cuaderno de matematicas para secundaria

7/22/2019 Cuaderno de Matematicas Para Secundaria

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El cuaderno de trabajo de Matemticas fue elaborado para el Programa Intensivo deReforzamiento Acadmico para Maestros de la Secretara de Educacin y Cultura del Estadode Coahuila, implementado con el propsito de mejorar los aprendizajes de nios, nias y

jvenes de Educacin Bsica.

Coordinacin General

Secretara Tcnica de la SEC

Asesora, Seccin, Estrategias Generales:

Cudberto Barajas Coronado

Dolores Flores Ortiz

Guadalupe Villegas Daz

Rosario Garca Rodrguez

Autores:

Jos Luis Ramrez Morales

Blanca Estela Yaez Alemn

Colaboradores:

Mario Gutirrez Hernndez

Rosa Mara Gonzlez Contreras

Diseo

Jorge Alberto Cano Rosiles

Liliana Isabel Gutirrez Orozco

Primera Edicin Secretara de Educacin y Cultura


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ndice Pgina

Presentacin 3

Introduccin 4

Estrategias de activacin escolar para el tratamiento de los contenidos dedifcil comprensin

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1.Eje: Sentido Numrico y Pensamiento Algebraico 10

1.1 Tema: Significado y Uso de las Operaciones 10

Lectura de Apoyo El papel de la geometra como herramienta para ladidctica de la matemtica Eduardo Mancera Martnez 37

2. Eje: Forma, Espacio y Medida 46

2.1 Tema: Formas Geomtricas 46

2.2 Tema: Medida 46

3. Eje: Manejo de la Informacin 73

3.1 Tema: Anlisis de la Informacin. Proporcionalidad 73

3.2 Tema: Anlisis de la Informacin. Probabilidad 100

Bibliografa 119

Observaciones y Sugerencias 121


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Presentacin

La Secretara de Educacin y Cultura de Coahuila se propone en el marco de la polticaeducativa, desplegar una serie de acciones para impulsar el mejoramiento de la enseanza enla Educacin inicial y bsica. Con ste propsito se pone en marcha, para el ciclo escolar 2010-2011, el Programa Intensivo de Reforzamiento Acadmico para Maestros.

Dentro de las acciones previstas, se asume el compromiso de proveer estrategias y recursosde enseanza destinados a los maestros que han de capitalizar su funcionalidad. Este materialse incorpora a las escuelas para que los maestros dispongan de herramientas que faciliten suretroalimentacin acadmica y el trabajo didctico en el aula.

La voluntad de aportar al trabajo pedaggico de los docentes en las escuelas el siguientematerial a travs de este programa, lograr mejores concreciones si se alimenta del anlisis yde una reflexin compartida, de criterios a partir de los cuales se tomen las mejores decisiones.

Por ello, es fundamental que todo docente primero lo trabaje de manera personal y con elcolectivo escolar, para que despus lo ponga en prctica con sus alumnos y alumnas. Serindispensable adems que a partir de ello, evale el material y haga llegar sus comentarios ysugerencias que permitan mejorar tanto las actividades sugeridas como la estrategia deformacin docente implementada.

La participacin de las autoridades educativas ser fundamental ya que ellas tendrn la

responsabilidad de crear las condiciones que hagan posible el desarrollo de sta propuesta, asmismo sern los responsables de identificar las fortalezas y debilidades de la misma al tiempoque se est desarrollando de manera que les permita orientar sobre el rumbo qu deben tomare intervenir oportunamente.

Secretara de Educacin y Cultura

Coahuila


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Introduccin

En la actualidad el papel de los docentes est centrado fundamentalmente en que las reformaseducativas lleguen a la escuela y a las aulas, por lo tanto, el docente se convierte en el actorclave del proceso de transformacin educativa.

Se han desarrollado diversas iniciativas en este rubro, sin embargo en esta ocasin el reto es

analizar y reflexionar sobre la importancia de reconocer que la enseanza de las matemticas yel espaol se pueden guiar slo y s el docente tiene consolidado el contenido del currculo deEducacin inicial y bsica.

La principal forma de abordar esta accin es dndole nfasis al trabajo docente en colectivo,donde se encuentra una fuente inagotable de experiencias de aprendizaje decente que en lacotidianeidad del quehacer escolar se intercambia e impacta la prctica pedaggica, adems,el colectivo es un elemento sustancial para dar fundamento a las decisiones didcticastomadas y acordadas en la escuela.

El colectivo, en su totalidad es el responsable del trabajo pedaggico en la escuela, de ellosdepende el xito o el fracaso en cada una de las aulas, as como el resultado de las estrategias

pedaggicas y didcticas implementadas,La sociedad actual exige ciudadanos cada vez ms competentes que logren obtener eidentificar informacin, que resuelvan problemas ms complejos que aquellos que establecenuna relacin directa y evidente, que realicen deducciones, que interpreten relaciones directasen contextos especficos y puedan llegar a conclusiones sobre temas relevantes que lespermita mejorar su nivel de vida.

Para estructurar este material, un equipo de asesores tcnico pedaggicos se dio a la tarea deidentificar las problemticas de aprendizaje, es decir se realiz un diagnstico de losaprendizajes no consolidados que prevalecen en la educacin de Coahuila, el referente

principal fueron los resultados de las evaluaciones internacionales, nacionales y estatales,aplicadas tanto a alumnos y alumnas como docentes, (ENLACE, EXCALE, Olimpiada delConocimiento, Diagnstico Estatal y Exmenes Nacionales de Actualizacin para Maestros enServicio).

El anlisis de resultados permiti identificar con precisin los contenidos de difcil comprensiny elaborar estrategias comunes, que con rumbo y eficacia, permitan a los docentes y colectivosescolares de educacin inicial y bsica decidir y actuar en forma racionalizada.

Este fue un anlisis funcional, colectivo, participativo e inclusivo, ya que los diferentes niveles yreas de la Secretara de Educacin y Cultura del Estado estuvieron representadas por losasesores tcnico pedaggicos responsables de los procesos de la capacitacin y actualizacindocente.

En general a continuacin se enlistan los contenidos de difcil comprensin identificados parallevar a cabo el Programa Intensivo de Reforzamiento Acadmico para Maestros.


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MatemticasContextos numricos y funciones del nmero

Cardinal Ordinal Mixto Cdigos

Clculo Memoria de la cantidad Valores y equivalencias Secuencias

Nmeros fraccionarios y sus operaciones

ConteoResolucin de problemas

Aditivos Multiplicativos (razones y proporciones) Tablas y grficas

Escala

Geometra Relaciones topolgicas (rea) Relaciones tridimensionales (cuerpos) ngulos, lados, paralelismo, simetra

Principios de lgebra Identifica regularidades numricas y patrones Complementos aditivos y multiplicativos Frmulas La potencia El porcentaje

Medicin Abstraer las propiedades de magnitudes continuas y discontinuas de los objetos-

sistema de medicin decimal.

Clculo mental Descomposicin de nmeros Regularidades numricos Complementos aditivos, multiplicativos Desarrollos aritmticos


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Espaol

Interpretacin del significado de un textoEstrategias de lectura

Activacin de conocimientos previos Predicacin

Anticipacin Muestreo Inferencia

Identificacin y uso de diferentes tipos de textoTextos informativos

Noticia Folleto Instructivo

Textos literarios Cuento Relato Fbula Leyenda Ancdota Historieta

Obtener y organizar informacin Diccionario Mapas Planos Cuadros sinpticos Esquemas Grficas, etc.

Conocimiento y uso de estructuras lingsticas Sustantivos colectivos, propios, comunes, adjetivos, adverbios, verbos,

pronombres y artculos

Conocimiento y uso de la lengua escrita Identificacin y uso de reglas ortogrficas Funcin de los signos de puntuacin

La funcin comunicativa de la escritura Conocimiento y redaccin de diferentes tipos de texto (reporte, reportaje,

entrevista, narracin, resumen, crnica, resea, informe, documentoslegal) Revisin y escritura de texto (recuperacin de contenido en textos

informativos, descriptivos, explicativos, manejo de conclusiones,parfrasis, cita textual, ficha bibliogrfica)


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Estrategia de activacin escolar para el tratamiento de los contenidos de difcilcomprensin

El Programa Intensivo de Reforzamiento Acadmico para Maestros de Educacin Inicial yBsica es un programa de acompaamiento pedaggico, que se concibe como una alternativade mejora continua, para la escuela y en la escuela.

El programa pretende apoyar los esfuerzos educativos que se realizan en el aula, ofrece a losmaestros experiencias pedaggicas que le permitan generar aprendizajes integrales para eltratamiento de los contenidos de difcil comprensin.

Objetivos:1. Mejorar el rendimiento acadmico de los alumnos y alumnas de educacin inicial

y bsica.

2. Fortalecer los aprendizajes docentes que permitan a los profesores resolverproblemas, analizar, aplicar y producir conocimientos.

3. Implementar un modelo sistemtico e integrador de actualizacin y capacitacinsocioconstructivista en el que los docentes construyan y retroalimenten susconocimientos en colaboracin con sus pares.

En el aula el maestro es el animador, es quien encarga de propiciar el desarrollo intelectual desus alumnos y alumnas, por lo anterior, el dominio y manejo didctico de los contenidoscurriculares, son una exigencia para el desempeo profesional del docente.

El programa Intensivo de Reforzamiento Acadmico es una ms de las acciones para laprofesionalizacin de los docentes de educacin inicial y bsica que la Secretara de Educaciny Cultura emprende.

El siguiente esquema muestra las etapas de nuestro modelo de trabajo.


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El modelo de trabajo se fundamenta en la capacitacin continua, como apoyo, se presenta esteCuaderno de Trabajo para el tratamiento de los contenidos de difcil comprensin, se buscapromover el aprendizaje en colectivo, la autodidaxia y el papel activo del maestro en y para suformacin.

