¨crecimiento biologico

7/24/2019 Crecimiento biologico

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Ao de la Diversifcacin Productiva y del Fortalecimiento de la Educacin

UNIVERSIDAD JOSE CARLOSMARIATEGUI

CURSO: MATEMTICA III

DOCENTE: MGR.EVARISTO LINARES VILCA

INTEGRANTES: BRENDA QUICAO MAQUERA ENRIQUE PARRAS LOPEZ ALEXANDER CORDOVACORDOVA

CARRERA: ING.AMBIENTAL

CICLO: III

SECCION:B

MOQUEGUA - PERU


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APLICACIONES A LA BIOLOGIA

Uno de los campos ms fascinantes del conocimiento al cual los mtodosmatemticos han sido aplicados es el de la Biologa. La posibilidad de que lasmatemticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de variosprocesos naturales de los seres vivos desde los microorganismos mselementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginacin.

CRECIMIENTO BIOLGICO:

Un problema fundamental en la biologa es el crecimiento, sea este el crecimientode una clula, un organismo, un ser humano, una planta o una poblacin. Laecuacin diferencial fundamental

d! " dt # !

con solucin! # ce

$onde c es una constante arbitraria. $e esto vemos que el crecimiento ocurre si% & mientras que el decaimiento 'o encogimiento( ocurre s ) &.

Un defecto obvio de dicha ecuacin diferencial anteriormente planteada ! de susolucin correspondiente es que si % & entonces tenemos que !*+ si t*+ , as que amedida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. sto est en conflictocon la realidad, !a que despus de transcurrir cierto tiempo sabemos que unaclula o individuo de-a de crecer, habiendo conseguido el tama o mximo.

Formulacin Matemtica:

/upongamos que 0!1 denota la altura de un ser humano 'aunque como !a se hamencionado, esto tambin puede referirse a otras cosas tales como el tama o delas clulas(. 2endramos entonces

d! " dx # 3'!( ! # 4o para t#&

$onde 04o1 representa la altura en alg5n tiempo especificado t # &, ! donde 3 esuna funcin apropiada pero a5n desconocida. 6uesto que la funcin lineal 3'!( # !no es apropiada, ensa!emos como una aproximacin de orden superior dada por

la funcin cuadrtica 3'!( # ! 7 !8 , ! # 4o para t # &.6uesto que la ecuacin 3'!( # ! 7 !8 es de variables separables, tenemos

d! " ! 7 !8 # dt + d! " ! ' 7 !( # t 9 cesto es, +:" ;:"! 9 " 7 !


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Usando la condicin ! resolviendo en ! # 4o en t # & se obtiene que

Y = / _ _

: 9 ;" " 4o 7 :< e

/i tomamos el lmite de la ecuacin anterior tenemos que =uando t*+, vemos, !a

que % &, que4max # lim 4 # " t*+

6or simple lgebra encontramos

Ymax = !m Y = Y"#Y$ % &Y$Y& ' Y"Y&()*+ Y", % Y$Y&

E-.m $ "

Las alturas promedios de los ni os varones de varias edades se muestran en lasiguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultoscon pleno crecimiento.

E0a0 A )12a # 1 (

>acimiento :?.@

: a o A:.A

a os [email protected]

A a os AD.

@ a os @&.A

C a os @A.?

E a os @F.:

D a os C .C

F a os CE.F

Solucin: 6ara cubrir en con-unto completo de datos dado en la tabla, sea t # &,:,las edades al nacimiento, @ a os ! F a os, respectivamente.

Gs tenemos que 4o # :?.@ 4: # @&.A 4 # CE.F.


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/ustitu!endo estos valores en la ecuacin de 4max se obtiene el valor de EE.? pul.o C pies con D pul. como la altura media mxima requerida.

E-.m $ &P2$3 .ma4 0. E !0.m!$ $56a:

Un problema importante de la biologa ! de la medicina trata de la ocurrencia,propagacin ! control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedadque puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia esteproblema se llama epidemiologa K , ! si unporcenta-e grande no com5n de unapoblacin adquiere la enfermedad, decimos que ha! una epidemia.

Los problemas que contemplan la propagacin de una enfermedad pueden ser algo complicadosH para ello presentar un modelo matemtico sencillo para lapropagacin de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una poblacingrande pero finita. /upongamos entonces que nos restringimos a los estudiantesde un colegio o universidad grande quienes permanecen en los prediosuniversitarios por un periodo relativamente largo ! que no se tiene acceso a otrascomunidades. /upondremos que ha! solo dos tipos de estudiantes, unos que

tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, ! otros que no tienen laenfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. $eseamos obtener una frmula para eln5mero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente ha!un n5mero especificado de estudiantes infectados.

Formulacin Matemtica:

/upnganse que en cualquier tiempo t ha! >i estudiantes infectados ! >uestudiantes no infectados. ntonces si > es l n5mero total de estudiantes,asumido constante, tenemos

> # >i 9 >u

La tasa de cambio en l n5mero de estudiantes infectados est dada entonces por la derivada d>i " dt. sta derivada debera depender de alguna manera de >i ! asde >u en virtud de la formula > # >i 9 >u.

