cuaderno 1 - conceptos elementales básicos para iniciar el camino en el diseño estructural

5/25/2018 Cuaderno 1 - Conceptos Elementales Bsicos Para Iniciar El Camino en El Diseo Estructural

1/79

1

CONCEPTOS ELEMENTALES BSICOS PARA

INICIAR EL CAMINO EN EL DISEO

ESTRUCTURAL

EL DISEO ESTRUCTURAL(Una introduccin bsica)

Florentino Regalado Tesoro

Dr. Ingeniero de Caminos. Universidad de Alicante

CUADERNO N1


2/79

2

NDICE

1. Una introduccin para sealar intenciones y caminos

2. Una primera aproximacin a los conceptos de fuerza, masa y

equilibrio esttico de los cuerpos

3. Unidades necesarias para poder dialogar de las construcciones y susestructuras

4. Teora bsica vectorial (operaciones con las fuerzas)

5. Centros de Gravedad

6. Momento de inercia y radio de giro de las secciones. El teorema delos ejes paralelos para momentos de inercia (Teorema de Steinter)

7. Momentos polares de inercia

8. Productos de inercia

9. Momento de inercia con relacin a ejes girados

10. Aspectos bsicos de la geometra elemental10.1. Introduccin10.2. Proporcionalidad entre segmentos. Teorema de Thales. Aplicaciones.10.3. Semejanza de tringulos. Semejanza de tringulos rectngulos.

10.4. Homotecia de polgonos. Razn de homotecia.10.5. Construccin de polgonos semejantes.10.6. La circunferencia. Arcos y cuerdas.10.7. Polgonos regulares. Definiciones elementales.10.8. Las curvas fundamentales (cnicas).10.9. Lugares notables y teoremas bsicos de los tringulos.

ANEJO. Terminologa bsica empleada en el mundo de la construccin.

Bibliografa.


3/79

3

1. Una introduccin para sealar intenciones y caminos.

Cada vez que pasan los aos y la vejez se aproxima un poco ms hacia nosotros, nos vamosdando cuenta que las cosas realmente importantes de la vida son muy pocas; tal vez el simple hecho

de vivir lisa y llanamente con honradez y limpieza, baste por s para justificar una existencia plena ydigna de todos los respetos por sencilla que esta sea.De igual forma, en el campo de las estructuras nos atrevemos tambin a expresar un concepto

parecido o semejante al anterior, puesto que con el transcurso del tiempo y la acumulacin deexperiencias de todos los colores: proyectando, construyendo y reparando estructuras, la mayora deellas sumamente humildes, resulta fcilmente perceptible que para convivir con ellas comprendiendosu existencia desde que nacen hasta que mueren, en realidad no hace falta llevar en las alforjas unbagaje excesivamente complejo y pesado de herramientas.

Con unas buenas dosis de sentido comn principalmente, unos pocos conocimientos histricos decmo el hombre ha construido sus casas y caminos, los principios bsicos de la esttica y tambinalgunos criterios fundamentales de la resistencia de materiales y teoras de la elasticidad, cocinadoscon unas pocas nociones de la geometra de Euclides y unos pocos conceptos nada complicados delas inevitables matemticas, resulta ms que suficiente para poder entender la razn y ser de laspiezas estructurales que sabiamente mezcladas generan el apasionante mundo de las estructuras.

El camino ya nos lo seal E. Torroja en su conocido libro Razn y ser de los tipos estructurales:primero el diseo (el concepto de las formas) y luego los clculos, y por l caminaremos paraequivocarnos lo menos posible, aunque cualquier aproximacin que se haga a la historia y evolucinde cmo el hombre en su transitar por la tierra ha resuelto sus caminos y cobijos para l y sus dioses,siempre ser un ejercicio apasionante y enriquecedor aunque se encuentre plagado de errores.

Por otra parte, nos encontramos inmersos en una poca especialmente revolucionariatecnolgicamente hablando, y las estructuras, como no poda ser de otra manera, se ven inmersas enella con todas sus ventajas, pero tambin con todos sus inconvenientes.

Hemos pasado en un breve periodo de tiempo de caminar apoyados en sencillas reglas de clculo,

a tener a nuestro alcance potentes ordenadores capaces de dibujar y calcular construccionessituadas muchas veces, por encima del estadio que una mente humana es capaz de abarcarespacialmente y analizar razonablemente bien, caminando por galaxias sumamente complejas y, aveces, hasta absurdas.

Lo anterior nos sita en la tesitura como primera tentacin, de confiar exclusiva y ciegamente en elordenador y los programas informticos, una primera opcin que nos conduce por una sendasumamente peligrosa, habida cuentas de las tonteras que pueden a llegar a verse en los planosconstructivos que llegan a las obras provenientes de programas informticos mal utilizados; o bien,emplear una segunda opcin alternativa que sin despreciar en modo alguno todo lo bueno que nosproporciona el clculo numrico, nos abra una especie de camino amplio y luminoso que nos permitauna mejor comprensin conceptual y filosfica de lo que construimos, y as evitar los efectosperniciosos de la senda primera, que es lo que recomendamos hacer a todos los proyectistassensatos y responsables, que deseen comprender mejor los mecanismos resistentes de lasestructuras a travs de las formas y los materiales que las han hecho posible a lo largo de la historia.

Estas pginas pretenden facilitar la bsqueda de ese segundo camino, recordando algunas ideasbsicas de la fsica y la geometra que, despus, en sucesivas monografas nos permitan exponer deforma simplificada conceptos, formas y criterios, que con suma sencillez permitan a los proyectistasdiscernir lo bueno de lo malo, lo seguro de lo inseguro, y poder adivinar con relativa solvencia lo queresulta banal y superfluo en una estructura y lo que tiene de autenticidad y belleza.

Saber ser crtico con cierto fundamento en un mundo donde las demandas sociolgicasrelacionadas con las construcciones actuales han cambiado radicalmente, parece no sloconveniente, sino algo bastante necesario e imprescindible. Ya no basta que una obra cumpla lasfunciones para la que fue proyectada, se le pide algo ms; incluso parece que lo autnticamente

importante sea precisamente ese algo ms y la funcionalidad, razn y ser de la mayora de las obras,sea lo realmente secundario e irrelevante, lo que nos adentra peligrosamente en un territorio donde la


4/79

4

superficialidad se convierte en protagonista. Los proyectistas no tendran que tener que elegir entrefuncionalidad, eficacia y belleza, puesto que son todas ellas cualidades que indiscutiblementecualquier obra debera aspirar a tener siempre.

No encontramos en un escenario difuso, de clara transicin entre el ayer y el futuro. No sabemoscon exactitud si el estatus de nuevos ricos con el que construimos nuestros edificios y sus estructuras

podemos sostenerlo, gastando medios y energas desaforadamente en aras a satisfacer egosprofesionales y polticos, justificando nuestras construcciones en base a repetitivas y ficticiassingularidades y algunas zarandajas que otras, que ya aburren por su persistencia y monotona.

Como punto final de esta declaracin de intenciones, no est dems advertir que nuestro texto, pors solo, no permite el poder resolver el proyecto constructivo de las estructuras, que exigeconocimientos ms profundos y pormenorizados, y estos deben ser adquiridos en otra parte. Loanterior no invalida en modo alguno el hecho, que solamente partiendo de una visinconceptualmente amplia y clara del comportamiento de los materiales y sus cualidades esenciales, yde cmo el hombre los ha empleado en piezas lineales, planas y volumtricas configurandoestructuras resistentes, se est en las condiciones ptimas para poderlas calcularparticularizadamente, elaborando los planos necesarios que posibiliten su construccin y su realidadfinal.

Para conseguirlo, no dudaremos en copiar sin rubor alguno las ideas y mensajes de los buenos yviejos maestros, y sobre todo de las enseanzas que D. Eduardo Torroja supo trasmitirnos comonadie lo hizo antes en los escritos que dej, adaptando todo ello a los tiempos que corren de la formaque hemos credo mejor, pensando esencialmente en los alumnos de nuestras Escuelas Tcnicas,como futuros proyectistas de estructuras. Desde aqu, por tanto, ya recomendamos el libro de E.Torroja Razn y ser de los tipos estructurales, que tal vez sea el mejor texto que sobre lasestructuras se haya escrito nunca sin apoyo de frmulas matemticas de tipo alguno.

2. Una primera aproximacin a los conceptos de fuerza, masa y equilibrioesttico de los cuerpos.

En el campo de las estructuras que sostienen como esqueleto resistente las obras queproyectamos y construimos con fortuna variable, las fuerzas son por derecho propio las responsablesdirectas y la razn y ser de las mismas. Y dichas fuerzas estructurales tienen su origen y provienende la naturaleza propia de lo que se construye y del entorno fsico donde se ubique lo construido, seaeste natural o artificial.

Si no existieran las fuerzas, las estructuras perderan su esencia y el alma que les transmite vida ydinamismo. Construir una estructura que no vaya a estar sometida a fuerzas, es como ponerse lavacuna de una enfermedad que no existe: No tendra sentido fsico alguno.

Bajo un punto de vista acadmico podemos definir la fuerza como aquella accin capaz decambiar el estado de equilibrio que posea un cuerpo. Las fuerzas se representan y se estudian comolo que tambin son, como un conjunto de vectores que poseen magnitud, direccin, sentido y un

punto donde se aplican; por tanto, toda la teora de los vectores resulta ser de aplicacin directa atodo el campo de las fuerzas con las que tendremos que lidiar. Resulta pues imprescindible, tenerque definir los conceptos bsicos vectoriales, si queremos aprender a situar y manejar las fuerzas ylos efectos que producen.

Todas las construcciones se encuentran sometidas a la accin de innumerables fuerzas, inclusomuchas ms de las que alcanzamos a vislumbrar y tener presente en los clculos estructurales.Precisamente los grandes colapsos y fracasos estructurales han sido debido a esas fuerzas que senos escapan de entre los dedos cuando elaboramos los proyectos estructurales, unas veces porignorancia y otras por simple precipitacin.

El origen de las fuerzas podra ser nico o mltiple, segn se miren con ojos filosficos o con losojos de un sencillo tcnico que se enfrenta al mecanismo resistente que desarrollan las estructuras

sosteniendo las construcciones de las que forman parte, de forma parecida a como lo hace elesqueleto de huesos dentro del cuerpo humano. Sin esqueleto, el cuerpo humano no podra existir,como tampoco podra existir la Arquitectura sin las estructuras que la hace posible.


