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CORPORACIÓN MEXICANA DE INVESTIGACIÓN EN MATERIALES
DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO
"Análisis multivariado del proceso de fundición por molde permanente mediante una red neuronal de Función de Base Radial"
TESIS
Para obtener el Grado Académico de
Maestro en Ciencia y Tecnología en Ingeniería Industrial y de Manufactura
Presenta:
Homero de Jesús de León Delgado
Saltillo, Coahuila 30 de noviembre de 2016
CCIIEENNCCIIAA YY
TTEECCNNOOLLOOGGIIAA
"Análisis multivariado del proceso de fundición por molde permanente mediante una red neuronal de Función de Base Radial"
Por Homero de Jesús de León Delgado
Tesis
Presentada al Programa Interinstitucional en Ciencia y tecnología
Sede
Corporación Mexicana de Investigación en Materiales, S.A. de C.V.
Como requisito parcial para obtener el Grado Académico de
Maestría en Ciencia y Tecnología En Ingeniería Industrial y de Manufactura
Programa Interinstitucional en Ciencia y Tecnología COMIMSA / CONACyT
Saltillo, Coahuila noviembre de 2016
RESUMEN
En la actualidad las empresas de manufactura han visto incrementada la
dificultad en la toma de decisiones de sus procesos. Debido a esta dificultad se
utilizan herramientas como el modelado de procesos, para tomar decisiones en
base al comportamiento del modelo.
La red neuronal de Función de Base Radial es un sistema inteligente
aplicado al modelado en la industria de manufactura. Sin embargo, la mayoría
de los procesos presentan varias salidas dificultando el análisis, debido a esto,
es común encontrar trabajos donde se ignora la relación entre variables de
salida, provocando diversos problemas al tomar decisiones en base a este tipo
de análisis. El presente trabajo propone el uso de las redes neuronales de
Función de Base Radial para la predicción en procesos de manufactura con
varias variables de respuesta y su análisis por medio de herramientas
estadísticas multivariadas como el MANOVA, tomando en cuenta las
condiciones que se deben cumplir para aplicar este tipo de análisis. Esto para
conocer que tan bien explica el modelo la variabilidad del proceso y qué
variable es más importante.
La aplicación de la metodología propuesta fue en un proceso de
fundición en molde permanente y por gravedad, donde se obtuvo una buena
predicción en base a métricas estadísticas multivariadas y se encontró que de
las variables basculamiento, temperatura del metal y temperatura del molde,
esta última fue la de mayor influencia en el proceso.
Palabras clave: Red Neuronal, Función de Base Radial, MANOVA
Tabla de contenido
Capítulo 1: Introducción ...................................................................................... 1
Capítulo 2: Planteamiento del problema ............................................................. 7
2.1 Descripción del problema .......................................................................... 7
2.2 Preguntas de investigación ...................................................................... 15
2.3 Hipótesis .................................................................................................. 16
2.4 Objetivos .................................................................................................. 16
2.4.1 Objetivo general ................................................................................ 16
2.4.2 Objetivos específicos ......................................................................... 16
2.5 Justificación ............................................................................................. 17
2.6 Delimitaciones ......................................................................................... 19
Capítulo 3: Estado del arte ............................................................................... 20
3.1 Conclusiones del estado del arte ............................................................. 27
Capítulo 4: Marco teórico .................................................................................. 29
4.1 La red neuronal artificial .......................................................................... 29
4.2 Funciones de activación .......................................................................... 31
4.3 Funciones de Base Radial ....................................................................... 31
4.4 Interpolación por una red de Función de Base Radial ............................. 32
4.5 Teorema de Micchelli ............................................................................... 35
4.6 Funciones Gaussianas Multivariadas ...................................................... 36
4.7 Redes FBR generalizadas ....................................................................... 37
4.8 Estimación de los pesos de la red por mínimos cuadrados ..................... 38
4.9 Estimación de los centros de la red por Algoritmo Genético ................... 40
4.10 Distancia de Mahalanobis ...................................................................... 42
4.11 Análisis Multivariado de Varianza (MANOVA) ....................................... 42
4.12 Elipsoides de confianza e intervalos ...................................................... 52
4.13 Medidas de asociación y validación de la predicción ............................. 53
Capítulo 5: Metodología .................................................................................... 56
Capítulo 6: Aplicación ....................................................................................... 62
6.1 Descripción del proceso de manufactura ................................................. 62
6.2 Análisis de datos...................................................................................... 63
6.3 Prueba de correlación .............................................................................. 69
6.4 Modelación .............................................................................................. 72
6.5 Cumplimiento de supuestos .................................................................... 74
6.6 Análisis de varianza multivariado ............................................................ 77
6.7 Validación ................................................................................................ 79
Capítulo 7: Conclusiones .................................................................................. 85
Bibliografía ........................................................................................................ 89
Lista de Tablas
Tabla 2.1 Datos proceso EDM ............................................................................ 8
Tabla 2.2 Supuestos con BP............................................................................... 9
Tabla 2.3 Supuestos con FBR .......................................................................... 10
Tabla 2.4 Correlación proceso EDM ................................................................. 11
Tabla 2.5 Valores de probabilidad proceso EDM .............................................. 11
Tabla 4.1 Construcción de la tabla MANOVA ................................................... 51
Tabla 6.1 Datos del proceso ............................................................................. 64
Tabla 6.2 Puntos centrales de 𝒚𝟏 ...................................................................... 65
Tabla 6.3 Medias de cada cavidad de 𝒚𝟏 .......................................................... 66
Tabla 6.4 Puntos centrales de 𝒚𝟐 ...................................................................... 67
Tabla 6.5 Medias de cada cavidad de 𝒚𝟐 .......................................................... 67
Tabla 6.6 Puntos centrales de 𝒚𝟑 ...................................................................... 68
Tabla 6.7 Medias de cada cavidad de 𝒚𝟑 .......................................................... 68
Tabla 6.8 Variables de respuesta ..................................................................... 70
Tabla 6.9 Coeficientes de correlación de Pearson ............................................ 70
Tabla 6.10 Coeficientes de correlación de Kendall ........................................... 71
Tabla 6.11 Centros generados por algoritmo genético ..................................... 72
Tabla 6.12 Pesos generados por mínimos cuadrados ...................................... 73
Tabla 6.13 MANOVA para significancia del modelo ......................................... 78
Tabla 6.14 Medidas de asociación y predicción multivariadas ......................... 78
Tabla 6.15 MANOVA para subconjuntos de 𝒙 .................................................. 79
Tabla 6.16 Predicciones con la red FBR ........................................................... 80
Tabla 6.17 Intervalos de confianza para los pesos ........................................... 81
Tabla 6.18 Intervalos de confianza para las predicciones ................................ 82
Lista de Figuras
Figura 1.1 Esquema de un proceso .................................................................... 1
Figura 4.1 Estructura de una red neuronal ....................................................... 30
Figura 4.2 Estructura de la red FBR ................................................................. 38
Figura 5.1 Metodología general ........................................................................ 56
Figura 5.2 Análisis de datos .............................................................................. 57
Figura 5.3 Correlación no significativa .............................................................. 60
Figura 5.4 Correlación significativa ................................................................... 60
Figura 5.5 Validación ........................................................................................ 61
Figura 6.1 Metodología propuesta .................................................................... 62
Figura 6.2 Pieza fabricada ................................................................................ 64
Figura 6.3 Gráfica de caja para 𝒚𝟏 .................................................................... 66
Figura 6.4 Gráfica de caja para 𝒚𝟐 .................................................................... 67
Figura 6.5 Gráfica de caja para 𝒚𝟑 .................................................................... 69
Figura 6.6 Intervalos de confianza para Peso ................................................... 83
Figura 6.7 Intervalos de confianza para SPC 2 ................................................ 83
Figura 6.8 Intervalos de confianza para SPC 3 ................................................ 84
1
Capítulo 1
Introducción
En la actualidad las empresas de manufactura han visto incrementada la
dificultad en sus procesos de toma de decisiones, debido a los rápidos cambios
en los métodos de diseño y la demanda de productos de calidad (Ahilan et al.,
2013). Esta tendencia de constante cambio y la necesidad de mantenerse a la
vanguardia tecnológica ha propiciado la necesidad de tener procesos cada vez
más eficientes.
Figura 1.1 Esquema de un proceso
Los procesos de manufactura son un conjunto de actividades donde se
realizan modificaciones en las características de un producto. Los más
importantes son: maquinado, fundición, soldadura y conformado
(Chandrasekaran et al. 2010), los cuales describen un comportamiento
sistémico (Figura 1.1) con sus elementos de entrada (energía requerida, ciclos,
potencia, etc.), una fase de transformación de las entradas y las salidas del
proceso (características de calidad, energía utilizada, etc.)
𝑦 𝑥1
𝑥2
⋮ 𝑥𝑛
Entrada Salida
Proceso
2
Dado que aumentar la eficiencia en los procesos es uno de los objetivos
principales de la industria manufacturera, resulta útil apoyarse en el uso de
diversas metodologías y herramientas para el control de la producción como lo
es el modelado, ya que esto permite representar el proceso y tomar decisiones
en base al comportamiento explicado por el modelo.
Gracias al modelado el proceso de optimización se facilita, ya que
normalmente el ajuste de parámetros y variables se da de manera aleatoria o
por la práctica de “prueba y error”, esto genera gastos en todos los sentidos;
costos por piezas defectuosas, tiempo de producción o gastos en materiales
(Benyounis y Olabi, 2008). Por lo tanto, se tiene la necesidad de mejorar la
predicción y optimización de los procesos de manufactura, y sobre todo en el
manejo de parámetros y variables.
Uno de los procesos de manufactura más importante es la fundición
(Chandrasekaran et al., 2010), el cual consiste en fundir un material para
vaciarlo en estado líquido a un molde para obtener la forma deseada. Existen
diferentes tipos de fundición: con molde en arena, molde permanente, cera
perdida, inyección, etc. En el caso de estudio se trabaja con un proceso de
fundición en molde permanente y por gravedad, donde es muy importante
seleccionar los mejores parámetros y analizar los efectos entre variables
controlables para el aseguramiento de la calidad. Es común encontrar estos
parámetros por prueba y error utilizando herramientas de modelado para
encontrar las condiciones adecuadas del proceso.
Existen diferentes técnicas tanto para modelar, como para optimizar un
proceso. Las herramientas clásicas son estadísticas como la regresión
(Cevallos, 2008), pero también existen métodos basados en sistemas
inteligentes, los cuales simulan o tratan de imitar el comportamiento de los
3
sistemas biológicos humanos, tales como redes neuronales, lógica difusa,
algoritmos genéticos y combinaciones en sistemas híbridos. Fueron
desarrollados para la resolución de problemas y la toma de decisiones en
problemas complejos (Yen & Langari, 2000). Dentro de las redes neuronales
existen diferentes tipos; máquinas de vectores de soporte, teoría de resonancia
adaptativa, retro-propagación, redes de función de base radial, etc. Estas dos
últimas tienen como aplicaciones principales, en diversas áreas de la ingeniería,
la clasificación y la predicción. Son nombradas “aproximadoras universales”
(Haykin, 1999, Cevallos, 2008) por su capacidad de aproximar los valores de
entrada a las salidas deseadas gracias a las funciones de base radial, además
pueden aplicarse en problemas no lineales y dado que los procesos de
manufactura tienen comúnmente un carácter no lineal (Cevallos, 2008), resulta
una herramienta útil para analizar los procesos de manufactura y optimizarlos.
Por su parte, el modelado permite explicar las salidas 𝑦 del proceso en
base a las variables de entrada 𝑥. Cada especificación de entrada utilizada en
el proceso afecta de manera directa a su resultado, tales datos se representan
como variables de entrada en una matriz 𝑿.
[𝑿] = [𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑝]
Donde 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑝 son cada una de las 𝑝 variables representativas del
proceso.
Mientras que las salidas de un proceso univariado se representan en un
vector [𝑦], y en un proceso multivariado en una matriz de respuestas [𝒀].
[𝒀] = [𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑞]
4
Donde 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑞 son las 𝑞 variables de respuesta del proceso y pueden
ser características de calidad resultante o condiciones finales del proceso.
Es común que los procesos de manufactura generen más de una
respuesta. Por ejemplo, un proceso de soldadura genera una profundidad en la
penetración de la soldadura, pero también genera un diámetro de la misma, un
maquinado por descargas eléctricas (EDM) genera un rango de material
removido y cierta rugosidad en la superficie (Mollah et al. 2008), un maquinado
con CNC también genera rugosidad en la pieza y resulta útil medir la energía
consumida por el proceso (Ahilan et al. 2013). El proceso de fundición no es la
excepción, como en los casos de Schafföner et al., (2016), Timelli et al., (2016)
y Patel et al., (2016), donde utilizan herramientas estadísticas para analizar
procesos de fundición con varias respuestas.
Para analizar procesos de manufactura con más de una respuesta como
los vistos anteriormente, es común que se utilicen modelos univariados para
cada respuesta del proceso. También, se han desarrollado metodologías de
redes neuronales para analizar todas las respuestas considerándolas
independientes entre sí, como los desarrolladas por los autores Du et al.,
(2010), o Pérez et al., (2014), entre otros. Sin embargo, considerar las
respuestas independientes genera problemáticas a la hora de optimizar el
proceso. Por ejemplo, el modelo puede ajustarse adecuadamente solo para una
respuesta, y encontrar parámetros óptimos para una respuesta y diferentes en
otra. Por las características del proceso posiblemente los parámetros deben ser
los mismos para todas las características de calidad y respuestas resultantes.
Este caso se daría al tener respuestas correlacionadas en el proceso.
Al analizar el proceso surgen preguntas como:
5
¿Qué variable del proceso afecta más a las respuestas de manera
conjunta?
¿Cómo sabemos que el modelo explica el proceso de forma
adecuada?
Para responder esto se sugiere el uso del análisis de varianza, sin
embargo, existen ciertos supuestos estadísticos que se deben tomar en cuenta
para llegar a conclusiones acertadas por medio del análisis de varianza, pero:
¿Cómo se verían afectados estos supuestos al existir correlación
en múltiples salidas?
Al considerar varias respuestas es posible preguntarse:
¿Cómo demostrar la correlación entre las respuestas?
Como se mencionó anteriormente, las redes neuronales artificiales
cuentan con diferentes tipos, de las cuales las de Retro-Propagación (RP) y las
Funciones de Base Radial (FBR) tienen especial importancia en la industria ya
que se les conoce como aproximadores universales (Haykin, 1999), y pueden
ser usadas en aplicaciones de predicción y clasificación. Su uso en predicción
dentro de los procesos de manufactura es recomendable gracias a su
capacidad de trabajar en procesos complejos. La determinación de los pesos
sinápticos en la red resulta clave para lograr las salidas deseadas, ya que una
vez determinando los pesos, las entradas pueden cambiar para encontrar los
parámetros óptimos. Para esto, resulta útil la combinación de la red con
herramientas estadísticas como la estimación por mínimos cuadrados, logrando
con esto que el error a la salida de la red sea mínimo mejorando la calidad de la
predicción. Aquí surgen otras preguntas como:
6
¿En qué afectan las múltiples salidas en la estimación de los
pesos de la red?
El presente trabajo está estructurado en siete capítulos con el fin de
responder las cuestiones planteadas a lo largo de este capítulo uno. En el
capítulo dos se plantea la problemática de utilizar el análisis de varianza sin
verificar los supuestos necesarios para este análisis, además de las
consecuencias de ignorar la relación entre variables de salida, se plantean los
objetivos, las preguntas de investigación, las hipótesis y justificación del
proyecto.
En el capítulo tres se desarrolla el estado del arte referente a las
aplicaciones de diferentes tipos de trabajos en diferentes áreas y procesos
multirespuesta donde se utilicen redes neuronales principalmente en predicción.
El capítulo cuatro muestra una introducción al marco teórico detallando
las herramientas y conceptos utilizados para el desarrollo del modelo. El
capítulo cinco detalla la metodología plateada para analizar procesos de
manufactura con una o varias respuestas, mediante la red de Función de Base
Radial y el Análisis de Varianza.
El capítulo seis muestra la aplicación y resultados obtenidos en el
proceso de fundición en molde permanente y por gravedad, mediante la
metodología propuesta. Finalmente, en el capítulo 7 se presentan las
conclusiones de la investigación y comentarios sobre el trabajo futuro.
7
Capítulo 2
Planteamiento del problema
En el presente capítulo se presentará el problema principal y su entorno,
objetivos e hipótesis.
2.1 Descripción del problema
Dadas las características mencionadas en el capítulo uno, es importante
verificar si el análisis del modelo puede realizarse bajo las mismas condiciones
si se tienen varias respuestas en el proceso. En general, un modelo con varias
respuestas puede dividirse en dos categorías: sistemas con respuestas
independientes y sistemas con respuestas correlacionadas (Bashiri et al. 2014).
En la primera categoría puede considerarse cada respuesta independiente y es
posible verificar los efectos de algún cambio de nivel de los factores de control
en cada respuesta sin considerar otras. Bajo este método es lógico pensar que
el análisis y la optimización de estos sistemas son más simples. Por otro lado,
en procesos con respuestas correlacionadas, no es posible analizar cada
respuesta independientemente ya que conduciría a interpretaciones erróneas.
