cuadernillo de ecuaciones diferenciales

Cuadernillo de Ecuaciones Diferenciales

por: Mario Alberto Magaña Méndez

9 de julio de 2010

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1. Introducción

1.1 De�niciones y clasi�cación de las ecuaciones diferenciales

1.2 Concepto de solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

1.3 Uso de modelos con ecuaciones diferenciales lineales y no lineales

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

2.1 De�nición y solución de E.D.O. de variables separables

2.2 De�nición y solución de E.D.O. con coe�cientes homogéneos

2.3 De�nición y solución de E.D.O. exactas

2.4 De�nición y solución de E.D.O. lineales de primer orden

2.5 De�nición y solución de E.D.O. de Bernoulli

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior

3.1 Solución de E.D.O. de orden superior por coe�cientes indeterminados

3.2 Solución de E.D.O. de orden superior por variación de parámetros

3.3 Solución de E.D.O. de orden superior: La ecuación de Cauchy

Formulario

A. Potencias y raices

B. Productos y factores notables

C. Fracciones parciales

D. Logaritmos y antilogaritmos

E. Identidades trigonométricas comunes

F. Derivadas e integrales comunes

Bibliografía

1. Introducción

1.1 De�niciones y clasi�cación de las ecuaciones diferenciales

De�nición de Ecuación Diferencial:

1. Ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o másvariables independientes.

2. Ecuación en la que la variable independiente presenta un orden de derivación.

3. Ecuación que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas.

4. Representación matemática de un fenómeno natural.

Clasi�cación de una Ecuación Diferencial según su tipo, orden, linealidad y homogeneidad:

* Tipo

{Ordinarias

Parciales

- Ordinarias.- Contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable

independiente, ejemplos: dydx + 5y = ex, d

2ydx2 − dy

dx + 6y = 0 y dxdt + dy

dt = 2x+ y

- Parciales.- Contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto de dos o más variables

independientes, ejemplos: ∂2u∂x2 + ∂2u

∂y² = 0, ∂2u∂x2 = ∂2u

∂t² − 2∂u∂t y ∂u∂y = − ∂v

∂x

Nota: En ambos casos, observe las variables usadas en los denominadores después de las letras d y ∂.¾Cuántas variables diferentes son usadas en las ecuaciones ordinarias?

Otro ejemplo de Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) es: dy = 7dx ¾Por qué?

* Orden.- Tanto para las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, es el de la derivada de mayor

orden. d2ydt2 − 5

(dydt

)3+ 6y = 0

Nota: Observe el lugar en el que se coloca el superíndice numérico, tanto en el numerador como en el

denominador. Otra forma de escribir la ecuación sería: d2

dt2 y − 5(ddty)3

+ 6y = 0, de esta forma se observamejor el orden de cada una de las derivadas en la E.D., ¾Cuál es su orden?.

* Linealidad.- Una E.D.O. de orden n es lineal cuando tiene la forma:

an(x) dnydxn + an−1(x) d

n−1ydxn−1 + an−2(x) d

n−2ydxn−2 + ...+ a2(x) d

2ydx2 + a1(x) dydx + a0(x)y = g(x)

Ejemplo: d3ydw3 − w dy

dw − 5y = ew

2

3

Propiedades características de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales:

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas, son de primer grado.

b) Cada coe�ciente an solo depende de la variable independiente 'x', es una función de 'x'.

Nota: En ocasiones a �n de clasi�car la ecuación diferencial, es necesario acomodarla ejemplo: (y −x)dx+ 4xdy = 0

* Homogeneidad.- Una E.D.O. es homogénea si después de ordenarla g(x) = 0, de lo contrario es nohomogénea, ejemplo

d3ydx3 − x dydx − 5y = 0 para este caso g(x) = 0 por lo tanto la ecuación es homogénea

Nota: Obsérvese que los coe�cientes an(x) (los que están multiplicados por y o cualquiera de susderivadas, están del lado izquierdo de la igualdad)

Notaciones para las E.D.O.:

1. de Leibniz.

dydx ,

d2ydx2 ,

d3ydy³ , ...

2. de primas.

y´, y´´, y´´´, y(4), ...

3. de Newton o de puntos (usada en física e ingeniería para indicar derivadas respecto al tiempo t)

y, y,...y , ...

Formas de las E.D.O.:

1. General.

F (x, y, y´, y´´, ..., y(n)) = 0

2. Normal.

dydx = f(x, y)

d2ydx2 = f(x, y, y´)

1.2 Concepto de solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

La solución de una E.D.O. es cualquier función que al sutituirse en la ED, la reduce a una identidad, entresus catacterísticas tenemos:

a) Esta de�nida en un intervalo I (también conocido como intervalo de de�nición, intervalo de existencia,intervalo de validez o dominio).

b) Posee al menos n derivadas en el intervalo I, de acuerdo al orden de E.D..

4

Nota: A diferencia del álgebra elemental, en la cual buscábamos los números desconocidos que satisfacena la ecuación (ejemplo: x²+ x+ 3 = 0), al resolver una ecuación diferencial, lo que buscamos es el conjuntode funciones y = g(x) que satisfacen a la identidad (ejemplo: g´(x)− 2xg(x) = 0).

Ejemplos:

a) y = e(0.1x2)es una solución de dy

dx = 0.2xy en el intervalo (−∞, ∞)

- Sustituimos y en cada lugar donde aparezca en la E.D..

d(e(0.1x2))

dx = 0.2xe(0.1x2)

- Derivando el primer miembro de la igualdad.

e0.1x2 d(0.1x2)

dx = 0.2xe(0.1x2)

e0.1x2

(0.2x) = 0.2xe(0.1x2)

- Reacomodándolo.

