control vectorial de máquinas de inducción jaula de ardilla by roberto cárdenas d

7/29/2019 Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla by Roberto Cárdenas D.

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Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla

1

Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile Dr. Roberto Cárdenas Dobson

Control Vectorial deMáquinas de Inducción Jaula

de Ardilla

Departamento de Ingeniería EléctricaUniversidad de Chile

Roberto Cárdenas DobsonIngeniero Civil Electricista, Msc. Ph.D




2


Este apunte ha sido desarrollado para estudiantes de ingeniería eléctrica

familiarizados con los conceptos básicos de la máquina de inducción jaula de ardilla y

con el circuito equivalente “exacto ” y aproximado de las máquinas de inducción. Si

usted no tiene estos conocimientos, probablemente no debería cursar esta asignatura.

Parte importante del contenido de este apunte ha sido basado en el material

entregado por el Professor Greg Asher, actual vicedecano de la facultad de Ingeniería,

Universidad de Nottingham, a los alumnos de postgrado del área de electrónica de

potencia y accionamientos. Este ex-alumno del PEMC group agradece al Professor

Asher su consentimiento a que parte de su material gráfico sea utilizado.

Otra parte no menor de este apunte ha sido basada en artículos de divulgación

científica, principalmente publicados en revistas de la IEEE y escritos por académicos

de la comunidad internacional de “power electronics and drives”.

El objetivo de este material es apoyar los contenidos entregados en clases. Enningún caso se ha escrito con el objetivo de que este material que por sí solo sea

autosuficiente para entender todos los conceptos requeridos en esta área.

Se recomienda imprimir este apunte utilizando una impresora láser en colores. De

esta forma se entenderán en mejor forma algunas de las figuras y gráficos.




3


INDICE

I. INTRODUCCION 5

1.1. Datos Generales. 6

1.2. Modelo en estado estacionario de la máquina jaula de ardilla. 7

1.3. Necesidad de control vectorial en máquinas de jaula de ardilla. 9

II. ECUACIONES DINAMICAS DE LA MAQUINA JAULA DE ARDILLA 13

2.1. Introducción. 14

2.2. Flujos giratorios. 14

2.3. Transformación -. 16

2.4. Relación entre los flujos de la máquina de inducción jaula de ardilla. 18

2.5. Ecuaciones de la máquina jaula de ardilla en coordenadas -. 20

2.6. Variables en eje rotatorios d-q. 24

2.7. Algunos problemas simples. 29

III. CONTROL VECTORIAL DE LA MAQUINA JAULA DE ARDILLA 333.1. Transformando la dinámica de la máquina de inducción

desde coordenadas - a d-q. 34

3.2. Uso de la transformada de Laplace desplazada en frecuencia para transformar

Ecuaciones diferenciales desde coordenadas - a d-q y viceversa. 37

3.3. Orientación en el flujo de rotor. 39

3.4. Calculo del torque en la máquina jaula de ardilla. 42

3.5. Esquema de control vectorial directo. 443.6. Esquema de control vectorial indirecto. 49

3.7. Problemas. 52

IV. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 56

4.1. Aspectos generales. 57




4


4.2. Uso de términos de desacoplamiento. 57

4.3. Diseño de sistemas de control utilizando altas frecuencias de muestreo. 59

4.4. Influencia de los términos de desacoplamiento en el desempeño del sistema. 64

4.5. Implementación digital. 67

4.6. Implementación del sistema de control con menor frecuencia de muestreo. 71

V. MODELACION Y SIMULACION DE LA MAQUINA JAULA DE ARDILLA EN

COORDENADAS - 73

5.1. Ecuaciones de estado. 74

5.2. Expresiones matemáticas relacionadas con el modelamiento de la máquina de

Inducción jaula de ardilla. 79

5.3. Ejemplo de implementación de un modelo en Matlab y Simulink. 81

5.4. “Partida” de la máquina. 85

5.5. Dinámica de los lazos de corriente de estator. 87

5.6. Pérdida de orientación del sistema de control vectorial. 90

5.7. Apéndice. Rutinas Matlab utilizadas. 95

VI. CONTROL A FLUJO DEBILITADO 986.1. Introducción 99

6.2. Control a flujo debilitado utilizando la ecuación simplificada. 100

6.3. Control a flujo debilitado óptimo. 101

6.4. Consideraciones al operar a flujo debilitado. 105

VII. REFERENCIAS 110




5


Capítulo I

INTRODUCCION




6


I. Introducción

1.1 Datos GeneralesLa máquina de inducción jaula de ardilla es una de las construcciones más ingeniosas

existentes. Esta máquina es robusta, tiene una eficiencia que es considerada razonable y además

requiere poco mantenimiento. Una alta fracción de toda la energía generada a nivel mundial es

consumida por máquinas de inducción jaula de ardilla. Comparada con su símil, la máquina de

inducción de rotor bobinado, la tipo jaula de ardilla tiene la ventaja de no requerir de devanados

ni escobillas en el rotor.

Algunas cifras relacionadas con las aplicaciones de la máquina tipo jaula, se presentan en

la Fig. 1.1 (ver [1]) .

Fig. 1.1 Características principales de la máquina jaula de ardilla.

Los aspectos constructivos de la máquina jaula de ardilla se muestran en Fig. 1.2. El rotor está

compuesto fundamentalmente por fierro laminado, en cuya superficie se encuentran barras de

aluminio cortocircuitadas por anillos. En el estator se encuentran devanados trifásicos los cuales

están desfasados por 120. Sólo el estator se alimenta en una máquina tipo jaula, debido a que no

existen devanados en el rotor.

ALGUNAS CIFRAS DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN TRIFÁSICA• 60% de la energía eléctrica generada a nivel mundial se utiliza en

máquinas rotatorias.

• >90% de esto Máquinas de inducción.

• La máquina de inducción es la pieza de equipamiento eléctrico que masenergía consume a nivel mundial.

Rangosde Potencia• 100-500W ventiladores pequeños.

• 1-50kW ventiladores, bombas, ascensores, correas transportadoras.

• 500kW bombas de agua, minería del carbon.

• 1MW Trenes de alta velocidad.

• 10MW motores de barcos y naves militares.




7


Fig. 1.2 Características constructivas de la máquina jaula de ardilla.

1.2 Modelo en Estado Estacionario de la Máquina Jaula de Ardilla.

Antes del desarrollo de interruptores de alta velocidad, la máquina de inducción se alimentaba

directamente de la red, a frecuencia y voltaje constantes. Por este motivo en la mayor de los

cursos de ingeniería eléctrica se enseñaba (o se enseña) solo el modelo en estado estacionario de

esta máquina. En este caso se entiende por estado estacionario cuando las corrientes y voltajes en

el estator son sinusoidales de frecuencia, magnitud y fase constantes.

El modelo convencional de la máquina tipo jaula es mostrado en la Fig. 1.3. La impedanciaserie del estator y rotor dependen del flujo de dispersión y de la resistencia de los devanados. La

corriente del rotor normalmente se refiere al lado del estator. El deslizamiento “ s” ( no confundir

con el operador de Laplace) se define como:

El estator tiene 3 devanados AA’, BB’, CC’ bobinados con 120 de desfaseespacial.

Los devanados de estator son conectados al red 3. El rotor no tiene devanados.

Estator alimentado por corrientes 3 desfasadas120 en el tiempo para crear un campo magnético rotatorio.

Utiliza una jaula de barras de aluminio. Corrientes se inducen en esta jaula.

C’

C B

B’ A

A’

A A

A’ A’

Fierro

Barras Aluminio

Ani llos del extremo

Rotor

(vista horizontal)

V A




8


Fig. 1.3. Modelo en estado estacionario de la máquina de inducción.

(1.1)

Donde e es la frecuencia del estator y r es la velocidad rotacional. El torque producido por la

máquina tipo jaula es proporcional al deslizamiento (en el rango de operación). Una expresión

aproximada para el torque es:

(1.2)

Donde “ p” es el número de polos. En la Fig. 1.4 se muestra el torque en función deldeslizamiento en la zona lineal con respecto a “s”. En general la curva de deslizamiento en todo

el rango de operación corresponde a lo mostrado en la parte superior de la Fig. 1.4. Sin embargo

en la zona de operación de la máquina en estado estacionario, es decir con un deslizamiento

típico de un 2% a un 5%, el torque es prácticamente lineal con respecto a “s”.

V s , I S Voltaje y corriente efectiva por fase

I R Corriente efectiva de rotor por fase

I m Componente de la corriente de estator que magnetiza la máquina.

I m

RS

V S

I RlS s

R R

l R

L M

I S

L0 Inductancia magnetizante

lr ls Inductancias de dispersión de rotor y estator

Lr Inductancia de rotor, Ls Inductancia de estator,

Rs Resistencia de estator, Rr Resistencia de rotor.

Coeficientes de dispersión de estator y rotor

r or l L L sos l L L

o

r r

L

l

o

ss

L

l

sr sr

)1(1

11

s

)s( R R

s

R R R

R 1

Pérdidas Potencia

Mecánica




9


Fig. 1.4. Curva de torque vs. Deslizamiento “s”, típica de una máquina tipo jaula de ardilla.

1.3 Necesidad de Control Vectorial en Maquinas de Inducción Jaula de Ardilla

A pesar de las ventajas de la maquina jaula de ardilla en términos de costo, eficiencia y

mantenimiento, la operación dinámica del motor de inducción se consideraba inadecuada y por lo

tanto no podía competir con la máquina de corriente continua en operación a velocidad

variable[1].

Más aun, la máquina jaula de ardilla es prácticamente de velocidad constante cuando se le

alimenta directamente de la red. El valor típico de deslizamiento entre 2% a 5% mostrado en la

Fig. 1.4 no es apropiado para considerar a la máquina tipo jaula de jaula como un

motor/generador de velocidad variable.

Alto valor

de Rr

r

T

Bajo valor de Rr

Pendiente=r e

s

R

V P

ω23

2

s = 0s = 1 s = 0.5

Operación a In

(La corriente de estatoraumenta

con el deslizamiento)

r

Tstart

T

s=0s=0.5s=1

In




10


Por lo tanto, durante mucho tiempo la máquina de continua, con todos sus problemas de

mantenimiento, escobillas que deben ser reemplazadas periódicamente, colector frágil y alto

costo, era el candidato natural para las aplicaciones donde regulación precisa de la velocidad en

un amplio rango de operación, sumado a alta dinámica de respuesta, son necesarios. Como se

muestra en la Fig. 1.5, en una máquina CC., solo dos corrientes, de campo y de armadura son

reguladas [2]. Por añadidura la regulación se hace en forma desacoplada, es decir el control de la

corriente de armadura es independiente de la regulación de la corriente de campo y viceversa.

Adicionalmente, el diseño de los sistemas de control es simple y fácil de realizar con

herramientas básicas de control lineal como por ejemplo lugar geométrico de la raíz [3]. Nótese

que siguiendo la convención utilizada en control vectorial, el denominado “vector” de corriente

(una ficción matemática con la que los físicos posiblemente no estarían de acuerdo) se encuentra

perpendicular a la espira(s) en que fluye esta corriente (ver Fig. 1.5b).

Como se muestra en la Fig. 1.5b, el control de torque en una máquina cc es muy simple y

proporcional a la corriente de armadura. En el caso de la máquina de inducción, la planta

entregada por el modelo de la Fig. 1.3 no considera algunos de los efectos dinámicos más

importantes. Más aun, el modelo es válido solo cuando la frecuencia y el voltaje aplicado al

estator cambian muy lentamente. Adicionalmente, en el caso de la máquina tipo jaula, la

magnetización y la corriente de torque son controlados por una sola entrada, en este caso la

tensión de estator. Por lo tanto para poder realizar control desacoplado (flujo y torque) de la

máquina de inducción es necesario controlar la magnitud y fase del voltaje aplicado, lo cual

requiere de modelos matemáticos complejos.

La máquina de inducción o tipo jaula de ardilla, comenzó a utilizarse en aplicaciones de

velocidad variable cuando los primeros inversores o “variadores de frecuencia” comenzaron a

aparecer en forma comercial. Estos estaban basados en dispositivos de conmutación forzada del

tipo BJT, o similares. Con los inversores comerciales era posible regular la velocidad de la

máquina de inducción cambiando la frecuencia y voltaje de las señales aplicadas al estator. Sin

embargo el control utilizado en las primeras aplicaciones, esquemas conocidos como escalares o

V/F, no podían alcanzar la misma dinámica de respuesta que una máquina de corriente continua

con




11


a)

b)

Fig. 1.5 Operación de la máquina de corriente continua a) Acción de las escobillas sobre el colector. b)Ecuación utilizada para el cálculo de torque en la máquina CC.

excitación independiente y con control de corriente de armadura. Esto se debía a que el esquema

de control V/F regula sólo la magnitud del voltaje aplicado al estator, no la fase de este. Por lotanto al no existir control de fase no es posible desacoplar el control del torque y del flujo

cuando el esquema V/F es utilizado.

No fue hasta los años 80s, con la introducción de los primeros microprocesadores que podían

ser utilizados ventajosamente en sistemas de control digital, por ejemplo el INTEL 8080, INTEL

I f

B or I f B

ia

i a

B o vector I f

o vector f

i a

• f = Lf I f por lo tanto el flujo y la

corrientede campo están en la misma

dirección

f af aΨiii k k T

m

f am f am iik iik T sin

• En términosde vectores el torque se define

como :

• El ángulo entre la corriente ia e if se

mantiene en 90 debido a la acción del

conmutador.




12


8085 y el ZILOG Z80, que comenzaron a aparecer los primeros esquemas de control vectorial,

propuestos inicialmente por investigadores alemanes [4][5][6]. Por ejemplo bajo la dirección de

Leonhard de la Universidad de Braunschweig, se desarrolló y publicó uno de los primeros

artículos en que se demostraba una implementación efectiva de un sistema de control vectorial

para una máquina jaula de ardilla [4]. Antes o simultáneamente con Leonhard, Blaschke y otros

desarrollaron la teoría [7][8] , pero sus publicaciones en Alemán no tuvieron la misma amplia

difusión que la lograda en idioma Inglés en [4] . Además de lo anterior, en los 70s la tecnología

de microprocesadores no estaba lo suficientemente avanzada como para posibilitar la

implementación física de estos sistemas de control.

