cristalografia para quimicos teoria y practicas
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Proyección estereográfica de los sólidos cristalinos con sus polos y notaciones. EjerciciosTRANSCRIPT
CRISTALOGRAFÍA PARA QUÍMICOS Teoría y prácticas
Tomás Lasarte Esteban
Castellón, 2015
España
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Hexaquistetraedro Hexaquistetraedro
Poliedro cristalino
Proyección esterográfica
1) Cristalografía y química: .............................................................................................................................................1 2) Concepto de materia ...................................................................................................................................................3
2.1. Definición de mineral : .........................................................................................................................................3 2.2. Materia cristalina: .................................................................................................................................................4 3.3. Materia amorfa (Mineraloides): ............................................................................................................................5
3) Propiedades del cristal: ...............................................................................................................................................6 3.1. Teoría reticular: ....................................................................................................................................................6 3.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial............................................................................7
3. 2. 1. Redes planas: Tipos de redes planas : ...........................................................................................................7 4) SIMETRÍA ............................................................................................................................................................... 15
4.1 Tipos de simetría ................................................................................................................................................ 15 4.2 Elementos geométricos : ..................................................................................................................................... 16 4.3 Leyes cristalográficas: ........................................................................................................................................ 21 4.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) : ........................................................................................... 23 4.5. Sistemas cristalinos : ......................................................................................................................................... 24 4.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas) .......................................................................................... 31 4.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin ......................................................................................................... 33 4.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría ......................................................................... 35
4.9. EJERCICIO PRÁCTICO 1: Determinación del sistema cristalino y elementos de simetría de los poliedros. ......... 37 4.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema ...................................... 38 4.9.2. Simetría característica de cada sistema ......................................................................................................... 42 4.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros ........................................................................... 43
5) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA ...................................................................................................................... 58 5.1. Definición y propiedades .................................................................................................................................... 58 5.2. Tabla de símbolos estereográficos ...................................................................................................................... 59 5.3. Estereograma y dominio fundamental ................................................................................................................. 60 5.4. Nombre de las formas de la proyección ............................................................................................................... 61
6) DEDUCCIÓN DE LAS 32 CLASES DE SIMETRÍA O GRUPOS PUNTUALES ..................................................... 63 6.1. Deducción de las 32 clases asociando ejes y planos : ........................................................................................... 63
6.1.1. Tabla con las 32 clases de simetría asignadas a los sistemas cristalinos, una vez eliminadas las equivalencias e
incompatibilidades ................................................................................................................................................ 64 6.1.2. Lista con las 32 clases de simetría deducida de la asociación de elementos de simetría .................................. 65
6.2. EJERCICIO PRÁCTICO 2: Deducción de las 32 clases de simetría en estereogramas combinando elementos de
simetría......................................................................................................................................................................... 67 6.3. Tablas de los estereogramas de las 32 clases de simetría deducidas por asociación de ejes y planos...................... 85 6.4. Deducción de las 32 clases de simetría añadiendo elementos de simetría a la tetartoedría ..................................... 87
6.4.1. Tabla de las clases de simetría a partir de la tetartoedría ................................................................................ 88 6.5. Parámetros y notaciones .................................................................................................................................. 103 6.6. Criterios para determinar las notaciones en la proyección esterográfica ............................................................. 108 6.7. Estereogramas de los sistemas cristalinos con las notaciones de los 7 polos de la holoedría ................................ 109 6.8. Sistemas cristalinos con todas sus clases y todos sus polos ................................................................................ 130
7) EJERCICIO PRÁCTICO 3: Completa los estereogramas de todos los sistemas a partir de un polo ....................... 137 8. Hábito cristalino y asociaciones cristalinas .............................................................................................................. 180
8.1. Hábito cristalino .............................................................................................................................................. 180 8.2. Asociaciones cristalinas y maclas...................................................................................................................... 180
9) Química y estructura ............................................................................................................................................... 186 9.1. Coordinación: ................................................................................................................................................... 187 9.2. Enlaces: ........................................................................................................................................................... 189 9.3. Defectos (imperfecciones) en la estructura cristalina: ....................................................................................... 192
10) Difracción de Rayos - X ........................................................................................................................................ 194 10.1. Método del polvo cristalino (Debye-Scherrer) (Difracción) ............................................................................. 194 10.2. Método de Bragg (monomineral) (Reflexión) .................................................................................................. 195 10.3. Difractómetro de polvo de Rayos - X ............................................................................................................. 196
11) INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS ESPACIALES ........................................................................................... 199 11.1. Características de los grupos espaciales: .......................................................................................................... 199 11.2. Nomenclatura de los grupos espaciales (4 redes planas y 17 grupos espaciales bidimensionales). ..................... 199 11.3. Tabla de símbolos ........................................................................................................................................... 201 11.4. Planos de deslizamiento .................................................................................................................................. 202 11.5. Ejes helicoidales : ........................................................................................................................................... 203
1
1) Cristalografía y química:
Simetría puntual
Q
U
Í
M
I
C
A
C
R
I
S
T
A
L
O
G
R
A
F
Í
A
Simetría
Cristalofísica
Cristaloquímica
Cristalografía estructural
Redes cristalinas
Simetría traslacional
Rayos X
Tipos de enlaces químicos
Tipos estructurales
Estructura de los silicatos
Empaquetamientos
Termodinámica cristalina
Cristalografía morfológica
2
Métodos estudio R-X
Del nudo a la red
coordinación, enlaces, defectos
Métodos de estudio
Propiedades
composición química
Fila monodimensional
Fila bidimensional (5 redes planas)
Red tridimensional (14 redes Bravais) (7 sistemas cristalinos)
Simetría externa: movimientos
centro ejes planos
32 clases de simetría
(grupos puntuales)
+ ejes helicoidales
+ planos deslizamiento
230 Grupos espaciales
Químicas
Isomorfismo
Polimorfismo
Solución sólida
(átomos, iones, moléculas)
Proyección estreográfica
Microscopio
petrográfico
claves dicotómicas
Clasificación:
Leyes cristalográficas
Físicas
mecánicas: exfoliación, fractura, dureza
eléctricas: conductores y no conductores
magnéticas: para y diamagnéticos
térmicas: conductividad y dilatación
Escalares
Vectoriales
Organolépticas
densidad
punto de fusión y ebullición
Materia cristalina
Materia cristalina - cristal
Química y estructura
Sistemas cristalinos
-
- estereograma - dominio fundamental - tabla nombre de las formas - tabla clases de simetría - parámetros y notaciones - tabla símbolos estereográficos - símbolos Hermann-Mauguin - estereogramas sistemas - 32 clases de simetría (holoedría, polos..) - clases añadiendo elementos - clases asociando ejes
relativas a su extensión relativas a su composición relativas a su estructura
Ejes cristalográficos y tipos de caras
Formas cristalinas: nº y aspecto de las caras
Asociaciones y maclas
Hábitos
ópticas: color, brillo, reflexión-refracción,
birrefringencia, polarización,
colores interferencia, uniáxicos y biáxicos
(piroelectricidad y piezoelectricidad)
Materia mineral
materia amorfa
Aplicaciones
construcción, cerámica..
- Bragg
- Polvo cristalino - Microscopia electrónica
- DRX
3
2) Concepto de materia
“La materia puede ser considerada como todo aquello que tiene masa y peso, ocupa espacio, requiere la
acción de una fuerza para ser movida y está dotada de propiedades físicas y químicas”
“La materia puede presentarse en tres estados: gaseoso, líquido o sólido.”
La diferencia entre un estado u otro radica en el movimiento o agitación térmica que sus
partículas componentes (átomos, iones y moléculas) mantengan unos respecto a otros.”
En el estado
gaseoso
Las unidades integrantes (generalmente moléculas) se hallan
en estado de agitación continua y están separadas por
grandes distancias. Si adquieren mayor energía, por calentamiento, aumenta su velocidad y se dispersan más y por
lo tanto tienen menos peso específico. Si va descendiendo la
temperatura, pierden energía y las moléculas se van aproximando y aumenta el peso específico.
En este estado varía el
volumen y la forma
En el estado
líquido
Las moléculas se ponen en contacto y permanecen con sus
contiguas, pero conservando su orientación arbitraria, la
sustancia deja de ser gas y pasa a líquido.
En este estado solo
varía la forma.
En el estado
sólido
Si la temperatura sigue bajando, el movimiento entre las
moléculas disminuye, llegando casi a cesar; tiene lugar al
mismo tiempo una disposición más ordenada de las unidades,
que puede, y llega, por enfriamiento o congelación a ordenarse en un modelo tridimensional.
En este estado no varía
ni la forma ni el
volumen.
2.1. Definición de mineral :
Un mineral es un sustancia natural e inorgánica en estado sólido, que posee una composición química fija
o variable dentro de límites estrechos, y que además posee un ordenamiento atómico tridimensional (red
cristalina espacial) y sistemático entre los iones, átomos o moléculas que componen su fórmula química.
Puede ser homogéneo en sus propiedades químicas y físicas o mostrar pequeñas variaciones sistemáticas.
Aunque la mayoría de los minerales se forman mediante procesos inorgánicos, existen algunas excepciones referidas a aquellos compuestos inorgánicos producidos por organismos, pero que cumplen las otras
características de un mineral, como por ejemplo, el carbonato cálcico de las conchas de los moluscos.
Análisis de la definición :
a) Natural e inorgánico, excluimos los artificiales (laboratorio), así como las conchas de los moluscos
(biogénicas)
b) En estado sólido, es decir, que los minerales son fases sólidas, por lo cual quedan excluidos el aire, el agua, el mercurio líquido y el petróleo.
c) Poseen una composición química fija o variable dentro de unos límites; significa que la composición
química muestra una gran estabilidad. Son sustancias puras. En algunos casos, esta composición química puede variar por sustitución de átomos o iones por otros distintos, siempre que posean radios semejantes.
Ej. Plagioclasas, olivino (isomorfismo). Los minerales están formados por la combinación de uno o
varios elementos químicos en unas proporciones fijas. d) Están compuestos por átomos, iones o moléculas ordenados en una red cristalina llamada red
espacial; todas las partículas están ordenadas en el espacio formando una red, manteniéndose unidas
mediante enlaces. Las propiedades del mineral van a depender del tipo de red en que cristalicen y del
tipo de enlace químico. Cristalizan de forma constante. e) Puede ser homogéneo en sus propiedades químicas y físicas o mostrar pequeñas variaciones
sistemáticas. Un mineral es una fase homogénea, es decir, no separable por medios mecánicos en dos o
más sustancias de propiedades físicas y químicas diferentes. Por ello, si un mineral, por ejemplo la pirita FeS2 , está compuesta por hierro y azufre, sus propiedades físicas y químicas no son la suma de las
propiedades de ambos, sino que la pirita tiene propiedades peculiares.
4
2.2. Materia cristalina:
Es un mineral con ordenamiento interno pero que no ha dispuesto de espacio, tiempo y reposo para
desarrollar forma externa poliédrica. Así pues, un mineral que presente un aspecto externo irregular puede estar ordenado interiormente.
Estado cristalino: La distribución ordenada de los átomos (periodicidad) es la propiedad más importante y característica del cristal, por eso se define como un cuerpo sólido de estructura reticular.
Cristal 1:
Son aquellas formas de materia cristalina que presentan un aspecto externo poliédrico formado por caras planas. Este aspecto externo es la expresión del ordenamiento interno de sus partículas integrantes. Han
dispuesto de espacio, tiempo y reposo.
Las caras del cristal representan el lugar geométrico de los puntos donde se equilibran las fuerzas que ejerce el cristal para atraer las moléculas y las de repulsión del líquido a cristalizar.
Las caras del cristal aparecen con relaciones angulosas específicas, con respecto a la estructura atómica.
Cristal real: Los cristales naturales están, en la mayoría de los casos, distorsionados y
desproporcionados, con imperfecciones y defectos con respecto a su modelo matemático o geométrico, pero
se consideran regulares.
* Materia cristalina y cristal funden a temperatura fija e instantáneamente, ya que su energía es fija
e igual a la de los enlaces.
* Sus átomos están separados por distancias que se repiten periódicamente y de ella depende la
homogeneidad, simetría y anisotropía: Que la materia cristalina es homogénea significa que está
formada por los mismos componentes en todas sus zonas. Puede haber casos de heterogeneidad accidental, por intrusión de átomos o moléculas extraños, en algunos puntos. Que la materia cristalina
es anisótropa quiere decir que según la dirección del espacio que se considere, las distancias que
separan a dos átomos o moléculas sucesivas varían, esto afecta a muchas de las propiedades físicas del mineral.
* Periodicidad, homogeneidad, anisotropía y simetría son los caracteres fundamentales de la
materia cristalina o cristal.
1La definición más utilizada actualmente por la mayoría de los cristalógrafos, consiste en considerar como cristal a cualquier sólido
con estructura interna ordenada independientemente de que, debido a condiciones favorables de cristalización, presenta caras bien formadas, planas, pulidas y con formas geométricas regulares, ya que la presencia de estas caras bien formadas no modifica sus propiedades fundamentales.
Materia mineral
Con ordenamiento interno
Sin ordenamiento interno.................................................Materia amorfa
Sin manifestación externa poliédrica: Materia cristalina
Con manifestación externa poliédrica : Cristal
5
3.3. Materia amorfa (Mineraloides):
La materia amorfa no posee ordenamiento interno ni cristalización, sus partículas están dispuestas al azar (como granos de azúcar en un azucarero), no ocupan posiciones fijas en el espacio. Las distancias que
separan una partícula de otra no son constantes.
El concepto de mineraloide se ha creado para agrupar los escasos ejemplos de sustancias líquidas o sólidas
en estado amorfo, consideradas clásicamente como minerales. En este sentido, el ámbar, el ópalo, la obsidiana, la calcedonia, la limonita y el mercurio líquido, que aparece a veces como gotas dentro del
cinabrio (verdadero mineral del mercurio, ya que posee estructura cristalina cúbica) son ejemplos de
mineraloides. Existen muy pocos más. Los vidrios pueden ser considerados como líquidos excesivamente viscosos unidos por fuerzas de
viscosidad.
Muchos de los mineraloides poseían inicialmente estructura interna y lo perdieron por absorción de agua (ópalo y calcedonia).
Los materiales amorfos presentan isotropía (las propiedades no varían con la dirección) con respecto a todas
sus propiedades físicas.
*A causa de la isotropía de su crecimiento, o bajo la influencia de la tensión superficial, adquieren la forma esférica si
hallan posibilidad de desarrollarse libremente (formas arracimadas y arriñonadas). También se presentan en formas
terrosas y deleznables. La forma esférica es típica también de las gelatinas minerales (ciertas sales metálicas que
precipitan en sus disolventes).
* El estado amorfo puede considerarse como un paso previo a la cristalización.
* Los materiales amorfos funden poco a poco, a intervalos.
* La materia amorfa no es periódica, ni simétrica, ni anisótropa.
* Su característica más importante es la isotropía.
* No existen direcciones “privilegiadas” para ninguna propiedad física ni química
Diferencias entre las curvas de solidificación de los cuerpos amorfos y los cristalinos
Tª
Tª
tiempo
tiempo
Sustancias amorfas
Sustancias cristalinas
x x
1 2
1. Comienzo cristalización
2. Final cristalización
La curva de enfriamiento no presenta inflexiones
La temperatura baja continuamente porque no necesita energía para reorganizar sus partículas ya
que están desordenadas
Se observan dos inflexiones que corresponden al comienzo y
final de la cristalización, motivadas por la pérdida de energía producida por el sistema durante la cristalización, que
compensa la pérdida de calor, gracias a la cual la temperatura
permanece en el mismo nivel
Cuando el sistema pierde calor los átomos pierden energía cinética (movimiento) y utilizan la energía
calorífica restante para reorganizarse y distribuirse. Es por ello que no pierden temperatura, hasta que una vez
organizados, vuelve a bajar.
6
3) Propiedades del cristal:
3.1. Teoría reticular:
Las primeras ideas referentes a la ordenación interna del cristales son del siglo XVII.
El francés Bravais (1849) propuso la teoría reticular, según la cual las partículas de los cristales (átomos, iones y moléculas) deben de estar colocados en los nudos de una red paralelepipédica. Supuso que los
cristales estaban constituidos por lo que denominó partículas cristalinas, que en forma de puntos se
dispondrían formando un retículo tridimensional. Los puntos de la red, al no estar en contacto unos con
otros, podrían alterar las distancias entre ellos, debido a las variaciones de temperatura. Eso explicaría los fenómenos de dilatación y contracción observadas en los cristales.
Las hipótesis postuladas por Bravais son el núcleo de lo que hoy en día se conoce como teoría reticular, cuya
validez fue confirmada a principios de nuestro siglo al estudiar los minerales por medio de los rayos X. En 1912 Von Laue confirmó la teoría reticular y la naturaleza ondulatoria de los R -X.
El estudio del ordenamiento interno de los cristales nos permite definir el estado sólido como un
ordenamiento de partículas en los nudos de las redes cristalinas en disposición tridimensional. Se llaman filas reticulares a las rectas que alinean las partículas con separación entre ellas constante.
El cristal presenta como propiedades más significativas, la simetría (distribución simétrica de las
partículas), homogeneidad (una fase homogénea, es decir, no separable por medios mecánicos en dos o más
sustancias de propiedades físicas y químicas diferentes y que tienen las mismas propiedades medidas paralelamente), periodicidad (los nudos se sitúan periodicamente en filas reticulares) y anisotropía (sus
propiedades dependen de la dirección en que se miden).
Diferentes criterios de elección de filas en una red plana, o planos reticulares en una red tridimensional. Dos filas reticulares que se cortan definen un plano retícular que contiene infinitas filas paralelas. Las redes cristalinas son medios discontinuos, ya que las partículas materiales se sitúan exclusivamente en los nudos de la red. Las redes son periódicas porque los nudos se sitúan periódicamente (a intervalos regulares) en las filas reticulares. La consecuencia es que las redes son homogéneas pues todos sus nudos son equivalentes y no existen nudos privilegiados, diferentes a los demás.
Anisotropía
Periodicidad c c c c c
7
3.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial
Del NUDO (motivo)(átomos, iones y moléculas) ----------------------------> a la RED
El estado cristalino viene caracterizado fundamentalmente por la distribución de los átomos según un
esquema regular y periódico que dibuja una red estructural tridimensional. Antes de considerar las tres dimensiones del espacio comenzaremos por considerar la ordenación en el plano, es decir, la formación de
redes planas. Consideremos en primer lugar un nudo y vayamos construyéndolas.
Nudo (átomos, iones, moléculas). Se puede definir como cualquier punto material que forma parte
de la red.
traslación cte. = c
Fila de nudos reticular (monodimensional) : Representa puntos igualmente espaciados a lo largo de
una línea. También podemos definirla como una recta definida por dos nudos cualesquiera y formada
por infinidad de nudos dispuestos de tal modo que la distancia entre nudos contiguos sea siempre la misma.
traslación a1, a2, w
Plano reticular (red plana bidimensional) (constituyen las diferentes bases de las celdas elementales combinando los valores a1, a2, w). La malla reticular (paralelogramo fundamental) es
una porción del plano reticular. Distribución regular de nudos en dos direcciones. Los planos se
representan por las notaciones (hkl).
3. 2. 1. Redes planas: Tipos de redes planas :
En una red plana existen infinitas filas reticulares con traslaciones diferentes. De ellas se consideran, para definir la red bidimensional, las dos con traslaciones más pequeñas y que forman un ángulo
entre si de tal forma que definen un paralelogramo que se denomina celda fundamental (malla) de la
red plana. La malla es la porción de plano reticular limitado por dos pares de filas que se cortan
dando lugar a un paralelogramo.
Red plana Cuadrada a1 = a2 w = 90º
Red plana Rectangular a1 # a2 w = 90º Red plana Romboidal (oblicua) a1 # a2 w # 90º
Red plana Rómbica a1 = a2 w # 90º, 60º, 120º
Red plana Hexagonal (rómbica especial) a1 = a2 w = 60º ó 120º
c c c c c c c c c c c
Compleja
Simple
átomos
|--c--|
w
a1
a2
8
Las 5 redes planas posibles:
Asimilable al Cloruro sódico.
Motivos de distinto tamaño
w
a1 = a2
w = 90º
w
90º
a1
a2
a1
a2
a1 a2
Paralelogramo
fundamental
1) RED CUADRADA: Caracterizada por dos parámetros de traslación iguales y formando un ángulo entre ellos de
90º. Se considera que existen dos motivos de distinto tamaño.
5) RED HEXAGONAL (Rómbica especial): Definida para a1 = a2 y W = 60º ó 120º
60º
60º
Se forma un hexágono regular
Triángulos equiláteros
60º
Formada por tres redes rómbicas que determinan un hexágono regular. Los motivos son todos de igual tamaño y al ser
tangentes el máximo del que pueden rodearse es de seis
a1 a2
a1 a2
Paralelogramo
fundamental
2) RED RECTANGULAR
90º
Paralelogramo
fundamental
3) RED ROMBOIDAL (OBLICUA)
a1 # a 2; W ≠ 90º
a2
a1
a2
a1
Paralelogramo
fundamental
a1 # a2 ; W = 90º
W # 90º, 60º y 120º
w
4) RED RÓMBICA GENERAL : Definida igualmente para a1 = a2 El ángulo w es distinto de 90º, 60º y 120º
w
triángulo isósceles a1 a2
a1 a2
Paralelogramo
fundamental
9
Con la traslación en la tercera dirección (a1,a2,a3,se obtienen las redes tridimensionales que pueden
construirse sumando una dirección de traslación adicional (vector) a las redes planas. La red espacial cristalina
2(cristal) representa la distribución de nudos equivalentes en tres dimensiones,
cada uno de estos puntos posee un entorno idéntico al de cualquier otro punto de la red. El cristal posee las
propiedades de la homogeneidad y de la periodicidad. Homogeneidad porque cada nudo de su red es idéntico a todos y cada uno de los demás de la red y periodicidad porque los nudos en una dirección dada se
encuentran a distancias fijas.
Celda elemental: Es una porción tridimensional de la red limitada por 6 planos reticulares, paralelos dos a dos. Resulta el paralelepípedo más pequeño (no divisible en otro menor) que por traslación tridimensional
nos origina el cristal visible (red espacial) y que queda definido por los parámetros: a1 a2 a3, y ángulos:
.
Las redes tridimensionales vienen definidas por una red plana y su apilamiento. Por este motivo, un mismo
tipo de red plana da origen a distintas redes tridimensionales, según la manera de apilarse, es decir según que
la proyección de los nudos de los planos sucesivos de la familia conocida coincida o no con posiciones de la red plana inmediata en la serie. De esta forma se obtienen las 14 redes de BRAVAIS de las cuáles 7 son
primitivas (P: solo presentan nudos en los vértices y definen los siete sistemas cristalinos) y las otras 7 se
denominan múltiples (C, F, I) quedando repartidas de la siguiente manera:
REDES DE BRAVAIS : 14 = 7 redes primitivas + 7 redes múltiples Sistema cúbico P I F
Sistema tetragonal P I Sistema hexagonal P
Sistema romboédrico R(P)
Sistema rómbico P C I F Sistema monoclínico P C
Sistema triclínico P
Las características de los sistemas cristalinos se analizarán más adelante en el apartado de la simetría.
2Otra definición: es un sistema infinito de puntos materiales en el espacio, ordenados según relaciones de periodicidad. Las
relaciones de periodicidad pueden expresarse en forma matemático-analítica referida a coordenadas cartesianas (X,Y,Z), partiendo de tres vectores no coplanarios y utilizando la traslación para construir o definir la red de cada uno de sus puntos.
Celda elemental
y
z
x
RED ESPACIAL
X
Y
Z
10
4. 2. 2 Construcción de las redes tridimensionales por apilamiento de redes planas.
El apilamiento de una red plana oblicua con un ángulo
arbitrario conduce a redes triclínicas primitivas
z
x y
y
z
y
z
x
y
z
x
y
z
# 90º
# 90º = 90º
El apilamiento de una red rectangular primitiva en
dirección vertical (z) con un ángulo # 90º conduce a una red monoclínica primitiva
MONOCLÍNICA CENTRADA (en 001) RÓMBICA PRIMITIVA
El apilamiento de una red plana rectangular en una
dirección vertical (z) con un ángulo ≠ 90º da lugar a una red monoclínica centrada
El apilamiento de una red rectangular primitiva en una
dirección vertical (z) con el ángulo = 90º conduce a una
red rómbica primitiva
RÓMBICA CENTRADA (en 001)
RÓMBICA CENTRADA EN EL INTERIOR
RÓMBICA CENTRADA EN LAS CARAS
El apilamiento de una red plana rectangular centrada en una dirección vertical (z) con el
ángulo = 90º conduce a una red rómbica
centrada
El apilamiento de una red rectangular primitiva a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L conduce a una red
rómbica con un nodo central
= 90º
z
y
K
L
x
z
y
c
b
K
L´
a
a
c º
MONOCLÍNICA
PRIMITIVA
b
x
x
x
TRICLÍNICA
PRIMITIVA
El apilamiento de una red rectangular centrada a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L´
(sobre la cara frontal) da lugar al centrado de todas las caras de red tridimensional
11
y
z
x
a
a
c
x
y
z
c
y
z
x
a
a
a
y
z
x
a a
a
El apilamiento de una red cuadrada a lo largo
de la dirección z con un ángulo x Ʌ z = 90º
RED TETRAGONAL
PRIMITIVA
y
z
x
a
a
c
K
L
ROMBOÉDRICA
El apilamiento de una red plana hexagonal en dirección z con el ángulo xɅz = 90º conduce a una red hexagonal primitiva. Si esta opción se gira tres veces alrededor de z se obtiene una
red hexagonal centrada en las caras
Apilamiento de una red plana a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L´ (a lo largo de la
cara frontal)
CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS
HEXAGONAL PRIMITIVA Y
CENTRADA
z
Una red hexagonal puede también apilarse a lo largo de las direcciones de
las aristas de un romboedro ag. Así resulta una red espacial romboédrica
CÚBICA PRIMITIVA
Apilamiento de una red plana cuadrada a lo largo
de la dirección z con el ángulo xɅz = 90º
CÚBICA CENTRADA EN EL INTERIOR
Apilamiento de una red plana cuadrada a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L
(diagonal del cuerpo)
y
z
x
a a
a
K
L
x y
RED TETRAGONAL CENTRADA EN EL
INTERIOR
Apilamiento de la misma red, pero ahora siguiendo una dirección definida por los nodos K y L
a1 a2
ag ag
ag
12
4.2.3. Redes de Bravais. La restricción en número de éstas posibles redes se debe a que:
a) Deben ser homogéneas, lo que significa que cada nudo debe estar rodeado de un número idéntico de vecinos (igual
número de coordinación).
b) Deben ser diferentes, osea que la red nueva sea distinta de la primitiva P.
c) Deben ser simétricas, es decir, que posean la misma simetría del grupo al que pertenecen.
SISTEMAS
CRISTALINOS
(Redes Matemáticas)
TIPOS POSIBLES DE REDES ESPACIALES: 14 REDES de BRAVAIS
Redes planas que intervienen en su
construcción
Sencilla
P
Centradas en las
bases A ó B ó C
Centradas en el
interior I
Centradas en
todas caras F
CÚBICO
a1 = a2 = a3
º
Redes planas: cuadradas
TETRAGONAL
a1= a2 # c
º
Redes planas: cuadradas y
rectangulares
HEXAGONAL
a1= a2 = a3 # c
a1 con a2; a2 con a3;
y a3 con a1 = 120º
a1= a2 = a3 con c 90º
Redes planas: hexagonales y rectangulares
ROMBOÉDRICO O
TRIGONAL
a1= a2 = a3
º ó 57º 30`
Redes planas: rómbicas
RÓMBICO
a # b # c
º
Redes planas: rectangulares
MONOCLÍNICO
a # b # c
º
º
Redes planas: rectangulares y
romboidales
TRICLÍNICO
a # b # c
º
Redes planas: romboidales
P
a
c
b
I F C
Igual a P Igual a P Igual a P
P C I F
Igual a C Igual a C
P C I F
C I F R ó P
Imposible Igual a R Igual a R
a1 a2
a3
c
C I F
Imposible Imposible Imposible
P
a1
a2 a3
P C
Igual a I
F
Igual a I
I
P C
Imposible
I F
13
Las redes de Bravais son maneras distintas de distribuir o disponer los nudos en una red espacial (CRISTAL).
Partiendo de las 7 celdillas unidad (constituyen los 7 sistemas cristalinos con sus constantes) se pueden encontrar otras
7 más complejas que resultan de la compenetración de dos del mismo tipo en tanto se respete la simetría.
No existen otras posibilidades, aparte de las 14 enunciadas, de formar redes tridimensionales por superposición de redes planas, y como estas redes se han obtenido simplemente por traslaciones sucesivas de una red plana, se denominan
también redes de traslación. Constituyen la base de las características diferentes que permiten identificar los siete
sistemas cristalinos (cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal - romboédrico, rómbico, monoclínico y triclínico).
Las redes espaciales anteriormente descritas, llevan implícitos ciertos elementos de simetría que vienen determinados
por las relaciones existentes entre los elementos (parámetros y ángulos) que definen la red. Así, encontramos el centro
de simetría, los planos de simetría y los ejes de simetría, que solo pueden ser de 2, 3, 4 y 6, únicos compatibles con
las redes planas descritas. Las relaciones entre los nudos, filas y planos reticulares de una red espacial, con los
elementos de simetría, pueden resumirse en los siguientes principios:
1. Todo nudo de una red es un centro de simetría. 2. Todo eje de simetría es una fila reticular.
3. Todo plano de simetría es un plano reticular.
4. Perpendicularmente a todo eje de simetría, existe una familia de planos reticulares. 5. Todo plano reticular que sea plano de simetría, tiene una familia de filas reticulares normales a él, y cada
una de estas filas es un eje de simetría.
6. Toda fila reticular que sea eje de simetría de orden 4 ó 6, tiene otras tantas filas reticulares normales a ella que son ejes binarios y en consecuencia (por el tercer principio), 4 ó 6 familias de planos de simetría que
pasan por dicha fila.
7. Cuando una fila reticular es un eje ternario, no existen ejes binarios normales a ella y el eje ternario es de
inversión, es decir, que tiene un centro de simetría sobre el eje, que no coincide con un nudo de la red. 8. Si una fila reticular es un eje de simetría de orden n, existen n planos de simetría que pasan por ella.
Las redes de Bravais constituyen 7 celdas elementales con características diferentes que permiten
identificar los siete sistemas cristalinos.(cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal-romboédrico,
rómbico, monoclínico y triclínico)
7 Sistemas cristalinos (constantes, elementos....)
A partir de las redes de Bravais y de la combinación de los elementos de simetría (ejes, planos,
centro) se deducen las 32 clases de simetría o grupos puntuales3
32 clases de simetría (grupos puntuales)
Algunas de las clases tienen características de simetría en común a otras lo que permite agruparlos en
uno de los 7 sistemas cristalinos. (Cúbico: 5 clases; Tetragonal: 7 clases; Hexagonal: 7 clases;
Trigonal-romboédrico: 5 clases; Rómbico: 3 clases; Monoclínico: 3 clases y Triclínico: 2 clases)
Son combinaciones de simetría exentas de traslación.
Todos estas clases de simetría pueden ser representadas mediante proyección estereográfica y con 7
posiciones diferentes cada una de ellas.
3Significa que la operación de simetría deja un punto particular del diagrama inmóvil.
14
El dominio fundamental: En toda celda cristalina o paralelepípedo elemental, existe una parte de la
misma que no contiene elementos de simetría y que constituye la mayor parte asimétrica de la red,
que por repetición (por traslación o por las operaciones de simetría propias de la red a la que
pertenece), puede llenar todo el espacio cristalino sin dejar huecos. Esta porción del espacio cristalino,
asimétrico se denomina dominio fundamental y está limitado precisamente a los elementos de
simetría. De esta manera, un cristal se puede dividir en un cierto número de dominios fundamentales,
relacionados entre si por las operaciones de simetría propias de la red a la que pertenece. Por
ejemplo, una red cúbica es un dominio complejo formado por 48 dominios fundamentales.
La posibilidad de rellenar el espacio cristalino con dominios fundamentales, tiene como
consecuencia la aparición de dos nuevas operaciones de simetría, que son el resultado de aplicar
a las ya conocidas una traslación, resultando así los PLANOS DE DESLIZAMIENTO y LOS
EJES HELICOIDALES
Cuando queremos estudiar las relaciones estructurales, hace falta tomar en consideración la existencia
posible de traslaciones, ejes helicoidales que llevan asociados a una rotación una traslación, y planos
de deslizamiento, o sea, planos de reflexión con traslaciones simultáneas.
De forma resumida podemos decir que los grupos espaciales se deducen de la combinación de las 14
redes de Bravais y de los elementos de simetría + ejes helicoidales + planos de deslizamiento.
Al considerar las posibilidades de agrupar en una red cristalina estos diferentes elementos de simetría
hace que ésta no esté constituida por un solo elemento particular de simetría, sino por un conjunto de elementos de simetría idénticos y paralelos, que formen haces de elementos de simetría.
La combinación de los diferentes haces de elementos de simetría, da origen a 230 posibilidades
distintas, que reciben el nombre de grupos espaciales y corresponde a las 14 redes de Bravais.