Debido a la dificultad del análisis y optimización de procesos con respuestas
correlacionadas, es común encontrar trabajos donde se ignora la correlación
entre variables de salida.
Por ejemplo, Ugrasen et al. (2014) presentan una investigación sobre la
optimización y el análisis de efectos de los parámetros en un maquinado por
8
descargas eléctricas (EDM) con tres variables de salida del proceso, mediante
una red de Retro-Propagación (BP). El nivel de importancia de los parámetros
en las salidas es determinado mediante un análisis de varianza (ANOVA),
encontrando que la variable con mayor influencia es la 𝑥3. Los datos de la
investigación se presentan en la Tabla 2.1.
Tabla 2.1 Datos proceso EDM
RUN ENTRADAS SALIDAS
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑦1 𝑦2 𝑦3
1 16 4 3 20 2.3922 5.5224 12
2 16 6 4 25 2.3840 5.5015 11
3 16 8 5 30 2.5260 5.3628 9
4 16 10 6 35 2.7920 7.2172 20
5 20 4 3 30 2.6310 6.8033 19
6 20 6 4 35 2.5410 6.2370 18
7 20 8 5 20 2.8430 7.3504 21
8 20 10 6 25 2.8910 7.4400 23
9 24 4 3 35 3.3170 9.7325 28
10 24 6 4 30 3.2810 8.6313 24
11 24 8 5 25 2.4760 6.0592 13
12 24 10 6 20 2.2530 5.2028 11
13 28 4 3 25 3.0240 8.5863 26
14 28 6 4 20 2.5860 6.3768 17
15 28 8 5 35 2.4820 6.0855 15
16 28 10 6 30 2.3480 5.3757 10
Sin embargo, para obtener conclusiones acertadas mediante el análisis de
varianza, se deben cumplir ciertos supuestos sobre los residuales para
garantizar que se representa el proceso de manera correcta. Dichos supuestos
son:
Los errores tienen una distribución normal.
Los errores tienen varianzas iguales.
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Los errores no están auto-correlacionados.
Para verificar el cumplimiento de dichos supuestos, existen diferentes
pruebas que comparan un estadístico calculado con cierto valor crítico. Por
ejemplo, en el supuesto de normalidad es posible realizar la prueba Anderson-
Darling que concluye que los datos son normales si un estadístico calculado 𝐴𝐷
es menor a un valor crítico 𝑉𝐶. Para el supuesto de varianzas iguales se verifica
mediante la prueba White de homocedasticidad donde se calcula un estadístico
𝑊 y se determina que se cumple el supuesto si es menor a un valor crítico.
Finalmente, el supuesto de autocorrelación se comprueba mediante la prueba
Durbin-Watson donde se busca que el estadístico 𝑑 calculado sea mayor al
valor crítico.
Mediante dichas pruebas es posible verificar los supuestos en el modelo
de Ugrasen et al. (2014), los resultados de estas pruebas se presentan en la
Tabla 2.2
Tabla 2.2 Supuestos con BP
Residuales Normalidad Homocedasticidad Independencia
𝑦1 𝐴2 = 0.129
𝑉𝐶 = 0.7209
𝑊 = 0.1173
𝑉𝐶 = 0.21
𝑑 = 2.1078
𝑉𝐶 = 1.7280
𝑦2 𝐴2 = 2.031
𝑉𝐶 = 0.7209
𝑊 = 0.1144
𝑉𝐶 = 0.21
𝑑 = 0.4276
𝑉𝐶 = 1.7280
𝑦3 𝐴2 = 0.344
𝑉𝐶 = 0.7209
𝑊 = 0.1030
𝑉𝐶 = 0.21
𝑑 = 2.3344
𝑉𝐶 = 1.7280
En dicha tabla, es posible observar que los residuales de la segunda
respuesta no cumplen los supuestos de normalidad e independencia para el
modelo BP, por lo tanto, el análisis de varianza no es el indicado para analizar
estas respuestas de forma conjunta.
10
En la Tabla 2.3 se muestran los resultados del análisis de residuales al modelar
el proceso con una red de Función de Base Radial (FBR).
Tabla 2.3 Supuestos con FBR
Residuales Normalidad Homocedasticidad Independencia
𝑦1 𝐴2 = 0.465
𝑉𝐶 = 0.7209
𝑊 = 0.1476
𝑉𝐶 = 0.21
𝑑 = 2.3012
𝑉𝐶 = 1.7280
𝑦2 𝐴2 = 0.357
𝑉𝐶 = 0.7209
𝑊 = 0.1446
𝑉𝐶 = 0.21
𝑑 = 2.4077
𝑉𝐶 = 1.7280
𝑦3 𝐴2 = 0.186
𝑉𝐶 = 0.7209
𝑊 = 0.1326
𝑉𝐶 = 0.21
𝑑 = 2.5351
𝑉𝐶 = 1.7280
En dicha tabla se verifica el cumplimiento de todos los supuestos para
este análisis.
Sin embargo, al tener las mismas variables de entrada para varias
variables de salida debe considerarse un análisis multivariado. Para determinar
si el análisis debe ser univariado o multivariado es útil realizar la prueba de
correlación de Pearson, en la cual una correlación significativa indica que los
cambios en una variable de respuesta afectan a otra, y la modelación debe
considerarse multivariada.
Sin embargo, dicha condición no suele tomarse en cuenta. Publicaciones
como la de Mollah et al. (2008), Ahilan (2013), Jiang et al. (2014), Cevallos
(2008) o el mismo Ugrasen et al. (2014) utilizan redes neuronales para modelar
procesos de manufactura con varias respuestas considerándolas
independientes, y no solo en aplicaciones de redes neuronales, también se
ignora la relación entre respuestas en aplicaciones estadísticas como Paulo de
Paiva et al. (2014), Lopes et al. (2013), Gomes et al. (2013) y Patel et al. (2016).
11
Aplicando la prueba de correlación de Pearson en los datos del proceso
EDM, se puede observar una correlación fuerte entre las variables ya que los
valores son muy cercanos a la unidad. Los resultados se muestran en la Tabla
2.4.
Tabla 2.4 Correlación proceso EDM
Correlación
Pearson 𝑦1 𝑦2
𝑦2 0.9737
𝑦3 0.9205 0.9638
Es posible confirmar la correlación significativa por medio de los valores
críticos para el coeficiente de correlación de Pearson, para 𝑛 − 2 grados de
libertad y 𝛼 = 0.05 el 𝑉𝐶 = 0.4260, al ser menor este valor crítico, se considera
correlación significativa. Además, los valores 𝑃 de probabilidad indican también
correlación significativa. Dichos valores se muestran en la Tabla 2.5.
Tabla 2.5 Valores de probabilidad proceso EDM
P-value 𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝒚𝟐 0.0000
𝒚𝟑 0.0000 0.0000
Como se mencionó anteriormente, mediante el análisis realizado por
Ugrasen et al. (2014), por medio de un ANOVA se determinó que la variable
con mayor influencia en el proceso es 𝑥3, sin embargo, no se pueden emitir este
tipo de conclusiones. Dados los puntos expuestos anteriormente, se propone el
uso del análisis multivariado de varianza (MANOVA) verificando si se cumplen
los supuestos para este tipo de análisis, estos son:
Las respuestas siguen una distribución normal conjunta.
Las respuestas tienen dependencia entre sí.
Las respuestas tienen varianzas iguales.
12
Las respuestas no están auto-correlacionadas.
Sin embargo, la dificultad se encuentra en las implicaciones de
considerar varias respuestas en la red FBR. Por ejemplo, la relación de
entradas y salidas de la red está dada por (2.1).
𝑦(𝑥) =∑𝑤𝑖𝐺(‖𝑥 − 𝑐𝑖‖)
𝑛
𝑖=1
+ 𝑏 + 𝜀
Donde 𝑤 es el vector de pesos, 𝑥 los patrones de entrada, 𝑐 los centros o
centroides de la red, 𝜀 es el error, 𝑦(𝑥) es la salida o respuesta del proceso.
Escribiendo la ecuación (2.1) en forma matricial:
𝑦(𝑥) = 𝑮𝑤
La ecuación (2.2) genera un vector de salida de la red, pero ¿qué pasará
en los pasos siguientes de la red si 𝒚(𝒙) es una matriz?
Entre la capa de entrada y la capa intermedia se calcula ‖𝑥 − 𝑐‖, el cual
es una distancia 𝑟 entre los patrones de entrada y sus respectivos centros.
𝑟 = ‖𝑥 − 𝑐‖
Los centros o centroides de la red son un punto fijo dentro de un grupo
de datos que representa a dicho grupo. Por lo tanto, esta distancia debe ser
mínima para que el centroide represente mejor los datos y así la función de
transferencia radial crezca. En otras palabras, cuando 𝑥 − 𝑐 = 0 la función
devuelve 1, entonces, la distancia entre el vector de centros y el vector de
entrada determina la salida de la red.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
13
Existen muchos métodos para determinar estos centros, ya sea métodos
de agrupamiento, simulación, aleatorios, redes neuronales, etc. Sin embargo,
por estos métodos se genera inestabilidad en la red. Para eliminar esta
condición, se propone el algoritmo genético, el cual es un algoritmo de
optimización basado en los procesos de evolución biológica (Holland, 1975) y
forma parte de los sistemas inteligentes. Dicho algoritmo, evalúa una población
generada mediante una función de evaluación, hasta encontrar los centroides
de la red. Como función de evaluación se propone maximizar alguna métrica
estadística como el coeficiente de determinación 𝑅2 el cual es una métrica de
evaluación global (Montgomery et al. 2006).
𝑅2 = 1 −𝑦′𝑦 − 𝑤′𝐺𝑦
𝑦′𝑦 −(∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1 )2
𝑛
Esto permite al Algoritmo Genético encontrar los centros que mejor
aproximen los patrones de entrada a las salidas deseadas maximizando el valor
del coeficiente de determinación. Pero al tener varias respuestas ¿cómo se
vería afectada la selección de centros?
Retomando la relación dada en la ecuación (2.3), se puede definir:
𝐺(‖𝑥 − 𝑐‖) = 𝐺(𝑟)
𝑮 es una matriz de interpolación dada por:
𝑮 = [
𝐺(𝑥1 − 𝑐1) 𝐺(𝑥1 − 𝑐2) ⋯ 𝐺(𝑥1 − 𝑐𝑚)
𝐺(𝑥2 − 𝑐1) 𝐺(𝑥1 − 𝑐2) ⋯ 𝐺(𝑥2 − 𝑐𝑚)⋮
𝐺(𝑥𝑛 − 𝑐1)⋮
𝐺(𝑥𝑛 − 𝑐2)⋱ ⋮ ⋯ 𝐺(𝑥𝑛 − 𝑐𝑚)
]
(2.4)
(2.5)
(2.6)
14
Dicha matriz es determinada por las funciones de base radial, de las
cuales existen muchas, las más utilizadas son por ejemplo la Gaussiana:
𝐺(𝑟) = exp(𝑟2), o la tipo Spline: 𝐺(𝑟) = 𝑟2 ln 𝑟.
Rajendra and Shankar (2015), utilizaron una red de base radial para la
detección de grietas en la fabricación de vigas voladizas. Diseñaron la red con
dos respuestas, localización y profundidad de la grieta, y una función gaussiana
de la forma:
𝜑(𝑥) = exp (1
2𝜎2𝑟2)
Dicha función también fue utilizada por Mollah y Kumar (2008), en el
análisis de un proceso de soldadura TIG, modelando cinco entradas y cuatro
salidas.
Praga-Alejo et al. (2013) diseñaron una red de base radial para
predicción de un proceso de soldadura GMAW utilizando la función:
𝜑(𝑟) = 𝑟2ln (𝑟)
En base a esto es posible plantear la pregunta ¿cómo seleccionar la
función que mejor represente el proceso? En De León-Delgado et al. (2015) se
propone utilizar el coeficiente de determinación como función de evaluación en
el Algoritmo Genético. Pero ¿funcionarán igual estas funciones en procesos
de varias respuestas?, o ¿se deberán usar funciones radiales
multivariadas?
15
Por su parte, la estimación de los pesos 𝑤 es por medio de mínimos
cuadrados, ya que este método minimiza la suma de cuadrados del error entre
las observaciones 𝑦 y los valores �̂� predichos.
�̂� = (𝑮′𝑮)−1𝑮′𝑦
¿Este estimador funcionará igual en el caso multivariado?
Por lo tanto, el objetivo de la presente investigación es desarrollar una
metodología general para la predicción en procesos de manufactura, por medio
de una red neuronal de Función de Base Radial e incorporando técnicas
estadísticas como el análisis de varianza univariado y multivariado, analizando
la relación de las variables de salida del modelo y verificando el cumplimiento
de los supuestos para el análisis de varianza ya sea univariado o multivariado,
con el fin de lograr una mejor predicción del proceso.
Tomando en cuenta el problema descrito se plantean los siguientes
aspectos:
2.2 Preguntas de investigación
¿Se puede realizar un análisis de varianza multivariado en la red de
Función de Base Radial?
¿Qué supuestos debe cumplir la red de base radial para el análisis
multivariado de varianza?
¿Cómo será la estimación de los centros de la red en el caso
multivariado?
¿Cómo será la estimación de los pesos de la red en el caso
multivariado?
¿Qué función de base radial describe mejor el proceso de fundición?
(2.7)
16
¿Qué métrica estadística multivariada es la indicada para validar la
predicción?
2.3 Hipótesis
Hipótesis 1
La red neuronal de Función de Base Radial generalizada mediante
técnicas estadísticas multivariadas cumplirá con los supuestos para el
análisis multivariado de varianza.
Hipótesis 2
Mediante la red neuronal de Función de Base Radial multivariada es
posible determinar qué variable de entrada es más importante en el
proceso.
2.4 Objetivos
2.4.1 Objetivo general
Desarrollar un modelo generalizado de red neuronal de Función de Base
Radial que cumpla con los supuestos para el análisis de varianza
multivariado.
2.4.2 Objetivos específicos
Desarrollar una metodología general para analizar procesos de
manufactura de varias respuestas.
Aplicar metodologías estadísticas multivariantes al modelado y validación
de la red FBR.
Obtener los centros para la función de base radial sin generar
inestabilidad en la predicción de la red.
Mejorar la estimación de los pesos de la red mediante técnicas
estadísticas multivariadas.
17
Analizar los efectos de diferentes funciones de base radial en la red
neuronal multivariada.
Aplicar la metodología en el proceso de fundición en molde permanente
para su validación.
2.5 Justificación
El uso modelos de predicción tiene su importancia en la optimización de
los procesos de manufactura. Sin embargo, esto no sucede en la práctica
donde muchas veces se utiliza “prueba y error” para mejorar los procesos, esto
es muy común en las empresas por su “sencillez”, pero generan gastos en
todos los sentidos: material, costos, tiempo, etc. (Benyounis y Olabi, 2008).
Para evitar estos costos es útil hacer uso de herramientas de predicción y así
conocer los parámetros indicados del proceso y mantener controladas las
características de calidad del producto. Además, dado que en la mayoría de los
procesos de manufactura se presentan varias respuestas, y es muy importante
encontrar los mejores parámetros para ajustar, predecir y optimizar las
respuestas del proceso, se deben tomar en cuenta la relación de todas las
variables significativas. Autores como Ahilan et al. (2013), Mollah et al. (2008),
Jiang et al. (2014) presentan análisis univariados de diferentes procesos de
manufactura sin tomar en cuenta la relación entre sus respuestas para modelar
en forma conjunta. El hecho de ignorar tal relación puede traer diversas
consecuencias entre las cuales están:
La falta de ajuste del modelo, si el modelo predice bien para una
respuesta es posible que no ajuste adecuadamente para las demás.
Según las características del proceso, los parámetros de entrada deben
ser los mismos para todas las respuestas del modelo, estos parámetros
no se encuentran tratando las respuestas de manera independiente.
Se produce un porcentaje de error en la respuesta real respecto a la
estimada.
18
En general, no se logra la optimización adecuada en las respuestas, o se
tomarían decisiones equivocadas en el proceso por no considerar todas las
variables de salida. Otra consecuencia es mencionada por Salmasnia et al.
(2012) en donde se propone un método que realiza una combinación lineal
entre las respuestas, sin embargo, los autores mencionan que este método no
encuentra valores óptimos para cada respuesta de manera individual.
La red neuronal de Función de Base Radial es un modelo con gran
calidad de predicción por su condición de “aproximador universal” (Haykin 1999,
Cevallos 2008), este modelo despliega una simetría radial con respecto a los
valores de entrada y así lograr las salidas deseadas. Para esto es necesaria
una fase de entrenamiento donde la red determina el valor de los pesos que
influyen en las salidas deseadas. Dichas redes trabajan con tres capas, una
capa de entrada donde se reciben los datos a tratar, una capa intermedia donde
se aplican las funciones de base radial y una capa de salida donde se
determinan los resultados de la red. Lo anterior trae consigo diversas ventajas
respecto a otras redes neuronales:
Son buenos predictores en la no linealidad común de los procesos de
manufactura.