La prctica educativa cotidiana constituye el elemento central de nuestra propuesta, por lotanto, concebimos a la escuela como el espacio en donde la capacitacin se concreta comomodelo de mejora de los aprendizajes.

El programa y su modelo de capacitacin aspiran a la formacin de un profesor responsable ycomprometido con su escuela, sus alumnos y alumnas y su profesin.

Estrategia Metodolgica:

El Programa Intensivo de Reforzamiento Acadmico para Maestros es una propuesta didcticadirigida a docentes con el propsito de impactar el aprendizaje de los alumnos y alumnas, suimplementacin se realiza dentro de la escuela y a travs del colectivo docente como principalgenerador de estrategias ulicas.

El papel fundamental de esta estrategia de trabajo lo llevan quienes la hacen realidad en elcontexto escolar, los maestros, as entonces su participacin comprometida y responsable es laclave para el xito, el logro docente est centrado en la capacidad de aprendizaje interactivoque tiene lugar en la escuela.

Los directores sern promotores del desarrollo y participacin comprometida de los docentesen esta tarea, debern involucrarse en el proceso y evaluar el resultado de las actividadespropuestas, intervendrn de acuerdo a la necesidad para asegurar el xito del colectivo, encoordinacin con el supervisor de zona verificarn y apoyarn a los docentes para que en laplaneacin diaria, incluyan las actividades para la atencin de los contenidos de difcilcomprensin.

El desarrollo del trabajo comprende la siguiente ruta que presenta los diferentes momentos delproceso de aprendizaje y retroalimentacin docente, en una secuencia lgica y organizada.

1.- Identificamos y discutimos a partir de la lectura general del material los retos, necesidadespersonales y del colectivo con respecto a los contenidos del documento y proponemosalternativas que contribuyan a su dominio acadmico y a la definicin de formas efectivas deenseanza.

2.- Definimos qu contenidos y de qu forma los revisaremos en colectivo, considerandosiempre que la interaccin con el conocimiento y el intercambio de experiencias son la fuenteprincipal de aprendizaje.

3.- Revisamos juntos los ejercicios, retroalimentamos nuestros contenidos acadmicos,consultamos si es necesario y damos una amplia explicacin a cada ejercicio, los resolvemos yaclaramos nuestras dudas.

4.- Conversamos acerca de la experiencia compartida, identificamos nuestros descubrimientos,aprendizajes, necesidades, dominios, gustos e intereses acadmicos relacionados con loscontenidos del material y tomamos acuerdos y decisiones colectivas.


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5.- Utilizamos los materiales para el fortalecimiento del trabajo en el aula y profundizamos enlos temas de los libros de texto.

6.- Promovemos el conocimiento y reforzamiento de los contenidos de difcil comprensin conlos alumnos y alumnas que as lo requieran, aplicando las actividades segn las necesidades.

7.- Valoramos que los alumnos y alumnas logren la comprensin de los contenidos abordados

8.- Informamos a los padres de familia sobre la propuesta de trabajo y los contenidosabordados con el propsito de promover su participacin en ella.

9.- Promovemos el apoyo y el dialogo con otros maestros invitndolos a participar con nuestrogrupo, ya sea como apoyo para abordar un contenido o como demostracin de un logroalcanzado.

10.- Recibimos la visita de nuestras autoridades y mostramos en evidencias claras la atencinen el aula de los contenidos de difcil comprensin, para retroalimentarnos y obtener laorientacin necesaria cuando as se requiera.

11.- Empleamos diversos medios para hacer pblicos nuestros resultados y las estrategias detrabajo implementadas en sta experiencia.

12.- Participamos en las evaluaciones internacional, nacionales y estatales seguros de obtenermejores resultados, para posteriormente hacer anlisis, reflexin, toma de decisin eintervencin sobre los mismos.

Estrategia de implementacin en la escuela


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PROGRAMA DE ESTUDIO 2006 DE LA ASIGNATURA DE MATEMTICAS PARA LAREFORMA EN SECUNDARIA.

1. EJE: SENTIDO NUMRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

1.1 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

SUBTEMA: NMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES Grado Bloque Apartado

Representar nmeros fraccionarios y decimales en larecta numrica a partir de distintas informacionesanalizando las convenciones de esta representacin.

1 I 2

SUBTEMA: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS Grado Bloque Apartado

Resolver problemas que impliquen la multiplicacin ydivisin con nmeros fraccionarios en distintoscontextos. 1 II 2

Resolver problemas que impliquen la multiplicacin denmeros decimales en distintos contextos. 1 II 3

Resolver problemas que impliquen la divisin denmeros decimales en distintos contextos. 1 III 1

SUBTEMA: POTENCIACIN Y RADICACIN Grado Bloque Apartado

Resolver problemas que impliquen el clculo de la razcuadrada y la potencia de exponente natural denmeros naturales y decimales.

1 IV 2

SUBTEMA: OPERACIONES COMBINADAS Grado Bloque Apartado

Reconocer y obtener expresiones algebraicasequivalentes a partir del empleo de modelosgeomtricos.

2 I 3

Utilizar la jerarqua de las operaciones y los parntesissi fuera necesario, en problemas y clculos. 2 II 1

Efectuar o simplificar clculos con expresionesalgebraicas tales como: (x+a)2; (x+a) (x+b); (x+a) (x-a).Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2+2ax+a2; ax2+bx; x2+bx+c; x2-a2.

3 I 1


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SUBTEMA: NMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES

La representacin de fracciones y decimales en la recta numrica no es una tarea sencilla, sinembargo, una vez que los alumnos han comprendido como hacerlo, la recta numrica seconvierte en un recurso eficaz para resolver problemas sobre el orden y la equivalencia denmeros.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Representar nmeros fraccionarios y decimales en larecta numrica a partir de distintas informaciones analizando las convenciones de estarepresentacin.

CONSIGNA:

Anota los nmeros que correspondan a los puntos sealados

Grficos tomados de la Gua interactiva para Secundaria de Matemticas. INEE 2008

CONSIGNA:

Utiliza los puntos dados en la siguiente recta numrica para ubicar los nmeros 5

3

y 1.30

1.5


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En la siguiente recta numrica representa los nmeros5

4 , 1.3,5

3y 1.35

Lo primero que deben hacer los alumnos es determinar el valor correspondiente a cada marcaentre 3.3 y 3.4; igual para cada una de las rectas. En la segunda y cuarta recta solo se pideuna aproximacin porque el propsito es que los alumnos sepan encuadrar los decimales; porejemplo, el 4.56 est entre el 4 y el 5, pero como est marcado el 4.5 se espera que losalumnos lo coloquen entre el 4.5 y el 5.

La segunda consigna tiene que ver con la ubicacin espacial del alumno; ya que no se da elpunto de origen de la recta numrica, y ellos tendrn que determinar la escala y la ubicacin delcero como referencia. Por ejemplo, en la recta que tiene marcado el 1solamente, el cero debe

estar a la izquierda a una distancia tal que puedan colocarse con facilidad las fracciones5

4 y

53 al contar a partir de cero; de igual manera se procede para localizar el punto que

corresponde a 1.30. Se mide a la derecha de 1 la misma distancia que hay hasta cero y secoloca el entero 2 luego se divide el segmento en 10 partes iguales, cada parte corresponde aun dcimo, entonces se procede a contar desde 1

Si el docente nota que algn alumno usa la hoja rayada para dividir un segmento en partesiguales, conviene detener la actividad y pedir al alumno que comparta con el grupo lo que estahaciendo. Las fracciones sern fcilmente ubicadas cuando esto se haya comprendido.Es necesario subrayar que los nmeros se pueden representar de diferentes maneras y que larecta numrica es un recurso para ordenarlos.

Otros recursos para investigar

En la Antologa de Matemticas. Primer Taller de Actualizacin sobre los Programas deEstudio 2006. Editado para la Reforma de Secundaria, contiene un artculo Notas sobreel papel de la nocin de razn en la construccin de las fracciones en la escuelaprimaria paginas de la 33 a la 44 muy interesante pues atiende formas de pensamientode los alumnos de primaria con respecto a las fracciones.

En el libro Apuntes para la enseanza Matemtica. Clculo mental con nmerosnaturales, propuesto por el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretara deEducacin, Direccin General de Planeamiento, Direccin de Curricula; paginas de la57 a 68 trata el tema; los nmeros naturales desde la denominacin de monedas y

billetes a partir de equivalencias. Propone una serie de ejercicios prcticos y .. demanera distinta a como los abordamos en Mxico, ser interesante ponerlos en prcticay analizar los resultados y sobre todo el inters de los alumnos.

El fichero de actividades didcticas , propuesto desde 1999 por la Secretara deEducacin Pblica y un gran equipo de la Subsecretara de Educacin Bsica y Normal,en el tema 16 Pg. 40-41 trata la simplificacin, reduccin a un comn denominador,adicin y sustraccin; de una manera muy interesante, Consulten en colectivo estasactividades que resultan ampliamente interesantes.


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La Gua Interactiva, de Fortalecimiento Acadmico para la asignatura de Matemticasprimer grado de Escuelas Secundarias elaborada por el INEE, en su versin completapara imprimir, propone ejercicios de reforzamiento como los que se proponen en esteapartado.

SUBTEMA: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

Las Fracciones y sus usos

El estudio de las fraccioneses importante por s mismoy porque permite eldesarrollo de nocionestiles para el conocimientode temas ms avanzados,como son el razonamientoproporcional y el estudio delas expresiones racionales

en el lgebra. Suaprendizaje no es fcil, porlo que muchos alumnosterminan la educacin secundaria y llegan a niveles superiores con un dominio insuficiente delas fracciones, a pesar de que su estudio comienza desde la preescolar.