230 grupos espaciales4 de simetría (Fedorov y Schoenflies elevaron a 230 las maneras de distribuir u operar con
los nudos) (cada cristal corresponde a cada uno de estos grupos).
4Está relacionado con la teoría matemática de grupos que permite una deducción sistemática de todas las posibles y no idénticas
combinaciones de simetría
15
4) SIMETRÍA
4.1 Tipos de simetría
Simetría, en su sentido más amplio, significa repetición de caras iguales. Esta repetición puede
lograrse mediante operaciones de simetría, tomando como punto de referencia el centro, ejes o planos de simetría de un cristal.
Dos figuras son mutuamente simétricas cuando la distancia entre dos puntos equivalentes
cualesquiera de una cara se da en la misma dimensión en la otra. Los movimientos que nos pueden
dar simetría pueden ser: De 1ª especie : son movimientos simples:
El primer movimiento es la traslación
El segundo movimiento es la rotación De 2ª especie:
Reflexión: dos figuras cuyos puntos se corresponden mutuamente mediante un plano.
Inversión : basado en la correspondencia respecto a un punto.
Figuras congruentes: Se corresponden con los movimientos de 1ª especie. Son todas aquellas que su correspondencia entre ellas haya sido realizada por la traslación o rotación.
El eje cuaternario de un cubo tendrá sus caras congruentes entre si.
Figuras enantiomórficas: Se corresponden con los movimientos de 2ª especie. Son aquellas
figuras que se corresponden tanto por medio de la reflexión como por la inversión. Son cuerpos
superponibles por la reflexión de un plano de reflexión y no por traslaciones o rotaciones
(considerando el objeto tridimensionalmente, no se superponen en volumen). Se definen como
formas de izquierda y derecha.
B B
Ejemplo de figura congruente por traslación
Ejemplo de figura enantiomorfa
vectores
TRASLACIÓN
REFLEXIÓN INVERSIÓN
En planta
ROTACIÓN
Figuras congruentes
Figuras enantiomorfas
1ª Especie
2ª Especie
16
4.2 Elementos geométricos :
Morfológicos (puntuales): caras, aristas y vértices
Cara: La ordenación regular de los iones en el cristal es el motivo interno que explica la
distribución de las caras externas. La superficie más o menos plana (aunque sabemos que el
cristal real no suele ser perfecto) que limita el cristal del medio exterior.
Arista: la intersección entre dos caras adyacentes se denomina arista
Vértice: punto en el que convergen tres o más aristas.
Poliedro natural o cristal : Es una porción de materia limitada por caras planas, cuyos
átomos están ordenados en los nudos de redes paralelepipédicas y cuya forma poliédrica han
tomado espontáneamente.
Poliedro geométrico : Es la porción de espacio limitado por caras planas, en las que solo se
tiene en cuenta las caras.
De simetría: centro, ejes y planos:
Centro de simetría: Es igual a un centro de inversión (i ó ). C = monario de inversión
Es un punto imaginario situado en el centro del cristal, en el que se cortan cuantas líneas imaginarias unen a los elementos morfológicos idénticos y opuestos del cristal.
Por el centro de simetría pasan los ejes y planos de simetría.
No tendrán centro aquellos cristales que presentan alguna cara sin su correspondiente paralela o
presentan ejes polares. Los cristales con caras paralelas tienen centro de simetría.
Ejes de simetría : Son líneas imaginarias que, tomadas como ejes de giro, hacen que éste tome una serie de posiciones
idénticas. El orden de este eje dependerá de las veces que se repita el elemento homólogo en una
vuelta.
Así como en cuerpos artificiales pueden existir ejes de simetría de cualquier orden, se ha podido
demostrar que en los cristales no hay más que los siguientes órdenes : 2, 3, 4, 6
i (c)
17
.. Ejes de rotación propio: Son los ejes ordinarios que necesitan de un solo movimiento para
efectuar una operación de simetría de giro5.
Eje polar: Se denomina así cuando dos extremos del eje corresponden a dos partes del
cuerpo o figura que no se pueden llevar a coincidir por otra operación. Las caras son
diferentes en uno y otro extremo del eje.
Orden del eje = n Nombre Símbolo Ángulo de giro
6
Senario
E6
360/6 = 60º
4
Cuaternario
E4
360/4 = 90º
3
Ternario
E3
360/3 = 120º
2
Binario
E2
360/2 = 180º
Ejes de rotación (n) : 1, 2, 3, 4, 6
El eje de simetría monario 1, no tiene existencia, ya que la repetición no se realiza más que al cabo
de una vuelta completa, si bien cabe también considerarlo
.. Ejes de rotación impropios (inversión): Son aquellos elementos de simetría que necesitan dos
movimientos consecutivos para realizar una operación de simetría = Rotación (n) + inversión (180º)
Este elemento de simetría compuesto combina una rotación alrededor de un eje con inversión sobre
un centro. Ambas operaciones deben completarse antes de que se obtenga la nueva posición.
Si la única simetría que posee un cristal es un centro, la rotación correspondiente es un eje monario
de inversión
Consideremos el mecanismo de un eje cuaternario de rotación. En la operación de un eje de rotación
cuaternario aparecen 4 puntos idénticos, cada uno a los 90º de giro, todos en la parte superior o
todos en la parte inferior del cristal.
En la operación de ejes cuaternarios de inversión, por el contrario, se hallarán también cuatro puntos idénticos, pero dos estarán en la parte superior y dos en la inferior del cristal.
La operación de tal eje implica cuatro rotaciones de 90º, cada una de ellas seguidas por una
inversión. De este modo si el primer punto está en la parte inferior del cristal el 2º está en la superior, el 3º en la inferior y el 4º nuevamente en la superior.
5Como norma, el giro es en sentido contrario a las agujas de un reloj.
1,2,3,4,6
18
La figura representa un cristal con un eje cuaternario de inversión.
= 90º + inversión (180º)
Ej.:
Biesfenoedro y escalenoedro tetragonal =
Romboedro y escalenoedro ditrigonal =
Bipirámide y prismas trigonal y ditrigonal =
X X
X X
X X
X
giro
inversión
X
X
giro
inversión
giro
inversión
Giro de 90º + inversión de 180º
POSICIÓN FINAL
1º 2º
3º 4º
4
4
19
Plano de simetría : ( o plano de reflexión m)
Los planos de simetría son planos ideales que dividen al cristal en dos mitades simétricas, es decir, que un punto cualquiera de ellas tiene su homólogo en la otra, sobre la perpendicular trazada desde el
punto al plano.
Cuando nos miramos en un espejo vemos nuestra imagen colocada simétricamente respecto a dicho
espejo. Podemos decir, entonces, que el espejo es un plano de simetría.
Tanto los planos de simetría como los ejes, pueden ser principales y secundarios.
Plano principal es el perpendicular a un eje principal de simetría.
Plano secundario, es todo plano perpendicular a un eje secundario.
.. Teorema de Euler : "En un cristal se pueden distinguir los elementos geométricos de todo poliedro: caras, aristas y vértices”. Estos están relacionados para cada poliedro por el Teorema de
Euler :
Caras + Vértices = Aristas + 2
20
Los elementos geométricos de simetría: centro, ejes y planos se simbolizan de la siguiente forma:
Ejes de rotación propios= E
Ejes de rotación impropios o de inversión= Ei
Ejes de rotación propios polares= Ep
Centro de simetría= c
Los planos se representan m ó P
3 P se "lee" tres planos, que serían perpendiculares al situarse debajo de los ejes
TABLA DE SÍMBOLOS DE LOS ELEMENTOS DE SIMETRÍA
Ejes binarios
Ejes ternarios
Ejes cuaternarios
Ejes senarios
3 P
Colocados de esta forma no son perpendiculars entre si
En este caso los ejes y los planos son perpendiculares
entre si
4 E3 , 3P
E6
E2
E3
E4
Ejemplo: 3 E4 se "lee" tres ejes cuaternarios
3 E4
21
4.3 Leyes cristalográficas:
Ley de Steno (constancia de los ángulos diedros): Existe un factor geométrico que es invariable para
cristales diferentes de la misma especie la misma, este es, el valor angular de dos caras contiguas de un
cristal. y se enuncia : "En cristales de la misma especie (ejemplares distintos), en igualdad de condiciones
de Tª y P , los ángulos diedros correspondientes son siempre iguales, siendo variables el número, la forma y el tamaño de las caras".
Lo que caracteriza y determina la especie cristalina es el valor de los ángulos que las caras forman entre si.
La medición de dichas caras se realiza con el goniómetro.
Para esta ley son datos accesorios el tamaño de los ejemplares, la forma de las caras y la extensión de caras y aristas, quedando como datos fundamentales los ángulos diedros.
A esta ley hay que añadir "siempre que se hayan originado en las mismas condiciones".
Ejes cristalográficos (o cruz axial)
Son líneas imaginarias que sirven para orientar los cristales. Los ejes cristalográficos deben de coincidir con las aristas reales o posibles del cristal o con ejes de
simetría. A veces estas direcciones pueden ser coincidentes.
Ley de Plinio: los cristales aparecen delimitados por caras planas y aristas rectilíneas.
Estructuralmente las caras de los cristales son planos reticulares, y las aristas coinciden con las
filas de nudos.
Ley de la constancia de los ángulos diedros
Hexágonos perfectos de distinto tamaño
- c
c
a
b - b
- a
Z (l)
X (h)
Y(k)
Hay tres ejes cristalográficos: 1. El eje "a" o eje anteroposterior que va de delante a atrás 2. El eje "b" o eje transverso que va de derecha a izquierda.
3. El eje "c" o eje vertical que va de arriba a abajo.
Como indica el dibujo la porción positiva es la de delante para el eje
"a", la de la derecha para el eje "b" y la de arriba para el eje "c"
22
Ley de Haüy (Ley de la racionalidad): “Las caras existentes o posibles de los cristales de una
materia mineral están ligadas entre si geométricamente por números racionales6 y sencillos”
Medidas realizadas sobre las aristas de los cristales condujeron a Haüy a enunciar la más importante
ley de cristalografía geométrica.
Se toman como ejes coordenados tres aristas de un cristal con vértice común en O. Una cara ABC
que corte a los ejes en A, B y C determinará unas distancias OA, OB, y OC. Igualmente, a otra cara
cualquiera A' B
' C
' , no paralela a ABC, le corresponderán OA
' OB
' y OC
'.
Las caras de un cristal cortan a los ejes cristalográficos (coordenados) a unas distancias que se
llaman parámetros. El valor de un parámetro puede ser positivo o negativo, según sea la zona de la
cruz axial donde quede situada dicha cara. Si establecemos :
la ley de la racionalidad dice: "Los números r1, r2 y r3 son racionales y generalmente sencillos"
De forma más explícita se la puede enunciar así: "Las caras existentes o posibles de los cristales de
una materia mineral están ligadas entre sí geométricamente por números racionales y sencillos".
La ley puede ser demostrada a partir de la teoría reticular. Volviendo a la figura no hay duda de que
OA contendrá un número m entero de Periodos de Identidad Unidad (PIU) y OA´ también poseerá
otro número entero n (PIU) ; por tanto:
será un número racional y lo mismo para las relaciones sobre los otros ejes.
A la ley de racionalidad se la llama también fundamental porque limita la simetría, las
combinaciones entre caras y, en general, muestra las propiedades más importantes de la materia
mineral.
6 El entero, decimal o quebrado, que puede expresarse como cociente exacto de dos números enteros (+ ó -)
A'
A O
B B'
C
C'
23
4.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) :
z (l)
x (h)
y (k) o
C
B A
(OA,OB,OC)
z´
y'
x'
1) PIRAMIDALES: La cara corta a los tres ejes
z (l)
x (h)
y (k)
x(h)
y (k)
z (l)
x (h)
y (k)
z (l)
o o o
B
C ( ,OB,OC) (OA, ,OC) (OA,OB, )
y'
x'
z' z'
y'
x'
y'
z'
x'
A
C
A
B
2) CARAS PRISMÁTICAS: La cara corta a dos ejes
z (l) z (l) z (l)
x (h) x (h) x (h)
y (k) y (k) y (k) y' y' y'
z' z' z'
o o o
A B
C (OA, )
( ,OB, ) ( , OC)
3) CARAS PINACOIDALES: La cara corta a un solo eje
24
Z
Y
X
- a3
-a1
a3
-a2
a1
a2
4.5. Sistemas cristalinos :
Sistema Cúbico :
Todos los cristales pertenecientes al sistema cúbico se refieren a tres ejes iguales perpendiculares entre
sí. Como estos tres ejes son intercambiables se acostumbra a designarlos con a1, a2 , a3, en lugar de a, b, c que se emplean para ejes no equivalentes.
El eje a1 está orientado de delante a atrás, el a2 de izquierda a derecha y el a3 es el eje vertical.
Constantes del sistema :
Parámetros a1 = a2 = a3
Ángulos = = = 90º
Cruz axial :
Relación áxica :
1 : 1 : 1
Holoedría: clases de simetría que poseen el
número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les
corresponde.
3E4 , 4E
3i , 6E
2
3P , / , 6P, c Ej.: Cubo, Octaedro....
Las formas se orientan con respecto al observador, de modo que el eje X sea anteroposterior, el eje Y
transversal y el Z vertical.
Los tres ejes son equivalentes, y por tanto, en las orientaciones pueden ocupar indistintamente estas posiciones, pero tomada una hay que poner mucha atención para el conocimiento de los símbolos, en
el orden de los índices.
El sistema cúbico se diferencia de los otros sistemas en varios aspectos. las cinco clases de este
sistema tienen 4E3 lo que no ocurre en ninguna de las otras 27 clases restantes. Hay 15 formas
cerradas, cada una de las cuales puede existir independientemente.
Es el único sistema que tiene más de un eje de simetría superior a 2 .
P C
Imposible
I F
Constituidas por redes planas cuadradas
25
a1
- a1
Z
Y
X
c
- a2
- c
a2
Sistema tetragonal :
Todos los cristales del sistema tetragonal pueden ser referidos a tres ejes perpendiculares entre sí, de los cuales, dos están en el plano horizontal, de igual magnitud intercambiable, llamados ejes a1 y a2. El
tercero es vertical o eje c y puede ser más largo o más corto que los ejes a.
La longitud del eje c es referida a la unidad de longitud del eje a, valor llamado relación áxica. Por ejemplo, si en la descripción de un mineral tetragonal se da el valor c = 0,895 esto quiere decir que la
unidad de longitud del eje c es 0,895 la unidad de longitud del eje a.
Constantes del sistema :
Parámetros : a1 = a2 ≠ c
Ángulos : = = = 90º
Cruz Axial :
Relación áxica :
1 : 1 : c/a a = 1
Holoedría :clases que poseen el número máximo
de elementos de simetría compatibles con el tipo
de red espacial que les corresponde.
E
4 , 2E
2 , 2E
´2
P , 2P, 2P2 , c
Ej.: Prisma tetragonal, Bipirámide tetragonal...
P C
Igual a I
F
Igual a I
I
Constituidas por redes planas cuadradas y rectangulares
26
Sistema hexagonal:
El sistema hexagonal se caracteriza por tener una cruz axial, con dos ejes horizontales que se cortan formando un ángulo de 120º permutables y un tercer eje perpendicular a ellos y desigual. Con estos
tres ejes quedan bien definidas las formas, pero con objeto de que caras análogas tengan notación
semejante se acostumbra utilizar un tercer eje que forme con los horizontales ángulos de 120º. De este modo las formas del sistema vienen referidas a cuatro ejes, de los cuales tres, a1, a2 y a3 son
horizontales. A partir de a1 hay que ir contando ángulos de 120º en dirección contraria a las agujas del
reloj, para encontrar la parte positiva de a2 y a3.
El eje c es desigual y vertical. Este sistema de ejes fue propuesto por Bravais y es generalmente aceptado.
Constantes del sistema: Parámetros :
a1 = a2 = a3 ≠ c
Ángulos:
Cruz axial :
Relación áxica :
1 : 1 : 1 : c/a
Holoedría : clases que poseen el número máximo de
elementos de simetría compatibles con el tipo de red
espacial que les corresponde.
E6 , 3E
2 , 3E'
2,
P , 3P , 3P' c
Ej.: Prisma Hexagonal, bipirámide...
a 3 a 1 1 2 0 0
a 2 a 3 1 2 0 0
a 1 a 2 1 2 0 0
a 1 a 2 a 3 c o n c 9 0 0
c
i
h
K
l
-a2
-a3
a2
a1
a3 -a1
- c
P
a 2
a 1
a 3
c
C I F
Imposible Imposible Imposible
Formadas por redes planas rectangulares y hexagonales
27
Sistema Trigonal - Romboédrico :
La cruz axial de este sistema es la misma que la del hexagonal y se refiere también a cuatro ejes
cristalográficos, si bien existe otra cruz axial romboédrica de Miller, en la cuál no se emplean más
que tres ejes que corresponden a las aristas del romboedro, que se cortan formando entre si ángulos iguales, pero distintos de 90º.
Constantes del sistema : Según Miller
Parámetros a1 = a2 = a3
Ángulos = = # 90º
Romboedro trigonal agudo : 57º 30'
Romboedro trigonal obtuso : 120º
Relación áxica :
1 : 1 : 1
Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les
corresponde.
E3i , 3E
2 ,
3P , c
Ej. : Romboedro trigonal agudo y obtuso....
R o P
C I F
Imposible Igual a R Igual a R
Formada por redes planas rómbicas
a2 a1
a3
28
Sistema Rómbico
Los cristales del sistema rómbico son referidos a tres ejes mutuamente perpendiculares, a, b, y c todos
ellos de diferente longitud.
El eje c es vertical, a y b son horizontales, siendo a el anteroposterior y b el transverso. Algunos cristalógrafos siguen el convenio c > b > a .
Todos ellos eligen la longitud del eje b como unidad y a ella refieren las longitudes de los otros dos
ejes.
Constantes del sistema :
Parámetros : a ≠ b ≠ c
Ángulos : = = = 90º
Cruz axial :
Relación áxica :
a/b : 1 : c/b b = unidad
Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red
espacial que les corresponde.
E
2 , E'
2 , E''
2
P , P' , P'' , c
Ej.: Prisma rómbico, bipirámide rómbica....
b
Y
a
c
- b
- c
- a
X
Z
P C I F
Formadas por redes planas rectangulares
29
Sistema Monoclínico:
Todos los cristales del sistema monoclínico son referidos a tres ejes desiguales a, b y c situados dos de
ellos en un plano vertical (c y a ) formando entre si un ángulo oblicuo y el tercero perpendicular al
plano que contiene los otros dos. *Los cristales se orientan de manera que el eje inclinado sea el a , dirigido de arriba abajo, hacia el
observador.
El eje horizontal transverso es el eje b y el vertical el c . El ángulo obtuso entre c y a se llama . En este sistema, la orientación real del cristal es cuestión de criterio, la dirección “b” está fijada pero
no las “a” y “c” . Dos cristalógrafos que examinan un cristal monoclínico pueden llegar a dos orientaciones diferentes, ambas posibles y lógicas.
Constantes del sistema :
Parámetros : a ≠ b ≠ c
Ángulos : = = 90º
≠ 90º
Cruz axial :
Relación áxica :
a/b : b : c/b b = 1
Holoedría : clases que poseen el número
máximo de elementos de simetría compatibles
con el tipo de red espacial que les corresponde.
E2
P , c Ej.: Prisma
c
- c
b -b
a
- a
P C I F
Igual a C Igual a C
Formadas por redes planas rectangulares y romboidales
30
Sistema Triclínico :
En el sistema triclínico los cristales se refieren a tres ejes cristalográficos de desigual longitud a , b y c
que forman ángulos oblicuos entre si.
*Como en los cristales triclínicos cada dirección es única, su orientación puede ser elegida libremente. Sin embargo, con la idea de adaptarse a las normas generales, algunos cristalógrafos siguen
actualmente algunas reglas generales. Por ejemplo, si en un cristal hay una zona de caras dominantes,
se toma el eje de zona como eje vertical o eje c. De ser posible, el pinacoide basal paralelo al plano de
los ejes a y b debe elegirse de modo que se incline a la derecha, hacia delante y hacia abajo.
El ángulo entre a y c que es llamado , debe ser obtuso y lo mismo el ángulo entre c y b.
El ángulo entre a y b se llama .
Constantes del sistema :
Parámetros : a ≠ b ≠ c
Ángulos : # # # 90º
Cruz axial :
c > b > a ó b > a > c
Relación áxica : según casos
Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red
espacial que les corresponde.
c (pinacoide)
c
b
-c
-b
a
-a
P
a
c
b
C I F
Igual a P Igual a P Igual a P
Formada por redes planas romboidales
31
4.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas)
La forma cristalina es el número y aspecto de las caras y su distribución con respecto a los elementos de
simetría del mismo. Las formas del sistema cúbico tienen nombres especiales.
Formas simples : Formada por caras equivalentes físicamente e igualmente orientadas.
.. Abiertas: Son caras equivalentes que no cierran espacio.
.. Cerradas: Son caras equivalentes que cierran espacio. Cuando un poliedro puede reconstruirse
totalmente a partir de una cara por aplicación sucesiva de los elementos de simetría.
Formas combinadas:
.. Combinadas de simples abiertas
.. Combinadas de simples cerradas
FORMAS SIMPLES
FORMAS COMBINADAS
Abiertas
Pedión Pinacoide Domo (plano) Pirámides Prismas
Esfenoide (eje)
Cerradas
Cubo Octaedro Rombododecaedro Escalenoedro Trapezoedro Romboedro Bipirámide
Biesfenoide
Combinadas de simples
abiertas para cerrar espacio
Prismas más pinacoides
Pirámides más pediones
Combinadas de simples cerradas
Cubo más tetraedro
Cubo más rombododecaedro
Cubo más trapezoedro
32
m
FORMAS SIMPLES ABIERTAS: caras equivalentes que no cierran espacio
Pedión Pinacoide Domo
Esfenoide Prisma Pirámide
FORMAS SIMPLES CERRADAS: caras equivalentes que cierran espacio
FORMAS COMBINADAS (de simples cerradas)
FORMAS COMBINADAS (de simples abiertas)
Escalenoedro
tetragonal
Trapezoedro
tetragonal
Biesfenoide rómbico
Cubo Octaedro
Deltoedro
Cubo + Octaedro
+ = prisma
Caras prismáticas + caras pinacoidales
33
4.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin
Análisis y significado de los símbolos en cada sistema
SISTEMA CÚBICO: a1, a2 y a3
Ej: 4/m 2/m
(111)
4/m
4/m
4/m
3
(110)
SISTEMA TETRAGONAL:
Ej:
4/m 2/m 2/m
La primera parte del símbolo se refiere al eje "c"
La segunda parte a los ejes a1 y a2 que son intercambiables
La tercera parte a un eje que biseca el ángulo de 90º entre los ejes a1 y a2
2/m
4/m
c
2/m
2/m 2/m
De los tres símbolos uno puede omitirse, bien porque corresponda a la identidad (o carencia
del operador de simetría) o bién porque se deduzca de la existencia de otros.
(100)(010)(001)
(001)
(001)
(100)(010)
(100)
(110)
(110) (010)
(111) (110) (011) (101)
a1
a2 a3
a3
a1
a1
La primera parte del símbolo se
refiere al eje principal de simetría,
es decir al eje: a1, a2 y a3
La segunda parte se refiere a un
eje coincidente con la diagonal del
cubo o normal a la cara (111).
Entre los vértices del cubo
La tercera a la línea que une puntos
medios de aristas opuestas
quedando orientadas normalmente a
las caras (110). Seis direcciones
entre las aristas de un cubo
34
SISTEMA HEXÁGONAL Y TRIGONAL :
Ej: 6/m 2/m
La primera parte del símbolo se
refiere al eje vertical "c"
La tercera a un eje que biseca el ángulo de 60º entre ejes "a"
adyacentes
SISTEMA RÓMBICO:
Ej: 2/m 2/m 2/m
La primera parte del símbolo se
refiere generalmente al eje "a" La segunda parte se refiere al eje "b" La tercera parte, de existir, al eje "c"
c
2/m 2/m
2/m
2/m
La segunda parte se refiere a cualquiera de los ejes a1 a2 y a3
que al ser iguales son
intercambiables
a
b
SISTEMA MONOCLÍNICO
SISTEMA TRICLÍNICO
Los símbolos se refieren al eje b (transverso) que es el único de este sistema que tiene una dirección inequívoca. El eje binario se toma como eje "b" y el plano de simetría (plano "a - c" )
es vertical
El símbolo para la clase pinacoidal corresponde a un eje de inversión rotatoria monaria que es lo mismo que un centro de simetría. Para la clase pedial se emplea un eje de simetría monario que es lo mismo que es lo mismo que ausencia de simetría.
(001)
Los ejes binarios coinciden con los ejes cristalográficos
La orientación de los elementos de simetría en dos clases del sistema hexagonal - trigonal no es directa. Estas son m2 ( 2m. La
localización de los ejes senario o ternario es simple. Sin embargo, la localización del siguiente elemento de simetría no es obvia.
En m2 el tercer símbolo (ejes de rotación binaria) coincide con las perpendiculares a: a1, a2 y a3, los m coinciden con estas
mismas direcciones. En 3m se localizan en direcciones perpendiculares a: a1, a2 y a3 . Las formas excepcionales son: Pirámide trigonal y ditrigonal; dipirámide trigonal y ditrigonal; prisma trigonal y ditrigonal.
m 2 ( 2 m) 6/m 2/m
2/m
2/m
2/m
2/m
2/m
a1
a2
a3
(100) (1 0)
(Excepciones m 2 ( 2 m) y 3m (su estereograma es igual
pero sin binarios y con eje ternario principal)
35
4.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría
Dentro de cada uno de los siete sistemas cristalinos existen poliedros con un mínimo y un máximo de elementos de simetría, en función de ellos se hace la siguiente clasificación:
HOLOEDRÍA : La constituyen aquellas clases que poseen el número máximo de elementos de simetría
compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. Esta clase tiene el número máximo de puntos de
posición general.
Siendo N = número de caras de la holoedría, en cada sistema tendríamos que : Hemiedría = N/2 tienen la mitad de las caras de dicha holoedría
Tetartoedría = N/4 tendrían un cuarto de las caras de la holoedría
y en un caso se llega a ogdoedros 1/8 de caras de la holoedría.
MEROEDRÍA: Cualquier clase que presente un número menor de simetría que la holoedría; (en general los poliedros no holoédricos se denominan meroedros).
Las clases que resultan de la combinación de un eje principal de rotación propia o impropia con un eje
binario o monario normal a él se denominan:
Hemiedrías: Estas pueden ser
.. Hemiedría paramórfica: Eje principal + centro de simetría 1
3;/6;/4;3;/2: mmmEj
.. Hemiedría hemimórfica: Eje principal + Eje binario de inversión perpendicular al primero = m
Poseen eje principal polar.
Cada forma se divide aquí en dos conjugadas, es decir, en dos formas especulares con relación al plano de simetría. Se denominan: positiva y negativa (o directa e inversa)
)2(2;3;6;4;34: mmmmmmmmmmEj
.. Hemiedría enantiomórfica: Eje principal + eje binario ordinario perpendicular al primero Estos poliedros son entre si como los cuerpos derechos e izquierdos (las manos por
ejemplo). Se diferencian pues en forma derecha e izquierda.
Ej.: 432; 422; 622; 32; 222
A las clases hemiédricas (con eje de inversión y que no se presentan en otro lugar, se las denomina
hemiedría de segunda especie o hemiedrías con eje de inversión.
Ej: mymmm )62(26;24
Añadiendo a cualquier hemiedría una operación que no haya sido añadida se obtiene la holoedría
Cuando un sistema queda definido por un mínimo de elementos de simetría se le denomina:
TETARTOEDRÍA
Son clases de simetría que poseen un solo eje como elemento de simetría. El eje característico de la
clase se denomina eje principal. Solo operan ejes
Ej: 23 (se “lee” dos tres), 4, 6, 3 y 2 (también se le incluye en la hemimorfía)(monoclínico).
A las clases 6y4 se denominan tetartoedría de 2ª especie o tetartoedros con ejes de inversión.
En las tetartoedrías en lugar de presentarse las formas holoédricas, lo hacen cuatro formas
conjugadas.
36
Algunas normas para la identificación de ejes de inversión en poliedros.
Sistemas con ejes de inversión
Sistema cúbico Tienen cuaternarios de inversión: Hexaquistetraedro, triaquistetraedro
triangular, triaquistetraedro trapezoidal y tetraedro.
Los ternarios son de inversión en todas las clases excepto en la giroédrica
y tetartoédrica que son de rotación normal. Sistema tetragonal Tienen cuaternarios de inversión: escalenoedros y biesfenoides Sistema hexagonal Tienen senarios de inversión = 3 + m Bipirámide ditrigonal, bipirámide
trigonal, prisma ditrigonal y prisma trigonal Sistema romboédrico Tienen ternario de inversión: escalenoedro ditrigonal, romboedro trigonal
(agudo y obtuso)
Inversión con centro de simetría: solo los ternarios de inversión tienen centro de simetría porque
la primera operación del eje de inversión coincide con la forma inicial y al invertirse 180º tienen paralelismo
entre todas sus caras.
= m. No se aplican porque equivalen a m
= Tiene centro de simetría. La posición intermedia de la cara (o motivo) coincide con la inicial, en forma y posición, por lo tanto, al producirse la inversión habrá paralelismo y centro de simetría. Ej. Cubo, octaedro, diploedro, piritoedro, escalenoedro ditrigonal, romboedro. Todos ellos tienen centro de simetría y operando se cierra el espacio cristalino. Alternan cara arriba y abajo (6)
= Sin centro de simetría.
La posición intermedia de la cara (o motivo), no coincide con la inicial, y por tanto, no puede haber paralelismo ni centro de simetría. Ej. Tetraedro, hexaquistetraedro, biesfenoide tetragonal, escalenoedro tetragonal. (alternan cara arriba y abajo) (4). Operando cierran espacio
= Sin centro de simetría = 3 + m. Al ser un giro de 60º la posición intermedia cae en la arista divisora de las caras que forman120º y por lo tanto, después de la inversión no hay paraleleismo. Ej. Bipirámide ditrigonal, bipirámide trigonal. Operando cierran espacio.
Existen figuras poliédricas que aparentemente tienen ejes de inversión pero que sin embargo no cumplen con las condiciones: Trapezoedro tetragonal, trapezoedro hexagonal, trapezoedro trigonal Al realizar la primera operación la cara cae en la misma posición que la inicial pero al invertirse deberia tener paralelismo y centro de simetría y no es así, además el trapezoedro tetragonal debería cerrar espacio y no es posible (cuaternario de inversión : dos arriba y dos abajo). Lo mismo se puede decir del trapezoedro hexagonal. Las bipirámides hexagonales y tetragonales no tienen senario de inversión o cuaternario de inversión porque no cerrarían espacio, quedarian incompletas. (comprobarlo en la proyección estereográfica)
37
4.9. EJERCICIO PRÁCTICO 1: Determinación del sistema
cristalino y elementos de simetría de los poliedros.
Material: POLIEDROS y libro de teoría
Para determinar el sistema cristalino al que pertenecen los diferentes poliedros debes conocer las
constantes cristalográficas de los sistemas cristalinos (parámetros y ángulos) y además debes de
tener en cuenta que los ejes cristalográficos deben de coincidir con las aristas reales o posibles del
cristal o con ejes de simetría.
Para la identificación y cuantificación de los elementos de simetría de cada poliedro es
imprescindible la manipulación de los mismos.
Hay algunos poliedros que no necesitan averiguaciones dada su evidencia como, por ejemplo, el
cubo y octaedro (sistema cúbico), pero hay poliedros que necesitan algunas orientaciones para
determinar su sistema. Para ello te servirás de las tablas que verás a continuación para localizar los
ejes cristalográficos y sus ángulos y así poder determinar su sistema. (páginas 38 a 41).
Los sistemas cristalinos también pueden identificarse por algún elemento de su simetría
característica. (tabla página 42)
Una vez hayas determinado el sistema al que pertenece deberás buscar todos los elementos de
simetría posibles y de esta manera comprobar a que clase de simetría pertenece dentro de dicho
sistema. Todo esto podrás comprobarlo en todos los poliedros que tienes dibujados en las páginas
sucesivas. Los polos y las notaciones que aparecen en cada poliedro aprenderás a deducirlos
cuando hayamos estudiado los apartados correspondientes.
Practica con el mayor número de poliedros posibles. Algunos presentan más dificultad que otros.
Comienza con el sistema cúbico (la mayoría tienden a la esfericidad dado que sus parámetros son
iguales).
Puedes comenzar por el cubo, prisma tetragonal, prisma hexagonal, romboedro, prisma rómbico,
prisma monoclínico y prisma triclínico.
ESTUDIO CON POLIEDROS
38
4.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema
Para estudiar el cristal hay que orientarlo en el espacio, utilizando un sistema de tres ejes cristalográficos, no
coplanarios, que deben coincidir, de ser posible con ejes de simetría.
