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Para el TEMA 5. Primera parte

en román paladino

Movimiento: Conceptos

Contenidos paraFísica y Química

José Manuel Pereira Cordido. Departamento de Física y Química. IES San Clemente. Santiago

Documento parcial

José Manuel Pereira Cordido

Doctor en Ciencias

Catedrático de Bachillerato del I.E.S. San Clemente.

Santiago de Compostela

Edición 2013 © Gráficos y dibujos: José M. Pereira Cordido © Fotografías: José M. Pereira Cordido © Vídeo: José M. Pereira Cordido

© Realización, edición y diseño: José M. Pereira Cordido

Registro General de la Propiedad Intelectual. Santiago: 03/2013/695

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TEMA 5.TEMA 5.TEMA 5.TEMA 5.---- Estudio del movimiento.Estudio del movimiento.Estudio del movimiento.Estudio del movimiento.

Introducción al estudio del movimiento.

Antes de nada debemos de anticipar que todos los conceptos

relacionados con el movimiento, los plantearemos inicialmente

suponiendo que los objetos en movimiento no tienen dimensiones,

son puntuales y no cabe en ellos otro movimiento que no sea de

traslación. Los objetos sin dimensiones, cuando están en en

movimiento los denominamos genéricamente móviles.

Afirmaremos que un objeto se

encuentra en movimiento, con relación a

otro que consideramos fijo, cuando su

posición relativa cambia con relación al

primero de ellos. Hemos destacado el

hecho de que a uno de ellos le atribuimos

la condición de fijo a sabiendas de que no

lo está. Así, un árbol no modifica su

posición con relación a una casa....decimos

que no existe movimiento (o que está en

reposo con relación a ella) pero sabemos

que la casa y el árbol se mueven muy

rápidamente con relación al Sol.

Para darse cuenta de que nos

permitimos licencias de mucha cuantía,

sugerimos al alumno que calcule la velocidad con que se traslada un

esquimal en el espacio...que decimos que está quieto...

De lo dicho hasta aquí, debe deducirse la necesidad de definir

un sistema de referencia con relación al cual cada uno describe los

movimientos.

Si los sistemas de referencia no son los mismos, los

movimientos resultan distintos, tal como pretendemos evidenciar en

las figuras de la página siguiente.

tes sidentifican a forma en que se escriben coa que realmente adopta as moléculas. Predomina na memoria visual a fórmula do composto e non a forma da molécula.A modo ejemplo debúxase á esquerda a forma dun hidrocarburo moi coñecido que logo se estudará, o octano normal. A súa for

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Niveles subniveles nº subniveles e- por subnivel e- por nivel n=1 s 1 2 2 s 1 2 n=2 p 3 6 8 s 1 2 n=3 p 3 6 d 5 10 18 s 1 2 p 3 6 n=4 d 5 10 f 7 14 32

