corel

7/16/2019 corel

1/44

Excelencia Acadmica I.E.Pr. Cooperativo - Huancavelica / gora - Tarma

III Bim. / GEOMETRA / CICLO PRE COMPENDIO ACADMICO

170

Nace en Polonia, BenoitMandelbrot.

1.ergobierno de Alberto Fujimori.

1982

1924

1986

1968

1985

1.ergobierno de AlanGarca Prez.

Recibe la Medallanevada

Matanza de terroristas de SanJuan de Lurigancho y el Frontn.

Publica en Science Cunto mide la costa

de Gran Bretaa?, donde expone sus ideastempranas sobre los fractales.

Public su libro FractalGeometry of Nature.

Recibe el premio BarnardMedal for Meritorious Service

to Science.

Recibe el premio AlexanderVon Humboldt.

2.ogobierno de FernandoBelande Terry.

1.ergobierno de Fernando

Belande Terry.

Es presidente del PerAugusto B. Legua.

1987

1991

Lnea de Tiempo:Benoit B. Mandelbort

7/16/2019 corel

2/44

I.E.Pr. Cooperativo - Huancavelica / gora - Tarma Excelencia Acadmica

COMPENDIO ACADMICO III Bim. / GEOMETRA / CICLO PRE

171

Observacin

Relaciones Mtricas

en los TringulosRectngulos

Proyeccin Ortogonal La proyeccin ortogonal de un puntoviene a ser el pie de la perpendicular

trazada por dicho punto a la recta.

P

P A B C D L

A

B D

C

Observacin

AH : Proyeccin ortogonalde AB sobre AC.

A

B

CH

A

B CH

a2+b2=c2

Teorema II:

a . b=h . c

Teorema III:

h2=n . m

Teorema IV:

a2= c.mb2= c.n

Teorema I:

Teorema V:

1h2 =

1a2 +

1b2

BA

C

n mc

b

a

h

Objetivos

1) Conocer las principalesrelaciones entre las longitudesde un tringulo.

2) Conocer las diferentes manerasde medir las longitudes de lasproyecciones de segmentos.

: Proyeccin ortogonal deCD sobre L.

CD

: Proyeccin ortogonal deAB sobre L.AB

: Eje de proyeccin.L

: ProyectantePP

PROPIEDADES

Naci en 1596, en el seno de una familia noble y acomodada. Se educ desde 1604

hasta 1612 en el colegio de los jesutas de la Flche. En 1617 se alist como voluntarioen el ejrcito de Mauricio de Nassau, en 1619 en el del elector de Baviera y en 1621 en

el del conde de Bucquoy. Su moderada fortuna le permiti dedicar su vida al estudio, a

la ciencia y a la filosofa. De 1628 a 1649 permaneci en Holanda. Este ao se traslad

a Estocolmo, donde muri al ao siguiente. Descartes aplica los mtodos algebraicos al

estudio de las curvas; llegando a establecer la ecuacin de una curva y distinguiendo

curvas geomtricas y curvas mecnicas. Estudi slo las primeras, aqullas en las que

las dos coordenadas, x e y, estn enlazadas por una ecuacin algebraica.

Ren Descartes

Nota

x2= (AH) (HB)

Bd H

x

P

R

A

= 2 Rr

x2= m . d

BO

x

dmA

BH : Proyeccin ortogonal deAB sobre BC.

R r

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3/44



172

Nivel I

1) Calcula x.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

1) Calcula a.

a

4 12

Resolucin:

Aplicando el teorema I de R.M. :a2=4(16) a=8

2)

Calcula h.

h

818

Resolucin:

Por el teorema IV de R.M. :h2=18(8)

h=12

3) Calcula h.

Resolucin:

La hipotenusa AC=25(tringulonotable de 37 y 53) por el teorema

III de R.M. :15.20=h.25

12=h

h

A C

B

15 20

4) Calcula x.

Resolucin:

Por el Teorema de Pitgoras:(x-2)2+(x-9)2=x2

x2-22x+85=0x -17 x=17x -5 x=5(No cumple)

x-9x-2

x

Demostracin:

h

n mH

qA C

B

a

aqh2=m.n

x

9 16

2) Calcula h.

a) 20 b) 18 c) 16d) 19 e) 13

h

12 27

3) Calcula x.

a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 8

x

9

7

4) Calcula x.

a) 20 b) 10 c) 12d) 13 e) 15

x

x-8 x-1

5) Calcula x.

a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

x

8

12

6) Calcula x.

a) 30 b) 21 c) 25d) 23 e) 24

5

29

x7

7) Calcula h.

a) 4,67 b) 5,18 c) 6,72d) 3,28 e) 6,12

8) En la figura se pide la proyeccinde AB sobre la recta L.

a) 12 b) 10 c) 15d) 16 e) 17

h

25

24

(Teorema IV)

I) m C=m ABH ; m A=m HBC.II) AHB BHC (Semejantes)

= n.m=h.h

h2=n.m

nh

hm

AB17

10 18

L

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4/44



173

9) Calcula el radio x de lacircunferencia si O es centroy T es punto de tangencia.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

A B

O

T8 2

x

10) Calcula x si ABCD e s u nrectngulo.

a) 9 b) 4 c) 5d) 10 e) 6

11) Calcula x.

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

24

x15

20

4,5 8

x

A

B C

D

12) Calcula x si P y Q son puntosde tangencia y O es centro de lasemicircunferencia.

a) 5,1 b) 5,3 c) 6,4d) 6,8 e) 10,3

x

10

P

6

O Q

13) Calcula x si O y O1son centrosde las circunferencias y T espunto de tangencia.

a) 5 b) 5,6 c) 6d) 6,3 e) 7

O

5O1

x

T9

14) Calcula x.

a) 2 b) 3 c) 2,4d) 3,6 e) 5

x3

94

15) La suma de los cuadradosde los lados de un tringulorectngulo es 200 m2. Calcula

la hipotenusa.

a) 5 m b) 10 m c) 10 2md) 10 3me) 5 2m

16) Calcula a.

a) 12 b) 10 c) 9d) 14 e) 13

a

716

17) Calcula x.

a) 8 b) 10 c) 9d) 6 e) 5

Nivel II

6

4x

18) Calcula h.

a) 4 b) 6 c) 7,2

d) 5,4 e) 4,8

12h9

19) Calcula x+y.

a) 20 b) 18 c) 21d) 24 e) 25

12

h

8

y

1

x

20) Calcula x si AC=8 y AO=10,adems O es centro y C y B sonpuntos de tangencia.

a) 6 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

O

x

AB

C

21) Halla h en la figura mostrada.

a) 8 b) 12 c) 18d) 6 e) 10

h

8 18

B

A CH

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5/44



174

22) Calcula n, segn el grfico.

a) 8 b) 16 c) 6d) 10 e) 12

8

n 4

B

23) Halla m.

a) 10 b) 8 c) 12d) 5 3 e) 10 2

24) Calcula a.

a) 6 b) 2 10 c) 5d) 9 e) 8

12 a

4 10

25) Calcula x.

a) 160 b) 150 c) 140d) 164 e) 148

96

x

128

26) Calcula a.

a) 100 b) 120 c) 144d) 132 e) 112

312

288a

27) Calcula h en la figura mostrada.

a) 2 b) 1 c) 2,5d) 1,5 e) 2,4

m

5 10

4h

3

28) Halla h, segn el grfico.

a) 60/13 b) 4 c) 3d) 4 2 e) 3 2

12h

5

29) Calcula d si las circunferenciasson tangentes exteriores.

a) 35 b) 40 c) 41d) 38 e) 37

Nivel III

31) Los lados de un tringulomiden 6,7 y 8. Cunto se ledebe disminuir a cada ladopara que resulte un tringulorectngulo?

a) 1 b) 2 c) 1,5d) 3 e) 4

30) Halla r, en la figura mostrada.

a) 4,5 b) 4 c) 3 3d) 3 e) 3 2

2 4

x

32) Ca l cu l a x , en l a f i gu r amostrada.

a) 2 3 b) 2 c) (4 3)/3d) 5 3 e) 3

8 18

h

33) Halla h, segn el grficomostrado.

a) 3 13 b) 9 c) 8d) e) 9 236 13

13

34) Calculaa, en la figura mostrada.

a) 60 b) 37 c) 53d) 45 e) 30

a 3a

a

35) En la figura mostrada, calcula PQsi P y Q son puntos de tangencia.

a) 8 b) 6 c) 10d) 6 3 e) 5 2

4

P10

Q

r

18

3r

16

d

25

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6/44



175

36) Halla AB, si A y B son puntosde tangencia.

a) 25 b) 30 2 c) 24 2d) 20 e) 24

37) Halla h si O es centro.

a) 3 2 b) 4 c) 5d) 4 2 e) 3 3

O

h6

3

38) Halla R si O es centro.

a) 16 b) 24 c) 15d) 20 e) 13

39) Halla PH si BH=4, HC=16 yCD=11.

a) 1 b) 2 c) 5,5d) 3 e) 4

25

A

18

B

O

12R

8

HB C

A D

P

40) Calcula R si AP=1 y BQ=8.

a) 12 b) 13 c) 15d) 20 e) 10

O B

Q

P

A

R

R

41) Halla BQ si AQ=18 y PQ=16.

a) 9 b) 10 c) 12d) 16 e) 13

Q

A C

B

Paa

m nA C

B

h

42) Halla h, en la figura.

a) m d) n

b) e)

c)

n(n+m)2

m-n2

m-n2

m(m-n)2

n(m-n)2

43) Calcula AB/AD si EC/AE=7/5.

a) 2 5/3 d) 2 15/3b) 2 15/5 e) 2 3/5c) 2 5

A C

B

H E

D

44) Calcula BC si AB=PQ=8u.

a) 10 b) 16 c) 8 3d) 12 3 e) 12

A

B C

DP

Q

D

A C

B

E

F

46) Segn el grfico, halla la longituddel radio de la semicircunferenciamenor si OB=R.

a) R b) R/2 c) R/3d) R/4 e) R/5

47) En la siguiente figura, ABCD esun cuadrado. Halla x.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

A

B C

D

x+3x+5 x

A C

B

H

E F

P

2

3

6x

5

4

BO

A

T

B

A

CO

50) En el grfico, AB=6 y BC=10.Calcula la distancia de O a AC.

a) 31 b) 21 c) 33d) 39 e) 41

45) En la figura, si AF=1 y DC=8,calcula AC.

a) 5 5 b) 6 5 c) 7 5d) 8 5 e) 9 5

48) En la figura, P es un puntointerior cualquiera del tringuloABC. Halla x.

a) 2 2 b) 3 c) 6d) 22 e) 3 2

49) En un tringulo ABC, se traza laaltura BH. Si (AB)2-(BC)2=10,

calcula (AH)2-(HC)2.

a) 11 b) 10 c) 12d) 15 e) 20

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7/44



176

Relaciones Mtricas

en los TringulosOblicungulos

Teorema de Euclides

Objetivos

1) Reconocer en qu tipo deproblema se aplica el teoremade Euclides o Hern.

2) El alumno debe lograr rapidezen la resolucin de losproblemas.

Matemtico griego. Poco seconoce a ciencia cierta de lavida de quien fue el matemticoms famoso de la antigedad.Euclides se educ probablementeen Atenas, lo que explicarasu buen conocimiento de la

geometra elaborada en la escuelade Platn, aunque no pareceque estuviera familiarizadocon las obras de Aristteles.Ense en Alejandra, dondealcanz un gran prestigio enel ejercicio de su magisteriodurante el reinado de TolomeoI Soter; se cuenta que ste lorequiri para que le mostrara unprocedimiento abreviado paraacceder al conocimiento de lasmatemticas, a lo que Euclidesrepuso que no exista una varegia para llegar a la geometra.

