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Control de Sistemas en Tiempo DiscretoAnálisis y Proyecto en Espacio de Estado

Profesor Responsable: Dr. Ing. Fernando Botterón

Curso de Posgrado – Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Misiones

Conceptos

Representación de Espacio de Estados de Sistemas Discretos

o Se describe por un sistema de n ecuaciones diferencia.

o Combinadas en una ecuación diferencia vector-matriz.

o El método de espacio de estado posibilita la inclusión de las condiciones iniciales.

Estado:

Variables de Estado:

Vector de Estados:

Ecuaciones de Espacio de Estado:


o Para sistemas discretos lineales o no lineales y variantes en el tiempo:

( 1) [ ( ), ( ), ]

( ) [ ( ), ( ), ]

k k k k

y k k k k

x f x u

g x u

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k k k k

y k k k k k

x G x H u

C x D u

o Para sistemas discretos lineales y variantes en el tiempo:

( ) :Dimensión k nx ( ) :Dimensión k ru ( ) :Dimensión k my

( ) :Dimensión k n nG ( ) :Dimensión k n rH ( ) :Dimensión k m nC

( ) :Dimensión k m rD


( 1) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k k k

y k k k

x Gx Hu

Cx Du

o Para sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo:

G

CH

D

z-1I( )ku ( 1)k x ( )kx ( )ky

Planta

Solución de la Ecuación de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

( 1) ( ) ( ) (1)

( ) ( ) ( ) (2)

k k k

y k k k

x Gx Hu

Cx Du

o Para sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo:

o Por recursividad:

2

3 2

(1) (0) (0)

(2) (1) (1) (0) (0) (1)

(3) (2) (2) (0) (0) (1) (2)

x Gx Hu

x Gx Hu G x GHu Hu

x Gx Hu G x G Hu GHu Hu

• De forma genérica:

11

0

( ) (0) ( ); 1,2,3,... (3)k

k k j

j

k j k

x G x G Hu

Solución de la Ecuación de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

• La ecuación de salida resulta:

11

0

( ) (0) ( ) ( ) (4)k

k k j

j

k j k

y CG x C G Hu Du

o Método de la transformada Z:

1 1( ) ( ) (0) ( ) ( )z z z z z X I G X I G HU

1 1 1 1( ) [( ) ] (0) [( ) ( )] (5)k z z z z x I G x I G HUZ Z

11 1 1 1 1

0

[( ) ] [( ) ( )] ( )k

k k j

j

z z z z j

I G G I G HU G HuZ y Z

Matriz Función Transferencia Discreta

• Tomando la transformada Z de (1) y (2):

• La ecuación de salida resulta:

( ) ( ) ( ) (0)

( ) ( ) ( )

z z z z z

z z z

X GX HU X

Y CX DU

Matriz FT Discreta

1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )z z z z z Y C I G H D U F U

( )( )

adj zz

z

I G

F C H DI G

1 21 2 1 0n n n

n nz z a z a z a z a I G

Polinomio Característico, donde los ai dependen de los parámetros de G.

t

x(t)

T0 2T 3T 4T

x(kT)

x(k+1)T

Discretización de ecuaciones de Espacio de Estado en tiempo continuo

( 1) ( )

kT

dx x k T x kT

dt T

Aproximación de Euler

( 1) ( )( ) ( )

( 1) [ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k T kTkT u kT

Tk T T kT T u kT

y kT kT u kT

x xAx B

x I A x B

Cx D

( 1) ( ) ( )k T kT u kT x G x H max10mf f

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto

Sistema SISO LIT modelado por la siguiente ec. de espacio de estados

( ) ( ) ( )t t u t x Ax B

0

0

( ) ( τ)0( ) ( ) (τ) τ

tt t t

tt e t e u d A Ax x B

(1)

Solución de (1) está dada por:

(2)

Se asume que: ( ) ( ) . ( 1)u u kT ctte kT T k T

En tiempo discreto, (1) resulta:

[( 1) ] ( ) ( ) ( ) ( )k T T kT T u kT x G x H (3)


Utilizamos la (2) para obtener la solución de la ec. de estado discreta:

( 1)( 1) [( 1) ]

0[( 1) ] (0) (τ) τ

k Tk T k Tk T e e u d A Ax x B

Se llega a la siguiente expresión:

to = 0 y en t = (k+1)T, se tiene:

to = 0 y en t = (kT), se tiene:

( ) ( )