imposible que a molécula sexa plana.Un caso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser plano. En efecto, se os ángulos que forman enlácelos do carbono son duns 109 ( tal como sinálase na figura da esquerda, non é posible que a molécula sexa plana xa que o ángulo que forman os lados dun exágono regular (recordemos, a molécula ten 6 carbonos) é de 120 (. Xa que logo, e como non se pode concibir que exista tal tensión entre as valencias do carbono nun composto moi estable é preciso admitir que a forma non é plana. E así é, está demostrado que no ciclohexano e para satisfacer os ángulos de enlace do carbono, a molécula adopta dúas posibles formas non planas como as que se debuxan. Unha que se denomina de configuración en bañeira e outra chamada cadeira que sitúan aos átomos do carbono en planos diferentes. Todo o anterior é evidente e non precisa máis explicación, pero como sempre que se debuxa ao benceno debúxase nun plano, permanece a idea plana sobre a forma real da molécula que, non nos cansaremos de afirmar, non cinciden.Pero debemos de recoñecer que o noso pecado en diante será o mesmo que o doutros, xa que escribiremos aos compostos sobre un papel, plano, e só sacaremos a relucir a forma no espazo á hora de destacar que a representación plana non é No entanto, como nunca se escriben os compostos na forma que realmente teñen, os principiantes sidentifican a forma en que se escriben coa que realmente adopta as moléculas. Predomina na memoria visual a fórmula do composto e non a forma da molécula.A modo ejemplo debúxase á esquerda a forma dun hidrocarburo moi coñecido que logo se estudará, o octano normal. A súa forma é a dunha liña crebada (con tres dimensións) non plana; pero que se escribe habitualmente cunha estrutura lineal, tan perfectamente xeométrica que tras repetir e repetir a fórmula termina por idenfificarse a fórmula coa forma.E ambas as cousas, como pode verse na figura da esquerda, non coinciden.A todo o longo da química dos compostos orgánicos mantense a tendencia de ecipsar, sen querer este importante aspecto. Así, cando se escriben, e ata se debuxan, algúns compostos cíclicos contribúese a memorizar a súa forma plana cando é imposible que a molécula sexa plana.Un caso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser plano. En efecto, se os ángulos que forman enlácelos do carbono son duns 109 ( tal como sinálase na figura da esquerda, non é posible que a molécula sexa plana xa que o ángulo que forman os lados dun exágono regular (recordemos, a molécula ten 6 carbonos) é de 120 (. Xa que logo, e como non se pode concibir queso moi coñecido é o dun composto cíclico que contien dobres enlaces coñecido co nome de benceno.Este hidrocarburo cunha cadea cíclica de seis átomos, é evidente que non pode ser está

JMPereiraCordido. Catedrático de Física y Química. IES San Clemente 1

Pero lo más

importante no es que los

movimientos parezcan ser

diferentes, lo trascendente

es que dos observadores

que utilicen sistemas de

referencia distintos, si

realizan mediciones de un

mismo movimiento desde

sistemas de referencia

distintos, llegan a

diferentes conclusiones.

Conclusiones que

son ciertamente

sorprendentes, y que

algunas veces no resultan

fáciles de conciliar ni de

entender .

Por todo ello, surge la necesidad de establecer un sistema de

referencia que nos permita conocer y expresar matemáticamente la

posición de un punto en el espacio.

Cualquier sistema de referencia va ligado a un punto, que se

toma como origen, y a tres

direcciones que representan

las dimensiones del espacio.

La representación

matemática más conocida de

un sistema de referencia se

basa en los ejes cartesianos.

La posición de un

punto se expresa por sus

coordenadas (x, y, z) que son

las medidas obtenidas al

proyectar el punto sobre

cada uno de los ejes.


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Sistemas de referencia.

Como es evidente, se pueden establecer infinitos sistemas de

referencia. La posición de un punto y, por lo tanto, el movimiento

siempre serán relativos al sistema de referencia elegido.

Un sistema de referencia puede moverse con respecto a otro.

Si su velocidad es constante (no existe aceleración ) decimos que se trata de un sistema de referencia in ercial en el caso contrario el sistema es no inercial.

Nuestro observador de las figuras precedentes, que situábamos

sobre la tierra, en saturno y en la luna, si pretende conocer el

movimiento del avión, debe de saber que tiene sus pies sobre sistemas

que realizan un movimiento acelerado aunque él puede no darse

cuenta. En efecto, cualquiera de los tres puntos desde donde

pretende conocer la posición del avión realizan movimientos no

lineales, movimientos en trayectorias curvas (órbitas) que (como

veremos más adelante) son siempre, inexorablemente, acelerados.

Nuestro observador, en los tres supuestos en que lo hemos

colocado, está situado sobre sistemas no inerciales.

Cuando establecemos un sistema de referencia, para no

complicar innecesariamente el problema, supondremos que es un

sistema de referencia inercial, es decir, un sistema en que el origen

de coordenadas está fijo o se mueve con movimiento rectilíneo y

uniforme. Esta condición excluye, insistimos, que el origen de

coordenadas está fijo sobre algo que está describiendo órbitas.