Tienen una estructura más simple respecto a otras redes, que le permite
una fase de entrenamiento más rápida.
Con las variables de entrada 𝑿 se determinan los centros de la red,
gracias a esto la red trabaja en una región de los datos de entrada, que
lo convierte en un buen predictor para nuevas observaciones.
Mediante mínimos cuadrados es posible determinar los pesos de la red,
encontrando aquellos que minimizan el error en la salida de la red,
reduciendo el tiempo de entrenamiento de otras redes neuronales.
19
En un proceso de manufactura real es común que exista más de una
característica de calidad a ser controlada. En el caso en que no exista
correlación entre dichas características, realizar modelos independientes para
cada respuesta ayuda a llegar a conclusiones correctas. Sin embargo, si las
respuestas están correlacionadas o el uso de modelos independientes no es
adecuado, es necesario utilizar un modelo general para representar
adecuadamente el proceso.
En otras palabras, cuando hay más de una característica de calidad
como variable de salida 𝑦 en el proceso se dice que es multivariado. El análisis
multivariado es más complejo que uno univariado, porque considera no solo la
relación entre las variables predictores 𝑿 con sus variables dependientes 𝑦, sino
que también la relación entre múltiples variables dependientes contenidas en
una matriz 𝒀. Las métricas de predicción ayudan a determinar la validez de los
modelos aislados cuando se modela para cada respuesta por separado. Pero si
no se obtienen resultados adecuados, el uso de modelos aislados no es apto
para tomar decisiones acerca de un proceso de manufactura con características
de calidad dependientes.
2.6 Delimitaciones
La presente investigación está enfocada en desarrollar una metodología
para analizar procesos de manufactura que generen varias características de
calidad dependientes, mediante un modelo de red neuronal de función de base
radial que tome en cuenta la relación entre varias variables dependientes,
mediante el análisis multivariado. Es objetivo encontrar un modelo óptimo para
analizar el proceso, sin llegar a optimizar el proceso en sí. La investigación no
desarrolla metodologías para el control de los parámetros una vez encontrados.
20
Capítulo 3
Estado del arte
En el capítulo dos se analizó el trabajo realizado por Ugrasen et al.
(2014), en el cual buscaron optimizar los parámetros en un proceso de
maquinado EDM, y mediante un ANOVA determinaron la variable más
importante. El proceso se trabajó con cuatro variables de entrada y tres de
salida. Las salidas presentan una correlación significativa entre todos los pares
de variables de respuesta cumpliendo así el supuesto de linealidad entre
respuestas para el análisis multivariado de varianza, sin embargo, los autores
no mencionan tal relación.
El caso de Ugrasen et al. (2014) no es el único donde se modela un
proceso de manufactura mediante una red neuronal y se realiza el análisis de
varias respuestas sin considerar analizarlas de forma conjunta.
Ahilan et al. (2013) utilizaron un modelo de red neuronal aplicando los
algoritmos de retro propagación, algoritmo genético y optimización por enjambre
de partículas, comparando velocidad y precisión. Esto aplicado en la
optimización y predicción de un proceso de maquinado CNC. Trabajando con 4
variables de entrada (velocidad de corte, velocidad de alimentación,
profundidad de corte y radio de punta) y dos de salida (consumo de energía y
rugosidad superficial). Los autores mencionan que el algoritmo que mejor
21
trabaja con la red neuronal es el algoritmo genético. La influencia de los
parámetros del proceso se calculó mediante el análisis de varianza (ANOVA),
verificando el supuesto de normalidad para este tipo de análisis por medio de la
prueba Anderson-Darling. Sin embargo, no se menciona si se cumplen los
supuestos para dicho análisis.
Jiang et al. (2014) utilizan un modelo de red neuronal de retro
propagación para investigar la relación entre los parámetros del proceso de
curado de polímeros con la viscosidad y el tiempo de curado, y su posterior
optimización por medio de un algoritmo genético. La adecuación del modelo se
establece por un ANOVA en el cual se miden la interacción de los efectos de los
parámetros del proceso en el rendimiento de mezclado. Los autores no
mencionan si el modelo cumple los supuestos para este análisis, aun cuando el
proceso tiene respuesta bivariada. Por lo tanto, se recomienda verificar el
cumplimiento de los supuestos para el análisis multivariado de varianza y
analizar las respuestas de manera conjunta.
Los autores Mollah et al. (2008) presentaron dos aplicaciones en
procesos de manufactura de la red neuronal de Función de Base Radial en
combinación con un algoritmo de Retro-Propagación y un algoritmo genético
para comparar los resultados. Se aplicó en los procesos de soldadura TIG y
maquinado por flujo abrasivo. El algoritmo genético obtuvo mejores resultados
en combinación con la función de base radial. Sin embargo, mencionan que
ambos procesos de soldadura presentan respuestas múltiples, por lo tanto, se
recomienda el uso de técnicas estadísticas para validar los resultados.
Cevallos (2008) Realizó un estudio comparativo entre las redes
neuronales y otras herramientas utilizadas en mejora de la calidad, en base a
publicaciones previas de diversos autores. En uno de ellos buscaban una
optimización para respuestas múltiples, experimentando con tres variables de
22
entrada y seis de salida. Cevallos encontró que la red neuronal mejoraba la
investigación realizada anteriormente, sin embargo, las respuestas se
encuentraban significativamente correlacionadas, cumpliendo con el supuesto
de linealidad para el análisis multivariado de varianza.
Además de la aplicación de redes neuronales, otros autores utilizan
herramientas estadísticas en procesos de manufactura analizando la relación
entre respuestas múltiples.
Sampaio et al. (2005) comparan los resultados de una optimización por
algoritmo genético con una superficie de respuesta, analizando un proceso de
soldadura GMWA. Para esto se tomaron en cuenta tres variables de entrada y
cuatro de salida considerándolas independientes, sin embargo, como se mostró
en el capítulo dos las respuestas están correlacionadas de una manera
significativa, por lo tanto, es importante realizar el análisis tomando en cuenta
tal relación.
González et al. (2011) demostraron la importancia de la correlación en un
proceso de soldadura GMWA en el que se utilizaron tres variables de entrada y
tres de salida. Se analizan los resultados de una regresión múltiple
desarrollando un modelo para cada respuesta del proceso y una regresión
multivariada tomando en cuenta la correlación entre las respuestas. Se obtienen
mejores resultados en la regresión multivariada.
Una preocupación de las industrias de hoy es encontrar aplicaciones
eficientes para métodos de optimización basados en modelos. De Paiva et al.
(2014) presentaron una metodología de optimización multi-objetivo
considerando un análisis de componentes principales aplicado a un proceso de
maquinado en CNC considerando dos respuestas de salida.
23
Lopes et al. (2013) presentan una estrategia para estimar la
incertidumbre total que afecta a todas las variables de respuesta, por medio de
la inversa de la incertidumbre multivariada como una matriz de ponderación
para componentes principales y reemplazar así el conjunto de datos
multivariados, con el objetivo de maximizar las métricas 𝑅𝑎𝑑𝑗2 y 𝑅𝑝𝑟𝑒𝑑
2 .
Las redes neuronales tienen distintas aplicaciones en predicción y
optimización en distintas áreas, por ejemplo:
Rajendra et al. (2015) introducen un nuevo tipo de red para valores
complejos usada para la identificación de grietas múltiples en una viga voladiza.
Analizando la profundidad y la localización de la grieta. La precisión de la red
propuesta fue significativamente mejor comparada con la función de base
radial.
Huda et al. (2014), desarrollaron un método híbrido para la detección de
señales fuera de control en procesos de manufactura multivariados. Utilizando
una red neuronal artificial para aproximar las medidas y luego combinarlo con el
aproximado de máxima relevancia. Como resultado, las aproximaciones
estimadas fueron más precisas que otras aproximaciones.
Mateo et al. (2013) proponen un método basado en las redes
neuronales artificiales de Función de Base Radial para reducir las señales
QRST en los electrocardiogramas para el diagnóstico médico. La red se utilizó
para proyectar 𝑥 en 𝑦, en dos respuestas de salida. Se determinó el coeficiente
de correlación entre los valores obtenidos y los reales, para evaluar los
modelos. Además, se utilizaron los cuadrados medios del error (MSE) para
evaluar el modelo. No se tomó en cuenta la correlación entre las salidas y se
evaluó el modelo mediante los MSE simples y no multivariados.
24
Los autores Lee y Sung (2013), realizaron un estudio sobre la quiebra de
empresas coreanas. El estudio sugería un modelo específico de predicción,
seleccionando las variables independientes apropiadas. Comparando los
resultados de la red neuronal de Retro Propagación y un análisis discriminante
multivariado.
Du et al, (2010) desarrollaron una red de base radial para salidas
múltiples utilizando un algoritmo recursivo y mínimos cuadrados ortogonales,
pero no analiza la relación entre las respuestas.
En el área de la agricultura también se han hecho comparaciones entre
métodos tradicionales y redes de base radial para la predicción, en el caso de
Cervantes et al. (2012) se buscó predecir la evapotranspiración de referencia
encontrando mejores resultados con las redes de base radial que con el método
de Priestley y Taylor.
Una vez más se compara la metodología de superficie de respuesta con
las redes neuronales artificiales que, en combinación con algoritmos genéticos,
obtuvieron mejores resultados que la superficie de respuesta en la predicción
del acoplamiento oxidativo de metano sobre Na–W–Mn/SiO2 a 0.4 MPa.
Desarrollando un modelo con tres entradas y dos salidas para optimizar un
reactor de lecho fijo isotérmico, tomando ambas salidas como independientes
entre sí (Sadeghzadeh et al. 2013).
Las redes neuronales artificiales son una herramienta útil para diversas
aplicaciones, por ejemplo, el modelado del proceso de extracción de productos
de agricultura (Karimi et al. 2012). Una red neuronal artificial entrenada
encontró el punto para minimizar la humedad y maximizar la velocidad de
secado, energía y la eficiencia de energía, para obtener los valores deseados.
Los resultados indican que al obtener valores altos de 𝑅2 y 𝑅𝑎𝑑𝑗2 , y al mismo
25
tiempo valores bajos para una superficie de respuesta, se representa una alta
dependencia entre los valores de predicción.
Se han utilizado funciones de deseabilidad y algoritmos genéticos para la
optimización de un problema de múltiples respuestas correlacionadas.
Salmasnia et al. (2012).
Liu et al. (2014) presentan un algoritmo de optimización global mediante
un esquema de rectángulos divididos (DIRECT). Comparando los resultados de
una red de base radial y una superficie de respuesta, la metodología DIRECT
resultó una estrategia que acelera la optimización en términos de eficiencia y
precisión. Aunque los tres algoritmos propuestos obtuvieron un buen
desempeño, el esquema DIRECT fue más amigable con los cálculos
computacionales llegando más rápido al objetivo.
Jie et al. (2014) presentan un metamodelo basado en optimización global
(AMGO) adaptable. Este algoritmo es un modelo hibrido compuesto por un
Kriging y una función de base radial. Se aplicó el algoritmo para aproximación
en problemas de tipo caja negra reduciendo los efectos desfavorables de utilizar
algún metamodelo de manera incorrecta. Los resultados indican que el método
propuesto resultó satisfactorio en la precisión y eficiencia de la convergencia del
proceso iterativo con un bajo costo computacional.
En el trabajo publicado por Shahlaei et al. (2015) se describe una
aproximación simple del monitoreo del celecoxib en sueros humanos, a través
de un análisis por componentes principales combinado con una red de Función
de Base Radial. Los resultados indican que el método propuesto es una buena
alternativa para el monitoreo de este antiinflamatorio.
26
Haji et al. (2015) proponen un esquema simple de optimización para
resolver problemas llamados de descomposición, para cuantificar las
correlaciones de variables en problemas de optimización compatibles con varios
tipos de problemas. Comparando los casos de optimización directa sin
descomposición con diferentes niveles del mismo. Esto porque los métodos
desarrollados mediante funciones de base radial de alta dimensión
proporcionan información sobre variables correlacionadas, aplicables a
problemas que pueden ser completamente descompuestos. Los resultados
indican que los problemas con variables correlacionadas fuertemente no se
pueden descomponer.
En el trabajo de Tyan et al. (2014) se presenta un modelado global
para fidelidad de variables que amplía el modelo de variables complejas.
Utilizando un diseño de experimentos para probar las funciones de alta y baja
fidelidad e iniciar la función de escala utilizando una función de base radial. De
manera que se hace posible eliminar la evaluación de gradiente de alta fidelidad
del proceso, haciéndolo más eficiente para problemas de diseño de alta
dimensión.
Akhtar et al. (2015) proponen un algoritmo basado en superficie de
respuesta para una aproximación multi-objetivo aplicable a problemas de caja
negra. Utilizando una función de base radial para calcular iterativamente
aproximaciones de la función objetivo. Los resultados indican que entre mayor
número de iteraciones tenga, el método propuesto mejorará la aproximación.
El objetivo del trabajo de Gomes et al. (2015) es presentar una aplicación
de una red neuronal de Función de Base Radial gaussiana para el sistema de
diagnóstico para la identificación de problemas en plantas nucleares con reactor
de agua a presión. Concluyendo que, de acuerdo a la interpolación por la
27
función de base radial, la red tiene un desempeño satisfactorio para aplicarse a
la predicción de accidentes nucleares.
3.1 Conclusiones del estado del arte
Las tecnologías inteligentes han sido objeto de diversas aplicaciones en
años recientes incrementando su interés en la comunidad científica. Estos
sistemas inteligentes están basados en el comportamiento humano y fueron
desarrollados para resolver problemas y tomar decisiones en problemas
complejos (Yen y Langari 2000). Uno de estos sistemas inteligentes son las
redes neuronales, las cuales se desarrollaron como una forma de modelar el
proceso biológico de aprendizaje del cerebro humano para resolver problemas
(Qasem y Shamsuddin 2011). Tienen aplicaciones en ciencia e ingeniería
principalmente en interpolación, reconocimiento de patrones y clasificación
(Rajendra y Shankar 2015) ya que son una herramienta útil para establecer
relaciones entre variables, analizar datos complejos o con información
incompleta (Shahlaei et al. 2015). Existen diferentes tipos, la más utilizada es el
gradiente descendiente basado en Retro-Propagación, sin embargo, tiene la
desventaja de una convergencia lenta y su facilidad de estancarse en un
mínimo local (He et al. 2009, Rajendra & Shankar 2015).
Además de las redes de Retro-Propagación otros “aproximadores
universales” son las redes de Función de Base Radial, las cuales utilizan este
tipo de funciones para su activación y son una herramienta muy utilizada en la
industria de manufactura debido a su capacidad de representar correctamente
el proceso. Para lograrlo es muy importante determinar cuidadosamente los
centros de la función de base radial. Como su nombre lo indica, utiliza funciones
de base radial para su activación, y los pesos de la red pueden estimarse por
cálculos lineales. Esto permite basarse en características locales del espacio de
entrada para un aprendizaje más rápido (He et al. 2009) reduciendo los costos
de computación requeridos por otras metodologías.
28
Otros sistemas inteligentes son los Algoritmos Genéticos, los cuales
pueden combinarse con las redes de Función de Base Radial (He et al. 2009,
Jiang et al. 2014, Gomes y Canedo 2015), principalmente para optimizar los
centros de la función de base radial, y de esta forma disminuir la aleatoriedad
causada por la determinación de dichos centros mediante otras herramientas.
La aplicación principal de las redes FBR es la predicción en diferentes
casos, diversos autores han determinado modelos que representan de buena
forma su problemática. Estas problemáticas requieren analizar una o varias
respuestas, pero la mayoría de los autores no mencionan si existen más
variables en los casos donde se toma en cuenta solo una respuesta. Incluso en
problemas de varias respuestas se utiliza un ANOVA para determinar la
adecuación del modelo y no se menciona si este método es el adecuado o pudo
utilizarse el análisis de varianza multivariado.
Los procesos de manufactura generalmente presentan más de una
característica de respuesta, y para modelar un proceso con varias respuestas
generalmente se utilizan modelos independientes para cada respuesta. Si la
correlación entre respuestas no es significativa, analizarlas de manera
independiente puede resultar útil. Pero si tales respuestas tienen correlación, la
forma de llegar a las mejores conclusiones será analizar las variables de
manera conjunta.
Se busca revisar los casos del análisis de varias respuestas, si los
modelos cumplen los supuestos para el análisis de varianza multivariado, y en
caso de cumplirlos aplicarlo junto con herramientas de la estadística
multivariada.
29
Capítulo 4
Marco teórico
4.1 La red neuronal artificial
Las redes neuronales artificiales forman parte de los sistemas
inteligentes y su principal característica es que basan su funcionamiento en los
sistemas biológicos, el comportamiento humano y la naturaleza en general.
Además de las redes neuronales existen los algoritmos genéticos (evolución) y
la lógica difusa (razonamiento humano). Por su parte, las redes neuronales
están basadas en el comportamiento de las neuronas en el cerebro humano.
