonico j : N N/Im(f). En efecto, esclaro que j f = 0. Ahora, si Z f N es un homomorfismo tal que j f = 0,entonces el siguiente diagrama es conmutativo

M N N/Im(f)

Z

-f -j

6

k

f

donde k se define por k(x) = m M , con f(m) = f(x), para cada x Z. Noteseque k esta bien definida debido a la inyectividad de f .

De otra parte, si Mf N es un epimorfismo, entonces f es el conucleo del

homomorfismo inclusion l : ker(f) M . Claramente f l = 0. Si M l Z es unhomomorfismo tal que f l = 0, entonces el siguiente diagrama es conmutativo

ker(f) M N

Z

-l -f

@@@@@R

f

?

k

donde k se define como k(x) = f (m), con x = f(m) para todo x N .

Es conocido (vease [8]) que existe una correspondencia biyectiva entre los sub-modulos de un modulo dado M y los modulos cociente de M . Esta correspondenciase presenta en categoras mas generales como veremos a continuacion. Para estomostraremos inicialmente un resultado preliminar.

Proposicion 1.7.10. Si Zh A es el nucleo de A f B y A h Z es el conucleo

de h, entonces h es el nucleo de h.

Demostracion. Por las condiciones dadas se tiene que h h = 0. Sea Z h A tal


que hcirch = 0

Z A B

Z Z

-h -f

@@@@R

h6

t2

h6t1

Puesto que f h = 0 y h es conucleo de h, existe t1 : Z B tal que t1 h = f .Resulta, f h = t1 h h = 0. Como h es conucleo de f , existe t2 : Z Z talque h t2 = h. Como h es monomorfismo, t2 es el unico que cumple la identidadanterior. Esto completa la prueba de la proposicion.

Al aplicar el principio de dualidad tenemos el siguiente resultado.

Proposicion 1.7.11. Si Bj Z es el conucleo de A f B y B l B es el nucleo

de j, entonces j es el conucleo de l.

Proposicion 1.7.12. Sea C una categora con conucleos. Para cada objeto A de Cexiste una funcion

: SUB(A) COC(A).Si ademas C es colocalmente pequena, C es localmente pequena. Si suplementaria-mente C es normal, la funcion es inyectiva.

Demostracion. Sea A1l1 A un subobjeto de A y A j1 B1 su conucleo. Se define

(A1) = B1.

(i)Veamos que esta bien definida. Sean A1l1 A y A2 l2 A subobjetos equiv-

alentes de A con conucleos Aj1 B1 y A j2 B2, respectivamente.

A1 A1 A B1 B1

A2 B2

-iA1

?

n

-l1 -j1

@@@@R

j2?

t

iB1

@@

@@Im

l2s

Como j2 l1 = j2 (l2 n) = 0, existe un morfismo t : B1 B2 tal que t j1 = j2.Ademas, j1 l2 = j1 (l1 m) = 0, con lo cual existe s : B2 B1 tal que s j2 = j1.As, B1 = B2.

De otra parte, sabemos que si Aj1 B1 es otro conucleo de A1 l1 A, entonces

B1 = B2. Estas dos observaciones garantizan que esta bien definida.(ii) Si COC(A) es un conjunto, entonces SUB(A) tambien lo es. En otras pala-

bras, si C es colocalmente pequena, es localmente pequena.


(iii) es inyectiva. Sean A1l1 A y A2 l2 A subobjetos de A con conucleos

Aj1 B1 y A j2 B2, respectivamente, tales que B1 = B2.

A1 A1 A B1 B1

A2 B2

-iA1

?

v

-l1 -j1

@@@@R

j2?

n

iB1

@@

@@I

t

l2m

Como C es normal, l1 es nucleo de algun morfismo de C, la proposicion 1.7.10 garan-tiza que l1 es nucleo de j1. Ademas, como j1 l2 = m j2 l2 = 0, existe un morfismot : A2 A1 tal que l1 t = l2. Al aplicar el mismo razonamiento a l2, encontramosv : A1 A2 tal que l2 v = l1. Esto demuestra que A1 = A2.

Por el principio de dualidad tenemos la siguiente proposicion.

Proposicion 1.7.13. Sea C una categora con nucleos. Para cada objeto A de C exis-te una funcion : COC(A) SUB(A). En particular, si C es localmente pequena,entonces es colocalmente pequena. Ademas, si C es conormal, la funcion es inyec-tiva.

Corolario 1.7.14. Sea C una categora con nucleos y conucleos, normal y conormal.Para cada A Ob(C) existe una correspondencia biyectiva entre SUB(A) y COC(A).En particular, C es localmente pequena si, y solo si, C es colocalmente pequena.

1.8. Producto y suma fibrada

Otro de los subobjetos importantes asociados a un morfismo lo constituye la imageninversa, la cual se define por medio del llamado producto fibrado. En la proximaseccion estudiaremos la imagenes inversas, por ahora consideramos los productos ysumas fibradas.