5/79

5

Cuando hablemos de las acciones y cargas que solicitan las estructuras, en otra de nuestrasmonografas, tendremos que comprender y analizar cmo tcnicos que somos, los orgenes tandiversos y diferentes que poseen los vectores fuerzas que las materializan, al margen de las posiblesdisquisiciones divinas a las que a veces ha acudido el hombre para explicar, por ejemplo, losterremotos.

Aunque la mayor parte de las fuerzas tienen un carcter bsicamente esttico, existen otras cuyocarcter es claramente dinmico, como podran ser las debidas al viento y a los sismos. Las fuerzasque generan los sismos sobre las construcciones son especialmente peligrosas y destructivas no slopor su carcter dinmico, sino tambin por la magnitud tan elevada que pueden alcanzar.

Decimos que una accin tiene un carcter dinmico si su variacin con el tiempo es rpida yorigina fuerzas de inercia en las estructuras, de magnitud comparable y, a veces, frecuentementemayor que las fuerzas estticas.

Todas las caractersticas de las cargas dinmicas: mdulo, direccin, sentido y punto deaplicacin, o por lo menos algunas de ellas, varan con el tiempo, siendo esto ltimo (la variacin) elaspecto fundamental que las caracteriza y distingue, y por ello se llaman as.

ACELERACIN

m g.

m g.

"a "s

El cuerpo (la caja) enbloque por su base

se desplaza y la masasuspendida reaccionaen sentido contrario.

-m a. s

Peso=

-m a. s

T : Fuerza resultante(Fuerza dinmica y por tanto variable)

T

SSMICA

Fig. 2.1. Fuerza de inercia de carcter dinmico.

Intuir en qu consiste una fuerza de inercia resulta sencillo, sin ms que recordar el cmo nossentimos desplazados cuando al viajar de pie sobre la plataforma de un autobs, ste arranca o frenabruscamente. Las fuerzas que nos empujan primero hacia atrs cuando arranca y despus hacia

delante cuando frena, son claramente fuerzas de inercia, fuerzas dinmicas semejantes a las que seengendran sobre los edificios cuando un terremoto los hace oscilar.

Aunque sea adelantar conceptos que veremos con mayor amplitud en otras monografas, no estdems exponer ya aqu que, nuestra misin como hacedores de estructuras es que stas, comocuerpos fsicos que son, han de ser capaces de soportar las cargas que actan sobre ellas, tengan suorigen donde lo tengan y sean de la naturaleza que sean, de forma que se mantengan en equilibrioesttico o de reposo, y con unas deformaciones asumibles para la funcionalidad que se espera deellas. Debemos tener siempre presente que una estructura puede resistir perfectamente las cargasque acten sobre ella sin romperse y sin agrietarse y, sin embargo, presentar unas deformacionesinadmisibles e incompatibles con las prestaciones que se espera de ellas. Por ejemplo: Si la viga deun puente gra se curva, aunque est lejos de romperse al pasar el carro con la carga suspendida,

puede desequilibrar sus rodamientos y provocar disfuncionalidades en su mantenimiento, inclusoquedndose fuera de servicio, si al curvarse genera deformaciones (flechas) excesivas (f > L/1000).


6/79

6

Debemos recordar que un cuerpo fsico, y un cuerpo estructural cualquiera lo es, se encuentraen equilibrio esttico o de reposo cuando no se mueve, aunque pueda deformarse ligeramente, ytodas las acciones (todas las fuerzas) que actan sobre el mismo se encuentran compensadas entres, dando unas resultantes nulas de fuerzas y momentos, es decir cuando se cumple que:

Fi 0

Mi 0

Newton fue el fsico que nos formul las leyes fundamentales que sirvieron de base para elaborarel cuerpo terico en el que basamos toda la filosofa del clculo estructural.

Segn la primera ley de Newton, todo cuerpo que se encuentra en reposo (en equilibrio esttico),tiende a permanecer en reposo a menos que sobre el mismo acte una fuerza neta diferente de cero.La masa que tiene el cuerpo y cmo se encuentra distribuida es la responsable directa de la inerciaque posea el mismo para cambiar el estado en el que se encuentre, sea ste el de equilibrio estticoo el de estar en movimiento.

Newton us el trmino de masa como sinnimo de cantidad de materia. Esta nocin intuitiva de lamasa de un cuerpo no es muy precisa, porque el concepto de cantidad de materia no se encuentrabien definido. Con mayor precisin podemos decir que la masa es una medida de la inercia de uncuerpo a cambiar el estado en el que se encuentra.

La segunda ley de Newton liga con precisin incuestionable los conceptos de fuerza, masa yaceleracin al expresar que: La aceleracin de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerzaneta que acta sobre l y es inversamente proporcional a su masa. La direccin y el sentido de laaceleracin es la que tiene la fuerza neta que acta sobre el cuerpo.

Fr (fuerza resultante)

Fi m a

Y finalmente, conviene no olvidar y tener siempre presente la tercera ley de Newton que, ennuestra opinin, es la que mejor refleja de las tres, la esencia misma del clculo estructural: Si seejerce una fuerza contra un cuerpo, este cuerpo responde siempre con una fuerza igual y contraria ala que se ejerce sobre el mismo. Es el principio tan conocido de la accin y reaccin.

La fuerza por antonomasia en la ingeniera estructural resulta ser, casi siempre, el peso de loscuerpos: la fuerza con la que la tierra atrae a los mismos hacia su interior como si quisiera no perdernada de lo que le pertenece, aplicndoles una traccin inevitable que denominamos fuerzagravitacional (peso). Esta fuerza, el peso, es tan poco atractiva y tediosa, que algunos proyectistascreen que pueden jugar al escondite con ella en sus bocetos iniciales, hasta que desesperados porno conseguirlo, acaban finalmente claudicando frente a su inevitable presencia y tirana, y procurancon fortuna variable hacer convivir las formas, los materiales y las geometras estructurales precisasen sus proyectos, para no acabar entre rejas.

3. Unidades necesarias para poder dialogar de las construcciones y susestructuras.

La cuantificacin de los hechos que acontecen en las construcciones y sus estructuras exigen unlenguaje propio y especfico, que suele bautizarse con el adjetivo de tcnico, y que dota a laspalabras de un significado que trasciende casi siempre al que poseen de las mismas el sencillociudadano de a pie, que suele mirar lo que construimos con una cierta superficialidad, sin que lamayora de las veces consiga captar la esencia y globalidad de lo que percibe y, mucho menos , escapaz de ver y describir expresndolo con la precisin y el rigor debido, todos los matices de larealidad construida que tiene frente a sus ojos.

La comprensin del lenguaje de las estructuras requiere aprendizaje, y el nivel de conocimientoque poseamos del mismo indicar sin duda alguna, el mismo estadio de comprensin que tengamossobre las propias estructuras, tanto en sus fases de proyecto como en su construccin y posteriorpuesta en servicio.


7/79

7

El primer vocabulario que debemos aprender para poder comunicarnos con cierta solvencia es elde las unidades que nos catalogan y cuantifican la realidad fsica de las construcciones y las accionesque las solicitan. El mundo tiende a emplear un conjunto de unidades unificado bajo el nombre deSISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS; pero incomprensiblemente y contra todo pronstico,todava despus de los aos que han transcurrido para la humanidad soportando el castigo bblico del

confusionismo por intentar con la Torre de Babel llegar al cielo, no ha podido liberarse del mismototalmente, y continua sin acabar de adoptarlo como un lenguaje unitario de medida que es lo que sepretende con dicho SISTEMA, complicndose la existencia estpidamente por no hacerlo.

Resulta incluso incomprensible que algunos pases tan avanzados tcnica y econmicamente denuestro mundo, como Inglaterra y los EE.UU., no hayan conseguido integrarse en el SistemaInternacional de Medidas; y el nuestro (Espaa), todava le cuesta entrar en el mismo, tenindolo msfcil por haberlo usado parcialmente en los ltimos tiempos de su historia.

TABLA DE MLTIPLOS Y SUBMLTIPOS

SMBOLO PREFIJOFACTOR DE

MULTIPLICACIN

GMkhdadcm

n

gigamegakilo

hectodecadecicentimili

micronano

10910610310210110-110-210-310-610-9

Tabla 3.1

UNIDADES DE LONGITUDLa unidad bsica de longitud ms empleada es el metro (m) y con esta unidad suelen acotarse

los planos de construccin, seguida de por lo menos dos cifras decimales si tratamos de alcanzar laprecisin mnima del centmetro (cm); que es algo a lo que razonablemente deberamos aspirar dealcanzar como precisin en todo lo que construyamos.

No obstante, la precisin del centmetro en infinidad de detalles constructivos de ventanas,instalaciones, estructuras metlicas, etc, etc; se manifiesta absolutamente insuficiente y resultaobligado de manera imprescindible, por un mnimo de rigor constructivo, descender a la precisin delos milmetros.

Por lo anterior, el manejo de los metros como unidad de longitud en las estructuras, deberamoshacerlo siempre con tres decimales como mnimo, cubriendo as todo el espectro de precisin que por

regla general podra ser exigible a una construccin genrica cualquiera.


8/79

8

UNIDADES DE LONGITUD DEL

SISTEMA INTERNACIONAL

Km (Kilmetro)

Hm (Hectmetro)

Dm (Decmetro)

M (metro)

dm (decmetro)

cm (centmetro)

mm (milmetro)

1000 m

100 m

10 m

1 m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

Tabla 3.2

Los ingleses y americanos, por ms que en la literatura cientfica se estn incorporando alsistema internacional de unidades y medidas, a nivel popular siguen inmersos en el variopinto mundo

de sus unidades tradicionales, complicando con ello la convivencia tcnica y comercial a la mayoradel mundo que comercialmente est obligado a rendirles pleitesa por el podero que poseen.

Las unidades de longitud anglosajonas y sus equivalentes con las del Sistema Internacional, lasexponemos en la tabla adjunta.

Pie (ft)Pulgada (in)Milla terrestre (mi)Milla marina

0,305 m2,54 cm1609,34 m1852 m

1 yarda = 3 pies = 36 = 0,9144 m = 1 braza = 2 yardas

1 braza = 2 yardas

Tabla 3.3

As por ejemplo y sin conocer la razn de que se haga as, los dos cordones (los cables unitarios)ms empleados en el campo del pretensado, se siguen nominando: Torones de 0,5 y torones de 0,6pulgadas (0,5 0,6).

