control operacional de mecanismos manivela- corredera con ......5.3.4 zócalo de entradas y salidas...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA.

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN.

“Control operacional de mecanismos manivela-corredera con retroalimentación lineal.”

TESIS.

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERIA MECANICA

PRESENTA ING.MERLOS GUERRERO MIGUEL.

Director: Dr. Orlando Susarrey Huerta. Director: Dr. Juan Alejandro Flores Campos.

Ciudad de México, Noviembre 2016

Control operacional de mecanismos manivela corredera con retroalimentación lineal.

CARTA CESIÓN DE DERECHOS

En la Ciudad de México, el día 10 del mes de Noviembre del año 2016, el (la) que suscribe

MERLOS GUERRERO MIGUEL alumno del Programa de Maestría en Ciencias en

Ingeniería Mecánica, con número de registro B141139, adscrito(a) a la Sección de

Estudios de Posgrado e Investigación de la E.S.I.M.E unidad Zacatenco, manifiesto que

es el autor intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección del Dr. Orlando

Susarrey Huerta y el Dr. Juan Alejandro Flores Campos y cede los derechos del trabajo

titulado “CONTROL OPERACIONAL DE MECANISMOS MANIVELA-

CORREDERA CON RETROALIMENTACIÓN LINEAL”, al Instituto Politécnico

Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos

del trabajo sin el permiso expreso del (de la) autor(a) y/o director(es) del trabajo. Este

puede ser obtenido escribiendo a las siguientes direcciones [email protected]

Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar

la fuente del mismo.

Ing. Merlos Guerrero Miguel.

Nombre y firma del alumno(a)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO


RESUMEN.

En este trabajo se desarrolló el modelo cinemático y dinámico de un

mecanismo manivela corredera multilazo, haciendo uso de la ecuación de

movimiento de Eksergian para mecanismos de cadena cinemática cerrada

de 1GDL. Así como también se validó el modelo dinámico obtenido con

software especializado.

Se desarrollaron esquemas de control basados en un controlador PID para el

control de posición y seguimiento articular de la variable generalizada de

nuestro mecanismo, a su vez se propuso una ley de control de operacional,

capaz de posicionar el efector final del mecanismo en un punto dado. La ley

de control propuesta fue comparada con otra ley de control basada en el

Jacobiano natural del mecanismo, para así poder ponderar ambos esquemas

de control.

Se construyó una plataforma experimental con el fin de verificar y simular

los esquemas de control desarrollados durante el trabajo de investigación.


ABSTRACT.

In this paper, we developed the kinematic and dynamic model of a multi-loop

slider crank mechanism, making use of the Eksergian equation of motion for

closed-loop kinematic mechanisms of 1 DOF. As well as validated the

dynamic model obtained with specialized software.

Control schemes were developed based on a PID controller for the position

control and joint monitoring of the generalized variable of our mechanism,

in turn an operational control law was proposed, capable of positioning the

end effector of the mechanism at a given point. The proposed control law

was compared with another control law based on the mechanism's natural

Jacobian, in order to be able to weight both control schemes.

An experimental platform was constructed in order to verify and simulate

the control schemes developed during the research work.


AGRADECIMIENTOS.

Mis más nobles y sinceros agradecimientos a mi asesor, el Dr. Juan Alejandro Flores Campos por toda la sapiencia brindada a este servidor durante este arduo pero satisfactorio periodo, así como también reconozco y aprecio todo su apoyo intelectual en el desarrollo de éste trabajo. Solo me queda decir que lo considero un gran mentor, y sobre todo una gran persona.

Por su parte quiero reconocer la firme labor que mostró el Dr. Orlando Susarrey Huerta como asesor y guía para el correcto desarrollo de este trabajo, demostrando así su gran calidad como profesional, pero sobre todo como persona.

Doy gracias a los doctores Jesús Alberto Meda Campaña, Didier Samayoa Ochoa y Helvio Ricardo Mollinedo Ponce de León por las puntuales y acertadas observaciones a este trabajo de investigación.

Nada de esto hubiese sido posible sin el apoyo incondicional de mis padres y hermanos, gracias a ellos concluyo una etapa muy importante en mi vida, por impulsarme a seguir más adelante, en ellos siempre he encontrado la fortaleza que se necesita para sobresaltar cualquier peldaño en la vida, por siempre, gracias.


Página I

ÍNDICE.

Tabla de contenidos.

ÍNDICE DE FIGURAS. IV

ÍNDICE DE TABLAS. VI

SIMBOLOGÍA. VIII

OBJETIVO GENERAL. XV

OBJETIVOS PARTICULARES. XV

JUSTIFICACIÓN. XVI

CAPÍTULO I. ESTADO DEL ARTE. 19

1.1 La ciencia de la mecánica. 19

1.2 Máquinas y mecanismos. 20

1.2.1 Análisis y síntesis. 20

1.2.2 Terminología y definiciones. 21

1.3 Mecanismos de retorno rápido. 24

1.4 Estudio de los mecanismos. 25

1.4.1 Control aplicado a mecanismos de cadena cinemática cerrada. 26

1.5 Singularidades cinemáticas 28

CAPÍTULO II. MODELO CINEMÁTICO. 31

2.1 Grados de libertad. 32

2.2 Cinemática del mecanismo. 33

2.2.1 Cinemática inversa. 33

2.2.2 Cinemática directa. 33

2.3 Sistemas de referencia. 34

2.4 Matriz Jacobiana. 34

2.5 Ecuaciones de lazo vectorial para el estudio en caso. 35

2.6 Análisis de posición del mecanismo. 37

2.7 Análisis de velocidad. 38

2.8 Análisis de aceleración. 42

CAPÍTULO III. MODELO DINÁMICO. 48

3.1 Modelo dinámico. 48

3.2 Obtención de los coeficientes de velocidad y aceleración de los centros de masa de los

eslabones del mecanismo.

50

3.2.1 Coeficientes de velocidad y aceleración de la manivela. 50

3.2.2 Coeficientes de velocidad y aceleración de la barra “EA”. 51

3.2.3 Coeficientes de velocidad y aceleración de la barra “AB”. 53

3.2.4 Coeficientes de velocidad y aceleración de la barra “BD”. 54

3.2.5 Coeficientes de velocidad y aceleración de la corredera. 55

3.3 Obtención de la inercia generalizada del mecanismo multilazo. 56

3.4 Energía cinética. 58


Página II

3.5 Fuerzas generalizadas. 59

3.6 Obtención de la ecuación de movimiento de Eksergian. 60

3.7 Representación de las fuerzas conservativas, energía potencial. 61

3.7.1 Obtención de la energía potencial. 61

3.8 Obtención del modelo dinámico y simulación. 62

3.8.1 Comparación de la gráfica de posición de la variable generalizada, Matlab-Simulink® vs

WorkingModel®

65

3.8.2 Comparación de la gráfica de velocidad de la variable generalizada, Matlab-Simulink®

vs WorkingModel®

66

3.8.3 Comparación de la gráfica de aceleración de la variable generalizada, Matlab-Simulink®

vs WorkingModel®

67

IV. METODOLOGÍA DE CONTROL. 69

4.1 El concepto de control. 69

4.2 Definiciones. 69

4.3 Control de lazo abierto y lazo cerrado. 72

4.3.1 Control de lazo abierto. 72

4.3.2 Control de lazo cerrado. 72

4.4 Controladores. 73

4.4.1 Control proporcional. 73

4.4.2 Control integral. 73

4.4.3 Control derivativo. 73

4.4.4 Control proporcional-integral: PI 74

4.4.5 Control proporcional-derivativo: PD 74

4.4.6 Control proporcional-integral-derivativo: PID 74

4.5 Tipos de control. 74

4.5.1 Control de posición o regulación. 75

4.5.1.1 Control de posición articular. 75

4.5.1.2 Control de posición operacional. 75

4.5.2 Control de seguimiento. 75

4.5.2.1 Control de seguimiento articular. 75

4.5.2.2 Control por seguimiento operacional. 76

CAPITULO V. CONSTRUCCIÓN E INTEGRACIÓN DE PLATAFORMA

EXPERIMENTAL.

78

5.1 La plataforma experimental. 78

5.2 Sistema de adquisición de datos. 78

5.2.1 Especificaciones del hardware. 80

5.2.2 Instalación de software de la tarjeta Sensoray modelo 626. 81

5.3 Instalación de la plataforma experimental. 83

5.3.1 Fuente de alimentación. 83

5.3.2 Etapa de potencia. 84

5.3.3 Módulo lector de Encoders (Lineal y Angular). 86


Página III

5.3.4 Zócalo de entradas y salidas (Analógicas y Digitales) 87

5.4 Pruebas experimentales. 87

5.4.1. Control de posición articular de la manivela. (Prueba experimental final). 89

5.4.2 Control de seguimiento articular de la manivela. (Prueba experimental final). 98

5.4.3 Implementación y simulación de esquemas de control para desempeñar tareas en el

espacio operacional.

101

CONCLUSIONES. 106

TRABAJOS FUTUROS. 107


Página IV

Índice de figuras.

Figura 1.1 Ramas de la mecánica. 19

Figura 1.2 Los seis pares inferiores: a) revoluta o giratorio, b) prismático, c)

helicoidal, d) cilíndrico, e) esférico y j) plano.

23

Figura 1.3 Motor de combustión interna con mecanismo manivela-biela-

corredera y su representación gráfica.

25

Figura 2.1 Mecanismo propuesto de tipo manivela-corredera, multilazo. 32

Figura 2.2 Vistas del mecanismo multilazo. 33

Figura 2.3 Sistema de referencia rotado. 34

Figura 2.4 Construcción de los lazos, para la obtención de las ecuaciones de

restricción.

36

Figura 2.5 Esquema del mecanismo en estudio. 37

Figura 2.6 Análisis cinemático de velocidad. 38

Figura 2.7 Análisis cinemático de aceleración. 42

Figura 3.1 Elementos del mecanismo. 49

Figura 3.2 Vectores específicos que parten del origen y van hacia los centros de

masa de cada eslabón.

50

Figura 3.3 Simulación en Software (WorkingModel®) del mecanismo. a)

Aceleración lineal de la corredera [m/s2].

63

Figura 3.4 Diagrama de bloques en Software Matlab-Simulink®. 64

Figura 3.5 Empalme de las dos gráficas obtenidas mediante WorkingModel® y

Matlab-Simulink®, respectivamente (posición de la variable generalizada “q”).

65


Matlab-Simulink®, respectivamente (velocidad de la variable generalizada “q”).

66


Matlab-Simulink®, respectivamente (aceleración de la variable generalizada

“q”).

67

Figura 4.1 Esquema de un sistema. 69

Figura 4.2 Sistema de control de lazo abierto. 70

Figura 4.3 Sistema de control de lazo cerrado. 70

Figura 4.4Diagrama sobre los tipos de control. 71

Figura 5.1 Diseño de la plataforma en SolidWorks®. 78

Figura 5.2 Tarjeta de adquisición de datos Sensoray Modelo 626 80

Figura 5.3 Plataforma experimental instalada. 83

Figura 5.4 Diagrama del funcionamiento de la fuente de alimentación 83

Figura 5.5 Fuente de alimentación de la plataforma experimental 84


Página V

Figura 5.6 Ficha técnica de la fuente de alimentación. 84

Figura 5.7 Diseño esquemático de la etapa de potencia. (Proteus®7.7). 85

Figura 5.8 Etapa de potencia de la plataforma experimental 85

Figura 5.9 Módulo lector de Encoders (Lineal y Angular). 86

Figura 5.10 Zócalo de entradas y salidas (Analógicas y Digitales). 87

Figura 5.11 Model Configuration Parameters. 88

Figura 5.12 Comandos necesarios para iniciar la simulación en tiempo real. 88

Figura 5.13 Diagrama de control en Matlab-Simulink®, para alcanzar una

posición deseada en la manivela.

89

Figura 5.14 Parámetros del bloque “Encoder Input5 (Motor 1)”. 89

Figura 5.15 Parámetros de la ganancia “Gain”. 90

Figura 5.16 Parámetros del sumador. 91

Figura 5.17 Gráfica del error de posición angular de la manivela. 91

Figura 5.18 Parámetros del PID Controller. 92

Figura 5.19 Parámetros del bloque de Saturación. 92

Figura 5.20 Elementos del bloque “PWM3”. 93

Figura 5.21 Elementos del bloque “Diente de sierra”. 94

Figura 5.22 MATLAB Function. (Elemento 3 del bloque PWM). 94

Figura 5.23 Parámetros del Digital Output_PIN47 (PWM Motor 1)1. 95

Figura 5.24 Parámetros del Digital Output_PIN45 (Dirección del Motor 1)1. 96

Figura 5.25 Señal de control obtenida del diagrama de control. 96

Figura 5.26 Plataforma experimental antes de comenzar la prueba de posición

de la manivela (Posición de la manivela 0 rad).

97

Figura 5.27 Plataforma experimental al finalizar la prueba de posición de la

manivela (Posición de la manivela pi/2 rad).

97

Figura 5.28 Diagrama de control en Matlab-Simulink®, para seguir la

trayectoria deseada en la manivela.

98

Figura 5.29 Parámetros del bloque “sine-wave” 99

Figura 5.30 Parámetros del bloque “PID Controller”. 99

Figura 5.31 Error articular generado en la trayectoria de seguimiento. 100

Figura 5.32 Trayectorias generadas por “q” y “qd”, respectivamente. 100

Figura 5.33 Fuerza “Fy” necesaria para trasladar el bloque “D” a una posición

en específico.

101

Figura 5.34 Posición final del bloque “D” después de concluir la acción de

control.

103


Página VI

Figura 5.35 Error generado del bloque “D” después de concluir la acción de

control.

Figura 5.36 Diagrama de bloques para el control tipo cascada propuesto. 104

Figura 5.37 Diagrama de bloques que corresponde al bloque de control

operacional de la figura (5.36).

104

Figura 5.38 Grafica de la posición alcanzada por el bloque “D” según la

referencia asignada (200mm.)

105

Figura 5.39 Error generado por el bloque “D”. 105


Página VII

Índice de tablas.

Tabla 1.1 Pares cinemáticos inferiores. 24

Tabla 3.1 Parámetros físicos del mecanismo multilazo 49

Tabla 3.2 Datos de la simulación del modelo dinámico en el software

WorkingModel®

58


WorkingModel®.

63

Tabla 3.4 Datos de la Simulación en software Matlab/Simulink®. (Fig.3.9) 64


Matlab/Simulink®.

64

Tabla 5.1 Características de la Tarjeta de adquisición de datos Sensorray modelo

626.

80

Tabla 5.2 Módulo lector de Encoders. 86

Tabla 5.3 Parámetros para la simulación del esquema de control. 103


Página VIII

Simbología.

SIMBOLOGÍA: CAPÍTULO 1.


m Movilidad o grados de libertad del mecanismo.

n Número o cantidad de eslabones.

J1 Pares cinemáticos de un grado de libertad.

J2 Pares cinemáticos de dos grados de libertad.

𝑅2 Vector de la ecuación del lazo. OA(cos 𝑞 , 𝑠𝑒𝑛 𝑞)

𝑅3 Vector de la ecuación de lazo. CA(𝑐𝑜𝑠 𝜃3, sen 𝜃3)

𝑅1 Vector de la ecuación de lazo. 𝑂𝐶

𝑅𝐶𝐵 Vector de la ecuación de lazo. 𝐶𝐵(cos 𝜃3 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃3)

𝑅4 Vector de la ecuación de lazo. 𝐵𝐷(cos 𝜃4 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃4)

𝐷𝑦 Vector del origen al punto “D”, variable sólo en el eje de las ordenadas.

𝐷𝑥 Distancia constante del origen al punto “D”.

𝑟𝐴𝐵 Distancia constante del punto “A” al punto “B”.

𝑟1 Distancia constante del origen al punto “C”.

𝑟𝐸𝐴 Distancia constante del punto “E” al punto “A”.


𝑟2 Magnitud de la manivela.

𝑟4 Magnitud de la barra “BD”

𝑞 Variable generalizada. (Angulo de entrada)

𝜃3 Angulo variable formado entre la manivela y biela.

𝜃4 Angulo variable formado entre la horizontal y la barra “BD”

𝑟3 Variable del mecanismo.

𝐷𝑦 Variable del mecanismo.

𝜃 Coordenada de entrada.

𝑥 Coordenada de salida.

A Derivada parcial de la función, con respecto a x. (matriz jacobiana).

B Derivada de la función con respecto a 𝜃 (matriz jacobiana).

det(𝐵) Determinante de la matriz B, para verificas la condición de

singularidad.

det(𝐴) Determinante de la matriz A, para verificas la condición de

singularidad.


Página IX

𝑠 Vector de incógnitas.

𝑓1 Función de restricción cinemática del lazo 1.




𝑓 Vector de funciones de restricción.

𝑑𝑓

𝑑𝑡

Derivada del vector de funciones de restricción con respecto al tiempo.

Para obtener la velocidad del mecanismo.

𝑓1 Derivada de la función de restricción cinemática 𝑓1, con respecto al

tiempo.


tiempo.


tiempo.


tiempo.

𝜃3 Velocidad de 𝜃3

𝜃4 Velocidad de 𝜃4

𝑟3 Velocidad de 𝑟3.

𝐷�� Velocidad de 𝐷𝑦

�� Velocidad angular de la variable generalizada.

𝐽(𝜃) Jacobiano del mecanismo.

𝐾𝑠 Vector que contiene los coeficientes de velocidad.

�� Derivada del vector de incógnitas con respecto al tiempo.

𝐾𝜃3 Coeficiente de velocidad de la variable 𝜃3


𝐾𝑟3 Coeficiente de velocidad de la variable 𝑟3

𝐾𝐷𝑦 Coeficiente de velocidad de la variable 𝐷𝑦

𝑓1 Segunda derivada de la función de restricción cinemática 𝑓1, con

respecto al tiempo.


respecto al tiempo.


respecto al tiempo.


respecto al tiempo.

�� Aceleración angular de la variable generalizada.


Página X

𝜃3 Aceleración angular de 𝜃3

𝜃4 Aceleración angular de 𝜃4

𝑟3 Aceleración angular de 𝑟3

𝐷�� Aceleración angular de 𝐷𝑦

𝐿𝑠 Vector que contiene los coeficientes de velocidad.

�� Segunda derivada del vector de incógnitas, con respecto al tiempo

𝐿𝜃3 Coeficiente de aceleración de la variable 𝜃3


𝐿𝑟3 Coeficiente de aceleración de la variable 𝑟3

SIMBOLOGÍA: CAPÍTULO 3


𝑟1 Distancia constante del origen al punto “C”.

𝑟𝐸𝐴 Distancia constante del punto “E” al punto “A”.


𝑟2 Magnitud de la manivela.

𝑟4 Magnitud de la barra “BD”

𝑞 Variable generalizada. (Angulo de entrada)

𝜃3 Angulo variable formado entre la manivela y biela.

𝜃4 Angulo variable formado entre la horizontal y la barra “BD”

𝑟3 Variable del mecanismo.



𝐾𝑟3 Coeficiente de velocidad de la variable 𝑟3



𝐿𝑟3 Coeficiente de aceleración de la variable 𝑟3

𝐺𝑥2 Coordenadas del centro de masa de la manivela en el eje “x”

𝐺𝑦2 Coordenadas del centro de masa de la manivela en el eje “y”

𝐾𝐺𝑥2 Coeficiente de velocidad del centro de masa de la manivela en el eje

“x”

𝐾𝐺𝑦2 Coeficiente de velocidad del centro de masa de la manivela en el eje

“y”


Página XI

𝐿𝐺𝑥2 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la manivela en el eje

“x”

𝐿𝐺𝑦2 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la manivela en el eje

“y”

𝐺𝑥3 Coordenadas del centro de masa de la barra “EA” en el eje “x”

𝐺𝑦3 Coordenadas del centro de masa de la barra “EA” en el eje “y”

𝐾𝐺𝑥3 Coeficiente de velocidad del centro de masa de la barra “EA” en el eje

“x”

𝐾𝐺𝑦3 Coeficiente de velocidad del centro de masa de la barra “EA” en el eje

“y”

𝐿𝐺𝑥3 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la barra “EA” en el

eje “x”

𝐿𝐺𝑦3 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la barra “EA” en el

eje “y”

𝐺𝑥4 Coordenadas del centro de masa de la barra “AB” en el eje “x”

𝐺𝑦4 Coordenadas del centro de masa de la barra “AB” en el eje “y”

𝐾𝐺𝑥4 Coeficiente de velocidad del centro de masa de la barra “AB” en el eje

“x”

𝐾𝐺𝑦4 Coeficiente de velocidad del centro de masa de la barra “AB” en el eje

“y”

𝐿𝐺𝑥4 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la barra “AB” en el

eje “x”

𝐿𝐺𝑦4 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la barra “AB” en el

eje “y”

𝐺𝑥5 Coordenadas del centro de masa de la barra “BD” en el eje “x”

𝐺𝑦5 Coordenadas del centro de masa de la barra “BD” en el eje “y”

𝐾𝐺𝑥5 Coeficiente de velocidad del centro de masa de la barra “BD” en el eje

“x”

𝐾𝐺𝑦5 Coeficiente de velocidad del centro de masa de la barra “BD” en el eje

“y”

𝐿𝐺𝑥5 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la barra “BD” en el

eje “x”

𝐿𝐺𝑦5 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la barra “BD” en el

eje “y”

𝐺𝑦6 Coordenadas del centro de masa de la corredera en el eje “y”

𝐾𝐺𝑦6 Coeficiente de velocidad del centro de masa de corredera en el eje “y”

𝐿𝐺𝑦6 Coeficiente de aceleración del centro de masa de la corredera en el eje

“y”

T Torque (o momento de fuerza rotatoria).