El resto es historia. La aparición de procesadores digitales de bajo costo, de punto flotante,

programables en lenguaje de alto nivel, han masificado las aplicaciones de control digital y ha

simplificado la implementación de sistemas de control complejos para máquinas eléctricas y

sistemas basados en electrónica de potencia. Los dispositivos semiconductores de alta velocidad

de respuesta también han contribuido a la fabricación de inversores comerciales de bajo costo y

que son capaces de alimentar con baja distorsión armónica a las máquinas eléctricas.

Este apunte se divide de la siguiente forma: En la próxima sección se discuten las ecuaciones

dinámicas de la máquina jaula de ardilla. En la sección III se presenta el control vectorial de lamáquina. En la sección IV se analiza el diseño e implementación analógica y digital de los lazos

de control utilizados en control vectorial. En la sección V se presenta el modelo de la máquina

jaula de ardilla en coordenadas d-q y simulación de un sistema de control vectorial indirecto

operando a flujo constante. Finalmente en la sección VI se discuten los sistemas de control a flujo

debilitado.

Este apunte así como las rutinas en MATLAB y SIMULINK utilizadas en la elaboración de

este material docente, se encuentran a disposición de los interesados en:

https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2011/1/EM722/1/material_docente/ o en:

https://sites.google.com/a/usach.cl/rcd/https-sites-google-com-a-usach-cl-rcd.

https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2011/1/EM722/1/material_docente/


https://sites.google.com/a/usach.cl/rcd/https-sites-google-com-a-usach-cl-rcd







13


Capítulo II

ECUACIONES DINÁMICAS DE LA

MÁQUINA JAULA DE ARDILLA




14


II Ecuaciones Dinámicas de la Máquina Jaula de Ardilla.

2.1 IntroducciónComo se señala en el capítulo anterior, el modelo "exacto" de la máquina de inducción

jaula de ardilla (mostrado en la Fig. 1.3), frecuentemente enseñado en los cursos iniciales de

máquinas eléctricas, es solo apropiado para analizar la máquina en estado estacionario. Por lo

tanto no es utilizado para estudiar la respuesta de la máquina en estado transiente, particularmente

en sistemas de control vectorial donde se tiene como objetivo obtener altas velocidades de

respuesta en las corrientes, torque y velocidad de la máquina de inducción jaula de ardilla.

Para este curso se desarrollará un modelo más detallado de la máquina de inducción jaula

de ardilla que considera los efectos dinámicos importantes. Por simplicidad existen dos efectos

que no serán considerados:

Pérdidas en el fierro. La mayor parte de los de modelos ignoran estas pérdidas

aunque existen publicaciones que estudian su influencia en los esquemas de

control vectorial [9][10].

Saturación. Considerar los efectos de saturación magnética no es importante a

menos que se estudie la operación de la máquina en flujo debilitado [2], [11], [12].

Esto se discute en las últimas secciones de este apunte.

2.2 Flujos giratorios.

Al alimentar los devanados de estator con corrientes trifásicas balanceadas, se producen tres

componentes de flujo denominadas

. desfasadas 120 grados (equivalentes a 2 /3

radianes) mecánicos entre ellos. El diagrama de la Fig. 2.1 muestra esta situación.

Utilizando coordenadas polares, el flujo total es:

(2.1)




15


Donde es un vector con componentes reales e imaginarias. Asumiendo operación

balanceada se tiene:

(2.2)

Al utilizar (2.2) en (2.1) se tiene:

(2.3)

Fig. 2.1. Flujos balanceados desfasados 120 grados

Ecuación (2.3) es relativamente simple de solucionar. Con algo de pirotecnia matemática

se obtiene: (2.4)

El ángulo se incluye en (2.4) para mantener generalidad. De esta forma se consideran

los casos en que para t=0, el vector de flujo tiene una componente compleja distinta de cero.

a

b

c

a

b

c




16


En este caso se puede ignorar este ángulo sin cometer ningún error. La información importante

que entrega (2.4) es que la suma de tres vectores desfasados entre si 120 grados espaciales y a su

vez desfasados en 120 grados en el tiempo (ver (2.2)) produce un vector giratorio de módulo

constante, cuyo ángulo con respecto al vector de referencia es proporcional a la frecuencia de

operación.

2.3 Transformación -.

La ecuación 2.4 indica que en coordenadas polares, el vector flujo puede ser

representado por una parte real y otra imaginaria. Convencionalmente el eje real se denomina

como y al eje imaginario se le denomina (existen otras convenciones, particularmente entre

autores alemanes). Por lo tanto el flujo se puede expresar como:

(2.5)

La transformada - es una transformación de tres señales a dos, comúnmente

denominada de a-b-c a - . En algunas publicaciones se denomina al sistema a-b-c como

“coordenadas naturales” [13] . En general la transformación a-b-c / - se puede representar

esquemáticamente como se muestra en la Fig. 2.2a.

Utilizando trigonometría y las Figs. 2.1 y 2.2, el cambio de coordenadas se puede

expresar matemáticamente como:

√ √ (2.6)

La transformación desde - a coordenadas a-b-c se puede escribir como:

√ √ (2.7)




17


a)

b)

Fig. 2.2. Transformación a-b-c / - . a) Esquema general de transformación de 3 a 2 ejes. b) Ejemplo de

aplicación. Nótese que las corrientes - se encuentran desfasadas por 90 eléctricos.

Al analizar la Fig. 2.2b se concluye:

- Las señales - en estado estacionario se encuentran desfasadas por 90 eléctricos.

- La señal se encuentra en fase con la señal de la fase a. Eso se debe a que ⁄ ⁄

a

b

c

a

b

c

(3/2) m

Coordenadas

a-b-c

Coordenadas

-

i = -1.73

i = 1

ic = 3

C

B

ib = 1ia = 3

A

Supongaque en un tiempo dado

ia = 3A, ib = 1A, ic = 3A

Utilizando estosvaloresen (2.6) se

obtieneel vector de corriente i.

Resultante puede escribirse como

i= i +ji donde i = 1; i = -1.73

i i

t= 0 t= t1

ia




18


2.4. Relación entre los Flujos de la Máquina de Inducción Jaula de Ardilla

La máquina de inducción jaula de ardilla tiene ecuaciones similares a las existentes en un

transformador. En general una máquina de inducción se puede considerar como un transformador

giratorio. Los flujos de la máquina, en un equivalente monofásico, se muestran en la Fig. 2.3. Fig.

2.3a muestra la analogía con un transformador. Fig. 2.3b muestra los flujos de entrehierro y

dispersión en las ranuras de rotor y estator que sucede en las ranuras del estator y rotor. Se debe

tomar en cuenta que las ranuras de rotor no existen en una máquina tipo jaula (al menos no en la

forma mostrada en la figura) y Fig, 2.3b es solo una aproximación.

a)

b)

Fig. 2.3 Flujos de la máquina jaula de ardilla. A) Analogía entre un transformador y la máquina jaula deardilla. b) Flujos definidos considerando las ranuras existentes entre el devanado del estator y el“devanado” de rotor.

is

o

ls irlr

Flujo de entrehierro Ranuras de Estator

Ranuras de rotor

ls

lr




19


Existen tres flujos en Fig. 2.3. El flujo de dispersión del rotor, el flujo de dispersión del

estator y el flujo del entrehierro o. La relación vectorial entre los flujos es:

(2.8)

(2.9)

La relación entre el flujo de entrehierro y la inductancia mutua de la máquina se establece como:

(2.10)

Donde Lo es la inductancia mutua existente entre rotor y estator. Los flujos de estator y rotor seestablecen como:

(2.11)

(2.12)

Donde Lls y Llr son las inductancias de dispersión de la máquina. Existen muchos estudiantes que

confunden los términos Ls y Lr con las inductancias de dispersión de la máquina jaula de ardilla.

Recuerde que representan fenómenos distintos [14].

Otra consideración que se debe tomar en cuenta es que en (2.11) la corriente de rotor i r‟ es

la corriente del rotor referida al estator. Eso significa que se debe tomar en cuenta un cambio de

frecuencia (recuerde que en esta máquina la frecuencia del rotor y estator no son idénticas a

menos que la velocidad rotacional sea cero). Además de lo anterior, para referir la corriente de

estator a rotor y viceversa, se debe considerar la relación de vueltas existente entre los devanados.

Por simplicidad en este apunte se considera N s / N r =1. Esta es una simplificación que no

necesariamente se cumple en las máquinas de inducción de rotor bobinado. En las máquinas tipo jaula no existen devanados en el rotor y el término “número de vueltas en el devanado de rotor”,

tiene solo significado matemático, no físico.

En (2.12) se debe considerar la corriente de estator referida al rotor ( ).




20


Fig. 2.4. Relación existente entre el flujo de estator, rotor y entrehierro. a) Caso ideal, no dispersión en lamáquina. b) Operación como motor considerando que existe flujo de dispersión.

La relación existente entre el flujo de estator, el flujo de entrehierro y el flujo de rotor se

muestra en la Fig. 2.4. Nótese que para el caso de operar la máquina como motor la relación entre

las magnitudes es s>o>r [1].

2.5 Ecuaciones de la Maquina Jaula de Ardilla en Coordenadas -

Utilizando la Fig. 2.3 y el análisis anterior se pueden escribir las ecuaciones de estator y

rotor de la máquina. Para el estator:

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Para el caso del rotor:

(2.16)

N

S e

S

R

O

(a)

(a) No existe dispersión: las magnitudes son iguales S = O = R

Todos están en la misma dirección y rotan con la misma fase y

velocidad.

(b) Existe dispersión: Todas rotan a la misma velocidad pero con

magnitud y fase ligeramente distintas. La situación mostrada

corresponde a operación como motor.

e

S

R

O

(b)




21


(2.17)

(2.18)

Multiplicando ambos lados de las ecuaciones (2.13), (2.14) y (2.15) por e j0 , e j2 /3 y e-j2 /3

respectivamente y sumándolas se obtiene:

(2.19)

La ecuación (2.19) es similar a (2.1) y (2.4) utilizada para transformar desde coordenadas a-b-c

a coordenadas -. Por lo tanto (2.19) se puede expresar vectorialmente como:

(2.20)

De idéntica forma, (2.16), (2.17) y (2.18) se pueden escribir como:

(2.21)

Las ecuaciones (2.20) y (2.21) son las cuatro ecuaciones típicas de una maquina de inducción jaula de ardilla. (dos ecuaciones reales o en el eje alfa y dos ecuaciones complejas o en el eje

beta). Una quinta ecuación es la de la puerta mecánica, por ejemplo:

(2.22)

Donde J es el momento de inercia carga + máquina de inducción, B es el coeficiente de fricción

viscosa, r es la velocidad rotacional y TL es el torque de carga. Debido a las diferencias entre

las constantes de tiempo de la puerta eléctrica y de la puerta mecánica, (2.22), la dinámica de lavelocidad rotacional generalmente no es considerada en el análisis de la dinámica "eléctrica" de

la máquina. El asumir una velocidad rotacional constante al estudiar el comportamiento de las

corrientes de la máquina, es considerado razonable y entrega resultados apropiados.




22


Un punto importante para entender la dinámica de máquinas de inducción jaula de ardilla,

es que la ecuaciones (2.20) y (2.21) están en coordenadas - distintas. Para un observador

ubicado en el estator, las coordenadas - de estator son estacionarias, mientras que las

coordenadas - de rotor están rotando a velocidad r. Esto se muestra en la Fig. 2.5.

Fig. 2.5. Sistemas de coordenadas - de rotor y estator

Recuerde además que las señales ir , ir e is , is son sinusoidales. En el estator estas

señales tienen una frecuencia e y en el rotor la frecuencia es SL=e-r (ambas velocidades en

radianes eléctricos).

Las ecuaciones (2.20) y ((2.21) no son apropiadas debido a que utilizan variables que no

son linealmente independientes. Solo dos variables de estado complejas son requeridas en la

máquina de inducción jaula de ardilla para describir la dinámica “eléctrica”. Si se considera la

dinámica en el eje, un sistema de quinto orden (incluyendo (2.22)) es habitualmente suficiente.

En el control vectorial "convencional" de máquinas jaula de ardilla, se utiliza el flujo del

rotor en - y la corriente de estator en - como variables de estado. Todas las otras variables

se pueden expresar en función de éstas. Utilizando (2.11) y (2.12) se tiene:

s

s

irir

r

r r

Coordenadas de

Estator

Coordenadas de

Rotor

r




23


(2.23)

y

(2.24)

Se define el coeficiente de dispersión como:

(2.25)

Este coeficiente es una medida del flujo de dispersión total considerando la máquina en su

conjunto, es decir estator y rotor (ver Fig. 1.3), Utilizando (2.25) en (2.24) se tiene:

(2.26)

Reemplazando (2.26) en (2.20) se puede escribir:

(2.27)

Utilizando (2.27) la ecuación (2.20) se puede expresar como:

(2.28)

De la misma forma la ecuación del rotor se puede escribir como:

(2.29)

(2.30)

Finalmente, las ecuaciones - de la máquina, considerando el flujo de rotor y la corriente de

estator como variables principales, son:




24


(2.31)

(2.32)

Donde r es la constante de tiempo del rotor. r = Lr / Rr .

Fig. 2.6. Ecuaciones complejas en - de la máquina de inducción tipo jaula de ardilla. Lasvariables de estado son el flujo de rotor y la corriente de estator.

2.6 Variables en ejes rotatorios d-q

El objetivo de un sistema de control vectorial, es “transformar” matemáticamente una

máquina jaula de ardilla en una máquina de continua (ver Fig. 1.5). De esta forma se puede

controlar el flujo y el torque en forma desacoplada. El flujo se controla con un equivalente de la

corriente de campo y el torque con un equivalente de la corriente de armadura.