SUPERFICIE

Multiplicando por s mismas las unidades de longitud se obtiene las unidades de superficie.Sigue siendo la unidad bsica el metro cuadrado (m) en el Sistema Internacional. Movindonos en

el campo de las tensiones, el centmetro cuadrado de uso tradicional (cm), est dejando paso

paulatinamente al milmetro cuadrado (mm), a medida que va introducindose en Espaa el SistemaInternacional en detrimento del viejo y popular Sistema Tcnico, que usaba para valorar las tensioneslos kilopondios o kilogramos-fuerza dividindolos por los cm con los que se cuantificada la superficiesobre los que actuaban.


9/79

9

UNIDADES DE REAS DEL

SISTEMA INTERNACIONAL

Km2

Hm2= Ha (Hectrea)

Dm

2

= ream2

dm2

cm2

mm2

1.000.000 m2

10.000 m2

100 m

2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

Tabla 3.4

Las unidades anglosajonas de superficie ms manejadas en la construccin son:

Pie cuadrado: ft = 0,0929 mPulgada cuadrada: in = 645 mm = 6,45 cm

VOLUMEN

Elevando al cubo las unidades de longitud obtenemos directamente las unidades volumtricas delSistema Internacional. La principal unidad de referencia del Sistema Internacional es el metro cbico (m).

UNIDADES DE VOLUMENSISTEMA INTERNACIONAL

Hm3

Dm3

m3

dm3

cm3

1.000.000 m3

1000 m3

1 m3

0,001 m3

0,000001 m3

Tabla 3.5

En Espaa sigue usndose genricamente el litro como la unidad volumtrica ms extendida comonombre sustitutivo del decmetro cbico, equivalente tambin a 1000 cm.

1 l = 1 dm = 1000 cm = 0,001 mEn todo el mundo relacionado con la hidrologa a gran escala, la unidad bsica de referencia

empleada es el Hm = 1.000.000 m.

En la cultura anglosajona, como ya hemos escrito anteriormente, siguen aferrados a sus tradicionalesunidades de volumen, volviendo loco a medio mundo al encarecer innecesariamente los intercambiosculturales y comerciales con su actitud.

Un pie cbico (ft) = 0,0283168 m 0,0283m

Una pulgada cbica (in) = 16,3871 x 10-6m 1,64 x 10-6m


10/79

10

Una pulgada cbica (in) = 16,3871 cm 1,64 cm

1 galn (gal) = 231 in = 3,79 litros = 0,00379 m

MASA

En el SISTEMA INTERNACIONAL la unidad bsica de masa es el kilogramo-masa (Kg),emplendose tambin la tonelada-masa (1T = 1000 Kg) y el gramo-masa (1gr = 0,001 Kg).

En Espaa todava se sigue empleando el SISTEMA TCNICO, por lo que para evitar confusionismoscon el Kilogramo-fuerza o Kilopondio, y sus derivados la Tonelada-fuerza y el gramo-fuerza, no estdems aadir a las unidades de masa el sufijo adicional de una m, o emplear la abreviatura Kp para launidad de fuerza del Sistema Tcnico.

1 UTM (unidad tcnica de masa) = 9,80665 Kg 9,81 Kgm

La unidad de masa en el sistema ingls es el SLUG, que es la masa que ser acelerada un pie por

segundo cuadrado al actuar sobre ella la fuerza de una libra.

1 libra1 slug (g 9,81 m/ s 32,2 ft / s)

1 ft / s

1slug = 14,5939 Kgm 14,6 Kgm

FUERZA

La unidad de fuerza (el peso es una fuerza) del Sistema Internacional, aceptada en toda la literaturatcnica del mundo es el NEWTON.

1 Newton (N) = 1 Kgm x 1 m/s

La equivalencia con el Kg-fuerza (Kgf) o Kilopondio (Kp) del Sistema Tcnico, se obtiene a travs delvalor de la aceleracin de la gravedad (que a efecto de clculos rpidos de conversin se redondea alvalor diez).

1 Kp = 1 Kgf = 1 Kgm x 9,81 m/s = 9,81 N 10 N

Como mltiplos del Newton, se emplea el deca-Newton (daN) y el kilo-Newton (KN).

1 daN = 10 N = 1,02 Kp 1 Kp

1 KN = 1000 N = 102 Kp 100 Kp

Los anglosajones continan con sus libras y kilo-libras.

1 libra (lb) = 4,44822 N 4,45 N

1000 libras (Kip) = 4448,22 N 4,45 KN

1 ton = 2000 libras

TENSIN

La tensin es el efecto fsico o mecnico que se produce en la materia cuando se aplica una fuerza enuna determinada superficie de la misma; por tanto, su cuantificacin se mide dividiendo la fuerza por lasuperficie donde se aplica.

La unidad del Sistema Internacional es el PASCAL.

1 Pascal (Pa) = 1 Newton /1m


11/79

11

Dado que es una unidad de tensin muy pequea, suele emplearse un mltiplo elevado de lamisma: el mega-pascal (1MPa), equivalente a un Newton actuando sobre un milmetro cuadrado.

1 MPa = 106P = 1 N/mm

Todava debemos seguir referenciando el Pascal con las viejas unidades del Sistema Tcnico,

especialmente con el kilopondio actuando sobre un centmetro cuadrado, unidad de referencia nosustitua an en el mbito de la construccin espaola a nivel popular.

1 Kp/cm = 9,81 N/100 mm = 0,0981 MPa 0,1 Mpa

1 MPa = 0,102 Kp/0,01 cm = 10,2 Kp/cm

Las unidades anglosajonas todava en vigor son:

Una libra/pie cuadrado (psf) = 47,8803 Pa 47,9 Pa

Una libra/pulgada cuadrada (psi) = 6894,76 Pa 6890 Pa

Kip/pie cuadrado (Ksf) = 47,8803 KPa

Kip/pulgada cuadrada (Ksi) = 6,89476 MPa 6,89 MPa

PRESIN

Cuando la fuerza que acta sobre la superficie de los cuerpos tiene su origen en el peso de unamateria fluida (como el aire, el agua, etc) que se apoya sobre ellos, el nombre de tensin se cambiapor presin, aunque matemticamente sea similar al de tensin y las unidades empleadas paracuantificar las presiones tambin sean idnticas a las empleadas para las tensiones.

No obstante, tambin se emplean unidades especficas como las atmsferas.

1 atmsfera normal = 101,325 KPa

1 atmsfera normal = 101 KPa = 0,101 MPa 1 Kp/cmTEMPERATURA

La temperatura se mide en el Sistema Internacional con la unidad llamada grado Kelvin (k).La escala Kelvin es una escala absoluta, lo que significa que su origen (cero grados kelvin, o 0

K) est en el cero absoluto de temperatura, que es una temperatura terica caracterizada por laausencia completa de calor. Sobre la escala Kelvin, el agua se congela aproximadamente a 273 K yhierve aproximadamente a 373 K.

Para propsitos no cientficos, como pueden ser los ingenieriles, se usa normalmente la escalade temperaturas Celsius. La unidad correspondiente de temperatura es el grado Celsius (C), que esigual a un grado Kelvin. Sobre la escala Celsius, el agua se congela a 0 C e hierve a 100 C bajociertas condiciones estndar.

La escala Celsius se conoce tambin como la escala de temperatura centgrada y se relaciona conla Kelvin mediante la expresin:

t C = K 273,15

La unidad inglesa para la temperatura es el grado Fahrenheit (F). En la escala Fahrenheit elagua se congela aproximadamente a 32 F e hierve aproximadamente a 212 F.

Cada grado Fahrenheit es exactamente igual a 5/9 de un grado Kelvin o Celsius.Las frmulas de conversin entre las escalas Fahrenheit y Celsius son las siguientes.

5tC F 32

9

9F tC 325


12/79

12

TRABAJO, ENERGA

El trabajo o la energa es un fenmeno fsico que se produce cuando una fuerza hace recorrerel punto donde se aplica una distancia desplazndose con l.

La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es el JOULE (el Julio).

1 JOULE = 1 NEWTON 1 Metro

POTENCIA

La potencia de un hecho fsico se evala por el trabajo o energa que se desarrolla en el mismodurante un tiempo determinado.

La unidad que mide la potencia es el watio.

1 joule1 watio ( j / s)

1 segundo

Con mucha frecuencia suele emplearse un mltiplo de la misma: El Kilowatio (1000 watios).

Y tambin en el lenguaje de los motores suele emplearse los caballos de vapor (CV).

1 CV = 745,7 w

746 w

VIBRACIONES

En el campo de las vibraciones u oscilaciones los trminos de FRECUENCIA y PERIODOexpresan conceptos fsicos fundamentales para la comprensin y anlisis de las mismas.

Se denomina PERIODO ( ) el tiempo que tarda un movimiento oscilatorio peridico enrepetirse, y lgicamente se expresa en segundos.

La FRECUENCIA es la inversa del periodo; representa el nmero de oscilaciones o vibraciones

que un movimiento peridico es capaz de desarrollar en la unidad de tiempo de un segundo.La frecuencia se mide en unidades de HERTZ (Hz). El hertz se define como la frecuencia de un

fenmeno peridico para el cual el periodo es de un segundo; es equivalente entonces a un ciclo porsegundo (cps) o una revolucin por segundo (rev/s).

Los hertzios tambin se usan ocasionalmente para medir las frecuencias rotatorias de los motoresen vez de las tradicionales rotaciones por minuto (rpm).

4. Teora bsica vectorial (Operaciones con las fuerzas).

4.1. VECTOR FUERZA (CONCEPTO)

El campo de las fuerzas estructurales se analiza y se opera dentro del mismo, de idnticaforma a como se hara en un campo vectorial: Las fuerzas son vectores.

Al ser las fuerzas vectores, estas tienen una lnea de accin, que son las rectas sobre las queestn situadas. Las lneas de accin de las fuerzas se encuentran definidas a travs de sus cosenosdirectores o dos puntos cualesquiera que se encuentren sobre las mismas.

Tambin el vector fuerza tiene un origen que es su punto de aplicacin y un extremo,separados entre s una longitud que adecuadamente escalada representa la magnitud del vector: elvalor que posea la fuerza que representa.


13/79

13

Z

Y

O

X

A

B

kj

i

Direccin: La rectaMagnitud: ABPunto de aplicacin: ASentido:Fuerza (Vector)

Sistema de referencia

Vectores unitariosde referencia bsicos(Base del sistema)

OXYZ :

(i, j, k) :

Fig. 4.1. Sistema bsico de referencia para definir espacialmente las fuerzas.

