criterios de falla para tensiones combinadas€¦ · compendio de cálculo estructural ii –...

Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

31

Capítulo 2

CRITERIOS DE FALLA PARA TENSIONES COMBINADAS 1 INTRODUCCIÓN

En los casos de estados de tensión estática uniaxial resulta muy sencillo predecir la condición de falla o dimensionar la pieza de modo de evitar la falla. Para ello se utilizan los resultados que se obtienen en un ensayo de tracción a partir de la curva de tensión-deformación.

Cuando el estado tensional es bidimensional o tridimensional la predicción de la falla ya no resulta tan simple. Se requeriría una variedad de ensayos donde cada una de las componentes de tensión se debería hacer variar en todo su rango de posibles valores y además tener en cuenta todas las combinaciones posibles entre las distintas componentes. Estos complejos ensayos resultan prohibitivos desde el punto de vista económico y aún imposibles desde el punto de vista físico para muchas de las posibles combinaciones de tensiones.

Ante un problema tan complejo resulta justificado que se propongan teorías aproximadas que relacionan el comportamiento de una cierta “variable” en el caso complejo con el comportamiento de esa misma variable en un caso simple y verificable experimentalmente.

El ensayo simple que se utiliza habitualmente es el ensayo de tracción.

La característica común de los diferentes criterios de falla para tensiones combinadas es predecir la falla cuando el valor de cierta variable física predeterminada, alcanza en el estado multiaxial un valor igual al que dicha variable alcanza en el momento de la falla en un ensayo de tracción con el mismo material.

Se han desarrollado docenas de criterios, algunos más exitosos que otros, que podemos agrupar de la siguiente manera:

1) Criterios basados en las tensiones. 2) Criterios basados en las deformaciones específicas. 3) Criterios basados en la energía de deformación. 4) Criterios empíricos. 5) Criterios que se basan en la estructura de la materia.

No existe ningún criterio que pueda aplicarse con éxito a todos los materiales. En realidad cada material daría origen a su propia teoría de falla.

Los materiales isótropos pueden clasificarse en dúctiles y frágiles: Los materiales dúctiles se adaptan muy bien a ciertos criterios, mientras que los materiales

frágiles se adaptan a criterios diferentes. En este capítulo sólo se presentan los cuatro criterios que se utilizan con mayor frecuencia: de

la máxima tensión normal, de la máxima tensión de corte, de la energía de distorsión y de Mohr.

2 CRITERIO DE LA MÁXIMA TENSIÓN NORMAL (CRITERIO DE RANKINE ) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la tensión principal máxima

alcanza un valor igual a la tensión normal máxima en el momento de la falla en un ensayo uniaxial ( tracción o compresión ) usando una probeta del mismo material.

Considerando tensiones principales 1 2 3σ σ σ≥ ≥ este criterio predice la falla cuando:

1 3o cuandot cσ σ σ σ≥ ≤ (1)

donde tσ es la tensión de falla en tracción mientras que cσ es la tensión de falla en compresión.


32

Las tensiones de falla que se adoptan ( tσ y cσ ) dependen del modo de falla elegido ( fluencia, rotura, límite de proporcionalidad, etc.) y del comportamiento del material.

Este criterio sólo considera la máxima tensión principal sin tener en cuenta para nada a las restantes tensiones principales. Es un criterio muy pobre a los efectos de predecir el inicio de la fluencia. Para el caso de presión hidrostática ( 1 2 3σ σ σ= = ), este criterio predice la falla cuando

1 cσ σ= , pero esta afirmación no se verifica experimentalmente para ningún material. Por el contrario, aún para altísimas tensiones hidrostáticas no se verifica ninguna plastificación.

El criterio de Rankine no debe ser utilizada para materiales dúctiles. En cambio es tal vez el mejor criterio para materiales frágiles. Este criterio se adapta muy bien en el caso de fundición, existiendo muchos resultados

experimentales que lo confirman.

3 CRITERIO DE LA MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE (CRITERIO DE TRESCA) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la tensión de corte máxima alcanza

un valor igual a la tensión de corte máxima en el momento de falla en el ensayo de tracción usando una probeta del mismo material.

Considerando las tensiones principales 1 2 3σ σ σ≥ ≥ se puede obtener la máxima tensión cortante según la ecuación (45) del Capítulo 1:

( )max 1 312 σ στ = − (2)

Para el caso de tracción simple 2 0σ = y 3 0σ = y en el momento de falla se verifica que

12f fστ = (3)

De las dos últimas expresiones se deduce que el criterio de la máxima tensión cortante predice la falla cuando max 1 3

12 f fσ σ σ στ ≥ ⇔ − ≥ (4)

El criterio de Tresca es satisfactorio para materiales dúctiles.

En realidad existe sólo un criterio, el de la energía de distorsión, que concuerda mejor con los resultados experimentales que el criterio de corte máximo en el caso de tensiones combinadas.

Al aplicar el criterio de Tresca al caso de compresión/tracción hidrostática (σ1 = σ2 = σ3) a tensiones superiores a σf, este criterio no predice falla lo que se ve corroborado por los experimentos. A modo de ejemplo se puede verificar que (4) no predice falla para el estado: σ1 = 9 σf , σ2 = 8,5 σf , σ3 = 8,01 σf .

Notar que si σ1 y σ3 son de igual signo existen casos que no producen falla donde σ1 > σf ; por ejemplo, cuando σ1 = 1,1 σf , σ2 = 0,9 σf y σ3 = 0,2 σf , el criterio (4) no predice falla.

Notar también que si σ1 y σ3 son de distinto signo pueden darse casos de falla aun cuando las tres tensiones principales sean bastante inferiores a σf ; por ejemplo, cuando σ1 = 0,6 σf , σ2 = 0,2 σf, σ3 = – 0,5 σf el criterio (4) predice falla ( lo cual es correcto).

4 CRITERIO DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN (CRITERIO DE VON MISES) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la energía de distorsión por

unidad de volumen alcanza el valor de la energía de distorsión por unidad de volumen en el momento de falla en el ensayo de tracción usando una probeta del mismo material.

El criterio de Von Mises se desarrolló como una mejora respecto a otro criterio, debido a Beltrami, que predice la falla basada en la energía total de deformación y que no es satisfactoria.

Expresando la energía interna de deformación (ver ecuación (123) del capítulo 1) para un sólido linealmente elástico e isótropo en función de las tensiones principales y restando la energía asociada al cambio de volumen ( la deducción está en el Anexo 2 al final del capítulo) se tiene:


33

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 1

16dW

Eν σ σ σ σ σ σ+ = − + − + − (5)

donde Wd es la energía (densidad) de distorsión y 1 2 3, ,σ σ σ son tensiones principales.

