correccion a las coordenadas

Captulo 10

CORRECCION A LASCOORDENADAS

Existen varios fenomenos de distinta naturaleza que afectan en mayor o en menor grado lascoordenadas de los cuerpos celestes.

Estos fenomenos son los siguientes:

1. Precesion2. Nutacion3. Aberracion4. Movimiento en el espacio5. Paralaje6. Refraccion astronomica7. Deeccion gravitacional de la luz

Pasaremos a dar un rapida exposicion de cada uno de ellos.

10.1 Precesion

Tecnicamente y de forma general el fenomeno de precesion consiste en el movimiento deleje de rotacion de un cuerpo alrededor de un eje fljo, que es originado por la presenciade una fuerza externa (torque). El ejemplo mas sencillo para visualizar la precesion esobservando un trompo en rotacion (flgura 10.1). El trompo corriente es un cuerpo que tieneuna acumulacion de masa sobresaliente en su parte superior. Al poner a girar el tromposobre una superflcie dura perfectamente horizontal, el eje de rotacion (que tiene la mismadireccion de la pua) no permanece perpendicular al suelo, pues cualquier perturbacion, ola perdida de energa generada por el rozamiento con la superflcie y con el aire, hace que

175

176 CAPITULO 10. CORRECCI ON A LAS COORDENADAS

el eje forme un angulo de inclinacion con respecto a un eje normal (y fljo) a la superflce.La inclinacion es causada por la atraccion gravitacional terrestre sobre el exceso de masaexistente en la parte superior del trompo, lo cual origina un torque.

EJE NORMAL ALA SUPERFICIE

EJE DE ROTACION

Figura 10.1: Trompo precesando

El efecto resultante es curioso: el eje de rotacion del trompo comienza a girar lentamentealrededor del eje normal a la superflcie, esto es, el eje de rotacion describe una circunferenciaen el espacio con un determinado radio. Como sabemos, la friccion causa que el trompotermine perdiendo toda su momentum angular (su velocidad de rotacion se hace cero) conlo que el trompo termina acostandose sobre la superflcie horizontal. Obtenemos inmediata-mente el mismo efecto si colocamos un trompo estatico |no rotante| sobre su pua (con sueje de rotacion perpendicular a la superflcie), esto es, en una alta conflguracion de equilibrioinestable, y lo soltamos.

Ahora bien, el planeta Tierra en su movimiento de rotacion tambien adolece de precesion.Esto se debe a que la Tierra tiene un ligero exceso de masa ubicado alrededor del sectorecuatorial (recuerdese que el radio terrestre es mas grande en el ecuador que en los polos)y el campo gravitacional de cuerpos como la Luna, el Sol y los planetas son los encargadosde generar el torque externo (ver flgura 10.2).

Si la Tierra dejara de rotar el efecto de la atraccion gravitacional sobre el exceso demasa hara que con el tiempo la oblicuidad de la eclptica pasara de un valor de 23o270 aun valor cercano a cero, esto es, que el ecuador celeste se alinie con un plano intermedioentre la eclptica y el plano de la orbita lunar. Pero, el caso real es que no existen fuerzas derozamiento lo suflcientemente fuertes como para que se detenga el movimiento de rotacionde la Tierra. El efecto de la precesion sobre el eje de rotacion terrestre es que este describeen el espacio una circunferencia de radio constante alrededor del polo de la eclptica. Es-to signiflca que la Tierra responde al torque externo no cambiando su eje de inclinacionsino haciendo rotar el eje muy lentamente alrededor de la normal al plano de la eclptica. Elmovimiento de precesion para nuestro planeta es muy lento, de unos 50 segundos de arco pora~no, que equivale a una rotacion completa al cabo de unos 25 800 a~nos. Astronomicamente

10.1. PRECESI ON 177

PNC

ECLIPTICATIERRA

LUNA

5o

ORBITA DE LA LUNA

SOL

Figura 10.2: Precesion del eje de rotacion terrestre

>cual es el efecto? Uno que se aprecia inmediatamente es que el polo norte celeste no estafljo con respecto a la boveda celeste: se mueve lentamente realizando una vuelta completaalrededor del polo eclptico cada 25 800 a~nos. Conociendo que el crculo que describe el PNCalrededor de (el polo eclptico) tiene un radio constante de 23o270 podemos conocer cuales la posicion del PNC para cualquier tiempo en el pasado o en el futuro. Actualmente elPNC esta a unos 3/4 de grado (45 minutos) de la estrella Polaris (fi Ursae Minor). Unos4600 a~nos atras el PNC estaba muy cerca de la estrella Thuban (fi Draconis). Hace tres mila~nos, el PNC se haba desplazado hasta pasar cerca de la estrella Kochab (fl Ursae Minor).En el futuro, dentro de diez mil a~nos, el PNC se ubicara cerca de la estrella Vega (fi Lyrae).

Pero el movimiento del polo tiene una consecuencia importante en lo que se reflere a laobservacion de la boveda celeste para un observador ubicado siempre a una latitud deter-minada. Es claro de la flgura 10.4 que al desplazarse lentamente el polo celeste alrededordel polo eclptico, el punto vernal (uno de los dos puntos de de corte de la eclptica con elecuador celeste) se va desplazando en la misma direccion (y con la misma velocidad). Estoes, los puntos equinocciales se van desplazando a lo largo de la eclptica con una velocidaddel orden de 5000 de arco por a~no. El punto vernal atraviesa las trece constelaciones por lasque pasa la eclptica en un termino de 25 800 a~nos. Esto explica porque el fenomeno es cono-cido tambien como precesion de los equinoccios. Tambien explica porque el punto vernal esllamado \punto de Aries". Actualmente, el punto vernal esta ubicado en la constelacion dePiscis. Pero hace 2500 a~nos, en la epoca en que se consolido la astrologa griega, el puntovernal estaba ubicado en la constelacion de Aries. El nombre ha perdurado hasta nuestraepoca pero se ha de estar atento para evitar confusiones. Dentro de unos 600 a~nos el puntovernal dejara de estar en Piscis para entrar a la constelacion de Acuario (teniendo en cuentala actual deflnicion de las fronteras entre las constelaciones). Pero este desplazamiento delos puntos equinocciales es el responsable de que dentro de 12 000 a~nos, cuando el PNC seencuentre en algun punto entre las constelaciones de Hercules y la Lira, constelaciones queactualmente estan en el hemisferio norte celeste, tales como Aries, Tauro, Geminis, Cancer,Leo y el Can Menor, se ubiquen en el hemisferio sur celeste. De igual forma, constelacionescomo El Cuervo, Libra, Escorpion, Sagitario, Capricornio y Acuario (ahora ubicadas en elhemisferio sur celeste) se encontraran, para ese perodo de tiempo, en el hemisferio norte.


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..

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LIRA

CISNE

CEFEO

DRAGON

200014000

10000

8000

4000

4000

OSAMENOR

-6000Figura 10.3: Movimiento del PNC en varios miles de a~nos

Un observador para una latitud flja de, digamos, unos 40o norte observara, suponiendo quepueda vivir centenares e incluso miles de a~nos, que, con el transcurso de lo siglos, estrel-las que eran facilmente visibles para el pasaran a ser imposibles de observar (insistimos,para una latitud flja); y a la inversa, apareceran \nuevas" estrellas sobre su horizonte, queanteriormente eran imposibles de observar. Tal parece que fue de esta manera como el as-tronomo Hiparco de Nicea descubrio el fenomeno de precesion alrededor del a~no 150 A.C.,comparando sus observaciones de estrellas con las de astronomos babilonios realizadas unos1000 a 2000 a~nos antes. Hiparco evaluo el corrimento del punto vernal en una magnitud de36 segundos de arco por a~no.

