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CUC Electrónica Matemática Elemental Msc. Adriana Rivera Meneses

COLEGIO UNIVERSITARIO DE CARTAGO

ELECTRÓNICA

MATEMÁTICA ELEMENTAL

EL-103

CUADERNO DE TRABAJO 3

Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses

II Cuatrimestre 2014

2


ESTIMADO ESTUDIANTE:

Hemos llegado al último de los temas de nuestro curso, iniciamos con el Cálculo

Diferencial, en el apartado de límites.

Un estudio más amplio de las funciones que nos permitirá llegar a analizarlas de

una manera más enriquecedora en este y muchos de sus próximos cursos.

Usted necesitará buenas bases en razonamiento así como en cálculos aritméticos

y algebraicos, pero sobre todo mucho entusiasmo y positivismo para alcanzar el

conocimiento que usted necesita.

Adelante es este su último esfuerzo en el curso, su meta está cada vez más cerca.

¡Que termine disfrutando el curso de Matemática Elemental!

3


LÍMITES. 1. CONCEPTOS BÁSICOS.

Noción intuitiva de límite.

Considere la siguiente gráfica.

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = _______

lim𝑥→−1+

𝑓(𝑥) = _______

lim𝑥→−1−

𝑓(𝑥) = _______

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = _______

Ejemplo 1: dibujemos una gráfica que cumpla con las siguientes condiciones

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = +∞

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞

lim𝑥→−0−

𝑓(𝑥) = 0

f(𝑥) = 1 ∀𝑥 ∈ ]0,1[

𝐷𝑓: ℝ − {0}, 𝑓(2) = 2 𝑓(3) = 1

4



lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = +∞

lim𝑥→−0−

𝑓(𝑥) = +∞

𝐷𝑓: ℝ − {0}, 𝑓(−1) = −2 𝑓(1) = 2


lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 3

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→−0−

𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 3

𝐷𝑓: ℝ − ]0,1[, 𝑓(4) = 5 𝑓(5) = 4

5


Ejemplo 4: considere la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 4 con 𝐷𝑓 = ℝ, consideremos un

punto arbitrario como 𝑥 = 3; completando las siguiente tabla

Entonces,

lim𝑥→3

−2𝑥2 + 8𝑥 − 4 = __________

x 4 3.5 3.3 3.1 3.001 3.0001 3.00001

y

x 2 2.5 2.8 2.9 2.99 2.999 2.9999

y

6


2. Teoremas básicos sobre límites.

1. lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘, 𝑠𝑖 𝑘𝜖 ℝ

2. lim𝑥→𝑎

𝑥 = 𝑎

3. lim𝑥→𝑎

𝑥𝑛 = 𝑎 𝑛 , 𝑠𝑖 𝑛𝜖 ℤ+

4. lim𝑥→𝑎

√𝑥𝑛

= √𝑎𝑛

, 𝑠𝑖 √𝑥𝑛

esta bien definida.

5. lim𝑥→𝑎

𝑥𝑚

𝑛 = 𝑎 𝑚

𝑛 , 𝑠𝑖 𝑥𝑚

𝑛 esta bien definida.

6. Suponga que el lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 y que el lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝑀 donde L y M son

números reales, y a, b, m, n son constantes se cumple:

a. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑏𝑓(𝑥)] = 𝑏 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

b. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

c. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ∙ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

d. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)


𝑔(𝑥)

e. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑛 = 𝐿𝑛

f. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

√𝑓(𝑥)𝑛= √𝐿

𝑛

g. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]𝑚

𝑛 = 𝐿𝑚

𝑛

7. Sean 𝑃(𝑥)𝑦 𝑄(𝑥) polinomios cualesquiera entonces:

a. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎)

b. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)=

𝑃(𝑎)

𝑄(𝑎) 𝑠𝑖 𝑄(𝑎) ≠ 0

7


Ejemplos 5: Calcule cada uno de los siguientes límites.

