CORRIENTE Y RESISTENCIA

Cuando una carga neta se mueve de un lugar a otro, el flujo de carga es llamado una corriente eléctrica.

Microscópicamente, un alambre conductor está compuesto de una red de átomos, las partículas (electrones libres) que se mueven a través del conductor, son constantemente obstaculizadas por las continuas colisiones entre ellas y los átomos, este efecto es algo así como un efecto friccional.

Una fuerza deberá ser ejercida sobre las partículas cargadas para mantener su movimiento, esta fuerza eléctrica que impulsa a los electrones libres a través del conductor, proviene de un campo eléctrico dentro de él. Entonces, contrario a una situación electrostática, un campo eléctrico está presente dentro de un conductor en el cual las cargas fluyen.

Para ver la relación entre corriente y campo eléctrico en un conductor, consideremos un segmento de alambre con área de sección transversal A

Supongamos que el campo eléctrico dentro del alambre esta dirigido hacia la derecha. Entonces los electrones libres del conductor experimentan una fuerza

F = -e E

dirigida a la izquierda.

Los electrones se aceleran bajo la influencia del campo eléctrico hasta que la fuerza resistiva de colisiones con átomos del conductor es igual en magnitud a la fuerza eléctrica que los impulsa.

Una vez que se igualan las fuerzas, los electrones continúan moviéndose con una velocidad promedio constante llamada velocidad de arrastre.

La magnitud de la velocidad de arrastre en un conductor típico es de aproximadamente 1 mm/s. Comparada con la velocidad a la cual un pulso corriente se propaga en el alambre (3 x 108 m/s), se considera despreciable.

EJ

A

+ -Batería

Con lo anterior, se define la corriente promedio iprom en el alambre en término de la carga q que pasa a través de la sección transversal de área A durante un tiempo t

La corriente instantánea i en el alambre es:

La unidad de corriente es el Coulomb por segundo, que se define como Ampere.

Otro aspecto que se debe observar es que la corriente es una magnitud escalar. Por lo tanto, NO TIENE DIRECCIÓN, sin embargo, frecuentemente oímos decir: “la dirección de la corriente” en un alambre o en un circuito, en donde lo correcto es decir: la dirección de la densidad de corriente J que sí es una cantidad vectorial con dirección del campo eléctrico dentro del conductor. Se define como:

La unidad de densidad de corriente es Ampere por unidad de área (A/m2)

La magnitud de J es igual a la corriente por unidad de sección de área transversal; su dirección es la misma que E por lo que es opuesta al flujo de electrones.

La expresión vectorial para la corriente es:

i = j dA cos

que como se mencionó, es una cantidad escalar.

RESISTIVIDAD Y LEY DE OHM

Si ciertos materiales se mantienen a una temperatura constante, experimentalmente se encuentra que el campo eléctrico dentro de los materiales es directamente proporcional a la densidad de corriente en el material.

Donde es llamada la resistividad del material.

La ecuación anterior es llamada Ley de Ohm

Sus unidades son:

Se define el Ohm como un Volt por Ampere

Entonces la unidad de resistividad es el Ohm por m ( m)

Con frecuencia se habla de la conductividad () de un material en lugar de su resistividad. Estas dos cantidades son reciprocas y su relación es:

Que tiene por unidades el siemens o el inverso de ohm metro

Las cantidades E, , J que se relacionan mediante la ley de Ohm

E = J

son cantidades microscópicas vectoriales que tienen valores definidos en cada punto de un cuerpo

Las cantidades V, i, R son cantidades macroscópicas escalares y se refieren a un cuerpo particular como un todo, donde R es la resistencia que presenta el material al flujo de la corriente.

La ley de Ohm para estas cantidades macroscópicas viene expresada por

V = i R

Considere un conductor cilíndrico de longitud L y de sección transversal de área A que transporta una corriente estacionaria i al haberse aplicado una diferencia de potencial V en sus extremos.

Si las secciones transversales del cilindro en cada punto son superficies equipotenciales, el campo eléctrico y la densidad de corriente serán constantes en todos los puntos del cilindro y tendrán valores:

La resistividad puede escribirse como:

Pero por lo que:

La resistividad que presenta el material al flujo de corriente, también depende de la temperatura a través del coeficiente de temperatura de resistividad () mediante la expresión:

Y la resistencia a la temperatura

J i A

+ -Batería

L

Donde la temperatura de referencia T0 es la temperatura a 00 C o 200 C

RESISTORES Y SU COMBINACIÓN

En circuitos eléctricos frecuentemente se usan elementos de circuitos especialmente diseñados para impedir el flujo de carga. Tales elementos son llamados RESISTORES, estos se conectan mediante alambres en los cuales se desprecia la resistencia comparada con la resistencia que presentan estos dispositivos.