Dentro del campo de los vectores estos se clasifican en tres categoras:

- Vectores libres: Son aquellos que conservando su mdulo, direccin y sentido, pueden estaraplicados en cualquier punto del espacio.

- Vectores deslizantes: Son aquellos que conservando su mdulo, direccin, sentido y rectabase, pueden tener su origen en cualquier punto de dicha recta.

- Vectores fijos: Son aquellos que tienen determinados su mdulo, direccin, sentido y punto deaplicacin.

En el campo de las estructuras, si bien podemos manejar operativa y matemticamente lasfuerzas, nunca debemos perder de vista que poseen una realidad fsica incuestionable y actandonde realmente se encuentran; es decir, que tienen su punto de aplicacin, su direccin y su sentidoclaramente definidos sobre las obras y por tanto, sus efectos, se encuentran perfectamentelocalizados dentro de las mismas, pudiendo originar patologas diversas si no se encuentranplenamente controladas.

4.2. ADICIN DE FUERZAS (SUMA VECTORIAL)

Las fuerzas no pueden adicionarse libremente como elementos numricos, dado que sonvectores y, por tanto, se rigen por los criterios vectoriales que controlan su campo operacional.

Solamente si las fuerzas se encuentran actuando sobre el mismo punto y con idntica direccin,puede obtenerse la resultante de las mismas sumando algebraicamente las magnitudes que posean lasmismas con su signo en funcin del sentido que tenga y ver cual sera la fuerza final resultante.

O F1 F2 F3 RF4

R = F + F + F - F1

R = OR

2 3 4

(Resultante)

Fig. 4.2. nica posibilidad de sumar algebraicamente vectores fuerzas y obtener fcilmente la resultante.

Si no tuvieran la misma direccin, pero s el mismo punto de aplicacin, la suma vectorial de

fuerzas tambin resulta posible hacerse fcilmente aplicando la regla del paralelogramo tantas vecescomo sea necesario, o el lgebra vectorial si las fuerzas estn referenciadas sobre una base de fciluso, como puede ser la cartesianas espacial.


14/79

14

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

i i i i

F x i y j z k

F x i y j z k

F x i y j z k

R F x i y j z k

Al estar los vectores fuerzas referidos a una base cartesiana, sus componentes parcialespueden sumarse algebraicamente con su signo al encontrarse cada grupo de ellas sobre la mismalnea, definida por los vectores unitarios i , j y k .

En los casos reales, veremos que la resultante de adicionar fuerzas casi siempre vieneacompaada de los momentos que producen las mismas cuando se trasladan al punto donde sedesea conocer los efectos que producen las mismas (ese punto suele ser el considerado como dereferencia para analizar el equilibrio de fuerzas de una hipottica estructura o una parte de la misma).

O

F1

F2

F3

R = F + F1 2

R = R + F3

fR = F + F + F1 2 3

12

12

Fig. 4.3. Suma vectorial de fuerzas con idntico punto de aplicacin, a travs de la regla del paralelogramo

aplicada reiteradamente.

4.3. DESCOMPOSICIN DE UN VECTOR FUERZA EN VARIAS COMPONENTESEQUIVALENTES.

Despus de ver en el punto anterior como se adicionan las fuerzas, suele ser frecuente operar deforma inversa con las mismas; es decir, descomponiendo las fuerzas originales en otras equivalentessegn dos o tres direcciones dadas, segn el anlisis sea plano o espacial. Una vez que disponemosde las componentes de las fuerzas sobre unas direcciones dadas (normalmente sern los ejescartesianos), resulta mucho ms fcil obtener la resultante equivalente de las mismas, sumandoalgebraicamente las componentes que se encuentran sobre las direcciones empleadas en ladescomposicin, en vez de tener que operar vectorialmente aplicando reglas geomtricas como lasdel paralelogramo, mucho ms complejas y sobre todo mucho ms imprecisas.

O

V

A

B

Direccin: B

Direccin: A

V = OA + OB

Fig. 4.4. Descomposicin de un vector en dos direcciones arbitrarias.


15/79

15

Y

XO

j

i

( i , j ) Base unitaria de referencia

F = ( Mdulo del vector F )= F + F2 2x y

F = F i + F jx y. .

F = F + Fx y

F = F cos = (Producto escalar).xF = F cos(90- ) = (Producto escalar).y

F ixF jx

Fig. 4.5. Descomposicin analtica de una fuerza en dos direcciones ortogonales.

Cuando se desea obtener el valor de las componentes de un vector sobre unas direccionescartesianas dadas, lo que se conoce como proyecciones ortogonales del mismo, ampliamenteempleadas en los clculos estructurales, se opera consciente o inconscientemente haciendo uso delproducto escalar de vectores, cuya formulacin recordamos:

(Pr oducto escalar de vectores) a b a b cos

Aprovechndonos del concepto de producto escalar de vectores, si deseamos calcular los mdulosde los vectores componentes ortogonales del vector F

sobre los ejes cartesianos, bastaramultiplicarlo escalarmente por los vectores unitarios de dichos ejes y obtener as sus proyecciones.

Fx F i F i cos F 1 cos F cos

Fy F j F j cos 90 F 1 sen F sen

Si deseamos descomponer grficamente un vector fuerza en tres direcciones dadas en unplano, deberemos seguir el protocolo adjunto considerando la Fig. 4.6.

- Se busca el punto donde la recta que contiene el vector V corta a una de las direcciones dadas(En nuestro caso el vector V corta directamente a la direccin (2) en el punto B.

- Se une el punto B con el punto de interseccin de las dos restantes direcciones (En nuestro

caso el punto A interseccin de (1) y (3)) obtenindose una direccin auxiliar dada por AB.

- Ya podemos descomponer el vector V dado en la direccin (2) y en la direccin auxiliar AB,obteniendo una primera componente de la descomposicin que llamamos 2v

y el vector detrnsito av .

- El vector de trnsito av

ya puede descomponerse en las dos restantes direccionesoriginndose 1v

y 3v .


16/79

16

B

(2)

(3)

(1)

(3)A

V1 Va

(2) (1)

V3

V

Va

V2

Fig. 4.6. Descomposicin grfico de un vector V en tres direcciones 1-1, 2-2 y 3-3.

Si ya supone una cierta complejidad operar grficamente en el plano con los vectores, operargrficamente en el espacio con los mismos resulta una tarea ardua y pesada, y no tenemos suficientecapacidad espacial para movernos con soltura en dicho campo y es sta la razn, de porqu la vaanaltica es la que habitualmente empleamos los ingenieros para resolver los problemas de fuerzasespaciales, incluso teniendo que renunciar a la satisfaccin que podra causarnos el seguir la pista delas fuerzas fsicamente desde donde nacen hasta donde mueren, y verlas despus enterrarse en loscimientos de las estructuras construidas.

Z

YO

X

k

j

i

F

Fy

Fx

Fz

Fig. 4.7. Descomposicin espacial de un vector F

en los ejes cartesianos.

Anlogamente a como hemos visto en el plano, podemos hacer lo mismo en el espacio cartesiano(vase la fig. 4.7).


17/79

17

x y z

x y z

x

y

z

F F F F

F F i F j F k

F F i F cos

F F j F cos

F F k F cos

cos , cos y cos son los cosenos directores de la recta base del vector F

cuyo mdulo vendradado por: 2 2 2

x y zF F F F

.

Z

Y

X

L

O

B ( x , y , z )2 2 2

1 1 1A ( x , y , z )

Fig. 4.8. Definicin de la recta (lnea de accin) a travs de dos puntos de la misma.

Los cosenos directores de la recta donde acta la fuerza o el vector, si disponemos de dos puntosde la misma, pueden calcularse fcilmente:

2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

L AB x x y y z z (Pitagoras)

x x y y z zcos cos cos

L L L

Un vector unitario que nos permitira expresar el vector F de otra forma sera pues:

u cos i cos j cos kF F u

Puesto que:

2 2 2cos cos cos 1

Una vez descompuestos todos los vectores-fuerzas con los que estamos trabajando en unsistema de referencia bsico (como puede ser el cartesiano por su facilidad operativa), lamanipulacin de los mismo en los esquemas estructurales especiales siempre podr realizarsemucho ms fcilmente por la va analtica, que por un tratamiento grfico espacial, mucho mscomplejo, aunque mucho ms atractivo y pedaggico y que desgraciadamente los ordenadores han

acabado de arrumbar al bal de los recuerdos.


18/79

18

4.4. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN PUNTO

La expresin matemtica que define y refleja el concepto de momento de un vector fuerza (Fx,Fy, Fz) respecto de un punto P definido por las coordenadas (x 0, y0, z0) en un sistema cartesiano dereferencia, viene dada por el producto vectorial del vector PA

por F ,

siendo A un punto cualquierade la recta que sostiene al vector-fuerza.

0 0 0

x y z

z 0 y 0 x 0 z 0 y 0 x 0

i j k

Mp PA F x x y y z z

F F F

F (y y ) F (z z ) i F (z z ) F (x x ) j F (x x ) F (y y ) k

Fig. 4.9. Momento del vector F

respecto de un punto P (x0, y0, z0).

El vector momento Mp es un vector perpendicular al plano formado por la recta de unin delpunto P con un punto cualquiera de la recta que contiene al vector fuerza F

y esta ltima recta. Elsentido del vector Mp viene definido por la regla del sacacorchos considerando el sentido de girocomo se indica en la Fig. 4.9.

Fsicamente, el momento de una fuerza respecto de un determinado punto, viene a representarlos efectos mecnicos suplementarios que genera la fuerza en dicho punto, cuando su punto deaplicacin no es coincidente con el mismo.

Una aproximacin simplista al concepto de momento, podemos visualizarlo a travs del

mecanismo de las viejas norias extrayendo agua de los pozos con un poquito de imaginacin: Unbrazo girando merced al empuje de una fuerza tangencial a la circunferencia de giro, situado todo elloen un plano paralelo a la tierra, produce la elevacin perpendicular a dicho plano de los cangilonesllenos de agua del pozo que podramos considerar que materializan el vector momento producido porla fuerza que opera la noria.

El mdulo (el valor absoluto) del vector momento resultante, viene dado por la frmulasiguiente:

Mp PA F sen

De lo cual se deduce, que la forma ms cmoda para averiguar el mdulo de dicho momento es a

travs de la perpendicular trazada desde el punto P a la recta que contiene la fuerza, dado que as elngulo

pasa a valer 90 y su seno la unidad simplificndose los clculos.