Página XII

𝛼 Aceleración angular.

𝐼 Momento de inercia.

𝐹 Fuerza aplicada al cuerpo.

𝑚 Masa del cuerpo.

𝑎 Aceleración del cuerpo

𝜉𝑔(𝑞) Inercia generalizada.

𝑚𝑖 Masa correspondiente a cada eslabón.

𝐾𝐺𝑥𝑖 Coeficiente de velocidad del centro de masa correspondiente a cada

eslabón , en el eje “x”

𝐾𝐺𝑦𝑖 Coeficiente de velocidad del centro de masa correspondiente a cada

eslabón , en el eje “y”

𝐼𝐶𝐺𝑖 Momento de inercia correspondiente a cada eslabón , en el eje “x”

𝐾𝜃 Coeficientes de velocidad 𝐾𝜃3y 𝐾𝜃4

según sea el caso.

𝑑𝜉(𝑞) Derivada de la inercia generalizada con respecto a a variable

generalizada.

𝑇𝑖 Energía cinética de un cuerpo rígido.

𝑉𝐺 Coeficiente de velocidad con respecto a la variable generalizada.

𝑀 Matriz de masa.

𝐼𝐺 Matriz de inercia.

𝜔 Coeficiente de velocidad angular con respecto a la variable

generalizada.

𝑉𝐺𝑖 Velocidad de los centros de masa de los eslabones.

𝜔𝑖 Velocidad angular de los centros de masa de los eslabones.

𝐹𝑖 Fuerzas externas.

𝑟𝑖 Vectores de posición.

𝛿𝑊 Trabajo virtual.

𝑀𝑖 Torques externos.

𝜃𝑖 Ángulos formados por los torque externos.

𝛿𝑟𝑖 Desplazamientos virtuales respecto a los vectores de posición.

𝛿𝜃𝑖 Desplazamientos virtuales respecto a los ángulos.

𝑄 Fuerzas externas generalizadas.

𝐹𝑐𝑐 Fuerzas conservativas

𝐹𝑖𝑛𝑐 Fuerzas no conservativas.

∇𝑉𝑖 Gradiente de la función potencial.

V Energía potencial total del sistema.


Página XIII

𝑄𝑛𝑐 Fuerza generalizada no conservativa.

g Constante de Gravedad.

𝑦𝑐𝑚𝑖 Distancia vertical, del eje x hacia el centro de masa de cada eslabón.

�� Aceleración angular de la variable generalizada.

�� Velocidad angular de la variable generalizada.


P Control proporcional

I Control integral

D Control derivativo

PI Control proporcional-integral

PD Control proporcional-derivativo

PID Control proporcional-integral-derivativo

𝑣(𝑡) Salida del controlador.

𝐾𝑝 Ganancia del control proporcional.

𝑒(𝑡) Error en función del tiempo.

𝐾𝑖 Ganancia del control integral.

𝑥 Posición obtenida, por algún tipo de sensor.

𝐾𝑑 Ganancia del control derivativo.

𝑒 Error obtenido del muestreo del sensor.

�� Derivada del error obtenido del muestreo del sensor.

�� Derivada de la posición angular medida por algún sensor.

𝑞�� Derivada de la posición angular deseada.

𝑞 Posición angular medida por un sensor.

𝑞𝑑 Posición angular deseada.

𝑥𝑑 Posición deseada

�� Derivada de la posición obtenida por un sensor.

𝑥�� Derivada de la posición deseada.


Página XIV


τ(t) Par de accionamiento generado por el controlador.

𝐾𝑝 Ganancia proporcional.

𝐾𝑑 Ganancia derivativa.

𝐾𝑖 Ganancia integral.

𝑒𝑞 Error de posición angular en un instante dado.

𝑒𝑦 Error de posición lineal del bloque

𝑞𝑑 Posición angular deseada en la manivela en un instante dado.

𝑞 Posición angular de la manivela en un instante dado.

�� Derivada de la posición angular de la manivela en un instante dado.

𝑦 Posición lineal del bloque “D” en un instante dado.

�� Derivada de a posición lineal del bloque “D” en un instante dado.

��𝑑 Velocidad angular deseada en un instante dado.

��𝑞 Velocidad del error angular en un instante dado.


Página XV

Objetivo general.

Diseñar y construir una plataforma experimental para la planificación y el control

operacional de mecanismos de 1 GDL tipo manivela-corredera multilazo.

Objetivos particulares.

1. Obtener el modelo cinemático y dinámico de un mecanismo de 1 GDL, multilazo.

2. Implementar y simular esquemas de control para desempeñar tareas en el espacio

operacional y articular.

3. Construcción e integración de plataforma experimental para validar resultados de

simulación y realizar pruebas experimentales.

4. Analizar e interpretar resultados de simulación y experimentales obtenidos.


Justificación. Página XVI

Justificación.

En la actualidad los esquemas para planificar y controlar el movimiento de los

mecanismos de cadena cinemática cerrada tipo Grashof, están relacionados con la Matriz

jacobiana. La Matriz jacobiana, representa la configuración geométrica de un mecanismo,

determina la magnitud y el sentido de las fuerzas y de velocidades de entrada y salida

[1]. Así como también el diseño de esquemas de control para este tipo de mecanismos

se basa en un control de tipo articular. Es decir, el sensor es angular, y es instalado en el

eslabón de entrada. La acción de control articular puede ser en lazo abierto o lazo cerrado.

Sin embargo, es importante mencionar, que en realidad el esquema articular sólo controla

el movimiento de la manivela, y el movimiento del eslabón de salida que desempeña la

tarea, sólo es “arrastrado” a través de la estructura del mecanismo. Por lo que su

movimiento puede ser afectado por posibles incertidumbres mecánicas, como son: la

holgura debida al desgaste en las articulaciones, que afectan la velocidad y aceleración

de salida ocasionada por el efecto de las fuerzas internas, generadas por el golpeteo

intermitente entre sus componentes [2], la deformación de los eslabones sometidos a

carga o impacto que degradan la respuesta dinámica [3], una posible desalineación de los

ejes en los reductores de velocidad [4] o un mal ensamble mecánico ocasionado por

errores de manufactura.

La acción del control articular no puede compensar las incertidumbres mecánicas

presentes en el mecanismo ni compensar parámetros con incertidumbre y baja rigidez

dando como resultado un desempeño pobre en la tarea [5]. Para disminuir el efecto de las

incertidumbres sobre el desempeño de la tarea, en este trabajo, se propone un esquema de

control operacional, que consiste en instalar un sensor lineal en el eslabón de salida. Con

la posición y velocidad medida desde el sensor es posible retroalimentar leyes de control

en el espacio operacional, sin tomar en cuenta la Matriz jacobiana. Con este enfoque la

acción del control puede compensar y evitar las incertidumbres del mecanismo. Además,

es posible planificar la trayectoria directamente en el espacio de la tarea sin necesidad de

reflejarla al espacio articular.

En los últimas décadas se ha dedicado mucho tiempo a la investigación de los

mecanismos de cadena cinemática abierta (Robots seriales). Pero se ha dejado de lado a

los mecanismos de cadena cinemática cerrada, olvidando las ventajas que tienen respecto


Justificación. Página XVII

a los mecanismos de cadena cinemática abierta, las cuales pueden ofrecer mayor rigidez,

mayor velocidad, así como también mayor capacidad de carga. [6] Los mecanismos de

cadena cinemática cerrada, presentan muy buenas características en términos de

exactitud, rigidez y habilidad para manipular cargas muy elevadas a altas aceleraciones.

[7] Estas características son muy importantes y se pueden implementar para desarrollar

una tarea donde los mecanismos de cadena abierta presentarían algunas desventajas.

Una de las tareas donde es factible implementar un mecanismo de cadena cinemática

cerrada por su ventaja mecánica, es en el desbaste o corte de materiales, se trata de un

movimiento repetitivo que está sometido a enormes fuerzas generadas por el contacto

intermitente entre el cortador y la pieza. Por lo que este trabajo busca aprovechar las

ventajas que presentan los mecanismos de cadena cinemática cerrada aplicándolo a

cualquier tarea de paletizado, acomodo de piezas, alimentación de materia prima o tareas

en donde sea importante el tiempo de llegada del material (aprovechando que estos

mecanismos soportan mayor carga y pueden trabajar a mayores velocidades).

Una de las aportaciones de esta investigación se basa en la posibilidad en mostrar las

ventajas que tienen los mecanismos de cadena cinemática cerrada con la aplicación del

control, ya que amplía la posibilidad de realizar diversas tareas que requieren tiempos

definidos, obteniendo como mejoras, el consumo de energía, precisión, repetitividad,

costo de producción entre otras.

En los procesos de manufactura es común que existan tiempos para realizar tareas y que

deben de respetarse, ya que un retraso en la producción representa pérdidas en las

industrias. Por lo anterior, en este trabajo se propone un esquema aplicado a los

mecanismos de cadena cinemática cerrada para desempeñar tareas que garanticen las

restricciones de tiempo impuestas por el sistema de manufactura o producción. Como en

el caso de los sistemas de manufactura integrada por computadora o sistemas flexibles de

manufactura.

Mostrando así la importancia de la implementación del control a esta clase de mecanismos

y verificando cuales son las ventajas que brindan en diversas tareas de la manufactura.

Capítulo 1.

Estado del arte.


19

I. Estado del arte.

Introducción

En este capítulo se presenta el estado del arte, que consiste en una revisión bibliográfica,

sobre investigaciones relacionadas con los esquemas aplicados para la sincronización de

mecanismos en el desempeño de tareas con restricciones de tiempo dadas. Con este estado

del arte se busca tener claro cuáles son los avances científicos en la actualidad del tema

que se está investigando. Ya que si no se tienen las bases del tema, no se puede tener claro

cuáles son las aportaciones para cualquier investigación. Desde los antecedentes

históricos, las investigaciones actuales, las aportaciones y desarrollos del tema que se está

investigando.

Por lo tanto en este capítulo se puede observar una investigación sobre la importancia de

la mecánica en nuestros días, las investigaciones del control aplicadas a mecanismos de

cadena cinemática cerrada, al igual que se hizo un estudio minucioso sobre el control de

posición para mecanismo de cadena cinemática cerrada.

1.1 La ciencia de la mecánica.

La Mecánica es la rama del análisis científico que se ocupa de analizar el movimiento de

los cuerpos, y su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas.

La mecánica se divide en dos partes: La estática y la dinámica.

Figura 1.1 Ramas de la mecánica.


20

La estática.- proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido solución

a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las

condiciones básicas de equilibrio, que son:

El resultado de la suma de fuerzas es nula.

El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo.

Estas dos condiciones, mediante el vector, se convierten en un sistema de ecuaciones, la

resolución de este sistema de ecuaciones, es resolver la condición de equilibrio.

Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos,

heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de

ecuaciones se evitaba mediante la geometría, actualmente se tiende al cálculo por

ordenador.

La dinámica.- La dinámica estudia la variación del movimiento de los cuerpos con

respecto al tiempo.

Como se ve en la figura 1.1 la dinámica está separada por dos disciplinas. Euler fue el

primero en reconocer que deben estudiarse por separado.

Estas dos ramas de la dinámica son muy importantes para cualquier análisis, la cinemática

que proviene del vocablo griego kinema, que significa movimiento y la cinética que

estudia el movimiento y las fuerzas que lo producen.

Para realizar un diseño de un sistema mecánico es necesario como primer paso realizar

un análisis cinemático, donde se estudiara el movimiento independientemente de las

fuerzas que lo producen. En este análisis se estudia la posición, desplazamiento, velocidad

y aceleración de cualquier punto del sistema en cuestión.

Lo anterior sólo puede suceder si los cuerpos que se estudian son rígidos, ya que si los

cuerpos tienen deformaciones o son flexibles, el análisis no se podría efectuar por

separado como lo plantea Euler. Por lo que, para estos análisis los eslabones se consideran

rígidos y después de obtener las reacciones para cada eslabón y una vez realizado el

análisis dinámica se puede diseñar las piezas para evitar deformaciones y mantener los

eslabones rígidos. [8]

1.2 Máquinas y mecanismos.

La teoría de máquinas y mecanismos es una ciencia aplicada que trata de las relaciones

entre la geometría y el movimiento de los elementos de una maquina o un mecanismo, de

las fuerzas que intervienen en estos movimientos.Los conocimientos de mecánica

constituyen la base para el estudio de los mecanismos y las máquinas. [8]

1.2.1 Análisis y síntesis.

El diseño y el análisis son dos aspectos completamente distintos en el estudio de los

sistemas mecánicos. El concepto comprendido en el término "diseño" podría llamarse

más correctamente síntesis, o sea, el proceso de idear un patrón o método para lograr un

propósito dado.

Diseño es el proceso de establecer tamaños, formas, composiciones de los materiales y

disposiciones de las piezas de tal modo que la máquina resultante desempeñe las tareas

prescritas. Aunque existen muchas fases dentro del proceso del diseño que es factible


21

plantear de un modo científico y bien ordenado, el proceso en conjunto es por su propia

naturaleza, tanto un arte como una ciencia Requiere imaginación, intuición, creatividad,

sentido común y experiencia. El papel de la ciencia dentro del proceso de diseño sirve

sencillamente para proveer las herramientas que utilizarán los diseñadores para poner en

práctica su arte.

Es precisamente en el proceso de evaluación de varias alternativas interactuantes que los

diseñadores se enfrentan a la necesidad de un gran número de instrumentos matemáticos

y científicos. Cuando éstos se aplican en forma correcta ofrecen información más exacta

y digna de confianza para juzgar un diseño que se pueda lograr a través de la intuición o

el cálculo. Por ende, suelen constituir un auxiliar extraordinario para decidir entre varias

alternativas. Sin embargo, las herramientas científicas no pueden tomar decisiones

suplantando a los diseñadores; éstos tienen todo el derecho de poner en práctica su

imaginación y capacidad creativa, incluso al grado de pasar por encima de las

predicciones matemáticas.

Es probable que el conjunto más abundante de métodos científicos de que dispone el

diseñador quede dentro de la categoría denominada análisis. Se trata de técnicas que

permiten que el diseñador examine en forma crítica un diseño ya existente o propuesto

con el fin de determinar si es adecuado para el trabajo de que se trate. Por ende, el análisis,

por sí solo, no es una ciencia creativa sino más bien de evaluación y clasificación de cosas

ya concebidas. Es preciso tener siempre en mente que aunque la mayor parte de los

esfuerzos realizados se dediquen al análisis, la meta real es la síntesis, es decir, el diseño

de una máquina o un sistema. El análisis es una simple herramienta y, sin embargo, es tan

vital que se usará inevitablemente como uno de los pasos en el proceso de diseño.

El problema inicial en el diseño de un sistema mecánico es, por consiguiente, la

comprensión de su cinemática. Cinemática es el estudio del movimiento,

independientemente de las fuerzas que lo producen. De manera más específica, la

cinemática es el estudio de la posición, el desplazamiento, la rotación, la rapidez, la

velocidad y la aceleración.

No obstante, la estática y la cinética son también partes vitales de un análisis de diseño

completo. [8]

1.2.2 Terminología, definiciones.

Un mecanismo es una combinación de cuerpos rígidos tan conectados que el movimiento

de uno solo, producirá un movimiento definido y predecible en los demás, de acuerdo a

las leyes de la física. Alternativamente un mecanismo es definido como una cadena

cinemática en la que uno de los cuerpos rígidos es fijado.

Una máquina es un grupo de mecanismos usados para realizar un trabajo útil, una

máquina transmite fuerzas, un ejemplo de máquina es un motor de combustión interna.

Una máquina es una disposición de partes para efectuar trabajo, un dispositivo para

aplicar potencia o cambiar su dirección; difiere de un mecanismo en su propósito. En una

máquina, los términos fuerza, momento de torsión (o par motor), trabajo y potencia

describen los conceptos predominantes. En un mecanismo, aunque puede transmitir la

potencia de una fuerza, el concepto predominante que tiene presente el diseñador es lograr

un movimiento deseado. Existe una analogía directa entre los términos estructura,

mecanismo y máquina, y las tres ramas de la mecánica especificadas en la figura 1.1. El


22

término "estructura" es a la estática lo que el término "mecanismo" es a la cinemática y

el término "máquina" es a la cinética. [8]

Un enlace o eslabón es un cuerpo rígido que sirve para transmitir fuerza de un cuerpo a

otro, un enlace es definido como un cuerpo rígido teniendo dos o más elementos

emparejados.

Los componentes de máquinas que no se adaptan a esta hipótesis de rigidez, como por

ejemplo, los resortes, no tienen por lo común efecto alguno sobre la cinemática de un

dispositivo, aunque si desempeñan un papel en la generación de fuerzas. Estos elementos

no se llaman eslabones y casi siempre se ignoran durante el análisis cinemático y sus

efectos de fuerza se introducen durante el análisis dinámico. En algunas ocasiones, como

sucede en el caso de una banda o cadena, puede suceder que un elemento de una máquina

posea rigidez unilateral, en cuyo caso se consideraría como eslabón en la tensión; pero no

así en la compresión.

Los eslabones de un mecanismo se deben conectar entre sí de una manera tal que

transmitan movimiento del impulsor, o eslabón de entrada, al seguidor, o eslabón de

salida. Estas conexiones, articulaciones entre los eslabones, se llaman pares cinemáticos

(o simplemente pares) porque cada articulación se compone de dos superficies pareadas,

dos elementos, con cada superficie o elemento pareado formando parte de cada uno de

los eslabones articulados. Por ende, un eslabón se puede definir también como la conexión

rígida entre dos o más elementos de diferentes pares cinemáticos.

Cuando varios eslabones están conectados móvilmente por medio de articulaciones, se

dice que constituyen una cadena cinemática. Los eslabones que contienen sólo dos pares

dé conexiones de elementos se llaman eslabones binarios, los que tienen tres se clasifican

como ternarios y así sucesivamente. Si cada eslabón de la cadena se conecta por lo menos

con otros dos, ésta forma uno o más circuitos cerrados y, en tal caso, recibe el nombre de

cadena cinemática cerrada; de no ser así, la cadena se llama abierta. Cuando no se hace

especificación alguna se supone que la cadena es cerrada. Si ésta se compone totalmente

de eslabones binarios es cerrada simple; sin embargo, las cadenas cerradas compuestas

incluyen otros eslabones binarios y, en consecuencia, forman más de un solo circuito

cerrado. [8]

Cuando se habla de que un eslabón está fijo se da a entender que se elige como marco de

referencia para todos los demás eslabones, es decir, que los movimientos de todos los

demás puntos del eslabonamiento se medirán con respecto a ése en particular, ya que se

le considera como fijo. En una máquina real, ese eslabón es casi siempre una plataforma

o base estacionaria (o una cubierta rígidamente sujeta a dicha base), y se le denomina

eslabón marco o base. La cuestión de si este marco de referencia es verdaderamente

estacionario (en el sentido de ser un marco de referencia inercial) no tiene importancia

para el estudio de la cinemática; pero la adquiere en la investigación de la cinética, en

donde deben considerarse las fuerzas. En cualquier caso, una vez que se designa el marco

de referencia (y se satisfacen otras condiciones), la cadena cinemática se convierte en un

mecanismo y conforme el impulsor se mueve pasando por varias posiciones denominadas

fases, todos los demás eslabones manifiestan movimientos bien definidos con respecto al

marco de referencia elegido. Se usa el término cadena cinemática para especificar una

disposición particular de eslabones y. articulaciones, cuando no se ha especificado con

claridad cuál eslabón se usará como marco de referencia. Una vez que se estipula el

eslabón de referencia, la cadena cinemática se convierte en mecanismo.

Para que un mecanismo sea útil, los movimientos entre los eslabones no pueden ser

completamente arbitrarios, éstos también deben restringirse para producir los


23

movimientos relativos adecua dos, los que determine el diseñador para el trabajo

particular que se deba desarrollar. Estos movimientos relativos deseados se obtienen

mediante la elección correcta del número de eslabones y de los tipos de articulaciones

utilizados para conectarlos.

El factor de control que determina los movimientos relativos que permite una articulación

dada es la forma que tengan las superficies o elementos pareados. Cada tipo de

articulación posee sus propias formas características para los elementos y cada una

permite un tipo de movimiento específico, el cual es determinado por las maneras posibles

en que estas superficies elementales se pueden mover una en relación con otra. Por

ejemplo, la articulación de pasador o espiga de la figura 1.2a tiene elementos cilíndricos

y, suponiendo que los eslabones no se pueden deslizar en sentido axial, estas superficies

permiten sólo un movimiento rotatorio. Por ende, una articulación de pasador deja que

los dos eslabones conectados experimenten una rotación relativa en torno al pasador

central.

De la misma manera, las demás articulaciones tienen sus propias formas de los elementos

y sus propios movimientos relativos que les son característicos. Tales formas restringen

el movimiento totalmente arbitrario de dos eslabones no conectados a un tipo prescrito de

movimiento relativo y constituyen las condiciones limitantes o restricciones impuestas al

movimiento del mecanismo. [8]

Figura 1.2 Los seis pares inferiores: a) revoluta o giratorio, b) prismático, c) helicoidal, d)

cilíndrico, e) esférico y j) plano.


24

Tabla 1.1 Pares cinemáticos inferiores.