Para el ensayo de tracción se tiene (σ1 = σf ) y (σ2 = σ3 = 0) y la energía de distorsión resulta

( )21 26 fdW

Eν σ+

= (6)

Por lo tanto el criterio de la energía de distorsión predice la falla si:

( ) ( ) ( )2 22 21 2 2 3 3 1 2 fσ σ σ σ σ σ σ− + − + − ≥ (7)

De todos los criterios referidos a materiales dúctiles, es éste el que mejor se aproxima a los resultados experimentales. Más aún, a pesar de haberse deducido en el rango elástico mantiene validez en el campo plástico.

Notar que si el criterio (7) de Von Mises predice que un estado (σ1, σ2, σ3 ) está en la zona segura, todo otro estado (σ1+Δ, σ2+Δ, σ3+Δ), obtenido incrementando en el mismo valor Δ a las tres tensiones principales, resultará seguro no importando cuán grande sea el valor de Δ ni cuál sea su signo! Hay que destacar que el mismo fenómeno ocurre al aplicar la ecuación (4) del criterio de Tresca.

5 COMPARACIÓN DE LOS CRITERIOS DE FALLA Adoptando un sistema de referencia tridimensional cartesiano se pueden graficar las tensiones

adimensionales /i fσ σ ( 1, 2, 3i = ) y encontrar una superficie de falla tal que todos los estados de tensión combinada que corresponden a los puntos de la superficie no producirán falla. Para el criterio de Rankine resulta un cubo, para el criterio de Tresca un prisma hexagonal y para el criterio de Von Mises un cilindro. El eje del cilindro pasa por los puntos donde σ1 = σ2 = σ3 y las secciones para 3 / f cteσ σ = son elipses a 45 grados como la que se muestra en la Figura 1-c para el caso σ3 = 0. El eje del prisma hexagonal de Tresca coincide con el eje del cilindro de Von Mises.

A modo de ejemplo el lector puede verificar que el criterio (7) no predice falla al ser aplicado al siguiente estado: σ1 = 9 σf , σ2 = 8,5 σf , σ3 = 8,01 σf . Notar que el criterio (4) tampoco predice falla.

5.1 Caso de Tensión plana Todo esto es más fácil de visualizar en el caso de tensión plana donde una de las tensiones

principales es nula, En esta subsección se denota con 1σ y 2σ a las tensiones principales no nulas:

a) Criterio de la máxima tensión normal: Sin distinguir cual es la mayor entre 1σ y 2σ , la zona segura y las líneas de falla según (1)

corresponden a: 1 2/ 1 y / 1f fσ σ σ σ≤ ≤│ │ │ │ (8)

cuya representación gráfica es un cuadrado (ver Figura 1 ).

b) Criterio de la máxima tensión de corte: Hay que distinguir dos casos según el signo de 1σ y 2σ (ver Figura 1):

b-1) 1σ y 2σ de igual signo, entonces el máximo corte se obtiene relacionando la mayor entre 1σ y 2σ con 3 0.σ = Según (4) la zona segura y las líneas de falla resultan:

1 2

2 1

1 1

2 2

/ 0 1 / 1 rectas verticales.

/ 0 1 / 1 rectas horizontales.f f

f f

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

> ⇒ − ≤ ⇒ = ±

> ⇒ − ≤ ⇒ = ±

│ ││ │

(9)

b-2) 1σ y 2σ de distinto signo, según (4) la zona segura y las líneas de falla resultan:

1 2 1 2/ / 1 / / 1f f f fσ σ σ σ σ σ σ σ− ≤ ⇒ − = ±│ │ (10)

y se obtienen dos rectas ascendentes a 45 ° con ordenada al origen igual a 1± .


34

c) Criterio de la energía de distorsión: Haciendo 3 0σ = en (7) y desarrollando se tiene:

2 2

2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1ff f f f

σ σ σ σσ σ σ σ σ

σ σ σ σ

+ − ≤ ⇒ + − =

(11)

esto define la zona segura contenida por la línea de falla que es una elipse con ejes a 45o como se observa en la Figura 1-c.

Los resultados a), b) y c) para tensiones principales 1σ y 2σ (siendo 3 0σ = ) pueden graficarse como sigue:

Máxima tensión normal Máxima tensión de corte Energía de distorsión Rankine Tresca Von Mises

Figura 1: Zona segura y líneas de falla en el caso de tensión plana según distintos criterios de falla

5.2 Resultados experimentales que avalan a los distintos criterios A continuación en la Figura 2 se muestran los resultados de cuidadosos ensayos realizados por

varios investigadores con distintos materiales para estados planos. Los puntos están situados en el 1o y 4o cuadrante. Notar que por la simple vía de intercambiar la denominación 1σ y 2σ todos los puntos experimentales pueden simetrizarse respecto a la diagonal del 1o cuadrante. Notar que no se presentan ensayos en el 3o cuadrante porque el caso de ambas tensiones ( 1σ y 2 )σ de compresión es un caso de poca importancia en ingeniería mecánica.

Materiales dúctiles Materiales frágiles

Figura 2: Resultados de ensayos para estados planos realizados con distintos tipos de materiales

a) Falla de materiales dúctiles. b) Falla de materiales frágiles


35

6 CRITERIO DE FALLA DE MOHR El criterio propuesto por Otto Mohr en 1900 es una extensión del criterio de la máxima tensión

de corte y se basa en una interpretación de los círculos de Mohr para estados tridimensionales. El mayor éxito de este criterio es predecir la falla de materiales que tienen tensiones de falla distintas según se trate de tracción o compresión.

Antes de presentar el criterio de falla de Mohr conviene recordar la propiedad de los círculos de Mohr. Se puede demostrar que si 1 2 3σ σ σ> > son tensiones principales, y se grafican los tres círculos de Mohr como se muestra en la Figura 3, sólo son posibles estados cuya tensión de corte es tal que cae en la zona sombreada ( ver Anexo 3 al final de este capítulo).

Figura 3: Construcción de tres círculos de Mohr a partir de las tensiones principales σ1 > σ2 > σ3

Para una línea vertical NC que corresponde a planos que tienen igual tensión normal ON la tensión de corte resultará siempre .NCτ ≤ Por ello Mohr afirmó que el círculo mayor es suficiente para determinar la condición de falla (sin importar el valor de 2σ ).

Considerando un material que presente diferente comportamiento según se trate de tracción o compresión, se realiza un ensayo de tracción, uno de compresión y otro de corte puro por torsión. Después se trazan tres círculos y una “curva envolvente” como se muestra en la Figura 4.

