A nuestros padres

Sumario

Prlogo 1 Introduccin 1 Seccin 1. Motor de Induccin Trifsico

1.1 Descripcin de la planta 3

1.2 Campo magntico estatrico 5

1.3 Principios de funcionamiento 8

1.4 Fuerza motora 11

1.5 El deslizamiento 13

1.6 Campo magntico rotrico 14

1.7 Cupla en una mquina de induccin 15

1.8 Equivalente elctrico de la carga mecnica 17

1.9 Rendimiento del motor 18

Seccin 2. Control Clsico de un Motor de Induccin

2.1 Principios de control 20

2.2 Anlisis del motor de induccin segn el criterio clsico 20

2.3 Variables de control en el funcionamiento a lazo abierto 23

2.4 Control con flujo constante 25

2.5 Control de alimentacin del motor de induccin 28

2.6 Conclusiones 30

Seccin 3. Control en Coordenadas de Campo del Motor de induccin

3.1 Control con buen comportamiento dinmico 31 3.2 Modelo matemtico del motor de induccin 31

3.3 Variables de entrada y salida en el modelo matemtico 34

3.4 Modelo adaptado a las necesidades de control 34

3.5 Control en coordenadas de campo 38

3.6 Implementacin del control en coordenadas de campo 44

3.7 Adquisicin de la seal de flujo rotrico 45

3.8 Identificacin de la constante de tiempo rotrica 47

3.9 Ventajas del control en coordenadas de campo 48

Seccin 4. Simulacin de un Motor de Induccin

4.1 Utilidad de la simulacin 49 4.2 Discretizacin del modelo matemtico 49 4.3 Diagrama de flujo 53 4.4 Programa 54 4.5 Resultados de la simulacin 55

Apndice A. Nomenclatura 57

Apndice B. Bibliografa 59

Prlogo

Los Motores de Induccin Trifsicos son mquinas elctricas robustas, de bajo costo y poco mantenimiento ya que no tienen colector o anillos rozantes. A pesar de que estas ventajas son muy apreciadas en la industria, hasta hace unos pocos anos no se los utiliz en aplicaciones en las que fuera necesario variar su velocidad en un amplio rango o controlar la posicin de su eje, ya que esto implicaba el use adicional de equipos electrnicos de alto costo y complejidad. Por este motivo, cuando se requeran movimientos variables o posicionamientos precisos, se usaban motores de corrien-te continua cuyos controladores son ms econmicos.

En 1969, K. Hasse ideo una tcnica de control para el motor de induccin que permite la aplicacin de los mismos principios que se utilizan en las mquinas de corriente continua, otorgando a los primeros una excelente calidad de respuesta dinmica. Esta estrategia, denominada Control en Coordenadas de Campo o Control Vectorial, ha comenzado a tener una difusin masiva solo en pocas recientes, cuando los avances en la microelectrnica significaron una mayor potencia de clculo a un costo accesible.

Para realizar el Control en Coordenadas de Campo de un motor de induccin es necesario conocer con precisin y en todo instante el valor de su constante de tiempo rotrica. Este parmetro debe ser estimado en forma indirecta ya que normalmente no hay acceso elctrico al rotor; adems, su valor cambia con la temperatura, por lo que es necesario hacer un seguimiento permanente del mismo.

La Asociacin Argentina de Control Automtico (AADECA) otorga en 1994 una beca para un proyecto de investigacin que tiene como objetivo la identificacin en lnea de la constante de tiempo rotrica de un motor de induccin utilizando tcnicas de Redes Neuronales y Lgica Borrosa. El equipo de investigacin, perteneciente al Instituto de Automtica (Universidad Nacional de San Juan), est constituido por:

Estudiantes: Alejandro J. Quiroga y Cristina V. Rivarossa Director: Dr. Benjamin Kuchen Asesores: Ing. Daniel Patino, Ing. Fernando Di Sciascio,

Ing. Juan C. Correa e Ing. Jorge Infante 1

Dos Cuadernos Profesionales cubren temas relacionados al control de motores de induccin. En el presente volumen se realiza una introduccin a la estructura del motor de induccin, exponiendo sus principios de funcionamiento y las estrategias de control ms difundi-das, incluyendo la tcnica de control en coordenadas de campo.

En el volumen Control de Motores de Induccin - Parte II se expondrn estrategias de identificacin de la constante de tiempo rotrica de un motor de induccin utilizando tcnicas de Redes Neuronales y Lgica Borrosa. Dichas estrategias (y los resultados de su aplicacin a un esquema de control en coordenadas de campo) sern comparadas con mtodos de identificacin clsicos.

Introduccin

Gracias al progreso de la tecnologa de los semiconductores en los ltimos anos, los equipos adicionales para realizar el control de un motor de induccin (MI) tienen ahora un precio conveniente que ha convertido a estas mquinas en una opcin atractiva para aplicaciones de todo tipo, incluyendo tareas industriales y robtica. Por este motivo es til conocer la estructura del MI, sus principios de funcionamiento y las estrategias de control ms difundidas en la actualidad.

El presente trabajo esta organizado de la siguiente manera: En la Seccin 1 se hace una breve descripcin de la arquitectura de un motor de induccin y se analizan sus principios de funcionamiento. En la Seccin 2 se describen algunas estrategias de control que siguen el criterio clsico. En la Seccin 3 se realiza una modelacin matemtica completa del motor; este modelo es utilizado para exponer una introduccin a la Teora del Control en Coordenadas de Campo. En la Seccin 4 se discretiza el modelo matemtico del M I y se completa una simulacin en computadora del mismo, funcionando bajo condiciones cambiantes de carga y de valores de referencia.

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Seccin 1. Motor de Induccin Trifsico 1.1 Descripcin de la planta

A grandes rasgos el motor de induccin (MI) esta constituido por dos

elementos, el estator y el rotor. El estator es un cilindro hueco de hierro laminado, revestido por fuera con una carcaza de hierro fundido que sirve de soporte a toda la mquina. Internamente posee ranuras paralelas a su eje en las que se ubica el bobinado trifsico estatrico. Suponiendo una mquina de dos polos0, existen en el interior del estator tres arrollamientos de distribucin senoidal1 separados 120 entre s. En la Figura 1.1 se muestra un bobinado trifsico de dos polos con arrollamientos de una sola espira.

Figura 1.1. Seccin transversal del estator simplificado de un Ml. 0 El concepto de polos en un bobinado trifsico proviene de las mquinas sincrnicas. Un bobinado estatrico trifsico de dos polos posee tres arrollamientos separados espacialmente 120 entre s. Un bobinado trifsico de cuatro polos posee seis arrollamientos separados espacialmente 60. En mquinas con ms de un par de polos, la velocidad sincrnica se reduce en proporcin directa al numero de pares.

1 La distribucin senoidal provoca que la fuerza magnetomotriz (Fmm) producida por el arrollamiento aumente desde cero en los extremos hasta un mximo en el centro del arrollamiento en forma senoidal. Esto se hace aumentando senoidalmente la densidad de espiras hacia el centro del arrollamiento.

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El ncleo del rotor es un cilindro macizo de hierro laminado con su superficie ranurada en forma paralela a su eje. Su dimetro es un poco menor que el espacio interior del estator de modo que, al estar dentro de el, existe un pequeo espacio denominado entrehierro de longitud radial constante entre ambas superficies cilndricas.

El rotor de un MI puede ser de dos tipos: bobinado o jaula de ardilla. El primero posee un bobinado trifsico idntico al estatrico, conectado en forma de estrella, dispuesto sobre las ranuras del rotor. En la Figura 1.2 se representa esquemticamente el rotor bobinado.

Los tres extremos libres de los arrollamientos estn conectados a

anillos rozantes fijos en el eje del rotor. Sobre estos se deslizan escobillas solidarias al estator que permiten acceso elctrico al rotor. En condiciones normales de funcionamiento estas escobillas estn conectadas entre si, quedando as cortocircuitados los arrollamientos del bobinado rotrico. Sin embargo, es posible cambiar el valor de la resistencia rotrica (mediante el agregado de un restato por fase con un cursor comn a todos) modificando de este modo las caractersticas de respuesta del motor; el empleo de esta tcnica con objetivos de control se describe en la seccin 2.

