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Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de Mxico

Organismo Pblico Descentralizado del Gobierno del Estado de Mxico

CUADERNILLO DE APUNTES DE MATEMTICAS PARA COMPUTADORA

(PRIMER SEMESTRE) INGENIERA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

Elaboro: Lic. Telsforo Zamorano Soriano

Enero de 2006.

INDICE

UNIDAD 1.- Lgica Matemtica . 2 1.1 Introduccin al Clculo de Proposiciones ... 3

1.2 Concepto de Argumento y Tipos de Proposiciones Lgicas ... 3 1.3 Conexiones Lgicas y Jerarquas .. 4 1.4 Clculo de predicados.. 9 1.5 lgebra declarativa . 13 1.6 Induccin Matemtica 16 1.7 Reglas de Inferencia 19 1.8 Evaluacin de expresiones .. 23 1.9 Tautologas y contradicciones 28 1.10 Implicacin Tautolgica ... 34 UNIDAD 2.- Relaciones. ... 39 2.1 Introduccin ... 39 2.2 Propiedades de las Relaciones 40 2.3 Cerradura 43 2.4 Relaciones de Equivalencia 44 2.5 Ordenes Parciales 45 2.6 Diagrama de Hasse . 46 UNIDAD 3.- Teora de Grafos. 48 3.1 Introduccin ... 48 3.2 Representacin de estructura mediante grafos 59 UNIDAD 4.- Sistemas numricos. 65 4.1 Representacin de la informacin . 69 4.2 Conversiones numricas . 81 4.3 lgebra Booleana 85 Practicas . 97

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Apuntes de matemticas para computadora OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO El estudiante conocer y comprender los conceptos bsicos de lgica matemtica, relaciones, rboles y grafos para aplicarlos a modelos que resuelvan problemas de computacin.

Unidad 1. Lgica Matemtica Objetivo: El estudiante conocer los conceptos bsicos de la lgica matemtica, el anlisis de proposiciones y su aplicacin en el mbito computacional.

Lo ms importante en matemticas y computacin es conocer la veracidad de una aseveracin. La palabra lgica viene del griego y significa, razn, tratado o ciencia. Y en computacin es la ciencia que estudia la forma de razonar correctamente, la que nos indica la forma correcta de obtener conclusiones y los mtodos conocidos para lograrlo. La lgica como cualquier ciencia y como la filosofa busca la verdad y es la que establece las reglas para hacer un razonamiento correcto. Aqu debemos distinguir entre pensamiento correcto y verdadero, la lgica proporciona una herramienta para saber si un desarrollo es correcto, pero la veracidad del mismo depender de las premisas o sea las condiciones de las que se parte. Por ejemplo, si el maestro dice que todos los alumnos que traigan la tarea tendrn un punto extra en el examen. Si Juan me dice que llev la tarea se puede concluir correctamente que obtuvo un punto ms. Este es un razonamiento correcto, sin embargo la veracidad de la conclusin depende de la veracidad de las dos premisas. Si por ejemplo Juan me dijo mentiras y no entreg la tarea, ya no podemos estar seguros de que la conclusin es verdad. Lo mismo sucede si el maestro no cumple su promesa y cambia de opinin acerca de subir un punto, o si el maestro no ha estudiado lgica. Resumiendo: Si las condiciones dadas (premisas) son verdaderas, la lgica nos ensea mtodos de razonamiento o inferencia correctos para saber en qu casos la conclusin es tambin verdadera.

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La Lgica es importante para los estudiantes de computacin primeramente porque proporciona una forma de saber si un desarrollo es correcto, tanto en matemticas como en otras materias de ciencias; pero tambin es importante porque nos presenta el lenguaje de expresiones booleanas que utilizamos en los diferentes lenguajes de Programacin, en Bases de Datos, y cualquier otra materia de computacin que utilice conceptos lgicos.

1.1 Introduccin al Clculo de Proposiciones

En computacin frecuentemente se usan estructuras que dependen solamente de dos valores, as por ejemplo tenemos el sistema numrico binario que se utiliza para representar los nmeros utilizando solamente 0 y 1. El trabajar con slo 2 opciones facilita la implementacin de los conceptos y simplifica su manejo. As una teora resulta mucho ms fcil de establecer y de justificar si tiene slo dos valores asociados, que otra por ejemplo una estructura de lgebra de nmeros que tiene una cantidad infinita. Otro tipo de entes que se utilizan en computacin que tambin est asociado a dos opciones, es lo que se conoce como expresiones booleanas. Estas expresiones, que deben su nombre a George Boole, se pueden ver caracterizadas como verdaderas falsas y de acuerdo a esta condicin se desarrolla el estudio sobre dichos conceptos. Este tema se conoce como clculo de proposiciones.