Figura 4: Curva envolvente de los círculos de Mohr para tracción, compresión y corte

Al hacerlo estamos definiendo una zona de falla fuera de la envolvente. Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando el mayor círculo de Mohr

asociado a un punto crítico desde el punto de vista tensional es tangente o excede los límites de la envolvente de falla correspondiente a los tres ensayos; tracción, compresión y torsión, usando probetas del mismo material.

Como la envolvente de falla no está definida en forma precisa, por simplicidad, se trazan sólo los círculos de Mohr correspondientes a los ensayos de tracción y compresión y se utiliza una recta tangente a los dos círculos.


36

Caso de tensión plana σ3 = 0 1) Material dúctil. 1-a) Caso t cσ σ= : el gráfico de la zona segura del criterio de Mohr coincide con el criterio

del corte máximo, notar la similitud entre la Figura 1-b y la Figura 5-a.

1-b) Caso c tσ σ≠ : la zona segura corresponde a la Figura 5-b y sobre ella se determinarse el CS.

( )1 2 1 21er cuadrante mayor ( , ) 3er cuadrante mayor ,t cs sC Cσ σ σ σ σ σ= =/ / (12)

En el 4to cuadrante la zona segura y el coeficiente de seguridad, sC están dados en (13).

21

121Zona segura: 1 Coeficiente de seguridad:

t c t csC

σσ σσσ σ σ σ

−

+ < = +

(13)

La deducción de la ecuación (13) se puede consultar en el Anexo 4 al final del capítulo. La fórmula para el 2do cuadrante se obtiene simetrizando (13) respecto a la bisectriz del 1er cuadrante.

1 2

11 22do cuadrante: 0 y 0c t

sCσ σ

σ σσ σ

−

< > → = +

(14)

Figura 5: Zona segura en el caso de tensión plana para distintos materiales

2) Material frágil. La Figura 5-c corresponde a una modificación empírica para el caso de materiales frágiles con tcσ σ≠ , que se conoce como Criterio de Mohr Modificado (ver punto c del Anexo 4 al final del capítulo).

Notar que si c tσ σ→ el criterio de Mohr modificado coincide con el criterio de Rankine.

7 EVALUACIÓN DE LAS DISTINTOS CRITERIOS DE FALLA Confrontando los distintos resultados experimentales producidos a lo largo del tiempo para

distintos materiales con las predicciones de los distintos criterios, (considerando aún otros no presentadas aquí por ser menos exitosos ) se pueden extraer las siguientes conclusiones: 1) Para materiales isótropos que fallan por fractura frágil, el mejor criterio es el de la máxima

tensión normal (Rankine). 2) Para materiales frágiles cuya resistencia en compresión difiere significativamente de su

resistencia en tracción, el mejor criterio es el de Mohr modificado. 3) Para materiales isótropos dúctiles el mejor criterio es el de la máxima energía de distorsión,

siendo el criterio de corte máximo casi tan bueno como el anterior. 4) Para materiales dúctiles donde ,c tσ σ≠ el mejor criterio es el de Mohr.

Nota: Se pueden considerar como materiales dúctiles a aquellos cuyo alargamiento es superior al 5% (medido sobre 2 pulgadas de longitud de probeta que contiene la zona de rotura ).


37

8 COEFICIENTE DE SEGURIDAD Definimos al coeficiente de seguridad sC como el valor por el cual hay que multiplicar a las

cargas para que la variable característica del criterio de falla adoptado alcance el valor de falla en el punto más crítico de la pieza.

En la mayoría de los casos tratamos problemas lineales donde las tensiones son proporcionales a las cargas. En tales casos el sC se puede calcular dividiendo la tensión de falla por la tensión de trabajo.

En el caso de tensión plana se puede interpretar el sC de una manera gráfica sencilla como se indica en la Figura 6.

Figura 6: Interpretación gráfica del Cs en el caso de tensión plana para distintos criterios de falla

Una vez determinadas las tensiones principales 1σ y 2σ se ubica el punto .P El coeficiente de seguridad es tal que sC OP OP′= , por lo tanto

sOPCOP

′= (15)

8.1 Criterio de la máxima tensión normal De (1) se tiene: 1 fsC σ σ= . Hay que distinguir 3 casos:

a) Tensiones principales positivas 1 2 3 1/tsCσ σ σ σ σ> > ⇒ = b) Tensiones principales negativas 1 2 3 3/s cCσ σ σ σ σ> > ⇒ = (16) c) Tensiones de distinto signo ( )1 2 3 1 3menor / ; /s ctCσ σ σ σ σ σ σ> > ⇒ =

8.2 Criterio de la máxima tensión cortante Según (4) en el punto más crítico de la pieza debe verificarse:

1 3

2máx

f fs sC C

σ σσ σ

τ = ⇒ =−

(17)

donde se ha tenido en cuenta que las tensiones principales son 1 2 3σ σ σ> > .

Tensión plana En el caso de tensión plana pueden calcularse dos tensiones principales mediante el círculo de

Mohr. Tener presente que la restante tensión principal es nula. No debe confundirse la tensión de corte máxima maxτ de la Figura 8 con el radio R del círculo de Mohr de la Figura 7.

0

0

0

σ τ

σ σ

=

x xy

y

Figura 7: Círculo de Mohr en el caso de tensión plana


38

Una vez calculadas las tensiones principales ( ), , 0x yσ σ′ ′ se pueden construir tres círculos de Mohr. Esto se demuestra formalmente en el punto referido al círculo de Mohr, en el Anexo 3 al final de éste capítulo.

Recordando la ecuación (48) del Capítulo 1 escribimos:

2

2;2 2

x y x yxyA R

σ σ σ στ

+ − = = +

(18)

0 No olvidarzx y zA R A Rσ σ σ σ′ ′ ′= + = − = = ← (19)

Pueden darse cuatro situaciones según el signo de A y la relación de tamaños entre |A | y R.

Figura 8: Cuatro casos posibles para los círculos de Mohr

Resumiendo los resultados mostrados en la Figura 8 se tienen sólo dos resultados distintos.

cuando

donde 22

cuando

fmax

maxs

A RA R

CR A R

στ

τ

+>=

≤

(20)

8.3 Criterio de la energía de distorsión Según (7) en el punto crítico se verifica que:

( ) ( ) ( )2 22 21 2 2 3 3 1 2 fs s s s s sC C C C C Cσ σ σ σ σ σ σ− + − + − = (21)

de donde: ( ) ( ) ( )22 2

31 2 2 3 112

fsC

σ

σ σ σ σ σ σ=

− + − + −

(22)

El cálculo de las tensiones principales puede evitarse usando directamente las componentes del tensor de tensiones.