0.2xe0.1x2

= 0.2xe(0.1x2)

b) y = 116x

4es una solución de dydx = xy

12 en el intervalo (−∞, ∞)

- Sustituimos y en cada lugar donde aparezca en la E.D..

d( 116x

4)

dx = x(

116x

4) 1

2

- Derivando el primer miembro de la igualdad y simpli�cando el segundo.

116 (4)x3 = x

(14x

2)

- Simpli�cando ambos miembros.

14x

3 = 14x

3

Tipos de soluciones:

a) Trivial.- Si y = 0

b) Explícita.- La variable dependiente se expresa en términos de la variables independiente y constantes,por lo tando adopta la forma y = g(x); de esto último se desprende que la solución trivial es una soluciónexplícita. Ejemplo:

- y = 1x

- y = xe(x)

- y = sen(x)

- y = ln(x)

c) Implícita.- Adopta la forma G(x, y) = 0. Ejemplos:

5

- x² + y² = 25

- e(y) + x = 7

d) General.- En la solución aparece(n) la(s) constante(s): c, c1, c2, c3, ...

- y = 1x + c

- y = c1ex + c2e

x

Nota: Dependiendo de la cantidad de constantes en la solución, podemos tener una familia monoparamétri-ca G(x, y, c) de soluciones para una E.D. del tipo F (x, y, y´) o bien una familia n-paramétrica de solucionesG(x, y, c1, c2, ..., cn) para una E.D. del tipo G(x, y, y´, ..., y(n)).

e) Particular.- Cuando en la solución la(s) constante(s): c, c1, c2, c3, ... son sustituidas por un valorespecí�co. Ejemplos:

- y = 1x + 3 para c = 3

- y = e(x) + 2e(x) para c1 = 1 y c2 = 2

f) Singular.- Es una solución adicional, no se puede obtener a partir de la solución general. Ejemplo:

- La ecuación diferencial dydx = xy

12 tiene las soluciones: una familia monoparamétrica de soluciones

y =(x2

4 + c)2

y la solución trivial (y = 0)

Nota: No hay un valor existente para la constante c de tal manera que y = 0.

De acuerdo a lo anterior, entonces ¾Cuál sería la solución singular para cada una de las ecuacionesdiferenciales dadas?

1.3 Uso de modelos con ecuaciones diferenciales lineales y no lineales

Modelo matemático.- Es la descripción matemática de un sistema o fenómeno, los modelos se formansiguiendo objetivos especí�cos.

Pasos para la creación de un modelo matemático:

a) Identi�cación de las variables causantes del cambio en el sistema. (El nivel de resolución del modelo,está determinado por la cantidad de variables incluidas)

b) Formulación de hipótesis (deben observar todas las leyes empíricas aplicables) razonables sobre elsistema en estudio.

Algunos modelos existentes son:

a) Modelo de Malthus.

dPdt = kP

kP Crecimiento

{-Capital

-Demográ�co

−kP Desintegración

{-Radioactiva

-Vida media o periodo medio

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b) Ley de Newton.

dTdt = k(T − Tm)

Si Tm es constante entonces k<0

c) Propagación de una enfermedad.

dxdt = kxy

donde x(t) es el número de persona enfermas y y(t) el número de personas sanas.

d) Interés compuesto.

dCdt = int

100C

e) Concentraciones.

dydt + vsal

Vo+(vent−vsal)t= ventC)

Nota: Una E.D. puede ser el modelo matemático de muchos fenómenos distintos, pero con el mismocomportamiento.

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

2.1 De�nición y solución de E.D.O. de variables separables

Una E.D.O. de primer orden de la forma:

M(x)dx+N(y)dy = 0

es una Ecuación Diferencial de Variables Separables, cuya solución está dada por:

´M(x)dx+

Ń(y)dy = c

Nota: Aunque las E.D.O. de variables separables son relativamente las más sencillas de resolver, frecuente-mente es necesario emplear diversos arti�cios matemáticos a �n de separar las variables adecuadamente.

Ejemplos:

a) dydx = e(3x+2y)

dydx = e(3x)e(2y)

c = e(3x)dx− e(−2y)dy

é(3x)dx−

é(−2y)dy = c

13

é(3x)(3)dx+ 1

2

é(−2y)(−2)dy = c

13e

(3x) + 12e

(−2y) = c

13e

(3x) + 12e

(−2y) = c (multiplicando por 6)

2e(3x) + 3e(−2y) = 6c si 6c = C (porque sigue siendo una constante desconocida)

2e(3x) + 3e(−2y) = C (solución general, implícita)

b) (x2y + 4y)dy − (2x+ xy2)dx = 0, con condiciones iniciales y(2) = 3

(x2 + 4)ydy − (2 + y2)xdx = 0 (dividiendo por −(x2 + 4) y −(2 + y2))

− y(2+y2)dy + x

(x2+4)dx = 0

x(x2+4)dx−

y(y2+2)dy = 0

12

´x

(x2+4) (2)xdx− 12

ý

(y2+2) (2)dy = c

7

8

12 ln(x2 + 4)− 1

2 ln(y2 + 2) = c (multiplicando por 2)

ln(x2 + 4)− ln(y2 + 2) = 2c

ln(x2 + 4)− ln(y2 + 2) = 2c

e[ln(x2+4)−ln(y2+2)] = e2c

eln(x2+4)e−ln(y

2+2) = e2c

(x2 + 4)eln(y2+2)−1

= e2c

x2+4y2+2 = e2csi e2c = C (porque sigue siendo una constante desconocida)

x2+4y2+2 = C (solución general, implícita)