0( ) (0) (τ) τ

kTkT kTkT e e u d A Ax x B

( 1) [( 1) ][( 1) ] ( ) ( ) τk TT k T

kTk T e kT e u kT d

A Ax x B


La última se puede escribir:

( )

0[( 1) ] ( ) ( ) τ

TT Tk T e kT e u kT d A Ax x B

donde:

( )

0

TT Te y e d A AG H B

Haciendo un cambio de variables l = (T - t), la matriz H resulta:

1

0( )

T Te d e A AH B A I B

[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H

A-1 debe poseer inversa para la solución de H


Cálculo de eAT por expansión en serie de Taylor:

2 2

0

1 1

2! ! !

k kT k k

k

Te T T T

k k

A AI A A A

-1 1[( ) ]Te s A I AL

siendo:

1

1 21 2 1

( )( )

0n n nn n o

adj ss y

s

s s a s a s a s a

I AI A

I A

I A

Cálculo de eAT por la Transformada de Laplace:


Si se cumple que:

Te T AG I A

Sustituyéndose en la (3) los resultados anteriores para G y H:

max10mf f

1[( 1) ] ( ) ( ) ( )Tk T T kT e u kT Ax I A x A I B

1[( 1) ] ( ) ( ) ( )k T T kT T u kT x I A x A I A I B

Se obtiene finalmente el mismo resultado que utilizando Euler:

[( 1) ] ( ) ( )k T T kT T u kT x I A x B

[ , ] 2 ( , , )c d TG H A BCon Matlab: ZOH

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto con Atraso de Implementación

L Li

2S

ccV C

4S

1S 3S

pwmu1

2

+oi

Convertidor CC-CA

ov

[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H

N

Planta

1V 2V 0V 2V 1V 1V 2V 0V 2V 1V

( )ov kT [( 1) ]ov k T [( 2) ]ov k TpwmT T

1,4s

2,3s

pwmT T

( )pwmu t

2c pwmf f

fC cR

R Carga


( )u kTZOH

Inversory

PWM

Ecuación

Estado

( )pwmu tT

T

( )kTx

/cc baseV V

cc

base

V

VZOH

( )u kT ( )pwmu tT

1V 2V 0V 2V 1V 1V 2V 0V 2V 1V

( )ov kT [( 1) ]ov k T [( 2) ]ov k TpwmT T

1,4s

2,3s

pwmT T

( )pwmu t

2c pwmf f

cc

base

V

VZOH

( )u kT ( )u tTdsTe


Se puede extender el análisis realizado anteriormente, utilizando la ecuación (2), para modelar el atraso de implementación Td:

(4)

Sustituyendo (4) en (5) y mediante simplificaciones, se llega a:

1°) entre los instantes donde se aplica u[(k−1)T], t0 = kT y t = (kT + Td):

2°) entre los instantes donde se aplica u(kT), t0 = (kT + Td) y t = (k+1)T :

(5)

[( ) ] [( ) τ]( ) ( ) τ [( 1) ]d

d dkT TkT T kT kT T

d kTkT T e kT e d u k T

A Ax x B

( 1)[( 1) ( )] [( 1) τ][( 1) ] ( ) τ ( )d

d

k Tk T kT T k Td kT T

k T e kT T e d u kT

A Ax x B

( τ)( τ)

0 0[( 1) ] ( ) τ [( 1) ] τ ( )

d dd

T T T T TT Tk T e kT e d u k T e d u kT AA Ax x B B


( τ)( τ)

0 0[( 1) ] ( ) τ [( 1) ] τ ( )

d dd

T T T T TT Tk T e kT e d u k T e d u kT AA Ax x B B

( ) TT e AG ( )

0

dT Te d A0H B ( )

0

dd

T T T Te d A

1H B

[( 1) ] ( ) [( 1) ] ( )k T kT u k T u kT 0 1x G x H H

( )1 d dT T Te e A A0H A I B ( )1

1dT Te

AH A I B

La ec. de estado que incluye el atraso de implementación digital, resulta:

[( 1) ] ( )( )

[( 1) ] ( )

: ( ) [( 1) ]

d d

d

k T kTu kT

u k T u kT

donde u kT u k T

0 1x xG H H

0 0 I

[( 1) ] ( ) ( )P Pk T kT u kT ψ G ψ H

Modelos de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Diferentes Estrategias de Muestreo

- 2 muestras x periodo de conmutación

Modelos de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Diferentes Estrategias de Muestreo

- Promedio de 2 muestras

Solución de la ecuación de espacio de estado (2) en el intervalo de discretización Tm, incluyéndose el atraso de implementación Td = T/2