( ) ( )2 2 2 2 2 2( ) 3

f

x y z x y y z z x xy yz zx

sC =+ + − + + + + +

σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ (23)

que es una expresión sumamente útil porque no requiere ningún cálculo previo.

Tensión plana Particularizando (23) al caso de tensión plana ( 0 )z zx zy= = =σ τ τ se tiene:

2 2 23

fs

x y x y xy

C =+ − +

σ

σ σ σ σ τ (24)


39

9 TENSIÓN EFECTIVA Observando (17), (20), (22), (23) y (24) se concluye que para los criterios de Tresca y Von

Mises puede escribirse

fsC

σσ

= ∗ (25)

donde σ ∗ es una tensión ficticia que se denomina tensión efectiva (o tensión de comparación). Esta tensión ficticia resulta muy útil y puede además utilizarse de la siguiente manera:

adm≤σ σ∗ (26)

9.1 Caso tridimensional ( Tensor lleno) Deben calcularse las tensiones principales 1 2 3σ σ σ> >

Corte máximo 1 3= −σ σ σ∗: de (17): (27)

Energía de distorsión ( ) ( ) ( )2 221 2 2 3 3 1

12σ σ σ σ σ σ σ = − + − + −

∗: de (22): (28)

Según (23), se pueden usar directamente las componentes del tensor de tensiones

2 2 2 2 2 2( ) ( ) 3( )x y z x y y z z x xy yz xzσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= + + − + + + + +∗ (29)

9.2 Caso plano (una fila nula en el tensor de tensión )

00

0 0 0

x xy

yx y

σ ττ σ

(30)

Es un caso particular de gran importancia que se da en la mayoría de los casos prácticos.

Corte máximo

: de (18) y (20): 2

2

2 2x y x y

xyA Rσ σ σ σ

τ+ −

= = + →

cuando

2 cuando

A R A R

R A Rσ

+ >= ≤

∗ (31)

Energía de distorsión 2 2 23x y x y xyσ σ σ σ σ τ= + − +∗: de (24): (32)

que es una fórmula muy útil porque no requiere ningún cálculo previo.

9.3 Caso intermedio (dos tensiones de corte nulas en el tensor de tensiones)

00

0 0

x

y

xy

xy

z

σσ

σ

ττ

(33)

Corte máximoCaso muy simple de resolver : se calculan las tensiones principales según (18).

:

2

2

2 2x y x y

xyA R−+

= = + →

σ σσ στ x y z zA R A Rσ σ σ σ′ ′ ′= + = − =

{ } { }; ;z zmayor A R menor A Rσ σ σ= + − −∗ (34) Energía de distorsión

Particularizando (29) se tiene: :

( )2 2 2 2( ) 3x y z x y z z x xyyσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ= + + − + + +∗ (35)


40

10 COEFICIENTE DE SEGURIDAD EN CASOS NO LINEALES

En los casos lineales la gráfica carga vs. tensión es una línea recta ( Figura 9 ) y el sC puede definirse en forma indistinta como: Coeficiente de seguridad en tensiones

fallasC

σσ

= ∗ (36)

Coeficiente de seguridad en cargas

sCarga última

Carga aplicadaC = (37)

Figura 9: Relación lineal entre cargas y tensiones

Cuando la relación entre la tensión y la carga no es lineal como en las Figuras 10 y 11 los coeficientes (36) y (37) dan resultados diferentes, lo que induce a confusión.

10.1 Caso donde la tensión efectiva ∗σ crece más rápido que la carga

En el caso de la Figura 10 se tiene:

( ) ( )cargas tensións sC C< (38)

Notar que en este caso

( )cargas 1,82sC =

( )tensión 2,24sC =

y en la aproximación lineal es

( )lineal2,69sC =

Figura 10: Caso donde la tensión crece más rápido que la carga

10.2 Caso en que la tensión efectiva ∗σ crece más lento que la carga

En el caso de la Figura 11 se tiene:

( ) ( )cargas tensións sC C> (39)

Notar que en este caso ( )cargas 3,64sC =

( )tensión 3,08sC =

y en la aproximación lineal es

( )lineal 2,72sC =

Figura 11: Caso donde la tensión crece más lentamente que la carga

Comentarios 1) En el caso de la Figura 10, el cálculo lineal aproximado da resultados inseguros. Eso debe evitarse. 2) En el caso de la Figura 11, el cálculo lineal da resultados del lado de la seguridad.

Conclusiones: a) En los casos lineales usaremos indistintamente (36) o (37), ya que ( ) ( )cargas tensións sC C=

b) En los casos no lineales se aconseja usar (37) o sea ( )cargas .sC

Carga Carga Carga

Carga Carga Carga Carga

Carga última

Carga última

Carga última

Carga lineal

Carga lineal

Carga

Carga

Carga

Carga


41

ANEXOS DEL CAPÍTULO 2

Anexo 1: Deformaciones volumétricas y distorsivas El tensor lineal de deformaciones ijε en el sistema de ejes principales resulta diagonal:

1

2

3

0 00 00 0

ij

εε ε

ε

=

(40)

Teniendo en cuenta el sentido físico del tensor de deformaciones resulta fácil calcular el cambio de volumen de un cubo infinitesimal de lados dx1, dx2 y dx3 orientados según ejes principales:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 31 2 31 1 1ifV V V dx dx dx dx dx dxε ε ε ∆ = − = + + + − (41)

Notar que la fibra que medía dx1 antes de la deformación, mide 1 1 1( )dx dxε+ después de la deformación. Efectuando el producto y despreciando los términos cuadráticos en ε, frente a los términos lineales, ya que 1ε << resulta:

( ) ( )31 2 1 2 31V dV dV dVε ε ε ε ε ε∆ = + + + − = + + (42)

lo que demuestra que la traza del tensor de deformaciones (que es un invariante frente a los cambios de coordenadas) mide el cambio de volumen.

El tensor de deformaciones se puede descomponer de la siguiente forma:

2

1 1

2

3 3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

m m

m m

m m

ε ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε ε

−

= + −

−

(43)

donde ( )11 2 33mε ε ε ε= + + (44)

En notación abreviada (43) se reescribe como: dvε ε ε= + (45)

Notar que el cambio de volumen asociado a dε ( igual a la traza de dε ) es nulo por la definición de mε . Por la misma razón el cambio de volumen asociado a vε resulta igual al cambio de volumen asociado a ε . Esto justifica la siguiente denominación:

vε = tensor de deformaciones volumétricas.

dε = tensor de deformaciones distorsivas (sin cambio de volumen).