Una neurona es una unidad de procesamiento de información
fundamental en la red neuronal. Un modelo de neurona identifica tres elementos
básicos (Haykin, 1999):
1. La sinapsis.
2. Los pesos.
3. Una función de activación.
30
Figura 4.1 Estructura de una red neuronal
Otra característica importante, y que puede observarse en la estructura
de la red mostrada en la Figura 4.1 es el bias o umbral, el cual depende del
efecto de la función de activación, incrementando o disminuyendo si el umbral
es positivo o negativo respectivamente. Un modelo de red neuronal se
representa matemáticamente por:
𝑢𝑘 =∑𝑤𝑘𝑗𝑥𝑗
𝑚
𝑗=1
y
𝑦𝑘 = 𝜑(𝑢𝑘 + 𝑏𝑘)
Donde 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚 son los patrones de entrada; 𝑤𝑘1, 𝑤𝑘2, … , 𝑤𝑘𝑚 son los
pesos sinápticos de la neurona 𝑘; 𝑢𝑘 es la combinación lineal de salidas debido
a las señales de entrada; 𝑏𝑘 es el bias; 𝜑(. ) es la función de activación; y 𝑦𝑘 es
la señal de salida de la neurona.
(4.1)
(4.2)
ENTRADAS
X (n)
.
.
.
.
X (n)
SUMA
W (n)
.
.
.
.
W (n)
PESOS
BIAS
FUNCIÒN
Y (n)
.
.
.
.
Y (n)
SALIDASENTRADAS
X (n)
.
.
.
.
X (n)
SUMA
W (n)
.
.
.
.
W (n)
PESOS
BIAS
FUNCIÒN
Y (n)
.
.
.
.
Y (n)
SALIDAS
31
4.2 Funciones de activación
Una neurona propaga un valor de salida a través de conexiones
unidireccionales hacia otras células de la red. Matemáticamente se utiliza una
función de base para dar un valor de activación. Existen tres tipos básicos de
funciones de activación (Haykin, 1999):
1. Función umbral: esta función explica que durante un instante cuantizado
de tiempo la neurona responde a la actividad de su sinapsis, verificando
si dicha sinapsis alcanza o excede un umbral fijo, si lo hace la neurona
se activa (McCulloch & Pitts, 1943).
2. Función lineal: establece la región de 𝑣 entre cero y uno.
3. Función sigmoidal: se define como una función creciente con un
equilibrio entre comportamiento lineal y no lineal.
También existen funciones de base, donde una de las capas de la red
utiliza un conjunto a ser aproximada por la función. Un ejemplo es la Función de
Base Radial.
4.3 Funciones de Base Radial
Las funciones de base radial se caracterizan por su respuesta que
aumenta o disminuye con respecto a la distancia entre los patrones de entrada
a un punto fijo llamado centro o centroide mediante una función de simetría
radial (Broomhead & Lowe, 1988).
Es una función de segundo orden o de tipo híper-esférico, utiliza en la
capa oculta funciones radiales no lineales con sus centros gravitacionales
propios, mientras que la capa de salida se compone por funciones lineales. Se
le conoce como modelo hibrido ya que utiliza aprendizaje supervisado y no
supervisado.
32
4.4 Interpolación por una red de Función de Base Radial
Una característica importante de la red de Función de Base Radial (FBR)
es su buen rendimiento en tareas con patrones complejos, transformando
dichos patrones de un espacio de alta dimensión a una forma no lineal,
utilizando el teorema de separabilidad de patrones de Cover (1965).
Dicho teorema supone que un patrón 𝑥 es un vector en un espacio de
entrada m0-dimensional, entonces un vector 𝜑(𝑥) proyecta puntos del espacio
de entrada a sus correspondientes puntos en un nuevo espacio de dimensión
m1.
El teorema de Cover presenta dos enfoques básicos:
1. La formulación no lineal de la función oculta definida por 𝜑𝑖(𝑥), donde 𝑖 =
1, 2, … ,𝑚1, y 𝑥 es el vector de entrada.
2. Un espacio oculto de dimensión más alta comparada con el espacio de
entrada, y determinada por el valor asignado a 𝑚1.
En algunos casos el uso de una proyección no lineal puede ser suficiente
para producir separabilidad lineal sin incrementar la dimensionalidad o el
espacio de la unidad oculta.
Considerando una red de propagación hacia adelante con tres capas
eligiendo una unidad de salida única para simplificar, la red se diseña para
realizar una proyección no lineal en el espacio de salida de la neurona oculta,
seguido de una proyección lineal del espacio oculto al espacio de salida. De
manera general la red representa una proyección del espacio de entrada m0-
dimenciona hacia el espacio de salida unidimensional. Representado como:
𝑠:ℝ𝑚0 → ℝ1
33
La fase de entrenamiento y la fase de generalización del proceso de
aprendizaje de la red se definen como (Broomhead & Löwe, 1988):
La fase de entrenamiento constituye la optimización de un proceso de
ajuste para la superficie Γ, basado en los puntos conocidos presentados
a la red en forma de ejemplos de entradas-salidas (patrones).
La fase de generalización es sinónimo de interpolación entre los puntos
de datos, la interpolación se realiza a lo largo de la superficie limitada
generada por el proceso de ajuste como una aproximación optima hacia
la verdadera superficie Γ.
Esto lleva a la teoría de interpolación multivariable en un espacio de alta
dimensión. El problema de interpolación está definido por:
Sea {𝒙𝑖 ∈ ℝ𝑚0|𝑖 = 1, 2, … ,𝑁}un conjunto de N puntos diferentes, y {𝑑𝑖 ∈ ℝ
1|𝑖 =
1, 2, … ,𝑁} sus N números reales correspondientes, encontrar una función
𝐹:ℝ𝑁 → ℝ1que satisfaga la condición de interpolación:
𝐹(𝒙𝑖) = 𝑑𝑖, 𝑖 = 1, 2, … ,𝑁
La superficie de interpolación está restringida a pasar por todos los
puntos de entrenamiento.
La técnica por funciones de base radial consiste en elegir una función 𝐹
de la siguiente forma (Powell, 1987):
𝐹(𝒙) =∑𝑤𝑖𝜑(‖𝒙 − 𝒙𝑖‖)
𝑁
𝑖=1
(4.3)
(4.4)
34
Donde {𝜑(‖𝒙 − 𝒙𝑖‖)|𝑖 = 1, 2, … , 𝑁} es un conjunto de 𝑁 funciones
arbitrarias (generalmente no lineales), conocidas como funciones de base
radial, y ‖. ‖ denota una distancia o norma. Los puntos conocidos 𝒙𝑖 ∈ ℝ𝑚0 , 𝑖 =
1, 2, … ,𝑁 son los centros de la función de base radial.
Introduciendo las condiciones de interpolación de la ecuación (4.3) en la
ecuación (4.4), forman unas ecuaciones lineales simultáneas para los
coeficientes desconocidos {𝑤𝑖} (pesos).
[
𝜑11 𝜑12 ⋯ 𝜑1𝑁𝜑21 𝜑22 ⋯ 𝜑2𝑁⋮𝜑𝑁1
⋮𝜑𝑁2
⋱ ⋮ ⋯ 𝜑𝑁𝑁
] [
𝑤1𝑤2⋮𝑤𝑁
] = [
𝑑1𝑑2⋮𝑑𝑁
]
Donde
𝜑𝑗𝑖 = 𝜑(𝑥𝑗 − 𝑥𝑖), (𝑗, 𝑖) = 1, 2, … ,𝑁
Los vectores de 𝑁×1 𝐹(𝑥) y 𝑤 representan la respuesta y el vector de
pesos lineales respectivamente, 𝑁 es el tamaño de la muestra de
entrenamiento. La matriz de 𝑁×𝑁 denota Φ cuyos elementos 𝜑𝑗𝑖son:
Φ = {𝜑𝑗𝑖|(𝑗, 𝑖) = 1, 2, … , 𝑁}
Esto es la matriz de interpolación. Reescribiendo la ecuación (4.5):
Φ𝑤 = 𝑥
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
35
Asumiendo que Φ es no singular y que su inversa existe, puede
resolverse la ecuación (4.8) para 𝑤 de la forma:
𝑤 = Φ−1𝑥
Para asegurar que la matriz Φ es no singular, se utiliza el teorema de
Micchelli.
4.5 Teorema de Micchelli
Se plantea este teorema con un conjunto de puntos diferentes es un
espacio ℝ𝑚0, donde la matriz de interpolación Φ es no singular. Existen muchas
funciones de base radial que aplican el teorema de Micchelli (1986), las más
utilizadas y con mayor importancia dentro de las redes neuronales son:
1. Función multi-cuadrática:
𝜑(𝑟) = √1 + 𝑟2
2. Función multi-cuadrática inversa:
𝜑(𝑟) =1
√1 + 𝑟2
3. Función Gaussiana:
𝜑(𝑟) = exp (−𝑟2
𝜎2)
Para que las funciones anteriores sean no singulares, los puntos {𝑥𝑖}𝑖=1𝑁
deben ser diferentes, sin importar el tamaño de 𝑁 o la dimensionalidad m0 de
los vectores 𝑥𝑖.
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
36
Una característica importante de las funciones inversas multi-cuadráticas
y las Gaussianas es que son funciones localizadas, esto en el sentido que
𝜑(𝑟) → 0 si 𝑟 → ∞. En otras palabras, si la diferencia entre los puntos 𝑥𝑖 y su
centro es muy grande, la salida de la función se aproximará a cero, así la matriz
de interpolación Φ será positiva definida. En contraste, las ecuaciones
multicuadráticas son no localizadas, 𝜑(𝑟) se convierte en ilimitada si 𝑟 → ∞, y la
correspondiente matriz de interpolación Φ tiene 𝑁 − 1 eigenvalores negativos y
solo uno positivo, con este resultado la matriz no es definida positiva (Micchelli,
1986). Sin embargo, su no singularidad la vuelve adecuada para su uso en el
diseño de la red.
Otras funciones utilizadas en la red son:
Función radial cúbica:
𝜑(𝑟) = 𝑟3
Función Spline de capa delgada:
𝜑(𝑟) = 𝑟2log (𝑟)
Funciones Spline poli-armónicas:
𝜑(𝑟) = 𝑟𝑘; 𝑘 = 5,7,9, …
𝜑(𝑟) = 𝑟𝑘 log(𝑟) ; 𝑘 = 4,6,8, …
4.6 Funciones Gaussianas Multivariadas
Si 𝐺(𝑥, 𝑥𝑖), es una función que satisface la condición: 𝐺(𝑥, 𝑥𝑖) =
𝐺(‖𝑥 − 𝑥𝑖‖), entonces se dice que dicha función es linealmente diferenciable.
Un ejemplo de esta condición es la función Gaussiana multivariada definida por:
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
37
𝐺(𝑥, 𝑥𝑖) = 𝑒𝑥𝑝 (−1
2𝜎𝑖2‖𝑥 − 𝑐𝑖‖
2)
Donde 𝑐𝑖 define los centros de la función y 𝜎𝑖 denota la amplitud.
4.7 Redes FBR generalizadas
La red de Función de Base Radial (FBR), en su forma básica incluye tres
diferentes capas (Broomhead & Lowe, 1988):
Capa de entrada: está formada por los nodos fuente ix (unidades
sensoriales). El número de nodos está definido por la dimensión m0 del
vector 𝑥.
Capa intermedia: es una capa oculta de gran dimensión y en la que las
unidades (neuronas) que la forman son las funciones base para los datos de
entrada ii x .
Capa de salida: jd que tiene la responsabilidad en la red de la activación de
patrones aplicados en la capa de entrada.
La estructura básica de la red es mostrada en la Figura 4.2.
Generalmente, el número de funciones base es menor que el número de
datos (𝑚1 ≤ 𝑁). Pensando en las funciones de base radial, se define:
𝜑𝑖(𝑥) = 𝐺(‖𝑥 − 𝑐𝑖‖), 𝑖 = 1, 2, … ,𝑚1
(4.17)
(4.18)
38
Figura 4.2 Estructura de la red FBR
Donde los centros {𝑐𝑖|𝑖 = 1, 2, … ,𝑚1} son determinados. La función de
base que se elegirá, es aquella en que se pueda explicar la relación entradas-
salidas de la red correctamente de la forma:
𝑦(𝑥) =∑𝑤𝑖𝑮(‖𝑥 − 𝑐𝑖‖)
𝑛
𝑖=1
+ 𝑏 + 𝜀
‖𝑥 − 𝑐𝑖‖ es una distancia 𝑟 y dejando a 𝐺 definida en base a esta
distancia:
𝑮 = [
𝐺(𝑥1 − 𝑐1) 𝐺(𝑥1 − 𝑐2) ⋯ 𝐺(𝑥1 − 𝑐𝑚)
𝐺(𝑥2 − 𝑐1) 𝐺(𝑥1 − 𝑐2) ⋯ 𝐺(𝑥2 − 𝑐𝑚)⋮
𝐺(𝑥𝑛 − 𝑐1)⋮
𝐺(𝑥𝑛 − 𝑐2)⋱ ⋮ ⋯ 𝐺(𝑥𝑛 − 𝑐𝑚)
]
4.8 Estimación de los pesos de la red por mínimos cuadrados
La estimación de 𝑤 por mínimos cuadrados, minimiza la suma de
cuadrados de las desviaciones de las observaciones 𝑦 y los valores �̂�
predichos. La función de mínimos cuadrados es:
(4.19)
(4.20)
𝑥1
𝑥𝑛
𝑥2
𝑥𝑛−1
z
𝑤1
𝑤2
𝑤𝑛−1
𝑤𝑛
∑𝑤𝑖𝐺𝑖(∗)
Función Gausiana
𝐺𝑖(∗)
√∑(𝑥𝑖 − 𝑐𝑖)2
39
𝑆𝑆𝐸 =∑𝜺𝟐𝒊
𝑛
𝑖=1
=∑(𝑦𝑖 − 𝑤𝑏 −∑𝑤𝑗𝐺𝑖𝑗
𝑞
𝑗=1
)
2𝑛
𝑖=1
(4.21)
Expresado en notación matricial:
𝒚 = 𝑮𝒘 + 𝜺
Donde 𝑦 es el vector de salida 𝑛 ∗ 1 resultante de las observaciones, 𝑮
es una matriz de 𝑛 ∗ 𝑞 generada por la matriz de centros 𝑪 y la matriz 𝑿 de
observaciones, 𝒘 es un vector de 𝑞 ∗ 1 de los pesos de la red donde 𝑤𝑏 es la
estimación del bias, finalmente 𝜺 es un vector de 𝑛 ∗ 1 de errores aleatorios. Por
lo tanto, se desea determinar el vector 𝒘 que minimice la ecuación (4.23):
𝑆𝑆𝐸 =∑𝜀2𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝜀 ′𝜀 = (𝒚 − 𝑮𝒘)′(𝒚 − 𝑮𝒘)
Un estimador de 𝑤 que minimiza la SSE en (4.23) es la ecuación (4.24):
�̂� = (𝑮′𝑮)−1𝑮′𝑦
En (4.24) se asume que 𝑮′𝑮 es no singular. Esto generalmente se
cumple si 𝑛 > 𝑞 + 1 y 𝑥𝑗 no es combinación lineal de otras 𝑥.
En el caso multivariado, el vector de pesos �̂� se convierte en una matriz
de pesos �̂�. Esta matriz de pesos es un estimador por mínimos cuadrados de
𝑊 ya que minimiza la matriz de suma de cuadrados del error 𝑬:
(4.22)
(4.23)
(4.24)
40
𝑬 = �̂�′𝚵 = (𝒀 − 𝑮𝑾)′(𝒀 − 𝑮𝑾)
El estimador por mínimos cuadrados de �̂� también minimiza 𝑡𝑟(𝒀 −
𝑮𝑾)′(𝒀 − 𝑮𝑾) y |(𝒀 − 𝑮𝑾)′(𝒀 − 𝑮𝑾)| las cuales son cantidades escalares. La
traza de la matriz 𝑬 se puede expresar como sigue:
𝑡𝑟(𝒀 − 𝑮𝑾)′(𝒀 − 𝑮𝑾) =∑∑𝜀�̂�𝑗2
𝑝
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
4.9 Estimación de los centros de la red por Algoritmo Genético
Debido a que la respuesta de la red de Función de Base Radial depende
de una distancia 𝑟 entre los datos 𝑥 y los centros 𝑐𝑖, es posible determinar
dichos centros por medio de la minimización de esta distancia. El Algoritmo
Genético es un método de optimización basado en los procesos de evolución
biológica (Holland, 1975), que forma parte de los sistemas inteligentes.
Funcionan generando una población aleatoria de individuos, los cuales son
potenciales soluciones al problema. Estos individuos cambian
probabilísticamente en el tiempo por medio de operadores de cruza y mutación.
Un proceso de selección determina qué individuos (entre padres y
descendientes) permanecen en la próxima generación.
La mayoría de los AG se componen de:
Esquema de decodificación. Este esquema permita transformar los
puntos de un espacio de parámetros, para representarlos en código. Los
cuales forman los cromosomas. (Nelles, 2001).
Evaluación por aptitud o “fitness”. Por medio de una función objetivo se
evalúa cada miembro de la población.