Las ecuaciones en - , (2.31) y (2.32) no son apropiadas para control vectorial, porque

las señales r e is son sinusoidales y de distintas frecuencias. El modelo mostrado en (2.31) y

(2.32) se utiliza generalmente en simulación o en sistemas de control resonante. Control

resonante no está considerado en los tópicos a estudiar en este curso.

Para transformar (2.31) y (2.32) a ecuaciones con señales en corriente continua (en estadoestacionario), es necesario referir las ecuaciones de la máquina a un eje rotatorio girando a la

velocidad sincrónica e. Los vectores de la máquina, en estado estacionario se pueden expresar

como:

dt

d

L

L

dt

id Li RV r

r

sssss

'0

dt

d i L r

r

s

r

r

'00




25


(2.33)

Donde 1 y 2 son ángulos de fase arbitrarios, utilizados para conservar la generalidad de

la expresión (2.33).

Considerando (2.33), se observa que los vectores están rotando a la velocidad sincrónica

en estado estacionario. Por lo tanto desde el punto de vista de un observador localizado sobre el

eje “d ” de la Fig. 2.7, los vectores de corriente y flujo están detenidos, o sea el equivalente a

corriente continua. En general se puede establecer las siguientes reglas [1], [2]:

Desde el punto de vista de un observador localizado sobre el eje - de estator, todos los

vectores de máquina y sus combinaciones lineales están girando a la velocidad

sincrónica e en estado estacionario. Tome en cuenta que las fases entre vectores

dependen del punto de operación de la máquina y no necesariamente son cero.

Desde el punto de vista de un observador localizado sobre el eje - de rotor todos los

vectores de máquina y sus combinaciones lineales están girando a la velocidad de

deslizamiento SL en estado estacionario. Las fases entre vectores dependen del puntode operación.

Finalmente y como se mencionó anteriormente, desde el punto de vista de un observador

localizado sobre el sistema de ejes sincrónicos d-q mostrado en la Fig. 2.7, todos los

vectores de máquina y sus combinaciones lineales están detenidos al considerar la

máquina operando en estado estacionario.




26


Fig. 2.7. Ejes rotatorios sincrónicos.

Los ejes rotarios sincrónicos se denominan habitualmente d -q pero recuerde que en la

literatura técnica, especialmente aquella de origen alemán, se pueden encontrar nomenclaturas

distintas. Fig. 2.7 muestra los ejes d-q y los ejes estacionarios - de estator. Los ejes - de

rotor se han omitido por simplicidad. Para transferir las corrientes de estator a coordenadas d-q se

pueden utilizar ecuaciones trigonométricas. Por ejemplo (ver Fig. 2.7):

(2.34)

En estado estacionario las corriente isd e isq son continuas. Para efectuar la transformación desde

- a d-q y viceversa existen dos enfoques.

El enfoque utilizado por la mayor parte de las universidades de habla inglesa

(mayoritariamente en EEUU), que es el matricial [15]. En este caso:

(2.35)

Utilizando (2.6) se puede transferir directamente de a-b-c / d-q como:

s

s

d

qr

is

e

e

e

e

is

is

e




27


√ √ (2.36)

Un resumen de la transformada a-b-c / - / d-q se muestra en la Fig. 2.8. El significado del

símbolo e-je se discute en las próximas páginas.

Fig. 2.8 Resumen de transformadas a-b-c/ - /d-q.

De la misma forma es posible encontrar expresiones para transferir las variables desde

coordenadas d-q a - .

(2.37)

Utilizando (2.7) en (2.37) se transforma desde d-q/a-b-c como:

√ √ (2.38)

3/2

is

is

isa

isb

isc

isd

isq

is

is

e

e je

)(2

3)( t it i sas

)(2

3)(

2

3)( t it it i scsbs

34

32

0

j

c

j

b j

a eieiei jii i

esessd t it it i sin)(cos)()(

esessd t it it i cos)(sin)()(

Resumen de la Transformación a-b-c /- /d-q

Símbolo abc/

Símbolo /dq




28


Fig. 2.9 Resumen de transformadas d-q / - / a-b-c .

Un resumen de la transformada d-q / - / a-b-c se muestra en la Fig. 2.9.

El segundo enfoque utilizado habitualmente para transformar de - /d-q y viceversa, es el

enfoque alemán o europeo [1], [2]. Este enfoque utiliza propiedades de variables

complejas, en particular el teorema de Euler, para efectuar las transformaciones. Por

ejemplo para transferir las corrientes desde el eje estacionario a d-q se utiliza:

(2.39)

Ecuación (2.39) es idéntica a (2.34). En efecto, aplicando el teorema de Euler se tiene:

(2.40)

Separando las partes reales e imaginaria es relativamente simple demostrar que (2.40) es idéntica

a (2.34). Para transferir de d-q a - , se tiene:

(2.41)

e j

e

is

is

isd

isq

e

2/3

is

is

isa

isb

isc

)(3

2)( t it i ssa

)(3

1)(3

1)( t it it i sssb

)(3

1)(31)( t it it i sssc

esqesd s t it it i sin)(cos)()(

esqesd s t it it i cos)(sin)()(

Resumen de la Transformación d-q /- / a-b-c

Símbolo dq /

Símbolo /abc




29


En este apunte, se utilizará principalmente el enfoque alemán. Fig. 2.10 efectúa un resumen de las

transformaciones entre distintos ejes considerando operación del sistema 3 en secuencia

positiva, es decir rotación de todos los vectores en sentido contrario a los punteros del reloj.

Fig. 2.10. Resumen de transformaciones utilizando el operador e j.

2.7 Algunos Problemas Simples

1) Demostrar que la frecuencia de estator de una máquina jaula de ardilla se puede estimar como:

(2.42)

Solución. Al implementar control vectorial en un procesador DSP (DSP Digital Signal

Processor), no es simple determinar la frecuencia de las señales aplicada en el estator. Una de lasalternativas es tomar cualquier vector, en este caso el flujo de estator, y proceder a calcular el

ángulo eléctrico como:

(2.43)

Transformación de un vector X en coordenadas de estator

a coordenadas d-q y viceversa:

Asumiendo:

Transformación de un vector X en coordenadas de rotor

a coordenadas d-q y viceversa:

Transformación de un vector X en coordenadas de rotor

a coordenadas de estator y viceversa:

dt dt r r ee

ee jdqs

jsdq e X X e X X

r r jsr

jr s e X X e X X

)()( r er e jdqr

jr dq e X X e X X




30


Luego implementar una derivada digital. Por ejemplo calcular e /Ts, donde T s es el

tiempo entre dos muestras consecutivas del ángulo eléctrico. Sin embargo implementar la

derivada de esta forma no es recomendable (aunque a veces se realiza) en una aplicación de

tiempo real. Es muy sencillo demostrar que una derivada de la forma e /Ts amplifica el ruido de

alta frecuencia.

Una alternativa es implementar la derivada en forma distinta. Por ejemplo:

(2.44)

Expandiendo (2.44) se tiene:

(2.45)

(2.46)

Utilizando (2.20) para obtener el flujo de estator se tiene :

∫

∫ (2.47)

Finalmente reemplazando (2.47) en (2.46) se logra obtener la estimación de frecuencia deacuerdo a (2.42).

2) Demostrar que el flujo de rotor, referido a coordenadas - de estator, se puede obtener a

partir de dos modelos. El modelo de voltaje:




31


∫ (2.48)

Y el modelo de corriente:

(2.49)

Solución. Obtener (2.48) es trivial, considerando (2.26) y (2.47) se obtiene (2.48).

Para resolver (2.49) se debe utilizar la ecuación de rotor de la máquina la que se repite a

continuación:

(2.50)

La ecuación (2.50) se encuentra en coordenadas de rotor. Por lo tanto refiriendo esta ecuación

desde rotor a estator se tiene:

(2.51)

Utilizando la propiedad:

(2.51)

se obtiene:

(2.52)

Al utilizar (2.52) en (2.51) se llega a la expresión buscada. Las ecuaciones (2.49) a (2.50) son la

base de uno de los métodos de control sensorless (sin utilizar sensor de velocidad y posición) masexitosos comercialmente [11], [16-19] . El método está basado en un sistema MRAS (Model

Reference Adaptive System), explicado a nivel de detalle por Schauder en [16], donde se asume

que el modelo de voltaje no tiene error en el cálculo del flujo de rotor. (es el “Model Reference”)

Por lo tanto se ajusta la velocidad en la ecuación (2.49) (o r en (2.51)) hasta que el flujo de rotor




32


calculado por el modelo de corriente (que es el “Adaptive System”) y el de voltaje son iguales o

al menos tienen la misma fase. Una típica implementación de un sistema MRAS se muestra en la

Fig. 2.11. La parte superior corresponde al modelo de voltaje y en la parte inferior se encuentra el

modelo de corriente. Un análisis dinámico de pequeña señal de un estimador MRAS utilizado en

un lazo de control de velocidad se presenta en [18][19].

En la Fig. 2.11 el error se calcula a través del producto cruz entre las salidas del los

modelos. Como el producto cruz es proporcional al seno del ángulo entre los vectores, se llega al

valor de cero error en estado estacionario solo cuando ambos flujos están en fase. En el modelo

de voltaje se utiliza un filtro pasa bajo (o pasabanda) como “integrador modificado” para la

implementación de (2.47) . El motivo por el cual se debe utilizar este integrador modificado, se

explica en las siguientes secciones de este apunte.

Fig. 2.11. Estimación de la velocidad y posición del flujo de rotor considerando un estimador MRAS. Elsímbolo “^” se utiliza para indicar estimación de una variable. El flujo obtenido a partir del modelo devoltaje se asume correcto.

Rs

+

-

+

-V

s

is

r J e

r s

L

1

0is

σLs

Lr /L

0

ψr

ψrr J

e

r r r r ˆˆ

PI

∫

Producto

cruz r ˆ

r




33


Capítulo III

CONTROL VECTORIAL DE LAMÁQUINA JAULA DE ARDILLA




34


III. Control Vectorial de la Máquina Jaula de Ardilla

3.1 Transformando la dinámica de la máquina de inducción desde coordenadas - a d-q.

Antes de aplicar control vectorial es necesario transferir la dinámica de la máquina jaula

de ardilla a las coordenadas sincrónicas d-q. Utilizando (2.39) en (2.31) se tiene:

[] (3.1)

Donde e es el ángulo del eje d, con respecto al eje α de estator. Arbitrariamente se define como:

∫ (3.2)

La ecuación (3.1) se puede expresar como:

(3.3)

Como lo indica (3.2), el ángulo e es dependiente del tiempo. Por lo tanto el termino e-je no se

puede incluir en la derivada de la corriente y del flujo. Utilizando las propiedades matemáticasrelacionadas con la derivada de la multiplicación de dos variables se tiene:

(3.4)

De (3.4) se puede obtener:

(3.5)

La ecuación (3.5) se puede utilizar en (3.3), para obtener:

(3.6)




35


Recordando que los vectores son variables complejas, por ejemplo y . La ecuación (3.6) puede descomponerse en dos partes. La parte real corresponde al

eje d y la parte imaginaria al eje q. De esta forma se obtienen dos ecuaciones: (3.7)

(3.8)

Nótese que no es necesario utilizar rd, en (3.7) y (3.8). Esto se debe a que en los ejes d-q ya no

existen señales sinusoidales, es decir no existe diferencia de frecuencia entre rotor y estator desde

el punto de vista de un observador en el eje sincrónico. Además de lo anterior estamos

considerando Ns /Nr=1.

Para convertir la dinámica del rotor, se debe considerar que el eje - del rotor se

encuentra girando con velocidad r . Esto se muestra en la Fig. 3.1

Fig. 3.1. Eje rotatorio sincrónico y eje - del rotor.

El ángulo SL corresponde al slip o deslizamiento y se puede calcular como:

∫ ∫ (3.9)

s

s

d

q

irir

e

r

SL

r r




36


Para referir la dinámica del rotor al eje sincrónico, se aplica el operador e -jSL a (2.30). De esta

forma se obtiene:

* + (3.10)

Utilizando el mismo desarrollo aplicado en el caso del estator, se llega a:

(3.11)

Separando la ecuaciones en su parte real e imaginaria:

(3.12)

(3.13)

Por lo tanto las ecuaciones de la máquina considerando estator y rotor en coordenadas d-q son:

(3.14)

Estas ecuaciones son representativas de la máquina en coordenadas d-q. Hasta ahora no se haaplicado control orientado a la máquina jaula de ardilla.




37


3.2 Uso de la transformada de Laplace desplazada en frecuencia para transformar ecuaciones diferenciales desde coordenadas - a d-q y viceversa.

El método utilizado previamente en (3.4)-(3.6) para transformar las derivadas del flujo del

rotor desde - a d-q y viceversa es poco elegante y difícil de aplicar para transformar

ecuaciones diferenciales de alto orden entre distintos sistemas de coordenadas.

Un método que sorprendentemente es muy poco utilizado en la literatura, es aplicar la

transformada de Laplace desplazada en frecuencia para obtener la ecuación diferencial en otras

coordenadas [20][21]. Matemáticamente esto se puede escribir como:

(3.15)

Donde el símbolo “ representa la transformada de Laplace y “s” es el operador de Laplace.

Por ejemplo a velocidad sincrónica constante, (3.3) se puede escribir como:

(3.16)

Aplicando la transformada de Laplace a (3.16) y considerando la identidad de (3.15) se llega a:

(3.17)

Es relativamente simple demostrar que (3.17) es idéntica a (3.6). La principal ventaja de la

transformada de Laplace desplazada en frecuencia, es que puede ser aplicada a sistemas de

enésimo orden. Además es una excelente herramienta para referir funciones de transferencia (por

ejemplo controladores) entre distintos sistemas de coordenadas.