En el caso de materiales isótropos las direcciones principales de tensión coinciden con las direcciones principales de deformación lo que permite descomponer al tensor de tensiones de una manera similar a (43) en un tensor de tensiones hidrostáticas y un tensor de tensiones distorsivas.

Anexo 2: Energía de distorsión La energía interna de deformación por unidad de volumen W, ver ecuación (123) del Capítulo 1,

puede expresarse en el sistema de ejes principales como:

( )1 1 2 2 3 312W σ ε σ ε σ ε= + + (46)

donde se ha supuesto material lineal, isótropo. Recordar que 1,σ 2 ,σ 3σ son tensiones principales y que las tensiones de corte son nulas cuando el tensor de tensiones está referido a las tensiones principales.


42

Las ecuaciones constitutivas (131) del Capítulo 1 particularizadas para el caso de tensiones principales resultan

( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 21 1 1E E E

ε σ ν σ σ ε σ ν σ σ ε σ ν σ σ = − + = − + = − + (47)

Sustituyendo las (47) en la (46) resulta:

( )2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

1 22

WE

σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ = + + − + + (48)

que puede particularizarse para el caso de tensión hidrostática hσ :

( ) 21 3 1 22h hW

Eν σ = − (49)

si ahora hacemos:

1 2 3

3hσ σ σ

σ+ +

= (50)

y reemplazamos en (49) obtenemos la energía asociada al cambio de volumen como:

( )2

1 2 31 1 2

2 3hWE

ν σ σ σ−= + + (51)

Finalmente obtenemos la energía de distorsión dW , restando la energía asociada al cambio de volumen hW dada por (51) de la energía total dada por (48)

d hW W W= − (52)

Reemplazando (51) y (48) en (52), desarrollando el cuadrado del trinomio y reagrupando términos se llega a (53), que justifica a (5)

( ) ( ) ( )2 221 2 2 3 3 1

16dW

Eν σ σ σ σ σ σ+ = − + − + − (53)

Anexo 3: Círculos de Mohr Empleando un sistema de direcciones principales, podemos expresar la tensión normal

asociada a un plano arbitrario definido por el versor 1 2 3( , , )v v v v=

aplicando (14) del Capítulo 1:

2 2 21 1 2 2 3 3vv v v vσ σ σ σ= + + (54)

Para ese mismo plano arbitrario podemos escribir el cuadrado del módulo de la tensión, vσ

empleando (15) del Capítulo 1:

2 2 2v vv vsσ σ σ= +

(55)

pero, según (11) del Capítulo 1, para el sistema de ejes principales:

31 1 1 2 2 2 3 3v v t v t v tσ σ σ σ= + +

(56)

( ) ( ) ( )22 221 1 2 2 3 3v v v vσ σ σ σ= + +

(57)

sustituyendo (57) en (55) se tiene:

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3vv vs v v vσ σ σ σ σ+ = + + (58)


43

Además por ser v

un versor

2 2 21 2 3 1v v v+ + = (59)

Dadas un par de tensiones vvσ y vsσ arbitrarias puede encontrarse la dirección v

para la cual ocurren dichas tensiones resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (54), (58) y (59) donde las incógnitas son 2

1 ,v 22 ,v 2

3v . Hallando la solución en forma genérica se tiene:

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2

1

22 2

212 2

1

22 2

2 31 2 3

1 2 1 3

33

2 3 2 1

23 1 2

3 1 3 2

0 0

0 0

0 0

vs vv vvvs vv vv

vs vvvs vv vv

vs vv vvvs vv vv

vv

v

v

v

σ σ σ σ σσ σ σ σ σ

σ σ σ σ


σ σ σ σ


σ σ σ σ

+ − −= ≥ ⇒ + − − ≥

− −

+ − −= ≥ ⇒ + − − ≤

− −

+ − −= ≥ ⇒ + − − ≥

− −

(60)

Notando que 2iv es siempre positivo y además 1 2 3.σ σ σ> > Estas desigualdades pueden

escribirse como:

2 22

2 22

2 22

2 3 2 3

1 3 1 3

1 2 1 2

2 2

2 2

2 2

vs vv

vs vv

vs vv

+ − + − ≥

+ − + − ≤

+ − + − ≥

σ σ σ σσ σ

σ σ σ σσ σ

σ σ σ σσ σ

(61)

donde el primer miembro es el cuadrado de la distancia al centro del círculo y el segundo miembro es el cuadrado del radio del círculo.

Para que un par de componentes vvσ , vsσ representen el estado de tensión para un cierto plano definido por v

, deberán cumplir con (61) y por lo tanto encontrarse en la zona sombreada del gráfico de los círculos de Mohr de la Figura 12.

Figura 12: Zona de los posibles estados tensionales en un punto


44

Anexo 4: Coeficiente de seguridad en el criterio de Mohr a) Material dúctil donde │σc│= σt

En este caso el criterio de Mohr coincide con el criterio de corte máximo y se utiliza (17).

1 3

fsC

σσ σ

=−

(62)

Tensión plana Es muy frecuente que una de las tensiones principales sea nula. En estos casos de tensión

plana, al emplear (17) considerando solamente σ1 y σ2 es común cometer el error de olvidarse, que una de las tensiones principales es nula. Pueden darse tres casos que se indican en la Figura 13 donde se utilizan tensiones principales:

Figura 13: Tres casos posibles de tensión plana

Es obvio que si se utiliza un sólo círculo de Mohr basado en las tensiones no nulas σ1 y σ2 se cometerá un error en los casos 1 y 3 de la Figura 13.

b) Material dúctil donde │σc│≠ σt Según se propone en la Figura 14 deben trazarse los círculos de Mohr para los ensayos de

tracción y compresión. A partir de las direcciones principales σ(1) > σ(2) > σ(3) debe trazarse el mayor círculo de Mohr usando σ(1) y σ(3). Luego partiendo del centro del círculo se traza una perpendicular a la envolvente de falla determinando los puntos P y P′ ( Figura 14 ). :

sAPCAP

′= (63)

donde: (1) (3) (1) (3)( ) / 2 ( ) / 2AP Aσ σ σ σ= − = +

22 2 1

2 1

( ) R AAP R R RR R

+′ = − −+

1 2/ 2 / 2t cR Rσ σ= =

siendo σ1 > σ2 > σ3 tensiones principales Figura 14: Coeficiente de seguridad para material dúctil donde σt ≠│σc│

Hay que notar que (63) se reduce a (62) cuando c tσ σ= .

