CORRIENTE ALTERNA

I. OBJETIVOS.

Objetivos Generales.- Verificar el comportamiento de las conexiones RL

y RC serie, en régimen permanente de corriente alterna.

Objetivos Específicos.- Determinar la potencia activa. Comprobar las

relaciones del modulo de la impedancia y el ángulo de fase con la

frecuencia.

II. JUSTIFICACION.

1.- Conexión RL.

Sea la conexión RL serie de la figura:

Que esta operando en régimen

permanente de corrinte alterna, esto quiere decir que desde hace un

tiempo suficiente como para que haya desaparecido cualquier fenómeno

transitorio, se tiene:

v = Vm sen wt

la corriente estará dada por la solución particular que tien la forma:

i = Im sen(wt - φ)

2.- Conexión RC.

Para u circuito como el de la figura la ecuación de malla es:

G. i. r. g. f.

wVm cos wt = R di/dt +1/C i

Se montara el circuito mostrado en la siguiente figura con el cual se

trabajara en laboratorio

III. HIPOTESIS.

G. i. r. g. f.

Como hipótesis presentes debemos verificar el comportamiento de

conexiones RL y RC serie, en corriente alterna.

De la misma forma debemos verificar que valores se obtienen como ser

la Potencia, la impedancia y el ángulo de fase.

IV. MARCO TEORICO.

Corriente Alterna (CA / AC)

Onda Senoidal.

Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en

inglés, de Alternating Current) a la corriente eléctrica en la que la

magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la

corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda

sinusoidal (figura 1), puesto que se consigue una transmisión más

eficiente de la energía. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan

otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la

electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las

señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son

también ejemplos de corriente alterna. En estos usos, el fin más

importante suele ser la transmisión y recuperación de la información

codificada (o modulada) sobre la señal de la CA.

La diferencia de la corriente alterna con la corriente continua, es que

la corriente continua circula sólo en un sentido.

La corriente alterna (como su nombre lo indica) circula por durante

G. i. r. g. f.

un tiempo en un sentido y después en sentido opuesto, volviéndose a

repetir el mismo proceso en forma constante.

Este tipo de corriente es la que nos llega a nuestras casas y la usamos

para alimentar la TV, el equipo de sonido, la lavadora, la refrigeradora,

etc.

En el siguiente gráfico se muestra el voltaje (que es también alterno) y

tenemos que la magnitud de éste varía primero hacia arriba y luego

hacia abajo (de la misma forma en que se comporta la corriente) y nos

da una forma de onda llamada: onda senoidal.

El voltaje varía continuamente, y para

saber que voltaje tenemos en un

momento específico, utilizamos la

fórmula; V = Vp x Seno (Θ) donde Vp

= V pico (ver gráfico) es el valor

máximo que obtiene la onda y Θ es

una distancia angular y se mide en

grados.

Las matemáticas y la CA senoidal

Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas:

La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica. Mediante la teoría de los números complejos se analizan con suma facilidad los circuitos de alterna.

Las ondas periódicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes

G. i. r. g. f.

frecuencias que reciben el nombre de armónicos. Esto es una aplicación directa de las series de Fourier.

Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energía eléctrica.

Su transformación en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores.

Parámetros característicos de una onda senoidal

Una señal sinusoidal, a(t), tensión, v(t), o corriente, i(t), se puede expresar matemáticamente según sus parámetros característicos, como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación:

donde

A0 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de pico),

ω la pulsación en radianes/segundo,

t el tiempo en segundos, y

β el ángulo de fase inicial en radianes.

Dado que la velocidad angular es más interesante para matemáticos que para ingenieros, la fórmula anterior se suele expresar como:

G. i. r. g. f.

donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del

período . Los valores más empleados en la distribución son 50 Hz y 60 Hz.

Valores significativos

A continuación se indican otros valores significativos de una señal sinusoidal:

Valor instantáneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t, determinado.

Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo. Dado que el valor máximo de sen(x) es +1 y el valor mínimo es -1, una señal sinusoidal que oscila entre +A0 y -A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto (+A0)-(-A0) = 2×A0.

Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período. El valor medio se puede interpretar como la componente de continua de la onda sinusoidal. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una onda sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el cálculo integral se puede demostrar que su expresión es la siguiente:

Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que produce el mismo efecto calorífico que su equivalente en corriente continua. Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período:

G. i. r. g. f.

Representación fasorial

Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que se denomina fasor o vector de Fresnel, que tendrá las siguientes características:

Girará con una velocidad angular ω. Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según convenga.