Con objeto de facilitar la adquisicin de un conocimiento permanente, los programas proponenque las fracciones y sus operaciones se estudien durante los dos primeros grados deeducacin secundaria aunque en los tres grados se tendr oportunidad de resolver problemasque impliquen operaciones con fracciones. En el primer y segundo grados se vern lasfracciones comunes, sus significados, operaciones y algoritmos para realizarlas. En el tercergrado se vern las expresiones racionales o fracciones algebraicas, lo que permitir que los

alumnos revisen y practiquen las operaciones con fracciones comunes.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemas que impliquen la multiplicacin ydivisin con nmeros fraccionarios en distintos contextos.

CONSIGNA: A partir de la figura de la derecha que representaalgunas fracciones unitarias llamadas as porque su numerador esla unidad, ordenarlas de mayor a menor y encontrar el factorconstante que se utilizar para obtener a partir de la primera todaslas dems.

Se espera que los alumnos logren aplicar sus conocimientos sobre

el orden y las operaciones con fracciones y determinen porcomparacin que a medida que crece el denominador la fraccin tendr un valor menor conrespecto a un entero.


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Utilizando una hoja de papel puede doblarla en dos partes y obtener la fraccin2

1; luego si

dobla nuevamente obtendr4

1, y as sucesivamente obtendr cada una de las otras

fracciones. Podr observar entonces que al multiplicar por un medio tambin obtiene la fraccinsiguiente. Este procedimiento puede serle til para comprender el proceso de la multiplicacinde fracciones utilizando el modelo de reas y aplicarlo en la resolucin de otros problemascomo el siguiente:

Resuelve:

Una tableta de una medicina pesa7

4de onza, cul es el peso en gramos de

4

3de tableta?

(Se sabe que una onza equivale a 28.35 gr).

Para resolver el problema anterior es necesario reconocer que aun cuando los datos son

fracciones representan magnitudes diferentes; es decir la fraccin

7

4representa una parte de

una unidad de medida (onza) por lo tanto es necesario conocer el valor de la unidad en

cuestin; por el contrario4

3 representa la parte de la tableta que tiene ese peso.

Entonces, se calcula primero el producto de las fracciones4

3

7

4 para obtener el total en

onzas de la parte de la tableta (7

3

28

12= onzas). El alumno ya investig el valor de una onza

como unidad de masa del sistema ingls de pesos y medidas, por tanto obtendr el peso de la

tableta en gramos multiplicando la fraccin 7

3

de onza por 28.35 gr, lo que da un total de12.15 gr de peso.

Otro procedimiento que puede surgir:

Lo importante en el problema es que los alumnos se den cuenta de que, dado que quieren

saber el peso de4

3 de tableta y el peso de la tableta completa es de onza, lo que interesa

averiguar es4

3 de

7

4. Este es el primer asunto que conviene que los alumnos tengan claro. A

partir de aqu se puede ver que 7

4

se puede dividir en cuatro partes iguales y que cada una de

esas partes es7

1, de manera que

4

1de

7

4es

7

1,

4

2son

7

2y de

7

4son

7

3. Una vez que se

ha hecho esta reflexin conviene pasar a la escritura formal para ver que4

3 de

7

4es lo mismo

que7

3

28

12= de onza.


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Grficamente se pueden plantear el problema mediante el modelo de reas:

La figura rectangular representa una onza (entero), Qu representa la parte sombreada?__________________________________.

La dificultad de representar grficamente una fraccin es la interpretacin de la misma comoentero y luego definir la parte fraccionaria (sombreada). En el caso de este problema el peso

de la tableta son7

4 de onza por lo tanto al dividir el rectngulo en 7 partes iguales y

sombrear 4 estamos representando el peso de la tableta

Cmo representamos en la figura anterior 3 cuartas partes de la tableta?

Si observamos la grafica nos damos cuenta que la parte que representa la fraccin de la

tableta7

4est dividida a su vez en cuatro partes iguales; entonces si sombreamos con otro

color solamente 3 de esas 4 partes estaremos representando el peso de la porcin de tableta

que queremos pesar. La fraccin de tableta corresponde entonces a un peso de7

3de onza.

De otra manera podemos llegar al mismo resultado:

La parte sombreada naranja representa el peso la tableta en onzas (7

4de onza); la parte

sombreada en caf representa fraccin de tableta que se desea pesar en onzas (4

3 de

tableta). La interseccin representa en peso en onzas de la fraccin de tableta (7

3

28

12= ).

En cualquiera de los procedimientos anteriores hemos obtenido el peso de la tableta enfraccin de onza ahora debemos convertirlo a gramos.


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onza gramos

1 28.35

4

3

?

Representa una regla de tres simple que se resuelve: grs26.2135.284

3= (Respuesta al

problema)

Resuelve el siguiente problema:

La superficie total de un terreno es de 3750 m2. Las5

2partes del terreno se usaron para

construccin y el resto para jardn;3

2 de jardn tiene pasto y el resto otras plantas. Qu rea

del terreno tiene pasto?

Al multiplicar 3750 x5

2 se obtiene que 1500 m2es el rea destinada a construccin, luego el

rea de jardn es de 2250 m2, Luego la parte de jardn que tiene pasto se obtiene de3

2x

2250 = 1500 m2.

Otros Problemas

Los alumnos tambin podrn utilizar este modelo para resolver problemas como los siguientes.

1. Una botella con capacidad de 11/2 litros est llena de leche en sus 4/5 partes. Qucantidad de leche contiene?

2. Un edificio de planta rectangular hace esquina con dos calles. Uno de sus frentesocupa un tercio de una calle y el otro ocupa dos quintos de la otra. Qu parte de lamanzana est ocupada por el edificio?

3. Un pedazo de lmina rectangular mide 3/4 de metro de ancho y 5/6 de metro de largo.Cul es su superficie?

4. Las tres quintas partes de un terreno son cultivables y en el resto no se puede sembrar.De la parte cultivable, tres cuartos estn dedicados al maz y un cuarto a hortalizas.Qu parte est dedicada al cultivo del maz? Qu parte a las hortalizas?


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El aprendizaje de las fracciones presenta dificultades que los alumnos tardan en dominar. Ellosno slo debern acostumbrarse a sus usos en diferentes contextos y a las diferentesrepresentaciones de un mismo nmero fraccionario, sino tambin a nuevos significados yformas de operar. Muchos no alcanzan a comprender por qu si al multiplicar fracciones semultiplican numerador por numerador y denominador por denominador, no se procede en formasimilar cuando se suma.

El profesor deber disear actividades que ayuden a resolver dudas como las anteriores ypermitan comprender las diferencias de significados y formas de operar que hay entre losnaturales y las fracciones.

Tambin debe dar la oportunidad de que se utilicen con frecuencia las nociones yprocedimientos aprendidos y estar preparado para, cada vez que sea necesario, recordarbrevemente aquello que los alumnos hayan olvidado.

Informacin y documentacin para tratar con mayor seguridad estos temas los podemosencontrar en la variedad de apoyos con los que cuenta Matemticas en Secundaria: Porejemplo; En el libro Apuntes para la enseanza.- Matemtica. Clculo mental con nmerosracionales, propuesto por el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretara de Educacin,

Direccin General de Planeamiento, Direccin de Curricular; Paginas de la 21 a 68

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES:Resolver problemas que impliquen la multiplicacin denmeros decimales en distintos contextos.

Una de las grandes ventajas de los nmeros decimales sobre lasfracciones comunes es la relativa facilidad con la que se puedeoperar con ellos

Analiza y resuelve la siguiente actividad:a) Calcula el promedio de las dos fracciones que aparecen en

cada una de las rectas,

b) Coloca el resultado en el punto correspondiente sobre larecta.c) Calcula el promedio de la primera fraccin y la que haya

obtenido como promedio en el inciso a) y coloca el resultado en el puntocorrespondiente de la recta.

d) Repite la operacin al menos 5 veces.e) Coloca en la recta numrica todas las fracciones obtenidas


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Problemas que implican multiplicar fracciones y decimales.1. En una escuela, 240 alumnos presentaron un examen.

a) Si de estos 240 alumnos solo aprobaron las 3/5 partes, cuntos lo aprobaron?b) Si 2/6 de los alumnos que aprobaron son mujeres, cuntas mujeres aprobaron?c) Del total de alumnos que presentaron el examen, 5/12 estn en primer grado, y de

estos, 4/5 lo aprobaron. Cuntos alumnos de primer grado lo aprobaron?

Para resolver el problema 1 inciso a) se multiplican 1443485

3240

5

3240 ==

=

aprobados

Para saber cuntos alumnos aprobados son mujeres: 486

288

6

2144

6

2144 ==

= mujeres

Para resolver el inciso c) De 240 alumnos que presentaron 5/12 son de primer ao y 4/5 loaprobaron; La quinta parte de 5/12 es 1/12 entonces 4/12 es equivalente a los 4/5 que

aprobaron el examen. Por lo tanto: 8012

4

240 = alumnos de primer ao que aprobaron.

De igual manera podemos resolver el siguiente problema.2. Don Jos tiene una parcela de forma cuadrada.

a) Si ar las4

3partes de su parcela y sembr

5

4partes de la parte arada, qu parte de

la parcela sembr?b) En la parte de la parcela que est sin arar construy un corral que ocupa la tercera

parte de sta. Qu parte de la parcela ocupa el corral?c) Si la parcela mide de largo 2/3 de kilmetro. La parcela mide mas o menos de un

kilmetro cuadrado?

d) Cules el rea en kilmetros cuadrados de la parcela de don Jos?Sobre la multiplicacin de fracciones y decimales.

Para calcular la multiplicacin de un nmero fraccionario por un natural se puede sumar lafraccin tantas veces como indique el nmero natural, o multiplicar el numerador por el naturalescribiendo el mismo denominador.

Por ejemplo:

Para una tabla gimnstica, a 5 nios les dieron dos listones a cada uno. Un listn era rojo y

meda3

1de metro y el otro amarillo que meda

3

2de metro. cunto medir una tira de listn

formada por todos los listones rojos?