Tensión plana Cuando una tensión principal es nula, se calculan las otras tensiones principales σI > σII y se

calcula el coeficiente de seguridad sC considerando tres zonas. Recordar que cσ es negativa.

ambas positivas I III

0 y 0 tsC σ

σ σσ

> > → = (64)


45

distinto signo I III II0 y 0

t csC σ σσ σ

σ σ

> < → = +

1−

(65)

ambas negativas I IIII

0 y 0 csC σ

σ σσ

< < → = (66)

donde hay que tener presente que cσ es negativa y que σI > σII .

El coeficiente de seguridad dado en (65) se deduce a continuación utilizando la Figura 15 que corresponde al 4º cuadrante de la Figura 5-b.

Figura 15: Deducción del coeficiente de seguridad del criterio de Mohr en el 4º cuadrante

Por semejanza de triángulos:

2

12 1

s

s

sP R COP P R ORC

OP OR C

σ

σ σ σ

′ =′ ′ = = = =

(67)

y también por semejanza de triángulos:

c

tt

ORP R σσ σ

−′= (68)

Reemplazando (67) en (68) y despejando se obtiene (65) que coincide con (13).

El coeficiente en el 2o cuadrante se obtiene simetrizando respecto a la diagonal del 1o cuadrante.

c) Material frágil donde │σc│≠ σt

En el caso de un material frágil donde la resistencia en compresión │σc│es mayor que la resistencia a tracción σt se utiliza el criterio de Mohr modificado. Se utiliza la Figura 5-c y se consideran sólo las tensiones σ(1) y σ(3) y se ignora el valor de σ(2). Por tratarse de un material frágil sólo interesan las tensiones máximas.

(1) (3) (1)(1)

0 y tsC σ

σ σ σσ

> ≤ → = (69)

{ }(1) (3) (1) 1 30 y menor ,sCσ σ σ> > → = Φ Φ (70)

(1) (3)(3)

0 y 0 csC σ

σ σσ

≤ < → = (71)

donde: ( )1 3

(1) (3) (1)

y/ 1

ct

c t

Φ = Φ =+ −

σσσ σ σ σ σ

(72)


46

Tensión plana: Cuando una tensión principal es nula, se calculan las otras dos tensiones principales σI > σII y

se calcula el coeficiente de seguridad observando la Figura 5-c que corresponde al criterio de Mohr modificado, también relacionado con el criterio de Rankine.

Para determinar el coeficiente de seguridad hay que distinguir tres zonas.

I II I I0 y /tsCσ σ σ σ σ> < → = (73)

( )I II I II I0 y / 1 /c c tsCσ σ σ σ σ σ σ σ > > → = + + (74)

I II II0 y 0 /csCσ σ σ σ< < → = (75)

donde hay que tener presente que cσ es negativa y que σI > σII .

Anexo 5: Tensión de comparación ∗σ (Resumen) Resumen de los valores de la tensión de comparación σ ∗ que depende del material y de las

tensiones.

En todos los casos → tsC =

σ∗σ

(76)

Material ∗σ en el caso general ∗σ en tensión plana Criterio de falla No

D Ú C T I L

c tσ σ=

( ) ( ) ( )2 2 2

(1) (2) (2) (3) (3) (1)12 σ σ σ σ σ σ− + − + − 2 2 23x x x y xyσ σ σ σ τ+ − + Energía de

distorsión 1

(1) (3)σ σ− 2R A A RR A R

+ ← >← ≤

Corte máximo 2

c tσ σ>

(1) (3)

(1) (3)

[ ] (1 )2 (1 ) [ ] / t

αα σ

σ σσ σ

+

− − +

−

Deducida de la ecuación (63)

( ) ( )( )

R A A RR A R A A R

R A A R

α

α

+ ← >+ + − ← <

+ ← ≤ − Mohr 3

F R Á G I L

c tσ σ=

{ }(1) (3)el mayor de ;σ σ R A+ Máxima tensión normal

4

c tσ σ> { }(1) (1) (3) (1)

(1) (1) (3) (1)

(3) (1) (3)

(3) (1)

0 mayor ; 0

0 0 donde (1 )

σ σ σ σσ σ σ σ

α σ σ σα σ α σ

← > ≤ Φ ← > > ← ≤ <

Φ = + −

( )( )

01 2 0

R A AR A R A

R A A R

α

α

+ ← >+ − ← − < <

+ ← ≤ − Mohr

modificado 5

t

c

σα

σ=

(1) (2) (3)

tensor llenotensiones principales

ijσ

σ σ σ

←

> >

( )22

22

, , 0x x xy yz

x y

z xz

x yxyRA

σ σσ στ

σ σ τ σ τ τ

−= +

+=

= = =

σt = tensión de falla en tracción. σc = tensión de falla en compresión.


47

PRÁCTICO Criterios de Falla Nota: Todos las longitudes se dan en unidades [cm] y las fuerzas en [kg].

1 En una sección rectangular de 3 cm x 2 cm de una estructura tridimensional se han calculado los esfuerzos indicados en el croquis. Se pide calcular el coeficiente de seguridad a fluencia en los siguientes casos: a) Material acero 1020: σf = 2800 kg/cm2. b) Material fundición maleable:

σt = 2500 kg/cm2 σc = −3200 kg/cm2.

2 En una sección de un tubo se han calculado los esfuerzos indicados en el croquis adjunto. Diámetro exterior 8 cm y espesor 0,4 cm. Calcular el coeficiente de seguridad para los dos materiales del problema 1.

3 Dimensionar el eje horizontal de acero del croquis calculando el diámetro externo con un coeficiente de seguridad a fluencia dato:

PH = 300 kg σf = 2600 kg/cm2

PV = 600 kg 1,8SC ≥ a) eje macizo. b) eje hueco de espesor 0,5 cm.

4 Una cañería que lleva agua a presión p = 8 kg/cm2 está apoyada cada 600 cm. Se pide: a) Hallar el coeficiente de seguridad a fluencia

sabiendo que el material es acero: σf = 3400 kg/cm2 peso = 0,00785 kg/cm3

b) Determinar el valor de la presión que produce falla por fluencia.

Nota: Debido a la continuidad de los tramos podemos suponer tramos biempotrados.

5 Calcular la tensión de efectiva en el caso de un eje circular macizo sometido a flexión y torsión. Comparar los resultados de los distintos criterios ( Rankine, Tresca y Von Mises ).

6 Para los 4 materiales dados, calcular el CS para cada uno de los 3 estados tensionales que se listan a continuación. Usar la Tabla resumen del anexo 5 de la página 46 y comparar con otras fórmulas para el CS. En todos los casos las unidades son [cm] y [kg].