(4.25)
(4.26)
41
Selección. Esta operación determina cuales padres participan en
producir los siguientes hijos para la próxima generación.
Cruce. Por medio de la combinación de dos individuos aleatorios, se
genera un hijo con los rasgos de ambos padres.
Mutación. Este operador afecta a un individuo en alguno de sus
cromosomas, por ejemplo, si se emplea el código binario la mutación
afectaría un bit del individuo.
Y se desarrollan de la siguiente manera:
1. Generar una población aleatoria.
2. Evaluar la población.
3. Seleccionar los mejores individuos.
4. Realizar el operador de cruce para encontrar nuevas soluciones.
5. Determinar si algún individuo muta.
6. Generar una nueva población.
7. Regresar al punto dos hasta que se cumpla el criterio de paro.
8. Encontrar una solución óptima o la mejor solución.
Para realizar el paso 2 del algoritmo, se utiliza una función de evaluación
para optimizar la población seleccionada. Dicha función determina el objetivo
del algoritmo, ya sea maximización o minimización. Como se mencionó
anteriormente, la FBR depende de una distancia entre los patrones de entrada y
sus centros. Una manera de comprobar esto es utilizando el coeficiente de
determinación 𝑅𝑞2 (Rencher, 2002), el cual está definido por (4.27):
𝑹𝑞2 = (𝒀′𝒀 − 𝑛�̅��̅�′)−1(𝑾′̂𝑮′𝒀 − 𝑛�̅��̅�′)
(4.27)
42
Cuando 𝑞 = 1 𝑅𝑞2 está en forma escalar por ser el caso univariado.
Cuando 𝑞 > 1 𝑹𝑞2 se convierte a la extensión directa multivariada del caso
univariado. Para convertir 𝑹𝑞2 a su forma escalar cuando 𝑞 > 1, se utiliza la traza
𝑡𝑟(𝑹𝑞2) dividida por el número 𝑞 de respuestas o columnas de 𝒀, tal que 0 ≤
𝑡𝑟(𝑹𝑞2) ≤ 1. También Se puede utilizar el determinante |𝑹𝑞
2| (Rencher, 2002).
Para determinar que la calidad del modelo es buena 𝑅𝑞2 debe aproximarse a la
unidad.
4.10 Distancia de Mahalanobis
La maximización de 𝑅𝑞2 depende de la distancia 𝑟 entre los patrones de
entrada y los centros correspondientes. Existen diferentes tipos de distancias, la
distancia Euclideana que es la más utilizada en las redes FBR, sin embargo, en
el presente trabajo se propone el uso de la distancia de Mahalanobis (𝑑𝑚)
definida por:
𝑑𝑚 = √(𝑥 − 𝜇)′Σ−1(𝑥 − 𝜇)
Esta distancia utiliza la matriz de varianzas y covarianzas dada por Σ
siendo una matriz cuadrada simétrica de tamaño 𝑝×𝑝. Esta distancia se
distribuye como una 𝜒2 con 𝑝 grados de libertad.
4.11 Análisis Multivariado de Varianza (MANOVA)
El objetivo de la red neuronal es intentar crear una predicción del proceso
de manufactura, relacionando una o varias variables de salida 𝑦 con una o
varias variables de entrada 𝑥. En otras palabras, cada 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑝 es predicha
por toda 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑞. Con esto surgen dos preguntas importantes: ¿qué tan bien
estará explicada la variabilidad relacionada con el proceso?, y ¿cómo saber que
las variables incluidas en la red tienen influencia significativa en las respuestas?
(4.28)
43
La estimación de los pesos de la red por mínimos cuadrados permite
hacer inferencia estadística para resolver las preguntas planteadas, realizar
pruebas de hipótesis, y en general tomar decisiones del proceso en base a la
información obtenida en el modelo. La inferencia estadística requiere que se
cumplan ciertos supuestos, que para el caso multivariado se presentan a
continuación:
Normalidad multivariada
Existen muchas pruebas para evaluar la normalidad multivariante en la
literatura estadística (Mecklin y Mundfrom 2004). Sin embargo, no se conoce
una prueba definitiva y se recomiendan varias pruebas para evaluarla.
Henze y Zirkler (1990) introducen una clase de pruebas para determinar
la normalidad multivariada. La prueba Henze-Zirkler mide la distancia entre dos
funciones de distribución. El estadístico utilizado es:
𝑇𝛽 = 𝑛(4𝐼(𝑆 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) + 𝐷𝑛,𝛽𝐼(𝑆 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟))
Dónde:
𝐷𝑛,𝛽 = ∫| 𝜓𝑛(𝒕) − 𝑒𝑥𝑝 {−1
2‖𝒕‖2}|
2
𝜙𝛽(𝒕)𝑑𝒕
𝐼 es una función indicadora y 𝜓𝑛(𝒕) es una función característica
empírica de las 𝒁𝑗∗𝑠, dadas respectivamente por:
𝜓𝑛(𝒕) =1
𝑛∑𝑒𝑥𝑝{𝑖𝒕′𝒁𝒋
∗}
𝑛
𝑖=1
, 𝑡 ∈ ℝ𝑝
(4.29)
(4.30)
(4.31)
44
Y
𝜙𝛽(𝒕) =1
(2𝜋𝛽2)𝑝 2⁄𝑒𝑥𝑝 {−
1
2𝛽2‖𝒕‖2} , 𝑡 ∈ ℝ𝑝
Se rechaza 𝐻0 para valores grandes de 𝑇𝛽.
Otra prueba que ha demostrado ser confiable y estable para asegurar
normalidad multivariada (Romeu y Ozturk, 1993) es la prueba de simetría y
curtosis multivariada de Mardia (Mardia, 1970). El cual estima la simetría
multivariada de la forma:
�̂�1,𝑝 =∑∑[(𝑦𝑖 − �̅�)
′𝑆−1(𝑦𝑗 − �̅�)]3
𝑛2
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
Y la curtosis multivariada:
�̂�2,𝑝 =∑[(𝑦𝑖 − �̅�)
′𝑆−1(𝑦𝑖 − �̅�)]2
𝑛
𝑛
𝑖=1
Los cuales convergen en una distribución 𝑁(𝜇, 𝜎2) con media 𝜇 = 𝑝(𝑝 +
2) y varianza 𝜎2 = 8𝑝(𝑝 + 2)/𝑛. Sustrayendo 𝜇 de �̂�2,𝑝 y dividiéndolo por 𝜎,
entonces:
𝑍 =(�̂�2,𝑝 − 𝜇)
𝜎
𝑑→𝑁(0,1)
El rechazo de la normalidad mediante pruebas de Mardia indica la
presencia de puntos atípicos, o que la distribución es significativamente
diferente de una distribución normal multivariada. Si no se rechaza, la
(4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
45
distribución se supone normal multivariada. Romeu y Ozturk proponen una
corrección de la prueba de Mardia para muestras pequeñas (menos de 50
observaciones) mediante valores críticos empíricos para las pruebas de
asimetría y la curtosis.
Por último, se propone la prueba de Shapiro-Wilk. Dicha prueba surge
del concepto de invariancia ya que plantea que el vector aleatorio es normal
multivariante si y sólo si su estandarización lo es. Los datos estandarizados
son:
𝑍𝑖 = 𝑆1 2⁄ (𝑋𝑖 − �̅�)
Donde �̅� es la media muestral y 𝑆 la matriz de covarianzas muestral. El
estadístico Shapiro-Wilk multivariante se define como:
𝑊𝑀 =1
𝑘∑𝑊𝑗
𝑘
𝑗=1
Donde 𝑊1, … ,𝑊𝑘 son estadísticos de Shapiro-Wilk de cada componente
𝑍1, … , 𝑍𝑛. Se rechazará la normalidad cuando 𝑊𝑀 sea pequeño en comparación
a los valores críticos de tablas.
En caso de rechazar las pruebas de normalidad multivariada, hay que
identificar valores atípicos o realizar una transformación de los datos para lograr
la normalidad multivariante. Un ejemplo puede ser una extensión de la
transformación de potencia de Box-Cox propuesta por Andrews et al., (1971),
aunque determinar una transformación apropiada es complicado (Bilodeau y
Brenner, 1999).
(4.36)
(4.37)
46
Linealidad
El segundo afirma que el modelo está correlacionado y no necesita
vectores 𝑥 adicionales para predecir las respuestas. Para probar este supuesto
se utiliza el coeficiente de correlación de Pearson mide el grado de relación
entre dos variables aleatorias 𝑌𝑖 y 𝑌𝑗, está dado por:
𝜌𝑖𝑗 =𝜎𝑖𝑗
𝜎𝑖𝜎𝑗=
𝑐𝑜𝑣(𝑌𝑖, 𝑌𝑗)
√𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑖)𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑗)
Donde 𝜌𝑖𝑗 es una matriz de correlaciones para un vector aleatorio 𝑌 de
tamaño 𝑝 y −1 ≤ 𝜌𝑖𝑗 ≤ 1.
Debido a que la matriz de correlaciones no depende de la escala de las
variables aleatorias, es utilizada para expresar relación entre dichas variables
medida en diferentes escalas. Si los elementos de 𝒀 son dependientes, su valor
de será cero, y si son independientes su valor será uno. Así, el determinante de
la matriz de correlación puede interpretarse como una medida de asociación o
no asociación (Timm, 2002).
Dado que los procesos de manufactura tienen comúnmente un
comportamiento no lineal (Cevallos, 2008), existe la posibilidad de que la
relación entre las respuestas sea no lineal. El coeficiente de correlación de
Pearson mide la correlación lineal entre las variables. Una prueba menos
sensible a la correlación lineal es el coeficiente de correlación 𝜏 de Kendall.
Dicho coeficiente de correlación entre dos variables 𝑖 y 𝑗 se representa
mediante la expresión:
𝜏𝑖,𝑗 = 4∫ ∫ 𝐶𝑖,𝑗𝑑𝑖𝑑𝑗
1
0
1
0
(4.38)
(4.39)
47
Dónde:
𝐶𝑖,𝑗 = 𝐶(1,… ,1, 𝐹𝑖(𝑡), 1, … , 1, 𝐹𝑗(𝑡), 1, … ,1)
Homogeneidad de varianzas
Si la varianza no es constante invalida las pruebas de significancia
estadística, causando así la determinación de estimadores ineficientes.
White (1980) derivó la estimación de una matriz de varianzas y
covarianzas consistente que provee una prueba de contraste de los coeficientes
con presencia de un patrón no conocido de heteroscedasticidad, la matriz de
Varianza Covarianza de White está dada por:
Σ̂𝑊 =𝑁
𝑁 − 𝑘(𝑋′𝑋)−1 (∑�̂�𝑖
2𝑥𝑖𝑥𝑖𝑇
𝑁
𝑖=1
) (𝑋′𝑋)−1
En este caso 𝑋 es calculado por la ecuación (4.20). El estimador de
homocedasticidad de mínimos cuadrados ordinarios es:
𝑉 = 𝜎2[𝑋′𝑋]−1
Si no hay heteroscedasticidad (4.42) será un estimador consistente de la
matriz de varianza y covarianza de los parámetros (𝑉𝑎𝑟(𝑏)), si existe no lo será.
Partiendo de esto White construyo una prueba de contraste a través de obtener
el coeficiente de determinación (𝑅2) de una regresión auxiliar de los errores
contra las variables explicativas del modelo original, sus cuadrados y sus
productos cruzados, luego se construye un estadístico que se distribuye, como
una Chi cuadrada con 𝑝 − 1 grados de libertad (𝑁𝑅2~𝜒𝑝−12 ). Donde 𝑝 es él
(4.40)
(4.41)
(4.42)
48
número de regresores de la regresión auxiliar sin incluir la constante. El
estadístico provee una prueba de hipótesis de que todas las pendientes de la
regresión auxiliar son cero, es decir;
𝐻𝑜: 𝜃1 = 𝜃2 = 𝜃3 =. . . = 𝜃 𝑝 = 0
A su vez White señala que es una prueba general de especificación del
modelo, dado que la hipótesis nula se fundamenta en que los errores son
homoscedásticos e independientes de los regresores y que la especificación
lineal es la correcta. Sí la hipótesis nula se rechaza, una o más de estas
condiciones violadas conducen a una prueba significativa. De lo contrario, la
ausencia de significancia estadística de la prueba, puede implicar que ninguna
de las tres condiciones es violada.
Independencia entre respuestas
La tendencia a tener residuales positivos y negativos indica una
correlación serial positiva. Esto es un indicio de la violación del supuesto de
independencia. La aleatorización del experimento es muy importante para
conseguir la independencia.
Para probar si los residuales no están auto correlacionados, puede
usarse la prueba Durbin-Watson, considerando el supuesto que los residuales
corresponden a un proceso auto regresivo de primer orden.
La prueba para la presencia de autocorrelación en los residuales
determinando si la correlación entre dos errores adyacentes es cero. La
ecuación es:
𝑑 =∑ (𝑒𝑡 − 𝑒𝑡−1)
2𝑁𝑡=2
∑ 𝑒𝑡2𝑁
𝑡=1
(4.43)
(4.44)
49
La autocorrelación está dada por la determinación del estadístico 𝑑,
comparándolo con dos límites para llegar a una conclusión. Si 𝑑 < 𝑑𝐿 existe
autocorrelación. Si 𝑑 > 𝑑𝑈 no existe autocorrelación. Si 𝑑𝐿 ≤ 𝑑 ≤ 𝑑𝑈 la prueba
no es concluyente.
Una vez cumplidos estos supuestos, se utilizan las extensiones de las
pruebas de hipótesis univariadas para aplicarse a casos multivariados.
a) Prueba de la variabilidad del modelo
Primero se considera que ninguna de las 𝑥 predice ninguna de las 𝑦.
Esto puede ser expresado como: 𝐻0:𝑾𝟏 = 0, donde 𝑾𝟏 incluye todos los
renglones de 𝑾 excepto el bias:
𝑾 = (𝒘𝒃′
𝑾𝟏) =
(
𝑤𝑏1 𝑤𝑏2
… 𝑤𝑏𝑝
𝑤11 𝑤12 … 𝑤1𝑝⋮𝑤𝑞1
⋮𝑤𝑞2
⋱ ⋮… 𝑤𝑞𝑝
)
No se incluye 𝒘𝒃′ = 0′ en la hipótesis para no restringir las salidas a tener
un bias igual a cero. La hipótesis alternativa es 𝐻1:𝑾𝟏 ≠ 0.
Es posible particionar la suma de cuadrados total y matriz de productos:
𝒀′𝒀 = (𝒀′𝒀 − �̂�′𝑮′𝒀) + �̂�′𝑮′𝒀
Así como en el caso univariado, se resta 𝑛�̅��̅�′ de ambos lados para
evitar incluir 𝒘𝒃′ = 𝟎′:
𝒀′𝒀 − 𝑛�̅��̅�′ = (𝒀′𝒀 − �̂�′𝑮′𝒀) + (�̂�′𝑮′𝒀 − 𝑛�̅��̅�′) = 𝑬 + 𝑯
(4.45)
(4.46)
50
Las notaciones 𝑯 = �̂�′𝑮′𝒀 − 𝑛�̅��̅�′ y 𝑬 = 𝒀′𝒀 − �̂�′𝑮′𝒀 pueden utilizarse
para probar 𝐻0:𝑾𝟏 = 0 por medio de:
Λ =|𝑬|
|𝑬 + 𝑯|=|𝒀′𝒀 − �̂�′𝑮′𝒀|
|𝒀′𝒀 − 𝑛�̅��̅�′|
El cual está distribuido como Λ𝑝,𝑞,𝑛−𝑞−1 cuando 𝐻0:𝑾𝟏 = 0 es verdad, 𝑝
es el número de 𝑦 y 𝑞 el número de 𝑥. Se rechaza 𝐻0 si Λ ≤ Λ𝑝,𝑞,𝑛−𝑞−1. 𝜐𝐻 = 𝑞 y
𝜐𝐸 = 𝑛 − 𝑞 − 1 son los grados de libertad para 𝑯 y 𝑬 respectivamente.
b) Pruebas sobre subconjuntos de 𝒙
Se considera la hipótesis que las 𝑦 no dependen de las ℎ ultimas de 𝑥,
𝑥𝑞−ℎ+1, 𝑥𝑞−ℎ+2, … , 𝑥𝑞. Para esto se toma en cuenta que ninguna de las 𝑦𝑝 es
predicha por ninguna de esas 𝑥ℎ. Para expresar esta hipótesis, escribimos la
forma particionada de 𝑾.
𝑾 = (𝑾𝒓
𝑾𝑒)
Así como en el caso univariado, el subíndice 𝑟 denota el subconjunto de
𝑤𝑗𝑘 conservados en el modelo reducido y 𝑑 representa el subconjunto 𝑤𝑗𝑘
eliminado si no resulta ser significantes en la predicción de 𝑦. De esta forma 𝑾𝑒
tiene ℎ renglones. La hipótesis puede ser expresada como:
𝐻0:𝑾𝑒 = 0
Si 𝑮𝒓 contiene las columnas de 𝑾 correspondientes a 𝑾𝒓, el modelo
reducido es:
(4.47)
51
𝑌 = 𝑮𝒓𝑾𝒓 + 𝚵
Para comparar el ajuste del modelo completo y el modelo reducido, se
utiliza la diferencia entre la matriz de productos y suma de cuadrados del
modelo para ambos modelos. Esta diferencia se convierte en la nueva matriz 𝑯.