Otro sistema de coordenadas .

Hasta ahora empleábamos para hablar de la posición de un

punto unos ejes X, Y, Z. Referíamos tanto su posición como su

movimiento mediante unas coordenadas (x1, y1, y z1 ). Este

procedimiento es bien conocido por el alumno.

Pero para conocer como cambia la posición de un móvil, no es


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el único ni el mejor procedimiento, por ello, a partir de ahora,

emplearemos un método más sencillo.

Elegiremos sólo un punto de referencia (O) que tomaremos

como origen del movimiento y que, ya hemos dicho, para no complicar

el estudio del movimiento supondremos que está situado en un

sistema inercial.

.Llamaremos vector de

posición a aquel vector que con

origen en el punto O y su

extremo en el punto A que ocupa

el móvil (r).

En la figura también hemos

“pintado” las “antiguas”

coordenadas x e y que, desde

ahora, dejaremos de utilizar.

Si existe cambio de

posición dibujaremos otro vector

(r’) de posición. A la diferencia

de ambos vectores le

llamaremos vector

desplazamiento.

Conoceremos del cambio

de posición a través del vector de

posición del móvil mediante dicho vector desplazamiento que como

se puede ver en la figura, nada tiene que ver con la longitud del

camino recorrido al pasar la posición del móvil de A a B. Sobre dicho

recorrido nada sabemos (antes a ese recorrido le llamábamos

trayectoria) y por ésa razón no lo dibujamos.

Entre otras diferencias fundamentales con el procedimiento que

en cursos aneriores el alumno ha empleado, destacamos que antes, el

cambio de posición lo establecíamos como resultado del

conociumiento de la longitud de un camino recorrido, que era un

escalar.

Empleando el nuevo procedimiento en el que ahora nos

iniciamos, el cambio de posición (desplazamiento de A-B ) es el

resultado de restar dos vectores ( r y r’). Consecuencia de dicha

resta de dos vectores, naturalmente obtenemos un vector.


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( ) ( ) ( )0 0 0r x x i y y j z z k∆ = − + − + −��

i j k��

ɺɺɺ

Aspectos matemáticos:

Si conocemos las coordenadas del punto (x, y, z), el vector de

posición viene dado por la expresión:

r xi yj zk= + +��

Donde los vectores unitarios correspondientes a cada uno de

los ejes X,Y y Z

son :

Z k j Y i X

Cuando un punto se mueve desde una posición r0 hasta otra r

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lleva a cabo un cambio en su posición que podemos representar por

un vector que va desde la posición inicial del móvil hasta la posición

final y que matemáticamente expresamos por el vector desplazamento

que es la diferencia entre los vectores de posición.Expresado en

función de sus componentes toma la forma:.

Z ∆r r0 r Y


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Vector desplazamiento y trayectoria.

Aunque ya hemos expresado que nada tiene que ver,

insistiremos sobre este aspecto.

Al camino recorrido por el móvil. le llamaremos ∆s.

Recordemos que el desplazamiento es un vector el módulo del

cual coincide con la longitud de la línea recta que une los puntos

inicial y final del movimiento, mientras que la trayectoria es una

magnitud escalar y su longitud es la de la propia línea, que puede

ser curva o recta, dependiendo del recorrido realizado.

De aquí podemos deducir que la longitud de la trayectoria es

siempre mayor que la del desplazamiento salvo cuando el movimiento

es a lo largo de una trayectoria recta, en cuyo caso coinciden.

Z ∆r r0 ∆s r Y X Diferencia entre trayectoria ( ∆s ) y desplazamiento ( ∆r )


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Concepto de velocidad. Concepto de velocidad. Concepto de velocidad. Concepto de velocidad.

Existe un conocido concepto de rapidez, que nace al comparar

la longitud de la trayectoria recorrida y el tiempo invertido en

recorrerla, es un concepto escalar que se llama celeridad. Pero en

Física, cuando se habla de velocidad, se habla de un concepto

vinculado al vector desplazamiento.