Definicion 1.8.1. Sean X1f1 Y y X2 f2 Y morfismos. Se denomina producto

fibrado de f1 y f2 al par de morfismos Xg1 X1, X g2 X2 tales que

(i) f1 g1 = f2 g2, esto es, se tiene el diagrama conmutativo

X X2

X1 Y?

g1

-g2

?

f2

-f1

1.8. PRODUCTO Y SUMA FIBRADA 29

(ii) Si X g1 X1, X g

2 X2 son tambien morfismos tales que f1 g1 = f2 g2,

entonces existe un unico morfismo h : X X tal que g2 h = g2 y g1 h = g1

X

X X2

X1 Y

@@@@R

h

HHHHHHHHHj

g2AAAAAAAAAU

g1-g2

?

g1

?

f2

-f1

Notese que si (X g1 X1, X g

2 X2) es tambien un producto fibrado de X1 f1 Y

y X2f2 Y , entonces X = X. En efecto, al aplicar (ii) a X , considerado como

producto fibrado, encontramos un morfismo t : X X tal que g1 t = g1 yg2 t = g2. Resulta entonces que gi h t = gi, i = 1, 2. Puesto que X es productofibrado y que g1 iX = g1, g2 iX = g2, entonces h t = iX . De manera analoga setiene que t h = iX .

Al aplicar el principio de dualidad a la definicion 1.8.1 obtenemos el concepto de

suma fibrada de un par de morfismos Yf1 X1 y Y f2 X2.

Definicion 1.8.2. La pareja (X1g1 X, X2 g2 X) se denomina suma fibrada de

f1 y f2 si se cumplen las siguientes dos condiciones:

(i) g2 f2 = g1 f1, esto es, el siguiente diagrama conmuta

Y X2

X1 X

-f2

?

f1

?

g2

-g1

(ii) Si X1g1 X , y, X2 g

2 X son tambien morfismos tales que g1 f1 = g2 f2,

entonces existe un unico morfismo h : X X tal que hg1 = g1 y hg2 = g2,


esto es, se tiene el diagrama conmutativo

Y X2

X1 X

X

-f2

?

f1

?

g2AAAAAAAAAU

g2

HHHHHHHHHjg1

-g1

@@@@R

h

Al igual que en el caso del producto fibrado, dos sumas fibradas son isomorfas.Consideramos a continuacion algunas consecuencias de las definicionos anteriores.

Proposicion 1.8.3. Sea (Xg1 X1, X g2 X2) el producto fibrado de los morfismos

X1f1 Y y X2 f2 Y . Se tienen las siguientes proposiciones:

(i) Si f1 es monomorfismo, entonces g2 es monomorfismo.

(ii) Si f2 es monomorfismo, entonces g1 es monomorfismo.

(iii) Si (X2f2 Y, X2 l W ) es el producto fibrado de Y m Z y W n Z, y ademas

n es un monomorfismo, entonces (Xg1 X1, X g2 X2) es el producto fibrado

de X1mf1 Z y W n Z.

Demostracion. (i) Sean p, q : W X tales que g2 p = g2 q:

W

X X2

X1 Y

@@@@R

q, p

HHHHHHHHHj

u=q2qAAAAAAAAAU

v=g1p -g2

?

g1

?

f2

-f1

Sean v := g1 p y u := g2 q. Se tiene quef1 v = f1 g1 p = f2 g2 p = f2 g2 q = f2 u.

Existe un unico morfismo h : W X tal que g2 h = u y g1 h = v. Puesto que qcumple la primera condicion, basta mostrar que g1 q = v, para concluir h = p = q.

1.8. PRODUCTO Y SUMA FIBRADA 31

As pues, f1 v = f2 g2 q = f1 g1 q. Dado que f1 es un monomorfismo, seobtiene la conclusion deseada.

(ii) La demostracion es analoga a la de (i).

(iii) Sean X a W y X b X1 tales que n a = m f1 b. Como X2 es productofibrado dem y n, existe un morfismo h : X X2 tal que lh = a, y, f2h = f1b.Puesto que X es producto fibrado de f1 y f2 existe h : X

X tal que g2 h = hy g1 h = b.

X X

X X2 W

X1 Y Z

@@@@R

h

HHHHHHHHHj

h

-1X

AAAAAAAAAU

b

HHHHHHHHHj

a

-g2

?

g1

?

f2

-l

?

n

-f1

-m

Se tiene que (l g2) h = a y g1 h = b. Sea h : X X otro morfismo tal queg1 h = b y (l g2)h = a. As, g1 h = g1 h. Segun (ii) g1 es un monomorfismo,de donde h = h.

Al aplicar el principio de dualidad obtenemos la siguiente proposicion.

Proposicion 1.8.4. Sea (X1g1 X, X2 g2 X) la suma fibrada de Y f1 X1 y

Yf2 X2. Se tienen las siguientes afirmaciones:(i) Si f1 es epimorfismo, entonces g2 es epimorfismo.