La figura muestra la representación de un circuito sencillo. El resistor porta una corriente i, la flecha indica el sentido de la corriente, la cual sugiere que una carga positiva en el resistor deberá pasar de izquierda a derecha, de un alto potencial a una bajo potencial, dado que VA > VB y V > 0. Los signos + y – en uno y otro lado del símbolo del resistor indican que el lado izquierdo está a un mayor potencial que el lado derecho

Los resistores se usan en combinación en circuitos eléctricos.

Cuando son conectados de tal forma que la misma carga pasa a través de ellos, se dice que están conectados en SERIE.

Cada uno de ellos porta una misma corriente i cuando la diferencia de potencial es

V =VA - VC

La diferencia de potencial V es igual a la suma de las diferencias de potenciales a través de cada resistor individual.

V = VAB +VBC = iR1 + iR2 = i ( R1 +R2)

El siguiente diagrama muestra un resistor equivalente (Req) a la combinación de dos resistores anteriores, en la cual pasa la misma corriente i, la diferencia de potencial es la misma para Req.

iR

+ -

VAVB

V

A B CR2

VA

iR1

+ -VcVB

+ - Misma carga, Misma corriente

Para n resistores en serie, la expresión anterior se puede generalizar a:

Req = R1 + R2 +R3 +….+ Rn

La siguiente figura muestra a los mismos resistores pero conectados en PARALELO. En este caso, el circuito puede considerarse como si fuese una tubería de agua ¿Qué ocurre con el flujo de agua al llegar a la primera bifurcación? Lo mismo pasa con la corriente, se divide.

Ambos resistores tienen la misma diferencia de potencial

V = VA - VB

Debido a que la carga no se acumula en el punto donde el alambre se divide, la corriente portada es igual a la suma de las corrientes

i = i1 + i2

que pasan por R1 y R2 respectivamente

El resistor equivalente Req de esta combinación se obtiene de la misma corriente, de la siguiente forma:

i = i1 + i2

y del hecho de que los resistores están al mismo potencial

iReq

+ -

VAVC

ii1

i2

+

A

R2

R1

+ -

VA VB

-

Donde:

Sustituyendo:

O bien:

Lo cual se puede expresar como:

La resistencia equivalente es en este caso, siempre menor que cualquiera de las dos resistencias individuales.

Para n resistencias en paralelo se tiene que:

Y de nuevo, la resistencia equivalente es siempre menor que cualquiera de las resistencias de la combinación.

Ejemplo: calcular la resistencia equivalente del siguiente dispositivo eléctrico.

Ejemplo: La figura muestra una combinación en serie de un resistor de 50 y un capacitor de 2.5 F.

R2=15

iR3=40

R1=25

VA VB

Determine la carga en el capacitor cuando la corriente es de 0.10 A y la diferencia de potencial V1-V2 = 8 V

La diferencia de potencial es igual a la suma de los potenciales de cada elemento: del resisitor (V=iR) y del capacitor (V = q/C)

Q = 7.5 C

DISIPACIÓN DE ENERGÍA EN RESISTORES

Los circuitos elementales (capacitores y resistores) funcionan en forma diferente, los primeros -como ya se vio-, almacenan energía por separación de cargas; los resistores impiden el flujo de carga.

Cuando hay una corriente en un resistor, los electrones que se mueven a través de la red del conductor, sufren continuas colisiones con los iones de la red.

Esas colisiones convierten algo de la energía cinética (K=1/2 mv2) de los electrones en energía térmica manifestándose en un calentamiento del resistor.

Consideremos esa conversión de energía:

Supongamos una cantidad de carga positiva Q que fluye de A a B en un intervalo de tiempo t y supongamos que el potencial eléctrico en a es VA y el potencial en B es VB.

La carga Q realiza trabajo debido a la fuerza eléctrica que la impulsa a través del resistor.

Cuando la carga se mueve a través del resistor de A a B, este trabajo, por el impulso de la fuerza eléctrica esta dado por:

W = Q (VA-VB)

Este trabajo W sobre Q da lugar a la energía cinética que la carga en movimiento pierde en las colisiones microscópicas con la red. Entonces, la razón a la cual la energía térmica es agregada a la red, se encuentra dividiendo la ecuación anterior entre el intervalo de tiempo t

La razón a la cual la energía es pedida debido al paso de cargas a través del resistor es llamada perdida de potencia eléctrica P dentro del resistor

Sus unidades son:

Usando V = iR

P = i2R

Para el caso de un capacitor el trabajo realizado para almacenar cargas es:

Que queda en forma de energía potencial eléctrica:

UC = W = V Q

La rapidez con la que se efectúa el almacenamiento de energía en el capacitor, o en su defecto su liberación viene dada por la potencia

EQ

+ -Batería

VA VB

Y como la diferencia de potencial entre las placas de un capacitor es:

Entonces la potencia es:

CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA (DC)

Aquellos circuitos en los cuales se establece una corriente de magnitud constante son llamados de corriente estacionario, en ellos, el flujo de cargas es únicamente en un sentido.