Euclides

PRIMER CASO:

SEGUNDO CASO:

a2= b2+ c2+ 2bm

a2+ c2= 2m2+ b2/2

CA

B

n Hb

a

c a

ac

CA

B

aH

m b

CA

B

c a

bb/2 b/2

M

m

Si: BM : mediana

CA

B

c a

H

h

b

ac

CA

B

H

h

b

Si: a< 90 yAH: Proyeccin de AB sobre AC

a2= b2+ c2-2bn

Si: a> 90 yAH: Proyeccin de AB sobre AC

Teorema de la mediana

Teorema de Hern

Si BH: altura relativa al lado ACy p = ; semipermetro de

la regin triangular ABC.

a+b+c

2

h = p(p-a)(p-b)(p-c)2b

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8/44



177

Nivel I

1) Calcula n en la figura mostrada.

a) 2 b) 4 c) 5/2d) 3 e) 3/2

Caso (I)

Demostracin

2) Halla m segn el grfico.

a) 10/3 b) 8 c) 88/9d) 6 e) 90/13

3) Halla x en el grfico mostrado.

a) 5,8 b) 3,8 c) 4,5d) 6 e) 5

Teorema de la BisectrizInterior

c

m n

B

A C

axq

q

x2= a . c -m . n

Teorema de la BisectrizExterior

x2= m . n -c . a

c

n m

B

A C

F

a

Teorema de Euclides

1410

h

12

B

A C

76 h

9

B

A CM

n

108

9

m

127

9

x

158

8

10

4) Calcula a.

a) 4 b) 3,8 c) 4,2d) 4,5 e) 5

5) Halla h con los datos mostrados.

a) 110 b) 110 c) 110

d) 110 e) 110

45

23

56

59

49

7) Los dados de un tringulo ABCmiden AB = 13 u, BC = 15 u,AC = 14 u. Calcula la longitudde la altura relativa al lado quemide 14 u.

a) 8 u b) 9 u c) 10 ud) 12 u e) 5 3 u

8) Del problema anterior, calcula lamedida del ngulo ACB.

a) 37 b) 45 c) 30d) 53 e) 60

9) En la figura, calcula la medida BM.AB = 8u, BC = 12 u , AC = 14u.

a) 3 3 u b) 5 5 u c) 55 ud) 2 14 u e) 65 u

a

12

5

9

I) BHC: CH Teorema de Pitgoras

h2+n2=a2 ... 1

II) CHA: HA=c-n Teorema de Pitgoras h2+(c-n)2=b2 ... 2

1 - 2

n2-(c-n)2=a2-b2(n-c+n) (n+c-n)=a2-b2

(2n-c)c=a2-b2 2nc-c2=a2-b2 b2=a2+c2-2nc

b2=c2+a2-2cn

a

c-n

C

B A

bh

q

Hnc

q

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9/44



178

Nivel II

Q

M

P R

11) Los lados de un tringulomiden 9u, 10u y 11u. Calcula la

proyeccin del lado menor sobreel lado mayor.

a) 51/11u b) 4u c) 5ud) 9/2 u e) 53/11u

12) Los lados de un tringulo miden12u, 13u y 15u. Calcula laproyeccin del lado mayor sobreel lado menor.

a) 25/4 u b) 6 u c) 25/3 ud) 9 u e) N.A.

13) Los lados de un tringulomiden 4u, 9u y 6u. Calcula laproyeccin del lado menor sobreel lado intermedio.

a) 2 u d) -29/12 ub) -2 u e) 3 uc) 29/12u

P

B

R

A

r

Q

B

MC

D

A

14) Los lados de un tringulomiden 4, 10 y 8cm. Calcula laproyeccin del lado intermediosobre el lado menor.

a) 4cm b) -5/2cm c) -4cmd) 5/2cm e) 3cm

15) Calcula la mayor altura de untringulo cuyos lados miden 10,

12 y 14u.a) 6 u b) 4 6 u c) 9 u

d) 8 u e) 6 u

247

245

16) Calcula la menor altura de untringulo cuyos lados miden 8,13 y 11u.

a) 30 u d) 30 u

b) 3 30u e) 6 30u

c) 5u

1613

125

17) Los lados de un tringulo miden7, 9 y 14u. Calcula la longitud de

la menor mediana.

a) 3 u b) 4,5 u c) 4 ud) 7,2 u e) 5 u

18) Los lados de un tringulo miden6, 8 y 7cm. Calcula la longitudde la mayor mediana.

a) 4 3 cm d) cm

b) 3 5 cm e) 4 6 cm

c) cm

953

952

19) Halla a.

a) 60 b) 30 c) 45d) 53 e) 37

28

4

39

10

a

20) Halla q.

a) 30 b) 37 c) 53d) 60 e) 45

6

10

q134

21) Calcula el lado del rombo ABCDsi AM=6, DM = 8, BM = MC.

a) 5 b) 2 5 c) 2 15d) 15 e) 2 10

22) Halla PQ si AB = 21, R = 17y r = 10.

a) 8 b) 16 c) 9d) 18 e) 12

23) Calcula uno de los ngulosinteriores de un tringulo ABC,donde a2= b2+ c2+ bc 2.

a) 120 b) 135 c) 60d) 45 e) 137

24) Las bases de un trapecio miden4 y 18 cm y los lados lateralesmiden 13 y 15cm. Calcula laaltura del trapecio.

a) 12 cm b) 13 cm c) 10 cmd) 9 cm e) 8 cm

25) En un trapecio, las bases miden4 y 16u y los lados no paralelosmiden 10 y 14u. Calcula lalongitud del segmento que unelos puntos medios de las bases.

a) 4 11u b) 3 6u c) 4 7ud) 4 13u e) 3 13u

10) En el grfico mostrado, calculala longitud de la mediana RM.

QR = 10uPR =13u

PQ = 6u

a) 134 u b) 11 u c) 12 ud) 125 u e) u251

2

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10/44



179

Nivel III

26) Los lados de un tringulo miden6cm, 8cm y 12cm. Halla lamedida de la proyeccin delmenor lado sobre el mayor.

a) 12/5cm b) 13/7cmc) 29/6cmd) 31/3cme) N.A.

27) Los lados de un tringulo miden4cm, 6cm y 9cm, entonces eltringulo es:

a) Acutngulob) Obtusnguloc) Rectngulo

d) No se puede sabere) F.D.

28) En un tringulo se sabe que suslados miden 5u, 7u y 9u. Hallala medida de la altura relativa allado intermedio.

a) 0,5 u b) 1 u c) 1,5 ud) 2 u e) N.A.

29) Los lados de un tringulomiden 13m, 14m y 15m. Hallala medida de la altura relativaal lado intermedio.

a) 9m b) 10 m c) 11 md) 12 m e) 14 m

30) Los lados de un tringulo miden

10u, 12u y 8u. Halla la medidade la mediana relativa al ladointermedio.

a) 79 u b) 83 u c) 2 7 ud) 8 u e) 6 2 u

31) Las medianas de un tringuloABC, son AP=6u; BM=12u yCN=9u. Halla AC.

a) 20 u b) 2 10 u c) 13 ud) 2 7 u e) N.A.

33) En un tringulo ABC:AB=c; BC=a y AC=bSi: a2=b2+c2-bc 2,halla la mBC.

a) 30 b) 45 c) 60

d) 75 e) 120

32) Se tiene un trapecio ABCD.(BC//AD). SiAB=13m; CD=15m yAD-BC=14 m,halla la altura del trapecio.

a) 9 m b) 12 m c) 3 7 md) 4 5 m e) N.A.

34) En un tringulo ABC:AB=c; BC=a y AC=bSi: a2=b2+c2-bc,halla la mBC.

a) 30 b) 45 c) 60d) 75 e) 120

A C

B

H M

P

35) En el grfico, halla (BC2-AB2) siAP=4 cm y AM=MC= 6 cm.

a) 4 cm b) 4 7 cm c) 11 cmd) 80 cm e) N.A.

37) Calcula la menor altura de untringulo cuyos lados miden 5u;7 u y 8u.

a) 3 b) 2 3 c) 4 3d) 5 e) 6

39) En un tringulo ABC: AB= 13dm; BC= 15 dm, y AC= 14 dm.Tomando como dimetro AC,se traza una semicircunferenciaque interseca a la altura BH enP.Halla PH.

a) 2 5dm b) 3 5dm c) 4 7dmd) 8 5dm e) N.A.

40) Los lados de un tringulo miden10 cm, 12 cm y 14 cm. Halla lamedida de la menor mediana.

a) 11cm b) 73cm c) 2 11cmd) 3 13cm e) N.A.

41) Los lados de un tringulo midenAB= 4m; BC= 6m y AC= 5m.

Halla la proyeccin del menor

lado sobre el mayor.

a) 2,25 m b) 0,75 m c) 1 md) 1,25 m e) 1,5 m

42) Los lados de un tringulo

miden 4u, 7u y 9u, entonces eltringulo es:

a) Acutngulob) Obtusnguloc) Rectngulod) No se puede sabere) N.A.

36) En un trapecio ABCD(BC//AD)AB= 6 dm; CD=8 dm y AD-BC=

8 dm. Halla la medida del segmento

que une los puntos medios de las

bases BC y AD.

a)17 dm b) 34 dm c) 7 5 dmd) 5 3 dme) 7 7 dm

38) Calcula la mayor altura de untringulo cuyos lados miden 5u,..6u y 7u.

a) u b) u c) u

d) u e) u

237 267 3271305

307

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11/44



180

43) Los lados de un tringulomiden 7m, 8m y 11m. Halla laproyeccin del menor lado sobreel intermedio.

a) 0,5 m b) 0,75 m c) 1,25 md) 1,50 m e) 2 m

44) Halla la medida de la menormediana de un tringulo cuyoslados miden 8u, 12u y 10u.

a) 17 u b) 2 13 u c) 23 ud) 46 u e) N.A.

45) Si los lados de un tringulomiden 8cm; 12cm y 6cm, calculala medida de la altura relativa almenor lado.

a) 455cm d) 721cm

b) 113 cm e) 271cm

c) N.A.

13

1214

46) En un tringulo ABC; AB=c;BC=a y AC=b.

Si se cumple: a2b2+c2+bc 2.Halla la mBC.

a) 45 b) 30 c) 75d) 105 e) 135

47) Las bases de un trapecio miden

8 cm y 22 cm; los lados noparalelos miden 13 cm y 15 cm.Halla la medida de la altura deltrapecio.


48) En un tringulo ABC, se trazanlas medianas AN, BM y CP.

Si: AN= 9cm; BM= 6cm y CP=12 cm, halla AC.

a) 21 cm d) 2 21 cmb) 3 17 cm e) N.A.c) 2 46 cm

49) En un trapecio, se sabe que lasbases se diferencian en 12 cm ylos lados no paralelos miden 8cm y 12 cm. Calcula la medidadel segmento que une los puntosmedios de las bases.

a) 2 17 b) 13 c) 2 13d) 15 e) N.A.

50) Los lados de un tringulo miden10 cm; 12 cm y 8 cm. Halla lamedida de la mayor mediana.

a) 101cm d) 3 17cmb) 106 cm e) N.A.c) 2 29 cm

Ingeniero griego, destac en Alejandra, posiblemente en elsiglo primero, despus de la decadencia del Imperio Alejandrinoy de la ciencia griega; mostr algunos destellos de genialidad,que despleg en una actitud casi moderna para la mecnica,descubriendo de forma arcaica la ley de accin y reaccin,mediante experimentos con vapor de agua. Describi un grannmero de mquinas sencillas y generaliz el principio de la

palanca de Arqumedes.En matemticas pas a la historia sobre todo por la frmula quelleva su nombre y que permite calcular el rea de un tringuloconociendo sus tres lados, aparecida por primera vez en suobra La Mtrica.

Hern de Alejandra(10 d.C - 70 d.C)

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12/44



181

Teorema de las Cuerdas

Objetivos

1) Conocer las relaciones entrelongitudes de lneas asociadasa la circunferencia.

2) Reconocer el desarrollo decada uno de los teoremas encada problema.

Relaciones Mtricas

en la Circunferencia yPolgonos Regulares

a . b = m . n

Si AB y CD son cuerdas,se cumple:

Calcula n + 1.

a n

bm O

A

C

D

B

3

n5

n+2

Por el teorema de las cuerdas:

Si PAB y PCD son rectas secantesa la circunferencia:

Por el teorema de las secantes:

A

C

D

B

b

nP

m

a

(n+2)(n) = (5)(3)n2+ 2n = 15n2+ 2n -15 = 0(n + 5) (n -3) = 0n + 5 = 0 n = -5 (F) n - 3 = 0 n = 3 (V) n + 1 = 4

Calcula AC si MC = 2 AR = 8 PR = 5

R

P

M

C

A

x (x-2) = 8(3)x = 6

Calcula m (T: punto de tangencia)

A

B

C

Tm-1

5

4

A

B

T a

n

m

P

Por el teorema de la tangente y la secante: (m-1)2= 9.4 (m-1)2= 36 m -1 = 6 m = 7

Ejemplo:

Resolucin:

Teorema de las Secantes

a . b = m . n

Ejemplo:

Resolucin:

A

C

5 P

R8

3

xM

2

(x-2)

Teorema de la Tangentey la Secante

a2 = m . n

Ejemplo:

Resolucin:

Si PT es recta tangentey PAB es recta secante.