Como regla general, se debe reemplazar s por (s+je) para referir una función de

transferencia de - a d-q y reemplazar s por (s-je) ) para referir de d-q a -. Por ejemplo, alreferir un controlador PI implementado en coordenadas d-q a coordenadas - se llega a:

* +⇒ * + (3.18)




38


Después de un desarrollo simple se demuestra que (3.18) es igual a:

*

+

⇒ *

+ (3.19)

Al controlador a la derecha de (3.19) se le conoce como controlador resonante [20], [22].

Analizando la respuesta de frecuencia utilizando Fourier (o sea considerando s=j ), se obtiene

que la ganancia del controlador resonante tiende a infinito cuando s= j e. Por otra parte

analizando el controlador PI de la izquierda, se concluye por simple inspección que la ganancia

de este PI tiende a infinito en corriente continua (equivalente a s=j0). En general un PI puede ser

considerado como un caso especial de un controlador resonante, pero que en este caso resuena en

corriente continua.

De acuerdo a lo desarrollado en estos dos últimos capítulos es fácil entender que señales

en corriente continua en d-q son equivalentes a señales de frecuencia e (de secuencia positiva)

en coordenadas de estator y viceversa. Lo que efectivamente realiza la transformada d-q es

desplazar en frecuencia las señales dejando la fundamental en 0Hz. Si la tensión o corriente

tuviera distorsión armónica, estos armónicos también se desplazarían en frecuencia pero ya no

estarían reflejados como componentes de continua en el eje sincrónico d-q.

Fig. 3.2 Diagrama de Bode de un controlador resonante implementado en un procesador DSP .

-50

0

50

100

150

M a g n i t u d e ( d B )

101

102

103

104

105

Frequency (rad/sec)




39


Fig. 3.2 muestra la respuesta de frecuencia de un controlador resonante implementado en

un DSP. A pesar de que en teoría su ganancia es infinito al operar a s=je, en la práctica existen

efectos numéricos y de resolución que limitan esta ganancia.

3.3 Orientación en el Flujo del Rotor.

Las ecuaciones en (3.14) son representativas de la dinámica de la máquina referida a un

eje sincrónico aleatorio. En control vectorial se orienta convenientemente el eje d , para que

coincida con algún vector de la máquina. Convencionalmente para la máquina jaula de ardilla se

utiliza el vector flujo de rotor como referencia del sistema de control vectorial. Por lo tanto este

vector no tiene componente en cuadratura y se llega a:

(3.20)

Utilizando (3.20) en (3.14) se tiene:

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

La figura 3.3 muestra la ecuaciones de estator y rotor asumiendo orientación en el flujo de rotor.

Al inspeccionar la ecuación en el eje en cuadratura del estator, la que es mostrada en la Fig. 3.3a

y (3.22) se concluye que el voltaje en estado estacionario, la tensión en cuadratura esaproximadamente igual a ⁄ . Esto significa que al operar con flujo nominal de

rotor, existe un límite que se puede utilizar para no sobrepasar la tensión de estator

máxima. Si es necesario aumentar la frecuencia o velocidad rotacional es necesario operar con

“flujo debilitado”, lo que implica reducir el flujo para que la frecuencia e pueda seguir




40


aumentando. Por lo tanto en la máquina tipo jaula existen al menos dos zonas de operación,

conocidas como operación a flujo de rotor constante utilizada con e entre 0- , y la

operación a flujo debilitado que es habitualmente utilizada entre

y

, aunque se

puede operar la máquina de inducción jaula de ardilla en un rango mayor de velocidad. A la

velocidad rotacional máxima que es posible alcanzar operando a flujo nominal se le denomina

habitualmente “velocidad base”.

Mas información acerca de control debilitado, se presenta en el capítulo 6.

a)

b)

Fig. 3.3. Ecuaciones utilizadas en control vectorial orientado en el flujo de rotor. a) Ecuaciones

de estator. b) Ecuaciones de rotor.

Las ecuaciones (3.23) y (3.24) son las más importantes desde el punto de vista de control

vectorial. Analizando (3.23) en Laplace se tiene:

(3.25)

rd r

o

sqsesd ssd ssd dt

d

L

L

i Lidt

d

Li Rv Ψσωσ

rd

r

oesd sesqssqssq L

Li Li

dt

d Li Rv Ψωσωσ

Ecuaciones del Estator Considerando Orientación en el Flujo de

Rotor (RFO)

rd sd r

r

ord

r

r

dt

d i R L

L

L

R ΨΨ0

Las Ecuaciones de Rotor Considerando Orientación en el Flujo de

Rotor (RFO)

rd slsqr

r

o i R L

LΨω0




41


En general se utiliza en la literatura el concepto de corriente magnetizante, que es ficticia y

similar a la corriente de campo en una máquina de continua. La corriente im se define como:

(3.26)

este resultado es importante porque indica que en estado estacionario, el flujo de la máquina es

proporcional a la corriente en eje directo, es decir . En la literatura se considera a la

corriente isd como la “corriente de campo” de la máquina jaula de ardilla. Sin embargo esto no es

totalmente correcto como lo muestra (3.26). Es más apropiado indicar que isd es equivalente a

una corriente que “fuerza” el campo o flujo..

Al controlar la máquina, particularmente en flujo debilitado, se debe tener en cuenta que

la constante de tiempo del rotor no es despreciable (del orden de décimas de segundo) y que el

término ⁄ es un filtro pasabajo con una frecuencia de corte relativamente baja. Por lo

tanto un cambio tipo escalón en isd no se refleja rápidamente en el flujo de rotor. Si se utilizan

controladores bien diseñados, las corrientes de estator isd e isq tienen tiempo de respuesta en el

orden de los 10ms (inclusos tiempos cercanos a los 5ms son realizables). En cambio la corriente

magnetizante tiene tiempos de respuesta del orden de 0.3s-0.6s.

La ecuación (3.24) es también importante y entrega el valor de deslizamiento como una

función de la corriente en cuadratura.

(3.27)

En estado estacionario, asumiendo operación a flujo constante se tiene:

(3.28)

A las ecuaciones (3.26) y (3.28) se las denomina habitualmente como las “ecuaciones de control

vectorial”. Estas se resaltan en la Fig. 3.4.




42


Fig. 3.4. Las ecuaciones de “control vectorial” utilizadas en máquinas jaula de ardilla.

3.4 Cálculo del Torque en la Máquina Jaula de Ardilla.

El torque en una máquina se obtiene del producto cruz entre el flujo y la corriente. En

general en máquinas eléctricas se acostumbra a utilizar la expresión equivalente al producto cruz

[1], [2], [15]:

(3.29)

donde k es una constante que depende del número de polos de la máquina y de la transformada α-

β siendo utilizada (existen varias transformadas propuestas en la literatura). Im significacomponente imaginario de la expresión y el término “sr ” en el subíndice de significa “flujo

que enlaza el estator debido al rotor”. El superíndice “*” indica complejo conjugado.

De acuerdo a (3.29), para el cálculo del torque producido por la corriente de estator, se

debe considerar solo el flujo que enlaza al estator producido por la corriente de rotor. Esto se

debe a que el flujo producido por la corriente de estator no puede producir torque consigo misma.

Por lo tanto el término

se calcula como:

(3.30)

Utilizando la definición de de (2.23) en (3.30), se obtiene:

(3.31)

mrd osd r

r

omrd o

r

r idt d Li R

L Li L

L R0 sd mrd mrd

r

r iiidt d

R L

mrd oslsqr

r

o i Li R L

Lω0 sq

mrd r

r sl i

i L

Rω

Las ecuaciones de control vectorial son:




43


Finalmente reemplazando el complejo conjugado de (3.31) en (3.29) y calculando la parte

imaginaria se llega a:

(3.32)

Como lo indica (3.32), al operar a flujo constante, el torque es proporcional a la

componente en cuadratura de la corriente de estator. Utilizando (3.26) y (3.28) se ha logrado un

equivalente de máquina de continua para la máquina de inducción jaula de ardilla. El flujo es

controlado a través de la corriente directa de estator, la cual es similar a la corriente de campo, y

el torque es controlado por la corriente en cuadratura, la cual es equivalente a la corriente de

armadura de una máquina CC. Siendo estrictos conceptualmente, la corriente de

Fig. 3.5 Equivalencia entre la máquina de continua y la máquina jaula de ardilla.

Considerando la ecuación para la corriente

Magnetizante máquina tipo jaula:sd mrd mrd

r

r iiidt

d

R

L

f f f f f idt

d Li RV

f

f

f f

f

f

R

V ii

dt

d

R

L

Comparando términos se tiene: f mrd ii f f sd R / V i

L f

ia

if

V f

R f

En estado estacionario sd mrd ii

i sd es realmente la corriente que fuerza el campo, pero comunmente se le

denomina corriente de campo.

Sin embargo, bajo flujo debilitado, recuerde que isd e im no sonnecesariamente iguales.

Para la Máquina CC:




44


campo sería el equivalente a la corriente magnetizante (im). Sin embargo, en estado estacionario,

operando a una velocidad menor a la nominal, y con un adecuado sistema de control, la corriente

magnetizante es prácticamente constante y equivalente a la corriente directa de estator.

Una analogía entre la máquina de corriente continua y la máquina jaula de ardilla se

muestra en la Fig. 3.5. La corriente de torque isq es equivalente a la corriente de armadura.

Considerando la transformada α- β utilizada en este apunte, la expresión de torque es:

(3.33)

Donde p es el número de polos.

3.5 Esquema de Control Vectorial Directo.

En el desarrollo anterior se asume que el sistema de control se encuentra orientado en el

flujo de rotor. Para realizar la orientación experimentalmente, la posición del flujo de rotor debe

medirse o estimarse. Los dos métodos más utilizados para alinear el sistema de control con el

flujo de rotor, dan origen a los sistemas de control vectorial directo y control vectorial indirecto

[1].

El control vectorial directo estima el flujo de rotor (referido a estator) utilizando (2.26):

(3.34)

La ventaja de este método es que el flujo de estator es simple de obtener como:

∫ (3.35)

Utilizando coordenadas α-β se llega a:

∫

∫ (3.36)




45


Finalmente el ángulo del flujo para ser utilizado en la transformada α- β a d-q, se obtiene como:

(3.37)

Adicionalmente el módulo del flujo de rotor puede obtenerse como:

(3.38)

Por lo tanto, utilizando la ecuación (3.36)-(3.38) es posible orientar el sistema de control en el

flujo de rotor. Un diagrama en que se muestra la implementación del observador de flujo de rotor,

basado en (3.36)-(3.38), se muestra en la Fig. 3.7. El sistema de control vectorial directo

completo se muestra en la Fig. 3.8.

Fig. 3.7. Observador de flujo de rotor utilizado en un sistema de control vectorial directo.

ssssso

r r i Ldt i Rv

L

L

ssssso

r r i Ldt i Rv

L

L q

r

is

r

r

d

Nota: Se pueden efectuar dos diagramas, uno para la componente y el otro para la componente . Por simplicidad se muestran ambas componentes en un solo diagrama de bloques.

r - -

++

is

vs

eo

r

L

L

s L

s R

α

β1

Ψ

Ψ

r

r tan

RΨ

e

e

Calculador

de

Flujo &

ángulo

is

vs imrd o L

1 RΨ




46


Fig. 3.8. Sistema de control vectorial directo.

En la Fig. 3.8 el bloque denominado “calculador de flujo y ángulo de flujo” corresponde

al que se encuentra en la parte inferior de la Fig. 3.7. El sistema de control de velocidad opera

regulando la corriente de torque isq*. Por ejemplo, cuando la velocidad es menor a la referencia,

isq se incrementa. El control de corriente magnetizante o de flujo, mantiene este constantemientras no sea necesario operar a flujo debilitado para alcanzar mayores velocidades

rotacionales. Cuando se sobrepasa la llamada “velocidad base”, entonces se ajusta imrd* (también

llamada por simplicidad im en este apunte) para operar a flujo debilitado. Si es que no es

necesario operar a altas velocidades rotacionales, el flujo de rotor se mantiene en su valor

nominal y por lo tanto isd se regula en un valor constante igual a la corriente magnetizante

nominal im.

El sistema de la figura 3.8, con los controladores diseñado de acuerdo a lo que se presentaen el próximo capítulo, es capaz de operar con una adecuada orientación cuando la tensión de

estator de la máquina sobrepasa el 2%-5% de la tensión nominal. También se considera que los

sistemas de control vectorial directo son una buena alternativa para operar a alta velocidad

rotacional [23][24].

isq

isd

vs *

3/2

is isabce j

e

vsq*

vsd *

e

2/3

v*sabc

PWM IM

vsabc

3/2

vs

Calculadorde flujo yángulo de

flujo

e je

isq*

isd *

PI

PI

PI r *

r

+

-

PI

o L

1

r

-+

imd * imd

r




47


Sin embargo el Control vectorial directo (DRFO, direct rotor flux orientation, por sus

siglas en inglés) no es considerado un sistema de control de alto desempeño. Su principal

problema se encuentra en que para estimar el flujo de rotor se debe integrar el voltaje de estator.

En condiciones ideales este no es un problema, porque la integral de una sinusoidal es factible de

realizar en tiempo real. Sin embargo, en todas la implementaciones existe algo de corriente

continua la cual produce la saturación del integrador. Esto se muestra en la Fig. 3.9.

Fig. 3.9. Efecto de integrar una señal sinusoidal con componentes de continua en el estimador de la Fig.

3.7 .

La solución a este problema es utilizar un integrador modificado. Esto significa

implementar una función de transferencia que a bajas frecuencias opere de distinta forma. Por

ejemplo:

(3.39)

e

r - -

++

is

vs

o

r

L

L

s L

s R

α

β1

Ψ

Ψ

r

r tan

RΨ

s en formaideal

Señal sinComponente

continua

Señal conComponentecontinua

Integral de una señal conComponente

continua




48


Utilizando Fourier con s=j, es demostrable que en altas frecuencias de operación, F(s) es

aproximadamente un integrador ideal. En cambio a baja frecuencias de operación la ganancia

tiende a 1/ ωc atenuando los efectos de las componentes continuas en las señales medidas. Para un

integrador ideal la ganancia en continua tiene a infinito. Una alternativa al uso de filtros

pasabajos son los integradores basados en filtros pasabanda, que permiten eliminar casi

totalmente la componente continua de una señal [14], [25].