Usamos la (1) para obtener la evolución de los estados entre instantes de muestreo:

1°) La ec. de espacio de estado discreta para este caso es:

2°) El promedio de 2 muestras en el instante kT, es:

[( 1) ] ( ) ( / 2) ( ) ( )m mk T T kT T T u kT x G x H

( ) ( ) ( 1/ 2) 2kT kT k T x x x

Modelo de Espacio de Estado en Tiempo Discreto Promedio de 2 muestras

3°) El promedio de 2 muestras en el instante (k+1)T, es:

[( 1) ] { [( 1) ] [( 1/ 2] } 2k T k T k T x x x

(1)

(2)

(3)

( ) mTmT e AG 1( ) mT

mT e AH A I B

Sustituyéndose (4) en la última ecuación, se llega a:

4°) La evolución de los estados entre kT y (k+T/2) está dada por:

[( / 2] ( ) ( 1)kT T kT u k T x G x H


6°) Utilizado la ecuación (3) obtenemos:

5°) La evolución de los estados entre (k+T/2) y (k+1)T está dada por:

( 1) [( / 2] ( )k T kT T u kT x G x H

[( 1) ] { [( / 2] ( ) ( ) ( 1) }/ 2k T kT T u kT kT u k T x G x H G x H

(4)

(5)

2( ) ( )[( 1) ] ( ) ( ) ( 1)

2 2 2k T kT u kT u k T

G G H GH Hx x (6)

Debe relacionarse x(kT) con x(kT) promedio, la que resulta:


1 11 1 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1)

2 2 2 2kT kT u k T

G I G G I G H G I G Hx x

Finalmente, reemplazándose esta última en la (6), obtenemos:12 1

1

12 1 1

( )( ) ( )[( 1) ] ( ) ( ) ( 1)

2 2 2 2

( ) ( ) ( )( 1)

2 2 2 2

k T kT u kT u k T

u k T

G H HG G G I G Hx x

G G G I G H G I G H

Las matrices útiles para el proyecto de realimentación de estados:


12 1

1

12 1 1

2

( ) ( )

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

G G G I G HG H

GH H G G G I G H G I G HH

12( 1) ( )

( )( 1) ( ) 1a a

k T kTu kT

u k T u kT

x x HG H

0 0

[( 1) ] ( ) ( )p p p pk T kT u kT x G x H

, ( ) ( 1)adonde u kT u k T

(7)

(8)

(9)

Resultados experimentales que validan el modelo presentado


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Amostras

x( )kT .x( )kT

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Amostras

x( )kT .x( )kT

Tensión en el capacitor del filtro LC

Corriente en el inductor del filtro LC

Muestras Muestras

Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos

Hp z-1I

Gp

+

+

Planta

x(k)x(k+1)u(k)

Se asume: - Todas las variables de estado son medibles.

- Todas las variables de estado están disponibles para su realimentación

Ubicaciones deseadas de polos de lazo cerrado:

- Obtenidas en base a especificaciones de desempeño transitorio y al periodo de muestreo T.

[( 1) ] ( ) ( )k T kT u kT x G x H u(kT) escalar y no limitada

Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos

Hp z-1I

Gp

-K

+

+

Planta

x(k)x(k+1)u(k)

Si se elige a u(k) = -K × x(k): [( 1) ] ( )k T kT x G HK x

Diseñar K para la estabilidad asintótica y especificaciones deseadas.

Hay diferentes métodos.

Diseño en Espacio de Estado: Reubicación de Polos + Referencia

u(k) = K0 r(k) - K x(k) 0[( 1) ] ( ) ( )k T kT K r kT x G HK x H

Diseñar K para la estabilidad asintótica y especificaciones deseadas.

Diseñar K0 para eliminar el error de régimen estacionario.

Hp z-1I

Gp

K

+

+

Planta

x(k)x(k+1)u(k)+

-

v(k)K0

r(k)C

y(k)

Diseño en Espacio de Estado: Sistema de Seguimiento - Servo

u(k) = K1 v(k) - K x(k) ( ) ( 1) ( ) ( )k k k k v v r y

Diseñar las matrices de ganancias K1 y K2 para:

estabilidad asintótica; especificaciones transitorias deseadas.

K1 Hp z -1I

Gp

Cp

K2

+ +

+-

+

-

+

+

Servo Planta

r(k)

y(k)

y(k) y(k)v(k)

z-1Iv(k-1)

u(k)

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