1. Si f2 es epimorfismo, entonces g1 es epimorfismo.

2. Si (Xm Z, W n Z) es la suma fibrada de X2 g2 X y X2 l W donde n es

epimorfismo, entonces (X1mg1 Z, W n Z) es la suma fibrada de Y f1 X1

y Ylf2 X2.

Definicion 1.8.5. Una categora se dice que tiene productos fibrados si cada parde morfismos de dominio comun posee producto fibrado.

Analogamente se definen las categoras de sumas fibradas .

Ejemplo 1.8.6. ModA es una categora con productos y sumas fibradas. Sean

M1f1 N y, M2 f2 N homomorfismos. Se tiene que (P pi1 M1, P pi2 M2) es el

producto fibrado de M1 y M2, donde

P := {(m1,m2) M1 M2 | f1(m1) = f2(m2)},


y pi1 y pi2 son proyecciones.

Sean ahora f1 : M N1 y f2 : M N2 homomorfismos. Se sigue que (N1 g1L, N2

g2 L) es la suma fibrada de f1 y f2, donde L esta dado por L := N1N2/N ,y N := {(f1(m),f2(m)) | m M}, y, g1 : N1 L, g2 : N2 L estan dadas porg1(n1) := (n1, 0) y g2(n2) := (0, n2), respectivamente.

La categora Ani tiene productos fibrados y su construccion es similar al casode modulos.

1.9. Imagen inversa

Definicion 1.9.1. Sean Af B un morfismo y B l B un subobjeto de B. Se

denomina imagen inversa de B a traves de f al producto fibrado de f y l:

X B

A B

-g

?h

?l

-f

Segun la proposicion 1.8.3, X es un subobjeto de A el cual se denota por f1(B).

Observacion 1.9.2. Al aplicar la parte final de la definicion 1.8.1 encontramos

que si Xh A y X h A son imagenes inversas de B l B a traves de A f B,

entonces X = X . De otra parte, supongase que X h A es imagen inversa de By que X h

A es equivalente a X h A. Por tanto, X es imagen inversa de B.Realizamos la prueba esquematica de esta afirmacion no evidente por s misma:

X X

X B

A B

@@@@R

pAAAAAAAAAU

h

q

61X

-g

?h

?l

-f

X B

A B

-gp

?h

?

l

-f

Si X g B y X h A son morfismos tales que l g = f h, entonces existe

un unico morfismo w : X X tal que h w = h y g w = g. As, se tiene el

1.9. IMAGEN INVERSA 33

diagrama conmutativo

X

X B

A B

@@@@R

qwAAAAAAAAAU

h

HHHHHHHHHj

g

-gp

?h

?

l

-f

En efecto, h q w = h w = h;l g p q w = f h p q w = f h q w = f h = l g,

de donde (g p) (q w) = g. Supongase que existe otro morfismo t : X X talque h t = h y (g p) t = g. Se sigue que h t = h (q w), de donde obtenemost = q w, completando as la prueba de la afirmacion.

Una categora se dice que tiene imagenes inversas , si para cada morfismo

Af B y cada subobjeto B l B existe la imagen inversa f1(B).

Ejemplo 1.9.3. ModA posee imagenes inversas. En efecto, si Mf N es un ho-

momorfismo de modulos y N l N es un submodulo de N , entoncesf1(N ) = {m M | f(m) N }

es un sumbodulo deM , que junto con la inclusion f1(N )M conforma la imageninversa de N .

De manera similar se define la imagen inversa en Ani. As, Ani posee imagenesinversas.

Consideramos ensequida algunas propiedades de las imagenes y de las imagenesinversas.

Proposicion 1.9.4. Sea Af B un morfismo y

A1 A2 A, B1 B2 B.Si suponemos que cada una de las siguientes expresiones esta definida, obtenemoslas siguientes relaciones:

(i) f(A1) f(A2);(ii) f1(B1) f1(B2);


(iii) A1 f1(f(A1));

(iv) f(f1(B1)) B1;

(v) f(A1) = f(f1(f(A1)));

(vi) f1(B1) = f1(f(f1(B1))).

Demostracion. Para esta demostracion los siguientes diagramas resultan suficientes:

(i)

A1 A B

f(A1)

@@@@R

g1

-l1 -f

l

A2 A B

f(A1)

@@@@R

g2

-l2 -f

l

A1 A2

A

@@Rl1

-k

l2

A1 A2 A B

A1 f(A1) B

f(A2)

-k

HHHHHHHHj

g1

?

iA1

-l2 -f

HHHHHHHHjg2k

*

l

?h

6iB

*

l

Notese que f l2 k = l g2 k, es decir, f l1 = l (g2 k). Como f(A1)es imagen de f l1, entonces existe un morfismo h : f(A1) f(A2) tal quel h = l, esto es, f(A1) f(A2).