Se suele denominar a la contribucion de los torques producidos por el Sol y la Luna como\precesion lunisolar". La contribucion de los planetas se llama \precesion planetaria". Lasuma de la precesion lunisolar y planetaria es llamada \precesion general".

La precesion hace desplazar lentamente el punto vernal a lo largo de la eclptica y, puestoque es desde este punto que comienza a contarse la ascension recta, se deduce que las coor-denadas ecuatoriales de cualquier astro iran cambiando con el tiempo. Ello quiere decir quelas coordenadas de las estrellas deben ir acompa~nadas por el instante de tiempo que indiquecon respecto a que equinoccio se esta haciendo referencia (ver flgura 10.5).

Un estudio riguroso de la precesion (y la nutacion) requiere el manejo de perturbaciones

10.1. PRECESI ON 179

P1

2

P2

ECLIP

TICA

ECUADOR CELESTE1

Figura 10.4: Desplazamiento del punto vernal a traves de la eclptica

en mecanica celeste. Una descripcion relativamente tecnica del procedimiento puede encon-trarse en Smart (1960), Plummer (1960) y Chandrasekhar (1995). Aun mas descriptivo esel calculo del movimiento del punto vernal expuesto en Kaula (1968).

El fenomeno de precesion obliga a que se establezca una fecha arbitraria y flja que seusa como un datum de referencia a la cual se le denomina \epoca". Las coordenadas de lasestrellas se especiflcan con respecto a dicha epoca. La epoca puede ser el inicio de un a~no oel comienzo (o mitad) del siglo, etc. Una \epoca estandar" especiflca el sistema de referenciaal cual se refleren las coordenadas de las estrellas. Desde el a~no 1984 la epoca estandar uti-lizada se designa como J2000.0, donde la J signiflca a~no Juliano1. Cuando se escribe J2000lo que se quiere decir es el instante 1 de enero a las 12 meridiano hora de Greenwich dela~no 2000. Antes de 1984 la epoca estandar utilizada se designaba como B1950.0, donde laB signiflca a~no Beseliano2.

Para calcular el efecto de la precesion sobre las coordenadas fi y se pueden utilizarvarios metodos alternativos de los cuales existen unos mas exactos que otros. Formulasrigurosas para la determinacion de la precesion pueden consultarse en Simon et al., 1994.

1El a~no Juliano es un perodo de tiempo conformado exactamente por 365.25 das.2El a~no Beseliano es un perodo de tiempo que completa una revolucion en ascension recta del Sol medio

tal y como fue deflnido por Simon Newcomb.


Damos a continuacion las formulas que permiten reducir las coordenadas ecuatorialesabsolutas al equinoccio medio y ecuador medio de una fecha t.

Llamaremos: (fi0; 0) las coordenadas de un astro referido a la epoca fundamental(J2000.0); (fi; ) las coordenadas de un astro referido al equinoccio y ecuador medio deuna fecha t.

Las formulas son:

M = 1:2812323T + 3:879 104T 2 + 1:101 105T 3; (10.1)N = 0:5567530T 1:185 104T 2 1:16 105T 3; (10.2)

donde T es la variable deflnida por la ecuacion (7.17).

Paso del J2000.0 a la fecha (t)

El calculo se hace con ayuda de las siguientes expresiones:

fi = fi0 +M +N senfim tan m; (10.3) = 0 +N cosfim; (10.4)

donde (fim; m) llamados valores medios se utilizan como cantidades auxiliares:

fim = fi0 +12

(M +N senfi0 tan 0); (10.5)

m = 0 +12N cosfim: (10.6)

Paso de la fecha (t) al J2000.0

Las ecuaciones son ahora:

fi0 = fiM N sen fim tan m; (10.7)0 = N cosfim; (10.8)

donde:

fim = fi 12(M +N senfi tan ); (10.9)

m = 12N cosfim: (10.10)

Ejemplo 1

La ascension recta y declinacion de la estrella Canopus para el instante J2000.0 son:fi0 = 6h23m57:119s y 0 = 52o41044:500. Calcular los valores correspondientes de fi y corregidos por precesion el da 8 de mayo del a~no 2010.

10.2. NUTACI ON 181

ECLIPTICA

ECUADOR MEDIO EN t

ECUADOR MEDIO EN to

0

00

1

*

Figura 10.5: Coordenadas ecuatoriales en la epoca de referencia y en la fecha t

Solucion

Este es el caso de pasar de la epoca del catalogo (J2000.0) al equinoccio medio de unafecha dada.

Calculamos la fecha juliana del da en cuestion (8 de mayo de 2000): FJ=2 455 324:5.Luego determinamos el valor de T = 0:103477071. Con ello reemplazamos en las ecuaciones(10.1) y (10.2) para el calculo de M y N :

M = 0:1325823312; N = 0:057609889:

Luego calculamos los valores de fim y m dados por las ecuaciones (10.5) y (10.6), conla precaucion de haber pasado la ascension recta a unidades de grados antes de proceder areemplazar:

fim = 96:01668728; m = 52:69871372:Estos valores son reemplazados en las ecuaciones (10.3) y (10.4) para hallar las coorde-

nadas ecuatoriales referidas al equinoccio medio del 8 de mayo del 2010:

fi = 96o2043:3500 = 6h24m10:89s; = 52o4206:2400:

10.2 Nutacion

La nutacion es un peque~no efecto que se origina tambien del torque generado por la atra-ccion gravitacional del Sol, la Luna y los planetas sobre la flgura dinamica de la Tierra. Laprincipal contribucion de la nutacion proviene de la Luna. Desde el punto de vista practicoy matematico la precesion y la nutacion surgen como un mismo fenomeno en el estudio de lateora de la rotacion de la Tierra perturbada gravitacionalmente por la Luna y el Sol (y en


algunos casos muy rigurosos, de los planetas). Los terminos que dan cuenta de la evolucionde las variables (por ejemplo longitud eclptica y oblicuidad) que son seculares en el tiempose denominan conjuntamente precesion. Los terminos periodicos se llaman conjuntamentenutacion.

El fenomeno de nutacion fue descubierto por el astronomo ingles James Bradley. Este as-tronomo haba notado, ya para el a~no 1727, que las declinaciones de ciertas estrellas parecanmostrar un movimiento sutilmente erratico. Cinco a~nos despues encontro la explicacion: eleje de la Tierra estaba dotado de un movimiento de cabeceo originado por la atraccion dela Luna sobre el ligero exceso de masa que la Tierra posee en el ecuador. El cabeceo deleje terrestre origina un desplazamiento aparente de las estrellas de tal forma que parecendescribir elipses minusculas alrededor de sus posiciones \promedio" o medias.