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13/44



182

1. Polgonos Regulares

2. Polgonos Regulares Notables

TRINGULO EQUILTERO

CUADRADO

B

O

A

4

D Q C

R

mAC : Arco = 120

AB : Lado = R 3= 3

OQ : Apotema = R2

mAD : Arco = 90

BC : Lado = R 2= 4OQ : Apotema = R 2

2

R

O

B

3

A Q C

ap3

Clculodelosnguloscentrales,ladosyapotemasenfuncindelcircunradiodelospolgonosregulares

3 4 5 6

6=

R

8 10

12

ap3=

R2

LADODELPOLGONOREGULAR

(n

)

APOTEMADELPOLGONO

REGULAR

(apn

)

NDELADO

S

NGULOCENTRAL

(acn

)

TringuloEquiltero

Cuadrado

PentgonoRegular

HexgonoRegular

OctgonoRegular

DecgonoRegular

DodecgonoRegular

120

90

72

60

45

36

30

3=

R

3

4=

R

2

5=

10-2

5

R2

8=

R

2-2

10=

R2(

5-1)

12=

R

2-

3

ap4=

2

R2

ap5=

5+

1

R4

ap6=

3

R2

ap8=

2+

2

R2

ap10=

10+2

5

R2

ap12=

2+

3

R2

NOMBRE

A1

Ln

apn

q

A2 A3

A4

Rr

An

Ln

Ln

Ln

O

Elementos:

* Vrtices: A1, A2, A3, ..., An* Lados: A

1A

2, A

2A

3, ..., A

nA

1

* r: Inradio* R: Circunradio* ap

n: Apotema

* Tringulo OA3A4

ap4

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14/44



183

Nivel I

1) En la figura, halla PB si AP =PB, PC = 18, DP = 8.

a) 8 b) 10 c) 18d) 12 e) 16

HEXGONO REGULAR

mAB : Arco = 60

BC : lado = R= 6OQ : apotema = R 3

2

C

OA

6

FQ

E

R

D

B

ap6

OCTGONO REGULAR

C

A E

R

DBap8

H F

G

8

O

mAB =45

DE = R 2- 2

ap8= 2+ 2R2

BA

D

C

P

A

P

B

C

E

D

C B

A

2) Halla AB si CQ = 10u, DQ =6u y AQ = 5u.

a) 17 u b) 12 u c) 10 ud) 18 u e) 15 u

3) Calcula BC si AB = 10 yBC = CD.

a) 4 2 b) 10 c) 8d) 5 2 e) 5

4) Halla AP si AB = 4cm yBC = 12 cm.

a) 8cm b) 4 3cm c) 6cmd) 3 3cm e) 6 2cm

5) En la figura, AB = 9 cm, AD =8cm y BC = 7cm. Halla ED.


QR

D

P

E

6) Halla PQ en el grfico mostrado.

PR = RQ PD =4 cm

DE =8 cm

a) 6cm b) 5cm c) 8cmd) 4 6cm e) 6 2cm

B

A

D

C

Q

A

D

C

B

7) Se tiene dos circunferenciass e c a n t e s e n P Q , e n l aprolongacin de PQ se toma elpunto T y se traza las tangentes

TA y TC a cada circunferencia.Si: TA=2 2 u, halla TC.

a) 2 u b) 2 2 u c) 1 ud) 1,5 u e) N.A.

8) El dimetro de una circunferenciamide 13 cm y divide a una cuerdade 5 cm en partes iguales, hallael menor segmento determinadoen el dimetro.

a) 2 cm b) 1,5 cm c) 1 cmd) 0,5 cm e) N.A.

9) En el grfic o si AT=3m yCI=4m, halla TC.

a) 1,5 m b) 2 m c) 2,5 md) 3 m e) N.A.

MC

TA

NI

10) S e t i e n e u n t r i n g u l oequiltero ABC inscrito en unacircunferencia, en el arco BCse toma un punto T. Tal queSi BT+TC=4 2 u. Halla AT.

a) 3 u b) 4 u c) 4 2 ud) 6 u e) N.A.

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184

Nivel II11) Desde un punto I a unacircunferencia exterior , se trazalas secantes ILD y IHC; en laprolongacin de IC se toma elpunto A y se traza la tangenteAT. Si IL=3u ; LD=CA=5u yIH=4u, halla AT.

a) 35 u b) 3 3 u c) 7 2 ud) 4 u e) N.A.

12) Se tiene una semicircunferenciade dimetro AB y centro O,se traza otra semicircunferenciainterior con dimetro AO.

Desde B se traza la tangenteBT a la menor. Si AB=6 2 m,halla TB.

a) 6 m b) 30 m c) 18 md) 24 m e) 3 6 m

13) En un cuadrado ABCD, se uneB con M punto medio de CD,intersecando a la circunferenciainscrita en P. Halla BP si el

radio de la circunferencia mide10 cm.

a) 2cm b) 2 5cm c) 3 3cmd) 5cm e) N.A.

15) En una circunferencia de15m de radio, dos cuerdas seintersecan dando por productode sus segmentos 200 m 2

respectivamente. Encuentra

la distancia del punto deinterseccin al centro.

a) 2 m b) 3 m c) 4 md) 5 m e) 6 m

16) Una cuerda de 14m dista delcentro de la circunferencia

2m; otra cuerda que se cortacon la anterior, dista del centro4m y la distancia del centro alpunto de interseccin de las doscuerdas es 5m. Luego, uno delos segmentos en que se dividela cuerda de 14m es:

a) 7+ 21 d) 7+ 17b) 7+ 19 e) N.A.c) 7+ 15

17) En una circunferencia undimetro divide a una cuerdaen dos segmentos de 6u y 12u.Si la cuerda dista del centro 4u,halla la medida del radio.

a) 97 u b) 2 17 u c) 7 7 ud) 6 6 u e) N.A.

18) En una circunferencia de 13 cmde dimetro, un arco subtiende

una cuerda de 12cm. Calculala longitud de la cuerda quesubtiende el arco mitad.

a) 52 cm b) 17 cm c) 8 cmd) 11 cm e) N.A.

19) En una circunferencia, las sagitascorrespondientes a los catetosdel tringulo rectngulo inscritomide 1m y 2m, si la hipotenusa

miden 10m. Halla la medida delinradio del tringulo.

a) 1 m b) 2 m c) 2 md) 3 m e) 3 m

20) En el grfico, halla EO si EF. EC= 36 m2y AC=16 m

a) 8 m b) 9 m c) 10 md)12 m e) 6 6 m

O

E

A C

F

T

21) Se tiene el cuadriltero ABCDinscrito en una circunferencia.

Si AB=BD=AD; BC=3dm y

CD= 7dm, halla AC.

a) 6 dm b) 8 dm c) 10 dmd) 12 dm e) N.A.

22) Se tiene un segmento AB secantea una circunferencia en C yE, se traza AP y BQ tangentesa dicha circunferencia.

Si AC= 3cm ; EB=4 cm y CE= 5 cm, halla (AP) (BQ).

a) 6 6 b) 8 5 c) 12 6

d) 12 e) N.A.

23) Se tiene un cuadrado ABCD,se une A con el punto medioM de CD, intersecando a lacircunferencia inscrita en elpunto P. Si AB= 10 cm, hallaAP.

a) 2 5 cm b) 5 cm c) 3 cmd) 2 cm e) 1 cm

24) En una circunferencia se tomalas cuerdas secantes AB y CD,que se intersecan en P. Si BP=4 dm; PA= 9 dm y DP=12 dm,halla CP.

a) 1 dm b) 2 dm c) 3 dmd) 4 dm e) 6 dm

25) Se tiene una semicircunferencia

d e d i m e t r o A B , e n l aprolongacin de AB se toma elpunto P, y se traza la tangentePT. Si PT mide igual que el radio

y BP= 2 cm, halla el dimetro.


26) Desde un punto E, exterior auna circunferencia, se traza lassecantes EAB y ECD. Si EA=2m; AB= 6m y EC= 1m, hallala medida de CD.

a) 10 m b) 12 m c) 7 md) 9 m e) 15 m

14) Desde un punto A exteriora una circunferencia, se trazala tangente AT y la secantediametral ACI. Si AI= 3(AC)

y AT=4 3 m, halla la medidadel radio de la circunferencia.

a) 2 m b) 3 m c) 4 md) 5 m e) N.A.

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185

Nivel III

27) En el grfico, R=2r; AB=8 cmy CD= 4 cm. Halla r.

a) 1 cm d) 32,5 cmb) 1,5 cm e) 3 cmc) 2 cm

O

A

Rr

D BC

28) S e t i e n e u n c u a r t o d ecircunferencia AOB. Se prolonga

el radio OB hasta un puntoE y se une E con A, EAinterseca al arco AB en P. SiBE=AO=R, halla EP.

a) R 5 b) 2R 5 c) 5 R

d) 5 R e) N.A.

35

29) Se tiene 2 circunferenciastangentes exteriores de radios

R y 2 cm. La tangente comnexterior PQ mide R. Halla R.


30) Se tiene dos circunferenciassecantes en M y N, se trazauna recta secante que intersecaa la primera en A y D; a lasegunda en B y E y a MN

en C. Si AB=6 cm, BC= 2 cmy CD= 1 cm, halla DE.


31) Halla x.

a) 120 b) 75 c) 80d) 60 e) 45

4

x

3

32) Halla x.

a) 90 b) 45 c) 120d) 60 e) 75

33) Halla el circunradio de untringulo equiltero si su ladomide 3.

a) 3 b) 3/3 c) 3/2d) 3 e) 6

34) Halla x si AB=3y CD=6.

a) 40 b) 45 c) 25d) 30 e) 15

B

A D

C

x

R

A

B

C

R

Ox

E D

37) El ngulo A de un tringuloA B C , i n s c r i t o e n u n acircunferencia de 6u de radio,mide 60, entonces BC mide:

a) 2 3u b) 4 3u c) 4 2ud) 5 2u e) 6 3u

38) El radio de una circunferenciamide 4cm. Halla la suma delos permetros del tringuloequiltero y el cuadrado inscritosen dicha circunferencia.

a) 4(3 3 + 4 2)m

b) 18 3 mc) 28 6 md) ( 6 + 3) me) N.A.

39) En una circunferencia de radioR, se traza las cuerdas AB yAC. Si AB=R 3 u y AC=Ru y ambas cuerdas estn a unmismo lado del dimetro, halla

la mCB.

a) 30 b) 15 c) 20d) 60 e) N.A.

40) Se tiene un tringulo ABCinscrito en una circunferenciatal que m= 45 y BC=8 u.Halla la medida del radio de lacircunferencia.

a) 4 u b) 4 2 u c) 4 3 ud) 8 3 u e) N.A.

41) En el grfico, halla x si AC= 10y BD=3

a) 74 b) 60 c) 53d) 37 e) N.A.

D

A

C

B

xE

6

x

3

Q

DA

CB

x

35) Si CD=R 2 y AB=R 3, calcula x.

a) 60 b) 75 c) 120d) 45 e) 150

36) Si AB=R y BC=R 2, calcula x.

a) 20 b) 25 c) 18d) 15 e) 45/2

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186

42) Calcula las medidas del ladoy la apotema de un tringuloequiltero inscrito a unacircunferencia de dimetro 6m.

a) 1m; 3 mb) 2,5m; 1mc) 3 3m; 1,5md) 2 3m; 1me) N.A.

43) En una circunferencia de radioR, se trazan dos cuerdas AB yCD que miden R 3 y R 2.

Si las prolongaciones de AD y

BC se intersecan en E, calculala mBD.

a) 72 b) 75 c) 90d) 15 e) 150

44) Halla la medida de la apotemadel hexgono regular de 60m depermetro.

a) 5 3 m b) 7 3 c) 3 3

d) 6 3 e) N.A.