Fuentes de energía en circuitos DC

Cuando una corriente está presente en un circuito, continuamente se tienen cambios de energía en los componentes del circuito. Los resistores convierten la energía cinética de las partículas cargadas en energía térmica. Los capacitores, cuando las cargas son acumuladas en las placas de un capacitor en energía potencial eléctrica, cuando éste se descarga, esa energía almacenada en el campo eléctrico entre sus placas se convierte nuevamente en energía cinética.

Todos los circuitos que tienen una corriente estacionaria deberán tener una componente que provea de energía para mantener el flujo de cargas a través de él. A esta componente que sirve como una fuente de energía se le llama Fuerza electromotriz (fem) y se representa mediante el símbolo E.

Una fem tiene dos características física que la definen como una componente del circuito:

a) Mantienen una diferencia de potencial constante en ella misma.

b) Funciona como una fuente de energía del circuito

El signo + indica la terminal de mas alto potencial y en ésta, la barra es mas larga.

EE- + - +

La figura anterior muestra un circuito simple compuesto de una fem E y un resistor R, el circuito tiene una corriente i. Suponga que una cantidad de carga (positiva) dq pasa a través de una sección transversal del circuito en una tiempo dt. Cuando la carga pasa a través de la fuente del bajo potencial al alto, ésta deberá hacer trabajo sobre la carga, y la diferencia de potencial E se define en función del trabajo realizado sobre la carga dq.

Por lo que la fem es igual al trabajo realizado por unidad de carga. Sus unidades son:

La diferencia de potencial E es igual a la diferencia de potencial V en el resistor R, luego entonces cuando una fem es conectada a un resistor, mediante la ley de Ohm para el resistor (V = i R), se puede escribir como:

Otra forma de verse es: en un tiempo dt se suministra una cantidad de energía i2R dt que aparecerá como energía térmica en la resistencia. Durante este mismo tiempo se ha movido una carga dq = i dt a través de la fuente fem y ésta habrá realizado un trabajo sobre la carga dado por:

Usando el principio de conservación de la energía, el trabajo realizado por la fuente deberá ser igual a la energía térmica:

Análisis de circuitos DC con corriente estacionaria

Los circuitos con corriente estacionaria pueden ser representados por combinaciones de fem´s y resistores:

E R- +

1. Un nodo o unión es un punto en un circuito en el cual una trayectoria conductora se divide en más de una: a y b son nodos del circuito.

2. Una rama de un circuito es cualquier trayectoria que conecte dos uniones sin cruzar una unión intermedia. Si más de una componente del circuito está en una rama, esas componentes están conectadas en serie y por lo tanto tienen la misma corriente:

acb adb aeb afb

3. Un lazo de un circuito es cualquier trayectoria cerrada que pasa a través de uniones no mas de una vez:

adbfa aebfa acbda adbea acbea

Reglas de KIRCHHOFF

1. En cualquier unión de un circuito, la corriente que entra es igual a la corriente que sale. Si la corriente que entra a una unión se le asigna un valor positivo, entonces a la que sale se le asigna un valor negativo. La suma algebraica de todas las corrientes de las ramificaciones que se juntan en una unión es cero.

2. La regla del lazo: La suma de todos los cambios de potencial alrededor de una lazo es igual a cero

a b

c

d

f

e

i1i2

i3

i1 = i2 + i3

VA + VB + VC = 0

VC = -VA - VB

VC = -10V – 12V

VC = -22V

Circuitos de una malla

Para el análisis de circuitos complejos, las siguientes reglas para encontrar las diferencias de potencial son de gran ayuda:

1. Si se atraviesa una resistencia en la dirección de la corriente, el cambio en el potencial es – i R, en la dirección opuesta es + i R

2. Si se atraviesa una fuente fem en la dirección de la fem (– a +), el cambio en el potencial es + E, en la dirección opuesta es – E

Toda fem posee una resistencia interna intrínseca r que es parte inherente de ella.

?