El diagrama de Bode (magnitud y fase) de un integrador modificado (1/(s+c)) y un

integrador ideal se muestra en la Fig. 2.10. Nótese que a bajas velocidades, cuando la frecuencia

de estator es pequeña, el sistema de control no está correctamente orientado debido a errores de

fase.

Fig. 3.10. Diagramas de Bode de integrador real e ideal.

Existe otro inconveniente asociado al control vectorial directo. En general la frecuencia dela máquina y el voltaje apropiado son aproximadamente proporcionales. Por lo tanto cuando la

velocidad rotacional se reduce, el voltaje aplicado al estator también se reduce. Si una máquina

de inducción tipo jaula de ardilla opera con 220V a velocidades cercanas a 1500rpm, tendrá entre

bornes un voltaje de aproximadamente 22V a 150rpm y probablemente se debera alimentar con

voltajes menores a 10V con 15rpm. Por lo tanto a baja velocidad la caída de tensión en la

1Hz 10Hz 100Hz

0

-90

-45

• Se debe cambiar el término 1/s por

1/(s+ωc)

• La frecuencia de corte es f c (=c

/2) aproximadamente 1Hz

• Errores de fase introducidos en

frecuencias cercanas o bajo 1Hz.• Flujo incorrectamente estimado a

baja frecuencia de operación.

• Puede funcionar correctamente

sobre 2Hz de frecuencia de estator

Integrador real

Integrador

modificado




51


control de corriente se encuentran bien diseñados, habitualmente se utilizan las corriente de

referencia isd* e isq

* para el cálculo del deslizamiento. Esto reduce el ruido producido en .

El sistema de control vectorial indirecto puede operar a baja velocidad sin los problemasdel control directo. Su mayor problema se produce por calentamiento de la resistencia de rotor.

Cuando esto sucede, el deslizamiento SL es incorrectamente calculado y el sistema de control se

desorienta. Por este motivo muchos métodos de estimación en línea de r han sido publicados en

Fig. 3.12. Control vectorial indirecto sin considerar operación a flujo debilitado. Esta es laimplementación más frecuente.

la literatura. Uno de los más exitosos fue desarrollado por Luis Garcés, Ingeniero Civil

Electricista UTFSM, cuando efectuaba sus estudios de doctorado en Alemania. Este método,

basado en la potencia reactiva consumida por la máquina de inducción jaula de ardilla, se

encuentra publicado en [27]. Otros métodos más modernos, algunos de ellos basados en el trabajo

pionero de Garcés se encuentran en [28][29][30].

Algunos métodos exitosos para estimar la constante de tiempo del rotor, se basan en la

estimación espectral de los armónicos de corriente generados por los cambios de reluctancia

magnética producidos por las barras de la jaula al rotar. Un método basado en la implementación

eisq

isd

isabce je

vsq*

vsd *2/3 PWM

IMe j

e

isq*

isd *

PI

PI

PI r *

r

+

-

3/2

sl

P/2

r e

++

*

*

sd r

sq

i

i




52


en línea de la FFT se encuentra en [31]. Un algoritmo basado en estimación espectral a través de

un recursive máximum likelihood adaptive tracking filter se presenta en [11]

Fig. 3.13 muestra el sistema de control vectorial indirecto considerando operación a flujonominal y flujo debilitado.

Fig. 3.13. Control vectorial indirecto considerando operación a flujo debilitado.

3.7 Problemas

1) Se utiliza control vectorial indirecto de una máquina de inducción jaula de ardilla

operando como motor con corriente nominal. La corriente magnetizante nominal es

aproximadamente un 30% de la corriente nominal total. La contante de tiempo se

encuentra mal estimada, con un valor de . ¿Cuáles son las corriente reales enel eje d y q? Justifique matemáticamente su respuesta.

Al estar la máquina operando en control vectorial indirecto y el sistema de control utiliza una

estimación incorrecta de la constante de tiempo de rotor, el sistema se desorienta es decir, el

e

isq

isd

isabce je

vsq*

vsd *2/3 PWM IM

e je

isq*

isd *

PI

PI

PI r *

r

+-

mrd r

sq

i

*i

τ

3/2

sl

P/2

r e

+

+

im

1τ

1

r s

im*

PI

r

-+




53


sistema regula las corrientes directas en un eje d que no está alineado con el flujo de rotor. Esto

se muestra en mayor detalle en la Fig. 3.14.

El principal problema que se produce al desorientarse la máquina, es que ya no existedesacoplamiento entre la corriente de campo y la corriente de torque. Por lo tanto, cuando en el

sistema de control se varía la corriente de torque, en la máquina cambian ambos el torque y el

flujo.

Fig. 3.14. Control vectorial indirecto considerando incorrecta estimación de la constante de tiempo derotor.

Para encontrar las corrientes d-q reales se asume que existen dos modelos de la máquina.

El que se encuentra en el sistema de control y la máquina real. Algunas relaciones que se pueden

establecer son:

- La máquina real y la modelada en el sistema de control rotan a la misma velocidad,

son alimentadas con la misma frecuencia de estator y por lo tanto tienen el mismo

deslizamiento.

- El modelo de la máquina implementado en el sistema de control utiliza un valor de

constante de tiempo de rotor igual a . Obviamente, la máquina real opera con .

is

e

d ˆ qˆ

sd i

sqi

d

δ

δ

e sqi

sd i

q

Posición real del flujo

Posición estimada del flujo




54


- Ambas máquinas utilizan la misma corriente total. Esto se debe a que los

transductores del sistema de control miden correctamente la corriente real pero fallan

en separar correctamente la componente d y q.

Por lo tanto se tiene:

(3.42)

Pero:

(3.43)

Donde el símbolo “^” se utiliza para describir las corrientes y voltajes estimados por el sistema de

control.

Dado que el deslizamiento de la máquina y el utilizado en el modelo son iguales se puede

escribir:

(3.44)

De (3.44) se puede obtener que:

(3.45)

El sistema de control asume que está bien orientado por lo tanto intenta regular la corriente

directa en el valor entregado como dato. Por lo tanto . De (3.42) la corriente de

cuadratura estimada es

Utilizando (3.45) se tiene

√

(3.46)

Por lo tanto (3.46) se puede escribir como:




55


(3.47)

Utilizando (3.42) y (3.47) se llega a: (3.48)

Finalmente se tiene que:

(3.49)

Lo que nos indica (3.49) es que la máquina está operando con una corriente magnetizante

considerablemente mayor que la que debería tener. El sistema de control utiliza la referencia

correcta, es decir . Sin embargo debido a que el sistema de control no se encuentra

alineado con el vector flujo de rotor, la máquina tiene un corriente de flujo mayor que la de

referencia. En una máquina esto se traduce habitualmente en saturación y mayores pérdidas en el

fierro.

Otra cosa que se debe tomar en cuenta, es que el ángulo de desorientación de la máquina

depende de la carga. Con baja o cero carga, los efectos de estimar incorrectamente la constante de

tiempo de rotor no son importantes ya que

es cercano a cero tanto para el modelo como para

la máquina. Por lo tanto la máquina se encuentra orientada al utilizar cero deslizamiento, aunque

la constante de tiempo del rotor este incorrectamente estimada.

Los efectos de operar un sistema de control vectorial desorientado, son más notorios a

plena carga o bajo condiciones dinámicas que requieren una rápida respuesta de torque.




56


Capítulo IV

DISEÑO DE LOS SISTEMAS DECONTROL




57


IV Diseño de los Sistemas de Control

4.1 Aspectos Generales.

Los sistemas de control presentados anteriormente, se basan en regular las corrientes isd e

isq de acuerdo a las referencias isd * e isq

*. Para diseñar estos controladores se deben utilizar

métodos algebraicos o preferentemente herramientas lineales de diseño como lugar de la raíz o

Bode [3][32].

Para diseñar los lazos de control de las corrientes d-q, se utilizan las ecuaciones de estator.

Estas son:

(4.1)

(4.2)

Donde V sd y V sq son las tensiones aplicadas por el actuador, típicamente un conversor

PWM fuente de voltaje, al estator de la máquina jaula de ardilla. El sistema de control opera

asumiendo que existe una estructura SISO (Single input Single output) entre vsd e isd y entre vsq e

isq. Sin embargo tal como se muestra en (4.1) y (4.2), el voltaje en el eje directo depende tambiénde la corriente en cuadratura . Por otra parte el voltaje en el eje en cuadratura depende de la

corriente de cuadratura y el flujo de rotor.

Para efectuar el diseño de los controladores generalmente se utilizan términos de

desacoplamiento, los cuales permiten cancelar los enlaces cruzados que existen entre los ejes

directos y en cuadratura.

4.2 Uso de Términos de Desacoplamiento.

Los términos de desacoplamiento son aquellos que se suman a la salida de controlador.

De esta forma se logra una estructura SISO en el controlador, sin términos cruzados. Esto se

muestra en la Fig. 4.1. Los términos de desacoplamiento necesarios para eliminar




58


Fig. 4.1. Desacoplamiento del eje q respecto al d .

completamente los enlaces se muestra en la Fig. 4.2. Sin embargo en la mayor parte de las

aplicaciones no todos los términos mostrados en la Fig. 4.2 son utilizados. Por ejemplo la

derivada del flujo de rotor es cero o despreciable debido a que el flujo de rotor se mantiene en un

valor constante para operación bajo la velocidad base. En Fig. 4.1, el superíndice “ ^ “, significa

estimación de la variable ya sea ésta flujos, corrientes o incluso parámetros de la máquina. Esta

estimación se efectúa en línea o fuera de línea.

Es importante comprender que los términos de desacoplamiento que se muestran en la

Figs. 4.1 y 4.2, son parte del sistema de control e incorporados en el software de control vectorial.

Utilizando la salida del controlador y asumiendo que el conversor PWM fuente de voltaje tiene

una función de transferencia unitaria (por la tanto la salida del controlador es idéntica al voltaje

aplicado a la máquina), se tiene:

(4.3)

Donde V ’ sq es la salida del controlador en el eje q. Si la estimación de los parámetros y flujo de la

máquina es suficientemente aproximada, se puede escribir:

isq*

-

isq

+

PIVsq

’

+

Vsq*

Al

actuador

^ ^

^ ^

+

+

Términos de

desacoplamiento

Salida del controlador

^




59


Fig. 4.2. Términos de desacoplamiento necesarios para eliminar completamente los enlacescruzados.

(4.4)

Utilizando (4.4) el diseño del sistema de control se puede realizar utilizando herramientas de

control lineal. El lazo de control obtenido al considerar los términos de desacoplamiento se

muestra en la Fig. 4.3.

4.3 Diseño de Sistemas de Control Utilizando Alta Frecuencia de Muestreo

Al utilizar altas frecuencias de muestreo en una implementación de control digital existen variosefectos digitales que no son importantes [33]. Uno de ellos es el producido por el filtro

antialiasing el cual tiene sus polos de lazo cerrado muy alejado de los polos dominantes y por lo

tanto no afecta la dinámica del lazo de control. El otro efecto, que no tiene mayor importancia al

utilizar altas frecuencia de muestreo, es el retardo de transporte típico de los algoritmos de

isabc

2/3 PWM IM

3/2e j

e

e je

isq

isd

vsq*

vsd *isd *

PI

PI

isq*

+

rd r

osqsesd ssd ssd

dt

d

L

Li Li

dt

d Li Ru Ψσωσ

rd r

oesd sesqssqssq L

Li Lidt

d Li Ru Ψωσωσ

• Los términos dentro del cuadrado en rojo

son agregados para compensar los

cambios en el flujo y contrafuerza

electromotrizde la máquina.

• En control estos términos son

denominados “prealimentación” o “Feed-

forward terms.

imd r o L Ls ˆ / ˆ 2

se Lˆ -

+

se Lˆ

r oe L L ˆ / ˆˆ2

+ ++




60


Fig. 4.3. Sistema de control de corriente, eje q.

modulación PWM.

El lazo de control de la Fig. 4.3 se encuentra desacoplado, es decir al diseñar el lazo de

corriente en cuadratura, no existen términos del lazo directo a considerar en la función detransferencia. Al efectuar el diseño de los controladores a través del lugar de la raíz, se

recomienda utilizar las siguientes especificaciones [3]:

Cero error en estado estacionario a entrada escalón de i qs*, ids

*.

Frecuencia natural n (o ancho de banda) adecuada. En general frecuencias

naturales entre 60Hz-250Hz son consideradas apropiadas.

Coeficiente de amortiguamiento o margen de fase adecuado. Como norma

general se considera que el coeficiente de amortiguamiento debería ser mayor a

=0.5. Habitualmente se diseña el sistema de control para =0.707 u = 0.8.

Considerando estas especificaciones, el lugar de la raíz del diseño es similar al mostrado en la

Fig. 4.4.

)(

)(

)( ss

ii

R Lss

ask sG

s

ask ii )(

ss R Ls

1isq*(s)

isq(s)

s

k

k int

prop

P

Desacoplamientos nomostrados por simplicidad

Controlador

PI

planta




62


Fig. 4.5. Diseño del sistema de control considerando lazos anidados.

Fig. 4.6. Diseño del lazo de velocidad considerando el lazo de corriente como una función de transferenciaunitaria.