19/79

19

Mp PB F sen 90 PB F

Los momentos son los duendes protagonistas de las estructuras y, difcilmente podremosmantener un dilogo digno de consideracin sobre cualquier comportamiento que tengan las mismas,sin que aparezcan los mismos sobre ellas vestidos con el ropaje de: Momentos Flectores yMomentos Torsores, de los que tendremos ocasin de hablar largo y tendido.

Y como resumen final, traemos a colacin la Ley de la Palanca como mecanismo emblemticoque pone en juego el equilibrio de los momentos que se produce a izquierda y derecha de su puntode apoyo.

a b

F

M.actuante (F b) = M.resistente (F a). .

MR MA

R F b = R a. .

Fig. 4.10. Ley de la Palanca: Fuerza por su brazo = Resistencia por el suyo.

En el mundo de las estructuras, el mecanismo que representa la Ley de la Palanca se aplica hastala saciedad de mil formas distintas buscando contrarrestar pesos y cargas: Los voladizos de las

cubiertas de los estadios, compensados con tirantes traseros, representan un claro ejemplo de loexpuesto.

P a = F b. .

a b

PF

Fig. 4.11. Aplicacin emblemtica de la ley de la palanca buscando la estabilidad de la cubierta equilibrandolos diferentes momentos que puedan generarse sobre la misma en las distintas hiptesis de carga.


20/79

20

4.5. RESULTANTES DE UN SISTEMA DE VECTORES O DE FUERZAS (una introduccinprevia a los esfuerzos y tensiones en las piezas estructurales)

En cientos de ocasiones nos veremos obligados a tener que analizar los efectos tensionalesque producen las mltiples fueras distribuidas que actan en las construcciones, sobre las seccionesresistentes que poseen las piezas que conforman las estructuras que las sostienen. Hacerlo de

manera individualizada para cada una de las fuerzas dispersas que existan, en general, puede estarjustificado en muy contadas ocasiones; la mayora de las veces, por no decir en casi todas, el caminoa seguir consiste en buscar en el punto deseado de la estructura, que por supuesto siempre tendrque estar en equilibrio, la resultante de los sistemas de fuerzas que puedan existir a su derecha y asu izquierda, que ya adelantamos que se reduce a una nica fuerza y un nico momento a laizquierda de dicho punto, y a una nica fuerza y un nico momento a su derecha, ambas fuerzas ymomentos, si el sistema no es un mecanismo inestable, deben anularse al equilibrarse entre s.

Buscar la fuerza y el momento resultante de un sistema de fuerzas, en definitiva, la sustitucindel conjunto de vectores-fuerzas disperso por otro mucho ms sencillo y simplificando, concentradoen un punto concreto y cuyos efectos sean equivalentes e idnticos a los que producira dichosistema de fuerzas dispersas en el punto deseado, se conoce con el nombre de REDUCCIN DEL

SISTEMA.Los programas informticos de clculo estructural, realizan esta operacin de forma automtica,proporcionndonos en cada punto de la estructura la resultante de las fuerzas y momentos queactan sobre la estructura que se est analizando.

La forma analtica y matemtica de realizar la REDUCCIN de un sistema de fuerzas a unpunto determinado, podr resultar tediosa y cansina, pero conceptualmente es muy simple y sencilla,y tan slo requiere unas pequeas dosis de orden y meticulosidad operativa.

Z

Y

X

O

a)

b)

c)

RF2

F1

F3

FiF4

Z

Y

X

O

M2M1

M3

Mi

M4

FUERZA RESULTANTE MOMENTO RESULTANTE

Z

Y

X

O

R

MRF2

F1

F3

Fi

F4

O1

O

2

O3

Oi

O4 MR

Fig. 4.12. Reduccin de un sistema de vectores o fuerzas a un punto dado.

Sea el sistema de fuerzas distribuidas (Fi) del que se pretende obtener sus efectosequivalentes en un punto del espacio (por ejemplo en el punto 0), tal y como aparece en la Fig.4.12.a; y donde ya se observa que la reduccin del sistema conduce a una resultante R

y a unmomento resultante RM .

Su determinacin se consigue trasladando en primer lugar las fuerzas al punto considerado,paralelamente a s mismas, respetando sus direcciones y sentidos. Una vez las fuerzas en dicho


21/79

21

punto, estamos en condiciones de poderlas sumar grfica o analticamente obteniendo el vectorresultanteR .

El traslado de las fuerzas a un determinado punto lleva incorporado tambin los efectos mecnicosque se derivan de no estar ubicadas fsicamente en l, sino en otros alejados del mismo; y estosefectos se evalan a travs de los momentos que se inducen en dicho punto.

Por tanto, se calcularan los momentos de las fuerzas iF

respecto del punto 0, colocndose endicho punto los vectores momentos resultante iM .Una vez obtenidos todos los vectores momentos ubicados en el punto de reduccin elegido 0, se

procede a la suma analtica o grfica de los mismos obtenindose finalmente el momento resultante

RM .Una vez que se tiene la resultante R

y el momento resultante RM ,

es muy posible que parapoder analizar y estudiar con mayor precisin las tensiones que se producen en las secciones de laspiezas, cuyo centro de gravedad podra representar el punto 0, sea conveniente obtener segn losejes cartesianos de referencia sus componentes vectoriales en dichos ejes.

Z

YO y

RZ

R

X

Rx

RPIEZA

Z

YO

MZ

X

PIEZAMY

MX

MR

SECCIN SECCIN DE ESTUDIO

Fig. 4.13. Descomposicin de la R y M obtenidos de la reduccin de un sistema de fuerzas dado en unpunto de la estructura, segn los ejes de referencia cartesianos elegidos para estudiar la seccin tensionalmente.

Las componentes del vector momento M

segn los ejes cartesianos, representan a su vez losmomentos xicos resultantes de las fuerzas dadas con relacin a dichos ejes.

El momento axial de una fuerza respecto de un eje dado, no es ms que la proyeccin sobre elmismo del momento que se obtendra de dicha fuerza respecto de un punto arbitrario de dicho eje.Huelga decir que el momento xico resultante es siempre el mismo se tome el punto que se tome dedicho eje.

La trascendencia de los momentos xicos XM , YM y ZM obtenidos en los clculos resistentede las piezas es fundamental, puesto que como veremos posteriormente, XM y ZM engendran

flexiones en las piezas y por tanto reciben el nombre de momentos flectores, y el YM engendratorsiones y recibe el nombre de momento torsor. Los primeros producen tensiones normales en lassecciones y los momentos torsores tensiones tangenciales contenidas en los planos de dichassecciones.

Por otra parte, tambin es vital en el anlisis tensional de las estructuras las componentescartesianas de R ,

puesto que como tambin veremos la YR genera esfuerzos de traccin ycompresin en las piezas y por tanto tensiones normales en las secciones que se superpondrn conlas tensiones, tambin normales, que generan los momentos flectores, y la Rx y Rz esfuerzoscortantes, dando pie a tensiones tangenciales que se superpondrn ordenadamente a las generadaspor los momentos torsores.

Si retomamos de nuevo lo expuesto en el apartado dos sobre el equilibrio esttico de loscuerpos, podemos comprender claramente el porqu tambin necesitamos saber reducir el sistemade fuerzas que actan sobre ellos a una nica fuerza y a un nico momento resultante, para poderdiscernir simplificando el problema si el cuerpo se encuentra plenamente en equilibrio, o si por el


22/79

22

contrario, dicho equilibrio no existe cuando alguno de los vectores resultantes de las fuerzasactuantes no sea nulo.

5. Centros de Gravedad

Conocer con precisin dnde se encuentra ubicado el centro de gravedad de los cuerpos quese manejan en construccin, por mil razones diferentes resulta imprescindible, dado que es el puntodonde se sita la resultante de los pesos que posean los mismos y, por tanto, el punto ptimo dondemejor podemos apoyarlos para buscar su equilibrio de la forma ms econmica y simple posible.

El centro de gravedad de un cuerpo es pues el punto de aplicacin de su peso, sea cual sea laorientacin que pueda drsele al mismo.

Calcular con precisin la posicin del C.G. de un cuerpo complejo, obliga al empleo del clculointegral, aunque en la mayora de los casos, dado que se manejan cuerpos que puedendescomponerse a su vez en otros de geometra sencilla cuyos centros de gravedad conocemos alposeer planos y ejes de simetra cuya interseccin nos lo fija y posiciona, resulta sumamente simplesin ms que equilibrar momentos parciales respecto a los ejes cartesianos que se tomen como

referencia.

Pii

i

i

i

i

Z

Y

X

x i

y i

z i

C.G.

R- Resultante = Pi

i - densidad de un elemento diferencial de volumen

P = R (Resultante)i

x = = =gP xi .

Pim xi .

m ii x dv.

i .

dv.

y = = =gP yi .

Pim yi .

m ii y dv. .

dv.

i

i

v

v

v

v

z = = =gP zi .

Pim zi .

m ii z dv. .

dv.i v

v

Fig. 5.1. Frmulas que permiten determinar el centro de gravedad de un cuerpo.

La determinacin del centro de gravedad de un cuerpo plano, evidentemente se simplifica alpoder prescindir de la coordenada espacial-z y el diferencial del volumen pasa a ser un diferencial derea.

i i i i

g gi i

A x A y

x y [1]A A

Tal y como ya hemos anunciado genricamente, si un cuerpo tiene un centro de simetra, sucentro de gravedad se encuentra situado en dicho punto; al igual que si dicho cuerpo tiene un eje oun plano de simetra, su centro de gravedad se encontrar ubicado en dicho eje o en dicho plano.

Por otra parte, si un cuerpo resulta absolutamente homogneo, el centro de gravedad delmismo coincidir totalmente con el centro de gravedad del volumen que lo encierra, o del centro degravedad de su rea si es plano. No suceder as si el cuerpo es heterogneo, tal y como sucede enlas secciones mixtas de hormign y acero.

La determinacin del centro de gravedad de superficies planas, como pueden ser las seccionesde las vigas y pilares que conforman los esqueletos resistentes de las estructuras, ser uno de lospasos previos inevitables para poder calcular en dichas piezas las tensiones que generan las cargas

que graviten sobre las mismas.


23/79

23

Como en la mayora de los casos las secciones se encuentran construidas con un nico material,la determinacin de su centro de gravedad se obtiene aplicando el equilibrio de los momentosestticos de la seccin con relacin a los ejes de referencia elegidos.

y

x

Y

XO

(x , y )g g

Ad

A= dAA

x =gx dA

dA

.y =g

y dA

dA

.