La nutacion, como se entiende hoy, es la combinacion de numerosas oscilaciones de cortoperodo del eje de rotacion terrestre cuyo efecto es cambiar muy ligeramente la posiciondel polo norte celeste y por consiguiente del punto vernal tanto en la direccion de longitudeclptica como en la latitud eclptica. El termino mas conocido y de mayor amplitud (el quedescubrio Bradley) es aquel que esta ntimamente ligado con la longitud de los nodos de laorbita lunar. La lnea de los nodos lunar, en su orbita en torno a la Tierra, describe unarevolucion completa en unos 6800 das (18.6 a~nos). El efecto de nutacion es el responsablede que el PNC verdadero diflera del PNC medio (el que describe la precesion) tanto enlongitud como en latitud eclptica. Para el termino principal de la nutacion, la amplitud dela longitud es de 17.2 segundos y la amplitud en latitud de 9.2 segundos.

PNC (MEDIO)

PNC (VERDADERO)

Figura 10.6: Polo norte celeste medio y el polo norte celeste verdadero

Las componentes que conforman en su totalidad el fenomeno de la nutacion (teniendo encuenta la contribucion de la Luna y el Sol solamente) son del orden, en las teoras actuales,de unos ciento cincuenta terminos periodicos (ver Kinoshita, 1975).

NOTA: Cuando se especiflca el equinoccio para una fecha dada, al referir la posicion

10.2. NUTACI ON 183

de un astro con respecto al punto vernal (y por lo tanto del ecuador celeste) en un instantedado solo teniendo en cuenta la precesion se esta hablando del equinoccio medio. Cuandoal equinoccio medio se le han hecho las correcciones peque~nas de la nutacion entonces, alequinoccio que resulta, se le denomina equinoccio verdadero.

Si el usuario no necesita demasiada precision para hallar la correccion por nutacion (di-gamos del orden de 1 segundo de arco) es posible utilizar las siguientes formulas aproximadasque tienen la ventaja de evitar calculos muy largos (recuerdese la secuencia de 150 terminosalgebraicos) que s son necesarios cuando se buscan precisiones del orden de la milesima desegundo de arco.

Se comienza por calcular la contribucion por longitud y la contribucion por oblicuidad:

= 17:200 sen ++ 0:200 sen 2 1:300 sen (2 + 2F 2D) + (10.11) 0:200 sen (2 + 2F );

= 9:200 cos 0:100 cos ++ 0:600 cos(2 + 2F 2D) + (10.12)+ 0:100 cos(2 + 2F );

donde: es la longitud media del nodo ascendente de la orbita lunar sobre la eclpticamedida desde el equinoccio medio de la fecha; D es la longitud media de la Luna menosla longitud media del Sol y F es la longitud media de la Luna menos la longitud mediadel nodo lunar. Estos angulos cambian notablemente con el tiempo y sus correspondientesvalores son:

= 125:04 1934:13T;D = 297:85 + 445267:11T; (10.13)F = 93:27 + 483202:0175T;

donde T es la variable tiempo deflnida en la ecuacion (7.17). Las coordenadas ecuatorialesverdaderas fiv y v (con respecto al equinoccio verdadero de la fecha t) son calculadas enprimera aproximacion a partir de las coordenadas ecuatoriales fi y referidas al equinocciomedio de la fecha (esto es, solo corregidas por precesion) mediante:

fiv = fi+ fi;v = + ; (10.14)

donde:

fi = (cos + sen senfi tan ) cosfi tan ; = sen cosfi + senfi; (10.15)


siendo la oblicuidad media de la eclptica dada por:

= 2326021:400 46:8100T: (10.16)

El valor verdadero de la oblicuidad en la fecha t se calcula con:

v = + : (10.17)

Ejemplo 1

En el ejemplo 1 de la pag. 180 corregir las coordenadas de la estrella Canopus pornutacion, esto es, pasar del equinoccio medio de la fecha al equinoccio verdadero de la fecha.

Solucion

En el ejemplo 1 de la pag. 180 se paso de coordenadas dadas por el catalogo al equinocciomedio de la fecha (8 de mayo de 2010). Comenzamos calculando los valores , D y F dadosen la ecuaciones (10.13):

= 75:098 = 284:902;D = 46372:79 = 292:79;F = 50093:62 = 53:62;

en donde se ha tenido la precaucion de pasar todos los angulos a la primera circunferencia.Estos valores se reemplazan en las ecuaciones (10.11) y (10.12):

= 0:004266; = 0:000666:

As mismo, calculamos el valor de la oblicuidad media de la eclptica por intermedio de(10.16):

= 23o26016:5600:

Con estos valores procedemos a calcular fi y dados por (10.15):

fi = 0:001607; = 0:000484:

Finalmente calculamos los valores de fi y para el equinoccio verdadero de la fecha conayuda de (10.14):

fi = 6h24m11:28s; = 52o4204:500:

10.3. ABERRACI ON 185

10.3 Aberracion

La aberracion es el desplazamiento angular aparente de la posicion de un cuerpo celestede su posicion geometrica que es originada o bien por el movimiento del observador (o delobjeto observado), o por la velocidad flnita de la luz, o la combinacion de ambos efectos.

La luz, o mas exactamente, la radiacion electromagnetica, se desplaza en el vaco a unavelocidad de casi 300 000 km/s (299 792.458 km/s, para ser exactos). Aunque se trate deuna velocidad muy grande las enormes distancias que existen entre los cuerpos celestes sonde tal magnitud que la luz de los planetas tardan minutos e incluso horas en atravesar lasdistancias entre ellos y nosotros. Las estrellas cercanas estan situadas a distancias aun masgrandes; su luz tarda decenas y hasta centenas de a~nos en llegar a la Tierra. Ahora bien, losobservadores en la superflcie de la Tierra no estan estaticos con respecto a la luz que estallegando del universo. Esta el movimiento de traslacion alrededor del Sol que hace que laTierra se desplace a una velocidad promedio de unos 30 km/s. Ademas, esta el movimientode rotacion alrededor de su eje.

En la practica existen varias deflniciones de aberracion dependiendo de la clase demovimiento del observador y de la clase de objetos que se estan observando.

10.3.1 Aberracion estelar

La aberracion estelar es el desplazamiento angular aparente de la posicion observada de uncuerpo celeste que resulta del movimiento del observador.

La aberracion estelar anual (ver mas adelante) fue explicada correctamente por el as-tronomo James Bradley, quien, como se recordara, descubrio tambien la nutacion. Desde lostiempos de John Flamsteed se haba observado que las estrellas mostraban un desplazamien-to alrededor de sus posiciones medias que sin lugar a dudas dependa del desplazamientode la Tierra alrededor del Sol, esto es, mostraban un ciclo anual, el cual Flamsteed al igualque Robert Hooke atribuyeron al paralaje anual. Sin embargo, el astronomo italiano JeanDominique Cassini haba demostrado que dichos desplazamientos no se podan atribuir alparalaje anual pues lo que se observaba era que las estrellas se desplazaban de sus posicionesmedias en la misma direccion en que se mova la Tierra, lo cual es justo lo opuesto si elfenomeno es originado por paralaje anual. As estaban las cosas, sin una explicacion logica,cuando Bradley abordo el problema en 1725. Inicialmente estaba interesado en poder medirla paralaje de una estrella. Por ello concentro sus esfuerzos en una estrella relativamentebrillante (>cercana a la Tierra?) llamada Draconis la cual posee una declinacion de 51o,casi identica a la latitud de Londres (donde haca sus observaciones astronomicas) signifl-cando que dicha estrella pasa muy cerca del cenit de Londres reduciendo con ello el efecto dela refraccion. Bien pronto pudo constatar que, en efecto, Draconis mostraba una variacionanual en su declinacion pero Cassini tena razon: no poda ser atribuida a paralaje. Des-pues extendio sus observaciones a otras estrellas observando tambien el mismo fenomeno.El misterio para Bradley se acentuaba.

