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CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL EL DISEÑO ESTRUCTURAL (Una introducción básica) Florentino Regalado Tesoro Dr. Ingeniero de Caminos. Universidad de Alicante CUADERNO Nº1

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CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA

INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO

ESTRUCTURAL

EL DISEÑO ESTRUCTURAL

(Una introducción básica)

Florentino Regalado Tesoro Dr. Ingeniero de Caminos. Universidad de Alicante

CUADERNO Nº1

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ÍNDICE 1. Una introducción para señalar intenciones y caminos

2. Una primera aproximación a los conceptos de fuerza, masa y equilibrio estático de los cuerpos

3. Unidades necesarias para poder dialogar de las construcciones y sus estructuras

4. Teoría básica vectorial (operaciones con las fuerzas)

5. Centros de Gravedad

6. Momento de inercia y radio de giro de las secciones. El teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia (Teorema de Steinter)

7. Momentos polares de inercia

8. Productos de inercia

9. Momento de inercia con relación a ejes girados

10. Aspectos básicos de la geometría elemental 10.1. Introducción 10.2. Proporcionalidad entre segmentos. Teorema de Thales. Aplicaciones. 10.3. Semejanza de triángulos. Semejanza de triángulos rectángulos. 10.4. Homotecia de polígonos. Razón de homotecia. 10.5. Construcción de polígonos semejantes. 10.6. La circunferencia. Arcos y cuerdas. 10.7. Polígonos regulares. Definiciones elementales. 10.8. Las curvas fundamentales (cónicas). 10.9. Lugares notables y teoremas básicos de los triángulos.

ANEJO. Terminología básica empleada en el mundo de la construcción. Bibliografía.

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1. Una introducción para señalar intenciones y caminos.

Cada vez que pasan los años y la vejez se aproxima un poco más hacia nosotros, nos vamos dando cuenta que las cosas realmente importantes de la vida son muy pocas; tal vez el simple hecho de vivir lisa y llanamente con honradez y limpieza, baste por sí para justificar una existencia plena y digna de todos los respetos por sencilla que esta sea.

De igual forma, en el campo de las estructuras nos atrevemos también a expresar un concepto parecido o semejante al anterior, puesto que con el transcurso del tiempo y la acumulación de experiencias de todos los colores: proyectando, construyendo y reparando estructuras, la mayoría de ellas sumamente humildes, resulta fácilmente perceptible que para convivir con ellas comprendiendo su existencia desde que nacen hasta que mueren, en realidad no hace falta llevar en las alforjas un bagaje excesivamente complejo y pesado de herramientas.

Con unas buenas dosis de sentido común principalmente, unos pocos conocimientos históricos de cómo el hombre ha construido sus casas y caminos, los principios básicos de la estática y también algunos criterios fundamentales de la resistencia de materiales y teorías de la elasticidad, cocinados con unas pocas nociones de la geometría de Euclides y unos pocos conceptos nada complicados de las inevitables matemáticas, resulta más que suficiente para poder entender la razón y ser de las piezas estructurales que sabiamente mezcladas generan el apasionante mundo de las estructuras.

El camino ya nos lo señaló E. Torroja en su conocido libro “Razón y ser de los tipos estructurales”: primero el diseño (el concepto de las formas) y luego los cálculos, y por él caminaremos para equivocarnos lo menos posible, aunque cualquier aproximación que se haga a la historia y evolución de cómo el hombre en su transitar por la tierra ha resuelto sus caminos y cobijos para él y sus dioses, siempre será un ejercicio apasionante y enriquecedor aunque se encuentre plagado de errores.

Por otra parte, nos encontramos inmersos en una época especialmente revolucionaria tecnológicamente hablando, y las estructuras, como no podía ser de otra manera, se ven inmersas en ella con todas sus ventajas, pero también con todos sus inconvenientes.

Hemos pasado en un breve periodo de tiempo de caminar apoyados en sencillas reglas de cálculo, a tener a nuestro alcance potentes ordenadores capaces de dibujar y calcular construcciones situadas muchas veces, por encima del estadio que una mente humana es capaz de abarcar espacialmente y analizar razonablemente bien, caminando por galaxias sumamente complejas y, a veces, hasta absurdas.

Lo anterior nos sitúa en la tesitura como primera tentación, de confiar exclusiva y ciegamente en el ordenador y los programas informáticos, una primera opción que nos conduce por una senda sumamente peligrosa, habida cuentas de las tonterías que pueden a llegar a verse en los planos constructivos que llegan a las obras provenientes de programas informáticos mal utilizados; o bien, emplear una segunda opción alternativa que sin despreciar en modo alguno todo lo bueno que nos proporciona el cálculo numérico, nos abra una especie de camino amplio y luminoso que nos permita una mejor comprensión conceptual y filosófica de lo que construimos, y así evitar los efectos perniciosos de la senda primera, que es lo que recomendamos hacer a todos los proyectistas sensatos y responsables, que deseen comprender mejor los mecanismos resistentes de las estructuras a través de las formas y los materiales que las han hecho posible a lo largo de la historia.

Estas páginas pretenden facilitar la búsqueda de ese segundo camino, recordando algunas ideas básicas de la física y la geometría que, después, en sucesivas monografías nos permitan exponer de forma simplificada conceptos, formas y criterios, que con suma sencillez permitan a los proyectistas discernir lo bueno de lo malo, lo seguro de lo inseguro, y poder adivinar con relativa solvencia lo que resulta banal y superfluo en una estructura y lo que tiene de autenticidad y belleza.

Saber ser crítico con cierto fundamento en un mundo donde las demandas sociológicas relacionadas con las construcciones actuales han cambiado radicalmente, parece no sólo conveniente, sino algo bastante necesario e imprescindible. Ya no basta que una obra cumpla las funciones para la que fue proyectada, se le pide algo más; incluso parece que lo auténticamente importante sea precisamente ese algo más y la funcionalidad, razón y ser de la mayoría de las obras, sea lo realmente secundario e irrelevante, lo que nos adentra peligrosamente en un territorio donde la

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superficialidad se convierte en protagonista. Los proyectistas no tendrían que tener que elegir entre funcionalidad, eficacia y belleza, puesto que son todas ellas cualidades que indiscutiblemente cualquier obra debería aspirar a tener siempre.

No encontramos en un escenario difuso, de clara transición entre el ayer y el futuro. No sabemos con exactitud si el estatus de nuevos ricos con el que construimos nuestros edificios y sus estructuras podemos sostenerlo, gastando medios y energías desaforadamente en aras a satisfacer egos profesionales y políticos, justificando nuestras construcciones en base a repetitivas y ficticias singularidades y algunas zarandajas que otras, que ya aburren por su persistencia y monotonía.

Como punto final de esta declaración de intenciones, no está demás advertir que nuestro texto, por sí solo, no permite el poder resolver el proyecto constructivo de las estructuras, que exige conocimientos más profundos y pormenorizados, y estos deben ser adquiridos en otra parte. Lo anterior no invalida en modo alguno el hecho, que solamente partiendo de una visión conceptualmente amplia y clara del comportamiento de los materiales y sus cualidades esenciales, y de cómo el hombre los ha empleado en piezas lineales, planas y volumétricas configurando estructuras resistentes, se está en las condiciones óptimas para poderlas calcular particularizadamente, elaborando los planos necesarios que posibiliten su construcción y su realidad final.

Para conseguirlo, no dudaremos en copiar sin rubor alguno las ideas y mensajes de los buenos y viejos maestros, y sobre todo de las enseñanzas que D. Eduardo Torroja supo trasmitirnos como nadie lo hizo antes en los escritos que dejó, adaptando todo ello a los tiempos que corren de la forma que hemos creído mejor, pensando esencialmente en los alumnos de nuestras Escuelas Técnicas, como futuros proyectistas de estructuras. Desde aquí, por tanto, ya recomendamos el libro de E. Torroja “Razón y ser de los tipos estructurales”, que tal vez sea el mejor texto que sobre las estructuras se haya escrito nunca sin apoyo de fórmulas matemáticas de tipo alguno.

2. Una primera aproximación a los conceptos de fuerza, masa y equilibrio estático de los cuerpos.

En el campo de las estructuras que sostienen como esqueleto resistente las obras que proyectamos y construimos con fortuna variable, las fuerzas son por derecho propio las responsables directas y la razón y ser de las mismas. Y dichas fuerzas estructurales tienen su origen y provienen de la naturaleza propia de lo que se construye y del entorno físico donde se ubique lo construido, sea este natural o artificial.

Si no existieran las fuerzas, las estructuras perderían su esencia y el alma que les transmite vida y dinamismo. Construir una estructura que no vaya a estar sometida a fuerzas, es como ponerse la vacuna de una enfermedad que no existe: No tendría sentido físico alguno.

Bajo un punto de vista académico podemos definir la fuerza como aquella acción capaz de cambiar el estado de equilibrio que posea un cuerpo. Las fuerzas se representan y se estudian como lo que también son, como un conjunto de vectores que poseen magnitud, dirección, sentido y un punto donde se aplican; por tanto, toda la teoría de los vectores resulta ser de aplicación directa a todo el campo de las fuerzas con las que tendremos que lidiar. Resulta pues imprescindible, tener que definir los conceptos básicos vectoriales, si queremos aprender a situar y manejar las fuerzas y los efectos que producen.

Todas las construcciones se encuentran sometidas a la acción de innumerables fuerzas, incluso muchas más de las que alcanzamos a vislumbrar y tener presente en los cálculos estructurales. Precisamente los grandes colapsos y fracasos estructurales han sido debido a esas fuerzas que se nos escapan de entre los dedos cuando elaboramos los proyectos estructurales, unas veces por ignorancia y otras por simple precipitación.

El origen de las fuerzas podría ser único o múltiple, según se miren con ojos filosóficos o con los ojos de un sencillo técnico que se enfrenta al mecanismo resistente que desarrollan las estructuras sosteniendo las construcciones de las que forman parte, de forma parecida a como lo hace el esqueleto de huesos dentro del cuerpo humano. Sin esqueleto, el cuerpo humano no podría existir, como tampoco podría existir la Arquitectura sin las estructuras que la hace posible.

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Cuando hablemos de las acciones y cargas que solicitan las estructuras, en otra de nuestras monografías, tendremos que comprender y analizar cómo técnicos que somos, los orígenes tan diversos y diferentes que poseen los vectores fuerzas que las materializan, al margen de las posibles disquisiciones divinas a las que a veces ha acudido el hombre para explicar, por ejemplo, los terremotos.

Aunque la mayor parte de las fuerzas tienen un carácter básicamente estático, existen otras cuyo carácter es claramente dinámico, como podrían ser las debidas al viento y a los sismos. Las fuerzas que generan los sismos sobre las construcciones son especialmente peligrosas y destructivas no sólo por su carácter dinámico, sino también por la magnitud tan elevada que pueden alcanzar.

Decimos que una acción tiene un carácter dinámico si su variación con el tiempo es rápida y origina fuerzas de inercia en las estructuras, de magnitud comparable y, a veces, frecuentemente mayor que las fuerzas estáticas.

Todas las características de las cargas dinámicas: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación, o por lo menos algunas de ellas, varían con el tiempo, siendo esto último (la variación) el aspecto fundamental que las caracteriza y distingue, y por ello se llaman así.

ACELERACIÓN

m g.

m g.

"a "s

El cuerpo (la caja) en

bloque por su base

se desplaza y la masa

suspendida reacciona

en sentido contrario.

-m a. s

Peso=

-m a. s

T : Fuerza resultante

(Fuerza dinámica y

por tanto variable) T

SÍSMICA

Fig. 2.1. Fuerza de inercia de carácter dinámico.

Intuir en qué consiste una fuerza de inercia resulta sencillo, sin más que recordar el cómo nos sentimos desplazados cuando al viajar de pie sobre la plataforma de un autobús, éste arranca o frena bruscamente. Las fuerzas que nos empujan primero hacia atrás cuando arranca y después hacia delante cuando frena, son claramente fuerzas de inercia, fuerzas dinámicas semejantes a las que se engendran sobre los edificios cuando un terremoto los hace oscilar.

Aunque sea adelantar conceptos que veremos con mayor amplitud en otras monografías, no está demás exponer ya aquí que, nuestra misión como hacedores de estructuras es que éstas, como cuerpos físicos que son, han de ser capaces de soportar las cargas que actúan sobre ellas, tengan su origen donde lo tengan y sean de la naturaleza que sean, de forma que se mantengan en equilibrio estático o de reposo, y con unas deformaciones asumibles para la funcionalidad que se espera de ellas. Debemos tener siempre presente que una estructura puede resistir perfectamente las cargas que actúen sobre ella sin romperse y sin agrietarse y, sin embargo, presentar unas deformaciones inadmisibles e incompatibles con las prestaciones que se espera de ellas. Por ejemplo: Si la viga de un puente grúa se curva, aunque esté lejos de romperse al pasar el carro con la carga suspendida, puede desequilibrar sus rodamientos y provocar disfuncionalidades en su mantenimiento, incluso quedándose fuera de servicio, si al curvarse genera deformaciones (flechas) excesivas (f > L/1000).

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Debemos recordar que un cuerpo físico, y un cuerpo estructural cualquiera lo es, se encuentra en equilibrio estático o de reposo cuando no se mueve, aunque pueda deformarse ligeramente, y todas las acciones (todas las fuerzas) que actúan sobre el mismo se encuentran compensadas entre sí, dando unas resultantes nulas de fuerzas y momentos, es decir cuando se cumple que:

Fi 0

Mi 0

Newton fue el físico que nos formuló las leyes fundamentales que sirvieron de base para elaborar el cuerpo teórico en el que basamos toda la filosofía del cálculo estructural.

Según la primera ley de Newton, todo cuerpo que se encuentra en reposo (en equilibrio estático), tiende a permanecer en reposo a menos que sobre el mismo actúe una fuerza neta diferente de cero. La masa que tiene el cuerpo y cómo se encuentra distribuida es la responsable directa de la inercia que posea el mismo para cambiar el estado en el que se encuentre, sea éste el de equilibrio estático o el de estar en movimiento.

Newton usó el término de masa como sinónimo de cantidad de materia. Esta noción intuitiva de la masa de un cuerpo no es muy precisa, porque el concepto de “cantidad de materia” no se encuentra bien definido. Con mayor precisión podemos decir que la masa es una medida de la inercia de un cuerpo a cambiar el estado en el que se encuentra.

La segunda ley de Newton liga con precisión incuestionable los conceptos de fuerza, masa y aceleración al expresar que: “La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él y es inversamente proporcional a su masa”. La dirección y el sentido de la aceleración es la que tiene la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo.

Fr (fuerza resul tante) Fi m a

Y finalmente, conviene no olvidar y tener siempre presente la tercera ley de Newton que, en nuestra opinión, es la que mejor refleja de las tres, la esencia misma del cálculo estructural: “Si se ejerce una fuerza contra un cuerpo, este cuerpo responde siempre con una fuerza igual y contraria a la que se ejerce sobre el mismo”. Es el principio tan conocido de la acción y reacción.

La fuerza por antonomasia en la ingeniería estructural resulta ser, casi siempre, el peso de los cuerpos: la fuerza con la que la tierra atrae a los mismos hacia su interior como si quisiera no perder nada de lo que le pertenece, aplicándoles una tracción inevitable que denominamos fuerza gravitacional (peso). Esta fuerza, el peso, es tan poco atractiva y tediosa, que algunos proyectistas creen que pueden jugar al escondite con ella en sus bocetos iniciales, hasta que desesperados por no conseguirlo, acaban finalmente claudicando frente a su inevitable presencia y tiranía, y procuran con fortuna variable hacer convivir las formas, los materiales y las geometrías estructurales precisas en sus proyectos, para no acabar entre rejas.

3. Unidades necesarias para poder dialogar de las construcciones y sus estructuras.

La cuantificación de los hechos que acontecen en las construcciones y sus estructuras exigen un lenguaje propio y específico, que suele bautizarse con el adjetivo de “técnico”, y que dota a las palabras de un significado que trasciende casi siempre al que poseen de las mismas el sencillo ciudadano de a pie, que suele mirar lo que construimos con una cierta superficialidad, sin que la mayoría de las veces consiga captar la esencia y globalidad de lo que percibe y, mucho menos , es capaz de ver y describir expresándolo con la precisión y el rigor debido, todos los matices de la realidad construida que tiene frente a sus ojos.

La comprensión del lenguaje de las estructuras requiere aprendizaje, y el nivel de conocimiento que poseamos del mismo indicará sin duda alguna, el mismo estadio de comprensión que tengamos sobre las propias estructuras, tanto en sus fases de proyecto como en su construcción y posterior puesta en servicio.

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El primer vocabulario que debemos aprender para poder comunicarnos con cierta solvencia es el de las unidades que nos catalogan y cuantifican la realidad física de las construcciones y las acciones que las solicitan. El mundo tiende a emplear un conjunto de unidades unificado bajo el nombre de SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS; pero incomprensiblemente y contra todo pronóstico, todavía después de los años que han transcurrido para la humanidad soportando el castigo bíblico del confusionismo por intentar con la Torre de Babel llegar al cielo, no ha podido liberarse del mismo totalmente, y continua sin acabar de adoptarlo como un lenguaje unitario de medida que es lo que se pretende con dicho SISTEMA, complicándose la existencia estúpidamente por no hacerlo.

Resulta incluso incomprensible que algunos países tan avanzados técnica y económicamente de nuestro mundo, como Inglaterra y los EE.UU., no hayan conseguido integrarse en el Sistema Internacional de Medidas; y el nuestro (España), todavía le cuesta entrar en el mismo, teniéndolo más fácil por haberlo usado parcialmente en los últimos tiempos de su historia.