SISTEMA TRICLÍNICO
Poliedro
Posición ejes
Orientación del poliedro
según:
1. "Bipirámide" triclínica
Eje vertical "c " de vértice a vértice Según dichos vértices (libre
orientación, ya que cada
dirección es única)
a - c =
2. Prisma triclínico
(combinación de pinacoides)
Eje vertical "c " de pinacoide a pinacoide
Libre orientación, ya que
cada dirección es única.
a - c =
SISTEMA MONOCLÍNICO
Poliedro
Posición ejes
Orientación del poliedro
según:
3. Bipirámide monoclínica Eje vertical " c " de vértice a vértice
Eje "a " según plano de simetría
Eje " b " vértice - vértice (E2)
Posición a -
4. Prisma monoclínico Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal
Eje " b" de arista a arista prismática (E2)
Eje " a " de arista a arista (plano)
Posición a -
SISTEMA RÓMBICO
Poliedro
Posición ejes
Orientación del poliedro
según:
5. Bipirámide rómbica (de base rectangular) (de base rómbica) (todos de vértice a vértice)
Eje vertical " c " de vértice a vértice (E2)
Eje " a " de arista a arista (E2)
Eje " b " de arista a arista (E2)
Eje c
6. Prisma rómbico (de pinacoides rómbicos)
(de pinacoides rectangulares)
(todos de cara a cara)
Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal (E2)
Eje " a " de arista a arista prismática (E2)
Eje " b " de arista a arista prismática (E2)
Eje c
7. Biesfenoide rómbico Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal (E2)
Eje " a " de arista a arista (E2)
Eje " b " de arista a arista (E2)
Eje c
8. Pirámide rómbica
Eje vertical " c " de vértice a centro pedión
Eje " a " de arista a arista (base)
Eje " b " de arista a arista
Eje c
ESTUDIO CON POLIEDROS
39
SISTEMA TETRAGONAL
Poliedro
Posición ejes
Orientación del poliedro según:
9. Prisma tetragonal Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal
Eje a1 y a2 de arista a arista
o bien cara a cara los tres ejes. (E2)
Eje principal 4
10. Prisma ditetragonal Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal
Eje a1 y a2 de arista a arista (E2)
o bien de cara a cara (E2)
Eje principal 4
11. Bipirámide ditetragonal Eje vertical " c " de vértice a vértice (E4)
Eje a1 y a2 de v a v o´ v´ a v´ (E2)
Eje principal 4
12. Trapezoedro tetragonal Eje vertical "c" de vértice a vértice
Eje a1 y a2 de arista a arista (E2)
Eje principal 4
13. Bipirámide tetragonal Eje vertical "c" de vértice a vértice
Eje a1 y a2 de vértice a vértice o de arista a
arista (E2).
Eje principal 4
14. Biesfenoedro tetragonal
Eje vertical "c" de arista a arista
Eje a1 y a2 de arista a arista (E2).
Eje principal: no tienen centro de
simetría porque en las operaciones no se llega a
la posición de partida y por lo tanto no tienen
caras paralelas
15. Escalenoedro tetragonal Eje vertical "c" de vértice a vértice
Eje a1 y a2 de arista a arista (E2). Eje principal: no tienen centro de simetría
porque en las operaciones no se llega a la
posición de partida y por lo tanto no tienen caras
paralelas
16. Pirámide ditetragonal Eje vertical "c" de vértice a cara de pedión.
Eje a1 y a2 según planos de simetría.
Eje principal 4
17. Pirámide tetragonal
Eje vertical "c" de vértice a centro pedión.
Eje a1 y a2 de vértice a vértice del pedión o de arista a arista de la base.
Eje principal 4
SISTEMA ROMBOÉDRICO
Poliedro
Posición ejes
Orientación del poliedro según:
18. Escalenoedro ditrigonal
Eje vertical "c" de vértice a vértice
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2).
De vértice a vértice no hay elementos de simetría
Eje: tienen centro de simetría porque en
las operaciones se llega a la posición de partida
y al invertirse 180º hay paralelismo de caras.
19. Trapezoedro trigonal
Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E
2)
De vértice a vértice no hay elementos de simetría
Eje principal 3
20. Romboedro trigonal
obtuso
Eje vertical "c " de vértice a vértice
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2)
Eje : tienen centro de simetría porque en las
operaciones se llega a la posición de partida y al
invertirse 180º hay paralelismo de caras.
21. Romboedro trigonal
agudo
Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E
2)
Eje: tienen centro de simetría porque en las
operaciones se llega a la posición de partida y al
invertirse 180º hay paralelismo de caras.
22. Pirámide trigonal
3m Posición especial estereográfica: planos perpendiculares a a1, a2 y a3
Eje vertical "c " de vértice a pedión
Ejes a1, a2 y a3 según planos de simetría
Eje principal 3
23. Pirámide ditrigonal
3m Posición especial estereográfica: planos perpendiculares a a1, a2 y
a3
Eje vertical "c" de vértice a centro pedión
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la
base, según planos de simetría
Eje principal 3
ESTUDIO CON POLIEDROS
40
SISTEMA HEXAGONAL * Las bipirámides son hexagonales
Poliedro
Posición ejes
Orientación del poliedro
según:
24. Bipirámide dihexagonal Eje vertical "c " de vértice a vértice.
Ejes a1, a2 y a3 de v a v o de v a v (E2)
Eje principal 6
25. Prisma dihexagonal
Eje vertical "c " de pinacoide a pinacoide Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E
2) o
según a´- a (E´2)
Eje principal 6
26. Bipirámide hexagonal
Eje vertical "c " de vértice a vértice
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E2) o
de arista a arista (E2)
Eje principal 6
27. Trapezoedro hexagonal
Eje vertical "c " de vértice a vértice
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2) o de
a - a (E´2).
De vértice a vértice no hay ejes de simetría
Eje principal 6
28. Prisma hexagonal
Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2) o de
cara a cara (E2).
Eje principal 6
29. Bipirámide ditrigonal
m2
Eje vertical "c " de vértice a vértice
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E2)
Posición especial estereográfica: binarios
perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3
Eje : no tienen centro de
simetría 3 + m, no existen
caras paralelas
30. Prisma ditrigonal
m2 y 3m
Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2)
Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3
Eje :no tienen centro de
simetría 3 + m, no existen
caras paralelas
31. Bipirámide trigonal
m2
Eje vertical "c " de vértice a vértice
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a centro arista (E
2)
Posición especial estereográfica: binarios
perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3
Eje : no tienen centro
de simetría 3 + m, no
existen caras paralelas
32. Prisma trigonal
m2 y 3m
Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal
Ejes a1, a2 y a3 de arista a centro cara (E2)
Posición especial estereográfica: binarios
perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3
Eje : no tienen centro de
simetría 3 + m, no existen
caras paralelas
33. Pirámide dihexagonal
Eje vertical "c " de vértice a pedión
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la base del pedión; según planos de simetría o
de v a v´
Eje principal 6
34. Pirámide hexagonal
Eje vertical "c " de vértice a pedión Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la
base; según planos de simetría o de arista a
arista.
Eje principal 6
ESTUDIO CON POLIEDROS
41
SISTEMA CÚBICO
Poliedro
Posición ejes
Orientación del poliedro
según:
35. Cubo o hexaedro
Ejes a1, a2 y a3 de cara a cara (E4)
De arista a arista no porque el eje es distinto
Eje principal 4
36. Octaedro
Ejes a1, a2 y a3 De arista a arista no
porque coge diferentes ejes de simetría y
dimensiones. (E4)
Eje principal 4
37. Rombododecaedro
(Dodecaedro)
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4) Eje principal 4
38. Tetraquishexaedro
(cubo piramidado)
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4) Eje principal 4
39. Trapezoedro
( triaquisoctaedro tetragonal)
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4) Eje principal 4
40. Triaquisoctaedro
(octaedro piramidado) (triaquisoctaedro trigonal)
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4)
Eje principal 4
41. Hexaquisoctaedro
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4) Eje principal 4
42. Giroedro
(triaquisoctaedro pentagonal)
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E
4)
Eje principal 4
43. Tetraedro
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista
De vértice a centro de cara no forman 90º
Eje principal
44. Triaquistetraedro
(triaquistetraedro trigonal)
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista
De v a v no forman 90º Eje principal
45. Deltoedro
[dodecaedro trapezoidal (deltoide)] [triaquistetraedro trapezoidal (tetragonal)]
Ejes a1, a2 y a3 de mitad de arista con
vértice a mitad de arista con vértice.
De v a v no forman 90º
Eje principal
46. Hexaquistetraedro
Ejes a1, a2 y a3 de mitad de arista con vértice a mitad de arista con vértice
De v a v no forman 90º
Eje principal
47. Piritoedro (Dodecaedro pentagonal)
(Pentadodecaedro)
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista
Eje principal 2
48. Diploedro
(disdodecaedro)
Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice Eje principal 2
49. Tetartoedro
(triaquistetraedro pentagonal)
Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2) Eje principal 2
ESTUDIO CON POLIEDROS
42
4.9.2. Simetría característica de cada sistema
Clases cristalinas
Hermann - Mauguin
Sistema
Simetría característica
Posiciones de los ejes según Hermann -
Mauguin
1,
Triclínico
Solo simetría monaria
(inversión o identidad)
Por su baja simetría no
hay restricciones cristalográficas.
2, m, 2/m
Monoclínico
Solo un eje de rotación binaria y / o
un plano de simetría (= )
El eje binario se toma como eje b y el plano de
simetría (plano a - c ) es
vertical
222, mm2,
2/m 2/m 2/m (siempre tres símbolos)
Rómbico
Tres direcciones mutuamente perpendiculares alrededor de las
cuales hay simetría binaria (2 ó m).
Tres ejes binarios o un eje binario y
dos planos (= )
Los símbolos se refieren a
los elementos de simetría
en el orden a, b c; los ejes binarios coinciden con los
ejes cristalográficos.
4, , 4/m, 422, 4mm, 2m,
4/m 2/m 2/m
Tetragonal
El eje principal siempre es un eje
cuaternario o cuaternario de
inversión..
Los ejes cuaternarios se
refieren al eje c; el segundo símbolo, si lo
hay, se refiere a las
direcciones axiales (a1 y a2); el tercer símbolo, si lo
hay, a las direcciones 45º
con respecto a a1 y a2.
6, , 6/m, 622,
6mm, m2, 6/m 2/m 2/m
Hexagonal
Un eje senario o un eje de inversión
senario
El primer símbolo se
refiere al eje c; el segundo
y el tercer símbolo, si los
hay, se refieren respectivamente a los
elementos de simetría
paralelos y perpendiculares a los ejes
cristalográficos a1, a2 y
a3.
*Excepciones las clases:
3m y m2
3, , 32, 3m,
2/m
Romboédrico
Un eje ternario o un eje ternario de
inversión (siempre en el eje c)
23, 2/m , 432,
3m, 4/m 2/m
Cúbico
Cuatro ejes ternarios inclinados cada
54º 44´ respecto a los ejes cristalográficos
El eje ternario siempre aparece en la
segunda posición y además nunca
tienen planos perpendiculares a
ellos.
SISTEMA CÚBICO
43
4.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros
Holoedría: 4/m 2/m
3 ejes cuaternarios 4 ejes ternarios de inversión
6 binarios 9 planos centro de simetría
3E4 , 4Ei3 , 6E2
3P 6P
c
(con centro de simetría y plano m)
Hexaquisoctaedro
321 231
48 caras
(triángulos escalenos)
Polo 1
(hkl)
Clase hexaquisoctaédrica
Trioctaedro
221
122 212
(octaedro piramidado)
24 caras
triángulos isósceles
Polo 3
(hhl)
211
Trapezoedro
Polo 2
24 caras
trapezoidales
(hkk) (hll) 211
Tetraquishexaedro o cubo piramidado
210 120
021
24 caras (triángulos isósceles)
Polo 4
(hk0)
Octaedro
111
8 caras
Polo 5
(triángulos equiláteros)
(111)
Rombododecaedro
110
12 caras (en forma de rombos)
Polo 6
(110)
Cubo
100
001
010
6 caras
Polo 7
(cuadrados)
(100)
121
SISTEMA CÚBICO
44
Hemiedría Hemimórfica 3m (sin centro)
3 cuaternarios de inversión
4 ternarios
6 planos
3E4i , 4E3
p , 6P
(sin centro de simetría y sin plano m)
(Clase hexaquistetraédrica)
Hexaquistetraedro
132
231 321
123 213
312
24 caras
Polo 1
(triángulos escalenos)
(hkl) + y -
Triaquistetraedro triangular (trigonal)
112
121 211
12 caras (triángulos isósceles)
Polo 2
(hkk) + y -
Deltoedro
221
212 122
(dodecaedro trapezoidal)
12 caras
(trapezoidales)
Polo 3
(hll) + y -
(triaquistetraedro trapezoidal)
Polos 4 y 5 iguales a los de la
holoedría
Tetraedro
111
4 caras
(triángulos equiláteros)
Polo 6
(111) + y - Polo 7 igual al de la
holoedría
SISTEMA CÚBICO
45
3 ejes binarios
4 ejes ternarios
Triaquistetraedro pentagonal tetartoédrico
Tetartoedro
12 caras (pentágonos asimétricos)
4E3p 3E2
(sin centro de simetría y sin plano m)
3 ejes cuaternarios
4 ejes ternarios 6 binarios
3E4 4E3 6E2
(sin centro de simetría y sin plano m )
Hemiedría enantiomórfica 432
(Clase giroédrica)
3 ejes binarios
4 ejes ternarios 3 planos centro
3E2 4E3i
3P c
(con centro de simetría y plano m)
Hemiedría Paramórfica 2/m
(Clase diploédrica)
Diploedro (Disdodecaedro)
hkl = 321
24 caras
Polo 1
(trapezoides)
(hkl) izq. dcha
Polos 2, 3, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero con menor simetría
Polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a los de la holoedría pero con menor simetría
(pentágonos no regulares)
12 caras
Piritoedro (Dodecaedro pentagonal) (dihexaedro)
hk0
Polo 4
(4 iguales y uno desigual)
(hk0) izqu. dcha
Giroedro (Triaquisoctaedro pentagonal)
24 caras
Polo 1
(pentágonos no regulares)
(hkl) izqu. dcha
Tetartoedría 2 3 (sin centro)
(clase tetartoédrica)
Polo 1
(khl)
SISTEMA TETRAGONAL
46
Holoedría 4/m 2/m 2/m
1 eje cuaternario
4 ejes binarios 5 planos centro de simetría
E4 2E2 2E´2
P 2P 2P´ c
(con centro de simetría y plano m)
(Clase bipiramidal ditetragonal)
(hkl)
Bipirámide ditetragonal
Polo1
16 caras
(triángulos escalenos)
Prisma ditetragonal (hk0)
Polo 4
(hk0) 110
Prisma tetragonal de 2º y 1er
orden
Polo 5 y 6
(110) y (100)
2ª y 1º orden
Polo 7
Pinacoide base (001)
(001)
1 eje cuaternario de inversión 2 ejes binarios
2 planos
Ei4 , 2E2 , 2P
(sin centro de simetría y sin plano m)
Bipirámide tetragonal de 2º y 1
er orden
Polo 2 y 3
8 caras (triángulos isósceles)
(hhl) y (h0l) 2º y 1º orden
Polos 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría
Hemiedría de 2ª especie 2m
(Clase escalenoédrica tetragonal)
Escalenoedro tetragonal
Polo 1
8 caras (triángulos escalenos)
(hkl)
+ y -
Biesfenoide tetragonal 2º orden
Polo 2
4 caras
(triángulos isósceles)
(hhl) + y -
SISTEMA TETRAGONAL
47
Hemiedría hemimórfica 4mm
Hemiedría paramórfica 4/m
1 eje cuaternario 1 plano
centro de simetría
Bipirámide tetragonal 3º orden
8 caras (triángulos isósceles)
E4, P, c
(con centro de simetría y plano m)
Pirámide tetragonal 2º orden y 1º orden
Se repite de la holoedría pero en otra posición y con menor número de
elementos de simetría
Los demás polos son iguales a la holoedría pero con menor número de elementos de simetría
1 eje cuaternario
4 planos
E4p 2P´ 2P
(sin centro de simetría y sin
plano m)
1 eje cuaternario
4 ejes binarios
E4 2E2
(sin centro de simetría y sin plano m)
Hemiedría enantiomórfica 422
(Clase trapezoédrica tetragonal)
(Clase piramidal ditetragonal)
Pirámide ditetragonal
8 caras (triángulos escalenos)
Polo 1
(hkl)
Polos 2 y 3
(hhl) y (h0l)
2º y 3º orden Polo 7 (001) Pedión
Se repiten formas de la holoedría
Trapezoedro tetragonal
8 caras (trapezoides) izquierda y derecha
Polo 1
(hkl) izqu.
(khl) dcha
(Clase bipiramidal tetragonal)
Polo 1
(hkl) izqu.
(khl) dcha. 110
Prisma tetragonal 3º orden
Polo 4
(hko) izqu.
(kh0) dcha
2E´2
SISTEMA TETRAGONAL
48
Pirámide tetragonal
Tetartoedría de 2ª especie
Tetartoedría de 1ª especie 4
1 eje cuaternario de inversión
Biesfenoide tetragonal
1 eje cuaternario polar
4 caras (triángulos isósceles)
Polo 1, 2 y 3 = 3º, 2º y 1er orden
Polo 1 E4p
E4 i
(sin centro de simetría y
sin plano m)
(sin centro de simetría y
sin plano m)
Se repite de la hemiedría, en otra posición y con menos simetría
Se repite de la 4mm en otra posición y con menos simetría
(Clase biesfenoidal tetragonal)
(Clase piramidal tetragonal)
(hkl)
El resto de los polos dan formas
iguales a la holoedría
SISTEMA HEXAGONAL
49
Bipirámide dihexagonal
Polo 1
Prisma dihexagonal
Polo 4
Pinacoide hexagonal
(0001)
Polo 7
1 eje senario
6 ejes binarios 7 planos centro de simetría
E6, 3E2, 3E´2
P, 3P, 3P´ c
(con centro de simetría
y con plano m
Holoedría 6/m 2/m 2/m
(Clase bipiramidal dihexagonal)
Polo 5 y 6
Prisma hexagonal
1er
y 2º orden
Polo 2 y 3
Bipirámide hexagonal
( 1er orden
(
( 2º orden (
( y
SISTEMA HEXAGONAL
50
1 eje senario 6 planos
Pirámide dihexagonal
Polo 1 Polo 2 y 3
E6p 3P 3P´
(sin centro de simetría y
sin plano m)
Pirámide hexagonal
Trapezoedro hexagonal
Hemiedría enantiomórfica 622
1 eje senario
6 binarios Polo 1
E6 3E2 3E'2
(sin centro de simetría y sin plano m)
1 senario de inversión = ternario rotación 3 binarios 4 planos
(sin centro de simetría pero con plano m)
Bipirámide trigonal
3 + P
Hemiedría de 2ª especie m2 = 2m (HM)
(Clase bipiramidal ditrigonal)
Prisma ditrigonal
Bipirámide ditrigonal
(+ y -)
Polo 1
Polo 4
(+ y -)
Polo 2
1er
orden
Prisma trigonal
Polo 5
(+ y -)
1er
orden
Polos 3, 6 y 7 igual a la holoedría
Hemiedría hemimórfica 6mm
(Clase piramidal dihexagonal)
y
1er
y 2º orden
Polo 7 pedión
(ClaseTrapezoédrica hexagonal)
(dcho e izqui.)
Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero
con menor simetría
E6i, 3E2, 3P
P
SISTEMA HEXAGONAL
51
Tetartoedría 6
Tetartoedría de 2ª especie = 3/m
Bipirámide trigonal
1 eje senario de inversión 1 plano Polo 1 y 3
Pirámide hexagonal 3er
orden
Polo 1 1 eje senario polar
E6i = 3 + P
(sin centro de simetría pero con
plano ecuatorial m)
E6p
(sin centro de simetría y sin
plano m)
Se repite de clases anteriores pero con menor simetría
Se repite de la clase 6mm pero con menor simetría
Hemiedría paramórfica 6/m
1 eje senario 1 plano centro de simetría
E6
P c
(con centro de simetría y con plano m)
Se repiten con otra orientación pero con menor simetría que en la holoedría
(Clase bipiramidal hexagonal)
Bipirámide hexagonal
Polo 1
(dcho e izqu.)
3er
orden
Polo 4
Prisma hexagonal
3er
orden
(Clase piramidal hexagonal)
(Clase Bipiramidal trigonal)
Prisma trigonal
Polo 4 y 6
3er
y 2º orden 3
er y 2º orden
TRIGONAL - ROMBOÉDRICO
52
Pirámide ditrigonal
Escalenoedro ditrigonal
Hemiedría hemimórfica 3m
Polo 1
Polo 2
+ y -
1 eje ternario
3 planos
Polo 1
E3p 3P
(con centro de simetría y sin plano m)
(sin centro de simetría y sin plano m)
Pirámide trigonal de 1º orden
Romboedro trigonal 1er
orden
E3i 3E2
3P c
Polo 3 Bipirámide hexagonal 2º orden
Polo 4 Prisma dihexagonal
Polo 5 y 6 Prisma hexagonal 1º y 2º orden
Polo 7 Pinacoides
Holoedría 2/m = m
(Clase Escalenoédrica ditrigonal)
+ y -
(Clase piramidal ditrigonal)
+ y -
sup. e inf.
Polo 2
Polo 3 Pirámide hexagonal de 2º orden
Polo 4 Prisma ditrigonal
Polo 5 Prisma trigonal 1º orden
Polo 6 igual holoedría
polo 7 Pedión
+ y -
sup. e inf.
1 eje ternario de inversión 3 binarios 3 planos centro de simetría
TRIGONAL - ROMBOÉDRICO
53
Pirámide trigonal 3º orden
Romboedro trigonal 3º orden
Hemiedría paramórfica
Tetartoedría 3
1 eje ternario de inversión
1 eje ternario polar
E3i
(con centro de simetría y sin plano m)
E 3
p
(sin centro de simetría y sin plano m)
c
Se repite de la holoedría pero con menor simetría
Se repite de la clase 3m pero con menor simetría
Trapezoedro trigonal
Hemiedría enantiomórfica 3 2
1 eje ternario 3 binarios
Polo 1
E3 3E2
(sin centro de simetría y sin plano m)
(Clase trapezoédrica trigonal)
+ y -
dcho. e izqu.
Polo 3 Bipirámide trigonal de 2º orden
Polo 6 Prisma trigonal de 2º orden Polo 2, 4, 5 y 7 = a la holoedría
(Clase romboédrica)
Polo 1
+ y -
dcha. e izqu.
Polo 3 Romboedro trigonal 2º orden
Polo 4 Prisma hexagonal 3º orden
Polo 2, 5, 6 y 7 = holoedría
(Clase piramidal trigonal)
Polo 1
Polo 2 y 3 Pirámide trigonal 2º orden
Polo 4 Pirámide trigonal 3º orden
Polo 7 Pedión superior e inferior
centro de simetría
RÓMBICO
54
Bipirámide rómbica
Holoedría 2/m 2/m 2/m
3 ejes binarios 3 planos centro de simetría
Polo 1
Pinacoide (010) Pinacoide (100)
Prisma (0kl)
0kl
Prisma (h0l)
h0l
Prisma (hk0)
hk0
Polo 2 Polo 3
Polo 4 Polo 5 Polo 6
Primera especie 2º especie
3ª especie 1º orden 2º orden
E2 E'2 E"2
P P´ P´´
c (con centro de simetría y plano ecuatorial m)
(Clase Bipiramidal rómbica)
(hkl)
hkl
(0kl) (h0l)
(hk0) (100) (010)
3º orden Pinacoide (001)
Polo 7
(001)
RÓMBICO
55
1 binario 2 planos
E2 2P
(sin centro de simetría y sin plano m)
Biesfenoide rómbico
3 binarios
E2 E'2 E"2
(sin centro de simetría y sin plano m)
Hemiedría enantiomórfica 222
(Clase piramidal rómbica)
Hemiedría hemimórfica 2mm = mm2 (HM)
(Clase piramidal rómbica)
Pirámide rómbica
Polo 1
(hkl) sup. e inf.
Polo 4 prisma de 3ª especie
Polo 5 Pinacoide 1º orden
Polo 6 Pinacoide 2º orden
Polo 7 Pedión
Polo 1
Domo (0kl)
Polo 2
1ª especie
(0kl)
Domo (h0l)
Polo 3
2ª especie
(h0l)
(hkl)
dcho. e izqu.
Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 iguales a la
holoedría
MONOCLÍNICO
56
Diedro axial o esfenoide
Pinacoide (100) Prisma (hkl) 4ª especie
Hemiedría 2
Prisma (hk0) 3ª especie
1 eje binario 1 plano centro de simetría
1 eje binario polar
Polo 1 Polo 4
Polo 5
Pinacoide (010) 2º orden
Polo 6
Pinacoide (001) 3º orden
Polo 7
E2c P (con centro de simetría y sin plano m)
E2p
(sin centro de simetría y sin plano m)
Diedro anaxial o domo
Hemimorfía de 2ª especie m
1 plano
P (sin centro de simetría y sin plano m)
Holoedría 2/m
(Clase Prismática)
Polo 1 Domo de 4ª especie
Polo 1 Esfenoide 4ª especie
Polo 2 Esfenoide 1ª especie
Polo 4 Esfenoide 3ª especie
Polo 6 Pedión 2º orden
Polo 7 Pinacoide 3º orden
(Clase esfenoídica)
Polo 2 Domo de 1ª especie
Polo 3 Pedión de 2ª especie
Polo 4 Domo de 3ª especie
Polo 5 Pedión de 1º orden
Polo 6 = holoedría
Polo 7 Pedión de 3º orden
Polo 3 y 5 = holoedría
(Clase domática)
Polo 2 prisma 1ª especie
Polo 3 Pinacoide 2ª especie
TRICLÍNICO
57
Pedión
Pinacoide (hk0) 3ª especie Pinacoide (010) 2º orden
Pinacoide (001) 3º orden
Pinacoide (hkl)
Combinación de pinacoides triclínicos
Bipirámide triclínica
Prisma triclínico
Pinacoide (100) 1º orden
Pinacoide (h0l)
Holoedría
Hemiedría 1
Polo 1
Pinacoide (0kl)1ª especie
Polo 2 Polo 3
Polo 4 Polo 5 Polo 6
Polo 7
centro de simetría
4ª especie 2ª especie
c
Simetría: nada (Clase pedial)
Polo 1 Pedión de 4ª especie Polo 2 Pedión de 1ª especie
Polo 3 Pedión de 2ª especie
Polo 4 Pedión de 3ª especie
Polo 5 Pedión de 1º orden
Polo 6 Pedión de 2º orden
Polo 7 pedión de 3º orden
(Clase pinacoidal)
58
5) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
5.1. Definición y propiedades
Dado el carácter tridimensional de los cristales, para su mejor representación se usan proyecciones de tal
manera que se conserven al máximo las constantes angulares y la simetría. Entre las diferentes proyecciones que pueden utilizarse, vamos a estudiar y trabajar con la proyección
estereográfica que utiliza la siguiente metodología:
Suponemos un cristal en el centro de una esfera de radio arbitrario. Se trazan las normales a las caras del
cristal que se prolongarán hasta que intercedan con la superficie de la esfera, en unos puntos llamados
POLOS. Como los polos hay que representarlos sobre un plano, se elige como plano de proyección el plano
ecuatorial de la esfera.
Como puntos de vista se utilizan el polo sur para las caras situadas en el hemisferio norte y el polo norte para las caras situadas en el hemisferio sur.
Los puntos de proyección sobre el plano ecuatorial se obtienen de las intersecciones de las normales de las
caras del cristal hacia la superficie de la esfera.
Propiedades de la proyección estereográfica:
1. Cada cara tiene un polo 2. Todas las caras del cristal proyectado serán puntos o polos.
3. Los polos de las caras de una misma zona están en círculos máximos.
4. Los ángulos diedros del cristal aparecen en la proyección como sus suplementos, es decir, los ángulos que forman las caras corresponden a los lados.
5. La proyección de una circunferencia es otra circunferencia.
6. El ángulo de dos curvas se proyecta en su verdadero valor. 7. Si los planos de simetría son perpendiculares al plano de proyección se representa por una recta.
8. Si el plano es horizontal, como coincide con el plano de proyección se representa por una línea continua.
9. Los planos de simetría oblicuos del sistema cúbico se proyectan como diámetros del círculo de
proyección.
x x
x x
centro de la cara
x Proyección de una cara del hemisferio
superior en el plano ecuatorial
Proyección de una cara del hemisferio
inferior en el plano ecuatorial
Polo sur
Polo norte
59
5.2. Tabla de símbolos estereográficos
= m
x
x
Ejes de rotación normal (propios)
Polares: las caras son diferentes en uno y otro extremo del eje o solo hay en un lado
1 monario 2 binario 3 ternario 4 cuaternario 6 senario
Bipolares: las caras son iguales en ambos extremos
Ejes de inversión (impropios)
= C
3/m
nos indica la presencia de planos de simetría
líneas de referencia
presencia de ejes del orden que indican
Presencia de planos de simetría inclinados
líneas de referencia inclinadas
ejes del orden que indican, pero inclinados en la proyección
polo que representa una cara en el hemisferio superior o en la circunferencia fundamental
polo que representa una cara en el hemisferio inferior
polos que representan dos caras simétricas, una en cada hemisferio
m = plano de simetría
. circunferencia fundamental con
plano ecuatorial perpendicular
al eje principal
circunferencia fundamental
sin plano ecuatorial
= 3 + C
= 3 + C
60
5.3. Estereograma y dominio fundamental
Cuando situamos un cristal en el interior de una esfera para proyectarlo estereográficamente situamos todos sus elementos de simetría:
Las direcciones cristalográficas a, b y c del sistema cúbico serían las correspondientes a: a1, a2, y a3.
Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 que aparecen en el estereograma son, en este caso los polos o puntos de partida en la simetría de un poliedro. Este mecanismo se estudiará más adelante.
Dominio fundamental: Es la superficie mínima de un estereograma limitado por las proyecciones de los
elementos de simetría. Cada sistema posee un número de dominios fundamentales, por ejemplo en el cúbico 24, tetragonal 8,.... En dicha superficie se pueden localizar los 7 polos posibles que puede adoptar cada forma
cristalográfica.
En los dominios aparecen tres direcciones cristalográficas
.. Círculo de proyección (c)
.. Diámetro Norte - Sur (a)
.. Diámetro perpendicular al Norte - Sur (b)
Cuando una cara corta al eje “a” se llama h
Si la cara corta al eje “b” se llama k.
Si la cara corta al eje “c” se denomina l
Pardillo ha dado una fórmula que permite hallar fácilmente el número de dominios fundamentales de un sistema. Se obtiene duplicando una suma constituida por 1 más el número de ejes de simetría existentes por
el orden del eje menos 1.
Df = 2 [1 + N ·(orden del eje -1 ) + N........] Ej: Sistema cúbico 3E
4 , 4E
3 , 6E
2
Df = 2[1 + 3(4-1) + 4(3-1) + 6(2-1)] = 2 [24] = 48
.
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Circunferencia fundamental
Arcos Diámetros
Son las proyecciones
de los planos de
simetría
Dominios fundamentales
Polos
ESTEREOGRAMA
dirección cristalográfica "c" dirección cristalográfica "a"
dirección cristalográfica "b"
(24)
1 x2
x3
x4
5
6
7
(por 2 hemisferios)
Holoedría cúbica
(hexaquisoctaedro)
61
5.4. Nombre de las formas de la proyección
Formas o polos de posición general : Polo que no se encuentra sobre ningún elemento de simetría (dos
grados de libertad) se encuentra en el interior del dominio fundamental. (hkl). Polo 1
Formas o polos singulares o especiales: Polos que se encuentran en los vértices con posición invariable
(sin grado de libertad) polos 5, 6 y 7 o los polos que se encuentran en los lados (entre los vértices) y que
tienen un grado de libertad ya que pueden moverse a lo largo de ellos, polos 2, 3 y 4.
Forma simple: lo que se ha hecho en un dominio fundamental se repite por simetría en los demás
dominios.
Los nombres especiales de las formas desde el punto de vista de su posición respecto a los ejes
cristalográficos se ajustan a las siguientes reglas generales:
Para distinguir las formas no equivalentes, con configuración externa semejante, según su posición
respecto a los ejes cristalográficos, se utiliza la designación "especie u orden". Para los distintos sistemas
de ejes se obtiene de este modo:
.. Sistemas: RÓMBICO, MONOCLÍNICO Y TRICLÍNICO
El número de orden indica el del eje cristalográfico (hkl) (abc) que corta a dicha cara:
Primer orden: (100)
Segundo orden: (010) Tercer orden : (001)
El número de especie indica el del eje cristalográfico paralelo con la excepción de la cuarta especie que expresa posición general:
Primera especie: (0kl)
Segunda especie (h0l) Tercera especie (hk0)
Cuarta especie (hkl)
.. Sistemas: TETRAGONAL, HEXAGONAL Y TRIGONAL
La distinción entre orden y especie no es válida para estos sistemas, al cambiar la posición de los polos respecto a los ejes cristalográficos, por lo que se sigue el siguiente criterio:
Paralelos a C Cortan a C
Primer orden: notación más sencilla (100) (h0l)
Segundo orden: notación intermedia (110) (hhl)
Tercer orden: notación más complicada (hk0) (hkl)
62
La diferencia entre formas conjugadas se ve mejor con ayuda de la proyección estereográfica.