𝑯 = �̂�′𝑮′𝒀 −𝑾𝒓′𝑮𝒓
′𝒀
Para realizar esta prueba, se utiliza la matriz 𝑬 basado en el modelo
completo:
𝑬 +𝑯 = (𝒀′𝒀 − �̂�′𝑮′𝒀) + (�̂�′𝑮′𝒀 −𝑾𝒓′𝑮𝒓
′𝒀) = 𝒀′𝒀 −𝑾𝒓′𝑮𝒓
′𝒀
Y el estadístico lambda de Wilks’ está dado por:
Λ(𝑥𝑞−ℎ+1, … , 𝑥𝑞|𝑥1, … , 𝑥𝑞−ℎ) =|𝑬|
|𝑬 + 𝑯|=|𝒀′𝒀 − �̂�′𝑮′𝒀|
|𝒀′𝒀 −𝑾𝒓′𝑮𝒓
′𝒀|
El cual está distribuido como Λ𝑝,ℎ,𝑛−𝑞−1 cuando 𝐻0:𝑾𝒆 = 0 es verdad,
con 𝜐𝐻 = 𝑞 y 𝜐𝐸 = 𝑛 − 𝑞 − 1 grados de libertad.
Las ecuaciones anteriores se resumen en la Tabla 4.1.
Tabla 4.1 Construcción de la tabla MANOVA
Fuente de variación Grados de libertad Suma de cuadrados 𝚲
Modelo 𝑞 |𝑯| |𝑬|
|𝑬 + 𝑯|
Residual 𝑛 − 𝑞 − 1 |𝑬|
Total 𝑛 − 1 |𝑬 + 𝑯|
(4.48)
(4.49)
(4.50)
(4.51)
52
4.12 Elipsoides de confianza e intervalos
Además de las estimaciones puntuales del bias y los pesos, es posible
obtener los intervalos de confianza de las estimaciones de estos parámetros. El
ancho de estos intervalos de confianza es una medida de la calidad global del
modelo RBF.
Si los términos de error, en el modelo se distribuyen normalmente y de
forma independiente, se distribuyen como una F. Esto lleva a la siguiente
definición de 100(1 − 𝛼)% de intervalo de confianza en los pesos.
𝑤𝑗𝑞 ±√(𝑛 − 𝑝)(𝑝 − 1)
𝑛 − 𝑝 − 𝑞𝐹𝑞,𝑛−𝑝−𝑞(𝛼)�̂�𝑖𝑖
Una aplicación importante del modelo es la predicción de nuevas
observaciones de 𝒀, correspondiente a un nivel específico de la variable 𝑥. Si
es de interés predecir una respuesta individual en un espacio q-dimensional, el
punto predictor de 𝒀0 es 𝑔′0�̂�, y el error de predicción 𝒀0 − 𝑔′0�̂� = (𝑤 −
𝑔′0�̂�) + 𝑒0 es distribuido como 𝑁𝑞(0, (1 + 𝑔′0(𝐺´𝐺)
−1𝑔0)Σ), entonces, el
elipsoide de predicción al 100(1 − 𝛼)% consiste en todos los valores de 𝒀0 tal
que:
(𝒀0 − 𝑔′0�̂�)′ (
𝑛
𝑛 − 𝑝 − 1Σ̂)−1
(𝒀0 − 𝑔′0�̂�)
≤ (1 + 𝑔′0(𝐺´𝐺)−1𝑔0) [(
𝑞(𝑛 − 𝑝 − 1
𝑛 − 𝑝 − 𝑞)𝐹𝑞,𝑛−𝑝−𝑞(𝛼)]
Simultáneamente, los intervalos de predicción para las 𝑞 variables de
respuesta son:
(4.52)
(4.53)
(4.54)
53
𝑔′0�̂�(𝑖) = √(
𝑞(𝑛 − 𝑝 − 1
𝑛 − 𝑝 − 𝑞)𝐹𝑞,𝑛−𝑝−𝑞(𝛼)√(1 + 𝑔′0(𝐺´𝐺)−1𝑔0) (
𝑛
𝑛 − 𝑝 − 1�̂�𝑖𝑖)
Donde �̂�(𝑖) es la i-ésima columna de la matriz de pesos �̂�, y �̂�𝑖𝑖 es el i-ésimo
elemento de la diagonal de Σ̂.
4.13 Medidas de asociación y validación de la predicción
La ecuación (4.27) usada como función de evaluación del Algoritmo
Genético. En el caso univariado es una medida de la reducción proporcional de
la variación total en la variable dependiente 𝑦 usando un conjunto fijo de
variables independientes 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑝. Una extensión de 𝑅2 en el caso
multivariado es la relación de correlación de Fisher (𝜂2) propuesto por Wilk. En
el caso multivariado, eta cuadrado es llamado el cuadrado del vector de
coeficientes de correlación definido por:
𝜂2 = 1 − Λ
Donde Λ está definido por (4.45). La métrica 𝜂2 es una medida sesgada,
para utilizar una medida insesgada se propone:
𝜂𝑎2 = 1 −
𝑛Λ
(𝑛 − 𝑞 + Λ)
Otra medida de asociación es 𝜂𝜃2, el cual está basado en el cuadrado de
la mayor correlación canónica. Esta dada por (4.56).
𝜂𝜃2 =
𝜆11 + 𝜆1
= 𝜃1 ≤ 𝜂2
(4.55)
(4.56)
(4.57)
54
Una estimación global de la predicción para variables fijas
independientes es:
𝜂𝑐2 = 1 − (
𝑛 + 𝑞 + 1
𝑛) (1 − 𝜂𝑎
2)
Como una extensión del modelo multivariado, es posible considerar el
estimador:
𝜂𝑐𝑏2 =
(𝑛 − 𝑞 − 3)(𝜂𝑎2)2 + 𝜂𝑎
2
(𝑛 − 2𝑞 − 2)𝜂𝑎2 + 𝑞
Para 𝑞 parámetros o 𝑝 variables independientes en el modelo
multivariado, (4.28) es una matriz cuadrada (𝑞×𝑞) y es una extensión directa de
(4.27), y puede utilizarse también como medida de asociación.
Para evaluar el ajuste de 𝒀 a �̂�, es posible estimar cada fila 𝑦𝑖′ de 𝒀
usando �̂�′𝑖(𝑖) = 𝑥𝑖′�̂�𝑞(𝑖) donde el peso �̂�𝑞(𝑖) es estimado eliminando la i-ésima
fila de 𝑦 y 𝑿 para varios valores de 𝑞. La cantidad 𝑦𝑖 − �̂�𝑖(𝑖) es llamado el
residual eliminado y sumando los productos de todas las observaciones 𝑖 =
1, 2, … , 𝑛 obteniendo el criterio de la suma de cuadrados de la predicción
multivariada:
𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆𝑞 =∑(𝑦𝑖 − �̂�𝑖(𝑖))′(𝑦𝑖 − �̂�𝑖(𝑖))
𝑛
𝑖=1
=∑�̂�𝑖′�̂�𝑖
(1 − 𝑝𝑖𝑖)2
𝑛
𝑖=1
Los modelos multivariados con un 𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆𝑞 pequeño, son considerados
en la selección.
(4.58)
(4.59)
(4.60)
55
El coeficiente 𝑅𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆𝑞2 consiste en el estadístico 𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆𝑞, definido por
(4.59) y la respuesta del experimento representado por 𝑌𝑖, está definido por
(4.60).
𝑅𝑝𝑟𝑒𝑑𝑞2 = 1 −
𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆𝑞
𝑡𝑟(𝐸 + 𝐻)
(4.61)
56
Capítulo 5
Metodología
Figura 5.1 Metodología general
Proceso de manufactura
Análisis de datos
Prueba de correlación
Modelación
Cumplimiento de supuestos
Análisis de varianza
Validación
57
En el presente capitulo se abordará la metodología propuesta para tratar
el problema. La Figura 5.1 detalla la metodología propuesta de manera general.
Definición del proceso de manufactura
Se tiene la necesidad de modelar un proceso de manufactura que trabaja
con especificaciones de entrada para generar características de calidad
en el producto, y explicar su comportamiento mediante la red de Función
de Base Radial.
Diseño de experimentos
En esta etapa, se determinan qué factores intervienen en el
comportamiento de una variable de respuesta, por medio de una fase de
experimentación o la referencia de datos históricos. Las primeras dos
etapas se describen en la Figura 5.2.
Figura 5.2 Análisis de datos
Correlación de respuestas
Si se modelan varias respuestas, se verifica si están correlacionadas
significativamente, mediante el coeficiente de correlación de Pearson
descrito por la ecuación (4.38), recordando:
Definición del proceso
Diseño experimental
Análisis de datos
58
𝜌𝑖𝑗 =𝑐𝑜𝑣(𝑌𝑖, 𝑌𝑗)
√𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑖)𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑗)
Para determinar si las variables están significativamente correlacionadas,
se utilizan las tablas de valores críticos para el coeficiente de correlación
Pearson. Si el valor de correlación es mayor al valor crítico, se dice que
las variables están significativamente correlacionadas. Otra opción es por
medio de una prueba de hipótesis al determinar el 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 del
coeficiente Pearson. Las hipótesis se definen de la siguiente manera:
𝐻0: 𝜌 = 0
𝐻1: 𝜌 ≠ 0
El rechazo de la hipótesis nula indica correlación significativa.
Una vez determinada la correlación significativa entre respuestas, se
procede a modelar y analizar el proceso de forma multivariada. Mientras
que, si las variables de respuesta no están correlacionadas o solo se
tiene una respuesta, el modelo y análisis del proceso será univariado.
Modelación
El siguiente paso en la metodología propuesta es la modelación, en este
paso se utiliza una red de base radial dependiendo de las respuestas del
proceso. Las salidas se representan por la ecuación (4.19), que es la
siguiente:
𝑦(𝑥) =∑𝑤𝑖𝑮(‖𝑥 − 𝑐𝑖‖)
𝑛
𝑖=1
+ 𝑏 + 𝜀
59
Para la determinación de los centros 𝑐𝑖 se utiliza un algoritmo genético,
cuya función objetivo será 𝑹𝑞2 definido por (4.27), para el caso univariado
y multivariado.
La estimación de los pesos 𝑤𝑖 también será definida por las respuestas
del modelo, usando el estimador de mínimos cuadrados (ecuación (4.24).
Cumplimiento de supuestos
En el siguiente paso se verifica si el modelo cumple los supuestos para el
análisis de varianza correspondiente, en este caso MANOVA. A
continuación, se presentan los supuestos que se deben cumplir y su
método de verificación:
a) Las respuestas deben estar normalmente distribuidos de forma
conjunta, prueba de Mardia multivariada ecuaciones (4.33) y
(4.34).
b) Las respuestas deben estar correlacionadas linealmente, prueba
de Pearson ecuación (4.38).
c) Las respuestas deben tener varianzas iguales, prueba de White
ecuación (4.42).
d) Las respuestas deben estar distribuidas independientemente,
prueba Durbin-Watson ecuación (4.44).
Si no se cumplen estos supuestos, se verifica si es posible realizar
alguna transformación en las variables para cumplirlos. Las Figuras 5.3 y
5.4 describen los pasos de la determinación de la correlación y la
modelación en caso univariado y multivariado.
60
Figura 5.3 Correlación no significativa
Figura 5.4 Correlación significativa
Análisis de varianza
Una vez verificados los supuestos, el siguiente paso es realizar el
análisis para contestar las siguientes preguntas:
Correlación no
significativa
Modelación
univariada
Cumplimiento de
supuestos
Transformación de
datos
Correlación significativa
Modelación
multivariada
Cumplimiento de
supuestos
Transformación de
datos
61
¿Qué tan bien estará explicada la variabilidad relacionada con el
proceso?
¿Cómo sabemos que las variables incluidas en la red tienen
influencia significativa en las respuestas?
Para responder estas preguntas se utiliza el análisis de varianza
correspondiente (ANOVA o MANOVA).
Validación
La última etapa de la metodología es realizar una validación, tanto en
campo como utilizando indicadores estadísticos como 𝑅𝑞2 o 𝜂2. Si en esta
etapa no se obtienen los resultados deseados, se repetirá el diseño
experimental y se volverá a modelar hasta obtener una representación
adecuada del proceso que se está analizando. La Figura 5.5 muestra el
diagrama de la validación.
Figura 5.5 Diagrama de validación
En el desarrollo de la presente investigación, se tiene como principal
aplicación una red neuronal de Función de Base Radial usada en predicción
para varias respuestas en un proceso de fundición en molde permanente y por
gravedad, analizada mediante técnicas estadísticas multivariadas.
Validación del modelo
Fin
Diseño
experimental
Si
No
62
Capítulo 6
Aplicación
La metodología propuesta en el capítulo anterior, se propone desde un
punto de vista general. Una vez definido el proceso a analizar, los pasos
siguientes son los expuestos en el capítulo anterior. La Figura 6.1 retoma los
pasos de la metodología propuesta y en el presente capítulo se detalla la
metodología paso a paso y los resultados obtenidos en el caso de estudio.
Figura 6.1 Metodología propuesta
6.1 Descripción del proceso de manufactura
La metodología se aplicó en la planta de fundición Aluminio y Bronces de
Saltillo S.A. de C.V. (ALBRONSA). En el proceso se vacían piezas de aleación
ZAMAK 3, denominada así por la norma ASM de aleaciones por su composición
química. Esta aleación se utiliza en la fabricación de la masa para cabecera de
asiento para automóvil.
Análisis de
datos
Prueba de
correlación Modelación
Verificación de
supuestos
Análisis de
varianza Validación
63
El proceso de vaciado es en molde permanente y consta de cuatro pasos
principales: 1) precalentar y recubrir el molde; 2) insertar corazones y cerrar el
molde; 3) vaciar el metal fundido al molde y 4) abrir el molde y sacar la pieza.
(Dieter, 1988).
Para este análisis se utilizaron como variables de entrada:
𝑥1: temperatura del metal
𝑥2; temperatura del molde
𝑥3: basculamiento
Estas variables de entrada afectan a las características de calidad
deseadas, como el peso de la pieza, SPC 1, SPC 2, SPC 3 y SPC 4 (Figura
6.2). Por las condiciones del proceso, se sabe que el peso de la pieza tiene que
ver con defectos como mal llenado o porosidad, SPC 2 con rechupes y SPC 3
con desprendimiento de colada o mal llenado. Por otro lado, SPC 1 y SPC 4
tienen que ver con el acomodo de la pieza en el molde. Por lo tanto, el análisis
tiene por objetivo disminuir la variabilidad del proceso en las respuestas peso,
SPC 2 y SPC 3. La Figura 6.2 muestra la pieza fabricada y las características
de calidad medidas.
Los datos del proceso que se tomaron y analizaron se presentan en la
siguiente sección.
6.2 Análisis de datos
Los datos experimentales se obtuvieron mediante un diseño central
compuesto de un diseño factorial completo 23, seis puntos axiales elegidos con
un 𝛼 = 1.682 y seis puntos centrales para un total de 20 observaciones
mostradas en la Tabla 6.1.
64
Figura 6.2 Pieza fabricada
Tabla 6.1 Datos del proceso
𝑥1: Temperatura
del metal (°C)
𝑥2: Temperatura del
molde (°C)
𝑥3: Basculamiento
(seg)
390 210 18
420 210 18
390 250 18
420 250 18
390 210 30
420 210 30
390 250 30
420 250 30
379.77 230 24
430.22 230 24
405 196.36 24
405 263.63 24
405 230 13.90
405 230 34.09
405 230 24
405 230 24
405 230 24
405 230 24
405 230 24
405 230 24
SPC 1
SPC 2
SPC 3
SPC 4
65
El objetivo de la modelación es disminuir la variabilidad del proceso y
encontrar la variable que causa más defectos y minimizarlos. Tales defectos del
proceso son principalmente poro, poro de gas, rechupe, desprendimiento de
colada y marcas, estos están relacionados con las características de calidad
peso, SPC 2 y SPC 3, los cuales fueron tomados como respuestas del proceso.
Sin embargo, el molde de vaciado del proceso cuenta con seis cavidades
M, N, O, P, Q, R de las cuales cada cavidad es una pieza. Aquí surge la
necesidad de conocer si existe alguna diferencia en las características de
calidad. Para esto, se propone una prueba de Bartlett de homogeneidad de
varianzas, utilizando los seis puntos centrales del DOE. Se rechaza 𝐻0: 𝜎12 =
𝜎22 = ⋯ = 𝜎𝑘
2 cuando al menos una varianza es diferente.
Primero se analizó la respuesta 𝒚𝟏: 𝒑𝒆𝒔𝒐, con: 𝒙𝟏 = 𝟒𝟎𝟐. 𝟓, 𝒙𝟐 = 𝟐𝟑𝟎 y
𝒙𝟑 = 𝟐𝟒, los datos se muestran en la Tabla 6.2.