𝑙𝑖𝑚𝑥→4

4 =

𝑙𝑖𝑚𝑥→−5

6 =


𝑥2 =


𝑒3 =


(1 − 4𝑥2

3𝑥 + 1) =


(10𝑥 − 2𝑥2

𝑥2 − 9)

−1

=

8



𝑥2 + 5𝑥 − 6 =


(𝑥 + 3𝑥2 − 7

𝑥3 − 7𝑥 + 2) =


√7 − 5𝑥

𝑥2 − 10𝑥

4

=


(√9 + 𝑥2

𝑥) =

9


3. Técnicas para el cálculo de límites.

Calcularemos límites de dos tipos de funciones:

a. Límites de funciones elementales o combinaciones de estas.

b. Límites de funciones definidas a trozos ó con valor absoluto.

Para el primer tipo de funciones tenemos:

1. Si f(a) esta definida entonces: 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

2. Si f(a) es igual a una constante entre cero; 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) =𝑘

0; 𝑘 ≠ 0 entonces:


𝑓(𝑥) = ±∞

3. Si 𝑓(𝑎) =0

0 que es una forma indeterminada (FI) entonces se deben aplicar

técnicas de factorización, racionalización, cambio de variable, límites

básicos y propiedades de límites para eliminar esta forma indeterminada.

Teorema: Sea I un intervalo abierto y sea “a” un número que pertenezca a ese

intervalo, y además se cumple que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥); ∀𝑥 ∈ 𝐼, excepto tal vez en 𝑥 = 𝑎

entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 ∧ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿



𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥 + 3= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−1

𝑥2 − 1

𝑥2 + 3𝑥 + 2=

10



√𝑥 + 1 − 1

𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−3

𝑥 + 3

√9𝑥 − 55

+ 2=


2 − √8 − 𝑥3

𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

√1 + 8𝑥 − 3

√4𝑥 − 2=

11



√𝑥2 − 9

𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

√𝑥 + 9 − 3

𝑥=


√𝑥 + 4 − 2

√𝑥 + 25 − 5= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

√8 + 𝑥3

− 2

𝑥=

12



𝑥2 + 𝑥

𝑥2 + 4𝑥 + 3=

lim𝑥→4

𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = {√𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 > 48 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 4

lim𝑥→3

𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = {2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 38 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 3

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 4

√𝑥2 + 43

𝑠𝑖 𝑥 < 4

13


Práctica.

a. Estime a partir de cada gráfico lo que se le solicita.

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = __________

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = __________

lim𝑥→−1+

𝑓(𝑥) = __________

lim𝑥→−1−

𝑓(𝑥) = __________

lim𝑥→−3+

𝑔(𝑡) = __________

lim𝑥→−1−

𝑔(𝑡) = __________

lim𝑥→−1+

𝑔(𝑡) = __________

lim𝑥→1−

𝑔(𝑡) = __________

lim𝑥→1+

𝑔(𝑡) = __________

lim𝑥→2−

𝑔(𝑡) = __________

lim𝑥→2+

𝑔(𝑡) = __________

lim𝑥→3−

𝑔(𝑡) = __________

14


lim𝑥→−∞

𝑓(𝑣) = __________

lim𝑥→∞

𝑓(𝑣) = __________

lim𝑥→−2−

𝑓(𝑣) = __________

lim𝑥→−2+

𝑓(𝑣) = __________

lim𝑥→1+

𝑓(𝑣) = __________

lim𝑥→1−

𝑓(𝑣) = __________

lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥) = __________

lim𝑥→−2−

𝑔(𝑥) = __________

lim𝑥→−2+

𝑔(𝑥) = __________

lim𝑥→−1−

𝑔(𝑥) = __________

lim𝑥→−1+

𝑔(𝑥) = __________

lim𝑥→2−

𝑔(𝑥) = _________

lim𝑥→2+

𝑔(𝑥) = __________

lim𝑥→∞

𝑔(𝑥) = __________

b. Dibuje una gráfica de una función que cumpla las características dadas.