El círculo fundamental queda dividido por los planos verticales en los cuadrantes I - IV ó sextantes I - VI
Forma positiva : cuadrante I y III Forma negativa : II y IV
Forma positiva : cuadrante I; III; V
Forma positiva : cuadrante I y III
Forma positiva : cuadrante I y III.
.
I
II III
IV
+ +
+
+
+ +
+ +
+
+ + +
-
- -
- - -
-
-
- -
- -
Derechos: rayados
Izquierdos: en blanco
Superior: puntos solo en el hemisferio superior
Inferior : puntos solo en el hemisferio inferior
Anterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (I, III, V)
Anterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (I y IV)
Anterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (I y IV)
Posterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (II y III)
Posterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (II, IV, VI)
Posterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (II y III)
Posterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (II y III)
Anterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (I y IV)
.
I
II
III
IV
V
VI A los prismas trigonales y ditrigonales y las pirámides de 2º orden se les da la
designación derecha o izquierda de acuerdo con lo visto. Los romboedros de
2º orden cuyas caras superiores forman una pirámide trigonal de 2º orden se
diferencian igualmente en izquierdos y derechos, aunque también se utiliza
la designación de negativos y positivos.
.
I
II III
IV
+
+
+
+ -
-
-
-
Forma negativa : cuadrante II y IV
Forma negativa : cuadrante II y IV
Los biesfenoides tetragonales de 2º orden con normales a las caras superiores
en el plano ac son positivos; si las normales a las caras inferiores están en el
plano ac son negativos.
*En el esfenoide monoclínico la designación izquierda o derecho depende de su posición respecto al plano "ac"
.
I
II III
IV
+
+ -
-
+ +
+
+ +
+
-
-
- -
-
-
General para
todos
La designación derecha e izquierda se utiliza para las formas enantiomórficas mientras que una positiva tiene siempre una negativa congruente
TABLA DE NOMBRES DE LAS FORMAS EN DIFERENTES SISTEMAS
Forma negativa: II; IV y VI
Las dos formas cúbicas pentagonododecaedro y diaquisdodecaedro son positivas cuando los polos superiores del primer cuadrante caen en los campos negativos o en el límite del campo, y son negativas si pertenece a campos positivos. También se denominan derecho e izquierdo
63
n
6) DEDUCCIÓN DE LAS 32 CLASES DE SIMETRÍA O GRUPOS
PUNTUALES7
1er
Método:
6.1. Deducción de las 32 clases asociando ejes y planos :
Las diferentes clases pueden también obtenerse cambiando un eje de rotación de orden n con los distintos elementos de simetría.
Las clases que solamente tienen ejes de rotación se denominan tetartoédricas 1, 2, 3, 4, 6, (23)(dos tres).
El resto de las clases se obtienen combinando los demás elementos de simetría. El número posible de combinaciones de simetría no es ilimitado; realmente, el número total de elementos de
simetría y combinaciones de elementos de simetría no idénticos es de solo 32.
Si partimos de un eje de rotación n = X, las posibles combinaciones que se pueden realizar son las siguientes:
1 X = n = ejes de rotación Tetartoedría
2 n + centro = ejes de inversión Tetartoedría de 2ª especie o de
inversión
3 n + eje binario perpendicular a él = n2 Hemiedría enantiomórfica
4 n + plano normal n/m Hemiedría paramórfica
5 n + plano paralelo = nm Hemiedría hemimórfica
6 + plano paralelo (binario perpendicular) = m Hemiedría de 2ª especie o de
inversión
7 n + plano normal y plano paralelo = n/mm Holoedría
8 Combinaciones de simetría adicional en diagramas
isométricos
Clases del sistema cúbico
De esta forma nos salen 42 clases pero hay que observar las equivalencias y eliminarlas
La presencia de un elemento de simetría condiciona la existencia de otro, por ejemplo, en la clase
42; 4m; 32; 3m; ...... El número total de ejes binarios y planos, aunque se parte de uno, será el que
indica el orden del eje.
Ej: la clase 42 tendrá 4 ejes binarios.
La combinación de nuevos elementos de simetría, en algunos casos condiciona la elevación de la simetría
inicial. Un estudio sistemático de la formas externas de los cristales conduce a 32 simetrías o combinaciones de simetría (32 grupos puntuales). Todas las que tienen características comunes se agrupan en 7 sistemas
cristalinos.
7"Puntual" significa que la operación de simetría deja un punto particular del diagrama inmóvil. La palabra "grupo" está relacionado
con la teoría matemática de grupos que permite una deducción sistemática de todas las posibles y no idénticas combinaciones de simetría.
2 = m; 6 = 3/m 12 = 2 1/m = 2 1m = 2 2m = 2m etc......
nn
64
6.1.1. Tabla con las 32 clases de simetría asignadas a los sistemas cristalinos, una vez
eliminadas las equivalencias e incompatibilidades
La combinación de elementos de simetría es ilimitada, pero la combinación de elementos no idénticos es de
32.
Total 32 clases de simetría
1 2 4 3 6 2 3
2/m 4/m 6/m
1 2 3 6
3/m = 6
2 3 = 2/m3
222 422 32 622 432
2mm 4mm 3m 6mm
2/m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m 4/m 3 2/m
42m 3 2/m 43m
Tetragonal
Trigonal Romboédrico Hexagonal Cúbico Rómbico
Triclínico Monoclínico
= m
(mm2)
6m2
(62m)
Solo ejes de rotación
Solo ejes de inversión
Una rotación con plano perpendicular de simetría
Combinaciones de ejes de rotación
Rotación con planos paralelos de simetría
Tres ejes de rotación y planos perpendiculares de simetría
Combinaciones de simetría adicionales en diagramas isométricos
NO
NO
Inversión con rotación y plano de simetría
2/m 3
65
6.1.2. Lista con las 32 clases de simetría deducida de la asociación de elementos de simetría
X = ejes propios de rotación sencilla
Hemiedría (tetartoedría) H. hemimórfica (tetartoedría) / Monoclínico / Clase esfenoídica
1
2
3
4
6
X = m ejes impropios de inversión
1 =
2 = m
3
4
/ Triclínico / Clase pedial
Tetartoedría de 1ª especie / Trigonal / Clase piramidal trigonal
Tetartoedría de 1ª especie / Tetragonal / Clase piramidal tetragonal
Tetartoedría de 1ª especie / Hexagonal / Clase piramidal hexagonal
c. simetría o inversión = i
= 3 + c de simetría
6 = 3/m
Holoedría / Triclínico / Clase pinacoidal
H. hemimórfica 2ª especie / Monoclínico / Clase domática
H. paramórfica / Romboédrico / Clase romboédrica
Tetartoedría 2ª especie / Tetragonal / Cl. biesfenoidal tetragonal
Tetartoedría 2ª especie / Hexagonal / Cl. bipiramidal trigonal
5 clases
5 clases
1 1
X X = X / m Rotación con plano perpendicular de simetría o centro de simetría
2 2
3 3
4 4
6 6
= 1 ya está deducido
= 2 / m
= 4 / m
= 6 / m
Holoedría / Monoclínico / Clase prismática
H. paramórfica / Tetragonal / Clase bipiramidal tetragonal
H. paramórfica / Hexagonal / Clase bipiramidal hexagonal
3 clases
X 2 = eje de rotación con binario perpendicular a él
2 2 2
3 2
4 2 2
6 2 2
H. enantiomórfica / Rómbico / Clase biesfenoidal rómbica
H. enantiomórfica / Romboédrico / Clase trapezoédrica trigonal
H. enantiomórfica / Tetragonal / Clase trapezoédrica tetragonal
H. enantiomórfica / Hexagonal / Clase trapezoédrica hexagonal
4 clases (combinación de ejes de rotación)
Solo ejes de rotación
Solo ejes de inversión
= 3 ya está deducido (3 más centro de simetría)
66
4 clases Xm = X 2 Eje de rotación con un plano de simetría paralelo
H. hemimórfica / Rómbica / Clase piramidal rómbica 2 2 2 = 2mm = mm2
3 3 2 = No posible eje par e impar de inversión incompatibles
4 3 2 = No posible eje par e impar de inversión incompatibles
3 2 2 = 3m H. hemimórfica / Romboédrico / Clase piramidal ditrigonal
4 2 2 = 4mm H. hemimórfica / Tetragonal / Clase piramidal ditetragonal
6 2 2 = 6mm H. hemimórfica / exagonal / Clase piramidal dihexagonal
3 3 2 = No posible eje par e impar de inversión incompatibles
4 2 2 = 42m Hemiedría de 2ª especie / Tetragonal / Clase escalenoédrica tetragonal
6 2 2 = 6m2 = 62m Hemiedría de 2ª especie / Hexagonal / Clase bipiramidal ditrigonal
3 clases X 2 = X m Eje de inversión + binario perpendicular (o plano paralelo)
3 clases X / mm Eje de orden X contenido en uno de los planos y perpendicular
4 3 2 = 4 3 m Hemiedría hemimórfica / Cúbico / Clase hexaquistetraédrica
2 2 2 = m2m = 2mm Deducida
eje par e impar de inversión incompatibles 3 2 2 = No posible
2/m 2/m 2/m = 2/mmm Holoedría / Rómbico / Clase bipiramidal rómbica
3 2/m 2/m = 2/m 3 = m3 H. paramórfica / Cúbico / Clase diploédrica
4/m 2/m 2/m = 4/mmm Holoedría / Tetragonal / Clase bipiramidal ditetragonal
6/m 2/m 2/m Holoedría / Hexagonal / Clase bipiramidal dihexagonal
3 3 2/m = 3 2/m = 3m Holoedría / Romboédrico / Clase escalenoédrica ditrigonal
4/m 3 2/m = m 3 m Holoedría / Cúbico / Clase hexaquisoctaédrica
X/X; X/X; X/X
3 3 2 = 2 3 (cúbico) Tetartoedría / Cúbico / Clase tetartoédrica
4 3 = 4 3 2 (cúbico) H. enantiomórfica / Cúbico / Clase giroédrica
5 clases Combinaciones de simetría adicional en diagramas isométricos
al otro plano
67
6.2. EJERCICIO PRÁCTICO 2: Deducción de las 32 clases de
simetría en estereogramas combinando elementos de simetría
Material: Estereogramas y poliedros
Método:
Aplica las operaciones de simetría a los diferentes polos que aparecen en el dominio fundamental de
los estereogramas.
Tienes que completar el poliedro proyectado a partir del polo inicial y deducir otros posibles
elementos de simetría, que exige la posición de los nuevos polos, y que han sido omitidos
intencionadamente (pueden ser planos o ejes). Puedes comprobarlos y corregirlos en las tablas.
Están resueltos los dos primeros. Así deducirás las 32 clases de simetría. El sistema cúbico presenta
algunas particularidades y lo analizamos en la página 83. También puedes deducir el sistema y el
nombre de algunas figuras. Ayúdate de las figuras poliédricas que tienes en el libro. ¡Dibuja el
plano ecuatorial con una línea continua cuando lo haya!.
Para saber si has operado correctamente con los elementos de simetría tienes las soluciones en
páginas posteriores
COMBINACIÓN: X = Ejes propios de rotación sencilla (EJERCICIOS)
68
1 2
3 4
6
x
x x
x
.
Sistema: Sistema:
Sistema: Sistema:
Sistema:
Total: 5 clases
TRICLÍNICO MONOCLÍNICO
TRIGONAL TETRAGONAL
. .
.
HEXAGONAL
a2
c
c c
a
b
c
Cl. Pedial
Cl. Piramidal
trigonal
Cl. Piramidal
Tetragonal
Cl. Piramidal
hexagonal
x
. b
a
c
Cl. Esfenoidal
a1
a3
a2
a1
a3
a2
a1
COMBINACIÓN: X = Ejes propios de rotación sencilla (EJERCICIOS)
69
Son ejes polares
1 2
3 4
6
Sistema: Sistema:
Sistema: Sistema:
Sistema:
TRICLÍNICO MONOCLÍNICO
TRIGONAL TETRAGONAL
HEXAGONAL
No tiene representación b
c c
c
COMBINACIÓN: = m Ejes impropios de inversión (EJERCICIOS)
70
x
1 2 = m
3 4 = 3 + centro simetría
= centro simetría o inversión
Total: 5 clases
TRICLÍNICO MONOCLÍNICO
TRIGONAL TETRAGONAL
6 = 3 + m =3/m TRIGONAL
.
X
a
b
c
Cl. Pinacoidal
.
X a
b c
Cl. Domática
a 2 .
X
a 1
a 3
c
Cl. Bipiramidal
trigonal
X
.
a 1
a 2 c
Cl. Biesfenoidal
tetragonal
. a 2
a 3 Cl. Romboédrica
X
a 1
c
COMBINACIÓN: X2 eje de rotación con binario perpendicular a él (combinación de ejes de rotación)
71
1 2 = m
3 4 = 3 + centro simetría
6
= centro simetría o inversión
= 3 + m =3/m
TRICLÍNICO MONOCLÍNICO
TRIGONAL
TRIGONAL
TETRAGONAL
m
a
c c
c
COMBINACIÓN: X2 eje de rotación con binario perpendicular a él (combinación de ejes de rotación)
72
.
222 32
422 622
X
RÓMBICO TRIGONAL
TETRAGONAL HEXAGONAL
a
b c
X
a 1
a 2 c
Cl. Biesfenoidal
rómbica
Cl. Trapezoédrica
trigonal
Cl Trapezoédrica
tetragonal
Cl. Trapezoédrica
hexagonal
.
X
a 1
a 2
a 3
c .
.
X
a 1
a 2
a 3
c
Total : 4 clases
COMBINACIÓN: X2 eje de rotación con binario perpendicular a él (combinación de ejes de rotación)
73
222 32
422 622
RÓMBICO TRIGONAL
TETRAGONAL HEXAGONAL
c c
c c
COMBINACIÓN: = x / m Rotación con plano perpendicular de simetría o c. de simetría
74
xx
1 1 = 1 ya está deducido 2 2 = 2/m
3 3 = 3 4 4 = 4/m
6 6 = 6/m
Deducido
ya está deducido
Deducido
Total: 3 clases
MONOCLÍNICO
X
.
a
b c
.
X
a 1
a 2 C
TETRAGONAL
HEXAGONAL
.
X
a 1
a 2
a 3
C
Cl. Prismática
Cl. Bipiramidal
tetragonal
Cl. Bipiramidal
hexagonal
COMBINACIÓN: = x / m Rotación con plano perpendicular de simetría o c. de simetría
75
xx
1 1 = 1 ya está deducido 2 2 = 2/m
3 3 = 3 4 4 = 4/m
6 6 = 6/m
Deducido
ya está deducido
Deducido
Total: 3 clases
MONOCLÍNICO
X
.
a
b c
.
X
a 1
a 2 C
TETRAGONAL
HEXAGONAL
.
X
a 1
a 2
a 3
C
Cl. Prismática
Cl. Bipiramidal
tetragonal
Cl. Bipiramidal
hexagonal
COMBINACIÓN: = x / m Rotación con plano perpendicular de simetría o c. de simetría
76
xx
1 1 = 1 ya está deducido 2 2 = 2/m
3 3 = 3 4 4 = 4/m
6 6 = 6/m
ya está deducido
Deducido
b
MONOCLÍNICO
TETRAGONAL
a
c
HEXAGONAL
c
COMBINACIÓN: = x / m Rotación con plano perpendicular de simetría o c. de simetría
77
xx
. .
.
622
332 432
222 = 2mm=mm2 322 = 3m
422 = 4mm = 6mm
No posible No posible
Asociación de ejes de Asociación de ejes de
inversión par - impar inversión par - impar incompatible incompatible
Total: 4 clases
X
X X
a 1
a 2
a 3
a 1
a 2
a
b c
RÓMBICO TRIGONAL
TETRAGONAL HEXAGONAL
.
X
a 1
a 2
a 3
c
posición de los
planos especial
c c
Cl. Piramidal
rómbica
Cl. Piramidal
ditrigonal
Cl. Piramidal
ditetragonal
Cl. Piramidal
dihexagonal
COMBINACIÓN: Xm = X Eje de rotación con un plano de simetría paralelo
78
2
622
332
222 = 2mm=mm2 322 = 3m
432
422 = 4mm = 6mm
No posible No posible
Asociación de ejes de Asociación de ejes de
inversión par - impar inversión par - impar
incompatible incompatible
TRIGONAL RÓMBICO
TETRAGONAL HEXAGONAL
c c
c c
COMBINACIÓN: = m Eje de inversión y binario perpendicular (o plano paralelo)
79
X 2 x
. .
.
322 222 = m2m= 2mm
Deducida
Ejes de inversión
incompatibles
332
Ejes de inversión
incompatibles
422 = 42m 622 = 6m2 = 62m
No posible
No posible
X
X
a 1
a 1
a 2 a 2
a 3
HEXAGONAL TETRAGONAL
C C
posición especial de los binarios y
plano
3 3 2/m= 3 2/m = 3m
a 2
TRIGONAL
X
a 3
a 1
c
Cl. Escalenoédrica
tetragonal
Cl. Bipiramidal
ditrigonal
Cl. Escalenoédrica
ditrigonal
Total: 3 clases
COMBINACIÓN: = m Eje de inversión y binario perpendicular (o plano paralelo)
80
X 2 x
222 322
332
= m2m= 2mm Ejes de inversión
incompatibles
Ejes de inversión
incompatibles
422 = 42m 622 = 6m2 = 62m
No posible
No posible
TETRAGONAL HEXAGONAL
Deducida
c c
3 3 2/m= 3 2/m = 3m TRIGONAL
c
COMBINACIÓN: X/mm Eje de orden x contenido en uno de los planos y perpendicular al otro plano
81
2/m 2/m 2/m= 2/mmm
4/m 2/m 2/m = 4/mmm 6/m 2/m 2/m
X
a 1
a 2 .
X
a 1
a 2
a 3
RÓMBICO
TETRAGONAL HEXAGONAL
X
.
a
b c
. c c
Cl. Bipiramidal
rómbica
Cl. Bipiramidal
ditetragonal
Cl. Bipiramidal
dihexagonal
Total: 3 clases
COMBINACIÓN: X/mm Eje de orden x contenido en uno de los planos y perpendicular al otro plano
82
2/m 2/m 2/m= 2/mmm
4/m 2/m 2/m = 4/mmm 6/m 2/m 2/m
RÓMBICO
TETRAGONAL HEXAGONAL
c
c c
Combinaciones de simetría adicional en diagramas isométricos
83
332 23 CÚBICO 432 43 CÚBICO
432 = 43m CÚBICO
5 clases
3 2/m 2/m = 2/m 3 = m3
a 1
a 2
a 3
CÚBICO
4/m 3 2/m = 4/m3m= m3m CÚBICO
x
a 1
a 2
Cl. Giroédrica
.
x
a 3
a 1
a 2
.
x
a 3
Cl. Hexaquistetraédrica Cl. Diploédrica
Cl. Hexaquisoctaédrica
.
a 2
a 1
a 3 .
X 1 x
a 1
a 2 a 3
Cl. tetartoédrica
.
Combinaciones de simetría adicional en diagramas isométricos
84
332 23 (cúbico) 432 43 (cúbico)
432 = 43m CÚBICO 3 2/m 2/m = 2/m 3 = m3 CÚBICO
4/m 3 2/m = 4/m3m= m3m CÚBICO
85
6.3. Tablas de los estereogramas de las 32 clases de simetría deducidas por asociación de ejes y planos.
1
Ejes de rotación
n = x
TRICLÍNICO Y RÓMBICO
2
1
Ejes de Inversión
n
Centro de simetria o
plano perpendicular
al eje de
rotación
n/m
Eje binario perpendicular
al eje de rotación
n2
Plano paralelo al
eje de
rotación
nm
Eje binario perpendicular
al eje de inversión
Centro de
simetría o plano
perpendicular
al eje de
rotación
TRIGONAL TETRAGONAL HEXAGONAL CÚBICO
n/mm
.
x
x x
x
x
x
x x
x x x x
x x
x
x x
x
.
23
x x x
x x
x
x
x x
x x
x
.
.
x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
.
x x x
x
x x x
x
.
x
x x
x
.
x
x x
x
.
x
x x
x
.
x
x
.
x
x
x
x x
x
x
x
.
x x
x x
.
x x x x
x x x x
x x x x
.
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
.
x x
x
x x
x .
.
x
x
x x
x
x
.
x
x
x
. x
x x
x
x x
.
x x x
x
x
x
.
x x x
x
x
x
.
x
x
x
.
x
x
x
.
x
x
x
.
x
x x
x
.
x
x x
x
.
x
x
x x
.
x x
.
x
.
Tetartoedría Tetartoedría Tetartoedría Tetartoedría
3 4 6
Hemimorfía Hemiedría
Holoedría Hemiedría 2º especie
2 3 4 6 = 3/m
23 = 2/m3 = m3
12 = 2
1/mm=2m 3/mm = 6m2
1m = 2/m
nm
2m = 2m
1m = 2 2m3 = 2/m3
1/m = 2 3/m = 6
2/m 4/m 6/m
222 32 42 =422 62 =622 43=432
2m = 2mm = mm2 3m 4mm 6mm
3m = 3 2/m 42m 62m 6m2 43m
2/m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m 4/m 3 2/m
Holoedría
Holoedría
Holoedría Holoedría
Hemiedría 2ª esp. Hemiedría 2ª esp. H. hemimórfica
H. hemimórfica H. hemimórfica H. hemimórfica H. hemimórfica
Holoedría H. paramórfica
H. paramórfica
H. paramórfica H. paramórfica
2/m3 = m3
Tetartoedría 2º esp. Tetartoedría 2º esp.
H. enantiomórfica H. enantiomórfica H. enantiomórfica H. enantiomórfica H. enantiomórfica
= m
.
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
Holoedría
.
x
c b
a
.
x a
b c
MONOCLÍNICO
86
1
TRICLÍNICO MONOCLÍNICO
Y RÓMBICO
2
1
nm
TRIGONAL TETRAGONAL HEXAGONAL CÚBICO
23
Tetartoedría Tetartoedría Tetartoedría Tetartoedría
3 4 6
Hemimorfía Hemiedría
Holoedría Hemiedría 2º especie
2 3 4 6 = 3/m
23 = 2/m3 = m3
12 = 2
1/mm=2m 3/mm = 6m2
1m = 2/m 2m = 2m
1m = 2 2m3 = 2/m3
1/m = 2 3/m = 6
2/m 4/m 6/m
222 32 42 =422 62 =622
2m = 2mm = mm2 3m 4mm 6mm
3m = 3 2/m 42m 6m2 62m 43m
2/m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m 4/m 3 2/m
Holoedría
Holoedría
Holoedría Holoedría Holoedría
Hemiedría 2ª esp. Hemiedría 2ª esp. H. hemimórfica
H. hemimórfica H. hemimórfica H. hemimórfica H. hemimórfica
Holoedría H. paramórfica
H. paramórfica
H. paramórfica H. paramórfica
2/m3 = m3
Tetartoedría 2º esp. Tetartoedría 2º esp.
H. enantiomórfica H. enantiomórfica H. enantiomórfica H. enantiomórfica H. enantiomórfica
= m
43=432
87
2º Método
6.4. Deducción de las 32 clases de simetría añadiendo elementos de simetría a la tetartoedría
Las clases cristalográficas son subdivisiones dentro de un sistema cristalino que a su vez está
relacionado con una forma especial de la celda.
Para cada tipo de celda existe un número máximo de direcciones de simetría con sus elementos
asociados que corresponden a la clase de cada sistema que presentan la mayor simetría, a esta clase
se la denomina holoedría.
Dentro de cada sistema la forma particular de cada celda exige un mínimo de elementos de
simetría; a medida que la simetría esencial se completa hasta el máximo que permite cada
sistema, aparecen nuevas clases de simetría.
Las deducciones las comenzamos a partir de la tetartoedría pasando por las diferentes
hemiedrías (paramórfica, hemimórfica y enantiomórfica) para llegar a la máxima simetría de cada
sistema que viene representado por la holoedría.
Para su deducción, como veremos en la tabla de la página 88, se van añadiendo elementos de
simetría (centro, planos, binarios, combinación de ellos) con el fin de llegar al máximo posible de
simetría que queda representado por la holoedría.
88
6.4.1. Tabla de las clases de simetría a partir de la tetartoedría
TETARTOEDRÍA
23
4
6
3
2
Hemiedría paramórfica H. hemimórfica H. enantiomórfica
2/m 3
4/m
6/m
4 3 m
4 m m
6 m m
3 m
2 m m = mm2
432
422
622
32
222
HOLOEDRÍA
6/m 2/m 2/m
TETARTOEDRÍA HEMIEDRÍA
1 Hemiedría
2º especie 2º especie
1ª especie
= m3
3
4/m 3 2/m
3 2/m = 3 m
4/m 2/m 2/m
2/m 2/m 2/m
1 (triclínico)
2/m
4
6 = 3/m
4 2 m
6 m 2 = 6 2 m
2 = m
(hemimorfía) (monoclínico)
Solo poseen ejes como elementos de simetría
Máximo de elementos de simetría
tetartoedros con ejes de inversión
Hemiedros con ejes de inversión
Formas deducibles con
el mínimo de elementos
de simetría
+ centro de simetría
+ plano de simetría
+ eje binario perpendicular
+ plano de simetría
o eje binario
+ eje binario o
centro de simetría + centro de simetría
o plano de simetría
+ centro de
simetría
+ eje binario perpendicular
al eje o más plano de simetría
conteniendo al eje
+ centro de simetría
89
+ Plano de simetría + Eje binario
TETARTOEDRÍA
HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA Clase Diploédrica o
Disdodecaédrica
HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA
+ Plano de simetría
o eje binario
+ Eje binario
o centro de simetría + Centro de simetría
o plano de simetría
HOLOEDRÍA
23 (Clase tetartoédrica o
(Clase Hexaquistetraédrica) (Clase Giroédrica)
(Clase Hexaquisoctaédrica)
.
x
x x
x
x
x
4/m 3 2/m = m3m
2/m 3 = m3 43m 432
.
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x
x x
x
x x
x
.
.
.
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
SISTEMA CÚBICO
+ Centro de simetría = 1
x x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
.
triaquistetraédrica pentagonal)
Formas generales correspondientes
al polo 1
90
23
Triaquisitetraedro pentagonal tetartoédrico
(Tetartoedro)
SISTEMA CÚBICO
432
Diploedro o disdodecaedro hexaquistetraedro Giroedro
Hexaquisoctaedro
4/m 3 2/m
43m 2/m 3
Triaquisoctaedro pentagonal
91
+ Centro de simetría + Plano de simetría
TETARTOEDRÍA
HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA
+ Plano de simetría
o eje binario
+ Eje binario
o centro de simetría + Centro de simetría
o plano de simetría
HOLOEDRÍA
4
(Clase piramidal tetragonal)
(Clase bipiramidal tetragonal) (Clase piramidal ditetragonal) (Clase trapezoédrica tetragonal)
(Clase bipiramidal ditetragonal)
TETARTOEDRÍA DE 2ª especie HEMIEDRÍA DE 2ª especie
Clase escalenoédrica
tetragonal Clase biesfenoidal tetragonal
.
.
.
.
x
x x
x
.
x
x
.
x
x x
x
x
x x
x
4/m 4mm 422
4/m 2/m 2/m =
4/mmm
4 4 2m
.
x
x
x
x
TETRAGONAL
.
x
x
x
x x
x
x
x
.
x
x
x
x
.
x
x x
x
más eje binario normal al eje cuaternario
de inversión o también más plano de
simetría conteniendo al cuaternario de
inversión.
sustituyendo al eje cuaternario por
uno de inversión
+ centro
simetría + centro simetría
+ Eje binario normal
al eje cuaternario
1ª especie
92
4
Pirámide tetragonal
SISTEMA TETRAGONAL
4/m 4mm 422
4/m 2/m 2/m
Biesfenoide tetragonal Escalenoedro tetragonal
4 42m
Bipirámide ditetragonal
Bipirámide tetragonal
Pirámide ditetragonal
Trapezoedro tetragonal
93
+ Centro de simetría + Plano de simetría
TETARTOEDRÍA
HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA
+ Plano de simetría
o eje binario
+ Eje binario
o centro de simetría + Centro de simetría
o plano de simetría
HOLOEDRÍA
(Clase piramidal hexagonal)
(Clase bipiramidal hexagonal) (Clase piramidal dihexagonal) (Clase trapezoédrica hexagonal)
(Clase bipiramidal dihexagonal)
TETARTOEDRÍA DE 2ª especie HEMIEDRÍA DE 2ª especie
Clase bipiramidal ditrigonal
Clase bipiramidal trigonal
6
.
x x x x
x x x x
x x
x x
. x
x x
x
x x
.
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x x
x
x
x
x x
.
.
x
x
x
6/m 6mm 622
x x
x
x x
x .
6/m 2/m 2/m =
6/mmm
6 =3/m 6m2 = 62m
.
x
x
x x
x
x
HEXAGONAL
+ Eje binario normal
al eje senario
Sustituyendo el eje senario
por uno de inversión
Más eje binario normal al senario de inversión o también más plano de simetría conteniendo al senario de inversión
+ centro de simetría
94
6
Pirámide hexagonal
SISTEMA HEXAGONAL
6/m 6mm 622
6/m 2/m 2/m
Bipirámide trigonal Bipirámide ditrigonal
6 6m2
Bipirámide dihexagonal
Bipirámide hexagonal
Pirámide dihexagonal
Trapezoedro hexagonal
95
+ Centro de simetría + Plano de simetría
TETARTOEDRÍA
HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA
+ Plano de simetría
o eje binario
+ Eje binario
o centro de simetría + Centro de simetría
o plano de simetría
HOLOEDRÍA
(Clase romboédrica) (Clase piramidal ditrigonal) (Clase trapezoédrica trigonal)
(Clase escalenoédrica ditrigonal)
3 (Clase piramidal trigonal)
.
x
x
x
3m 32
3 2/m = 3m
3
.
x
x
x
.
x
x
x
.
x x
x
x
x
x
.
x x
x
x
x
x
TRIGONAL ROMBOÉDRICO
+ Eje binario normal al
eje ternario
1ª especie
96
3
Pirámide trigonal
3m 32
Escalenoedro ditrigonal
Romboedro Pirámide ditrigonal Trapezoedro trigonal
3
3 2/m
SISTEMA TRIGONAL - ROMBOÉDRICO
97
HOLOEDRÍA
2mm = mm2 222
2/m 2/m 2/m
H. HEMIMÓRFICA H. ENANTIOMÓRFICA
+ eje binario o centro de simetría + centro de simetría o
plano de simetría
(Clase piramidal rómbica) (Clase biesfenoidal rómbica)
(Clase bipiramidal rómbica)
.
x
x x
x
.
x
x
.
x
x x
x
RÓMBICO Los elementos esenciales de la red son tres ejes binarios
Sustituyendo 2 ejes binarios por
2 ejes de inversión = m
m m m
98
222
Biesfenoide rómbico
SISTEMA RÓMBICO
2mm = mm2
Pirámide rómbica
Bipirámide rómbica
2/m 2/m 2/m
99
MONOCLÍNICO
2 = m
HEMIMORFÍA DE 2º especie HEMIEDRÍA
2/m
(Clase esfenoidal) (Clase domática)
x x
.
x x
.
+ centro de simetría o
binario
+ centro de simetría o
plano de simetría
HOLOEDRÍA
(Clase prismática)
MONOCLÍNICO Característica del sistema : Eje binario
MONOCLÍNICO
2
Sustituyendo el eje binario
por uno de inversión = m
x
. b b c
a
c
a
100
2
SISTEMA MONOCLÍNICO
Domo o diedro anaxial Esfenoide o
diedro axial
2 = m
2/m
Prisma monoclínico
101
1
1
1) Clase pedial
HEMIEDRÍA
HOLOEDRÍA
2) Clase pinacoidal
+ centro de
simetría
TRICLÍNICO
1
.
x
c
b
a
.
x a
b
c
102
1
SISTEMA TRICLÍNICO
1
Pedión o monoedro
Pinacoide
103
6.5. Parámetros y notaciones
Parámetros: Son los valores relativos de las distancias a que cada cara corta a los ejes cristalográficos.
También se define como cada uno de los números (valores relativos) que simbolizan la distancia del
origen al punto en que una cara corta a un eje cristalográfico.
.. Parámetros fundamentales: son los correspondientes a una cara que corta a los tres ejes
cristalográficos y que se elige como término de comparación con las demás caras (cara fundamental o unidad) y que es la cara base que nos da las unidades de cada sistema.
Notaciones: Son las representaciones simbólicas (convencionales) que nos permiten expresar
abreviadamente los elementos y formas cristalinas definiendo su posición. Forma de representar las
relaciones:
.. Coeficientes: número que multiplica a una expresión algebraica en forma de monomio.
.. Índices: Sus valores se utilizan para establecer las variaciones o diferencias.
** Coeficiente de WEISS: Cara parametral unidad la más interna y por lo tanto la de menor
superficie 1>2 (1 1 2) (cuando la cara no corta a algún eje = infinito )
** Índices de MILLER: Cara parametral unidad la más externa y por lo tanto la de mayor superficie
1<2 (2 2 1). (cuando la cara no corta a algún eje = cero 0)
Z
Y
X
B b
C
c
- c
B'
C'
- b
a
A
-a
(a, b, c) son los parámetros que definen la cara ABC
Cara ABC ------------> (a, b, c) Cara AB´C -----------> (a, -b, c) Cara ABC´ -----------> (a, b, -c)
En cualquiera de estos casos se dice que la cara tiene parámetros finitos.