En las Figs. 4.5 y 4.6, el valor de KT se define como:

(4.5)

+ +*

1/(SJ+B)

- isq

+-

1/(SLs+Rs) KT

-r*

r

r

isq

GicGc

rd

r

esd se L

Li L

ˆ

ˆˆˆˆˆ 0

Actuador Términos de desacoplamientolimitador

Controlador

de velocidad

Controlador

de corriente Planta

Mecánica

Planta

Eléctrica

Se considera ωn lazo de velocidad 0.1 veces ωn lazo de corriente

+

1/(SJ+B)-

KT1

isq

Lazo de corriente

isq*

r

r

r*

Gc




64


4.4 Influencia de los Términos de Desacoplamiento en el Desempeño del Sistema.

En algunas implementaciones existe la tendencia de no añadir los términos de

desacoplamiento a la salida del controlador (ver Figs. 4.1 y 4.2). Los efectos de no considerar

estos acoplamientos se traducen en general en pérdida de parte de las características dinámicas

del sistema de control. Si se considera la ecuación (3.17):

(4.7)

El vector de corriente de estator se puede obtener como:

⁄ (4.8)

En un sistema de control vectorial bien diseñado el flujo de rotor puede considerarse constante

cuando la máquina opera bajo la velocidad base, por lo tanto no tiene mayor influencia en los

polos de lazo cerrado del sistema. En este caso se tienen las siguientes funciones de

transferencias:

Controlador completamente desacoplado:

(4.9)

Controlador acoplado:

(4.10)

El sistema de control es diseñado considerando que el sistema está desacoplado. Un ejemplo de

diseño se realiza en este apunte, asumiendo que la máquina de inducción tiene los siguientes

parámetros:

H L H L H L

R R

sr

r s

1353.01385.01385.0

06022.0733.057.0

0




66


poco mas de 10 al comparar el controlador de la Fig. 4.8c (acoplado a 100Hz) con respecto al

controlador de la Fig. 4.8b (acoplado a 50Hz). Estos resultados fueron obtenidos utilizando el

software MATLAB y se muestran en la Figs. 4.9a y 4.9b.

Fig. 4.8. Diagramas de Bode. a) Controlador completamente desacoplado b) Controlador acopladooperando a 50Hz como frecuencia de estator. c) Controlador acoplado operando a 100Hz como frecuenciade estator.

Para ayudar a interpretar la información entregada en la Figs. 4.8 y 4.9, se debe recordar

que el margen de fase está relacionado con el coeficiente de amortiguamiento [33]. Lo mismo

sucede con el sobrepaso máximo en el dominio de la frecuencia. Por lo tanto lo que indica Fig.

4.9b, es que el coeficiente de amortiguamiento se ha reducido al operar a alta frecuencia. Esto

significa que la respuesta del sistema en el dominio del tiempo es más oscilatoria, con un mayor

sobrepaso de las corrientes de estator. La misma información se puede obtener desde la Fig. 4.8.

0

0.5

1

1.5

0

0.5

1

1.5

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 2500

1

2

a)

b)

c)

Frecuencia (Hz)

M a g n i t u d




68


utilizar una frecuencia de muestreo varias veces superior al ancho de banda o frecuencia natural

del sistema.

En control de máquinas eléctricas lo normal es utilizar la transformada bilineal cuando lafrecuencia de muestreo es 15-30 veces superior a la frecuencia natural. Personalmente

recomiendo al menos 20 veces. Se debe tener en cuenta que estas son „recetas‟ que

frecuentemente tienen excepciones.

Por ejemplo, al utilizar la regla de s > 20n, para digitalizar un lazo de corriente típico

diseñado para una frecuencia natural de 100Hz, lo recomendable sería implementar el sistema de

control digital con una frecuencia de muestreo de al menos 2kHz. En general la implementación

de un lazo de velocidad utilizando Tustin no presenta dificultades, dado que estos lazos

normalmente tienen una frecuencia natural menor a 15Hz. Sin embargo, en algunos casos la

digitalización de los lazos de corriente puede requerir el uso de altas frecuencias de muestreo. Si

no se cuenta con el hardware apropiado para operar con una mayor frecuencia de muestreo, es

recomendable utilizar técnicas de diseño más avanzadas que las discutidas en este apunte.

La forma de utilizar la transformada de Tustin para convertir un controlador PI desde el

Fig. 4.10. Aplicación de la transformada bilineal o de Tustin para convertir un PI analógico en un PIdigital.

La transformación Bilineal es:

Al utilizarla en un PI analógico nos lleva a:

)1(

)1(2

z

z

T s

s

1

)(

1

)2()2(

2

)2()(

z

a zK

z

aT aT

zaT K

s

asK z zs

s

s p

p

PIAnalógico

Transformación

bilinealPI

Digital




69


plano analógico al digital se muestra en la Fig. 4.10. El término T s es el tiempo de muestreo. La

frecuencia de muestreo se calcula como f s=1/ T s.

Cuando los controladores digitales son implementados en un microprocesador, esfrecuente considerar algún método de “antiwinding-up” [3], para detener el componente integral

Fig. 4.11. PI digital separado en sus componentes proporcionales e integrales.

Fig. 4.12. Código fuente para la implementación de un PI digital

1)1(

)(

z

zK K

z

a zK iz pz

z z

PI Digital Parte

proporcional

Integrador

Digital

Implementación Digital

Nuevo valor

de la integral

Valor anterior

de la integral

Salida al

actuador

Constante

Integral

Constante

proporcional




71


de muestreo. En color negro se encuentran aquellos sistemas que operan con una frecuencia de

muestreo menor.

4.6 Implementación del Sistema de Control con Menor Frecuencia de Muestreo

Como se mencionaba al comienzo de esta sección, al implementar el sistema de control

con menor frecuencia de muestreo existen algunos efectos que no es recomendable despreciar.

Fig. 4.14 muestra un sistema de control con los elementos típicos de una implementación digital:

Fig. 4.14. Lazo de control considerando filtro y antialiasing y retardo de transporte en el conversor PWM.

Cuando la frecuencia de muestreo es alta, el filtro antialiasing no es importante porque la

frecuencia de corte se encuentra a más de 10 veces la posición de los polos dominantes del lazo

de corriente. Por ejemplo si la frecuencia natural es 100Hz y la frecuencia de muestreo es 10kHz,

entonces los polos del filtro antialiasing se encuentran cerca de 5kHz. Esto significa

aproximadamente 25 veces a la izquierda de los polos de lazo cerrado del control de corriente.

s

ask ii )( 1

1

I s

1

1

f s

)s(G p

plantainversorcontrolador

FiltroAntialiasing

i sq* i sqv sq* u sq*

• El retardo de transporte es producido en el algoritmo de modulación del conversor PWM. Si la frecuencia de muestreo es 10kHz, entonces el retardo de transporte del

inversor es aproximadamente100s (1 1/f s).

• Filtro antialiasing. Elimina las frecuencias menores a f s/2. Para 10kHz la fecuencia

de corte del filtro antialising es 5kHz y f 200 s.

I= 100s

f = 200s




74


V. Modelación y Simulación de la Máquina de Inducción Jaula de Ardilla

en Coordenadas -.

5. 1 Ecuaciones de Estado

Para fines de simulación, el modelo de la máquina jaula de ardilla se implementa en

coordenadas - de estator. Por simplicidad algunas de las ecuaciones de los capítulos anteriores

se repiten a continuación:

(5.1)

(5.2)

Donde el término se utiliza para transferir la dinámica del rotor a coordenadas de estator. La

ecuación (5.2) puede reescribirse como:

(5.3)

El flujo del rotor y estator en coordenadas - pueden obtenerse desde las corrientes de lamáquina. De esta forma se obtiene:

(5.4)

Las ecuaciones de estado de la máquina de inducción jaula de ardilla, se pueden obtener a

partir de (5.1)-(5.4). En este curso la prioridad no es el desarrollo algebraico, por este motivo se

utiliza software de procesamiento simbólico como MAPPLE o similar para encontrar lasecuaciones de estado. La resolución se realiza utilizando el conjunto de instrucciones MAPPLE

que se encuentran en las Figs. 5.1 y 5.2, Donde el término “ Diralfa” indica dir /dt. De la misma

forma se definen (dis /dt), (dis /dt) y (dir /dt).




76


Del desarrollo mostrado anteriormente es simple encontrar las ecuaciones de estado de la

máquina, que tienen la forma:

s

s

r

r

s

s

r

r

s

s

V

V

bb

bb

i

i

i

i

aa

aa

i

i

i

i

s

4241

1211

4441

1411

::

::

......

::

::

......

(5.5)

Donde “s” es el operador de Laplace representando (d/dt) en el dominio del tiempo. Los valores

de las matrices A y B, para fines de simulación se obtienen a partir de las instrucciones de

MAPPLE mostradas en la Fig. 5.2 y (5.5). Esta solución se puede calcular utilizando un archivo

“m” de MATLAB como:

global Rs Rr L0 Ls Lr Sig wr, Ts;global Isa0 Isb0 Ira0 Irb0; % valores iniciales de estadosglobal A B; % Matrices de la ecuación de estado.wr=2*pi*30; % r velocidad eléctricaRs=1.7;Rr=2.2;Ls=0.4186; % Reemplazar estos parámetros Lr=0.4186;L0=0.4058;Sig=0.06022; %Por los propios% Sig se calcula como Sig=(Ls*Lr-L0^2)/(Ls*Lr)Isa0=0;Isb0=0;Ira0=0;Irb0=0;Ts=50e-6; %valor de muestreo necesario para simular la máquina. Tsno es necesariamente igual al período de switching

% % Valores de la matriz de estado % A(1,1)=-Rs/(Sig*Ls);A(1,2)=wr*(L0*L0)/(Sig*Ls*Lr);A(1,3)=Rr*L0/(Sig*Lr*Ls);A(1,4)=L0*wr/(Sig*Ls);% Fila 2A(2,1)=-(L0^2)*wr/(Sig*Lr*Ls);A(2,2)=-Rs/(Sig*Ls);A(2,3)=-wr*L0/(Sig*Ls);A(2,4)=Rr*L0/(Sig*Lr*Ls);%Fila 3A(3,1)=Rs*L0/(Sig*Lr*Ls);




77


A(3,2)=-wr*L0/(Sig*Lr);A(3,3)=-Rr/(Sig*Lr);A(3,4)=-wr/Sig;% Fila 4A(4,1)=wr*L0/(Sig*Lr);A(4,2)=Rs*L0/(Sig*Lr*Ls);A(4,3)=wr/Sig;A(4,4)=-Rr/(Sig*Lr);

B(1,1)=1/(Sig*Ls);B(1,2)=0;

B(2,1)=0;B(2,2)=B(1,1);

B(3,1)=-L0/(Sig*Lr*Ls);B(3,2)=0;

B(4,1)=0;B(4,2)=B(3,1);%

Una vez obtenidos valores de las matrices de estado, la modelación de la máquina de

inducción puede ser realizada en tiempo continuo o en tiempo discreto. Ambas posibilidades son

permitidas por MATLAB.

Personalmente y dado que los computadores actuales permiten velocidades de

procesamientos bastante altas, prefiero utilizar simulación con modelos discretos. De todas

formas, los modelos implementados en MATLAB serán simulados en forma discreta utilizando

algún algoritmo como Runge-Kutta 4 o similar.

Para implementar las ecuaciones de estado en forma discreta se utiliza:

s

k r

r

s

s

k r

r

s

s

r

r

s

s

T

i

ii

i

i

ii

i

i

ii

i

s

1

(5.6)




78


Donde el subíndice k+1 indica valores de las variables de estado como resultado de la iteración

(k+1). T s es el intervalo de tiempo entre iteración e iteración y que puede ser igual al período de

switching del PWM (aunque esto no es estrictamente necesario).

Se debe tener en cuenta que la aproximación de (5.6) no es muy exacta a menos que se

utilice un tiempo de iteración relativamente pequeño. Por otra parte valores muy bajos de Ts

pueden producir problemas debido a que la diferencia entre [X]k+1 y [X]k será afectada por la

precisión utilizada en la representación de números reales.

Si en el modelo que se presenta en este capítulo se utiliza un tiempo de muestreo de

aproximadamente 10 a 15s, el estudiante puede tener la impresión de que el sistema está

desorientado y que, por ejemplo, en estado estacionario la corriente magnetizante no es idéntica

a la corriente en eje directo. Eso es correcto, lo más probable es que el sistema este ligeramente

desorientado debido que al muestrear la corriente a 15s, el sistema digital mantiene constante

todas las variable muestreadas durante ese tiempo en circunstancias que las corriente reales están

variando. Por ese motivo se introduce un atraso que es propio de la implementación digital. En un

accionamiento real existe una pequeña desorientación debido a la fase introducidas por los

muestreadores, retentores de orden cero y algoritmos de modulación PWM. Obtener perfecta

orientación del sistema de control es casi imposible en una implementación real. Más aun, en el

modelo típico de la máquina jaula de ardilla se desprecian las pérdidas en el fierro y esto puedetener influencia en la orientación del sistema de control, particularmente en una máquina

pequeña.

Utilizando (5.6), las ecuaciones de estado discreta son obtenidas como:

k s

ss

k r

r

s

s

s

k r

r

s

s

V

V

bb

bb

T

i

i

i

i

aa

aa

T

i

i

i

i

4241

1211

4441

1411

1

::

::

......

::

::

......

1000

0100

0010

0001

(5.7)

La principal ventaja de la modelación discreta de la máquina es que esta puede ser realizada en

una función de MATLAB. Los valores que en forma previa fueron calculados como [X] k+1, se

utilizan como [X]k en la iteración siguiente.

El código necesario para simular en forma discreta la máquina de inducción jaula de

ardilla es:




79


function [Im] = mija(Viz)%Mija= maquina de inducción jaula de ardilla

global Isa0 Isb0 Ira0 Irb0;% valores de los estados en la iteracion anterior global Ts; %Tiempo entre iteraciones global A B ; %Matriz A,B.

Va=Viz(1);Vb=Viz(2);wr=Viz(3);ID=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]% Matriz identidad de 4x4. Se puede definir en Initial.m como variable global Vc=-(Va+Vb);Val=1.5*Va; %Valfa

Vbet=0.8666*(Vb-Vc); %Vbeta Ik_1=(ID+A*Ts)*[Isa0 Isb0 Ira0 Irb0]'+B*Ts*[Val Vbet]';% Valores de la iteración en k Isa0=Ik_1(1); % se almacenan los valores de k+1 para la proxima iteración Isb0=Ik_1(2);Ira0=Ik_1(3);Irb0=Ik_1(4);Im=Ik_1; % Retorna el vector de estado k+1.

return

5.2 Expresiones Matemáticas Relacionadas con el Modelamiento de la Máquina de

Inducción Jaula de Ardilla.