Se aflrma que Bradley encontro la explicacion correcta del fenomeno cuando navegaba


Figura 10.7: James Bradley (1693-1762)

por el ro Tamesis en un viaje de recreo. Al observar la bandera del mastil llamo su aten-cion el hecho de que la direccion en que ondeaba la bandera en el viento se corra con cadaocasion que el bote cambiaba de curso. Habiendo comentado a los navegantes que era cu-rioso que el viento cambiase justo en el momento en que el barco modiflcaba su curso, ellosle replicaron que de ningun modo haba cambio en la direccion del viento y que el movimien-to aparente de la bandera era debido simplemente al cambio de direccion del movimientodel barco. Bradley entendio entonces que la direccion de la bandera, en cada instante detiempo, estaba determinada por la combinacion de la velocidad del viento y la velocidaddel bote y cayo en cuenta que esto era lo que pasaba con la direccion aparente de las estrellas.

Lo que Bradley haba observado como un corrimiento de las estrellas en la misma di-reccion en que se desplaza la Tierra alrededor del Sol era debido a la combinacion de dosefectos: el movimiento de traslacion de la Tierra y la velocidad flnita de la luz (de la quetena un valor aproximado debido al trabajo del astronomo danes Olaus Romer quien en1676 midio la velocidad de la luz merced a las variaciones en los tiempos de las ocultacionesde los satelites de Jupiter). Bradley presento su descubrimiento a la Royal Society en 1729.El anuncio fue importante por varias razones: no solo explicaba el misterio del cambio dela posicion aparente de las estrellas sino que por primera vez en la historia de la ciencia sedispona de una demostracion real y concluyente de que la Tierra giraba alrededor del Sol.Ademas Bradley, con sus flnas observaciones, conclua que el paralaje anual de las estrellas,de haberlo, sera muy peque~no, inferior al segundo de arco, con lo que los astronomos sedaban una idea de lo realmente enorme que eran las distancias existentes entre ellas y el Sol.Finalmente, con la medicion de los desplazamientos de las estrellas de sus posiciones medias,


Bradley pudo realizar un nuevo estimativo de velocidad de la luz (ver mas adelante) y cal-culo que era de unos 301 000 km, un error de 0.3 % con respecto al valor aceptado hoy en da.

La aberracion estelar se aplica, como su nombre indica, a estrellas y en general a objetosubicados a distancias estelares y extragalacticas. El efecto notable de que la luz haya tardadocentenares, miles, e incluso millones de a~nos en llegar hasta nosotros (las posiciones realesde esos objetos deben ser distintas de las que observamos ahora) no es tenido en cuentaen la aberracion estelar, ni en ninguno de los tipos de aberracion salvo el de la aberracionplanetaria.

La aberracion estelar esta conformada por tres componentes: secular, anual y diurna.

Aberracion secular

Aquella componente de la aberracion estelar que resulta del movimiento uniforme y rectilneodel sistema solar con respecto al vecindario estelar. Por lo general esta contribucion esconsiderada despreciable y no se tiene en cuenta en las correcciones.

Aberracion anual

Esta es la aberracion \clasica" y de la que tratan extensivamente la gran mayora de los librosde astronoma. Es aquella componente de la aberracion estelar que resulta del movimientode la Tierra alrededor del Sol. Dicho de una manera practica: la direccion aparente de unastro es distinta si se observa desde el Sol que si se observa desde un objeto alrededor de eldotado de cierta velocidad v en torno a el.

Observemos la flgura 10.8. La Tierra gira en una orbita aproximadamente elptica alrede-dor del Sol. Al estar observando una estrella E desde el Sol la direccion geometrica de lamisma esta dada por el vector velocidad ~p. Pero un observador en la Tierra T, a causa de lavelocidad ~v alrededor del Sol, observara a la estrella E en la direccion del vector velocidad~p1, esto es, en el punto E0.

Sea ~c el vector velocidad de la luz que tiene una direccion y magnitud opuesta a la delvector ~p. Vectorialmente se deduce la siguiente suma de velocidades:

~p1 = ~p+ ~v;

puesto que de esta ultima se deduce que: ~p1 = ~c+~v, un vector unitario (p^1) en la direccionde ~p1 esta dado por:

p^1 =~v ~cj~v ~cj :

Ahora bien, ~c = cc^, entonces c^ = p^. Por lo tanto, al dividir por c en el numerador comoen el denominador de la ultima ecuacion obtenemos:

p^1 =~vc + p^j~vc + p^j

; (10.18)


T

** POSICIONGEOMETRICA

POSICIONAPARENTE

p

v

SOL

c

EE

p1

Figura 10.8: Aberracion anual

o, puesto que el vector p^ es unitario:

p^1 =~vc + p^p

1 + 2vc + (vc )

2: (10.19)

Llamando a la diferencia entre la direccion geometrica y aparente de la estrella y al angulo entre el vector velocidad de la Tierra y la posicion geometrica de la estrella,entonces, al multiplicar por p^ a ambos lados y puesto que jp^ p^1j = sen , jp^ p^j = 0,jp^ ~vj = v sen , se tiene:

sen =vc sen p

1 + 2vc + (vc )

2;

y, como v=c es peque~no (la velocidad de la Tierra alrededor del Sol es diez mil veces maspeque~na que la velocidad de la luz) podemos expandir en serie de Taylor el termino deldenominador, con lo que:

sen =v

csen 1

2

vc

2sen 2 + :

Es claro que el orden de la desviacion existente entre la direccion geometrica y aparente,esto es, la magnitud del fenomeno de aberracion, tiene un valor maximo de 29:8=299 792:46 =0:0000994 radianes, lo que signiflca que en unidades de grados (al multiplicar por 180=)es de 0.00569 grados = 20.5". Este valor es conocido como constante de aberracion. El


desplazamiento aparente de la estrella ocurre en la misma direccion en que se mueve la Tie-rra, por lo que una estrella observada a traves del a~no describe una elipse aparente en el cielo.

Al aparecer la teora especial de la relatividad fue necesario modiflcar ligeramente laecuacion (10.18), pues ella exige que la velocidad de la luz sea la misma en marcos dereferencia tanto estacionarios como en movimiento uniforme y obliga a utilizar las formulasde Lorentz. La correccion que se introduce aqu es tan peque~na que solo en casos de calculode rigurosa precision (milesima del segundo de arco) es necesario utilizarla.

Aberracion diurna

La aberracion diurna es aquella componente de la aberracion estelar que resulta del movimien-to diurno del observador alrededor del centro de la Tierra (ver flgura 10.9). En otras palabras,un observador, por estar ubicado en la superflcie de la Tierra, posee cierta velocidad conrespecto al centro de la Tierra, y ello origina un peque~nsimo desplazamiento de la posicionaparente ya corregida por aberracion anual.

* * POSICIONGEOMETRICAPOSICION

APARENTE

TIERRA EN ROTACION

.

