Universidad nacional de ingeniería facultad de tecnología de La industria

ingeniería en economía y negocios Matemática II

Criterio de la Razón o prueba de las Proporciones Elaborado por:

• Hazel verónica Medina Rivera • Norman Benigno Ríos Matute • Sindys Massiel Soza Orellano

Docente: Msc. Roberto José Aguilera LópezFecha:

Viernes11 de Diciembre de 2015

Convergencia Absoluta y Convergencia Condicional

• Se dice que una serie es absolutamente convergente si la serie es convergente.• Una serie que es convergente , pero no

absolutamente convergente, se dice que es condicionalmente convergente

Ejemplos

• La serie es absolutamente convergente, ya que es convergente.• La serie es condicionalmente convergente, ya que

ella converge, pero es divergente.

Teorema: Si la serie es absolutamente convergente, entonces es convergente y . (El recíproco no es válido)

Teorema: Suponga que es una serie infinita dada, para la cual toda es diferente de cero y

i. la serie es absolutamente convergente.ii. la serie es divergente.iii. el criterio falla.

EJEMPLO 1Pruebe la convergencia de: ∑

𝑘=1

∞ (−1)𝑘+122𝑘− 1

𝑘3𝑘

Solución se identifica que por lo tanto

Puesto que Veremos que la serie alternante diverge.

lim𝑛→∞|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛|¿lim𝑛→∞

4𝑛  

3(𝑛+1)

lim𝑛→∞|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛|¿lim𝑛→∞

4

3=43

EJEMPLO 2

Examine la convergencia de: ∑𝑘=1

∞

(−1)𝑛+1 𝑛2𝑛

Solución Si y .

Puesto que Se concluye que la serie es absolutamente convergente.

Bibliografía•Dennis G. Zill, Warren S. Wright. (2014).

Cálculo Trascendentes Tempranas. 6ta edición. Mc Graw-Hill.•Carlos J. Walsh Mendoza, Félix M. Salmerón

Ordoñez. (2015). Matemática II. Tercera Edición. Departamento de Matemática UNI.