TABLA DE MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPOS

SÍMBOLO PREFIJO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN

G M k h da d c m

n

giga mega kilo

hecto deca deci centi mili

micro nano

109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9

Tabla 3.1

UNIDADES DE LONGITUD

La unidad básica de longitud más empleada es el metro (m) y con esta unidad suelen acotarse los planos de construcción, seguida de por lo menos dos cifras decimales si tratamos de alcanzar la precisión mínima del centímetro (cm); que es algo a lo que razonablemente deberíamos aspirar de alcanzar como precisión en todo lo que construyamos.

No obstante, la precisión del centímetro en infinidad de detalles constructivos de ventanas, instalaciones, estructuras metálicas, etc, etc; se manifiesta absolutamente insuficiente y resulta obligado de manera imprescindible, por un mínimo de rigor constructivo, descender a la precisión de los milímetros.

Por lo anterior, el manejo de los metros como unidad de longitud en las estructuras, deberíamos hacerlo siempre con tres decimales como mínimo, cubriendo así todo el espectro de precisión que por regla general podría ser exigible a una construcción genérica cualquiera.

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UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Km (Kilómetro)

Hm (Hectómetro)

Dm (Decámetro)

M (metro)

dm (decímetro)

cm (centímetro)

mm (milímetro)

1000 m

100 m

10 m 1 m

0,1 m 0,01 m

0,001 m

Tabla 3.2 Los ingleses y americanos, por más que en la literatura científica se estén incorporando al

sistema internacional de unidades y medidas, a nivel popular siguen inmersos en el variopinto mundo de sus unidades tradicionales, complicando con ello la convivencia técnica y comercial a la mayoría del mundo que comercialmente está obligado a rendirles pleitesía por el poderío que poseen.

Las unidades de longitud anglosajonas y sus equivalentes con las del Sistema Internacional, las exponemos en la tabla adjunta.

Pie (ft) Pulgada (in) Milla terrestre (mi) Milla marina

0,305 m 2,54 cm 1609,34 m 1852 m

1 yarda = 3 pies = 36’’ = 0,9144 m = 1 braza = 2 yardas 1 braza = 2 yardas

Tabla 3.3

Así por ejemplo y sin conocer la razón de que se haga así, los dos cordones (los cables unitarios) más empleados en el campo del pretensado, se siguen nominando: Torones de 0,5 y torones de 0,6 pulgadas (0,5” – 0,6”).

SUPERFICIE

Multiplicando por sí mismas las unidades de longitud se obtiene las unidades de superficie. Sigue siendo la unidad básica el metro cuadrado (m²) en el Sistema Internacional. Moviéndonos en

el campo de las tensiones, el centímetro cuadrado de uso tradicional (cm²), está dejando paso paulatinamente al milímetro cuadrado (mm²), a medida que va introduciéndose en España el Sistema Internacional en detrimento del viejo y popular Sistema Técnico, que usaba para valorar las tensiones los kilopondios o kilogramos-fuerza dividiéndolos por los cm² con los que se cuantificada la superficie sobre los que actuaban.

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UNIDADES DE ÁREAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Km2

Hm2 = Ha (Hectárea)

Dm2 = Área

m2

dm2

cm2

mm2

1.000.000 m2

10.000 m2

100 m2 1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

Tabla 3.4

Las unidades anglosajonas de superficie más manejadas en la construcción son:

Pie cuadrado: ft² = 0,0929 m² Pulgada cuadrada: in² = 645 mm² = 6,45 cm²

VOLUMEN

Elevando al cubo las unidades de longitud obtenemos directamente las unidades volumétricas del Sistema Internacional. La principal unidad de referencia del Sistema Internacional es el metro cúbico (m³).

UNIDADES DE VOLUMEN SISTEMA INTERNACIONAL

Hm3

Dm3

m3

dm3

cm3

1.000.000 m3

1000 m3

1 m3 0,001 m3

0,000001 m3

Tabla 3.5

En España sigue usándose genéricamente el litro como la unidad volumétrica más extendida como nombre sustitutivo del decímetro cúbico, equivalente también a 1000 cm³.

1 l = 1 dm³ = 1000 cm³ = 0,001 m³ En todo el mundo relacionado con la hidrología a gran escala, la unidad básica de referencia

empleada es el Hm³ = 1.000.000 m³.

En la cultura anglosajona, como ya hemos escrito anteriormente, siguen aferrados a sus tradicionales unidades de volumen, volviendo loco a medio mundo al encarecer innecesariamente los intercambios culturales y comerciales con su actitud.

Un pie cúbico (ft³) = 0,0283168 m³ 0,0283m³

Una pulgada cúbica (in³) = 16,3871 x 10-6 m³ 1,64 x 10-6 m³

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Una pulgada cúbica (in³) = 16,3871 cm³ 1,64 cm³

1 galón (gal) = 231 in³ = 3,79 litros = 0,00379 m³

MASA

En el SISTEMA INTERNACIONAL la unidad básica de masa es el kilogramo-masa (Kg), empleándose también la tonelada-masa (1T = 1000 Kg) y el gramo-masa (1gr = 0,001 Kg).

En España todavía se sigue empleando el SISTEMA TÉCNICO, por lo que para evitar confusionismos con el Kilogramo-fuerza o Kilopondio, y sus derivados la Tonelada-fuerza y el gramo-fuerza, no está demás añadir a las unidades de masa el sufijo adicional de una “m”, o emplear la abreviatura Kp para la unidad de fuerza del Sistema Técnico.

1 UTM (unidad técnica de masa) = 9,80665 Kg ≈ 9,81 Kgm

La unidad de masa en el sistema inglés es el SLUG, que es la masa que será acelerada un pie por segundo cuadrado al actuar sobre ella la fuerza de una libra.

1 libra1 slug (g 9,81 m/ s² 32,2 ft / s²)1 ft / s²

1slug = 14,5939 Kgm ≈ 14,6 Kgm

FUERZA

La unidad de fuerza (el peso es una fuerza) del Sistema Internacional, aceptada en toda la literatura técnica del mundo es el NEWTON.

1 Newton (N) = 1 Kgm x 1 m/s²

La equivalencia con el Kg-fuerza (Kgf) o Kilopondio (Kp) del Sistema Técnico, se obtiene a través del valor de la aceleración de la gravedad (que a efecto de cálculos rápidos de conversión se redondea al valor diez).

1 Kp = 1 Kgf = 1 Kgm x 9,81 m/s² = 9,81 N 10 N

Como múltiplos del Newton, se emplea el deca-Newton (daN) y el kilo-Newton (KN).

1 daN = 10 N = 1,02 Kp 1 Kp

1 KN = 1000 N = 102 Kp 100 Kp

Los anglosajones continúan con sus libras y kilo-libras.

1 libra (lb) = 4,44822 N 4,45 N

1000 libras (Kip) = 4448,22 N 4,45 KN

1 ton = 2000 libras

TENSIÓN

La tensión es el efecto físico o mecánico que se produce en la materia cuando se aplica una fuerza en una determinada superficie de la misma; por tanto, su cuantificación se mide dividiendo la fuerza por la superficie donde se aplica.

La unidad del Sistema Internacional es el PASCAL.

1 Pascal (Pa) = 1 Newton /1m²

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Dado que es una unidad de tensión muy pequeña, suele emplearse un múltiplo elevado de la misma: el mega-pascal (1MPa), equivalente a un Newton actuando sobre un milímetro cuadrado.

1 MPa = 106 P = 1 N/mm²

Todavía debemos seguir referenciando el Pascal con las viejas unidades del Sistema Técnico, especialmente con el kilopondio actuando sobre un centímetro cuadrado, unidad de referencia no sustituía aún en el ámbito de la construcción española a nivel popular.

1 Kp/cm² = 9,81 N/100 mm² = 0,0981 MPa 0,1 Mpa

1 MPa = 0,102 Kp/0,01 cm² = 10,2 Kp/cm²

Las unidades anglosajonas todavía en vigor son:

Una libra/pie cuadrado (psf) = 47,8803 Pa 47,9 Pa

Una libra/pulgada cuadrada (psi) = 6894,76 Pa 6890 Pa

Kip/pie cuadrado (Ksf) = 47,8803 KPa

Kip/pulgada cuadrada (Ksi) = 6,89476 MPa 6,89 MPa

PRESIÓN

Cuando la fuerza que actúa sobre la superficie de los cuerpos tiene su origen en el peso de una materia fluida (como el aire, el agua, etc) que se apoya sobre ellos, el nombre de tensión se cambia por presión, aunque matemáticamente sea similar al de tensión y las unidades empleadas para cuantificar las presiones también sean idénticas a las empleadas para las tensiones.

No obstante, también se emplean unidades específicas como las atmósferas.

1 atmósfera normal = 101,325 KPa

1 atmósfera normal = 101 KPa = 0,101 MPa 1 Kp/cm²

TEMPERATURA

La temperatura se mide en el Sistema Internacional con la unidad llamada grado Kelvin (ºk). La escala Kelvin es una escala absoluta, lo que significa que su origen (cero grados kelvin, o 0

ºK) está en el cero absoluto de temperatura, que es una temperatura teórica caracterizada por la ausencia completa de calor. Sobre la escala Kelvin, el agua se congela aproximadamente a 273 ºK y hierve aproximadamente a 373 ºK.

Para propósitos no científicos, como pueden ser los ingenieriles, se usa normalmente la escala de temperaturas Celsius. La unidad correspondiente de temperatura es el grado Celsius (ºC), que es igual a un grado Kelvin. Sobre la escala Celsius, el agua se congela a 0 ºC e hierve a 100 ºC bajo ciertas condiciones estándar.

La escala Celsius se conoce también como la escala de temperatura centígrada y se relaciona con la Kelvin mediante la expresión:

t ºC = ºK – 273,15

La unidad inglesa para la temperatura es el grado Fahrenheit (ºF). En la escala Fahrenheit el agua se congela aproximadamente a 32 ºF e hierve aproximadamente a 212 ºF.

Cada grado Fahrenheit es exactamente igual a 5/9 de un grado Kelvin o Celsius. Las fórmulas de conversión entre las escalas Fahrenheit y Celsius son las siguientes.

5tºC ºF 3299ºF tºC 325

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TRABAJO, ENERGÍA

El trabajo o la energía es un fenómeno físico que se produce cuando una fuerza hace recorrer el punto donde se aplica una distancia desplazándose con él.

La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es el JOULE (el Julio).

1 JOULE = 1 NEWTON · 1 Metro

POTENCIA

La potencia de un hecho físico se evalúa por el trabajo o energía que se desarrolla en el mismo durante un tiempo determinado.

La unidad que mide la potencia es el watio.

1 joule1 watio ( j / s)1 segundo

Con mucha frecuencia suele emplearse un múltiplo de la misma: El Kilowatio (1000 watios).

Y también en el lenguaje de los motores suele emplearse los caballos de vapor (CV).

1 CV = 745,7 w 746 w

VIBRACIONES

En el campo de las vibraciones u oscilaciones los términos de FRECUENCIA y PERIODO expresan conceptos físicos fundamentales para la comprensión y análisis de las mismas.

Se denomina PERIODO ( ) el tiempo que tarda un movimiento oscilatorio periódico en repetirse, y lógicamente se expresa en segundos.

La FRECUENCIA es la inversa del periodo; representa el número de oscilaciones o vibraciones que un movimiento periódico es capaz de desarrollar en la unidad de tiempo de un segundo.

La frecuencia se mide en unidades de HERTZ (Hz). El hertz se define como la frecuencia de un fenómeno periódico para el cual el periodo es de un segundo; es equivalente entonces a un ciclo por segundo (cps) o una revolución por segundo (rev/s).

Los hertzios también se usan ocasionalmente para medir las frecuencias rotatorias de los motores en vez de las tradicionales rotaciones por minuto (rpm).

4. Teoría básica vectorial (Operaciones con las fuerzas).

4.1. VECTOR FUERZA (CONCEPTO)

El campo de las fuerzas estructurales se analiza y se opera dentro del mismo, de idéntica forma a como se haría en un campo vectorial: Las fuerzas son vectores.

Al ser las fuerzas vectores, estas tienen una línea de acción, que son las rectas sobre las que están situadas. Las líneas de acción de las fuerzas se encuentran definidas a través de sus cosenos directores o dos puntos cualesquiera que se encuentren sobre las mismas.

También el vector fuerza tiene un origen que es su punto de aplicación y un extremo, separados entre sí una longitud que adecuadamente escalada representa la magnitud del vector: el valor que posea la fuerza que representa.

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Z

Y

O

X

A

B

kj

i

Dirección: La recta

Magnitud: AB

Punto de aplicación: A

Sentido:Fuerza (Vector)

Sistema de referencia

Vectores unitarios

de referencia básicos

(Base del sistema)

OXYZ :

(i, j, k) :

Fig. 4.1. Sistema básico de referencia para definir espacialmente las fuerzas.

Dentro del campo de los vectores estos se clasifican en tres categorías:

- Vectores libres: Son aquellos que conservando su módulo, dirección y sentido, pueden estar aplicados en cualquier punto del espacio.

- Vectores deslizantes: Son aquellos que conservando su módulo, dirección, sentido y recta base, pueden tener su origen en cualquier punto de dicha recta.

- Vectores fijos: Son aquellos que tienen determinados su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.

En el campo de las estructuras, si bien podemos manejar operativa y matemáticamente las fuerzas, nunca debemos perder de vista que poseen una realidad física incuestionable y actúan donde realmente se encuentran; es decir, que tienen su punto de aplicación, su dirección y su sentido claramente definidos sobre las obras y por tanto, sus efectos, se encuentran perfectamente localizados dentro de las mismas, pudiendo originar patologías diversas si no se encuentran plenamente controladas.

4.2. ADICIÓN DE FUERZAS (SUMA VECTORIAL)

Las fuerzas no pueden adicionarse libremente como elementos numéricos, dado que son vectores y, por tanto, se rigen por los criterios vectoriales que controlan su campo operacional.

Solamente si las fuerzas se encuentran actuando sobre el mismo punto y con idéntica dirección, puede obtenerse la resultante de las mismas sumando algebraicamente las magnitudes que posean las mismas con su signo en función del sentido que tenga y ver cual sería la fuerza final resultante.

O F1 F2 F3 RF4

R = F + F + F - F1

R = OR

2 3 4

(Resultante)

Fig. 4.2. Única posibilidad de sumar algebraicamente vectores fuerzas y obtener fácilmente la resultante.

Si no tuvieran la misma dirección, pero sí el mismo punto de aplicación, la suma vectorial de fuerzas también resulta posible hacerse fácilmente aplicando la regla del paralelogramo tantas veces como sea necesario, o el álgebra vectorial si las fuerzas están referenciadas sobre una base de fácil uso, como puede ser la cartesianas espacial.

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14

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

i i i i

F x i y j z k

F x i y j z k

F x i y j z k

R F x i y j z k

Al estar los vectores fuerzas referidos a una base cartesiana, sus componentes parciales pueden sumarse algebraicamente con su signo al encontrarse cada grupo de ellas sobre la misma línea, definida por los vectores unitarios i , j y k .

En los casos reales, veremos que la resultante de adicionar fuerzas casi siempre viene acompañada de los momentos que producen las mismas cuando se trasladan al punto donde se desea conocer los efectos que producen las mismas (ese punto suele ser el considerado como de referencia para analizar el equilibrio de fuerzas de una hipotética estructura o una parte de la misma).

O

F1

F2

F3

R = F + F 1 2

R = R + F 3

fR = F + F + F 1 2 3

12

12

Fig. 4.3. Suma vectorial de fuerzas con idéntico punto de aplicación, a través de la regla del paralelogramo aplicada reiteradamente.

4.3. DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR FUERZA EN VARIAS COMPONENTES EQUIVALENTES.

Después de ver en el punto anterior como se adicionan las fuerzas, suele ser frecuente operar de forma inversa con las mismas; es decir, descomponiendo las fuerzas originales en otras equivalentes según dos o tres direcciones dadas, según el análisis sea plano o espacial. Una vez que disponemos de las componentes de las fuerzas sobre unas direcciones dadas (normalmente serán los ejes cartesianos), resulta mucho más fácil obtener la resultante equivalente de las mismas, sumando algebraicamente las componentes que se encuentran sobre las direcciones empleadas en la descomposición, en vez de tener que operar vectorialmente aplicando reglas geométricas como las del paralelogramo, mucho más complejas y sobre todo mucho más imprecisas.

O

V

A

B

Dirección: B

Dirección: A

V = OA + OB

Fig. 4.4. Descomposición de un vector en dos direcciones arbitrarias.

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15

Y

XO

j

i

( i , j ) Base unitaria de referencia

F = ( Módulo del vector F )= F + F2 2x y

F = F i + F jx y. .

F = F + Fx y

F = F cos = (Producto escalar).x

F = F cos(90- ) = (Producto escalar) .y

F i x

F j x

Fig. 4.5. Descomposición analítica de una fuerza en dos direcciones ortogonales.

Cuando se desea obtener el valor de las componentes de un vector sobre unas direcciones cartesianas dadas, lo que se conoce como proyecciones ortogonales del mismo, ampliamente empleadas en los cálculos estructurales, se opera consciente o inconscientemente haciendo uso del producto escalar de vectores, cuya formulación recordamos:

(Producto escalar de vectores) a b a b cos

Aprovechándonos del concepto de producto escalar de vectores, si deseamos calcular los módulos de los vectores componentes ortogonales del vector F sobre los ejes cartesianos, bastaría multiplicarlo escalarmente por los vectores unitarios de dichos ejes y obtener así sus proyecciones.

Fx F i F i cos F 1 cos F cos

Fy F j F j cos 90 F 1 sen F sen

Si deseamos descomponer gráficamente un vector fuerza en tres direcciones dadas en un plano, deberemos seguir el protocolo adjunto considerando la Fig. 4.6.

