cuadernillo de trabajo de - cecyteq.edu.mx f-j... · cuadernillo de trabajo de geometria y ... 3....

ACADEMIA DE MATEMATICAS

PLANTEL QUERETARO

CUADERNILLO DE

TRABAJO DE

GEOMETRIA Y

TRIGONOMETRIA

SEMESTRE FEBRERO JULIO 2017

ELABORÓ: Prof. Juan Luis Reséndiz Arteaga

Alumno:

________________________________

________________________________

________________________________

Grupo:__________________________

________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 2

CECyTE QUERETARO CUADERNO DE TRABAJO DE GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA

Prof. Juan Luis Reséndiz Arteaga │ Docente Matemáticas Plantel Querétaro

REGLAMENTO DE CLASE.

DISCIPLINA

1. La entrada a clase debe ser puntual se te darán 5 min de tolerancia. 2. No se permite comer en el salón de clase 3. Para poder iniciar la clase es necesario que el salón se encuentre completamente limpio. 4. Solo se puede tomar agua dentro del salón de clase 5. Es OBLIGATORIO tener todo el material necesario para clase, (cuaderno de apuntes y cuaderno de

trabajo engargolado) 6. Debes cumplir con el 80% de asistencias en el semestre, de lo contrario tu calificación será reprobatoria

a pesar de que se entreguen todos los trabajos y apruebes los exámenes. 7. Los justificantes se deben presentar la clase siguiente en que el alumno falto para poder hacer la revisión

de trabajos y no retrasarnos. 8. No se permite el uso del celular ni computadora personal durante las clases

ENTREGA DE TRABAJOS

1. Todos los trabajos del cuadernillo se realizaran durante la hora de clase, por ello es importante traerlo

todos los días de clase. 2. Las actividades que se realicen se deben entregar limpias y los resultados marcados con un cuadro en

color rojo. 3. No se revisan actividades que no se realicen en el cuaderno de trabajo 4. Se debe contar con el cuadernillo de trabajo de lo contrario no se revisarán las actividades. 5. Si se detectan realizando copias entre compañeros se reprueba el parcial.

EXAMENES PARCIALES

1. Para tener derecho a examen parcial, es necesario: tener contestadas y calificadas todas las actividades

del parcial, entregar la plataforma. 2. No exceder el número de faltas permitidas por parcial. 3. Si no se presenta el examen parcial la calificación será reprobatoria.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 3



CONTENIDO

Primer Parcial FIGURAS GEOMETRICAS

TEMA PAGINA Elementos básicos de Geometría Elementos y conceptos básico de geometría Definiciones básicas ……………………………………………………………………………... 5 Ángulos y su clasificación Clasificación de los ángulos por su medida Clasificación de los ángulos por sus características. Clasificación de los ángulos por su posición. ..…………………………………………………………………………….. 5 Sistemas de medición Ángulos en notación sexagesimal y decimal Conversión de grados a radianes. Conversión de radianes a grados. ………………………………………………………..…………………….13 Triángulos Clasificación de acuerdo a sus ángulos Clasificación de acuerdo a la medida de sus lados Ángulos internos y externos Rectas y puntos notables en el triángulo. .……………………………………………………….………… …………16

Segundo Parcial FIGURAS GEOMETRICAS

TEMA PAGINA Teoremas de los triángulos Teorema de tales. (proporcionalidad y semejanza) Teorema de Pitágoras.

…………………………………...………………………………………. 23

Polígonos Clasificación Ángulos internos y externos Diagonales y ángulos de polígonos regulares Perímetros y áreas Áreas de figuras básicas y compuestas …………………………………………………………..……………….. 25 Circunferencia Definición y elementos Ángulos en la circunferencia Perímetro y área de figuras circulares ………………………………………………………………..…………... 34

Tercer Parcial RELACIONES Y FUNCIONES EN EL TRIANGULOS (RELACIONES TRIGONOMETRICAS)

TEMA PAGINA Relaciones trigonométricas Razones y funciones trigonométricas Circulo unitario Identidades fundamentales Solución de triángulos ………………………………..……………….…………………………. 43

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 4



PRIMER PARCIAL

1.- Ángulos y su clasificación 1.1 Elementos y conceptos básicos de geometría 1.2 Clasificación de ángulos por su medida 1.3 Clasificación de ángulos por sus características 1.4 Clasificación de ángulos por su posición 1.5 Rectas paralelas cortadas por una secante

2.- Sistemas de medición 2.1 Ángulos en notación sexagesimal y decimal 2.2 Conversión de grados a radianes 2.3 Conversión de radianes a grados

3.- Triángulos

3.1 Clasificación de triángulos 3.2 Ángulos internos y externos 3.3 Rectas y punto notables 3.4 Teorema de Tales 3.5 Teorema de Pitágoras

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 5



ANGULOS Y SU CLASIFICACION

1.1 ELEMENTOS Y CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA

GEOMETRIA

Es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras en el plano o en el espacio, así como las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos y figuras, y la manera como se miden. DEFINICIONES BASICAS Punto: Es una representación que carece de longitud, ancho y espesor, cada punto puede ser nombrado con una letra mayúscula del alfabeto. Tres o más puntos son colineales cuando pueden ser unidos por una recta. Línea: Es una sucesión de puntos, el número de ellos en una línea es infinito, en una línea es posible nombrar tantos puntos como se quiera, aunque generalmente solo se nombran sus extremos Recta: Es una línea en donde cada par de puntos tiene una misma dirección. Es infinita, las rectas se nombran con una letra mayúscula Segmento: Es una porción de una recta, es decir tiene dos puntos extremos y se puede medir su longitud, Se denota con los puntos en donde inicia y donde termina. Plano: Es una superficie infinita formada por puntos y rectas. Por ejemplo una hoja de tu cuaderno pero extendiéndola hacia el infinito. La geometría plana estudia las figuras que pueden dibujarse sobre una superficie plana. Polígono: Es una figura plana, cerrada con tres o más lados rectos, los puntos donde se unen dos o más lados reciben el nombre de vértices, los cuales se nombran con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas. Cuando dos rectas se cruzan o se cortan se dice que se intersecan y al punto O se le llama punto de intersección. ANGULOS Y SU CLASIFICACION Un ángulo se representa en el plano por un punto llamado vértice y dos semirrectas o rayos.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 6