Representación fasorial de una onda senoidal

La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone. Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna.

V. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.

1.- Conexión RL

- Montar correctamente el circuito mostrado anteriormente. El

voltaje sobre la conexión RL v debe ser senoidal, con Vpp= 6

[V] y nivel DC nulo.

- Obtener datos de VRpp y φ verificando que Vpp sea de 6 [V] ya

que por las características del generador de funciones, ese

voltaje puede variar con la frecuencia; en tal caso, debe

ajustarse la amplitud de la señal del generador.

2.- Conexión RC

G. i. r. g. f.

- En el circuito montado, reemplazar el inductor por un

capacitor de 10 [nF]. Usar como señal de disparo la señal del

canal 2. Con los cambios correspondientes, tomar datos de

forma similar a los de el circuito RL.

VI. ANALISIS Y TRATAMIENTO DE DATOS.

Conexión RL.

Datos experimentales:

R=1.8 [K Ω ]

L=34.2 [mH ]

Vpp=6.0 [V ]

RL=18.6 [Ω ]

f (KHz) VRpp (V) φ (⁰)2 5,8 14,43 5,6 25,25 5,2 28,87 4,6 39,6

10 4 5415 3 61,220 2,3 72,7230 1,6 180

1. Sabemos que: v=V m senωt (1) ω=2πf (2)

Ademas: V m=√2¿V ef (3)

(2), (3) en (1): v=√2¿V ef∗sen2 πft

Reemplazando valores tenemos:

v=√2¿V ef∗sen2 πft=√2∗220∗sen2π∗10000∗1∗10−5

v=3.41 (V )

Sabiendo que : i=Im sen (ωt−φ ) (1 ) ω=2πf (2)

G. i. r. g. f.

Ademas : V m=√2¿V ef (3 ) Im=V m

√R2+¿¿¿

Reemplazando (2), (3) y (4) en (1):

i=√2¿V ef∗sen (2πft−φ)

√R2+(2πfL)2

De los datos:

f=10000 (Hz ) ;V ef=220 (V ) ; t=1∗10−5 ( s) ;φ=54 ° ;R=1800 (Ω )

L=0.0342 (H )

Reemplazando valores, tenemos:

i=√2¿V ef∗sen (2πft−φ )

√R2+(2 πfL)2=√2∗220∗sen (2π∗10000∗10−5−54 )

√¿¿¿

i=−0.0891 ( A )

Sabiendo que: p=12V m Imcosφ−

12V m Imcos (2ωt−φ )(1)

Ademas: Im=i

sen (ωt−φ)(2) V m=√2¿V ef (3 )ω=2 πf (4 )

Reemplazando (2), (3),(4) en (1):

p=10.07 (W )

De la ecuación: p=I ef2∗R

p2=11.1

Tenemos: % dif=|p1−p2p2 |∗100=9.28%2. Elaborando la tabla ω, Zexp y Zteo, tenemos:

G. i. r. g. f.

Tenemos las siguientes ecuaciones:

Zexp=V m

Im(1 )Zteo=√R2+ (ωL )2

ℑ= isen (ωt−φ)

V m=v / senωt

Pero: Zteo=√¿¿

La nueva tabla es:

Graficando estos valores tenemos:

G. i. r. g. f.

ω(rad/s) Zexp Zteo12566,37 1852,3 1868,718849,55 1918,5 1929,4831415,93 2110,2 2112,3

43982,3 2352,87 2360,162831,85 2798,25 2815,1194247,78 2998,75 3700,9125663,7

1 4662,31 4666,64188495,5

6 6620,74 6698,15

020000

4000060000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

2000000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Zteo vs w - Zexp

Series2Series4

w

Zteo

3. Elaborar una tabla ω, φexp, φteo calculando φteo con la ecuación (6.b)

(tomando en cuenta la resistencia óhmica del inductor, RL). Dibujar

la curva φteo vs. ω y, en el mismo gráfico, ubicar los puntos

correspondientes a φexp.

