CRECIMIENTO DE UNA POBLACIN DE MOHO ECUACIONES DIFERENCIALES

INTEGRANTES

TAPASCO URBE JHONNATAN MAURICIO

ALDANA PRIETO DAVID

CASTRO CASTRO YERSON ANTONIO

MANTILLA SUAREZ WILMER ANDRES

JIMENEZ GARCIAS EDILSON

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

PAMPLONA NORTE DE SANTANDER

24/09/2015

OBJETIVOS GENERAL

Modelar por medio de ecuaciones diferenciales el crecimiento de moho en un pan

OBJETIVO ESPECIFICO

Aplicar la ecuacin diferencial de crecimiento exponencial sobre el crecimiento del moho

del pan

Aplicar la ecuacin diferencial de crecimiento logstico sobre el crecimiento del moho del

pan.

INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del anlisis matemtico y modelan

innumerables procesos de la vida real. Una ecuacin diferencial es una relacin, vlida en cierto

intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolucin permite estudiar las

caractersticas de los sistemas que modelan y una misma ecuacin puede describir procesos

correspondientes a diversas disciplinas.

RESUMEN

Se tom una muestra de pan para la aplicacin del modelo exponencial en el cual asimismo

crecimiento de la poblacin es proporcional al tamao de la poblacin de igual manera lo aplicamos

en el modelo logstico agregando con la proporcin de que la poblacin a la tasa de crecimiento

disminuye a medida que la poblacin aumenta, finalmente se analizan los datos obtenidos en la

prctica de laboratorio.

MARCO TEORICO

Modelo ilimitado del a poblacin

Un modelo elemental de crecimiento de una poblacin se basa en la hiptesis que la velocidad de

crecimiento de la poblacin es proporcional al tamao de la poblacin.

T = tiempo

P = poblacin

K= Constante de proporcionalidad

Modelo logstico de la poblacin

Para ajustar el modelo de crecimiento exponencial que tome en cuenta el entorno y recursos

limitados tenemos las siguientes dos hiptesis.

T = tiempo

P = poblacin

N = capacidad de soporte

1. Si la poblacin es pequea, la razn de crecimiento de la poblacin es proporcional a su

tamao.

2. Si la poblacin es demasiado grande para ser soportada por su entorno y recursos, la

poblacin disminuir; es decir la razn de crecimiento es negativa.

PROCEDIMIENTO DESARROLLADO

Para el desarrollo de este laboratorio tomamos un pan tipo sema el cual le adicionamos agua y lo

introdujimos sobre una bolsa transparente para poder observar el crecimiento del moho del pan ,lo

dejamos en una zona hmeda en temperatura ambiente, al observar que al pasar del tiempo

observamos que no obtenamos ningn resultado del crecimiento del moho del pan, entonces

decimos medir la temperatura para llegar a la conclusin que la descomposicin del pan no era tan

efectiva a un temperatura normal, deducimos que la temperatura ms baja que se tomo es de 18

grados centgrados y la temperatura ms alta fue de 25 grados centgrados esta ltima

temperatura nos permiti acelerar la descomposicin del pan de igual manera aadimos desechos

de comida a la bolsa que contena el pan el cual aumento a medida el crecimiento del moho.

1. Modele el crecimiento del moho exponencial

o

Tabla 1 Crecimiento de una poblacin de moho

Tiempo - Das Tiempo (Hrs) Real P(t)=

1 0 4 4

2 24 8 7.83

3 48 15 15.34

4 72 29 30.03

5 96 55 58.8

6 120 72 115.16

7 144 106 225.49

La cantidad inicial de moho que le naci al pan fue de 4 de acuerdo a esta cantidad

armamos la condicin inicial P (0)= 4 donde t=0

En el segundo da la cantidad de moho que le naci al pan fue de 8 para arma la segunda

condicin inicial P(1) = 8

De acuerdo a la ecuacin diferencial y al problema de valores iniciales resolvemos:

C = 4

K = 4

-> Solucin particular

Preguntas de Control

1. Con qu precisin lo hace el modelo, se ajusta a los datos

El modelo exponencial se ajusta al crecimiento del moho durante los primeros 5 das, despus de

este intercalo de tiempo la ecuacin diferencial presenta un desfase de error del 37.47%. en

continuo aumento.

1.2. Asegrese de explicar cuidadosamente cmo obtuvo el valor del parmetro y la

capacidad de llevar a un crecimiento de la tasa.

C = 4

K = 4

-> Solucin particular

2. Modele el crecimiento del moho utilizando un modelo logstico

1. Si la poblacin es pequea, la razn de crecimiento de la poblacin es proporcional a su

tamao.

2. Si la poblacin es demasiado grande para ser soportada por su entorno y recursos, la

poblacin disminuir; es decir la razn de crecimiento es negativa.

Tiempo - Das rea(mm2) rea (Logstico)

1 125 3.041

2 225 5.442

3 375 8.994

4 675 15.9103

5 1125 25.8204

6 1650 36.67

7 2300 49.068

8 2800 57.809

9 3325 66.245

10 3750 72.5193

2.1.Con qu precisin lo hace el modelo, se ajusta a los datos?

El modelo se ajusta al rea ocupada por el crecimiento del hongo, explica que a mayor

poblacin, P, menor ser la tasa de crecimiento.

Inicialmente, la poblacin crece rpido, por lo que es una fuente de presin constante, y

pierde su capacidad de crecer al volverse muy numerosa, debido a interacciones entre

los miembros de la poblacin, lo que da como resultado un estado de equilibrio.

2.2.Asegrese de explicar cuidadosamente cmo obtuvo el valor del parmetro

y la capacidad de llevar a un crecimiento de la tasa.

P (t)=

125= C

K= 0,0245

Discutir los modelos para la poblacin y el crecimiento de moho. Hubo alguna

sorpresa?

Crecimiento Exponencial Modelo 2: Crecimiento Logstico

El primer modelo representa el

crecimiento de la poblacin a una

proporcin constante de crecimiento

haciendo referencia a que su

abastecimiento de alimento es infinito y

no considera que este disminuye cuando

el hongo come., ellos usan el pan como

fuente de energa y en consideracin su

nmero aumenta rpidamente.

El segundo modelo representa

inicialmente un crecimiento rpido

constante, pero este se vuelven tan

numerosas que pierden su capacidad de

soporte y con ello se ve afectado su

crecimiento Este tipo de crecimiento se

llama crecimiento logstico que es el

balance entre produccin en proporcin a

la poblacin, y a las prdidas en su

capacidad de soporte para la

supervivencia de los seres individuales.

SORPRESA: el aspecto del pan produjo dos tipos de hongos uno de color blanco y el

otro de color verde.

Importa que estemos midiendo el rea abarcada por el pan ms el peso total

del pan?

El peso del pan no se tiene en cuenta debido a que el hongo se propaga

superficialmente y el volumen del pan no tiene mayor importancia para el experimento.

Hasta qu punto dira usted que cree en las predicciones de la poblacin del

moho en base a los modelos?

Tanto el modelo de crecimiento exponencial como el modelo de crecimiento logstico

permiten determinar de manera confiable el crecimiento de moho del pan. Para una

mejor precisin ms fiable en el segundo modelo se permite permita conocer cmo

influye su capacidad de soporte en la determinacin del crecimiento