Por éso, a partir de ahora, siempre utilizaremos el vector

desplazamiento para referirnos al cambio de posición de un móvil.

Si nos interesase conocer la rapidez con que ocurre ese cambio

de posición podremos definir un concepto de velocidad en función

del cambio que experimentó el

vector desplazamiento.

Definiremos al vector

velocidad como un cociente entre la

diferencia entre los dos vectores de

posición (∆ r) y el intervalo de

tiempo en el que ha tenido lugar el

cambio de posición.

como r’- r es un vector, su

diferencia también lo será, y como

en el denominador figura un

intervalo de tiempo, es decir, un

escalar, su cociente (el resultado de

dividir un vector por un escalar) será un vector.

Por tanto, la velocidad así definida, resulta ser una

magnitud vectorial.

Es evidente que, de acuerdo con este modo de definir la

velocidad, puedo definir tantas velocidades como se me antoje, en

función del intervalo de tiempo que haya elegido y hablar de una

velocidad para cada intervalo de tiempo.

´

´

r r rv

t t t

− ∆= =− ∆

� � ��


1




Si lo hiciésemos para un intervalo infinitamente pequeño

definiríamos la velocidad instantánea.

La velocidad instantánea...

En efecto, si imaginamos que el cambio del vector

desplazamiento es fruto de que los puntos A y B están tan próximos

como yo quiera imaginar (diré infinitamente próximos) requerirá para

tal cambio de posición intervalos de tiempo muy, muy, pequeños.

Los cambios en los vectores deplazamientos les llamaré ∆ v, y a

los intervalos de tiempo necesarios para dichos cambios ∆ t .

Si el intervalo de tiempo llega a ser tan pequeño como quiera

imaginar, lo que puedo llamar un instante ( y escribo ∆t → 0 ) definiré

la velocidad en un instante .

Escribiré:

Advertir que por el

hecho de que la velocidad

instantánea proceda del

cociente de dos incrementos,

su valor no tiene porque ser

pequeño.,

Es evidente que su valor

puede ser grande o pequeño

según la relación

numerador/denominador.

Los matemáticos denominan a la expresión:

como derivada de r respecto de la variable t

y acostumbran a escribir:

Es una operación que consiste en ............¿ lo sabe?

tanτ 0

limins tánea

rv

t∆ →

∆=∆

��

τ 0lim

r dr

t dt∆ →

∆ =∆

� �

τ 0lim

r

t∆ →

∆∆

�

dr

dt

�


1




dx dy dzv i j k

dt dt dt= + +

��

x y zv v i v j v k= + +��

0limt

rV

t∆ →

∆=∆

��

AmpliaciónAmpliaciónAmpliaciónAmpliación. Ejemplo. Ejemplo. Ejemplo. Ejemplo práctico práctico práctico práctico....

Introducción matemática para la resolución del prob lema.

En nuestra materia, cuando a comienzo del curso se abordan

estos conceptos, nos encontramos con que el alumno todavía no

dispone de determinados conceptos matemáticos que, algunas veces

necesitamos emplear.

Concretamente, deconoce la operación de derivar…y dado que

no encierra demasiado misterio conocer la forma en que se llevan a

cabo estas operaciones…añadiremos cuanto sigue:

Decíamos que:

Expresión que representa la derivada del vector de posición

con respeto al tiempo y se expresa:

Si el vector r estuviese expresado en función de sus

componentes, la expresión tomaría la forma

O más resumidamente como:

Para nuestro propósito, es decir para saber como se deriva

en casos muy sencillos, sólo necesitamos unas normas elementales

En esencia, serían éstas:

Ante todo debemos de saber que:

dr

dt

�


1




( ) 1n nda t n at

dt−=

1 02 3 1 5 0 6 5dx

t t tdt

= × + × − = +

La derivada de una función es otra función que se o btiene aplicando unas reglas sencillas.