El rotor de tipo jaula de ardilla posee un ncleo igual al anterior, pero sobre las ranuras estn colocadas barras de cobre o aluminio cortocircuitadas en sus extremos por anillos del mismo material (ver Figura 1.3). Este rotor no esta conectado elctricamente al exterior de la mquina.

Una gran mayora de los MI poseen rotor jaula de ardilla debido a que su construccin es ms barata y al no poseer contactos deslizantes, es de fcil mantenimiento.

1.2 Campo magntico estatrico

Para este anlisis se supondr un motor simplificado cuyo estator posee un bobinado trifsico con una espira por fase. Los resultados as obtenidos son de validez general. Si se conecta el estator a una fuente de tensin senoidal trifsica, se producen en las bobinas del mismo tres corrientes desfasadas 120 elctricos entre s (ver Figura 1.4).

A su vez cada una de estas corrientes produce una fuerza magnetomotriz (Fmm) perpendicular al plano de la espira por la que circula (ver Figura 1.5). As existen tres vectores de Fmm (fi) cuyas direcciones estn desfasadas 120 en el espacio. Estos vectores sumados, teniendo en cuenta sus magnitudes instantneas, producen una Fmm resultante (FR) giratoria de amplitud constante en el interior del estator.

Se analizara la existencia de FR en dos instantes de tiempo. En la Figura 1.4 se observan dichos momentos separados entre si por 1.57 segundos (para una frecuencia de onda igual a 1/2). Esta separacin equivale a una distancia entre ambos momentos de 90 elctricos.

En donde se supuso que I es la corriente pico y F es la Fmm pico (F =

N.I con N igual al nmero de espiras del arrollamiento). La distribucin espacial de las fi calculadas y la resultante de su suma, FR , se muestran en la Figura 1.6 de acuerdo al criterio enseado en la Figura 1.5.

El modulo de F. para los instantes t1 y t2 se puede calcular a partir de la Figura 1.6.

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A partir de los resultados obtenidos se puede concluir que: La magnitud de la Fmm estatrica resultante es constante:

FR= 3/2 F Un desplazamiento temporal de 1.57 segundos (/2 radianes

elctricos) de t1 a t2 en las corrientes de alimentacin ha provocado una rotacin de la Fmm estatrica resultante igual a /2 radianes en el espacio.

Cuando se describe un ciclo elctrico completo en las corrientes de entrada, la Fmm estatrica resultante da una vuelta completa dentro del estator; esto indica que gira con una velocidad angular ws sincrnica con la frecuencia de alimentacin. Si la mquina tuviera un bobinado de ms de un par de polos, la velocidad angular de FR seria menor que ws, en proporcin directa al numero de pares de polos.

1.3 Principios de funcionamiento

Se analizar ahora la influencia del campo magntico2 estatrico (Bs)

giratorio sobre el rotor de la mquina. Sea un rotor con una espira en cortocircuito inmersa en el campo

magntico giratorio producido por el estator, se demostrar la existencia de una corriente iR en la espira y la aparicin de una fuerza sobre ella, tendiente a hacerla girar en el sentido de rotacin del campo estatrico. Se deducir una expresin de dicha fuerza, Ilamada cupla motora. Las conclusiones obtenidas para este rotor simplificado son validas tambin para el rotor bobinado y el jaula de ardilla.

2 Hablar de fuerza magnetomotriz (Fmm) o de Campo Magnetico (B) en este anlisis simplificado es equivalente, ya que ambos vectores poseen la misma direccion y sentido y solo difieren en magnitud; Fmm = .R = B.A.R donde R = reluctancia y A = rea de la espira.

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En la Figura 1.7 se observa que el campo magntico estatrico Bs que atraviesa la espira a una velocidad angular ws est en un punto en el que provoca un mximo de flujo magntico a travs de la espira

(e)' eMAx = Bs.A = Bs.I.d. Al seguir girando Bs, el flujo e tiende a disminuir; de acuerdo a la ley de Faraday-Lenz en la espira se producen una fuerza electromotriz (Fem) inducida y una corriente en el mismo sentido, que a su vez provocan un campo magntico rotrico tendiente a contrarrestar la variacin de flujo a travs de Ia espira.

En la Figura 1.8 se observa la direccin de la Fem inducida (eR) en la espira. Su valor se deduce a continuacin.

IR es la corriente pico en el rotor, RR y LR son las constantes elctricas del rotor, Z es la impedancia del rotor y es la diferencia de fase entre la tensin y la corriente de rotor.

Existe una manera equivalente de justificar la aparicin de una corriente como la descripta en el rotor: Si a un conductor de longitud I inmerso en un campo magntico BS se lo mueve a una velocidad v, se produce en el interior del conductor un campo elctrico:

cuatro lados de la espira solo trabajan dos, aquellos paralelos a la generatriz del rotor; estos conductores se Ilaman costados de la bobina. Si se asume que el campo estatrico incide perpendicular-mente sobre la superficie del rotor (esto es muy aproximado a la realidad), se puede decir que el rotor esta inmerso en un campo uniforme, que gira con velocidad angular w..

La Fem inducida en la espira se calcula a partir de la Ec. 1.9:

que coincide con el resultado hallado en la Ec. 1.6, luego la corriente IR es la de la Ec. 1.7.

1.4 Fuerza motora

De acuerdo con la ley de Biot-Savart, cuando un conductor portador de corriente se halla inmerso en un campo magntico, aparece sobre l una fuerza:

En la Figura 1.9 se puede observar que la direccin de las

corrientes en los costados de la espira es siempre perpendicular a la direccin del campo magntico estatrico; esto significa que la Ec. 1.11 puede simplificarse reemplazando el producto vectorial por un producto escalar.

Las fuerzas sobre los costados de la espira producen sobre el eje

del rotor una cupla:

Si se combina este resultado con los obtenidos en las Ecs. 1.7 1 1.11:

Reagrupando se Ilega a la ecuacin de cupla instantnea con el rotor detenido:

4 Hasta el momento se ha supuesto que el rotor esta detenido. Ms adelante se estudiar el efecto que produce la variacin del movimiento relativo entre el campo estatrico y el rotor, cuando ste so pone en marcha.

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Sin embargo, el valor de la cupla instantnea no tiene inters prctico y conviene obtener una expresin de la cupla motora media. Mediante la aplicacin de una equivalencia trigonomtrica5 a la Ec. 1.15 se puede Ilegar a:

En esta ecuacin, dado que se busca el valor medio de la cupla, slo

el primer trmino de la resta es til, ya que es independiente del tiempo; el valor medio temporal del segundo trmino es nulo. A partir de la Ec. 1.8 se puede calcular que:

Este resultado combinado con la Ec. 1.16, permite Ilegar al valor

medio de la cupla motora con el rotor detenido:

1.5 El deslizamiento

En el anlisis precedente se encontr una expresin de la cupla

producida por la rotacin del campo magntico estatrico respecto del rotor. Es esta velocidad relativa la que provoca la aparicin de una corriente inducida en el rotor y por lo tanto de una cupla sobre el mismo que tiende a hacerlo girar en el sentido de rotacin del campo. Dado que se supuso al rotor detenido, la velocidad relativa utilizada en los clculos fue siempre la velocidad del campo estatrico, ws.

Si se libera al rotor, ste se pone en movimiento con una

velocidad absoluta wR de manera que ahora la velocidad relativa (o velocidad de deslizamiento) entre el campo estatrico y el rotor es:

En este punto es conveniente definir el deslizamiento s: El deslizamiento es un coeficiente adimensional cuyo valor es

mximo (s=1) cuando el rotor est detenido y es mnimo (s=0) si el rotor gira a velocidad sincrnica. En un motor real funcionando en vaco (sin carga) s vale aproximadamente 0.003; el rotor no gira exactamente a la velocidad sincrnica porque debe vencer la fuerza de rozamiento de sus cojinetes. En la Figura 1.10, cuando wR = Ws (wSI= 0), la cupla motora se anula y la friccin tiende a frenar el rotor que, finalmente, alcanza una velocidad de equilibrio. La situacin descripta pone en evidencia que el motor es, en si mismo, un sistema realimentado. 1.6 Campo magntico rotrico

Por el bobinado rotrico circula una corriente de forma senoidal6 iR inducida por el campo magntico estatrico, cuya frecuencia en el tiempo f2 , respecto del mismo rotor, es:

donde fs es la frecuencia de alimentacin.