Pero si no corta a alguno de los ejes por mucho que la cara se prolongue,
el parámetro correspondiente a ese eje será infinito y se representará por
( 0 ó )
Forma de determinar estos parámetros: La red o cristal se va a referir siempre a un sistema de ejes
(3 ó 4) de tal forma que nos encontraremos con 7 sistemas cristalinos en los que varían la distancia
a los ejes y las medidas de los ángulos
104
.. NOTACIÓN DE WEISS (coeficientes)
Consiste en expresar que los parámetros de una cara son múltiplos enteros de los parámetros de la
cara unidad.
Llamando a, b, c, a los parámetros de la cara más interna que constituye la cara parametral unidad y a´,
b , c los parámetros de otra cara tendremos que:
a, b, c, < a , b , c y los números racionales8
son las relaciones paramétricas de proporcionalidad.
m, n y p son los coeficientes que representan el número de veces que a, b y c caben en a , b , c´ (dimensiones
de las caras a estudio)
Luego a´= a · m
b´= b · n c´= c · p
Si m, n y p no son números enteros, se
multiplican por el mínimo común múltiplo (comunes y no comunes de mayor exponente)
Ej: (3, 2 , 3/2) m.c.m =2 (6, 4, 3) Notación Weiss en forma de enteros
Cuando las caras no cortan a algún eje tomamos el valor
.. NOTACIÓN DE MILLER (índices) La notación Miller es más cómoda para los cálculos cristalográficos. Estos se obtienen estableciendo
los coeficientes paramétricos inversos de los de Weiss y reduciendo también su relación a la de 3
números enteros.
Miller considera a, b, c como cara más externa y que
constituye la cara parametral unidad.
a, b, c > a , b , c´
las relaciones paramétricas invierten los coeficientes de Weiss, es decir:
multiplicando por el m.c.m. (m, n , p) se obtienen tres números enteros que son los índices de Miller y que se
denotan como (h, k, l) según corten a los ejes X, Y, Z Cuando las caras no cortan a algún eje toman el valor cero.
8Enteros y fracciones, + y -
a
a
1m ;
b
b
1n ;
c
c
1p
a
a´
b´ b
c
c´
Ej: a a a
b b
c c/2
= a´
= b´
= c´
m = 3
n = 2
p = 3/2
a
a´ b´ b
c
c´
105
Ejemplos de transformación de Weiss a Miller.
1º Se halla el inverso.
2º Si es necesario, porque los denominadores no son la unidad, se hace la reducción de fracciones.
Planos reticulares:
Un plano reticular viene definido por dos filas conjugadas o por una terna de nudos no colineales. Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones con los ejes fundamentales del cristal, A, B, C.
Estos tres ejes son las filas de nudos cuyos periodos son respectivamente, a, b y c que hemos denominado
traslaciones fundamentales. El número de veces que A, B o C contienen a a, b, c, respectivamente, serán siempre números enteros, es decir, serán números racionales. Por este motivo, los planos reticulares se
denominan también planos racionales. Las dimensiones de estas intersecciones, medidas desde un nudo
tomado como origen, se denominan parámetros del plano reticular correspondiente.
WEISS
( 1 1 2 ) m.c.m = 2
m.c.m = 2
m.c.m = 3
( 2 2 1 )
(m, n, p) (1/m, 1/n, 1/p)
1)
2) ( 1 2 1 ) (1/1 1/2 1/1)
(1/1 1/1 1/2)
( 2 1 2 )
3) (3 1 3 ) 1/3, 1/1, 1/3 ( 1 3 1 )
(hkl)
1º inverso ( 1/3 1/2 2/3 ) como no son números enteros hacemos la reducción de fracciones 4) ( 3 2 3/2 )
2º m.c.m = 6 ( 2 3 4 )
2º m.c.m = 6 ( 3 2 1 )
5) ( 2a 3b 6c ) 1º inverso ( 1/2 1/3 1/6 )
6) ( 4a 3b c )
7) ( 2a 3b )
( 1/4 1/3 1 / )
m.c.m. = 12 ( 3 4 0 )
( 1/2 1/3 1/ )
m.c. m. = 6 ( 3 2 0 )
MILLER
8) ( 1/3 1/2 1 ) inverso ( 3 2 1 )
106
El plano más próximo al origen de una familia de planos y que pase por tres nudos, uno en cada eje
fundamental de la red, será aquel cuyas coordenadas sean
A = Ha B = Kb C = Lc
donde H K L son tres números enteros y primos entre si: cabe preguntarse cuántos planos paralelos a éste hay desde el origen hasta este plano. En la figura se representa un ejemplo bidimensional.
Sean AB la traza del plano problema y O el origen de la red. Vemos que OA = 2a y OB = 3b. Por cada
nudo de la fila OB pasa un plano paralelo al plano AB de acuerdo con el principio de la homogeneidad cristalina, y lo propio acontecerá con OA. Claramente se ve que existen 3 x 2 planos comprendidos entre el
origen O y la traza del plano racional AB, y que en general existirán HK planos. En tres dimensiones, el
número de planos existentes entre una intersección racional y el origen de la red viene dado por el producto H x K x L = N.
De esta manera podemos nombrar el plano en función del número de planos paralelos existentes entre la
primera intersección racional sobre los ejes y los valores H, K, L. La característica inmediata es la relación
entre N, el número de planos, y H K L. De esta manera podremos obtener una serie de razones, tales que
N/H = h; N/K = k N/L = l que se denominan índices del
plano reticular, o índices de Miller. El conjunto de índices que caracteriza un plano se denomina símbolo y
es constante para todos los planos que pertenecen a la misma familia. Este símbolo, entre paréntesis (hkl) , nombra el plano dado, mientras que este símbolo entre corchetes {hkl} indica todos los planos que resultan
de aplicar los elemento de simetría del cristal al plano (hkl). Es decir, {hkl} incluye todos los planos
homólogos de (hkl).
O
a
a
b b b
Símbolo de Miller de un plano reticular
OA = 2a
OB = 3b
B
A
N = nº de planos = 6
Ejemplo bidimensional
N
H = h 6
2 = 3 N
K = k
6
3 = 2
N
L = l
Weiss: plano pasa por dos nudos (23 )
Miller (inverso): (1/2, 1/3, 0). m.c.m = 6 (320)
o número de planos entre los nudos más próximos (320)
N = 6
H = 2
H = 3
;
Miller (2)
Miller (3)
(Weiss)
(Weiss)
107
En la manera de exponer los símbolos de Miller como el número de planos que pasan entre un nudo
tomado como origen y los tres más próximos, tenemos la posibilidad de que una cara del cristal tenga un
símbolo múltiplo tal como (200), (222) etc., que no se tenía en cuenta en la cristalografía morfológica clásica.
* En la notación Miller el corte mayor siempre es el valor 1.
Miller (110) Miller (120)
Miller (010) Miller (210)
1
2
1
1
0
1
2
1
En una red cúbica sencilla, las caras más importantes son las de símbolo más sencillo, (010 más importante que (110) y ésta más que (120). Ley de Bravais
traslación
fundamental
b
a Weiss (21 )
Weiss (12 )
Weiss (11 )
Weiss ( 1 )
Miller
a
a a
b
b b
b
a
1/2
Notaciones matemáticas de un plano reticular.
Notación de Weiss (2, 1, 1)
Notacion de Miller (1/2, 1, 1)
a
b
c
21
1
(1, 2, 2)
Weiss: la unidad es la cara más interna
m.c.m = 2
Weiss 2 ; Miller 1/2Miller: planos entre nudos
Weiss: nudos entre plano de
tres nudos
108
6.6. Criterios para determinar las notaciones en la proyección esterográfica
Los polos situados sobre los extremos (símbolos) de los ejes de simetría tienen
valores " 1", estén en el dominio fundamental o en el borde del plano ecuatorial.
Representarían la posición de la cara más externa, vértices o mitad de aristas y por tanto, la unidad según Miller.
Las caras que caen sobre el borde del plano ecuatorial se representan, de manera convencional con una
X, aunque no tengan posición arriba o abajo y su proyección se realiza de manera excepcional desde el
centro del poliedro. Las caras que no son verticales se proyectan, desde el polo sur, si se encuentran en el
hemisferio norte de la esfera y desde el polo norte si las caras se encuentran en el hemisferio sur.
La notación de los polos que caen sobre un plano también pueden deducirse por la suma de los extremos.
La posición intermedia de un polo entre dos símbolos es la suma de ambos. Otro polo situado entre esta posición intermedia y el símbolo será la suma de ambas y así sucesivamente.
Los polos que no caen sobre ningún elemento de simetría y lo hacen en el dominio fundamental tienen
como notación la suma de los tres extremos (ver figura)
En el sistema hexagonal y trigonal los polos unitarios se corresponden con las distancias intermedias entre h
e i; i y k, k y h ...... El resto es deducible por la suma de los extremos.
Se puede seguir un criterio para deducir de forma coherente y fácil todas las
notaciones de un estereograma:
1. Primero poner las notaciones unitarias 2. A continuación las posiciones intermedias
3. Poner las que caen en los dominios, ya que son deducibles por la suma de las
tres que le rodean.
Las letras que se utilizan son h, k y l, añadiendo la i en el sistema hexagonal y romboédrico.
Siempre que haya tres valores distintos: h = 3, k = 2, l = 1
Siempre que haya dos valores distintos, el mayor será: h = 2, y k y l serán indistintamente 1 Siempre que sean dos valores distintos y el tercero cero: h = 2, k = 1,
x x x
X
X
(110)
(101) (111)
(221)
x
x x
x
(111)
(110) (100)
(321)
Notaciones matemáticas de un plano reticular.
Notación de Weiss (5, 4, 2)
Notacion de Miller (1/5, 1/4, 1/2) 5 4
2
a b
c
(4, 5, 10)
Weiss: la unidad es la cara más interna
weiss
4 5
109
6.7. Estereogramas de los sistemas cristalinos con las notaciones de los 7 polos de la holoedría
K
2) La distancia más corta en este caso es h = 0,5 (mitad del dominio) y se le asignará la notación mayor, es decir 3,
Polo 1
En el resto de los polos (2,3,4,5,6,7) no siempre se cortan a 0,5, 1,5 y 2,5, pero el criterio es el mismo, la distancia más grande al polo es la notación 1
arriba y abajo X
Cuando son dos cortes diferentes y el otro cero, las notaciones pueden tomar los valores (h = 2, K = 1 y l = 0)
Cuando son dos cortes iguales y un tercero desigual, las notaciones pueden tomar valores (h = K = 2, l = 1)
Cuando son los tres de igual corte, las notaciones pueden tomar valores (1).
Cuando las distancias son iguales se repiten notaciones.
Cuando un polo cae en el circulo fundamental no se encuentra ni arriba ni abajo (paralelo al eje vertical). No hay que olvidar si los cortes son positivos o negativos. Las notaciones que caen en el mismo plano se pueden determinar por la suma de los extremos.
.
1
2
3
4
5
6
7
(110) (321)
(211)
(211)(hll) (211)
(312)
(312) (312)
(312)
(212)
(212)
(213)
(102)
(112)
(221)
(120)
(120)
(231)
(111)
(111)
(121)
(121)(lhl)
(132)(lhk)
(123)
(123)(lkh)
(012)(0kh)
(011) (021)(0hk) (010) (010)
(001)
(101)
(110) (110)
(100)
(321) (321)
(210) (210)
(100)
(210) (210)
(321) (110)
(211) (201)
(231)
(221)
(111) (212)
(221)
(231)
(120)
(132)
(122)
(011)
(213)
(112)
(123)
(012)
(102) (122)
(132)
(121)
(120)
(132)
(111)
(231) (212)
(122) (122) (112) (112)
(201)
(hkl)
h
(hk0)
(221)(kkl)
(khl) (kh0)
h
K
(llh)
(klk)(hlh)
(lkk)(lhh)
(h0k)
(hhl)
(hkl)
(hlk) (hkk) (hhl)
(h l h)
(hk0)
+
+
+
+
+
+
- -
-
- -
-
derecho
X X abajo (inferior)
X
X
X X
X
X X X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X X
X
X X
X
X
l (021)
0,5
2,5
1,5
izquierdo
Polo 4
Polo 2 y 3
Polo 5
arriba (superior) X
y circunferencia fundamental
Los polos 6 y 7 solo toman valores 1 y 0
(101)
Cuando los tres cortes (distancias) son desiguales, las notaciones pueden tomar valores (h =3, K = 2 y l = 1).
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
(h k l) (h l l)(hkk)
(l h k)
Sumando los extremos dentro del mismo plano también pueden
obtenerse las notaciones
x
x
x
x X
X X
X
(hk0)
(kh0)
(hhl)(kkl)
(123)
(lhh) (lkk)
(khl)
(213) (121)(lhl)
(k0h)
(213)(klh)
(khl)
(kh0)
Estereograma del Sistema CÚBICO. Notaciones correspondientes a los 7 polos. Las notaciones del esterograma podemos determinarlas con los siguientes criterios: Ej.: Polo 1 1) Estableciendo las distancias desde el polo hasta h, k y l . 2) La distancia más corta en este caso es h = 0,5 (mitad del dominio) y se le asignará la notación mayor, es decir 3, ya que Miller considera como cara unidad la más externa. El polo 1 también está situado a 1,5 (dominio y medio) de k, ya que Miller considera como cara unidad la más externa. El polo 1 está situado a 1,5 (dominio y medio de k, luego su notación será la intermedia, es decir, 2. Finalmente l está situado a 2,5 dominios del polo 1) por lo cual la cara más
externa y tendrá la notación 1. Polo 1 (321)
110
.
1
x2
x3
x4
5
6 7
Polo 1
. x
x
x
x
x
Polo 3
.
x
x x
x
x
x
x x x
x
x x 3
.
5 x x
x x
(3 2 1) = (h k l)
(2 3 1) = (k h l)
(1 3 2) = (l h k)
(1 2 3) = (l k h)
(2 1 3) = (k l h)
(3 1 2) = (h l k)
(2 1 1) = (h l l) = (h k k)
(1 2 1) = (l h l) = (k h k)
(1 1 2) = (l l h) = (k k h)
(221)(hhl)(kkl)
(210)(hk0)
(111)
(110)
7 (100)
Primer cuadrante
Primer cuadrante
Polo 5
Polo 7
Puedes realizar como ejercicio el dar notación a cada uno de los polos en sus posiciones
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema cúbico existen cuatro clases más con sus 7 polos respectivos
.
Polo 6
x
x x
x
6 x
x x
x
Polo 4
. x
x
x
x x x
x
x
X
X
X
X X
X
X
X 4
Polo 2
.
2
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x x x x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
x
111
Las notaciones de cada polo son deducibles por la suma de los extremos (movimientos del mismo polo)
Notaciones del Sistema cúbico
Polo 1
(3 2 1) = (h k l)
(2 3 1) = (k h l)
(1 3 2) = (l h k)
(1 2 3) = (l k h)
(2 1 3) = (k l h)
(3 1 2) = (h l k)
Polo 2
Las tres cortes son desiguales cortando dominios
Dos cortes iguales y el tercero desigual midiendo sobre los planos
(2 1 1) = (h l l) = (h k k)
(1 2 1) = (l h l) = (k h k)
(1 1 2) = (l l h) = (k k h)
h = 0,5 = 3
k = 1,5 = 2
l = 2,5 = 1
corte
K = l = 1
h = 0,5 = 2 k = 1,5 = 1
l = 1,5 = 1
corte
Polo 3
corte
h = 1 = 2
k = 1 = 2
l = 1,5 =1
h = k = 2
(2 2 1) = (h h l) = (k k l)
(1 2 2) = (l h h) = (l k k)
(2 1 2) = (h l h) = (k l k)
Polo 4
corte
h = 0,5 = 2
k = 1,5 = 1
l = 0 = 0
(2 1 0) = (h k 0)
(1 2 0) = (k h 0)
(0 2 1) = (0 h k)
(0 1 2) = (0 k h)
(1 0 2) = (k 0 h)
(2 0 1) = (h 0 k)
Polo 5 Los tres cortes iguales (1 1 1)
Polo 6 (1 1 0) (0 1 1) (1 0 1)
Polo 7 (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)
Hexaquisoctaedro
Trapezoedro
Triaquisoctaedro
Tetraquishexaedro
Octaedro
Rombododecaedro
Cubo
Estos valores corresponden a los movimientos del polo 1 en el
primer cuadrante. En el resto de los cuadrantes solo cambia el
valor negativo del afectado.
El número se calcula en función del corte particular de cada uno,
pero la letra se pone en función de los valores del polo 1.
En cada polo el valor de h, k ó l puede variar.
Polos del primer cuadrante
Polos del primer cuadrante
Polos del primer cuadrante
h siempre es la máxima notación
dentro de cada polo
notación
Corte midiendo dominios y planos
Corte medido siguiendo planos
Cambia el signo según cuadrante
Primer cuadrante
Primer cuadrante
También puede deducirse según los dominios.
112
2
7
3 1
4 6
5
(100)
(h00)
(210)
(hk0)
(110)
(hh0)
(010)
(211) (hkl)
(1 1 0)
(001)
(120)
(111)
(101)
(201)
h
(011) K
l
h
(120)
(110)
(210) (210)
(211)
(111)
(hhl) (kkl)
(kh0)
(100)
(011)
(121)
(120)
(111)
(211)
(210)
(121)
(111)
K
1º orden
2º orden
(121)
(101)
+
+
+
+
-
-
-
-
(hkl)
(khl)
X
X
X X
X X
X
X
X
X X
X
X X
X X
arriba y circunferencia fundamental
abajo
arriba y abajo
X
X
Estereograma del sistema TETRAGONAL
(211)
(120)
(121)
(010)
(110)
(h0l)
Derecho
Izquierdo
X
X
X X
X X
X
X
X
2º orden
3º orden
3º orden
1º orden (hhl) (kkl)
0,5
1,5
(khl)
Estereograma con todas las notaciones correspondientes a los 7 polos
Las notaciones del estereograma del sistema tetragonal podemos determinarlas con los siguientes criterios
1) En este sistema "l" siempre es 1(si está dentro del dominio) ó cero si está en la circunferencia fundamental. Hay que tener en cuenta que el eje vertical de este sistema es el mayor y por lo tanto se le asigna el valor unidad y es referencia para los otros dos. 2) La notación se establece atendiendo al criterio que ya hemos estudiado en el sistema cúbico. La distancia más corta (vamos a tomar como ejemplo el polo1) h = 0,5 (mitad del dominio) será la notación mayor, es decir, 2 y la distancia k = 1,5 (dominio y medio) será la notación 1. En este caso no aparece la notación tres porque h ó k serán iguales a "l" al encontrarse ambos dentro del dominio fundamental. 3) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes. 4) Las notaciones que caen dentro del mismo plano se pueden determinar por la suma de los extremos:
Ej: Entre (110) y (010) el polo intermedio tiene un valor (120)
(hk0)
(hk0)
.
(kh0)
(hk0) X
0,5
X X
X X
X
X X
X (hk0)
(kh0)
(hh0) (kk0)
113
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 7
Polo 4
Tetragonal
x
x
x
x x
x
x
x 1
.
X
X
X
X X
X
X
X 4
.
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema tetragonal existen seis
clases más con sus 7 polos respectivos.
2
.
x
x x
x
x
3
.
x
x
x
Polo 6
6
.
x
x
x x
(2 1 1) = (h k l)
(1 2 1) = (k h l)
(2 1 0) = (h k 0)
(1 2 0) = (k h 0)
(1 1 1) = (h h l) ó (k k l)
(1 0 1) = (h 0 l)
(0 1 1) = (0 k l)
Polo 5
5
.
x
x x
x
7 . x
(1 1 0) = (h h 0) = (k k 0)
(1 0 0) = (h 0 0) ; (0 1 0) = (0 k 0)
(0 0 1) = (0 0 l)
(Holoedría)
114
Notaciones del sistema tetragonal de la holoedría
Polo 1
(2 1 1) = (h k l)
(1 2 1) = (k h l)
Estos valores corresponden a los movimientos
del polo 1 en el primer cuadrante. En el resto de
los cuadrantes solo cambia el valor negativo del
afectado.
Polo 2
Dos cortes son desiguales y el tercero l = 1
Dos cortes iguales y l = 1
h = 0,5 = 2
k = 1,5 = 1
l = 1 = 1
corte
h = k
h = 1 = 1
k = 1 = 1
l = 1 = 1
corte
Polo 3
corte
h = l = 1
k = 0
Polo 4
corte
h = 0,5 = 2
k = 1,5 = 1
l = 0 = 0
corte
h = 1 = 1
k = 1 = 1
l = 0 = 0
(2 1 0) = (h k 0)
(1 2 0) = (k h 0)
Polo 5
Polo 6
Polo 7
(1 1 1) = (h h l) ó (k k l)
Dos cortes iguales y el tercero cero
(1 0 1) = (h 0 l)
(0 1 1) = (0 k l)
Dos cortes desiguales y l = 0
(1 1 0) = (h h 0) = (k k 0)
Dos cortes iguales y l = 0
Solo corta a un eje
(1 0 0) = (h 0 0) ; (0 1 0) = (0 k 0)
Solo corta el eje c
(0 0 1) = (0 0 l)
h = k
Polos del primer cuadrante
Polos del primer cuadrante
Polos del primer cuadrante
Polos del primer cuadrante
Polos del primer cuadrante
y los negativos correspondientes
115
.
i
K K
h
i
h
5 4
1 2
3
6
7
(1010) (2130)
(1120)
(1230)
(3120)
(2110)
(3120)
(1100)
(2310)
(0001)
(h0hl)
(hh2hl)
(2311)
(1321) (2311)
(0110) (1231)
(2131)(hk i l)
(1121)
(3121)
(3211)
(1101)
(1011)
(0111)
(1211)(h2hhl)
(1321)
(1320)
(1210)
(2310)
(1011)
(0111)
(1210)
(1320)
(0110)
(1120)
(2131)
(2130)
(1010)
(hk i l)
(hk i 0)
(1231)
(1121) (1101)
(2110)
(3211)
(3210)
(1100)
(3121)
(2111)
(1211)
(2111)
h + k + i = 0 h + k = i Ej: (3 -1 0)
3 + (- 1) = i , i = - 2 (3 1 2 0)
(i k hl)
(h0 i 0) (h0 h 0)
(hh2h0)
(kh i l)
(1230)(kh i 0)
+
+ +
+
+
+ +
-
-
-
-
-
- -
(k i hl)
(i k h0)
1º orden
3º orden
2º orden
1º orden 2º orden
3º orden
(ihk0)
+
-
positivo
negativo
X
X X
X X
X X
X
X X
X X
X X
X
X
X X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
Estereograma con todas las notaciones correspondientes a los 7 polos
derecho
izquierdo
X arriba (superior) y circunferencia fundamental
abajo (inferior)
X arriba y abajo
Notaciones: Las notaciones del sistema hexagonal y trigonal-romboédrico podemos determinarlas con los siguientes criterios:
1) En este sistema, al igual que en el tetragonal "l" siempre es 1 si se encuentra dentro del círculo de proyección o cero si se encuentra sobre la circunferencia fundamental ya que corta al eje mayor "c" que es el vertical y se toma como la unidad y referencia para los otros dos.
2) En este sistema las notaciones serán 4, ya que al existir un eje auxiliar i
i
, habrá un corte más de las caras.
En este caso el valor de se deduce de la siguiente manera:
2 = i
3) La notación se establece atendiendo al criterio de que la distancia más corta. (utilizando como ej. el polo 1), en este caso h = 1,5 (dominio y medio) será la notación mayor, es decir 2, y k = 2,5 (dos dominios y medio) será la notación 1. El valor i = 0,5 nos da la notación 3. Cuando corta a dos ejes a la misma distancia su valor es 1= h ó K. 4) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.
5) Las notaciones que caen dentro del mismo plano se pueden determinar por la suma de los extremos.
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X X
X
1,5
2,5
Estereograma del sistema HEXAGONAL
(3210) ( i h k 0)
(h i k 0)
(i k h l)
(i h k l)
(hh0l)
(h i k l) (h2hhl)
(0hhl)
(i h k l)
(hh0l)
(h i k l)
(k i h l)
(0hhl)
(kh i l)
116
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 6
Polo 7
7
Hexagonal
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
.
x
x
x
x
x
x
.
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X 4
.
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema hexagonal existen seis
clases más con sus 7 polos respectivos y 4 clases más en el trigonal romboédrico
1 2
3
.
x
x
x x
x
x
Polo 5
5
.
X
X
X
X
X
X
6
. x
x x
x
x x
. x
6/m 2/m 2/m
(holoedría)
h
k
i h
k
i
(2131)(hk i l) (10 11)(h0hl)
h
h h
h h
h
k
k k
k k
k
i
i i
i i
i
(1121)(hh2hl) (2130)(hk i 0)
(1010)(h0i0)h0h0)
(1120)(hh2h0)
(0001)
117
Notaciones del sistema hexagonal de la holoedría
Polo 1
Polo 2
Polo 3
Polo 4
Polo 5
Polo 6
Polo 7
h = 1,5 = 2
k = 2,5 = 1
l = 1 = 1
corte
i = 0,5 = 3
i = 0,5 = 3
h = 1,5 = 2
k = 2,5 = 1
l = 0 = 0
corte
h = 2 = 1
k = 2 = 1
l = 0 = 0
corte
i = h + k = 2h
h = 2 = 1
k = 2 = 1
l = 1 = 1
corte
i = 1 = 2
(2 1 3 1) = (h k i l) (2 1 3 1) = (h k i l)
(1 2 3 1) = (k h i l) (1 2 3 1) = (k h i l)
(3 2 1 1) = (i h k l) (3 2 1 1) = (i h k l)
(3 1 2 1) = (i k h l) (3 1 2 1) = (i k h l)
(2 3 1 1) = (h i k l) (2 3 1 1) = (h i k l)
(1 3 2 1) = (k i h l) (1 3 2 1) = (k i h l)
(1 0 1 1) = (h 0 h l)
(0 1 1 1) = (0 h h l)
(1 1 0 1) = (h h 0 l)
(1 0 1 1) = (h 0 h l)
(0 1 1 1) = (0 h h l)
(1 1 0 1) = (h h 0 l)
h = 1 = 1
k = 3= 0 = 0
l = 1 = 1
corte
i = 1 = 1
(0 0 0 1)
(1 2 1 1) = (h 2h h l)
(2 1 1 1) = (2h h h l)
(1 2 1 1) = (h 2h h l)
(2 1 1 1) = (2h h h l)
(2 1 3 0) = (h k i 0) (2 1 3 0) = (h k i 0)
(1 2 3 0) = (k h i 0) (1 2 3 0) = (k h i 0)
(1 3 2 0) = (k i h 0) (1 3 2 0) = (k i h 0)
(2 3 1 0) = (h i k 0) (2 3 1 0) = (h i k 0)
(3 2 1 0) = (i h k 0) (3 2 1 0) = (i h k 0)
(3 1 2 0) = (i k h 0) (3 1 2 0) = (i k h 0)
(1 0 1 0) = (h 0 i 0) (h 0 h 0) (1 0 1 0)
(1 1 0 0) = (h h 0 0) (1 1 0 0)
(1 1 2 0) = (h h 2h 0)
(1 2 1 0) = (h 2h h 0)
(2 1 1 0) = (2h h h 0)
(1 1 2 1) = (h h 2h l)
(1 1 2 1) = (h h 2h l)
h = 1 = 1
k = 3 =
l = 0 = 0
corte
i = 1 = 1
no corta
h = i
h = i
(0 1 1 0) = (0 h i 0) = (0 h h 0) (0 1 1 0)
En este polo cuando la cara corta a i, h = k
En este polo cuando la cara corta a i, h = k
El número nos sirve para
identificar la letra y así
saber su distancia al corte.
El signo de la letra se pone
en función del signo del
número.
El tercer dígito del índice es
la suma de los dos primeros
multiplicado por - 1., así se
cumple que h + k + i = 0
h = K = 1
h + k = i
h + h = i
2h = i
h = K = 1
h + k = i
h + h = i
2h = i
h + k = i
h + k = i
h + k = i
h + k = i
h + k = i
ej. : la cara corta a h a la distancia de i; a k a su distancia,
notación ;
;
;
;
;
;
a i a la distancia h y a l no la corta
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
(1 1 2 0)
(1 2 1 0)
(2 1 1 0)
paralelo
118
.
. K K
h
i
h
5 4
1
2
3
6
(1120)
(1230)
(3120)
(2110)
(1230)(kh i 0) (3210)
(1100)
(2310) (1320)
(0001)
(2131)
(hh2hl)
(1121) (1231)
(3121)
(1321) (1211) (1211) (2311)
(1321)
(1231)
(2131) (hk i l)
(3121)
(3211)
(2311)
(0111)
(0110)
(1210)
(1100)
(1101)
(1011)
(2111)
(3211)
(1210)
(1101)
(1121)
(h0hl) (2111)
(hk i 0) (1010)
(2110)
(3120)
(1011)
(1120)
(2130)
(1320) (0111)
(3210)
(i khl)
(hh2h0)
(h0 i 0)
(h0 h 0)
1º orden
3º orden
2º orden
2º orden 1º orden
3º orden
(i h k0)
(i k h0)
(kh i l)
(0hhl)
(k i h l)
+ +
+ +
+ +
-
- -
-
- -
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X X
X
X
X X
X X
X
i (2130) (1010)
h + k + i = 0 h + k = i Ej: (3 -1 0)
3 + (- 1) = i , i = - 2 (3 1 2 0)
+
-
positivo
negativo
Estereograma con todas las notaciones correspondientes a los 7 polos
derecho
izquierdo
X arriba (superior) y circunferencia fundamental
abajo (inferior)
X arriba y abajo
Notaciones: Las notaciones del sistema hexagonal y trigonal-romboédrico podemos determinarlas con los siguientes criterios:
1) En este sistema, al igual que en el tetragonal "l" siempre es 1 si se encuentra dentro del círculo de proyección o cero si se encuentra sobre la circunferencia fundamental ya que corta al eje mayor "c" que es el vertical y se toma como la unidad y refencia para los otros dos. 2) En este sistema las notaciones serán 4, ya que al existir un eje auxiliar i
i
, habrá un corte más de las caras.
En este caso el valor de se deduce de la siguiente manera:
2 = i
3) La notación se establece atendiendo al criterio de que la distancia más corta. (utilizando como ej. el polo 1), en este caso h = 1,5 (dominio y medio) será la notación mayor, es decir 2, y k = 2,5 (dos dominios y medio) será la notación 1. El valor i = 0,5 nos da la notación 3. 4) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes. 5) Las notaciones que caen dentro del mismo plano se pueden determinar por la suma de los extremos.
(2310)
(0110)
7
Estereograma del sistema TRIGONAL - ROMBOÉDRICO
Cuando corta a dos ejes a la misma distancia su valor es 1= h ó K.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X X
X X
119
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 6
Polo 7
Trigonal - romboédrico
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema hexagonal existen seis
clases más con sus 7 polos respectivos y 4 clases más en el trigonal romboédrico
2
.
3 x
x
x x
x
x
.
6 x
x
x x
x
x
x x
x
.
Polo 5
5
X
X
X
X
X
X
.
x x
x x
x x
1
.
.
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
4
7
. x
3 2/m
(holoedría)
(2131)(hk i l) (10 11)(h0hl)
(1121)(hh2hl) (2130)(hk i 0)
(1010)(h0i0)h0h0)
(1120)(hh2h0)
(0001)
h
k
i h
h h
h h
h
k
k k
k k
k
i
i i
i i
i
120
Polo 1
Polo 2
Polo 3
Polo 4
Polo 5
Polo 6
Polo 7
h = 1,5 = 2
k = 2,5 = 1
l = 1 = 1
corte
i = 0,5 = 3
i = 0,5 = 3
h = 1,5 = 2
k = 2,5 = 1
l = 0 = 0
corte
h = 2 = 1
k = 2 = 1
l = 0 = 0
corte
i = h + k
h = 2 = 1
k = 2 = 1
l = 1 = 1
corte
i = 1 = 2
(2 1 3 1) = (h k i l) (2 1 3 1) = (h k i l)
(1 2 3 1) = (k h i l) (1 2 3 1) = (k h i l)
(3 2 1 1) = (i h k l) (3 2 1 1) = (i h k l)
(3 1 2 1) = (i k h l) (3 1 2 1) = (i k h l)
(2 3 1 1) = (h i k l) (2 3 1 1) = (h i k l)
(1 3 2 1) = (k i h l) (1 3 2 1) = (k i h l)
(1 0 1 1) = (h 0 h l)
(1 1 0 1) = (h h 0 l)
(0 1 1 1) = (0 h h l)
h = 1 = 1
k = 3= 0 = 0
l = 1 = 1
corte
i = 1 = 1
(0 0 0 1)
(1 2 1 1) = (h 2h h l)
(2 1 1 1) = (2h h h l)
(1 2 1 1) = (h 2h h l)
(2 1 1 1) = (2h h h l)
(2 1 3 0) = (h k i 0) (2 1 3 0) = (h k i 0)
(1 2 3 0) = (k h i 0) (1 2 3 0) = (k h i 0)
(1 3 2 0) = (k i h 0) (1 3 2 0) = (k i h 0)
(2 3 1 0) = (h i k 0) (2 3 1 0) = (h i k 0)
(3 2 1 0) = (i h k 0) (3 2 1 0) = (i h k 0)
(3 1 2 0) = (i k h 0) (3 1 2 0) = (i k h 0)
(1 0 1 0) = (h 0 i 0) (h 0 h 0) (1 0 1 0)
(1 1 0 0) = (h h 0 0) (1 1 0 0)
(1 1 2 0) = (h h 2h 0)
(1 2 1 0) = (h 2h h 0)
(2 1 1 0) = (2h h h 0)
(1 1 2 1) = (h h 2h l)
(1 1 2 1) = (h h 2h l)
h = 1 = 1
k = 3 = l = 0 = 0
corte
i = 1 = 1 no corta
h = i
h = i
(0 1 1 0) = (0 h i 0) = (0 h h 0) (0 1 1 0)
En este polo cuando la cara corta a i, h = k
En este polo cuando la cara corta a i, h = k
El número nos sirve para
identificar la letra y así
saber su distancia al corte.
