criterio de estabilidad de routh y diagramas de bode
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Criterio de estabilidad de Routh y diagramas de Bode
Ulises ReyesUlises RamirezNéstor Santos
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Criterio de estabilidad de Routh
•Estabilidad
•Función de transferencia
•Ceros y polos
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Criterio de estabilidad de Routh
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•Primero se debe escribir la función de transferencia en lazo cerrado de la siguiente forma:
Los coeficientes ai y bi son constantes.
•Primer condición: m ≤ n
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
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• 1. La ecuación característica se obtiene igualando a cero el polinomio del denominador de la función de transferencia.
• Si todos los coeficientes son positivos y ninguno de ellos es cero, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
Procedimiento
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• Los coeficientes b1, b2, b3,... c1, c2, c3,... d1,d2,... etc. se evalúan de la manera siguiente:
• La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero.
• Finalmente, por cada cambio de signo en los valores de la primera columna de la matriz existe un polo con parte real positiva en la función de transferencia.
Procedimiento
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• Los coeficientes b1, b2, b3,... c1, c2, c3,... d1,d2,... etc. se evalúan de la manera siguiente:
• La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero.
• Finalmente, por cada cambio de signo en los valores de la primera columna de la matriz existe un polo con parte real positiva en la función de transferencia.
Procedimiento
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Ejemplo
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Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control
Diagrama de bloques de un determinado sistema
Función de transferencia en lazo cerrado
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Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control• La ecuación característica es por
lo tanto el arreglo de coeficientes se convierte en:
• Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben de serlo también:
por lo tanto
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Respuesta a diferentes valores de K
SistemaEstable
SistemaMarginalmente
Estable
SistemaInestable
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• Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos restantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño “ε” y se evalúa el resto del arreglo. Por ejemplo:
El arreglo de coeficientes sería:
• Si el signo del coeficiente que está encima del cero (E) es igual al signo que está debajo de él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias.
Casos especiales
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• Si el signo del coeficiente que está encima del cero (E) es opuesto al del que está abajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo:
Casos especiales
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• Si todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen dos raíces con magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas
• Polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón
• Coeficientes de la derivada de este polinomio en el renglón siguiente
Casos especiales
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• Esto indica que hay dos pares de raíces de igual magnitud y signo opuesto. Si quisiéramos obtener estas raíces se resuelve la ecuación del polinomio auxiliar P(s) = 0.
• La derivada de P(s) con respecto a s es:
• Por lo tanto el arreglo de coeficientes se convierte en:
Casos especiales
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• Sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema
• Una ventaja del enfoque de la respuesta en frecuencia es que las pruebas de la respuesta en frecuencia son, en general, sencillas y pueden ser muy precisas con el uso de generadores de señales sinodales
• Una función de transferencia senoidal puede representarse mediante dos gráficas distintas:▫ Magnitud contra frecuencia▫ Angulo de fase (en grados) contra la frecuencia
Diagramas de Bode
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•Respuesta en frecuencia•Decibel•Magnitud•Angulo de fase (grados)
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Diagramas de Bode
•Los diagramas de Bode están constituidos de dos gráficas en función de la frecuencia.
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Factores básicos
•
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Constante K•Ganancia •Fase
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Polos y ceros en el origen
¿ tan−1(− 1𝜔0 )
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Ceros y polos reales•Ganancia •Fase
¿ tan−1(−𝜔𝜔𝑜)
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Ejemplo Diagrama Bode Matlab
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Polos y ceros complejosDe formaMagnitud G(jw)
Fase
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Factorización de una Función de Transferencia
• La idea es factorizar la G(s) en funciones cuyos diagramas de Bode ya conocemos.
• Al ser logarítmico, las multiplicaciones de estas funciones pueden ser sumadas.
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Factorización de una Función de Transferencia
• La idea es factorizar la G(s) en funciones cuyos diagramas de Bode ya conocemos.
• Al ser logarítmico, las multiplicaciones de estas funciones pueden ser sumadas.
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Ejemplo
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Ejemplo
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Reducción a sistemas de primer orden