6 En realidad, la forma de la corriente rotrica depende del tipo de rotor del motor: bobinado trifsico, jaula de ardilla o elemental de una espira como el que se estudia. Sin embargo, la frecuencia de dicha corriente es la misma en todos los casos y las conclusiones obtenidas en este apartado son siempre validas.

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La corriente iR produce a su vez un campo magntico Ilamado campo rotrico o campo inducido, que gira respecto del rotor a una velocidad angular ws, . Sumando a este valor la velocidad absoluta del rotor, se obtiene la velocidad del campo inducido con respecto a un sistema inercial solidario al estator:

Este resultado conduce a una conclusin importante: Ambos campos magnticos7, inductor e inducido (estatrico y rotrico) giran a la misma velocidad ws. Esta es una condicin necesaria para la transferencia de energa de su forma elctrica a la mecnica o viceversa. Aunque en los motores de induccin siempre se cumple, no sucede lo mismo en los motores o generadores sincrnicos. Entre estos dos campos solo existe una diferencia de fase; el campo estatrico adelanta al rotrico con un ngulo , llamado ngulo de carga (es una medida de la cupla de carga que soporta el motor).

1.7 Cupla en una mquina de induccin

Una vez definido el deslizamiento es posible expresar a la cupla media en el eje del rotor en funcin de la velocidad de deslizamiento.

Reemplazando en la Ec. 1.18 ws par wsi:

Esta ecuacin fue deducida para un rotor elemental de una espira. Se puede demostrar [1] que la expresin de la cupla para un rotor real bobinado o del tipo jaula de ardilla es de la misma forma que la Ec. 1.23 y difiere nicamente en una constante de proporcionalidad (KM). Dicha constante es funcin de las dimensiones fsicas del rotor 7 Los campos magnticos estatrico y rotrico componen un campo resultante y es ste el nico campo magntico medible. A efectos del anlisis del comportamiento dinmico del Ml es conveniente conservar una distincin conceptual entre ellos.

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y del nmero de espiras de su bobinado. Por lo tanto la ecuacin de cupla general para un MI es:

Esta ecuacin es vlida para cualquier velocidad del rotor. En la Figura

1.10 se muestra la forma de la cupla T contra dos ejes de abscisa, velocidad absoluta del rotor ws y velocidad de deslizamiento ws1 .

A partir del anlisis de la Ec. 1.24 y la Figura 1.10 es posible obtener

algunas conclusiones importantes:

a. Derivando la Ec. 1.24 e igualando a cero se deduce la

condicin de wSI para cupla mxima de salida

b. Reemplazando este valor de wSI en la Ec. 1.24 se obtiene el valor de la cupla mxima:

c. Siempre que la mquina de induccin produzca una cupla de salida positiva, su comportamiento se asimila al de un motor. Sin embargo, si la cupla es negativa, debe haber un motor impulsor exterior que haga girar el rotor a una velocidad mayor que ws. El motor impulsor est entregando energa a la red y la mquina de induccin se encarga de convertir dicha energa de mecnica a elctrica. Ambos dispositivos trabajando juntos se denominan Grupo Generador Asin-crnico. Para funcionar de esta manera, el sistema debe conectarse a una red que posea, al menos, un generador sincrnico. Esto se debe a que en la mquina asincrnica los campos estatrico y rotrico siguen siendo inductor e inducido respectivamente y siguen girando ambos a velocidad sincrnica ws. El cambio est en que si wR > ws, el campo rotrico est adelantado en fase respecto del estatrico y el ngulo de carga es ahora negativo.

1.8 Equivalente elctrico de la carga mecnica

A partir de la Ec. 1.8 y teniendo en cuenta que el rotor puede girar libremente, la expresin de la corriente rotrica pico es:

en donde, como se dijo, wSI es la velocidad relativa entre el campo

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inductor y el rotor. Multiplicando y dividiendo por ws:

Este resultado es equivalente a suponer que el rotor esta inmvil y por lo tanto no se entrega potencia mecnica en el eje. Sin embargo, la potencia elctrica disipada en el bobinado rotrico ha cambiado; hay un trmino de potencia extra asociada a una resistencia RE Ilamada equivalente elctrico de la carga mecnica:

El valor de esta carga elctrica ficticia sigue una variacin que se

asemeja a una funcin hiperblica desde RE = 0 cuando el rotor est

detenido hasta RE = cuando el rotor gira a velocidad sincrnica. 1.9 Rendimiento del motor

Haciendo el cociente entre la Potencia til entregada al eje del motor y

la Potencia Activa Total disipada en el rotor, se obtiene el rendimiento de la mquina.

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Como era de esperar, el rendimiento aumenta a medida que la velocidad del rotor se acerca a la velocidad sincrnica.

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Seccin 2: Control Clsico de un Motor de Induccin

2.1 Principios de control

Realizar el control de posicin o velocidad en un MI es una tarea compleja para la cual no ha surgido aun una solucin generalizada. Existe un gran nmero de propuestas que, en su mayora, son solo tiles para mquinas especiales o ciertas aplicaciones particulares. En esta seccin se estudiaran algunas estrategias clsicas de control. En ellas se asumen condiciones de operacin en estado estacionario, simplificando notablemente de ese modo el modelo matemtico del sistema.

Como norma general, los pasos a seguir para solucionar un

problema de control son los siguientes:

1 - Adoptar un esquema simplificado de la planta a controlar. 2 - Encontrar las ecuaciones temporales que describen la dinmica del

sistema. 3 - a. Calcular la Transformada de Laplace de las ecuaciones halladas en el

tem anterior. b. Realizar un diagrama en bloques y determinar a partir de este la funcin de transferencia (FT) del sistema.

(EI paso 3 puede obviarse si se desea completar el anlisis en el dominio temporal).

4 - Elegir las posibles variables de control del sistema a partir de su FT. 5 - Analizar las cualidades de respuesta de la planta a lazo abierto y, en

caso de ser necesario, agregar un lazo de control que brinde al sistema las caractersticas de funcionamiento deseadas.

2.2 Anlisis del MI segn el criterio clsico

La planta a controlar esta formada por un MI, conectado a una red de

alimentacin trifsica, que mueve con su eje una carga rotativa

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a la cual se asocia una cupla de carga TL. En la Figura 2.1 se esquematiza el conjunto motor-carga (en el apndice A se detalla la nomenclatura).

La ecuacin que describe el equilibrio del sistema es:

Reemplazando Td por la expresin hallada en el apartado 1.7 (Ec.

1.24) se obtiene:

Cuando la mquina supera el transitorio y alcanza un estado de

equilibrio, la variacin de wR respecto del tiempo es nula y la Ec. 2.2 se simplifica:

En la Figura 2.2 se ha graficado la curva de salida del MI junto a dos

cuplas de carga constantes frente a la velocidad (TL, y TL2).

Suponiendo que la mquina funciona con una cupla de carga TL1, existen dos puntos de equilibrio producidos en la interseccin de Td y TL1.

El punto A es un punto de equilibrio inestable; el siguiente anlisis

explica el porque de su inestabilidad: Si se supone al sistema inicialmente funcionando en el punto A y por cualquier motivo, ajeno al conjunto motor-carga, la velocidad wR aumenta, la cupla motora supera a la de carga y la mquina se acelera Ilegando el sistema al punto de funcionamiento B. Si, por el contrario, a partir del punto A se disminuyese la velocidad, TL1 superara a Td forzando al motor a detenerse.