El signo de la letra se pone
en función del signo del
número.
El tercer dígito del índice es
la suma de los dos primeros
multiplicado por - 1., así se
cumple que h + k + i = 0
h = K = 1
h + k = i
h + h = i
2h = i
h = K = 1
h + k = i
h + h = i
2h = i
h + k = i
h + k = i
h + k = i
h + k = i
h + k = i
ej. : la cara corta a h a la distancia de i; a k a su distancia,
notación ;
;
;
;
;
;
a i a la distancia h y a l no la corta
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
(1 1 2 0)
(1 2 1 0)
(2 1 1 0)
(1 0 1 1) = (h 0 h l)
(1 1 0 1) = (h h 0 l)
(0 1 1 1) = (0 h h l)
Notaciones del sistema trigonal - romboédrico de la holoedría
121
.
(100) (hk0)
(010)
(h0l)
(hkl)
+
+
-
-
K K
h
(100) h
l 7 6
3
5
4
2
1
(0kl)
(001)
(hk0)
1ª especie
2ª especie
3ª especie
(hkl) (hkl)
(h0l)
(0kl)
(hk0) (hk0)
X X
X X
X
X
X
X X
X
X
X
arriba y circunferencia fundamental
abajo
arriba y abajo
X
X
Derecho
Izquierdo
Estereograma del sistema RÓMBICO
Estereograma con todas las notaciones correspondientes a los 7 polos
Notaciones : Las notaciones del estereograma del sistema rómbico podemos determinarlas con los siguientes criterios:
1) En este sistema "l" siempre es 1(si está dentro del dominio) ó cero si está en la circunferencia fundamental. Hay que tener en cuenta que los tres ejes son desiguales y por tanto todas las caras que caen en el dominio fundamental
3) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.
tienen por valor (hkl). 2) El resto de las notaciones no presentan ninguna dificultad, ya que no necesita establecer criterios de distancia y corte.
2º orden 3º orden
1º orden
(010)
(hkl)
X
X
X
X
X
122
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5
Polo 4
Polo 6
Polo 7
Rómbico
X
X
X
X
4
.
7
. x
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema rómbico existen dos
clases más con sus 7 polos respectivos.
.
1 x x
x x
. x x 2
3
.
x
x
5
.
X
X
6 . x x
2/m 2/m 2/m
(holoedría)
(hkl)
(0kl)
(h0l) (hk0)
(100) (010)
(001)
123
Notaciones del sistema rómbico de la holoedría
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
(0 0 1)
Holoedría
(h k l)
(h k l)
(h k l)
(h k l)
(0 k l)
(0 k l)
(h 0 l)
(h 0 l)
(h k 0)
(h k 0)
(h k 0)
(h k 0)
(1 0 0)
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 1 0)
124
.
X
X X
X
X X
X
X X
X
X
7 2
3 1
4
5
(hkl)
(0kl)
(h0l)
(hk0)
(100)
(001)
6
(010)
4ª especie
1ª especie
2ª especie
3ª especie
1º orden
2º orden
3º orden
- -
+ +
izquierdo
izquierdo
Derecho
Derecho
arriba y circunferencia fundamental
abajo
arriba y abajo
X
X
Derecho
Izquierdo
Notaciones :
1) En este sistema "l" siempre es 1(si está dentro del dominio) ó cero si está en la circunferencia fundamental. Hay que tener en cuenta que los tres ejes son desiguales y por tanto todas las caras que caen en el dominio fundamental
3) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.
tienen por valor (hkl). 2) El resto de las notaciones no presentan ninguna dificultad, ya que no necesita establecer criterios de distancia y corte.
Estereograma del sistema MONOCLÍNICO
h
h
k k
l
x x x
(hkl)
(h0l)
(hk0)
(100)
(hk0)
(hkl)
(0kl) (010)
(hkl)
(hk0)
El eje de rotación binaria se toma usualmente como eje "b"; el eje "a" está inclinado hacia abajo y hacia
el frente; c es vertical.
Las notaciones del estereograma del monoclínico podemos determinarlas con los siguientes criterios:
Tomamos el eje inclinado como anteroposterior, como transverso el macroeje y como vertical el tercero.
125
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 7
Polo 6
Polo 5
Monoclínico
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema hexagonal existen seis
clases más con sus 7 polos respectivos y 4 clases más en el trigonal romboédrico
7
6 x x
5 X
X
X X
2/m
(holoedría)
X
X X
X X
4
3 X
X X
1
2
(hkl)
(0kl)
(h0l) (hk0)
(100) (010)
(001)
126
Notaciones del sistema monoclínico de la holoedría
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7(0 0 1)
(h k l)
(h k l)
(h k l)
(h k l)
(0 k l)
(0 k l)
(h 0 l)
(h 0 l)
(h k 0)
(h k 0)
(h k 0)
(h k 0)
(1 0 0)
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 1 0)
127
x
x
x
x
x
x x
x
x
7
2
6
4
1
5 (100)
(hkl)
(0kl)
(h0l)
(hk0)
(010)
(001)
1º orden
3ª especie
3
2ª especie 4ª especie 2º orden
1ª especie
3º orden
arriba y circunferencia fundamental
abajo
arriba y abajo
X
X Derecho
Izquierdo
Notaciones : Las notaciones del estereograma del sistema triclínico podemos determinarlas con los siguientes criterios:
que tener en cuenta que los tres ejes son desiguales y por tanto todas las caras que caen en el dominio fundamental
3) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.
tienen por valor (hkl). 2) El resto de las notaciones no presentan ninguna dificultad, ya que no necesita establecer criterios de distancia y corte.
1) En este sistema "l" siempre es 1(si está dentro del dominio) ó cero si está en la circunferencia fundamental. Hay
La razón más desarrollada se toma como la vertical (eje c). El (001) debe inclinarse hacia delante y a la
derecha. El eje "b" debe ser mayor que el eje "a".
Estereograma del sistema TRICLÍNICO
a
b
c X
128
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5
Polo 6
Polo 7
Triclínico
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema triclínico existe otra
clase más con sus 7 polos respectivos.
(holoedría)
1
6
X
X
5
X
X
1 X
X 2
X 3
X
X
4
7 X
(hkl) (0kl)
(h0l) (hk0)
(100) (010)
(001)
129
Notaciones del sistema triclínico de la holoedría
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
(h k l)
(h k l)
(0 k l)
(0 k l)
(h o l)
(h o l)
(h k 0)
(h k 0)
(1 0 0)
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
(0 0 1)
130
6.8. Sistemas cristalinos con todas sus clases y todos sus polos
HOLOEDRÍA
1) Clase Hexaquisoctaédrica
5) Clase Tetartoédrica o
4) Clase Giroédrica o Icositetraédrica
4/m 3 2/m = m3m CÚBICO
4 3 m hemiedría hemimórfica
MEROEDRÍA:
2/m 3 = m 3
432
23
MEROEDRÍA
hemiedría paramórfica
MEROEDRÍA
hemiedría enantiomórfica
TETARTOEDRÍA
Polo 1 (hkl) Hexaquisoctaédro
Polo 2 (hkk) (hll) Trapezoedro Polo 3 (hhl) Triaquisoctaedro Polo 4 ( hk0) Tetraquishexaedro Polo 5 (111) Octaedro Polo 6 (110) Rombododecaedro Polo 7 (100) Cubo o hexaedro
E 4 E 3 E 2 3 , 4 , 6
E 3 E 2 P 3 , 4
3P
3E 4
E 3 E 2 4 6 6P
C i
E 3 E 2 3 , 4 3P C
i
.
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
1 x2
x3
x4
5
6 7
E 3 3 , 4 , 6P p E 4 i
2) Clase Hexaquistetraédrica
Polo 1 (hkl) +; (hkl) -
Polo 2 (hkk) +; (hkk) -
Polo 4 (hk0)
Polo 6 (110) =
Polo 7 (100)
Polo 3 (hhl) +;(hhl) -
Polo 1 (hkl) izqu.; (khl) dcha. Diploedro o
Polo 1 (hkl) izqu. ; (khl) dcha. Giroedro o
3) Clase Diploédrica o
Hexaquistetraédro
Triaquistetraedro triangular
Triaquistetraedro trapezoidal = holoedría (tetraquishexaedro)
= holoedría
Diaquisdodecaedro
Polo 2, 3, 5, 6 y 7 Igual a la holoedría pero con
simetría inferior
Polo 4 (hk0) izqu.; (Kh0) dcha. Pentadodecaedro
pentagonal
triaquisoctaedro pentagonal
Polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero
con menor simetría
triaquistetraédrica pentagonal
Polo 1 (khl) dcha +; (hkl) dcha -
(hkl) izqu. +; (khl) izqu. -
Tetartoedro o Triaquistetraedro
pentagonal
diaquisdodecaédrica
.
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x
x x
x
x x
x
.
.
x
x x
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
.
Polo 5 (111) + ; (111) - = Tetraedro
holoedría (rombododecaedro)
131
HOLOEDRÍA
7) Clase Piramidal tetragonal
6) Clase Biesfenoidal tetragonal
5) Clase Bipiramidal tetragonal
4) Clase Trapezoédrica tetragonal
3) Clase Piramidal ditetragonal
2) Clase Escalenoédrica tetragonal
1) Clase Bipiramidal ditetragonal 4/m 2/m 2/m = 4/mmm
42m
4mm
422
4/m
4
4
TETRAGONAL
.
Hemiedría de 2ª especie
Hemiedría hemimórfica
Hemiedría enantiomórfica
Hemiedría paramórfica
Tetartoedría de 2ª especie
Tetartoedria de 1ª especie
Polo 1 (hkl) Bipirámide ditetragonal Polo 2 (hhl) Bipirámide tetragonal 2º orden Polo 3 (h0l) Bipirámide tetragonal 1º orden Polo 4 (hk0) Prisma ditetragonal Polo 5 (110) Prisma tetragonal 2º orden Polo 6 (100) Prisma tetragonal 1º orden Polo 7 (001) Pinacoide base
1E, 2E, 2E´ P, 2P, 2P´
C 4 2 2
E 2 E i 4
1 2 , 2P
1E , 2P, 2P 4 p
1E , 2E , 2E´ 4 2 2
1E P
C 4
1E 4 i
1E 4 p
Polo 1 (hkl) + Escalenoedro tetragonal
Polo 2 (hhl) + Biesfenoide tetragonal 2º orden
Polo 3, 4, 5, 6 y 7 = holoedría
(hkl) -
(hhl) -
Polo 1 (hkl) izquierda (khl) derecho
Los demás polos son iguales a la holoedría pero de menor simetría.
Polo 1 (hkl) izqui.
Trapezoedro tetragonal
(khl) dcha. Bipirámide tetragonal 3º orden
Polo 4 (hk0) izqui. (kh0) dcha.
Prisma tetragonal 3º orden
Polo 1
Biesfenoide tetragonal de 3º orden
2º orden Polo 3 (h0l)+; (0hl) - Biesfenoide tetragonal de
1º orden
izqu. + (hkl); dcho + (khl)
Polo 2 (hhl) +; (hhl) - Biesfenoide tetragonal de
.
x
x x
x
.
x
x
x
x x
x
x
x
.
x
x x
x
.
x
x x
x
.
x
x
.
x x
x x
Se repiten las formas de la holoedría pero las tres bipirámides: polos 1, 2 y 3 dan formas, superior e inferior por el carácter polar del eje. El pinacoide se convierte en pedión y los prismas son iguales pero de menor simetría.
Polo 1 (hkl) Pirámide ditetragonal Polo 2 (hhl) Pirámide tetragonal 2º orden Polo 3 (h0l) Pirámide tetragonal 1º orden Polo 7 (001) Pedión
Polo 1(hkl) Pirámide tetragonal.
El resto de los polos dan formas iguales a la holoedría o hemiedría hemimórfica
izqu. - (khl); dcho - (hkl)
.
x x x
x
x x x
x
1 2
3
4 5 6
7
132
HOLOEDRÍA
7) Clase Piramidal hexagonal
6) Clase Bipirámide trigonal
5) Clase Bipiramidal hexagonal
4)Clase Trapezoédrica hexagonal
3) Clase piramidal dihexagonal
2) Clase bipiramidal ditrigonal
1) Clase Bipiramidal dihexagonal 6/m 2/m 2/m = 6/mmm
6m2 62m
6mm
622
6/m
6 = 3/m
6
HEXAGONAL
Hemiedría de 2ª especie
Hemiedría hemimórfica
Hemiedría enantiomórfica
Hemiedría paramórfica
Tetartoedría de 2ª especie
Tetartoedría de 1ª especie
1E , 3E , 3E´ P , 3P , 3P´
C 6 2 2
1E , 3E , 4P 6 i
2
1E , 3P, 3P´ 6 p
1E , 3E , 3E´ 6 2 2
1E 1P
, C 6
1E = 1E 1P
i 6 3
1E 6 p
Polo 7 (0001)
Polo 2 (h0hl)
Polo 4 (hk i 0) Polo 5 (1010)
Polo 3 (hh2hl)
Polo 6 (1120)
Polo 1 (hk i l) Bipirámide dihexagonal Bipirámide hexagonal 1º orden Bipirámide hexagonal 2º orden Prisma dihexagonal
Prisma hexagonal 1º orden Prisma hexagonal 2º orden Pinacoide hexagonal
Polo 3, 6 y 7 = holoedría
Polo 2 (h0hl)+ ; (0hhl)- Bipirámide trigonal 1ºorden
Polo 4 (hk i 0)+ ; (kh i 0)- Prisma ditrigonal
Polo 5 (1010)+ ; (0110)- Prisma trigonal 1º orden
Trapezoedro hexagonal
Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 = holoedría con menor simetría
Polo 1 (hk i l) derecho
(i khl) izquierdo
Bipirámide hexagonal 3º orden
Prisma hexagonal 3º orden
Polo 1 (hk i l) derecho
(i khl) izquierdo
Polo 4 (hk i 0) derecho
(i kh0) izquierdo
Los polos 2, 3, 5, 6 y 7=holoedría con menor simetría
Bipirámide trigonal de 3º orden
Polos 2, 5 y 7 = 6m2
Polo 1 (hk i l) dcha +; (i hkl) dcha -
Bipirámide trigonal 2º orden
Prisma trigonal 3º orden
Polo 3 (hh2hl)+; (2hhhl)-
Polo 4 (hk i 0)dcha +; (i hk0) dcha - (i kh0)izqu +; (kh i 0) izqu - Polo 6 (1120)+; (2110)- Prisma trigonal 2º orden
Superior
Inferior
Polo 1 (hk i l)
(hk i l)
(i khl)
(i khl)
Pirámide hexagonal 3º orden
Polos 2, 3, 4 ,5 ,6 y 7 ya deducidos
. x
x x
x
x x
.
x
x
x x
x
x
x x
x x
x x x
x
x x
x x
.
x x
x
x x
x .
.
x x x x
x x x x
x x x x
.
x
x
x
.
x x
x x
x x
Se repiten todas las formas de la holoedría con la diferencia de que las tres bipirámides dan dos formas (superior e inferior)(pirámides) dado el carácter polar del eje senario de esta clase. El pinacoide se convierte en pediones Polo 7 (0001) Pedión
(i khl) izqui. + ; (kh i l) izqui.-
Polo 1 (hk i l) Pirámide dihexagonal
Polo 1 (hk l) i i +; (kh l)-; Bipirámide ditrigonal
Polo 2 (h0hl) Pirámide hexagonal 1º orden
Polo 3 (hh2hl) Pirámide hexagonal 2º orden
1 2x
x3 x4
5 6
7
=
No tiene centro de simetría
(no tiene caras paralelas)
pero si plano ecuatorial
133
HOLOEDRÍA
1) Clase Escalenoédrica ditrigonal
5) Clase Piramidal trigonal
4) Clase Romboédrica
TRIGONAL-ROMBOÉDRICO 3 2/m = 3m
Hemiedría hemimórfica 3m
Hemiedría enantiomórfica
Hemiedría paramórfica
Tetartoedría de 1ª especie
32
3
3
2) Clase Piramidal ditrigonal
3) Clase trapezoédrica trigonal
1E , 3E , 3P
C 3 i
2
1E , 3P 3 p
1E , 3E 3 2
1E , C i 3
1E 3 p
Polo 1 (hk i l)+; (kh i l)-
Polo 2 (h0hl)+ ; (0hhl)- Polo 3 (hh2hl)
Polo 4 (hk i 0)
Polo 5(1010)
Polo 6 (1120)
Polo 7 (0001)
Escalenoedro ditrigonal
Romboedro de 1º orden
Bipirámide hexagonal 2º orden
Prisma dihexagonal
Prisma hexagonal 1º orden
Prisma hexagonal 2º orden
Pinacoides
Pirámide ditrigonal
Pirámide trigonal de 1º orden
Pirámide hexagonal de 2º orden
Polo 4 (hk i 0) + dcho. (kh i 0) - izqui. Prisma ditrigonal
Polo 5 (1010)+; (0110)- Prisma trigonal 1º orden Polo 6 = 3 2/m Polo 7 (0001)Sup.; (0001) Inf. Pedión
Polo 1 (hk i l)+; (kh i l)- Sup. (kh i l)+ ; (hk i l)- Inf.
Polo 2 (h0hl)+ ; (0hhl)- Sup. (h0hl)+ ; (0hhl)- Inf. Polo 3 (hh2hl) Sup. (hh2hl) Inf.
Polo 1
Trapezoedro trigonal (hk i l) dcho +;(i hkl)dcho -
(i khl) izqu. + ; (kh i l) izqu. -
Polo 3
Bipirámide trigonal de 2º orden (hh2hl)dcho (2hhhl)izqu.
Los polos 2, 4, 5 y 7 = 3m
Prisma trigonal de 2º orden
Polo 1
Romboedro de 3º orden (hk i l)+;(i hkl)- dchos
(i khl)+; (kh i l)- izquos
Polo 3 (hh2hl)+; (2hhhl)- Romboedro de 2º orden
Polo 4
de 3º orden
Los polos 2, 5, 6 y 7 = holoedría
Polo 1 Superiores, inferiores con l
Pirámide trigonal de 3º orden
Polo 2 (4 formas correlativas) Pirámide trigonal 2º orden (4 formas correlativas) Polo 3 Pirámide trigonal 2º orden
(4 formas correlativas) Polo 4 Prisma trigonal 3º orden
Polo 7 Pedión superior e inferior
.
x
x
x
.
x
x
x
.
x
x
x
.
x x
x
x
x
x
.
x x
x
x
x
x
Polo 6 (1120)dcho (2110)izqu.
(hk i 0)dcho (kh i 0) izqu. Prisma hexagonal
(hk i l)+; (i hkl)- Dchas
(i khl)+ ; (kh i l)- izquas
1 2
3
4 5 6
7
y 3m
134
RÓMBICO HOLOEDRÍA
Hemiedría hemimórfica
Hemiedría enantiomórfica
2/m2/m2/m = mmm
2mm = mm2
222
1) Clase Bipiramidal rómbica
2) Clase piramidal rómbica
3) Clase biesfenoidal rómbica
1E , 1E´ , 1E" P , P´ , P"
C 2 2 2
1E , 1P , 1P p 2
1E , 1E´ , 1E 2 2 " 2
Polo 1 (hkl) Bipirámide rómbica
Polo 2 (0kl) Prisma de 1ª especie
Polo 3 (h0l) Prisma de 2ª especie
Polo 4 (hk0) Prisma de 3ª especie
Polo 5 (100) Pinacoide de 1º orden
Polo 6 (010) Pinacoide de 2º orden
Polo 7 (001) Pinacoide de 3º orden
Al no existir plano horizontal las formas
Polo 1 (hkl) sup. Pirámide rómbica
Polo 2 (0kl)sup. Domo 1ª especie
Polo 3 (h0l) Domo 2ª especie
de la holoedría pierden las caras del
hemisferio inferior
Polo 4 (hk0) Prisma de 3ª especie
Polo 5 (100) Pinacoide 1º orden
Polo 6 (010) Pinacoide 2º orden
(hkl) inf
(h0l)
(0kl) inf.
sup.
inf.
Polo 7 (001) y (001)
Polo 1 (hkl) dcho. izqu. (hkl)
Biesfenoide rómbico
Los polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 son iguales
a las formas de la holoedría.
.
x
x
.
x
x x
x
Pedión
6 .
x
x x
x 1
2
3
4
5
7
135
MONOCLÍNICO HOLOEDRÍA
Hemiedría
Hemiedría hemimórfica
2/m
m
2
1) Clase Prismática
2) Clase Domática
3) Clase Esfenoídica
1E, P
C 2
1P
1E 2 p
x
.
x x
.
x x
.
Polo 1(hkl) + Prisma de 4ª especie
Polo 2 (0kl) Prisma de 1ª especie
Polo 3 (h0l) +
-
Pinacoide de 2ª especie
Polo 4 (hk0) Prisma de 3ª especie
Polo 5 (100) Pinacoide 1ª orden
Polo 6 (010) Pinacoide 2º orden
Polo 7 (001) Pinacoide 3º orden
Frente a la holoedría solo permanece
invariable el pinacoide de 2º orden
llamado también lateral. Todas las
demás formas se reducen a la mitad.
Los prismas en domos
Los pinacoides en pediones
Polo 1 (hkl) Domo de 4ª especie
Polo 2 (0kl) Domo de 1ª especie
Polo 3 (h0l) Pedión de 2ª especie
Polo 4 (hk0) Domo de 3ª especie
Polo 5 (100) Pedión de 1º orden
Polo 6 (010) = holoedría
Polo 7 (001) Pedión de 3º orden
(hkl) -
(h0l)
(hkl)+; (hkl)- dchos
Polo 1
Esfenoide 4ª especie
Polo 2 (0kl) dcho (0kl) izqu.
Esfenoide 1ª especie
Polo 4 (hk0)dcho Esfenoide 3ª especie
Polo 6 (010)dcho Pedión 2º orden
Polo 7 (001) Pinacoide 3º orden
Los polo 3 y 5 son iguales a la holoedría
(hkl)+; (hkl)- izquos
(hk0)izqu.
(010)izqu
1
2
3
4
5
6 7
136
TRICLÍNICO 1) Clase Pinacoidal
2) Clase Pedial 1
1 HOLOEDRÍA
C
HEMIEDRÍA nada
Polo 1 (hkl) Pinacoide de 4º especie
Polo 2 (0kl) Pinacoide de 1ª especie
Polo 3 (h0l) Pinacoide de 2ª especie
Polo 4 (hk0) Pinacoide de 3ª especie
Polo 5 (100) Pincoide de 1º orden
Polo 6 (010) Pinacoide de 2º orden
Polo 7 (001) Pinacoide de 3º orden
Polo 1 (hkl) Pedión de 4º especie
Polo 2 (0kl) Pedión de 1ª especie
Polo 3 (h0l) Pedión de 2ª especie
Polo 4 (hk0) Pedión de 3ª especie
Polo 5 (100) Pedión de 1º orden
Polo 6 (010) Pedión de 2º orden
Polo 7 (001) pedión de 3º orden
1
2
3
4
5
6
7
x
1
2
3
4
5
6
7
x
137
7) EJERCICIO PRÁCTICO 3: Completa los estereogramas de
todos los sistemas a partir de un polo
Ya debes de conocer el significado de las notaciones (posición de las caras del poliedro) y su
deducción, además ya has tenido que adquirir cierta soltura en el manejo de los polos sobre el
estereograma; es por ello que tienes que realizar la construcción de un poliedro a partir de un solo
polo aplicando todos los elementos de simetría que le afecten, pero lo vas a realizar no solo en la
holoedría, sino en todas las clases de simetría de todos los sistemas cristalinos.
Con la realización de estos ejercicios van a conseguir aprender a utilizar los elementos de
simetría a los diferentes estereogramas de lo siete sistemas cristalinos.
Puedes ayudarte de los poliedros para comprender mejor la proyección.
Las soluciones las recibirás una vez hayas concluido con el ejercicio.
Al mismo tiempo verás que cada polo inicial tiene su notación, por tanto, como ejercicio
complementario, puedes averiguar la notación del resto de los polos que deduzcas; solo tendrás que
cambiar la posición de la letra o el número y en algunos casos el signo.
Cúbico: 1. Holoedría 4/m 2/m = m 3 m Para completar
138
Polo 5
Polo 7
7
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema cúbico existen cuatro clases más con sus 7 polos respectivos
Polo 6
Polo 4
Polo 2
.
2 X
X
Polo 1
x
.
1
.
6 x
Polo 3
.
3
.
5
(hkl)
Hexaquisoctaedro
48 caras (hkk) (hll)
Trapezoedro
(hhl)
Triaquisoctaedro
.
X 4
(hk0) Tetraquishexaedro
(111) Octaedro (110) Rombododecaedro
(100) Cubo o hexaedro
.
x 7
X
Cúbico: 2. Hemiedría hemimórfica: Para completar
139
4 3m
Polo 5
Polo 6
Polo 7
Polo 1
x
. .
.
(hkl) (+ y -) Hexaquistetraedro
x
.
1
x 5
6
7
(111) + y - (110)
= a la holoedría
(cubo o hexaedro) (100)
Polo 2
(hkk) (+ y -)
x
.
2
Triaquistetraedro
triangular
Polo 3
x
.
3
(hhl) (+ y -) Triaquistetraedro
trapezoidal Polo 4
x
.
4
(hk0)
= a la holoedría
tetraquihexaedro
Tetraedro = holoedría
Rombododecaedro
x
(hll)
(kkl)
(221) (210)
Cúbico: 3. Hemiedría hemimórfica: 2 / m = m 3 Para completar
140
3
Polo 5
Polo 7
Polo 1 Polo 2
Polo 6
Polo 4
Polo 3
.
.
.
.
.
.
x
.
(hkl) izq. y dcho (hkk) (hll)
(hhl)
(hk0) izq. y dcho
(111) (110)
(100)
Diploedro = holoedría
Trapezoedro
X
X
X
X
X
X 1 2
3
4
Pentadodecaedro = holoedría triaquisoctaedro
= holoedría
Octaedro
= holoedría
Rombododecaedro
5 6
7
= holoedría
Cubo
Cúbico: 4. Hemiedría enantiomórfica 432 Para completar
141
Polo 5
Polo 7
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 6
. .
.
. .
.
.
(hkl) izqu. y dcho (hkk) (hll)
(hhl) (hk0)
(111)
(110)
(100)
X X
X
X
X
X
X
Giroedro o triaquisoctaedro
1 2
3
4
5
6
7
= holoedría
= holoedría
= holoedría = holoedría
= holoedría
= holoedría
(trapezoedro)
(triaquisoctaedro) (tetraquisexaedro)
(octaedro) (rombododecaedro)
(cubo)
pentagonal
Cúbico: 5. Tetartoedría 23 Para completar
142
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Polo 1
Polo 3 Polo 4
Polo 2
.
.
. .
.
.
(hkl) izqu. + y - (hkk) (hll)
(hhl) (hk0)
(111) (110)
(100)
X
X
X
X
X
X
.
x 1
dcho + y -
2
3
4
5
6
7
Tetartoedro = H. hemimórfica
= holoedría = holoedría
= H. hemimórfica = holoedría
= holoedría
(triaquistetraedro
triangular)
(triaquistetraedro)
trapezoidal)
(rombododecaedro)
(tetraedro)
(rombododecaedro)
(cubo)
Tetragonal: 6. Holoedría 4/m 2/m 2/m = 4/mmm Para completar
143
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5
Polo 7
Polo 4
7
Tetragonal
X
X
X 1
X 4
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema tetragonal existen seis
clases más con sus 7 polos respectivos.
2
3
5
.
X
Polo 6
6
.
X
X
(hkl) (hhl)
(h0l) (hk0)
(110) (100)
(001)
Bipirámide ditetragonal
Bipirámide tetragonal 2º orden
Bipirámide tetragonal 1º orden Prisma ditetragonal
Prisma tetragonal 2º orden Prisma tetragonal 1º orden
Pinacoide básico
Tetragonal: 7. Hemiedría 2ª especie Para completar
144
4 2 m
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Polo 4
Tetragonal
X
.
.
. .
.
.
(hhl) + y -
(h0l) (hk0)
(110) (100)
(001)
(hkl) + y -
.
X
X
X
X
X
X
1 2
3
4
5
6
7
Escalenoedro tetragonal Biesfenoide tetragonal 2º orden
= holoedría
= holoedría
= holoedría
= holoedría
= holoedría
bipiráimde tetragonal 1º orden
prisma ditetragonal
prisma tetragonal 2º orden prisma tetragonal 1º orden
pinacoide
Tetragonal: 8. Hemiedría hemimórfica 4mm Para completar
145
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Polo 4
Tetragonal
. .
(hkl) (hhl)
(h0l) (hk0)
(110) (100)
(001)
1
2
.
6 X
5
.
X
.
4 X
.
3 X
X
Pirámide ditetragonal Pirámide tetragonal 2º orden
Pirámide tetragonal 1º orden = holoedría
= holoedría = holoedría
Pedión
7 .
X
X
prisma ditetragonal
prisma tetragonal 2º orden prisma tetragonal 1º orden
Tetragonal: 9. Hemiedría enantiomórfica 4 2 2 Para completar
146
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Polo 4
Tetragonal
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema tetragonal existen seis
clases más con sus 7 polos respectivos.
.
X
X
.
.
.
.
.
.
(hkl) izqu. y dcho (hhl)
(h0l) (hk0)
(110) (100)
(001)
1
2
3
4
5
6
7
X
X
X
X
X
Trapezoedro tetragonal = holoedría
= holoedría
= holoedría = holoedría
= holoedría
= holoedría
bipirámide tetragonal 2º orden
bipirámide tetragonal 2º orden prisma ditetragonal
prisma tetragonal 2º orden prisma tetragonal 1º orden
pinacoide
Tetragonal: 10. Hemiedría paramórfica 4 / m Para completar
147
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 6
Polo 7
Polo 4
Polo 5
Tetragonal
. .
.
. .
.
.
(hkl) izqui. y dcha
(hhl)
(h0l) (hk0) izqui. y dcha
(110) (100)
(001)
1
2
3 4
5
6
7
X
X
X X
X
X
X
Bipirámide tetragonal 3ª orden
Prisma tetragonal 3ª orden
= holoedría
= holoedría
= holoedría = holoedría
= holoedría
bipirámide tetragonal
bipirámide tetragonal 1º orden
prisma tetragonal 2º orden prisma tetragonal 1º orden
pinacoide
Tetragonal: 11. Tetartoedría 2ª especie Para completar
148
4
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5
Polo 7
Polo 4
Tetragonal
Polo 6
.
.
.
.
.
.
.
(hkl) izqui. + y - ; dcho + y - (hhl) + y -
(h0l) + y - (hk0)
(110) (100)
(001)
1
2
3
4
5
6
7
X X
X
X
X
X
X
Biesfenoide tetragonal 3º orden Biesfenoide tetragonal 2º orden
Biesfenoide tetragonal 1º orden H. paramórfica
= holoedría
= holoedría
= holoedría
prisma tetragonal 3º orden
prisma tetragonal 2º orden prisma tetragonal 1º orden
pinacoide
Tetragonal: 12. Tetartoedría 1ª especie 4 Para completar
149
Polo 1
Polo 2
Polo 3
Polo 6
Polo 7
Polo 4
Polo 5
Tetragonal
.
.
(hkl)
(hhl)
(h0l) (hk0)
(110) (100)
(001)
5
7 X
.
1 X
.
2 X
.
4 X
.
3 X
X
.
6 X
Pirámide tetragonal = H. hemimórfica
pirámide tetragonal 2º orden
= H. hemimórfica pirámide tetragonal 1º orden
= H. paramórfica prisma tetragonal 3º orden
= holoedría prisma tetragonal 2º orden
= holoedría prisma tetragonal 1º orden
= holoedría
pedión
Hexagonal: 13. Holoedría 6/m 2/m 2/m = 6/mmm Para completar
150
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7 7
Hexagonal
. .
X 4
.
.
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema hexagonal existen seis
clases más con sus 7 polos respectivos.
1 2
3
.
5
.