PAR SIMBOLO VARIABLE

DEL PAR

GRADOS DE

LIBERTAD

MOVIMIENTO

RELATIVO

Revoluta R Δ 1 Circular

Prisma P Δs 1 Lineal

Tornillo S Δ ΔS 1 Helicoidal

Cilindro C Δ Δs 2 Cilíndrico

Esfera G Δ Δ , Δφ 3 Esférico

Plano F Δx, Δy, Δ 3 Plano

Una cadena cinemática es un grupo de enlaces conectados por medio de pares para

transmitir movimiento o fuerza.

Tienen gran importancia los mecanismos de cadena cinemática cerrada, desde la

antigüedad estos mecanismos han sido utilizados para transformar un movimiento angular

de entrada, en un movimiento lineal en la salida, al igual que a partir de una velocidad

constante en la entrada se obtengan perfiles de velocidad deseados en la salida. [9]

1.3 Mecanismos de retorno rápido.

Este trabajo de investigación está enfocado en los mecanismos de retorno rápido, ya que

muchas aplicaciones de diseño de maquinaria tienen la necesidad de tener dos velocidades

diferentes, una de carrera hacia delante y la segunda de retorno. Por lo común se realiza

un trabajo externo en la carrera hacia delante y la de regreso necesita regresar

rápidamente, de modo que ese tiempo sea aprovechado por la carrera de trabajo.

Mecanismo manivela-corredera de retorno rápido.- Se utiliza en la industria para

realizar operaciones repetitivas como alimentar piezas en una línea de ensamble y corte

de material (cepillo de codo). En estas aplicaciones se utilizan motores eléctricos, sin

embargo se podrían utilizar servomotores y poder aplicar leyes de control para poder

optimizar la tarea del mecanismo.Estos mecanismos presentan una carrera lenta y potente

al avance, seguida de una carrera de retorno rápida. Lo que se puede observar es que estos

mecanismos tienen muchas aplicaciones y si se optimizan aplicando un control robusto,

ya sea para regulación o seguimiento de trayectorias, estos mecanismos pueden ser

utilizados para diversas tareas, no sólo para el desbaste de piezas. Esta cadena cinemática

se conoce como mecanismo de Whitworth, o de manivela de cepilladora. [10]

Este mecanismo ha sido de gran interés para la investigación y desarrollo de prototipos,

ya que desarrolla grandes fuerzas a una alta razón de alimentación (100 piezas/minuto),

debido a un volante de inercia y la geometría propia del mecanismo. [11]


25

Figura 1.3 Motor de combustión interna con mecanismo manivela-biela-corredera y su

representación gráfica.

1.4 Estudio de los mecanismos.

El estudio de los mecanismos se remonta desde la antigüedad, un ejemplo claro es la

rueda, siendo la base de numerosos mecanismos. Con la rueda surgieron diferentes tipos

de mecanismos, que ayudaron al ser humano a facilitar diferentes actividades. La

ingeniería mecánica tuvo sus principios en el diseño de máquinas en la revolución

industrial. James Watt fue uno de los primeros científicos que utilizó la cinemática para

sintetizar un eslabón lineal para girar los pines en las máquinas de vapor. Euler presentó

un trabajo sobre el análisis de los mecanismos donde incluyó el concepto del movimiento

plano, que consta de dos componentes independientes, la traslación de un punto y la

rotación del cuerpo en torno a dicho punto. Éste es el origen que se muestra en la

introducción, donde se divide la mecánica en cinemática y cinética.

Una parte fundamental de los mecanismos es el actuador, ya que en la mayoría de los

mecanismos de cadena cinemática cerrada sólo tienen un grado de libertad, por lo tanto

el actuador que ha sido muy utilizado y estudiado son los servomotores.

En 1986, J. S. Park realizó un estudio sobre la importancia que tienen los servomotores

en la industria, ya que gran parte de las máquinas automatizadas utilizan este tipo de

motores, en su trabajo muestra la eficiencia de los servomecanismos para el control punto

a punto, obteniendo un mayor grado de eficiencia de la energía. Park propone un perfil

de aceleración, diferentes a los ya conocidos (perfil trapezoidal, exponencial, polinomial,

senoidal, cosenoidal) para maximizar la eficiencia de energía y evitar la disipación de

energía (el calentamiento del motor). Estos perfiles en la entrada requieren gran energía,

por lo que no son convenientes y presentan un costo mayor en la operación del motor.

Park considera el motor como un actuador que convierte la energía eléctrica a mecánica

y considera este tipo de actuadores de gran importancia para lograr la mayor eficiencia

de la energía y disminuir el calor disipado en el motor. El perfil que propone, es el

parabólico de aceleración. [12] Eduardo BAYO

Una parte muy importante del estudio de los mecanismos, es el modelado dinámico, en

los últimos años han sido de gran interés para diversas investigaciones, ya que el modelo

dinámico en necesario para aplicar alguna ley de control y tener en cuenta las diferentes


26

variables que pueden desestabilizar el mecanismo, ya sea en la etapa transitoria o en la

etapa estable.

Por lo que en 1997, Rang-Fong Fung, presentó un trabajo sobre la dinámica inversa de

un mecanismo de cambio. El mecanismo que se estudia es una combinación de un

mecanismo de cuatro barras y un mecanismo de manivela-corredera. El objetivo es

determinar las fuerzas motrices para producir un determinado movimiento. En este

trabajo se muestra como obtener la posición, velocidad y aceleración para un análisis

dinámico multicuerpo, utilizando las ecuaciones de Hamilton y los multiplicadores de

Lagrange, obteniendo ecuaciones de movimiento.

Las ecuaciones obtenidas que describen el movimiento del mecanismo de cambio, son

complicadas de resolver, por lo que mediante el uso de relaciones geométricas se

reordenan y se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales en términos de una sola

componente, las cuales por medio del método numérico Runge-Kutta se resuelven y se

obtiene el comportamiento del sistema. [13]

1.4.1 Control aplicado a mecanismos de cadena cinemática cerrada.

Como se habló anteriormente, la mecatrónica es la conjunción de diferentes ramas de la

ingeniería, esto nos lleva a que la mecánica necesita de la electrónica y el control, para

optimizar algún proceso industrial, por lo que es necesario implementar esquemas de

control a los mecanismos.

En el trabajo presentado por Tokuz Dulger and Serdar Uyan, en el año 1997. Muestra el

modelado, simulación, y control de un mecanismo de cuatro barras con un servomotor

sin escobillas.

Los sistemas de control de servomecanismos tienen grandes aplicaciones en la

producción automática y la robótica. Estos sistemas dan flexibilidad al sistema.

Las escobillas y el conmutador mecánico en los servomotores de D.C. imponen una serie

de incovenientes en el sistema montado, uno de ellas es el mantenimiento continuo del

servomotor, esta problemática puede ser atacada usando servomotores sin escobillas y

supliendo el conmutador mecánico por uno electrónico.

Con el diseño del servomotor que proponen en el trabajo reducen las inercias, se elevan

las velocidades del rotor y mayor potencia a comparación del convencional.

Se describe el modelo matemático del motor y se obtiene un modelo no lineal, que se

representa por un conjunto de ecuaciones acopladas que se resuelven utilizando métodos

numéricos.

En esta investigación se muestran las ventajas de utilizar servomotores en los

mecanismos, para optimizar la función que tiene el mecanismo al ser diseñado. [14]

En 1997, Ruvinda Gunawardana y Fathi Ghorbel presentaron un trabajo sobre las ventajas

que brindan los mecanismos de cadena cinemática cerrada, respecto a los mecanismos de

cadena cinemática abierta, así como también desarrollaron una estrategia de control por

medio de un PD (control proporcional-derivativo), respaldándose de un banco de pruebas,

donde se realizaron las etapas de control, ponderando la experimentación con la

simulación.

En las últimas dos últimas décadas se han desarrollado investigaciones, las cuales atacan

problemas propios de mecanismos con eslabones conectados secuencialmente


27

(mecanismos de cadena cinemática abierta). Se han planteado diversas leyes de control y

ecuaciones de movimiento. Dejando de lado la importancia que tienen los mecanismos

de cadena cinemática cerrada, como lo muestra esta investigación, donde se propone que

los actuadores se localicen más cerca de la base o en la propia base, esto hace que los

eslabones sean más ligeros y por consiguiente tengan mayor eficiencia. Estos mecanismos

proporcionan mayor rigidez y son adecuados para líneas de montaje rápido. [15]

Una investigación muy importante se realizó en el año de 1998, aplicando un control al

mecanismo de manivela-corredera, utilizando una técnica para adaptar el torque del

motor, considerando incertidumbres del sistema. Accionado por un motor síncrono de

imán permanente. En la primera parte se obtiene el modelo matemático por medio del

principio de Hamilton y los multiplicadores de Lagrange, para obtener la ecuación de

movimiento del mecanismo. En esta investigación se propone un control robusto por

modos deslizantes para controlar la posición.

El mecanismos de manivela-corredera, tiene diversas aplicaciones, como se han señalado

anteriormente, la más importante es en el motor de gasolina, donde la fuerza del gas actúa

en la corredera, convirtiendo un movimiento angular en lineal.

Otra parte importante que señala este trabajo es la respuesta transitoria, donde se ha

investigado en base a las reacciones, la longitud de la manivela a la longitud de la biela y

las velocidades de rotación de la manivela a las rotaciones de la biela. Por otra parte este

artículo menciona que no se ha realizado ninguna investigación sobre la aplicación de un

actuador eléctrico y mucho menos sobre el control de posición, velocidad o trayectoria,

lo que nos da la pauta para seguir con la investigación que se propone en este trabajo.

[16]

Otro trabajo que tiene importancia en esta investigación, fue el publicado en 1999, por

Rong-Fong Fung, Ken-Wang Chen y Jia-Yush Yen, donde implementan un control por

modos deslizantes, utilizando un servomotor sincrono PM (iman permanente) para el

control de posición, de igual manera que en el artículo anterior.

De la misma forma que en el artículo anterior, se formula la ecuación de movimiento, por

medio del principio de Hamilton y los multiplicadores de Lagrange. Se propone un

control robusto. Una aportación importante es la implementación de un servomotor

síncrono PM, ya que tiene diversas aplicaciones en el control de movimiento con

potencias bajas o medias. Este motor presenta una estructura compacta, alta relación de

par a la inercia y alta capacidad de par de torsión.

Las ventajas que presenta este tipo de servomotor son diversas, la más importante, es que

tiene una mayor eficiencia, debido a que no presenta pérdidas en el rotor. [13]

En el año 1999, Hong-Sen Yan y Wei-Ren Chen presentan un trabajo sobre el mecanismo

manivela-corredera, donde se propone variar la velocidad de entrada, para obtener

velocidades deseadas en la salida (puede ser una trayectoria deseada). Mediante la

implementación de un servomotor. En este trabajo se plantean las velocidades por medio

de curvas de Bazier.

El mecanismo de manivela-corredera, tiene diversas aplicaciones, en esta investigación

muestran el ejemplo de un compresor, donde el actuador es un motor eléctrico que tiene

una velocidad constante y la velocidad que se desea de salida, se obtiene de la síntesis del

mecanismo. En este trabajo se presenta otra solución alternativa, que llevaría a tener un

mecanismo flexible, ya que con las mismas dimensiones se podrán obtener diferentes

velocidades de salida, aplicando la ley de control propuesta y un servomotor.


28

En esta investigación se muestran algunas aplicaciones del mecanismo manivela

corredera donde se encuentran ventajas sobre la variación de la velocidad. Algunas

aplicaciones son: en una troqueladora o en punzadora. Donde es necesario variar la

velocidad de la salida. Por último se muestran los resultados obtenidos

experimentalmente y se analizan. [17]

En el año 2003, el Departamento de Ingeniería Eléctrica Kao Yuan, presenta una

investigación sobre el control de posición del mecanismo manivela corredera, por medio

de un control PID autoajustable.

En primera parte obtienen el modelo matemático de la misma forma que los artículos

anteriores, por medio del principio de Hamilton y el método de los multiplicadores de

Lagrange.

En la segunda parte proponen un controlador muy popular, con la aportación de que es

autoajustable. El controlador PID es muy popular, ya que es aplicado a la mayoría de los

procesos industriales y es fácil de implementar. Una de sus desventajas más importantes

es que no absorbe las perturbaciones externas de la planta y los parámetros se sintonizan

manualmente bajo condiciones ideales. Especialmente para sistemas no lineales, como lo

es, el mecanismo de manivela corredera. Los parámetros que se sintonizan en condiciones

ideales en su mayoría no son apropiados para condiciones con plena carga. Por lo que

este trabajo propone un ajuste automático inteligente, por medio de una PC.

Por último los resultados de simulación y experimentales muestran el potencial de la

controlador propuesto. [18]

1.5 Singularidades cinemáticas.

En el estudio de la cinemática de los mecanismos en necesario abordar inevitablemente

los problemas de las configuraciones singulares.

Se dice que una configuración singular o singularidad se presenta cuando el manipulador

pierde uno o más grados de libertad.

Se han presentado diferentes trabajos de las singularidades de mecanismos de cadena

cinemática cerrada, donde clasifican las singularidades en tres grupos principales que se

basan en las propiedades de las matrices jacobianas. Es decir aquellas matrices que

relacionan la velocidad de entrada con las velocidades de salida.

La relación entre las coordenadas de entrada y salida es:

𝐹(𝜃, 𝑥) = 0 (1.1)

Donde F es una función de 𝜃 y x. Si tenemos la diferencial con respecto al tiempo se tiene

que la entrada y la salida de la velocidad es la siguiente.

𝐴�� + 𝐵�� = 0 (1.2)

Donde:


29

𝐴 =𝜕𝐹

𝜕𝑥; 𝐵 =

𝜕𝐹

𝜕𝜃 (1.3)

Donde A y B son ambas matrices jacobianas de orden n x n.

Como se indicó anteriormente, las singularidades se producen en configuraciones de

cualquiera de las dos matrices A o B se pueden convertir en una singularidad.

Como se habló anteriormente, existen tres tipos de singularidades, a continuación se

muestran.

1) El primer tipo de singularidad se produce cuando se verifica la siguiente

condición:

det(𝐵) = 0 (1.4)

Esta configuración se refiere cuando la cadena cinemática alcanza su límite en el espacio

de trabajo. En esta singularidad se tendría que �� ≠ 0, por lo que �� será igual a cero. Si la

cadena cinemática es considerada un mecanismo, este tipo de singularidad corresponde a

una configuración en que la salida está en una posición de punto muerto.

2) El segundo tipo de singularidad se produce cuando tenemos la siguiente

condición:

det(𝐴) = 0 (1.5)

Esto corresponde a configuraciones en las que el dispositivo de agarre es localmente

móvil incluso cuando todas las articulaciones de accionamiento están bloqueadas.

La diferencia que se encuentra entre la primera singularidad mostrada es, que esta

singularidad se encuentra en el espacio de trabajo de la cadena. En esta configuración se

dice que el enlace de salida gana uno o más grados de libertad, esto implica que el enlace

de salida no puede resistir una o varias fuerzas o momentos, incluso cuando todos los

actuadores estén bloqueados. Si la cadena cinemática se considera un mecanismo, el

segundo tipo de singularidad corresponde a una configuración en la que la entrada es un

punto muerto.

Tanto el primero como el segundo tipo de singularidad corresponden para

configuraciones que pueden suceder en cadenas cinemáticas complejas en general.

3) El tercer tipo de singularidad es un poco diferente a la naturaleza de los dos

primeros, ya que requiere de parámetros en los enlaces.

Esto ocurre cuando, para determinadas configuraciones, tanto A como B se convierten

simultáneamente en singular, siempre y cuando algunas condiciones especificadas sobre

los parámetros de los enlaces se cumplan.

Esta configuración corresponde a configuraciones en el que la cadena puede sufrir

movimientos finitos cuando sus actuadores estén bloqueados o en el que un movimiento

finito de las entradas no produce ningún movimiento de las salidas. [19]


30

Capítulo 2.

Modelo cinemático


31

II. Modelo cinemático.

Introducción.

El gran número de posibilidades en la configuración (eslabones, pares cinemáticos,…) de

los distintos mecanismos, hace necesario un método de modelado cinemático sistemático.

La importancia de los modelos cinemáticos estriba en su utilización en una posterior

planificación, control, etc., Lo anterior, si bien es de gran utilidad práctica en un control

geométrico, no permite una perspectiva global del mecanismo. Por otra parte, se presenta

la metodología de modelado cinemático más destacada de la bibliografía, donde la

ecuación Jacobiana del mecanismo es obtenida mediante un análisis matemático propio

de este tipo de problemas. En este sentido, el presente capítulo desarrolla metodologías

para la generación de los modelos cinemáticos de mecanismos, tanto directos como

inversos, a partir de las relaciones cinemáticas aportadas por sus eslabones y pares

cinemáticos.

Es prioridad diagnosticar las fuerzas y torques necesarios para poder mover un

mecanismo, ya que por medio de estas podemos calcular los esfuerzos en los

componentes, para evitar fallas en el mecanismo, de igual manera, conocer los torques

que emplea nuestro sistema, nos auxilia en el desarrollo de esquemas de control

necesarios para obtener perfiles de velocidad deseados o alcanzar posiciones requeridas.

El análisis de un mecanismo se refiere a la investigación de la estructura cinemática,

dinámica y propiedades de los mecanismos.

En el problema de análisis de mecanismos se acostumbra dividirlo en dos partes:

a) Análisis estructural y cinemático.

b) Análisis dinámico de mecanismos.

El análisis cinemático tiene como objetivo el estudio de los componentes geométricos,

tales como pares cinemáticos, cantidad de cuerpos que lo forman, el grado de libertad, las

singularidades, las posiciones, velocidades y aceleraciones, sin tomar en cuenta el las

fuerzas que intervienen en los eslabones del mecanismo durante su movimiento, el cual

se abordara en el siguiente capítulo.[20]

A continuación se presenta el desarrollo de la obtención del modelo cinemático del

mecanismo en cuestión, con la finalidad de determinar las configuraciones singulares,

que tienen gran relevancia en la solución del problema propuesto.

El análisis cinemático de los mecanismos, es decir, el estudio del movimiento de los

eslabones sin tener en cuenta las fuerzas que condicionan el movimiento, comprende

básicamente la solución de los tres problemas siguientes:

1. Determinación de los desplazamientos de los eslabones y las trayectorias descritas

por los puntos del eslabón.

2. Determinación de las velocidades de ciertos puntos de los eslabones y las

velocidades angulares de los eslabones.

3. Determinación de las aceleraciones de ciertos puntos de los eslabones y las

aceleraciones angulares de los eslabones.


32

2.1 Grados de libertad.

Determinar los grados de libertad de un mecanismo es fundamental para la síntesis y el

análisis de los mecanismos.

Los grados de libertad es el número de variables independientes necesarias para poder

mapear todos los puntos de nuestro sistema. [20]

Figura 2.1 Mecanismo propuesto de tipo manivela-corredera, multilazo.

En la figura 2.1 se puede observar que el mecanismo cuenta con 4 barras, 4 pares

cinemáticos que admiten un grado de libertad, con este criterio y utilizando el criterio de

Kutzbach, tenemos:

𝑚 = 3(𝑛 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2 (2.1)

Dónde:

m = Movilidad o grados de libertad del mecanismo.

n = Número o cantidad de eslabones.

J1 = Pares cinemáticos de un grado de libertad.

J2 = Pares cinemáticos de dos grados de libertad.

Sustituimos los valores en la ecuación 2.1:

𝑚 = 3(4 − 1) − 2(4) − (0)

𝑚 = 1

Este mecanismo posee un grado de libertad. Teniendo como eslabón conductor a la

manivela. Tiene una bancada y forman una cadena cinemática cerrada con la biela y la

corredera.

Es importante tener presente el número de grados de libertad de los mecanismos, ya que

esta investigación está dirigida a todos los mecanismos con un grado de libertad.


33

2.2 Cinemática del mecanismo.

Estudio del movimiento de sus elementos con respecto a un sistema de referencia fijo,

tanto como la descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo.

Se sabe que para realizar el modelo dinámico de cualquier máquina o mecanismo es

necesario primero realizar el análisis cinemático, con el fin de obtener las ecuaciones

correspondientes a la posición, velocidad y aceleración del mecanismo. De igual forma

que por medio de este análisis se podrá obtener la matriz Jacobiana (Relaciona las

velocidades de movimiento de las articulaciones y las del eslabón de salida del

mecanismo).

Figura 2.2 Vistas del mecanismo multilazo.

2.2.1 Cinemática directa.

Consiste en determinar la posición y orientación del eslabón de salida del mecanismo,

con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fijo, conocidos los ángulos de las

articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del mecanismo.

2.2.2 Cinemática inversa.

En este tipo de cinemática se debe determinar la configuración que debe adoptar el

mecanismo para una posición y orientación del eslabón de salida deseada o conocida.

Cabe mencionar que en este tipo de mecanismos solo es posible aplicar la cinemática

inversa, lo que implica resolver un sistema de ecuaciones no lineal en términos de las

incógnitas.


34

Se sabe que para obtener el modelo dinámico de cualquier máquina o mecanismo es

necesario primero realizar el análisis cinemático, con el fin de obtener las ecuaciones

correspondientes a la posición, velocidad y aceleración del mecanismo. De igual forma

que por medio de este análisis se podrá obtener la matriz Jacobiana (Relaciona las

velocidades de movimiento de las articulaciones y las del eslabón de salida del

mecanismo).

2.3 Sistemas de referencia.

La descripción del movimiento de un cuerpo requiere la introducción de un sistema de

coordenadas espaciales que identifiquen unívocamente cada punto del espacio, y una

coordenada temporal, la cual determina el orden cronológico de sucesos en cualquier

punto del espacio. A este conjunto de coordenadas espacio-temporal se denomina sistema

de referencia.