PNT

Figura 10.9: Aberracion diurna

El tratamiento para hallar la magnitud de esta clase de aberracion es analogo al rea-lizado para la aberracion anual. Pero aqu hay que tener en cuenta que la velocidad de unobservador sobre la superflcie de un planeta depende de su latitud geocentrica. La velocidades maxima en el ecuador del planeta y nula cuando el observador esta ubicado en sus polos.


En otros terminos, la velocidad de un observador, vo a una latitud geocentrica `0 es:

vo = ve cos`0;

donde ve es la velocidad de un observador situado en el ecuador terrestre. La magnitudve=c es hallada facilmente. Si la circunferencia terrestre es del orden de 40 040 km y estadistancia se cubre en 86 164 segundos es claro que la velocidad para un observador a latitudcero es: 0.46 km/s. Ello quiere decir que la magnitud de la aberracion es, en radianes, de1:56106, o del orden de 0.32". Por supuesto que en calculos de gran precision es necesariotener en cuenta esta contribucion.

10.3.2 Aberracion planetaria

La aberracion planetaria es llamada as debido a que se aplica a los miembros del sistemasolar. Es debida al desplazamiento de los cuerpos celestes junto con el tiempo que le tomaa la luz que reejan (o emiten el el caso del Sol) estos objetos en llegar hasta la Tierra.

(t)

P(t- )LUZ QUE SALE DEL PLANETA EN EL TIEMPO t

LUZ QUE LLEGA A LA TIERRAEN EL TIEMPO t

LUZ QUE SALE DE PEN EL TIEMPO

T(t)

c

P

Figura 10.10: Aberracion

Sea un objeto P en orbita alrededor del Sol en un tiempo t (ver flgura 10.10). Para elmismo instante t la Tierra se ubica en el punto T. Pero, debido a la flnitud de la velocidadde la luz, en el tiempo t se esta recibiendo, en la Tierra, la luz del cuerpo P cuando este seencontraba en la posicion P, en un tiempo t , donde es el tiempo-luz, esto es, el tiempoque tarda la luz en ir desde P hasta T. Luego, aunque en el instante de tiempo t el cuerpode interes se encuentre localizado en P, lo que ve el observador en T no es el cuerpo ubicadoen P (a menos que la velocidad de la luz fuera inflnita) sino la luz que emitio el cuerpocuando se ubicaba en el punto P. Este efecto es necesario tenerlo en cuenta cuando se estacalculando con precision la posicion de un planeta, cometa o asteroide en el cielo. Comose vera en la seccion 13.2, la distancia de un cuerpo celeste a la Tierra puede calcularseresolviendo las ecuaciones diferenciales que se estudian en la mecanica celeste. Para corregirpor este efecto en muy buena aproximacion se determina el tiempo que tarda la luz en cubrirla distancia que separa T de P. Ello exige primero conocer la distancia TP y dividir por la

10.4. MOVIMIENTO EN EL ESPACIO 191

velocidad de la luz para hallar el tiempo. Luego se repite el calculo de la posicion del objetopero para el tiempo t . Esta es tan solo una primera aproximacion. En algunos casos,donde es necesario una alta precision, se requiere un calculo iterativo.

10.4 Movimiento en el espacio

Como hemos dicho anteriormente, las estrellas se van desplazando en el espacio. NuestroSol, como es obvio, tambien lo hace. Es claro que con el tiempo las estrellas iran cambiandode posicion las unas con respecto a las otras. Sin embargo, este movimiento es tan lentoque, comparado con el tiempo de vida de una persona, es muy poco perceptible por lo queresulta apreciable solo a escalas grandes de tiempo.

El movimiento en el espacio de una estrella se puede dividir en dos movimientos: elmovimiento propio denotado por , y la velocidad radial, denotada por vr, (ver flgura 10.12).

Figura 10.11: Edmond Halley (1656-1742)

El primero en reportar movimientos propios de estrellas fue el celebre astronomo in-gles Edmond Halley en 1718. Halley haba medido las posiciones de varias estrellas y lashaba comparado con las posiciones del catalogo de Ptolomeo (siglo II A.D.) encontrandoimportantes diferencias. Concluyo que ni la precesion ni los errores de observacion eransuflcientes como para explicar la diferencia. Entre las estrellas a las que se les haba detec-tado movimiento propio estaban Sirius, Aldebaran y Arcturus. Veinte a~nos despues Cassiniconflrmo las observaciones de Halley. Ya para 1760 Tobias Mayer reportaba el movimiento


propio de 80 estrellas. Dos decadas despues William Herschel calculaba correctamente ladireccion en que se mova el sistema solar con respecto a las estrellas cercanas, esto es, elapex solar.

BOVEDA

*ESTRELLA

Vr

Vt t)

(V

TIERRA

CELESTE

Figura 10.12: Movimiento en el espacio

El movimiento propio es aquel que ocurre perpendicularmente en la lnea de vision delobservador, por lo que da cuenta de la velocidad tangencial (vt) de la estrella. Se sueleexpresar en componentes de la ascension recta (fi cos ) y de la declinacion (). Es nece-sario multiplicar por cos la componente del movimiento propio en ascension recta con elfln de corregir la escala de esta y as obtener la verdadera distancia angular pues los crculoshorarios (por donde se va midiendo la ascension recta) se van aproximando a medida quela declinacion aumenta y eventualmente se encuentran en los polos. Las estrellas del vecin-dario solar se mueven aparentemente a velocidades tangenciales del orden de unos 0.5 a 4segundos de arco por a~no, aunque hay estrellas que pueden barrer 7 y hasta 9 segundos dearco anuales. El record lo tiene la estrella de Barnard, una peque~na estrella, solo visible portelescopio, que alcanza la sorprendente cifra de 10.3 segundos de arco anuales. Ello signiflcaque puede barrer el diametro aparente de la luna llena (30 minutos de arco) en unos 175a~nos. Para determinar estas velocidades es necesario realizar fotografas de una misma re-gion del cielo y compararlas con una realizada 40 y hasta 80 a~nos antes. Con ello es posibledeterminar el desplazamiento angular de las estrellas que aparecen en dicha placa fotograflca.

El movimiento propio a partir de sus componentes es:

=q

(fi cos )2 + 2 :

Se ha de tener mucho cuidado al consultar los catalogos pues algunos tienen los movimien-

10.5. PARALAJE 193

tos propios en segundos de arco por siglo, y otros lo tienen en segundos de arco por a~no.

Mientras que para cuantiflcar el movimiento propio de una estrella se tiene que esperarvarias decenas de a~nos, la velocidad radial se puede obtener a partir de la simple observacioncontando con un espectrometro. Con el espectro de una estrella es posible medir el denomi-nado efecto Doppler, el cual consiste en el cambio de la longitud de onda (o frecuencia)debido a la velocidad radial (que puede ser de acercamiento o alejamiento) de la fuente deluz, i.e., la estrella.

10.5 Paralaje

Se llama paralaje a la diferencia en la direccion aparente de un objeto cuando es visto desdedos lugares diferentes. La magnitud del corrimiento observado depende de la distancia: amenor distancia del objeto mayor corrimiento y viceversa. Por lo tanto, sabiendo la magni-tud del desplazamiento de la posicion del objeto con respecto a los objetos del fondo estelary sabiendo la distancia entre los puntos desde donde se realizan las observaciones, es posible,por simple trigonometra, conocer la distancia al cuerpo observado.