Observa la figura y contesta lo que se pide: ¿Cuántos ángulos internos tiene la figura? ¿Cuál es el nombre? En el triángulo anterior se pueden identificar tres ángulos interiores, los cuales pueden ser nombrados de dos maneras: 1.- Por la letra que aparece en el interior 2.- Nombrando un punto de un rayo, el vértice del ángulo y el otro punto del rayo, en ese orden. Ejemplo: Por la letra que está en su interior son α (alfa), β (beta) y γ (gamma), por la letras de sus vértices el ángulo α puede ser llamado ∡BAC, el ∡ β ó ∡ABC y el ∡ γ ó ∡BCA. Los ángulos tiene un lado inicial y un lado final, los ángulos son positivos cuando se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj, además los ángulos se clasifican por su medida, sus características y su posición. 1.2 CLASIFICACION DE ANGULOS POR SU MEDIDA

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 7



1.3 CLASIFICACION DE ANGULOS POR SUS CARACTERISTICAS

1.4 CLASIFICACION DE ANGULOS POR SU POSICION PRACTICA DE CLASE. EJEMPLOS: Coloca el nombre que corresponda a cada ángulo y encuentra el ángulo faltante

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 8



Determina el valor del complemento o suplemento según corresponda.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 9



ACTIVIDAD DE TRABAJO 1

CLASIFICACION DE ANGULOS En las siguientes figuras encontrar los valores de los ángulos que faltan

2.- Encontrar dos ángulos complementarios tales que su diferencia sea 20° 3.- Encontrar dos ángulos suplementarios tales que su diferencia sea 10° 4.- Encontrar dos ángulos complementarios tales que uno sea 10° mayor que el otro. 5.- Encontrar dos angulos suplementarios tales que el menor sea 120° mas chico que el otro. 6.- Sean dos angulos complementarios y uno es cuatro quintos del otro. Encontrar sus valores. 7.- Sean dos angulos suplementarios y uno es el doble del otro aumentado en 5°.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 10



En las siguientes figuras encontrar el valor de los ángulos que faltan

1.5 RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.

Las rectas paralelas cortadas por una secante forman ángulos que mantienen las siguientes relaciones:

Los ángulos alternos internos son iguales, son los ángulos que están dentro de las paralelas, uno de cada lado de la secante.

∡=˂e, ∡=∡g

Los ángulos alternos externos son iguales, son los ángulos que están fuera de las paralelas, uno de cada lado de la secante.

∡a=∡f, ∡c=∡h

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, Son los ángulos que comparten el vértice y que están uno frente a otro.

∡a = ∡b, ∡c = ∡d, ∡g = ∡h, ∡f = ∡e

Los ángulos correspondientes son iguales, son los ángulos que están del mismo lado de la secante, pero uno dentro y otro fuera de las paralelas.

∡a = ∡e, ∡d = ∡h, ∡e = ∡g, ∡b = ∡f

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 11



Practica de clase Ejemplos:

Encontrar los ángulos que faltan y mencionar en cada caso una relación:

∡𝟏 = ∡𝟐 = ∡𝟑 = ∡𝟒 = ∡𝟓 = 120° ∡𝟔 = ∡𝟕 = ∡𝟖 =

∡𝒂 = ∡𝒃 = ∡𝒄 = ∡𝒅 = ∡𝒆 = 120° ∡𝒇 = ∡𝒙 =

∡𝟒𝒙 =

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 12



ACTIVIDAD DE TRABAJO NUMERO 2

RECTAS PARALELAS CORTADA POR UNA SECANTE

GRUPO 2 En la siguientes figuras encontrar el valor de los ángulos faltantes

Determina los ángulos faltantes según los datos que se te proporcionan con base en el esquema las rectas L1, L2 y L3 son paralelas y son cortadas por las secantes L4 y L5

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 13



2.- SISTEMAS DE MEDICION

Actividad Preliminar

José entrena para una carrera de 15 km. Los últimos dos tiempos que realizo son los siguientes:

Primer intento: 58´38´´ Segundo intento 43´31´´

1.- ¿Cuál es el tiempo total que realizo en las dos carreras? 2.- ¿Cuánto tiempo necesito de más en la primera carrera con respecto a la segunda? Nota: una circunferencia se divide en 360°, a su vez cada grado en 60´ y cada minuto en 60´´, cuando una unidad se divide en 60 partes se utiliza el sistema sexagesimal, que también se emplea para medir el tiempo. El símbolo ´ se lee como minutos y el signo ´´ se lee como segundos.

Cuando se suman ángulos conviene sumar primero las unidades más pequeñas, es decir primero se deben sumar los segundos, después minutos y al final los grados. Al sumar segundos por cada grupo de 60 se obtiene una unidad de minutos, de la misma forma por cada grupo de 60 minutos se obtiene una unidad de grados. Ejemplos:

a) Sumar los ángulos 28° 39´ 59´´ y 125° 28´ 33´´ b) Dados los ángulos ABC 28° 15´ 32´´ y BAD 19° 27´ 39´´ calculas ∡ABC - ∡BAD

2.1 ANGULOS EN NOTACION SEXAGESIMAL Y DECIMAL

Para convertir un ángulo sexagesimal a grados decimales se suman a los grados los minutos divididos entre 60 y los segundos divididos entre 3600. El resultado es la medida del ángulo en grados expresado en decimal.

Para convertir un ángulo expresado en grados decimales en una expresión sexagesimal, la parte decimal del ángulo se multiplica por 60, la parte entera del resultado son los minutos; la parte decimal se vuelve a multiplicar por 60, de la misma forma la parte entera corresponde a los segundos, si en este último paso quedan decimales, se redondea el resultado.