X 6
.
x
x
6/m 2/m 2/m
(holoedría)
(0001)
(h k i l) (h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
Bipirámide dihexagonal
Bipirámide hexagonal 1º orden
Bipirámide hexagonal 2º orden Prisma dihexagonal
Prisma hexagonal 1º orden Prisma hexagonal 2º orden
Pinacoide hexagonal
X X
X
Hexagonal: 14. Hemiedría 2ª especie Para completar
151
6 m 2 6 2 m
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Hexagonal
1
.
.
.
.
X X
X
2
4
5
7
(0001)
(h k i l) (h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X
.
6 X
.
3
.
X
X
Posición especial: en esta clase el tercer símbolo (eje de rotación binaria)coincide
con las perpendiculares a a1, a2 y a3, las m coinciden con estas mismas direcciones
a1
a2
a3 Bipirámide ditrigonal Bipirámide trigonal 1º orden
= holoedría
+ y - + y -
= holoedría
+ y -
Prisma ditrigonal
= holoedría Prisma trigonal 1º orden
+ y -
bipirámide hexagonal 2º orden
prisma hexagonal 2º orden
pinacoide hexagonal
Hexagonal: 15. Hemiedría hemimórfica 6 m m Para completar
152
Polo 1
Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Hexagonal
1
. .
.
.
.
.
.
2
3
4
5
6
7
(0001)
(h k i l) (h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
Pirámide dihexagonal Pirámide hexagonal 1º orden
Pirámide hexagonal 2º orden = holoedría
= holoedría
Pedión
prisma dihexagonal
prisma hexagonal 1º orden
= holoedría prisma hexagonal 2º orden
Hexagonal: 16. Hemiedría enantiomórfica 622 Para completar
153
Polo 1
Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Hexagonal
.
.
.
.
.
.
1
3
4
5
6
7
(0001)
(h k i l)
(h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X X
X
X
X
.
2
Dcho e
izqui.
Trapezoedro hexagonal = holoedría
= holoedría
= holoedría
= holoedría = holoedría
= holoedría
bipirámide hexagonal 1º orden
prisma dihexagonal
prisma hexagonal 2º orden
pinacoide
prisma hexagonal 1º orden
X X
bipirámide hexagonal 2º orden
Hexagonal: 17. Hemiedría paramórfica 6/m Para completar
154
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Hexagonal
. .
.
.
.
.
.
1 2
3
4
5
6
7
(0001)
(h k i l)
(h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X
X
X
X X
X
X
Dcho e
izqui.
Bipirámide hexagonal 3º orden = holoedría
= holoedría
= holoedría = holoedría
= holoedría
Prisma hexagonal 3º orden
Dcho e izqui.
bipirámide hexagonal 1º orden
bipirámide hexagonal 2º orden
prisma hexagonal 1º orden prisma hexagonal 2º orden
pinacoide
Hexagonal: 18. Tetartoedría de 2ª especie = 3/m Para completar
155
Polo 1
Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Hexagonal
.
.
.
.
.
.
1
3
4
5 6
7
(0001)
(h k i l)
(h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X
X
X X
X X
X
.
2
dcho + y - izqui + y -
Bipirámide trigonal 3º orden
Bipirámide trigonal 2º orden
= hemiedría 2ª especie
Prisma trigonal 3º orden
+ y - dcho + y -
izqui. + y -
= hemiedría 2ª especie Prisma trigonal 2º orden
+ y -
bipirámide trigonal 1º orden
prisma trigonal 1º orden
pinacoide
= holoedría
Hexagonal: 19. Tatartoedría 1ª especie 6 Para completar
156
Polo 1
Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Hexagonal
.
.
. .
.
1
3
5
6
7
(0001)
(h k i l)
(h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X
X
X
X
.
4 X
.
2 X X
sup. e infe. izqui y dcho
Pirámide hexagonal 3º orden
= H. hemimórfica pirámide hexagonal 1º orden
= H. hemimórfica pirámide hexagonal 2º orden prisma hexagonal 3º orden
= H. paramórfica
= holoedría = holoedría
prisma hexagonal 1º orden prisma hexagonal 2º orden
= H. hemimórfica
pedión
Trigonal - romboédrico 20. Holoedría = Para completar
157
3 m3 2/m
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Trigonal - romboédrico
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema romboédrico existen cuatro
clases más con sus 7 polos respectivos.
2
.
3
.
6 x
x
x x
x
x
x
.
5 X
X
X
X
X
X
.
x
x
1
.
.
x 4
7
. x
3 2/m
(holoedría)
(0001)
(h k i l) (h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
Escalenoedro ditrigonal
+ y - + y -
Romboedro 1º orden
Bipirámide hexagonal 2º orden Prisma dihexagonal
Prisma hexagonal 1º orden Prisma hexagonal 2º orden
Pinacoides
Trigonal - romboédrico 21. Hemiedría hemimórfica 3m Para completar
158
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Trigonal - romboédrico
. .
. .
. .
.
1 2
3
4
5
6
7
(0001)
(h k i l) (h 0 h l)
(hh 2h l) (h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X
X
X
X
X
X X
Posición especial: en esta clase los planos m se localizan en direcciones
perpendiculares a a1; a2 y a3.
sup. + y - sup. + y - inf. + y - inf. + y -
Pirámide ditrigonal Pirámide trigonal 1º orden
Sup. e inf.
Pirámide hexagonal 2º orden
Dcho +
Izqui. -
Prisma ditrigonal
Prisma trigonal 1º orden
+ y -
= holoedría
Sup. e inf.
Pedión
prisma hexagonal 2º orden
Trigonal - romboédrico 22. Hemiedría enantiomórfica 32 Para completar
159
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Trigonal - romboédrico
. .
.
.
.
.
.
1 2
3
4
5 6
7
(0001)
(h k i l) (h 0 h l)
(hh 2h l)
(h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X X
X
X X
X
X
Dcho. + y -
izqui. + y -
Trapezoedro trigonal
= holoedría
Dcho. e izqui.
Bipirámide trigonal 2º orden = H. hemimórfica
= H. hemimórfica
= holoedría
Prisma trigonal 2º orden
Dcho e
izqui.
romboedro 1º orden
prisma ditrigonal
prisma trigonal 1º orden
pinacoide
Trigonal - romboédrico 23. Hemiedría paramórfica Para completar
160
3
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Trigonal - romboédrico
. .
.
.
.
.
.
1
3
5
6
7 (0001)
(h k i l) (h 0 h l)
(hh 2h l)
(h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X
X
X
X
4 X
2 X X
Romboedro 3º orden
dcho + y -
= H. hemimórfica
izqu. + y -
+ y -
Dcho e izqui.
Romboedro 2º orden Prisma hexagonal 3º orden
= holoedría = holoedría
= H. hemimórfica
pirámide trigonal 1º orden
prisma hexagonal 1º orden prisma hexagonal 2º orden
pedión
Trigonal - romboédrico 24. Tetartoedría 1ª especie 3 Para completar
161
Polo 1
Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5 Polo 6
Polo 7
Trigonal - romboédrico
. .
.
.
.
.
.
1 2
4
5
6
7 (0001)
(h k i l)
(h 0 h l)
(hh 2h l)
(h k i 0)
(1 0 1 0) (1 1 2 0)
X
X
X
3 X
X
X X
dcho + y -
izqu. + y -
sup. e inf.
Pirámide trigonal 3º orden
Pirámide trigonal 2º orden
Pirámide trigonal 2º orden
Prisma trigonal 3º orden
= H. hemimórfica = H. enantiomórfica
Pedión sup. e
inferior.
prisma trigonal 1º orden prisma trigonal 2º orden
Rómbico 25. Holoedría 2/m 2/m 2/m = mmm Para completar
162
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5
Polo 4
Polo 6
Polo 7
Rómbico
X 4
.
7 . x
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema rómbico existen dos
clases más con sus 7 polos respectivos.
.
1
. 2
3
.
5
.
X
6 . x
2/m 2/m 2/m
(holoedría)
(hkl) (0kl)
(h0l) (100)
(100) (010)
(001)
Bipirámide
rómbica
Prisma 1ª especie
Prisma 2ª especie Prisma 3ª especie
Pinacoide 1º orden Pinacoide 2º orden
Pinacoide 3º orden
X
X
X
Rómbico 26. Hemiedría hemimórfica 2mm = mm2 Para completar
163
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5
Polo 4
Polo 6
Polo 7
Rómbico: 2mm
. .
.
.
.
.
.
1
2
3
4
5
6
7
(hkl) (0kl)
(h0l) (100)
(100) (010)
(001)
X
X
X
X
X
X
X
sup. e
inf.
Pirámide rómbica Domo 1ª especie
sup. e inf.
sup. e
inf.
Domo 2ª especie Prisma 3ª especie
Pinacoide 1º orden Pinacoide 2º orden
Pedión sup. e inferior
Rómbico 27. Hemiedría enantiomórfica 222 Para completar
164
Polo 1 Polo 2
Polo 3
Polo 5
Polo 4
Polo 6
Polo 7
Rómbico: 222
. .
.
.
.
.
.
1
2
3
4
5
6
7
(hkl) (0kl)
(h0l) (100)
(100) (010)
(001)
X
X
X
X
X
X
X
Biesfenoide rómbico = holoedría
= holoedría = holoedría
= holoedría
= holoedría = holoedría
dcho. e
izqui.
prisma 1ª especie
prisma 2ª especie prisma 3ª especie
pinacoide 1º orden pinacoide 2º orden
pinacoide 3º orden
Monoclínico 28. Holoedría 2 / m Para completar
165
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 7
Polo 6
Polo 5
Monoclínico
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema monoclínico existen dos
clases más con sus 7 polos respectivos.
7
6
5 X
X
X
2/m
(holoedría)
X
X 4
3 X
(hkl) (0kl)
(h0l) (hk0)
(100) (010)
(001)
1
2
Prisma 4ª especie Prisma 1ª especie
+ y -
Pinacoide 2ª especie
Pinacoide 1º orden
Pinacoide 3º orden
Pinacoide 2º orden
Prisma 3ª especie
x
Monoclínico 29. Hemiedría m Para completar
166
Polo 1
Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 7
Polo 6
Polo 5
Monoclínico: m
. .
. .
. .
.
(hkl) (0kl)
(h0l) (hk0)
(100) (010)
(001)
X
X
X
X
X
X
X 1
2
3
4
5
6
7
Domo 4ª especie Domo 1ª especie
Pedión 2ª especie Domo 3ª especie
Pedión 3º orden
Pedión 1º orden = holoedría pinacoide 2º orden
Monoclínico 30. Hemiedría 2 Para completar
167
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 7
Polo 6
Polo 5
Monoclínico: 2
. .
.
. .
.
.
(hkl) (0kl)
(h0l) (hk0)
(100) (010)
(001)
X
X
X
X
X
X
X
dcho + y - dcho e izqui. izqu. + y -
Esfenoide 4ª especie Esfenoide 1ª especie
Esfenoide 3ª especie
2
3
4
5
6
7
= holoedría
= holoedría
dcho e izqui.
Pedión 2º orden
dcho e izqui.
Pinacoide 3º orden
1
pinacoide 2ª especie
pinacoide 1º orden
Triclínico 31. Holoedría Para completar
168
1
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5
Polo 6
Polo 7
Triclínico
Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema triclínico existe otra
clase más con sus 7 polos respectivos.
(holoedría)
1
6 X
5 X
1 X
X 2
X 3
X 4
7
(hkl) (0kl)
(h0l) (hk0)
(100)
(010)
(001)
Pinacoide 4ª especie Pinacoide 1ª especie
Pinacoide 2ª especie Pinacoide 3ª especie
Pinacoide 1º orden Pinacoide 2º orden
Pinacoide 3º orden X
Triclínico 32. Hemiedría 1 Para completar
169
Polo 1 Polo 2
Polo 3 Polo 4
Polo 5
Polo 6
Polo 7
Triclínico
1
6 X
X
5 X
X 3
X
X
4
7
(hkl) (0kl)
(h0l) (hk0)
(100)
(010)
(001)
X
Pedión 4ª especie
Pedión 2ª especie Pedión 3ª especie
Pedión 1ª especie
1 2
Pedión 1º orden Pedión 2º orden
Pedión 3º orden
P - 4 EJERCICIO - PRÁCTICA: PROYECTA UN POLIEDRO DE CADA SISTEMA
CRISTALINO SOBRE EL ESTEREOGRAMA QUE TIENES EN LA HOJA.
170
Proyecta los diferentes poliedros sobre este plantilla que representa el plano ecuatorial en la proyección estereográfica.
En primer lugar proyecta el poliedro sobre el centro del plano ecuatorial.
En segundo lugar proyecta los ejes cristalográficos según a, b y c que siempre tienen la misma posición en
cada sistema.
En tercer lugar proyecta los ejes y planos de simetría.
. .
. .
Nombre: CUBO Nombre: Prisma tetragonal
Nombre: Bipirámide hexagonal Nombre: Rombododecaedro
P - 4 EJERCICIO - PRÁCTICA: PROYECTA UN POLIEDRO DE CADA SISTEMA
CRISTALINO SOBRE EL ESTEREOGRAMA QUE TIENES EN LA HOJA.
171
. .
. .
Nombre: Pirámide rómbica Nombre: Prisma monoclínico
Nombre: Prisma triclínico Nombre:
P - 4 EJERCICIO - PRÁCTICA: PROYECTA UN POLIEDRO DE CADA SISTEMA
CRISTALINO SOBRE EL ESTEREOGRAMA QUE TIENES EN LA HOJA.
172
. .
. .
Nombre: Nombre:
Nombre: Nombre:
P - 5 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y
criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas:
173
Clases: 222, 6mm, 2/m, 432, 32, 3m, 422, 6/m, 4mm, ........
. .
. .
222 6mm
2/m 432
4
P - 5 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y
criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas:
174
. .
. .
32 43m
422 6/m
P - 5 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y
criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas:
175
. .
. .
P - 6 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios
de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas según diferentes posiciones de los
polos.
176
. .
. .
Clase 2mm (mm2) (según hkl) Clase 432 (según hk0)
Clase 4 3 m (según 111) Clase 6 según (hk i l)
P - 6 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios
de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas según diferentes posiciones de los
polos.
177
. .
. .
Clase 4mm (según hkl)
Clase 4 2 m (según hhl) 6m2 Clase 6 2m( ) (según hk i 0)
Clase 32 (según hk i l)
P - 6 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios
de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas según diferentes posiciones de los
polos.
178
. .
. .
Clase (según )
Clase (según ) (según ) Clase
Clase (según )
179
EJERCICIOS Y CUESTIONES DE REPASO
1. Calcular los índices de Miller de la cara cristalina cuyos parámetros de Weiss son 2a, 2b, 2/3c.
2. Dada una cara cuya notación , según Weiss, es (2a, 3b, 6c) ¿cuál será la notación según Miller?.
3. Dada una cara cuya notación , según Weiss, es (2a, 3b,∞c) ¿cuál será la notación según Miller?
4. Dada la cara de Miller (122) ¿cuál será la notación según Weiss?
5. Demuestra estereográficamente que el eje binario de inversión es igual a un plano m.
6. ¿Para que se emplean los términos orden y especie dentro de las clases cristalinas?.
7. ¿Que formas se deducen estereográficamente a partir del polo (h0l) en las clases 222 y 4/m
2/m 2/m.
8. Deducir estereográficamente las formas que se originan a partir de los polos (hkl) de las clases
422 y 4mm.
9. Deducir estereográficamente la forma que se origina a partir del polo (hkl) de la clase 2/m 2/m
2/m.
10. Deducir estereográficamente las formas que se originan a partir de los polos (h k l) de las
clases 6mm y 6.
11. Representa en la proyección estereográfica las caras cuyos índices de Miller son (100) , (010),
(110), ( 1 0), (1 0) y ( 0 )
12. Qué criterios seguirías para determinar el sistema al que pertenece un poliedro determinado?.
13. ¿Qué sistema cristalino determinan las siguientes constantes cristalográficas? 1 : 1 : c
= 90º ; a : b : c = 90º ; 1 : 1 : 1 # 90º
14. ¿Dónde se sitúa el eje [100] del cristal en una proyección estereográfica?.
15. Dar los nombres de las siguientes redes planas: a1 = a2 , w = 65º; a1 = a2, w = 120º.
i
1 1 1 1
180
8. Hábito cristalino y asociaciones cristalinas
8.1. Hábito cristalino
Se habla de hábito de un cristal cuando se hace referencia a su apariencia externa, así, el hábito
normal de la sal común es su manifestación en forma de cubos. La tendencia general de una
sustancia es a presentar siempre el mismo hábito, pero cuando sus condiciones de cristalización se ven modificadas, este aspecto exterior puede variar considerablemente. Por ejemplo, la existencia de
impurezas disueltas en la solución puede producir que el cristal comience a crecer a partir de ellas y
modificar su hábito. Otros factores que influyen de forma importante es la temperatura de
cristalización, la disponibilidad de espacio y la velocidad de cambio de las condiciones ambientales.
Se define como la forma cristalina o combinación de formas que suelen presentar los cristales de un
mineral. “el hábito de un cristal es su aspecto general, que se lo confiere el desarrollo relativo de las diferentes formas".
Se denomina hábito al aspecto exterior de un cristal. La forma de las caras y, por tanto, de los cristales depende del medio en que crecen. En principio, los cristales de la misma sustancia tienen
tendencia a mostrar la misma forma externa, es decir, el mismo hábito:
Por ej.: la sal común y la galena se presentan en cubos, la calcita lo hace en romboedros.
Los cristales presentan solo raramente una forma geométrica ideal.
Sin embargo, una misma sustancia cristalizada en distintas condiciones muestra a veces hábitos
diferentes. Este efecto es importante cuando existen impurezas disueltas en la disolución a partir de
la que crece un cristal, ya que estas impurezas afectan a su hábito. También la temperatura de cristalización ejerce una influencia acusada.
Por ej.: Yeso fibroso, espejuelo, prismático.
Calcita romboédrica, escalenoédrica, en ala de ángel.
Los hábitos más corrientes son:
Acicular: cristales en forma de aguja Hojoso: cristales tabulares, alargados.
Tabulares: cristales aplastados.
Fibroso: cristales con aspecto de fibra.
Reticular: en forma de columnas o agujas en forma de red. Columnar: cristales en forma de cilindro.
8.2. Asociaciones cristalinas y maclas.
Agregados cristalinos.
Genéticamente, las agrupaciones de individuos o cristales de una misma especie obedece a dos fenómenos distintos:
1) A una pluralidad de gérmenes, engendradores cada uno de ellos de un cristal (asociaciones
cristalinas), o
2) A una alteración morfológica durante el comienzo del crecimiento de un cristal a partir de su propio germen (MACLA).
181
Clasificación de las asociaciones cristalinas :
1) Cristales incluidos : Ej. Olivino en basalto
2) Cristales implantados : Crecen sobre un soporte que impide el desarrollo de todas sus caras.
a) Césped : Tapizan la superficie con dimensiones muy pequeñas y gran cantidad de
individuos.
b) Geoda : La superficie tapizada es cóncava para el observador y el tamaño de los
individuos mayor. c) Drusa : La superficie es plana o convexa para el observador.
3) Cristales irregulares : . Concreccionados : Ágata, calcedonia...
. Fibrosos : Tremolita, amianto, yeso...
. Amigdaloides : Estalactitas..
. Dendríticos : Pirolusita..
. Escamosos : Micas..
. En roseta : Yeso..
4) Cristales regulares :
a) Paralelos : Todos sus elementos externos (caras y aristas) son paralelos entre si. Los mejores ejemplos se
encuentran en el CUARZO.
b) Agregados uniáxicos : Los cristales integrantes presentan una arista o una cara común. El caso más típico : Baritina (recuerda un libro abierto).
c) Agregados Biáxicos : Maclas
Definición de MACLA: Las maclas son agregados cristalinos constituidos por dos o más cristales de la misma especie cuyas posiciones recíprocas están bien determinadas, son constantes, y definibles
cristalográficamente.
Son cristales germinados, con aportación de nuevos gérmenes cristalinos a un germen primitivo o sobre la cara de un cristal mayor.
En las maclas existen relaciones de simetría adicionales. Eje, Plano y centro constituyen la LEY DE
MACLA. “ Primero se nombran los cristales que se maclan, por ejemplo, el romboedro con romboedro
(poliedros que se maclan) y después se enuncian los poledros múltiples.Por ejemplo: la Fluorina, la macla típica es la de dos cristales (1 1 1) según la cara de octaedro.
césped Geoda Drusa
182
Clasificación de las maclas :
1) SIMPLES (Formadas por 2 individuos)
YUXTAPOSICIÓN (CONTACTO): Cuando los dos cristales integrantes descansan sobre un plano común denominado plano de unión..
Yeso - Casiterita - Espinela - Calcita (romboedro, escalenoedro, en mariposa, corazón) - Ortosa
(Manebach y Baveno) - Hemimorfita - Anortita - Augita - Hornblenda - Mica - Cuarzo - etc.
COMPENETRACIÓN : Los dos cristales integrantes crecen íntimamente compenetrados
Estaurolita ( Cruz San Andrés) - Ortosa (Carlsbad) - Fluorita - Tetraedrita - Yeso - Cuarzo (Ley del
Japón, Ley del delfinado, Ley de Brasil). Estas dos últimas presentan una inclusión completa dando apariencia de un solo cristal.
COMPLEMENTO (caso particular de la anterior). Es una macla de interpenetración constituida por dos individuos hemiédricos de tal manera que la macla reproduce la simetría de la clase holoédrica
del mismo sistema. Por ejemplo, la cruz de hierro de la pirita (con tres ejes cuaternarios)
2) MÚLTIPLES O COMPUESTAS: (Formadas por más de dos individuos, pero repitiéndose siempre la misma ley de macla)
POLISINTÉTICAS : Cuando los diferentes individuos constituyen láminas muy delgadas paralelas imposibles de distinguir a simple vista.
Albita, Marcasita, Calcita
CENTRADAS : Cuando los cristales se disponen girados alrededor de un punto teórico.
Rutilo
CÍCLICAS (MIMÉTICA) : De mayor interés gemológico. Son un caso particular de las centradas.
Macla que por combinación de varios individuos maclados aparenta una simetría más elevada. Los planos de macla no son paralelos.
Aragonito, Cerusita, Crisoberilo, Burnonita, Harmotona, Filipsita
Yuxtaposición o contacto
Macla de yeso (punta de flecha)
Maclas Simples
Espinela, diamante, esfalerita
183
Cruz de hierro de la pirita
Macla mimética del crisoberilo (Alejandrita)
Maclas múltiples
Compenetración
Polisintética Centrada Mimética - cíclicas
Aragonito Albita Rutilo
Cruz de San Andrés: Estaurolita
Complemento
184
Las formas cristalinas más frecuentes en las gemas.
CRISTALES DE CIRCÓN
(Tetragonal: Holoedría) 4/m 2/m 2/m
CRISTALES DE CORINDÓN
(Trigonal: Holoedría)
_
3 2/m
CRISTALES DE GRANATE: (Cúbico: Holoedría)
4/m
_
3 2/m
CRISTALES DE BERILO (Hexagonal: Holoedría)
6/m 2/m 2/m
CRISTALES DE APATITO (Hexagonal:
6/m hemiedría paramórfica)(Bipirámide
hexagonal 3º orden)
185
CRISTAL DE CRISOBERILO : Rómbico
Holoedría 2/m 2/m 2/m
CRISTALES DE CUARZO Trigonal: 32 (H. enantiomórfica)
Hexagonal 622
H. enentiomórfica)
CRISTALES DE DIAMANTE: Holoedría y
macla
CRISTALES DE ESPINELA: Cúbico:
holoedría
CRISTALES DE TURMALINA: Trigonal
3/m Hemiedría hemimórfica
186
9) Química y estructura
Enlaces Coordinación
Química y estructura:
R- X
P
R
O
P
I E
D
A
D
E
S
centro, ejes y planos de simetría
Leyes cristalográficas
Formas cristalinas
Hábito
.
Proyección
estereográfica
. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . .
. . . . . . . .
.
. .
. . . .
.
. . .
.
. . . . .
. . . . . .
.
.
.
. .
.
. .
. . .
.
. .
.
. . .
Placa fotográfica
Defectos
Asociación
y maclas Sistemas cristalinos
32 grupos
puntuales
Materia amorfa: isotropía
Traslación de nudos (átomos, iones o moléculas)
en las tres dimensiones
MORFOLOGÍA CRISTALINA SIMETRÍA CRISTALINA
187
9.1. Coordinación:
En toda estructura cristalina iónica o parcialmente iónica, los cationes están rodeados de aniones y
recíprocamente. Cada ion tiende a rodearse del mayor número posible de iones de signo opuesto. A este número se le llama número de coordinación. Dicho número depende de la relación entre los radios de
los iones y de su carga eléctrica. Es el mismo para los aniones que para los cationes, si éstos están en igual
proporción en el cristal, como en el mineral halita (NaCl); y es diferente, si los iones están en distinta proporción, como en el mineral fluorita (CaF2).
Poliedro de coordinación es la forma geométrica resultante de las posiciones espaciales de dichos átomos. Todos los aniones son tangentes al catión, pero no tienen porqué ser tangentes entre si.
La relación numérica va a hacer que aparezcan estructuras AB; AB2 ; A2B3 en las dos
últimas de las cuales, lógicamente, los números de coordinación van a ser distintos para
cationes y aniones.
En cuanto a la carga de los iones también van a poder variar el número de coordinación de la escala anterior, ya que la influencia de las cargas del ion vecino va a distorsionar los radios
iónicos.
En el caso de que los átomos sean iguales como puede ocurrir con el diamante (enlace
covalente) o metales con enlace metálico, se producen empaquetamientos densos con
número de coordinación 12.
Reglas de Pauling.
1º "Cada catión está rodeado por un poliedro de aniones, siendo la distancia anión - catión la suma de los radios y el número de coordinación dado por la relación Rc /Ra ".
2ª "En una estructura de coordinación estable, las cargas eléctricas de los aniones compensan las
valencias electrostáticas del catión que ocupa el centro del poliedro del que los citados aniones forman parte".
3ª "La existencia de aristas y en especial de caras comunes entre poliedros hace disminuir la estabilidad de las estructuras coordinadas". Las distancias entre los cationes disminuiría y se
repelerían.
4ª En un cristal que contiene diferentes cationes, los que tienen gran valencia y pequeño número de
coordinación tienden a no compartir entre si elementos poliédricos. Ej. [SiO4 ]4- se unen solo por los
vértices.
5ª Principio de la parsimonia. "El número de partículas estructurales diferentes dentro de una
estructura tiende a un límite". Ej. Un sodio tiende a una coordinación 6, y todos los sodios tienden a
adquirir esta configuración en toda la estructura aunque cristalográficamente sean diferentes.
188
Llamando r+
al radio del catión (pequeño) y r- al radio del anión (grande) los tipos de coordinación que se
producen son los expresados en la tabla que figura a continuación.
Relación mínima entre radios
r+ / r
-
Tipo de coordinación catiónica Geometría del empaquetamiento
0 - 0,155
Lineal 2
0,155
0,225
0,414
0,732
1,0
HF2
visto de perfil
co 3
2-
SiO 4
4-
NaCl
CsCl
Triangular
3 aniones en
los vértices de
un triángulo
Tetraédrica
4 aniones en
los vértices de
un tetraédro
Octaédrica
6 aniones en
los vértices de
un octaedro
Exaédrica
8 aniones en
los vértices de
un cubo
Cúbica compacta
12 aniones en los
puntos medios de las aristas.
189
9.2. Enlaces:
Los átomos se unen para formar los minerales a través de lo que se denomina enlaces, es decir, es la fuerza
que mantiene unidos a dos átomos de una especie química. Aunque se dan enlaces mixtos, existen cuatro
tipos básicos:
Enlace iónico o heteropolar.
Se forma por la atracción electrostática de iones de signo eléctrico opuesto (cationes y aniones).Un ejemplo
es el de la sal común, el átomo de sodio cede un electrón al átomo de cloro, de esta forma el sodio se carga positivamente y se transforma en ion Na
+ . El átomo de cloro al tomar el electrón cedido por el sodio
adquiere una carga negativa transformándose en ion cloruro Cl- .
El sodio cede el electrón de su última capa adquiriendo la estructura de gas noble, pero se transforma en ion.
El cloro completa con este electrón su última capa (8) adquiriendo también la estructura de gas noble pero
transformándose también en ion.
Los iones tienden a rodearse del mayor número posible de iones de signo contrario de esta forma se originan
las redes cristalinas.
La mayor parte de los silicatos presentan este tipo de enlace. Los minerales que poseen este enlace se
caracterizan por una densidad y
una dureza moderada, una mala
conductividad y alta fragilidad,
debido a que ante una deformación
los iones de signo contrario dejan
de estar en contacto para estarlo los
del mismo signo y, por lo tanto, la
fuerza electrostática será repulsiva
y se favorecerá la ruptura.
*Se forma enlace covalente cuando la
diferencia de electronegatividades entre
los átomos enlazados es 1,8, en caso
contrario se formará enlace iónico (NO VIENEN EN TODAS LAS TABLAS)
Enlace covalente u homopolar Consiste en que dos átomos pongan sus electrones periféricos en común, de forma que se completen y cada
uno de ellos adquiera la estructura de un gas noble. No existe transferencia de electrones de un átomo a
otro, sino que son compartidos por ambos. Es un enlace típico de elementos no metálicos y se da en la mayor parte de los compuestos de carbono.
Na
+ -
Cl
Transferencia de electrones
La envoltura queda vacía
Los átomos de sodio y cloro se convierten en iones por la pérdida y la ganancia, respectivamente, de un electrón de la envoltura exterior. Su combinación forma un compuesto iónico unido por un enlace iónico.
Átomo
Átomo
ion ion
Compuesto iónico Cl Na
190
Son estructuras muy rígidas y buena prueba de ello es que el diamante, que presenta enlaces de este tipo, es
el mineral de mayor dureza.
Al igual que los cristales iónicos, los covalentes tampoco son conductores de la electricidad.
El compartir electrones, caso del enlace covalente, da como resultado la formación de moléculas de un
compuesto. Los electrones se comparten a pares, con lo cual se completa el octeto de electrones en la envoltura exterior de todos los átomos presentes en la molécula.
Los enlaces covalentes son más importantes en el caso del carbono y silicio, por lo que gozan de gran
importancia en la estructura del diamante y de la sílice. Los otros tipos de enlace tienen poca importancia en la estructura de los
minerales preciosos.
En un enlace covalente, los dos átomos enlazados comparten electrones. Si los átomos del enlace covalente son de elementos diferentes, uno de ellos tiende a
atraer a los electrones compartidos con más fuerza, y los electrones pasan más
tiempo cerca de ese átomo; a este enlace se le conoce como covalente polar. Cuando los átomos unidos por un enlace covalente son iguales, ninguno de los
átomos atrae a los electrones compartidos con más fuerza que el otro; este
fenómeno recibe el nombre de enlace covalente no polar o apolar.
Enlace metálico Los átomos de los elementos metálicos forman empaquetamientos muy compactos. Los electrones externos
de cada átomo forman una especie de nube electrónica que envuelve a los átomos y penetra a través de los huecos que quedan libres en la estructura. Esta movilidad de los electrones explica la capacidad de los
metales para conducir el
calor y la electricidad, ser maleables, dúctiles, blandos
y presentar brillo metálico.
Cobre, plata, oro ...
metales. Muchos de los
sulfuros tienen enlaces
iónicos y covalentes, pero
otros (los que poseen la
mayoría de las propiedades
de los metales) tienen
enlaces metálicos, al menos
parcialmente.
Enlace residual o de Van der Waals (enlace molecular)
Son enlaces que poseen unas fuerzas atractivas muy débiles, se producen entre moléculas individuales o
átomos neutros. Es común en los compuestos de carbono. Son importantes en los gases nobles solidificados. Los gases nobles (8 electrones en la última capa) excepto
el Helio (2). Pueden sufrir desplazamientos instantáneos de carga y hacerse polares. Al bajar la temperatura
baja la energía cinética y como pueden sufrir desplazamientos instantáneos de carga, se atraen y licuan (se
unen en la licuación). También se da entre moléculas de compuestos orgánicos. Cuando se halla en los minerales, define generalmente una zona de exfoliación fácil y poca dureza. Ej.:
Grafito, filosilicatos.
O H H = H O 2
un par de electrones
compartidos
+ +
Enlace covalente apolar H2
191
Generalmente en un mineral no se da únicamente una sola clase de enlace, sino que coexisten dos o
más tipos.
Cuando un cristal solo tiene un tipo de enlace se le denomina Homodésmico (isodésmico) ; por
ejemplo el diamante (covalente), cobre (metálico), cloruro de sodio (iónico).
Por el contrario, cuando un cristal presenta más de una clase de enlace se le denomina
Heterodésmico (anisodésmico); por ejemplo, el grafito está formado por dos capas con enlaces
covalentes unidas entre si por enlaces de Van der Waals, la calcita con el anión CO32-
(enlace
covalente) e iónico con el Ca++
Ésta es la razón de la buena exfoliación de los cristales del grafito;
otro ejemplo de enlace heterodésmico es el que se da en las micas.
