Modelado de sistemas de control

Ejercicios

Prof. Azgad Casiano Ramos

Universidad Politecnica de PueblaPosgrado en Ingenierıa

Control Moderno - Otono 2012.

1. Dibuje el diagrama de bloques correspondiente almodelo general de sistemas lineales continuos deorden n, con r entradas y m salidas:

x = Ax+Bu (1)

y = Cx+Du (2)

donde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×r, C ∈ Rm×n yD ∈ Rm×r.

x(t) = eAtx(0) +

∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (3)

2. Considere un sistema lineal de n-esimo orden ex-presado con la siguiente funcion de transferencia1:

GP (s) =bn−1s

n−1 + · · ·+ b1s+ b0sn + an−1sn−1 + a1s+ a0

(4)

a) Obtenga las ecuaciones de estado

b) Obtenga el diagrama de bloques

3. En la Fig. 1 se representa un horno electrico conparedes aislantes, conteniendo un producto a sercalentado. La temperatura del aire en el interiordel horno es Ts. Las temperaturas del producto,el material aislante y el aire exterior son Tg, Tr y

1Esta estructura es conocida como forma canonica contro-lador.

Ta, respectivamente. La potencia que entrega elelemento de calentamiento es q. Las potencias deentrada al producto y al aislante son qg y qr, re-spectivamente. El calor que pierde el sistema enel ambiente es qa. La fuente de alimentacion con-trolada proporciona una potencia proporcional, esdecir, q = ku, donde k es una constante de propor-cionalidad. Se asume que el intercambio de energıa

Figura 1: Horno electrico.

en el sistema es por conveccion. Ası, las potenciasy temperaturas se relacionan como:

qg = kg(Ts − Tg) (5)

qr = kr(Ts − Tr) (6)

qa = ka(Tr − Ta) (7)

donde los coeficientes ki se conocen como coe-ficientes de conveccion y dependen del area y la

1

naturaleza fısica de las superficies.Si las capacidades calorıficas del aire del horno, elproducto y el aislante se denotan como Cs, Cg yCr, entonces la dinamica de las temperaturas enlas diferentes partes del sistema se puede escribircomo:

CsdTsdt

= q − qg − qr (8)

CgdTgdt

= qg (9)

CrdTrdt

= qr − qa (10)

Una seleccion razonable de variables de estado paraeste sistema es:

x =

x1x2x3

=

TsTgTr

(11)

Obtenga un modelo de la forma:

x = Ax+Bu+B′v (12)

y = Cx+Du (13)

donde u es la entrada, v = Ta es considerada comouna perturbacion en el sistema y y = Tg es lasalida deseada. A continuacion dibuje el diagramade bloques correspondiente.

4. Un motor de CD sin carga (Fig. 2) se puede repre-sentar mediante el diagrama de bloques de la Fig.3

Figura 2: Motor de CD sin carga.

donde u es el voltaje de alimentacion; R y L ei son la resistencia, la inductancia y la corriente

de armadura, respectivamente. J y bb son elmomento de inercia y la friccion viscosa de laflecha, respectivamente. θ es el desplazamientoangular de la flecha.

a) Determine las ecuaciones de estado si

x = [ x1 x2 x3 ]T = [ i θ θ ]T

b) Utilice el modelo de bloques proporcionadopara simular el comportamiento del motormarca Faulhaber, mod. 3863048CR2, ante laentrada escalon u(t)=12 [V]. Considere lossiguientes parametros fısicos: R = 2.58 [Ω]; L= 700×10−6 [H]; J = 115×10−3 [kg− cm2];ke=0.795×10−1 [ V

rad/s ]; ka=79.7×10−3

[Nm/A] y bb=0.65×10−5 [Nm-s/rad].Grafique la entrada, los estados y la salida,etiquetando los ejes ordenados con lasunidades correctas. Ponga etiquetas y mar-cadores a las graficas para poder distinguircada una de ellas.

c) Comente sobre el tipo de respuesta obteni-da (subamortiguada, crıticamente amortigua-da,...).

Figura 3: Diagrama de bloques simplificado de un motorde CD.

2http://www.faulhaber.com/uploadpk/EN_3863_CR_DFF.

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Ejercicios de representacion de sistemas de control M.C. Azgad Casiano Ramos.