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COORDINACION ACADEMICA

UNIDAD QUERETARO

Problemas representativos para el examen de ingreso a doctorado

Termodinámica

Equilibrio térmico, ecuaciones de estado y trabajo 1.- Los sistemas 1 y 2 son sales paramagnéticas con coordenadas B,M y B´M´, respectivamente. El sistema 3 es un gas con coordenadas P, V. Cuando 1 y 3 están en equilibrio térmico se cumple la relación: Cuando 2 y 3 están en equilibrio se tiene Donde n, R, CC, C´C y T son constantes. a) Encuentre las tres funciones que son iguales entre sí de acuerdo al principio cero de la termodinámica b) Hacer cada una de estas funciones igual a la temperatura del gas ideal y ver si algunas de estas ecuaciones son ecuaciones de estado. 2.- Deducir las siguientes igualdades termodinámicas: 3.- La presión sobre 0.1 Kg de metal es incrementada cuasi-estáticamente e isotérmi-camente desde 0 a 108 Pa. Suponiendo que la densidad y el coeficiente de compresibilidad permanecen constantes con los valores 104 Kg/m3 y 6.75 x10-12 Pa-1, respectivamente, calcular el trabajo en Julios. 4.- Un mol de gas ideal en un estado A, ocupa un volumen de 10 litros a la presión de 4 atm. Posteriormente se expande hasta un estado B que tiene la misma temperatura inicial ocupando un volumen de 20 litros. Calcúlese el trabajo realizado por el sistema para los siguientes procesos, describiendo detalladamente cada uno de ellos. a) Procesos Isobárico+ isocórico b) Proceso libre que sigue un comportamiento lineal

VPT TP

TV

VP

∂∂

−=

∂∂

∂∂

κβ

=

∂∂

VTP

dPdVV

dVβκ

β+=

1

04 =−MPVBRCCπ

0´´4´ ´ =−+ PVMBnRCnRTM Cπ


UNIDAD QUERETARO

c) proceso isotérmico d) proceso isocórico + isobárico

5.- La ecuación de estado de una sustancia elástica ideal es

donde K es una constante y LO (el valor de L a F=0) es solo función de la temperatura. Calcular el trabajo necesario para comprimir la sustancia desde L=L0 hasta L=L0/2 cuasiestáticamente e isotérmicamente.

6.- Considerando que la energía interna de un sistema hidrostático es función de T y P, deducir las ecuaciones:

7.- Para un gas real a presiones moderadas P(�-b)=RT, donde R y b son constantes es una ecuación de estado aproximada que tiene en cuenta el tamaño finito de las moléculas. Demostrar que:

8.- Calcúlese una expresión para el trabajo realizado por una mol de un gas que obedece la ecuación de estado de Beattie-Bridgmann cuando el gas se expande de Vi a Vf cuasiestática e isotérmicamente.

−= 2

2

0 LL

LLkTF O

dPPVP

PUdT

TVP

TUQd

TTPP

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=

βPVCTU

PP

−=

∂∂

βκκ )( VP

T

CCPVPU −−=

∂∂

RTbPT

+=1

1β

RTbPP

+=1

1κ

22 )()1(VABV

VRTP −+

−=

ε

3;1;1VTc

VbBoB

VaAoA =

−=

−= ε


UNIDAD QUERETARO

Ao, a, B, b y C son constantes.

9.-Muéstrese que para un gas que satisface la ecuación de estado de Van der Waals (eq.1) el trabajo realizado por éste en un proceso cuasi-estático e isotérmico está dado por:

10.- Un gas ideal se encuentra en un estado de equilibrio a la temperatura T1 y presión P1. El gas se expande reversiblemente hasta ocupar un volumen igual al doble de su volumen inicial. Durante esa expansión, T varía de tal manera que para cada estado intermedio, P=kV2 donde k es una constante.

a) Dibújese el proceso en un diagrama P-V

b) Calcúlese el trabajo realizado por el gas en términos de R y T1.

11.- La capacidad calorífica molar a presión constante de un gas varía con la temperatura según la ecuación

siendo a, b, y c constantes.

¿Qué cantidad de calor se transfiere durante un proceso isobárico en el cual n moles de gas experimentan una elevación de temperatura de Ti a Tf.

