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Para TEMA 7
Concepto de trabajo. Potencia
Contenidos paraFísica y Química
José Manuel Pereira Cordido. Departamento de Física y Química. IES San Clemente. Santiago
José Manuel Pereira Cordido
Doctor en Ciencias
Catedrático de Bachillerato del I.E.S. San Clemente.
Santiago de Compostela
Edición 2013 © Gráficos y dibujos: José M. Pereira Cordido © Fotografías: José M. Pereira Cordido © Vídeo: José M. Pereira Cordido
© Realización, edición y diseño: José M. Pereira Cordido
Registro General de la Propiedad Intelectual. Santiago: 03/2013/695
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TEMA 7.- Trabajo.
Trabajo: Caso general de una fuerza variable
En primer lugar, aclararemos que la palabra trabajo existe en el
idioma y representa un concepto totalmente diferente del significado
que se le dá dentro de la física. En el idioma habitual empleamos la
palabra trabajo cuando alguien desarrolla una actividad de cualquier
tipo. Trabajar en la oficina....trabaja en la construcción...trabaja como
cajero
Desde el punto de vista de la Física, como veremos, en ningún
caso, dichas actividades son trabajo.
Introduzcamos el concepto de trabajo.
Sabemos que una
posible consecuencia de la
acción de las fuerzas es el de
modificar el estado de reposo
o movimiento de una cuerpo,
además de la posibilidad de
producir deformaciones.
Supongamos, tal como
se indica en la figura, que una
fuerza F actúa sobre una sola
partícula P que se puede
mover sobre la curva C. Al
cabo de un tiempo muy corto
habrá sufrido un
desplazamiento elemental
que denominaremos dx.
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W F x∂ = ⋅∂
cosW F x∂ = ⋅∂ ⋅ α
Se define al trabajo realizado como el producto escalar del
vector fuerza por el vector desplazamiento:
Como, por definición, el producto escalar de dos vectores es
un escalar obtenido de multiplicar los módulos de los vectores F y
x, por el coseno del ángulo que forman, escribiremos:
(Escribimos F entre dos barras para destacar que hablamos de
su módulo)
Por tanto, el escalar trabajo es una magnitud derivada que
tendrá las dimensiones de fuerza . longitud ( N ·m ) ya que cos es un
número adimensional. Tiene, como otras muchas magnitudes
derivadas de otras fundamentales un nombre especial; que para el
caso es el de julio (J).
Si observamos la figura, es
evidente que F cos α es,
precisamente, el valor de la
proyección de F sobre la dirección
X.
Es decir, es la
componente de la fuerza F en la
dirección x, que habitualmente se
denomina Fx .
Por eso es habitual afirmar que para calcular el trabajo realizado
por una fuerza basta multiplicar el tamaño del desplazamiento por el
módulo de la componente de la fuerza a lo largo de dicha dirección.
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W F x∂ = ⋅∂
B
AW F x∂ = ⋅∂∫ ∫
B
xAW F x= ⋅∂∫
La expresión:
mediante la cual hemos definido el trabajo, proporciona el
modo de calcular el trabajo en un desplazamiento infinitesimal.
El trabajo realizado sobre una partícula a lo largo de una
trayectoria cualquiera cuando la partícula pasa de encontrarse en un
punto A a otro B se calcularía como
En definitiva, el cáculo del trabajo de una fuerza variable
requiere realizar esta antipática operación de integrar.
Decimos antipática ya que en este nivel educativo y en este
momento del curso, no estamos en forma para llevar a cabo tan
arduo trabajo. Bueno, y para ser sinceros, en muchos casos no
sabemos realizar esta operación ya que carecemos del necesario
hábito.
Pero sí sabemos salir airosos del cálculo del trabajo en dos
situaciones especiales.
Especiales por su sencillez. Veamos
Realizaremos el cálculo del trabajo en dos situaciones
especialmente sencillas. La primera, cuando la fuerza es proporcional
al desplazamientoy, una segunda situación, más sencilla que la
anterior que es cuando la fuerza es constante a lo largo del
desplazamiento.
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Cálculo del Trabajo: Caso de una fuerza que varía linealmente (proporcional).
Existen fuerzas que aún siendo variables, su modo de variar es
muy sencillo. Varían a lo largo del desplazamiento, siendo
proporcionales al desplazamiento y manteniendo siempre la misma
dirección.
En definitiva, conservan
dirección y sentido pero su módulo
crece de forma proporcional al
desplazamiento.
Ya las hemos estudiado, son
aquellas fuerzas que siguen la Ley
de Hooke. Estas fuerzas, a pesar de
ser ya conocidas, merecen en este
apartado nuestra atención.