Tabla 6.2 Puntos centrales de 𝒚𝟏
M N O P Q R
0.911 0.912 0.907 0.910 0.912 0.908
0.908 0.908 0.912 0.912 0.913 0.908
0.911 0.906 0.908 0.913 0.913 0.912
0.911 0.911 0.911 0.906 0.910 0.905
0.912 0.909 0.908 0.912 0.914 0.910
0.875 0.906 0.908 0.879 0.911 0.912
Se realizó la prueba de Bartlett estimando un estadístico 𝑇𝐵 = 2.37398, y
un valor de probabilidad de 𝑃 = 0.79534. El valor critico de tablas 𝜒2 con 4
grados de libertad y un nivel de significancia de 0.05 es 𝜒5,0.052 = 9.49. Se
rechaza 𝐻0 bajo dos criterios, si 𝑇𝐵 > 𝜒4,0.052 y 0.05 > 𝑃. Con esta información es
posible afirmar que las variancias de las muestras son homogéneas. Para
verificar qué cavidad tiene mayor varianza se utiliza la Tabla 6.3 y la Figura 6.3
66
Tabla 6.3 Medias de cada cavidad de 𝒚𝟏
ICs de 95% individuales para la media
basados en Desv.Est. agrupada
Nivel N Media Desv.Est. ----+---------+---------+---------+-----
M 6 0.90433 0.01314 (-----------*----------)
N 6 0.90867 0.00250 (----------*-----------)
O 6 0.90900 0.00200 (----------*----------)
P 6 0.90467 0.01460 (-----------*----------)
Q 6 0.91217 0.00147 (----------*-----------)
R 6 0.90917 0.00271 (----------*-----------)
----+---------+---------+---------+-----
0.9000 0.9060 0.9120 0.9180
RQPONM
0.914
0.913
0.912
0.911
0.910
0.909
0.908
0.907
0.906
0.905
Cavidades
Pe
so
Gráfica de caja de Peso
Figura 6.3 Gráfica de caja para 𝒚𝟏
Con la información anterior se observa que la cavidad con mayor
variación es la cavidad P, ya que tiene una mayor desviación estándar y un
tamaño de caja mayor.
Este análisis se repitió para las dos respuestas restantes y se muestran a
continuación. En el caso de 𝒚𝟐: 𝑺𝑷𝑪 𝟐 el valor crítico de tablas es 𝜒5,0.052 = 11.07.
Se utilizaron los datos de la Tabla 6.4.
67
Tabla 6.4 Puntos centrales de 𝒚𝟐
M N O P Q R
0.23 0.65 0.47 0.96 0.20 0.77
0.40 0 0.21 0.26 -0.33 -0.05
0.31 0.09 0.53 0.14 -0.11 0.24
-0.17 -0.15 0.09 0.44 1.06 1.26
-0.10 -0.1 0.24 0.06 0.08 -0.05
-0.26 -0.07 0.49 1.23 1.33 1.12
Con estos datos se obtuvo un estadístico de Bartlett 𝑇𝐵 = 10.0595 y un
valor 𝑃 = 0.0736, rechazando así 𝐻0 por ambos criterios. Se utiliza información
de la Tabla 6.5 y la Figura 6.4 para seleccionar la cavidad de mayor variación.
Tabla 6.5 Medias de cada cavidad de 𝒚𝟐
ICs de 95% individuales para la media
basados en Desv.Est. agrupada
Nivel N Media Desv.Est. ---------+---------+---------+---------+
M 6 0.0683 0.2784 (----------*----------)
N 6 0.0700 0.2962 (----------*----------)
O 6 0.3383 0.1816 (----------*---------)
P 6 0.5150 0.4749 (----------*---------)
Q 6 0.3717 0.6680 (----------*---------)
R 6 0.5483 0.5820 (----------*---------)
---------+---------+---------+---------+
0.00 0.35 0.70 1.05
Figura 6.4 Gráfica de caja para 𝒚𝟐
RQPONM
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
Cavidades
SP
C 2
Gráfica de caja de SPC 2
68
Por último, para seleccionar la cavidad de la respuesta 𝒚𝟑: 𝑺𝑷𝑪 𝟑 se
utilizan los datos de la Tabla 6.6.
Tabla 6.6 Puntos centrales de 𝒚𝟑
M N O P Q R
0.86 1.52 0.45 0.36 1.11 0.80
0.70 0.70 0.37 0.35 0.40 0.69
0.95 1.05 0.29 0.43 0.70 0.63
0.69 1 0.62 0.47 1.10 0.89
0.72 0.91 0.42 0.10 0.86 0.42
0.58 1.15 0.43 0.51 1.15 0.92
En este caso 𝑇𝐵 = 7.35866 y 𝑃 = 0.1953, rechazando así la hipótesis de
igualdad de varianzas también en este caso. Para conocer la cavidad con
mayor variación se utiliza la información de la Tabla 6.7.
Se puede observar gráficamente una desviación estándar alta en la
cavidad Q. La variación se muestra en el tamaño de caja en la Figura 6.5.
Tabla 6.7 Medias de cada cavidad de 𝒚𝟑
ICs de 95% individuales para la media
basados en Desv.Est. agrupada
Nivel N Media Desv.Est. ---+---------+---------+---------+------
M 6 0.7500 0.1327 (-----*-----)
N 6 0.8867 0.2957 (-----*----)
O 6 0.4300 0.1094 (----*-----)
P 6 0.3700 0.1460 (----*-----)
Q 6 1.0550 0.2740 (----*-----)
R 6 0.7250 0.1866 (----*-----)
---+---------+---------+---------+------
0.30 0.60 0.90 1.20
69
Figura 6.5 Gráfica de caja para 𝒚𝟑
Por lo tanto, se elige la cavidad Q para modelar ya que tiene mayor
variación en las respuestas. Los datos se muestran en la Tabla 6.8.
El siguiente paso en la metodología es determinar si existe correlación
entre las respuestas seleccionadas, para determinar si se modela univariado o
multivariado. La prueba de correlación se muestra en la sección siguiente.
6.3 Prueba de correlación
Una vez obteniendo los datos del proceso, el siguiente paso en la
metodología propuesta es verificar si existe correlación significativa entre las
respuestas y determinar si se modela de forma univariada o multivariada. En
este paso se utiliza el coeficiente de correlación de Pearson mostrado en la
ecuación (4.38) y su valor de probabilidad. Los resultados se muestran en la
Tabla 6.9.
RQPONM
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Cavidades
SP
C 3
Gráfica de caja de SPC 3
70
Tabla 6.8 Variables de respuesta
𝒚𝟏: Peso (kg) 𝒚𝟐: SPC 2 (mm) 𝒚𝟑: SPC 3 (mm)
0.913 0.93 0.98
0.917 1.00 1.00
0.916 0.10 0.79
0.918 0.80 0.70
0.919 0.80 0.78
0.910 0.20 1.11
0.912 -0.33 0.40
0.913 -0.11 0.70
0.906 1.06 1.10
0.912 0.08 0.86
0.879 1.33 1.15
0.910 0.02 0.80
0.914 0.28 0.84
0.934 -0.40 0.53
0.910 -0.20 0.73
0.906 0.05 0.80
0.907 0.12 0.98
0.912 -0.06 0.75
0.920 -0.84 0.77
0.920 0.58 0.25
Tabla 6.9 Coeficientes de correlación de Pearson
𝒚𝟏: 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒚𝟐: 𝑺𝑷𝑪 𝟐
𝒚𝟐: 𝑺𝑷𝑪 𝟐
𝜌 = −0.433 −
𝑃𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.057
𝑉𝐶 = 0.378 −
𝒚𝟑: 𝑺𝑷𝑪 𝟑
𝜌 = −0.571 𝜌 = 0.459
𝑃𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.009
𝑉𝐶 = 0.378
𝑃𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.042
𝑉𝐶 = 0.378
71
En la Tabla (6.9) se observa que el valor de probabilidad 𝑃 es mayor al
nivel de significancia 𝛼 = 0.05 solo en la relación 𝒚𝟏: 𝒑𝒆𝒔𝒐 y 𝒚𝟐: 𝑺𝑷𝑪 𝟐 pero es
muy cercano al 𝛼. En este caso se utiliza el criterio del valor crítico para el
coeficiente de correlación, el cual es de 0.378, y debido a que el coeficiente
supera este valor crítico estas variables se consideran correlacionadas. Los
demás coeficientes también superan el valor crítico y cumplen con la condición
de ser menores en su valor 𝑃 a 0.05.
Por otra parte, el coeficiente de correlación no paramétrico de Kendall es
menos sensible a la correlación lineal, se recomienda su uso debido al
comportamiento no lineal común de los procesos de manufactura, es probable
que las variables de respuesta tengan una correlación no lineal. La Tabla 6.10
muestra los coeficientes de correlación de Kendall mostrado en la ecuación
(4.39) para las variables de respuesta.
Esta prueba no indica correlación entre 𝒚𝟏: 𝒑𝒆𝒔𝒐 y 𝒚𝟐: 𝑺𝑷𝑪 𝟐. Sin
embargo, ambas variables muestran relación significativa con 𝒚𝟑: 𝑺𝑷𝑪 𝟑 ya que
su valor de probabilidad 𝑃 es menor a 0.05, por lo tanto, se recomienda trabajar
con las tres variables de manera conjunta.
En base a los resultados con las dos pruebas, se determina que las
respuestas tienen correlación significativa y se propone modelar el proceso
mediante técnicas multivariadas, como se propone a continuación.
Tabla 6.10 Coeficientes de correlación de Kendall
𝒚𝟏: 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒚𝟐: 𝑺𝑷𝑪 𝟐
𝒚𝟐: 𝑺𝑷𝑪 𝟐 𝜏 = −0.1189 −
𝑃𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.4931 −
𝒚𝟑: 𝑺𝑷𝑪 𝟑 𝜏 = −0.4348 𝜏 = 0.5000
𝑃𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.0098 𝑃𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.0025
72
6.4 Modelación
Los centros de la red se calcularon mediante un algoritmo genético y
utilizando como función de evaluación la extensión multivariada del coeficiente
de determinación. Maximizando la función descrita por la ecuación (4.27),
recordando:
𝑹𝑞2 = (𝒀′𝒀 − 𝑛�̅��̅�′)−1(𝑩′̂𝑿′𝒀 − 𝑛�̅��̅�′)
Dicha solución se buscó mediante un algoritmo de representación binaria
de posibles soluciones, donde cada carácter representa un bit. Se definió una
población inicial de 100 individuos de 16 bits, una selección de torneo de
tamaño 2 y una mutación simple, una probabilidad de cruce de 0.8 y de
mutación de 0.2, generando ciclos durante 100 generaciones. Los centros
generados se presentan en la Tabla 6.11.
Tabla 6.11 Centros generados por algoritmo genético
419.34 224.28 28.8519
403.98 215.19 22.2385
402.89 238.76 28.5127
La distancia entre las variables de entrada del proceso y los centros, se
calculó mediante la distancia de Mahalanobis calculada con la ecuación (4.28)
donde 𝑥 son las variables del proceso, 𝑐 los centros calculados mediante
algoritmo genético y Σ−1 es la inversa de la matriz de covarianza.
Así, la estructura de la red para esta aplicación incluye tres nodos en la
capa de entrada, tres en la capa oculta y tres en la capa de salida. La función
utilizada fue la ecuación (4.12) por obtener el mejor resultado en la función de
evaluación del algoritmo genético.
73
Los pesos 𝑤 son determinados mediante (4.24), el estimador de
mínimos cuadrados multivariados:
�̂� = (𝑮′𝑮)−𝟏𝑮′𝒀
La matriz de pesos se presenta en la Tabla 6.12.
Tabla 6.12 Pesos generados por mínimos cuadrados
Bias 0.9122 0.5693 0.8453
𝑤1 -0.0007 -1.0796 0.5106
𝑤2 -0.0558 2.6264 1.1069
𝑤3 0.0656 -4.6627 -1.8751
Por medio de la ecuación (6.1) se estiman las salidas de la red. El
siguiente paso es verificar si se cumplen los supuestos para el análisis
multivariado de varianza. Este paso de la metodología se realiza en la sección
siguiente.
La ecuación (4.19) muestra la relación de entradas y salidas de la red, el
modelo estaría representado por:
𝑦(𝑥) =∑𝑤𝑖𝑮(‖𝑥 − 𝑐𝑖‖)
𝑛
𝑖=1
+ 𝑏 + 𝜀
Donde 𝑤𝑖 son los pesos de la red determinados por la Tabla 6.12 del
renglón dos al cuatro, 𝑥 por la Tabla 6.2, 𝑐𝑖 son los centros por la Tabla 6.11, y
𝑏 el bias por la Tabla 6.12 en el renglón uno.
74
6.5 Cumplimiento de supuestos
Una vez construida la red, el siguiente paso es comprobar los supuestos
para el análisis de varianza, en este caso multivariado, los cuales son los
siguientes:
1. Normalidad multivariada
Se utilizó la prueba Henze-Zirkler para determinar la normalidad entre las
respuestas. Mediante la ecuación (4.29) se calculó es estadístico Henze-
Zirkler el cual se presenta a continuación:
𝑇𝛽 = 1.1420
Y su valor 𝑃 asociado es:
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.0015
Con un nivel de significancia del 0.05, la hipótesis que indica que los
datos son normales se rechaza ya que el valor de probabilidad es menor
al nivel de significancia, por lo tanto, se dice que los datos no son
normales.
Sin embargo, la literatura indica que se deben realizar varias pruebas
para determinar la normalidad de los datos (Mardia 1980, Mecklin y
Mundfrom 2003). Por lo tanto, se utilizó la prueba de simetría y curtosis
de Mardia para determinar si las respuestas siguen una distribución
normal multivariada. Aplicando las ecuaciones (4.33) y (4.34), los
coeficientes de simetría y curtosis determinados y sus valores 𝑃 son:
�̂�1,𝑝 = 19.06
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.0394
75
�̂�2,𝑝 = 1.6015
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.1093
Estos coeficientes indican que los datos tienen simetría significativa,
mientras que el coeficiente de curtosis indica datos dispersos al no ser
significativa. Dicha dispersión puede ser la causa de que otras pruebas
de bondad de ajuste determinen no normalidad en estos datos. Sin
embargo, la distribución normal es la única distribución simétrica. Por lo
tanto, aunque la prueba indique dispersión, las respuestas se consideran
normales.
Otra prueba es el estadístico de prueba Shapiro-Wilk, el cual compara el
valor obtenido con un valor crítico de tablas. Se rechaza la hipótesis de
normalidad si el valor obtenido es menor al valor de tablas. 𝑊𝑀 se calcula
mediante la ecuación (4.37), se muestra dicho valor y el valor crítico:
𝑊𝑀 = 0.9068
𝑉𝐶 = 0.9050
Es posible observar que el valor obtenido es mayor al valor de tablas, por
lo tanto, los datos se consideran normales.
2. Linealidad
Para el segundo supuesto se utilizó el coeficiente de correlación
Pearson, expuesto en la Tabla 6.3 y el coeficiente de correlación de
Kendall expuesto en la Tabla 6.4.
76
3. Homogeneidad de varianzas intra-vectores
El supuesto de homogeneidad de varianzas indica que las varianzas
entre los residuales de los grupos de variables deben ser homogéneas.
Dicho supuesto se verifica mediante la prueba White de
homocedasticidad. El estadístico de Homocedasticidad de la prueba de
White está definida por la ecuación (4.42), recordando:
𝑉 = 𝜎2[𝑋′𝑋]−1
Los valores de esta prueba para cada grupo de variables son:
𝑉1 = 8.56
𝑃 = 0.0309
𝑉2 = 5.7502
𝑃 = 0.0029
𝑉3 = 2.1660
𝑃 = 0.0000021
Todos menores que el valor ji cuadrado de tablas para 𝑛 − 𝑝 − 1 grados
de libertad de 26.3, y un valor 𝑃 menor al nivel de significancia 0.05. Esto
indica el cumplimiento del supuesto de varianzas homogéneas.
4. Independencia intra-vectores
Mediante la prueba de Durbin-Watson se determina si los renglones de
cada vector de respuestas no están auto-correlacionados. El estadístico
que demuestra esto es la ecuación (4.32):
77
𝑑 =∑ (𝑒𝑡 − 𝑒𝑡−1)
2𝑁𝑡=2
∑ 𝑒𝑡2𝑁
𝑡=1
Los valores para cada variable son:
𝑑1 = 1.6763
𝑑2 = 2.6131
𝑑3 = 1.5087
Mientras que los límites 𝑑𝑙 y 𝑑𝑢 con un nivel de significancia de 0.05
respectivamente son: 0.899 y 1.018. Así, es posible concluir que cada
variable cumple con el supuesto de independencia serial al cumplirse
que 𝑑 > 𝑑𝑈 en los tres casos.
Al cumplirse los supuestos necesarios para el análisis de varianza multivariado,
se procede a la construcción de la tabla MANOVA, la cual se muestra en la
sección siguiente.