( ) RTbvvaP =−

+ 2

−+

−−

=ifi

f

VVan

nbVnbV

nRTW 112

2TcbTaCP −+=


UNIDAD QUERETARO

Calor y primer principio de la termodinámica, Gases ideales y segundo principio de la termodinámica

12.- Deducir las siguientes igualdades termodinámicas: 13.- Calcular el valor de ∆H° para la siguiente reacción: 14.-La Figura siguiente representa un diagrama PV simplificado del ciclo de Joule para un gas ideal. Todos los procesos son cuasi-estáticos y Cp es constante. Demostrar que el rendimiento térmico de un motor que realiza este ciclo es

)(2)(2)(3)(2 22 gSOsPbOgOsPbS +→+

kJgSOH

kJsPbOH

kJsPbSH

0.298)(

;5.220)(

;5.94)(

2298

298

298

−=

−=

−=

°

°

°

dPPVP

PUdT

TVP

TUQd

TTPP

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=

βPVCTU

PP

−=

∂∂

βκκ )( VP

T

CCPVPU −−=

∂∂

PVCC

VU VP

T

−−

=

∂∂

β

γγ

η

1

2

11

−

−=PP


UNIDAD QUERETARO

15.- Considérese el siguiente diagrama PV en el cual se muestra el ciclo reversible de una máquina térmica que trabaja con un gas ideal monoatómico. Los procesos son: AB =adiabático, CD= isotérmico. La temperatura en el punto A es TA=293K. Calcular: a) el valor de las variables termodinámicas desconocidas en cada vértice. b) en cada etapa del ciclo el trabajo, el calor y la variación en energía interna. c) el rendimiento térmico del ciclo.

Considere que Cv=3/2R; Cp=5/2R; y �=5/3,

16.- Un mol de un gas ideal se expande de T, P1, V1 a T, P2, V2 en dos etapas:

Presión de oposición Variación de volumen

Primera etapa P´ (constante) V1 a V´

Segunda etapa P´ (constante) V´ a V2

Se especifica que el punto P´, V, está sobre la isoterma a la temperatura T.

a) Formular la expresión para el trabajo producido en esta expansión en términos de T, P1, P2 y P´.

b) ¿Para qué valor de P´ tiene el trabajo un valor máximo en esta expansión en dos etapas?


UNIDAD QUERETARO

¿Cuál es el valor máximo del trabajo producido?

17.- Tres moles de un gas ideal se expanden isotérmicamente contra una presión constante de oposición de 1 atm, desde 20 hasta 60 litros. Calcular W, Q, ∆E y ∆H.

18.- Un mol de un gas ideal está encerrado a una presión constante, Pop = p-2 atm. La temperatura varía desde 100 oC hasta 25 oC.

a) ¿Cuál es el valor de W?

b) Si Cv = 3 cal grad-1mol-1, calcular Q, ∆E y ∆H.

19.- Un mol de un gas ideal se comprime adiabáticamente en una sola etapa con una presión constante de oposición igual a 10 atm. Inicialmente el gas está a 27 oC y 1 atm de presión; la presión final es de 10 atm. Calcular la temperatura final del gas, W, Q, ∆E y ∆H. Resolver el problema para dos casos: Caso I: Gas monoatómico, Cv = 3/2R. Caso II: Gas diatómico, Cv = 3/2 R. ¿Cómo se afectarían los resultados si se utilizaran n moles en vez de un mol?

20.- Para cierto gas ideal Cv = 6.76 cal mol-1 grado-1. Si diez moles del mismo se calientan desde 0 a 100 oC, ¿Cuál será ∆E y ∆H en el proceso?

21.- Suponiendo que el CO2 es un gas ideal, calcular el trabajo hecho por 10 g del mismo en la expansión isotérmica y reversible desde un volumne de 5 a otro de 10 litros, a 27 oC. ¿Cuáles son los valores de Q,, ∆E y ∆H en este proceso? Resp. W = Q = 93.9 calorías, ∆E = ∆H =0.