5 x3

1=

3

1+

3

1+

3

1

3

1

3

1++ =

3

5


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Otra forma de representar una fraccin comn es con nmeros decimales, los cuales se

obtienen al calcular el cociente del numerador entre el denominador. Por ejemplo4

3 tres

cuartos al dividir 475.0

000020

00.3

En seguida se proponen algunos problemas que puedes aplicar a los grupos: Jos Luis y Moises podarn el pasto del parque de su colonia, por lo que decidieron

dividirlo en 9 partes iguales; si diariamente cada uno poda una parte, en cuntos diasterminarn de podar todo el parque?

Sobre una bscula se han colocado 8 bolsas, si cada bolsa pesa2

11 de kg, cul ser

la lectura que registra la bscula? Expresa el resultado en fracciones de kg. En una fbrica de cadenas de acero se ensamblan 4 eslabones por minuto, y en una

hora forman una cadena de 18 metros de largo. En cada eslabn se utilizan 20 cm deacero. La longitud de dos eslabones unidos es de 15 cm, cuntos metros de acero seutilizarn para formar una cadena de 7.5 metros de largo?

Con los nmeros del cuadro encuentra al menos 6 formas diferentes de que al sumarlosel resultado sea 25.

En la primaria, los alumnos utilizaron la multiplicacin de nmeros decimales al resolverproblemas de proporcionalidad directa, en particular mediante el uso del valor unitario. En esecontexto reflexionaron sobre el significado de esa operacin y de su resultado. Ahora se tratade fortalecer esos significados y extenderlos a otros contextos. Para ello puede pedirse a losalumnos que elaboren una tabla que represente una situacin de proporcionalidad directa.

Por ejemplo, la siguiente:Una lancha recorre 7.20 metros por segundo.

a) Qu distancia recorrer en 2 segundos?

b) Y en 1.9, 1.8, 1.7, , 1.1 segundos?

c) Y en 0.9, 0.8, 0.7, , 0.1 segundos?

d) Por qu unos productos son mayores y otros menores que 7.20?.

Otros contextos en los que se usa la multiplicacin de decimales y en los que convienereflexionar sobre el significado de los factores y el producto se ejemplifican enseguida:

El hierro pesa 0.88 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos.Cunto pesa una pieza de hierro del mismo tamao? Por qu el resultado es menorque 7.20 gramos?

Hallar el rea de una tarjeta rectangular que mide 7.20 por 4.5 cm.


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CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Resolver problemas que impliquen la divisin denmeros decimales en distintos contextos.

CONSIGNA: Resuelve los siguientes problemas sin utilizar calculadora.a) Una cinta elstica puede alargarse hasta 3.3 veces su longitud

original. Cuando est totalmente alargada alcanza una longitud de13.86 metros. Cul es su longitud normal?.

b) Una canica pesa 0.026 kg. Cuntas canicas tendr una bolsaque pesa 1.222 kg? (suponemos que todas las canicas pesan lomismo).

c) Si un automvil recorre 680 km en 4 y media horas A quvelocidad va el automvil?

Son dos los componentes fundamentales de esta habilidad: saber efectuar la operacin quemodela el problema e interpretar correctamente el resultado.

El primer componente implica que los alumnos enfrenten una diversidad de casos en los quesea pertinente usar la propiedad de multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo nmero, a

sabiendas de que el resultado no cambia.

El algoritmo para efectuar la divisin ya se ha estudiado en la primaria; ahora se presenta laoportunidad de reafirmar su conocimiento al aplicarlo a resolver problemas.

Existen varios modelos para dividir con decimales, sobre todos para la colocacin correcta delpunto decimal en el cociente. Por ejemplo en el caso del problema a) se tiene que:

2.433

6.13810

3.3

86.13

3.3

86.1386.133.3 ====

Lo anterior significa que la longitud normal de la cinta elstica es de 4.2 m

El procedimiento anterior tiene que ver con representar la divisin como una fraccin donde elnumerador es el dividendo y el denominador es el divisor; luego se multiplica por 10 la fraccinpara eliminar el punto decimal en el denominador y obtener la fraccin decimal equivalente.Luego se procede a dividir de la forma acostumbrada y se sube el punto decimal al cociente enforma vertical.

Esta propiedad se vincula con la equivalencia de fracciones y con la idea de proporcin.

El segundo componente, la interpretacin del resultado, se refiere al significado de losnmeros decimales, que se ha trabajado ampliamente en la primaria, pero vale la pena repasarporque muy probablemente muchos alumnos siguen pensando que, por ejemplo, 2.5 horas

son dos horas con cinco minutos, cuando en realidad se trata de dos horas con treintaminutos.

Mas problemas similares.1. El rea de un rectngulo es de 43 cm. Si uno de sus lados mide 2.38 cm cunto mide

el otro lado?


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Analiza las siguientes situaciones:a) El resultado de multiplicar 2.38 por otro nmero es igual a 43. Ese nmero es menor

que uno?, est entre 1 y 2?, es mayor o menor que 10?b) Sin hacer operaciones, aproxima el resultado de 43 2.38.c) Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 2.38 que 4300 238?d) Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 2.38 que 430 23.8? Verifcalo.

e) Sin hacer operaciones, aproxima el resultado de 180.6 2.38. Es menor o mayor que180.6?, es ms del doble de 180.6?, ms del triple?

2. Una jarra contiene 3.9 litros de agua, que deben vaciarse en vasos a los que les cabe0.12 litros cuntos vasos completos e incompletos se tendrn?

Analiza y contesta cada pregunta: El resultado de multiplicar 0.12 por otro nmero es igual a 3.9. Crees que ese nmero

ser menor que uno?, estar entre 1 y 10?, ser mayor que 10?, ser mayor que100?

Sin hacer operaciones el resultado de 3.25 0.12 es menor o mayor que 3.25?, esmenos de la mitad de 3.25?, menos de la cuarta parte? Recuerda que lo que le cabe

a cada vaso (0.12 litros) multiplicado por el nmero total de vasos (3.25) debe ser iguala la cantidad de agua (3.9 litros).

3. Utiliza la calculadora y completa la siguiente tabla anotando en la casillacorrespondiente el valor faltante


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4. Cuntas bolsas de galletas podr llenar la seora Leonor si a cada una le caben .250kg y horne un total de 5.500 kg?

5. Sara tiene un terreno de 255.75 m2. Si desea dividirlo en lotes de 51.15 m2, cuntoslotes de esta dimensin tendr?


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SUBTEMA: POTENCIACIN Y RADICACIN

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemasque impliquen el clculo de la raz cuadrada y la potencia deexponente natural de nmeros naturales y decimales.

CONSIGNA: Comparen, sin realizar las operacionescorrespondientes, argumenta tu respuesta en cada caso

Qu es mayor? 0.52 0.052:

Qu es mayor? la raz cuadrada de 0.09 la raz cuadrada de 0.0625

Los alumnos deben comprender que la raz cuadrada de un nmero que no es cuadradoperfecto constituye una aproximacin. Se puede recurrir a contextos geomtricos para discutireste hecho; por ejemplo, cabe preguntar cul es la medida del lado de un cuadrado de 40 cm2de rea.

Algunos recursos de aproximacin a la raz cuadrada de nmeros naturales y decimales

mediante algoritmos son, por ejemplo, el uso de procedimientos recursivos y de ensayo y error.Es conveniente que los alumnos comparen las soluciones alcanzadas con los resultados queobtengan al emplear la calculadora. Se sugiere generalizar la idea de que la potenciacin y laradicacin son operaciones inversas, puesto que si un nmero se eleva a una potencia n y alresultado se le extrae la raz n dicho nmero no se altera.

El cuadrado de un nmero.

Antes de definir lo que es el cuadrado de un nmero, vamos a realizar una actividad.

Un piso cuadrado se adorna con mosaicos de diferentes colores. Cuntos Mosaicos hay en lafigura?

Vemos que en la base hay 4 cuadrados y en la altura hay 4 cuadrados, por lo tanto, el total de

cuadrados unitarios es:

44 =16


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Como hay dos factores iguales, otra manera de escribir este producto es la siguiente:

Se lee de la siguiente manera: cuatro al cuadrado, o cuatro a la segunda potencia

Siete al cuadrado se escribe de la siguiente manera:

27 y se calcula as:

497772

==

Potencia de exponente natural.

Luisa quiere saber cuntos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en sucuaderno su rbol genealgico:

Ella tiene 2 paps (un padre y una madre).Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, yo tengo 2*2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego yo tengo 2*2*2 = 8 bisabuelos.Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; yo tengo 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.


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Operacin Resultado

Padres 2 = 21 2

Abuelos 2*2 = 22 4

Bisabuelos 2*2*2 = 23 8

Tatarabuelos 2*2*2*2 = 24 16

En muchas situaciones hay que multiplicar un nmero por s mismo varias veces. Paraabreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.

2

4

se lee "2 elevado a 4" o tambin "2 elevado a la cuarta".52 se lee "5 elevado a 2" o tambin "2 elevado al cuadrado", que es ms habitual.

Una potencia de exponente natural es el resultado de multiplicar un nmero -la base- por smismo varias veces, tantas veces como indique el exponente.

an= a*a*a* ...(n veces)... *a

Nmeros Cuadrados perfectos

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Los utilizaremos mucho en la

clase de matemticas a partir de ahora.

3. Calcula los cuadrados de los primeros 15 nmeros naturales y completa la siguiente tabla entu cuaderno.

Nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Cuadrado


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El cubo de un nmero.

La siguiente figura est compuesta por cubos chicos. Cuntos de estos cubos componen lafigura?