El punto B es de equilibrio estable ya que, si cualquier perturbacin externa produce un aumento o disminucin de la velocidad wR , cuando dicha perturbacin desaparece el sistema retorna por s solo al punto de funcionamiento B.

La condicin necesaria para que cualquier punto de interseccin entre Td y TL sea un punto de funcionamiento estable es que en ese lugar la pendiente de la cupla motora sea menor que la pendiente de la cupla de carga.

Se puede ver tambin en la Figura 2.2 que si el motor, estando detenido, intentase arrancar con una carga TL1, no podra hacerlo. Para que el motor pueda llegar a un punto de funcionamiento estable no debe haber entre ste y el arranque ningn punto inestable; esto implica que la cupla motora debe superar siempre a la cupla de carga. Este sera el caso si el motor tuviese una cupla de carga TL2.

2.3 Variables de control en el funcionamiento a lazo abierto

Como el conjunto motor-carga es intrnsecamente un sistema realimentado, el empleo del trmino a lazo abierto no es del todo adecuado, sin embargo se asumir de ahora en ms que cerrar el lazo del sistema consiste en agregar una realimentacin de control externa. A partir de la Ec. 1.24 y teniendo en cuenta que ER = Ws

.m (ver Ec.

1.6) se puede expresar la cupla de salida del motor como:

En la Ec. 2.4 se pueden observar posibles variables de

control: la resistencia del rotor (RR), la tensin del estator (ES) y la velocidad angular del campo estatrico definida por la frecuencia de la red de alimentacin (WS). No se ha tenido en cuenta la inductancia del rotor (LR) que es muy difcil de variar, ni el nmero de polos de la mquina, ya que esta estrategia de control no es aplicable en motores de fabricacin estndar.

Un cambio en cualquiera de las variables mencionadas se v

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reflejado en una modificacin de la curva de cupla del MI. Esta variacin de la curva provoca que el punto de equilibrio entre Td y TL cambie de posicin alterando en consecuencia la velocidad del rotor (wR).

En la Figura 2.3 se muestra el efecto que produce la variacin de ES y RR sobre la curva de salida del motor. Luego de un aumento de la resistencia del rotor, la salida del motor corresponde a la curva 2, en tanto que una disminucin de la tensin de estator transforma la curva de cupla 1 en la 3.

Hay que aclarar que la posibilidad de variar la resistencia RR esta restringida a los motores con rotor bobinado, ya que los extremos de los arrollamientos rotricos son accesibles desde el exterior por medio de anillos rozantes.

Se puede ver en la Figura 2.3 que el rango de variacin de

velocidad es mayor con un cambio de RR ( WR = B) que con una modificacin de ES (WR=A).

Otra ventaja de controlar RR es que se pueden lograr grandes cuplas de arranque. Esta cualidad es utilizada al mover cargas pesadas; se arranca el sistema con RR alta y se la disminuye a medida que el motor aumenta la velocidad hasta Ilegar a RR mnima cuando se cortocircuitan las escobillas de los anillos rozantes. En la Figura 2.4 se muestra el esquema elctrico del rotor con resistencia variable.

Sin embargo, el sistema tiene algunas desventajas: Su mxima velocidad es siempre menor que en los motores con rotor tipo jaula de ardilla (la mnima resistencia de rotor obtenible es mayor que en el rotor tipo jaula de ardilla) y su mantenimiento es caro debido a los anillos rozantes. Otra desventaja menos evidente es la disminucin de rendimiento frente a mejores estrategias de control. De acuerdo con lo expuesto en el apartado 1.9 de la seccin anterior, el rendimiento de la mquina en funcin de su deslizamiento (s) es: = 1-s. El valor de s en el punto de funcionamiento de la curva 2 (interseccin de Td y TL es mayor que el de la curva 1 y por lo tanto su rendimiento es menor.

El mtodo de control mediante la variacin de tensin de estator (Es) se puede utilizar en aquellas mquinas que no poseen rotor bobinado; sin embargo posee una gran desventaja: Como se observa en la Figura 2.3, la curva 3 obtenida luego de una disminucin de ES tiene una cupla de arranque menor que la cupla de carga. Este inconveniente no tiene importancia cuando la cupla de carga crece con la velocidad, como en los ventiladores o las bombas (ver Figura 2.5).

2.4 Control con flujo constante

En vista de lo directo y sencillo que es el control de los motores de corriente continua, parece apropiado buscar un mtodo similar

aplicable a los motores de induccin. Una estrategia muy utilizada en los primeros consiste en mantener el flujo de magnetizacin constante mientras el motor gira por debajo de la velocidad nominal. Esto permite controlar la cupla en forma directa variando slo la corriente de armadura. Se puede lograr una aproximacin a esta estrategia en el motor de corriente alterna.

En la Ec. 2.4 se observa que variando la tensin Es en proporcin directa a la frecuencia ws, se mantiene constante al flujo m. Esta variacin de Es y ws provoca desplazamientos horizontales de la caracterstica cupla-velocidad del motor. Se puede deducir a partir de la Ec. 2.5 que si el cociente (ES / ws) se mantiene constante, no cambian la forma ni las dimensiones de la curva de cupla, pero si vara su posicin. Esto se observa en la Figura 2.6 para cuatro valores distintos de Es y Ws .

Si la variacin de Es y ws se Ileva a cabo siguiendo un criterio adicional al de mantener constante el cociente Es / ws , se puede obtener una cupla de salida constante e independiente de la velocidad del rotor (wR). Esta condicin es aumentar o disminuir ws en la misma medida en que cambie wR de modo que el trmino wSI = (Ws - wR) se mantenga constante. En la Ec. 2.5 se puede ver que si se sigue la estrategia descripta, Td se mantiene constante y se obtiene una curva de salida como la enseada en la Figura 2.7.

2.5 Control de alimentacin del motor de induccin

En el apartado anterior se describi una estrategia de control en la que es necesario variar a voluntad la tensin de estator Es y la frecuencia ws; sin embargo estos valores estn fijados por la red de alimentacin.

Es necesario entonces insertar un circuito denominado convertidor de corriente alterna que se encarga de adaptar las constantes de la red trifsica a los requerimientos del motor. En la Figura 2.8 se muestra un convertidor muy utilizado debido a su reducido nmero de componentes. Est compuesto de un rectificador y un inversor unidos mediante un lazo intermedio de corriente.

Los seis tiristores de la izquierda forman un rectificador de control total que permite obtener un lazo de corriente continua unidireccional y, tensin continua variable de modo de entregar al inversor un nivel controlado de potencia.

Dicho inversor est formado por los seis tiristores de la derecha y su misin es reconstruir una onda alterna trifsica para alimentar al motor. La onda de salida del inversor no tiene variacin senoidal sino alternante en forma escalonada; sto no reviste mayor importancia para frecuencias medias y altas debido a las cualidades filtrantes del motor.

Con un manejo adecuado del convertidor se puede invertir el flujo de energa (cambiando el sentido de VD) siendo ahora el motor el que entrega energa a la red. Este efecto se denomina frenado regenerativo ya que la energa que el motor entrega es la energa cintica almacenada en el conjunto motor-carga y sta se agota cuando el sistema se detiene.

Existen otros convertidores que entregan una onda de salida de corriente muy aproximada a una senoide. Uno de ellos es el Inversor PWM (Pulse Width Modulation) con lazo intermedio de tensin mostrado en la Figura 2.9.

Se supone que el circuito est alimentado por una fuente de tensin continua que permite la circulacin de iD en ambas direcciones para poder frenar el motor invirtiendo el sentido de flujo de la energa. Este inversor es adecuado para alimentar motores trifsicos de induccin de baja potencia (< 50 kW) del tipo de los servo-motores con control de velocidad o posicin. Eligiendo transistores con una frecuencia de conmutacin mayor a 15 kHz se puede evitar la generacin de ruido en la banda de audio. Si el valor de VD en el lazo intermedio de tensin es suficientemente grande, se pueden disear lazos rpidos de control de corriente de modo que is siga fielmente las seales de

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referencia. Los controladores para los transistores comnmente emplean una salida PWM de baja generacin de ruido acstico. En caso de que el ruido no sea un problema existe la alternativa de utilizar un simple sistema si-no con una pequea banda de histresis que rodea a la seal de referencia.