Figura 2.3 Sistema de referencia rotado.

Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia denominado origen y un

sistema de coordenadas. El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema

de coordenadas y en él el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios, denominados versores, que

indican la dirección del eje.

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir

unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo. [8]

2. 4 Matriz Jacobiana

El modelado cinemático de un mecanismo busca las relaciones entre las variables

articulares y la posición del efector final del mecanismo. (Expresada normalmente en

forma de coordenadas cartesianas) En esta relación no se tienen en cuenta las fuerzas o

pares que actúan sobre el mecanismo (actuadores, cargas, fricciones, etc.) y que pueden

originar el movimiento del mismo.

Sin embargo, debe permitir conocer, además de la relación entre las coordenadas

articulares y del eslabón de salida, la relación entre sus respectivas derivadas. Así, el

sistema de control del mecanismo debe establecer que velocidades debe imprimir a cada

articulación (a través de sus respectivos actuadores) para conseguir que el extremo

desarrolle una trayectoria temporal concreta, por ejemplo, una línea recta a velocidad

constante.


35

Para este y otros fines, es de gran utilidad disponer de la relación existente entre la

velocidad de la coordenada articular y la de posición del eslabón de salida del mecanismo.

La relación entre ambos vectores de velocidad se obtiene a través de la denominada matriz

Jacobiana.

La matriz Jacobiana directa permite conocer la velocidad del eslabón de salida del

mecanismo a partir del valor de la velocidad impresa en el eslabón de entrada. Por su

parte, la matriz Jacobiana inversa permitirá conocer las velocidades determinadas en el

eslabón de salida.

Para construir la matriz Jacobina se deriva parcialmente nuestro vector de funciones “f”

respecto con nuestro vector de incógnitas “s”, aspectos que se explican más adelante.

Donde el número de filas de la matriz está dado por el número de variables de nuestro

sistema, y el número de columnas lo determina el número de funciones multivariable.

𝜕𝑓

𝜕𝑠= 𝐽(𝑠) (2.2)

Donde:

𝐽(𝑠)= Matriz Jacobiana.

𝑓 = Vector de funciones de restricción.

𝑠 = Vector de incógnitas.

Si el determinante de la matriz Jacobiana resulta ser cero, nos indica que tenemos un

sistema singular.

Una matriz se dice que es singular si presenta una de las siguientes propiedades.

A no tiene inversa, es decir, no existe una matriz M tal que:

A x M = M x A = I (matriz identidad).

det(A) = 0

La solubilidad de un sistema de ecuaciones lineales está determinado si la matriz es o no

Singular. Si ésta es no Singular, el sistema tiene solución única, de lo contrario, es decir,

si la matriz característica del sistema es Singular, el sistema puede tener infinitas

soluciones, o ninguna en absoluto. [21]

2.5 Ecuaciones de lazo vectorial para el estudio en caso.

Para poder establecer la ecuación de lazo, se trazan vectores de posición que forman un

lazo (o polígono cerrado) de vectores. Es importante tener en cuenta que la suma de los

vectores del polígono es igual a cero, ya que conforman una figura cerrada. Las longitudes

de los vectores corresponden a las longitudes de los eslabones y por lo tanto son

conocidas, excepto las longitudes que varían en el desplazamiento del eslabón conducido.

[10]

En la figura 2.3 Se puede observar que se trata de un mecanismo multilazo, estas

ecuaciones de lazo describen la restricción cinemática que limita el movimiento de los

eslabones y su relación entre ellos a partir de la configuración geométrica del mecanismo.


36

Figura 2.4 Construcción de los lazos, para la obtención de las ecuaciones de restricción.

Ecuaciones del lazo del mecanismo.

Lazo 1.

𝑅2 − 𝑅3

− 𝑅1 = 0 (2.3)

Lazo 2.

𝑅1 + 𝑅𝐶𝐵

+ 𝑅4 − 𝑅𝐷

= 0 (2.4)


37

2.6 Análisis cinemático de posición del mecanismo.

Para el modelo cinemático de este mecanismo se comenzara con el análisis de posición.

Ya que como se habló en la introducción es muy importante obtener las posiciones del

mecanismo, para posteriormente poder derivar y obtener las velocidades y por

consiguiente las aceleraciones del mecanismo.

Figura 2.5 Esquema del mecanismo en estudio.

Una vez que se plasman las ecuaciones de lazo, así como los vectores de posición, se

prosigue a deducir las funciones de restricción cinemáticas del mecanismo, estas

representan las restricciones físicas del movimiento de los eslabones del mecanismo.

Para cada lazo, se obtienen 2 funciones de restricción, una función que describe la

cinemática respecto al eje de las abscisas y otra con respecto al eje de las ordenadas.

Del lazo 1.

f1 = r2cos𝑞 − r3cosθ3 + r1 (2.5)

f2 = r2sin𝑞 − r3sinθ3 + 0 (2.6)

Del lazo 2.

f3 = −r1 + (r3 + rAB)cosθ3 + r4cosθ4 − Dx (2.7)

f4 = (r3 + rAB)𝑠inθ3 + r4sinθ4 − Dy (2.8)

En este mecanismo, las variables que se presentan en las funciones de restricción son

“θ3” y “θ4”, así como también los son “Dy” y “r3”, con estas variables ya mencionadas,

se forma el vector de incógnitas “s”.


38

[𝑠] = [

𝑟3θ3θ4𝐷𝑦

] (2.9)

También se establece un vector de funciones de restricción cinemática.

[𝑓] = [

𝑓1𝑓2𝑓3𝑓4

] (2.10)

Haciendo uso de artificios matemáticos, o en su caso, con la ayuda de algún software

matemático, se resuelve y verifica este sistema de ecuaciones de 4 x 4, asignando valores

iniciales a los parámetros de origen.

2.7 Análisis cinemático de velocidad.

La velocidad y aceleración de un punto o un cuerpo rígido que experimenta movimiento,

pueden ser obtenidas por la derivada respecto al tiempo de su función de posición o

velocidad respectivamente. Se asume en esta sección que la posición de los eslabones es

totalmente conocida, ya que son resultado del análisis de posición. [22]

Por lo tanto, como primer caso de estudio y con base en las ecuaciones obtenidas en la

sección anterior, se obtendrá la velocidad y la aceleración al derivar con respecto al

tiempo las ecuaciones de posición y velocidad. En el segundo caso se procederá a

construir la matriz Jacobiana

Figura 2.6 Análisis cinemático de velocidad.


39

A continuación se muestran en forma matricial las funciones de restricción cinemáticas

del mecanismo.

𝑓 = [

𝑓1𝑓2𝑓3𝑓4

] = [

r2cosq − r3cosθ3 + r1r2sinq − r3sinθ3 + 0

−r1 + (r3 + rAB)cosθ3 + r4cosθ4 − Dx(r3 + rAB)𝑠inθ3 + r4sinθ4 − Dy

] = [

0000

] (2.11)

Caso 1. En el caso uno derivamos las funciones con respecto al tiempo para obtener las

velocidades de las variables del mecanismo.

[𝑑𝑓

𝑑𝑡] =

[ 𝑑𝑓1

𝑑𝑡𝑑𝑓2

𝑑𝑡𝑑𝑓3

𝑑𝑡𝑑𝑓4

𝑑𝑡 ]

(2.12)

Sustituyendo las funciones, obtenemos las velocidades del mecanismo.

𝑓 =

[ 𝑓1𝑓2𝑓3𝑓4]

=

[

−𝑟2𝑠𝑖𝑛(𝑞)�� + 𝑟3𝑠𝑖𝑛(θ3)θ3

𝑟2𝑐𝑜𝑠(𝑞)�� + 𝑟3𝑐𝑜𝑠(θ3)θ3

−(r3 + rAB)𝑠𝑖𝑛(θ3)θ3 − 𝑟4𝑠𝑖𝑛(θ4)θ4

(r3 + rAB)𝑐𝑜𝑠(θ3)θ3 + 𝑟4𝑐𝑜𝑠(θ4)θ4 − 𝐷��]

= [

0000

]| (2.13)

A su vez, resolviendo las ecuaciones diferenciales presentes en la matriz anterior,

podemos encontrar las velocidades de interés en el mecanismo.

Caso 2. En el segundo caso se utiliza la matriz Jacobiana que se obtiene de las funciones

del mecanismo.

Para construir la matriz Jacobina se deriva parcialmente nuestro vector de funciones “f”

respecto con nuestro vector de incógnitas “s”

𝜕𝑓

𝜕𝑠= 𝐽(𝑠) (2.2)

Donde:

𝐽(𝑠)= Matriz Jacobiana.

𝑓 = Vector de funciones de restricción.

𝑠 = Vector de incógnitas.


40

𝐽(𝑠) =

[ 𝜕𝑓1𝜕r3

𝜕𝑓1𝜕θ3

𝜕𝑓1𝜕θ4

𝜕𝑓1𝜕𝐷𝑦

𝜕𝑓2𝜕𝑟3

𝜕𝑓2𝜕θ3

𝜕𝑓2𝜕θ4

𝜕𝑓2𝜕𝐷𝑦

𝜕𝑓3𝜕𝑟3

𝜕𝑓3𝜕θ3

𝜕𝑓3𝜕θ4

𝜕𝑓3𝐷𝑦

𝜕𝑓4𝜕𝑟3

𝜕𝑓4𝜕θ3

𝜕𝑓4𝜕θ4

𝜕𝑓4𝜕𝐷𝑦]

(2.14)

Haciendo uso del software Mathematica® 9.0, se procede a desarrollar la ec. (2.2),

expresando las ecuaciones finales en forma matricial, por lo que se obtiene:

𝐽(𝑠) = [

−𝑐os(θ3) r3sin(θ3) 0 0−𝑠in(θ3) −r3cos(θ3) 0 0cos(θ3) −(r3 + rAB)𝑠in(θ3) −r4sin(θ4) 0sin(θ3) (r3 + rAB)𝑐os(θ3) r4cos(θ4) −1

] (2.15)

Una vez que se tiene la matriz Jacobiana, se obtienen los coeficientes de velocidad de

cada elemento de nuestro vector de incógnitas “s”.

𝐾𝑠 = −𝐽(𝑠)−1 . 𝜕𝑓

𝜕𝑞 (2.16)

Donde

𝐾𝑠 = Vector de los coeficientes de velocidad.

𝐽(𝑠)−1 =Inversa de la matriz Jacobiana.

𝜕𝑓

𝜕𝑞 =Derivada parcial del vector de funciones respecto a la variable generalizada.

Sabiendo que.

𝐽(𝑠)−1 =1

det(𝐽(𝑠))𝐴𝑑𝑗(𝐽(𝑠)), det(𝐽(𝑠)) ≠ 0 (2.17)

Haciendo uso de Mathematica 9.0® para desarrollar 𝜕𝑓

𝜕𝑞 y obtener la inversa de la matriz

Jacobiana, como resultado del desarrollo de la ecuación 2.15, tenemos:

𝐾𝑠 = [

𝐾𝑟3

𝐾𝜃3

𝐾𝜃4

𝐾𝐷𝑦

] =

[

−r2sin(𝑞 − θ3)r2cos(𝑞−θ3)

r3r2csc(θ4)(−(2r3+rAB)sin𝑞+rABSin(𝑞−2θ3))

2r3r4r2csc(θ4)(−(2r3+rAB)𝑠in(𝑞−θ4)+rABsin(𝑞−2θ3+θ4))

2r3 ]

(2.18)

Los coeficientes de velocidad dependen exclusivamente de la posición y se pueden

obtener de la siguiente expresión.


41

𝐾𝑠 =��

�� ; �� =

[ 𝑟3θ3θ4𝐷��]

(2.19)

Donde:

��= la derivada del vector de incógnitas “s” con respecto al tiempo.

��= La derivada de la variable generalizada con respecto al tiempo.

Los coeficientes de velocidad son muy importantes para obtener el modelo dinámico. Por

otra parte es necesario encontrar las incógnitas de velocidad (��)

Para obtener estas incógnitas utilizamos la ecuación 2.18:

[𝐾𝑠] = [��

��] → [��] = ��[𝐾𝑠] (2.20)

Sustituyendo se obtienen en forma matricial los vectores de velocidad:

[��] =

[ 𝑟3𝜃3

𝜃4

𝐷��]

= ��

[

−r2sin(𝑞 − θ3)r2cos(𝑞−θ3)

r3r2cscθ4(−(2r3+rAB)𝑠in𝑞+rABSin(𝑞−2θ3))

2r3r4r2cscθ4(−(2r3+rAB)𝑠in(𝑞−θ4)+rABsin(𝑞−2θ3+θ4))

2r3 ]

(2.21)

Con esta expresión se puede encontrar el vector de incógnitas de velocidad y obtener las

velocidades para cualquier punto del mecanismo.


42

2.8 Análisis cinemático de aceleración.

Ya que se efectuó el análisis de velocidad, es necesario encontrar las aceleraciones y los

coeficientes de aceleración que serán utilizados para desarrollar el modelo dinámico y el

esquema de control del mecanismo.

Figura 2.7 Análisis cinemático de aceleración.

Para la obtención de las aceleraciones, también se pueden obtener por dos casos.

Caso 1. En el primer caso se hace uso de las ecuaciones de velocidad y se derivan con

respecto al tiempo para obtener las aceleraciones, de ese modo se resuelve el sistema de

ecuaciones resultante y así se obtiene el vector de aceleración del mecanismo en uso.

Se tiene la matriz con los vectores de velocidad, ecuación (2.12).

𝑓 =

[ 𝑓1𝑓2𝑓3𝑓4]

=

[

−𝑟2𝑠𝑖𝑛(𝑞)�� + 𝑟3𝑠𝑖𝑛(θ3)θ3

𝑟2𝑐𝑜𝑠(𝑞)�� + 𝑟3𝑐𝑜𝑠(θ3)θ3

−(r3 + rAB)𝑠𝑖𝑛(θ3)θ3 − 𝑟4𝑠𝑖𝑛(θ4)θ4

(r3 + rAB)𝑐𝑜𝑠(θ3)(θ3) + 𝑟4𝑐𝑜𝑠(θ4)θ4 − 𝐷��]

= [

0000

]| (2.12)


43

Se deriva con respecto al tiempo.

[𝑑��

𝑑𝑡] =

[ 𝑑��1

𝑑𝑡

𝑑��2

𝑑𝑡

𝑑��3

𝑑𝑡

𝑑��4

𝑑𝑡 ]

(2.22)

Sustituyendo las funciones, obtenemos la matriz con las aceleraciones del mecanismo.

𝐹 =

[ 𝑓1

𝑓2

𝑓3

𝑓4]

=

[ −𝑟2𝑐𝑜𝑠(𝑞)��2 − 𝑟2𝑠𝑒𝑛(𝑞)�� + 𝑟3𝑐𝑜𝑠(θ3)θ3

2+ 𝑟3𝑠𝑖𝑛(θ3)θ3

−𝑟2𝑠𝑒𝑛(𝑞)��2 + 𝑟2𝑐𝑜𝑠(𝑞)�� − 𝑟3𝑠𝑒𝑛(θ3)θ32+ 𝑟3𝑐𝑜𝑠(θ3)θ3

−(𝑟3 + 𝑟𝐴𝐵)𝑐𝑜𝑠(θ3)θ32− (𝑟3 + 𝑟𝐴𝐵)𝑠𝑒𝑛(θ3)θ3 − 𝑟4𝑐𝑜𝑠(θ4)θ4

2− 𝑟4𝑠𝑖𝑛(θ4)θ4

−(𝑟3 + 𝑟𝐴𝐵)𝑠𝑒𝑛(θ3)θ32+ (𝑟3 + 𝑟𝐴𝐵)𝑐𝑜𝑠(θ3)θ3 − 𝑟4𝑐𝑜𝑠(θ4)θ4

2+ 𝑟4𝑠𝑖𝑛(θ4)θ4 − 𝐷��]

= [

0000

] (2.23)

En la matriz anterior se muestra un sistema de ecuaciones de 4x4, la cual se puede resolver

para cualquier posición deseada.

Caso 2. En el caso dos se utilizan los coeficientes de velocidad, este caso es muy

importante para obtener el modelo dinámico del mecanismo, ya que se obtendrán los

coeficientes de aceleración, y la otra forma de obtener las aceleraciones del mecanismo.

De las ecs. (2.15) y (2.19), se obtiene, respectivamente. [22]

𝐾𝑠 = −𝐽(𝑠)−1 . 𝜕𝑓

𝜕𝑞 (2.16)

[��] = ��[𝐾𝑠] (2.20)

Se sabe que el vector [s], ha sido declarado como un vector de incógnitas y si se deriva

con respecto al tiempo se obtiene el vector de incógnitas de velocidad y si se vuelve a

derivar se obtiene el vector de incógnitas de aceleración.

[��] =

[ 𝑟3

𝜃3

𝜃4

𝐷��] (2.24)

Para encontrar el vector de incógnitas de aceleración tenemos que:

[��] =

[ 𝑟3

𝜃3

𝜃4

𝐷��] = ��[𝐾𝑠] + ��2[𝐿𝑠] (2.25)

Para obtener los coeficientes de aceleración, se debe derivar los coeficientes de velocidad

con respecto a la variable generalizada.


44

[𝐿𝑠] =𝑑

𝑑𝑞[𝐾𝑠(𝑞)] (2.26)

Se sustituye los coeficientes de velocidad obtenidos en el análisis de velocidad y se

derivan con respecto a la variable generalizada. Para poder encontrar los coeficientes de

aceleración.

[𝐿𝑠] =

[ 𝑑𝐾𝑟3

𝑞

𝑑𝐾θ3

𝑞

𝑑𝐾θ4

𝑞

𝑑𝐾𝐷𝑦

𝑞 ]

=

[

𝑑

𝑑𝑞(−r2sin(𝑞 − θ3))

𝑑

𝑑𝑞(

r2cos(𝑞−θ3)

r3)

𝑑

𝑑𝑞(

r2cscθ4(−(2r3+rAB)𝑠in𝑞+rABSin(𝑞−2θ3))

2r3r4)

𝑑

𝑑𝑞(

r2Cscθ4(−(2r3+rAB)𝑠in(𝑞−θ4)+rABsin(𝑞−2θ3+θ4))

2r3)]

(2.27)

Utilizando el software Mathematica 9.0®, se adquiere la derivada total de los coeficientes

de velocidad con respecto a la variable generalizada y se obtiene los coeficientes de

aceleración:

[𝐿𝑠] = [

𝐿𝑟3

𝐿𝜃3

𝐿𝜃4

𝐿𝐷𝑦

]=


45

(2.28)


46

Los coeficientes de aceleración muestran como varían las aceleraciones del mecanismo

con respecto a la variable generalizada q.

Ya que se obtienen los coeficientes de aceleración, se sustituyen en la ecuación (2.25).

Para poder obtener las aceleraciones del vector de incógnitas de aceleración.

[��] =

[ 𝑟3

𝜃3

𝜃4

𝐷��] = ��[𝐾𝑠] + ��2[𝐿𝑠] (2.25)

Capítulo 3.

Modelo dinámico.


48

III. Modelo dinámico.

Introducción.

La dinámica del mecanismo relaciona el movimiento del mecanismo y las fuerzas

implicadas en el mismo. El modelo dinámico establece relaciones matemáticas entre las

coordenadas del eslabón de entrada, sus derivadas (velocidad y aceleración), las fuerzas

y pares aplicados en los eslabones (o en el extremo) y los parámetros del mecanismo

(masas de los eslabones, inercias, etc.)

En el capítulo uno se habló sobre las áreas que estudia la mecánica. En este capítulo se

abordará una parte que estudia la dinámica. Como se había visto, la dinámica se divide

en dos grandes ramas, la cinemática y la cinética. Ya se obtuvo en el capítulo anterior la

cinemática del mecanismo, en este capítulo se estudiará la cinética del mecanismo y de

esta manera obtener el modelo dinámico del mecanismo manivela-corredera.

Se pueden diferenciar entre dos subclases los problemas dinámicos, dependiendo qué se

desee calcular y cuáles son los datos que se tienen.

La dinámica directa.

La inversa de la dinámica.

Es importante saber la diferencia entre la dinámica directa y la inversa de la dinámica.

En la dinámica directa se conoce todo acerca de las fuerzas y los momentos de fuerza que

se ejercen sobre el sistema, las incógnitas que se deben de determinar son: las

aceleraciones, velocidades y desplazamientos que resulten de la aplicación de las fuerzas

y momentos aplicados al sistema.

Mientras que la dinámica inversa se encarga de obtener las magnitudes, direcciones y

sentidos de las fuerzas y momentos que actúan sobre el mecanismo, conociendo

aceleraciones, velocidades y desplazamientos. En algunas ocasiones se conoce como

cinetostática.

Los dos casos son problemas dinámicos. Cada uno resuelve la ecuación 𝐹 = 𝑚𝑎 , solo

que cada caso tiene una variable diferente. [8]

3.1 Modelo dinámico.

Casi siempre es conveniente crear un modelo dinámico. Estos modelos se consideran

masas puntuales que están unidas por varillas inmateriales. Para que el modelo sea

equivalente con el real, es necesario que cumpla con tres reglas esenciales.

1. La masa del modelo debe ser igual a la del cuerpo original.

2. El centro de gravedad debe estar en la misma ubicación que en el cuerpo original.

3. El momento de inercia debe ser igual al cuerpo original.[9]

Para obtener el modelo dinámico del mecanismo de manivela-corredera multilazo, se

realizará un análisis directo mediante la ecuación de movimiento de Eksergian. Se sabe


49

que el mecanismo que se está estudiando es de un grado de libertad, por lo tanto se puede

utilizar esta ecuación que ataca a los mecanismos de un grado de libertad.