22+432+2 = C (aplicando las condiciones iniciales)

c = 811

x2+2y2+4 = 8

11 (solución particular)

2.2 De�nición y solución de E.D.O. con coe�cientes homogéneos

Una E.D.O. de primer orden de la forma:

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

será de coe�cientes homogéneos si M y N son coe�cientes homogéneos de grado n, es decir:

si

M(tx, ty) = tnM(x, y)

y

N(tx, ty) = tnM(x, y)

Si esto se cumple, entonces es posible hacer un cambio de variable tal que:

y = ux y dy = udx+ xdu

y

x = vy y dx = vdy + ydv

donde u y v son nuevas variables dependientes que reducirán a la E.D. con coe�cientes homogéneos a unaE.D. de variables separables de primer orden.

Nota: Si M(x, y) es más simple en su estructura algebráica, usar x = vy; si N(x, y) es más simple en suestructura algebráica, usar y = ux.

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Ejemplos:

a) y´ = xyx2−y2

(x2 − y2)dy = xydx

0 = xydx− (x2 − y2)dy

xydx− (x2 − y2)dy = 0

si M(x y) = xy entonces M(tx, ty) = txty = t2xy

si N(x, y) = −(x2 − y2) entonces N(tx, ty) = −(t2x2 − t2y2) = t2[−(x2 − y2)]

los coe�cientes M y N son homogéneos de grado 2. Por otra parte, una multiplicación es más simple queuna suma algebráica de dos potencias, por lo que M es más simple, por lo tanto usaremos la sustituciónx = vy, lo que implica que dx = udy + ydu y v = x

y .

vy2(vdy + ydv)− (v2y2 − y2)dy = 0

v2y2dy + vy3dv − v2y2dy + y2dy = 0

vy3dv + y2dy = 0

y2dy = −vy3dv

dyy = −vdv

dyy + vdv = 0

´dyy +´vdv = c

ln(y) + 12v

2 = c

ln(y) + 12xy2 = c

b) (x+ ye(yx ))dx− xe(

yx )dy = 0, con condiciones iniciales: y(1) = 0

si M(x, y) = (x+ ye(yx )) entonces M(tx, ty) = (tx+ tye(

tytx )) = t(x+ ye(

yx ))

si N(x, y) = −xe(yx ) entonces N(tx, ty) = −txe(

tytx ) = t(−xe(

yx ))

los coe�cientes M y N son homogéneos de grado 1 y N es más simple, por lo que usaremos la sustitucióny = ux, lo que implica que dy = udx+ xdu y u = y

x .

(x+ uxe(uxx ))dx− xe(ux

x )(udx+ xdu) = 0

xdx+ uxe(u)dx− uxe(u)dx− x2eudu = 0

xdx = x2eudu

dxx = eudu

10

dxx − e

udu = 0

´dxx −

´eudu = c

ln(x)− eu = c

ln(x)− eyx = c (aplicando las condiciones iniciales)

ln(1)− e 01 = c

0− e0 = c

c = −1

ln(x)− eyx = −1 (solución particular)

Otra forma de resolver este tipo de E.D. es empleando la fórmula siguiente:

dxx + N(1, u)du

M(1, u)+uN(1, u) = 0

2.3 De�nición y solución de E.D.O. exacta

Una E.D. de la forma:

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

Es una ecuación diferencial exacta si:

∂M∂y = ∂N

∂x

Cuya solución está dada por:

´Mdx+

´ (N − ∂

∂y

´Mdx

)dy = c

Nota: El resultado también se puede obtener a partir de N con las debidas consideraciones en los cambiosde variables al integrar y derivar.

Ejemplos:

a) 2xy + (x2 − 1)dy = 0

si M(x y) = 2xy entonces ∂∂yM(x, y) = 2x

si N(x, y) = (x2 − 1) entonces ∂∂xN(x, y) = 2x

observamos que las derivadas parciales son iguales por lo que tenemos una ecuación diferencial exacta.Aplicando la fórmula:

si´Mdx = 2y

´xdx = x2y

y ∂∂y

´Mdx = x2 ∂

∂yy = x2

entonces

11

x2y +´

(x2 − 1− x2)dy = c

x2y −´dy = c

x2y − y = c

b) [e(2y) − ycos(xy)]dx+ [2xe(2y) − xcos(xy) + 2y]dy = 0

si M(x y) = e(2y) − ycos(xy) entonces ∂∂y [e(2y) − ycos(xy)] = 2e(2y) + xysen(xy)− cos(xy)

si N(x, y) = 2xe(2y) − xcos(xy) + 2y entonces ∂∂x (2xe(2y) − xcos(xy) + 2y) = 2e(2y) + xysen(xy)− cos(xy)

observamos que las derivadas parciales son iguales por lo que tenemos una ecuación diferencial exacta.Aplicando la fórmula:

si´Mdx =

´([e− ycos(xy)]dx = xe(2y) − sen(xy)

y ∂∂y

´Mdx = ∂

∂y [xe(2y) − sen(xy)] = 2xe(2y) − xcos(xy)

entonces

xe(2y) − sen(xy) +´

[2xe(2y) − xcos(xy) + 2y − 2xe(2y) + xcos(xy)]dy = c

xe(2y) − sen(xy) + 2´ydy = c

xe(2y) − sen(xy) + y2 = c

Existen un caso particular en el que para aplicar este método de solución a una E.D.M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0en donde ∂M