2.6 Conclusiones

En el anlisis de los esquemas de control descriptos se ha

supuesto que el sistema funciona en estado estacionario y que las corrientes y tensiones son todas de forma senoidal. An cuando el modelo obtenido en base a estas simplificaciones tiene la ventaja de ser sencillo, no resulta adecuado para analizar la respuesta del sistema ante transitorios (cambios rpidos en la carga o en la alimentacin, etc.). Por otro lado se debe tener en cuenta que existen muchas aplicaciones en las que no se requiere una alta velocidad de respuesta, como las bombas o los ventiladores. Cuando se busca un sistema de control que brinde una respuesta dinmica de buen desempeo, es necesario hacer un anlisis matemtico ms profundo del conjunto motor-carga-controlador; este tema ser tratado en la siguiente seccin.

Seccin 3. Control en Coordenadas de Campo del Motor de Induccin

3.1 Control con buen comportamiento dinmico

El esquema de control descripto en la seccin anterior no es adecuado para alcanzar una respuesta dinmica de buen desempeo. El control del flujo a lazo abierto no permite operar con cupla mxima en bajas velocidades o aun con el rotor detenido. Esto excluye, por ejemplo, su aplicacin como servo-motor.

Con el objeto de eliminar estas restricciones es necesario hallar un modelo matemtico completo del MI, basado en los valores instantneos de las corrientes y tensiones de estator y rotor.

3.2 Modelo matemtico del motor de induccin

Para describir completamente el sistema motor-carga, se debe encontrar un conjunto de ecuaciones que incluyan el equilibrio elctrico y mecnico. Las ecuaciones elctricas del modelo se hallan haciendo un anlisis vectorial del equilibrio de tensiones en los arrollamientos rotrico y estatrico; para ste ltimo se obtiene la siguiente relacin:

Esta ecuacin indica que la tensin de alimentacin del estator us(t)

es igual a la suma de todas las cadas de tensin producidas dentro del arrollamiento. Dos de ellas son funciones de is(t) y dependen de constantes del estator (Rs y Ls). La tercer cada de tensin es funcin de la corriente de rotor iR(t) y depende de la inductancia mutua de los arrollamientos rotrico y estatrico (Lm).

Dado que todas las variables que integran una ecuacin deben estar referidas al mismo sistema de coordenadas, en la Ec. 3.1 se

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puede ver que el vector de corriente de rotor iR(t) fue cambiando de sistema de referencia, de coordenadas de rotor a coordenadas de estator. Esto se hizo sumando el ngulo E a la coordenada polar de dicho vector:

En la Figura 3.1 se representa el cambio de coordenadas de la Ec. 3.2. Del mismo modo se puede encontrar una ecuacin que describa el

equilibrio elctrico del arrollamiento rotrico, en coordenadas rotoricas: El siguiente paso es encontrar una forma de describir el equilibrio

electromecnico del sistema. Se puede demostrar [1] que la expresin de la cupla motora en funcin de las corrientes de rotor y estator es:

De acuerdo a la ley de Newton para movimiento rotacional, la diferencia entre la cupla motora Td y la cupla de carga TL es directamente proporcional al cambio de la velocidad angular del rotor; entonces:

Ahora es posible expresar el modelo matemtico completo del MI como el conjunto de las ecuaciones de equilibrio elctrico y mecnico:

Aunque no esta explicitamente aclarado en las ecuaciones iS, iR uS, Td,TL y WR son funciones del tiempo.

Este modelo multivariable y no lineal es vlido para el anlisis dinmico del motor, con cupla y velocidad variables y tensin de alimentacin de forma de onda arbitraria. De hecho, debido a que el punto neutro del arrollamiento estatrico (conectado en estrella) est aislado, las ecuaciones del modelo sern vlidas an si Ia suma de las tensiones de cada fase es no nula (S1(t)+S2(t)+S3(t)0). Esto slo significa que el neutro del bobinado asume un potencial distinto al neutro de referencia de las tensiones de alimentacin. Del mismo modo, los resultados pueden generalizarse a un sistema alimentado con una fuente de tensin que tenga impedancias no nulas, constantes e iguales por fase. Esto se hace incluyendo adecuadamente dichas impedancias en las constantes del estator (RS y LS).

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3.3 Variables de entrada y salida en el modelo matemtico

Las variables de entrada al motor y por consiguiente a su modelo matemtico son la corriente y la tensin de estator. La mquina trabaja internamente con estos valores8 produciendo la corriente iR, la cupla motora y la velocidad del rotor. Usualmente la salida del sistema es la velocidad wR o la posicin del rotor , que se obtiene integrando wR en el tiempo.

Si se asume que la corriente de estator es alimentada en las tres fases por medio de lazos rpidos de control de corriente, el modelo matemtico se simplifica considerablemente ya que la ecuacin de tensin de estator (3.6.a) pasa a ser gobernada por los controladores de corriente y puede ser omitida del modelo. Una fuente de alimentacin que provee la condicin de funcionamiento descripta es el Inversor PWM cuyo funcionamiento se explic en el apartado 2.5.

3.4 Modelo adaptado a las necesidades del control

Con el objeto de llegar a un mejor modelo matemtico se harn dos modificaciones sobre las Ecs. 3.6. La primera consiste en referir la ecuacin de equilibrio elctrico rotrico (3.6.b) a un sistema de coordenadas fijo en el estator; esto se hace multiplicando a todos los trminos de la ecuacin por ej, lo que es equivalente a sumarles la coordenada angular que separa a los dos ejes de referencia.

La ecuacin hallada representa el equilibrio elctrico rotrico en coordenadas de estator.

Dado que la corriente de rotor no se puede medir en los motores jaula de ardilla, se har una segunda modificacin a las Ecs. 3.6: se sustituir la corriente iR por una cantidad equivalente que pueda ser medida con un equipo de sensado referido al estator. Una practica comn es elegir el vector de flujo rotrico R definido en coordenadas de estator.

El flujo retrico gira con respecto al estator con velocidad wR:

tal que el ngulo cumple en todo momento con la siguiente relacin:

En la figura 3.2 se muestra que es la coordenada angular de iS respecto del estator, es la coordenada angular de R respecto del

estator y es el ngulo de carga9 que fue mencionado en el apartado 1.6. Combinando los resultados hallados en las Ecs. 3.7 y 3.8 con el

modelo 3.6 se obtiene un nuevo modelo del motor:

En este modelo todas las ecuaciones estn referidas a coordenadas de estator y sus variables pueden ser medidas en este sistema de referencia. Dado que las primeras dos ecuaciones pueden separar-

se en parte real e imaginaria, esto representa un conjunto de seis ecuaciones diferenciales no lineales. Conviene expresarlas en esa forma de modo de facilitar su manipulacin matemtica (ver Ecs. 3.10)

En la figura 3.3 se pueden ver las componentes real e imaginaria de los vectores insertando estas expresiones en el modelo 3.9 y teniendo en cuenta que dos nmeros complejos son iguales si lo son sus partes real e imaginaria se llega al modelo 3.10:

A pesar de que este modelo describe correctamente la dinmica del MI, es difcil encontrar una estrategia de control clara y directa a partir de la aplicacin de sus ecuaciones. El diagrama de bloques de la Figura 3.4 ayuda a exponer esta idea.

El bloque de control debe ser capaz de comparar los valores de referencia con las seales de realimentacin y generar una accin de control a travs de la corriente de estator. Por ejemplo, para controlar la cupla del motor, debe calcular la cupla motora actual (Td) aplicando los valores sensados de iS y R a la Ec. 3.10.e y comparar el resultado con la cupla de referencia Td Ref. Si la diferencia entre ambos valores (error de cupla) es positiva ( cuando Td Ref > Td), la accin de control

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correcta debe tender aumentar is.