Practica de clase Ejemplos:

Convertir el ∡α de medida 36° 45´ 18´´ sexagesimal a su expresión en decimales Convertir ∡α de medida 36.755° a un ángulo expresado en grados, minutos y segundos Convierte los siguientes ángulos expresados en forma sexagesimal a decimal y viceversa

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 14



2.2 CONVERSION DE GRADOS A RADIANES.

Una unidad para medir ángulos son los grados sexagesimales que equivalen a un segmento de una circunferencia dividida en 360 partes iguales, otra unidad para medir ángulos es el radian (rad). En la circunferencia de radio r se observa un ángulo θ cuyo vértice es el centro del círculo, este ángulo separa al círculo en dos partes denominadas arcos. El arco s es el que corresponde a la menor longitud sobre el círculo, de esta forma el ángulo θ en radianes se define como 𝛉 =

𝒔

𝒓.

La longitud del arco de una circunferencia completa es igual a 2π rad, por lo tanto 360°= 2π rad, por lo tanto si dividimos entre 360° queda:

𝟑𝟔𝟎°

𝟑𝟔𝟎°=

𝟐𝝅𝒓𝒂𝒅

𝟑𝟔𝟎°

𝟏° =𝝅

𝟏𝟖𝟎°𝒓𝒂𝒅

Esta última expresión se utiliza para convertir grados a radianes.

Practica de clase Ejemplos: 1.- Determina el número de radianes a los que equivale un ángulo de 90° 2.- Determina el número de radianes a los que equivale un ángulo de 150° 3.- En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 109° y 𝜋

4𝑟𝑎𝑑 respectivamente. ¿Cuál es

la medida en radianes del tercer ángulo? Practica de clase. Transforma a radianes los siguientes ángulos sexagesimales

2.3

CONVERSION DE RADIANES A GRADOS.

El radian es una unidad de ángulo plano, un circulo está formado por 2π rad, lo que equivale a 360°, por lo tanto 1π rad equivale a 180°. Para realizar una conversión de radianes a grados,

simplemente se multiplica el valor en radianes por 𝟏𝟖𝟎°

𝝅.

𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 = 𝟏𝟖𝟎°

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 15



Ejemplos:

1.- Convertir 𝜋

12𝑟𝑎𝑑 a grados

2.- Convertir 4 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 a grados

Practica de clase. Transforma a grados sexagesimales los radianes.


SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS

ÁNGULOS EN NOTACIÓN SEXAGESIMAL Y DECIMAL.

Realiza las siguientes operaciones con ángulos escritos en sistema sexagesimal

Convierte los siguientes ángulos en notación sexagesimal a decimal o viceversa

CONVERSION DE GRADOS A RADIANES

Transforma a radianes las siguientes ángulos dados en grados sexagesimales

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 16



CONVERSION DE RADIANES A GRADOS

Transforma los siguientes ángulos de radianes a grados.

3.- TRIANGULOS


Un granjero desea construir un corral, debido a las características del espacio que ha destinado a la granja, el corral debe ser triangular, con sus tres lados iguales y uno de sus ángulos internos de 90°. Construye un plano del corral y describe si es posible construirlo con las características que él desea.

Un triángulo es un polígono determinado por tres segmentos de recta, estos puntos de intersección se denominan vértices, los segmentos de recta son los lados del triángulo. Un triángulo posee tres ángulos interiores, tres ángulos exteriores, tres lados y tres vértices.

3.1 CLASIFICACION DE TRIANGULOS

CLASIFICACION DE ACUERDO A SUS ANGULOS

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 17



CLASIFICACION DE ACUERDO A LA MEDIDA DE SUS LADOS

3.2 ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS


Dibuja en tu cuadernos un triángulo con las medidas que tú desees, con ayuda de un compás traza un arco que indique sus ángulos interiores y recórtalos, une los vértices de cada ángulo, comparte tus conclusiones de la actividad.

Un ángulo interior o interno de un triángulo, es el que está formado por dos lados que tienen un vértice en común. La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a 180°.

Un ángulo exterior es el que está formado por un lado del triángulo y la prolongación de un lado adyacente.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 18



Los ángulos formados en un triángulo tiene relación entre si y tienen las siguientes propiedades o características:

Practica de clase. Ejemplos:

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 19



3.3 RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULOS Actividad preliminar Dibuja en tu cuaderno un triángulo acutángulo, traza una línea desde cada uno de los vértices hasta el punto medio de su lado opuesto. Identifica y señala el punto de cruce de estas tres líneas. ¿Qué nombre recibe este punto? En los triángulos podemos trazar rectas y puntos notables que se definen en la siguiente tabla:

Practica de clase. Traza lo se te pide en cada triangulo.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 20



CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 21




ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DEL TRIANGULOS

En las siguientes figuras encontrar el valor de los ángulos desconocidos

Calcula la medida de los ángulos x en cada caso.

Encuentra la medida de los ángulos internos y externos en los siguientes triángulos.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 22



SEGUNDO PARCIAL

3.- Triángulos 3.4 Teorema de Tales 3.5 Teorema de Pitágoras 4.- Polígonos 4.1 Clasificación 4.2 Ángulos internos y externos 4.3 Diagonales y ángulos de polígonos regulares 4.4 Perímetros y áreas 5.- Circunferencia 5.1 Definición y elementos 5.2 Ángulos en la circunferencia 5.3 Perímetro y área de figuras circulares

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 23



3.4 TEOREMA DE TALES. (Proporcionalidad y semejanza) Hace unos 2500 años, el matemático Tales de Mileto, logro calcular la altura de la pirámide de Keops, Sin medirla directamente. Para ello solo utilizo su bastón y su sombra, la sombre de la pirámide y con estos tres datos planteo una proporción que le permitió calcular la altura que era inaccesible. El Teorema de Tales establece que: si tres o más paralelas son cortadas por dos a más secantes, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de las paralelas es igual

a la razón de las longitudes de los segmento correspondientes determinados por las otras paralelas. Practica de clase: Ejemplos: En la siguiente ilustración se desea encontrar la altura del edificio, utiliza el teorema de Tales para encontrar el dato.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 24



3.5 TEOREMA DE PITAGORAS. Actividad preliminar Observa la figura y responde: 1.- ¿De qué tipo es el triángulo (obtusángulo, equilátero, acutángulo o rectángulo?

2.- Con base en la información obtenida ¿cuantos cuadro se forman en el lado c?