∂y 6=∂N∂x , es necesario encontrar un factor integrante que permita reducirla a una E.D. exacta

tal que µM(x, y)dx+ µN(x, y)dy = 0 y ∂µM∂y = ∂µN

∂x . Hay dos formas de obtener a µ:

1. µ(x) = e´ ∂M

∂y− ∂N

∂xN dx = e

´ My−NxN dx

2. µ(y) = e´ ∂N

∂x− ∂M

∂yM dy = e

´ Nx−MyM dy

Nota: Se sugiere examinar la estructura algebráica de µ(x) y µ(y) antes de hacer una elección.

2.4 De�nición y solución de E.D.O. lineales de primer orden

Al dividir la E.D.O. de primer orden de la forma:

a1(x) dydx + a0(x)y = g(x) entre, a1(x) obtenemos la forma estándar de una ecuación lineal, es decir:

dydx + P (x)y = Q(x) si Q(x)

{= 0 la ecuación lineal eshomogénea

6= 0 la ecuación linal noeshomogénea

Para obtener su solución, debemos conocer el factor integrante e´P (x)dx y aplicar la fórmula siguiente:

e´P (x)dxy =

´e´P (x)dxQ(x)dx+ c

O bien

12

y = 1e´P (x)dx

´e´P (x)dxQ(x)dx+ c

e´P (x)dx

Ejemplos:

a) dydx + 7y = 0

e7´dx = e7x (factor integrante)

y =´e7x(0)dx+c1

e7x

y =´0+c1e7x

y = c2+c1e7x si c2 + c1 = c (porque sigue siendo una constante desconocida)

y = ce7x (solución general, explícita)

b) dydx + y = x, con condiciones iniciales y(0) = 4

e´dx = ex (factor integrante)

y =´xexdx+cex

y = xex−ex+cex

y = x− 1 + cex (solución general)

4 = 0− 1 + c (aplicando la condición inicial)

4 + 1 = c = 5

y = x− 1 + 5ex

2.5 De�nición y solución de E.D.O. de Bernoulli

* Se le llama E.D. de Bernoulli a la E.D. de la forma:

dydx + P (x)y = Q(x)yn donde n es un número real

Nota: Si n = 0 o n = 1, tenemos una E.D.O. L., cuya solución se puede obtener mediante el factorintegrante e

´P (x)dx y mediante separación de variables, respectivamente.

Para resolver la ecuación de Bernoulli, tenemos que transformarla en una E.D.O.L. por lo que tendremosque identi�car los siguientes elementos:

1. P (x)

2. Q(x)

3. n

4. w = y(1−n) = 1y(n−1)

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De tal manera que formemos la siguiente expresión:

dwdx + (1− n)P (x)w = (1− n)Q(x) con factor integrante e(1−n)

´P (x)dx

Es decir:

dwdx + P ′(x)w = Q′(x) con factor integrante e

´P ′(x)dx donde P'(x) = (1− n)P (x) y Q′(x) = (1− n)Q(x)

Cuya solución está dada por:

e´P ′(x)dxy =

é´P ′(x)dxQ(x)dx+ c

O bien

y = 1e´P ′(x)dx

é´P ′(x)dxQ(x)dx+ c

e´P ′(x)dx

Ejemplos:

a) dydx − y = exy2

si P (x) = −1, f(x) = ex y n = 2 entonces:

dwdx + (1− 2)(−1)w = (1− 2)ex con factor integrante e(1−2)

´−1dx = e

´dx = ex

exw = −éxexdx+ c1 = −

é2xdx = − 1

2e2x + c1

w =(− 1

2 e2x+c1)ex =

(−e2x+2c1

2

)ex = c−e2x

2ex

si w = y1−2 = 1y

1y = c−e2x

2ex

y = 2ex

c−e2x

b) dydx = y

x+x2y3dxdy = x+y3x2

y = xy + y2x2

dxdy −

xy = y2

si P (y) = − 1y , f(y) = y2 y n = 2 entonces:

dwdy + (1− 2)

(− 1y

)w = (1− 2)y2 con factor integrante e(1−2)

´− 1

y dy = eln(y) = y

yw =ý(−y2)dy + c1 = −

ý3dy = −y

4

4 + c1

w = c−y44y

si w = x1−2 = 1x

1x = c−y4

4y

x = 4yc−y4

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior

3.1 Solución de E.D.O. de orden superior con coe�cientes constantes porcoe�cientes indeterminados

La E.D.O. L. de la foma:

any(n) + an−1y

(n−1) + an−2y(n−2) + ...+ a2y

′′+ a1y

′+ a0y = g(x)

O de la foma:

anD(n)y + an−1D

(n−1)y + an−2D(n−2)y + ...+ a2D

′′y + a1D

′y + a0y = g(x)

En donde:

a0, a1, a2, ..., an−2, an−1, an

Recibe el nombre de Ecuación Diferencial de Ordinaria de orden superior con coe�cientes constantes,cuyo método de solución por coe�cientes indeterminados, tiene dos enfoques: superposición y operadoranulador.