Figura 3.1 Elementos del mecanismo.

Tabla 3.1 Características físicas del mecanismo.

MAGNITUDES FÍSICAS DEL MECANISMO

SEGMENTO NOMBRE DIMENSIÓN[m]

E-A Barra “EA” 0.225m

A-B Barra “AB” 0.080m

O-A Manivela. 0.05m

B-D Barra “BD” 0.15m

O-A Distancia “OC” 0.125m

ELEMENTOS CLAVE DEL MECANISMO.

ELEMENTO NOMBRE DESCRIPCIÓN.

q Variable generalizada. Variable de entrada del

mecanismo.

D Corredera. Elemento operacional del

mecanismo

O Origen Origen del sistema de

referencia.


50

3.2 Obtención de los coeficientes de velocidad y aceleración de los

centros de masa.

El primer paso para la obtención del modelo dinámico del mecanismo es obtener los

coeficientes tanto de velocidad como de aceleración de los centros de masa para cada

uno de los eslabones.

La ubicación geométrica de los centros de masa para cada eslabón, se encuentran en el

centro geométrico de cada uno, ya que son eslabones simétricos y de forma geométrica

regular.

Figura 3.2 Vectores específicos que parten del origen y van hacia los centros de masa de

cada eslabón.

3.2.1 Coeficientes de velocidad y aceleración de la manivela

Para obtener las coordenadas del centro de masa para el eslabón en cuestión es necesario

trazar un vector que parta desde el origen de nuestro sistema de coordenadas hasta el

centro de masa del eslabón en estudio.

Las coordenadas del centro de masa, vistas desde el eje de coordenadas principal son:

Gx2 =r2

2cos𝑞 (3.1)

Gy2 =r2

2sin𝑞 (3.2)

Donde:

Gx2 = Coordenadas del centro de masa en el eje "x"

Gy2 = Coordenadas del centro de masa en el eje "y"

Para obtener el coeficiente de velocidad del centro de masa es necesario derivar "Gx2” y

"Gy2" con respecto a la variable generalizada “q”.


51

𝐾𝐺𝑥2 =𝜕𝐺𝑥2

𝜕𝑞 (3.3)

𝐾𝐺𝑦2 =𝜕𝐺𝑦2

𝜕𝑞 (3.4)

Donde:

KGx2=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la manivela en el eje “x”.

KGy2=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la manivela en el eje “y”.

q= Variable generalizada.

Utilizando el software Mathematica 9.0® se obtienen los coeficientes de velocidad del

centro de masa de la manivela.

𝐾𝐺𝑥2 = −1

2r2sinq (3.5)

𝐾𝐺𝑦2 =1

2r2cos𝑞 (3.6)

Donde:

KGx2=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la manivela en el eje “x”.

KGy2=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la manivela en el eje “y”.

Ahora para obtener los coeficientes de aceleración para el centro de masa en necesario

derivar los coeficientes de velocidad con respecto a la variable generalizada.

𝐿𝐺𝑥2 =𝑑𝐾𝐺𝑥2

𝑞 (3.7)

𝐿𝐺𝑦2 =𝑑𝐾𝐺𝑦2

𝑞 (3.8)

𝐿𝐺𝑥2 = −1

2r2cosq (3.9)

𝐿𝐺𝑦2 = −1

2r2sin𝑞 (3.10)

Donde:

LGx2=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la manivela en el eje “x”.

LGy2=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la manivela en el eje “y”.

Tanto los coeficientes de velocidad como de aceleración fueron obtenidos por medio del

software Mathematica 9.0®.

3.2.2 Coeficientes de velocidad y aceleración de la barra “EA”

A partir de este subtema se procederá a repetir el procedimiento usado en el cálculo de

los coeficientes de velocidad y aceleración de la manivela.


Gx3 = −r1 + (r3 −rEA

2) cosθ3 (3.11)


52

Gy3 = (r3 −rEA

2)sinθ3 (3.12)

Donde:

Gx3=Coordenadas del centro de masa en el eje “x”.

Gy3=Coordenadas del centro de masa en el eje “y”.




𝜕𝑞 (3.14)


𝜕𝑞 (3.15)

Donde:

KGx3=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la barra “EA” en el eje “x”.

KGy3=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la barra “EA” en el eje “y”.

q=Variable generalizada.


centro de masa de la barra “EA”.

𝐾𝐺𝑥3 = kr3cosθ3 − kθ3 (r3 −rEA

2) sinθ3 (3.16)

𝐾𝐺𝑦3 = kθ3(r3 −rEA

2)cosθ3 + kr3sinθ3 (3.17)

Donde:

kr3= Coeficiente de velocidad de “r3”

kθ3=Coeficiente de velocidad de “θ3"


derivar los coeficientes de velocidad con respecto a la variable generalizada “q”.


𝑞 (3.18)


𝑞 (3.19)

𝐿𝐺𝑋3 = Lr3cosθ3 − kθ32(r3 −rEA

2)𝑐osθ3 − 2kr3kθ3sinθ3 − Lθ3(r3 −

rEA

2)𝑠inθ3 (3.20)

𝐿𝐺𝑦3 = 2kr3kθ3cosθ3 + Lθ3(r3 −rEA

2)𝑐osθ3 + Lr3sinθ3 − kθ32(r3 −

rEA

2)sinθ3 (3.21)

Donde:

LGx3=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la barra “EA” en el eje “x”.

LGy3=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la barra “EA” en el eje “y”.


53

Lr3= Coeficiente de aceleración de “r3”

Lθ3=Coeficiente de aceleración de “θ3"

3.2.3 Coeficientes de velocidad y aceleración de la barra “AB”


Gx4 = r2cosq +rAB

2cosθ3 (3.22)

Gy4 = r2sin𝑞 +rAB

2sinθ3 (3.23)

Donde:


Gx4=Coordenadas del centro de masa en el eje “y”.




𝜕𝑞 (3.24)


𝜕𝑞 (3.25)

Donde:

KGx4=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la barra “AB” en el eje “x”.

KGy4=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la barra “AB” en el eje “y”.



centro de masa de la barra “AB”.

𝐾𝐺𝑥4 = −r2sinq −1

2kθ3rABsinθ3 (3.26)

𝐾𝐺𝑦4 = r2cos𝑞 +1

2kθ3rABcosθ3 (3.27)

Donde:


kθ3=Coeficiente de velocidad de “θ3"




𝑞 (3.28)


54


𝑞 (3.29)

𝐿𝐺𝑋4 = −r2cos𝑞 −1

2Lθ3rABsinθ3 −

1

2kθ3

2rABcosθ3 (3.30)

𝐿𝐺𝑦4 = −r2Sin(𝑞) +1

2Lθ3rABcosθ3 −

1

2kθ3

2rABsinθ3 (3.31)

Donde:

LGx4=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la barra “AB” en el eje “x”.

LGy4=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la barra “AB” en el eje “y”.

Lr3= Coeficiente de aceleración de “r3”

Lθ3=Coeficiente de aceleración de “θ3"

3.2.4 Coeficientes de velocidad y aceleración de la barra “BD”

Las coordenadas del centro de masa vistas desde el eje de coordenadas principal son:

Gx5 = r2cos𝑞 + rABcosθ3 −r4

2cosθ4 (3.32)

Gy5 = r2sin𝑞 + rABsinθ3 −r4

2sinθ4 (3.33)

Donde:


Gx5=Coordenadas del centro de masa en el eje “y”.




𝜕𝑞 (3.34)


𝜕𝑞 (3.35)

Donde:

KGx5=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la barra “BD” en el eje “x”.

KGy5=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la barra “BD” en el eje “y”.



centro de masa de la barra “BD”.

𝐾𝐺𝑥5 = −r2sin𝑞 − kθ3rABsinθ3 +1

2kθ4r4sinθ4 (3.36)

𝐾𝐺𝑦5 = r2cos𝑞 + kθ3rABcosθ3 −1

2kθ4r4cosθ4 (3.37)


55

Donde:


kθ3=Coeficiente de velocidad de “θ3”





𝑞 (3.28)


𝑞 (3.29)

𝐿𝐺𝑋5 = −r2cos𝑞 − kθ32rABcosθ3 +

1

2kθ4

2r4cosθ4 − Lθ3rABsinθ3 +

1

2Lθ4r4sinθ4 (3.30)

𝐿𝐺𝑦5=Lθ3rABcosθ3 −1

2Lθ4r4cosθ4 − r2sin𝑞 − kθ32rABsinθ3 +

1

2kθ42r4sinθ4 (3.31)

Donde:

LGx5=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la barra “BD” en el eje “x”.

LGy5=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la barra “BD” en el eje “y”.

Lr3= Coeficiente de aceleración de “r3”.

Lθ3=Coeficiente de aceleración de “θ3”.

Lθ4=Coeficiente de aceleración de “θ4”.

3.2.5 Coeficientes de velocidad y aceleración de la corredera.”

En este caso puntual, cabe señalar que la corredera sólo se desplaza en dirección al eje de

las ordenadas, dato importante, ya que únicamente se trabajará con las ecuaciones

correspondientes al eje “y”.

Las coordenadas del centro de masa vistas desde el eje de coordenadas principal son:

Gy6 = r2sin𝑞 + rABsinθ3 − r4sinθ4. (3.32)

Donde:

Gy6=Coordenadas del centro de masa en el eje “y”.

Para obtener el coeficiente de velocidad del centro de masa es necesario derivar "Gy6" con respecto a la variable generalizada “q”.


𝜕𝑞 (3.33)

Donde:

KGy6=Coeficientes de velocidad del centro de masa de la corredera en el eje “y”.



56


centro de masa de la corredera.

𝐾𝐺𝑦6 = r2cos𝑞 + kθ3rABcosθ3 − kθ4r4cosθ4 (3.34)

Donde:






𝑞 (3.35)

(3.36)

Donde:

LGy6=Coeficientes de aceleración del centro de masa de la corredera en el eje “y”.

Lθ3=Coeficiente de aceleración de “θ3".

Lθ4=Coeficiente de aceleración de “θ4".

Hacer notar que todos los coeficientes antes obtenidos, dependen únicamente de la

posición, mas no del tiempo.

3.3 Obtención de la inercia generalizada del mecanismo

multilazo.

La segunda ley de Newton se aplica a sistemas tanto en rotación como en traslación. Para

la rotación la ley se representa de la siguiente manera:

𝑇 = 𝐼 𝛼 (3.37)

Donde:

T = Torque (o momento de fuerza rotatoria).

𝛼 = Aceleración angular.

𝐼 =Momento de inercia.

El momento de inercia se puede definir como una medida de resistencia que se opone a

los cuerpos a ser acelerados angularmente. En un caso más general la inercia rotacional

debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que

forman el llamado tensor de inercia. [22]

Por lo tanto el tensor de inercia describe la distribución de masa en un sólido y la

aceleración angular en respuesta al par aplicado.


57

Si observa la segunda ley de Newton desde la parte de traslación, se tiene que:

𝐹 = 𝑚 𝑎 (3.38)

Donde:

F= Fuerza aplicada al cuerpo.

𝑚=Masa del cuerpo.

𝑎 =Aceleración lineal del cuerpo.

Por lo que la masa es la resistencia que representa un cuerpo a ser acelerado en

translación.

Para el caso del mecanismo que se está analizando la inercia no es constante, ya que las

distancias con respecto a los centros de masa cambian. La inercia generalizada la

podemos expresar con respecto a la variable generalizada (q) de la siguiente manera:

𝜉𝑔(𝑞) = ∑ 𝑚𝑖(𝐾𝐺𝑥𝑖

2 + 𝐾𝐺𝑦𝑖

2 ) + 𝐼𝑐𝑔𝑖𝐾𝛩2𝑛=6

𝑖=2 (3.39) Donde: 𝜉𝑔(𝑞)=Inercia generalizada.

𝑚𝑖=Masa correspondiente a cada eslabón. 𝐾𝐺𝑥𝑖,𝐾𝐺𝑦𝑖=Coeficientes de velocidad del centro de masa en cada eslabón, en el eje “x” y eje “y”,

respectivamente. 𝐼𝑐𝑔𝑖=Momento de inercia correspondiente a cada eslabón.

𝐾𝛩=Coeficientes de velocidad K𝛩3 y K𝛩4, según sea el caso.

Utilizando el software Mathematica9.0® obtenemos los valores de la inercia generalizada

para el mecanismo multilazo.

𝜉𝑔(q) = Icg2 + Icg3kθ32 + Icg4kθ32 + Icg5kθ42 + Icg6kθ42 +m2r22

4+

1

4m3(4kr32 + kθ32(−2r3 + rEA)2) +

1

4m5(4kr32) + kθ32(−2r3 + rEA)2) + m4(r22 +

kθ32rAB2

4+ kθ3r2rABcos(𝑞 − θ3)) + m6(r2cos𝑞 +

kθ3rABcos(θ3) − kθ4r4cos(θ4))2 (3.40)

Para contemplar todos los términos de la ec. (3.40), se hacen mediciones de las masas

respectivas a cada eslabón, y de igual forma, y dependiendo de la geometría de cada

eslabón, se obtiene el momento de inercia para cada uno de ellos. Por consiguiente,

tenemos:


58

Tabla 3.2 Parámetros físicos del mecanismo multilazo.

PARÁMETROS CORRESPONDIENTES AL MECANISMO MUTILAZO.

MASA MOMENTO DE INERCIA

m2= 0.0438402Kg Manivela. Icg2= 0.000018Kg.m2 Manivela.

m3= 0.12949Kg Barra “EA” Icg3= 0.001148031496 Kg.m2 Barra “EA”

m4= 0.05324Kg Barra “AB” Icg4= 0.0004719685039 Kg.m2 Barra “AB”

m5= 0.10540348Kg Barra “BD” Icg5= 0.00024 Kg.m2 Barra “BD”

m6= 0.17865Kg Corredera. Icg6= 0.00007297 Kg.m2 Corredera.

Se realizó la sumatoria de las masas con respecto a los coeficientes de velocidad de los

centros de masa, más la suma de los momentos de inercia de cada eslabón, por los

coeficientes de velocidad de cada eslabón, se obtiene la ecuación del momento de inercia

generalizada.

A continuación, se deriva la inercia generalizada con respecto de “q”.

𝑑𝜉(𝑞) =𝑑𝜉𝑔

(q)

𝑑𝑞 (3.41)

Utilizando el software Mathematica9.0® obtenemos los valores de la derivada de la

inercia generalizada con respecto a la variable generalizada.

𝑑𝜉(𝑞) = 2(Icg3Kθ3Lθ3 + Icg4Kθ3Lθ3 + Icg5Kθ4Lθ4 + Icg6Kθ4Lθ4 +KGx2LGx2m2 + KGy2LGy2m2 + KGx3LGx3m3 + KGy3LGy3m3 + KGx4LGx4m4 +KGy4LGy4m4 + KGx3LGx3m5 + KGy3LGy3m5 + KGyDLGyDm6) (3.42)

La ecuación anterior será sustituida en la ecuación de movimiento que se verá en los

próximos temas.

3.4 Energía Cinética.

La energía cinética de cuerpo rígido puede separarse en dos términos, uno que depende

de la velocidad de los centros de masa y el otro que depende de la velocidad del cuerpo.

Se sabe que el mecanismo en estudio consta de varios eslabones. Por lo que la energía

cinética total, será la suma de cada uno de las energías de cada eslabón. [22]


59

En el caso del mecanismo en estudio, se tiene.

𝑇 = 0.5∑ 𝑚𝑖𝑉𝐺𝑖2 + 0.5∑ 𝐼𝐺𝑖𝜔𝑖

2𝑛=6𝑖=2

𝑛=6𝑖=2 (3.43)

Para sistemas de un solo grado de libertad, los vectores {𝑉𝐺} 𝑦 {𝜔} se pueden escribir en

términos de la variable generalizada 𝑞, multiplicado por los coeficientes de velocidad.

Como se explicó en el capítulo anterior.

{𝑉𝐺} = �� {𝐾𝐺} (3.44)

{𝜔} = ��{𝐾𝑤} (3.45)

Donde sabemos que:

𝑉𝐺𝑖2 = 𝑉𝐺𝑥𝑖

2 + 𝑉𝐺𝑦𝑖2 = (𝐾𝐺𝑥𝑖

2 + 𝐾𝐺𝑦𝑖2)��2 (3.46)

𝜔𝑖2 = 𝐾𝛩𝑖

2��2 (3.47)

Por lo que:

𝑇 = 0.5 ��2(∑ 𝑚𝑖(𝐾𝐺𝑥𝑖2 + 𝐾𝐺𝑦𝑖

2)𝑛=6𝑖=2 + ∑ 𝐼𝑔𝑖𝐾𝛩𝑖

2𝑛=6𝑖=2 ) (3.48)

Que se puede escribir como:

𝑇 = 0.5 𝜉𝑔(𝑞)��2 (3.49)

Donde:

3.5 Fuerzas Generalizadas.

Como se vio en la introducción, todas las fuerzas y torques que trabajan sobre un sistema

influyen en su respuesta dinámica. Lo que se busca es determinar una fuerza generalizada

que, cuando actué a través de un cambio virtual de coordenada 𝛿𝑞, realice un trabajo

virtual 𝑄𝛿𝑞 igual a la suma del trabajo virtual de las fuerzas y torques reales moviéndose

a través de sus desplazamientos virtuales asociados.

Sean 𝐹𝑖 las fuerzas externas aplicadas en ubicaciones definidas por los vectores de

posición 𝑟𝑖. Análogamente, sean 𝑀𝑖 los torques externos actuando en ángulos 𝜃𝑖. El

trabajo virtual será

𝛿𝑊 = ∑ 𝐹𝑖𝛿𝑟𝑖𝑖 + ∑ 𝑀𝑖𝛿𝜃 𝑖 𝑖 (3.50)

Dado que todas las posiciones son funciones de la coordenada generalizada “q”, los

desplazamientos virtuales pueden ser escritos como:


60

𝛿𝑟𝑖 =𝑑𝑟𝑖

𝑑𝑞𝛿𝑞 (3.51)

𝛿𝜃𝑖 =𝑑𝜃𝑖

𝑑𝑞𝛿𝑞 (3.52)

Por lo tanto, sustituyendo los desplazamientos virtuales, se obtiene:

𝛿𝑊 = (∑ 𝐹𝑖𝑖𝑑𝑟𝑖

𝑑𝑞+ ∑ 𝑀𝑖𝑖

𝑑𝜃𝑖

𝑑𝑞) 𝛿𝑞 = 𝑄𝛿𝑞 (3.53)

De la ecuación 3.53 podemos ver que Q es la fuerza generalizada.

𝑄 = (∑ 𝐹𝑖𝑖𝑑𝑟𝑖

𝑑𝑞+ ∑ 𝑀𝑖𝑖

𝑑𝜃𝑖

𝑑𝑞) (3.54)

Para un sistema la potencia de entrada es igual al trabajo realizado entre la diferencial

de tiempo.

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =𝑑𝑊

𝑑𝑡= 𝑄�� (3.55)

3.6 Obtención de la ecuación de movimiento de Eksergian.

Es sabido que el trabajo realizado sobre un sistema mecánico es igual al cambio de la

energía cinética del sistema. Por lo que se puede representar de la siguiente forma.

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎) =𝑑(𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝐶𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎)

𝑑𝑡 (3.56)

Ya que se obtuvo la energía cinética, ecuación 3.49.

𝑇𝑖 = 0.5 𝜉(𝑞)��2

Se igualan las ecuaciones 3.55 y 3.56 y se obtiene:

1

2

𝑑𝜉

𝑑𝑞��2 + 𝜉�� = 𝑄�� (3.57)

Se divide la ecuación 3.57 entre �� se obtiene:

𝜉�� +1

2

𝑑𝜉

𝑑𝑞��2 = 𝑄 (3.58)

Es la ecuación de movimiento de Eksergian para el movimiento de sistemas de un grado

de libertad.


61

3.7 Representación de las fuerzas conservativas. Energía

potencial.

La fuerza que se representó como 𝐹𝑖 que actúa en el punto 𝑟𝑖 está constituida por dos

partes: una parte conservativa y la otra no conservativa. La fuerza conservativa se puede

escribir como el gradiente de la función potencial asociada:

𝐹𝑖 = 𝐹𝑐𝑐 + 𝐹𝑖

𝑛𝑐 = −∇𝑉𝑖 + 𝐹𝑖𝑛𝑐 (3.59)

Por lo tanto la fuerza generalizada Q, puede representarse en dos partes:

𝑄 = ∑ 𝐹𝑖𝑖𝑑𝑟𝑖

𝑑𝑞= ∑ (−∇𝑉𝑖 + 𝐹𝑖

𝑛𝑐)𝑖𝑑𝑟𝑖

𝑑𝑞= −∑

𝑑𝑉𝑖

𝑑𝑞𝑖 + ∑ 𝐹𝑖𝑛𝑐 𝑑𝑟𝑖

𝑑𝑞𝑖 (3.60)

Por lo que:

𝑄 = −𝑑𝑉

𝑑𝑞+ 𝑄𝑛𝑐 (3.61)

Donde V representa la energía potencial total del sistema y 𝑄𝑛𝑐 representa la fuerza

generalizada no conservativa. Por lo que la ecuación de Eksergian adquiere la siguiente

forma:

𝜉(𝑞)�� +1

2

𝑑𝜉

𝑑𝑞��2 +

𝑑𝑉

𝑑𝑞= 𝑄𝑛𝑐 (3.62)

La ecuación diferencial 3.62 describe el movimiento de un mecanismo de un grado de

libertad. En la mayoría de los casos son resueltas por medio de métodos numéricos. El

método numérico que se utiliza para resolver esta ecuación diferencial es el método de

Runge-Kutta [22].