Una forma fcil de contarlos es por capas. La figura anterior se puede separar en tres capas:

El total de cubos chicos por capa son 9 = 3 3 . Como hay tres capas, el cubo grande tendr:

3 3 3 = 27

Otra manera de escribir esta operacin es la siguiente:

3 3 3 = 33 =27

Para calcular el cubo de un nmero basta multiplicar ese nmero por si mismo de la siguientemanera:

83= 8 8 8 = 512

103 = 10 10 10 = 1,000

PrcticaRealiza cada una de las siguientes operaciones y completa el espacio en blanco:

32 =

53 =

103 =

912 =


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Observa la secuencia de figuras:

a. Dibuja los puntos de la Fig. 5b. Cuntos puntos componen la figura 10?c. Cuntos puntos componen la figura 100?

Base, exponente y potencia de un nmero.

Ya hemos estudiado que

43 = 4 4 4 = 64

La base es el factor que se repite en la potenciacin, en este caso la base es 4.

El exponente es el nmero de veces que se repite el factor, en el ejemplo anterior elexponente es 3.

La potenciaes el resultado de multiplicar determinado nmero de veces la base por s misma,en el ejemplo la potencia es 64.

Los exponentes pueden ser distintos de dos y de tres. Por ejemplo:

54= 5 5 5 5 = 625

Prctica

Encuentra la base, el exponente y la potencia en cada uno de lossiguientes casos:

a. 53 b. 47 c. 25 d. 36

Cul es el ltimo dgito de 740 ? Argumenta tu respuesta. Luego Comprueba tu resultadoutilizando una calculadora cientfica

Redacta un prrafo donde describas la manera de construir cualquier figura de la secuenciaanterior.


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Realiza algunas potencias con la ayuda de la calculadora como 71, 72, 73, 74, etc. Escribe elltimo dgito de cada una de estas potencias. Encuentras alguna regularidad?

Raz cuadrada

Encuentra un nmero que multiplicado pos s mismo te de 25.

La respuesta es 5 Porque 5x 5 = 25.

A partir de lo anterior contesta la siguiente actividad:

Encuentra un nmero que multiplicado por si mismo de:a. 81= ____ x ____ = ___2

b. 144= ___ x ___ = ___2

c. 225=

d. 10,000=

La raz cuadrada de un nmero a es otro nmero b tal que:

ab =2

Por ejemplo, la raz cuadrada de 9 es igual a 3 porque: 3x3 = 9.

Podemos realizar clculos aproximados o estimaciones de las racescuadradas. Por ejemplo, Entre qu nmeros est la raz cuadrada de

11?

Para responder esta pregunta debemos encontrar nmeros que al multiplicarse por s mismosaproximadamente den 11. por ejemplo 3x3 = 9 es menor que 11 y 4x4= 16 es mayor que 11.De esta manera, podemos decir que la raz de 11 est entre 3 y 4.

Prctica

Entre qu valores est la raz cuadrada de los siguientes nmeros?a. La raz cuadrada de 26.b. La raz cuadrada de 69.c. La raz cuadrada de 196.d. La raz cuadrada de 1234.


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Mtodo Babilnico para encontrar la raz cuadrada de un nmero

Vamos a encontrar una aproximacin de la raz cuadrada de 11. Podemos iniciar el procesobuscando un nmero que multiplicado por s mismo de aproximadamente 11. Por ejemplo 3.

Posteriormente dividimos 11 entre 3: ...666.3

3

11=

Luego se suma 3 y el resultado de 3 entre 11 y se divide entre 2: 333.32

...666.33=

+

Nuevamente dividimos 11 entre el promedio anterior: ...300.3...333.3

11=

Iteramos este proceso y lo que obtenemos al final es una aproximacin de la raz de 11:

3165.32

...300.3333.3=

+

3167.33165.3

11= 3166.3

2

...3167.33165.3=

+

3166.33166.3

11=

Entonces 3166.311 Se lee La raz cuadrada aproximada de 11 es 3.3166

Prctica del mtodo babilnico para obtener la raz cuadrada de un nmero

1232579

1890

Un cuadrado tiene rea igual a 167. Cunto mide el lado de este cuadrado?a) Observa la secuencia

Cul es el nmero que va en el lugar de la interrogacin?_______________

Qu nmero va en el quinto lugar de la secuencia? ____________________

4 9 ?1


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Puedes encontrar alguna regularidad para construir estos nmeros?_____________________

b) Observa la secuencia

Cul es el nmero que va en el lugar de la interrogacin?

Qu nmero va en el quinto lugar de la secuencia?

Puedes encontrar alguna regularidad para construir estos nmeros?c) Ejercita el clculo mental y obtn las potencias sin realizar operaciones escritas:

1) 303 =

2) 902 =

3) 3 al cubo + 3 10, a la cuarta + 5 =

4) 2 al cubo x 6 + 2 10 + 75 100 =

Leyes de exponentes

En esta seccin se estudiarn algunos conceptos importantes como los de potencia, base yexponente. Estos conceptos se pueden aplicar para calcular reas y volmenes de slidos ypara encontrar propiedades de los nmeros naturales.

4 8 ?2


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Imgenes tomadas de Wikipedia en Internet.

Las tres primeras leyes (x1= x, x0= 1y x-1= 1/x) son slo parte de la sucesin natural deexponentes. Mira este ejemplo:


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En xmxn, cuntas veces multiplicas "x"? Respuesta:primero "m" veces, despus otras "n"veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3= (xx) (xxx) = xxxxx = x5 As que x2x3= x(2+3)= x5

La ley que dice que xm/xn= xm-n

Como en el ejemplo anterior, cuntas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces,despus reduce eso "n" veces (porque ests dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2= x4/x2= (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, as que cada vez que hay una x "sobre la lnea" y una "bajo lalnea" puedes cancelarlas.)

Esta ley tambin te muestra por qu x0=1 :

Ejemplo: x2/x2= x2-2= x0=1

La ley que dice que (xm)n= xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Despus tienes que hacer eso "n" veces, en total mnveces.

Ejemplo: (x3)4= (xxx)4= (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12 As que (x3)4= x34=x12

La ley que dice que (xy)n= xnyn

Para ver cmo funciona, slo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en esteejemplo:

Ejemplo: (xy)3= (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3


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La ley que dice que (x/y)n= xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, slo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3= (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice quePara entenderlo, slo recuerda de las fracciones que n/m = n (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acurdate de esto:siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta pgina.

Ah, una cosa ms... Qu pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n= 0

Exponente negativo (n


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SUBTEMA: OPERACIONES COMBINADAS

OPERACIONES MS COMPLEJAS

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADESUtilizar la jerarqua de las operaciones y los parntesis sifuera necesario, en problemas y clculos.

CONSIGNA. Resuelve las siguientes operaciones combinadas; puedes utilizar la calculadora.a) 0.42 x 5 -7 =

b) -25 +34 x3

6=

c)8

17+ 3 x 6 =

d)5

3 x 8 + 5.25 =

e) -28 + 35 + 2.5 1.5 =

Es importante que los alumnos se familiaricen con el uso de parntesis en las operaciones, demanera que sepan establecer el orden correcto para efectuar los clculos. Hay que tener encuenta que los parntesis pueden usarse en clculos numricos, en ecuaciones o al operarcon expresiones algebraicas. Para empezar a reflexionar sobre este aspecto se sugiererealizar clculos como los de la consigna usando una calculadora que jerarquiza operaciones yotra que no; se pide a los alumnos que expliquen por qu se obtienen distintos resultados yqu tendra que hacerse para obtener el mismo resultado con la calculadora que no jerarquiza.

La siguiente informacin y la de las leyes de los exponentes son necesarias para realizarcorrectamente las operaciones combinadas. Es importante dirigir el anlisis de las operacionesanteriores a determinar el orden correcto realizando con la calculadora las operacionessealadas.

La siguiente Informacin fue tomada de Wikipedia en Internet:

Jerarqua de las operaciones1.Efectuar las operaciones entre parntesis, corchetes y llaves.2.Calcular las potencias y races.3.Efectuar los productos y cocientes.4.Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

Operaciones combinadas sin parntesis Combinacin de sumas y diferencias.

9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones segn aparecen.

= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7 Combinacin de sumas, restas y productos.

3 2 - 5 + 4 3 - 8 + 5 2 =Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =Efectuamos las sumas y restas.


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= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15 Combinacin de sumas, restas, productos y divisiones.

10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 2 - 16 : 4 =Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramosporque las dos operaciones tienen la misma prioridad.= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =Efectuamos las sumas y restas.= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10

Combinacin de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.23 + 10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 22- 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.= 8 + 10 : 2 + 5 3 + 4 - 5 2 - 8 + 4 4 - 16 : 4 =Seguimos con los productos y cocientes.= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 = Efectuamos las sumas y restas.= 26

Operaciones combinadas con parntesis(15 - 4) + 3 - (12 - 5 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 2 3)=Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=Quitamos parntesis realizando las operaciones.= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18

Operaciones combinadas con parntesis y corchetes

[15 - (23- 10 : 2 )] [5 + (3 2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 3 ) =Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los parntesis.

= [15 - (8 - 5 )] [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =Realizamos las sumas y restas de los parntesis.= [15 -3 ] [5 + 2 ] - 3 + 2=Operamos en los parntesis.= 12 7 - 3 + 2Multiplicamos.= 84 - 3 + 2= Restamos y sumamos. = 83

Con fracciones

Primero operamos con las productos y nmeros mixtos de los parntesis.

Operamos en el primer parntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero yoperamos en el ltimo.

Realizamos el producto y lo simplificamos.