(ii)

f1(B1) B1

A B

-g1

?

h1

?

l1

-f

f1(B2) B2

A B

-g2

?

h2

?

l2

-f

B1 B2

B

@@Rl1

-k

l2

f1(B1)

f1(B2) B2

A B

@@@@@R

tAAAAAAAAAAAAU

h1

HHHHHHHHHHHj

kg1

-g2

?

h2

?

l2

-f

Tenemos l2 k g1 = l1 g1 = f h1. Existe un unico t tal que h2 t = h1,esto es, f1(B1) f1(B2).

(iii)

A1

f1(f(A1)) f(A1)

A B

f(A1)

PPPPPPPPPPPPPPq

gl1QQQQQQs

kSSSSSSSSSSw

l1-l

?

t

?

h

-f

?

g

3

h

Dado que hgl1 = f l1, existe k tal que tk = l1, es decir, A1 f1(f(A1)).


(iv)

f1(B1) B1

A B

-g

?

h1

?

l1

-f

f1(B) A B

f1(f(B1))

B1

-h1

@@@@@@R

q

AAAAAAAAAAAAAU

g

-b

?

m

l

l1

Como f h1 = l1g, existe un unicom tal que l1m = l, es decir, f(f1(B1)) B1.

(v) Tenemos A1 f1(f(A1)), luego f(A1) f(f1(f(A1))). De (iv) se obtieneque f(f1(f(A1))) f(A1).

(vi) Por (ii) y (iv) f1(f(f1(B1))) f1(B1), y de (iii), tomando A1 = f1(B1),completamos la prueba.

Las propiedades del punto anterior pueden ser complementadas de la siguientemanera.

Proposicion 1.9.5. (i) Si Af B es un morfimo en una categora con imagenes

e imagenes inversas y {A1 li A}iI es una familia no vaca de subobjetosde A para los cuales

iI Ai existe, entonces

iI f(Ai) existe y coincide con

f(

iI Ai).

(ii) Si Af B es un morfismo en una categora con imagenes inversas y {Bi li

B}iI es una familia no vaca de subobjetoss de B para los cuales

iI Biexiste, entonces

iI f

1(Bi) existe y coincide con f1(

iI Bi).

Demostracion. (i) Probaremos que f(

iI Ai) es la union de la familia {f(Ai)}. SeaiIAi

h A


la union de la familia {Ai} y f(

iI Ai) su imagen por f h:iIAi A B

f

(iIAi

)@@@Rg-h -f

t

Observese que f(

iI Ai) B. Como Ai

iI Ai para cada i I, segun laproposicion 1.9.4 se tiene f(Ai) f(

iI Ai) :

f(Ai) f

(iIAi

)

B

@@@@R

l1

-fi

t

Sea ahora n : B C un morfismo y C l C un subobjeto de C tal que cada f(Ai)puede ser llevado en C :

f(A1) C

B C

-ti

?

l1

?

l

-n

Se debe probar que f(

iI Ai) puede ser llevado en C. Tenemos

Ai A B

f(Ai)

@@@@R

ki

-hi -f

li

Consideremos la imagen inversa de C a traves de n

n1(C ) C

B C

-w

?

z

?

l

-n


Existe un unico morfismo mi tal que el siguiente diagrama conmuta

f(Ai)

n1(C ) C

B C

HHHHHHHHHHHj

ti

@@@@@R

miAAAAAAAAAAAAU

li-w

?

z

?

l

-n

Resulta el diagrama conmutativo

Ai n1(C )

A B

-miki

?

hi

?

z

-f

Por la condicion de union existe v :

iI Ai n1(C ) tal que el siguiente diagramaconmuta

iIAi n1(C )

A B

-v

?

h

?

z

-f

1.10. PRODUCTO Y COPRODUCTO 39

y tambien obtenemos un morfismo u tal que z u = t:iIAi A B

f

(iIAi

)

n1(C )

-h

@@@Rg

AAAAAAAAAAAU

v

-f

?

u

t

z

As, obtenemos el diagrama conmutativo

f

(iIAi

)n1(C )

B C

-wu

?

t

?

l

-n

lo cual completa la prueba de (i).(ii) Queda como ejercicio para el lector.

1.10. Producto y coproducto

El producto y la suma directa externa de modulos (vease [8]) permitengeneralizaciones a categoras arbitrarias por medio de los objetos producto y co-producto, respectivamente.

Definicion 1.10.1. Sea {Ai}iI un conjunto no vaco de objetos de una categoraC. Se denomina producto del conjunto {Ai}iI a un objeto de C notado por

iI Ai

y un conjunto

{pj :iI

Ai Aj}jI

de morfismos llamados proyecciones, tales que para cada objeto C de C y cadaconjunto {fj : C Aj}jI de morfismos existe un unico morfismo f , tal que para


cada j I el siguiente diagrama

C

iI

Ai Aj

?

f@@@@@R

fj

-pj

(1.10.1)

es conmutativo.

