Centro Universitario de Ciencias Exactas E Ing.

INESTABILIDAD DE TAYLOR-COUETTE

Lab. de Medios Continuos

Daisy Zepeda Garcıa , Kevin Stringlo Prida

June 16, 2010

1 Introduccion:

1.1 Taylor-Couette:

La geometrıa para el arreglo de Couette entre dos cilindros se describe en la figura [1],

Figure 1: Muestra el esquema del sistema de Taylor-Couette visto desde arriba.

este experimento consiste en colocar un fluido incompresible de viscosidad ν entre dos cilindroscoaxiales de radios R1 y R2 girando respectivamente con velocidades Ω1y Ω2.

Aplicando la ecuacion de Navier-Stokes para un fluido Newtoniano incompresible, la solucionexacta para un cilindro de longitud infinita en coordenadas cilındricas (r, θ, z):

U = 0, V = Ar +B

r;W = 0;

δP

δr= ρ

V 2

r(1)

donde U ,V y W son las componentes de la velocidad radial, azimutal y axial respectivamente.P es la presion , y ρ es la densidad del fluido, A y B dependen de la razon entre los radios η = r1r2donde

A = −Ωiη2

1− η2(2)

B = Ωir2i

1− η2(3)

y obtenemos una

vθ =(Ω2R

22 − Ω1R

21)

R22 −R2

1

r +(Ω1 − Ω2)R2

2R21

R22 −R2

1

1

r(4)

En un fluido en rotacion estable, los gradientes de presion centrıpetos son iguales y opuestos ala fuerza centrıfuga.La inestabilidad de Taylor-Couette proviene de una inestabilidad centrıfuga, en donde las partıculas

1

de fluido no regresan a si estado inicial despues de una pequena perturbacion. Si consideramosuna partıcula del fluido que inicialmente se encuentran cerca del cilindro interior de radio r1, ydespasamos esta partıcula a un radio mayor r+ dr, su velocidad va a decrecer porque la partıculatiene que conservar su momento cinetico J = rνθ. Asi la fuerza centrıfuga F = m

−→Ωx−→ν θ decrece

tambien, y ya no hay equilibrio entre esta fuerza y el gradiente de presion.

Figure 2: Muestra el comportamiento del fluido durante la rotacion.

Si el momento cinetico J(r + dr) > J(r): el gradiente de presion tendera a hacer regresar lapartıcula de fluido hasta su posicion inicial y se considera el flujo estable.

d

dr|Ωr2| > 0 (5)

Si J(r + dr) < J(r) entonces el gradiente de presion no consigue contrarrestar la partıculadel fluido y esta se desplaza hacia los radios crecientes. Como el fluido es incompresible y porconservacion de la masa, otras partıculas en alturas diferentes regresan hacia el centro del sistemay se generan los rollos.

J = rνθ = Ωr2 (6)

Aunque el flujo sea inestable, Ω 6= 0. Los rollos se desarrollan a partir de un cierto umbralΩ > Ωc porque la viscosidad tiene un efecto estabilizante. El flujo de este sistema se puedecaracterizar por medio de diferentes numeros adimencionales, el numero de Reynolds definidocomo:

Re =Ω1R1a

ν(7)

en donde a = R2 −R1.Se puede calcular a limite para cuando a ≤ r1, la velocidad del umbral a lacual comienza la inestabilidad es dado por

Rec = 41.18

√R1

R2 −R1(8)

y de la misma manera se obtiene el numero de Taylor que representa fuerzas de inercia debidas ala rotacion de un fluido alrededor de un eje vertical respecto a las fuerzas viscosas.

Ta =Ω2a3R

ν2(9)

en donde : R es la radio promedio del sistema. Este numero tambien puede ser visto como larazon entre la fuerza centrifuga Fc = mΩ2r y la fuerza viscosa Fvis en donde Fvis = 6πνrv. lainestabilidad aparece para Tac = 1712, con el numero de onda :

κc2π

λ= 3.11/a (10)

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en la figura [3] muestra el diagrama de transicion de flujo de Taylor- Couette, en el paso generalen dos cilindros coaxiales co y contra rotativos.