Concretamente vamos a obtener la derivada de una función

polinómica que tenga el tiempo (t) como variable independiente.

� La derivada de una suma de monomios, es la suma de

las derivadas de éstos.

� La derivada de una constante es cero

� Y, que la derivada de una función del tipo atn es:

Veamos prácticamente como se hace:

Vamos a obtener la derivada con respeto al tiempo de la

función:

y = 3t 2 + 5t −3

La solución , según las reglas anteriores será:

o Veamos un ejemplo práctico:Veamos un ejemplo práctico:Veamos un ejemplo práctico:Veamos un ejemplo práctico:

1.- Las coordenadas de un punto que se mueve en el plano X-Y

vienen dadas por x =5 t; y =3 t2+ 2 en unidades del S.I. Hallar:

a) El vector de posición.

b)El vector velocidad.

c)El módulo de la velocidad


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2 2 225 36x yv v v t= + = +�

( )25 3 2v x i y j ti t j= + = + +� � � ��

25 (3 2) 5 6dr d

v ti t j i tjdt dt

= = + + = +

��

8 3dx

v tdt

= = −�

Solución:

a)

b)

c)

o Veamos otro ejemplo práctico:Veamos otro ejemplo práctico:Veamos otro ejemplo práctico:Veamos otro ejemplo práctico:

2.- La posición de un punto material que se mueve en el eje X

viene dada, en función del tiempo, por la ecuación

x =4 t 2+5 − 3t en unidades del sistema S.I.

Calcular:

a) La expresión de la velocidad en función del tiempo.

b) El módulo de la velocidad a los 4 segundos de iniciarse el

movimiento.

c) El desplazamiento realizado durante estos 4 segundos.

Solución:

a) Sabemos que v es la derivada de s con respeto al tiempo:

b) Sustituimos t =4 en la ecuación de la velocidad :

v =8 4 - 3 =29 ms-1

c) Calculamos la posición del punto para t =0 s y para t =4 s. La

diferencia entre la posición final e inicial nos dará el desplazamiento.

X0 = 5 m; X 4 = 4 ×42 - 3×4 + 5 = 57

∆X = X4- X0 = 57 - 5 = 52 m


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Concepto de aceleración. Concepto de aceleración. Concepto de aceleración. Concepto de aceleración.

Dejemos bien sentado el hecho de que la velocidad, para la

Física, es un vector. Y lo es, porque para definir a la velocidad lo

hicimos como resultado de un cociente entre un vector y un escalar.

Consecuencia de su carácter vectorial (inherente a su definición)

es que la velocidad se altera, es decir, cambia, cuando el vector

modifica su módulo, dirección o

sentido.

Dicho al revés..., para

conservar su valor deben deben

permanecer invariables,

necesariamente, su módulo,

dirección y sentido.

Por tanto, para que la

velocidad no cambie de dirección

y sentido, el móvil debe realizar

una trayectoria recta.

Recuérdese que la

velocidad fue obtenida en los

ejemplos precedentes derivando

una ecuación. El significado para

los matemáticos el de encontrar

la ecuación de la tangente. En

consecuencia, la velocidad es

tangente a la trayectoria y la

única forma de que no cambie la dirección de una tangente es que la

curva.....no sea curva, sea recta.

En consecuencia, para que un movimiento pueda tener la

velocidad constante, antes de nada, tiene que ser rectilíneo.

No existen movimientos con trayectorias curvas y ve locidad constante.

Hemos dibujado en la figura un caso general. El móvil tiene una

velocidad en A y otra en B.


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va

t

∆=∆

��

La velocidad en B

es diferente porque es

diferente la dirección y el

tamaño (módulo del

vector). ¿Cuánto ha

cambiado la velocidad?

Para conocer el cambio en

las velocidades, hay que

restarlas y obtener el

vector diferencia v’- v..

Dicha resta la

hacemos en la parte

inferior de la figura al

restar dos vectores de

distinta dirección y

módulo.

