correspondencia
DESCRIPTION
Exposició: Évariste Galois: Bicentenari d'un revolucionari - Biblioteca de Ciència i Tecnologia - UAB.TRANSCRIPT
LA CORRESPONDENCIA DE GALOIS
Galois va demostrar l’any 1832 la seva famosa correspondencia: Sigui
f(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0
un polinomi a coeficients enters, i sigui L el mınim subcos de C que conte lesarrels del polinomi f(x). (Recordem que pel teorema fonamental de l’algebraf(x) factoritza en factors lineals a C[x].) Sigui G = Aut(L) el grup de tots elsautomorfismes del cos L. Llavors:
Teorema 0.1 (Galois). Existeix una correspondencia bijectiva:
{subgrups de G} ←→ { subcossos de L}
Tenim:H 7→ LH = {x ∈ L | σ(x) = x ∀σ ∈ H}
(cos fix de H ≤ G), i
F 7→ AutF (L) = {σ ∈ G | σ(x) = x ∀x ∈ F}
(grup de Galois de l’extensio F ⊆ L)
En el seguent grafic il.lustrem la correspondencia de Galois per f(x) = x3−2.
1
{ Id , g } { Id , gf } { Id , gf 2 }
G = { Id, f, f 2, g, gf, gf 2}
{ Id , f , f 2 }
Subgrups de G = AutQ(E)
{Id}
Subcossos d’E
Q[w]
Q
Q[ 3√2 ] Q[ 3
√2 w2 ]Q[ 3
√2 w]
Q[ 3√2 , w]
Correspondencia de Galois
E = Q[ 3√2 , w ] amb w = e2πi/3 f(
3√2) =
3√2 g(
3√2) =
3√2
f(w) = w g(w) = w2