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Realizamos las operaciones del parntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

Otros problemas:

Resuelve manualmente y luego verifica el resultado obtenido utilizando la calculadora.14 {7 + 4 3 - [(-2)2 2 - 6)]}+ (22+ 6 - 5 3) + 3 - (5 - 2 3: 2) =

En qu orden se deben efectuar los clculos en las siguientes expresiones para obtener losresultados que se indican? Pongan parntesis a los clculos que se hacen primero.

a) 25 + 40 x 4 10 2 = 180 d) 8 2 3 + 4 x 5 = 22

b) 15 3 7 2 = 0 e) 18 + 4 x 3 3 x 2 = 6

c) 21 14 2 + 7 x 2 = 28

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Reconocer y obtener expresiones algebraicas

equivalentes a partir del empleo de modelos geomtricos.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Efectuar o simplificar clculos con expresiones

algebraicas tales como: (x+a)2; (x+a) (x+b); (x+a) (x-a). Factorizar expresiones algebraicas tales

como: x2+2ax +a2; ax2+bx; x2+bx+c; x2-a2.

Para la ampliacin del trato de lgebra y clculo con expresiones algebraicas; con apoyo demodelos geomtricos tenemos este muy interesante y til escrito, Lectura de Apoyo: El papelde la geometra como herramienta para la didctica de la matemtica de Eduardo ManceraMartnez.


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Lectura de Apoyo

El papel de la geometra como herramienta para la didctica de la matemtica

Introduccin

Aunque los vnculos entre las diversas ramas de la matemtica son frecuentes, las propuestascurriculares presentan una perspectiva de parcelacin del conocimiento matemtico ysolamente se indican relaciones entre diferentes reas para realizar ejercicios o presentaralgunos problemas. Sin embargo en el desarrollo conceptual es importante conocer puntos deenlace importante entre diversos contenidos.

La aritmtica o el lgebra se utilizan para resolver problemas geomtricos y frecuentemente sehace lo contrario, emplear algunas nociones de geometra para resolver problemas aritmticoso algebraicos. Pero sobre todo no se promueven formas de enseanza basadas enconfiguraciones geomtricas para introducir algunos conceptos o procedimientos de contenidospropios de la aritmtica y al lgebra.

En esta participacin se presentarn algunas formas de enseanza basadas enconfiguraciones geomtricas para resaltar algunas relaciones numricas o algebraicas, ademsde resaltar la importancia de las relaciones geomtricas para enfatizar relaciones entrerepresentaciones algebraicas y grficas para apoyar la enseanza del clculo de funcionesreales de una variable real.

Bloques de DienesA travs del tiempo han permanecido algunas consignas pedaggicas en la enseanza de lamatemtica:

Partir de lo concreto para llegar a lo abstracto. Ir de lo fcil a lo difcil

Pero esto se ha interpretado de muchas maneras. El problema de la enseanza se transfiere adeterminar lo que es concreto o lo que fcil. Hasta hoy no se ha resuelto satisfactoriamenteeste asunto, es un pendiente. Tambin en este espacio se dejar pendiente, pero convienemostrar los candidatos a materiales concretos y la forma de enfocar la sencillez del tratamiento.

Se considerarn unos materiales denominados Bloques de Dienes, dichos materiales fueronpromovidos de manera importante en los aos sesentas y setentas, pero por alguna razn no

tuvieron el impacto esperado. Estos materiales se promueven tambin en la actualidad pordistribuidores de manipulativos como el de Algebra Tiles o los Algeblocks, entre otros.Algunos presentan variaciones importantes que amplan las posibilidades de uso como es elcaso de los Algeblocks.

Los Bloques de Dienes constan de varios cuadrados grandes y pequeos y regletas de ciertasdimensiones:

Eduardo Mancera MartnezComit Interamericano de

Educacin MatemticaMxico


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En diversas partes utilizaremos una variante de estos materiales que se construyen a partir delos mismos bloques seccionndolos por la mitad:

Cualquier maestro puede elaborar sus propios Bloques de Dienes con diversos materiales yconsiderando las dimensiones adecuadas que ms le acomoden. Pueden utilizar acrlico paraser utilizados con un retroproyector, con cartulina y fragmentos de tiras imantadas si se utilizaun pizarrn magntico, con cartn y lijas u otros materiales para usarlos con una franela, entreotras formas.

Los alumnos pueden elaborar sus propios bloques con cartulinas, madera, plsticos u otro tipode materiales.

Regla de construccin:Para construir los propios Bloques de Dienes es importante sealar que el lado del cuadradopequeo es uno de los lados de las regletas (rectngulos) y el otro lado de stas es el lado delcuadrado mayor:

Otro detalle importante digno de considerar es que con los cuadrados pequeos no se puedecubrir de manera exacta el largo de las regletas ni con stas se puede cubrir de manera exactalos lados del cuadrado grande.


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Estos manipulativos han sido utilizados durante mucho tiempo en la enseanza pero requierende una planeacin rigurosa por parte del maestro, su uso sin ello est condenado al fracaso.

Supuestos constructivistas

El uso de estos materiales est afiliado con algunas corrientes constructivistas, pero dada lapolmica en torno al constructivismo (la cual ha sido expuesta ampliamente en diversas obrascomo la compilacin de Carretero, Castorina y Baquero, 1998) solamente se plantearnalgunos supuestos compartidos para el desarrollo del tema en esta participacin. Por otraparte, la exposicin trata de evitar el enciclopedismo innecesario en este tipo de exposicin quepretende abarcar diversos tipos de audiencia.

Al inicio las actividades deben ser un tanto libres, sin pretender incorporar los conocimientosformales, solamente se tratar de establecer algunas caractersticas del material empleado yen su caso establecer reglas para su uso, dejando libertad al estudiante para crear sus propiossignificados. Este es el sentido de sencillez que se asume.

El conocimiento se construye, los conceptos y procedimientos no se adquieren de manerainstantnea, definitiva y estable, no se aprenden en el sentido de tenerlos para s, deatraparlos, como se asume en corrientes como el platonismo.

Generalmente, el trmino aprendizaje, se asocia a un proceso en el cual se considera que losconocimientos estn por ah y de repente, por alguna situacin, nos percatamos de suexistencia y nos apropiamos de ellos, los tomamos para s de manera completa. En otrosentido, la construccin de conocimientos, indica un proceso en el que se forman ideas,

representaciones o imgenes mentales de los conceptos o procedimientos, pero como parte deun proceso de aproximaciones sucesivas, no necesariamente es un proceso concluyente.

Renovamos constantemente las nociones construidas y lo vamos enriqueciendo con otrasexperiencias. Se van reformulando con el tiempo y de acuerdo con nuestras experiencias.

En la matemtica, disciplina caracterizada por sus conceptos abstractos, es indispensablepasar de un contacto con situaciones en las que el estudiante pueda realizar algunasindagaciones y formular sus propias ideas sobre lo que sucede, antes de arribar a lasimbolizacin y el manejo abstracto. La enseanza ha puesto mayor nfasis en el manejo derepresentaciones escritas, como si esto asegurara que se han construido significados o se leda algn sentido a lo que expresan. El proceso de construccin de conocimientos se realiza pormedio de un proceso constante de construccin de significados y representaciones mentales,en construccin de representaciones escritas propias, antes de arribar a las representacionesescritas convencionales.

Este proceso de construccin de significados es inevitable, muestra de ello es una broma,difundida en escuelas formadoras de docentes, en la cual se dice que en las clases dematemticas:

El maestro piensa una cosa, dice otra, escribe otra, explica otra y al final el alumno tambinentiende otra cosa muy diferente.


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Relaciones aritmticas

Desde la antigedad se han trabajado representaciones geomtricas para resaltar propiedadesde los nmeros naturales, por ejemplo los nmeros triangulares o los nmeros cuadrados:

Adicin y substraccin de nmeros enterosLos cuadraditos de colores, pueden ayudar a entender la regla de los signos. Consideremos alos obscuros como unidades positivas y a los blancos como unidades negativas3:

El cero en los nmeros enteros 0 es un equilibrio, por ello se puede representar con loscuadritos de las siguientes maneras:

De esta manera tambin los nmeros enteros tienen representaciones diferentes, por ejemplo,+1 o -1 se pueden representar de las siguientes maneras:

Esto permite hacer algunas adiciones y substracciones de nmeros enteros:


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Tambin es posible explicar con estos materiales la multiplicacin y divisin de enteros:

Otra consigna pedaggica que es frecuente comentar en cursos de matemticas es:

Lo nuevo debe parecerse a lo anterior

Lo cual hace ver que el manejo de expresiones algebraicas puede trabajarse como se hace con

nmeros enteros:

En efecto, consideremos que el cuadrado pequeo tiene una unidad de medida como longitudde su lado, luego entonces su rea ser 1. Podemos considerar que de acuerdo al colorestemos hablando de +1 o -1, como ya se trabajo antes:

Si en las regletas, la longitud de uno de sus lados es la unidad y consideramos que el otro ladoes x, entonces el rea sera 1x=x, adems podemos convenir que de acuerdo al color se hagareferencia +x o -x.


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En el mismo orden de ideas como el cuadrado mayor tiene como longitud de su lado el ladomayor de la regleta, o sea x, entonces con el se pueden representar +x2 y de acuerdo al color-x2

De acuerdo con estas convenciones podemos representar expresiones algebraicas con losbloques de Dienes. Por ejemplo:

Utilizando mitades de las figuras anteriores tambin se pueden manejar algunos polinomios concoeficientes fraccionarios:


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El uso de los bloques de Dienes permitir establecer reglas para el manejo de trminos

semejantes y operaciones entre ellos:Si se toma en cuenta la suma:


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2. EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

2.1 TEMA: FORMAS GEOMTRICAS

SUBTEMA: FIGURAS PLANAS Grado Bloque Apartado

Construir polgonos regulares a partir de distintasinformaciones. 1 II 5

Construir tringulos y cuadrilteros. Analizar lascondiciones de posibilidad y unicidad en lasconstrucciones.

1 III 3

Construir crculos a partir de diferentes datos o quecumplan condiciones dadas. 1 IV 4

SUBTEMA: RECTAS Y NGULOS Grado Bloque Apartado

Utilizar las propiedades de la mediatriz de unsegmento y la bisectriz de un ngulo para resolverdiversos problemas geomtricos.