Gsumiendo que d>i " dt, como una aproximacin, es una funcin cuadrtica de >,tenemos entonces que

d>i " dt # Go 9 G:>i 9 G >i8

$onde Go, G:, G son constantes. Ghora esperaramos que la tasa de cambio de>i, esto es, d>i " dt sea cero donde >i # &, esto es, no ha! estudiantes infectados,! donde >i # >, esto es, todos los estudiantes estn infectados. ntonces de la5ltima formulacin hecha tenemos que Go # & ! G:> 9 G >8 # & G # 7G:">

Gs que de d>i " dt # Go 9 G:>i 9 G >i8 se convierte en d>i " dt # I>i '> 7 >i(.$onde I # G:"> es una constante. Las condiciones iniciales en t # &, ha! >oestudiantes infectados, entonces >i # >o en 2 # &. $e todo esto podemos deducir que

N! = N _" ' #N/N$ % "(.


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E-.m $ 7 C2.8!m!.9)$ 0. 3a8).2!a4

n un principio, un cultivo al inicio tiene0

P

cantidad de bacterias. n t # : se

determina que el n5mero de bacterias es023

P

. /i la rapideJ de crecimiento esproporcional al n5mero de bacterias 6't( presentes en el tiempo t, determine eltiempo necesario para que se triplique el n5mero de bacterias.

Solucin 6rimero se resuelve la ecuacin diferencial en ':(, donde el smbolo x

se reemplaJa por 6. =on00 =t

, la condicin inicial es0)0( P P =

. ntonces se

usa la observacin emprica de que02

3)1(

P P =

para determinar la constante deproporcionalidad k.

Kbserve que la ecuacin diferencial

kP dt

dP =

es tanto separable como lineal.=uando se pone en la forma estndar de una $ lineal de primer orden,

0= kP dt

dP

/e ve por inspeccin que el factor integrante eskt e

. Gl multiplicar ambos lados dela ecuacin por este trmino e integrar se obtiene a su veJ,

[ ] 0. =

P edt

d kt

!c P e kt = .

6or tanto

kt cet P =)(. n t#& se deduce que

cce P == 00

, ! en consecuencia

kt e P t P 0)( =

. n t#: se tiene

k e P P 002

3=

o bien23

=k e

. $e la 5ltima ecuacin se


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obtiene

4055.023

ln ==k

, !, entonces

t e P t P 4055.00)( =

. 6ara determinar el tiempo

en que se ha triplicado el n5mero de bacterias, se resuelve

t e P P 4055.0003 =

para t./e deduce que &.@&CCt# lnA, o

ht 71.24055.0

3ln==

Kbserve en el e-emplo : que el n5mero real0

P

de bacterias presentes en eltiempo t#& no tuvo que ver en el clculo del tiempo que se requiri para que setriplicara el n5mero de bacterias en el cultivo. l tiempo necesario para que setriplique una poblacin inicial de, por e-emplo :&& bacterias o :.&&&.&&& es de mso menos .D: oras.

Kbservamos la grfica de crecimiento ! decaimiento poblacional.

=omo se ilustra en la grfica, la funcin exponencialkt e

se incrementa cuandoaumenta t para I ! disminu!e cuando aumenta t para I)&. Gs, los problemas quedescriben el crecimiento '!a sea de poblaciones, bacterias o incluso capital( secaracteriJan por un valor positivo de I, mientras que los problemas relacionadoscon el decaimiento '=omo en la desintegracin radiactiva( generan un valor Inegativo. n consecuencia, se dice que I es una constante de crecimiento 'I%&( ouna constante de decaimiento 'I)&(.


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EJEMPLO E0a0 0. 19 ;4!

/e encuentra que un hueso fosiliJado contiene una milsima de la concentracin de =7:@que se encuentra en la materia viva. stime la edad del fsil.

Solucin: $e nuevo, el punto de partida es

Kt

o e At A =)(. 6ara determinar el valor de la

constante de decaimiento k , se usa el hecho de que

)5600(21 A A

o =

k

o e A A 5600

021

=

.

$e

2ln21

ln5600 ==k

se obtiene00012378.05600/)2(ln ==k

. 6or consiguiente,

t

oe At A 00012378.0)(

=

. =on

o At A

10001

)( =

se tiene

t

oo e A A 00012378.0

10001

=

, de modo que

1000ln1000

1ln00012378.0 == t

. 6or consecuencia, la edad del fsil es cercana a

osat 5580000012378.0

1000ln=

CONCLUSIONESLa revisin de los modelos matemticos existentes nos da la pauta para llevar acabo la elaboracin de nuevos modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias

que apo!en la resolucin de problemas especficos en el campo de la biologa. /ebeneficia de esta manera a la comunidad en general, al favorecer diagnsticostempranos ! tratamientos oportunos. La combinacin de las herramientasmatemticas ! los conocimientos de las ciencias biolgicas lograr una fusin deciencias en beneficio de la humanidad.

BIBLIOGRA;eP 4orI /pringer7Oerlag, :?D@HFA7? .

. Niller Lev! . Nathematical problems in biolog!, a model of morphogenesis,Oictoria conference. Berln, >eP 4orI /pringer7 Oerlag, :?D@H :@:7:@ .

¨crecimiento biologico

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