Materiales σt σc

Dúctil 1 2500 –2500 2 2500 –3570

Frágil 3 2500 –2500 4 2500 –5000

Tensiones σx σy τxy σx = τxz = τyz 1 1000 200 300 0 2 300 –500 300 0 3 –200 –1000 300 0


48

SOLUCIÓN del PRÁCTICO Criterios de Falla

1 Se pide calcular el coeficiente de seguridad de la sección. Fuerzas en [kg] y longitudes en [cm].

600 6 100NN σ→ = − = −/

Las tensiones de corte de Jourasky tienen variación parabólica y τmáx en el centro de los lados:

2 2 2

3 3

1,5 1,5 320 6 80

1,5 240 6 60máx

máx

QQ A

Q

τ

τ

→ = = =

→ = =

/ /

/

x x

x

Tensiones por flexión 2 2 2

3 23 2 2 32 3

6 6 6bhW W= = = = =

x x

3 3 3 3

2 3 2 2

1600 2 800

1500 3 500

M M W

M M W

σ

σ

→ = = =

→ = = =

/ /

/ /

Para las tensiones por torsión se usan las fórmulas del caso 6 del Anexo del Capítulo 10, pág. 193:

22 3 1 3 0,225 0,1 0,2278x a b C x xτ= = ⇒ = − + =/ / /

3 2 2

3 42 3

1333 4000,2278 3 2

(0,74 0,74 ) 0,89 400 356

máxT

C ba

x x

τ

τ τ

τ τ

= = = =

= + − = =

x x

x

Para encontrar el punto crítico se calculan las tensiones en 8 puntos (puntos A hasta H )

Material y criterio Tensiones

ACERO ecuación (24) Criterio de Von Mises

FUNDICIÓN MALEABLE Criterio de Mohr

100 800 500 200100 800 500 1400100 800 500 400100 800 500 1200

A

C

E

G

= − + − == − − − = −= − − + = −= − + + =

σσσσ

100 500 60080 356 436

B

B

σ

τ

= − − = −

= + =

100 800 900

60 400 340D

D

σ

τ

= − − = −

= − = −

100 500 400

80 356 276F

F

σ

τ

= − + =

= − = −

100 800 700

60 400 460H

H

σ

τ

= − + =

= + =

2800 1400 2CSC = =/

2 2

2800 2,6900 3 340

DSC = =+ x

2 2

2800 2,64700 3 460

HSC = =+ x

3200 ( 1400) 2,29CSC = − − =/

2500 1200 2,08GSC = =/

2 2

11 2

450 450 340114 1014

114 1014 2,762500 3200D

D D

D

SC

σσ σ

−

= − ± += = −

− = + = −

2 2

11 2

350 350 460928 228

928 228 2,262500 3200H

H H

H

SC−

= ± += = −

−= + = −

σσ σ

Coeficiente de seguridad Punto crítico

CS = 2 punto C

CS = 2,08 punto G


49

2 Se pide calcular el coeficiente de seguridad de la sección. Unidades [kg] y [cm]

2 2 2 24 8 7,2 4 9,55( ) ( )A D dπ π= − = − =/ /

4 4 4 48 7,2 17,2964 / 2 64 4( ) ( )D dW

Dπ π− −

= = =x

Para la torsión se usa 2W

2 29900 14160 17278M = + =

200 9,55 20,9Nσ = − = −/

17278 17,29 999,3Mσ = =/

11060 (2 17,29) 319,8Tτ = =/ x

999,3 20,9 978,4Punto

319,8A

= − = =

στ

999,3 20,9 1020,2Punto

319,8B

= − − = − =

στ

a) Acero: Criterio de la energía de deformación. Punto crítico: Punto B .......... 2,41BsC =

Ec. (24) → 2 2

2800 2,49978,4 3 319,8

AsC = =+ x

2 2

2800 2,411020,2 3 319,8

BsC = =+ x

b) Fundición maleable: Criterio del corte máximo. Punto crítico: Punto A ....... 2,18AsC =

Punto A: 2 2I I2 489,2 489,2 319,8 584,5 1073,7 95,3A Rσ σ σ= = = + = = = −/

Punto B: 2 2I II2 510,1 510,1 319,8 602,1 92,0 1112,2A Rσ σ σ= = − = + = = = −/

Ec. (65) → 1073,7 95,3 2,182500 3200AsC − = + = −

-1

92,0 1112,2 2,602500 3200BsC

−= + = −

-1

3 Se pide dimensionar el eje solicitado a flexión y torsión (calcular el diámetro). Unidades [kg] y [cm]

Esfuerzos en el punto crítico ( punto B)

Momento flector máximo:.... .. 2 210800 1800 10949M = + =

Momento torsor:...................... 600 15 300 30 9000T = = =x x

Hay que satisfacer el requisito 1,8SC ≥ :

Ec. (24) → 22

2600

10949 900032W W

≤ +

1,8 → 39,30reqW cm≥


50

a) Sección llena 3

9,3032 reqDW Wπ

= = ≥ ........................................................................ 4,56D cm≥

b) Sección hueca de espesor 0,5 cm

b-1) Cálculo aproximado como sección de pared delgada usando para el módulo resistente la fórmula del Anexo del Capítulo 8 (pág. 148) o del caso 2 del Anexo del Capítulo 10 (pág. 193):

2 9,30 2,433 2aprox m req m mW t r W r D r tπ= = ≥ → ≥ → ≥ + ............ 5,37D cm≥

No se obtiene una buena aproximación porque el espesor no es muy pequeño, para ese diámetro, se puede verificar que el coeficiente de seguridad es 1,65 y no 1,8.

b-2) Cálculo exacto: 4 4

por tanteos( 2 0,5)9,30 5,577

64 / 2exacto req

D DW W D

Dπ − − = = ≥ → ≥

x

x....... 5,58D cm≥

Se puede verificar que la sección hueca reduce el peso del eje a la mitad.