3.7.1 Obtención de la energía potencial.

El valor de la energía potencial depende de la situación del origen a partir del cual se mide

x. Para una posición dada del punto, la energía potencial puede ser positiva, negativa o

nula, según sea la situación del origen.

Figura 3.2 Vectores específicos que parten del origen y van hacia los centros de masa de

cada eslabón.


62

La energía potencial mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar un trabajo en

función exclusivamente de su posición o configuración. Puede pensarse como la energía

almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar.

Como el mecanismo tiene varios eslabones, la energía potencial, será la suma de la

energía potencial de cada eslabón.

𝑉 = ∑ 𝑚𝑖𝑔𝑦𝑐𝑚𝑖𝑖 (3.63)

Se obtiene la energía potencial del mecanismo manivela-corredera, tomando como eje de

referencias el eje Y, respecto a los centros de masa de cada eslabón.

𝑉 = 𝑚2𝑔𝑦𝑐𝑚2 + 𝑚3𝑔𝑦𝑐𝑚3 + 𝑚4𝑔𝑦𝑐𝑚4 + 𝑚5𝑔𝑦𝑐𝑚5 + 𝑚6𝑔𝑦𝑐𝑚6 (3.64)

Donde:

V= Energía potencial.

g= Vector de gravedad, -9.81[𝑚

𝑠2].

𝑦𝑐𝑚𝑖=Distancia vertical, del eje x hacia el centro de masa de cada eslabón.

𝑚𝑖=Masa correspondiente al eslabón en cuestión

Se deriva la energía potencial con respecto a la variable generalizada. Utilizando el

software Mathematica 9.0®, se obtiene:

𝑑𝑉

𝑑𝑞= 𝑔KG𝑦2𝑚2 + 𝑔KG𝑦3𝑚3 + 𝑔KG𝑦4𝑚4 + 𝑔KG𝑦5𝑚5 + 𝑔KG𝑦𝐷𝑚6 (3.65)

3.8 Obtención del modelo dinámico y simulación.

Ya que se obtuvo la ecuación diferencial para describir el modelo dinámico de los

mecanismos de un grado de libertad, se sustituye los términos obtenidos en los temas

anteriores y se resuelve la ecuación diferencial.

𝑄𝑛𝑐 = 𝜉(𝑞)�� +1

2

𝑑𝜉

𝑑𝑞��2 +

𝑑𝑉

𝑑𝑞 (3.40)

Para validar los resultados experimentales, es necesario comparar las gráficas de posición,

velocidad y aceleración angular de cualquiera de los eslabones arrojadas de la prueba

experimental con las gráficas obtenidas al desarrollar el modelo dinámico en un software

apropiado.

El software a utilizar para la simulación del movimiento del mecanismo es

WorkingModel®. El mecanismo que se muestra a continuación, tiene las medidas del

mecanismo que se construyó y se podrá observar en el próximo capítulo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)


63

Figura 3.3 Simulación en software (WorkingModel®) del mecanismo.

a) Aceleración lineal de la corredera [m/s2].

Tabla 3.3 Datos de la simulación del modelo dinámico en el software WorkingModel®.

Datos. Valores.

Torque del actuador. 0.001 N-m

Paso de integración. Fixed: 0.001 seg.

Integrador. Kutta-Merson (accurate)

Tiempo de simulación. 3 seg.

De la misma forma, para comprobar las ecuaciones obtenidas, se realiza un diagrama en

Simulink, donde se introducirá una función, la cual contiene, las masas de los eslabones,

los momentos de inercia, los coeficientes de velocidad y aceleración de los eslabones, al

igual que las distancias de los centros de masa y sus coeficientes de velocidad y

aceleración. Para poder retroalimentar la posición y velocidad de la variable generalizada.

Obteniendo la aceleración de la variable generalizada.


64

Figura 3.4 Diagrama de bloques en software Matlab/Simulink®.

Tabla 3.4 Datos de la Simulación en software Matlab/Simulink®. (Fig.3.9)

Nombre del elemento Características

a) MATLAB Function. Código que contiene información del

sistema, modelo dinámico.

b) Gráfica aceleración de la variable “yD” Muestra gráficamente la aceleración de la variable en cuestión.

c) Gráfica aceleración de la variable “t6” Muestra gráficamente la aceleración

de la variable en cuestión.

d) Gráfica aceleración de la variable “t3” Muestra gráficamente la aceleración

de la variable en cuestión.

e) Integrador de la variable “qpp” Primer integrador de la variable “qpp”, con condiciones iniciales igual a cero.

f) Integrador de la variable “qp” Segundo integrador de la variable

“qpp”, con condiciones iniciales igual

a cero.


Matlab/Simulink®.

Datos. Valores.

Torque del actuador. 0.001 N-m

Paso de integración. Fixed

Integrador. Ode4 (Runge-Kutta)

Tiempo de simulación. 3

Para poder simular en el software Matlab-Simulink en necesario despejar la aceleración

del modelo dinámico. La ecuación que retroalimenta la aceleración de la variable

generalizada se muestra a continuación.


65

�� = ((1

𝜉(𝑞)) (𝑄𝑛𝑐 −

𝑑𝜉

𝑑𝑞��2)) −

𝑑𝑉

𝑑𝑞 (3.41)

El torque que se aplicó es de 0.001 N-m, es el mismo que se utilizó para la simulación en

el software WorkingModel®, este valor se sustituye en 𝑄𝑛𝑐, la fuerza generalizada no

conservativa del mecanismo que proporciona el movimiento del mecanismo.

Se graficó por medio de un “Scope” las gráficas de posición, velocidad y aceleración de

la variable generalizada (manivela), para posteriormente realizar la comparación de las

gráficas obtenidas con las gráficas propias del software WorkingModel®.

En el apéndice B se encuentra el programa que contiene la función de Matlab®.

Las gráficas que se observan a continuación muestran la comparación entre los datos

obtenidos en el software WorkingModel® y la simulación en el software Matlab-

Simulink®.

3.8.1 Comparación de la gráfica de posición de la variable

generalizada, Matlab-Simulink® vs WorkingModel®.

En la siguiente figura se muestra la comparación de las dos graficas obtenidas, el

mecanismo comienza con las misma condiciones iniciales en las dos simulaciones.

Se realizó un acercamiento para poder observar el error por el paso de integración de los

dos Software, ya que a simple vista las dos graficas se ven iguales.

Figura 3.5 Empalme de las dos gráficas obtenidas mediante WorkingModel® y Matlab-

Simulink®, respectivamente (Posición de la variable generalizada “q”).


66

3.8.2 Comparación de la gráfica de velocidad de la variable


En la siguiente imagen se puede observar la velocidad de la variable generalizada, donde

las condiciones iniciales son las mismas, con una velocidad inicial de cero radianes sobre

segundo.


Simulink®, respectivamente (Velocidad de la variable generalizada “q”).


67

3.8.3 Comparación de la gráfica de aceleración de la variable


La figura siguiente muestra la aceleración de la variable generalizada, que se obtiene al

retroalimentar la posición y velocidad (𝑞 y ��).

Figura 3.8 Grafica de aceleración de la variable generalizada.


Simulink®, respectivamente (Aceleración de la variable generalizada “q”).

Para la simulación en el software WorkingModel®, se utilizó el integrador Kutta-Merson

y un paso de integración fijo, mientras que para la simulación en Matlab-Simulink®, se

utilizó el integrador Runge-Kutta y un paso de integración fijo. Es importante señalar que

los integradores que se usan en WorkingModel® como Matlab®, son muy parecidos, por

lo que se puede afirmar que el modelo dinámico obtenido está comprobado para poder

ser utilizado en el control del mecanismo.

Capítulo 4.

Metodología de control.


69

IV. Metodología de control.

Introducción.

Cada día los controles automáticos tienen una intervención más importante en la vida

cotidiana. El control automático ha tomado un papel esencial de los procesos de

manufactura, por citar algunos ejemplos, el control automático resulta imprescindible en

tareas industriales como el control de temperatura, humedad, viscosidad, presión y flujo,

en las industrias de procesos, maquinado, manejo y armado de piezas mecánicas en las

industrias de fabricación, entre muchas otras. En la actualidad, en las modernas fábricas

e instalaciones industriales, es prioridad poder disponer de sistemas de control o de

mando, que permitan optimizar una gran cantidad de procesos, en donde la presencia del

hombre es insuficiente para controlarlos.

Los controles automáticos han tenido un papel importante en el desarrollo de la ingeniería

y la ciencia. Los avances en la teoría y práctica del control automático han entregado los

recursos para lograr el funcionamiento óptimo de sistemas dinámicos, mejorar la calidad

y abaratar los costos de producción, liberar de la complejidad de muchas rutinas de tareas

manuales respectivas, etc.; la mayor parte de los ingenieros tienen contacto con los

sistemas de control, aun cuando únicamente los usen, sin profundizar en su teoría.

4.1 El concepto de control.

El problema de control radica en elegir, de un grupo específico o arbitrario de

componentes (o parámetros, configuraciones, funciones, etc.), aquellos que aplicados a

un sistema fijo, hagan que este se comporte de una manera predeterminada.

Figura 4.1 Esquema de un sistema.

Por consiguiente se puede establecer que el problema de control radica en seleccionar,

para un sistema dado, una entrada que haga que la planta responda de una manera

deseada; a decir de otro modo, que se obtenga una salida con características deseadas.

4.2 Definiciones.

A continuación se define la terminología necesaria para introducirnos en la teoría de

control automático. Estas definiciones están basadas, en parte, en las propuestas de

normas de la IEEE. Las variaciones en las definiciones dadas a continuación respecto a

las normalizadas obedecen a la necesidad de emplearlas en los temas de introducción

general.


70

Planta: se designará como planta a cualquier objeto físico que pueda ser controlado.

Puede ser un equipo, quizás simplemente un juego de piezas de una máquina funcionando

juntas, cuyo objetivo es realizar una operación determinada. Ejemplos de plantas son:

horno de calentamiento, reactor químico, etc.

Proceso: se definirá como una operación o conjuntos de pasos con una secuencia

determinada, que producen una serie de cambios graduales que llevan de un estado a otro,

y que tienden a un determinado resultado final. Se denominará proceso a cualquier

operación que se vaya a controlar. Ejemplos de procesos son: químicos, económicos,

biológicos, etc.

Sistema: de forma más general, podemos definir a un sistema como un arreglo, conjunto

o combinación de cosas conectadas o relacionadas de manera que constituyen un todo.

De forma científica podemos definirlo como un arreglo de componentes físicos

conectados o relacionados de tal manera que formen una unidad completa o que puedan

actuar como tal; en otras palabras: Un sistema es una combinación de componentes que

actúan conjuntamente, con un determinado objetivo a cumplir. Cómo puede observarse

el término sistema no está aplicado únicamente a objetivos físicos, el concepto de sistema

puede ser aplicado a fenómenos abstractos y dinámicos como por ejemplo la economía.

Por tanto cuando se hable de sistemas implicará referirse a fenómenos físicos, biológicos,

económicos, sociológicos, etc.

La planta junto con el proceso, conforman un sistema.

Control: esta palabra se usa para designar regulación, gobierno, dirección o comando.

Sistema de control: es un arreglo de componentes físicos conectados de tal manera que

el arreglo pueda comandar, dirigir o regular, asimismo o a otro sistema. Estos sistemas

comandan dirigen o controlan dinámicamente.

Entrada de un sistema: Es una variable del sistema elegida de tal manera que se la utiliza

como excitación del mismo.

Salida de un sistema: Es una variable del sistema elegida de tal modo que se la utiliza

para analizar los efectos que produjo una excitación en la entrada del mismo.

Entrada de un sistema de control: Es una variable del sistema controlado que se elige

de modo tal que mediante su manipulación se logra que el sistema cumpla un objetivo

determinado. Las variables de entrada, son variables que ingresan al sistema y no

dependen de ninguna otra variable interna del mismo. No solo la señal de referencia (valor

deseado de la salida del sistema) conforma una variable de entrada, también hay ciertas

señales indeseadas, como son algunas perturbaciones externas, que se generan fuera del

sistema y actúan sobre la planta, afectando desfavorablemente la salida del sistema,

comportándose también como una variable de entrada, cuyo valor no dependen de

ninguna otra variable interna al sistema.

Salida de un sistema de control: Es una variable del sistema controlado que se elige de

modo tal que mediante su estudio se analiza si el sistema cumple o no con los objetivos

propuestos. Se verá más adelante que en los sistemas realimentados esta señal de salida

contribuye a realizar el control propuesto.

Realimentación: es una propiedad de los sistemas que permite que la salida del sistema

o cualquier variable del mismo pueda ser comparada con la entrada al sistema o con

cualquier componente del sistema, de tal manera que pueda establecerse la acción de

control apropiada entre la entrada y la salida.


71

En general, se dice que la realimentación existe en un sistema cuando hay una secuencia

cerrada de relaciones causa-efecto entre las variables de un sistema. Este concepto de

realimentación juega un papel muy importante en ingeniería de control. Aunque el

término parece tener un significado muy sencillo, es bastante difícil encontrar una

definición precisa para él. La existencia de realimentación en los sistemas físicos es difícil

de demostrar, en cambio cuando deliberadamente se introduce realimentación con el afán

de controlar su existencia y su función se identifica más fácilmente.

En consecuencia, se interpretará que existe una realimentación, cuando se presenta una

secuencia cerrada de relaciones causa-efecto entre las variables de un sistema.

Existen dos tipos de realimentación, la forma de cómo se comparan las dos variables que

dan lugar a la misma, permite que se pueda hablar de realimentación positiva o negativa.

Realimentación positiva: Cuando ambas variables comparadas son de igual signo.

Realimentación negativa: Cuando ambas variables comparadas son de signo contrario.

En control se usa y aplica la realimentación negativa. Un sistema realimentado

negativamente modifica las propiedades y características del sistema sin realimentar. Los

rasgos más importantes que la realimentación negativa impone a un sistema son:

Aumento de la exactitud.

Se reducen los efectos de no linealidad y distorsión.

Aumenta el ancho de banda del sistema.

Disminuye la ganancia del sistema.

El sistema tiende a ser menos estable.

Perturbaciones: es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de

un sistema. Si lo perturbación se genera dentro del sistema se la denomina interna,

mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema. Las perturbaciones

actúan sobre un sistema modificando, su funcionamiento por lo que su presencia implica

la necesidad de control. Normalmente las perturbaciones actúan sobre un sistema

aleatoriamente.

Control de Realimentación: es una operación que, en presencia de perturbaciones,

tiende a reducir las diferencias entre la salida y la entrada del sistema-, y lo hace sobre la

base de esta diferencia, la cual se denomina señal de error. Cuando se utiliza control de

realimentación se considera perturbación a aquellas que tienen carácter aleatorio (no

previsible), porque las perturbaciones que pueden ser predichas siempre se puede incluir

una compensación dentro del sistema de modo que sea innecesario el control.

Sistema de control realimentado: es aquel que tiende, a mantener una relación

preestablecida entre la salida y la entrada de referencia, comparando ambas y utilizando

la diferencia como variable de control. Es de notar que los sistemas de control

realimentado no están limitados al campo de la ingeniería sino que se los puede encontrar

en áreas ajenas a la misma, como la economía y la psicología. Por ejemplo, el organismo

humano, en un aspecto es análogo a una planta química compleja con una enorme

variedad de operaciones unitarias. El control de procesos de esta red de transporte y

reacciones químicas involucra una variedad de lazos de control. De hecho, el organismo

humano es un sistema de control realimentado extremadamente complejo. [23]


72

4.3 Control de Lazo Abierto y Control de Lazo Cerrado.

4.3.1 Control de lazo abierto.

Los sistemas en los cuales la salida no afecta la acción de control se denominan sistemas

de control en lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no

se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico es

una lavadora. El remojo, el lavado y el enjuague en la lavadora operan con una base de

tiempo. La máquina no mide la señal de salida, que es la limpieza de la ropa. En cualquier

sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia.

Por tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija; como

resultado, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de

perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la

práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y

la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas

no son de control realimentado. Observe que cualquier sistema de control que opere con

una base de tiempo es en lazo abierto. Por ejemplo, el control del tránsito mediante señales

operadas con una base de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto. [23]

Figura 4.2 Sistema de control de lazo abierto.

4.3.2 Control de lazo cerrado.

Los sistemas de control realimentados se denominan también sistemas de control en lazo

cerrado. En la práctica, los términos control realimentado y control en lazo cerrado se

usan indistintamente. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador

la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de

realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de la señal de salida

y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un

valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una

acción de control realimentado para reducir el error del sistema. [23]

La Fig. 4.2 muestra la relación entrada-salida de un sistema de control de lazo cerrado.

Figura 4.3 Sistema de control de lazo cerrado.


73

4.4 Controladores.

Los controladores tienen un papel relevante en la automatización de los diferentes

sistemas mecánicos, ya que gracias a ellos se han optimizado dichos sistemas, y han

ayudado al mejor desempeño en las tareas para las cuales han sido diseñados.

Existen tres tipos de controladores fundamentales.

Control proporcional (P).

Control integral (I).

Control derivativo (D).

Dichos controladores pueden interactuar entre sí, dando como resultado las siguientes

configuraciones:

Control proporcional-integral (PI).

Control proporcional-derivativo (PD).

Control proporcional-integral-derivativo (PID).

4.4.1 Control proporcional.

Dicha acción de control radica en la multiplicación de la señal de error actuante y la

sensibilidad proporcional o ganancia, con esto se pretende que el error existente en su

fase estacionaria sea nulo o casi inexistente.

𝑣(𝑡) = −𝐾𝑝𝑒(𝑡) (4.1)

Donde 𝐾𝑝 es la ganancia del control proporcional.

4.4.2 Control integral.

Esta acción de control se dice que es de tipo integral cuando la señal de control v(t) es

producto de una ganancia y la integral del error actuante 𝑒(𝑡 ). 𝑣(𝑡 ) = −𝐾𝑖 ∫ 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 (4.2)

Donde 𝐾𝑖 es la ganancia del control integral.

4.4.3 Control derivativo.

Esta acción de control se dice que es de tipo derivativo cuando la señal de control v(t) es

producto de una ganancia y la derivada del error actuante 𝑒(𝑡 ).

𝑣(𝑡 ) = −𝐾𝑑𝑑 𝑒(𝑡)

𝑑𝑡 (4.3)

Donde Kd es la ganancia del control derivativo.


74

4.4.4 Control proporcional-integral: PI

Incluir el control integral es un modo factible de erradicar el error en su fase estable. El

control integral regula la rapidez de la acción de control, a su vez, un ajuste en Kp afecta

tanto a la parte proporcional y la parte integral de la acción de control.

𝑣(𝑡 ) = −𝐾𝑝 𝑒(𝑡) − 𝐾𝑖 ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 (4.4)

4.4.5 Control proporcional-derivativo: PD

Atenúa el sobre-impulso y el tiempo de estabilización, tiene como propósito elevar la

estabilidad del sistema acrecentando la respuesta del sistema.

𝑣(𝑡 ) = −𝐾𝑝 𝑒(𝑡) − 𝐾𝑑𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡 (4.5)

4.4.6 Control proporcional-integral-derivativo: PID

Los controladores PID (proporcional integral derivativo), son la opción más utilizada en

las diferentes aplicaciones de control de procesos. Su éxito se debe principalmente, a la

sencillez de su estructura (tres parámetros a sintonizar) y funcionamiento, que le permiten

al ingeniero de control un entendimiento mejor y fácil, comparado con otras técnicas de

control avanzadas [24].

Esta acción de control, contiene los atributos de cada una de las acciones de control ya

antes citadas.

La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

𝑣(𝑡 ) = −𝐾𝑝 𝑒(𝑡) − 𝐾𝑖 ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 − 𝐾𝑑𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡 (4.6)

4.5 Tipos de control.

En el siguiente diagrama se muestran los dos tipos de control que existen y el error que

se obtiene en cada uno de ellos.

Figura 4.4 Tipos de control.

Existen dos tipos de control.

Control de posición o regulación.

qd=constante.

xd=constante.

Control articular.

El error esta dado por: 𝑒 = 𝑞 − 𝑞𝑑

Control operacional.

El error esta dado por 𝑒=x-xd

Control de seguimiento.

xd = f (t)

qd=f(t)

Control articular.

El error esa dado por

𝑒=𝑞(t)−𝑞d(t)

Control operacional.

El error esta dado por

𝑒=x(t)-xd(t)


75

4.5.1 Control de posición o regulación.

El control de posición puede ser en forma articular y en forma operacional. Este tipo de

control se aplica regularmente a manipuladores robóticos, debido a que en diferentes

procesos industriales se debe posicionar el efector final en un determinado punto, ya sea

para alimentación de materia prima o el ensamble de piezas. Cabe mencionar que la

referencia a la que se desea llegar es una constante, ya sea para el control articular u

operacional.

La posición deseada en el control operacional 𝑥𝑑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. La posición deseada en el control articular 𝑞𝑑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

4.5.1.1 Control de posición articular.

Para llevar a cabo este tipo de control, se instala un sensor angular, cuyo objetivo

principal es medir la posición angular de la variable generalizada.