3.1.1 Enfoque de superposición.

Una E.D.O. L. no homogénea de la forma:

any(n) + an−1y

(n−1) + an−2y(n−2) + ...+ a2y

′′+ a1y

′+ a0y = g(x)

Se resuelve mediante:

1. Encontrar la solución complementaria yc.

2. Encontrar la solución particular yp.

3. Sumar ambas funciones de tal manera que y = yc + yp.


De la parte homogénea de la E.D. obtenemos una ecuación auxiliar de la forma: anmn + an−1m

n−1 +an−2m

n−2 + ...+a2m2 +a1m+a0 = 0 con raices: mn, mn−1, mn−2, ..., m2, m1 , en función de las raices, podemos

tener una combinación de los tres casos siguientes:

1) Raices diferentes:

yc = c1em1x + c2e

m2x + ...+ cn−2emn−2x + cn−1e

mn−1x + cnemnx

2) Raices repetidas:

14

15

yc = c1emx + c2xe

mx + c3x2emx...+ cn−2x

n−3emx + cn−1xn−2emx + cnx

n−1emx

3) Raiz compleja de la forma m1, m2 = α± βi:

yc = eαx[c1sen(βx) + c2cos(βx)]


De la forma de g(x) de la E.D., podemos tener cualquier combinación de los tres casos siguientes o solouno:

1) Polinomial (en función del grado):

yp = A+Bx+ Cx2 + ...+Xxn−2 + Y xn−1 + Zxn

2) Exponencial:

yp = Aeαx +Bxeαx + Cx2eαx + ...+Xxn−2eαx + Y xn−1eαx + Zxneαx

3) Trigonométrica:

yp = Asen(βx) +Bcos(βx)

Nota: Si algún elemento propuesto en yp ya se encuentra en yc, es necesario multiplicarlo por xn, de tal

manera que n sea el grado inmediato superior que diferencie a los términos.

Para encontrar los valores de las constantes:

1) Igualaremos a y con yp y la sustituiremos junto con sus derivadas, en la E.D.

2) Reduciremos términos semejantes en el primer miembro de la igualdad.

3) Agruparemos los términos del primer miembro de la igualdad, ajustándolos a la forma de g(x).

4) Igualaremos los coe�cientes, resolviendo el sistema de ecuaciones generado.

5) Sustituiremos los valores de la constantes encontrados en yp.

3. Sumar ambas soluciones de tal manera que y = yc + yp.

Ejemplos:

a) y′′ + 2y′ + 4y = −200x+ 10

la ecuación auxiliar de la parte homogénea es:

m2 + 2m+ 4 = 0

con raices:

m1 = −1 +√

3i

m2 = −1−√

3i

16

dado que las raices son complejas:

yc = c1e−xsen(

√3x) + c2e

−xcos(√

3x)

la forma de g(x) es polinomial por lo que la solución propuesta es:

yp = Ax+B

derivando la solución propuesta tanta veces como sea el orden de la ecuación diferencial:

y′p = A

y′′p = 0

sustituyendo y por yp en la ecuación diferencial:

0 + 2A+ 4(Ax+B) = −200x+ 10

4Ax+ 2A+ 4B = −200x+ 10

igualando los coe�cientes de los términos semejante en ambos lados de la igualdad:

4Ax = −200x (1)

2A+ 4B = 10 (2)

de (1)

A = −50

sustituyendo A en (2)

2(−50) + 4B = 10

4B = 110

B = 552

sustituyendo A y B en yp

yp = −50x+ 552

sumando yc con yp

y = c1e−xsen(

√3x) + c2e

−xcos(√

3x)− 50x+ 552

b) y′′ + 2y′ + y = xex


m2 + 2m+ 1 = 0

con raices:

17

m1,2 = −1

dado que las raices son iguales o repetidas:

yc = c1e−x + c2xe

−x

la forma de g(x) es exponencial por lo que la solución propuesta es:

yp = Axex +Bex


y′p = Axex +Aex +Bex

y′′p = Axex + 2Aex +Bex


Axex + 2Aex +Bex + 2(Axex +Aex +Bex) +Axex +Bex = xex

4Axex + (4A+ 4B)ex = xex

igualando los coe�ciente de los términos semejante en ambos lados de la igualdad:

4Axex = xex (1)

4A+ 4B = 0 (2)

de (1)

A = 14

sustituyendo A en (2)

4( 14 ) + 4B = 0

4B = −1

B = − 14


yp = 14xe

x − 14ex

sumando yc con yp

y = c1e−x + c2xe

−x + 14xe

x − 14ex

3.1.2 Enfoque del operador anulador (Operador diferencial).


anD(n)y + an−1D

(n−1)y + an−2D(n−2)y + ...+ a2D

′′y + a1D

′y + a0y = g(x)

18


1. Encontrar la ecuación auxiliar en terminos del operador diferencial D a partir de la cual se obtendrála solución complementaria yc.

2. Encontrar un operador anulador adecuado para g(x) de tal manera que al multiplicar la E.D. pordicho operador g(x) = 0, de dicho operador diferencial se obtendrá la solución particular yp.

3. Concatenar la ecuación auxiliar con el operador anulador, sin perder de vista donde termina unaparte y donde comienza la otra.

4. Identi�car los valores de las constantes A, B, C, ... y sustituirlos en y.

1. Encontrar la ecuación auxiliar en términos del operador diferencial D a partir de la cual se obtendrá lasolución complementaria yc.