Fig. 5.2. Determinacin del centro de gravedad de una seccin homognea a travs del empleo de los

momentos estticos.

En la mayora de los casos que se presentan en la prctica estructural, las secciones de las piezasse pueden dividir a su vez en subsecciones geomtricas con formas sumamente conocidas, en lascuales la ubicacin de sus centros de gravedad no plantea problema alguno debido a los ejes desimetra que poseen.

En estos casos, la determinacin del centro de gravedad de la seccin completa puede obtenersesin necesidad alguna de acudir al clculo integral (Vase la figura 5.2).

Y

XO

xg

yg

(X ,Y )G G

A

(x ,y )1 1

A1

A2

A3

x =gA X + A X + A X.

Ai = A

1 1 2 2 3 3. .

A + A + A1 2 3

y =gA Y + A Y + A Y.1 1 2 2 3 3. .

A + A + A1 2 3

(x ,y )2 2

(x ,y )3 3

Fig. 5.3. Centro de gravedad de reas compuestas.

NOTA: El problema se complica en los clculos estructurales cuando se manejan secciones mixtas

compuestas de varios materiales, tal y como sucede cuando se construyen de hormign y acero.

Dependiendo de qu tipo de problema estemos analizando en dichas secciones, tendremos quedeterminar su centro de gravedad a travs de sus distintos pesos especficos o bien un centrogeomtrico operativo, homogeneizando las secciones a travs de los diferentes mdulos de

elasticidad que posean sus materiales, para obtener las mismas deformaciones y curvaturas quetendran las secciones reales, pero operando con un material virtual equivalente.


24/79

24

En las secciones homogneas aplicaramos las frmulas genricas expuestas en la Fig. 5.1 y deforma simplificada en [1] y, en el segundo caso, tendremos que acudir a expresiones como las que seexponen en la Fig. 5.4 que desarrollaremos con mayor amplitud cuando hablemos del clculo detensiones en las secciones de las estructuras.

y

xO

xc

Hormign (E )

x =cA x E + (A x + A x ) E.

A E + (A + A ) E

.c c c

S1 S2c S

S1 S1 S2 S2 S. .

.c

y =cA y E + (A y + A y ) E.

A E + (A + A ) E

.c c c

S1 S2c S

S1 S1 S2 S2 S. .

.c

Ac

S1

S2

CoA

AAcero (A )

y

c

S

o

co

o

o

Fig. 5.4. Centro operativo virtual (Co) para calcular deformaciones y tensiones de una seccin mixta de acero y

hormign, y que nada tiene que ver con el centro de gravedad real de la seccin, que se obtendra con una

frmula semejante, pero empleando su peso especfico en vez de los mdulos de deformacin E.

6. Momento de inercia y radio de giro de las secciones. El teorema de losejes paralelos para momentos de inercia (Teorema de Steiner).

Los momentos de inercia de un rea plana con respecto a unos ejes X e Y, respectivamente,vienen definidos genricamente mediante la formulacin integral que se contempla en la Fig. 6.1.

Y

X

x

y

y dA

I =y

I =x 2 .

x dA2 .dA

O

Fig. 6.1. Momentos de inercia e las secciones planas.

Los momentos de inercia, las inercias de las secciones en el lenguaje cotidiano de laresistencia de materiales, nos definen la calidad resistente de las formas geomtricas transversalescon las que construimos las piezas que conforman nuestras estructuras.


25/79

25

A igualdad de rea, una seccin que posea una inercia mayor que otra, siempre poseer unamayor resistencia cuando se encuentre sometida a momentos flectores; se opondr mejor al pandeocuando se vea comprimida y costar curvarla mucho ms.

RADIO DE GIRO

En la resistencia de materiales, suele usarse un parmetro que de algn modo caracteriza lacalidad inercial de las secciones que diseamos para las vigas y pilares de las estructuras, y esteparmetro se conoce con el nombre de Radio de Giro.

El radio de giro de una seccin respecto de un determinado eje viene definido por la raz cuadradadel momento de inercia que posea la misma respecto al eje considerado dividido por el rea de laseccin.

yxx y

IIr r

A A

Y a mayor radio de giro, mayor calidad inercial poseer la seccin diseada.Dado que la inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia y el rea a la segunda potencia,

los radios de giro tienen unidades de longitud. Podemos considerar al radio de giro de una seccin

como la distancia desde el eje para la cual todo el rea podra concentrarse en un punto a dichadistancia y tener el mismo momento de inercia que el rea original tal y como formulamos acontinuacin.

2x x

2y y

I A r

I A r

TEOREMA DE STEINER

Si se conoce el momento de inercia de una seccin respecto de un eje que pase por su centro degravedad, el momento de inercia de la misma seccin con relacin a cualquier otro eje que seaparalelo al anterior viene dado por la expresin:

2GI I A d

Este teorema es de una valiosa ayuda a la hora de calcular manualmente las inercias de seccionesque pueden descomponerse en suma de otras mucho ms sencillas, cuyas inercias con relacin aejes que pasan por sus centros de gravedad son conocidas o fcilmente deducibles.

I

I = I + A dG2.

dE y E son ejes paralelosG

EG

E

C.GIG

A

Fig. 6.2. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos para momentos de inercia.


26/79

26

7. Momentos polares de inercia

Cuando las piezas se encuentran sometidas a momentos torsores sufren deformacionesrotacionales respecto de ejes perpendiculares a sus secciones transversales; experimentan unaespecie de retorcimiento axial y la determinacin de las tensiones tangenciales y giros que provocanlos mismos, dependen en gran manera de la inercia polar que posean las secciones con respecto aleje de giro que en cada situacin presenten las mismas.

El momento de inercia con respecto a este eje se denomina Momento Polar de Inercia y vienedado por una expresin integral del tipo:

2PI r dA

Si conocemos los momentos de inercia con relacin a dos ejes cartesianos que se corten en eleje polar perpendicular a la seccin respecto del cual pretendemos calcular el momento de inerciapolar se verifica:

2 2 2 2 2P

P y x

I r dA (x y ) dA x dA y dA

I I I

Y

X

x

y =

I =P2 .

x + y2

dA

I P

22

(x + y )dA = x dA + y dAI =P2

I = I + IP yx

2 2 2..

dA

Fig. 7.1. Inercia polar de las secciones.

Tambin cumple el Teorema Steiner con relacin a las inercias polares:Cuando se conoce el momento de inercia polar de una seccin con relacin a un eje que pase por

su centro de gravedad, el momento polar de inercia con relacin a cualquier otro eje paralelo alanterior separado del mismo una distancia d, viene dado por la expresin.

2P PGI I A d

8. Productos de inercia

Se define el producto de inercia de una seccin con relacin a dos ejes ortogonales, como unrea plana que es, a la expresin dada por:

xyI

x y dA


27/79

27

Al encontrarse posicionada el rea elemental dA por las distancias x e y con su signocorrespondiente en los ejes de referencia, los productos de inercia nos permiten buscar lo que sedenominan ejes principales de inercia de las secciones, los cuales tienen una cierta trascendenciabajo el punto de vista estructural, puesto que bien posicionada la seccin respecto de los mismos sucomportamiento resistente mejora notablemente.

Ejes principales de inercia de una seccin son aquellos respecto de los cuales el producto deinercia de la misma sea nulo. Se comprende fcilmente que ejes principales de inercia de una seccinsern los ejes de simetra que posea junto con sus correspondientes ejes ortogonales a los mismos.Los momentos de inercia mximos y mnimos de una seccin siempre se producen con relacin a susejes principales de inercia.

Disear secciones estructurales en las cuales los planos de carga coincidan con planos quecontengan a sus ejes principales, supone generar momentos de flexin recta en dichos planos sinque sea necesario tener que analizar momentos de flexin esviados dado que estos siempre resultanser ms problemticos a la hora de calcular las tensiones que se producen por su causa.

Por otra parte, dado que las inercias mayores de las secciones se producen con relacin a uno desus ejes principales de inercia, su conocimiento siempre nos permitir orientar las secciones de laspiezas de tal forma que podamos extraer de las mismas su mayor rendimiento mecnico, generando

las flexiones en planos perpendiculares a dichos ejes principales.

FLEXIN

PLANA-R

ECTA

Y

XC.G.

Ejes principales de inercia

Ixy = 0

Fig. 8.1. Ejes principales de inercia: Su conocimiento permite orientar las piezas para obtener de ellas sus

mejores rendimientos mecnicos y resistentes.

En los clculos de los Productos de Inercia tambin resulta vlido la aplicacin del Teorema deSteiner, es decir:

g gxy x y 1 2I I A d d

9. Momento de Inercia con relacin a ejes girados

Las frmulas que se adjuntan a continuacin, sin demostracin alguna, dado que no es nuestraintencin escribir un texto de mecnica, sino simplemente el facilitar un contexto operativo que nosayude a comprender mejor la estructura y sus mecanismos resistentes, nos permitirn calcularmanualmente las inercias de las secciones con relacin a unos ejes de referencia cartesianoarbitrarios, si conocemos las inercias con relacin a unos ejes ms sencillos que se encuentren

girados respecto a los anteriores.


28/79

28

Y

X

xy

dA

O

Y

X 1

1

y1x1

Fig. 9.1. Inercias respecto de ejes rotados.

x y x yx1 xy

x y x yy1 xy

x yx1y1 xy

x1 y1 x y

I I I II cos 2 I sen 22 2

I I I II cos 2 I sen 2

2 2I I

I sen 2 I cos 22

I I I I

Para calcular el ngulo que nos proporciona los ejes principales de inercia de la seccin,bastara hacer cero 1 1Ix y 0

y resolver la ecuacin correspondiente.

x yx1y1 xy

xyp

x y

I II sen 2 I cos 2 02

2Itang 2

I I

p= sera el ngulo que nos proporciona los ejes principales de inercia.

NOTA: En el presente, merced a los magnficos programas de diseo que existen en el mercado, como puede ser el

programa AUTOCAD, la penosa labor de calcular centros de gravedad, inercias, etc, etc, ha pasado a mejor historia. Si no

fuese por la necesaria e imprescindible componente formativa que supone el conocer el trasfondo fsico y matemtico que

subyace tras las formulaciones que se utilizan en los clculos estructurales, una gran parte de los tiempos y esfuerzos

dedicados a la exposicin de conceptos y frmulas que requieren los clculos estructurales podran suprimirse sin ms, dado

que todos ellos y ellas se encuentran recogidos de una forma u otra en los programas de ordenador disponibles en el mercado.