Sabiendo que:

φ=tg−1(ω∗LR );ω=2πf

Se obtiene la siguiente tabla:

ω(rad/s) φexp φteo12566,3

7 14,4 13,2918849,5

5 25,2 19,5231415,9

3 28,8 30,5743982,3 39,6 39,5962831,8

5 54 49,7594247,7

8 61,2 60,56

G. i. r. g. f.

125663,71 72,72 67,1

188495,56 180 74,25

La grafica es la siguiente:

020000

4000060000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

2000000

10

20

30

40

50

60

70

80

φteo vs. ω - φexp

Series2Series4

ω(rad/s)

φteo

φexp

φteo

4. Elaborar una tabla ω2 , Zexp2. Mediante un análisis de regresión

determinar y dibujar la relación Zexp2 = f(ω2). Por comparación con

la relación teórica, determinar los valores de R+RL y L, y

compararlos con los valores esperados.

Sea la siguiente tabla:

ω²(rad/s)² Z²exp1579136

553331720

,093553055

35,23680642

,259869606

57,84452944

,041934442

7135535997

,24

G. i. r. g. f.

3947841374

7830203,06

8882644035

8992501,56

15791368011

21737134,5

35530576140

43834198,1

Sea la ecuación: Z2=R2+ω2 L2

Realizando cambios de variable, tenemos:

Z2=z ; R2=r ; ω2=w; L2=1

Se tiene: z=r+1∗w (forma de una ecuación lineal y = a +bx)

Entonces apt ltticando regresión lineal, obtenemos:

0 100000000002000000000030000000000400000000000

5000000

10000000

15000000

20000000

25000000

30000000

35000000

40000000

45000000

50000000

f(x) = 0.00114283525673759 x + 2769309.35780747R² = 0.987059297506069

Z² vs. ω²

Series2Linear (Series2)

ω²

Z²ex

p

Conexión RC.

Datos experimentales: R=1.8 (K Ω );C=10.62 (nF );V pp=6.0 (V )

f (KHz) VRpp (V) φ (⁰)2 1,32 75,63 2 68,6

G. i. r. g. f.

5 3 57,67 3,75 50,4

10 4,5 43,215 5,2 32,420 5,4 21,630 5,6 14,4

1. Repetir los pasos del 1 al 3 del anterior procedimiento, entonces,

tenemos:

Sabiendo que: v=V m senωt (1) ;ω=2πf ;V m=√2¿V ef

Reemplazando en (1), tenemos:

v=√2¿V ef sen2 πft

v=√2∗220∗sen (2π∗10000∗10−6 )=3.41

Sabiendo que : i=Im sen (ωt−φ ) ;ω=2πf ;V m=√2¿V ef

Im=V m

√R2+( 1ω∗C )

2

Tenemos:

i=√2¿V ef sen (2 πft−φ )

√R2+( 12πf∗C )

2

i=−0.1 ( A )

Sabiendo que: p=12V m Imcosφ−

12V m Imcos (2ωt−φ )

Im=i

sen (ωt−φ);V m=√2¿V efω=2 πf

Tenemos:

p=22.99

De la ecuación: p=I ef2∗R

P2=19.66 (W )

%dif=|22.99−19.6619.66 |∗100=16.94%

G. i. r. g. f.

2. Elaborar una tabla w, Zexp, Zteo calculando Zexp con la ecuación (5)

(con Im determinada en base a VRpp) y Zteo con la ecuación (10.a)

Dibujar la curva Zteo vs. ω y, en el mismo gráfico ubicar los puntos

correspondientes a Zexp.

Sabiendo que:

Zexp=V m

Im(1 );V m=v /senωt

Pero: Zteo=√¿¿

La nueva tabla es:

ω(rad/s) Zexp Zteo12566,37 8211.46 7706,3318849,55 5700.41 5309,8431415,93 3690.23 3496,23

43982,3 2912.85 2797,0462831,85 2453.11 2342,294247,78 2165.24 2058,68125663,7

12000.53

1949,73188495,5

61899.24

1868,03Graficando estos valores tenemos:

G. i. r. g. f.

020000

4000060000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

2000000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

Zteo vs w - Zexp

Series2Series4

w

Zteo

Zexp

3. Elaborar una tabla ω, φexp, φteo calculando φteo con la ecuación

(10.b). Dibujar la curva φteo vs. ω y, en el mismo gráfico, ubicar los

puntos correspondientes a φexp.

