control disc re to 42

7/23/2019 Control Disc Re to 42

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Sistemas de Control en TiempoDiscreto

Modelo en Variables de Estado en TiempoDiscretoEn forma anloga, una ecuacin de estado en tiempo discreto, es unaecuacin de diferencias de primer orden vectorial. La ecuacin desalida, que completa el modelo en tiempo discreto es descrita con las

mismas matrices C D del modelo en tiempo continuo.!artiendo de,

"i se asume que el vector de entrada slo cambia instantesequidistantes,

entonces la representacin en tiempo discreto de la ecuacin de estadoser#

+=+=

UDXCY

UBXAX

( ) ( ) ,2,1,0== kparakTUtU

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )kTUTQkTXTPTkX +=+1


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Modelo en Variables de Estado en TiempoDiscreto!ara la deduccin de las matrices cuadrada separte de la solucin de la ecuacin de estado en tiempo continuo,

donde se sabe que es la matri$ de transicin de estado.

Como el vector de entrada se asume constante entre instantes demuestreo, se tiene que para el %&'simo instante, la solucin ser#

o tambi'n,

( )TP ( )nxn ( )TQ

( ) Atet =

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )

+ ++ +=+

TkATkATkA dUBeeXeTkX

1

0

1101

( ) ( ) ( )

+=

tAAtAt

dUBeeXetX 00

( ) ( ) ( ) += kT

AAkTAkT dUBeeXekTX0

0


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Modelo en Variables de Estado en TiempoDiscretoMultiplicando esta (ltima e)presin por restndola de la anterior,resulta#

*aciendo se tiene,

+ aciendo da,

Ate

( )[ ] ( ) ( ) ( )( )

+ ++=+ Tk

kT

ATkAAT dkTUBeekTXeTkX1

11

( )kTy =

yTt =

( )[ ] ( ) ( ) +=+ T

AyATAT dykTUBeekTXeTkX0

1

( )[ ] ( ) ( ) +=+ T

AtAT dtkTUBekTXeTkX0

1


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Modelo en Variables de Estado en TiempoDiscretoComparando este resultado con la solucin en tiempo continuo, se tiene-nalmente que#

"i en particular e)iste la inversa entonces se puedealternativamente calcular,

( )

( )

=

=

BdteTQ

eTP

TAt

AT

0

1

A

( ) [ ] BAIeTQ AT 1=


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Modelo en Variables de Estado en TiempoDiscretoEn forma compacta,

EEM!L/# *allar la representacin en tiempo discreto para T01, delsistema continuo,

( ) ( )

+=

+=+

kkk

kkk

UDXCY

UTQXTPX 1

( ) ( ) ( )tutXtX

+

=

1

0

20

10


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Modelo en Variables de Estado en TiempoDiscreto"/L2C345#

"e recuerda que mediante Laplace, la matri$ de transicin de estado

es,

siendo la inversa de una matri$,

Luego,

( ) ( ){ }11 = AsILt

( )( )

( )[ ]( )MDet

MCofactores

MDet

MAdjuntaM

T

==1

( ) ( ) ( )

==

T

T

e

eTTP

2

2

0

2/11


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Modelo en Variables de Estado en TiempoDiscreto!or otro lado,

"ustituendo el valor del per6odo de muestreo en las matrices, resulta

-nalmente#

5/T7# Las dimensiones de las matrices entre las versiones, seconservan

( ) BdteTQT

At

= 0

( ) ( ) ( )12

22

14

1

2

1

0

0

2/112

2

0 2

2

xe

eT

dte

eTQ

T

T

T

t

t

+=

=

kkk uXX

+

=+

432,0

284,0

135,00

432,011


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"olucin de la Ecuacin de Estado Discreta"ea, con Vectores Matrices dedimensiones apropiadas.

7plicando la transformada 8 se tiene#

Luego,

7ora la matri$ de transicin de estado 9en 8: es .

;inalmente,

7qu6#

kkk UQXPX +=+1 PUX ,, Q

( ) ( ) ( )zUQzXPzXzzX += 0

( ) ( ) ( )zUQzXzXPzI += 0

( ) ( ) ( )[ ]zUQzXzzX += 0

( ) ( ) 1= PzIz

( ) ( )[ ]{ }zUQzXzZXk +=

0

1

( ){ }01

. zXzZo!o"#nea$o% = ( ) ( ){ }zUQzZPart&cu%ar$o% 1. =


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"olucin de la Ecuacin de Estado DiscretaEEM!L/# *allar la solucin 9en el tiempo: para la ecuacin de estado,

cuas condiciones iniciales son la entrada es unescaln unitario.

"/L2C345#

La entrada a considerar es, la matri$ de transicin deestado es,

kkk uXX

+

=+

1

0

20

011

[ ]TX 010=

( ) 1= zz

zU

( ) ( )( ) ( )21

10

02

1

== zz

z

z

PzIz


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"olucin de la Ecuacin de Estado Discreta

Con lo que la solucin omog'nea es,

+ la solucin particular es,

;inalmente, con la suma de las dos soluciones, resulta#

( )( ) ( )

( )

=

=0

1/

21

0

2

0

zz

zz

zz

zXz

( ) ( )( ) ( )

=

21/

0

zzzzUQz

( )

( ) ( )

=

=

kk

k

kX

zz

z

z

z

zX

12

1

21

1

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