Las estructuras mesodésmicas presentan enlaces intermedios (silicatos, boratos) que muestran
variedad de agrupaciones atómicas y pueden engendrar estructuras en cadena, en hojas o edificios
tridimensionales. (covalente + iónico) -- cationes o van der waals - -(covalente + iónico).
Propiedad
Tipo de enlace Iónico (electrostático)
Halita NaCl
Calcita Ca CO3
Fluorita CaF2
La mayor parte de los
minerales
Covalente
(compartición de
electrones)
Diamante: C
Blenda: ZnS
Moléculas de O2
Grafito: enlace
fuerte.
Metálico Cobre: Cu
Plata: Ag
Oro: Au;
La mayor parte de los
metales.
Algunos sulfuros
parcialmente
Van der Waals
(molecular -
residual)
Iodo: I
Grafito: C (enlace
débil). Metano sólido,
azufre amorfo.
Intensidad
del enlace
Fuerte
Muy fuerte Generalmente
moderado
Débil
Mecánica
Dureza, de moderada a alta,
según la distancia interiónica y la carga.
Frágil
Dureza elevada.
Frágil
Dureza de pequeña a
moderada. Alta plasticidad.
Séctil.
Dúctil. Maleable
Cristales blandos y
algo plásticos.
Eléctricas y
magnéticas
Malos conductores en
estado sólido (aislantes); en
estado de fusión y
disolución, conducción por
transporte iónico
Malos conductores de la electricidad:
Aislantes en estado
sólido y fusión
Buenos conductores;
conducción por
transporte electrónico
Malos conductores:
Aislantes en ambos
estados sólido y
líquido
Térmica:
. pto. fusión
. coeficiente
dilatación
Punto fusión: moderado a
alto según la distancia
interiónica y la carga. Al fundir dan iones
Coef. dilatación: bajo
Punto fusión: alto
Dan moléculas al
fundir
Coef. dilatación:
bajo
Punto fusión:
variable
Dan átomos al fundir.
Coef. dilatación:
variable
Punto fusión o
sublimación: Bajo
Coef. dilatación: alto;
moléculas cristalinas
líquidas en fusión
Solubilidad
Alta en disolventes polares formando disoluciones que
contienen iones.
Solubilidades muy
bajas
Insoluble, excepto en
ácidos o álcalis por
reacción química.
Alta en disolventes
orgánicos formando
soluciones
Estructural
No direccional; estructuras
de alta coordinación y simetría
Altamente
direccional; estructuras de baja
coordinación y
simetría
No direccional;
estructuras de muy alta coordinación y
simetría.
No direccional;
simetría baja debido a la forma de las
moléculas.
Propiedades
ópticas
Depende de las
características de los iones,
parecidas a las de sus
disoluciones.
Índice de refracción
alto. Propiedades
diferentes en
disolución o gas.
Opacos.
Brillo metálico
Dependen de las
características de las
moléculas, parecidas
en gases o en
soluciones.
192
9.3. Defectos (imperfecciones) en la estructura cristalina:
La teoría cristalina, tal como la hemos expuesto anteriormente, nos proporciona una idea idealizada del
cristal, basada en su estructura reticular, según la cual el cristal es un medio periódico indefinido en el espacio y ajustado a uno de los 14 tipos de Bravais, con una estructura atómica que corresponde a alguno de
los 230 grupos espaciales y en el que los átomos ocupan posiciones de equilibrio, para los cuales la energía
sea mínima.
Sin embargo, el cristal real no se corresponde exactamente con este modelo matemático y abstracto, pues al haberse formado (durante el periodo de cristalización) por la yuxtaposición de millones de átomos, se
comprende que, necesariamente, se producirán alteraciones y lo que bien podríamos llamar “errores en su
estructura". Además las condiciones físico - químicas (temperatura, concentración, reposo absoluto, espacio, etc.), no han sido rigurosamente constantes durante el periodo de formación del cristal, por lo que no es de
extrañar que encontremos imperfecciones en su estructura; bien puede afirmarse que, en la realidad, no existe
ningún cristal “perfecto” y que el presentar imperfecciones es una de sus características esenciales.
Imperfecciones relativas a su extensión.
La teoría cristalina considera el medio cristalino periódico e indefinido en las tres direcciones del espacio, pero en realidad, un cristal está limitado por caras planas, que son planos reticulares materializados y que
nunca están proporcionalmente desarrolladas, dando un cristal geométricamente perfecto, aunque siempre se
cumpla la ley de la constancia de los ángulos diedros. Además en la mayoría de los casos, la forma y la extensión de un cristal, queda condicionada por la presencia de otros adyacentes, que forman un agregado
cristalino, denominándose a las partes que lo forman granos cristalinos, que no tienen por qué estar limitados
por caras planas. Las caras de un cristal son planos reticulares en los que los átomos no están saturados, lo cual se traduce en
la tendencia a absorber determinadas sustancias (especialmente agua) e imprimir un cierto orden a los
materiales extraños depositados sobre la cara, es decir, a la formación de epítaxias (crecimiento orientado de
dos especies cristalinas distintas) (aristas paralelas y caras comunes). Los bordes de los granos que forman un agregado cristalino, son zonas de gran inestabilidad, por su alto
contenido energético, y presentan una gran facilidad para reaccionar, bien sea para disolverse o para dar
lugar a procesos de recristalización.
Imperfecciones relativas a su composición.
Como la estructura cristalina viene determinada fundamentalmente, por el tamaño de las partículas que la
forman, se comprende que en una cierta sustancia, átomo e iones del mismo tamaño pueden sustituirse en la estructura sin que se altere la geometría de la red pero alterándose en cambio la periodicidad. Este fenómeno
de sustitución tiene un papel importante en el isomorfismo (albita - anortita).
Defectos puntuales:
Pueden deberse a huecos que aparecen en la estructura del cristal o bien a la presencia de átomos intersticiales. En la figura se ven estos defectos puntuales con dos posibilidades:
1) la presencia de dos huecos, uno catiónico y otro aniónico para conservar la carga;
2) o bien un hueco y un átomo intersticial de la misma carga, con lo que quedaría compensada.
1) Puede ocurrir que los átomos o iones sustituidos tengan valencia distinta (aunque sigan siendo del mismo
tamaño), y entonces, para que no se altere el estado neutro del cristal, quedan sin ocupar algunos de los
lugares ocupados por los iones de carga menor, resultando lugares vacantes en la estructura.
2) Cuando los átomos introducidos en la estructura son muy pequeños, puede ocupar los espacios
interatómicos de la red cristalina sin alterarse sustancialmente. Estos átomos reciben el nombre de intersticiales. De hecho, cuando un cristal se forma en una solución, ésta siempre contiene sustancias
extrañas que pasan a la red cristalina en forma de inclusiones.
193
Imperfecciones relativas a su estructura.
El cristal teórico requiere una continuidad perfecta en su red cristalina, que en la práctica se suele romper por la presencia de dislocaciones (defectos lineales): es decir, deslizamientos de una parte de la red cristalina
respecto a otra.
En la dislocación de filo se produce una traslación de una parte de la red, en una dirección determinada, apareciendo como consecuencia un plano reticular de más, denominándose línea de dislocación, a la línea
perpendicular a la cara de la que emerge el plano reticular extra.
En la dislocación helicoidal, aparece una superficie alabeada, como una especie de peldaño que se
cierra progresivamente, como si el desplazamiento afectase solo a la mitad del cristal permaneciendo el resto sin alterar.
La consecuencia de la presencia de estas dislocaciones en el cristal, es que el cristal llega a estar
formado por diminutas unidades de cristal perfecto, unidas entre sí mediante discontinuidades; estas
unidades submicroscópicas, tienen orientaciones ligeramente diferentes, que nunca sobrepasan algunos milímetros, dando como resultado un auténtico cristal mosaico, que ya se ha puesto de
manifiesto al estudiar los fenómenos de difracción de los R - X
+ + + - - -
+ + - - -
+ + + - -
+ + + - - -
+ + + - - -
v´ A
v´ c
+ + + - - -
+ + - - -
+
+
+ + + - - -
+ + + - - -
+ + + - - -
v´ c
v´ c
v´ A
C i
C i Defectos puntuales. De Milovski 1982
hueco catiónico
hueco aniónico
catión intersticial
dislocación de filo
dislocación helicoidal
A
B
C
A
B
C
D
A B
C
A
B C
D
s
s´
E´
E
Cristal con su red cristalina
antes de la dislocación
resultado de la dislocación
de filo en la que aparece un
plano reticular extra
D C resultado de la dislocación
helicoidal
SS´ linea de dislocación estructural
EE´ línea de dislocación
194
10) Difracción de Rayos - X
10.1. Método del polvo cristalino (Debye-Scherrer) (Difracción)
En este método la muestra se pulveriza tan finamente como sea posible y se asocia con un material amorfo
en forma de eje acicular de 0.2 a 0.3 mm de diámetro. Esta aguja o muestra de polvo está formada
idealmente por partículas cristalinas en cualquier orientación. Para asegurar la orientación totalmente al azar de estas pequeñas partículas con respecto del haz incidente, la muestra generalmente se hace girar en el haz
de R-X durante la exposición.
Elementos utilizados : - Radiación monocromática
- Muestra pulverizada en forma acicular
- Orientación al azar (todas las orientaciones) - Tubo de vidrio (ánodo-cátodo) para la emisión de R-X
- Se coloca el polvo en un colimador que gira en el centro de una cámara circular.
- Banda de papel fotográfico.
El haz de R-X incidente se difracta bajo ángulos característicos que dependerán de la naturaleza del cristal.
Cada efecto de difracción da lugar a un cono de rayos reflejados y una mancha en la película y debido a la
presencia de un gran número de cristales en la muestra y a la rotación que se le imprime a la misma, el resultado es un fundido de las distintas manchas en una linea. En la película revelada aparecen un conjunto
de líneas que permiten la identificación de la sustancia, después de medir los ángulos a los que se han
producido y transformarlos en espaciados. Cada sustancia tiene un conjunto de espaciados diferentes y típicos.
A partir de un diagrama de R-X pueden ser determinados los espaciados e índices de los planos de la red
cristalina que han producido los efectos de difracción. La formula de Bragg :
n = 2 d sen
= longitud de onda de la radiación empleada (conocida) d = espaciado o distancia entre planos reticulares sucesivos del cristal.
= ángulo de Bragg o ángulo de incidencia de los R-X sobre el plano que se considera (conocido) n = número entero (1, 2, 3,....n) (conocido).
expresa las condiciones que deben darse para que un cristal sea capaz de producir la difracción de los R-X al
ser atravesado.
muestra
Haz de R-X
Linea de difracción
Entrada del haz incidente
Salida del haz de R-X
Película
Formación de conos de rayos difractados Obtención de una película en la cámara Debye Scherrer
0º 180
195
10.2. Método de Bragg (monomineral) (Reflexión)
Elementos utilizados:
1) Luz monocromática obtenida con el ánodo de Fe, Cu, Cr, Mo,... que son los más apropiados. Al utilizar una longitud de onda determinada es preciso variar el ángulo de incidencia para que
se cumpla la condición de interferencia9
2) Cristal grande y con orientación cristalográfica bien determinada, o una placa tallada de dirección conocida.
3) Cristal giratorio.
Método:
El cristal se monta sobre la pieza de centrar y ajustar un goniómetro y se va girando bajo la incidencia
del haz monocromático fijo hasta ir logrando las interferencias.
Para la observaciones objetivas más exactas, el aparato lleva una cámara de ionización, sujeta a un brazo que
puede girar alrededor del eje del goniómetro, mediante el cuál no solamente se determina la posición de los
rayos reflejados, sino su intensidad relativa gracias al galvanómetro
Una vez ajustado el cristal se obtienen todos los ángulos para los planos reticulares pertenecientes a la zona
cuya arista se ha llevado a coincidir con el eje del goniómetro.
Conociendo la , este método permite la determinación de las distancias entre los planos reticulares, y a veces también la estructura cristalina.
2dsen = n = conocido = conocido d = ?
9Siempre que se origine una reflexión entre la luz monocromática y los planos reticulares
R-
X
Pb 90º
180º
270º
0º
Brazo
Goniómetro
Galvanómetro
(Intensidad)
(voltios)
Cámara de
Ionización
*
* Suele contener SO2 gas fácilmente ionizable por los rayos
F
e Cu
Cr
Mo
196
10.3. Difractómetro de polvo de Rayos - X
Utiliza radiación monocromática. La muestra finamente pulverizada, similar a la utilizada en el método de polvo fotográfico, pero registra
la información correspondiente a las "reflexiones" presentes mediante una traza de tinta sobre una cinta de
papel o mediante un recuento electrónico (cuentas de rayos X) que pueden almacenarse en un ordenador.
La muestra por el análisis difractométrico se prepara reduciéndola a polvo fino, que se extiende uniformemente sobre la superficie de un porta de vidrio, usando una pequeña cantidad de aglomerante
adhesivo. Si la muestra es curvada tendrá menor error en la reflexión.
Detectores: Son una alternativa a la película fotográfica en el registro de r - x difractados. Ejemplos son el contador Geiger, contadores proporcionales de flujo o de centelleo, etc.
Sistema geométrico de enfoque: Todos los difractómetros utilizan algún sistema geométrico de enfoque
o centrado para ayudar al análisis y la mayoría adoptan una forma del sistema Bragg - Brentano. En la difragtometría de alta resolución se trabaja en condiciones de centraje óptimo.
Los rayos X filtrados divergen desde una línea con origen en A e inciden sobre la muestra (con la
forma de disco circular o rectangular) en el centro C de un porta del difractómetro circular; la radiación reflejada (interferencia)
10 se proyecta hacia la ranura del detector B, cuando la normal al plano de la muestra
10
Cuando 2 ó más ondas se solapan o entrecruzan . La interferencia es constructiva cuando se produce en los puntos en que dos
ondas de la misma frecuencia que se solapan o entrecruzan están en fase; es decir, cuando las crestas y los valles de ambas ondas
coinciden.. En este caso, las dos ondas se refuerzan mutuamente y forma una onda cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes individuales de las ondas originales. La interferencia destructiva se produce cuando dos ondas de la misma frecuencia están completamente desfasadas, cuando la cresta de la una coincide con el valle de la otra. En este caso, las dos ondas se cancelan mutuamente.
.
Contador electrónico (detector)
A
B
C
muestra policristalina
Cuentas
muestra analizada
10
20
30
40
50
60
70
100
200
300
400
Esquema de un difractómetro
de polvo
rayos X
patrón del mineral que
se pretende identificar
biseztriz
velocidad angular doble
197
es bisectriz del ángulo (el centrado perfecto se conseguiría sólo si la superficie de la muestra fuera
curvada de manera que descansara sobre el círculo que pasa por A, C y B). Una vez el instrumental ha sido debidamente ajustado para satisfacer esta condición , esta aproximación al
centrado perfecto se mantiene en todos los ángulos de incidencia asegurándose de que el detector gire sobre
el eje central de la mesa en el mismo sentido que la muestra, pero con una velocidad angular doble. Los diferentes sistemas de engranajes permiten una velocidad de registro para el detector, generalmente del orden
entre 0,05º y 1 - 2º / minuto.
Se utilizan velocidades mayores para los reconocimientos generales de las muestras, mientras que las
velocidades más lentas se reservan para las mediciones más exactas dentro de un intervalo limitado de
ángulos de Bragg. El detector convierte una cantidad de rayos X en un impulso eléctrico de manera que la
intensidad de rayos X (o la razón de llegada al contador) se determina mediante el correspondiente grado de capacidad de impulsos del detector; mediante un circuito electrónico adecuado estos impulsos pueden
cuantificarse sea - como intervalo de tiempo unidad para cada posición del contador, sea - como es más
frecuente - comparando y fijando electrónicamente en unos pocos segundos mientras el detector está en
continuo movimiento para activar una aguja inscriptora (ordenador).
Como ocurre en el método de polvo, todas las reflexiones posibles tienen lugar simultáneamente. Pero,
en vez de registrarlas todas al mismo tiempo en una película, el detector de rayos X mantiene la relación geométrica apropiada para recibir separadamente cada máximo de difracción.
Procedimiento: Cuando se opera, la muestra, el detector de rayos X y el papel del registrador automático entran simultáneamente en movimiento. Si un plano atómico tiene un espaciado d que refleje con
= 20º, no aparece evidencia de esta reflexión (interferencia) hasta que el tubo contador ha girado 2 , o sea
40º. En ese momento el rayo reflejado entra en el tubo contador y lo hace conductor. El impulso así generado se amplifica y mueve la pluma del registrador. Así, a medida que el tubo detector recorre la zona, el
registrador de cinta de papel inscribe el pico de la reflexión procedente de la muestra. El ángulo 2 al cual se
ha producido la reflexión se puede leer directamente de la posición del pico en el papel. Las alturas de los
picos son directamente proporcionales a las intensidades de los efectos de difracción que los causaron.
Difractograma: El papel sobre el cual se registra está dividido en décimas de pulgada y se mueve a velocidad constante, generalmente 1,27 cm por minuto. Con esta velocidad de papel y con una velocidad de
barrido del tubo contador de 1º por minuto, 1,27 cm en el papel equivalen a 2 de 1º. Las posiciones de los
picos en el papel pueden leerse directamente y los espaciados de los planos atómicos que los han originado
pueden ser determinados mediante la ecuación n= 2d sen.
Un registro por difractómetro puede hacerse en un periodo de 10 a 30 minutos según la velocidad de barrido del difractómetro. La altura del pico en una carta difractométrica puede ser determinada gráficamente con
gran exactitud (las cuentas de intensidades de los picos de rayos X pueden también almacenarse
electrónicamente en un ordenador y analizarse estadísticamente).
Los difractogramas nos informan de cada cristal como si fuesen la "huella dactilar" .
Se elaboran patrones con minerales muy puros sintetizados en laboratorio. Este grado de pureza se encuentra
garantizado y certificado.
Análisis de los picos: 1. La altura nos proporciona información de la intensidad de la reflexión de las diferentes agrupaciones de capas: todas las (100) todas las (110) etc. (111) (231) .......Cada pico representa todas las caras del cristal
con el mismo índice.
2. Cada cara posee un pico característico y el conjunto de picos de las respectivas caras, que representan las intensidades de reflexión de las diferentes caras de la muestra cristalina, nos da un perfil de
picos que representa la "huella dactilar" de cada fase mineral.
3. Si un cristal fuese perfecto el pico no tendría anchura y seria una línea (cristal ideal).
4. Cuanto más pequeño es el cristal más ancho es el pico por abajo porque estos cristales tienen menor
grado de cristalinidad. Los cristales grandes presentan un pico más estrecho. Existe un óptimo de 20 a 30
ACB
198
5. La amplitud del pico puede ser debida también a dislocaciones del cristal, y otras imperfecciones de
su estructura.
6. El ruido de fondo: son picos poco definidos y de poca altura que pueden tener su origen en minerales amorfos, materia orgánica, baja cristalinidad..... La reflexión se produce en la primera capa de la muestra
pero si la muestra es escasa entonces el soporte puede aparecer en el ruido de fondo. Existe un tipo de
soporte de silicio que cortado según la cara (510) no produce reflexiones que puedan producir ruido de fondo.
7. El valor del pico en el eje de ordenadas del difractograma (cuentas: intensidad de la reflexión, grado
de absorción, elementos que interfieren) se reduce a 100 ya que las tablas JCPDS (Joint Committee on
Powder Difraction Standars)11
dan valores relativos de intensidad con un máximo de 100. Con estos valores se pueden deducir los diferentes tipos de caras (hkl) del cristal.
8. Si el valor 260º significa que la reflexión se ha producido a 30º .
Datos del difractograma en polvo Información sobre:
Posición angular de los picos de difracción El retículo cristalino Intensidad de los picos La estructura atómica
Formas de los picos de difracción Las características físicas de los dominios
Identificación de Fases: Se utilizan las tablas JCPDS - ICDD - PDF ( más de 58.000 sustancias)
1. El difractograma es característico de cada sustancia.
2. Cada sustancia en una mezcla conserva el diagrama.
3. Se puede determinar la composición química de los componentes individuales (también soluciones sólidas).
4. Hace falta poca cantidad (mg a g) que además no es destruida.
Principales aplicaciones de la difracción del polvo: 1. Determinación del tamaño y de la forma de los dominios coherentes
2. Determinación y afinamiento de estructuras cristalinas
3. Seguimiento de reacciones en el estado sólido (condiciones de P y T ambientales y no ambientales). 4. Identificación de fases
5. Afinamiento de los parámetros reticulares
6. Cuantificación de fases (fracciones en peso) 7. Estudio de los cambios de fases (fases polimórficas).
11
Organización internacional dedicada a recolectar, editar, publicar y distribuir datos de difracción para que sirvan como patrones de
referencia standar para la identificación de materiales cristalinos a partir de sus patrones de difracción. 322 W. Phillips
199
11) INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS ESPACIALES 12
230 grupos espaciales
13 de simetría (Fedorov y Schoenflies y Barlow elevaron a 230 las maneras de distribuir u
operar con los nudos) (cada cristal corresponde a cada uno de estos grupos).
Cuando se combinan los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetría
propia de las 32 clases de cristales (simetría del grupo puntual exento de traslación) , así como con las dos operaciones de simetría que implican traslación (tornillos: ejes helicoidales y
deslizamientos), llegamos al concepto de grupos espaciales. Estos grupos representan las diversas
formas en que los motivos (tales como los átomos en los cristales) pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogénea (homogénea significa que cada motivo es equivalente a cualquier otro
motivo del modelo).
Los grupos espaciales definen la simetría y las traslaciones en el espacio (o a nivel atómico). Si ignoramos los componentes de traslación en los 230 grupos espaciales terminaremos en los 32
grupos puntuales.
Los planos de deslizamiento y ejes helicoidales no pueden detectarse morfológicamente, ya que las
traslaciones son del orden de 1 a 10 y son inobservables a simple vista.
11.1. Características de los grupos espaciales:
1. Están basados en una de las 14 redes de Bravais que es compatible con un grupo puntual específico ( P, (A, B, C), I, F).
2. Son isogonales con uno de los 32 grupos puntuales ( 2/m 2/m 2/m; 6mm, 2/m .......). Esta propiedad
implica que los ejes de rotación y helicoidales que tienen la misma repetición rotacional tienen también el mismo ángulo de rotación (por ejemplo 60º en una rotación senaria o un eje senario tipo helicoidal). Esto
significa que los ejes tipo helicoidal de rotación 61, 62, 63, 64, y 65 son isogonales con el eje de rotación 6. En
otras palabras, el grupo puntual es el residuo, libre de traslación de una familia de grupos espaciales
isogonales posibles.
11.2. Nomenclatura de los grupos espaciales (4 redes planas y 17 grupos espaciales bidimensionales).
Un grupo espacial se reconoce en función de su red de Bravais y de su simetría.
1. Las características de la red se expresan, primero, utilizando las letras P (A, B, C), I, F que corresponden al tipo de red de Bravais.
2. A continuación, se describen en el símbolo los elementos de simetría en el siguiente orden: primero, el
eje de simetría característico (si lo hay), y luego los demás elementos de simetría no independientes.
12
El grupo espacial se podría definir como la simetría microscópica de un cristal que se obtiene a partir de las 32 clases de simetría
añadiendo nuevas operaciones (ejes helicoidales, planos de deslizamiento). En los grupos espaciales el motivo es independiente de lo que se vea en el exterior, depende del espacio y no de la simetría que nos da el poliedro cristalino. 13
Está relacionado con la teoría matemática de grupos que permite una deducción sistemática de todas las posibles y no idénticas
combinaciones de simetría
200
Las posibilidades serán tantas como combinaciones posibles podamos hacer con los elementos de
simetría posibles, esto es:
1. Ejes ordinarios. 1, 2, 3, 4, 6 y de inversión 2. Ejes helicoidales. 21, 32, 31, 43, 42, 41, 65, 64, 63, 62, 61,
3. Planos ordinarios de reflexión. (m)
4. Planos de deslizamiento: a, b, c (paralelos a las direcciones respectivas)
n : paralelo a la diagonal de las caras d : igual pero a ¼
Escribir el símbolo de los siguientes grupos espaciales:
Grupo espacial rómbico con celda de caras centradas y con tres planos de simetría perpendiculares
entre si.
F 2/m 2/m 2/m
Grupo espacial monoclínico con plano de simetría y eje binario y, por consiguiente, con centro.
P 2/m
Grupo espacial monoclínico con celda centrada y con planos de deslizamiento y ejes helicoidales.
C 2/a
201
11.3. Tabla de símbolos
1
2
3
4
6
3
4
6
1
2 1
3
1
3
2
4 1
4 2
4 3
6 1
6 2
6 3
6 4
6 5
simbolo Eje de simetría Símbolo gráfico Tipo de traslación (si la hay)
rotación de orden 1 ninguno ninguno
ninguno
ninguno
ninguno
ninguno
ninguno
ninguno
ninguno
ninguno
rotación binaria
inversión 1º orden
(paralelo al papel)
(paralelo al papel)
helicoidal binario 1/2 c
rotación ternaria
helicoidal ternario
helicoidal ternario
(a derechas)
(a izquierdas)
inversión ternaria
rotación cuaternaria
1/2 a ó 1/2 b
helicoidal cuaternario
helicoidal cuaternario
helicoidal cuaternario
inversión cuaternaria
1/2 c
2/4 c = 1/2
3/4 c
rotación senaria
(a derechas)
(neutro)
(a izquierdas)
helicoidal senario
helicoidal senario
helicoidal senario
helicoidal senario
helicoidal senario
inversión senaria
(a izquierdas)
(a izquierdas)
(a izquierdas)
(a derechas)
(a derechas)
1/6 c
2/6 c
3/6 c = 1/2
4/6 c
5/6 c
1/3 c
2/3 c
202
11.4. Planos de deslizamiento
Es una operación doble que consiste en una simetría [(reflexión) + una semitraslación] que puede
corresponder a alguna de las direcciones fundamentales a, b y c las cuales se utilizan como símbolo del
plano.
Si la semitraslación corresponde a la diagonal del plano reflector se simboliza por n ( ½ ó ¼ cúbico)
La traslación depende de la característica del vector de traslación:
Denominación: (a, b, c, n, d, m)
Si la semitraslación es paralela a los direcciones fundamentales se les denomina: a, b, c y se utilizan
como símbolo del plano.
Si la semitraslación corresponde a la diagonal del plano reflector se simboliza por n, siendo las componentes de su traslación, por ejemplo, a/2 + b/2 . Puede ocurrir que los componentes de
traslación sean ¼ (módulo) (a/4 + b/4) de la fundamental denominándose a un tal plano d , como
pasa en el diamante. m: plano de reflexión
a
b
T
T/2
reflexión
reflexión
reflexión
reflexión
semitraslación
semitraslación
semitraslación
203
11.5. Ejes helicoidales :
Implican una operación doble GIRO + TRASLACIÓN (constante a lo largo del eje) (que es una parte alícuota de la traslación total según la dirección del eje).
E = eje de rotación
n / E = periodo de traslación
E n
Ejemplo:
6 3
6 4
6 2
6 2
6 2
6 4
6 1
6 1 6 5
6 6
6 3 traslación 3/6 = 1 / 2
Equivale a una rotación senaria (60º) del eje monario
t/2
Equivale a una rotación ternaria (120º) del eje binario
Equivale a una rotación binaria (180º) del eje ternario
Equivale a pero giramos en sentido contrario
pero giramos en sentido contrario Equivale a
Equivale a la rotación monaria de un eje senario
traslación 1/6
traslación 2/6 = 1/3
traslación 3/6 = 1/2
traslación 4/6 = 2/3
Dan figuras enantiomorfas
Dan figuras enantiomorfas
nos da 1/3 t
nos da 2/3 t´
6 4
Si consideramos que sus posiciones coinciden igualamos t/3 = 2t´/3 T = 2t´ quiere
decir que el para llegar a la coincidencia necesitará 2t o viceversa
Si la traslación es 1/n derechas (contrario reloj)
Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)
(derechas)
(derechas)
(izquierdas)
(izquierdas)
traslación 5/6
(izquierdas)
traslación: periodo entero
factor común 6
factor común 1
factor común 2
factor común 3
factor común 2
factor común 1
Para saber las equivalencias de los ejes sacamos factor común entre el eje y el subíndice. El factor común
nos dirá si son monarios, binarios, etc los que giran
(Si es < 1/2 eje es a derechas)
(Si es > 1/2 eje es a izquierdas)
(Si es = 1/2 dirección ordinaria)
rotación ternaria,
rotación senaria,
tipo de eje que gira, excepto en los equivalentes enantiomorfos que es el factor común
rotación ternaria
rotación 180º
La denominación izquierda derecha depende de cada autor.
0
+
1/2
1
204
6 4 6 2
6 3
6 = 6 6
Si la traslación es 1/n derechas (contrario reloj)
Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)
t
Traslación periodo entero
6/6 = 1 traslación
Del plano cero del folio hacia arriba
(derechas)
6 1
traslación:1/6 (seis traslaciones)
rotación:senaria del eje monario
rotación:senaria del eje monario
6 5 traslación: 5/6 t/6
t/6
t/6
Equivalentes enantiomorfos
(seis traslaciones) (en sentido contrario)
(izquierdas)
(derechas)
traslación:2/6 = 1/3 (tres traslaciones)
rotación: ternaria (120º) del eje binario
traslación: 4/6 = 2/3
Equivalentes enantiomorfos
(tres traslaciones) (en sentido contrario)
(izquierdas)
t/3
t/3
t/3
t/3
t/3
t/3
t/2
traslación: 3/6 = 1/2
rotación: binaria (180º) del eje ternario
0
+1
205
E = eje de rotación
n / E = periodo de traslación
E n
Ejemplo:
4 3
4 4
4 2
4 1
4 1
4 2 traslación 2/4 = 1 / 2
t/2
Equivale a una rotación cuaternaria (90º) de un eje monario
Equivale a una rotación cuaternaria (90º) de un eje binario
Equivale a una rotación binaria (90º) de un eje monario
Equivale a una rotación monaria de un eje cuaternario
traslación 1/4
traslación 2/4 = 1/2
4 3
4 1
nos da 3/4 t
nos da 1/4 t´
6 4
Si consideramos que sus posiciones coinciden igualamos t/3 = 2t´/3 t = 2t´ quiere
decir que el para llegar a la coincidencia necesitará 2t o viceversa
Si la traslación es 1/n derechas (contrario reloj)
Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)
(derechas)
(derechas)
(izquierdas) factor común 1
factor común 2
factor común 1
Para saber las equivalencias de los ejes sacamos factor común entre el eje y el subíndice. El factor común nos dirá si son monarios, binarios, etc los que giran.
(Si es < 1/2 eje es a derechas)
(Si es > 1/2 eje es a izquierdas)
(Si es = 1/2 dirección ordinaria)
= traslación 3/4
traslación: periodo entero
pero girando en sentido contrario
rotación 180º
tipo de eje que gira, excepto en los equivalentes enantiomorfos
Del plano cero del folio hacia arriba
con 180º no vuelve a su
posición inicial
rotación binaria
0
+1
206
4 3
4 4
4 2
4 1
traslación 4/4 = 1
Si la traslación es 1/n derechas (contrario reloj)
Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)
= 4
t
Equivalentes enantiomorfos
traslación: 1/4 (4 traslaciones)
t/4 t/4 rotación: cuaternaria(90º) del
rotación: cuaternaria(90º) del
eje monario
eje monario
(derechas)
traslación: 4 traslaciones
en sentido contrario
(izquierdas)
traslación: 2/4 = 1/2 (dos traslaciones)
rotación: tiene que ser de 90º para poder
llegar en dos traslaciones a la posición
original
0
+1
207
E = eje de rotación
n / E = periodo de traslación
E n
Ejemplo: 3 1
3 1
3 1
3 = 3 3
3 2
traslación 1/4 = 1 / 3
Si la traslación es 1/n derechas (contrario reloj)
Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)
Para saber las equivalencias de los ejes sacamos factor común entre el eje y el subíndice. El factor común
nos dirá si son monarios, binarios, etc los que giran.
(Si es < 1/2 eje es a derechas)
(Si es > 1/2 eje es a izquierdas)
(Si es = 1/2 dirección ordinaria)
rotación 120º
tipo de eje que gira, excepto en los equivalentes enantiomorfos
2 1
Equivale a una rotación ternaria (120º) de un eje monario traslación 1/3 (derechas)
factor común 1
Equivale a rotación ternaria (120º) de un eje monario , pero en dirección contraria
Traslación 1/3 (izquierdas)
2 = 2 2
t/3
rotación monaria
Equivale a una rotación monaria (360º) de un eje ternario traslación: periodo entero
Equivale a a una rotación monaria de un eje binario traslación: periodo entero
Equivale a una rotación binaria (180º) de un eje monario traslación 1/2
factor común 1
factor común 2
factor común 3
0
+1
208
3 1
3 = 3 3
3 2
Si la traslación es 1/n derechas (contrario reloj)
Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)
2 1
2 = 2 2
t/3 t/3
traslación: periodo entero 2/2 = 1
Equivalentes enantiomorfos
Traslación: 1/3 (3 traslaciones)
Rotación ternaria (120º) del eje
monario
(derechas)
Igual de sentido
contrario.
(izquierdas)
t
t/2
traslación: 1/2 (dos traslaciones)
rotación binaria (180º) del eje monario
0
+1
t
209
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