6.6 Análisis de varianza multivariado
El primer análisis MANOVA, mostrado en la Tabla 6.13, indica la
significancia estadística de la relación entre las variables dependientes 𝑦 con
una o más variables independientes 𝑥, así como la contribución de cada factor a
la variación de las respuestas.
Como puede observarse en dicha tabla anterior, el valor Lambda del
modelo multivariado es Λ = 0.1535. Dicho valor es comparado con los valores
críticos de tablas para el Lambda de Wilk, en este modelo el valor crítico de
tablas es Λ0.05,3,3,16 = 0.3340, para un alfa de 0.05, una dimensión de 3 por las
respuestas que se tienen, y los grados de libertad del modelo y del residual de 3
y 16 respectivamente. Debido a que Λ < Λ0.05,3,3,16 se concluye que el modelo
78
explica bien la influencia de las variables independientes sobre las
dependientes.
Tabla 6.13 MANOVA para significancia del modelo
Fuente Grados de
libertad
Suma de
cuadrados Cociente VC
Modelo 3 0.000132 0.1535 Λ0.05,3,3,16
= 0.3340
Residual 16 0.000895
Total 19 0.0058
Para conocer qué tan bien explica el modelo la variación del proceso, se
estiman las métricas de evaluación multivariadas presentadas en las
ecuaciones (4.55) -(4.59). Dichas métricas se presentan en la Tabla 6.14.
Tabla 6.14 Medidas de asociación y predicción multivariadas
𝜂2 84.85%
𝜂𝛼2 82.10%
𝜂𝑐2 78.52%
𝜂𝑐𝑏2 79.81%
𝑅𝑞2 74.59%
Debido a que las métricas mostradas en la Tabla 6.14 son mayores al
70% y no hay entre ellas una diferencia mayor a 10%, se determina que el
modelo explica la variabilidad de manera confiable.
Por último, se determina qué variable es más importante para predecir
las salidas deseadas. Esto mediante las pruebas de subconjuntos de 𝑥
descritos en el capítulo 4 y resumidos en la Tabla 6.15.
79
Tabla 6.15 MANOVA para subconjuntos de 𝒙
Fuente
Grados
de
Libertad
Suma de
cuadrados Cociente VC
Temperatura de
metal 2 8.8981 1.4640
Λ0.05,2,2,17
= 0.5620
Temperatura
de molde 𝟐 𝟎. 𝟓𝟔𝟐𝟎 𝟎. 𝟒𝟎𝟕𝟐
Basculamiento 2 11.5532 0.9041
Residual 17 1.1730
Total 19 79.0381
En dicha tabla puede observarse el nivel de influencia de cada variable
independiente sobre las dependientes, y concluir que la variable más importante
en el proceso es la temperatura del molde, ya que es la única que está por
debajo del valor crítico de 0.5620.
Con el análisis anterior se puede decir que el modelo propuesto de red
neuronal de Función de Base Radial es adecuado y cumple con los supuestos
del análisis multivariado de varianza. La predicción de los datos con la red se
muestra en la Tabla 6.16.
6.7 Validación
Como parte de la validación de la red, se dividieron los datos en dos
partes, unos para datos de estimación y otros de predicción. Esto mediante la
métrica multivariada 𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆𝑞 calculando el siguiente vector:
𝑀𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆𝑞 = [0.00203.31520.5669
]
80
Con estos datos es posible calcular un coeficiente 𝑅𝑝𝑟𝑒𝑑𝑞2 = 0.8171 por
medio de la ecuación (4.61). Dado que el resultado es mayor a 0.8, se dice que
el modelo es bueno para predecir.
Tabla 6.16 Predicciones con la red FBR
Corrida Peso (𝒚𝟏) SPC 2 (𝒚𝟐) SPC 3 (𝒚𝟑)
1 0.909 0.46 0.85
2 0.915 0.76 0.90
3 0.911 0.40 0.83
4 0.915 0.47 0.83
5 0.915 0.13 0.75
6 0.911 0.18 0.78
7 0.912 0.34 0.81
8 0.913 0.32 0.80
9 0.911 0.39 0.83
10 0.915 0.48 0.83
11 0.878 1.18 1.16
12 0.911 0.40 0.83
13 0.914 0.47 0.83
14 0.933 -0.62 0.49
15 0.912 -0.00054 0.73
16 0.912 -0.00054 0.73
17 0.912 -0.00054 0.73
18 0.912 -0.00054 0.73
19 0.912 -0.00054 0.73
20 0.912 -0.00054 0.73
Para la validación en campo se utilizaron los datos y parámetros de la
corrida 14, 16 y 5 (ver Tabla 6.16) ya que son los valores con mejores
resultados en las respuestas del proceso.
Los parámetros para estas corridas fueron las siguientes: para la primera
prueba se utilizó la corrida 14 con la Temperatura del metal a 405°C,
81
Temperatura del molde de 230°C y 34.09 segundos de Basculamiento. El
resultado de esta primera prueba fue de 0.934 kg de peso, -0.22 mm de SPC 2
y 0.17 mm de SPC 3, contra una predicción de 0.933 kg de peso, -0.62 mm de
SPC 2 y 0.49 mm de SPC 3.
Para la segunda prueba se utilizó la corrida 16, la temperatura del metal
fue de 405°C, Temperatura del molde de 230°C y 24 segundos de
Basculamiento. El resultado de la segunda prueba fue de 0.908 kg de peso, 0
mm de SPC 2 y 0.7 mm de SPC 3, contra una predicción de 0.912 kg en peso, -
0.00054 mm en SPC 2 y 0.7383 mm en SPC 3.
La tercera y última prueba consistió en la corrida 5, 390°C de
Temperatura del metal, 210°C de Temperatura del molde y 30 segundos de
Basculamiento. Los resultados fueron 0.917 kg de Peso, -0.16 mm en SPC 2 y
0.04 mm en SPC 3, contra una predicción de 0.915 kg de Peso, 0.13 mm en
SPC 2 y 0.75 mm en SPC 3.
En la Tabla 6.17 se muestran los intervalos de confianza para los pesos y
el bias, estimados mediante la ecuación (4.53).
Tabla 6.17 Intervalos de confianza para los pesos
Límite inferior
𝒘𝒋𝟏 Límite
superior Límite inferior
𝒘𝒋𝟐 Límite
superior Límite inferior
𝒘𝒋𝟑 Límite
superior
Bias 0.8685 0.9122 0.9559 -1.3739 0.5693 2.5126 -0.1891 0.8453 1.8797
𝑤1 -0.0444 -0.0007 0.0430 -3.0228 -1.0796 0.8637 -0.5238 0.5106 1.5449
𝑤2 -0.0995 -0.0558 -0.0121 0.6832 2.6264 4.5697 0.0726 1.1069 2.1413
𝑤3 0.0219 0.0656 0.1093 -6.6060 -4.6627 -2.7195 -2.9094 -1.8751 -0.8407
En la Tabla 6.18 se muestran los intervalos de confianza para la
respuesta 𝒚𝟏: 𝒑𝒆𝒔𝒐, 𝒚𝟐: 𝑺𝑷𝑪 𝟐 y 𝒚𝟑: 𝑺𝑷𝑪 𝟑 respectivamente, calculados
mediante la ecuación (4.54).
82
Tabla 6.18 Intervalos de confianza para las predicciones
Límite inferior
�̂�𝟎: 𝑷𝒆𝒔𝒐
Límite superior
Límite inferior
�̂�𝟎: 𝑺𝑷𝑪 𝟐
Límite superior
Límite inferior
�̂�𝟎: 𝑺𝑷𝑪 𝟑
Límite superior
0.8396 0.909 0.9697 -1.93 0.46 3.78 -0.48 0.85 2.47
0.842 0.915 0.972 -2.05 0.76 3.66 -0.52 0.9 2.42
0.8473 0.911 0.9773 -2.3 0.4 3.42 -0.63 0.83 2.32
0.8472 0.915 0.9772 -2.29 0.47 3.42 -0.63 0.83 2.32
0.8469 0.915 0.977 -2.31 0.13 3.41 -0.63 0.75 2.31
0.8464 0.911 0.9764 -2.78 0.18 2.93 -0.39 0.78 2.56
0.8611 0.912 0.9911 -3.27 0.34 2.44 -1.02 0.81 1.92
0.8535 0.913 0.9835 -2.84 0.32 2.87 -0.76 0.8 2.19
0.8474 0.911 0.9775 -2.32 0.39 3.39 -0.64 0.83 2.31
0.847 0.915 0.977 -2.47 0.48 3.24 -0.54 0.83 2.41
0.8329 0.878 0.963 -1.62 1.18 4.09 -0.34 1.16 2.61
0.8506 0.911 0.9806 -2.53 0.4 3.18 -0.72 0.83 2.22
0.8454 0.914 0.9755 -2.2 0.47 3.51 -0.59 0.83 2.35
0.8617 0.933 0.9917 -3.42 -0.62 2.29 -1 0.49 1.95
0.8464 0.912 0.9765 -2.9 -0.00054 2.82 -0.76 0.73 2.19
0.8464 0.912 0.9765 -2.9 -0.00054 2.82 -0.76 0.73 2.19
0.8464 0.912 0.9765 -2.9 -0.00054 2.82 -0.76 0.73 2.19
0.8464 0.912 0.9765 -2.9 -0.00054 2.82 -0.76 0.73 2.19
0.8464 0.912 0.9765 -2.9 -0.00054 2.82 -0.76 0.73 2.19
0.8464 0.912 0.9765 -2.9 -0.00054 2.82 -0.76 0.73 2.19
Las Figuras 6.6, 6.7 y 6.8 muestran los intervalos de confianza para las
predicciones y las réplicas utilizadas para la validación en campo. En dichas
figuras se puede comprobar que las réplicas caen dentro de los intervalos de
confianza.
83
Figura 6.6 Intervalos de confianza para Peso
Figura 6.7 Intervalos de confianza para SPC 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
Observaciones
kg
intervalos de confianza para y1
Yest
ics
ici
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Observaciones
mm
intervalos de confianza para y2
Yest
ics
ici
84
Figura 6.8 Intervalos de confianza para SPC 3
Así, es posible observar que la red neuronal de Función de Base Radial
generalizada realiza una predicción adecuada ya que las pruebas realizadas
encuentran resultados precisos en el proceso de fundición en molde
permanente y por gravedad.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Observaciones
mm
intervalos de confianza para y3
Yest
ics
ici
85
Capítulo 7
Conclusiones
Debido a los rápidos cambios en los métodos de diseño y la demanda de
productos de calidad, las empresas de manufactura han visto incrementada la
dificultad en la toma de decisiones en sus procesos (Ahilan et al. 2013). Bajo
estas circunstancias, es común encontrar casos donde a prueba y error tratan
de ajustar parámetros y variables, pero dicha práctica genera gastos en
diversos sentidos (Benyounis y Olabi, 2008). El uso de herramientas numéricas
elimina los gastos del uso de estas prácticas, y ayudan a mejorar y robustecer
los procesos de manufactura. La red neuronal de Función de Base Radial es
una herramienta con un uso importante en la modelación de procesos de
manufactura, sin embargo, en la literatura existen modelos que analizan
procesos por medio de esta red donde solo se modela una salida, y dadas las
características de los procesos no siempre es conveniente modelar varias
respuestas de manera independiente.
Debido a estas dificultades se investigó y desarrolló el presente trabajo,
donde se presenta la modelación mediante una red neuronal de Función de
Base Radial y su análisis mediante técnicas estadísticas como el ANOVA,
MANOVA y métricas de validación (𝑅2, 𝜂2, etc.), verificando antes si se cumplen
los supuestos para los análisis antes mencionados. Lo anterior como una
86
metodología general propuesta para la predicción de las características de
calidad deseadas propiciando procesos más robustos.
Para cumplir con el objetivo general de esta investigación, el cual es:
desarrollar un modelo generalizado de red neuronal de Función de Base Radial
que cumpla con los supuestos para el análisis de varianza multivariado, se
desarrolló un modelo generalizado de función de base radial capaz de predecir
procesos con una o varias respuestas, cumpliendo también el objetivo
específico uno. Para el cumplimiento de los supuestos para el análisis de
varianza univariado y multivariado, dichos supuestos son; para el análisis
univariado: normalidad, independencia y homocedasticidad, y pueden ser
verificados mediante las pruebas de Anderson-Darling, Durbin-Watson y White
respectivamente. Para el análisis multivariado los supuestos son: normalidad,
linealidad, distribución independiente y homocedasticidad, estos últimos se
verifican mediante las pruebas de Henze-Zirckler, Shapiro-Wilk y Mardia,
coeficiente de correlación de Pearson, Durbin-Watson y White respectivamente.
Con el cumplimiento de estos supuestos se puede asegurar que el modelo
representa los procesos de manera correcta y las decisiones que se tomen en
base a estos serán más acertadas, cumpliendo el objetivo específico dos.
La modelación univariada o multivariada se determinó mediante la
relación entre variables de salida. Después, se aplicó el algoritmo de
agrupamiento por algoritmo genético para la construcción de la matriz de
centros y se utilizó como función de evaluación el coeficiente de determinación
𝑅2 para mejorar la precisión de la predicción de la red. En ambos casos, el
objetivo es minimizar las distancias entre los centros y los patrones de entrada,
al maximizar dichos coeficientes se garantiza una mejor predicción y no genera
la inestabilidad que otros métodos comúnmente utilizados en la red de base
radial generan como por ejemplo k-medias. La diferencia está en la forma de
calcular los coeficientes, utilizando la extensión multivariada del coeficiente de
87
determinación 𝑅𝑞2. Con lo anterior se respondieron las preguntas de
investigación 3.- ¿cómo será la estimación de los centros de la red en el caso
multivariado? y 4.- ¿cómo es la estimación de los pesos en las redes que
consideran varias respuestas? También se cumplieron los objetivos
específicos 3.- obtener los centros para la función de base radial sin generar
inestabilidad en la predicción de la red, y 4.- estimar los pesos de la red
mediante técnicas estadísticas multivariadas.
Después de determinar los centros, se mide la distancia entre estos y los
patrones de entrada mediante la distancia de Mahalanobis, para construir la
matriz de interpolación 𝑮. Dicha matriz de interpolación depende de la función
de base radial, de las cuales se planteó que existen muchas. En DeLeón-
Delgado et al., (2015) se propuso utilizar los resultados del algoritmo genético
como criterio de selección de la función de base radial indicada para el proceso,
de manera que la función que minimice las distancias entre los centros y los
patrones de entrada obtendrá el máximo en la función objetivo y se
seleccionará esa función de base radial. Con esto se cumplió con el objetivo
específico 5.- Analizar los efectos de diferentes funciones de base radial en la
red neuronal multivariada. Por otra parte, los pesos sinápticos son calculados
por medio de mínimos cuadrados, que al multiplicarse por la matriz 𝑮 se
obtienen las salidas estimadas.
Como parte de la presente investigación, se analizó un proceso de
fundición en molde permanente. Por medio de un algoritmo genético se
estimaron los centros de la red, de manera que el algoritmo encontró un óptimo
global al minimizar las distancias entre los centros generados y los patrones de
entrada. Esto se comprobó mediante el estadístico 𝑅𝑞2, el cual fue maximizado
al cumplir esta condición. Para los pesos sinápticos se utilizó el estimador de
mínimos cuadrados multivariados. Cumpliendo el objetivo específico 6; la
aplicación de la metodología en campo. El molde de proceso cuenta con seis
88
cavidades de las cuales cada cavidad es una pieza. Para seleccionar qué
cavidad analizar se utilizó un ANOVA de un factor, de donde se concluye que
las cavidades con mayor variación del proceso son la P para la respuesta
𝑦1: 𝑝𝑒𝑠𝑜, Q para 𝑦2: 𝑆𝑃𝐶 2, y Q para 𝑦3: 𝑆𝑃𝐶 3. El objetivo es reducir la variación
del proceso por lo que se seleccionaron esas cavidades para el análisis. El
modelo de red neuronal fue multivariado debido a la correlación entre las
respuestas, y al cumplir con los supuestos estadísticos para el análisis
multivariado de varianza, se verificó que el modelo explica de manera correcta
la variabilidad del proceso y que la variable que más impacta en esta
variabilidad es la temperatura del molde.
Al obtener los resultados se verificaron los supuestos para el análisis de
varianza multivariado. La clave está en determinar si las variables dependientes
están correlacionadas, de esta forma el supuesto de linealidad entre variables
dependientes para el análisis de varianza multivariado se cumple. Al cumplirse
esté supuesto y el de normalidad puede realizarse dicho análisis. Las ventajas
de realizar este análisis en lugar de un ANOVA para cada variable dependiente
es que se trabaja con todas las variables simultáneamente, y se reduce la
inflación del error tipo I presentado al ignorar las relaciones entre las variables.
Como trabajo futuro se propone el uso de otros algoritmos evolutivos en
la red para la estimación de los centros, por ejemplo, el algoritmo por enjambre
de partículas (PSO). Además de la optimización de procesos con varias
respuestas, verificar si esta optimización será multi-objetivo.
Además, el trabajo futuro contemplaría temas como la selección de la
función de base radial que mejor se adapte al comportamiento del proceso y
cómo regresar los datos interpolados por la función de base radial a su
dimensión original.
89
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