De la parte homogénea de la E.D. obtenemos una ecuación auxiliar de la forma: anDn + an−1D

n−1 +an−2D

n−2 + ...+ a2D2 + a1D + a0

2. Encontrar un operador anulador adecuado para g(x) de tal manera que al multiplicar la E.D. por dichooperador g(x) = 0, de dicho operador diferencial se obtendrá la solución particular yp.

3. Concatenar la ecuación auxiliar con el operador anulador, sin perder de vista donde termina una partey donde comienza la otra.

De la expresión (Factores de laEcuacionAuxiliar)(Operador Anulador) = 0 encontraremos sus raices paraformar a y de acuerdo a:

a) Si las raices son diferentes

{c1e

D1x + c2eD2x + c3e

D3x + ... para laEcuacionAuxiliar

AeD1x +BeD2x + CeD3x + ... para el Operador Anulador

b) Si las raices son repetidas

{c1e

Dx + c2xeDx + c3xe

Dx + ... para laEcuacionAuxiliar

AeDx +BxeDx + Cx2eDx + ... para el Operador Anulador

c) Si las raices son complejas (α± βi)

{c1e

αxsen(βx) + c2eαxcos(βx) para laEcuacionAuxiliar

Aeαxsen(βx) +Beαxcos(βx) + ... para el Operador Anulador

Nota: Si alguno de los términos (sin la constante) para yp, ya se encuentra en yc, es necesario multiplicarel o los términos repetidos por xn donde ′n′ es el grado inmediato superior que los haga diferentes.

4. Identi�car los valores de las constantes A, B, C, ... y sustituirlos en y.

Para encontrar los valores de las constantes que corresponden a yp se procede de la misma manera queen el enfoque de superposición. Finalmente se sustituyen las constantes por los valores encontrados.

Ejemplos:

a) y′′ + 2y′ + 4y = −200x+ 10

sa ecuación auxiliar de la parte homogénea es:

m2 + 2m+ 4 = 0

19

con raices:

m1 = −1 +√

3i

m2 = −1−√

3i


yc = c1e−xsen(

√3x) + c2e

−xcos(√

3x)

sa forma de g(x) es polinomial por lo que el operador anulador es:

D2(−200x+ 10) = 0

aplicando los mismos conceptos que con la ecuación auxiliar:

m2 = 0

con raices

m1,2 = 0


yp = A+Bx


y′p = B

y′′p = 0


0 + 2B + 4(A+Bx) = −200x+ 10

4A+ 2B + 4Bx = 10− 200x

igualando los coe�cientes de los términos semejante en ambos lados de la igualdad:

4A+ 2B = 10 (1)

4Bx = −200x (2)

de (2)

B = −50

sustituyendo B en (1)

4A+ 2(−50) = 10

4A = 110

20

A = 552


yp = 552 − 50x

yp = −50x+ 552

sumando yc con yp

y = c1e−xsen(

√3x) + c2e

−xcos(√

3x)− 50x+ 552

b) y′′ + 2y′ + y = xex


m2 + 2m+ 1 = 0

con raices:

m1,2 = −1


yc = c1e−x + c2xe

−x

la forma de g(x) es exponencial por lo que el operador anulador es:

(D − 1)2(xex) = 0

aplicando los mismos conceptos que con la ecuación auxiliar:

(m− 1)2 = 0

con raices

m1,2 = 1

yp = Aex +Bxex


y′p = Aex +Bxex +Bex

y′′p = Aex +Bxex + 2Bex


Aex +Bxex + 2Bex + 2(Aex +Bxex +Bex) +Aex +Bxex = xex

(4A+ 4B)ex + 4Bxex = xex

igualando los coe�ciente de los términos semejante en ambos lados de la igualdad:

21

4A+ 4B = 0 (2)

4Bxex = xex (1)

de (2)

B = 14

sustituyendo B en (1)

4A+ 4( 14 ) = 0

4A = −1

A = − 14


yp = − 14ex + 1

4xex

yp = 14xe

x − 14ex

sumando yc con yp

y = c1e−x + c2xe

−x + 14xe

x − 14ex

3.2 Solución de E.D.O. de orden superior por variación de parámetros


anyn + an−1y

n−1 + an−2yn−2 + ...+ a2y

′′+ a1y

′+ a0y = g(x)




3. Sumar ambas funciones de tal manera que y = yc + yp.


De la parte homogénea de la E.D. obtenemos una ecuación auxiliar de la forma:

anαn + an−1α

n−1 + an−2αn−2 + ...+ a2α

2 + a1α+ a0 = 0

Al obtener las raices, podemos tener una combinación de los casos siguientes:

a) Si las raices son diferentes

yc = c1eα1x + c2e

α2x + c3eα3x + ...

b) Si las raices son repetidas

22

yc = c1eαx + c2xe

αx + c3x2eαx + ...

c) Si las raices son complejas (α± βi)

yc = c1eαxsen(βx) + c2e

αxcos(βx)


De la solución complementaria (sin tomar en cuenta la constante), el primer término corresponderá ay1, el segundo a y2 y así sucesivamente, de tal manera que yp = u1y1 + u2y2 + ...