Expuesta superficialmente parece una estrategia sencilla, pero haciendo un anlisis ms detallado se puede ver que la relacin matemtica entre iS y R en la Ec. 3.10.e es compleja; para calcular Td hay que obtener las componentes ortogonales de ambos vectores y esto requiere conocer con precisin sus coordenadas angulares respecto del estator ( y ). Luego, al aumentar iS, se debe tener en cuenta nuevamente su coordenada angular y, ya que las componentes producen efectos distintos sobre la dinmica del MI.

Completar un lazo de control en forma clara siguiendo este camino se torna difcil, sin embargo, como se ver en el siguiente apartado, existe una manera ms prctica y elegante de analizar las interacciones de las variables del motor.

3.5 Control en coordenadas de campo

La propuesta inicial del Control de Campo o Control Vectorial, fue realizada por Hasse [2] en 1969 y luego formalizada por Blaschke [3] en 1972. Su esencia consiste en definir un sistema de referencia en movimiento respecto del estator y luego referir a este las ecuaciones del modelo matemtico del motor. Es comn elegir un sistema de referencia que gire sincrnicamente con el vector de flujo rotrico.

En la Figura 3.5 se muestra, a modo de ejemplo, el vector representado en coordenadas de estator y en coordenadas de campo simultneamente.

La nomenclatura que se utilizar en adelante es la siguiente:

Tal como se explic en el apartado 3.4, para cambiar una ecuacin

de sistema de referencia hay que multiplicar todos sus trminos por e-j, donde es la coordenada angular que separa a los ejes de referencia; el signo negativo en el ngulo indica que al hacer el cambio de coordenadas, el sistema de origen est atrasado en fase respecto del destino.

Si se tiene en cuenta las siguientes relaciones matemticas

y se opera sobre las ecuaciones del modelo 3.9, se llega al modelo 3.11:

Separando las ecuaciones en parte real y parte imaginaria se

obtiene un modelo equivalente al 3.10, pero ahora referido a coordenadas de campo.

En la figura 3.5 se puede observar que la direccin del vector de flujo rotrico coincide con el eje real del sistema de referencia giratorio, por lo tanto su proyeccin sobre este eje es mxima y coincide con el mdulo del vector (Rd = R). El sistema de coordenadas de flujo fue definido de manera que cumpliera siempre esta condicin. Cuando la coincidencia del vector y el eje es exacta, se dice que la transformacin de coordenadas esta "sintonizada". Como se ver, existen factores que provocan que el sistema pierda su sintona deteriorando de ese modo su comportamiento dinmico.

Siguiendo el mismo anlisis, queda claro que la proyeccin del vector R sobre el eje imaginario del sistema giratorio es nula (Rq = 0)

Entonces, al eliminar Rq en las Ecs. 3.12 se obtiene el siguiente modelo matemtico del MI.

El ultimo trmino de la Ec. 3.13.d es la velocidad de deslizamiento WSI entonces una expresin ms simple de la 3.13.d es WR = WR + WSI.

En la Ec. 3.13.e se observa que la cupla motora referida a

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coordenadas de flujo es proporcional al producto de isd y Rq. En esta expresin sencilla de Td radica la clave del control en coordenadas de campo, ya que tiene la misma forma que la ecuacin de cupla de un motor de corriente continua, donde isq se corresponde con la corriente de armadura Rd con el flujo de los polos principales. De esta manera, mediante las variables de entrada isd e isq, se pueden controlar en forma independiente la magnitud del flujo y la cupla motora. En la Figura 3.6 se puede ver que el flujo rotrico es controlado en forma directa por (esto es equivalente al control de flujo en la mquina de corriente continua por medio de la corriente de excitacin). En la misma figura se observa que el ngulo de carga S se anula si no hay cupla motora (este concepto fue expuesto en los apartados 1.6 y 3.4).

En este punto conviene recordar un concepto que fue expuesto en el apartado 3.3: si el motor es alimentado por medio de lazos rpidos de control de corriente, las dos primeras ecuaciones del modelo 3.13 no son necesarias en el anlisis de la dinmica del motor ya que la corriente de estator queda impuesta por los controladores de alimentacin.

El diagrama en bloques de la Figura 3.7 describe la organizacin del control de un MI en coordenadas de campo.

Las corrientes de referencia en coordenadas de campo a la salida del

bloque de control A, son transformadas a coordenadas de

estator en el bloque B. Esta operacin consiste en multiplicar el vector de entrada al bloque por una matriz de cambio de coordenadas P cuyos coeficientes son funciones del ngulo del flujo :

En el bloque F del camino de realimentacin, la transformacin matricial es equivalente a la descripta:

Luego, en el bloque C, las componentes ortogonales de is se descomponen en un sistema de tres fases separadas 120 entre s utilizando otra transformacin matricial:

En el bloque E se completa un clculo del mismo tipo sobre la corriente proveniente de los sensores en el motor.

El hecho de realizar la transformacin de coordenadas (basada en el ngulo de flujo p) y la conversin de nmero de fases sobre las seales de referencia, es decir, en el extremo de baja potencia del inversor PWM, es una forma de simplificar el diseo del lazo de control. Sin embargo, deben cumplirse dos condiciones para que el sistema funcione correctamente: el retardo de tiempo del inversor debe ser despreciable y su lazo de control de corriente debe tener ganancia constante (el inversor debe comportarse como una fuente de corriente perfecta).

3.6 Implementacin del control en coordenadas de campo

Si las condiciones de transformacin de coordenadas se cumplen, se puede obtener una buena performance dinmica del MI utilizando la misma estrategia de control que se aplica a los motores de corriente continua.

La magnitud del flujo R debe ser mantenida en su mximo valor por debajo de la velocidad nominal. para aprovechar toda la capacidad de cupla del motor, y debe disminuirse al aumentar la velocidad por encima de la velocidad nominal de modo de mantener constante el producto Td . wR, es decir, la potencia entregada por la mquina. La relacin descripta entre el flujo y la velocidad del rotor se muestra en la Figura 3.8.

En el bloque de control A de la Figura 3.7 deben implementarse dos lazos separados para el control de la cupla motora y el flujo a travs de las corrientes isd Ref e iSq Ref. En la figura 3.9 se ha esquematizado el control de velocidad de un MI utilizando las mismas entradas y salidas de que dispone el bloque A de la Figura 3.7.

3.7. Adquisicin de la seal de flujo rotrico

Es muy importante mantener una informacin actualizada de la magnitud y el ngulo de fase de la onda fundamental de flujo rotrico, ya que esta es la base de la transformacin de coordenadas que sustenta el Control en Coordenadas de Campo.

El precursor de esta tcnica de control, Blaschke [3], obtuvo una medicin de la ser al de flujo independiente de la frecuencia utilizando sensores de efecto Hall colocados sobre la cara interna del estator. Interpolando suficientes mediciones obtuvo una estimacin de la magnitud y posicin del flujo magntico en el entrehierro. Esta idea tiene varias desventajas: los sensores de efecto Hall son elementos delgados y frgiles y no resisten condiciones severas de funcionamiento, vibraciones o cambios bruscos de temperatura. La informacin obtenida al promediar las mediciones difcilmente sea exacta bajo condiciones dinmicas de funcionamiento. Adems, el agregado de

los sensores al motor debe hacerse durante su fabricacin, y la tcnica no podra aplicarse a motores estndar de bajo costo.

Una alternativa propuesta por Plunkett [4] consiste en el agregado de bobinas especiales para sensar el campo ubicadas en las ranuras del estator. Ante la objecin, ciertamente razonable, de que esta tcnica aun requiere mquinas de fabricacin especial, se decidi utilizar los arrollamientos del estator como bobinas sensoras. Este mtodo no prosper por varios motivos, uno de ellos que los resultados que brinda no alcanzan la precisin que requiere un control de buena calidad de respuesta dinmica.

Una aproximacin ms directa al clculo de la magnitud y posicin de la onda de flujo esta basada en el modelo del motor en coordenadas de campo, especficamente en las Ecs. 3.13.c y 3.13.d. El modelo 3.13 es particularmente til en esta ocasin a causa de su gran simplicidad y potencial precisin; adems, sus salidas son constantes en estado estacionario.