Sabemos que son las típicas
fuerzas que se desarrollan en las sustancias denominadas elásticas,
calificadas así porque cumplen la ley:
F = − K x
Por tanto, la función que
indica la forma en la que está
relacionada la fuerza con el
desplazamiento es una función
lineal.
El laforma que refleja la
figura de la izquierda.
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B
xAW F x= ⋅∂∫
0 0 0
x x x
xW F x Kx x K x x= ⋅∂ = ∂ = ∂∫ ∫ ∫
0 0 0
x x x
xW F x Kx x K x x= ⋅∂ = ∂ = ∂∫ ∫ ∫
0
22 122
x xK x x KW Kx= ∂ = =∫
xF K x= ⋅
212
W Kx=
En consecuencia, el cálculo del trabajo se simplifica. Tenemos
que realizar la integral:
En la que
Y la solución es fácil ya que dicha integral es inmediata, resulta:
En definitiva, el trabajo, para
este caso es :
Hemos representado a la
izquierda el significado gráfico de
dicha integral.
Es el área triangular
sombreada, cuyo valor conocemos
después de realizar una sencilla
integral inmediata.
Pero no es menos cierto que sin el procedimiento integral
hubiésemos resuelto igual el problema, ya que si sabemos el
significado gráfico de integrar equivale a calcular un área, en este caso
calcular el área de un triángulo.
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1 1(sup base altura2 2
erficie W x Kx= × = ⋅
0
B B x
A AW f x x f x altura AB
=
== ∂ = ∂ = ⋅Δ = ×∫ ∫
En definitiva, si pretendiésemos calcular el área del referido
triángulo (comprendido entre la recta y las dos coordenadas)
tendríamosque hallar el área de una superficie:
Es evidente, que si la fuerza es
constante como el el caso de la figura de
la izquierda (véase que f se representa
como una recta paralela al eje x )
nuestros conocimientos de cálculos de
áreas nos permiten predecir que el trabajo
de dicha fuerza constante será:
superficie ( W )= base · altura
que es el mismo resultado de recurrir al procedimiento de la integración:
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Trabajo: Caso de una fuerza constante.
Abordaremos ahora el caso más sencillos, es la situación
especial que se presenta cauando la fuerza es constante. Constante en
el caso de una magnitud vectorial, significa constancia en módulo,
dirección y sentido.
Vamos a hacer algunas reflexiones sobre la realización de
trabajo por parte de una fuerza aplicada a un cuerpo, tal como se
indica en la figura (omitimos, inicialmente el peso).
Supondremos que la fuerza no varía a lo largo del
desplazamiento.
Nos plantearemos pues, el
cálculo del trabajo para el caso de
una fuerza constante (no olvidar:
en módulo, dirección y sentido).
Como puede verse, la fuerza
aplicada puede ser descompuesta
en dos direcciones. Una dirección la
del posible desplazamiento, y otra
dirección perpendicular a dicho
desplazamiento.
Es evidente que la componente
(en nuestro caso) vertical de la fuerza
no realiza trabajo, pues el peso (que
ahora ya dibujamos) es mayor que la
componente vertical, e impedirá que
el cuerpo se eleve. Como
consecuencia, no habrá
desplazamiento en la dirección del
eje Y .
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. 0 0B B
comp vertial A AW F sen y F sen y F sen= ⋅ α ⋅∂ = ⋅ α ∂ = ⋅ α ⋅ =∫ ∫
. cos cos coscomp horizontal
B B
A xAW F xF x F x F x= ⋅ α ⋅∂ = ⋅ α ∂ = ⋅ α ⋅ = ⋅∫ ∫
Por tanto, el trabajo de la componente vertical, en este caso es:
Mientras que para la componente (en nuestro caso) horizontal
de la fuerza, sí realiza trabajo:
Podríamos afirmar que, en el caso que antes hemos
considerado, la fuerza aplicada tiene una componente inútil para
producir trabajo; y otra componente útil para la producción de
trabajo. En el presente caso, la componente horizontal realiza trabajo.
La componenete inútil era la vertical, ya que su valor no supera
al peso y, en consecuencia, no existe una fuerza resultante en
dirección vertical. No habrá desplazamiento en dirección Y.
No es menos cierto que, a pesar de no realizar trabajo,la
componente vertical aminora la fuerza con que el cuerpo aprieta a la
superficie, hecho que puede tener su importancia.
También puede ocurrir que dicha
componenente vertial supere la fuerza
del peso.