As, con el programa Autocad, basta definir una seccin al mismo para que nos proporcione todos los parmetros

geomtricos y mecnicos necesarios, anteriormente expuestos, absolutamente necesarios para su anlisis resistente, que a su

vez, tambin podran hacerse mediante programas de ordenador especficos.

Por otra parte, las casas comerciales suelen proporcionar Prontuarios donde figuran para las secciones que fabrican toda la

informacin necesaria: Centros de gravedad, inercias, pesos, radios de giro, etc.


29/79

29

Y

XG

h

b

y

xg

g

CENTROS DE GRAVEDAD E INERCIAS DE SECCIONES RELEVANTES

Notacin:

A = rea

g gx ,y = posicionamiento del centro de gravedad (G) de la seccin

Ix, Iy= momentos de inercia con respecto a los ejes x e y, respectivamenteIxy= producto de inercia con respecto a los ejes x e yIp= Ix+ Iy= momento polar de inercia respecto de un eje que pasa por GIBB= momento de inercia con respecto al eje B-B

Rectngulo(Origen de los ejes en el C de G)

Fig. 9.2

g g

3 3

x y

2 2xy P

b hA bh x y

2 2

bh hbI I

12 12

bhI 0 I (h b )12

Rectngulo(Origen de los ejes en una esquina)

Y

XO

B

B

h

b

Fig. 9.3.

3 3

x y

2 2 3 32 2xy P BB 2 2

bh hbI I

3 3

b h bh b hI I (h b ) I4 3 6(b h )

Tringulo(Origen de los ejes en el C de G)

Y

X

yg

xg

G

h

c

b

g g

3 32 2

x y

22 2 2

xy P

bh b c hA x y

2 3 3

bh hbI I (b bc c )

36 36

hb bhI (b 2c) I (h b bc c )

72 36

Fig. 9.4.


30/79

30

Tringulo(Origen de los ejes en un vrtice)

Y

X

y

c

b

B B

O

Fig. 9.5.

32 2

x y

2 3

xy BB

bh bhI I (3b 3bc c )

12 12

bh bhI (3b 2c) I

24 4

Tringuloissceles(Origen de los ejes en el C de G)

Y

X

G

b

h

yg

xg

BB

Fig. 9.6.

g g

3 3

x y xy

32 2

p BB

bh b hA x y

2 2 3

bh hbI I I 036 48

bh bhI (4h 3b ) I

144 12

NOTA:PARA UN TRINGULO EQUILATERO h= 3b/2)

Tringulorectngulo(Origen de los ejes en el C de G)

Y

X

G

b

h

yg

xg

BB

Fig. 9.7.

g g

3 3 2 2

x y xy

32 2

P BB

bh b hA x y

2 3 3

bh hb b hI I I

36 36 72

bh bhI (h b ) I

36 12

Tringulo rectngulo(Origen de los ejes en el vrtice)

Y

X

O b

h

BB

Fig. 9.8.

3 3 2 2

x y xy

32 2

p BB

bh hb b hI I I

12 12 24

bh bhI (h b ) I

12 4


31/79

31

Trapezoide(Origen de los ejes en el C de G)

Y

XG

yg

h

bBB

a

Fig. 9.9.

g

3 2 2 3

x BB

h(a b) h(2a b)A y

2 3(a b)

h (a 4ab b ) h (3a b)I I

36(a b) 12

Crculo(Origen de los ejes en el centro)

Y

X

B B

G

r

Fig. 9.10.

2 4 42

x y

4 4 4 4

xy p BB

d r dA r I I

4 4 64

r d 5 r 5 dI 0 I I

2 32 4 64

Anillo Circular(Origen de los ejes en el centro)

Frmulas aproximadas para el caso cuando t es pequeo

Y

XG

r

t

Fig. 9.11.

33

x y

33

xy p

d tA 2 rt dt I I r t

8

d tI 0 I 2 r t

4

Semicrculo(Origen de los ejes en el C de G)

Y

G

X

yg

O

B Br

Fig. 9.12.

2

g

2 4 44

x y

4

xy BB

r 4rA y

2 3

(9 64)r r I 0.1098r I

72 8

rI 0 I

8


32/79

32

Cuadrante de crculo(Origen de los ejes en el centro del crculo)

Y

X

yg

O

B B

r

Gxg

Fig. 9.13.

2

g g

4 4

x y xy

2 44

BB

r 4rA x y

4 3

r rI I I

16 8(9 64)r

I 0.05488r 144

Arco de cuadrante de crculo(Origen de los ejes en el vrtice)

Y

Xyg

O

B B

Gxg

r

2

g g

4 4 4 4x y BB

A 1 r4

2r (10 3 )r x 0.7766r y 0.2234r

3(4 ) 3(4 )

5 1I 1 r 0.01825r I I r 0.1370r

16 3 16

Fig. 9.14.

Sector circular(Origen de los ejes en el centro del crculo)

Y

Xyg

O

G

xg

r

Fig. 9.15.

2g g

4 4

x y

4

xy p

ngulo en radianes2

2r senA r x r sen y

3

r rI ( sen cos ) I ( sen cos )

4 4

rI 0 I

2

Segmento circular(Origen de los ejes en el centro del crculo)

Y

X

yg

O

G

r

Fig. 9.16.

32

43

x xy

43

y

ngulo en radianes2

2r senA r ( sen cos ) y

3 sen cos

rI ( sen cos 2 sen cos ) I 0

4

rI (3 3 sen cos 2 sen cos )

12


33/79

33

Crculosin una franja central(Origen de los ejes en el centro del crculo)

Y

XO

r

r

a

b

b

a

Fig. 9.17.

2 2

2xy2

4 3 4 3

x y2 4 2 4

ngulo en radianes2

aarccos b r ar

abA 2r ( ) I 0

r

r 3ab 2ab r ab 2abI 3 I

6 12r r r r

Elipse(Origen de los ejes en el C de G)

Y

X

Oa

b

a

b

Fig. 9.18.

3 3

x y

2 2xy p

ab baA ab I I

4 4ab

I 0 I (b a )4

Permetro 1.5(a b) ab

Segmento parablico(Origen de los ejes en la esquina)

Y

O

Gh

b

y = f (x)

yg

xg

Vrtice

X

2

2

g g

3 3 2 3

x y xy

xy f(x) h 1

b

2bh 3b 2h

A x y3 8 5

16bh 2hb b hI I I

105 15 12

Fig. 9.19.


34/79

34

Arco parablico(Origen de los ejes en el vrtice)

Y

yg

O

Gxg h

b

y = f (x)

Vrtice X

2

2

g g

3 3 2 2

x y xy

hxy f(x)

bbh 3b 3h

A x y3 4 10

bh hb b hI I I

21 5 12

Fig. 9.20.

Semisegmento de grado n-simo(Origen de los ejes en la esquina)

Y

X

Gh

b

y = f (x)

yg

xg

O

n

n

g g

3 3

x

3 2 2 2

y xy

xy f(x) h 1 n 0

b

n b(n 1) hnA bh x y

n 1 2(n 2) 2n 1

2bh nI

(n 1)(2n 1)(3n 1)

hb n b h nI I

3(n 3) 4(n 1)(n 2)

Fig. 9.21.

Onda senoidal(Origen de los ejes en el C de G)

Y

XG

bb yg

B B

h

g

3 3 3 3x y 3

3xy BB

4bh hA y

8

8 4 32I bh 0,08659bh I hb 0,2412hb

9 16

8bhI 0 I

9

Fig. 9.22.


35/79

35

10. Aspectos bsicos de la geometra elemental

Todo lo que figura a continuacin se debe a la gentileza del profesor y compaero delDepartamento de Ingeniera de la Construccin de la Universidad de Alicante D. Vicente Viana, quedespus de hacer el esfuerzo de sintetizar y resumir los conceptos geomtricos que aqu figuran, nosha permitido reproducirlos sin esfuerzo alguno por nuestra parte. Traemos a colacin estas nocionesgeomtricas, puesto que su conocimiento ayudar a mejor comprender y disear las estructuras delas obras.

Fig. 10.1.

10.1. Introduccin

En el Antiguo Egipto, las sucesivas y peridicas crecidas del ro Nilo, obligaban a roturar y parcelarposteriormente las tierras anegadas antes de proceder a la siguiente siembra y cosecha. Lanecesidad de establecer la forma y los lindes de cada parcela provoc el desarrollo de la agrimensuracon todas las tcnicas que en esa poca podan usarse.

De igual forma, en Caldea, Mesopotamia y en todas las antiguas civilizaciones surgidas en torno a

una poblacin sedentaria y agrcola, la supervivencia estaba ligada al calendario de siembra ycosecha y al establecimiento de los lindes territoriales de cada parcela. La medida de distancias,ngulos, reas y las relaciones entre ellas son la base tecnolgica sobre la cual la civilizacin griegadio al mundo una de sus mayores contribuciones .... la GEOMETRA.

La etimologa de la palabra geometra debemos buscarla en la diosa de la cosmologa griega;GEA, diosa de la tierra y esposa de Urano, dios de los cielos. De la fecundacin de la tierramediante la lluvia nacen los frutos y las plantas, lo que justifica su carcter femenino. Derivados deesta raz tenemos los trminos; geografa, geologa, geometra, sistema geocntrico, geofsica.

Los griegos le dieron a la geometra una gran importancia dentro del campo del conocimiento. Enel frontispicio de entrada a la Academia de Platn se poda leer la siguiente frase: No entre quien nosepa geometra. El propio Galileo Galilei escribi; ...el libro (del Universo) est escrito en lengua

matemtica y los caracteres son figuras geomtricas.


36/79

36

Dado el carcter recordatorio y resumido de este apartado se ha optado por no justificar todas lasafirmaciones que aqu se exponen, buscando prioritariamente la practicidad de los conocimientos ensacrificio de las demostraciones pormenorizadas. Sin renunciar al rigor matemtico, se ha optado enmuchas ocasiones por resumir las propiedades geomtricas, teniendo en cuenta que el objetivo deeste apartado no es la Geometra en si, sino las aplicaciones de la geometra a la resolucin de

problemas de Ingeniera y Arquitectura.10.2. Proporcionalidad entre segmentos. Teorema de Thales. Aplicaciones.

Thales, filsofo griego nacido en Mileto (640 546 a.C.), uno de los 7 sabios de Grecia y para losgriegos posteriores, el fundador de la ciencia griega. Se le atribuye un teorema de gran importanciaprctica, que a pesar de su antigedad nos resuelve diariamente muchos problemas geomtricos.