- Se busca el punto donde la recta que contiene el vector V corta a una de las direcciones dadas (En nuestro caso el vector V corta directamente a la dirección (2) en el punto B.

- Se une el punto B con el punto de intersección de las dos restantes direcciones (En nuestro caso el punto A intersección de (1) y (3)) obteniéndose una dirección auxiliar dada por AB.

- Ya podemos descomponer el vector V dado en la dirección (2) y en la dirección auxiliar AB, obteniendo una primera componente de la descomposición que llamamos 2v y el vector de tránsito av .

- El vector de tránsito av ya puede descomponerse en las dos restantes direcciones originándose 1v y 3v .

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16

B

(2)

(3)

(1)

(3)A

V1 Va

(2) (1)

V3

V

Va

V2

Fig. 4.6. Descomposición gráfico de un vector V en tres direcciones 1-1, 2-2 y 3-3.

Si ya supone una cierta complejidad operar gráficamente en el plano con los vectores, operar gráficamente en el espacio con los mismos resulta una tarea ardua y pesada, y no tenemos suficiente capacidad espacial para movernos con soltura en dicho campo y es ésta la razón, de porqué la vía analítica es la que habitualmente empleamos los ingenieros para resolver los problemas de fuerzas espaciales, incluso teniendo que renunciar a la satisfacción que podría causarnos el seguir la pista de las fuerzas físicamente desde donde nacen hasta donde mueren, y verlas después enterrarse en los cimientos de las estructuras construidas.

Z

YO

X

k

ji

F

Fy

Fx

Fz

Fig. 4.7. Descomposición espacial de un vector F en los ejes cartesianos.

Análogamente a como hemos visto en el plano, podemos hacer lo mismo en el espacio cartesiano (véase la fig. 4.7).

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17

x y z

x y z

x

y

z

F F F F

F F i F j F k

F F i F cos

F F j F cos

F F k F cos

cos , cos y cos son los cosenos directores de la recta base del vector F cuyo módulo vendría dado por: 2 2 2

x y zF F F F .

Z

Y

X

L

O

B ( x , y , z )2 2 2

1 1 1A ( x , y , z )

Fig. 4.8. Definición de la recta (línea de acción) a través de dos puntos de la misma.

Los cosenos directores de la recta donde actúa la fuerza o el vector, si disponemos de dos puntos de la misma, pueden calcularse fácilmente:

2 2 22 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

L AB x x y y z z (Pitagoras)

x x y y z zcos cos cos

L L L

Un vector unitario que nos permitiría expresar el vector F de otra forma sería pues:

u cos i cos j cos k

F F u

Puesto que:

2 2 2cos cos cos 1

Una vez descompuestos todos los vectores-fuerzas con los que estamos trabajando en un sistema de referencia básico (como puede ser el cartesiano por su facilidad operativa), la manipulación de los mismo en los esquemas estructurales especiales siempre podrá realizarse mucho más fácilmente por la vía analítica, que por un tratamiento gráfico espacial, mucho más complejo, aunque mucho más atractivo y pedagógico y que desgraciadamente los ordenadores han acabado de arrumbar al baúl de los recuerdos.

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18

4.4. MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN PUNTO

La expresión matemática que define y refleja el concepto de momento de un vector fuerza (Fx, Fy, Fz) respecto de un punto P definido por las coordenadas (x0, y0, z0) en un sistema cartesiano de referencia, viene dada por el producto vectorial del vector PA por F , siendo A un punto cualquiera de la recta que sostiene al vector-fuerza.

0 0 0

x y z

z 0 y 0 x 0 z 0 y 0 x 0

i j kMp PA F x x y y z z

F F F

F (y y ) F (z z ) i F (z z ) F (x x ) j F (x x ) F (y y ) k

Fig. 4.9. Momento del vector F respecto de un punto P (x0, y0, z0).

El vector momento Mp es un vector perpendicular al plano formado por la recta de unión del punto P con un punto cualquiera de la recta que contiene al vector fuerza F y esta última recta. El sentido del vector Mp viene definido por la regla del sacacorchos considerando el sentido de giro como se indica en la Fig. 4.9.

Físicamente, el momento de una fuerza respecto de un determinado punto, viene a representar los efectos mecánicos suplementarios que genera la fuerza en dicho punto, cuando su punto de aplicación no es coincidente con el mismo.

Una aproximación simplista al concepto de momento, podemos visualizarlo a través del mecanismo de las viejas norias extrayendo agua de los pozos con un poquito de imaginación: Un brazo girando merced al empuje de una fuerza tangencial a la circunferencia de giro, situado todo ello en un plano paralelo a la tierra, produce la elevación perpendicular a dicho plano de los cangilones llenos de agua del pozo que podríamos considerar que materializan el vector momento producido por la fuerza que opera la noria.

El módulo (el valor absoluto) del vector momento resultante, viene dado por la fórmula siguiente:

Mp PA F sen

De lo cual se deduce, que la forma más cómoda para averiguar el módulo de dicho momento es a través de la perpendicular trazada desde el punto P a la recta que contiene la fuerza, dado que así el ángulo pasa a valer 90º y su seno la unidad simplificándose los cálculos.

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19

Mp PB F sen 90º PB F

Los momentos son los duendes protagonistas de las estructuras y, difícilmente podremos mantener un diálogo digno de consideración sobre cualquier comportamiento que tengan las mismas, sin que aparezcan los mismos sobre ellas vestidos con el ropaje de: Momentos Flectores y Momentos Torsores, de los que tendremos ocasión de hablar largo y tendido.

Y como resumen final, traemos a colación la Ley de la Palanca como mecanismo emblemático que pone en juego el equilibrio de los momentos que se produce a izquierda y derecha de su punto de apoyo.

a b

F

M.actuante (F b) = M.resistente (F a). .

MR MA

R F b = R a. .

Fig. 4.10. Ley de la Palanca: Fuerza por su brazo = Resistencia por el suyo.

En el mundo de las estructuras, el mecanismo que representa la Ley de la Palanca se aplica hasta la saciedad de mil formas distintas buscando contrarrestar pesos y cargas: Los voladizos de las cubiertas de los estadios, compensados con tirantes traseros, representan un claro ejemplo de lo expuesto.

P a = F b. .

a b

PF

Fig. 4.11. Aplicación emblemática de la ley de la palanca buscando la estabilidad de la cubierta equilibrando los diferentes momentos que puedan generarse sobre la misma en las distintas hipótesis de carga.

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20

4.5. RESULTANTES DE UN SISTEMA DE VECTORES O DE FUERZAS (una introducción previa a los esfuerzos y tensiones en las piezas estructurales)

En cientos de ocasiones nos veremos obligados a tener que analizar los efectos tensionales que producen las múltiples fueras distribuidas que actúan en las construcciones, sobre las secciones resistentes que poseen las piezas que conforman las estructuras que las sostienen. Hacerlo de manera individualizada para cada una de las fuerzas dispersas que existan, en general, puede estar justificado en muy contadas ocasiones; la mayoría de las veces, por no decir en casi todas, el camino a seguir consiste en buscar en el punto deseado de la estructura, que por supuesto siempre tendrá que estar en equilibrio, la resultante de los sistemas de fuerzas que puedan existir a su derecha y a su izquierda, que ya adelantamos que se reduce a una única fuerza y un único momento a la izquierda de dicho punto, y a una única fuerza y un único momento a su derecha, ambas fuerzas y momentos, si el sistema no es un mecanismo inestable, deben anularse al equilibrarse entre sí.

Buscar la fuerza y el momento resultante de un sistema de fuerzas, en definitiva, la sustitución del conjunto de vectores-fuerzas disperso por otro mucho más sencillo y simplificando, concentrado en un punto concreto y cuyos efectos sean equivalentes e idénticos a los que produciría dicho sistema de fuerzas dispersas en el punto deseado, se conoce con el nombre de REDUCCIÓN DEL SISTEMA.

Los programas informáticos de cálculo estructural, realizan esta operación de forma automática, proporcionándonos en cada punto de la estructura la resultante de las fuerzas y momentos que actúan sobre la estructura que se esté analizando.

La forma analítica y matemática de realizar la REDUCCIÓN de un sistema de fuerzas a un punto determinado, podrá resultar tediosa y cansina, pero conceptualmente es muy simple y sencilla, y tan sólo requiere unas pequeñas dosis de orden y meticulosidad operativa.

Z

Y

X

O

a)

b)

c)

R F2

F1

F3

FiF4

Z

Y

X

O

M2

M1

M3

Mi

M4

FUERZA RESULTANTE MOMENTO RESULTANTE

Z

Y

X

O

R

MRF2

F1

F3

Fi

F4

O1

O2

O3

Oi

O4 MR

Fig. 4.12. Reducción de un sistema de vectores o fuerzas a un punto dado.

Sea el sistema de fuerzas distribuidas (Fi) del que se pretende obtener sus efectos equivalentes en un punto del espacio (por ejemplo en el punto 0), tal y como aparece en la Fig. 4.12.a; y donde ya se observa que la reducción del sistema conduce a una resultante R y a un momento resultante RM .

Su determinación se consigue trasladando en primer lugar las fuerzas al punto considerado, paralelamente a sí mismas, respetando sus direcciones y sentidos. Una vez las fuerzas en dicho

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21

punto, estamos en condiciones de poderlas sumar gráfica o analíticamente obteniendo el vector resultanteR .

El traslado de las fuerzas a un determinado punto lleva incorporado también los efectos mecánicos que se derivan de no estar ubicadas físicamente en él, sino en otros alejados del mismo; y estos efectos se evalúan a través de los momentos que se inducen en dicho punto.

Por tanto, se calcularan los momentos de las fuerzas iF respecto del punto 0, colocándose en dicho punto los vectores momentos resultante iM .

Una vez obtenidos todos los vectores momentos ubicados en el punto de reducción elegido 0, se procede a la suma analítica o gráfica de los mismos obteniéndose finalmente el momento resultante

RM . Una vez que se tiene la resultante R y el momento resultante RM , es muy posible que para

poder analizar y estudiar con mayor precisión las tensiones que se producen en las secciones de las piezas, cuyo centro de gravedad podría representar el punto 0, sea conveniente obtener según los ejes cartesianos de referencia sus componentes vectoriales en dichos ejes.

Z

YO

y

RZ

R

X

Rx

RPIEZA

Z

YO

MZ

X

PIEZAMY

MX

MR

SECCIÓN SECCIÓN DE ESTUDIO

Fig. 4.13. Descomposición de la R y M obtenidos de la reducción de un sistema de fuerzas dado en un punto de la estructura, según los ejes de referencia cartesianos elegidos para estudiar la sección tensionalmente.

Las componentes del vector momento M según los ejes cartesianos, representan a su vez los momentos áxicos resultantes de las fuerzas dadas con relación a dichos ejes.

El momento axial de una fuerza respecto de un eje dado, no es más que la proyección sobre el mismo del momento que se obtendría de dicha fuerza respecto de un punto arbitrario de dicho eje. Huelga decir que el momento áxico resultante es siempre el mismo se tome el punto que se tome de dicho eje.

La trascendencia de los momentos áxicos XM , YM y ZM obtenidos en los cálculos resistente de las piezas es fundamental, puesto que como veremos posteriormente, XM y ZM engendran flexiones en las piezas y por tanto reciben el nombre de momentos flectores, y el YM engendra torsiones y recibe el nombre de momento torsor. Los primeros producen tensiones normales en las secciones y los momentos torsores tensiones tangenciales contenidas en los planos de dichas secciones.

Por otra parte, también es vital en el análisis tensional de las estructuras las componentes cartesianas de R , puesto que como también veremos la YR genera esfuerzos de tracción y compresión en las piezas y por tanto tensiones normales en las secciones que se superpondrán con las tensiones, también normales, que generan los momentos flectores, y la Rx y Rz esfuerzos cortantes, dando pie a tensiones tangenciales que se superpondrán ordenadamente a las generadas por los momentos torsores.

Si retomamos de nuevo lo expuesto en el apartado dos sobre el equilibrio estático de los cuerpos, podemos comprender claramente el porqué también necesitamos saber reducir el sistema de fuerzas que actúan sobre ellos a una única fuerza y a un único momento resultante, para poder discernir simplificando el problema si el cuerpo se encuentra plenamente en equilibrio, o si por el

Page 22: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

22

contrario, dicho equilibrio no existe cuando alguno de los vectores resultantes de las fuerzas actuantes no sea nulo.

5. Centros de Gravedad

Conocer con precisión dónde se encuentra ubicado el centro de gravedad de los cuerpos que se manejan en construcción, por mil razones diferentes resulta imprescindible, dado que es el punto donde se sitúa la resultante de los pesos que posean los mismos y, por tanto, el punto óptimo donde mejor podemos apoyarlos para buscar su equilibrio de la forma más económica y simple posible.

El centro de gravedad de un cuerpo es pues el punto de aplicación de su peso, sea cual sea la orientación que pueda dársele al mismo.

Calcular con precisión la posición del C.G. de un cuerpo complejo, obliga al empleo del cálculo integral, aunque en la mayoría de los casos, dado que se manejan cuerpos que pueden descomponerse a su vez en otros de geometría sencilla cuyos centros de gravedad conocemos al poseer planos y ejes de simetría cuya intersección nos lo fija y posiciona, resulta sumamente simple sin más que equilibrar momentos parciales respecto a los ejes cartesianos que se tomen como referencia.

Pii

i

i

i

i

Z

Y

X

x i

y i

z i

C.G.

R- Resultante = Pi

i - densidad de un elemento diferencial de volumen

P = R (Resultante)i

x = = =gP xi .

Pi

m xi .

m i

i x dv.i

.

dv.

y = = =gP yi .

Pi

m yi .

m i

i y dv. .

dv.

i

i

v

v

v

v

z = = =gP zi .

Pi

m zi .

m i

i z dv. .

dv.i v

v

Fig. 5.1. Fórmulas que permiten determinar el centro de gravedad de un cuerpo.

La determinación del centro de gravedad de un cuerpo plano, evidentemente se simplifica al poder prescindir de la coordenada espacial-z y el diferencial del volumen pasa a ser un diferencial de área.

i i i ig g

i i

A x A yx y [1]

A A

Tal y como ya hemos anunciado genéricamente, si un cuerpo tiene un centro de simetría, su centro de gravedad se encuentra situado en dicho punto; al igual que si dicho cuerpo tiene un eje o un plano de simetría, su centro de gravedad se encontrará ubicado en dicho eje o en dicho plano.

Por otra parte, si un cuerpo resulta absolutamente homogéneo, el centro de gravedad del mismo coincidirá totalmente con el centro de gravedad del volumen que lo encierra, o del centro de gravedad de su área si es plano. No sucederá así si el cuerpo es heterogéneo, tal y como sucede en las secciones mixtas de hormigón y acero.

La determinación del centro de gravedad de superficies planas, como pueden ser las secciones de las vigas y pilares que conforman los esqueletos resistentes de las estructuras, será uno de los pasos previos inevitables para poder calcular en dichas piezas las tensiones que generan las cargas que graviten sobre las mismas.

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Como en la mayoría de los casos las secciones se encuentran construidas con un único material, la determinación de su centro de gravedad se obtiene aplicando el equilibrio de los momentos estáticos de la sección con relación a los ejes de referencia elegidos.

y

x

Y

XO

(x , y )g g

Ad

A= dAA

x =g

x dA

dA

.y =g

y dA

dA

.

Fig. 5.2. Determinación del centro de gravedad de una sección homogénea a través del empleo de los momentos estáticos.

En la mayoría de los casos que se presentan en la práctica estructural, las secciones de las piezas se pueden dividir a su vez en subsecciones geométricas con formas sumamente conocidas, en las cuales la ubicación de sus centros de gravedad no plantea problema alguno debido a los ejes de simetría que poseen.

En estos casos, la determinación del centro de gravedad de la sección completa puede obtenerse sin necesidad alguna de acudir al cálculo integral (Véase la figura 5.2).

Y

XO

xg

yg

(X ,Y )G G

A

(x ,y )1 1

A 1

A 2

A 3

x =g

A X + A X + A X.

Ai = A

1 1 2 2 3 3. .

A + A + A1 2 3

y =g

A Y + A Y + A Y.1 1 2 2 3 3

. .

A + A + A1 2 3

(x ,y )2 2

(x ,y )3 3

Fig. 5.3. Centro de gravedad de áreas compuestas.

NOTA: El problema se complica en los cálculos estructurales cuando se manejan secciones mixtas compuestas de varios materiales, tal y como sucede cuando se construyen de hormigón y acero.

Dependiendo de qué tipo de problema estemos analizando en dichas secciones, tendremos que determinar su centro de gravedad a través de sus distintos pesos específicos o bien un centro geométrico operativo, homogeneizando las secciones a través de los diferentes módulos de elasticidad que posean sus materiales, para obtener las mismas deformaciones y curvaturas que tendrían las secciones reales, pero operando con un material virtual equivalente.

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En las secciones homogéneas aplicaríamos las fórmulas genéricas expuestas en la Fig. 5.1 y de forma simplificada en [1] y, en el segundo caso, tendremos que acudir a expresiones como las que se exponen en la Fig. 5.4 que desarrollaremos con mayor amplitud cuando hablemos del cálculo de tensiones en las secciones de las estructuras.

y

xO

xc

Hormigón (E )

x =c

A x E + (A x + A x ) E.

A E + (A + A ) E

.c c c

S1 S2c S

S1 S1 S2 S2 S. .

.c

y =c

A y E + (A y + A y ) E.

A E + (A + A ) E

.c c c

S1 S2c S

S1 S1 S2 S2 S. .