3.- ¿Cuánto mide el lado c?

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90°. En un triángulo rectángulo al lado más grande se le denomina hipotenusa y los lados más pequeños se llaman catetos, regularmente a la hipotenusa se le denomina con la letra C y a los catetos con las letras a y b.

Teorema de Pitágoras: en un Triángulo Rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma

de los cuadrados de los catetos.

Practica de clase.

Ejemplos:

Calcula el lado faltante de los siguientes triángulos.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 25



POLIGONOS

4.1- CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS.

Un poligono es una figura plana delimitada por 3 o mas lados, cuando tiene todos sus lados y angulos iguales se le llama poligono regular. En caso contrario se tendremos un poligono irregular.

Elementos de un polígono.

Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados del polígono, se nombran con una letra mayúscula.

Diagonales: Son los segmentos que unen dos vértices no adyacentes, es decir que no son lados del polígono.

Centro: Es el punto que está a la misma distancia de todos los vértices y lados del polígono.

Lados: Cada uno de los segmentos que delimitan y dan forma al polígono, regularmente se nombran de acuerdo a los vértices que los delimitan.

Apotema: Es un segmento que une el centro del polígono con el punto medio de alguno de los lados.

CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 26



4.2 ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS

Un ángulo interno de un polígono está formado por dos lados que tienen un vértice en común y que está localizado dentro de la figura.

En un triángulo la suma de ángulos interiores es de 180° En un cuadrilátero la suma de ángulos interiores de

360°, por estar compuesto por dos triángulos En un pentágono la suma de ángulos interiores es de

540°, dado que está compuesto por tres triángulos.

Un triángulo exterior o externo está formado por un lado del polígono y la extensión del lado adyacente. La suma de ángulos exteriores de un polígono es de 360°.

Para conocer la medida de los ángulos de polígonos de más de 5 lados se debe considerar:

Siendo n el número de lados del polígono:

La suma de ángulos internos de un polígono cualquiera es (𝟏𝟖𝟎°)(𝒏 − 𝟐)

1. La medida de un ángulo externo de un polígono regular es 𝟑𝟔𝟎°

𝒏

2. La medida de un ángulo interno de un polígono regular es ∝= (𝟏𝟖𝟎°)(𝒏 − 𝟐)/𝒏 3. El ángulo externo es igual al suplemento del ángulo interno.

Practica de clase.

Ejemplos:

1.- Calcula la suma de los ángulos interiores de un octágono regular.

2.- Calcula el ángulo externo de un pentadecágono

Completa la siguiente tabla

4.3 DIAGONALES DE UN POLIGONO REGULAR.

Polígono Numero de lados

Angulo Interior Suma de los

ángulos interiores Angulo exterior

Heptágono

Octágono

Decágono

Dodecágono

Tetra decágono

Octa decágono

Icoságono

Triacontágono

Pentacontágono

Hectágono

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 27



Una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos, es decir un lado no es una diagonal.

Practica de clase.

Ejemplos:

1.- ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrado?

2.- ¿Cuántas diagonales tiene un heptágono regular?

Cuando se trazan las diagonales de un polígono regular es posible también conocer la suma de los ángulos internos de la figura.

Si se trazan las diagonales de un polígono regular desde uno de sus vértices se divide el polígono en triángulos. El número de triángulos obtenidos se multiplica por 180°. El resultado de esto es la suma de ángulos internos de la figura en cuestión.

3.- Calcula la suma de ángulos internos de un dodecágono regular

Completa la siguiente tabla:

4.4 PERIMETROS Y AREAS.

El perímetro es la medida del contorno de un polígono, sin embargo en las figuras irregulares se deben conocer las propiedades de estas figuras que la forman, facilita calcular esta medida y nos brinda información necesaria para resolver el problema. Para calcular un perímetro se debe hacer lo siguiente: 1.- Realizar un bosquejo de la figura y verifica si es posible deducir más información sobre el problema. 2.- Si la figura es compuesta, es decir formada por otras figuras básicas, traza segmentos para separarlas. 3.- Si es posible utiliza una formula.

Figura Numero de

lados Numero de diagonales

Numero de triángulos

Suma de ángulos internos

Medida de cada ángulo interno

3

90°

5

Hexágono

7

Decágono

15

Heptadecágono

Eneadecágono

20

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 28



Practica de clase.

Ejemplos:

Determina el perímetro de las siguientes figuras:

AREA DE FIGURAS BASICAS Y COMPUESTAS.

El área es la medida de la superficie de una figura; es decir, la cantidad de espacio que delimitan los lados de la misma. El resultado de área se indica en unidades cuadradas (𝒖𝟐). PRINCIPALES FORMULAS PARA ENCONTRAR AREAS DE FIGURAS BASICAS

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 29



La fórmula de Herón de Alejandría permite calcular la superficie de un triángulo, en el cual se conocen las medidas de sus tres lados, para utilizarla no es necesario conocer la altura.

𝑨 = √𝒔(𝒔 − 𝒂)(𝒔 − 𝒃)(𝒔 − 𝒄)

𝒔 = 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐

𝒔 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄

𝟐

Practica de clase.

Ejemplos:

Calcular el área de los siguientes triángulos

Calcula el área del terreno cuyas medidas son: DE = BD = 50 m, CD = 40 m, BC = 30 m, BE = 70.7 m. Sobre BC se trazó una semicircunferencia cuyo radio es la mitad de BC. El ∡BCD es recto.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 30




TEOREMAS DE LOS TRIANGULOS Y POLIGONOS

TEOREMA DE TALES

Calcula los datos faltantes en las siguientes figuras

TEOREMA DE PITAGORAS

Encontrar las longitud de los segmentos solicitados, si C= Centro.

Datos: r = 10 cm, CU = 8 cm, CM = 7, CM ∥ VP

CO = CP = OM =

PM = MN = RC =

AB = BC = AC =

RU = RQ = CR =

ON = AV = UQ =

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 31



Calcula el area y el perimetro de las siguintes figuras, la distancia entre puntos es de 5 cms.

ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS

Relaciona las columnas escribiendo la letra que corresponde en cada paréntesis, se pueden repetir los incisos en las respuestas.