1.2 Concepto de Argumento y Tipos de Proposiciones Lgicas

Los argumentos son una de las formas ms comunes en matemticas, en lgica y en computacin de establecer razonamientos para llegar a la verdad. Si tenemos un conectivo lgico OR de dos valores de entrada y despus un inversor, cul es la salida. O si en un programa con una instruccin tipo if se tiene la condicin X > 3 and X < 10 cmo se sabe si se ejecut el comando. Podemos tener tambin situaciones como: Todos los hombres son mortales. Scrates es hombre. Por lo tanto: Scrates es mortal. Si lo comparamos con: Todos lo rboles son verdes. Todos lo pericos son verdes. Por lo tanto: Todos los rboles son pericos. La pregunta importante es, cmo saber si un razonamiento es vlido? En general, la lgica proporciona los mtodos para saber si un argumento es correcto y poder obtener conclusiones.

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Un argumento es un conjunto de premisas, condiciones dadas, junto con una conclusin. Y decimos que un argumento es vlido si la conclusin es verdadera siempre que las premisas lo son. Uno de los principales propsitos de la lgica es por lo tanto encontrar la forma de poder saber si un argumento es vlido o no. A esto le llamamos inferencia y est en la seccin 1.7 Reglas de Inferencia. Antes de poder decidir un argumento es vlido o no, debemos de empezar por estudiar sus componentes, los elementos ms simples que componen un argumento se llaman elementos atmicos. Empezaremos por decir que en lgica proposicional utilizaremos dos valores asociados llamados valores de verdad, que son verdadero (V) y falso (F), y en computacin a las expresiones que se les asocia uno de estos dos valores se les llama expresiones booleanas. Los enunciados o expresiones del lenguaje se pueden clasificar en: Proposiciones lgicas, Proposiciones abiertas y Frases o expresiones indeterminadas. Proposicin lgica. Expresiones que pueden ser verdadera o falsa pero no ambas. Proposicin abierta. Una expresin que contiene una o ms variables y al sustituir las variables por valores especficos se obtiene una proposicin lgica. Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de los dos definiciones anteriores. Expresiones Booleanas. Proposiciones lgicas y proposiciones abiertas. Ejemplos

i) Mxico est en Amrica Proposicin Lgica ii) 1 < 2 Proposicin Lgica iii) Hoy es lunes Proposicin Abierta iv) x + 3 = 5 Proposicin Abierta v) Ecosistemas Frase vi) Buenos das Frase vii) El 3 de abril de 1970 fue domingo Proposicin Lgica viii) Los cocodrilos pueden volar Proposicin Lgica ix) Las matemticas son agradables Proposicin Abierta

x) Esta expresin es falsa Frase Combinando dos o ms proposiciones se pueden formar expresiones compuestas con los operadores, estos operadores tambin se llaman conectivos lgicos y se presentan en la siguiente seccin.

1.3 Conexiones Lgicas y Jerarquas

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Como se mencion en el tema de argumentos para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lgicos, empezaremos por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposicin sola. La Negacin La operacin unitaria de negacin, no es cierto que se representa por y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad

p p V F F V

Ejemplo. Encuentre la negacin de las expresiones siguientes: i) Jpiter es un planeta ii) El pizarrn es verde iii) El nmero real x es negativo iv) Algn elefante es de color rosa v) Ningn pez respira fuera del agua vi) Todos los leones son feroces Solucin: i) Jpiter no es un planeta ii) El pizarrn no es verde iii) El nmero real x no es negativo o tambin El nmero real x es positivo cero iv) Ningn elefante es de color rosa v) Algn pez respira fuera del agua vi) Algn len no es feroz Nota: Las tres ltimas proposiciones se derivan de proposiciones abiertas que veremos en la seccin 1.4 En la siguiente seccin veremos operadores binarios, con esto ser suficiente para construir cualquier frmula vlida en lgica de proposiciones. La jerarqua que utilizaremos es que la negacin se efecta primero que los dems operadores, aparte de esta no imponemos ninguna otra, esto con el fin de que se acostumbren a la utilizacin de parntesis. Posteriormente es posible adoptar cualquiera de las jerarquas usuales, una vez que ya se entendi y practic suficiente con las frmulas lgicas establecidas de esta manera.

1.3.1 Conjuncin

La conjuncin de las proposiciones p, q es la operacin binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:

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p q p^q V V V V F F F V F F F F

La conjuncin nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultneamente, as por ejemplo si tenemos: La funcin es creciente y est definida para los nmeros positivos, utilizamos p ^ q, donde p: la funcin es creciente q: la funcin esta definida para los nmeros positivos As tambin: p ^ q, donde p: el nmero es divisible por 3 q: el nmero est representado en base 2 se lee: El nmero es divisible entre 3 y est representado en base 2. Nota: Observamos que para la conjuncin p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y slo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.

1.3.2 Disyuncin

La