COORDENADAS POLARES

Prof. Valentín González

American Military Academy

Objetivos:

• Definir coordenadas polares e identificar sus elementos.

• Representar puntos en coordenadas polares.

• Convertir coordenadas y ecuaciones rectangulares a polares y viceveresa.

• Representar gráficamente ecuaciones en coordenadas polares.

Coordenadas Rectangulares o Cartesianas

En el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, un punto del plano se localiza por medio de una única pareja de números reales (a,b), que son los valores de las distancias dirigidas desde los ejes x e y hasta el punto. Estos ejes son dos rectas numéricas perpendiculares y el punto enque se cortan es el origen de coordenadas.

René Descartes Matemático francés

(a,b)

a

b

x

y

Coordenadas Polares

el par ordenado (r,θ), donde r es la distancia del punto al polo y θ es la medida del ángulo desde el eje polar al segmento OP. Cuando el ángulo se mide a favor de las manecillas del reloj es negativo, y en contra positivo. Si la distancia del polo al punto se mide en el sentido del ángulo, es positiva, si no es negativa.

Este sistema consiste en un punto O llamado polo y en un rayo llamado eje polar que tiene a O como extremo. Las coordenadas de un punto P se representan por

REPRESENTACIÓN DE COORDENADAS POLARES

negativo en sentido horario. Después se determina la distancia r al polo, para ello se utilizan los radios de las circunferencias.

Se comienza determinando el ángulo de inclinación θ recordando que si es positivo se mide en sentido anti-horario y si es

Ejemplos:

En todos los ejemplos anteriores se ha representado el mismo punto. Observe que algunos pares tienen distancias negativas. Después de localizado el ángulo, las distancias positivas se miden en el rayo que parte del polo en la dirección del ángulo, las distancias negativas se miden en la prolongación del rayo en sentido contrario. Observe que a diferencia de las coordenadas rectangulares, un mismo punto puede tener infinitas coordenadas polares.

(3,π/4) (3,9π/4) (3,-7π/4) (-3,5π/4) (-3,-3π/4)

Fórmulas de conversión

Sen θ = y/r por lo tanto y = r sen θ

Cos θ = x/r por lo tanto x = r cos θ

Tan θ = y/x por lo tanto θ = tan-1(y/x)

r2 = x2 + y2

COORDENADAS RECTANGULARES A POLARESPasos:1- Representar el par ordenado.2- Determinar el cuadrante al que pertenece el ángulo, si alguno.3- Determinar “r” por r2=x2+y2

4- Determinar “θ” por θ=tan-1(y/x) y por el cuadrante. Es costumbre dar r>0 y θ en [0,2π) o [0o,360º)

Ejemplos:

2 2

1 1

II Cuadrante x = -2, y = 2

r =

= tan ( / ) = tan ( 1)

--------

P = (-2,2

---------------------------------------------

P

r = 2 2

3 /4

P(2 2,

)

Respuesta:

(0,

3 /4 )

-2)

x y

y x

r = 2

Cuadrantal x = 0 y = -2

Respuesta

= 3 /2

P(2, /2: 3 )

COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES

Pasos:1- Representar el par ordenado.2- Determinar el cuadrante al que pertenece el punto.3- Determinar “x” por x = r cos θ4- Determinar “y” por y = r sen θ

Comprobar que la respuesta esté en el mismo cuadrante que el par dado.

Ejemplos: II Cuadrante r = 4 = 5 /6

x = rcos x = 4 cos (5 /6)

4 (5

P

x = -2 3

y = 1

(-2

/6)

(4,5 / 6

Respuesta: ) 3, 1

)

y rsen y sen

-----------------------------------------------------

Cuadrantal r = -3 = -

x = rcos x = -3 cos (- )

-

Respuest

3

x

P(

= 3

(-

a:

) y = 0

(3

0)

3 )

,

,

y rsen y sen

ECUACIONES RECTANGULARES A POLARES

x + 3y = 5

x + 3y = 5

sustituyendo x = r cos θ y = r sen θ

r cos θ + 3 r sen θ = 5

sacando r factor común

r (cos θ + 3 sen θ) = 5

despejando r

r = 5 / (cos θ + 3 sen θ)

Otro ejemploy = x2 + 3x (Parábola)

y = x2 + 3x

sustituyendo x = r cos θ, y = r sen θ

r sen θ = r2 cos2 θ + 3 r cos θ

como r ≠ 0, podemos dividir entre r

r cos2 θ = sen θ - 3 cos θ

dividiendo entre cos2 θ

r = (sen θ - 3 cos θ) / cos2 θ

r = sec θ ( tan θ – 3 )

ECUACIONES POLARES A RECTANGULARES

r = 6 sen θcomo r ≠ 0, multiplicamos por rr2 = 6 r sen θsustituimos r2 = x2 + y2, r sen θ = yx2 + y2 = 6 ysi completamos cuadradosx2 + (y – 3)2= 9 Círculo con C(0,3) r=3

Otro ejemplo:

θ = 225o θ = 225o

Empleamos θ = tan-1(y/x) tan-1(y/x) = 225o

y/x = tan 225o

y/x = 1y = x Línea recta, función identidad

GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Utilizando la calculadora1- En MODE cambie Func por Pol2- Entre la fórmula de la función utilizando la tecla y=3- Pida la gráfica con GRAPHSi tiene que modificar las escalas utilice WINDOW. Pudiera tener que verificar si trabaja con grados o radianes.

Gráficas en el papel de Coordenadas Polares

1- Haga una tabla de valores con los ángulos de 10o en 10o desde 0o a 360º.

2- Utilice la calculadora para hallar el valor de “r” para cada ángulo.3- Represente todos los puntos y únalos.