Esta situación, que refleja la figura
de la izquierda algo más compleja que la
anterior, haría que ambas componentes
realizasen trabajo
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Cálculo de trabajo es casos sencillos y cuando la fuerza es constante.
Cuando hemos impuesto la condición de que la fuerza es
constante, caso muy especial de la realización de trabajo, el trabajo se
define como el producto escalar de la fuerza (decimos la fuerza, ya
que es constante y única) por el desplazamiento.
Si se aplica una fuerza F sobre un cuerpo y este realiza un
desplazamiento sΔ , decimos que se realizó un trabajo W :
Como ya hemos dicho, es una magnitud escalar, dado que es
el resultado del producto escalar de dos vectores: la fuerza y el
desplazamiento. En razón de la definición de producto escalar, el
cálculo se hace:
siendo alfa el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento.
En el Sistema Internacional, la unidad es el Julio (J), trabajo que
realiza una fuerza de un Newton cuando su punto de aplicación se
desplaza un metro.
Como ya hemos visto en el apartado anterior, para evaluar el
trabajo que realiza una fuerza debemos tener en cuenta
exclusivamente la fuerza que actúa sobre el cuerpo y realiza trabajo.
Por lo que ya hemos dicho, puede haber una componente inútil
si su dirección es perpendicular al desplaza miento.
La expresión del trabajo, para el caso en la la fuerza y el desplazamiento formen un ángulo de 90ºsería:
.
Las fuerzas o componentes que actúan en dirección
perpendicular al movimiento no realizan trabajo. El trabajo, si lo
hay, correrá a cargo de la que hemos llamado componente útil de la
fuerza.
W F s= ⋅Δ
cosW F s= × Δ × α
cos cos90 0W F s F s= Δ α = Δ =
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Veamos un ejemplo:
Supongamos que mediante una grúa elevamos un objeto que,
además, cuando está suspendido de la grúa desplazamos
horizontalmente.
El objeto tiene de masa m la altura es h y el desplazamiento
horizontal d:
El trabajo total que realiza la grúa se puede descomponer en
dos trabajos parciales realizados en dos fases:
En una primera fase, la grúa eleva el objeto y para eso el cable
realiza una fuerza en la dirección del desplazamiento igual al peso
que ha de levantar, el trabajo realizado será:
En una segunda fase, la grúa desplaza el objeto
horizontalmente, el cable sigue ejerciendo la fuerza igual al peso, pero
ahora el desplazamiento es perpendicular a la fuerza por lo cual el
trabajo es nulo:
En esta segunda etapa, aunque el cable ejerce una fuerza,
no realiza trabajo porque no hay desplazamiento en la dirección de
la fuerza.
Ejemplo 2
Un cuerpo de 4 Kg de masa desciende por un plano de 2 m
longitud y 30º de inclinación bajo la acción de su propio peso.
a) Hallar el trabajo realizado por éste.
b) Comprobar que el trabajo es realizado por la componente
tangencial del peso.
cos0W mgh mgh= =
cos90 0W mgd= =
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cos cos 4 2cos60º 39,2W Fs mgl J= α = α = × 9,8× =
30º 4 30º 19,6tF mg sen sen N= = ×9,8× =
cos0º 19,6 2 1 39,2tW F l J= × × = × × =
Solución:
a) En la figura
podemos observar
que el ángulo que
forman el peso y el
desplazamiento es de
60º, por lo tanto, el
trabajo realizado por
el peso será:
b) La componente tangencial del peso es:
En sínteis, para este caso concreto:
1.-El trabajo lo realiza la fuerza que produce el desplazamiento.
2.-Es una magnitud escalar.
3.-Sólo realizan trabajo las fuerzas, o las componentes, que actúan en la dirección del desplazamiento.
4.-Las fuerzas en dirección perpendicular al movimiento no realizan trabajo
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Trabajo de ida-vuelta o trabajo neto.
Complemento de lo hasta aquí expuesto, puede ser útil para la
comprensión del concepto de trabajo, detenerse en considerar el
trabajo realizado después de haber
llevado a cabo desplazamientos de
cuerpos como los que se indican en
las figuras.
Un cuerpo se encuentra
sobre una superficie totalmente
lisa y realizamos con él un viaje de
ida-vuelta.
Primero, mediante una
fuerza F (supondremos constante)
se desplaza al cuerpo de A a B..
Luego, otra fuerza, idéntica
a la anterior pero de sentido
contrario, realiza la operación
contraria y vuelve con el cuerpo de
B a A.
El mismo ejemplo sería el que representamos debajo. Ahora, el
cuerpo se eleva primero de A a B y luego se le desciende de B a A.
