corrección de la prueba 2 circuitos i
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7/23/2019 Correccin de La Prueba 2 CIRCUITOS I
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Correccin de la Prueba N2
1. Desarrollar f ( z)= z
( z 1 )(2 z) en una serie de Laurent vlida para:
a. | z|
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1
z(1 1 z)=
1
z (1 + 1 z + 1 z2 + 1 z3 + 1 z4 +)
f 2 ( z)=( z2 1 )=(1 + z2 + z2
4 + z3
8 + z4
16 + z5
32 +)f ( z)=(1 + z2 + z
2
4+ z
3
8+ z
4
16+ z
5
32+) 1 z(1 + 1 z + 1 z2 + 1 z3 + 1 z4 +)
f ( z)= (1 + z2 + 1 z + z2
4+
1
z2 +
z3
8+
1
z3 +)
c. | z 1 |>1
f ( z)= z( z 1 )(2 z)
= 2
z 2 1
z 1
2
( z 1 )
(1
1
z 1 )
1
z 1
2
z 1 (1 + 1 z 1 + 1( z 1 )2 + 1( z 1 )3 + 1( z 1 )4 +) 1 z 1
f ( z)= 1
z 1 +2 ( 1( z 1 )2 + 1( z 1 )3 + 1( z 1 )4 +)
d. 0
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2
z 2 1
( z 2 )+1
2
z 2 (1 ( z 2 )+( z 2 )2 ( z 2 )3 +( z 2 )4 )
f ( z)= 2 z 2
1 +( z 2 ) ( z 2 )2 +( z 2 )3 ( z 2 )4 +
2. Desarrollar una serie de Laurent para z= 0 . Indicar el tipo de singularidad y su
convergencia f ( z)=1 cos ( z)
z
f ( z)=1
z
1
zcos ( z)
f ( z)= 1 z
1
z (1 z2
2+ z
4
24 z
6
720+ z
8
40320 z
10
3628800+)
f ( z)= 0 + z2
z3
24+ z
5
720 z
7
40320+ z
9
3628800
ingularidad !vitable Convergencia en "
!#a$en
!%ercicio 2
&btener la serie de 'ourier( gr)icos( convergencia y los coe)icientes de 'ourier( gr)icos( convergenciay los coe)icientes de
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L2
sen( x L )si x L2
Funcin Peridica
Convergencia:
L
2sen( x L ) L< x
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f ( x )= a 0 +n= 1
a n cos (nx L
)+n= 1
bn sen (nx L
)
L x()dx
L2
sen( x L )dx+0 L2
x dx+ L2
L
L
0
a 0 = 1
2 L
a 0 = 1
2 L L2
2 cos (nx L )+ x
2
2 +( xL x2
2 )
a 0 = 1
2 L[ L2
2 + L
2
2 + L
2
4 ]= 12 L[ L2
+ L
2
4 ]= L2 + L8 = L( +4 )8 L x
()cos (nx L )dx L
2sen( x L )cos (nx L )dx+0
L2
x cos (nx L )dx+ L2
L
L
0
a n=1
L
u= x
du = dx
dv = cos (nx L )dx
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v= Ln
sen (nx L ) xL
n
sen
(x
L ) L
n sen
(nx
L )dx
xLn
sen (x L )+ L2
n2
2 cos (nx L )
Lcos (nx L ) xcos(nx L )()cdx
L4 [sen(
x L +
nx L )+sen(
x L
nx L )]+0
L2
x cos (nx L )dx + L2
L
L
0
a n=1
L
a n= 1
4 [ L +n cos ( x ( +n ) L ) L n cos ( x( +n ) L )]+ xLn sen(x L )+ L2
n2
2 cos (nx L )+ L
2
n cos (nx L
a n=1
L [ L4 [ L +n + L +n cos ( ( +n ) ) L n cos ( ( n ) L )]+ L22 n sen (n L )+ L2n2 2 cos (n L )
a n=1
L [ L2
4 ( +n ) + L
2 ( 1 )n4 ( +n ) +
L2
4 ( n )+ L
2 ( 1 )n4 ( n )+
2 L2
n2
2 sen(n L ) L2
n2
2 ( 1 )n]
a n=[ L4 ( +n )+ L(1 )n
4 ( +n )+ L
4 ( n )+ L(1 )n4 ( n )+
2 Ln
2
2 sen (n L ) Ln2 2 (1 )n]
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L x
()sen(nx L )dx L
2sen( x L )sen(nx L )dx +0
L2
x sen(nx L )dx + L2
L
L
0
bn=1
L
L
0
L2
sen(x L )sen(nx L )dx= L2 (sen
(nx x
L )2 (nx x L )
sen
(nx+x
L )2 (nx+x L ) )=
L2 ((nx+x L )sen(nx x L )(nx x L )sen(nx+x L )2 (nx x L )( nx+x L ) )=
L2 [ nx L (sen(nx x L ) sen(nx+x L ))+ x L (sen(nx x L )+sen(nx +x L ))2 (nx x L )(nx +x L ) ]
Evaluandode L a 0
L2 (0 )= 0
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x sen(nx L )dx=
0
L2
u= x
du = dx
dv = sen(nx L )dx
v= L
n cos (nx L )
0
L2
x sen( nx L )dx= x Ln cos (nx L )+ Ln cos (nx L )dx
0
L2
x sen( nx L )dx= x Ln cos (nx L )+ L2
n2
2 sen (nx L ) Evaluandode 0 a L
2
L2
n2
2 sen (n 2
)
L x
()sen(nx L )dx=
L2
L
u= ( L x)
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du = dx
dv = sen(nx L )dx
v= Ln
cos (nx L ) L x
()sen(nx L )dx= ( L x ) Ln cos (nx L ) Ln cos (nx L )dx L2
L
L x
()sen(nx L )dx= ( L x ) Ln cos (nx L ) L2
n2
2 sen(nx L ) L2
L
Evaluandode L2
a L
L2
n2
2 sen (n 2
)
bn=( 2 Ln2 2 sen (n 2 ))f ( x )= L( +
4 )8
+n= 1
[ L4 ( +n )+ L ( 1 )n
4 ( +n )+ L
4 ( n )+ L( 1 )n4 ( n )+
2 Ln
2
2 sen(n L ) Ln2 2 ( 1 )n]cos ( n