1. 𝐷(𝑓) = ℝ − {−3}, 𝑓(−2) = 0, lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 1, lim𝑥→−3−

𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→−3+

𝑓(𝑥) = −∞, lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 1

2. 𝐷(𝑔) = ℝ − {0}, lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥) = −∞, lim𝑥→0

𝑔(𝑥) = −∞, lim𝑥→∞

𝑔(𝑥) = ∞

3. 𝐷(ℎ) = ]−∞, 0] ∪ ]5, ∞[, lim𝑥→−∞

ℎ(𝑥) = 1, lim𝑥→0−

ℎ(𝑥) = ℎ(0) = 0

lim𝑥→5+

ℎ(𝑥) = ∞, lim𝑥→∞

ℎ(𝑥) = 1

15


c. Calcule cada uno de los siguientes límites.

1. lim𝑥→−2

𝑥2 + 3𝑥 2. lim𝑥→5

2𝑥√2𝑥3 + 6

3. lim𝑥→3

√1 + 𝑥3 4. lim𝑥→4

𝑥2

𝑥2−9

5. lim𝑥→3

𝑓(𝑥), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 < 34 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

6. lim𝑥→−1

2𝑥2−𝑥−3

𝑥+1

7. lim𝑥→−2

2𝑥+𝑥2

2+𝑥 8. lim

𝑥→1 𝑥2+3𝑥−4

𝑥−1

9. lim𝑥→3

2𝑥2−5𝑥−3

𝑥3+5𝑥−3𝑥2−15 10. lim

𝑥→0 3𝑥2−5𝑥

4𝑥

11. lim𝑥→4

𝑥−4

√𝑥−2 12. lim

𝑥→3

3𝑥−𝑥2

1+√1+𝑥

13. lim𝑥→

5

2

4−√2𝑥+11

2𝑥−5 14. lim

𝑥→−2 √𝑥+6+𝑥

𝑥+2

15. lim𝑥→1

𝑥3+𝑥2−2

2−√𝑥+3 16. lim

𝑥→2

𝑥−2

√4𝑥3

−2

4. Límites trigonométricos.

Considere el límite

lim𝑥→0

𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑥 + 3=

Como se puede observar el cálculo de este límite es sencillo pues coincide con la

imagen de la función, sin embargo no siempre es así.

16


Por ejemplo para

lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛2𝑥

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥=

Como se puede observar en el ejemplo anterior algunas veces es indispensable

usar las identidades trigonométricas.

Existen límites que serán de utilidad para el cálculo de otros que surgen de una

composición de ellos, como los siguientes:

lim𝑥→0

𝑥 𝑠𝑒𝑛1

𝑥= 0 lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥= 1 lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥

𝑘𝑥= 1



𝑠𝑒𝑛 3𝑥

𝑠𝑒𝑛 5𝑥=


𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑥=

17



1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥=


𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝑠𝑒𝑛𝑥=


𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥=


𝑠𝑒𝑛5𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3𝑥

𝑥=

18



1 − √𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥2=


𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥3=


3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥

2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥=


𝑡𝑎𝑛 𝜋𝑥

𝑥 + 2

19



2𝑥

𝑡𝑎𝑛 3𝑥=


𝑥2 − 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝑥=

5. Límites infinitos

Anteriormente, se definió que si a evaluar un límite f(a) es igual a una constante

entre cero; 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) =𝑘

0; 𝑘 ≠ 0 entonces: 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ±∞ , donde el signo

estará dado por signo del denominador (combinado en algunos casos con el del

denominador), sin embargo para la aplicación de esta ley se debe tener los

siguientes cuidados:

1. El límite del numerador no es nulo.

2. El límite del denominador es nulo.

3. La función esta en forma irreductible.

20




2𝑥

𝑥 − 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+

𝑥 + 2

1 − 𝑥=

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

[1 +1

𝑥 − 1] = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→2

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥

𝑥3 − 3𝑥2 + 4=

Teoremas importantes.