.c

A c

S1

S2

Co

A

A

Acero (A )

y

c

S

o

co

o

o

Fig. 5.4. Centro operativo virtual (Co) para calcular deformaciones y tensiones de una sección mixta de acero y hormigón, y que nada tiene que ver con el centro de gravedad real de la sección, que se obtendría con una

fórmula semejante, pero empleando su peso específico “ ” en vez de los módulos de deformación “E”.

6. Momento de inercia y radio de giro de las secciones. El teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia (Teorema de Steiner).

Los momentos de inercia de un área plana con respecto a unos ejes X e Y, respectivamente, vienen definidos genéricamente mediante la formulación integral que se contempla en la Fig. 6.1.

Y

X

x

y

y dA

I =y

I =x2 .

x dA2 .dA

O

Fig. 6.1. Momentos de inercia e las secciones planas.

Los momentos de inercia, las inercias de las secciones en el lenguaje cotidiano de la resistencia de materiales, nos definen la calidad resistente de las formas geométricas transversales con las que construimos las piezas que conforman nuestras estructuras.

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A igualdad de área, una sección que posea una inercia mayor que otra, siempre poseerá una mayor resistencia cuando se encuentre sometida a momentos flectores; se opondrá mejor al pandeo cuando se vea comprimida y costará curvarla mucho más.

RADIO DE GIRO

En la resistencia de materiales, suele usarse un parámetro que de algún modo caracteriza la calidad inercial de las secciones que diseñamos para las vigas y pilares de las estructuras, y este parámetro se conoce con el nombre de Radio de Giro.

El radio de giro de una sección respecto de un determinado eje viene definido por la raíz cuadrada del momento de inercia que posea la misma respecto al eje considerado dividido por el área de la sección.

yxx y

IIr r

A A

Y a mayor radio de giro, mayor calidad inercial poseerá la sección diseñada. Dado que la inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia y el área a la segunda potencia,

los radios de giro tienen unidades de longitud. Podemos considerar al radio de giro de una sección como la distancia desde el eje para la cual todo el área podría concentrarse en un punto a dicha distancia y tener el mismo momento de inercia que el área original tal y como formulamos a continuación.

2x x

2y y

I A r

I A r

TEOREMA DE STEINER

Si se conoce el momento de inercia de una sección respecto de un eje que pase por su centro de gravedad, el momento de inercia de la misma sección con relación a cualquier otro eje que sea paralelo al anterior viene dado por la expresión:

2GI I A d

Este teorema es de una valiosa ayuda a la hora de calcular manualmente las inercias de secciones que pueden descomponerse en suma de otras mucho más sencillas, cuyas inercias con relación a ejes que pasan por sus centros de gravedad son conocidas o fácilmente deducibles.

I

I = I + A dG2.

dE y E son ejes paralelosG

EG

E

C.G

I G

A

Fig. 6.2. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos para momentos de inercia.

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26

7. Momentos polares de inercia

Cuando las piezas se encuentran sometidas a momentos torsores sufren deformaciones rotacionales respecto de ejes perpendiculares a sus secciones transversales; experimentan una especie de retorcimiento axial y la determinación de las tensiones tangenciales y giros que provocan los mismos, dependen en gran manera de la inercia polar que posean las secciones con respecto al eje de giro que en cada situación presenten las mismas.

El momento de inercia con respecto a este eje se denomina Momento Polar de Inercia y viene dado por una expresión integral del tipo:

2PI r dA

Si conocemos los momentos de inercia con relación a dos ejes cartesianos que se corten en el eje polar perpendicular a la sección respecto del cual pretendemos calcular el momento de inercia polar se verifica:

2 2 2 2 2P

P y x

I r dA (x y ) dA x dA y dA

I I I

Y

X

x

y =

I =P2 .

x + y2

dA

I P

22

(x + y )dA = x dA + y dAI =P2

I = I + IP yx

2 2 2..

dA

Fig. 7.1. Inercia polar de las secciones.

También cumple el Teorema Steiner con relación a las inercias polares: Cuando se conoce el momento de inercia polar de una sección con relación a un eje que pase por

su centro de gravedad, el momento polar de inercia con relación a cualquier otro eje paralelo al anterior separado del mismo una distancia “d”, viene dado por la expresión.

2P PGI I A d

8. Productos de inercia

Se define el producto de inercia de una sección con relación a dos ejes ortogonales, como un área plana que es, a la expresión dada por:

xyI x y dA

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27

Al encontrarse posicionada el área elemental “dA” por las distancias x e y con su signo correspondiente en los ejes de referencia, los productos de inercia nos permiten buscar lo que se denominan ejes principales de inercia de las secciones, los cuales tienen una cierta trascendencia bajo el punto de vista estructural, puesto que bien posicionada la sección respecto de los mismos su comportamiento resistente mejora notablemente.

Ejes principales de inercia de una sección son aquellos respecto de los cuales el producto de inercia de la misma sea nulo. Se comprende fácilmente que ejes principales de inercia de una sección serán los ejes de simetría que posea junto con sus correspondientes ejes ortogonales a los mismos. Los momentos de inercia máximos y mínimos de una sección siempre se producen con relación a sus ejes principales de inercia.

Diseñar secciones estructurales en las cuales los planos de carga coincidan con planos que contengan a sus ejes principales, supone generar momentos de flexión recta en dichos planos sin que sea necesario tener que analizar momentos de flexión esviados dado que estos siempre resultan ser más problemáticos a la hora de calcular las tensiones que se producen por su causa.

Por otra parte, dado que las inercias mayores de las secciones se producen con relación a uno de sus ejes principales de inercia, su conocimiento siempre nos permitirá orientar las secciones de las piezas de tal forma que podamos extraer de las mismas su mayor rendimiento mecánico, generando las flexiones en planos perpendiculares a dichos ejes principales.

FLEXIÓN PLANA - RECTA

Y

X

C.G.

Ejes principales de inercia

Ixy = 0

Fig. 8.1. Ejes principales de inercia: Su conocimiento permite orientar las piezas para obtener de ellas sus mejores rendimientos mecánicos y resistentes.

En los cálculos de los Productos de Inercia también resulta válido la aplicación del Teorema de Steiner, es decir:

g gxy x y 1 2I I A d d

9. Momento de Inercia con relación a ejes girados

Las fórmulas que se adjuntan a continuación, sin demostración alguna, dado que no es nuestra intención escribir un texto de mecánica, sino simplemente el facilitar un contexto operativo que nos ayude a comprender mejor la estructura y sus mecanismos resistentes, nos permitirán calcular manualmente las inercias de las secciones con relación a unos ejes de referencia cartesiano arbitrarios, si conocemos las inercias con relación a unos ejes más sencillos que se encuentren girados respecto a los anteriores.

Page 28: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

28

Y

X

x

y

dA

O

Y

X 1

1

y1x1

Fig. 9.1. Inercias respecto de ejes rotados.

x y x yx1 xy

x y x yy1 xy

x yx1y1 xy

x1 y1 x y

I I I II cos 2 I sen 2

2 2I I I I

I cos 2 I sen 22 2

I II sen 2 I cos 2

2I I I I

Para calcular el ángulo que nos proporciona los ejes principales de inercia de la sección, bastaría hacer cero 1 1Ix y 0 y resolver la ecuación correspondiente.

x yx1y1 xy

xyp

x y

I II sen 2 I cos 2 0

22I

tang 2I I

p= sería el ángulo que nos proporciona los ejes principales de inercia.

NOTA: En el presente, merced a los magníficos programas de diseño que existen en el mercado, como puede ser el programa AUTOCAD, la penosa labor de calcular centros de gravedad, inercias, etc, etc, ha pasado a mejor historia. Si no fuese por la necesaria e imprescindible componente formativa que supone el conocer el trasfondo físico y matemático que subyace tras las formulaciones que se utilizan en los cálculos estructurales, una gran parte de los tiempos y esfuerzos dedicados a la exposición de conceptos y fórmulas que requieren los cálculos estructurales podrían suprimirse sin más, dado que todos ellos y ellas se encuentran recogidos de una forma u otra en los programas de ordenador disponibles en el mercado.

Así, con el programa Autocad, basta definir una sección al mismo para que nos proporcione todos los parámetros geométricos y mecánicos necesarios, anteriormente expuestos, absolutamente necesarios para su análisis resistente, que a su vez, también podrían hacerse mediante programas de ordenador específicos.

Por otra parte, las casas comerciales suelen proporcionar Prontuarios donde figuran para las secciones que fabrican toda la información necesaria: Centros de gravedad, inercias, pesos, radios de giro, etc.

Page 29: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

29

Y

X

Gh

b

y

xg

g

CENTROS DE GRAVEDAD E INERCIAS DE SECCIONES RELEVANTES

Notación:

A = Área g gx ,y = posicionamiento del centro de gravedad (G) de la sección

Ix, Iy = momentos de inercia con respecto a los ejes x e y, respectivamente Ixy = producto de inercia con respecto a los ejes x e y Ip = Ix + Iy = momento polar de inercia respecto de un eje que pasa por G IBB = momento de inercia con respecto al eje B-B

Rectángulo (Origen de los ejes en el C de G)

Fig. 9.2

g g

3 3

x y

2 2xy P

b hA bh x y2 2

bh hbI I12 12

bhI 0 I (h b )12

Rectángulo (Origen de los ejes en una esquina)

Y

XO

B

B

h

b

Fig. 9.3.

3 3

x y

2 2 3 32 2

xy P BB 2 2

bh hbI I3 3b h bh b hI I (h b ) I

4 3 6(b h )

Triángulo (Origen de los ejes en el C de G)

Y

X

yg

xg

G

h

c

b

g g

3 32 2

x y

22 2 2

xy P

bh b c hA x y2 3 3

bh hbI I (b bc c )36 36hb bhI (b 2c) I (h b bc c )72 36

Fig. 9.4.

Page 30: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

30

Triángulo (Origen de los ejes en un vértice)

Y

X

y

c

b

B B

O

Fig. 9.5.

32 2

x y

2 3

xy BB

bh bhI I (3b 3bc c )12 12bh bhI (3b 2c) I24 4

Triángulo isósceles (Origen de los ejes en el C de G)

Y

X

G

b

h

yg

xg

BB

Fig. 9.6.

g g

3 3

x y xy

32 2

p BB

bh b hA x y2 2 3

bh hbI I I 036 48bh bhI (4h 3b ) I

144 12NOTA:PARA UN TRIÁNGULO EQUILATERO h= 3b/2)

Triángulo rectángulo (Origen de los ejes en el C de G)

Y

X

G

b

h

yg

xg

BB

Fig. 9.7.

g g

3 3 2 2

x y xy

32 2

P BB

bh b hA x y2 3 3

bh hb b hI I I36 36 72bh bhI (h b ) I36 12

Triángulo rectángulo (Origen de los ejes en el vértice)

Y

X

O b

h

BB

Fig. 9.8.

3 3 2 2

x y xy

32 2

p BB

bh hb b hI I I12 12 24bh bhI (h b ) I12 4

Page 31: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

31

Trapezoide (Origen de los ejes en el C de G)

Y

XG

yg

h

b

BB

a

Fig. 9.9.

g

3 2 2 3

x BB

h(a b) h(2a b)A y2 3(a b)

h (a 4ab b ) h (3a b)I I36(a b) 12

Círculo (Origen de los ejes en el centro)

Y

X

B B

G

r

Fig. 9.10.

2 4 42

x y

4 4 4 4

xy p BB

d r dA r I I4 4 64

r d 5 r 5 dI 0 I I2 32 4 64

Anillo Circular (Origen de los ejes en el centro)

Fórmulas aproximadas para el caso cuando t es pequeño

Y

XG

r

t

Fig. 9.11.

33

x y

33

xy p

d tA 2 rt dt I I r t8

d tI 0 I 2 r t4

Semicírculo (Origen de los ejes en el C de G)

Y

G

X

yg

O

B Br

Fig. 9.12.

2

g

2 4 44

x y

4

xy BB

r 4rA y2 3

(9 64)r rI 0.1098r I72 8

rI 0 I8

Page 32: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

32

Cuadrante de círculo (Origen de los ejes en el centro del círculo)

Y

X

yg

O

B B

r

Gxg

Fig. 9.13.

2

g g

4 4

x y xy

2 44

BB

r 4rA x y4 3

r rI I I16 8

(9 64)rI 0.05488r144

Arco de cuadrante de círculo (Origen de los ejes en el vértice)

Y

X

yg

O

B B

G

x g

r

2

g g

4 4 4 4x y BB

A 1 r4

2r (10 3 )rx 0.7766r y 0.2234r3(4 ) 3(4 )

5 1I 1 r 0.01825r I I r 0.1370r16 3 16

Fig. 9.14.

Sector circular (Origen de los ejes en el centro del círculo)

Y

Xyg

O

G

xg

r

Fig. 9.15.

2g g

4 4

x y

4

xy p

ángulo en radianes2

2r senA r x r sen y3

r rI ( sen cos ) I ( sen cos )4 4

rI 0 I2

Segmento circular (Origen de los ejes en el centro del círculo)

Y

X

yg

O

G

r

Fig. 9.16.

32

43

x xy

43

y

ángulo en radianes2

2r senA r ( sen cos ) y3 sen cos

rI ( sen cos 2 sen cos ) I 04rI (3 3 sen cos 2 sen cos )12

Page 33: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

33

Círculo sin una franja central (Origen de los ejes en el centro del círculo)

Y

XO

r

r

a

b

b

a

Fig. 9.17.

2 2

2xy2

4 3 4 3

x y2 4 2 4

ángulo en radianes2

aarccos b r arabA 2r ( ) I 0r

r 3ab 2ab r ab 2abI 3 I6 12r r r r

Elipse (Origen de los ejes en el C de G)

Y

X

Oa

b

a

b

Fig. 9.18.

3 3

x y

2 2xy p

ab baA ab I I4 4abI 0 I (b a )4

Perímetro 1.5(a b) ab

Segmento parabólico (Origen de los ejes en la esquina)

Y

O

Gh

b

y = f (x)

yg

xg

Vértice

X

2

2

g g

3 3 2 3

x y xy

xy f(x) h 1b

2bh 3b 2hA x y3 8 5

16bh 2hb b hI I I105 15 12

Fig. 9.19.

Page 34: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

34

Arco parabólico (Origen de los ejes en el vértice)

Y

yg

O

Gxgh

b

y = f (x)

Vértice X

2

2

g g

3 3 2 2

x y xy

hxy f(x)b

bh 3b 3hA x y3 4 10

bh hb b hI I I21 5 12

Fig. 9.20.

Semisegmento de grado n-ésimo (Origen de los ejes en la esquina)

Y

X

Gh

b

y = f (x)

yg

xg

O

n

n

g g

3 3

x

3 2 2 2

y xy

xy f(x) h 1 n 0b

n b(n 1) hnA bh x yn 1 2(n 2) 2n 1

2bh nI(n 1)(2n 1)(3n 1)

hb n b h nI I3(n 3) 4(n 1)(n 2)

Fig. 9.21.

Onda senoidal (Origen de los ejes en el C de G)

Y

XG

bb

yg

B B

h

g

3 3 3 3x y 3

3

xy BB

4bh hA y8

8 4 32I bh 0,08659bh I hb 0,2412hb9 16

8bhI 0 I9

Fig. 9.22.

Page 35: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

35

10. Aspectos básicos de la geometría elemental

Todo lo que figura a continuación se debe a la gentileza del profesor y compañero del Departamento de Ingeniería de la Construcción de la Universidad de Alicante D. Vicente Viana, que después de hacer el esfuerzo de sintetizar y resumir los conceptos geométricos que aquí figuran, nos ha permitido reproducirlos sin esfuerzo alguno por nuestra parte. Traemos a colación estas nociones geométricas, puesto que su conocimiento ayudará a mejor comprender y diseñar las estructuras de las obras.

Fig. 10.1.

10.1. Introducción

En el Antiguo Egipto, las sucesivas y periódicas crecidas del río Nilo, obligaban a roturar y parcelar posteriormente las tierras anegadas antes de proceder a la siguiente siembra y cosecha. La necesidad de establecer la forma y los lindes de cada parcela provocó el desarrollo de la agrimensura con todas las técnicas que en esa época podían usarse.

De igual forma, en Caldea, Mesopotamia y en todas las antiguas civilizaciones surgidas en torno a una población sedentaria y agrícola, la supervivencia estaba ligada al calendario de siembra y cosecha y al establecimiento de los lindes territoriales de cada parcela. La medida de distancias, ángulos, áreas y las relaciones entre ellas son la base tecnológica sobre la cual la civilización griega dio al mundo una de sus mayores contribuciones .... la GEOMETRÍA.

La etimología de la palabra “geometría” debemos buscarla en la diosa de la cosmología griega; “GEA”, diosa de la tierra y esposa de Urano, dios de los cielos. De la fecundación de la tierra mediante la lluvia nacen los frutos y las plantas, lo que justifica su carácter femenino. Derivados de esta raíz tenemos los términos; geografía, geología, geometría, sistema geocéntrico, geofísica.

Los griegos le dieron a la geometría una gran importancia dentro del campo del conocimiento. En el frontispicio de entrada a la Academia de Platón se podía leer la siguiente frase: “No entre quien no sepa geometría”. El propio Galileo Galilei escribió; “...el libro (del Universo) está escrito en lengua matemática y los caracteres son figuras geométricas”.

Page 36: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

36

Dado el carácter recordatorio y resumido de este apartado se ha optado por no justificar todas las afirmaciones que aquí se exponen, buscando prioritariamente la practicidad de los conocimientos en sacrificio de las demostraciones pormenorizadas. Sin renunciar al rigor matemático, se ha optado en muchas ocasiones por resumir las propiedades geométricas, teniendo en cuenta que el objetivo de este apartado no es la Geometría en si, sino las aplicaciones de la geometría a la resolución de problemas de Ingeniería y Arquitectura.

10.2. Proporcionalidad entre segmentos. Teorema de Thales. Aplicaciones.

Thales, filósofo griego nacido en Mileto (640 – 546 a.C.), uno de los 7 sabios de Grecia y para los griegos posteriores, el fundador de la ciencia griega. Se le atribuye un teorema de gran importancia práctica, que a pesar de su antigüedad nos resuelve diariamente muchos problemas geométricos.

TEOREMA DE THALES: “Si un sistema de rectas paralelas corta a dos rectas cualesquiera, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los correspondientes determinados en la otra”.

Sean las rectas r y s cortadas por las rectas paralelas AA’, BB’, CC’. Se cumple que.

'C'A

AC

'C'B

BC

'B'A

AB

Fig. 10.2

Un caso particular muy frecuente e interesante es su aplicación al caso de triángulos. T. THALES APLICADO A LOS TRIÁNGULOS: “Dos rectas que se cortan en un punto, al ser cortadas

por dos rectas paralelas, determinan con éstas dos triángulos cuyos lados son proporcionales”

Las rectas r y s se cortan en el punto O. Las rectas parale-las AA’ y BB’ forman los triángulos OAA’ y OBB’. Estos dos triángulos son semejantes por tener un ángulo común y los lados proporcionales según el Primer Teorema de Thales. Podemos escribir, pues.

'BB

'AA

'OB

'OA

OB

OA

Fig. 10.3.

Aplicación 1: División gráfica de un segmento en varias partes iguales.

Sea un segmento OA que deseamos dividir en 4 partes iguales.

Trazamos el segmento OB de una longitud determinada, por ejemplo, de 4 cm. Los puntos C, D, E y B están situados cada cm. Unimos A con B y vamos trazando paralelas al segmento AB, obteniendo los puntos C’, D’ y E’. Fig. 10.4

Page 37: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

37

10.3. Semejanza de triángulos. Semejanza de triángulos rectángulos

Dos triángulos se dicen que son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y los lados son respectivamente proporcionales.

A = A’

B = B’ 'c

c

'b

b

'a

a

C = C’

Fig. 10.5.

Casos particulares.

a) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales

b) Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.

c) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados respectivamente proporcionales.

La razón de semejanza es el valor constante del cociente entre dos lados homólogos

Casos particulares de semejanza de triángulos rectángulos.

a) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

b) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales los catetos.

c) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y uno de los catetos.

Las alturas de dos triángulos semejantes son proporcionales a las bases correspondientes.

Fig. 10.6

10.4. Homotecia de polígonos. Razón de homotecia

Si al unir los vértices homólogos de dos polígonos, las líneas concurren todas en un mismo punto, decimos que dichos polígonos son homotéticos respecto de dicho punto.

Fig. 10.7.

Page 38: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

38

El punto O es el centro de homotecia.

Aplicando el teorema de Thales

k'OD

OD

'OC

OC

'OB

OB

'OA

OA

El parámetro k es la razón de homotecia

Los lados de dos polígonos homotéticos son respectivamente paralelos

Los lados de dos polígonos homotéticos son respectivamente proporcionales

'A'D

DA

'D'C

CD

'C'B

BC

'B'A

AB

Los ángulos homólogos de dos polígonos homotéticos son iguales

Si nos fijamos en las definiciones de semejanza y homotecia vemos que los polígonos homotéticos son simplemente polígonos semejantes con los lados homólogos paralelos. Así, todos los polígonos homotéticos son semejantes pero no todos los polígonos semejantes son homotéticos. La homotecia es pues, semejanza de forma y de posición.

10.5. Construcción de polígonos semejantes

Supongamos que tenemos el polígono ABCDE y queremos construir otro semejante de razón 3/5, que se denomina razón de semejanza.

El centro de homotecia O, lo podemos situar fuera (caso 1) o dentro (caso 2), del polígono

Fig. 10.8.

Una vez situado el punto O (centro de semejanza) dividimos el segmento OA en 5 partes iguales y tomamos 3 partes. En ese punto situamos el vértice homólogo A’ y trazando paralelas construimos el polígono A’B’C’D’E’.

Razón de los perímetros de dos polígonos semejantes

La razón de los perímetros de dos figuras semejantes es justamente su razón de semejanza.

k'p

p

'e'd'c'b'a

edcba

'e

e

'd

d

'c

c

'b

b

'a

a

Page 39: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

39

Fig. 10.9.

10.6. La circunferencia. Arcos y cuerdas

La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un valor constante =

D

L L = 2· · r

A arcos iguales corresponden cuerdas iguales.

Los arcos de una circunferencia comprendidos entre paralelas son iguales.

Las semirrectas AB y MN son paralelas. Los arcos AM y BN son iguales

Fig. 10.10.

Dos cuerdas iguales equidistan del centro.

Las cuerdas AM y CD son iguales. Los arcos AB y CD son iguales. Los segmentos OM y ON son iguales.

Ángulo central en una circunferencia es el formado por dos radios de esa circunferencia. Dichos radios cortan a la circunferencia en dos puntos que definen un arco. Es el arco correspondiente a ese ángulo central.

Existe proporcionalidad entre los ángulos centrales y los arcos correspondientes. Es decir, a ángulos centrales iguales en una misma circunferencia, corresponden arcos iguales.

Fig. 10.11

Fig. 10.12

Page 40: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

40

Ángulo inscrito

Ángulo inscrito en una circunferencia es el que tiene un vértice sobre la circunferencia y está formado por dos cuerdas.

Todo ángulo inscrito determina sobre la circunferencia un arco entre los puntos donde las cuerdas cortan a la circunferencia.

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Fig. 10.13

Hay tres casos, según que, 1º) uno de los lados pase por el centro, 2º) el centro esté entre los la-dos, y 3º) el centro quede fuera del ángulo.

1º) En el triángulo OAB a = a’ por ser el triángulo OAB isósceles. a + a’ = b Sumando ambas expresiones. 2·a = b

a = 2

1·b c.q.d.

2º) Trazamos el diámetro BD ángulo ABC = a + b

a = 2

1·arco AD

b = 2

1· arco DC

ángulo ABC = 2

1

· arco AC 3º) Trazamos el diámetro BD ángulo ABC = a – b

a = 2

1· arco AD

b = 2

1· arco CD

Restando estas dos igualdades.

ángulo ABC = 2

1·arco AD -

2

1· arco CD =

2

1· arco AC

CONSECUENCIAS

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es igual a 90º (un recto). Todos los ángulos inscritos sobre un mismo arco son iguales.

Page 41: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

41

Ángulo semiinscrito

Fig. 10.14

Ángulo semiinscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por una cuerda y una tangente.

La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados Efectivamente, un ángulo semiinscrito se puede considerar como un caso particular del ángulo

inscrito donde uno de sus lados es justamente la tangente.

Ángulo interior

Ángulo interior en una circunferencia es el formado por dos porciones de cuerdas que se cortan en el interior de una circunferencia.

La medida de un ángulo interior es la semisuma de los arcos delimi-tados sobre la circunferencia por sus lados y sus prolongaciones.

Prolongamos los lados BA y BC hasta cortar a la circunferencia en E y D, respectivamente. Unimos D con A. En el triángulo ABD.

b = a + a’ Fig. 10.15.

a = 2

1·arco AC

a’ = 2

1· arco DE

Sumando estas dos igualdades.

b = 2

1·(arco AC + arco DE)

Angulo exterior

Ángulo exterior es el que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y está formado por; a) dos secantes, b) una secante y una tangente, c) dos tangentes.

La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.

Fig. 10.16

Page 42: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

42

a) Trazamos la secante AD. En el triángulo ABD

a + b = a’

Restando a en los dos miembros

b = a’ – a

Como a y a’ son inscritos.

b = 2

1·(arco AC – arco ED)

b) Trazamos la secante CA. Demostración análoga.

c) Trazamos la secante AC. Demostración análoga.

CUADRO RESUMEN

ÁNGULO

MEDIDA

Central arco comprendido entre sus lados

Inscrito mitad del arco comprendido entre sus lados

Semiinsc

rito

mitad del arco comprendido entre sus lados

Interior semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados

Exterior semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus

lados

Medida de ángulos. El radián

Para la medida de ángulos utilizamos las siguientes unidades.

a) Grados sexagesimales. Su origen es babilonio. Utiliza como base el 60. La circunferencia se

divide en 360 partes iguales (grados), aproximación práctica al número de días que tarda la

Tierra en girar en torno al Sol. Con este sistema de numeración, muchos ángulos comunes en

geometría tienen valores enteros.

b) Grados centesimales, se utiliza preferentemente en las medidas topográficas, sus unidades son más pequeñas que las correspondientes del sistema sexagesimal.

Page 43: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

43

c) Radianes. Se define el radián como el ángulo que abarca sobre una circunferencia un arco de longitud igual a su radio.

El radián es la unidad natural de los ángulos. En todas las fórmu-las de la Física y la Matemática, donde aparezca una magnitud an-gular debemos expresarla en radianes.

Llamando.

R radio de la circunferencia

l longitud del arco AB Fig. 10.17.

Entonces, α = 1 radián, si l = R

Si un ángulo de 1 radián abarca sobre la circunferencia un arco de R unidades, entonces un án-gulo α cualquiera, expresado en radianes abarca un arco de x unidades. Por tanto.

O, dicho de otra forma.

Para transformar ángulos sexagesimales en ángulos en radianes.

Recordando que la longitud de una circunferencia es de 2· ·R y abarca un arco de 360º

2· ·R ........................ 360º

R ................................. xº

º180

R··2

R·º360x

o180

radián1

EQUIVALENCIAS ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES

0º 30º 45º 60º 75º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

0 6

4

3

12

·5

2

3

·2

6

·5

6

·7

3

·4

2

·3

3

·5

6

·11 0

x = α · R

arco = ángulo (radianes) · radio

180º = radianes

Page 44: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

44

Igualdad de ángulos

Dos ángulos son iguales, cuando.

a) Tienen los lados paralelos.

Fig. 10.18.

b) Tienen los lados perpendiculares.

Fig. 10.19.

c) Son opuestos por el vértice.

Fig. 10.20.

d) Son alternos internos (formados por la intersección de una recta a dos paralelas)

Fig. 10.21.

e) Son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco.

Fig. 10.22.

Page 45: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

45

nº total de diagonales en un polígono = 2

)3n·n

10.7. Polígonos regulares. Definiciones elementales

Se define el concepto de polígono como la superficie plana comprendida dentro de una línea poligonal cerrada.

Un polígono decimos que es convexo si al prolongar todos y cada uno de los lados en ambos sentidos, el polígono queda a una misma parte de dicha línea.

Un polígono es cóncavo si al prolongar al menos uno de los lados, en ambos sentidos, el polígono queda dividido en dos partes.

Fig. 10.23.

En un polígono;

el nº de lados = nº de vértices = nº de ángulos interiores.

Un polígono se dice que es regular cuando todos sus lados y ángulos son iguales.

Conviene recordar la etimología del término “gono”, del griego = ángulo. De ahí derivan los términos “polígono” = varios ángulos, “goniómetro” = aparato para medir ángulos, “pentágono” = cinco ángulos, “trigonometría” = medida de los tres ángulos.

Fig. 10.24.

En un polígono regular podemos trazar las mediatrices (perpendicular en el punto medio) de dos lados cualquiera. El punto donde se cortan las mediatrices es el centro del polígono, que a su vez coincide con el centro de la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita a dicho polígono.

NOTA: En adelante cuando mencione el término “polígono” daré por sentado que se trata de un polígono regular y convexo, mientras no se indique lo contrario.

Llamamos radio del polígono a la distancia entre el centro del polígono y uno cualquiera de sus vértices.

Llamamos apotema de un polígono a la distancia entre el centro del polígono y el punto medio de uno cualquiera de sus lados.

Diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no consecutivos de dicho polígono.

En un polígono de n lados hay n vértices. Desde cada vértice se pue-den trazar (n – 3) diagonales (descontamos el propio vértice y los dos contiguos). El mismo proceso puede extenderse al resto de los n vér-tices. Además, como la diagonal AC es igual a la diagonal CA, de-bemos dividir por 2 el resultado anterior.

Fig. 10.25.

Page 46: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

46

ángulo exterior = n

º360

Ángulo interior

En un polígono definimos ángulo interior como el formado por dos lados contiguos. En la figura representamos todos los ángulos interiores del polígono ABCDE.

Veamos ahora cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Sea el triángulo ABC de la figura. Es fácil ver que;

A = A’, C = C’ y A’ + B + C’ = 180º

A + B + C = 180º

Fig. 10.26.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º

Tomemos ahora un polígono cualquiera, por ejemplo el ABCDEF. Desde el vértice A tracemos todas las diagonales posibles. Se forman 4 triángulos. Y, en general, en un polígono de n lados se formarán (n – 2) triángulos.

Si nos fijamos en la figura observaremos que la suma de los ángulos interiores del polígono coincide con la suma de todos los triángulos así formados. Por tanto.

Fig. 10.27.

Suma de los ángulos interiores de un polígono = 180º · (n – 2)

Y si se tratara de un polígono regular, cada ángulo interior vale.

Ángulo exterior

Es el formado por un lado y la prolongación del

contiguo.

Sea el polígono ABCDE donde están señalados los ángulos exteriores e interiores.

En cada vértice la suma del ángulo exterior e interior vale 180º.

Ai + Ae = 180º

Fig. 10.28.

Eso se repite para los n vértices, luego. Si + Se = 180º·n Despejando. Se = 180º·n – Si = 180º·n – 180º·(n – 2) Se = 360º Si el polígono fuera regular.

ángulo interior = n

2n·º180

Page 47: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

47

3·Rl

ángulo central = n

º360

2

Ra

Ángulo central

Si en un polígono regular unimos el centro de dicho polígono con cada uno de sus vértices se forman n triángulos isósceles. Llamamos ángulo central al formado por dos radios contiguos.

La suma de todos los ángulos centrales vale 360º. Si el polígono es regular todos los ángulos centrales son iguales y por tanto, cada uno vale.

Relaciones entre el radio, la apotema y el lado en el triángulo, cuadrado y hexágono

Todo polígono regular puede circunscribirse en una circunferencia. Estudiemos las relaciones matemáticas entre el lado, apotema y radio.

a) Triángulo equilátero

El triángulo ABD es rectángulo (B = 90º).

BD = R, por ser el lado del hexágono regular. Aplicamos Pitágoras.

(2·R)2 = l2 + R2

3·R2 = l2

Fig. 10.29.

En el triángulo rectángulo OEC.

a2 = R2 –

2

2

3·R

Page 48: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

48

l = 2·R·sen α = 2·R·sen o

n

180

l = R·tg α = R·tg

o

n

180

2·Rl

2

la

2

3·Ra

b) Cuadrado

Aplicamos Pitágoras al triángulo CDB

(2·R)2 = l2 + l2

4·R2 = 2·l2

Fig. 10.30.

c) Hexágono

El triángulo OAB es equilátero (todos sus ángulos miden 60º, ver ta-bla).

Radio = lado

Aplicamos Pitágoras al triángulo OCB

CB = 2

R

2

l a2 = R2 –

2

2

R=

4

R·3 2

Fig. 10.31.

En general, en un polígono regular de n lados, uniendo el centro con los vértices, descomponemos la figura en n triángulos isósceles. Trazando la apotema a, se nos forma el triángulo rectángulo OBA. El

ángulo α valdrá o

n

180. Y, por tanto.

Fig. 10.32.

Page 49: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

49

Fig. 10.33.

10.8. Las curvas fundamentales (cónicas)

Las cónicas representan una familia de curvas planas que tienen en común ser el resultado de la intersección de un plano con una superficie cónica.

Si el plano es paralelo a la base del cono se obtiene una circunferencia.

Si el plano corta oblicuamente a la superficie cónica se obtiene una elipse.

Si el plano es paralelo a la generatriz del cono obtenemos una parábola.

Si el cono es perpendicular a la base del cono obtenemos dos ramas de hipérbola.

La Ecuación General de una sección cónica:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

El tipo de sección puede ser descubierta por el signo de: B2 - 4AC

Page 50: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

50

Si B2 - 4AC es... la curva es...

< 0 una elipse, un círculo, un punto o ninguna curva.

= 0 una parábola, 2 líneas paralelas, 1 línea o ninguna curva.

> 0 una hipérbola o 2 líneas intersectadas.

Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

En un sistema de coordenadas XOY.

C representa el centro, de coordenadas (a,b) P representa un punto genérico de la circunferencia de

coordenadas (x, y) r representa el radio de la circunferencia.

Por tanto, se cumple que. 222

rbyax

Fig. 10.34.

Desarrollando.

x2 + y2 – 2·a·x – 2·b·y + a2 + b2 – r2 = 0

Haciendo.

- 2·a = A

-2·b = B

a2 + b2 – r2 = C

Queda finalmente la ecuación de la circunferencia en el plano.

Una circunferencia queda determinada unívocamente dados tres puntos en el plano.

Suponiendo conocidos esos 3 puntos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos un sistema lineal de 3 ecuaciones que nos permiten conocer A, B y C y por tanto, la ecuación de la circunferencia que pasa por esos 3 puntos.

Ecuación de la tangente a la circunferencia

Partimos de la ecuación de la circunferencia en la forma

222rbyax

Sea el punto P(x1,y1) perteneciente a la circunferencia donde deseamos trazar la tangente.

x2 + y2 + A·x + B·y + C = 0

Page 51: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

51

c ea

La ecuación de la tangente en un punto de una función. )xx·(yyy 1

'

11

La derivada de la ecuación de la circunferencia. 2·(x – a) + 2·(y – b)·y’ = 0

by

axy

1

1'

1

Queda finalmente.

)xx·(by

axyy 1

1

11

Ecuación que puede transformarse en. x1·x + y1·y = r2

La elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de las distancias a dos fijos, llamados focos, dan una cantidad constante.

Fig. 10.35

AA’ = 2·a ............................. representa el eje mayor de la elipse

(a = semieje mayor)

BB’ = 2·b ............................. representa el eje menor de la elipse

(b = semieje menor)

FF’= 2·c ............................... representa la distancia focal (c = semidistancia focal)

Fig. 10.36. FM = r, F’M = r’ representan los radios vectores

la distancia focal c es menor que el semieje mayor a. c < a

el cociente se llama excentricidad de la elipse. Indica su mayor o menor achatamiento. La excentricidad oscila entre los valores (0 – 1). Si la excentricidad vale 0, estamos ante una cir-cunferencia. Si la excentricidad vale 1 estamos ante una línea recta.

la suma de los radios vectores es igual al eje mayor; r+ r’ = 2·a.

los radios vectores de los extremos del eje menor son iguales al semieje mayor; F’B = FB = a

los semiejes de la elipse y la semidistancia focal forman un triángulo rectángulo que puede resolverse por Pitágoras.

a2 = b2 + c2

Fig. 10.37

Page 52: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

52

1b

y

a

x2

2

2

2

Para obtener la ecuación de la elipse, suponemos un punto genérico M(x,y).

Las coordenadas de los focos son F(c, 0) y F’(– c, 0).

Como, MF’ + MF = 2·a

a·2ycxycx 2222

Elevamos al cuadrado.

b2·x2 + a2·y2 = a2·b2

Y en forma explícita.

22 xa·a

by

Tangente a la elipse

La tangente a la elipse en uno de sus puntos, (PT) es bisectriz del ángulo formado por uno de los radios vectores (FP) y la prolongación del otro (F’PA).

Área de una elipse: A = ·a·b

Longitud de una elipse: L = 2 2a b2

2

Fig. 10.38

La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equi-distan de un punto y de una recta fijos en el plano

Fig. 10.39.

Page 53: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

53

Fig. 10.40.

Ecuación de la parábola

Por definición de la parábola, el punto O equidista del foco F y del punto D.

2

2

0y2

pxMF

2

pxMN

MF = MN

Fig. 10.41. 2

2

y2

px =

2

px

Elevando al cuadrado y agrupando.

Si el parámetro p fuera negativo, la parábola se sitúa a la izquierda del eje de ordenadas. La ecuación anterior corresponde a una parábola con el eje coincidente con el eje de abscisas. Si el eje de la parábola fuera vertical, entonces la ecuación anterior se transforma en.

x2 = 2·p·y

2x·p·2

1y

Si el parámetro p fuera negativo, la parábola se sitúa por debajo del eje de abscisas

Fig. 10.42.

y2 = 2·p·x

F ............. es el foco de la parábola

DD’ .......... es la directriz de la parábola

FM .......... radio vector

DX .......... eje de la parábola

A ............. vértice la parábola

FD = p .... parámetro de la parábola

Page 54: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

54

Tangente a la parábola

La tangente a la parábola (PT) es bisectriz del ángulo exterior for-mado por el radio vector del punto de contacto (FP) y la paralela al eje trazada por dicho punto (PD).

Fig. 10.43.

La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuyas distancias a dos fijos, restadas, dan una cantidad constante.

Fig. 10.44. Fig. 10.45.

F y F’ focos de la hipérbola

r’ y r radios vectores (r – r’ = 2·a)

AA’= 2·a eje principal o real

BB’ eje secundario o imaginario

FF’ distancia focal = 2·c

A y A’ vértices de la hipérbola

a

c= e excentricidad de la hipérbola (siempre > 1) Fig. 10.46.

la diferencia de los radios vectores en cualquier punto de la hipérbola = 2·a

el eje secundario no corta a la hipérbola

los ejes de la hipérbola son ejes de simetría

Page 55: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

55

1b

y

a

x2

2

2

2

Ecuación de la hipérbola

De la definición de hipérbola.

MF’ – MF = 2·a

a·2ycxycx 2222

Aislando uno de los radicales, elevando al cuadrado y simplificando, queda.

(c2 – a2)·x2 – a2·y2 = a2·(c2 – a2) c2 – a2 = b2

Fig. 10.47.

En forma explícita.

22 ax·a

by

Donde se aprecia que y no es real para valores de x comprendidos entre – a y + a.

Asíntotas de la hipérbola

La ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto P(x1, y1), se obtiene derivando 1b

y

a

x2

2

2

2

y particularizando en el punto P.

0b

'y·y·2

a

x·222

1

2

1

2'

1y·a

x·by

)xx(·y·a

x·byy 1

1

2

1

2

1

O bien,

1b

y·y

a

x·x2

1

2

1

Sabemos que la asíntota a una curva es la posición límite de la tangente cuyo punto de contacto se aleja al infinito. En el caso de la hipérbola, a partir de la ecuación anterior.

11

2

1

2 x

1

x·b

y·y

a

x 1

b

y

a

x2

2

1

2

2

1

Page 56: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

56

Combinando ambas expresiones y hallando el límite cuando x

Lo que nos dice que la hipérbola tiene dos asíntotas que pa-

san por el eje de coordenadas. Son las diagonales del rectán-

gulo PMQN, de lados 2·a y 2·b.

Fig. 10.48.

Hipérbola equilátera

Recibe el nombre de hipérbola equilátera aquella que tiene los dos ejes iguales. Es decir; b = a

Se verifica que c2 = a2 + a2 = 2·a2

Su ecuación es.

1a

y

a

x2

2

2

2

Fig. 10.49.

Sus asíntotas toman la forma

x – y = 0

x + y = 0

Que son las bisectrices de los ejes principales.

Haciendo, 2

ak

2

. La ecuación asintótica, es decir, la ecuación referida a unos ejes coincidentes

con las asíntotas, toma la forma.

x·y = k

x·a

by x·

a

by

x2 – y2 = a2

Page 57: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

57

10.9. Lugares notables y teoremas básicos de los triángulos

El triángulo es el polígono más simple pero en su sencillez encierra una serie de propiedades muy interesantes.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º

Fig. 10.50.

Una estructura articulada plana triangular es indeformable

Fig. 10.51.

a) Mediatrices. Circuncentro

MEDIATRIZ de un segmento es la perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.

En la figura, DD’, FF’, y EE’ representan las mediatrices.

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un mismo punto; el CIRCUNCENTRO.

El circuncentro equidista de los 3 vértices; OA = OB = OC y por tanto es el centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Fig. 10.52.

b) Alturas. Ortocentro

ALTURA correspondiente a un lado de un triángulo es la perpendicular trazada a dicho lado o su prolongación, desde el vértice opuesto.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO.

El triángulo formado al unir los puntos de corte de las alturas con los lados correspondientes, se llama triángulo órtico. El triángulo órtico tiene la propiedad de ser el triángulo de perímetro mínimo inscrito en un triángulo.

Fig. 10.53.

Page 58: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

58

cp·bp·ap·pA

Conocidas las longitudes de los tres lados; a, b y c.

Hacemos p igual al semiperímetro del triángulo

2

cbap

Las alturas pueden calcularse según.

Fig. 10.54. cp·bp·ap·p·a

2ha

cp·bp·ap·p·b

2hb

cp·bp·ap·p·c

2hc

Conocida la altura es fácil calcular el área del triángulo.

A = bh·b·2

1

Sustituyendo.

Que es la llamada Fórmula de Herón de Alejandría, la cual permite obtener el área de un triángulo sabiendo la longitud de sus lados.

c) Medianas. Baricentro

MEDIANA de un triángulo es el segmento formado al unir un vértice con el punto medio del lado opuesto.

En la figura están representadas por los segmentos AA’, BB’ y CC’.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado BARICENTRO. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de gravedad del triángulo. Es decir, suspendiendo el triángulo de ese punto, quedaría en posición perfectamente horizontal.

Fig. 10.55.

El baricentro está situado a 2/3 del vértice y a 1/3 de la base. Es decir, OB = 3

2·BB’ y OB’ =

3

1·BB’.

Los 6 triángulos interiores en que queda dividido el triángulo grande al trazar sus medianas tie-nen igual área.

La longitud de las medianas pueden obtenerse mediante.

Page 59: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

59

222

a ac2b·2·2

1m

222

b bc2a·2·2

1m

222

c cb2a·2·2

1m

d) Bisectrices. Incentro y excentro

BISECTRIZ de un ángulo es la recta que

divide al ángulo en dos mitades.

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado INCENTRO.

El incentro equidista de los tres lados. Es decir; OA’ = OB’ = C’. Es por tanto, el centro de la circunferencia inscrita a dicho triángulo. Si halláramos las bisectrices de dos ángulos exteriores y prolongamos la bisectriz del ángulo interior opuesto comprobaríamos que se cortan en un mismo punto, llamado EXCENTRO. El excentro es el centro de la circunferencia tangente a un lado del triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados.

Fig. 10.56.

e) Recta de Euler

El baricentro, el circuncentro y el ortocentro de un triángulo están alineados. La recta que une esos puntos se llama recta de Euler

La distancia ortocentro-baricentro es el doble de la distancia baricentro-circuncentro

Fig. 10.57.

Relaciones métricas. Teorema del cateto

Sea el triángulo rectángulo ABC de la figura. Los triángulos ABD y ACD son semejantes por; a) ser

rectángulos y b) tener un ángulo común, el B. Escribimos la proporcionalidad de los lados

homólogos.

m

c

c

a

Fig. 10.58. c2 = a·m

Page 60: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

60

De igual forma, los triángulos ACD y ABC son semejantes por; a) ser rectángulos y b) tener un ángulo común, el C.

Escribimos la proporcionalidad de los lados homólogos.

n

b

b

a

b2 = a·n

Teorema del cateto: “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual a la hipotenusa por al proyección de este cateto sobre ella”.

Teorema de la altura

En el triángulo rectángulo ABC, los triángulos ABD y ACD son semejantes por; a) ser rectángulos, b) B = , por lados perpendiculares.

Escribimos la proporcionalidad de los lados homólogos.

h

n

n

h

Fig. 10.59.

Teorema de la altura: “En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa”.

Combinando las expresiones del teorema del cateto.

c2 = a·m

b2 = a·n

Multiplicamos las dos igualdades miembro a miembro.

c2·b2 = a2·m·n

Como, por el teorema de la altura, m·n = h2

c2·b2 = a2·h2

“El producto de los dos catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura correspondiente”

c·b = a·h

h2 = m·n

c2 = a·m

b2 = a·n

Page 61: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

61

Teorema de Pitágoras

Tomemos ahora las dos expresiones del teorema del cateto.

c2 = a·m

b2 = a·n

Sumemos las dos igualdades miembro a miembro.

Fig. 10.60 c2 + b2 = a·(m + n)

Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Fig. 10.61

El teorema de Pitágoras es quizá el más usado en geometría

elemental. Su antigüedad se remonta a las antiguas culturas egipcias

quienes utilizaban triangulaciones para volver a situar los límites de sus

tierras cuando las inundaciones periódicas del Nilo deshacían las

marcas. A Pitágoras, sabio griego del 600 a.C. se le atribuye la

demostración general de esta curiosa propiedad.

Fig. 10.62.

c2 + b2 = a2

Page 62: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

62

Existen muchas formas de demostrarlo. He incluido una muy curiosa, debida al astrónomo del XIX, Henry Perigal. Por el centro del cuadrado construido sobre el cateto mayor se trazan para-lelas a los lados del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Se forman 4 trapecios que junto al cuadrado sobre el cateto menor, encajan perfectamente en el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Fig. 10.62.

10.9.1. Definiciones elementales

Sea la circunferencia de radio OA y en su interior situamos el triángulo rectángulo AOB. Definimos.

sen = OA

AB cosec =

AB

OA

sen

1

cos = OA

OB sec =

OB

OA

cos

1

Fig. 10.63. tg = OB

AB cotg =

AB

OB

tg

1

Las 6 razones trigonométricas así definidas tienen la propiedad de mantenerse constantes para un ángulo dado, independientemente del tamaño del triángulo considerado.

Las razones trigonométricas, al ser cociente de dos longitudes dan como resultado una canti-dad adimensional.

Interpretación geométrica de las funciones trigonométricas

Consideremos una circunferencia de radio unidad; OA = 1.

sen = OA

AB El SENO viene representado por la longitud del segmento AB.

Fig. 10.64.

Page 63: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

63

cos = OA

OB El COSENO viene representado por la longitud del

segmento OB.

Fig. 10.65.

tg = OD

CD

OB

AB La TANGENTE viene representada por la longitud

del segmento CD.

Fig. 10.66.

cosec = OE

OF

AB

OA

sen

1 La COSECANTE viene representada

por la longitud el segmento OF.

Fig. 10.67.

sec = OD

OC

OB

OA

cos

1 La SECANTE viene representada por la

longitud del segmento OC.

Fig. 10.68

cotg = OE

EF

AB

OB

tg

1 La COTANGENTE viene representada

por la longitud del segmento EF.

Fig. 10.69

Page 64: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

64

sen2 + cos2 = 1

Signo de las razones trigonométricas

Relaciones entre las funciones trigonométricas

a) En el triángulo rectángulo AOB, aplicamos Pitágoras.

OA2 =OB2 + AB2

Elegimos una circunferencia de radio unidad; OA = 1.

Recordando la equivalencia geométrica de cada relación trigonométrica.

Fig. 10.70

A partir de la expresión anterior podemos obtener.

2cos1sen

2sen1cos

b) Por definición de TANGENTE.

tg = OB

AB

c) En la expresión.

sen2 + cos2 = 1

Dividimos todos los términos por cos2 y despejamos cos .

2tg1

1cos

tg = cos

sen

Page 65: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

65

d) En la expresión.

sen2 + cos2 = 1

Dividimos todos los términos por sen2 y despejamos sen .

Es frecuente realizar el cambio de variable tg = m. Con lo cual, las expresiones anteriores quedan.

Razones trigonométricas de ángulos notables

Es fácil deducir, a partir de la geometría de un triángulo equilátero y de un cuadrado y su diagonal los valores de las razones trigono-métricas de estos ángulos tan usuales en ma-temáticas.

Gráficas de las funciones trigonométricas básicas.

Fig. 10.71 Fig. 10.72

Las funciones seno y coseno oscilan entre los valores +1 y -1, estando desplazadas 90º una de la otra.

2tg1

tgsen

tg = m

2m1

msen

2m1

1cos

Page 66: Cuaderno 1 - CONCEPTOS ELEMENTALES BÁSICOS PARA INICIAR EL CAMINO EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

66

Relaciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos.

Conocido el seno y el coseno de los ángulos a y b, intentemos hallar los correspondientes del ángulo suma.

Fig. 10.73

seno (a + b) = OC

asen·ONacos·CN

OC

MNCD

OC

CE

bsen·acosbcos·asenOC

asen·bcos·OCacos·bsen·OC

sen (a – b) = sen a·cos b – cos a·sen b

cos (a + b)= OE OM DN

cos a ·cos b sen a ·sen bOC OC

cos (a – b) = cos a·cos b + sen a·sen b

tan 2a = 2

2tang a1 tang a

Teorema del seno y el coseno

En el triángulo como el de la figura adjunta, se cumplen las siguientes formulaciones:

Teorema del coseno

a² = b² + c² - 2bc cos

b² = a² + c² - 2ac cos

c² = a² + b² - 2ab cos

Teorema del seno

a b c 2rsen sen sen

Fig. 10.74

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ANEJO

*TERMINOLOGÍA BÁSICA EMPLEADA EN EL MUNDO DE LA CONSTRUCCIÓN

*Obtenida del Código Técnico de la Edificación

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1. Acción previsible: Acción que debe ser tenida en cuenta conforme a la reglamentación vigente. 2. Acción o carga: Toda causa o agente actuante capaz de generar estados tensionales o deformaciones tanto en las estructuras como en el terreno. 3. Adhesión: Resistencia al corte de un contacto terreno-estructura, cuando la presión normal efectiva sobre el contacto es nula. 4. Agentes de la edificación: Todas las personas físicas o jurídicas que intervienen en el proceso de la edificación según se establece en la LOE. 5. Altura piezométrica: Altura que alcanza el nivel del agua al colocar un tubo piezómétrico en un punto. 6. Ángulo de rozamiento interno: Ángulo cuya tangente es la derivada de la resistencia al corte respecto a la presión normal efectiva. 7. Arcillas: Fracción de suelo con las partículas de tamaño inferior a 0,002 mm y en las que se las puede determinar un límite plástico y un límite líquido. 8. Arena: Fracción de suelo cuyas partículas tienen un tamaño comprendido entre 0,06 mm y 2 mm. Fina hasta 0,2 mm; media hasta 0,6 mm; gruesa por encima de 0,6 mm. 9. Armaduras:

a. Acero para armar: Acero para armaduras de uso en fábricas. b. Armadura de tendel: Armadura de acero prefabricada para su colocación en

los tendeles c. Acero para pretensar: Acero para alambres, barras, torzales, cordones o

cables, de uso en fábricas.

10. Bienestar térmico: Condiciones interiores de temperatura, humedad y velocidad del aire establecidas reglamentariamente que se considera producen una sensación de bienestar adecuada y suficiente en sus ocupantes. 11. Borde: Arista paralela al eje longitudinal de una pieza de madera u otro material de sección rectangular. Cada elemento mecánico de fijación debe situarse, en una determinada unión, a una distancia mínima del borde. Véase testa. 12. Capa de chapas de madera: Pieza plana formada por una, dos o más capas de madera de la misma especie arbórea y con las mismas propiedades mecánicas. Cuando la forman dos o más chapas éstas van encoladas entre sí con la dirección de la fibra paralela. Véase tablero contrachapado. 13. Carga: Fuerza, debida a la gravedad, que actúa sobre un edificio y que interesa a su estructura. 14. Carga de nieve: Carga producida por la nieve. 15. Cerramiento: Elemento constructivo del edificio que lo separa del exterior, ya sea aire, terreno u otros edificios. 16. Chapa de madera: Hoja de madera de espesor inferior a 7 mm obtenida, de un tronco de árbol maderable, por desenrollo o a la plana y con las que se conforma la capa de chapas de un tablero contrachapado. 17. Coeficiente de seguridad: Relación entre el valor característico de una determinada propiedad o magnitud y el valor de cálculo requerido en estudio de un determinado problema. 18. Coeficiente de seguridad parcial de la resistencia del terreno: Factor por el que se divide la resistencia característica del terreno para obtener la resistencia de cálculo. 19. Coeficiente de seguridad parcial para los efectos de las acciones sobre el terreno: Factor por el que se multiplican los efectos de las acciones sobre la cimentación, para obtener los valores de cálculo de los efectos de las acciones. 20. Cohesión: Resistencia al corte del terreno cuando la presión normal efectiva es nula.

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21. Componentes auxiliares: a. Barrera antihumedad: Lámina impermeabilizante, piezas de fábrica u otro

material que se coloca en las fábricas para impedir el paso del agua. b. Llave: Dispositivo que enlaza una hoja de un muro capuchino con la otra a

través de la cámara, o con un entramado, o con un muro de trasdós. c. Amarre: Dispositivo que enlaza elementos de fábrica con otros elementos

contiguos, como suelos o cubiertas. 22. Comportamiento dinámico inadmisible: Nivel de vibraciones u oscilaciones de una estructura, que no cumple con lo establecido en la reglamentación vigente. 23. Comportamiento estructural adecuado: Comportamiento de una estructura y de las distintas partes que la componen, que no supone efectos indebidos. 24. Consolidación primaria: Proceso de reducción de volumen de los suelos saturados debido a la expulsión de agua. 25. Construcción: Conjunto de actividades para la realización física de la obra. El término cubre la construcción in situ, pero también la fabricación de partes en taller y su posterior montaje in situ. 26. Constructor: Es el agente que asume, contractualmente ante el promotor, el compromiso de ejecutar con medios humanos y materiales, propios o ajenos, las obras o parte de las mismas con sujeción al proyecto y al contrato, y siguiendo las instrucciones del director de obra y del director de la ejecución de la obra. 27. Contenido de humedad de la madera: Masa de agua contenida en la madera, expresada en porcentaje respecto a su masa anhidra. Véase humedad de equilibrio higroscópico. 28. Control de calidad: Conjunto de actividades que, desarrolladas a lo largo de todo el proceso de construcción, tienen como objetivo comprobar que el edificio cumple lo especificado en este DB (bien de forma directa o bien mediante referencia a otros documentos), así como lo contenido en el pliego de condiciones. 29. Cordones: Piezas principales, en soportes compuestos, de madera aserrada o de madera laminada encolada. 30. D50: En el ensayo granulométrico, tamaño de partícula correspondiente al 50% que pasa. 31. Daño de fatiga: En un elemento estructural es el debido a la iniciación y/o propagación de fisuras provocadas por la fluctuación repetida de tensiones. 32. Deformación inadmisible: Nivel de deformación que supera los límites de deformación admisibles establecidos en la reglamentación vigente. 33. Degradación inadmisible: Nivel de degradación que no cumple con las exigencias establecidas en la reglamentación vigente. 34. Demanda energética: Es la energía necesaria para mantener en el interior del edificio unas condiciones de confort definidas reglamentariamente en función del uso del edificio y de la zona climática en la que se ubique. Se compone de la demanda energética de calefacción y refrigeración, correspondientes a los meses de la temporada de calefacción y refrigeración respectivamente. 35. Diaclasa: Superficie de discontinuidad del macizo rocoso originada por las tensiones experimentadas. 36. Dirección de la fibra: Dirección de las células alargadas que constituyen fundamentalmente la madera y son visibles en la superficie de cortes planos y paralelos al eje de un tronco de árbol maderable. En general, la dirección de la fibra, coincide con la dirección del eje longitudinal de la pieza de madera aserrada (tabla, tablón, etc). 37. Dirección facultativa: Está constituida por el director de obra y el director de la ejecución de la obra. 38. Director de la ejecución de la obra: Es el agente que, formando parte de la dirección facultativa, asume la función técnica de dirigir la ejecución material de la obra y de controlar cualitativa y cuantitativamente la construcción y la calidad de lo edificado. 39. Director de obra: Es el agente que, formando parte de la dirección facultativa, dirige el desarrollo de la obra en los aspectos técnicos, estéticos, urbanísticos y

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medioambientales, de conformidad con el proyecto que la define, la licencia de edificación y demás autorizaciones preceptivas las condiciones del contrato, con el objeto de asegurar su adecuación al fin propuesto. 40. Edificio: Construcción fija, hecha con materiales resistentes, para habitación humana o para albergar otros usos. 41. Ejecución de la obra: Véase Construcción. 42. Elemento mecánico de fijación: Dispositivo de unión como clavo, tirafondo (tornillo rosca madera), pasador y perno. 43. Elementos estructurales: Parte de una estructura distinguible físicamente. Por ejemplo: pilar, viga, losa, zapata, etc. 44. Empalme: Unión de fuerza entre piezas en prolongación. 45. Empotramiento: Zona de cimentación que queda por debajo de la superficie del terreno. 46. Empuje activo: Empuje sobre una estructura de contención cuando ésta experimenta un desplazamiento suficientemente amplio en la dirección del movimiento del terreno. 47. Empuje al reposo: Empuje que corresponde a la situación ideal de desplazamiento nulo de una estructura de contención. 48. Empuje pasivo: Empuje sobre una estructura de contención cuando ésta experimenta un desplazamiento suficientemente amplio en dirección contraria al movimiento del terreno. 49. ER: Energía relativa en el ensayo SPT expresada en tanto por ciento. Cociente entre la energía real del golpe en el dispositivo utilizado y la nominal. 50. Esbeltez de un edificio: Relación entre la máxima altura sobre rasante y el fondo en la dirección del viento. 51. Estados límite: Aquellos estados o situaciones de la estructura, o de partes de la misma, que de alcanzarse y excederse ponen a la estructura fuera de uso por incumplimiento de las condiciones tensionales o funcionales límite preestablecido. 52. Estados límite de servicio: Situaciones que suponen que una obra, estructura o elemento, deja de cumplir los requisitos de calidad (por razones funcionales, estéticas, de durabilidad, etc) establecidos en el proyecto, aunque ello no implique la ruina o puesta fuera de servicio de modo inmediato. 53. Estados límite último: Situaciones que suponen la puesta fuera de servicio, de una determinada obra, estructura o elemento, como consecuencia de rotura, hundimiento, pérdida de estabilidad o cualquier otra forma de fallo. 54. Estructura: Conjunto de elementos, conectados entre ellos, cuya misión consiste en resistir las acciones previsibles y en proporcionar rigidez. 55. Exigencias básicas de calidad de los edificios: Características genéricas, funcionales y técnicas de los edificios que permiten satisfacer los requisitos básicos de la edificación. 56. Fábricas:

a. Fábrica: Conjunto trabado de piezas asentadas con mortero. b. Fábrica armada: Fábrica en la que se colocan barras o mallas, generalmente

de acero, embebidas en mortero u hormigón, de modo que todos los materiales trabajen en conjunto.

c. Fábrica pretensada: Fábrica en la que se han generado intencionalmente tensiones de compresión mediante tensado de tendones.

d. Fábrica confinada: Fábrica rodeada en sus cuatro lados por pilares y vigas de hormigón armado o fábrica armada (no proyectados para que trabajen como pórticos resistentes a flexión).

e. Aparejo de la fábrica: Disposición regular de las piezas trabadas para que trabajen conjuntamente.

57. Fluencia: Deformaciones diferidas del suelo sin modificar su estado tensional. 58. Gacha: Mezcla fluida de cemento, agua y arena para rellenar pequeños vacíos.

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59. Gradiente hidráulico: Derivada de la altura total de energía respecto a la distancia recorrida por el agua a lo largo de una línea de corriente. 60. Grado de consolidación: Porcentaje de las sobrepresiones intersticiales disipadas después de la aplicación de una carga sobre un suelo con respecto a la totalidad de las generadas por la aplicación de dicha carga. 61. Grado de saturación: Porcentaje de poros que están ocupadas por el agua. 62. Grava: Fracción de suelos cuyas partículas tienen un tamaño comprendido entre 2 mm y 60 mm. Fina hasta 6 mm; media hasta 20 mm; gruesa por encima de 20 mm. 63. Hinchamiento: Incremento de volumen que experimentan algunos suelos al aumentar su humedad. 64. Hinchamiento libre: Cambio porcentual de volumen que experimenta un suelo al saturarlo con presiones efectivas bajas. 65. Hormigón de relleno: Hormigón con la consistencia y el tamaño del árido adecuados para rellenar cámaras o huecos de la fábrica. 66. Humedad: Cociente entre el peso de agua contenido en una determinada muestra y el peso del terreno seco. 67. Humedad de equilibrio higroscópico: Contenido de humedad de la madera cuando no intercambia vapor de agua con la atmósfera que la rodea, si se mantiene constante la pareja de valores higrotérmicos temperatura y humedad relativa del aire. A cada pareja de valores higrotérmicos corresponde, por tanto, una humedad de equilibrio higroscópico en la madera. 68. Impacto: Colisión entre un cuerpo en movimiento y una construcción. 69. Índice de poros: Relación entre el volumen ocupado con los poros y el volumen ocupado por las partículas sólidas. 70. Influencia:

a. Influencia química, física o biológica que incide en una estructura, en las partes que la componen o en los elementos resistentes no estructurales, y que puede afectar de manera desfavorable a su comportamiento en servicio, y su resistencia y estabilidad.

b. Causa (que no pertenezca a las categorías de las acciones o de las mencionadas en a.) de efectos desfavorables en el comportamiento en servicio, o en la resistencia y estabilidad de una estructura, de las partes que la componen o de los elementos resistentes no estructurales. Por ejemplo: imperfecciones geométricas, defectos inducidos por los procesos de fabricación o montaje, errores humanos, etc.

71. Influencia previsible: Influencia que debe ser tenida en cuenta, conforme a la reglamentación vigente. 72. Juntas:

a. Tendel: Junta de mortero entre las tablas de las piezas de fábrica. b. Llaga: Junta de mortero perpendicular al tendel y a la cara del muro. c. Sutura: Junta de mortero vertical en el espesor del muro, paralela a su cara. d. Junta fina: Junta de mortero fino, con espesor máximo de 3 mm. e. Junta de movimiento: Junta que permite el libre movimiento en el plano del

muro. f. Llagueado: Proceso de acabado de la junta de mortero durante la

construcción. g. Rejuntado: Proceso de rascado, rellenado y acabado de la junta de mortero.

73. Lámina de madera: Cada una de las capas que conforman un elemento estructural de madera laminada encolada. Una capa o lámina está formada por tablas de madera aserrada, normalmente de la misma especie arbórea y de la misma clase resistente, empalmadas a testa, mediante uniones dentadas encoladas y, en su caso, también lateralmente de forma que cada lámina abarque toda la anchura y longitud de la correspondiente capa del elemento estructural. Esa disposición garantiza que la dirección de la fibra de las tablas se corresponda, constantemente, con la dirección de la directriz de la lámina de madera.

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74. Licencia municipal de obras: Acto administrativo por el cual el Ayuntamiento competente autoriza la ejecución de la obra proyectada, una vez comprobada su conformidad con la legalidad aplicable. 75. Limo: Fracción de suelo cuyas partículas pasan por el tamiz 0,06 UNE y son de tamaño superior a 0,002 mm. Si se pueden determinar unos límites plásticos y líquido su comportamiento es similar al de las arcillas. Si no se puede determinar su plasticidad su comportamiento es similar al de las arenas. 76. Madera: Materia leñosa y lignocelulósica situada entre la médula y la corteza de un árbol o arbusto. Como material de construcción, en estructura de madera, las especies arbóreas más utilizadas son las maderas coníferas (grupo botánico de las gimnospermas) y las maderas de frondosas (grupo botánico de las dicotiledóneas). Véanse:

- Madera aserrada - Madera laminada encolada - Tablero

77. Madera aserrada: Pieza de madera maciza obtenida por aserrado del árbol generalmente escuadrada, es decir con caras paralelas entre sí y cantos perpendiculares a las mismas. Se la denomina también:

- Madera maciza (véase, en madera maciza, otra acepción) - Madera estructural

78. Madera de coníferas: Véase madera 79. Madera de frondosas: Véase madera 80. Madera estructural: Véase madera 81. Madera laminada encolada (elemento estructural de): Elemento estructural formado por láminas de madera, encoladas en varias capas superpuestas hasta conseguir la altura (canto mecánico) en cada sección transversal del elemento estructural proyectado. Véanse:

- Madera laminada encolada homogénea - Madera laminada encolada cambiada

82. Madera laminada encolada cambiada (elemento estructural de): Elemento estructural de madera encolada cuya sección transversal está constituida por láminas de madera de diferente clase resistente, de tal forma que las láminas extremas son de clase resistente superior a las internas (próximas al eje neutro de la sección). 83. Madera laminada encolada homogénea (elemento estructural de): Elemento estructural de madera laminada encolada cuya sección transversal está constituida por láminas de madera de la misma clase resistente. 84. Madera maciza: Denominación, muy extendida, para la madera aserrada y que puede extenderse a la madera de rollizo. En la determinación de la clase de riesgo de ataque por agentes biológicos se entenderá por madera maciza tanto la madera aserrada como la madera laminada encolada. 85. Madera microlaminada: Producto derivado de la madera para uso estructural fabricado con chapas de madera de pequeño espesor (del orden de 3 a 5 mm) encoladas con la misma dirección de la fibra. Con frecuencia es conocida con las siglas de su nombre en inglés, LVL. 86. Mantenimiento: Conjunto de actividades destinadas a conservar el edificio o las partes que lo componen para que, con una fiabilidad adecuada, cumplan con las exigencias establecidas. 87. Mantenimiento previsto: Mantenimiento que, para cada edificio, consiste en el cumplimiento de las Instrucciones de uso y mantenimiento contenidas en el Libro del Edificio. 88. Marcado “CE”: Marcado que deben llevar los productos de construcción para su libre circulación en el territorio de los Estados miembros de la Unión Europea y países parte del Espacio Económico Europeo, conforme a las condiciones establecidas en la Directiva 89/106/CEE u otras Directivas que les sean de aplicación.

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89. Materia activa de un protector de madera: Compuesto químico o sustancia incluida en un producto protector de la madera para dotarle de una actividad específica frente a los diversos tipos de agentes biológicos destructores de la madera. 90. Módulo de balasto: Razón entre la tensión aplicada sobre una superficie y el desplazamiento producido. Designado asimismo como módulo de reacción o módulo de Winkler. 91. Morteros:

a. Mortero: Mezcla de conglomerantes inorgánicos, áridos y agua, y, en su caso, adiciones y aditivos.

b. Mortero ordinario: Mortero para juntas de espesor mayor de 3 mm y en cuya elaboración se utilizan sólo áridos ordinarios.

c. Mortero de junta delgada: Mortero por dosificación para juntas de espesor entre 1 mm y 3 mm.

d. Mortero ligero: Mortero por dosificación cuya densidad en desecado sea inferior a 1500 Kg/m³

e. Mortero por resistencia: Mortero elaborado de modo que en los ensayos cumpla las propiedades establecidas.

f. Mortero por dosificación: Mortero elaborado con una dosificación establecida, cuyas propiedades se suponen ligadas a ella.

g. Mortero preparado: Mortero dosificado y amasado en factoría, y servido en obra.

h. Mortero seco: Constituyentes secos del mortero con la dosificación y condiciones exigidas mezclados en factoría, que se amasan en obra.

i. Mortero de obra: Cuyos componentes se dosifican y se amasan en obra. j. Resistencia a compresión del mortero: Resistencia media a compresión de

probetas de mortero ensayadas tras 28 días de curado. 92. NSPT: Número de golpes en el ensayo SPT, corregido para una energía relativa del 60%, es decir aplicando el factor Er/60. 93. Particiones interiores: Elemento constructivo del edificio que divide su interior en recintos independientes. Pueden ser verticales u horizontales (suelos y techos). 94. Periodo de retorno: Probabilidad de ocurrencia de un determinado evento en un periodo de referencia definido. 95. Peso específico aparente: Peso real de una muestra (partículas sólidas más agua) dividido entre volumen total de la misma. 96. Peso específico saturado: Peso específico correspondiente a una muestra saturada, con todos sus poros llenos de agua. 97. Peso específico seco: Peso de las partículas sólidas, dividido por el volumen total de la muestra. 98. Peso específico sumergido: Peso específico del material saturado al estar sumergido en agua en condiciones hidrostático. 99. Peso propio: Carga producida por la gravedad en al masa de los elementos constructivos. 100. Piezas de fábricas:

a. Pieza de fábrica: Componente conformado, para utilizarse en la construcción de fábricas.

b. Piezas macizas, perforadas, aligeradas o huecas: Designación de las piezas de fábrica, según el porcentaje, tamaño y orientación de sus huecos.

c. Tabla: Cara superior o inferior de una pieza de fábrica colocada en posición. d. Rebajo: Rehundido conformado durante la fabricación, en una o ambas

tablas de la pieza. e. Hueco: Vacío conformado en una pieza que puede o no atravesarla

completamente. f. Asa: Vacío conformado en una pieza para facilitar su manejo y permitir

levantarla con las manos o con utillaje. g. Tabiquillo: Material entre huecos de una pieza.

