Universidad De Cuenca

Facultad De Ingeniería

Escuela De Electrónica Y Telecomunicaciones

Control Digital

Juan Nacipucha

Marzo 28, 2016

Tarea 1: Función pulso

Obtenga el rango de kc para que el sistema de control digital sea estable

mediante la aplicación del criterio o método de Jury. Muestre el detalle de su

procedimiento y cálculos. (a=0.5; b=0.75; T=0.5) (a=0.5; b=0.75; T = 1)

Primero se necesita calcular el polinomio P(z). En base al ejemplo planteado en

la sección 3 se tiene la siguiente ecuación:

𝑃(𝑧) = 𝑧2 + [𝑎𝐾𝑐𝑇 − 𝑎𝑏𝐾𝑐 − 1 + 𝑎𝑏𝐾𝑐𝑒−𝑇𝑏 − 𝑒−

𝑇𝑏] 𝑧

+ [𝑎𝑏𝐾𝑐 − 𝑎𝐾𝑐𝑇𝑒−𝑇𝑏 − 𝑎𝑏𝐾𝑐𝑒−

𝑇𝑏 + 𝑒−

𝑇𝑏]

Remplazando los valores de 𝑎 = 0.5, 𝑏 = 0.75, 𝑇 = 0.5

𝑃(𝑧) = 𝑧2 + (0.25𝐾𝑐 − 0.375𝐾𝑐 − 1 + 0.1925𝐾𝑐 − 0.5134)𝑧+ (0.375𝐾𝑐 − 0.1283𝐾𝑐 − 0.1925𝐾𝑐 + 0.5134)

𝑃(𝑧) = 𝑧2 + (0.0675𝐾𝑐 − 1.5134)𝑧 + (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134)

𝑭𝒊𝒍𝒂 𝒛𝟎 𝒛𝟏 𝒛𝟐

𝟏 (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134) (0.0675𝐾𝑐 − 1.5134) 1

𝟐 1 (0.0675𝐾𝑐 − 1.5134) (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134)

Aplicando criterios de estabilidad de Jury:

𝟏. |𝒂𝟐| < 𝒂𝟎 → (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134) < 1 → 𝐾𝑐 < 8.9778

𝟐. 𝑷(𝒛 = 𝟏) > 𝟎 → (1)2 + (0.0675𝐾𝑐 − 1.5134)(1) + (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134) > 0

0.1217𝐾𝑐 > 0 𝐾𝑐 > 0

𝟑. 𝑷(𝒛 = −𝟏) > 𝟎 → (−1)2 + (0.0675𝐾𝑐 − 1.5134)(−1) + (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134) > 0

−0.0133𝐾𝑐 + 3.0268 > 0 𝐾𝑐 < 227.5789

Ahora remplazando los valores de 𝑎 = 0.5, 𝑏 = 0.75, 𝑇 = 1

𝑃(𝑧) = 𝑧2 + (0.5𝐾𝑐 − 0.375𝐾𝑐 − 1 + 0.0988𝐾𝑐 − 0.2635)𝑧

+ (0.375𝐾𝑐 − 0.1317𝐾𝑐 − 0.0988𝐾𝑐 + 0.2635)

𝑃(𝑧) = 𝑧2 + (0.2238𝐾𝑐 − 1.2635)𝑧 + (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635)

𝑭𝒊𝒍𝒂 𝒛𝟎 𝒛𝟏 𝒛𝟐

𝟏 (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635) (0.2238𝐾𝑐 − 1.2635) 1

𝟐 1 (0.2238𝐾𝑐 − 1.2635) (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635)

Aplicando criterios de estabilidad de Jury:

𝟏. |𝒂𝟐| < 𝒂𝟎 → (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635) < 1 → 𝐾𝑐 < 5.0723

𝟐. 𝑷(𝒛 = 𝟏) > 𝟎 → (1)2 + (0.2238𝐾𝑐 − 1.2635)(1) + (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635) > 0

0.369𝐾𝑐 > 0 𝐾𝑐 > 0

𝟑. 𝑷(𝒛 = −𝟏) > 𝟎 → (−1)2 + (0.2238𝐾𝑐 − 1.2635)(−1) + (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635) > 0

−0.0786𝐾𝑐 + 0.527 > 0 𝐾𝑐 < 6.7048

Explore la implementación del controlador PI digital en el diagrama Simulink

anexado (lazoPID.mdl) y reporte:

Figura 1. Diagrama Simulink.

Modificaciones y gráficas de las simulaciones que usted considere necesarias

para verificar o ilustrar su resultado del inciso 1.