Las expresiones de torque y corriente magnetizante desarrolladas en el Capítulo 3, asumen

que la máquina se encuentra correctamente orientada, lo cual no es correcto del punto de vista de

simulación, particularmente cuando se realizan estudios relacionados con los efectos derivados de

una incorrecta identificación de la constante de tiempo de rotor. Por este motivo, como parte de

este modelo, se utilizan rutinas en coordenadas α-β para calcular el tor que, corriente

magnetizante y otros.

La expresión utilizada para calcular el torque de rotor en la sección 3.4 es: (5.8)

cuando se utiliza la transformación α-β de (2.6) k es definida como:




80


(5.9)

El torque es proporcional al producto cruz entre el vector de flujo de estator (producido desde

el rotor) y el vector de corriente de estator. Es muy sencillo demostrar matemáticamente que

este producto cruz tiene idéntico valor cuando se calcula en coordenadas d-q o en coordenadas α-

β , a pesar de que en un caso se esté operando con señales continuas y en el otro caso con señales

sinusoidales.

Utilizando (5.8) y (3.30), el torque se puede calcular como:

[ ] (5.10)

Finalmente el torque eléctrico se calcula como:

[ ] (5.11)

Al modelar la máquina jaula de ardilla, es correcto utilizar la corriente del rotor referida a

estator para obtener (5.11). Sin embargo recuerde que la corriente de rotor no es medible en una

máquina jaula de ardilla, por lo tanto no debe utilizar esta corriente, ni ninguna señal que no sea

medida/estimada en una implementación real, en la simulación del sistema de control. En este

caso en el modelo del sistema de control vectorial , como se ha derivado en el Capítulo 3, se

utilizan solo la corriente de estator y flujo de rotor como variables de estado.

La posición del flujo de rotor también se puede calcular en α- β a partir de (5.4) como:

(5.12)

Y la corriente magnetizante se calcula como:

(

)(5.13)

Ecuaciones (5.11)-(5.13) son simples de implementar en el código fuente de MIJA.m




81


5.3 Ejemplo de Implementación de un modelo en Matlab y Simulink.

La figura 5.3 muestra un ejemplo de un modelo de control vectorial para una máquina de

inducción Jaula de Ardilla, utilizando el software MATLAB/simulink. Las siguientes rutinas han

sido utilizadas en esta modelación:

- MIJA.m. Rutina en que se encuentra el modelo discreto de la máquina jaula de ardilla en

coordenadas - . Las entradas al modelo son las tensiones de fase y la velocidad

rotacional en rads-1 eléctricos.

- Initial.m. Rutina que inicializa todas las variables globales y locales requeridas.

- AB2DQ.m. Rutina que convierte de coordenadas de estator a coordenadas d-q referidas al

eje rotatorio sincrónico. Las entradas son las corrientes - de estator, y el ángulo del eje

rotatorio sincrónico ( e). Las salidas son las corrientes de estator en d-q.

- DQ2ABC.m. Rutina que convierte tensiones en coordenadas d-q en tensiones de fase en

coordenadas a-b-c. Las entradas son las tensiones d-q y el ángulo del eje rotatorio.

Las salidas del sistema de control son las tensiones de fase en coordenadas a-b-c que se aplican al

estator de la máquina. En el modelo mostrado en la Fig. 5.3 se asume que el actuador tiene

ganancia unitaria.




82


Fig. 5.3. Modelo de simulación de la máquina jaula de ardilla, incluyendo controladores.

S i m u l a c i ò n s i s t e m a d e c o n t r o l v e c t o r i a l

p a r a m à q u i n a j a u l a d e a r d i l l a

I s a l f a

I s B e t a

A n g u l o d e l r o t o r

T H

_ E s t

T o W o r k s p a c e 9

T H

_ r e a l


V a


V q


I m_

r e a l


V d

T o

W o r k s p a c e 4

t i m

e


I q


T e

T o W o r k s p a c e 1 0

I d


S t e p

S c o p e 1

S c o p e

P r o d u c t

E r r o r

I d W e

V q

P I c o n A n t i W i n d i n g U p I d 1

E r r o r

W e

I q

V d

P I c o n A n t i W i n d i n g U p I d

M A T L A B

F u n c t i o n

M o t o r J a u l a d e A r d i l l a

1 s

I n t e g r a t o r

[ T e ]

G o t o 6

[ T H

_ E s t ]

G o t o 5

[ T H

_ r e a l ]

G o t o 4

[ I m_ r e

a l ]

G o t o 3

[ I d ]

G o t o 2

[ w e ]

G o t o 1

[ T h e t a ]

G o t o

[ T e ]

F r o m 7

[ T H

_ E s t ]

F r o m 6

[ T H

_ r e a l ]

F r o m 5

[ I m_

r e a l ]

F r o m 4

[ I d ]

F r o m 3

[ w e ]

F r o m 2

[ w e ]

F r o m 1

[ T h e t a ]

F r o m

1 1

D i s c r e

t e

T r a n s f e r F c n 9

1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e

T r a n s f e r F c n 1 3

1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e


1 1 D i s c r e t e

T r a n s f e r

F c n 1 0

1 1

D i s c r e t e


1 1

D i s c r e t e

T r a n s f e r F c n

V d

V q

T h e t a

V a

V b

V c

D Q 2 A B C

I q r e f

C o n s t a n t 2

I d r e f

C o n s t a n t 1

w r

C o n s t a n t

C l o c k

1 / ( T r * I d r e f )

C a l c u l o d e S l i p

A d d 2

A d d 1

A d d

I a l f a

I b e t a

T h e t a

I d I q

T h e t a

_ e

A B 2 D Q




83


En la Fig. 5.3, los bloques principales son los siguientes:

Fig. 5.4. Bloque que representa el controlador PI, con antiwinding-up, para el controlador de corriente deeje directo.

Fig. 5.5. Bloque que representa el controlador PI, con antiwinding-up, para el controlador de corriente deeje en cuadratura.

1

Vds+100000

100000

Transfer Fcn1

Ki

s

Transfer Fcn

Saturation

Product1

Product

Sig*Ls

Gain1

Kp

Gain

f(u)

Fcn

Add2 Add1

3

Iq

2

We

1

Error

Términos de desacoplamiento

Rutina antiwinding up PI analógico

Im

1

Vq

1

Tr.s+1

Transfer Fcn2

s+100000

100000

Transfer Fcn1

Ki

s

Transfer Fcn

Saturation

Product2

Product1

Product

Sig*Ls

Gain2

L0*L0/Lr

Gain1

Kp

Gain

f(u)

Fcn

Add2

Add1

3

We

2

Id

1

Error

Términos de desacoplamiento PI eje en cuadratura




84


Fig. 5.6. Bloque para transformar los voltajes d-q en voltajes a-b-c.

Fig. 5.7. Bloque para transformar las corrientes de estator - en corrientes d-q.

El bloque del controlador tiene una función de transferencia correspondiente a un filtro de primer

orden. Esta función de transferencia es:

10000

10000)(

ssG (5.14)

Este filtro no está presente en una implementación real. Se utiliza debido a que eldiagrama de la Fig. 5.3, tiene un “algebraic loop”, que es una condición que puede producir

inestabilidad en una simulación. Para romper este lazo algebraico se utiliza un filtro con una

frecuencia de corte muy alta y que en la práctica no produce ningún cambio en el modelo, porque

sus polos se encuentran muy a la izquierda en el plano s y alejados de los polos dominantes.




87


constante de tiempo del rotor que en este caso es de 0.19s. Por este motivo la respuesta de la

corriente magnetizante se estabiliza en aproximadamente 0.6s lo que equivale a 3r. Una mayor

velocidad de respuesta se puede obtener si se incluye un lazo de corriente magnetizante en la

Fig. 5.3. Este lazo se muestra en la Fig. 4.13. Una mayor discusión se encuentra en [12].

En la fig. 5.9b se muestra el ángulo del flujo de rotor estimado por el sistema de

control utilizando (3.41) y el ángulo del flujo de rotor entregado por el modelo y calculado

utilizando (5.12) (se asume que el ángulo entregado por el modelo es el valor “real”). Nótese que

de acuerdo a los resultados mostrados en la Fig. 5.9b, el sistema de control se encuentra

desorientado para t<0.5s, mientras la corriente magnetizante converge a ids.

Fig. 5.9 "Partida de la máquina" a) Corriente magnetizante y corriente directa. b) Diferencia entre laposición estimada y la posición real del flujo de rotor.

5.5 Dinámica de los lazos de corriente de estator.

En la Fig. 5.10 se muestra un transiente de torque, desde 8A a 16A (3.8A rms a 7.6A

rms). El tiempo de establecimiento es de aproximadamente 10ms lo cual muestra la alta

dinámica obtenida con un sistema de control vectorial correctamente orientado. Se observa que

0

2

4

6

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-80

-60

-40

-20

0

20

im

ids

ee ˆ

Tiempo (s)

G r a d o s

C o r r i e n t e ( A )

a)

b)




88


durante el transiente los sistemas de control de corriente no se encuentran totalmente

desacoplados, a pesar de que se incluyen los términos de desacoplamiento mostrados en las Figs.

5.4 y 5.5. El impacto en iqs produce una pequeña perturbación en la corriente ids. El efecto de esta

perturbación es despreciable y prácticamente no se refleja en la corriente magnetizante debido al

filtro 1/(sr+1) existente en (3.26) (la frecuencia de corte de este filtro es 0.84Hz considerando

los parámetros de la máquina modelada en este capítulo).

Fig. 5.10 Transiente de corriente de torque. a) corriente iqs b) Corriente ids

En la Fig. 5.11 se presenta un cambio tipo escalón en la corriente de eje directo,

manteniéndose la corriente de cuadratura constante. Un escalón en la corriente directa es algo

altamente improbable en un sistema real y se muestra solamente para analizar la dinámica del

sistema de control estudiado en este apunte.

4

8

12

16

20

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.44

5

6

7

8

Tiempo (s)

C u r r e n t ( A )

iqs

ids

a)

b)




89


La Fig. 5.11a se muestra la respuesta del sistema de control cuando se produce el cambio

en la corriente de eje directo. Nuevamente la dinámica de la respuesta es lenta, con un tiempo de

establecimiento de aprox. 0.5-0.6 para la corriente magnetizante. La perturbación que se produce

en la corriente de torque es prácticamente despreciable, tal como se muestra en la Fig. 5.11b.

Es interesante observar que la respuesta del sistema de control de corriente de eje directo

es muy rápida, tal como se muestra en la Fig. 5.11a Sin embargo la corriente ids no tiene mayor

significado en este caso. Lo verdaderamente importante es la corriente magnetizante de la cual

depende el flujo. Si se requiere una mayor dinámica, se debe utilizar un lazo adicional para el

control de flujo. Por ejemplo algo similar a lo que se muestra en la Fig. 4.13.

Fig. 5.11. Transiente de corriente de eje directo. a) corriente en eje directo y corriente magnetizante b)Corriente de torque.

Fig. 5.12 muestra la tensión de estator fase neutro aplicada a la máquina, para el test mostrado en

la Fig. 5.11. Como se discute en la sección 3.3 (después de (3.24)), el flujo de la máquina es casi

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.5 1 1.56

7

8

9

10

ids

im

iqs


Tiempo (s)

a)

b)




90


directamente proporcional a la tensión de estator requerida. Por este motivo al doblar la corriente

de eje directo aproximadamente se duplica la tensión de estator necesaria.

Fig. 5.12 Voltaje de estator correspondiente al test anterior.

5.6 Pérdida de Orientación del Sistema de Control Vectorial.

Para mostrar los efectos de desorientar el sistema de control vectorial, se utilizarán

variaciones tipo escalón en la constante de tiempo de rotor estimada.

Fig. 5.13 muestra las corrientes de la máquina cuando la constante de tiempo de rotor es

sobreestimada lo que correspondería al caso típico de aumento de la resistencia de rotor

por calentamiento. En t=0.7s, se produce el cambio tipo escalón y el valor de varía desde a. El sistema de control se desorienta debido a que no se cumplen (3.40)-(3.41) (ya que ). Como resultado de la desorientación la corriente magnetizante aumenta, lo cual puede

producir saturación de la máquina e incremento en las pérdidas del fierro. Nótese que la

regulación de la corriente de eje directo es todavía apropiada, pero en este caso i m ids /(sr+1).

La Fig. 5.13b muestra la corriente de torque real y estimada. La corriente de torque

regulada por el sistema de control, no corresponde a la corriente real. Finalmente se observa el

ángulo en que se encuentra desorientado el sistema que en este caso corresponde a 19.5 . En la

Fig. 5.13b el torque calculado se reduce levemente después de desorientarse el sistema. En una

0 0.5 1 1.5100

200

300

400

500

Tiempo (s)

V o l t a j e ( V )




91


Fig. 5.13.Cambio tipo escalón en la constante de tiempo del rotor para t=0.7s. a) Corriente en eje directoestimada y corriente magnetizante. b) Corriente de torque real y estimada. c) Diferencia entre el ánguloestimado y real del flujo de rotor. c) Torque calculado utilizando (5.11)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-5

0

5

10

0

5

10

15

ids

im

iqs

iqs

^

^


a)

b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-50

0

50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-2

0

2

4

6

8

ee ˆ

Te

Tiempo(s)

G

r a d o s

N m

c)

d)




93


implementación real, la saturación produciría una caída mayor en el torque electromagnético

desarrollado por la máquina de inducción jaula de ardilla.