Si I es finito, I = {1, 2, . . . , n}, el producto del conjunto {A1, . . . , An} se denotapor

ni=1Ai, o, A1 A2 An. Si todos los objetos del conjunto {Ai}iIson

iguales, Ai = A para cada i I, el producto se denota por AI . Como es de esperardos productos del conjunto {Ai}iI son objetos isomorfos.

Una categora se dice que tiene productos si cada conjunto no vaco de objetostiene producto. Si cada conjunto finito tiene producto la categora se dice que tieneproductos finitos.

A partir de la definicion es sencillo probar las siguientes afirmaciones. Su de-mostracion queda a cargo del lector.

(i) Sea {Ai}iI un conjunto no vaco de objetos y : I I una funcion biyectivadel conjunto I de ndices. Entonces

iIAi =

iI

A(i).

(ii) Si en una categora cada par de objetos tiene producto, entonces la categoratiene productos finitos.

Proposicion 1.10.2. Sea {pj :

iI Aj}jI el producto del conjunto {Ai}iI .Para j I se tiene que pj es retraccion si, y solo si, Mor(Aj, Ai) 6= para cadai I.Demostracion. Si pj es retraccion, existe un morfismo h : Aj

iI Ai tal que

pj h = 1. As, pi h Mor(Aj, Ai) para cada i I.Supongase que para cada i I, Mor(Aj, Ai) 6= . Existe entonces un conjunto de

morfismos {fi : Aj Ai}iI , donde tomamos fj = iAj . Encontramos un morfismof : Aj

iI Ai tal que pi f = fi para cada i I. En particular, pj f = iAj ,

con lo cual pj es retraccion.

Corolario 1.10.3. En una categora con cero morfismos las proyecciones del pro-ducto son retracciones, y por lo tanto epimorfismos.


Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion anterior.

Proposicion 1.10.4. Sean C una categora con cero morfismos, {Ai}iI un conjuntono vaco de objetos de C y {pj :

iI Ai Aj} su producto. Al tomar j I fijo y

considerando el conjunto de morfismos {Aj ki Ai}, donde

ki =

{0, i 6= jiAi , i = j,

existe un unico morfismo qj : Aj

iI Ai tal que

pi qj ={0, i 6= jiAj , i = j

. (1.10.2)

Los morfismos {qj : Aj

iI Ai}jI unvocamente determinados por (1.10.2) sedenominan inyecciones del producto.

Proposicion 1.10.5. Sean C una categora con cero morfismos, A1, A2 objetos deC y {pi : A1A2 Ai}i=1,2 su producto. Si q1 : A1 A1A2 es una inyeccion delproducto, entonces q1 es nucleo de p2 (afirmacion analoga se tiene para q

2 y p1). Si

C es ademas conormal, entonces p2 es el conucleo de q1 (p1 es el conucleo de q2).

Demostracion. Segun (1.10.2), p2q1 = 0. Ademas, como q1 es monomorfismo A1q1

A1 A2 es un subobjeto de A1 A2. Sea h : C A1 A2 tal que p2 h = 0. Setienen los morfismos C

p1h A1 y C p2h=0 A2:

A1 A1 A2 A2

C

-q1 -p2

6

p1h

h

Por la condicion del producto existe un unico f : C A1 A2 tal quep1 f = p1 h y p2 f = p2 h = 0.

Pero los morfismos h y q1 p1 h tambien cumplen estas dos relaciones:p1 h = p1 h, p2 h = p2 h = 0

p1 (q1 p1 h) = p1 h p2 (q1 p1 h) = 0.Por unicidad se tiene que f = h = q1 p1 h.

La segunda afirmacion es consecuencia de la proposicion 1.7.11.


Al aplicar el principio de dualidad obtenemos el concepto de coproducto de unconjunto no vaco de objetos {Ai}iI de una categora cualquiera C. El objeto en estecaso es notado por

iI Ai y los morfismos {qj : Aj

iI Ai}jI son llamadas

inyecciones . La propiedad que define y caracteriza al coproducto se obtiene de1.10.1 invirtiendo el sentido de las flechas. Si I = In = {1, 2, . . . , n} es finito, tambiendenotamos al coproducto

ni=1Ai como A1A2 An. Si todos los objetos Ai

son iguales, Ai = A para cada i I, el coproducto se denota por A(I).Las afirmaciones duales de (i) y (ii) de la definicion 1.10.1 se cumplen. La proposi-

cion 1.10.2 toma ahora la siguiente forma. Para cada j I, qj es coretraccion si, ysolo si, Mor(Ai, Aj) 6= , para cada i I.

Si la categora C tiene cero morfismos, las inyecciones del coproducto son corre-tracciones y por lo tanto monomorfismos.

Las proyecciones del coproducto se definen como los morfismos pj :

iI Ai Aj, j I, tales que

pj qi ={0, i 6= j,iAi i = j.

La coleccion {pj} existe y es unica. La proposicion dual de la proposicion 1.10.5 esvalida.