Sabiendo que: φ=tg−1( 1R∗ω∗C );ω=2πf

Se obtiene la siguiente tabla:

ω(rad/s) φexp φteo12566,37 75,6 76,4918849,55 68,6 70,1831415,93 57,6 59,01

43982,3 50,4 49,9462831,85 43,2 39,7894247,78 32,4 29,03125663,7

1 21,6 22,6188495,5

6 14,4 15,51La grafica es:

G. i. r. g. f.

020000

4000060000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

2000000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

φteo vs. ω - φexp

Series2Series4

W

φteo

φexp

4. Elaborar una tabla (1/ω)2, Zexp2 Mediante un análisis de regresión,

determinar y dibujar la relación Zexp2 = f ((1/ω)2). Por comparación

con la relación teórica, determinar los valores de R y C, y

compararlos con los valores esperados.

Sea la siguiente tabla:

ω²(rad/s)² Z²exp1579136

556742807

5,33553055

35,23249467

4,29869606

57,81361779

7,51934442

7138484695

,123947841

3746017748

,678882644

0354688264

,261579136

80114002120

,283553057 3607112

G. i. r. g. f.

6140 ,58

Sea la ecuación: Z2 = R2 + 1/ω2C2

Realizando los cambios de variable: Z2 = z ; R2 = r ; 1/ω2 = w ; 1/C2 = c

Se tiene: z = r + c w (ecuación lineal de la forma y = a+bx)

Aplicando regresión lineal se obtiene la ecuación experimental y la

siguiente grafica:

VII.

CONCLUCIONES.

Se logró cumplir con los objetivos planteados al inicio del

experimento motivo por el cual se obtuvieron resultados que

concuerdan de forma aproximada.

Las pequeñas variaciones en los resultados se deben en esencia a

las variaciones en la frecuencia entregada por el generador de

G. i. r. g. f.

0 0.000000002 0.000000004 0.000000006 0.0000000080

10000000

20000000

30000000

40000000

50000000

60000000

70000000

80000000

f(x) = 1.06559707713491E+016 x + 3195228.73673343R² = 0.999812582075475

Z²exp vs.(1/ω)²

Series2Linear (Series2)

(1/ω)²

Z²ex

p

ondas y a las pequeñas imprecisiones acarreadas en el

establecimiento de dichas frecuencias, además de las variaciones

en la lectura de la onda entregada y representada en el

osciloscopio.

VIII. CUESTIONARIO.

1.- Mostrar que las unidades de los módulos de la impedancia son

ohmios.

R. De las ecuaciones: Z= √ R2 + (ωL)2 ; Z = √ R2 + (1/ωC)2

[Z] = √ Ω2 + ( rad * H )2 = √ Ω2 + Ω2 = [Ω]

[Z] = √ Ω2 + ( s ) 2 = √ Ω2 + Ω2 = [Ω]

C * rad

2.- ¿Cuál es la naturaleza de las conexiones RL y RC serie para

frecuencias muy bajas y para frecuencias muy altas?

R. En ambos casos para frecuencias altas y bajas, la onda mostrada en

el osciloscopio mostrará el voltaje tanto disminuido como en el caso del

inductor o conservado en parte como en el caso del capacitor,

notándose de ésta manera un aumento o disminución de ondas en las

unidades de tiempo.

3.- Para las conexiones RL y RC serie puede verificarse que, en general,

Vm ≠ VmR + VmL y que Vm ≠ VmR +VmC, respectivamente ¿Es esto una

violación de la ley de tensiones de Kirchoff?

R. No puesto que por ejemplo en el caso del inductor, se genera una fem

autoinducida que lógicamente hará variar la sumatoria de tensiones en

la malla.

G. i. r. g. f.

4.- ¿Cuáles son lo módulos de la impedancia y los ángulos de fase

correspondientes a un resistor, a un capacitor y a un inductor?

R. Sean las expresiones siguientes las que se usan para el cálculo de los

datos requeridos:

Z = √ R2 + ( ωL – 1/ωC)2

φ = tg-1 ( ω L – ω C -1 )

R

5.- Siendo variables los voltajes senoidales, ¿qué valor se lee con un

voltímetro fabricado para medir esos voltajes?

R. Se lee los valores de los voltajes sobre las resistencias, es decir los

voltajes que circulan por el circuito, y no así los que se administran en

un principio.

IX. BIBLIOGRAFIA.

Física “Volumen II” Serway – Jewett

La biblia de la Física y de la Química Enciclopedia

G. i. r. g. f.