Calcula la suma de los ángulos interiores y exteriores de cada ángulo de los polígonos regulares de acuerdo a la cantidad de lados.

DIAGONALES Y ANGULOS DE UN POLIGONO REGULAR

7 La suma de los ángulos internos de los cuadriláteros ( ) a)1440° b)540° c)180° d)360° e)720° f)1080°

8 La suma de los ángulos internos de un octágono ( ) 9 La suma de los ángulos internos de un hexágono ( ) 10 La suma de los ángulos internos de los triángulos ( ) 11 La suma de los ángulos exteriores de los cuadriláteros ( ) 12 La suma de los ángulos internos de un pentágono ( ) 13 La suma de los ángulos internos de un decágono ( )

Polígono Suma de ángulos interiores Suma de ángulos exteriores 14 7 lados 15 11 lados 16 15 lados 17 20 lados 18 23 lados 19 30 lados 20 50 lados 21 70 lados 22 80 lados

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 32



Traza las diagonales posibles en los siguientes polígonos

Traza todas las diagonales posibles a uno solo de los vértices en cada uno de los siguientes polígonos. NT= Numero de triángulos, AI= Suma de ángulos interiores, MA= Medida de uno de sus ángulos.

PERIMETROS Y AREAS

Calcular el área de la parte sombreada de las siguientes figuras compuestas:

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 33



DETERMINA EL PERIMETRO DE LAS SIGUIENTES FIGURAS:

1. Un cuadrado de 40 cm de lado, tiene un triángulo equilátero por un lado y cuatro triángulos equiláteros por el otro, como se muestra en la figura.

2. En la siguiente figura cada semicircunferencia tiene el triple de diámetro de la que está a su derecha el diámetro menor es de 2 cms.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 34



CIRCUNFERENCIA

5.1 DEFINICION Y ELEMENTOS.

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, formada por puntos que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. El círculo es la superficie del plano, limitada por la circunferencia, está formado por todos los puntos de la circunferencia, los puntos interiores y el espacio que está dentro de ella. Las rectas y puntos notables de la circunferencia son: Radio: Segmento de recta que une el centro con todos los puntos que la forman. Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. Diámetro: Es la cuerda que atraviesa el centro de la circunferencia. Secante: Línea recta que corta a la circunferencia en dos puntos cualquiera. Tangente: Línea exterior que toca a la circunferencia en un solo punto. Arco: Segmento de la línea curva y continúa de la circunferencia. Practica de clase.

Ejemplo:

Coloca el nombre del segmento o recta notable de la circunferencia, según corresponda. C= Centro de la circunferencia.

No. Segmento Nombre Segmento Nombre

AC DP

BC GF

BD IH

BJ NO

PC PQ

CE ML

PE RS

CJ AH

BD AT

PB PT

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 35



5.2 ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA.

Los ángulos que podemos encontrar en la circunferencia son los siguientes:

Angulo Representacion grafica Central: Es aquel formado por dos radios que parten del centro de la circunferencia

∢𝑨𝑶𝑩 = 𝑨�̂�

Inscrito: Es el que tiene su vertice en un punto sobre la circunferencia y esta formado por dos cuerdas.

∢𝜶 =𝟏

𝟐𝑨�̂� =

𝟏

𝟐𝑨𝑪�̂�

Semiinscrito: Es el que tiene su vertice en un punto sobre la circunferencia, esta formado por una cuerda y una tangente.

∢𝜶 =𝟏

𝟐𝑨�̂� ó ∢ 𝒂𝒃𝒄 =

𝟏

𝟐𝑨�̂�

Practica de clase.

Ejemplos:

AD es un diámetro y el triángulo ABC es equilátero, determina la medida de los arcos que se piden. C es el centro.

𝑨�̂� 𝑨𝑩�̂�

𝑫�̂� 𝑬𝑫�̂�

𝑩�̂� 𝑨𝑬�̂�

𝑨�̂� 𝑬𝑨�̂� CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 36



Si A, B y C son centros de las circunferencias de radios iguales, encontrar todos los arcos iguales.

5.3 PERIMETRO Y AREA DE FIGURAS CIRCULARES

En la siguiente tabla se encuentran las definiciones y fórmulas para calcular los perímetros y áreas de las figuras circulares más comunes.

𝑫�̂� = = =

𝑫�̂� = = =

𝑫�̂� = = =

𝑫�̂� = =

Sector circular es la porción del circulo comprendida entre un arco de circunferencia y los lados que limitan dicho espacio

𝐴 = 𝜋𝑟2𝛼

360°

𝐿 = 𝜋𝑟𝛼

180°

𝑃 = 2𝑟 + 𝐿

Corona Circular es la figura plana delimitada por dos circunferencias concreticas

𝑃 = 2𝜋 ( 𝑅 + 𝑟)

𝐴 = 𝜋 ( 𝑅2 + 𝑟2)

Segmento circular es la porción de un circulo delimitada por una cuerda y un arco de la circunferencia, es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular

𝐿 = 𝜋𝑟 𝛼

180°

𝐴 = 𝑟2(𝜋 𝛼

360°−

𝑠𝑒𝑛 𝛼

2)

𝑃 = 𝐶 + 𝐿

Triangulo circular es la parte del sector circular que une los extremos de ellos

𝐶 = 𝜋𝑟 𝛼

180°

𝐴 = 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝛼

2

𝑃 = 2𝑟 + 𝑐

Trapecio circular es la parte de la corona circular delimitada por dos radios

𝐴 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2)(𝛼

360°)

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 37



Practica de clase.

Ejemplos:

1. Calcular la longitud de arco y el área de un sector circular de 144°que se encuentra en un círculo de 2.4 cm de radio.

2. Calcula el área de un trapecio circular que tiene un radio menor r = 4cm y un radio mayor R = 7 cm, si la parte seccionada está formada por un ángulo de 125°.