De yp y g(x) formaremos el siguiente sistema de ecuaciones:

y1 u′

1 + y2 u′

2 + . = 0

y′1 u′

1 + y′2 u′

2 + . = 0

y′′1 u′

1 + y′′2 u′

2 + . = 0. + . + . .

y(n)1 u

′

1 + y(n)2 u

′

2 + . = g(x)

Para resolver el sistema

3. W =

y1 y2 . yny′1 y′2 . y′n. . . .

y(n)1 y

(n)2 . y

(n)n

u′1 =

0 y2 . yn0 y′2 . y′n. . . .

g(x) y(n)2 . y

(n)n

W ; u1 =

´u′1dx

u′2 =

y1 0 . yny′1 0 . y′n. . . .

y(n)1 g(x) . y

(n)n

W ; u2 =

´u′2dx

Los valores encontrados (u1, u′2, ...) se sustiyen en yp

4. Sumar ambas soluciones de tal manera que y = yc + yp.

Ejemplos:

a) y′′ + 2y′ + 2y = e(x)


m2 + 2m+ 2 = 0

con raices:

m1 = −1 + i

m2 = −1− i


23

yc = c1e(−x)sen(x) + c2e

(−x)cos(x)

partiendo de yc tenemos que:

y1 = e(−x)sen(x)

y2 = e(−x)cos(x)

por lo que:

yp = u1e(−x)sen(x) + u2e

(−x)cos(x)

y

e(−x)sen(x)u′1 + e(−x)cos(x)u′2 = 0

[e(−x)cos(x)− e(−x)sen(x)]u′1 + [−e(−x)sen(x)− e(−x)cos(x)]u′2 = e(x)

W =

[e(−x)sen(x) e(−x)cos(x)

e(−x)cos(x)− e(−x)sen(x) −e(−x)sen(x)− e(−x)cos(x)

]

W = −e(−2x)sen2(x)− e(−2x)sen(x)cos(x)− e(−2x)cos2(x) + e(−2x)sen(x)cos(x)

W = −e(−2x)sen2(x)− e(−2x)cos2(x) = −e(−2x)[sen2(x) + cos2(x)]

W = −e−2x

obteniendo u1 y u2:

u′1 =

0 e(−x)cos(x)e(x) −e(−x)sen(x)− e(−x)cos(x)

W = −cos(x)

−e(−2x) = e(2x)cos(x)

u1 = e(2x)[sen(x)+2cos(x)]5

u′2 =

e(−x)sen(x) 0e(−x)cos(x)− e(−x)sen(x) e(x)

W = sen(x)

−e(−2x) = −e(2x)sen(x)

u2 = − e(2x)[2sen(x)−cos(x)]

5

Sustituyendo u1 y u2 en yp

yp = { e(2x)[sen(x)+2cos(x)]

5 }e(−x)sen(x) + {− e(2x)[2sen(x)−cos(x)]

5 }e(−x)cos(x)

yp = 15e

(x){sen(x)[sen(x) + 2cos(x)]− cos(x)[2sen(x)− cos(x)]}

yp = 15e

(x)[sen2(x) + 2sen(x)cos(x)− 2sen(x)cos(x) + cos2(x)]

yp = 15e

(x)

sumando yc con yp

24

y = c1e(−x)sen(x) + c2e

(−x)cos(x) + 15ex

b) y′′ + 4y = sen(2x)


m2 + 4 = 0

con raices:

m1 = 2i

m2 = −2i


yc = c1sen(2x) + c2cos(2x)

partiendo de yc tenemos que:

y1 = sen(2x)

y2 = cos(2x)

por lo que:

yp = u1sen(2x) + u2cos(2x)

y

sen(2x)u′1 + cos(2x)u′2 = 0

2cos(2x)u′1 − 2sen(2x)u′2 = sen(2x)

W =

[sen(2x) cos(2x)2cos(2x) −2sen(2x)

]

W = −2sen2(x)− 2cos2(x)

W = −2[sen2(x) + cos2(x)]

W = −2

obteniendo u1 y u2:

u′1 =

0 cos(2x)sen(2x) −2sen(2x)

W = −sen(2x)cos(2x)

−2 = sen(2x)cos(2x)2

u1 = sen2(2x)8

u′2 =

sen(2x) 02cos(2x) sen(2x)

W = sen2(2x)

−2

25

u2 = −x4 + sen(4x)16

Sustituyendo u1 y u2 en yp

yp = { sen2(2x)8 }sen(2x) + {−x4 + sen(4x)

16 }cos(2x)

yp = sen3(2x)8 − xcos(2x)

4 + sen(4x)cos(2x)16

sumando yc con yp

y = c1sen(2x) + c2cos(2x) + sen3(2x)8 − xcos(2x)

4 + sen(4x)cos(2x)16

3.3 Solución de E.D.O. de orden superior: La ecuación de Cauchy, Euler

Una E.D.O. L. homogénea de la forma:

anxny(n) + an−1x

n−1y(n−1) + an−2xn−2y(n−2) + ...+ a2y

2y′′

+ a1xy + a0y = 0


1. Sustituir a y y sus derivadas por xm y sus derivadas.

2. De la ecuación anterior hay que encontrar sus raices, para formar a y.

1. Sustituir a y y sus derivadas por xm y sus derivadas.

y = xm

y′ = mxm−1

y′′ = m(m− 1)xm−2

y′′′ = m(m− 1)(m− 2)xm−3 y así sucesivamente

Después de hacer la sustitución, hay que reducir término semejantes y despejar xm quedando unaecuación de la forma:

anmn + an−1m

n−1 + an−2mn−2 + ...+ a2m

2 + a1m+ a0 = 0

2. De la ecuación anterior hay que encontrar sus raices, para formar a y.

De la ecuación auxiliar: anmn + an−1m

n−1 + an−2mn−2 + ... + a2m

2 + a1m + a0 = 0 obtenemos las raices:mn, mn−1, mn−2, ..., m2, m1, en función de las raices, podemos tener una combinación de los tres casossiguientes:

1) Raices diferentes:

y = c1xm1 + c2x

m2 + ...+ cn−2xmn−2 + cn−1ex

mn−1 + cnxmn

2) Raices repetidas:

y = c1xm + c2x

mln(x) + c2xmln2(x) + ...