1 II 4

Explorar las propiedades de las alturas, medianas,mediatrices y bisectrices en un tringulo. 2 IV 3

Determinar mediante construcciones las posicionesrelativas entre rectas y una circunferencia y entrecircunferencias. Caracterizar la recta secante y latangente a una circunferencia.

3 I 3

Determinar la relacin entre un ngulo inscrito y unngulo central de una circunferencia, si ambosabarcan el mismo arco.

3 I 4

2.2 TEMA: MEDIDA

SUBTEMA: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR Grado Bloque Apartado

Resolver problemas que impliquen calcular elpermetro y el rea de tringulos, romboides ytrapecios. Realizar conversiones de medidas desuperficie.

1 III 4

Resolver problemas que impliquen calcular el rea yel permetro del crculo. 1 IV 6

Resolver problemas que impliquen el clculo de

reas en diversas figuras planas y establecerrelaciones entre los elementos que se utilizan paracalcular el rea de cada una de estas figuras.

1 V 3

Calcular la medida de ngulos inscritos y centrales,as como de arcos, el rea de sectores circulares yde la corona.

3 I 5

SUBTEMA: JUSTIFICACIN DE FRMULAS Grado Bloque Apartado


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Justificar las frmulas de permetro y rea detringulos, cuadrilteros y polgonos regulares. 1 II 6

Determinar el nmero Pi como la razn entre lalongitud de la circunferencia y el dimetro. Justificarla frmula para el clculo de la longitud de lacircunferencia y el rea del crculo.

1 IV 5

PATRONES Y FRMULAS

Conocimientos y habilidades. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas frmulasgeomtricas, interpretando las literales como nmeros generales con los que es posibleoperar.

Problema

Si se tiene que cercar un terreno cuadrado con malla ciclnica, qu tomaras en cuenta delterreno, para comprar la malla suficiente? ......._______________________________

Si el terreno tiene 50 m por cada lado, cuntos metros compras de malla?___________

Si el lado mide 63.25 m, cunta malla? .....................................___________

Para cualquier terreno con figura cuadrada, qu frmulausaras cuando necesites protegerlo en su derredor?................................................. P = ___________

Si la figura no es cuadrada y tiene cualquier otra forma poligonal, qu frmula utilizaras?

__________________________

reas

En todo terreno, no slo se requiere protegerlo en su derredor, sino tambin es necesarioregistrarlo como propietario del mismo; por lo cual, se necesita conocer de cuntos metroscuadrados est formado.

Cmo se obtendrn los metros cuadrados de los dos terrenos que se cercaron en la actividadanterior?

SUPERFICIE: Es todo aquello que tiene dos dimensiones: Largo y Ancho.REA: Es la medida interna de una superficie.


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Ilumina derojola superficie del crculo, de caf la superficie del cuadrado, de verdela

superficie del trapecio y de azlla superficie del tringulo y contesta las siguientes preguntas.

Realiza clculos y operaciones y contesta.

Cul figura crees que tenga mayor rea? ______________________

Cul crees que tenga menor rea? ......... ______________________

Con el objeto de que los alumnos interpreten las literales que aparecen en las frmulas comonmeros generales y no como simples etiquetas que evocan las dimensiones de las figuras, esnecesario plantear preguntas que apunten hacia la generalizacin de procedimientos. Porejemplo:

Dada una figura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm por lado, cmose puede saber el permetro del marco? (ntese que no se trata de calcular elpermetro sino de enunciar el procedimiento).

Suponiendo que el lado del marco midiera 28 cm, cmo se determina el permetro delmarco? Y si midiera 35 cm? En general, cmo se determina el permetro de

cualquier cuadrado?Como en el caso de las sucesiones numricas y figurativas, se insiste primero en que losalumnos expresen en forma verbal el procedimiento o frmula en cuestin y luegoalgebraicamente.

Problema

Obtn el permetro de un terreno irregular que tiene las medidas que la figura indica.


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MOVIMIENTOS EN EL PLANO

SIMETRA AXIAL

Conocimientos y habilidades. Construir figuras geomtricasrespecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades quese conservan en figuras tales como: tringulos issceles ytringulos equilteros, rombos, cuadrados y rectngulos.

En la primaria los alumnos llegan a explicitar las propiedades dela simetra axial sin utilizar la nomenclatura formal.

En secundaria se pretende que, dada una figura, analicen las propiedades que se conservan alconstruir su simtrica respecto de un eje (igualdad de lados y ngulos, paralelismo yperpendicularidad).

Entender lo que es la SIMETRA AXIAL, resulta demasiado sencillo si analizamos lo siguiente:

Recordemos que dos nmeros son SIMTRICOS, cuando al representarlos en la recta

numrica, la distancia de cada nmero al CERO, es la misma: + 3, es simtrico de - 3; - 8, essimtrico de + 8

Ahora nos damos cuenta, que la palabra AXIAL se refiere a lo que puede ser dividido en dosparte iguales, por medio de un EJE.

Observa los EJES DE SIMETRA de un CUADRADO.

Traza con regla y comps los ejes de simetra que tengan cada una de las siguientes figuras.

La SIMETRA AXIAL, es pues, una propiedad que tienen las figuras que al trazarles uneje de simetra, stas se convierten en dos, cuyos puntos al ser dobladas en dicho eje,coinciden perfectamente.


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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Realiza la siguiente construccin geomtrica:1- Dado un punto P, trazar su punto P' simtrico con respecto al EJE DE SIMETRA yy',

utilizando la escuadra.

2.- Dada una figura, trazar su simtrica con respecto a un eje de simetra, con el uso de la

escuadra.


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3. Dadas las rectas, traza su SIMTRICA con respecto al EJE DE SIMETRA yy'

LAS RECTAS Y LOS NGULOS

Conocimientos y Habilidades. Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la

bisectriz de un ngulo para resolver problemas geomtricos.

La GEOMETRA es una de las ramas de las Matemticas conuna aplicacin importante. El ingeniero, el mecnico, el sastre,el carpintero, el pintor, usan la GEOMETRA para hacer sus

trazos, medidas y clculos.

CONSIGNA: Con ayuda de tus instrumentos de dibujo y medida,reproduce exactamente igual las siguientes figuras, a la derechade cada una de ellas.

BLO


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Utilizando escuadras comprueba que los segmentos de recta MN y CD son paralelos.

Investiga y redacta el procedimiento a seguir para trazar los segmentos paralelos

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________:

Utilizando escuadras, comprueba que los segmentos de recta CD y FG son perpendiculares.Describe el procedimiento para comprobar lo anterior

En el Plan y Programa de Estudios se sugiere explorar las ideas que tienen los alumnos derecta, semirrecta y segmento. En caso de haber confusin, es necesario que el maestroexplique cul es la diferencia entre ellas, de manera que haya un lenguaje comn en la clase.

En relacin con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ngulo, se sugiere que losalumnos, a partir del trazo, describan las caractersticas de cada una de estas figuras yelaboren definiciones. El maestro puede apoyarlos con preguntas y contraejemplos hasta quelogren definiciones precisas. De esta manera, los alumnos podrn utilizar la definicin quemejor convenga segn el problema que se les presente y argumentar su uso segn lasituacin.

Actividades complementarias

Utiliza tu estuche de geometra para realizar los siguientes trazos por separado.

1.- Traza un segmento de recta de 4 cm de longitud y a sus extremos llmales C y D.

2.- Traza un crculo de 2 cm de radio en el punto C.

3.- Traza una perpendicular al segmento de recta CD en el punto D y llmala "a".

4.- Traza un crculo de 3 cm de radio en el punto medio del segmento CD.


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MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

Cmo haras para pasar una perpendicular por el punto medio de un segmento de rectadado?

Prueba con este segmento

Qu hiciste? ________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Usaste slo las escuadras? S o No

Actividad complementaria

Haciendo uso de la MEDIATRIZ traza un rombo y un cuadrado, sobre las lneas dadas:

Usando el proceso para trazar una MEDIATRIZ, dibuja: Un tringulo issceles, sobre la

lnea dada; un tringulo issceles dentro de la circunferencia y un tringulo issceles

dentro de la elipse.

Define con tus propias palabras qu es la lnea que es la MEDIATRIZ?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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BISECTRIZ DE UN NGULO

Traza el eje de simetra del tringulo ABC que pasa por el vrtice C; usando regla y comps.

Identifica el punto de interseccin del lado AB y el eje simtrico con la letra O

Con base en la figura, completa:

AO = __________

AC = __________ACO = __________, Entonces

ACO = __________

Traza con el comps, el EJE DE SIMETRA, a cada uno de los siguientes ngulos. Pregunta atu profesor cual es el procedimiento correcto.

En todo tringulo issceles la BISECTRIZ del ngulo diferente siempre es unEJE DE SIMETRA (Mediatriz), puesto que divide a la figura en dos partesiguales.


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Traza la MEDIATRIZ de cada lado y la BISECTRIZ de cada uno de los siguientes polgonos

En qu casos coinciden las diagonales con las mediatrices y bisectrices trazadas?.

Explica____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Explorar las propiedades de las alturas, medianas,mediatrices y bisectrices en un tringulo.

PUNTOS NOTABLES DE UN TRINGULO

Problema

Organizados en equipos de tres, realicen las siguientes instrucciones.

a. Usando dobleces construya un tringulo y repase los dobleces con el lpiz, luego

nombre los vrtices con letras maysculas y los lados opuestos a estos con letras

minsculas.

b. Construya con un doblez la mediatriz en cada lado del tringulo y mrquelas con colores.