3. El área de una corona circular que tiene un radio menor de 8 cm y un radio mayor de 11.3

cm.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 38




CIRCUNFERENCIA DEFINICION Y ELEMENTOS

Identifica las rectas y segmentos notables señalados en la siguiente figura

1. AB =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7. =

8. =

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

En la siguiente tabla, coloca una X si el ángulo señalado corresponde a un ángulo central (C), ángulo inscrito ( I ) , ángulo semi inscrito ( S )

Angulo Central Inscrito Semiinscrito Arco

interceptado

FOC

DAC

CAB

COB

DOF

LCA

KOB

ABD

LCH

EFK

CDA

BDA

CDB

AEI

DCH

FEA

LOK

DOL

EAD

ACG

JEF

DCL

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 39



En la siguiente tabla, coloca una X si el ángulo señalado corresponde a un ángulo central, ángulo

inscrito, ángulo semi inscrito, además el arco correspondiente, su medida en grados y la medida del ángulo.

DATOS: 𝑨𝑩 ̂ = 𝟔𝟎 ° ; 𝑫�̂� = 𝟒𝟎°

𝑭𝑩 ∥ 𝑬𝑪 ; 𝑶 = 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐

En la siguiente figura encontrar la medida de los ángulos y arcos que se piden

Angulo Central Inscrito Semiinscrito Arco

interceptado

Medida del

arco

Medida del

ángulo

DAB

ABF

FBE

EBD

DCB

WFB

BOC

BEC

FOE

ADX

BDC

BDX

EOC

FOA

BFC

FCD

BDY

BFZ

BCF

BCD

Angulo / Arco Medida

∡ 𝒙

∡ 𝒚

∡ 𝒛

∡ 𝒘

𝑨�̂�

𝑨�̂�

𝑩�̂�

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 40



En las siguientes figuras encontrar las medidas de los ángulos A, B y C y de los arcos AB, BC y AC.

PERIMETRO Y ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES.

Calcula el perímetro y el área de los círculos con los siguientes radios.

Área Radio Perímetro 1 4 cm 2 6 cm 3 10 cm 4 25 cm 5 55 cm

Completar realizando los cálculos necesarios para encontrar los elementos de un sector circular.

Área Radio Angulo = π Perímetro Arco = L 6 3 cm 92° 7 5 cm 98° 8 9 cm 104° 9 11 cm 110° 10 15 cm 116°

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 41



Calcula los elementos que faltan en la corona circular.

Área Radio ( r ) Radio R ) Perímetro ( P ) 11 9 cm 18 cm 12 813.67 cm2 22cm 13 16 cm 257.61 cm 14 1633.63 cm2 21 cm 31 cm 15 25 cm 34 cm

Calcula el valor de la cuerda de la figura

Calcula la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es de 2.5 cm

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 42



TERCER PARCIAL

RELACIONES Y FUNCIONES EN EL TRIANGULO

6.- Relaciones trigonométricas 6.1 Razones y funciones trigonométricas 6.2 Circulo unitario 6.3 Identidades fundamentales 6.4 Solución de triángulos

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 43



RELACIONES Y FUNCIONES EN EL TRIANGULOS (RELACIONES TRIGONOMETRICAS) 6.1 RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Las razones trigonométricas son las relaciones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo a estas relaciones se les conoce como funciones trigonométricas, con lo cual se generan seis cocientes distintos. Por ejemplo el seno en la razón trigonométrica que resulta al dividir la medida del cateto opuesto entre la hipotenusa. Las razones trigonométricas pueden abreviarse seno, sen, coseno, cos, tangente, tan, cotangente, cot, secante, sec y cosecante, csc, su valor puede expresarse como un numero entero, como una fracción común o como su equivalente en decimal. En las razones trigonométricas lo catetos se nombran en base a un ángulo de referencia. De esta forma el cateto que está enfrente al ángulo de referencia se le llama cateto opuesto (co) y el cateto que forma el ángulo de referencia al formar un vértice con la hipotenusa (h) se le llama cateto adyacente. El ángulo de referencia no puede ser el ángulo de 90° del triángulo y siempre debe ser agudo, por lo general será un ángulo agudo conocido, lo que permitirá encontrar algún otro valor del triángulo.

𝑺𝒆𝒏 𝜶 =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝑪𝒐𝒔 𝜶 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝑻𝒂𝒏 𝜶 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑪𝒔𝒄 𝜶 = 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝑺𝒆𝒄 𝜶 = 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑪𝒐𝒕 𝜶 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 C

OP

IA IM

PR

ES

A N

O C

ON

TRO

LAD

A

Página │ 44



Practica de clase. Ejemplos: 1.- Calcular las medidas de un triángulo rectángulo

donde 𝒔𝒆𝒏 𝜷 = 𝟖

𝟗

2.- Resolver los triángulos rectángulos utilizando funciones trigonométricas

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 45



6.2 CIRCULO UNITARIO.

Es el círculo cuyo centro coincide con el origen del plano cartesiano y cuyo radio mide una unidad, se le llama círculo unitario o circulo

trigonométrico. Se utiliza para ubicar las líneas que representan a cada una de las seis razones trigonométricas en un espacio dimensional.

Las funciones trigonométricas del ángulo van a variar en el signo, debido a que interviene el cuadrante en donde quedan colocadas. Para observar esto vamos a colocar un ángulo en cada uno de los cuadrantes colocándoles sus signos respectivos en el triángulo formado.

En los ejes coordenados los valores que están del origen hacia arriba y a la derecha se consideran positivos, los valores que están del origen hacia abajo o a la izquierda serán negativos.

El valor r corresponde al radio del círculo unitario, por este motivo su valor siempre será positivo, sin importar el cuadrante donde se encuentre.

TABLA DE SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE EN LOS CUADRANTES.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 46



Practica de clase.

Ejemplos:

1.- Encontrar las funciones trigonométricas faltantes si 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = −𝟓

𝟒

el ángulo 𝜽 está en el cuarto cuadrante.

2.- Encontrar las funciones trigonométricas del triángulo formado en los

ejes con el punto P (-5,-3).

3.- Encontrar las funciones trigonométricas faltantes si 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = −𝟓

𝟏𝟐 el ángulo 𝜽 está en el

segundo cuadrante.