Figure 3: Muestra el diagrama de bifurcacion para el sistema de Taylor-Couette, segun Anderecket al.(1986).

2 objetivos:

• Visualizar una inestabilidad hidrodinamica.

• Aprender lo que es la inestabilidad de Taylor-Couette.

3 Material:

• Dispositivo de Taylor-Couette: consiste en dos cilindros hecos coaxiales, el cilindo exteriorse encuerta fijo y el interior gira a una velocidad cariable debido a un motor.

• Sensor de rotacion.

• Particulas reflectivas anisotropicas.

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4 protocolo:

Los dos cilindros huecos de acrılico, de radios R1 = 25.5mm y R2 = 32.5mm, ambos tienen unaaltura de 40cm, el motor de corriente directa es regulado gracias a una fuente de voltajevariable. En la figua[4] se muestra el diagrama del funcionamiento.

Se conecta el sensor de rotacion al motor del cilindro interior por emdio de una banda.

Subimos lentamente la velocidad hasta obcervar los rollos aunque sea de una manera muy discerta,se anota el valor de la velocidad Ω.

Subimos la velocidad de rotacicon Ω hasta definir bien los rollos y calculamos la longitudde onda.

Figure 4: diagrama del arreglo, en done el cilindro exterior se encuentra fijo Ω2 = 0 y el cilindrointerior se encuentra girando con una Ω2 determinada, los radios R2 > R1 .

5 Mediciones:

• Radio del cilindro interior R1 : .0255m

• Radio del cilindro exterior R2 : .0325m

• Radio del motor que genera las rotaciones Rsensor:.024m

• Altura : .40m

• Ωsensor = 1.74rad/s

• 56 rollos

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6 Analisis:

Para calcular la taza de rotacion del motor:

Ωmotor =ΩsensorRsensor

Rmotor

Ωmotor =1.74rad/s(.023m)

.024m

Ωmotor = 1.667rad/s

• Numero teorico de Rec:

Rec = 41.18

√.0255m

.007m= 78.59

• Numero de Reynolds experimental:

Reexp =ΩR1a

ν=

(1.667rad/s)(.0255m)(.007m)

1.001x10−6m2/s= 297.26

• Numero teorico de Taylor Crıtico:1712

• Numero de Taylor experimental:

Taexp =Ω2a3R

ν2=

(1.667rad/s)2 ∗ (.007m)3(.0035m)

(1.001x10−6m2/s)2= 3329.39

• Numero de onda teorica: 4.44

En esta practica se contaron las superficies blancas, dado que el flujo de un rollo es en direccionde las manecillas del reloj y el rollo vecino fluye hacia el lado contrario para que se complete unciclo (2π) se necesitan dos rollos. Nosotros contamos 56 rollos en una distancia de 40cm, obtenemos28 ciclos en 40cm; y un numero de onda de κ = 4.4

6.1 Conclusion:

En esta practica observamos la formacion de rollos en un fluido con placas de karilloscope. Estosrollos se generan a partir de la inestabilidad de hidrodinamica en un fluido dentro de la separacionde dos cilindros, cuando el cilindro exterior esta fijo y el interno gira, debido a las fuerza centrıfugalas partıculas que se encuentran cerca del cilindro interior se desplazan hacia afuera pero estasrebotan el la superficie del cilindro exterior este movimiento hace que se generen flujos en formade rollos que son apreciables gracias a las laminas de Karilloscope. Nuestros valores de Reynolds yde Taylor son grandes en comparacion a los valores que se tienen para el umbral ya que decidimosmedir la velocidad a la cual los rollos se formaron un un poco mas definidos y no precisamente enel umbral ya que la inestabilidad aun hacıan desvanecer algunos rollos. El numero de onda es elmismo para la velocidad entre el umbral y cuando comienzan a deformarse.

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