cristal

Estructura cristalina: introducción

Paloma Fernández Sánchez Departamento de Física de Materiales, Físicas, UCM

1 ESTRUCTURA CRISTALINA CONCEPTOS PRELIMINARES Un cristal ideal se construye mediante una repetición infinita regular en el espacio de estructuras unitarias idénticas. En cristales simples como Cu, Ag, Au, las estructuras unidad contienen un solo átomo pero generalmente las estructuras son más complicadas y las celdas unidad contienen varios átomos. Podremos pues describir la estructura de cualquier cristal en términos de una determinada red periódica, más o menos simple, a cada punto de la cual asociaremos un grupo de átomos que constituye lo que denominaremos base. Podríamos escribir ESTRUCTURA DEL CRISTAL = RED PERIÓDICA + BASE En realidad para poder describir la estructura de un cristal hay que responder a cuatro preguntas 1.- ¿Qué es una red? 2.- ¿Qué ejes cristalográficos son adecuados para describir la red? 3.- ¿Cuál es la base? 4.- ¿Qué operaciones de simetría permiten reproducir el cristal a partir de la estructura o celda unidad? Empezaremos por un punto y las operaciones de simetría puntuales. Línea de reflexión (Plano de reflexión en 3D): Divide una forma o un patrón en dos mitades de tal manera que cada una es la imagen especular de la otra. Se representa por una línea recta y se denota con una m. Eje de rotación: Decimos que una determinada figura o patrón tiene un eje de rotación si al girar respecto a ese eje 360º se superpone a si misma más de una vez. El orden del eje de rotación es precisamente el número de veces que la figura se superpone a si misma durante una rotación de 360º. Una figura aislada puede tener un eje de rotación de cualquier orden, sin embargo un patrón plano sólo puede presentar ejes de orden 2, 3, 4 y 6. Un eje de rotación se representa colocando en el centro de la figura un símbolo con la misma simetría (2: una elipse, 3: un triángulo, 4: un cuadrado, 6: un hexágono).

En cuanto a la notación se utiliza un número que indica el orden del eje de rotación. Evidentemente, la rotación mínima para conseguir una superposición se obtiene como el cociente de la circunferencia completa por el índice del eje de rotación (2: 180º, 3: 120º, 4: 90º, 6: 60º).



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LÍNEA (PLANO) DE REFLEXIÓN



3

EJES DE ROTACIÓN

Y SI UNIMOS ESTOS DOS

ELEMENTOS DE

SIMETRÍA….



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….OBTENEMOS LOS 10 GRUPOS PUNTUALES DE SIMETRÍA



5 Pasemos a definir la red. Desde el punto de vista matemático la definición es bastante simple. Bastarán dos (plano) o tres (espacio) vectores tales que cualquier punto del plano o del espacio pueda obtenerse a partir de ellos

cnbnanrr !!!!!321 +++′=

siendo r! el vector de posición del punto en cuestión y r"′ el del origen elegido. Los vectores a! , b

! y c! son los vectores de la red o ejes cristalográficos (en el caso de redes planas

bastará con a! y b!

). Por supuesto tenemos algunas restricciones para la definición de los vectores de la red, ya que si queremos que la definición sea válida debemos garantizar que el entorno es el mismo desde cualquier punto de la red así definida. Es decir, tenemos que garantizar la compatibilidad con los diferentes elementos de simetría puntual. En definitiva lo que estamos haciendo es añadir la simetría de traslación a los elementos de simetría puntual ya definidos.

PODEMOS CONSTRUIR UN CRISTAL

NO

NO

SI

SI

TODOS LOS PUNTOS DE LA RED DEBEN TENER EL MISMO ENTORNO



6 De momento sólo tenemos una definición matemática, y seguirá siendo así mientras no introduzcamos una base. Es decir mientras no asociemos un átomo o un grupo de átomos a cada uno de los puntos de red. Nuestro objetivo final es construir un cristal, por tanto tenemos que estar seguros de que los vectores de red (en definitiva, la celda unidad) nos permiten rellenar todo el espacio (o todo el plano) aplicando las operaciones de simetría adecuadas. Esta condición no se verifica siempre. De hecho, por ejemplo en el plano sólo hay cinco posibles celdas unidad.



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