En Ia Figura 3.10 se muestra el contenido del bloque G de la Figura 3.7. El esquema, construido en base a las ecuaciones de equilibrio rotrico del MI (3.13.c-d), tiene como entradas la corriente de estator y la velocidad del rotor y sus salidas son el mdulo de R su coordenada angular . El bloque cuya entrada y salida son isd y R respectivamente, contiene la funcin de transferencia asociada a la Ec. 3.13.c.

El uso del esquema descripto brinda las siguientes ventajas: Las seales de flujo no estn basadas en mediciones directas. Se pueden utilizar motores estndar sin sensores adicionales.

El clculo del flujo es realizable an a frecuencia cero lo que no se poda hacer con los mtodos anteriores.

De todos modos existen algunos problemas que deben ser

solucionados. Por ejemplo, el ngulo se obtiene integrando R; a pesar de que sta no es una integral continua, este tipo de clculo es siempre una posible fuente de error.

Otro problema importante es la dependencia del modelo del rotor respecto de la constante de tiempo rotrica TR = LR / RR. Una estimacin imprecisa de este parmetro significara un clculo errneo del ngulo , lo que producira un acoplamiento indeseable entre los ejes d y q del sistema de referencia giratorio. Si esto ocurriera, el control en coordenadas de campo se inutilizara llegando incluso a inestabilizar el sistema.

El parmetro TR cambia lentamente debido a las variaciones de temperatura del rotor y rpidamente cuando se opera en la zona de debilitamiento de campo (por encima de la velocidad nominal) a causa del efecto de saturacin magntica. La mxima desviacin de TR puede ser de 50% de su valor original. 3.8 Identificacin de la constante de tiempo rotrica

Han surgido en los ltimos anos muchos esquemas para identificar TR. Como es de esperar, todos tienen ventajas y desventa-jas. Un mtodo al que siempre se hace referencia debido a que fue una de las primeras propuestas serias de solucin a este problema, es el de Identificacin por Correlacin: Se ha dicho que las seales de salida del controlador isdRef e isq Ref realizan un control independiente de la planta en los ejes d y q. Esto es cierto slo si el ngulo utilizado en el cambio de coordenadas coincide con la posicion real del ngulo p de la onda de flujo. Este mtodo consiste en sumar un ruido de prueba de bajo nivel a la serial isd Ref que se asumio desacoplada de isq Ref. Si a la salida del motor las seriales isd e iSq muestran alguna correlacion del tipo de la esperada para el ruido de prueba, se concluye que el eje estimado de referencia d no es exactamente perpendicular al eje real de referencia q y por lo tanto se cometi un error en el clculo del ngulo .

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Si se desprecian otras fuentes de error, corrigiendo adecuadamente el parmetro TR, en el modelo 3.13, deber anularse la correlacin. Una cualidad importante de este esquema es que el signo de la correlacin calculada seala la direccin en que se debe modificar a TR. Todo el proceso de identificacin de TR, incluyendo la generacin del ruido de prueba (ruido binario pseudo-aleatorio), puede ser realizado por el mismo microprocesador que controla el motor con una prdida de tiempo de clculo no mayor al 5%. Sin embargo, el sistema tiene una importante desventaja; el tiempo de premediacin de las seales necesario para eliminar los ruidos no deseados y obtener as una funcin de correlacin til, es bastante prolongado y por lo tanto la actualizacin de TR es muy lenta.

Existen otros mtodos de desarrollo posterior al descripto que brindan mayor velocidad y mejor precisin en la estimacin sin necesidad de perturbar al sistema con ruidos de prueba. Entre las tcnicas de identificacin que mayor atencin reciben en la actualidad se destacan el Filtro de Kalman y las Redes Neuronales.

3.9 Ventajas del control en coordenadas de campo La estrategia de Control en Coordenadas de Campo es una forma

efectiva de simplificar la compleja estructura de control que requiere un sistema multivariable del tipo del MI. Sus principales ventajas son:

Acceso directo al flujo y a la cupla, permitiendo control con cupla mxima y debilitamiento de campo.

Si el ngulo de flujo ' es lo suficientemente preciso, el manejo separado del flujo y la cupla mediante la corriente de estator, es valido tanto en condiciones de funcionamiento dinmicas como en estado estacionario.

En estado estacionario, el sistema maneja valores constantes de las variables de control y esto lo hace robusto frente a los ruidos ajenos a la planta.

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Seccin 4. Simulacin de un Motor de Induccin

4.1 Utilidad de la simulacin

Una forma conveniente de evaluar la calidad de respuesta de un sistema de dinmica compleja es llevar a cabo una simulacin en computadora utilizando el modelo matemtico que lo describe. En esta seccin se incluye un programa en lenguaje C que se utiliz para simular un MI en lazo cerrado siguiendo el esquema de Control en Coordenadas de Campo que se describe en las Figuras 3.7, 3.9 y 3.10 de la seccin anterior.

El programa esta dividido conceptualmente en dos partes. La primera consiste en la simulacin del MI propiamente dicho; para completarla se utiliz el modelo matemtico 3.10 cuyas ecuaciones estn referidas a coordenadas de estator. La segunda parte es el lazo de control del motor y fue realizado en base a las Ecs. 3.13.c-e que estn expresadas en coordenadas de campo. Evidentemente, fue necesario realizar una transformacin de coordenadas sobre las variables en los mismos puntos que sealan los bloques B y F en la Figura 3.7.

Se debe tener en cuenta que los resultados obtenidos con esta simulacin (expuestos en el apartado 4.5) corresponden a un sistema ideal. Cuando se aplique la tcnica a un sistema real debern tenerse en cuenta algunas dificultades que ya fueron mencionadas en la seccin anterior:

Adquisicin correcta del modulo y fase de la onda de flujo rotrico. Actualizacin de la constante rotrica TR en tiempo real. Cancelacin de los retardos residuales asociados al Inversor PWM.

4.2 Discretizacin del modelo matemtico

Cuando un sistema, cuyo funcionamiento normal implica un flujo continuo de seales, es simulado en una computadora, su modelo matemtico necesita ser traducido del campo de las seales continuas al de las seales de evolucin discreta. Esta operacin, comn-

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mente denominada discretizacin del modelo matemtico, facilita el anlisis de la evolucin temporal y las cualidades dinmicas del sistema bajo estudio, utilizando bucles de programa cerrados que repiten los clculos en cada iteracin basndose en los valores hallados en el ciclo anterior.

Para realizar estas operaciones es conveniente que las ecuaciones del modelo sean expresadas en forma de espacio de estados [5]. La representacin de sistemas en el espacio de estados constituye una herramienta de gran utilidad para el anlisis y diseo de sistemas de control en el dominio temporal. En particular resulta de gran significacin para el tratamiento de los sistemas multivariables. Esta forma de representacin fue desarrollada para el tratamiento de modelos continuos y extendida posteriormente a los modelos discretos en razn de los requerimientos impuestos por el control digital.

Cuando se hace una modelacin en el dominio temporal discreto, las funciones temporales continuas pueden expresarse como funciones discretas donde estas toman el valor de la funcin continua en cada instante de tiempo discreto. Si el intervalo de discretizacin (denominado comnmente periodo de muestreo T0) es constante, la funcin temporal discretizada tomar el valor de la funcin continua en t = k . To para k = 0, 1, 2, ...

Este periodo de muestreo deber elegirse teniendo en cuenta el teorema de Shannon, que indica que To debe ser menor o igual que la mitad de la constante de tiempo ms pequea del sistema. Si se cumple esta condicin no se perder la informacin contenida en las seales continuas al realizar la discretizacin.