1. Sea n un entero positivo, entonces

𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

𝑥𝑛 = +∞

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

𝑥𝑛 = {+∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

−∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

2. Sea n un entero positivo, y 0 < 𝑥 < 1entonces


𝑥𝑛 = 0


𝑥𝑛 = +∞

21


3. Si k es constante y r ∈ ℚ+ entonces:


𝑘

𝑥𝑟= 0

4. Si k es constante y r ∈ ℚ y 𝑥𝑟 esta bien definida entonces:


𝑘

𝑥𝑟= 0

Algunas formas indeterminadas.

En estos casos el límite debe ser trabajado.

0

0 0 ∙ ±∞ +∞ − ∞

±∞

±∞ ∞0

Algunas operaciones con infinitos.

∞ + ∞ = +∞ −∞ + −∞ = −∞

𝑘 ∙ +∞ = {+∞ 𝑠𝑖 𝑘 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑘 < 0

𝑘 ∙ −∞ = {−∞ 𝑠𝑖 𝑘 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑘 < 0

±∞

0= ±∞ ∞ ∙ ∞ = ∞

22


Ejemplo 9: Calcule cada uno de los siguientes límites.


4𝑥3 + 2𝑥2 + 1

6𝑥2 + 𝑥3 + 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

500

𝑥3=


5𝑥2

𝑥 + 3=


(−4𝑥5 + 5𝑥3 − 10) =


3𝑥 + 4𝑥

5𝑥 + 8𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞

−7𝑥 + 2

√9𝑥2 + 25=

23



(√𝑥2 + 𝑥 − 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

(2𝑥 − √4𝑥2 + 9) =


2𝑥 + 1

√𝑥2 + 𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0+

1

3 + 21𝑥

=


√𝑥2 + 1

𝑥 − 2=


(√𝑥4 + 𝑥2 − √𝑥2 + 1) =

24


𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

(4

𝑥−

1

𝑥3) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→5

𝑥 + 3

𝑥2 − 25=

Práctica.

a. Calcule cada uno de los siguientes límites si existen.

1. lim𝑥→0

1−√𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥2 2. lim𝑥→0

𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥3

3. lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 (7𝑥)

𝑠𝑒𝑛 (9𝑥) 4. lim

𝑥→0 3𝑥−𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

2𝑥+𝑠𝑒𝑛(3𝑥)

5. lim𝑥→0

𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥−1

3 6. lim𝑥→−2

tan(𝜋𝑥)

𝑥+2

7. lim𝑥→1

𝑥2

1−𝑥2 8. lim𝑥→3

𝑥+3

(𝑥−3)2

9. lim𝑥→−1

𝑥

𝑥+1 10. lim

𝑥→2

𝑥+5

𝑥2−𝑥−2

11. lim𝑥→0

𝑥2+𝑥−2

𝑥2+3𝑥 12. lim

𝑥→3

2−𝑥

(𝑥−3)4

13. lim𝑥→−2

𝑥2(5−𝑥)

(𝑥+2)4 14. lim𝑥→+∞

𝑥 𝑠𝑒𝑛 1

𝑥

15. lim𝑥→−∞

(𝑥+1)2−

𝑥2+1 16. lim

𝑥→+∞ (𝑥 − √𝑥2 − 1)

17. lim𝑥→−∞

(√16𝑥2 + 9 − 4𝑥) 18. lim𝑥→−∞

𝑥3

2𝑥2−1−

𝑥2

2𝑥+1

19. lim𝑥→−∞

(√𝑥2 + 1 − 𝑥) 20. lim𝑥→+∞

(6𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 8)

25


Bibliografía.

Acuña, L., (2012). Cálculo Diferencial e Integral. Cartago, Costa Rica, Editorial

Tecnológica de Costa Rica.

González, F., (2011). Introducción al Cálculo. San José, Costa Rica, EUNED.

Rodríguez, P., Poltronieri, J., (2006). Ejercicios de Cálculo I. Cálculo Diferencial e

Integral. San José, Costa Rica, Editorial de la Universidad de Costa Rica.

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