10V

12V

VA

VB

VC

Dirección de análisis

i

V = - iR

Dirección de análisis

iV = + iR

Dirección de análisis

i

+E

Dirección de análisis

i- E

Aplicando la regla del lazo (la suma de los potenciales es igual a cero):

Despejando la corriente i:

Resistores en serie

E R

Dirección de análisis

r

b

a

i

i

ir

b a b

VbVb

Va

EE -ir = Vab

iR = Vab

V

Diferencias de potencial

Con frecuencia se desea conocer la diferencia de potencial entre los puntos de un circuito. Ejemplo:

Encontrar:

Vab = Va - Vb

En función de E, i, R y r. Iniciando en Vb y pasando por R (en sentido opuesto a la corriente)

E r2

b

a

ii

r1

r3

i

i

En serie:Misma corrienteReq = Ri

V diferentes para cada elemento V = 0

c

d

E Rr

b

a

i

i

Vb + iR = Va

iR = Va - Vb

Igualando esta expresión con

Entonces:

Si se utiliza una trayectoria de análisis que pase a través de la fem, se puede llegar al mismo resultado, es decir, es independiente de la trayectoria y sólo puede tener un valor único.

Iniciando en b y pasando por E y la resistencia interna de la fuente r hasta llegar al punto a

E Rr

b

a

i

i

Trayectoriade análisis

E Rr

b

a

i

i

Trayectoriade análisis

Sustituyendo el valor de la corriente encontrado anteriormente :

Circuitos de muchas mallas

El circuito mostrado tiene dos mallas, dos nodos b y d y tres ramificaciones bad bcd y bd. Conociendo las fem`s ¿Cuáles son las corrientes en las ramas?

Análisis:

En el nodo d : se asigna un valor positivo a la corriente que entra y negativo a la que sale.

i1 + i3 – i2 = 0

En la malla izquierda : recorriéndola en sentido contrario a las manecillas del reloj se tiene:

E1 - i1R1 + i3R3 = 0

En la malla derecha :

E1

R3

a

i3

E2

i2i1

R2R1

b c

d

Malla izq

Malla der

- i3R3 – i2R2 – E2 = 0

Se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3) que se requiere resolver (sustitución, igualación, suma y resta, determinantes) para encontrar las tres corrientes i1, i2

e i3. Su solución es:

Circuitos RC

En las secciones anteriores se consideraron circuitos compuestos de fem y resistores, en los cuales se establece una corriente estacionaria, en decir, que no varía con el tiempo. Ahora se introduce el otro elemento que es el capacitor, lo cual permitirá analizar circuitos cuya corriente varía con el tiempo.

Si el interruptor s se mueve hacia a, ¿Cuál será la corriente que se establece en el circuito?

A través de cualquier sección transversal del circuito pasa una carga

dq = i dt

en un intervalo de tiempo dt

El trabajo realizado por la fuente ( W = V q)

dWE = E dq

debe ser igual a la energía térmica (dUR ) que aparece en el resistor durante un tiempo dt, (que se obtiene a partir del concepto de potencia)

E

R

x

a

ib

s

C

despejando dUR

dUR = i2 R dt

más el aumento en la cantidad de energía almacenada en el capacitor

Derivando

Expresado lo anterior en forma de ecuación, se tiene que

Que en forma textual es: la energía entregada por la fuente es igual a la energía disipada por la resistencia más la energía almacenada por el capacitor

Sustituyendo las expresiones:

Dividiendo entre el intervalo de tiempo dt

Despejando E:

Lo cual concuerda con lo antes visto, ya que tanto la resistencia como el capacitor están conectados en serie por lo que la diferencia de potencial entre los puntos a y x debe ser igual a la suma de las diferencias de potencial de los elementos, y ésta a su vez, igual al de la fuente.

VE = Va – Vx = E

La ecuación anterior no puede resolverse directamente, ya que contiene dos variables ( q e i), pero que están relacionadas mediante:

Sustituyendo el valor de la corriente

Se obtiene una ecuación diferencial cuya solución es:

u= EC - q

du = -dq

Que evaluada cuando se conecta el circuito (t = 0 s)

q = 0

y la corriente que fluye por el circuito es:

i = E/R

En t = ∞

q = CE

i = 0

cuya interpretación es: inicialmente la corriente es E /R y el capacitor esta descargado. Posteriormente la corriente se hace cero y el capacitor se carga con una magnitud CE que es su valor de equilibrio.

Cuando t = RC el capacitor posee un 63% de su carga de equilibrio.

A este factor t = RC, se le conoce como constante de tiempo capacitiva

Supóngase ahora que el interruptor s ha estado en la posición a durante un tiempo mayor que RC de tal manera que el capacitor se ha cargado completamente.

Entonces el interruptor se mueve a la posición b.

¿Cómo varía la corriente i y la carga q del capacitor con el tiempo?

Dada esa condición, ahora no existe fem en el circuito por lo que los potenciales son:

Con

E

R

x

a

ibs

C

En donde q0 es la carga inicial del capacitor.

La corriente durante la descarga es:

Y como

q0 = CE

Entonces: