controlo 3º ano – 1º semestre 2011-2012
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CONTROLO 3º ano – 1º semestre 2011-2012. Transparências de apoio às aulas teóricas Capítulo– Projecto Nyquist/Bode. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal. Todos os direitos reservados - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
1/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
CONTROLO3º ano – 1º semestre 2011-2012
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo– Projecto Nyquist/Bode
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
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. Isa
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2/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresProjecto no domínio da frequência
EXEMPLO
0K 2
1
s
+
_
ControladorSistema a controlar
C(s) G(s)Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2
K=1
frequência de cruzamento
s/rad.c 01
º)j(Garg c 180
margem de fase
ºM 0sistema marginalmente estável
M
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al
3/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO
0K 2
1
s
+
_
ControladorSistema a controlar
C(s) G(s)Critério de Nyquist
Contorno de Nyquist
xxpólo
duplo
A
-1
A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico -1
º*)j(C*)j(Garg*)j(C*)j(G:* 180 1
01 *)j(C*)j(G
*j é um pólo em malha fechadasistema marginalmente estável
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4/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO
0K 2
1
s
+
_
ControladorSistema a controlar
C(s) G(s)Root-Locus
xpólo
duplo
sistema marginalmente estável
x
2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário
Estratégia de Controlo
z
zsK)s(C
xxo
efeito estabilizador
Introdução de amortecimento artificial
devido ao termo derivativo
(PD)
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5/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO
z
zsK
2
1
s
+
_
ControladorSistema a controlar
C(s) G(s)K=1, z=0.1rad/s
exemplo
ºM 90
-1
sistema em c.f. estável
MGPode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade
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6/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresAnálise do compensador PD
z
zsK)s(C
)s/rad(
arg C(s)
45º
90º
benefício de avanço de fase
z
compensador por avanço de fase
-1
sistema original
sistema compensado
nova margem de fase
Diagrama de Nyquist
O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1
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7/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
Compensador PD
z
zsK)s(C
Compensador de avanço de fase
ps
zs
z
pK)s(C
sistema realizável (com um pólo e um zero)
ps
zs
z
pK
2
1
s
+
_
ControladorSistema a controlar
C(s) G(s)avanço de fase
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8/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
Ts
Ts
K)s(C
1
1
1
1
Ganho estático = K
zero = - 1/T
pólo = -
xT
1
T1
T
1
T1
dB
K
o90
max
max
)j(Clim
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9/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
?max ? max
Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE
1
1
1
1
Tj
TjK
Ts
TsK)j(C
js
)T(arctg)T(arctg)()j(Carg c
22 11 T
T
T
T
d
)(d c
Cálculo de
0d
)(d c
0
11 22 T
T
T
T
max
22 1
T
T
1 maxEm escala logarítmica, equidistante das
frequências de corte do zero e do pólo
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10/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
?max
)T(arctg)T(arctg)( maxmaxmaxcmax
T
1 max
)(arctgarctg
1
2
1arctgmax
1
1arcsinmax
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11/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
)( maxc Máximo AVANÇO DE FASE
1
90º
Tz
1T
p
1
1
x 0 zp
º)( maxc 90
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12/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
T
1
T1
T
1T1
dB
K
o90
max
max
T
1 max
1
1arcsinmax
?)j(CKmax 1 Porque é importante
conhecer ?
• O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário.
• Ao somar fase em wmax, também se aumenta o ganho. De quanto?
• É o preço a pagar pelo avanço de fase
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13/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase
T
1
T1
T
1T1
dB
K
o90
max
max
T
1 max
1
1arcsinmax
1
1
Tj
TjK)j(C
1
11
j
j
K)j(C max
max
1
K)j(C max
?)j(CKmax 1
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14/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador
2. Erro de seguimento a rampa unitária
3. Margem de fase
4. Margem de ganho
0250.)(eramp o
M 48dBGM 6
Objectivos a atingir
EXEMPLO 1Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
)s(K100
100
s 36
1
s s
1+
_
motor com cargaamplificadorcontrolador
velocidade
posição angular
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15/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K)s)(s(s 10036
100
+
_
G(s)a projectar
)s(K~
K)s(K
ganho estático unitário
10 )(K~
2. Erro de seguimento a rampa unitária 0250.)(eramp
40
1
1
0s
)s(K)s(sGlim)(eramp
40 0s
)s(K)s(sGlim
4036
10036
100
0s
K
)s)(s(
Klim
1440K
escolha-se
1440K
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16/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K~
)s)(s(s
x
10036
1440 100
+
_
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
ºM 34
dB.GM 610s/rad.959
s/rad.dB 5290
Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico
Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida
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17/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K~
)s)(s(s
x
10036
1440 100
+
_
a projectar )s(GK
Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist
xxx-100 -36
P=0
Contorno de Nyquist
1)s(K~
-134º
módulo=1
N=0
Z=P+N=0
com
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18/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K~
)s)(s(s
x
10036
1440 100
+
_
a projectar )s(GK
3. Margem de fase oM 48
ºM 34Para 1)s(K~
Aumento nominal de 48º - 34º = 14º
No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL
0 db
-180º
sistema original
sistema original
Compensador de avanço
nova frequência de cruzamento
Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso
+ aumento de fase
Não basta um aumento de 14º
34º
figura não à escala. Apenas ilustrativa
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19/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K~
)s)(s(s
x
10036
1440 100
+
_
a projectar )s(GK
3. Margem de fase oM 48
ºM 34Para 1)s(K~
Aumento nominal de 48º - 34º = 14º
Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º
max
ºmax 24
avanço
Determinação das características do compensador de avanço de fase
1
1arcsinmax
420.
O parâmetro define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador
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20/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
ºmax 24
?max
5411
.
dB.
dB
7731
preço a pagar pelo avanço de fase
onde se coloca ?max
T
1
T1
max
wmax é a frequência a que o avanço de fase é maior
T
1 max
• Conhecendo
• Escolhendo wmax
• Calcula-se T
Ganho estático do compensador unitário
Todo o ganho necessário já foi considerado
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21/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
onde se coloca ?max
max Frequência à qual o ganho de malha
dB.)s(GKjs
773
s/radmax 39
420
391
.
s/radT
max
s/rad.T
s/rad.T max
2601
325 1
max
EXEMPLO 1
+3.77dB
-3.77dBf.t.c.a sistema original
f.t.c.a sistema compensado
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22/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K)s)(s(s
x
10036
1440 100
+
_
a projectar )s(G
Ts
Ts
K)s(K~
K)s(K
1
11
260
3253821440
.s
.s.)s(K
2.60
3.252.3427)(
s
ssK
f.t.c.a. do sistema compensado
f.t.c.a. do sistema original*1440
f.t. do compensador com ganho estático unitáro
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23/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K)s)(s(s
x
10036
1440 100
+
_
ºoM 4846
dBdB.GM 6511
Se não for satisfatório, refaça os cálculos
f.t.c.a. do sistema compensado
f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador
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24/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 1
)s(K)s)(s(s
x
10036
1440 100
+
_
oM 46
ºM 34
nova margem de fase
Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico
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25/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
Compensador de avanço - Sumário
• Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa
• Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência
• O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo
• O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador
M
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al
26/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase
Ts
Ts
)s(K~
1
1
1
1
Ganho estático = 1
zero = - 1/T
pólo = -
x
T1
T
1
0 dB
1020 log
Diagrama de Bode de )s(K~
)s(K~
K)s(K 1 0 )(K~
O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário
M
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asco
al
27/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador de atraso – Princípio de utilização
• Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada.
• Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador– Até uma década após o zero
• Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB.– Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes
da frequência de cruzamento a 0dB desejada.
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al
28/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase
Ts
Ts
)s(K~
1
1
1
T1
T
1
0 dB
1020 log
Diagrama de Bode de )s(K~
M
. Isa
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asco
al
29/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador
2. Erro de seguimento a rampa unitária
3. Margem de fase
4. Margem de ganho
21621 ./)(eramp º.M 259dBGM 12
Objectivos a atingir
EXEMPLO 2Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)
)s(K100
100
s 36
1
s s
1+
_
motor com cargaamplificadorcontrolador
velocidade
posição angular
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
30/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K)s)(s(s 10036
100
+
_
G(s)a projectar
)s(K~
K)s(K
ganho estático unitário
10 )(K~
2. Erro de seguimento a rampa unitária 21621 ./)(eramp
2162
1
1
0s.)s(K)s(sGlim
)(eramp
2162 0s
.)s(K)s(sGlim
216236
10036
100
0s.
K
)s)(s(
Klim
5839K
escolha-se
5839K
M
. Isa
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ro, A
ntón
io P
asco
al
31/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K~
)s)(s(s
x
10036
8395 100
+
_
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
714 s/rad.
dB)j(GK,ºM 20 59
Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso?
Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida?
M
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asco
al
32/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K~
)s)(s(s
x
10036
8395 100
+
_
a projectar
)s(GK
)s(GK
diagrama de Bode de
s/rad.º.M 789 para 269
º.ºº.desejadaM 26910259
factor de segurança
Porque é necessário o factor de segurança?
24dB 9.78rad/s
)j(GK
O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s
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al
33/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
0 dB
Dimensionamento do compensador de atraso
-90º
-24dB
define o afastemento entre o pólo e o zero
T.T 8415
11
T
1
8415 2420 10 .dBlog
Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho
Onde “colocar” o compensador?
M
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34/Cap.12-ParteA
Projecto de controladores
0º
EXEMPLO 2
Várias hipótess possíveis de “colocação” do compensador
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35/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
0 dB
Estratégia de “colocação” do compensador de atraso
-90º
-24dB
T.T 8415
11
T
1
Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho
Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada
s/rad.T
9801s/rad.
T 0620
1
Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula
Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada
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36/Cap.12-ParteA
Projecto de controladoresEXEMPLO 2
)s(K)s)(s(s 10036
100
+
_
a projectar )s(G
11
( ) ( )1
sTK s K K s K
sT
1 0.98( ) 5839
15.84 0.062
sK s
s
0.98( ) 368.6
0.062
sK s
s
f.t.c.a. do sistema compensado
f.t.c.a. do sistema original*5839
f.t. do compensador
dBG,º MM 22 64
especificações verificadas
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-100
-50
0
50
100
System: sysFrequency (rad/sec): 10Magnitude (dB): -0.175
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
10
-270
-180
-90
0
Pha
se (
deg)
System: sysFrequency (rad/sec): 10Phase (deg): -116
f.t. do compensador
f.t.c.a. do sistema original*5839
f.t.c.a. do sistema compensado