45) El polgono regular cuyo ladomide el doble de su apotema sellama:

a) Hexgonob) Cuadradoc) Octgonod) Tringulo equilteroe) N.A.

47) Un tringulo equiltero estinscrito en un circunferencia deradio 2u. Calcula la medida dela altura del tringulo.

a) 2u b) 3u c) 4ud) 5u e) N.A.

48) En una circunferencia de radioR se traza dos cuerdas paralelasAB y CD. Halla la mAPC siAB=R 2; CD=R 3 y P es elpunto de interseccin de AD yBC.

a) 75 b) 110 c) 90

d) 102 e) 114

50) Se tiene un tringulo equilteroy un cuadrado inscritos en lamisma circunferencia. Si elpermetro del tringulo es 15 3u,halla el permetro del cuadrado.

a) 5 2 u b) 15 2 u c) 20 2 u

d) 25 2 u e) 20 u

Las abejas para almacenar lamiel, construyen sus panalescon celdas individuales, quehan de formar un mosaicohomogneo sin dejar espaciovaco. Eso lo pueden conseguircon celdas tr iangulares ,cuadradas y hexagonales. Otracuestin es qu forma es msrentable para que empleando la misma cantidad de cera, se logre la

mayor superficie y capacidad de la celda.Veamos cules son las superficies de un tringulo, un cuadrado, unhexgono y un crculo, todos de igual permetro: 12 cm.

Las celdas de las abejas

La opcin ms favorable de mayorsuperficie a igualdad de permetrono dejando huecos entre celdas, esel HEXGONO. Es la empleadapor las abejas.

S = 6,93 cm2

= 4 cm

S = 10,39 cm2

= 2 cm

S = 9 cm2

= 3 cm

S = 11,46 cm2

R = cm6

46) Se tiene un cuadrado cuyolado mide 8 2 cm, si a partir decada vrtice se disminuye unacierta longitud x, se formarnen cada vrtice tringulosrectngulos, que al eliminarlosnos quedar un polgono de 8lados, halla x para que estepolgono sea regular.

a) 8(2+ 2)cmb) 8( 2-1)cmc) 8(2- 2)cmd) 8( 2+ 1)cme) N.A.

49) A un hexgono regular de 2u delado se le prolonga 3 lados noconsecutivos. Halla la medidadel apotema del polgono queresulta de estas prolongaciones.

a) 1,5 u b) 2 u c) 3 ud) 2 3 u e) 3 u

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187

Repaso

Nivel I

2) En la figura, ABCD es unrectngulo. Halla AP si BD=12y PC=5.

a) 13 b) 11 c) 9d) 7 e) 5

a

B

A D P

C

a

3) En e l s iguiente g r f ico ,4(DE)=EF y AF=4. Calcula

la longitud del inradio del

tringulo OFE si C es puntode tangencia.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

C

E

A O B

D

F

4) Las bases de un trapecio isscelescircunscrito a una circunferenciamiden 9 y 16. Canto mide

el radio de la circunferenciainscrita?

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 10

5) Segn el grfico, halla la longituddel radio de la semicircunferenciamenor si OB=R.

a) R b) R/2 c) R/3d) R/4 e) R/5

BO

A

T

6) En la figura, halla R si AD=8y DC=1.

a) 8 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

BO

A

CR

D

q

B

A

C

qD

7) En e l s i gu i ente g r f i co ,AB=BC=6 y AD=CD+4.Calcula la distancia de B a AD.

a) 2 2 b) 3 2 c) 4 2d) 5 e) 3

B

AC

P H

8) En la figura, AB=13, BC=15y AC=14. Calcula PH si su

longitud es mxima.

a) b) c)

d) e)

134

132

157

72

95

10) E n u n t r i n g u l o A B C ,A B = 6 , A C = 8 y l a

mBAC=2(mACB).Calcula

BC.

a) 2 21 b) 3 17 c) 5 11

1) En un tringulo ABC, se traza laaltura BH. Si (AB)2-(BC)2=10,calcula (AH)2-(HC)2.

a) 11 b) 10 c) 12d) 15 e) 20

9) En un tringulo acutngulo ABCse traza la altura BH, siendoAH=1 y BC=5. Calcula AB sila mACB=2 (mABH).

a) 10 b) 7 c) 5d) 11 e) 13

7/16/2019 corel

19/44



188

11) En la figura, ABCD es unrectngulo donde AB=2(AD).Calcula PA si BH=6 y (PD)2-(BC)2=40.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Nivel II

AHP

D

BC

13) En la figura, BC=2(DE). CalculaBD si BM=6 y DN=2. Adems,B y D son puntos de tangencia.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

M

N

C

A

B

E

D

B

A C

P

14) En la siguiente figura, AB=10 yPB=3. Calcula PT si P y T sonpuntos de tangencia.

a) 10 b) 15 c) 17d) 21 e) 31

15) En el siguiente grfico, PQ=1;QR=4 y RO=6. Calcula r.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

O

P Q R

r

16) En la figura mostrada, calcula PTsi BC=2 y AB=1. Adems,T yB son puntos de tangencia.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

TA

B

C

P

17) En el grfico mostrado, calculaCD si la mBD=2(mBC); AC=4y BD=6.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

A B

D

C

18) En el siguiente grfico, AL=LCy HC=1. Calcula DA.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

A

B C

D L

H

19) En el grfico mostrado, ABCDes un cuadrado de centro O.Calcula (AP)(AQ) si AB=2.

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

Q

C

O

B

A D

P

20) En la figura, la mALD=180 y Des punto de tangencia. Si AB=2y BC=4, calcula BD.

a) 2 2 b) 2 3 c) 2 5d) 3 e) 4

21) En la siguiente figura, AB=CDy T es punto de tangencia. SiPQ=5 y QD=4, halla AT.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

Q

D

P

T

CBA

B

D C

A

L

12) En el siguiente grfico, AB=7,BC=9 y AC=12. Calcula BP sila mBP=2(mACB).

a) b) c)

d) 5 e) 7

7 53

5 32

3 25

T

A

B

OP

7/16/2019 corel

20/44



189

Nivel III

22) En la figura, T es punto detangencia. Calcula CT si AC=6,CE=2 y CD=3.

a) 3 b) 4 c) 6d) 7 e) 8

A

B

C D

E

T

23) En el grfico adjunto, O espunto de tangencia. Si OP=2 yPQ=10, calcula r.

a) 2 6 b) 3 2 c) 4 5d) 2 e) 3

24) Se tiene en el arco AB deuna circunferencia, en lacircunferencia circunscrita

al tringulo equiltero ABC

se ubica el punto P. Calcula

P C s i A P = 2 y P B = 1 .

a) 3 b) 4 c) 5

25) En el arco BC de la circunferenciacircunscrita a un cuadradoABCD se ubica el punto P demodo que PB= 2 y PC=1.Calcula PA.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

26) En la figura, P,A y T son puntos detangencia y AT=2. Calcula AP.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

3r

AP

Tr

A

BD

C

27) En el grfico, la mAB=60 yBC=3. Calcula BD si B y D sonpuntos de tangencia.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

28) En la figura, B y C son puntos detangencia, calcula mAB.

a) 53 b) 37 c) 30d) 60 e) 50

A

C

B

2r

3r

29) En un trapecio ABCD (BC//AD)de altura CH=12, las longitudesde los lados AB, BC y CD sonnmeros consecutivos, siendoBC el intermedio y AD=2(BC).Determina el permetro deltrapecio ABCD.

a) 70 b) 80 c) 60d) 50 e) 40

31) Calcula la longitud del radiode una circunferencia, si ladistancia del centro a una cuerdaque mide 24 u es 5 u.

a) 13 u b) 14 u c) 15 ud) 16 u e) 20 u

32) Se tiene un trapecio ABCD(BC//AD), AB=13, BC=10,CD=19 y AD=32. Halla lalongitud de la distancia entre lospuntos medios de sus bases.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

33) Las longitudes de los lados de

un paralelogramo estn en larelacin de 1 a 2 y la suma delos cuadrados de las diagonaleses 250 u2. Calcula el permetrodel paralelogramo.

a) 25 u b) 35 u c) 30 ud) 40 u e) 150 u

34) En un tringulo ABC sus ladosmiden AB=6, BC=4 y AC=8,entonces la longitud de la mayormediana es:

a) 10 b) 31 c) 42d) 46 e) 52

Q

O

P r

30) En la siguiente figura, T es puntode tangencia. Calcula PQ si lamMQ=60 y R=2r.

a) r( 6-2) d) 2b) r( 3-1) e) 3c) r( 2+3)

R

M

r

Q

P

7/16/2019 corel

21/44



190

35) Las longitudes de los ladosde un tringulo son nmerosconsecutivos. Si la medida delmayor ngulo es el doble dela medida del menor ngulo,entonces la longitud de lamediana relativa al lado mayor es:

a) 5 5 b) c)

d) e)

382

304

522

462

37) En el grfico, si (OA) 2 -(OL)2=12. Calcula (BL)(LN).

a) 16 b) 12 c) 20d) 10 e) N.A.

38) Segn el grfico, calcula ABsi AL=5 y LC=4(A y D sonpuntos de tangencia).

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) N.A.

B

A C

OL

B

A

C

O

L

D

39) Calcula (PA).(PB) si OP=3;r=5 y O es centro.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

B

A

Or

P

40) Segn el grfico, AOB es uncuadrante de centro O, calculaAT si TF=2 y FE=7 (T, A y Fson puntos de tangencia).

a) 5 b) 2 c) 2 2d) 3 e) 3 2

BO

A T

E

F

P T CA

Q R

42) S e g n e l g r f i c o , l o scuadrilteros AQRP y PQRCson paralelogramos. CalculaPQ si (AP)2-(AQ)2=15 y (PC)(TC)=7,5.

a) 29 b) 31 c) 30d) 33 e) 35

41) En un trapecio rectngulo ABCD

m BAD=m ABC=90. Hallala longitud de la base media siBC=11, BD=20 y CD=13.

a) 12 b) 11 c) 13,5d) 14 e) 15

44) Segn el grfico, AB=15, AC=13y CT=8. Calcula la m NTL (L,

N y T, son puntos de tangencia).

a) 10 b) 15 c) 16d) e) 1853

2

B

A T

L

C

N

46) En el grfico EM= 8u, MC=25u,AB=18u y EP // AD. Calcula PD.

a) 2 2 u b) 12 u c) 2 29 ud) 11 u e) 3 15 u

47) Se tiene un tringulo ABC.donde la medida del ngulo

A es dos veces la medidadel ngulo B. Si AC=4u yAB=5u, calcula:

a) 2/3 u b) 5/6 u c) 6/5 ud) 3/2 u e) 6/2 u

BCAC

48) Las diagonales AC y BD de untrapecio ABCD miden 5u y7u, respectivamente. Calculala longitud de la mediana. SiAC BD.

a) 3 u b) u c) 4 u

d) u e) 5 u

742

452

45) Se tiene el tringulo ABC, setraza la semicircunferencia de

dimetro AC, que interseca aBC en T. Calcula MN, siendo My N los puntos medios de AB ydel arco TNC, BC=6 y AC=8.

a) 5 b) 41 c) 37d) 77 e) 5 2

A D

B CM

E P

36) En un tringulo ABC, AB=4,BC=5 y AC=6. Si D es unpunto sobre BC tal que AD=BC,calcula BD.

a) d) 3,5

b) e) 4

c)

1+ 352

1+ 372

1+ 392

43) En un rombo ABCD sea Mpunto medio de AD, tal que

(BM)2

+(CM)2

=80. Calcula elpermetro de la regin limitadapor el rombo.

a) 16 b) 16 2 c) 18d) 20 e) 28

7/16/2019 corel

22/44



191

Objetivos

1) Conocer las principalesregiones planas.

2) Aprender a comparar las reasde ciertas figuras.

reas de Regiones

Triangulares y Relacionesde reas

REGIN PLANA

Porcin de plano limitada por unalnea cerrada, llamada frontera de laregin.

R1

Superficie

R1 : Regin plana

rea de una regin plana:

Es la medida numrica de una reginplana.La unidad convencional del rea esuna regin cuadrada cuyo lado tienepor longitud la unidad.