22.- Supongamos que un gas obedece a bajas presiones la ecuación:

Donde A y B son constantes independientes de la presión y temperatura, y Vm es el volumen molar. Hallar la expresión para el cambio de entalpía que acompaña a la expansión de n moles desde una presión P2 a otra P1 a la temperatura T.


UNIDAD QUERETARO

22.- Suponiendo que para el CH4(g) Cp-Cv = R, hallar el cambio de entropía que resulta al calentar dos moles de gas desde 300 a 600 oK a volumen constante.

23.- ¿Cuál es la diferencia de entropía entre un mol de N2 en condiciones tipo y un mol de N2 a 200 oC cuando el volumen molar es de 50 litros? Suponer que Cp es 7/2 R y que el N2 se comporta idealmente.

24.- Un mol de un gas monoatómico se lleva a través del ciclo mostrado en la Figura anexa, que consiste de las etapas A,B y C e involucrando los estados 1, 2 y 3. Llenar las Tablas mostradas abajo. Asumir procesos reversibles. Estado P,atm V, litros T, oK 1 _____ _____ _____ 2 _____ _____ _____ 3 _____ _____ _____ Etapa Nombre del proceso Q, cal W,cal ∆E,cal A ________________ _____ _____ _____ B ________________ _____ _____ _____ C ________________ _____ _____ _____


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Entropía, Energías libres de Gibbs y Helmholtz, Relaciones de Maxwell

25.-Demuestre que para cualquier gas que obedece la ecuación de estado de Van der Waals Se cumple la siguiente relación: (2P)

26.- a) Demuestre que la tercera ecuación de la termodinámica TdS tiene la forma siguiente: b) Demuestre y discuta la siguiente ecuación que relaciona las capacidades caloríficas. c) Obtenga la siguiente expresión de la Energía:

27.- Una masa de 1 kg de agua a una temperatura de 25°C se mezcla adiabáticamente e isobáricamente con una masa de 3 kg de agua a 75°C. Calcúlese el cambio de entropía del agua y del universo. Tómese cP=1 cal/gK para el agua.

28.- Una máquina térmica ideal opera según el ciclo de Carnot entre 127°C y 27°C.

a) Calcúlese la máxima eficiencia que puede alcanzar.

B) ¿Cuánto calor debe tomar a 127°C?

C) ¿Qué trabajo produce, si su eficiencia sólo alcanza el 15%?

Supóngase QC=100cal.

RTbvvaP =−

+ )(2

2va

TU

T

=

∂∂

dVVCdPCTdS PV

ββκ

+=

TPVP V

PTVTCC

∂∂

∂∂

−=−2

PP

P TVPC

TU

∂∂

−=

∂∂


UNIDAD QUERETARO

29.- Sea U función de P y V, deducir:

a)

b)

c)

SOLUCIÓN

a) Sea U=U (P,V)

dU = -------------(1)

1ra. Ley :

dQ=dU-dW con dW=-pdv

dQ=d ------- (2)

Sust. (1) en (2)

dQ=

dQ=

dQ=

b) De la última relación tomando la derivada respecto a la temperatura a volumen constante se obtiene:


UNIDAD QUERETARO

=

Es decir Cv =

Ya que de la relación cíclica

=

c) Derivado la relación obtenida en (a) respecto a la temperatura a presión constante:

Es decir

Cp =

Pero =

De las dos últimas relaciones:

= – P

30.- Una máquina térmica ideal que funciona según el ciclo de Carnot recibe de una fuente caliente 700 cal. Se ha determinado que la temperatura de la fuente caliente es 450K y de la fuente fría es 200K. Hállese el trabajo que realiza la máquina térmica y la cantidad de calor que se cede a la fuente fría.


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Solución:

Eficiencia del Ciclo de Carnot:

En general

También =1+ = (η-1)

(el signo indica que el sistema perdió esa cantidad de calor)

31.- Suponga que un gas perfecto experimenta el ciclo idealizado de un motor Stirling representado en la siguiente figura. Demuestre que la eficiencia es

=1-

3

p 4

2

1

Solución:

Ciclo Idealizado intercambio de calor en procesos 2 y 4 se compensa y no se considera en el análisis. Si ν es el número de moles:

= 1 +


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= =

Pero = y =

= = -

De donde

De donde = 1 -

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