Existen varios tipos de paralaje bien deflnidos en astronoma: el paralaje diurno y elparalaje anual.

10.5.1 Paralaje diurno

El paralaje diurno es el cambio de direccion aparente de un cuerpo celeste visto desde dospuntos distintos del planeta Tierra (ver flgura 10.13). El paralaje diurno es perceptiblecuando la distancia entre el astro y la Tierra no puede considerarse excesivamente grandecomparada con el radio de la Tierra.

Es necesario corregir por paralaje diurno las coordenadas de los cuerpos cercanos a laTierra como el Sol, la Luna y los planetas. Puesto que las estrellas, aun las mas cercanasa la Tierra, estan a distancias miles de veces mas lejanas que la distancia existente entre elplaneta Pluton y la Tierra, el paralaje diurno es practicamente nulo para estrellas.

Por lo general las coodenadas de los cuerpos que integran el sistema solar dadas en losalmanaques astronomicos y nauticos estan referidas a un observador hipotetico ubicado enel centro de la Tierra por lo que se dice que son geocentricas. Para observaciones de altaprecision es necesario ubicar la posicion del observador en la superflcie de la Tierra. Ellorequiere entonces establecer, para el instante de la observacion, el vector posicion del obser-vador en la superflcie terrestre (ver seccion 13.3, pag. 276).

Un tipo especial de paralaje diurno es el denominado paralaje horizontal. Este se deflnecomo el cambio de direccion que existe de un cuerpo celeste cuando uno de los observadorestiene el astro en el cenit y el otro observador lo tiene en su horizonte (ver flgura 10.14). Otramanera mas apropiada de deflnir el paralaje horizontal es como aquel angulo, medido en elastro, que subtiende el ecuador terrestre de la Tierra. La Luna es el cuerpo natural que mas


**

ASTROPNT

ET

TIERRA

ECUADOR CELESTE

BOVEDA CELESTE

*

*

*

*

*

*

* *

*

*

*

*

*

Figura 10.13: Paralaje diurno

registra paralaje horizontal, del orden de los 57 minutos de arco. El del Sol llega a ser delorden de los 8.7 segundos de arco.

TIERRAP.H.

dRASTRO

OBSERVADOR CON ELASTRO EN EL CENIT

OBSERVADOR CON ELASTRO EN EL HORIZONTE

Figura 10.14: Paralaje horizontal

De la flgura 10.14 es claro que:

sen P:H: =R

d; (10.20)

donde R es el radio ecuatorial de la Tierra y d es la distancia Tierra-astro.

En muchos almanaques astronomicos la distancia de los cuerpos celestes del sistema solarse da en paralaje horizontal.

10.5. PARALAJE 195

Ejemplo 1

En un instante dado la Luna esta situada a 385 699:65 km de distancia del centro de laTierra. Determinar su paralaje horizontal.

Solucion

Lo usual es colocar las distancias en terminos del radio terrestre (1 R.T. = 6378.14 km),de tal forma que en (10.20) R = 1. Entonces:

d = 385 699:65=6378:14 = 60:4721 R.T.

Este valor se reemplaza en la ecuacion (10.20):

P:H: = sen11

60:4721= 0:9475178 = 0o5605100:

Ejemplo 2

El paralaje horizontal del Sol en una fecha dada es 8:6700. Determinar su distancia a laTierra.

Solucion

Al despejar d de la ecuacion (10.20) encontramos la distancia en terminos de radiosterrestres:

d =1

sen 0o008:6700= 23 790:63 R.T.

En unidades astronomicas la distancia es igual a:

d =23 790:63 6378:14

149 597 870= 1:014 u.a.

10.5.2 Paralaje anual

El paralaje anual es el cambio de direccion aparente de un cuerpo celeste visto desde dospuntos distintos de la orbita que realiza la Tierra en torno al Sol (ver flgura 10.16). Elparalaje anual es perceptible cuando la distancia entre el astro y el sistema solar no puedeconsiderarse excesivamente grande comparada con la distancia que hay entre la Tierra y elSol.

El paralaje anual fue extensivamente buscado por los astronomos como medio de hallarlas distancias entre las estrellas y el Sol y sobre todo como prueba irrefutable del movimientode la Tierra en torno del Sol. Ya habamos comentado que Flamsteed, Hooke, Halley, Cassi-ni y Bradley realizaron en su momento observaciones y mediciones muy detalladas y en su


Figura 10.15: Friedrich Bessel (1784-1848)

busqueda terminaron por hallar otros fenomenos. Quien primero tuvo exito en reportar convalidez el paralaje anual de una estrella fue el astronomo aleman Friedrich Bessel en 1838.Para aquel entonces era claro que algunas estrellas debiles mostraban movimientos propiosapreciables, indicando que estrellas poco luminosas no eran siempre garanta de que estu-vieran muy alejadas del Sol3. Por tal razon Bessel escogio a la estrella 61 Cygni (una estrelladoble con magnitudes visuales aparentes de 5.2 y 6.0 respectivamente), que para la epoca erala estrella que presentaba mayor movimiento propio (500/a~no). La logica indicaba que si unaestrella mostraba un movimiento propio notable era a causa de su \gran" cercana al Sol. Enefecto, a Bessel le tomo 18 meses de observaciones para detectar un paralaje anual de estaestrella del orden de 0.3 segundos de arco. A los pocos meses se anuncio el descubrimien-to de paralaje en Vega debido a Wilhem Struve y de fi Centauri debido a Thomas Henderson.

El paralaje anual se aplica a las estrellas. Puesto que las distancias que hay entreellas y nosotros son tan enormes el paralaje anual es muy peque~no, del orden de menosde un segundo de arco. Obtener el paralaje de una estrella constituye un logro de muchaimportancia, pues es la forma mas conflable de conocer la distancia de una estrella a nosotros.De hecho la unica manera de poder aflrmar cual de las estrellas es la mas cercana a nuestrosistema solar es medir el paralaje de todas ellas; aquella que presente un mayor paralajeanual es la mas cercana. Hasta ahora, de todas las estrellas a las que se les ha medidoel paralaje, la que tiene el valor mas grande (0.762") se llama Proxima del Centauro, unapeque~na estrella solo visible por telescopio. El paralaje anual se relaciona con la distancia

3Ahora sabemos que de las primeras 50 estrellas mas cercanas al Sol 41 son solo visibles con telescopio.

10.5. PARALAJE 197

* *

*

*

**

*

**

*

*

BOVEDACELESTE

dpi

SOL

TIERRA

*

Figura 10.16: Paralaje anual

por medio de la siguiente ecuacion (ver flgura 10.16):

sen =1d; (10.21)

donde d es la distancia en unidades astronomicas que existe entre la Tierra y la estrella encuestion.

Como las distancias interestelares son muy grandes es impractico expresarlas en unidadesastronomicas. La unidad que se utiliza es el a~no-luz, entendida como aquella distancia quecubre la radiacion electromagnetica en un a~no.

Puesto que la luz viaja a 300 000 km por segundo y en un a~no de 365.25 das hay31 557 600 segundos, se deduce que en kilometros un a~no-luz es:

300 000 31 557 600 = 9:46 1012 km:De igual forma se deduce que:

1 a~no-luz = 63 235 u.a.