REGIONES EQUIVALENTES

Son regiones planas que tienen lamisma rea.

R1 R2

A2A1

Si: R1< > R

2 A1= A2

reas de RegionesTriangulares

Regin Triangular:Es una regin plana cuyo contorno esun tringulo.

h

B

A Cb

CA

B

D

H

b

1) FRMULA BSICA

2) FRMULA TRIGONOMTRICA

c

B

A Cbq

3) FRMULA DE HERN

b

c

B

A C

a

p: semipermetro de la regin ABC.

Nociones Previas

A ABC=b . h

2

A ABC=b . H

2

A ABC=a . c

2

B

A C

ac

AABC

= b . c2

sen q

p =a+b+c2

A ABC= p(p-a)(p-b)(p-c)

7/16/2019 corel

23/44



192

TRINGULO EQUILTERO

r

ba

c

L2 34

A= =h2 33

EN FUNCIN DEL INRADIO (r)

A=p.r p= a+b+c2

p: semipermetro

EN FUNCIN DEL

CIRCUNRADIO (R)

R

b

ac

O

A= p= a+b+c2

abc4R

EN FUNCIN DE UNEXRADIO (ra)

ra

cA

B

Cb

a

A= ra(p-a) p= a+b+c

2

Relaciones de reas

Am n

N C

B

=mn

AABNABNC

An n

D C

B

AABD=ABDC

A C

B

SP Q

R

S

S

SS

S

c

c

a

a

b b

1.

2.

3.

4.

c

B

A C

a

b

Q

P R

r p

q

Si ABC ~ PQR

= = =b2

q2AABCAPQR

c2

r2a2

p2

5.

S

3S

6.

S S

G

G: Baricentro

Resolucin:

1) Halla el rea de la regin de untringulo ABC si m A=37,m C=45 y AC=28 cm.

AH

C

B

53

37

45

45

3a

3a4a

28

4a+3a=28 7a=28 a=4Luego:

BH=3(4)=12

rea ABC= =168 cm228(12)

2

2) Calcula el rea de la regin deun tringulo rectngulo si lahipotenusa y su inradio miden 17y 3u, respectivamente.

Resolucin:

B A

C

3

17

a b

hL

L

L

7/16/2019 corel

24/44



193

Nivel I

Por Poncelet: a+b=17+2(3)

a+b=23

Sabemos: A ABC=p.r= .3

A ABC= .3=60 u223+17

2( )

a+b+17

2( )

1) Calcula el rea de un tringuloequiltero cuyo permetro es36 cm.

a) 36 cm2 b) 72 cm2c) 36 3 cm2 d) 27 3 cm2e) 32 cm2

2) Calcula el rea de un tringuloequiltero cuya altura mide 6 cm.

a) 12 cm2 b) 18 cm2c) 18 3 cm2 d) 9 3 cm2e) 12 3 cm2

3) Halla el rea de un tringuloequiltero cuyo circunradio mide8 cm.

a) 36 3 cm2 b) 36 cm2c) 48 3 cm2 d) 48 cm2e) 32 cm2

4) La base y la altura de un tringuloestn en proporcin de 2 a 5 ysuman 28 cm. Calcula el rea dela regin triangular.

a) 80 cm2b) 60 cm2c) 56 cm2

d) 96 cm2e) 90 cm2

9

8

10

B

HC53

A

8

C

HB

120

A

5) La base y la altura de un tringuloestn en proporcin de 3 a 10 ysuman 39 cm. Calcula el rea dela regin triangular.

a) 90 cm2 d) 135 cm2b) 110 cm2 e) 150 cm2c) 120 cm2

6) En la figura, calcula el rea de laregin triangular ABC.

a) 32 u2 b) 36 u2 c) 30 u2

d) 40 u2 e) 42 u2

8) Halla el rea de un tringuloequiltero cuyo permetro es30cm.

a) 20 3 cm2 d) 30 cm2b) 25 3 cm2 e) 30 3 cm2c) 27 cm2

7) Calcula el rea de la reginsombreada si AB=12cm y BC=16cm.

a) 24 cm2 d) 48 3 cm2b) 28 cm2 e) 32 3 cm2c) 48 cm2

9) En un tringulo se sabe que subase y su altura se encuentran

en relacin de 1 a 3. Si el rea dedicho tringulo es 24 m2, calculala medida de dicha altura.

a) 16 m b) 12 m c) 8 md) 6 m e) 4 m

10) Si los lados de un tringulomiden 5u; 6u y 7u. Halla su rea.

a) 6 u2 b) 2 6 u2 c) 3 6 u2

d) 18 u2 e) 6 6 u2

13) Halla el rea de la regin de untringulo cuyas alturas miden 12;15 y 20 cm.

a) 130cm2b) 180cm2 c) 150cm2

d) 120cm2e) 160cm2

14) Si el rea de la regin sombreadaes 32 cm2, calcula el rea de laregin triangular ABC (G esbaricentro).


A C

B

G

11) En un tringulo rectngulolas medidas de los catetos son

entre si como 2 es a 3. Calculala medida de la hipotenusa si elrea de dicha regin es 24m2.

a) 107 m d) 2 13 mb) 2 26 m e) N.A.c) 4 26 m

12) Si los lados de un tringulomiden 5dm, 7dm y 8dm. Hallala medida de su inradio.

a) 2 dm d) dm

b) 3 dm e) N.A.c) dm

4 33

2 33

7/16/2019 corel

25/44



194

Nivel II

15) Calcula el rea de la regintriangular ABC si el rea de laregin sombreada es 24 cm2.


A C

B

N

M

16) Calcula el rea de la reginsombreada si el rea de la regintriangular PQR es 80 u2.

a) 40 u2 b) 50 u2 c) 60 u2

d) 64 u2 e) 48 u2

P Q

R

NM

17) Si AB=BC y CD=DE, halla elrea de la regin sombreada.

a) 25 u2 b) 50 u2 c) 75 u2

d) 45 u2 e) 60 u2

DB

A C E

b

10

a

18) Calcula el rea de la reginsombreada s i e l rea nosombreada es 35 cm2.


A C

B

2n 7n

19) Calcula el rea de la regin

triangular ABC, si el rea de laregin sombreada es 18 cm2.

a) 66 cm2 d) 48 cm2

b) 62 cm2

e) 54 cm2

c) 72 cm2

A C

B

8k 3k

20) Si el lado del cuadrado ABCD es12u, calcula el rea de la reginsombreada.

a) 12 u2 b) 16 u2 c) 18 u2

d) 24 u2 e) 32 u2

A

B C

D

M

A C

B

22) En un tringulo ABC, m A= 2m C. Si AB=5 y AC=11,

calcula el rea de la regintriangular ABC.

a) 11 u2 b) 12 u2 c) 24 u2

d) 22 u2 e) 18 u2

23) Dos lados de un tringulo miden9m y 12m. Halla la medida deltercer lado, sabiendo que eltringulo posee el mximo valorde su rea.

a) 15 m b) 5 3 m c) 3 5 m

d) 18 m e) N.A.

24) Calcula el rea de un tringuloequiltero, sabiendo que sucircunradio mide 4m.

a) 12 3m2b) 6 m2 c) 6 3m2

d) 4 3m2 e) N.A.

25) Halla el rea de la regin de

un tringulo ABC si AB=8 u;BC=10 u y m B=60.

a) 20 u2 b) 20 3u2 c) 40u2

d) 40 3u2 e) 30u2

26) En un tringulo ABC, se sabe quem=30 y mC=53Si AB=16m, halla el rea de estaregin.

a) 8(4 3+3)b) 8(2 3+3)c) 4( 3+3)d) 4(2 3+3)e) N.A.

27) En tringulo ABC se ha inscritouna semicircunferencia cuyodimetro se encuentra contenidoen el lado AC.

Si AB=13m; AC=14m yBC=15m, halla la medida delradio de la semicircunferencia.

a) 2 m b) 3 m c) 4 md) 6 m e) 7 m

21) Calcula el rea de la reginsombreada si AB=6u y BC=8u.

a) 6 u2 b) 8 u2 c) 4 u2

d) 10 u2 e) 6 2 u2

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26/44



195

Nivel III

28) Los lados de un tringulo ABCmiden AB=21m; BC=35m yAC=28m. Si las bisectrices de By C se intersecan en I. Calculael rea del tringulo AIC.

a) 84 m2 d) 120 m2b) 98 m2 e) 122,5 m2c) 100 m2

29) Los lados de un tringulo miden5m, 6m y 7m. Halla la medida desu circunradio.

a) m d) m

b) m e) N.A.

c) 3 m

35 6

24

13 7

8

157

30) En una circunferencia dedimetro AB=20 m, se trazala cuerda AC que mide 12m.Calcula el rea de la regintriangular ABC.

a) 84 m2 b) 96 m2 c) 102 m2

d) 106 m2 e) N.A.

31) En un tringulo rectngulo, uncateto mide 4m y la altura sobre

la hipotenusa 2,4m. Cul es elrea de dicha regin triangular?

a) 9,6 m2 b) 8 m2 c) 7 m2

d) 6 m2 e) 5 m2

32) El inradio de un tringulo mide4 cm y la circunferencia inscritadetermina sobre uno de loslados, segmentos de longitudes

6 cm y 8 cm. Halla el rea dedicha regin triangular.

a) 60 cm2 b) 70 cm2c) 84 cm2

d) 94 cm2 e) N.A.

33) Halla el rea de un tringulorectngulo si su inradio mide 3my su hipotenusa 15m.

a) 16 m2

b) 21 m2

c) 48 m2

d) 54 m2 e) 62 m2

34) Se tiene un cuadrado ABCD,exteriormente se dibuja eltringulo rectngulo BEC. SiBE= 4m, halla el rea de laregin triangular ABE.

a) 4 m2 b) 8 m2 c) 12 m2

d) 16 m2 e) N.A.

35) Dos lados de un tringulo miden8m y 10m; y sus respectivasalturas se diferencian en 1m.Halla el rea del tringulo.

a) 10 m2 b) 15 m2 c) 20 m2

d) 25 m2 e) 30 m2

37) Si el permetro de un tringuloes 24m y el dimetro de lacircunferencia inscrita mide 4m.Halla su rea.

a) 12 m2 b) 16 m2 c) 18 m2

d) 24 m2 e) 36 m2

38) En un tringulo rectngulo, laaltura relativa a la hipotenusamide 2m y la hipotenusa midelos 5/4 de uno de los catetos.

Cul es el rea del tringulo?

a) 12 m2 d) 4 1/3 m2b) 6 m2 e) 25/6 m2c) 4 1/6 m2

41) Halla el rea de la reginsombreada si BC=AB=10 cmy M es punto medio.

a) 10 cm2b) 12 cm2c) 15cm2

d) 18 cm2e) 16 cm2

36) Halla el rea de un terreno deforma triangular si sus ladosmiden 8m; 9m y 7m.

a) 6 15 m2 d) 13 m2b) 2 31 m2 e) N.A.c) 12 5 m2

A

B C

D

M

42) Las alturas de un tringulo

miden 24 u, 30 u y 40 u. Hallael rea de la regin triangular.

a) 900 u2 b) 400 u2c) 600 u2

d) 800 u2 e) 900 u2

43) Se tiene un tringulo isscelescuyos lados de igual longitudmiden b. Para obtener untringulo con la mayor reaposible, el tercer lado debe tener

una longitud de:

a) b b) 2 b c) b

d) b e) b 3

22

13 28

39) Dos lados de un tringulo miden8m y 10m. Si su rea es la mayorposible. Halla la medida deltercer lado.

a) 2 41 m d) 11 mb) 3 17 m e) 12 mc) 7 13 m

40) Los lados de un tringulo miden9m, 11m y 6m. Halla la medidade su inradio.

a) 1 m d) mb) 7 m e) N.A.

c) m

1713

2 18213

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27/44



196

44) En un tringulo issceles, la basemide 15u y la altura relativa auno de los lados iguales mide12u. Halla el rea de la regindel tringulo.

a) 50 u2 b) 75 u2 c) 90 u2

d) 100 u2 e) 150 u2

A C

B

R H

46) Halla el rea de la regin

sombreada si AB=5u.

a) 8 u2 b) 10 u2 c) 15 u2

d) 20 u2 e) 25 u2

A

B C

D

47) Halla el rea de la reginsombreada si ABCD es uncuadrado de lado 8cm.