TEOREMA DE THALES: Si un sistema de rectas paralelas corta a dos rectas cualesquiera, lossegmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los correspondientes determinados enla otra.

Sean las rectas r y s cortadas por las rectas paralelas AA, BB,CC. Se cumple que.

'C'A

AC

'C'B

BC

'B'A

AB

Fig. 10.2

Un caso particular muy frecuente e interesante es su aplicacin al caso de tringulos.T. THALES APLICADO A LOS TRINGULOS: Dos rectas que se cortan en un punto, al ser cortadas

por dos rectas paralelas, determinan con stas dos tringulos cuyos lados son proporcionales

Las rectas r y s se cortan en el punto O. Las rectas parale-las AA y BB forman los tringulos OAA y OBB. Estos dostringulos son semejantes por tener un ngulo comn y loslados proporcionales segn el Primer Teorema de Thales.Podemos escribir, pues.

'BB

'AA

'OB

'OA

OB

OA

Fig. 10.3.

Aplicacin 1: Divisin grfica de un segmento en variaspartes iguales.

Sea un segmento OA que deseamos dividir en 4 partesiguales.

Trazamos el segmento OB de una longituddeterminada, por ejemplo, de 4 cm. Los puntos C, D, E y Bestn situados cada cm. Unimos A con B y vamos trazandoparalelas al segmento AB, obteniendo los puntos C, D y E.

Fig. 10.4


37/79

37

10.3. Semejanza de tringulos. Semejanza de tringulos rectngulos

Dos tringulos se dicen que son semejantes cuando tienen sus ngulos respectivamente iguales ylos lados son respectivamente proporcionales.

A = A

B = B'c

c

'b'a

a

C = C

Fig. 10.5.

Casos particulares.

a) Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente iguales

b) Dos tringulos son semejantes si tienen un ngulo igual y proporcionales los lados que lo forman.

c) Dos tringulos son semejantes si tienen los lados respectivamente proporcionales.

La razn de semejanza es el valor constante del cociente entre dos lados homlogos

Casos particulares de semejanza de tringulos rectngulos.

a) Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo igual.

b) Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen proporcionales los catetos.

c) Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y uno de los catetos.

Las alturas de dos tringulos semejantes sonproporcionales a las bases correspondientes.

F

ig. 10.6

10.4. Homotecia de polgonos. Razn de homotecia

Si al unir los vrtices homlogos de dos polgonos, las lneas concurren todas en un mismo punto,decimos que dichos polgonos son homotticos respecto de dicho punto.

Fig. 10.7.


38/79

38

El punto O es el centro de homotecia.

Aplicando el teorema de Thales

k'OD

OD

'OC

OC

'OB

OB

'OA

OA

El parmetro k es la razn de homotecia

Los lados de dos polgonos homotticos son respectivamente paralelos

Los lados de dos polgonos homotticos son respectivamente proporcionales

'A'D

DA

'D'C

CD

'C'B

BC

'B'A

AB

Los ngulos homlogos de dos polgonos homotticos son iguales

Si nos fijamos en las definiciones de semejanza y homotecia vemos que los polgonos homotticos

son simplemente polgonos semejantes con los lados homlogos paralelos. As, todos los polgonoshomotticos son semejantes pero no todos los polgonos semejantes son homotticos. La homoteciaes pues, semejanza de forma y de posicin.

10.5. Construccin de polgonos semejantes

Supongamos que tenemos el polgono ABCDE y queremos construir otro semejante de razn 3/5,que se denomina razn de semejanza.

El centro de homotecia O, lo podemos situar fuera (caso 1) o dentro (caso 2), del polgono

Fig. 10.8.

Una vez situado el punto O (centro de semejanza) dividimos el segmento OA en 5 partes iguales y

tomamos 3 partes. En ese punto situamos el vrtice homlogo A y trazando paralelas construimos elpolgono ABCDE.

Razn de los permetros de dos polgonos semejantes

La razn de los permetros de dos figuras semejantes es justamente su razn de semejanza.

k'p

p

'e'd'c'b'a

edcba

'e

e

'd

d

'c

c

'b

b

'a

a


39/79

39

Fig. 10.9.

10.6. La circunferencia. Arcos y cuerdas

La relacin entre la longitud de una circunferencia y su dimetro es un valor constante =

D

L L = 2

r

A arcos iguales corresponden cuerdas iguales.

Los arcos de una circunferencia comprendidos entre paralelas son iguales.

Las semirrectas AB y MN son paralelas. Los arcos AM y BN son iguales

Fig. 10.10.

Dos cuerdas iguales equidistan del centro.

Las cuerdas AM y CD son iguales. Los arcos AB y CD son iguales. Los segmentos OM y ON son iguales.

ngulo central en una circunferencia es el formado por dos radios deesa circunferencia. Dichos radios cortan a la circunferencia en dos puntosque definen un arco. Es el arco correspondiente a ese ngulo central.

Existe proporcionalidad entre los ngulos centrales y los arcoscorrespondientes. Es decir, a ngulos centrales iguales en unamisma circunferencia, corresponden arcos iguales.

Fig. 10.11

Fig. 10.12


40/79

40

ngulo inscrito

ngulo inscrito en una circunferencia es el que tiene un vrtice sobre la circunferencia y estformado por dos cuerdas.

Todo ngulo inscrito determina sobre la circunferencia un arco entre los puntos donde las cuerdascortan a la circunferencia.

La medida de un ngulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Fig. 10.13

Hay tres casos, segn que, 1) uno de los lados pase por el centro, 2) el centro est entre los la-dos, y 3) el centro quede fuera del ngulo.

1) En el tringulo OABa = a por ser el tringulo OAB issceles.a + a = bSumando ambas expresiones.2a = b

a =2

1b c.q.d.

2) Trazamos el dimetro BDngulo ABC = a + b

a =2

1arco AD

b =2

1 arco DC

ngulo ABC = 2

1

arco AC

3) Trazamos el dimetro BDngulo ABC = a b

a =2

1 arco AD

b =2

1 arco CD

Restando estas dos igualdades.

ngulo ABC =2

1arco AD -

2

1 arco CD =

2

1 arco AC

CONSECUENCIAS

Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es igual a 90 (un recto).Todos los ngulos inscritos sobre un mismo arco son iguales.


41/79

41

ngulo semiinscrito

Fig. 10.14

ngulo semiinscrito en una circunferencia es el que tiene su vrtice sobre la circunferencia y estformado por una cuerda y una tangente.

La medida de un ngulo semiinscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus ladosEfectivamente, un ngulo semiinscrito se puede considerar como un caso particular del ngulo

inscrito donde uno de sus lados es justamente la tangente.

ngulo interior

ngulo interior en una circunferencia es el formado por dos porcionesde cuerdas que se cortan en el interior de una circunferencia.

La medida de un ngulo interior es la semisuma de los arcos delimi-tados sobre la circunferencia por sus lados y sus prolongaciones.

Prolongamos los lados BA y BC hasta cortar a la circunferencia en E yD, respectivamente. Unimos D con A. En el tringulo ABD.

b = a + a Fig. 10.15.

a = 2

1arco AC

a =2

1 arco DE

Sumando estas dos igualdades.

b =2

1(arco AC + arco DE)

Angulo exterior

ngulo exterior es el que tiene su vrtice en el exterior de la circunferencia y est formado por; a)

dos secantes, b) una secante y una tangente, c) dos tangentes.La medida de un ngulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.

Fig. 10.16


42/79

42

a) Trazamos la secante AD. En el tringulo ABD

a + b = a

Restando a en los dos miembrosb = a a

Como a y a son inscritos.

b =2

1(arco AC arco ED)

b) Trazamos la secante CA. Demostracin anloga.

c) Trazamos la secante AC. Demostracin anloga.

CUADRO RESUMEN

NGUL

O

MEDIDA

Central arcocomprendido entre sus lados

Inscrito mitaddel arco comprendido entre sus lados

Semiinsc

rito

mitaddel arco comprendido entre sus lados

Interior semisumade los arcos comprendidos entre sus lados

Exterior semidiferenciade los arcos comprendidos entre sus

lados

Medida de ngulos. El radin

Para la medida de ngulos utilizamos las siguientes unidades.

a) Grados sexagesimales. Su origen es babilonio. Utiliza como base el 60. La circunferencia se

divide en 360 partes iguales (grados), aproximacin prctica al nmero de das que tarda la

Tierra en girar en torno al Sol. Con este sistema de numeracin, muchos ngulos comunes en

geometra tienen valores enteros.

b) Grados centesimales, se utiliza preferentemente en las medidas topogrficas, sus unidades son

ms pequeas que las correspondientes del sistema sexagesimal.


43/79

43

c) Radianes. Se define el radin como el ngulo que abarca sobreuna circunferencia un arco de longitud igual a su radio.

El radin es la unidad natural de los ngulos. En todas las frmu-las de la Fsica y la Matemtica, donde aparezca una magnitud an-gular debemos expresarla en radianes.

Llamando.

R radio de la circunferencia

l longitud del arco AB Fig. 10.17.

Entonces, = 1 radin, si l = R

Si un ngulo de 1 radinabarca sobre la circunferencia un arco de Runidades, entonces un n-gulo cualquiera, expresado en radianes abarca un arco de xunidades. Por tanto.

O, dicho de otra forma.

Para transformar ngulos sexagesimales en ngulos en radianes.

Recordando que la longitud de una circunferencia es de 2 R y abarca un arco de 360

2 R ........................ 360

R ................................. x

180

R2

R360x

o180

radin1

EQUIVALENCIAS ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

0 30 45 60 75 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

06

4

3

12

5

2

3

2

6

5

6

7

3

4

2

3

3

5

6

11 0

x = R

arco = ngulo (radianes) radio

180 = radianes


44/79

44

Igualdad de ngulos

Dos ngulos son iguales, cuando.

a) Tienen los lados paralelos.

Fig. 10.18.

b) Tienen los lados perpendiculares.

Fig. 10.19.

c) Son opuestos por el vrtice.

Fig. 10.20.

d) Son alternos internos (formados por la interseccin de unarecta a dos paralelas)

Fig. 10.21.

e) Son ngulos inscritos que abarcan el mismo arco.

Fig. 10.22.


45/79

45

n total de diagonales en un polgono =2

cuaderno 1 - conceptos elementales básicos para iniciar el camino en el diseño estructural

Documents