6.3 IDENTIDADES FUNDAMENTALES

A las igualdades donde se relacionan funciones trigonométricas se les denomina identidades

trigonométricas. Las funciones trigonométricas se relacionan de diversas formas, pero hay alginas identidades denominadas identidades fundamentales o básicas.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 47



Comprobar identidades trigonométricas implica modificar un lado de la identidad hasta comprobar si es idéntico al otro mediante el empleo de operaciones algebraicas e identidades fundamentales básicas. Para ellos recomendamos lo siguiente:

1.- Elegir el lado de la igualdad que parezca más sencillo. 2.- Realizar las operaciones necesarias (suma, resta, multiplicaciones, divisiones, productos notables, etc.) 3.- Repetir el proceso anterior hasta que el lado de la identidad que estamos transformando sea igual a la expresión del otro lado de la identidad. Practica de clase.

Ejemplos:

Demostrar que las siguientes expresiones son identidades trigonométricas.

1.- 𝒄𝒔𝒄𝟐𝜽 ( 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽) = 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝜽

2.- 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏

𝒕𝒂𝒏 𝜽+𝒄𝒐𝒕 𝜽

6.4 SOLUCION DE TRIANGULOS

Actividad preliminar

Un terreno de forma triangular esta bardeado, una de la bardas mide 4 metros, las otras dos no es posible medirlas directamente, sin embargo se sabe que el ángulo que está enfrente a la barda de 4 metros mide 34° y los otros dos ángulos 64°. ¿Qué medida tienen las otras bardas? Comenta tu solución.

LEY DE SENOS

La ley de senos es una relación de proporcionalidad entre las mediadas de los lados y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Esta ley se cumple para cualquier triangulo no rectángulo y se expresa de la siguiente

forma:

𝒂

𝒔𝒆𝒏 𝑨=

𝒃

𝒔𝒆𝒏 𝑩=

𝒄

𝒔𝒆𝒏 𝑪

Cada uno de los lados de un triángulo es proporcional al seno del ángulo opuesto.

La ley de seno se aplica de acuerdo a los datos del problema de la siguiente forma:

𝒂

𝒔𝒆𝒏 𝑨=

𝒃

𝒔𝒆𝒏 𝑩

𝒃

𝒔𝒆𝒏 𝑩=

𝒄

𝒔𝒆𝒏 𝑪

𝒂

𝒔𝒆𝒏 𝑨=

𝒄

𝒔𝒆𝒏 𝑪

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 48



La ley de senos se puede aplicar si:

Se conocen dos ángulos y el lado que está enfrente de ellos. Se conocen dos lados y el ángulo que está enfrente de ellos.

Práctica de clase.

Ejemplos:

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos aplicando la ley de senos

LEY DE COSENOS

Actividad preliminar

Sobre un lago se desea construir un puente del punto A al B, no se tienen los instrumentos necesarios para medir por encima del agua, por lo tanto se trazaron desde un punto C los segmentos a y b, el ángulo entre ellos es de 88°. Determina la medida que tendrá el puente.

Comenta tu respuesta.

La ley de senos se puede considerar la extensión del teorema de Pitágoras para resolver triángulos no rectángulos, llamados triángulos oblicuángulos.

Relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el coseno del ángulo que forman, se representa:

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑨

𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑩

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝑪

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 49



La ley de los cosenos se puede utilizar si:

Se conocen dos lados y el ángulo que forman. Se conocen tres lados del triángulo y se desea conocer los ángulos

Practica de clase:

Ejemplos:

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos aplicando la ley de cosenos.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 50



ACTIVIDAD DE TRABAJO NUMERO 7 RELACIONES Y

FUNCIONES EN EL TRIANGULO

Resolver los triángulos rectángulos siguientes, considera C como la hipotenusa

Resolver los siguientes problemas de aplicación de triángulos rectángulos.

1. En una circunferencia de radio de 35 cm se traza una cuerda de 62cm Encontrar los 3 ángulos interiores del triángulo que se forma con la cuerda y 2 radios.

2. En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos vale 32°16’ y el lado opuesto 562cm. encontrar la hipotenusa y el otro ángulo agudo.

3. En una posada decembrina, se tiene una piñata sostenida por dos muchachos de las azoteas de dos casas separadas 8m una de 5m de altura y la otra de 7m, si la piñata se encuentra a 2.7 m del suelo y a 2.15m de la pared de la casa más alta, Encontrar la longitud del cable que sostiene la piñata y los ángulos formados por el cable y la horizontal.

4. De la azotea de un edificio de 22.7m de altura, se ven dos automóviles estacionados en la calle, uno a 12m de la base del edificio y el otro a 16m. Encontrar los ángulos formados en los puntos en donde se encuentra cada automóvil.

5. Desde un punto exterior situado a 52 cm del centro de una circunferencia de 18cm de radio, se trazan tangentes a la circunferencia. Encontrar el ángulo formado en el punto exterior por las tangentes y la longitud de cada tangente.

6. Dos circunferencias tangentes exteriormente, una de 17cm y la otra de 25cm de radio respectivamente, forman con la línea de sus centros y la línea del centro de la circunferencia mayor un ángulo recto, si prolongamos la línea del ángulo recto de la circunferencia mayor hasta una longitud de 87cm, formando un triángulo con el centro de la circunferencia menor. Encontrar el ángulo formado en el punto exterior de las circunferencias, así como la distancia entre el punto exterior y el centro de la circunferencia.

7. Hay dos personas frente a una estatua de 12m de altura, la distancia entre las personas medida horizontalmente es de 20m si el ángulo de elevación de la persona más cercana hasta la parte más alta de la estatua es de 56°10’. Encontrar la distancia horizontal entre la persona más cercana y la base de la estatua y el ángulo de elevación de la persona más lejana y la parte más alta de la estatua.

8. Se tienen dos circunferencias tangentes exteriormente una de 5cm y otra de 8cm de radio, se forma un triángulo rectángulo uniendo la línea de los centros y la tangente que va del centro de la circunferencia más chica a la circunferencia más grande. Encontrar los ángulos formados en el centro de las circunferencias y la longitud de la tangente.