Pero para dejar

constancia de que

siempre hay cambio en

la velocidad si la

trayectoria es curva,

también hemos restado

dos vectores velocidad de

distinta dirección y mismo módulo.

Como puede verse, también hay un vector diferencia v’-v ,

que no es nulo a pesar de que el tamaño de las dos velocidades es

el mismo

Si nos interesase conocer la rapidez con que ocurre ese cambio

de velocidad podremos definir un nuevo concepto llamado aceleración

en función del cambio que experimentó el vector velocidad

Definiremos al vector aceleración


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0limt

va

t∆ →

∆=∆

��

Como v’’- v es un vector, su diferencia también lo es.

La aceleración así definida es, por la forma de definirse, una

magnitud vectorial.

Es evidente que, de acuerdo con ésto, puedo definir tantas

aceleraciones como se me antoje y hablar de una aceleración para cada

intervalo de tiempo.

Si lo hiciésemos para un intervalo infinitamente pequeño,

definiríamos...lo que llamamos la aceleración instantánea.

La aceleración instantánea.

Imaginemos que el cambio de velocidad se refiere a dos

instantes: Cuando el móvil pasa por A, y luego por B. Supondremos,

inicialmente, que ambos vectores velocidad son iguales en sus

módulos.

Al realizar la resta -véase la

figura- el vector ∆ v resulta que se

origina un vector...que es el

cambio que experimentó la

velocidad en un tiempo tan

pequeño como yo quiera imaginar .

Los cambios en los vectores

velocidad los llamaré ∆ v, y a los

intervalos de tiempo necesarios

para dichos cambios ∆ t .

Si el intervalo de tiempo

llega a ser tan pequeño como lo

que puedo llamar un instante,

definiré la aceleración en un

instante como:


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Advertir que por el hecho de que la

aceleración instantánea proceda del cociente

de dos incrementos, su valor no tiene porque

ser pequeño., Puede ser grande o pequeño

según la relación numerador/denominador.

Los matemáticos denominan a dicha

expresión como :

Destacamos que, cuando la resta procede de dos

vectores v’ y v diferentes, pero iguales en módulo, el vector

diferencia está orientado hacia el centro.

Puede hacerse un riguroso razonamiento matemático para

demostrar que esto ocurre así, pero dado el nivel de este curso, lo

omitiremos.

En todo caso,

intuitivamente, este

hecho se deduce de la

figura.

La aceleración,

por estar dirigida

hacia el centro, se

denomina centrípeta.

Hemos

supuesto que los dos

vectores eran

iguales en módulo.

Pero ahora

supongamos que,

además de ser de

diferente la

dirección, un vector

es mayor que otro. .

Ello quiere

decir que difieren en

módulo y dirección.

dv

dt

�


1




Fíjese el lector en la parte superior de la figura.

Puede verse que ahora el vector diferencia ∆ v ya no está

dirigido hacia el centro. Como v2 es mayor en tamaño que v1, el


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vector diferencia aparece oblicuo en la figura, diríamos mejor: ya no

está dirigido hacia el centro de la trayectoria.

Así las cosas, se nos antoja descomponer en este segundo caso

al vector ∆ v en dos componentes.

Elijamos una dirección normal a la trayectoria y otra, la dirección

tangencial a la trayectoria tal como se dibuja en la figura.

La componente an surge, igual que había ocurrido antes, como

consecuencia de que el vector

velocidad había cambiado de

dirección.

Mientras que a la otra

componente at surge, en este

segundo caso, en razón de

que, la velocidad ha cambiado

también de módulo. Recuerde

que en el primer caso esta

componente no existía

A estas componentes se

les denomina componente

intrínsecas del vector aceleración.

� La componente normal existe siempre en cualquier movimiento con trayectoria curva y módulo de velocidad constante. Pues aunque no quisiéramos, como la trayectoria no es recta, ha cambiado la dirección del vector velocidad.

� La componente tangencial surge en los movimientos de trayectoria curva en los que la velocidad, además modifica el módulo.


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