26

3) Raiz compleja de la forma m1, m2 = α± βi:

y = c1xαsen[βln(x)] + c2x

αcos[βln(x)]

Ejemplos:

a) x2y′′ + 2xy′ + y = 0

sustituyendo y poy xm tenemos:

x2m(m− 1)xm−2 + 2xmxm−1 + xm = 0

reduciendo términos semejantes y factorizando xm:

(m2 +m+ 1)xm = 0

con raices:

m1 = − 12 +

√3i2

m2 = − 12 −

√3i2


y = c1x− 1

2 sen[√32 ln(x)] + c2x

− 12 cos[

√32 ln(x)]

b) x2y′′ + 3xy′ + y = 0

sustituyendo y poy xm tenemos:

x2m(m− 1)xm−2 + 3xmxm−1 + xm = 0

reduciendo términos semejantes y factorizando xm:

(m2 + 2m+ 1)xm = 0

con raices:

m1,2 = −1


y = c1x−1 + c2x

−1ln(x)

Formulario

A. Potencias y raices

p1. un = 1u−n ,

1un = u−n

r1. n√um = u

mn

B. Productos y factores notables

p1. (u± v)2 = u2 ± 2uv + v2

p2. (u+ v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 → (u− v)3 = u3 − 3u2v + 3uv2 − v3

f1. u2 − v2 = (u+ v)(u− v)

f2. u3 + v3 = (u+ v)(u2 − uv + v2)→ u3 − v3 = (u− v)(u2 + uv + v2)

C. Fracciones parciales

Se deben cumplir las siguientes condiciones:

1) El grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador

2) Al factorizar el denominador, se pueden observar los siguientes casos:

i. Factores diferentes

f(x)m(x)n(x)o(x) ... = A

m(x) + Bn(x) + C

o(x) + ...

ii. Factor repetido

f(x)[m(x)]n ... = A

m(x) + B[m(x)]2

+ ...+ Constante[m(x)]n

iii. Factor cuadrático irreducible, no repetido

f(x)(ax2+b) ... = Ax+B

(ax2+b) + Cx+D(cx2+d) + ...

iiii. Factor cuadrático irreducible, repetido

f(x)(ax2+b)n ... = Ax+B

(ax2+b) + Cx+D(cx2+d)2 + ...+ C1x+C2

(C3x2+C4)n

27

28

D. Logaritmos y antilogaritmos

l1. ln(uv) = ln(u) + ln(v)

l2. ln(uv ) = ln(u)− ln(v)

l3. nln(u) = ln(un), 1n ln(u) = ln( n

√u) y m

n ln(u) = ln( n√um)

a1. ln(ev) = eln(v) = v

E. Identidades trigométricas comunes

it01. sen(v) = 1csc(v)

it02. cos(v) = 1sec(v)

it03. tan(v) = 1cot(v) = sen(v)

cos(v)

it04. sen2(v) + cos2(v) = 1

it05. sen(2v) = 2sen(v)cos(v)

it06. cos(2v) = cos2(v)− sen2 = 1− 2sen2(v) = 2cos2(v)− 1

it07. sen2(v) = 12 −

12cos(2v)

it08. cos2(v) = 12 + 1

2cos(2v)

F. Derivadas e integrales comunes

d01. dcdx = 0

d02. dcvdx = c dvdx

d03. dxn

dx = nxn−1 → dvn

dx = nvn−1 dvdx

d04. dln(x)dx = 1

x →dln(v)dx = 1

vdvdx

d05. dex

dx = ex → dev

dx = ev dvdx

d06. dsen(x)dx = cos(x)→ dsen(v)

dx = cos(v) dvdx

d07. dcos(x)dx = −sen(x)→ dcos(v)

dx = −sen(v) dvdx

d08. dtan(x)dx = sec2(x)→ dtan(v)

dx = sec2(v) dvdx

d09. dcot(x)dx = −cos2(x)→ dcot(v)

dx = −cos2(v) dvdx

d10. dsec(x)dx = tan(x)sec(x)→ dsec(v)

dx = tan(v)sec(v) dvdx

d11. dcsc(x)dx = −cot(x)csc(x)→ dcsc(v)

dx = −cot(v)csc(v) dvdx

29

i01.´

0 = c

i02.´kvdv = k

´vdv + c

i03.´

1xdx = ln(x) + c→

´1vdv = ln(v) + c

i04.´xndx = xn+1

n+1 + c→´vndv = vn+1

n+1 + c

i05.´ln(x)dx = xln(x)− x+ c→

´ln(v)dv = vln(v)− v + c

i06.éxdx = ex + c→ dev

dx = ev dvdx + c

i07.´sen(x)dx = −cos(x) + c→

´sen(v)dv = −cos(v) + c

i08.ćos(x)dx = sen(x)→

ćos(v)dv = sen(v) dvdx

Bibliografía

Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, séptima edición. Thomson Learning.

Swokowski, Earl W. Cálculo con geometría analítica, segunda edición. Grupo editorial Iberoamericana.

Spiegel, Murray; et al. Fórmulas y tablas de matemática aplicada, segunda edición. Mc Graw Hill

30

cuadernillo de ecuaciones diferenciales

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