Decimos que el ejemplo es idéntico ya que la única diferencia
sería la de la existencia de una superficie
de apoyo en el primer caso, pero hemos
aclarado que la superficie por ser
totalmente lisa no dificulta el
desplazamiento.
Si representamos el trabajo
realizado por la fuerza constante que
hemos aplicado en el desplazamiento de A
a B, obtenemos una gráfica como la de la
izquierda.
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Si hacemos lo mismo para el trabajo
de B a A, dado que la fuerza es de sentido
contrario, podemos obtener una figura
idéntica, sólo que por debajo del eje de
abcisas. Nótese que la fuerza ahora es -f y
por tanto el trabajo aparece representado
en la parte negativa del eje F; por tal
motivo hemos designado al trabajo de A a
B como positivo y el de regreso como
negativo.
En definitiva, al realizar la suma de
ambos trabajos, el resultado neto es que
el trabajo total es nulo.
Superponiendo los dos ejemplos, e imaginando que una fuerza
horizontal tal como F (en la primera de las figuras) desplaza el cuerpo
de A a B, luego desciende verticalmente (etapa en la que F horizontal
no realiza trabajo), luego regresa de B a A y finalmente asciende; en
definitiva, y tal como representamos en la figura pasa de 1 a 2,3,4 y
regresa a 1 el trabajo neto realizado es nulo.
Destacaremos que aunque la conclusión ha sido obtenida en un
caso particularmente sencillo, tiene aplicación general siempre y
cuando ninguna porción de trabajo se pierda.
Afirmaremos que de no existir
pérdidas, cuando sobre un cuerpo se
realice trabajo y su posición inicial y
final sean idénticas, el trabajo neto
realizado es nulo sea cual fuere el
camino seguido para ello.
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WPt
Δ=
Δ
WPt
∂=
∂
realizadomedia
empleado
WPt
=
Potencia.
En la vida cotidiana resulta muy práctico conocer la rapidez de
un trabajo. A efectos prácticos, es casi más importante saber de las
posibilidades de realizar un trabajo rápidamente que la cuantía del
trabajo en sí misma.
Por ello, la Física define un concepto muy sencillo para referirse
a tal rapidez. Le llama potencia y lo denomina potencia instantánea
como:
define pues a la potencia como el trabajo realizado por unidad
de tiempo.
Esta rapidez o velocidad con la que se realiza el trabajo es lo
que conocemos cómo potencia. La potencia es una magnitud escalar
ya que es el cociente entre dos magnitudes también escalares.
Es habitual entender que si un trabajo se realiza a lo largo de un
determinado período de tiempo, la potencia se refiere a dicho período.
Entonces, estamos hablando de una potencia media que escribiríamos
como :
Dado que ya se ha definido una unidad para el trabajo, la
potencia como unidad derivada tiene dimensiones de Js−1, pero que,
como en otras muchas ocasiones tiene un nombre específico que
recuerda a algún eminente investigador. En esta ocasión, a los Js−1 se
les denomina Watios.
Con mucha frecuencia las potencias se expresan en múltiplos de
la unidad (múltiplos del watio) por lo que debe recordarse que el
Kilowatio son 103 watios
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4 735 2940WP CV WCV
= ⋅ =
736002940 2,5 sW P t h Jh
= Δ = ⋅ = 2,6 ⋅10
7 7 1 1 7,221000 3600
Kw hJ W s Kwhw s
2,6 ⋅10 = 2,6 ⋅10 ⋅ ⋅ ⋅ =
Trabajo tiempotiempo
×
Trabajo y potencia en la vida diaria
Si bien es cierto que en la vida diaria deben emplearse las
unidades del S.I., no es menos cierto que lo habitual es expresar los
trabajos y las potencias en unidades que no mencionamos hasta aquí y
que es imprescindible conocer.
El trabajo se expresa fuera del área de la física, siempre, con las
unidades llamadas kilowatios hora. Que debe ser leído como
kilowatios por hora (por...de multiplicar). Es decir Kilowatios × hora.
Con demasiada frecuencia se entiende mal, aunque es evidente
que al multiplicar
Lo que resulta es trabajo, por tanto hablamos de una unidad de
trabajo
Para el caso de la potencia, es todavía mas frecuente expresar la
potencia en caballos. Debe saberse que los referidos caballos ( C.V.)
equivalen a 735 watios.
1 C.V. = 735 watios
Ejemplo
Un motor tiene una potencia de 4 CV. ¿Cuál es su potencia en
watios? ¿Qué trabajo realiza en dos horas y media ? Exprese el
resultado en julios y en kilovatios hora.
Solución:
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