El concepto de paralaje anual da lugar a una escala de distancia muy utilizada en as-trofsica. Imaginemos un cuerpo situado a una distancia tal de la Tierra cuyo paralaje anualsea exactamente el de un segundo de arco. Dicha distancia se conoce con el nombre deparsec (de las palabras inglesas \parallax" y \second"). A flnales de la decada de los a~nosochenta la Agencia Espacial Europea coloco en orbita alrededor de la Tierra un satelite denombre \Hipparcos" cuya tarea fue medir con una precision sin precedentes los movimientosestelares de unas 120 000 estrellas. El Hipparcos logro medir paralajes del orden de los 0.001segundos de arco. Esto signiflca que puede medir con precision razonable las distancias deestrellas ubicadas hasta los 3200 a~nos luz (1000 parsecs). Es una distancia notable, pero estan solo el 6 por ciento del radio estimado de la Va Lactea.


El parsec equivale a:

1sen 0o00100

= 206 265 u.a. = 3:26 a~nos-luz:

Ejemplo 1

Calcular la distancia (en unidades astronomicas, a~nos-luz y parsecs) entre el Sol y laestrella Sirius.

Solucion

El paralaje anual de varias estrellas se encuentra en el apendice E, pag. 365. El de Sirius(A o B) es 0:37700.

Al despejar d de la ecuacion (10.21) encontramos la distancia en terminos de unidadesastronomicas:

d =1

sen 0o000:37700= 547 120 u.a.

En a~nos luz la distancia es:

547 12063 235

= 8:65 a~nos-luz;

y en parsecs la distancia es:

8:653:26

= 2:65 parsecs:

10.6 Refraccion astronomica

La refraccion es el fenomeno de cambio de la direccion de un rayo de luz cuando pasaoblicuamente de un medio a otro en los cuales la velocidad de la luz es distinta (ver flgura10.17). Cuando la luz que proviene de los cuerpos celestes, y que viene viajando a travesdel vaco, comienza a penetrar la atmosfera terrestre experimenta ligeros y sucesivos cam-bios de direccion debidos a las propiedades fsicas sutilmente distintas entre las capas de aire.

El grado de cambio de direccion depende de las condiciones atmosfericas a lo largo de lalnea de vision y de la altura del astro en cuestion. Esto lo que signiflca es que la refracciondepende, no solo de la altura (o distancia cenital) del astro sino tambien de las condicionesde temperatura y presion existentes en el momento de la observacion. Como resultado de larefraccion la altura observada de un cuerpo celeste es mas grande que su altura geometrica.O dicho de otra manera: la refraccion tiende a aumentar la altura real de los astros por loque un observador termina viendo el astro un poco mas alto sobre su horizonte de lo querealmente esta.

10.6. REFRACCI ON ASTRON OMICA 199

**

R

POSICION GEOMETRICA

ATMOSFERATIERRA

POSICION APARENTE

e

DE LA ESTRELLA DE LA ESTRELLA

Figura 10.17: Refracccion astronomica

Para un astro ubicado en el cenit la refraccion es nula. En cambio, la refraccion esmaxima para un astro ubicado en el horizonte. En el horizonte un astro sufre una refraccionde 34 minutos de arco (mayor que el diametro aparente del Sol y la Luna vistos desde laTierra), por lo que en calculos de tiempos de salida y puesta de astros es necesario tener encuenta esa diferencia (ver seccion 8.2.2).

Existen en la literatura diversas ecuaciones propuestas para calcular la magnitud de larefraccion. Tambien existen tablas, que permiten calcularla rapidamente. Un ejemplo deuna de tales tablas se encuentra en el apendice D.

A manera de ejemplo presentamos aqu una formula que permite hallar la refraccion,denotada por Re, en funcion de la altura aparente (u observada) ha (no corregida porrefraccion), la temperatura T en grados centgrados y la presion P en milibares:

Re =

0:28PT + 273

0:0167o

tan(ha + 7:31ha+4:4 ): (10.22)

La altura geometrica o verdadera hg esta dada entonces por:

hg = ha Re: (10.23)

Recuerdese que 1 atmosfera = 76 cm de mercurio = 1:013105 pascales = 1013 milibares.

Ejemplo 1

La altura que se mide de una estrella a nivel del mar (altura aparente) es h = 56o4503000.Determinar la altura real (geometrica) de la estrella si en el momento de la observacion latemperatura era de T = 20o C.


Solucion

Primero utilicemos la formula (10.22). Al nivel del mar la presion es de una atmosferapor lo que P = 1013 milibares. Tambien T = 20o. Entonces:

Re =

0:28 101320 + 273

0:0167o

tan(56o4503000 + 7:3156o4503000+4:4 )= 0:0105o = 3800:

Una consulta a la tabla principal del apendice D permite obtener para una altura de 57o

a 20o centgrados un valor de 3700, lo que da un error de un segundo con respecto al valoranterior.

Por lo tanto, la altura geometrica correspondiente a la altura en cuestion es, de acuerdocon (10.23):

hg = 56o4503000 3800 = 56o4405200:Ejemplo 2

Se hace un calculo para determinar la altura teorica de una estrella para un observadorubicado en Bogota. Dicha altura geometrica en cuestion es 41o2703200. Determinar la distan-cia cenital que se observara de dicha estrella teniendo en cuenta la refraccion atmosferica sial momento de la observacion la temperatura es de T = 10o C.

Solucion

Necesitamos saber la presion atmosferica de Bogota. Tomando como base la atmosferaestandar norteamericana de 1976 es posible para la troposfera (alturas inferiores a los 11 000metros) expresar la presion de la atmosfera P en terminos de la altura sobre en nivel delmar H mediante la ecuacion (ver Lide, 1991, pag. 14-12):

H = 44331:5 11880:5P 0:19026;donde H esta dada en metros y P en milibares.

De esta ecuacion es facil expresar H en terminos de P como:

P = e[ln(44331:5H)

0:19026 49:31]: (10.24)

Conocemos el valor de la altura de Bogota sobre el nivel del mar que se halla en elapendice B, (pag. 355) y es: H = 2620 metros. Reemplazando este valor en (10.24) obte-nemos P = 735 milibares.

Utilizando la formula (10.22) tomando ha = hg obtenemos:

Re =

0:28 7355 + 273

0o:0167

tan(41o2703200 + 7:3141o2703200+4:4 )= 0:0137o = 4900:

10.7. DEFLECCI ON GRAVITACIONAL DE LA LUZ 201

Una consulta a la tabla principal del apendice D permite obtener para una altura de42o300 a 10o centgrados un valor de 1o600. Multiplicando este valor por el factor de corre-ccion por altura (tabla peque~na de la pagina 364) obtenemos: 10600 0:73 = 4800, lo que daun error de un segundo con respecto al valor anterior.

La altura aparente del astro es, de acuerdo con (10.23):

ha = 41o2703200 + 4900 = 41o2802100:

La distancia cenital se calcula con ayuda de la formula (5.1), pag. 71: z = 48o3103900.