En la Fig. 5.14 se muestra el efecto de subestimar la constante de tiempo del rotor. En estecaso lo cual corresponde a un caso algo más irreal ya que correspondería a un

aumento en la inductancia mutua, a una disminución en la resistencia de rotor o a un grosero

error en la estimación inicial de la constante de tiempo de rotor. De acuerdo a la Fig. 5.14, la

corriente magnetizante disminuye, lo que redunda en una reducción en el torque

electromagnético producido en la máquina tal como se constata en la Fig. 5.14c. En el resto de las

señales se produce un aumento en la corriente de torque real y el error en el ángulo del flujo de

rotor cambia de signo. En general estas variaciones son de signo contrario a las producidas en laFig. 5.13.

Fig. 5.15. Impacto de carga considerando desorientación. a) Corriente magnetizante y estimada del ejedirecto de estator. b) Corriente estimada de torque y torque electromagnético

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

5

10

15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

5

10

15

20

im ids^

iqs^

Te


Tiempo (s)

a)

b)




94


En los resultados mostrados en la Fig. 5.15, el sistema de control se encuentra ya

operando desorientado, con , cuando se aplica un impacto en la corriente de torque. La

Fig. 5.15a muestra un resultado importante. La corriente magnetizante esta acoplada con la

corriente regulada en el eje de cuadratura (lo que el sistema de control "cree" que es el eje en

cuadratura). Al aumentar la corriente , aumenta im y la maquina se saturaría aun mas. En

cuanto al torque , este tiene una respuesta lenta que está acoplada a las variaciones de la corriente

im (el mismo eje de ordenadas se utiliza para indicar las unidades de la corriente de cuadratura y

el torque electromagnético). Esto significa que parte de las ventajas del control vectorial se han

perdido.

A pesar de la desorientación del sistema de control, las corrientes e se encuentranbien reguladas con una alta dinámica de respuesta en los lazos de control. Sin embargo esto no es

realmente importante. El objetivo de un sistema de control vectorial no es solo regular

apropiadamente las corrientes de estator sino que proveer un control adecuado de torque y flujo.

Esto en general no se cumple cuando el sistema se encuentra muy desorientado.

En este sistema no se ha simulado el lazo de control de velocidad el cual es muy lento y

requiere un tiempo de simulación bastante alto. En caso de tener variaciones de baja frecuencia

en el torque, producidas por la desorientación del sistema de control, estas deberían sercompensadas por el lazo de velocidad. Frecuentemente esto se traduce en oscilaciones en la

velocidad rotacional de la máquina debido a que el controlador de velocidad debe compensar los

acoplamientos existentes entre la corriente magnetizante y la corriente de torque.

Los códigos fuentes de los programas tipo m que se entregaron en este capítulo, tienen

algunas simplificaciones. A continuación se entregan en un apéndice las versiones algo más

complejas que fueron utilizadas para obtener las figuras discutidas en esta sección.

Recuerde que los archivos de simulación utilizados en este capítulo pueden ser obtenidos

desde:


https://sites.google.com/a/usach.cl/rcd/https-sites-google-com-a-usach-cl-rcd.










95


5.7 Apéndices: Rutinas MATLAB Utilizadas

Programa Initial. Inicializa las variables globales y locales.

global Ts; global Rs Rr L0 Ls Lr Sig wr Tr; global Isa0 Isb0 Ira0 Irb0; global A B ID;

Idref=6; Iqref=8 %2*1.4142*1.5 Vmax=1200;

Ts=1e-6; %10e-6; % sampling time

% %%

wr=2*pi*30; Rs=1.7;Rr=2.2;Ls=0.4186; Lr=0.4186;L0=0.4058;Sig=0.06022; Tr=Lr/Rr; Isa0=0;Isb0=0; Ira0=0;Irb0=0; ID=eye(4); %Matriz Identidad Kp=23.63;Ki=421;

% % Valores de la matriz de estado % A(1,1)=-Rs/(Sig*Ls); A(1,2)=wr*(L0*L0)/(Sig*Ls*Lr); A(1,3)=Rr*L0/(Sig*Lr*Ls); A(1,4)=L0*wr/(Sig*Ls);

A(2,1)=-(L0^2)*wr/(Sig*Lr*Ls); A(2,2)=-Rs/(Sig*Ls); A(2,3)=-wr*L0/(Sig*Ls); A(2,4)=Rr*L0/(Sig*Lr*Ls);

A(3,1)=Rs*L0/(Sig*Lr*Ls); A(3,2)=-wr*L0/(Sig*Lr); A(3,3)=-Rr/(Sig*Lr); A(3,4)=-wr/Sig;

A(4,1)=wr*L0/(Sig*Lr); A(4,2)=Rs*L0/(Sig*Lr*Ls); A(4,3)=wr/Sig; A(4,4)=-Rr/(Sig*Lr);




97


return

Transformada - a d-q.

function [Idq] = AB2DQ(Iab) %Convierte alfa beta a d-q

Ialfa=Iab(1); Ibeta=Iab(2); Theta=Iab(3); Id=Ialfa*cos(Theta)+Ibeta*sin(Theta); Iq=-Ialfa*sin(Theta)+Ibeta*cos(Theta); Idq=[Id Iq];

return

Transformada d-q a -.

function [Vabc] = DQ2ABC(Vdq) %Convierte d-q a a-b-c

Vd=Vdq(1); Vq=Vdq(2); Theta=Vdq(3); Valfa=Vd*cos(Theta)-Vq*sin(Theta); Vbeta=Vd*sin(Theta)+Vq*cos(Theta); Va=(2/3)*Valfa; Vb=(-1/3)*Valfa+(1/sqrt(3))*Vbeta;

Vc=(-1/3)*Valfa-(1/sqrt(3))*Vbeta; % Ojo. Estas tensiones tienen terceros armonicos todavia Vabc=[Va Vb Vc]';

return




98


Capítulo VI

CONTROL A FLUJO DEBILITADO




99


VI Control a Flujo Debilitado

6.1 Introducción.Las máquinas de inducción jaula de ardilla tienen un máximo valor de voltaje que puede ser

aplicado al estator. Este voltaje está limitado por el actuador, usualmente un inversor, y por la

aislación de la máquina.

Asumiendo orientación en el flujo del rotor, en estado estacionario (ver Fig. 3.3), la tensión

directa y en cuadratura del estator pueden ser expresadas como:

(6.1)

(6.2)

De (6.2) se concluye que la mayor parte del voltaje de estator esta aplicado en el eje en

cuadratura. Esto se debe a que la impedancia serie de la máquina es pequeña y el voltaje es

aproximadamente igual a la derivada del flujo :

( ⁄ ⁄ ⁄

donde el término “j” indica el desfase de 90 grados entre flujo y voltaje.

Utilizando la expresión y reemplazando el deslizamiento con (3.28) en

(6.2) se tiene:

(6.3)

Finalmente, (6.3) se puede escribir como:

(6.4)




102


uso de algoritmos óptimos para operar la máquina de inducción jaula de ardilla a flujo debilitado

[12], [23], [24] De acuerdo a estos artículos es posible obtener un aumento substancial de

potencia con respecto al esquema convencional de (6.6), de hasta un 35%, dependiendo del

punto de operación de la máquina. Esto es importante especialmente cuando la máquina se opera

como generador de inducción a velocidad variable.

En estado estacionario considerando y la definición de dada por (2.25), las

ecuaciones (6.1) y (6.2) pueden escribirse como:

(6.9)

(6.10)

Despreciando la resistencia de estator, las corrientes directa y en cuadratura pueden calcularse

como:

(6.11)

Si los límites de voltaje y corriente son considerados, se obtienen las siguientes ecuaciones:

(6.12)

(6.13)

Donde vsmax e ismax, son el máximo voltaje disponible y la máxima corriente permitida en el

estator respectivamente. La potencia generada/consumida por la máquina es el producto punto

entre el vector voltaje de estator y el vector corriente de estator. Es decir:

(6.14)

Donde el símbolo representa producto punto y el término “k ” depende de la transformada α- β

utilizada. Reemplazando (6.11) en (6.14) se tiene:




105


sistema está operando con una frecuencia ω1 cuando bruscamente cambia el punto de operación.

A voltaje máximo la trayectoria de cambio es la que se muestra con la letra A en la Fig. 6.3.

Cuando se deja un margen de voltaje, la trayectoria es la que corresponde a B. En este caso se

opera la máquina a una fracción del voltaje máximo (por ejemplo vs=0.9vsmax) la cual es

usualmente determinada por simulación. De esta forma es posible cambiar con una adecuada

dinámica de respuesta la corriente de torque isq.

La relación entre flujo y frecuencia rotacional o eléctrica no es fácil de calcular en tiempo

real como por ejemplo al utilizar (6.6). Por este motivo es común implementar flujo debilitado

óptimo resolviendo las ecuaciones (6.12) y (6.13) fuera de línea y luego implementar una look-up

table relacionando la frecuencia eléctrica ωe

(entrada) con la corriente magnetizante (salida de la

tabla).

6.4 Consideraciones al operar a flujo debilitado.

Cualquiera sea el método utilizado para operar a flujo debilitado, se debe tomar en cuenta

que la reducción en el flujo de la máquina produce cambios en la inductancia mutua. La fig. 6.4

muestra una curva de magnetización obtenida experimentalmente en el laboratorio de

investigación de la Universidad de Magallanes. Los resultados se encuentran publicados en [12].

Métodos para obtener la curva magnetizante de una máquina de inducción se reportan en [34]

La variación de parámetros producida por saturación, es posiblemente la mayor dificultad

al operar una máquina jaula de ardilla con control vectorial. Si se utiliza control vectorial directo,

el flujo de rotor se calcula como se muestra en (3.36):

∫

∫ (6.16)

Para calcular correctamente (6.16) se debe estimar correctamente las inductancias de

rotor, estator y magnetizante. Una de las soluciones es utilizar look-up tables, donde el valor




106


Fig. 6.4 Variación de la inductancia mutua con la corriente magnetizante.

Fig. 6.5 Implementación basada en look-up tables para operar a flujo debilitado.

1 2 3 4 5 6 7 80.18

0.22

0.26

0.3

0.34

0.38

Corriente Magnetizante im (RMS A)

I n d u c t a n c i a M a g n e t i z a n t e L 0

( H )

22

d max i i

ids

Look-up

Tables

e

r*

iqmax

Lo

^ ids




107


de los parámetros con respecto a la frecuencia eléctrica de operación es almacenada. Un ejemplo

de esto se muestra en la Fig. 6.5. Sin embargo, esta representación no es totalmente exacta, ya

que la variación en la inductancia mutua depende de la corriente magnetizante im que no es

medible. El sistema de look-up tables mostrado en la Fig. 6.5 se encuentra en función de la

corriente directa ids la cual es igual a im pero solo en estado estacionario. Sin embargo

considerando que la dinámica de la velocidad rotacional es lenta, particularmente al operar

sistema con alto valor de J como volantes de inercia, entonces asumir que imids es apropiado. Sin

embargo recuerde que en sistemas de baja inercia es incorrecto utilizar este supuesto. Un ejemplo

de implementación basada en tablas se muestra en la Fig. 6.6. El Observador MRAS de la Fig.

2.11 es implementado para operar a flujo debilitado óptimo. Los parámetros de la máquina, tales

Fig. 6.6 Implementación basada en look-up tables para operar con un esquema MRAS a flujo debilitado.

Rs

+

-

s L ˆ

+

-Vs

is

22 r

1tan d/dt

r

r

r J e r J e

r ˆ s

L

1

0is

r ˆ

r ˆ

r*

22

d max i i iqmax

id

id

e

Modelo de voltaje

Modelo de corriente

0L

Lr+

+

r

L

:Look-up

TablesRr

0L / L r

r

e




108


como coeficiente de dispersión, inductancia de estator, inductancia de rotor, inductancia

magnetizante, etc. Son obtenidos fuera de línea y almacenados en una look-up table en función de

la frecuencia eléctrica. En cada ciclo de muestreo los parámetros son recalculados para estimar la

velocidad rotacional y estimar la magnitud y posición del flujo de rotor en la máquina. Los

resultados fueron obtenidos en el laboratorio de investigación de la Universidad de Magallanes y

publicados en [12]. Este artículo fue premiado en una ceremonia realizada en Raleigh, Carolina

del Norte USA, como el mejor paper publicado en todo el año 2004 en la revista IEEE

Transactions on Industrial Electronics.

En la Fig. 6.7 se muestra el sistema de control vectorial propuesto para operar con el

esquema sensorless de flujo debilitado óptimo mostrado en la Fig. 6.6. El flujo de rotor,

apropiado para una determinada frecuencia de operación es calculado desde la look-up table

Fig. 6.7 Implementación basada en look-up tables para controlar el flujo de rotor.

e j

e-j

2

3

3

2

v*s

v*s

is

is

Modelo de

Voltaje

Modelo de

Corriente

Máquina de

inducción

e

r* id*

id

iq*

iq

r ˆ

r

v*d

v*q

Va,b,c

ia

ib

va

vb

ddt

Limitador Variable

iqmax

e

iq*

e

Desde controlador

de velocidad




109


mostrada en la Fig. 6.5 y se utiliza como referencia al sistema de control que regula la corriente

directa. El sistema de control propuesto en las Figs. 6.6 y 6.7, opera adecuadamente cuando la

dinámica del lazo de velocidad es lenta comparada con la dinámica eléctrica.

Existen otros métodos propuestos para operar a flujo debilitado. Por ejemplo operar el

control vectorial con orientación en el flujo de estator [35][36][37] .

Se debe considerar que la máquina jaula de ardilla no es la mejor opción para operar a

muy altas velocidades rotacionales, principalmente porque su eficiencia es menor, por ejemplo a

la máquina de imanes permanentes e incluso a la máquina de reluctancia conmutada, las cuales

además tienen una relación tamaño potencia más ventajosa. Por lo tanto el número de

aplicaciones donde se utiliza esta máquina como generador/motor de alta velocidad es reducido.

Por ejemplo volantes de inercia.




111


VI. Referencias

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control vectorial de máquinas de inducción jaula de ardilla by roberto cárdenas d

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