Utilizar la función de transferencia general:

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)

=𝑎𝐾𝑐 [(𝑇𝑧 − 𝑏(𝑧 − 1))𝑒

𝑇𝑏 − 𝑇 + 𝑏(𝑧 − 1)] 𝑒−

𝑇𝑏

𝑧2 + [𝑎𝐾𝑐𝑇 − 𝑎𝑏𝐾𝑐 − 1 + 𝑎𝑏𝐾𝑐𝑒−𝑇𝑏 − 𝑒−

𝑇𝑏] 𝑧 + [𝑎𝑏𝐾𝑐 − 𝑎𝐾𝑐𝑇𝑒−

𝑇𝑏 − 𝑎𝑏𝐾𝑐𝑒−

𝑇𝑏 + 𝑒−

𝑇𝑏]

Remplazar los siguientes valores 𝒂 = 𝟎. 𝟓, 𝒃 = 𝟎. 𝟕𝟓, 𝑻 = 𝟎. 𝟓

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)=

0.5𝐾𝑐[(0.5𝑧 − 0.75(𝑧 − 1))1.9477 − 0.5 + 0.75(𝑧 − 1)]0.5134

𝑧2 + (0.0675𝐾𝑐 − 1.5134)𝑧 + (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134)

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)=

0.2567𝐾𝑐[0.2630𝑧 + 0.2107]

𝑧2 + (0.0675𝐾𝑐 − 1.5134)𝑧 + (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134)

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)=

0.0675𝐾𝑐𝑧 + 0.0540

𝑧2 + (0.0675𝐾𝑐 − 1.5134)𝑧 + (0.0542𝐾𝑐 + 0.5134)

Para estos valores 𝐾𝑐 tiene un rango entre: 0 < 𝐾𝑐 < 8.9778

Con un valor de 𝐾𝑐 = 1

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)==

0.0675𝑧 + 0.0540

𝑧2 − 1.4459𝑧 + 0.5676

Con el uso de Matlab se obtiene la función de transferencia en el dominio de s

𝐺𝑝(𝑠) =0.002733 s + 0.6451

s2 + 1.133 s + 0.6462

Para la simulación, se utilizó un ts=0.05, Ti=3 y Td=0.

Figura 2. Respuesta del sistema con 𝐾𝑐 = 1 𝑦 𝑇 = 0.5.

Con un valor de 𝐾𝑐 = 5

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)==

0.3375𝑧 + 0.0540

𝑧2 − 1.1759𝑧 + 0.7844

Con el uso de Matlab se obtiene la función de transferencia en el dominio de s

𝐺𝑝(𝑠) =0.3409 s + 1.875

s2 + 0.4857 s + 2.914

Para la simulación, se utilizó un ts=0.05, Ti=2 y Td=0.

Figura 3. Respuesta del sistema con 𝐾𝑐 = 5 𝑦 𝑇 = 0.5.

Ahora al remplazar los siguientes valores 𝒂 = 𝟎. 𝟓, 𝒃 = 𝟎. 𝟕𝟓, 𝑻 = 𝟏

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)=

0.5𝐾𝑐[(1𝑧 − 0.75(𝑧 − 1))3.7936 − 1 + 0.75(𝑧 − 1)]0.2636

𝑧2 + (0.2238𝐾𝑐 − 1.2635)𝑧 + (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635)

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)=

0.1318𝐾𝑐[1.6984𝑧 + 1.0952]

𝑧2 + (0.2238𝐾𝑐 − 1.2635)𝑧 + (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635)

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)=

0.2238𝐾𝑐𝑧 − 0.1443

𝑧2 + (0.2238𝐾𝑐 − 1.2635)𝑧 + (0.1452𝐾𝑐 + 0.2635)

Para estos valores 𝐾𝑐 tiene un rango entre: 0 < 𝐾𝑐 < 5.0723

Con un valor de 𝐾𝑐 = 1

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)==

0.2238𝑧 + 0.1443

𝑧2 − 1.0397𝑧 + 0.4087

Con el uso de Matlab se obtiene la función de transferencia en el dominio de s

𝐺𝑝(𝑠) =0.02026 s + 0.5847

s2 + 0.8948s + 0.5861

Para la simulación, se utilizó un ts=0.05, Ti=3 y Td=0.

Figura 4. Respuesta del sistema con 𝐾𝑐 = 1 𝑦 𝑇 = 1.

Con un valor de 𝐾𝑐 = 4

𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)==

0.8952𝑧 + 0.1443

𝑧2 − 0.3683 + 0.8443

Con el uso de Matlab se obtiene la función de transferencia en el dominio de s

𝐺𝑝(𝑠) =0.5472 s + 1.325

s2 + 0.1692 s + 1.881

Para la simulación, se utilizó un ts=0.05, Ti=2 y Td=0.

Figura 5. Respuesta del sistema con 𝐾𝑐 = 4 𝑦 𝑇 = 1.

Conclusiones.

Con los resultados obtenidos y mediante el análisis de las gráficas, se notó que

el tiempo de muestreo(ts) que se elija afecta al resultado del filtro. El valor de T

afecta al sistema en su tiempo de estabilización, mientras el valor de T sea mayor

el tiempo tarda en estabilizarse. Los parámetros del control PI, al ser variados

permiten manipular la señal de control, específicamente los valores de ti. El

análisis de estabilidad de Jury, permitió obtener un intervalo de 𝐾𝑐 en el cual es

sistema se mantiene estable. Al insertar el valor de 𝐾𝑐 en el controlador PI genera

un desvase entre la gráfica de control y la gráfica del sistema, permitiendo

manipular la señal del sistema mediante la señal de control.