Aplicando la siguiente relacin a todas las variables del modelo matemtico del motor de induccin 3.10,

y realizando luego algunas combinaciones lineales entre sus ecuaciones, se llega al siguiente modelo matemtico discreto del motor de induccin:

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Los coeficientes de la Ecs. 4.2 son funciones de Lm, LS, LR, RS, R R y del periodo de muestreo To; sus expresiones son las siguientes:

El modelo 4.2 es el encargado de simular el comportamiento del motor de induccin; para realizar el control en coordenadas de campo (control vectorial), el modelo que se debe utilizar es el equivalente discreto del modelo 3.13. A continuacin se detallan las ecuaciones discretizadas correspondientes al equilibrio elctrico en el rotor y al equilibrio electromecnico. Las ecuaciones asociadas al equilibrio estatrico no se utilizan aqu debido a que se supuso que el inversor PWM encargado de alimentar al motor se comporta como una fuente de corriente perfecta; de acuerdo con lo expuesto en la seccin

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anterior, esta condicin basta para eliminar las dos primeras ecuaciones en el modelo 3.13.

En el programa del apartado 4.4 se incluye el modelo de un MI de 0.25 kW de potencia con rotor jaula de ardilla que posee los siguientes parmetros:

(Inductancia del arrollamiento estatrico) (Inductancia del arrollamiento rotrico) (Inductancia mutua de los arrollamientos estatrico y rotrico)

(Resistencia de estator)

(Resistencia de rotor)

(Inercia mecnica del conjunto motor-carga)

(Nmero de polos del arrollamiento estatrico)

El periodo de muestreo utilizado para discretizar las seales durante la simulacin es:

4.3 Diagrama de flujo del programa de simulacion

La Figura 4.1 esquematiza la estructura del programa utilizado para simular el comportamiento de un MI funcionando en lazo cerrado bajo Control en Coordenadas de Campo.

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Los cuadros titulados F, G, A, B y D tienen una correspondencia directa con los bloques de la Figura 3.7. Se puede observar que el comienzo del lazo se ha elegido a la salida de los sensores del motor. Las variables sensadas son cambiadas de sistema de referencia en el cuadro F y quedan expresadas en coordenadas de campo. Estos valores son utilizados para reconstruir la seal de flujo rotrico en eI cuadro G aplicando las Ecs. 3.13.c y 3.13.d tal como se detalla en la Figura 3.10 de la seccin anterior.

En el cuadro A se han agrupado los controladores de flujo,

velocidad y cupla en una forma similar a la descripta por el esquema de la Figura 3.9; slo se ha omitido el bloque que contiene la funcin de debilitamiento de campo y se ha supuesto que el motor trabaja siempre por debajo de su velocidad nominal. Es as que a la entrada del controlador de flujo se utiliza un valor de referencia constante.

En el cuadro B la corriente de referencia de estator es cambiada de coordenadas de campo a coordenadas de estator para ser alimentada por los controladores de corriente del cuadro D en el modelo matemtico del motor de induccin (cuadro MI).

El modelo matemtico del MI utilizado en esta simulacin es bifsico y no trifsico como el de la Figura 3.7; por este motivo los bloques C y E no se incluyen en el diagrama de flujo. El use de un modelo bifsico se justifica debido a que este es equivalente en todo aspecto, desde el punto de vista de la simulacin, a uno trifsico.

4.4 Programa

La simulacin fue programada en lenguaje C y ensayada en una PC 486 DLC. Los resultados obtenidos para distintas condiciones de carga y comandos de velocidad de referencia, se muestran en la Figura 4.2.

El listado del programa se puede solicitar en AADECA e incluye las rutinas de graficacin.

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4.5 Resultados de la simulacin

Se ejecut el programa mencionado en el apartado 4.4 con los siguientes parmetros:

Tiempo total de simulacin: 1 segundo Cupla de carga en el arranque: ninguna Velocidad de referencia en el arranque: Velocidad sincrnica

con la alimentacin (w,) Perturbaciones:

- a los 250 ms: Cupla de carga de 20 N - a los 400 ms: Velocidad de referencia = 150% de ws - a los 650 ms: Velocidad de referencia = -ws

El resultado de la simulacin se muestra en la Figura 4.2.

En la Figura 4.2 se observa que la componente de flujo rotrico R se mantiene constante una vez que alcanza su valor de referencia. Un detalle interesante es que el ngulo de flujo cambia de signo al invertirse el sentido de marcha del rotor.

En esta simulacin se utiliz un valor de corriente mxima de estator exageradamente grande (100 Amperes) con la intencin de distinguir con claridad la evolucin de otras variables, como el ngulo de flujo. Sin embargo, se debe tener en cuenta que un valor tan grande de is implica una distorsin de las cualidades dinmicas del motor. Si se ejecuta el programa con valores reales de corriente y carga, es posible obtener la calidad de respuesta real del MI. Por ejemplo, fijando la saturacin de i, en 10 Amperes e incluyendo una cupla de carga de 5 N, el tiempo que tarda la mquina, a partir del arranque, en alcanzar la velocidad sincrnica es algo menor a 1 segundo.

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Apndice A: Nomenclatura

Constantes:

Sistema de referencia solidario al estator. Sistema de referencia giratorio, solidario al flujo rotrico. rea de la espira en el rotor elemental (A = I . d). Inercia mecnica del conjunto motor-carga. Constante asociada a la cupla motora; es funcin de las dimensiones fsicas del rotor y del nmero de espiras de su bobinado. Inductancia de los bobinados estatrico y rotrico. Resistencia de los bobinados estatrico y rotrico. Impedancia de una espira en el rotor elemental.

Variables:

Campo magntico estatrico. Tensin inducida en una espira del rotor y su valor mximo. Fuerza magnetomotriz (Fmm) de cada fase del bobinado trifasico estatrico. Fuerza magnetomotriz Fmm estatrica resultante de la com- posicin vectorial de f1.2 y 3' Frecuencia de la corriente en el estator y en el rotor.

Vectores de corriente de estator y rotor. Vector de corriente de estator en coordenadas de campo.

Componentes ortogonales de la corriente de estator en coordenadas de estator. Componentes ortogonales de la- corriente de estator en coordenadas de campo.

Matriz de cambio de coordenadas de campo a coordenadas de estator. Deslizamiento.

Cupla motora.

Cupla de carga.

Vector de tensin de estator.

Velocidad tangencial de una espira rotrica Tensin y corriente directas en el lazo intermedio del convertidor. Velocidad angular absoluta del rotor. Velocidad angular del vector de corriente estatrica. Velocidad de deslizamiento.

Velocidad angular del vector de flujo rotrico. Flujo magntico a travs de la espira en el rotor elemental. Flujo rotrico mximo.

Vector de flujo rotrico en coordenadas de estator y su conjugado. Vector de flujo rotrico en coordenadas giratorias de campo y su conjugado. Componentes ortogonales del flujo rotrico en coordenadas de estator. Componentes ortogonales del flujo rotrico en coordenadas de campo. Coordenada angular del vector iR respecto de un sistema de referencia fijo en el estator. Coordenada angular del vector iR respecto de un sistema de referencia giratorio, solidario al rotor. Coordenada angular del vector iS respecto de un sistema de referencia fijo en el estator. Coordenada angular del vector iS respecto de un sistema de referencia giratorio, solidario al flujo rotrico. Posicin angular absoluta del rotor respecto del estator. Coordenada angular del vector R respecto de un sistema de referencia fijo en el estator. Rendimiento del motor.

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Apndice B. Bibliografa [1] Leonhard, W. (1990). "Control of Electrical Drives". Berlin, Sorinoer-Verlag,

captulos 10-11-12. [2] Hasse, K. (1969). "Zur Dynamik drezahlgeregelter Antriebe mit

stromrichtergespeisten Asynchron-Kurzschlusslaufermotoren". Diss.TH Darmstadt.

[3] Blaschke, F.(1972). "The principle of field orientation as applied to the new Transvektor closed loop control system for rotating field machines". Siemens Review.

[4] Gabriel, R. and Leonhard, W. (1982). "Microprocessor control of induction motors". IEEE Int. Semiconductor Power Conversion. Conf. IPEC Orlando, Florida, May 1982.

[5] Kuchen, Benjamin y Carelli, Ricardo (1994). "Control Digital Directo". Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional de San Juan, Argentina.

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