Ejemplo 1.10.6. ModA tiene productos y coproductos, vease [8]. Como ModAtiene objeto cero, las proyecciones del producto son epimorfismos. EnAni el produc-to se define por componentes de manera analoga a como se hizo en ModA. AunqueAni no posee cero morfismos, las proyecciones del producto son epimorfismos. Enefecto, sean h, g : Aj C homomorfismos de anillos tales que hpj = gpj, donde pjes una proyeccion del producto

iI Ai. Considerese a Aj. Sea f = (fi)

iI Ai

definido por

fi =

{0, i 6= ja, i = j.

Se cumple que

g pj(f) = g(a) = h pj(f) = h(a).

Proposicion 1.10.7. Sean {Ai}iI y {Bi}iI conjuntos no vacos de objetos deuna categora. Supongase que existen los productos {pi :

iI Ai Ai} y {pi :

iI Bi Bi}. Sea {hi : Ai Bi}iI un conjunto de morfismos dado. Existe un


unico morfismo h =

iI hi tal que el siguiente diagrama conmutaiI

AiiI

Bi

Ai Bi

-hi

?

pi

?

pi

-hi

Demostracion. La definicion de producto y los siguientes diagramas ilustran la de-mostracion:

iI

Ai

Ai Bi

?pi

@@@R

hipi

-hi

iI

AiIBi

Bi

-h

@@@@@R

hipi?

pi

Observacion 1.10.8. El morfismo de la proposicion 1.10.7 se denomina produc-to del conjunto {hi}. Notese que dicho morfismo producto cumple las siguientesrelaciones

iIti iI

hi =iI

(ti hi),iI

iAi = iiI Ai (1.10.3)

donde {ti : Bi Ci}iI es otro conjunto no vaco de morfismos.De manera dual se define el morfismo coproducto

iI hi, cumpliendo relaciones

analogas a (1.10.3).

Proposicion 1.10.9. Sean {Aj}jJ y {Bi}iI conjuntos no vacos de objetos de unacategora. Supongase que existen el coproducto {qj : Aj

jJ Aj}jJ y el producto

{pi :

iI Bi Bi}iI . Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto demorfismos Mor(

jJ Aj,

iI Bi) y el conjunto M de matrices

M := {[fij]) | fij Mor(Aj, Bi), i I, j J}tales que pi f qj = fij, para cada f Mor(

jJ Aj,

iI Bi) y cada i I, j J .

Demostracion. Dado un morfismo

f :jJ

Aj iI

Bi


se determina unvocamente una matriz [fij] por medio del siguiente diagramajI

AjiI

Bi

Aj Bi

-f

?

pi

6qj

-fij

fij = pi f qjRecprocamente, consideremos la matriz [fij] M , con fij : Aj Bi un morfismo.Fijemos i I. Se tiene que el conjunto de morfismos {fij : Aj Bi}jJ . Porla condicion del coproducto existe un unico morfismo f i :

jJ Aj Bi tal que

f i qj = fij, para cada i I. Segun la condicion del producto existe un unicomorfismo f :

jJ Aj

iI Bi tal que pi f = f i , para cada i I. Se obtiene un

morfismo f tal que pi f qj = fij.

Los morfismos en Mor(

jJ Aj,

iI Bi) son representados tambien por su co-rrespondiente matriz f = [fij].

Si C es una categora con cero morfismos y {Ai}iI es un conjunto no vaco deobjetos para los cuales existen el producto y el coproducto, entonces de acuerdo conlo anterior existe un unico morfismo

= [ij] :iI

Ai iI

Ai

tal que

pi qj = ij ={0, i 6= jiAi , i = j.

(1.10.4)

Notese que la matriz de este morfismo es la identica. Si es un isomorfismo se diceque

iI Ai es un biproducto.

Para terminar consideremos los morfismos diagonal y codiagonal.

Definicion 1.10.10. Sea {Ai}iI un conjunto de objetos identicos en una categora,Ai = A para cada i I. Supongase que existen el producto AI y el coproducto A(I).La familia de morfismos identicos {iA : A A} induce el morfismo : A AI ,tal que pi = iA para cada i I. se denomina morfismo diagonal.

Notese que es monomorfismo. De manera analoga se induce el morfismocodiagonal O : A(I) A, tal que O qi = iA para cada i I. O es epimorfismo.

1.11. LAS CATEGORIAS MODA Y ANI 45

Ejemplo 1.10.11. En la categora ModA el morfismo definido por (1.10.4) esla inclusion del coproducto

iIMi (suma directa externa) en el producto. Si I =

{1, 2, . . . , n} es finito, entonces = iM1Mn , con lo cual el coproducto es unbiproducto. Ademas,

iM1Mn = q1 p1 + + qn pn,

donde qi, pi son las inyecciones y proyecciones respectivamente.El morfismo diagonal en ModA viene dado por

(a) = f = (fi) AI , fi = a, para todo i I.

El codiagonal es

O(f) ={0, f = 0

iIf fi, f 6= 0donde If denota el soporte de f .