Para este tipo de control el error está dado por:

𝑒 = 𝑞 − 𝑞𝑑 (4.7)

�� = �� − 𝑞�� (4.8)

4.5.1.2 Control de posición operacional.

La otra forma de aplicar un control de posición es por medio del control operacional, en

este caso es necesario aplicar un sensor en el efector final (sensor lineal) el cual

retroalimentara la posición de la planta, para poder llevarla a la posición deseada.

El error para este tipo de control está dado por:

𝑒 = 𝑥 − 𝑥𝑑 (4.9)

�� = �� − 𝑥�� (4.10)

4.5.2 Control de seguimiento.

Esta clase de control se puede implementar en modo articular y en forma operacional.

Dicha técnica de control se aplica en diferentes procesos de manufactura en donde el

efector final debe seguir una trayectoria en específico.

Por lo regular, la trayectoria a seguir es una función que varía en el tiempo,

La función deseada en el control operacional 𝑥𝑑 = 𝑓(𝑡)

La función deseada en el control articular 𝑞𝑑 = 𝑓(𝑡)

4.5.2.1 Control de seguimiento articular.

Para ejecutar esta técnica de control, se instala un sensor angular, el cual medirá la

posición angular de la variable generalizada, para poder seguir la referencia que se

plantea.

Para este tipo de control el error está dado por:

𝑒 = 𝑞 − 𝑞𝑑 (4.11)

�� = �� − 𝑞�� (4.12)


76

4.5.2.2 Control por seguimiento operacional.

Para efectuar este tipo de control, se instala un sensor en el efector final (cámara, sensor

lineal o sensor ultrasónico) para poder censar la posición y saber el error en el seguimiento

de la referencia deseada.

El error para este tipo de control está dado por:

𝑒 = 𝑥 − 𝑥𝑑 (4.13)

�� = �� − 𝑥�� (4.14)

Ya que se explicaron los cuatro tipos de control que existen es necesario enfocarse en los

esquemas de control que se aplicaran al mecanismo de manivela corredera, para la

sincronización del mecanismo.

Para lograr solucionar del problema planteado es necesario que el efector final del

mecanismo llegue a una posición deseada.


77

Capítulo 5.

Plataforma y resultados experimentales.


78

V. Construcción e integración de plataforma experimental.

Introducción.

El mecanismo de manivela biela corredera multilazo, es un mecanismo de cadena

cinemática cerrada, este mecanismo es diseñado para que a partir de un movimiento

angular de entrada se obtenga un movimiento lineal de salida o viceversa, como es

utilizado en los motores de combustión interna, donde se aplica un movimiento lineal,

para obtener un movimiento angular. A partir de una velocidad constante en la entrada,

se pueden obtener perfiles de velocidad deseados en la salida.

Se realizó la construcción de una plataforma experimental, la cual tendrá una interfaz

entre una tarjeta de adquisición de datos y el actuador, para así poder implementar leyes

de control y poder verificar los resultados obtenidos.

La plataforma que se construyó no sólo servirá para implementar los esquemas de control

que plantean el siguiente capítulo, sino que también se podrá hacer experimentos con

diferentes leyes de control, para poder verificar cual cumple mejor con la tarea que se

desea realizar, ya sea control de posición o control de seguimiento de trayectorias.

5.1 La plataforma experimental.

Figura 5.1 Diseño de la plataforma en SolidWorks®.

En este trabajo no es necesario realizar la síntesis del mecanismo, ya que, lo que se busca

es demostrar que ya teniendo el mecanismo construido, de las medidas que fuese, se

puede aplicar un control de posición. Por lo que las dimensiones planteadas son las

siguientes.

Los planos del mecanismo, así como los planos de cada uno de sus eslabones, se podrán

encontrar en el apéndice correspondiente.

5.2 Sistema de adquisición de datos.

El hombre ha aplicado sus conocimientos para extraer información de la naturaleza

(magnitudes físicas) y convertirlas en magnitudes eléctricas para su procesamiento. Esto

con la finalidad de obtener un mejor análisis de los procesos [25]. La adquisición de datos

consiste en tomar muestras de un sistema analógico para generar datos que puedan ser

manipulados dentro de la computadora (sistema digital). El elemento encargado de

adecuar la señal analógica a niveles compatibles con el elemento que hace la


79

transformación a señal digital es el módulo de digitalización o tarjetas de adquisición de

datos (DAQ). El control de la señal analógica se puede llevar a cabo utilizando varios

lenguajes de programación de propósito general como VisualBASIC®, C++®, Java®,

Pascal®, etc. Entre los lenguajes especializados de programación esta LabView® y

MATLAB®, los cuales ofrecen un entorno gráfico de programación, además de

bibliotecas y herramientas para la adquisición de datos. Las tarjetas de adquisición se

conforman por módulos que pueden ser conectados a los puertos de la computadora

(paralelo, serie, USB, etc.) o bien a las ranuras de la computadora, PCI (Interconexión de

Componentes Periféricos) en la placa madre. Además, la DAQ cuenta con un software

que permite que el sistema operático reconozca el hardware DAQ y así dar a los

programas acceso a las señales de lectura por el hardware DAQ. También existen tarjetas

de adquisición de datos de salida que permiten transformar una señal digital y convertirla

en una señal analógica (eléctrica). En la actualidad hay tarjetas que permiten pasar tanto

de una señal analógica a digital y/o viceversa.

Por otra parte los aspectos técnicos más relevantes que son tomados en cuenta para la

selección de una tarjeta d adquisición de datos son:

Puerto de conexión.

Número de entradas y salidas.

Rango máximo y mínimo de voltaje y de corriente que permite introducir.

Velocidad de muestreo, es la velocidad de adquiere información y está relacionada

con la aplicación, esto es, se debe elegir una tarjeta que tenga la capacidad suficiente

para que la señal pueda ser monitoreada.

Resolución, en este caso son los valores que representan la magnitud de una

medición. Esto es, al ser enviada una señal analógica a la computadora esta tiene que

ser representada numéricamente para ser recibida en forma digital. Esta

representación dependerá directamente de la resolución de la tarjeta.

Las ventajas de utilizar una DAQ es la posibilidad de realizar tareas en tiempo real,

flexibilidad de procesamiento, rápido acceso a la información, se pueden adquirir gran

cantidad de datos para poder ser analizados, facilidad de automatización, etc. Por estas

razones las DAQ se utilizan en la industria, en la investigación científica, el control de

máquinas y de producción, la detección de fallas y el control de calidad, entre otras

aplicaciones.

Las simulaciones numéricas han servido a lo largo de los tiempos para dar un panorama

más amplio sobre el rendimiento de los procesos. Como es bien sabido, estas simulaciones

numéricas son similares a la realidad más no exactas, ya que en comparación con la

realidad, las simulaciones numéricas consideran modelos exactos, cuando en realidad

pueden existir variaciones e incluso incertidumbres en el modelo. En este trabajo se utiliza

una tarjeta de adquisición de datos para probar las metodologías de control propuestas. El

medio grafico utilizado para la DAQ es Matlab-Simulink® y la toolbox Real time Target.

De esta manera se adquieren y generan señales en tiempo real. Así, se obtiene el

comportamiento físico del sistema a implementar.


80

5.2.1 Especificaciones del hardware.

La tarjeta de adquisición de datos que se selecciona es debido a su funcionalidad y bajo

costo. Esta tarjeta es de la compañía Sensoray modelo 626, la cual se muestra en la figura.

Dado que la tarjeta Sensoray 626 se conecta a una ranura del PCI (Interconexión de

componentes periféricos) en la placa madre, se utiliza una computadora de escritorio, la

cual debe contar con Windows 98,2000, XP. La instalación del hardware de la tarjeta

dentro del sistema es PCI es simple, ya que no se requiere de una adaptación especial.

Esta tarjeta cuenta con un sistema de entrada y uno de salida para la adquisición de datos

y control. Tiene 48 canales digitales de enteada/salida (bi-direccional), 16 entradas

analógicas (14 bit resolución, tasa 15kHz), 4 salidas analógicas (13 bit resolución) y

contadores [26]. Las entradas y salidas digitales son programadas por el software con una

entrada o salida. En la siguiente tabla se muestran las especificaciones de la tarjeta

Sensoray modelo 628 y en el manual de la tarjeta puede consultarse como están

organizados los conectores de los convertidores A/D y D/A.

Figura 5.2 Tarjeta de adquisición de datos Sensoray Modelo 626

Tabla 5.1 Características de la Tarjeta de adquisición de datos Sensoray Modelo 626

Función.

Temperatura de funcionamiento. 0°C a 70°C

Interfaz de bus de PC. PCI, 32-bit, 33MHz

Potencia de entrada. < 3 watts

Convertidor A/D.

Número de canales. 16 diferenciales

El tiempo de conversión. 20 microsegundos/canal.

Resistencia de entrada. 100 Megaohms.

Resolución. 14-bits

Rangos de entrada. 10𝑣,−+ 5𝑣−

+

Convertidor D/A

Número de canales 4

El tiempo de conversión 200 microsegundos/canal.

Resistencia de salida. 87ohms


81

Resolución. 14-bits incluyendo la señal.

Voltaje de salida. 10𝑣,−+

I/O Digitales.

Número de canales. 48 bi-direccionales.

Voltaje de salida. 0 a 5 V de colector abierto.

Salida de corriente. 100mA @ 1.1V

Características de entrada Compatible TTL/CMOS

Configuración Cada canal puede ser entrada o salida.

Accesorios para I/O digitales.

Cable digital de 50-pin. 7501C1

5.2.2 Instalación de software de la tarjeta Sensoray modelo 626.

Antes de comenzar con las instalación del software de la tarjeta, se debe tomar en cuenta

que se va a utilizar Real Time Windows Target, que es un programa que ofrece Matlab-

Simulink® para realizar aplicaciones en tiempo real, este programa permite adquirir y

generar señales en tiempo real con una gran flexibilidad y rapidez en base a la creación

de datos.

Observación 5.1 Ahora en adelante, entiéndase como modelo, el programa generado en

Matlab-Simulink® para llevar a cabo la aplicación en tiempo real.

Una ventaja que ofrece Real Time Windows Target, es que con los parámetros del modelo

pueden ser modificados durante la ejecución en tiempo real. Por lo tanto, esta herramienta

puede aplicarse en el control y la aplicación en tiempo real de plantas físicas. Además, se

puede aplicar en la realización de prototipos ya que permite visualizar las señales con el

bloque de osciloscopio de Simulink® o bien, mandando la respuesta del sistema al

exterior. La comunicación que va a existir entre el equipo de cómputo y el hardware

exterior es por medio de una tarjeta de adquisición de datos Sensoray modelo 626. La

principal característica por la que se eligió esta tarjeta es por que opera con señales de

entradas y/o salidas análogas y digitales.

Por otro lado, una vez que se instala la tarjeta Sensoray modelo 626 físicamente en el PCI

de la placa madre, es necesario instalar el software para poner en funcionamiento la tarjeta

de adquisición de datos. La compañía Sensoray desarrollo el kit SDK626, éste puede ser

descargado en la página de internet de Sensoray (www.sensoray.com) en la parte de

software y manuales. Ya que se obtiene la carpeta SDK626 se sigue el siguiente

procedimiento para instalar los controladores de la DAQ Sensoray modelo 626 en el

equipo de cómputo.

De la carpeta de Windows se copia el archivo S626 DLL al directorio

C:Windows\system.

De la carpeta de Windows/Install98-ME-2000-XP se copia SXDRVDS.SYS al

directorio C:Windows\system32\drivers.

Después de hacer los 2 pasos anteriores se reinicia la computadora.


82

El nuevo hardware detectado se muestra en un cuadro de dialogo, se indica al

sistema que “busque mejor el driver”, a continuación, se especifica la ruta del

archivo de SX.INF, el nuevo hardware debe encontrar el archivo especificado y

mostrar su ruta en el cuadro de dialogo. Una vez que se termina de instalar se

finaliza la instalación.

Para la configuración de Matlab® en tiempo real.

Se abre la ventana de comandos de Matlab® y se escribe rtwintgt-setup, el cual

instala e kernel de tiempo real rtwin. Recuerde que el kernel es el encargado de

asegurar la ejecución en tiempo real de las aplicaciones en tiempo real.

Para construir un modelo en Matlab-Simulink®.

Se crea un nuevo archivo en Matlab-Simulink® con extensión mdl.

Se va a la barra de herramientas y se localiza Simulación/Configuración de

parámetros y se ingresa a Real Time Workshop y se elige el kernel rtwin.tlc y se

da clic en aplicar.

Se cambia el modo de simulación de Normal a External.

En cada uno de los bloques del modelo Real Time Windows Target se selecciona

la tarjeta Sensoray modelo 626, para dicho fin.

Se abre el Block parámetros y en la parte de la tarjeta de adquisición de

datos/Instalar una nueva tarjeta, seleccionar la tarjeta Sensoray modelo

626.

Se selecciona en que ranura (slot) el PCI se encuentra conectado. Dos

posibles formas de saberlo son:

o Se espera a que la computadora encuentre el slot por medio de la

opción de autodetección al aplicar el test.

o O bien, se va a la parte de Inicio/Panel de

control/Sistema/Hardware y finalmente en Administrador de

dispositivos se obtiene en que slot se encuentra la tarjeta.

Se especifican los parámetros de los bloques del modelo Real Time Windows

Target como por ejemplo: periodo de muestreo, canal por donde va a entrar o

salir una señal, ya sea esta análoga o digital, etc.

Una vez que se han conectado todos los componentes del sistema, se va

nuevamente a la barra de herramientas y se localiza Tools/Real Time Workshop/

Build Model o bien Ctrl+B, para construir el sistema. Si el proceso fue exitoso,

aparece la siguiente leyenda ###Succesful completion of xPC Target build.

Finalmente en la barra de herramientas se localiza Simulación / Conectar tarjeta.

Estas son las indicaciones que se deben seguir para la instalación de los controladores de

la tarjeta Sensoray modelo 626 en el equipo de cómputo, para la configuración de

Matlab® en tiempo real y para la construcción de un modelo en Matlab-Simulink® con

ayuda de Real Time Target.


83

5.3 Instalación de la plataforma experimental.

Figura 5.3 Plataforma experimental instalada.

5.3.1 Fuente de alimentación.

La función de una fuente de alimentación es convertir la tensión alterna en una tensión

continua y lo más estable posible, para ello se usan los siguientes componentes:

Transformador de entrada.

Rectificador a diodos.

Filtro para el rizado.

Regulador (o estabilizador) lineal.

Figura 5.4 Diagrama del funcionamiento de la fuente de alimentación.


84

Figura 5.5 Fuente de alimentación de la plataforma experimental.

Figura 5.6 Ficha técnica de la fuente de alimentación.

5.3.2 Etapa de potencia.

En la Figura 5.7 se representa el esquema de la etapa de potencia (Proteus 7.7®) para el

motor DC del mecanismo, cuyo objetivo es la generación de una señal modulada en

anchura de pulso (señal PWM en lo sucesivo, um (t)) que se corresponda con la señal de

control discreta uk generada por un sistema de control digital.


85

Figura 5.7 Diseño esquemático de la etapa de potencia. (Proteus®7.7).

Figura 5.8 Etapa de potencia de la plataforma experimental


86

5.3.3 Modulo lector de Encoders (Lineal y Angular).

Figura 5.9 Módulo lector de Encoders (Lineal y Angular).

Tabla 5.2 Módulo lector de Encoders.

Modulo lector de Encoders.

Inciso Nombre Descripción.

a) Encoder Lineal. Instalación física en la parte final de la carrera de

la corredera.

b) Conexión del Encoder lineal al módulo

lector de Encoders.

Color del

cable

Descripción.

Azul Salida “A”

Morado Terminal positiva. “+”

Amarillo Salida “B”

Verde Terminal negativa. “-”

c) Encoder Angular. Instalación física en la parte posterior del motor

d) Conexión del Encoder angular al

módulo lector de Encoders.

Color del

cable

Descripción.

Café Salida “A”

Rojo Terminal positiva. “+”

Naranja Salida “B”

Negro Terminal negativa. “-”


87

5.3.4 Zócalo de entradas y salidas (Analógicas y Digitales)

Figura 5.10 Zócalo de entradas y salidas (Analógicas y Digitales).

5.4 Pruebas experimentales.

Una vez instalada la tarjeta Sensorray modelo 626, se procede a elaborar el diagrama de

control correspondiente a cada prueba experimental, abriendo un nuevo programa en

Matlab-Simulink® versión 2012ª, bajo el sistema operativo Windows XP® de 32 Bits,

que corre solo en computadoras con procesador Pentium 4®.

Ya que se tiene elaborado el diagrama de control en cuestión. Los pasos para correr la

simulación en tiempo real, son los siguientes.

Ir a la pestaña de simulación, que se encuentra en la parte superior, damos

clic, y enseguida escogemos la opción “Model Configuration

Parameters”, la forma en que se configurará la simulación se muestra en

la figura.5.11

Una vez configurado el modo de simulación, los pasos siguientes para correr la

simulación, vienen mostrados a continuación.

Dar clic en el comando “Build Model”

Una vez construido el modelo, dar clic en el comando “Connect to

Target”

Concluido el paso anterior, daremos clic en el comando “Run”, para

iniciar la prueba experimental correspondiente.

Lo comandos antes referidos, se muestran en la figura 5.12.


88

Figura 5.11 Model Configuration Parameters.

Figura 5.12 Comandos necesarios para iniciar la simulación en tiempo real.


89

5.4.1. Control de posición articular de la manivela. (Prueba

experimental final).

En este apartado, se muestran las gráficas obtenidas de la prueba experimental de control

de posición articular de la manivela, dicha prueba se desarrolló en tiempo real en la

plataforma experimental.

g

Figura 5.13 Diagrama de control en Matlab-Simulink®, para alcanzar una posición

deseada en la manivela.

La descripción de cada elemento del diagrama de control, se muestra a continuación.

a) Encoder Input5 (Motor 1).

En este bloque se recibe la señal de posición angular física de la manivela, proveniente

del sensor angular instalado en el motor.Los parámetros del bloque se muestran a

continuación. (Fig. 5.14)

Figura 5.14 Parámetros del bloque “Encoder Input5 (Motor 1)”.


90

b) Gain.

Este bloque representa una ganancia, dicha ganancia ayuda a convertir el número de

pulsos que arroja nuestro sensor articular en radianes, ya que una vez estando en radianes

la señal proveniente del sensor articular, podemos posteriormente utilizar esta

información para aplicar control articular.

Figura 5.15 Parámetros de la ganancia “Gain”.

a) En el inciso “a” de la figura 5.15, vemos la ganancia asignada, la cual es armada

del siguiente razonamiento.

2*pi= Conversión del número de pulsos a radianes.

512= Pulsos por revolución del Encoder angular. (ppr)

20= Relación del tren de engranaje del motor instalado (20:1)

4=Valor de la cuadratura, significa que el bloque del Encoder está configurado en modo

de cuadratura (cada pulso es multiplicado por 4, debido al desfasamiento de 90 grados

entre el canal “A” y “B”).

c) Referencia.

Este bloque es solo una constante, para esta prueba experimental, la referencia es de Pi/2

rad. Es decir, se busca que la manivela llegue a una posición de 90 grados a partir de su

estado inicial (Considerar el conteo de grados en sentido antihorario.)

d) Sumador.

En este bloque se realiza la resta entre la referencia asignada y la salida del bloque “Gain”

del inciso “b”, de dicha resta es obtenido el error en un instante determinado, el error

obtenido se inserta en el bloque “PID Controller”, el cual se estudia más adelante.


91

Figura 5.16 Parámetros del sumador.

e) Error “q”.

Este “Scope” del diagrama, muestra la gráfica obtenida del error articular. A continuación

se muestra dicha gráfica y editada para una mejor apreciación.

Figura 5.17 Gráfica del error de posición angular de la manivela.


92

En la figura 5.17, podemos observar como el error tiende a cero en el estado transitorio,

y una vez llegado el mismo al estado estable, ahí se me mantiene, obteniendo así una

respuesta satisfactoria.

f) PID Controller.

Este bloque es un controlador de tipo PID, el algoritmo del control PID consiste de tres

parámetros distintos, el proporcional, el integral y el derivativo. El valor proporcional

depende del error actual, el integral depende de los errores pasados y el derivativo es una

predicción de los errores futuros. Los parámetros del bloque de control PID, se muestran

en la figura siguiente.

Figura 5.18 Parámetros del PID Controller.

g) Saturation.

Bloque que simula una saturación. La salida sigue a la entrada, salvo que ésta supere unos

umbrales fijados por el usuario, en cuyo caso la salida toma los valores límites, máximo

o mínimo. Los límites pueden ser constantes o variables.

El bloque de saturación es usado para limitar la amplitud de salida del controlador.

Figura 5.19 Parámetros del bloque de Saturación.


93

h) PWM3

En este bloque se arma el PWM que alimenta nuestra planta.

La modulación por ancho o de pulso (o en inglés pulse width modulation PWM) es un

tipo de señal de voltaje utilizada para enviar información o para modificar la cantidad de

energía que se envía a una carga. Este tipo de señales es muy utilizada en circuitos

digitales que necesitan emular una señal analógica.

Para emular una señal analógica se cambia el ciclo de trabajo (duty cicle en inglés) de tal

manera que el valor promedio de la señal sea el voltaje aproximado que se desea obtener,

pudiendo entonces enviar voltajes entre 0[V] y el máximo que soporte el dispositivo

PWM utilizado, en este caso es 5[V].

En la siguiente figura se muestra la información que contiene el bloque “PWM3”

Figura 5.20 Elementos del bloque “PWM3”.