a) (16 3-1)cm2 d)16( 3-1)cm2

b) (16 3-2)cm2 e)(16 3-4)cm2

c) (8 3-16)cm2

A

B C

D

48) En un tringulo ABC, se sabeque AB=6 u y BC=7 u. Paraqu valor de AC el rea de laregin triangular ABC sermxima?

a) 12 u b) 10 u c) 9 ud) 85 u e) 89 u

49) Los lados de un tringulo miden...26 u, 18 u y 20 u. Halla elrea de la regin triangular.

a) 6 u2 b) 9 u2 c) 12 u2

d) 15 u2 e) 18 u2

50) En un tr ingulo ABC elsegmento que une el incentro yel baricentro es paralelo a la baseAC y el inradio mide 2 u. Hallael rea de la regin triangularABC si AC=8u.

a) 21 u2 b) 24 u2 c) 18 u2

d) 16 u2 e) 12 u2

El mtodo egipcio para hallar el rea del crculo

se considera desde hace mucho tiempo como unode los progresos ms notables de la poca; en el

problema 50 del Papiro de Ahmes admite que

el rea de un campo circular de 9 unidades de

dimetro es la misma que el rea de un cuadrado

de lado 8 unidades. Si comparamos esta manera

de proceder con la que se obtiene de la frmula

moderna A = r2, nos encontramos con que la

regla egipcia es equivalente a tomar como valor de

= 3,16 o aproximadamente 3 1/6 que es sin duda

una aproximacin muy aceptable; pero de nuevo aqu carecemos de cualquier

indicio que nos permita suponer que Ahmes fuera consciente de que las reas desu crculo y su cuadrado no eran exactamente iguales. Es posible que el problema

48 nos d una pista sobre la manera como los egipcios se vieron conducidos a su

sencilla receta para calcular el rea del crculo: en este problema, el escriba parece

construir un octgono a partir de un cuadrado de lado 9 unidades, dividiendo cada

lado en 3 partes iguales y suprimiendo despus los cuatro tringulos rectngulos

issceles que quedan en las esquinas, cada uno de los cuales tiene rea igual a

4 1/2 unidades; entonces el rea del octgono, que no difiere mucho de la del

crculo inscrito en el cuadrado inicial, es de 63 unidades, la cual a su vez no difiere

demasiado del rea de un cuadrado de lado ocho unidades. El hecho de que el

nmero 4 (8/9)2 jug realmente un papel comparable al de nuestra constante

parece confirmarse por la regla egipcia para hallar la circunferencia de un crculo,

segn la cual la razn del rea de un crculo a su circunferencia es la misma quela razn del rea del cuadrado circunscrito a su permetro. Esta soprendente

observacin correcta representa una relacin geomtrica de una importancia

matemtica y de una precisin mucho mayores que la de la relativamente buena

aproximacin de .

El rea de un crculo no es nada nuevo

45) Halla el rea de la reginsombreada si AR=5u, HC=3u,m ABR=m RBH=m HBC.

a) 9 u2 b) 12 u2 c) 15 u2

d) 18 u2 e) 21 u2

7/16/2019 corel

28/44



197

Nota

reas en Regiones

Cuadrangulares yRelaciones de reas

REGIN CUADRANGULAREs una regin plana cuyo contorno esun cuadriltero convexo o no convexo.

B

A

C

D

q

d1d2

1) FRMULA GENERAL

ABCD: Convexo

rea de RegionesCuadrangulares

MNLP : Concavo

d1. d22

A ABCD=senq

2) REA DEL PARALELOGRAMO

A

B C

HDb

a h

q

3) REA DEL ROMBO

A

B

C

D

d2

d1

N

M L

m

P

n

B

A

D

d1

d2

C

m . n2

AMNLP

= senb

d1. d22

AABCD

=

N

M Lnb

P

m

m . n

2A

MNLP

=

oA ABCD= b . h

AABCD

= absenq

d1. d22

AABCD

=

4) TRAPECIO

b

h

a

a+b2

A= h( (

1.B

A D

S2

S3S1

S4

C

S1 x S3 = S2 x S4

Relaciones de reas

7/16/2019 corel

29/44



198

Nivel I

Resolucin:

1) Halla el rea de la regin de un

rombo si su permetro es 116 cm yuna de sus diagonales 42 cm.

1) En un rombo de lado 5u, unadiagonal es el doble de la otra.Halla el rea de la regin delrombo.

a) 25 u2 b) 20 u2 c) 15 u2

d) 30 u2 e) 22,5 u2

3.

A

B

SS

A

B C

D

S2= A . B

Si ABCD: Trapecio

A

B C

D

M

Si ABCD: Trapecio

A

B C

D

P

P: punto que pertenece a BC

Si ABCD: Paralelogramo

2. B

A D

C

Sx

S ABCD2

Sx=

A ABCD2

AABM

=

A ABCD2

AAPD

=

4.

5.

Si ABCD: Paralelogramo

SBCP

+SAPD

=S ABCD

2

6.

A

B C

D

P

A

C

B

29

D

29

29 29

21

21n nO

40(42)2

* En elAOB

:n2+212=292

n=20 BD=40

* Luego:

reaABCD

= =840 cm2

Resolucin:

*AHB

: Issceles AB=8 2

AB=CD=8 2rea ABCD=8 2(12)

A ABCD=96 2 u

2

3) Calcula el rea de la regin deun trapecio rectngulo ABCD, sim A= m B=90; m D=60;CD=16 u y BC=3 u.

Resolucin:

B C

A H D60

3

3 8

168 3 8 3

(3+11)2

A ABCD= 8 3=7(8 3)

A ABCD=56 3 u2

2) En un trapecio rectngulo la basemayor mide 18 u, la base menor ysu altura tienen la misma mediday la diagonal menor mide 8 u.Halla el rea de su regin.

a) 24 u2 b) 20 u2 c) 16 u2

d) 28 u2 e) 26 u2

3) El rea de la regin de unrectngulo es 1500 u2. Si seaumenta el largo en 10 u y elancho aumenta en 30 u, resultaun cuadrado. Halla el lado mayordel rectngulo.

a) 50 u b) 30 u c) 60 ud) 70 u e) 80 u

2) Calcula el rea de la regin deun paralelogramo ABCD si m

A=45 y la distancia del centro del

romboide al lado mayor es 4 u y allado menor es 6u.

A

B C

D45

12

8 H

8 2

46O8

7/16/2019 corel

30/44



199

4) En la figur a, A y B soncuadrados y C es rectngulo,las reas de A y C son 196m2y48m2, respectivamente (SE>ET).Halla el rea de la regin QRST.

a) 312 m2b) 304 m2c) 300 m2

d) 308 m2e) 298 m2

R

AB

C

S

Q T

E

5) En el rectngulo ABCD, AD=3uy AF=1u. Halla el rea de laregin sombreada.

a) u2 b) u2 c) u2

d) u2 e) u2

57

2

47

2

37

2272

172

6) Si ABCD es un cuadrado y el reade la regin de cada tringuloes 12 m2. Halla el rea de laregin del cuadrado sombreadosi 2(AM)=MB.

a) 6 u2 b) 9 u2 c) 12 u2

d) 15 u2 e) 18 u2

D

AB

C

M

8) El rea de la regin de uncuadrado es 50m2, se inscribed i cho cua d r a d o en unacircunferencia. Cul es el reade la regin del cuadrado que sepuede inscribir en la mitad de lamisma circunferencia?

a) 24 m2 b) 25 m2 c) 15 m2

d) 30 m2 e) 20 m2

9) El rea de la regin de uncuadrado AEFD es 81 cm2y elrea de la regin de EBCF es63 cm2. Halla el permetro del

rectngulo ABCD.


A B

D CF

E

10) Halla el rea de la reginsombreada si ABCD es unrectngulo.

a) 6 u2 b) 8 u2 c) 9 u2d) 13 u2 e) 15 u2

C

DA

B 2 3

2

4

11) Halla el rea de la reginsombreada.

a) 3 u2 b) 1 u2 c) u2

d) 2 u2 e) 4 u2

13

1 1

2

2

2

2

2

12) El rea de la regin de untringulo equiltero ABC es

36 3 u2. Calcula ED si AE=EC.

a) 3 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 8 u

A

B

D C

E

B

A D

C

M

14) En el paralelogramo mostrado,el rea de la regin sombreadaes 48 u2. Calcula el rea delparalelogramo ABCD.

a) 86 u2 b) 84 u2 c) 72 u2d) 96 u2 e) 124 u2

A

B C

D

P

A B

D C

F

7) Un t e r r eno t i ene fo r m arectangular y se sabe que supermetro mide 46 m y su diagonal17m. Cul es el rea del terreno?

a) 100 m2 d) 23 17m2

b) 120 m2 e) 23 17m2

c) 210 m2

13) Si M es punto medio de CD,ABCD es un cuadrado de lado4 cm. Halla el rea de la reginsombreada.

a) 6 cm2 b) 8 cm2 c) 10 cm2d) 12 cm2e) 4 cm2

15) En un rectngulo ABCD, seubica un punto F en BC demodo que: mAFD=90. Si BF=2 cm y FC=8 cm, halla el reade la regin de dicho rectngulo.

a) 30 cm2b) 32 cm2c) 36 cm2d) 60 cm2e) 40 cm2

7/16/2019 corel

31/44



200

Nivel II 20) En el siguiente grfico ABCD esun cuadrado de lado 4 u. Hallael rea de la regin sombreada.

a) 8 u2 b) 4 u2 c) 10 u2

d) 5 u2 e) 9 u2

25) En qu relacin se encuentranlas reas de las regionesdeterminadas por los hexgonosregulares inscrito y circunscritoa una misma circunferencia?

a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3d) 3/4 e) 3/5

16) En un cuadriltero inscriptibleABCD, AB=7u, BC=24u,

CD=15u y AD=20u. Halla elrea de la regin del tringulo ABC.

a) 50 u2 b) 64 u2 c) 84 u2d) 48 u2 e) 42 u2

18) Los lados de un rombo sondos radios y dos cuerdas deun crculo de 16 cm de radio.Calcula el rea de la regin que

encierra dicho rombo.

a) 128 cm2 b) 512 cm2c) 128 3 cm2 d) 512 3 cm2e) 256 cm2

A

C

M

BN

O

45

D

A B

C

A

D C

B

M

2

2

22 N

21) Halla el rea de la regin de un

rombo de permetro 32 u, si unode sus ngulos mide 45.

a) 36 u2 b) 64 2u2 c) 32 2u2

d) 64 u2 e) 32 u2

22) La suma de las reas de lasregiones de dos cuadrados es218 u2 y el producto de susdiagonales es 182 u2. Halla lalongitud del lado mayor.

a) 12 u b) 13 u c) 15 ud) 16 u e) 14 u

23) Las bases de un trapecio miden10 y 24 cm, los otros lados miden13 y 15 cm. Halla el rea de suregin.

a) 654cm2 b) 658cm2 c) 204cm2

d) 656cm2

e) 650cm2

24) ABCD es un cuadrado cuyarea de su regin es 36 cm2y el

tringulo AHF el rea de su regin

es igual a 4cm2. Calcula FD.

a) 2 cm b) 2 2 cm c) 3 cmd) 3 2 cm e) 4 cm

B

A

C

M

N

P D

27) Si ABCD es un cuadrado, el rea

de la regin BCMP es 60 u

2

yCM=MD, calcula el rea de laregin triangular APD.

a) 18 u2

b) 24 u2

c) 30 u2

d) 32 u2 e) 36 u2

A

B C

D

MP

28) En el paralelogramo ABCD,halla el rea del tringulo ABPsi las reas de los tringulos PMCy AMD suman 18 u2.

a) 9 u2 b) 12 u2 c) 24 u2

d) 36 u2 e) 18 u2

A

B C

D

P

M

17) Halla el rea de la regin COMN,si AB y BC son tangentes yAB=2+2 2cm.

a) 4cm2 b) 4 3cm2c) 6cm2

d) 4 2cm2e) 8 3cm2

19) En el paralelogramo ABCD,AB=2 u, BC=4 u y m C=60.Halla el rea de la regin dedicho paralelogramo.

a) 3 u2 b) 2 3 u2c) 4 3 u2

d) 3 3 u2 e) 6 3 u2B

A D

C

H

F

26) En el trapecio ABCD(BC//AD),BC=15 y AD=27. Calcula APpara que las regiones M y N seanequivalentes.

a) 6 b) 5 c) 8d) 7 e) 9

7/16/2019 corel

32/44



201

Nivel III

31) Si ABCD es un paralelogramode rea 36m2, calcula el rea dela regin sombreada. Adems:AM=BM y CN=ND.

a) 32 m2 b) 20 m2 c) 24 m2

d) 18 m2 e) 30 m2

A

D

B

C

M h

30) Calcula el rea del tringuloABC si las reas de las regiones

sombreadas son cuadrados de169, 196 y 225m2.

a) 64 m2 b) 72 m2 c) 84 m2

d) 60 m2 e) 90 m2

A B

C

A

B C

D

M N

32) En los siguientes ejercicios, hallael rea de la regin sombreada.