9. Una rueda de madera de 10m de diámetro se encuentra colocada sobre el piso y recargada sobre una pared, un observador que se encuentra sobre la horizontal en la misma línea de la pared a 7m del punto tangente del piso con la rueda, desea saber cuál es el punto más alto de la rueda que puede observar desde donde está, medido a partir del punto de tangencia del piso con la rueda y por la orilla de la rueda.

10. Un barco navega 250 km de un puerto C a un puerto B con un rumbo S 22°10’ W luego navega 420 km hacia un puerto A con un rumbo S 67°50’ E. Encontrar el rumbo que debe tomar para llegar al punto de partida y la distancia para regresar a él..

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 51



11. Un niño está situado en la ventana de una casa de 7m de altura, la ventana se encuentra a 2.50m bajo la azotea. El niño observa un globo con un ángulo de elevación 25° a 5m más arriba de la azotea, después el niño observa ese mismo globo con un ángulo de 42°. Encontrar la distancia medida horizontalmente de la casa a la proyección del globo sobre el suelo y la altura en que se encuentra el globo respecto al suelo cuando está en la segunda observación.

12. Dos personas situadas en el mismo plano horizontal, la persona A camina con un rumbo NW 123m y la persona B camina con un rumbo NW 123m y se cruzan formando un ángulo de 90°, Encontrar los grados de los rumbos de cada uno de ellos y la distancia a la que se encontraban en el momento de partir.

13. Se quiere colocar una estructura entre 2 casas de la misma altura para sobreponer una lona, para tal efecto se colocan 2 tramos de fierro que salen de cada una de las azoteas con ángulos de elevación de 32°20’ y 57°40’, se requiere saber la longitud de cada tramo de fierro si la distancia entre las casas es de 3.15m

14. Una antena de radioaficionados se encuentra sostenida en tres niveles y en cada nivel por tres cables de acero, el primer nivel de cables la altura vertical está a 5m y la distancia del pie de la antena a 4m el segundo nivel a 10m y 7m respectivamente y en el tercer nivel a 15m y 10m respectivamente. Encontrar la longitud de cable utilizando en cada nivel, y el ángulo que cada cable forma con el piso.

CIRCULO UNITARIO

Hallar las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 52



VERIFICAR LAS SIGUIENTES IDENTIDADES

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 53



SOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS.

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos su se conocen sus siguientes elementos

Ley de senos y Ley de Cosenos

Resolver los siguientes problemas de aplicación de triángulos oblicuángulos

1. Resolver los siguientes problemas de aplicación de triangulo oblicuángulo. 2. En un triángulo isósceles el ángulo diferente vale 119°40’, si el lado diferente vale 74.5m Encontrar

cuánto vale el lado igual. 3. Un triángulo ABC se encuentra inscrito en una circunferencia los arcos AC=70° y CB=120° Y el lado

AB=32cm Encontrar el valor de los lados AC y CB. 4. Dos niños salen en su bicicleta de un mismo punto y en direcciones diferentes formando un ángulo

de 75°15’, las velocidades constantes que los niños llevan en sus bicicletas son 10 km/h y 20 km/h. A que distancia se encontraran después de 1hr. 30 minutos?

5. Una cuerda de 325cm y una tangente de 520 cm forman un ángulo semi inscrito en una circunferencia interceptando un arco de 120°. Si se une el final de la tangente con el final de la cuerda se forma un triángulo oblicuángulo del cual se quiere saber el ángulo que se forma exterior a la circunferencia.

6. Un poste de 6m de longitud se encuentra inclinado formando un ángulo con la horizontal de 12°, se ha colocado un apoyo a la punta del poste y sobre la banqueta a 25m de la base del poste Encontrar la longitud del apoyo y la distancia medida verticalmente de la punta del poste a la banqueta.

7. Tres niños tienen hilos tomados en forma recta las distancias entre los niños son AB=5.2m BC=6.3m CA=8.4m, Encontrar los ángulos formados en las esquinas.

8. Un poste está sujeto en su parte más alta por dos cables que se anclan en el piso, los cables a cada lado del poste forman con el piso ángulos de 20°15’ y 50°10’. Si la distancia medida en línea recta sobre el piso donde llegan los cables es de 40.5m Encontrar la altura del poste.

9. Se colocan 3 personas en los puntos A, B, C distribuidas alrededor de un lago, los ángulos reportados por dos de ellos son ABC=42°13’ y ABC=57°20’ Si la distancia BC=320m. Encontrar las distancias AB y AC.

10. Para colgar un adorno navideño se amarro en forma horizontal de lado a lado de la calle de 5.30 de

ancho un cable y a partir de los amarres de las paredes otros cables formando con la horizontal ángulos de 18°20’ y 53°10’. Encontrar la distancia en forma vertical del cable horizontal al amarre de la piñata.

11. Se quiere formar un techo en forma triangular, a partir de dos azoteas iguales de 6.2m de altura y con dos tramos de fierro de 5.2m y 7.3m de largo, se colocan a partir de las esquinas de las azoteas formando un ángulo en el extremo superior de 115°23’ Encontrar el espacio entre las casas y la altura entre el extremo superior del techo y el piso.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Página │ 54



12. Dos exploradores situados en el mismo plano horizontal caminan en línea recta, el primero 237m con un rumbo S 35°10’ W y el segundo 310m con un rumbo S 52°30’ E al terminar de recorrer estas distancias se encuentran. A que distancia se encontraba en el momento de partir?

13. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriormente de diámetros 35.6cm. 104.6cm y 62.8cm al unir sus centros se obtiene un triángulo del cual se buscan sus ángulos interiores.

14. De la azotea y del piso de un edificio de 50m de altura los ángulos de situación a la azotea de otro edificio situado enfrente son 45°20’ y 32°10’ respectivamente. Encontrar el ancho de la calle entre los edificios y la altura del edificio de enfrente.

15. A cada lado de una calle de 10m de ancho hay un edificio de altura diferente, los ángulos de elevación desde la parte inferior de cada edificio a la azotea del edificio de enfrente son 26°30’ y 45°52’ Encontrar la altura de cada edificio y la distancia que hay entre las orillas de las azoteas de los edificios.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

cuadernillo de trabajo de - cecyteq.edu.mx f-j... · cuadernillo de trabajo de geometria y ... 3....

Documents