A continuación se detalla cada elemento del bloque “PWM3”

1) Bloque “Diente de Sierra”.

Matlab-Simulink® posee el bloque “Sawtooth”, que nos sirve para generar onda diente

de sierra, con un pico de +/-1 y un periodo de 2*pi. En la siguiente figura se muestran los

parámetros del bloque “Diente de Sierra”.


94

Figura 5.21 Elementos del bloque “Diente de sierra”.

Con estos parámetros obtenemos una frecuencia a la salida del PWM de 1KHz.

2) Señal de la salida de control.

El valor de la señal de control es obtenido del bloque “PID Controller” y es insertado en

el “Matlab Function” y comparado con cero en los elementos 3 y 4 del bloque del PWM.

3) MATLAB Function.

En éste “Script” solo se extrae el valor absoluto de la señal de control, entrando “u”

(Entrada de la señal de control) y saliendo “y” (valor absoluto de la señal de control).

Figura 5.22 MATLAB Function. (Elemento 3 del bloque PWM).

4) Relational Operator1.

Comparador matemático “menor igual que” que compara el valor absoluto de la señal de

control con la salida del diente de sierra, este se hace en el tiempo que marca el tiempo

de tiempo de muestreo ( 0.0005s) de forma reiterativa, la salida de éste comparador ayuda

a generar el valor del PWM. Dicho valor se asigna en el puerto número 1 (Output Digital

1) de la tarjeta Sensorray modelo 626.

5) Compare to cero.

Comparador matemático “menor igual que cero” que compara el valor de la señal de

control con cero, arrojando así el signo del PWM en el puerto número 2 (Output Digital

2) de la tarjeta Sensorray modelo 626.

6) PWM 1

Salida digital número 1 del PWM (Valor del PWM).


95

7) Sign 1

Salida digital número 2 del PWM (Signo del PWM).

i) Digital Output_PIN47(PWM Motor 1)1

Salida digital número 1 del PWM

Figura 5.23 Parámetros del Digital Output_PIN47 (PWM Motor 1)1.


96

j) Digital Output_PIN45 (Dirección Motor 1)1.

Salida digital número 2 del PWM (sentido del PWM).

Figura 5.24 Parámetros del Digital Output_PIN45 (Dirección del Motor 1)1.

Figura 5.25 Señal de control obtenida del diagrama de control.


97

Figura 5.26 Plataforma experimental antes de iniciar la prueba de posición de la

manivela (Posición de la manivela 0 rad).

Figura 5.27 Plataforma experimental al finalizar la prueba de posición de la

manivela (Posición de la manivela pi/2 rad).


98

5.4.2 Control de seguimiento articular de la manivela. (Prueba

experimental final).

En esta sección, la prueba consiste en generar una trayectoria de tipo senoidal, e

implementar una ley de control de tal modo que la manivela siga y alcance la trayectoria

ya antes impuesta.

Figura 5.28 Diagrama de control en Matlab-Simulink®, para seguir la trayectoria

deseada en la manivela.

En esta prueba, los elementos del diagrama de control de la figura 5.28, son iguales a los

elementos del diagrama de control de la prueba de control de posición articular, con

excepción de algunos elementos, los cuales se describen a continuación.

c) Referencia.

Este bloque de Matlab-Simulink® genera una onda de tipo sinodal, los parámetros del

bloque se muestran en la figura 5.29.

f) PID Controller.

Los parámetros del controlador, se muestran en la figura 5.30.

e) Error q.

En la figura 5.31 se muestra el error articular generado de la manivela en su intento de

seguir la trayectoria de tipo senoidal, se puede apreciar que técnicamente el error tiende

a cero en un lapso muy corto de tiempo.

k) q y qd.

La grafica que se aparece en la figura 5.32, muestra la señal de referencia generada por

Matlab-Simulink® y la trayectoria que describe la manivela en tiempo real, mostrando el

desfase entre las dos trayectorias.


99

Figura 5.29 Parámetros del bloque “sine-wave”

Figura 5.30 Parámetros del bloque “PID Controller”.


100

Figura 5.31 Error articular generado en la trayectoria de seguimiento.

Figura 5.32 Trayectorias generadas por “q” y “qd”, respectivamente.


101

5.4.3 Implementación y simulación de esquemas de control para

desempeñar tareas de posición en el espacio operacional.

Una tarea de control para posición, se puede implementar esquemas de control tanto en

el espacio articular, como en el espacio operacional.

Espacio articular. (Posición.)

Ley de control PID

𝜏 = −𝐾𝑝𝑒 − 𝐾𝑑�� − 𝐾𝑖 ∫𝑒 𝑑𝑡 (5.1)

Ley de control PD + g.

𝜏 = −𝐾𝑝𝑒 − 𝐾𝑑�� +𝑑𝑉

𝑑𝑞 (5.2)

𝑒 = 𝑞 − 𝑞𝑑 (5.3)

�� = �� − ��𝑞 (5.4)

Donde:

τ = Salida de la ley de control.

q= Posición de la manivela en un instante “t” medida desde un sensor articular.

𝑞𝑑=referencia articular, a la cual tiene que llegar la manivela.

��=Derivada de la posición de la manivela en un instante “t” medida desde un sensor

articular.

��𝑑= Derivada de la referencia articular.

e = error en el espacio articular.

��=derivada del error en el espacio articular.

𝐾𝑝= Ganancia proporcional.

𝐾𝑑= Ganancia derivativa.

𝐾𝑖= Ganancia integral.

Para implementar una ley de control de posición para el bloque “D” en el espacio

operacional del mecanismo en cuestión, se tiene que generar una fuerza “𝐹𝑦" que mueva

al bloque “D”, a una posición en específico como se muestra en la siguiente figura.

Figura 5.33 Fuerza “Fy” necesaria para trasladar el bloque “D” a una posición en

específico.


102

La fuerza “𝐹𝑦" queda expresada de la siguiente forma.

𝐹𝑦 = −𝐾𝑝 𝑒 − 𝐾𝑑 �� (5.5)

𝑒 = 𝑦 − 𝑦𝑑 (5.6)

�� = �� − ��𝑑 (5.7)

Donde

e = Error en el espacio lineal.

��= Derivada del error en el espacio lineal.

𝑦 = Posición real del bloque “D” medido desde un sensor lineal. (Eje de las ordenadas.)

𝑦𝑑= Referencia lineal, a la cual se desea llevar el bloque “D”.

�� = Derivada de la posición real del bloque “D” medido desde un sensor lineal. (Eje de

las ordenadas.)

��𝑑 =derivada de la referencia lineal, a la cual se desea llevar el bloque “D”.

𝐾𝑝= Ganancia proporcional.

𝐾𝑑= Ganancia derivativa.

Para generar la ley de control operacional y reflejarla al espacio articular, se hace uso de

la matriz Jacobiana inversa, tal como se muestra en la siguiente ecuación.

𝜏 = 𝐽(𝑞)−1𝐹𝑦 (5.8)

Donde

𝜏 =Salida de la ley de control.

𝐽(𝑞)−1 = Inversa de la matriz Jacobiana.

𝐹𝑦 = Fuerza necesaria para trasladar el bloque “D” a una posición deseada.

𝐽(𝑞)−1 =

[

−cosΘ3 −𝑠inΘ3 0 0

sinΘ3

r3−

cosΘ3

r30 0

−(2r3 + rAB − rABcos2Θ3)cscΘ4

2r3r4

rABcosΘ3cscΘ4sinΘ4

r3r4−

cscΘ4

r40

(rABCos(2Θ3 − Θ4) − (2r3 + rAB)𝑐osΘ4)𝑐scΘ4

2r3−

2r3 + rAB − rABcscΘ4 sin(2Θ3 − Θ4)

2r3−𝑐otΘ4 −1]

(5.9)


103

Para llevar a cabo la acción de control de la ecuación (5.8), se elaboró un esquema de

Matlab-Simulink®, los resultados de la posición alcanzada en la posición el bloque “D”,

y el error generado se muestran en las figuras (5.34) y (5.35), respectivamente.

Tabla 5.3 Parámetros para la simulación del esquema de control

Parámetros para la simulación del esquema de control

Referencia “yd” -0.100m

Posición angular inicial 0 rad.

Posición inicial lineal del bloque “D” -0.1377

Figura 5.34 Posición final del bloque “D” después de concluir la acción de control.

Figura 5.35 Error generado del bloque “D” después de concluir la acción de control.


104

La acción de control que se propone para emular los resultados antes obtenidos, consiste

en un control tipo cascada. El esquema de este control propuesto se muestra en las

siguientes figuras. (5.36 y 5.37).

Figura 5.36 Diagrama de bloques para el control tipo cascada propuesto.

Figura 5.37 Diagrama de bloques que corresponde al bloque de control operacional de

la figura (5.36).


105

En las figuras siguientes se muestra la gráfica de la posición final del eslabón de salida

(bloque “D”) y el error generado, respectivamente. Dichas graficas se generaron al

concluir la prueba final del control tipo cascada.

Figura 5.38 Grafica de la posición alcanzada por el bloque “D” según la referencia

asignada (200mm.)

Figura 5.39 Error generado por el bloque “D”.


106

Conclusiones.

Una vez llevado a cabo el desarrollo matemático del modelo dinámico, haciendo uso de

la ecuación de movimiento de Eksergian, dicho modelo dinámico se comprobó haciendo

uso de software especializado (Matlab-Simulink® y WorkingModel®), dándonos una

respuesta esperada y satisfactoria.

Las pruebas finales de los esquemas de control desarrolladas en esta investigación,

consistieron en 2 etapas.

La primer etapa se enfocó diseñar un esquema de control es Matlab-Simulink®, haciendo

uso de un bloque de tipo PID, el cual tuvo que ser sintonizado y complementado con

diferentes cuestiones técnicas para el correcto posicionamiento y seguimiento de

trayectorias de la variable generalizada de nuestro mecanismo (manivela), obteniendo

respuestas razonables en la salida del controlador en cuestión. Las respuestas de los

esquemas de control tanto de posición como de seguimiento articular, arrojaron graficas

de error muy cercanas al cero en un tiempo relativamente corto. En esta primera etapa se

da por sentado que los esquemas de control realizados, cumplieron con la tarea en

cuestión.

En la segunda etapa se realizaron esquemas de control operacional para el

posicionamiento del efector final de nuestro mecanismo. Para el primer esquema de

control se hizo uso del jacobino analítico del mecanismo para poder trasladar el efector

final a una posición en específico, esto con ayuda de un sensor articular, con la finalidad

medir la posición articular de la manivela y lineal del efector final, respectivamente, al

final del primer esquema de control se obtuvieron las gráficas de posición del efector

final, así como también la gráfica de error generado para su futura ponderación con las

gráficas del esquema propuesto, que se desarrolló enseguida.

Para el segundo esquema de control, se propuso una ley de control en el espacio

operacional el cual no dependiera del Jacobiano 𝐽(𝑞), y por ende, que no se valiera de la

variable generalizada “q”, para el uso de esta ley propuesta se utilizó la variable lineal

realimentada de nuestro sistema “Dy”, una vez concluida y ejecutada esta ley de control,

se graficaron la posición del efector final y el error generado en la salida de control.

Al momento de evaluar la respuesta obtenida por la ley de control haciendo uso del

jacobiano analítico, y la ley de control propuesta (la cual prescinde del jacobiano), se

llegó a la conclusión de que para un desempeño optimo en la tarea operacional, tanto el

uso del Jacobiano como el uso de un control tipo cascada, satisface la tarea de regulación

operacional, cabe mencionar que ninguna ley de control aplicada en este trabajo fue de

tipo robusto, solo fueron aplicadas técnicas de control para el posicionamiento de nuestro

eslabón de salida.


107

Trabajos futuros.

Una de las tareas a realizar será perfeccionar la ley propuesta presentada en éste trabajo,

con el fin de que sea una ley de control confiable cuando se trate de ejecutar tareas de

mecanismo de 1GDL en el espacio operacional.

También se proponen algunos trabajos futuros relacionados con la implementación de

nuevas técnicas de control robusto, es decir, técnicas de control donde sea posible

absorber perturbaciones externas al sistema, o dinámicas no modeladas dentro del mismo

sistema, con el objetivo de disminuir el error generado en la salida del esquema de control

cuando el sistema esté expuesto a cualquier tipo de perturbación, entiéndase como

perturbación todas aquellas variables ajenas al sistema que pueden influir en su

funcionamiento y no podemos controlar . Ya que en el trabajo realizado ninguna técnica

de control aplicada fue de tipo robusto.

Se sugiere la incursión de un control por modos deslizantes (Sliding Mode Control.), con

un TBG (Time Base Generator), todo esto con el fin de obtener gran robustez frente a una

gran clase de perturbaciones o incertidumbres propias del sistema.

Ésta técnica de control que se propone o cualquier otra técnica de control que se quiera estudiar,

analizar e implementar, se puede llevar a cabo en la plataforma experimental que se construyó

en éste trabajo ya antes presentado, ya que dicha plataforma, fue elaborada con el fin de que se

tuviera un banco de pruebas para innumerables técnicas y esquemas de control.


108

Apéndice A. Programas realizados en el software

Mathematica9.0®. Obtención del modelo dinámico.


109


110


111

Apéndice A. Programas realizados en el software Matlab.

Programa para comprobar el modelo dinámico. Matlab Fcn.

function [qpp,t3pp,t6pp,yDpp]= fun(q,qp)

m2=0.0438402;

m3=0.140688907;

m5=0.05783877291;

m6=0.16191636;

m8=0.10540348;

AB= 0.225;

r1=0.125;

r2=0.050;

r5= 0.08;

r6=0.150;

xE=0.0705;

g=9.81;

Icg2=0.000018;

Icg3=0.001148031496;

Icg5=0.0004719685039;

Icg6=0.00007297;

Icg7=0.00024;

T12=5;

%------------------------Análisis de Posición--------------

----------

r3=(r1.^2+r2.^2+2.*r1.*r2.*cos(q)).^(1/2);

t3=atan2(r2.*(r1.^2+r2.^2+2.*r1.*r2.*cos(q)).^(-

1/2).*sin(q),(r1+ ...

r2.*cos(q)).*(r1.^2+r2.^2+2.*r1.*r2.*cos(q)).^(-1/2));

t6=atan2(r6.^(-1).*(r6.^2+ (-1).*xE.^2+(-1).*r2.^2.*cos

(q).^2+2.* ...

r5.*xE.*cos(t3)+(-1).* r5.^2.*cos (t3).^2+2.*r2.*cos

(q).*(xE+ ...

(-1).*r5.*cos(t3))).^(1/2) ,r6.^(-1).*((-

1).*xE+r2.*cos(q)+ ...

r5.*cos(t3)));

%----------------Coeficientes de Velocidad y Aceleración---

-------------

kt2=1;

Lt2=0;

kr3=(-1).*r2.*sin(q+(-1).*t3);

kt3=r2.*r3.^(-1).*cos(q+(-1).*t3);

kt6=(1/2).*r2.*r3.^(-1).*r6.^(-

1).*csc(t6).*((2.*r3+r5).*sin(q)+(-1).* ...

r5.*sin(q+(-2).*t3));

kyD=(1/2).*r2.*r3.^(-1).*csc(t6).*((-

1).*(2.*r3+r5).*sin(q+(-1).*t6)+ ...

r5.*sin(q+(-2).*t3+t6));


112

Lr3=((-1)+kt3).*r2.*cos(q+(-1).*t3);

Lt3=(-1).*r2.*r3.^(-2).*(kr3.*cos(q+(-1).*t3)+(-1).*((-

1)+kt3).*r3.* ...

sin(q+(-1).*t3));

Lt6=(1/2).*r2.*r3.^(-2).*r6.^(-

1).*csc(t6).*(r3.*(2.*r3+r5).*cos(q)+(( ...

-1)+2.*kt3).*r3.*r5.*cos(q+(-2).*t3)+(-

1).*kr3.*r5.*sin(q)+(-2).* ...

kt6.*r3.^2.*cot(t6).*sin(q)+(-

1).*kt6.*r3.*r5.*cot(t6).*sin(q)+ ...

kr3.*r5.*sin(q+(-2).*t3)+kt6.*r3.*r5.*cot(t6).*sin(q+(-

2).*t3));

LyD=(1/2).*r2.*r3.^(-2).*csc(t6).*(((-

1)+kt6).*r3.*(2.*r3+r5).*cos(q+( ...

-1).*t6)+(-1).*((-1)+2.*kt3+(-1).*kt6).*r3.*r5.*cos(q+(-

2).*t3+t6) ...

+kr3.*r5.*sin(q+(-

1).*t6)+2.*kt6.*r3.^2.*cot(t6).*sin(q+(-1).*t6)+ ...

kt6.*r3.*r5.*cot(t6).*sin(q+(-1).*t6)+(-

1).*kr3.*r5.*sin(q+(-2).* ...

t3+t6)+(-1).*kt6.*r3.*r5.*cot(t6).*sin(q+(-2).*t3+t6));

%--------------Coeficientes de los Centros de Masa---------

-----------

kGx2=(-1/2).*r2.*sin(q);

kGy2=(1/2).*r2.*cos(q);

kGx3=kr3.*cos(t3)+(-1).*kt3.*((-1/2).*AB+r3).*sin(t3);

kGy3=kt3.*((-1/2).*AB+r3).*cos(t3)+kr3.*sin(t3);

kGx5=(-1).*r2.*sin(q)+(-1/2).*kt3.*r5.*sin(t3);

kGy5=r2.*cos(q)+(1/2).*kt3.*r5.*cos(t3);

kGx6=(-1).*r2.*sin(q)+(-

1).*kt3.*r5.*sin(t3)+(1/2).*kt6.*r6.*sin(t6);

kGy6=r2.*cos(q)+kt3.*r5.*cos(t3)+(-1/2).*kt6.*r6.*cos(t6);

kGyD=r2.*cos(q)+kt3.*r5.*cos(t3)+(-1).*kt6.*r6.*cos(t6);

LGyD=Lt3.*r5.*cos(t3)+(-1).*Lt6.*r6.*cos(t6)+(-

1).*r2.*sin(q)+(-1).* ...

kt3.^2.*r5.*sin(t3)+kt6.^2.*r6.*sin(t6);

LGx2=(-1/2).*r2.*cos(q);

LGy2=(-1/2).*r2.*sin(q);

LGx3=Lr3.*cos(t3)+(-1).*kt3.^2.*((-1/2).*AB+r3).*cos(t3)+(-

2).*kr3.* ...

kt3.*sin(t3)+(-1).*Lt3.*((-1/2).*AB+r3).*sin(t3);

LGy3=2.*kr3.*kt3.*cos(t3)+Lt3.*((-

1/2).*AB+r3).*cos(t3)+Lr3.*sin(t3)+( ...

-1).*kt3.^2.*((-1/2).*AB+r3).*sin(t3);

LGx5=(-1).*r2.*cos(q)+(-1/2).*kt3.^2.*r5.*cos(t3)+(-

1/2).*Lt3.*r5.*sin( ...

t3);


113

LGy5=(1/2).*Lt3.*r5.*cos(t3)+(-1).*r2.*sin(q)+(-

1/2).*kt3.^2.*r5.*sin( ...

t3);

LGx6=(-1).*r2.*cos(q)+(-

1).*kt3.^2.*r5.*cos(t3)+(1/2).*kt6.^2.*r6.*cos( ...

t6)+(-1).*Lt3.*r5.*sin(t3)+(1/2).*Lt6.*r6.*sin(t6);

LGy6=Lt3.*r5.*cos(t3)+(-1/2).*Lt6.*r6.*cos(t6)+(-

1).*r2.*sin(q)+(-1).* ...

kt3.^2.*r5.*sin(t3)+(1/2).*kt6.^2.*r6.*sin(t6);

%-----------------------Inercia Generalizada---------------

----------

Ig=Icg2.*kt2.^2+Icg3.*kt3.^2+Icg5.*kt3.^2+Icg7.*kt3.^2+Icg6

.*kt6.^2+( ...

kGx2.^2+kGy2.^2).*m2+(kGx3.^2+kGy3.^2).*m3+(kGx5.^2+kGy5.^2

).*m5+( ...

kGx6.^2+kGy6.^2).*m6+kGyD.^2.*m8;

dIg=2.*(Icg2.*kt2.*Lt2+Icg3.*kt3.*Lt3+Icg5.*kt3.*Lt3+Icg7.*

kt3.*Lt3+ ...

Icg6.*kt6.*Lt6+kGx2.*LGx2.*m2+kGy2.*LGy2.*m2+kGx3.*LGx3.*m3

+kGy3.* ...

LGy3.*m3+kGx5.*LGx5.*m5+kGy5.*LGy5.*m5+kGx6.*LGx6.*m6+kGy6.

*LGy6.* ...

m6+kGyD.*LGyD.*m8);

%---------------------------Energía Potencial--------------

----------

dV=g.*kGy2.*m2+g.*kGy3.*m3+g.*kGy5.*m5+g.*kGy6.*m6+g.*kGyD.

*m8;

%---------------------------Modelo Dinámico----------------

----------

qpp=Ig.^(-1).*((-1).*dV+(-1/2).*dIg.*qp.^2+T12);

%--------------Obtención de las Aceleraciones de Interés---

-----------

t3pp=qpp*kt3+(qp^2)*Lt3;

t6pp=qpp*kt6+(qp^2)*Lt6;

yDpp=qpp*kyD+(qp^2)*LyD;

%-----------------Vector de Información Resultante---------

-----------

% out=[qpp;t3pp;t6pp;yDpp];

end


114

Apéndice C. Planos de la plataforma experimental.


115


116


117


118


119


120

REFERENCIAS.

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