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h. Pared: Material perimetral entre una cara de una pieza y un hueco. i. Área bruta: Área de la sección de la pieza sin descontar el área de los

huecos, asas y rebajes. j. Resistencia a compresión de piezas de fábrica: Resistencia media a

compresión. k. Resistencia normalizada a compresión de piezas de fábrica: Resistencia

a compresión de las piezas de fábrica por asimilación a la resistencia a compresión de una pieza equivalente secada al aire, de 100 mm de ancho x 100 mm de alto.

l. Resistencia característica a compresión de piezas de fábrica: Resistencia a compresión correspondiente al fráctil 5% de la resistencia.

101. Porosidad: Relación entre el volumen ocupado por los poros y el volumen total de la muestra (partículas sólidas + poros). 102. Presilla: Pieza de madera que enlaza exteriormente, en cada tramo, todos los cordones de un soporte compuesto. 103. Presión de hinchamiento: Presión efectiva que evita la expansión de un suelo durante su saturación. 104. Presión de sobreconsolidación: Máxima presión efectiva que ha soportado un suelo a lo largo de su historia geológica. 105. Presión intersticial: Presión (en exceso sobre la presión atmosférica) del agua en los vacíos de un suelo o roca saturados. 106. Presión normal efectiva: Presión normal total menos la presión intersticial. 107. Presión normal total: Presión (en exceso sobre la presión atmosférica) que actúa perpendicularmente a un plano dado. 108. Producto de construcción: Aquel que se fabrica para su incorporación permanente en una obra incluyendo materiales, elementos semielaborados, componentes y obras o parte de las mismas, tanto terminadas como en proceso de ejecución. 109. Producto derivado de la madera: Véase tablero. 110. Promotor: Es el agente de la edificación que decide, impulsa, programa y financia las obras de edificación. 111. Proyectista: Es el agente que redacta el proyecto por encargo del promotor y con sujeción a la normativa técnica y urbanística correspondiente. 112. Proyecto: Es el conjunto de documentos mediante los cuales se definen y determinan las exigencias técnicas de las obras contempladas en el artículo 2 de la LOE, y en el que se justifican técnicamente las soluciones propuestas de acuerdo con las especificaciones requeridas por la normativa técnica aplicable. 113. Proyecto básico: Fase del trabajo en la que se definen de modo preciso las características generales de la obra, mediante la adopción y justificación de soluciones concretas. Su contenido es suficiente para solicitar, una vez obtenido el preceptivo visado colegial, la licencia municipal u otras autorizaciones administrativas, pero insuficiente para iniciar la construcción. 114. Proyecto de ejecución: fase del trabajo en la que se desarrolla el proyecto básico, con la determinación completa de detalles y especificaciones de todos los materiales, elementos, sistemas constructivos y equipos, definiendo la obra en su totalidad. Su contenido será el necesario para la realización de las obras contando con el preceptivo visado colegial y la licencia correspondiente. 115. Proyectos parciales: Los que desarrollan o completan el proyecto en aspectos concretos referentes a tecnologías específicas o instalaciones del edificio, definiendo con suficiente detalle para su ejecución, sus características constructivas. Su contenido será el necesario para la realización de las obras que en él se contemplan y contará con el preceptivo visado colegial. 116. Puentes térmicos: Parte de la envolvente térmica de un edificio donde la resistencia térmica normalmente uniforme cambia significativamente debido a:

a. Penetraciones completas o parciales en el cerramiento de un edificio, de materiales con diferente conductividad térmica.

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b. Un cambio de espesor de la fábrica; o c. Una diferencia entre las áreas internas o externas, tales como juntas entre

paredes, suelos, o techos. 117. Razón de sobreconsolidación, Roc: Cociente entre la presión efectiva de sobreconsolidación y la presión efectiva actual. 118. Reacción: Las acciones provocan en el terreno ciertas variaciones tensionales cuya integración en el control estructura-terreno conduce a unas fuerzas, reacciones, de sentido contrario a las acciones. 119. Rebaje: Rehundido aparejado en una cara del muro. 120. Recinto: Espacio del edificio limitado por cerramientos, particiones o cualquier otro elemento separador. 121. Recinto habitable: Recinto interior destinado al uso de personas cuya densidad de ocupación y tiempo de estancia exigen unas condiciones acústicas, térmicas y de salubridad adecuadas. Se consideran recintos habitables los siguientes:

a. Habitaciones y estancias (dormitorios, comedores, bibliotecas, salones, etc) en edificios residenciales.

b. Aulas, bibliotecas, despachos, en edificios de uso docente. c. Quirófanos, habitaciones, salas de espera, en edificios de uso sanitario. d. Oficinas despachos; salas de reunión, en edificios de uso administrativo. e. Cocinas, baños, aseos, pasillos y distribuidores, en edificios de cualquier uso. f. Zonas comunes de circulación en el interior de los edificios. g. Cualquier otro con un uso asimilable a las anteriores.

Se consideran recintos no habitables aquellos no destinados al uso permanente de personas o cuya ocupación, por ser ocasional o excepcional y por ser bajo el tiempo de estancia, sólo justifica unas condiciones de salubridad adecuadas. En esta categoría se incluyen explícitamente como no habitables convencionales. Se consideran en todo caso recintos protegidos los recintos habitables los garajes, trasteros, las cámaras técnicas y desvanes no acondicionados, y sus zonas comunes.

122. Recinto protegido: Recinto incluido en la categoría de recinto habitable pero que cuenta con características acústicas más restrictivas que prevalecen sobre las exigencias de los recintos habitables convencionales. Se consideran en todo caso recintos protegidos los mencionados en los párrafos anteriores a, b, c y d. 123. Requisitos básicos de la edificación: Objetivos derivados de la demanda social de calidad de los edificios y cuya consecución debe procurarse tanto en el proyecto como en la construcción, mantenimiento y conservación de los mismos. 124. Residuos ordinarios: Parte de los residuos urbanos generada en los edificios, con excepción de:

a. Animales domésticos muertos, muebles y enseres; y b. Residuos y escombros procedentes de obras menores de construcción y

reparación domiciliaria. 125. Resistencia al corte: Tensión tangencial máxima que un suelo puede soportar sin alcanzar la rotura, expresada según la relación: Rk= ck + n tg k Se distinguen dos situaciones:

a. “Con drenaje”. Corresponde a aquellas situaciones en las que, bien por unas buenas condiciones de permeabilidad, bien por el largo tiempo transcurrido desde la aplicación de la carga, el terreno ha disipado los excesos de presión intersticial que hubieran podido generarse durante el proceso de carga. En estas situaciones se adoptarán las siguientes igualdades:

c = c’ cohesión efectiva

k = ’ ángulo de rozamiento efectivo

n = ’n presión normal efectiva

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b. “Sin drenaje”. Corresponden a aquellas situaciones que, bien por falta de drenaje, bien por el escaso tiempo transcurrido desde la aplicación de la carga, existen en el terreno las mismas presiones intersticiales que se han generado durante el proceso de carga. En estas situaciones se adoptarán las siguientes igualdades:

c = cu cohesión sin drenaje

k = 0

n = n presión normal total

126. Resistencia al fuego: Capacidad de un elemento de construcción para mantener durante un periodo de tiempo determinado la función portante que le sea exigible, así como la integridad y el aislamiento térmico en los términos especificados en el ensayo normalizado correspondiente. 127. Resistencia de pico: Valor máximo de la resistencia alcanzada en un proceso de rotura con tensiones tangenciales monótonamente crecientes en el plano de rotura. 128. Resistencia residual: Resistencia al corte de un determinado suelo para deformaciones muy superiores a la correspondiente a la resistencia de pico. 129. Resistencias de fábricas:

a. Resistencia característica de la fábrica: el valor correspondiente al fractil 5% de todas las mediciones efectuadas de la fábrica.

b. Resistencia a compresión a la fábrica: Resistencia a compresión sin tener en cuenta los efectos de las coacciones de sustentación, esbeltez o excentricidad de cargas.

c. Resistencia normalizada a compresión fb: Resistencia a compresión de las piezas para fábricas, que se especifica como tal en el proyecto, y que sirve de referencia para deducir el resto de características mecánicas y resistentes que intervienen en el cálculo de la sección total bruta.

d. Resistencia a corte de la fábrica: Resistencia de la fábrica sometida a esfuerzo cortante.

e. Resistencia a flexión de la fábrica: Resistencia de la fábrica a flexión pura. f. Resistencia del anclaje por adherencia: La resistencia de la adherencia por

unidad de superficie entre la armadura y el hormigón o el mortero, cuando la armadura está sometida a esfuerzo de tracción o compresión.

130. Retracción: Disminución del volumen que experimentan algunos suelos al disminuir su humedad. 131. Riesgo: Medida del alcance del peligro que representa un evento no deseado para las personas. Un riesgo se expresa en términos de la probabilidad vinculada a las consecuencias de un evento no deseado. 132. RMR: Índice de clasificación geomecánica de los macizos rocosos según Bieniaswki. 133. Roca: Agregado natural de uno o más minerales que para sufrir modificaciones sensibles en su estructura en presencia del agua, necesita periodos de tiempo superiores a la vida útil de un edificio. 134. Roza: Acanaladura abierta en la fábrica. 135. Rozamiento negativo: Incremento de carga en un pilote producido como consecuencia del asentamiento del terreno que le rodea. 136. Separador: Pieza de madera que enlaza interiormente, en cada tramo, dos cordones de un soporte compuesto. 137. Sifonamiento: Inestabilidad producida cuando la presión ejercida por un flujo ascendente de agua iguala a la debida a la presión de tierras (anulándose, por tanto, la presión efectiva). 138. Situación de dimensionado: Esquema simplificado de un problema real, que incluye una definición de la geometría, las características de los materiales y las acciones, todo lo cual sirve de base para la realización de los cálculos correspondientes.

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139. Sobrecarga de uso: Peso de todo lo que puede gravitar sobre el edificio por razón de su uso. 140. Socavación: Erosión del terreno causada por el movimiento de agua. 141. Solución alternativa: Cualquier solución que difiera total o parcialmente de las establecidas en los DB. 142. Subpresión: Fuerza ascendente producida por el agua sobre una estructura, elemento de contención o de cimentación sumergido. 143. Suelo: Parte de la corteza terrestre formada por materiales que pueden ser disgregados en partículas individuales, mediante la acción del agua. 144. Suelo cohesivo: Cuando la proporción en el peso del contenido de finos que tengan plasticidad es igual o superior al 35%. 145. Suelo granular: Cuando la proporción en el peso del contenido de arenas y grava es mayor del que 65%. 146. Suelo normalmente consolidado: Suelo cuya presión efectiva es igual a su presión de sobreconsolidación. 147. Suelo sobreconsolidado: Suelo cuya presión efectiva actual es inferior a su presión de sobreconsolidación. 148. Suministradores de productos: Son todas las personas físicas o jurídicas que proporcionan productos de construcción a las obras: fabricantes, almacenistas, importadores o vendedores de productos de construcción. 149. Superficie de aplicación: Superficie sobre la que actúa una fuerza concentrada. 150. Tablero: Pieza en la que predominan la longitud y la anchura sobre el espesor, y en la que el elemento constitutivo principal es la madera. Se le conoce, también, como producto derivado de la madera. Véanse:

- tablero contrachapado - tablero de fibras - tablero de partículas (tablero aglomerado y tablero de virutas)

En las estructuras de madera, de los tableros anteriores, se utilizan solamente aquellos que, en las correspondientes normas UNE, se especifica para uso estructural o de alta prestación estructural (Este último con propiedades de resistencia y de rigidez mayores que el análogo estructural).

151. Tablero aglomerado: Véase tablero de partículas. 152. Tablero contrachapado: Tablero formado por capas de chapas de madera encoladas de modo que las direcciones de las fibras de dos capas consecutivas formen un cierto ángulo, generalmente de 90º. 153. Tablero de fibras: Tablero formado por fibras lignocelulósicas mediante la aplicación de calor y/o presión. La cohesión se consigue por las propiedades adhesivas intrínsecas de las fibras o por adición de un aglomerante sintético. Véanse:

- tablero de fibras duro - tablero de fibras semiduro

154. Tablero de fibras de densidad media: Tablero de fibras fabricado por el proceso en seco, empleando un aglomerante sintético así como presión y calor. Vulgarmente se conoce como tablero DM o MDF. 155. Tablero de fibras duro: Tablero de fibras fabricado por el proceso en húmedo que tiene una densidad mayor o igual a 900 Kg/m³. 156. Tablero de fibras semiduro: Tablero de fibras fabricado por el proceso en húmedo que tiene una densidad comprendida entre 400 y 900 Kg/m³. Si la densidad se sitúa entre 400 y 560 Kg/m³ se denominan tableros semiduros de baja densidad; y si la densidad se sitúa entre 560 y 900 Kg/m³ se denominan tableros semiduros de alta densidad. 157. Tablero de madera maciza: Tablero formado fundamentalmente con tablas, tablillas o listones de madera unidos entre sí por distintos medios tales como el encolado, machihembrado, revestimiento con chapas, etc.

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158. Tablero de partículas: Tablero formado por partículas de madera o de otro material leñoso, aglomeradas entre sí mediante un adhesivo y presión, a la temperatura adecuada.

El término tablero de partículas es sinónimo al de tablero aglomerado. La denominación correcta debería ser tablero aglomerado de partículas de madera, pero es más conocido por las denominaciones anteriores.

159. Tablero de virutas: Tablero de constitución similar al de partículas pero fabricado con virutas de mayores dimensiones. Sus propiedades mecánicas son mayores. 160. Tablero de virutas orientadas OSB (Oriented Strand Board): Tablero de virutas en el que las virutas de las capas externas están orientadas siguiendo la dirección longitudinal del tablero, por lo que las propiedades mecánicas del tablero se incrementan en esa dirección y disminuyen en la dirección perpendicular. 161. Temperatura ambiente: Temperatura del aire exterior en el emplazamiento de un edificio. 162. Testa: Extremo plano y perpendicular al eje longitudinal de una pieza de madera de sección rectangular. Cada elemento mecánico de fijación debe situarse, en una determinada unión, a una distancia mínima de la testa. Véase el borde. 163. Tipo de muros:

a. Muro de carga: Muro proyectado para soportar otras cargas además de su peso propio.

b. Muro de una hoja: Muro sin cámara ni sutura continua. c. Muro capuchino: Muro compuesto por dos hojas paralelas, eficazmente

enlazadas por llaves o armaduras de tendel sin capacidad para transmitir esfuerzo constante cortante, con una o ambas hojas soportando cargas verticales.

d. Muro doblado: Muro compuesto por dos hojas paralelas, enlazadas entre sí mediante conectores o armaduras de tendel capaces de transmitir el esfuerzo cortante que se genere entre ambas hojas, de modo que trabajen solidariamente.

e. Muro relleno: Muro compuesto por dos hojas paralelas, separadas al menos 50 mm, enlazadas con llaves o armaduras de tendel, con la cámara relleno de hormigón, de modo que trabajen solidariamente.

f. Muro careado: Muro con piezas de cara vista trabadas con piezas de trasdós, de modo que trabajen solidariamente.

g. Muro de tendel hueco: Muro en el que las piezas se asientan en los bordes exteriores de sus tablas, con tendeles huecos de dos bandas de mortero ordinario.

h. Muro de revestimiento: Muro que reviste exteriormente sin traba a otro muro, o a un entramado y no contribuye a su resistencia.

i. Muro sin carga: Muro no resistente cuya eliminación no perjudica la integridad del resto del edificio.

164. Unidad geotécnica: Cada una de las capas superpuestas del terreno que presenta características físicas y mecánicas comunes, relativas a su origen, identificación de los materiales que la componen, estado, resistencia y deformabilidad. 165. Unión de atado: La que no se proyecta con tal finalidad sino con la de mantener unidos y en su posición inicial tales elementos. 166. Unión de fuerza: La destinada a transmitir los esfuerzos resultantes del análisis global entre los distintos elementos de la estructura. 167. Uso del edificio: Actividades que se realizan en un edificio, o determinadas zonas de un edificio, después de su puesta en servicio. 168. Uso previsto: Uso específico para el que se proyecta y realiza un edificio y que se debe reflejar documentalmente. El uso previsto se caracteriza por las actividades que se han de desarrollar en el edificio y por el tipo de usuario. 169. Usuario: Es el agente que, mediante cualquier título, goza del derecho de uso del edificio de forma continuada. Está obligado a la utilización adecuada del mismo de

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conformidad con las instrucciones de uso y mantenimiento contenidas en el Libro del Edificio.

Otras acepciones utilizadas:

- Persona que habitualmente acude a un edificio con el fin de realizar una determinada actividad según el uso previsto.

- La propiedad o su representante, aunque no acuda habitualmente al edificio.

- Persona que ocasionalmente acude a un edificio con el fin de realizar una determinada actividad acorde con el uso previsto. Por ejemplo: visitante, proveedor, cliente, etc; o

- Personas que no acuden al edificio, pero que se pueden encontrar, habitualmente u ocasionalmente en su zona de influencia. Por ejemplo: vecinos, transeúntes, etc.

170. Viga mixta de alas delgadas encoladas: Viga formada por madera en el alma y tablero en las alas, encolado al alma. 171. Viga mixta de alma delgada encolada: Viga formada pro tablero en el alma y madera en las alas, encolada al alma.

BIBLIOGRAFÍA

Como bibliografía complementaria a lo expuesto en esta monografía, recomendamos cualquiera de los infinitos manuales que existen de Mecánica Vectorial y Resistencia de Materiales.