10cm

45

33) Trapecio ABCD.


34) Trapecio ABCD.

a) 23 cm2 b) 25,5 cm2c) 29,5 cm2 d) 30,5 cm2e) N.A.

37

4cm

CB

A D45

5cm

B

D

A C

20 5cm

36) En un rombo, sus diagonalesestn en la relacin de 5 a 12.Halla su rea si su permetro es52m.

a) 100 m2 b) 120 m2c) 140 m2 d) 150 m2e) 180 m2

37) Trapecio issceles ABCD.

a) 40 cm2 b) 50 cm2c) 60 cm2

d) 80 cm2 e) 70 cm2

B

A

C

D

5cm

6cm 8cm

38) Rombo ABCD.

a) 70 cm2 b) 80 cm2c) 30 cm2

d) 50 cm2 e) N.A.

16 cm

37

B C

A D

39) El permetro de un rombo es272m. La diagonal menor es los

8/15 de la mayor. Encuentra elrea del rombo.

a) 3840 m2 b) 3000 m2c) 3870 m2 d) 2860 m2e) N.A.

40) En un rectngulo, sus lados soncomo 3 es a 4 y la suma de suslongitudes es 20m mayor que lalongitud de la diagonal. Halla surea.

a) 1000 m2 b) 1500 m2c) 1200 m2 d) 1900 m2e) N.A.

29) Si AB//CD; AB=6m, CD=18my h=10m, calcula el rea de laregin sombreada.

a) 80 m2 b) 60 m2 c) 50 m2

d) 40 m2 e) 70 m2

12cm

6 cm

20 cmA D

B C

35) Rombo ABCD; m ABC=53

a) 1200 cm2 b) 1300 cm2c) 1500 cm2 d) 1600 cm2e) N.A.

7/16/2019 corel

33/44



202

41) Halla el rea del trapecio ABCD, siel cuadrado CDEF tiene rea k.

a) 5k b) 3k c) 2kd) k e) k/2

C

F

45

EB

DA

42) Halla el rea del cuadrado

ABCD si el rea de la regin nosombreada excede en 12cm2alrea de la parte sombreada.

a) 48 cm2 b) 36 cm2c) 24 cm2

d) 12 cm2 e) 6 cm2

B C

A D

E

53

43) Si las longitudes de un rectnguloson 270 cm de largo por 30 cmde ancho, cuntos cm habrque aumentar al ancho y cuantosdisminuir al largo para que resulteun cuadrado de igual rea?

a) 160 cm ; 240 cmb) 300 cm ; 200 cmc) 60 cm ; 180 cmd) 40 cm ; 180 cme) 90 cm ; 160 cm

B

A

C

D12cm

E F

45) Los cuadrados ABCD yBEFH tiene reas 81 y 25cm2respectivamente. Halla el reade la regin sombreada.

a) 19 cm2 b) 20 cm2c) 22 cm2

d) 21 cm2 e) 18 cm2

H F

E CB

A D

46) En la figura, ABCD y EFHB

son cuadrados. JH=25; JA=15JB=17, halla el rea de la reginsombreada.

a) 32 b) 41 c) 16d) 12 e) 18

H F

B

A D

EC

J

47) Halla el rea de la reginsombreada si (AP)(PL)=8m2.

a) 2 m2 b) 8 m2 c) 6 m2

d) 4 m2 e) 16 m2

48) En la figura mostrada, ABCDes un romboide. Halla el reade la regin ABCD si x= 4cm2,y=13cm2y z= 3cm2.

a) 18 cm2 b) 30 cm2c) 36 cm2

d) 27 cm2 e) 42 cm2

49) El rea de la regin limitadapor el cuadrilongo ABCD es16cm2. Halla el rea de la reginsombreada.

a) 1 cm2 b) 2 cm2 c) 3 cm2

d) 4 cm2 e) 5 cm2

50) En un romboide ABCD se tomael punto medio M de AD,

calcula el rea de la regin MCDsi el rea de la regin romboidales de 40 m2.

a) 10 m2 b) 5 m2 c) 15 m2

d) 8 m2 e) 20 m2

M N

L

BO

AP

A

B C

D

x y z

B C

A D

P

44) En la siguiente figura se tieneun trapecio issceles ABCD yun cuadrado EBCF. Adems,m CAD=37. Halla el rea dela regin sombreada.

a) 1200 m2 b) 810 m2c) 420 m2 d) 806 m2e) 900 m2

7/16/2019 corel

34/44



203

reas de RegionesCirculares

1.- REA DEL CRCULO

AB: Dimetro = dR : Radio

A = R2

2.- REA DEL SECTORCIRCULAR

R

O q

B

A

3.- CORONA CIRCULAR

RrA B

R

O RR

Objetivos

1) Diferenciar los tipos de reasque se generan en el crculo.

2) Aprender a comparar reas deciertas regiones.

Regin CircularPorcin del plano cuyo contorno es unacircunferencia.

A =d2

4

=3,1416

AAOB

= qR2

360

ACORONA= (R2-r2)

S=S1+S2

Trapecio CircularEs la porcin de corona circulardeterminada al trazar dos radiosmayores.

C D

R r

A B

1

S

q d

O

2

S= (R2-r2)q

360

Adems, si 1y 2son las longitudes delos arcos AB y CD respectivamente yR-r=d, se cumple:

S= d1+2

2( )

LnulasSon regiones encerradas dentro dedos arcos de diferentes dimetro quese intersecan. Los centros de los arcosestn aun mismo lado.

A B

Lnula

Lnula de HipcratesAl tomar los lados de un tringulorectngulo ABC, recto en B, comodimetros de semicircunferencia, secumple:

L

S1

S2

S

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35/44



204

B O

AP

O130

Nivel I

2) Calcula el rea de un sectorcircular de ngulo central 45 yde radio 8 cm.

a) 4cm2 d) 10 cm2b) 6cm2 e) 12cm2c) 8cm2

3) Calcula el rea del sector circularsombreado (O es centro).

a) 6cm2 d) 8 cm2b) 9cm2 e) 15cm2c) 12cm2

10) Si el lado del cuadrado ABCDmide 4cm, calcula (S1-

S2).

a) (3-8) cm2b) (6+8) cm2

c) 2(3-8) cm2d) (6-8) cm2e) 2(6-8) cm2

S=S1+S

2

Por teorema: S1+M+S2+N=M+S+N

Demostracin:

L

S1

S2

SM N

1) Halla R para que las reas de laregin sombreada y el de la nosombreadas sean iguales.

a) 3 b) 3 2 c) 2d) 2 2 e) 2 3

12 cm32 58O

4) Calcula el rea de la reginsombreada si O y O1son centros.Adems OA=OB=8 cm.

a) 16cm2 d) 8cm2b) 12cm2 e) 9cm2c) 6cm2

6

R

BO

A

O1

5) Halla el rea de un crculo inscritoen un tringulo equiltero depermetro 18 3 cm.


6) Calcula el rea de un crculoinscrito en un hexgono regular

cuyo permetro es 36 cm.


7) Calcula el rea de un crculodonde la long i tud de sucircunferencia es 16 cm.

a) 32cm2 d) 48cm2

b) 64cm2

e) 16cm2

c) 36cm2

8) Halla el rea de la regin circularmostrada si la longitud de sucircunferencia mide 24 cm.


R

9) Calcula el rea del semicrculo;si el rea del tringulo ABC es51 u2, AB=8u y BC=9u.

a) 36u2 d) 14u2b) 16u2 e) 20u2c) 18u2

B

OA C

B

A D

C

S2S1

11) Calcula el rea de la reginsombreada: si OA=OB=6cm.

a) /2cm2 d) 3/2 cm2b) 2cm2 e) cm2c) 3cm2

7/16/2019 corel

36/44



205

12) Si el permetro de un crculo es24cm, halla su rea.

a) 12cm2 d) 144cm2

b) 24cm2 e) N.A.c) 100cm2

13) Halla el rea de la coronadeterminada por los crculosinscrito y circunscrito a uncuadrado de 16 cm2de rea.

a) cm2 d) 4cm2b) 2cm2 e) 6cm2c) 3cm2

14) Halla la medida del ngulocentral de un sector circular de10dm. de radio y 25dm2de rea.

a) 60 b) 30 c) 45d) 90 e) 100

16) Halla el rea del crculo inscritoen un cuadrado cuya diagonalmide 6dm.

a) 4,5dm2 d) 3,6dm2b) 3dm2 e) N.A.c) 5,6dm2

Nivel II

B C

A D

17) En el grfico, halla el reade la regin sombreada siAB=BC=2cm y los lados delcuadrado son dimetros de lasemicircunferencias.

a) /2 cm2 d) 2cm2

b) /4 cm2 e) N.A.

c) cm2

18) En un tringulo equiltero ABC,se toma los puntos medios M, Ny P de los lados AB, BC y ACrespectivamente. Con centroen A y radio AM se traza elarco MP; con centro en B yradio BM se traza el arco MN ycon centro en C y radio CNse traza el arco NP. Halla el reade la regin limitada entre estostres arcos si AB=4 cm.

a) (4 3-2)cm2b) (2 3+)cm2c) (3 2-)cm2d) (+2)cm2e) N.A.

19) En un cuadrado ABCD;AB=4cm, tomando como

dimetro los lados AD y BC setraza dos semicrculos internos.Halla el rea de la regin internaal cuadrado y externa a lossemicrculos.

a) (12-)cm2 d) 2(+2)cm2b) (16-)cm2 e) N.A.c) 4(4-)cm2

22) En el grfico, AB=BC=4u.Halla el rea de la reginsombreada.

a) u2 d) (8-)u2b) 2 u2 e) (2-3)u2

23) Sean las regiones A1 y A

2

limitadas por dos circunferenciasde igual radio tal que:

A1A2=100 m2 y

A1A2=400 m2

Halla la medida del radio de lascircunferencias.

a) 5 m d) 1m

b) 3 m e) m

c) 2 m

10

1

5

B C

A D

21) Halla la medida del radio de

una circunferencia interior aun crculo de radio 4 dm quedetermina regiones equivalentes.

a) 2 2dm b) 2 dm c) 2 dmd) dm e) N.A.3 2

2

15) Se tiene un crculo de 36m2de rea, halla el rea limitada

por una cuerda que subtiendeun arco de 60.

a) (6- 3)m2 d) m2b) (6-9 3)m2 e) N.A.c) (3-4 3)m2

20) En un cuadrado ABCD, de ladoL, con centro en A y radio ABse traza el arco BD y con centroen C y radio BC se traza el arcoBD. Halla el rea de la reginlimitada por stos dos arcos.

a) L2 (-1) d) (-2)

b) (-2) e) N.A.

c) (-1)

L2

2L2

3

L2

3

7/16/2019 corel

37/44



206

Nivel III

25) Si el permetro y el rea de uncrculo son numricamenteiguales, halla el rea del crculo.

a) u2 b) 2 u2 c) 3 u2

d) 4 u2 e) N.A.

24) Halla el rea del crculo inscritoen un tringulo equiltero de9 3dm2de rea.

a) dm2

b) 2dm2

c) 3dm2

d) 4 dm2e) 3dm2

26) Si el rea de un sector circulares de 3 u2 , halla la medida de

su ngulo central, sabiendo quesu radio mide 6u.

a) 15 b) 20 c) 30d) 45 e) 60

27) Halla el rea de la corona quedeterminan los crculos inscritoy circunscrito a un cuadrado de16 cm de permetro.

a) cm2

b) 2 cm2

c) 3 cm2

d) 4 cm2e) 6 cm2

28) Se tiene un sector circular conngulo central igual a 30 y radio6cm. Halla la medida del radiodel crculo equivalente al sector.

a)1 cm b) 2 m c) 2 cmd) 3 cm e) N.A.