10.7 Deeccion gravitacional de la luz

La deeccion gravitacional de la radiacion electromagnetica es un fenomeno que consiste enel cambio de la direccion de un rayo de luz a causa del campo gravitacional originado por uncuerpo de masa de magnitud considerable (ver flgura 10.18). En el caso de la observacionde las estrellas desde la Tierra, el Sol, por ser el objeto de mayor masa, genera un campogravitacional que cambia la trayectoria de un rayo de luz (una lnea recta) y lo curva li-geramente en direccion hacia el Sol. El fenomeno fue predicho por Albert Einstein en 1916en su celebre teora de la relatividad general y fue por primera vez medido tres a~nos mastarde con ocasion de un eclipse de Sol4. Una descripcion completa del fenomeno requiere eldominio del calculo tensorial, lo cual esta mas alla del proposito de esta obra.

* *

TIERRA

SOL

DE LA ESTRELLA

r

POSICION APARENTE DE LA ESTRELLAPOSICION GEOMETRICA

Figura 10.18: Deeccion gravitacional de la luz

4Utilizando la teora newtoniana es posible mostrar que los rayos de luz tambien son curvados por unagran masa. En particular, el valor que se calcula de la desviacion de un rayo de luz proveniente de un astroque pasa por todo el borde del Sol es exactamente la mitad del valor predicho por la teora de la relatividadgeneral.


La magnitud ' de la deeccion gravitacional puede calcularse con la siguiente formula5:

' =2GMJc2r

r1 + cos '1 cos ' ; (10.25)

donde G es la constante de Cavendish, MJ la masa del Sol, c la velocidad de la luz en elvacio, r la distancia del observador al Sol y ' el angulo existente entre la estrella y el centrodel Sol.

Puesto que las observaciones se hacen desde la Tierra (al menos por ahora), el valor der es la unidad astronomica. Reemplazando los valores de las constantes (en unidades MKS)en el coeflciente obtenemos:

2GMJc2r

=2 6:67 1011 1:998 1030

(300 000 0002 1:49 1011) = 1:97106 rad = 1:134104 grad = 0:0040800:

De la formula (10.25) y utilizando el mismo procedimiento descrito en la pagina 256obtenemos la formula de deeccion gravitacional de una estrella situada a una distanciaangular ' del centro del Sol para un observador ubicado en la Tierra:

' =0:0040800

tan('=2):

Valores de ' se encuentran en la tabla 10.1 para varios valores de '.

' '0.25o 1.866"0.5o 0.933"1o 0.466"5o 0.093"10o 0.047"20o 0.023"50o 0.009"90o 0.004"

Tabla 10.1: Deeccion gravitacional de la luz. Algunos valores de '

Un comentario adicional

Como se ha visto, las coordenadas de los astros son alteradas sensiblemente por la pre-cesion, llegando a un valor maximo de variacion de unos 50 segundos de arco por a~no. Elsiguiente fenomeno a tener en cuenta, sobre todo para ubicar el ecuador verdadero, es la

5Ver Misner et al., 1973, pag. 1103.

10.7. DEFLECCI ON GRAVITACIONAL DE LA LUZ 203

nutacion, que puede tener un efecto de hasta unos 17 segundos de arco. La aberracion anualno se le queda atras: puede tener un efecto maximo en las coordenadas de hasta 20 segundosde arco.

Los demas efectos son de magnitud muy peque~na. El movimiento propio, salvo casosexcepcionales, cambia las coordenadas de las estrellas unas pocos segundos de arco pora~no. El efecto de la aberracion diurna posee una magnitud maxima de 0.32 segundos dearco para un observador ubicado en el ecuador terrestre y es nulo para un observador enlos polos. El efecto de paralaje anual es inferior al segundo de arco para absolutamentetodas las estrellas. La deeccion gravitacional posee un valor maximo de 1.87 segundos dearco (para una estrella situada en todo el borde del disco del Sol) pero en la practica paraestrellas separadas del Sol mas de noventa grados el efecto esta en la milesima de segundo.La refraccion astronomica es tenida en cuenta principalmente en las observaciones de lasculminaciones de los astros para efectos de navegacion (ver seccion 8.5).

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS

Chandrasekhar, S. (1995), Newtons Principia for the Common Reader, Clarendon Press,Oxford.

Fabuloso libro que coloca en un lenguaje moderno las principales ideas y descubrimientos queNewton publico en sus Principia. El captulo 23 contiene una exposicion detallada y en unlenguaje relativamente sencillo sobre la precesion de los equinoccios.

Green, R. (1985) Spherical Astronomy, Cambridge Univesrity Press, Cambridge.Excelente libro de astronoma esferica. A parte de describir claramente algunos topicos deinteres actual contiene ademas las correcciones relativsticas sin entrar de lleno a exponer elformalismo.

Kaula, W.M. (1968) An Introduction to Planetary Physics, John Wiley & Sons, New York.Excelente libro de fsica planetaria. En su captulo 4 se encuentra una descripcion sencilladel efecto de la Luna sobre la dinamica rotacional de la Tierra y con un calculo sencillo sedetermina el perodo de precesion para la Tierra.

Kinoshita, H. (1975) Theory of the Rotation of the Rigid Earth, Celestial Mechanics, Vol. 15p. 277.

Artculo tecnico que describe claramente el proceso para la conformacion y desarrollo de unateora del movimiento de rotacion de la Tierra rgida. Incluye el desarrollo de la funcionperturbadora (de la Luna y el Sol) y el metodo de Hori para la solucion de las ecuacionescanonicas.

Lide, D.R. (1991) Handbook of Chemistry and Physics, 72 edicion, C.R.C. Press, Boca Raton.Tablas de datos de interes flsco, matematico, astronomico y qumico se encuentran consignadasen este voluminoso libro.

Meeus, J. (1991) Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond, Virginia.Referencia obligada para todos aquellos que deseen elaborar sus propios programas para ladeterminacion de posiciones de astros con las correcciones a las que halla lugar.

Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J.A. (1973) Gravitation, W.H. Freeman and Co., New York.Un compendio magistral de todo lo que se haba hecho en relatividad general hasta comienzosde los a~nos setenta. La deeccion gravitacional de la luz se trata de varias maneras en eltranscurso del texto.


North, J. (1995) The Norton History of Astronomy and Cosmology, W. W. Norton & Com-pany, New York.

Una narracion bastante completa y facil de leer sobre la historia de la astronoma.

Plummer, H.C. (1960), An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publica-tions, Inc., New York.

El captulo 22 de este excelente libro aborda el problema de la precesion y nutacion.

Seidelmann, P.K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, UniversityScience Books, Mill Valley.

En su captulo 3 contiene una exposicion muy detallada y actualizada sobre todos los fenomenosque perturban las coordenadas.

Simon, J.L. et al. (1994), Numerical Expressions for Precession Formulae and Mean Elementsfor the Moon and Planets, Astronomy and Astrophysics, Vol. 282, p. 663.

En este artculo se pueden encontrar ecuaciones rigurosas para el calculo de la precesion ascomo ecuaciones para hallar los elementos orbitales medios de los planetas.

Smart, W.M. (1960) Celestial Mechanics, Longmans, Londres.Se encuentra en su captulo 20 un tratamiento parcialmente riguroso de la precesion y nutacion.

The Astronomical Almanac, U.S. Goverment Printing Oce, Washington.Las versiones recientes contienen, en terminos facilmente entendibles, algunas formulas ri-gurosas y aproximadas para el calculo de la precesion, nutacion, aberracion, etc.

correccion a las coordenadas

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