4 Se pide calcular el coeficiente de seguridad y la presión máxima que puede soportar una cañería. Unidades en [kg] y [cm]

Tubo → 2 2Área 30 29 4 46,34 Peso 46,34 0,0078 0,3614( )π= − = = =/ x

Agua → 2Área 29 4 660,5 Peso 660,5 0,001 0,6605π= = = =/ x 4 430 29Carga 0,3614 0,6605 1,022 Módulo 336,15

64 15( )q W π −

= + = = =x

Tensión longitudinal debida a la flexión del tubo

2 21,022 600 3066030660 91,212 12 336,15q MM

W= = = → = = =

σx

Tensión circunferencial causada por la presión interior

2

8 30 2402 0,5

c c

c

pde pde

= → =

= =

σ σ

σ x

x

El punto crítico está en la parte inferior de los apoyos donde la tensión longitudinal ( 91,2= −

σ ) tiene distinto signo que la tensión circunferencial ( 240c = +σ ).

a) Cálculo del coeficiente de seguridad CS :

Ec. (24) → 2 2

3400

( 91,2) 240 ( 91,2) 240SC =

− + − − x............................................. 11,5SC =

b) Cálculo de presión pm que produce la falla (CS = 1 ) :

2 2

34001( 91,2) (30 ) ( 91,2)(30 )m mp p

=− + − −

→ 2 3,04 12835 0m mp p+ − = → 2111,8 /mp kg cm=

Notar que (111,8 11,5 8 92)m Sp C p≠ ≠ =x ya que se incrementó la presión mientras el peso propio ( tubo más agua) permaneció sin cambio.


51

5 Se pide calcular la tensión efectiva usando distintos criterios y comparar los resultados

Ec. (18)→ 2

A σ=

Ec. (18)→ 2

2 2 2

2R A Aσ τ τ = + = + >

Por lo tanto R > A A R⇒ <

4 4

64 32Rd dI J= =

π π 3

32dW =

π

Tensión normal por flexión...... MW

=σ Tensión cortante por torsión....2TW

=τ

2 222 2 21 1

2 2 2 2M TR M TW W W

= + = + = +

σ τ

a. Criterio de la máxima tensión normal:

(1)* A Rσ σ= = + ...................................................... ( )2 2* 1

2M M T

W= + +σ

b. Criterio de la máxima tensión de corte:

Ec. (31) → * 2A R Rσ< → = ............................................. 2 2* 1 M TW

σ = +

c. Criterio de la energía de distorsión:

Ec.(32) →

22* 2 23 3

2M TW W

σ σ τ = + = +

............... 2 2* 1 0,75M T

Wσ = +

Valores de σ* según el criterio utilizado y el tipo de solicitación

Solicitación Criterio

T = 0 Flexión pura

M = 0 Torsión pura

Rankine (máxima tensión normal ) M/W 0,500 M/W

Tresca-Guest ( máxima tensión de corte ) M/W 1,000 M/W

Von Mises (energía de distorsión) M/W 0,866 M/W

Comentarios: 1) En el caso de flexión pura los tres criterios son concordantes. 2) En el caso de torsión pura los tres criterios dan resultados diferentes.

Aceptando que los ejes se fabrican con materiales dúctiles para los cuales se adecúa mejor el criterio de la energía de distorsión, podemos concluir que el criterio del corte máximo dará resultados conservativos mientras que el criterio de la máxima tensión normal dará resultados inadecuados y lo que es peor, inseguros.


52

6 Para hacer comparaciones se pide calcular de varias maneras el coeficiente de seguridad, para tres estados tensionales y para 4 materiales distintos. Dimensiones en [kg] y [cm].

Primero se calculan los valores de A y R que definen el círculo de Mohr y con ellos se calculan las dos tensiones principales no nulas. Los resultados se resumen en la siguiente tabla donde figuran las tensiones no nulas dato (σx, σy, τxy ), los valores característicos para trazar el círculo de Mohr (A y R), las tres tensiones principales (σ(1), σ(2), σ(3)) y las dos tensiones principales no nulas para ser usadas en las ecuaciones (64), (65), (66), (73), (74) y (75) que se dan en las dos últimas columnas.

Estado tensional

Datos Círculo de Mohr Tensiones principales Otras tensiones

(64)-(66), (73)-(75)

xσ yσ xyτ A R (1)σ (2)σ (3)σ Iσ IIσ 1 1000 200 300 600 500 1100 100 0 1100 100 2 300 –500 300 –100 500 400 0 –600 400 –600 3 –200 –1000 300 –600 500 0 –100 –1100 –100 –1100

Para cada uno de los 15 casos considerados (3 estados tensionales y 5 criterios de falla) se calculó el CS de tres maneras distintas. En la columna (4) se consideraron las fórmulas para la tensión efectiva en el caso general de un tensor lleno dadas en el Anexo 5 y con esa tensión efectiva se calculó el CS indicado en la columna (5). De manera similar pero considerando el caso particular de tensión plana se obtuvieron los resultados reportados en las columnas (6) y (7). Existe total concordancia entre los resultados de las columnas (5) y (7) excepto en el caso del material 2. Para ese material las diferencias en promedio son menores al 10 % y se deben a que en el caso de tensor lleno se adopta el criterio de la Figura 14 que no concuerda con lo propuesto en la Figura 5-b para el caso de tensión plana. En la columna (9) se muestra el CS calculado con: i ) las ecuaciones (16), (17) y (24) dadas en el punto 8 del Capítulo 2 para materiales con igual resistencia en tracción y compresión y ii ) las fórmulas dadas en el Anexo 4 del Capítulo 2 para materiales donde │σc│≠ σt. Notar que hay total concordancia entre los resultados mostrados en las columnas (7) y (9). Eso se debe a que las fórmulas utilizadas tienen un origen común. En un caso se calcula directamente el CS y en otro a partir de la tensión efectiva.

Material Criterio de falla

Estado tensional

Fórmulas del Anexo 5 del Capítulo 2 Otras fórmulas para el coef. de seguridad Caso general Tensión plana

*σ SC *σ SC Ecuación SC ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 )

1

1 Von Mises

1 1054 2,37 1054 2,37 (24) 2,37 2 872 2,87 872 2,87 (24) 2,87 3 1054 2,37 1054 2,37 (24) 2,37

2 Tresca

1 1100 2,27 1100 2,27 (17) 2,27 2 1000 2,50 1000 2,50 (17) 2,50 3 1100 2,27 1100 2,27 (17) 2,27

2 3

Mohr

1 1001 2,50 1100 2,27 (64) 2,27 2 840 2,98 820 3,05 (65) 3,05 3 877 2,85 770 3,25 (66) 3,25

3 4

Rankine

1 1100 2,27 1100 2,27 (16) 2,27 2 600 4,17 600 4,17 (16) 4,17 3 1100 2,27 1100 2,27 (16) 2,27

4 5

Mohr modificado

1 1100 2,27 1100 2,27 (73) 2,27 2 500 5,00 500 5,00 (74) 5,00 3 550 4,54 550 4,54 (75) 4,54

criterios de falla para tensiones combinadas€¦ · compendio de cálculo estructural ii –...

Documents