En Ani el morfismo diagonal se define como en ModA.

1.11. Las categoras ModA y Ani

En esta seccion se resumen varios de los resultados encontrados en secciones anteri-ores relativos a las categorasModA yAni. Los cuadros que presentaremos deben serentendidos de la siguiente manera: una relacion de la forma igualador monomor-fismoindica que cada igualador es un monomorfismo y que un monomorfismo dadoes igualador de cierto par de morfismos.

Relaciones basicas en una categora C(i) Un nucleo, una union, una interseccion, una imagen, un igualador, una imagen

inversa y una corretraccion son monomorfismos.

(ii) Un monomorfismo en una union: (A1l A) = A1.

(iii) Un monomorfismo es una interseccion: (A1l A) = A1.

(iv) Un monomorfismo es una imagen: (A1l A) = Im(A1 l A).

(v) Un monomorfismo es una imagen inversa: (A1l A) = iA1(A1).

(vi) Un nucleo es un igualador: ker(Af B) = Ig(f, 0AB).


(vii) Todo isomorfismo es bimorfismo.

(viii) Un conucleo, una coimagen, un coigualador y una retraccion son epimorfismos.

(ix) Un epimorfismo es una coimagen: (Aj B) = Coim(A j B).

(x) Un conucleo es un coigualador: Con(Af B) = Coig(f, 0AB).

(xi) Una corretraccion es un coigualador: sea Af B una corretraccion y g : B A

tal que g f = iA. Se sigue que f = Im(iB, f g).

(xii) Una retraccion es un coigualador: sea Af B retraccion y g : B A tal que

f g = iB. Se obtiene f = Coig(iA, g f).Observacion 1.11.1. Las relaciones anteriores pueden resumirse de la siguienteforma:

1. Union Monomorfismo Imagen;2. Imagen inversa Monomorfismo Interseccion;3. Igualador Nucleo Monomorfismo Igualador Corretraccion;4. Coimagen Epimorfismo Conucleo Coigualador Retraccion;5. Coigualador Epimorfismo Retraccion;6. Isomorfismo Bimorfismo.

De las relaciones presentadas en la observacion 1.11.1 surgen inmediatamente lassiguientes preguntas:

Todo igualador es una corretraccion?

Todo monomorfismo es una corretraccion?

Todo monomorfismo es un igualador? (Si una categora no posee cero morfis-mos entonces no todo monomorfismo es nucleo y no todo igualador rd nucleo).

Todo epimorfismo es retraccion?

Todo coigualador es retraccion?

Todo epimorfismo es coigualador? (Si la categora no tiene cero morfismosentonces no todo epimorfismo es conucleo y no todo coigualador es conucleo).


Las respuestas a estas preguntas son todas negativas como veremos en el resumenpara anillos y modulos.

Propiedades basicas de la categora ModA

(i) Salvo equivalencia, los subobjetos de un modulo son sus submodulos con lasinclusiones.

(ii) Salvo equivalencia, los objetos cociente de un modulo son los modulos cocientecon los homomorfismos canonicos.

(iii) ModA es localmente y colocalmente pequena.

(iv) ModA no es noetheriana ni artiniana para A 6= 0.(v) 0 es objeto cero de ModA.

(vi) ModA tiene cero morfismos.

(vii) ModA tiene igualadores y coigualadores.

(viii) ModA tiene uniones e intersecciones.

(ix) ModA tiene imagenes epimorficas y coimagenes monomorficas.

(x) ModA tiene nucleos y conucleos.

(xi) ModA tiene productos y sumas fibradas.

(xii) ModA tiene imagenes inversas.

(xiii) ModA tiene productos y coproductos.

(xiv) ModA es balanceada.

(xv) ModA es normal y conormal.

(xvi) ModA es completa y cocompleta (vease el captulo siguiente).

(xvii) ModA es abeliana (vease el captulo siguiente).

Consideremos ahora en ModA las relaciones de la observacion 1.11.1. Debemosadicionar los morfismos inyectivos y sobreyectivos.

(a) No todo homomorfismo inyectivo es corretraccion: A = Z, f : 2Z Z;f(2k) := 2k. f es inyectivo pero no es corretraccion.


(b) Un monomorfismo es un igualador: k : C M ; k(C) = {k(x) | x C}. Setiene que k = Ig(f, j) donde f :M M/k(C), f(m) = 0 y j :M M/k(C).Se tiene que j(m) = m para todo m M .

(c) No todo igualador es una corretraccion: de lo contrario, por (b) y la tabla alfinal de la seccion 1.2, corretraccion sera lo mismo que monomorfismo. Peroesto ultimo es falso (el mismo contraejemplo de (a)).

(d) Un monomorfismo es un nucleo: f : M1 M2, f(M1) = {f(m) | m M1};f = N(j), donde j :M2 M2/f(M1); j(x) = x para todo c M2.