1.- Que sucedi con las tres mediatrices.______________________________________

2.- Expresa tu opinin respecto al punto de corte de las mediatrices. ______________

______________________________________________________________________

El maestro podra presentar a los alumnos diferentes definiciones de las lneas del tringulo ypedir que las analicen con el fin de establecer su utilidad, o bien, si la definicin que se da es


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satisfactoria. De igual modo, se puede pedir a los alumnos que tracen las medianas dediferentes tringulos y que hagan pasar un hilo por el punto donde se cortan las tres lneas,para comprobar que se es el punto de equilibrio (baricentro) del tringulo. Otra opcin espresentar diferentes afirmaciones y que los alumnos determinen si son verdaderas o falsas yque argumenten para justificar su respuesta. Por ejemplo: cualquiera de las alturas del tringulosiempre es menor que uno de sus lados; la altura de un tringulo es menor que la mediana quecorresponde al mismo lado; cuando la mediana correspondiente a un lado de un tringulo estambin mediatriz de ste, el tringulo es issceles.

CONSIGNA:

Organizados en equipo analicen las lneas que aparecen en los tringulos y anoten una en

la tabla frente al tringulo cuando las caractersticas s se cumplan y una X cuando no se

cumplan.


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Caractersticas

Las lneas

son

perpendicula

res a los

lados del

tringulo o ala

prolongaci

n de stos

Las lneas

pasan por

un vrtice

del

tringulo

Las lneas

cortan los

lados del

tringulo en

los puntos

medios

Las lneas

dividen a la

mitad los

ngulos del

tringulo

Las lneas

se cortan

en un punto

Las lneas son

paralelas a los

lados del

tringulo

Las lneas

cortan los

lados del

tringulo

en una

razn de 2a 1

Tringulo 1

(mediatrices)

Tringulo 2

(medianas)

Tringulo 3

(alturas)

Tringulo 4

(bisectrices)

Al llenar la tabla se sugiere confrontar las ideas de los alumnos, antes de anotar lascaractersticas debe consensarse con el grupo a partir de la siguiente secuencia:

a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o

cruces como fueron anotadas por los equipos.b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para quebusquen argumentos que fundamenten su respuesta.

c) Cuando todos estn de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado elnombre de cada tipo de rectas y las caractersticas que le corresponden.

Es probable que algunos alumnos no sepan a qu se refiere la ltima columna, en cuyo casohay que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedandos a un lado de la recta y una al otro lado.


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Actividad Complementaria

Consigna:

Analizar los puntos donde se cortan la medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en untringulo cualquiera y anoten una donde se cumplan las caractersticas sealadas y una Xdonde no se cumplan.

Caractersticas

Siempre se

encuentra

en el

interior del

tringulo

Se puede

localizar

en un

vrtice

del

tringulo

Puede

localizarse

fuera del

tringulo

Es el

centro de

un crculo

que toca

los tres

vrtices de

tringulo

Es el

centro de

un crculo

que toca

los tres

lados del

tringulo

Es el

punto de

equilibrio

de un

tringulo

Est a la

misma

distancia de

los vrtices

del

tringulo

Se

encuentra

alineado

con otros

puntos

notables

del

tringulo

Incentro(punto

donde se cortan

las bisectrices)

Baricentro

(punto donde se

cortan las

medianas)

Ortocentro

(punto donde se

cortan las

alturas)

Circuncentro

(punto donde se

cortan las

mediatrices)

Hay que prever que los alumnos tengan tijeras, hilo o cordn, aguja, cartulina y juego degeometra. Se les indicar a los alumnos que para saber si el punto encontrado es el punto deequilibrio del tringulo, debern recortar ste y hacer pasar la aguja con hilo por el puntoobtenido, sosteniendo el hilo en forma vertical. Se les puede decir que tambin recibe elnombre de punto mediano o centroide (inclusive, en fsica, le llaman centro de gravedad por serlugar de equilibrio de tres cuerpos de la misma masa colocados en los vrtices del tringulo).La ltima columna se refiere a la alineacin del ortocentro, baricentro y circuncentro.


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RESOLVIENDO PROBLEMAS

1. En una ciudad pequea se quiere construir un quiosco que quede a la misma distanciadel Palacio Nacional, de la Secretara de Educacin y del Edificio del Congreso, dndedebern construirlo?

2. Se tiene un terreno de forma triangular y se va a construir en l una fuente circular de talmanera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrir de pasto.Dibuja cmo quedara la fuente en dicho terreno.

3. Se quiere construir la estacin del tren de tal forma que est sobre la va y a la mismadistancia del pueblo Arania y del pueblo Mosconia. Dnde debe construirse laestacin?


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4. Las esferas siguientes representa cuerpos celestes que interactan entre si paramantenerse unidos por fuerzas de atraccin en equilibrio Dnde se encuentra elcentro de gravedad de estos tres cuerpos celestes?

FIGURAS PLANAS

Conocimientos y habilidades. Construir polgonos regulares a partir de distintasinformaciones.

El desarrollo de esta habilidad ayuda a consolidar el conocimiento sobre las propiedades delas figuras.

Se sugiere presentar una variedad de maneras de construir polgonos. Por ejemplo, haciendoun nudo con una tira de papel; con comps, regla y transportador (a partir de la medida delngulo central); con regla graduada y transportador (a partir de la medida de un ngulointerior); con regla y comps (se basa en el trazo de mediatrices, bisectrices yperpendiculares); con escuadras graduadas. Ejemplo

Problema.

Construye un HEXGONO dentro de una circunferencia que tengacomo radio 3 cm. Guate con la figura de la izquierda y usa losinstrumentos de Geometra necesarios.

Despus de construido el Hexgono contesta y realiza lo que se pide a continuacin:

a) Encuentra el centro del HEXGONO.

b) Traza lneas rectas del centro a cada uno de los vrtices.

c) Qu figuras formaste al interior del HEXGONO? _________________

d) Cunto medir cada ngulo que tiene su vrtice en el centro? .......... ______


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e) Cunto sumarn todos los ngulos centrales? .............................. ______

f) Qu nombre reciben los polgonos formados dentro del HEXGONO?

Actividad complementaria

Teniendo en cuenta la medida del ngulo central en cada polgono; construye polgonosregulares de 3, 4 y 5 lados.

Qu proceso seguiste para obtener el valor del ngulo central? .. _______________________

Escribe el proceso que seguiste para construir polgonos .............. _______________________

____________________________________________________________________________

Qu nombre especial reciben los tringulos formados al interior de cada uno de los polgonosconstruidos? .....................................................................................

_______________________

ngulo central = _______ ngulo central = _______ ngulo central =_______

CONSTRUCCION DE POLGONOS

Conocimientos y Habilidades. Construir tringulos y cuadrilteros. Analizar las condicionesde posibilidad y unicidad en las construcciones.

En contraste con las construcciones geomtricas que se realizan en primaria, se sugiere eneste grado que con base en procedimientos especficos, se pruebe y justifique los datos queson necesarios y suficientes para llevar a cabo una construccin. Asi mismo se habilite el

alumno en comuicsr con claridad procedimientos de construccin para mostrar a los demssus procesos. Por ejemplo:


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Problema

Construye un rectngulo, sabiendo que tiene un rea de 24 u. Compara con tus compaeros.

Construye un tringulo de 3, 4 y 7 unidades, en cada uno de sus lados. Se puede? Porqu?

TRINGULOS

A) EQUILTEROS

Trazar un tringulo equiltero de 4 cm por cada lado.

1) Se traza con regla el lado AB de 4 cm de longitud.

2) Se abre el comps 4 cm igual que AB.

3) Con centro en A se traza el arco 1

4) Con centro en B se traza el arco 2


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5) Se une A con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

6) Se une B con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

B) ISSCELESTrazar un tringulo issceles cuyos lados iguales seande 4 cm y el diferente 3 cm.

1) Se traza con regla el lado MN de 3 cm de longitud.

2) Se abre el comps con un arco de 4 cm que es la

medida de los lados iguales.

3) Con centro en N se traza el arco 1.

4) Con centro en M se traza el arco 2.

5) Se une M con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

6) Se une N con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

CUADRADOS

Trazar un cuadrado de 3 cm de DIAGONAL.

1) Trazamos un crculo con dimetro de 3 cm2 )Trazamos a l crculo otro dimetro perpendicular al anterior.

3) Unimos los extremos de los dimetros para formar el cuadrado.

Conocimientos y habilidades. Resolver problemas que impliquen calcular el permetro y elrea del tringulo, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.

Problemas

1.- Calcula el precio de un terreno que tiene forma rectangular y mide 24.5 m de largo por 12.5m de ancho a $ 78.50 el metro cuadrado.

2.- El jardn de una casa tiene forma circular y la medida del radio es 6.5 m. Si el jardinerocobra $ 4.50 por cada metro cuadrado de jardn que arregla, cunto cobra por todo el jardn?


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3.- Encuentra el rea de un trapecio cuya base menor es la mitad de la base mayor y su basemayor mide 6.8 m si se sabe que la altura es de 3.54 m

4.- Calcula el rea que se pide en la siguiente figuracompuesta.

rea del rectngulo = _________

rea del crculo = _________

rea de la parte de corcho = _________

5.- Un tapete de forma circular, de cierta tela, tiene un costo de $ 6000.00. Suponiendo que el costo es proporcional a la cantidad detela. Cunto costara otro tapete en el que se utilizarn las tres

cuartas partes de esa misma tela?

6. Los alumnos de la escuela secundaria viajaron enel camin escolar a una misma velocidad promedio,visitando cuatro ciudades. La siguiente tablacontiene informacin de cada recorrido, compltala

y despus contesta lo que se pide.

Cuntos kilmetros recorrieron en total? . . . . . . . . . . ___________

Cunto tiempo emplearon en las cuatro etapas? . . . . ___________

Con la variacin se pueden establecer vnculos a partir de situaciones como las siguientes:

Encuentren las medidas enteras de los lados de todos los rectngulos cuya rea es 24 cm2 ycalculen el permetro de cada uno.

Si uno de los vrtices de u

cuaderno de matematicas para secundaria

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