31) Halla el rea del crculo inscritoen un tringulo rectngulo,cuyos catetos miden 6u y 8u.

a) u2 b) 2 u2 c) 3 u2

d) 4 u2 e) 6 u2

32) Si el rea de la regin de untringulo equiltero es de 9 3dm2. Halla el rea del crculocircunscrito al tringulo.

a) 6 dm2 d) 12 dm2b) 3 dm2 e) N.A.c) 9 dm2

33) Halla el rea de la coronadeterminada por los crculosinscrito y circunscrito a untringulo equiltero de 12cm depermetro.

a) cm2 b) 2 cm2 c) 4 cm2

d) 6 cm2e) N.A.

34) Halla la relacin de las medidasde los radios de dos sectorescirculares equivalentes dengulos centrales 120 y 60respectivamente.

a) b) c) 2

d) e)

12

13

22

32

35) Se tiene un tringulo equilteroABC de 4 3cm2de rea, se trazala latura BH y con centro en By radio BH se traza un arco queintersecta a AB en T y a BCen I. Halla el rea del sectorcircular TBI.

a) cm2 d) 4 cm2

b) cm2 e) N.A.

c) 2 cm2

2

36) En el grfico, ABCD es uncuadrado, AB=4cm. Halla elrea de la regin limitada porlos arcos MN, NP, PQ y QM.

a)4(4-) cm2 d) 3(-1) cm2

b) 3 cm2 e) N.A.c) (4+) cm2

B C

A DQ

M P

N

A

B C

37) Halla el rea del crculosombreado si:

a) b) c)

d) e)

925

916

34

916

94

1AB

1BC

23

+ =

38) Halla x en funcin de S.

a) 3S d) (+3)

b) S(2-3) e) 2S(+2)

c) (3+2)S4

S2

29) Se tiene un cuadrado ABCD de4cm de lado, haciendo centro enD se traza el arco AC, halla elrea de la regin limitada por AB,

BC y el arco AC.

a) 4(+2)cm2 d) 4cm2b) 4(4-)cm2 e) N.A.c) 3(-2)cm2

30) Halla el rea del crculocircunscrito a un cuadrado de

24m2de rea.

a)3 m2 d) 12 m2b) 2 3 m2 e) 6 6 m2c) 3 3 m2

x

S

7/16/2019 corel

38/44



207

39) En la figura se muestra unc u a d r a n t e A O B y u n asemicircunferencia de dimetroOB. Calcula x si S=4m2

a) 2 m2 b) 4 m2 c) 3 m2

d) 5 m2 e) 6 m2

40) Calcula el rea del semicrculo

si BC=2m y CD=10m.

a) 9/8 m2b) 6 m2 c) 7 m2

d) 7/8 m2e) 6/7 m2

C DBA

41) Calcula el rea de la reginsombreada si M es punto detangencia, AM=a y MB=b.

a) d) (a2+b2)b) e) N.A.

c)

(a+b)2

4ab

a+bab

a+b( )2

42)

a) 26cm2 d) 16cm2

b) 25cm2 e) 9cm2c) 21cm2

10cm

43)

a) 9cm2 d) 6cm2

b) 7cm2 e) 5cm2c) 8cm2

En los siguientes ejercicios halla el reade la regin sombreada.

15cm

8cm

44)

a) 20cm2 d) (20 - 4)cm2

b)(20+3)cm2 e) 20+8cm2c) cm2

OA BM

r=4cm

6cm

46)

a) 25cm2 d) 40cm2

b) 30cm2 e) 18cm2c) 10cm2

10cm

45)

a) 20cm2 d) 30cm2

b) 18cm2 e) 8cm2c) 40cm2

r=6cm

47)

a) 6cm2 d) 5cm2

b) 4cm2 e) cm2c) 2cm2

5cm

72

48) Si ABCD es un cuadrado de8cm de lado, calcula el rea dela regin sombreada.

a) 16(4-)cm2 d) 4(32-)cm2b) 32(4-)cm2 e) 16(2-)cm2c) 32(2-)cm2

B C

A D

49) Halla el rea de la reginsombreada si AB=16cm.

a) 16(-2)cm2 d) 32cm2b) 24(

-2)cm2 e) 12(

-3)cm2

c) 32(-1)cm2

OA B

50) Halla el rea de la reginsombreada si AB=BC y ABCes un tringulo rectngulo (rectoen B).

a) 4(2-1)cm2 d) 6(-1)cmb) 8(-2)cm2 e) 8(-1)cm2c) 4(-3)cm2

B

A C4 2cm

X

A

O B

S

7/16/2019 corel

39/44



208

Nivel I

3) Calcula x si R=16u y r=4u.

a) 16/9 u b) 15/8 u c) 2 ud) 3/2 u e) 8/3 u

Repaso

R r

x

5) Dado un rectngulo ABCD,AD=30 cm y AB=25 cm, calculael radio de la circunferenciatangente a BC que contiene a A

y D.


M

C A

B

d

x

h

7) Se tiene un cuadrado ABCD cuyolado tiene una longitud igual aL. Se traza una circunferencia

que pasando por los vrtices By C, es tangente al lado AD.Calcula la longitud del radio dela circunferencia.

a) 4L/7 b) 5L/8 c) 3L/5d) 2L/3 e) 8L/10

8) En un pentgono ABCDE, loslados AE y DE miden 16u y 8urespectivamente y m A+m B

+m C+m D=480. Calculala distancia del vrtice E a ladiagonal AD.

a) 4 3 u b) 8 u c) 10 ud) 12 u e) 3 3 u

9) Sea ABC un tringulo rectngulocuyos catetos miden AB=40 u yAC=30 u. Se traza la altura ADrelativa a la hipotenusa. Calcula

la diferencia entre los permetrosde los tringulos ABD y ACD.

a) 24 u b) 30 u c) 48 ud) 20 u e) 26 u

1) En un tringulo PQR (m Q=90),los catetos PQ y QR miden 30 m

y 20 m respectivamente. Calcula

la distancia del vrtice Q a la

mediana RM.

a) 8 m b) 9 m c) 10 md) 11 m e) 12 m

2) En una circunferencia de 5m deradio, se traza una cuerda ABy sobre sta se ubica un punto

M, de modo que AM=3m yMB=5m. Calcula a qu distanciaest M del centro.

a) 10 m b) 11 m c) 13 md) 15 m e) 3 m

4) El lado de un cuadrado ABCD,inscrito en una circunferencia,mide 4u. M es un punto del

arco AB, de modo que MD=5u.Calcula MB.

a) 6 u b) 5 u c) 2 2 ud) 7 u e) 3 u

6) En el tringulo de la figura, lasuma de las longitudes BM yMA es igual a la suma de laslongitudes BC y CA. Si BM=x,BC=h y CA=d, calcula x.

a) d -h d) h2+d2-h

b) e) h+d- 2d

c)

hd2h+dd2

7/16/2019 corel

40/44



209

Nivel II

10) Una circunferencia es tangentea dos lados adyacentes de uncuadrado y divide a cada uno delos otros lados en dos segmentoscuyas longitudes son 2cm y23cm. Calcula la longitud delradio de la circunferencia.


11) Las medianas de un tringulorectngulo ABC trazadas a partirde los vrtices de los ngulosagudos tienen longitudes de 5my 40m. Calcula la longitud dela hipotenusa.

a) 15,0 m d) 13,58 mb) 12,60 m e) 10,1 mc) 7,21 m

12) En un tringulo rectnguloABC, recto en B, se traza laaltura BH; de tal manera queAH=5u y HC=7u. Calcula laslongitudes de los catetos.

a) 2 13 u y 2 15 ub) 2 15 u y 2 21 uc) 3 7 u y 3 5 ud) 2 5 u y 2 7 ue) 7 2 u y 5 2 u

13) En un tringulo rectngulo, lasproyecciones de los dos catetosestn en relacin de 4 a 5. Calculala relacin de dichos catetos.

a) b) c)

d) 5 e)

25

2 5

35

45

14) En un romboide ABCD, si BC=8u, CD=5u y AC=10 u. Calculala proyeccin de BD sobre AC.

a) 1,9 u b) 2,9 u c) 3,9 ud) 4,9 u e) 5,9 u

15) S e a A B C u n t r i n g u l orectngulo recto en B, cuyas

m e d i a n a s B M y C N s o n

perpendiculares entre s. Calcula

el valor de AB, si BC=6dm .

a) 3 2dm b) 2 3dm c) 6 2dm

16) En la figura, 2AB=AC=CD=DEy las rectas horizontales son

paralelas. Sea x=rea de la

regin triangular ABH y sea

z=rea del cuadriltero FGCE.

Luego, es:

a) 1/16 b) 5/72 c) 1/14d) 1/32 e) 3/32

xz

A

F E

D

CG

BH

A B

D C

S

Q

RM N

T

18) Se tiene un tringulo ABC,inscrito en una circunferencia.La tangente en A, a l acircunferencia, corta en Pa la prolongacin de CB. Si3(AC)(CP)=(AB)(AP) y el reade la regin triangular APC esk unidades cuadradas. Halla elrea de la regin triangular APB.

a) u2 b) u2 c) u2

d) u2 e) k u2

k3

2k5

k7

k5

34

20) El rea de la regin del tringulo

ABC es S. Si AM=MB yAE=EF=FC, halla el rea dela regin sombreada.

a) b) S c)

d) e)

S20

320

S10

S8

7S20

B

FE C

M

A

17) La figura ABCD es un cuadradode lado a. El vrtice A se unecon los puntos medios de loslados BC y CD; luego se trazael segmento que une los puntosmedios de AB y AD. Halla el reade la regin triangular ARQ.

a) a2/9 b) 3a2/8 c) a2/24d) a2/6 e) a2/12

19) Dos circunferencias se encuentran

separadas y la distancia entre suscentros, A y B, es 8cm, siendosus dimetros de 4 y 10 cm,respectivamente. De A, se trazauna secante que corta en R y Sa la otra circunferencia, dondeRS=6cm. Si P es la proyeccinde R sobre AB, calcula el reade la regin triangular RPB.

a) (18+4 3)cm2

b) cm2

c) cm2

d) cm2

e) cm2

12+7 38

24+7 38

20+5 34

28+4 34

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41/44



210

29) Si ABCD es un romboide, hallala relacin de las reas S1,S2,S3y S4si MP//AB.

a) S1+S2=S3+S4

b) S1+S

4=S

2+S

3

c) S1+S3=S2+S4

d) S1.S2=S3.S4

e) S1.S3=S2.S4

21) Dado un cuadrado ABCD, sobrelos lados BC y CD se toman los

puntos M y N respectivemante tal

que: m MAN=45; y adems BD

interseca a AM y AN en los puntos

P y Q, respectivamente. Si {PN}

{MQ}=F y la prolongacin

de AF corta a MN en k tal que

AF=10 y FK=2, halla el rea de

la regin triangular MCN.

a) 12 b) 24 c) 20d) 40 e) 42

22) Del grfico: m TPQ=60,

m T M = m A M y A N = N Q .Calcula el rea de la reginsombreada en funcin de R.

a) 3 R2 b) 3 R2 c) 5 R2

d) 5 R2 e) R2

7

818 7

573

RP

T

Q

OB

M

A

N

23) En un tringulo ABC, se trazanBP y BQ perpendiculares a lasbisectrices exteriores de losngulos A y C, respectivamente.Luego se traza IM perpendiculara AC (I: incentro del tringuloABC). Calcula el rea de la

regin triangular ABC si el reade la regin PIQM es 64 u2.

a) 64 u2 b) 32 u2 c) 16 u2

d) 128 u2 e) 24 u2

24) Grafica el cuadriltero ABCD yubica M y N puntos medios deBD y AC, respectivamente. EnMN, ubica el punto P. Si las reasde las regiones triangulares DAP,APB, CPD y CPB son S

1,S

2,S

3

y S4, respectivamente, halla la

relacin que cumplen S1,S

2,S

3y S

4.

a) S1.S3=S2.S4

corel

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