(e) Un igualador es nucleo: f, g :M N , Ig(f, g) = ker(f g).(f) No todo nucleo es corretraccion: de lo contrario monomorfismo sera equiva-

lente a corretraccion.

(g) No toda interseccion es corretraccion: de lo contrario monomorfismo seraequivalente a corretraccion.

(h) No toda union es corretraccion: en otro caso monomorfismo sera equivalentea corretraccion.

(i) No toda imagen es corretraccion: de lo contrario monomorfismo sera corre-traccion.

(j) No toda imagen inversa es corretraccion. Si fuese as, un monomorfismo serauna corretraccion.

(k) No todo homomorfismo sobreyectivo es retraccion: A = Z, f : Z Z2;f(k) = k para todo k Z.

(l) Un epimorfismo es un coigualador: k : M N , P = {m M | k(m) = 0},k = Coig(f, g), donde f, g : P M , f(x) = 0, g(x) = x, para todo x P .

(m) No todo coigualador es retraccion. De lo contrario, por (l) y la tabla al finalde la seccion 1.2, retraccion sera lo mismo que epimorfismo, lo cual es falso(contrajemplo de (k)).

(n) Un epimorfismo es un conucleo: f : M N , f = coker(P M), dondeP = {x M | f(x) = 0} y P M es la inclusion.

(n) Un coigualador es un conucleo: f, g :M N , Coig(f, g) = Con(f g).(o) No todo conucleo es retraccion; de lo contrario epimorfismo sera lo mismo que

retraccion.


(p) No toda coimagen es retraccion; de lo contrario epimorfismo sera lo mismoque retraccion.

Observacion 1.11.2. Con base en lo anterior tenemos en la categora ModA lassiguientes relaciones:

1. Union Monomorfismo Imagen;2. Imagen inversa Monomorfismo Interseccion;3. Igualador Monomorfismo Nucleo;4. Monomorfismo Inyeccion Corretraccion;5. Coigualador Sobreyectivo Epimorfismo Coimagen;6. Conucleo Epimorfismo;7. Retraccion Sobreyectivo;8. Biyectivo Isomorfismo Bimorfismo.

Propiedades basicas de la categora Ani

(i) Salvo equivalencia, los subobjetos de un anillo son los subanillos con las inclu-siones.

(ii) Ani es localmente pequena.

(iii) Cada anillo cociente de un anillo A con el homomorfismo canonico es un objetocociente de A. Sin embargo, existen objetos cociente que no corresponden a

formar cocientes por ideales: Z l Q, donde l es la inclusion natural.(iv) Ani no es noetheriana ni artiniana.

(v) Z es objeto inicial; 0 es objeto terminal. Ani no tiene objeto cero.

(vi) Ani no posee cero morfismos.

(vii) Ani no tiene igualadores y coigualadores.

(viii) Ani tiene uniones e intersecciones.

(ix) Ani tiene imagenes epimorficas.

(x) Ani tiene imagenes inversas.


(xi) Ani no es balanceada.

(xii) Ani tiene productos fibrados.

(xiii) Ani es completa (vease el siguiente captulo).

Ahora estudiamos la observacion 1.11.1 para la categora Ani.

(a) No todo homomorfismo inyectivo es una corretraccion; Z l Q, donde l es lainclusion natural.

(b) No todo monomorfismo es igualador; Z l Q, donde l es la inclusion natural.Este mismo contraejemplo muestra que no toda inyeccion es igualador.

(c) No todo igualador es una corretraccion; iC, h : C C, h(a + bi) = a bi,lg(iC, h) = (R

l C), pero l no es corretraccion (l es la inclusion natural).(d) No toda interseccion es corretraccion; de lo contrario monomorfismo sera

equivalente a corretraccion, lo cual es falso (el mismo contrajemplo de 1.11)

(e) No toda union es corretraccion; de lo contrario monomorfismo sera equivalentea corretraccion.

(f) No toda imagen es corretraccion; si fuese as todo monomorfismo sera equiv-alente a una corretraccion.

(g) No toda imagen inversa es corretraccion; de lo contrario monomorfismo seraequivalente a corretraccion.

(h) No toda imagen es igualador; si fuese as, todo monomorfismo sera equivalentea igualador.

(i) No toda interseccion, union o imagen inversa es un igualador: de lo contrariomonomorfismo sera equivalente a igualador.

(j) No todo homomorfismo sobreyectivo es retraccion: Z j Z2, j(k) = k paratodo k Z.

(k) No todo epimorfismo es sobreyectivo: Z l Q.

(l) No todo epimorfismo es coigualador: Z l Q.(m) Sobreyectivo es equivalente a coigualador: h : B C sobreyectivo, A =

{(b, b) B B | h(b) = h(b)}, h = Coig(p1, p2), donde p1, p2 son las proyec-ciones de A en B. Recprocamente, si (B

h C) = Coig(A f B), entonces hes sobreyectivo.

1.12. EJERCICIOS 51

(n) No toda coimagen es coigualador; de lo contra

cuaderno no. 7 categorías

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