contenido - ozono centro de estudios€¦ · paracomprendermejor la solu- ción obtenida conviene...

Contenido

5 Números reales y complejos 35.1 Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.1.1 R es un cuerpo conmutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.1.2 R está totalmente ordenado. Intervalos . . . . . . . . . . 65.1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1.4 Resolución de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.1.5 El axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.1.6 Números naturales. Principio de inducción . . . . . . . . 165.1.7 Números enteros, racionales e irracionales . . . . . . . . . 18

5.2 Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Límite y continuidad de funciones reales 296.1 Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Límite de una función. Funciones divergentes. Infinitésimos . . . 346.3 Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4 Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4.1 Función exponencial de base a . . . . . . . . . . . . . . . 406.4.2 Función logarítmica de base a . . . . . . . . . . . . . . . . 416.4.3 Función potencia de exponente b . . . . . . . . . . . . . . 426.4.4 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.5 Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.6 Funciones continuas definidas en intervalos . . . . . . . . . . . . 516.7 Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 Derivabilidad de funciones reales 577.1 Derivabilidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Operaciones con funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . 627.3 Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.5 El Teorema de Taylor. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . 747.6 Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.7 Representación gráfica de funciones reales de variable real . . . . 827.8 Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1

2 CONTENIDO

8 Integrabilidad de funciones reales 898.1 Concepto de función integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.2 El teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow . . . . . 938.3 Dos métodos de integración fundamentales . . . . . . . . . . . . . 968.4 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.5 Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.6 Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Tema 5

Números reales y complejos

El segundo bloque de la asignatura está dedicado al cálculo diferencial e integralpara funciones reales de variable real. En primer lugar debemos familiarizarnoscon las propiedades y estructura de los números reales, lo que constituye elobjetivo fundamental de este primer tema. Haremos además un estudio análogodel cuerpo de los números complejos.

A lo largo de vuestras anteriores etapas educativas habéis adquirido cier-tas habilidades aritméticas operando con los elementos de diversos conjuntosnuméricos:

1. El conjunto {1, 2, 3, . . . } de los números naturales que representamospor N.

2. El conjunto {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . } de los números enteros querepresentamos por Z. Este conjunto contiene a los naturales, al cero y alos opuestos de los naturales (Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N}). Así pues,todo número natural es también un número entero, esto es, N ⊂ Z. Lainclusión es estricta pues evidentemente existen números enteros que noson naturales.

3. El conjunto { pn : p ∈ Z, n ∈ N} de los números racionales que re-

presentamos por Q. Se trata como puede apreciarse de los números queadmiten una representación como cociente de enteros. La expresión deci-mal de estos números es finita o periódica. Puesto que todo número enterop se puede escribir de la forma p

1 , los números enteros son en particularracionales (Z ⊂ Q). Por otra parte, existen números racionales que no sonenteros. Tal es el caso, por ejemplo, de los números 0.5 = 1

2 , 1.1̂2 = 11199 o

2.73̂ = 4115 . Las inclusiones N ⊂ Z ⊂ Q son todas estrictas.

4. También conoces otros números, como√

2 = 1.4142 . . . o π = 3.1415927 . . . ,que no pertenecen a ninguno de los conjuntos anteriores. De hecho nopueden representarse en la forma p

n (con p entero y n natural) y por tanto

3

4 Tema 5. Números reales y complejos

su expresión decimal no es finita ni periódica. A este tipo de números seles llama irracionales y constituyen el conjunto R\Q.

5. Los números racionales junto con los irracionales integran el conjunto Rde los números reales. Por tanto,

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R y R\Q ⊂ R

6. Para determinados propósitos el conjunto R de lo números reales es in-suficiente (se nos queda “pequeño”). Sin ir más lejos, una ecuación deaspecto tan sencillo como x2 + 1 = 0 no admite solución en el conjuntode los números reales. Se hace necesaria la introducción de otro conjuntonumérico que resuelva este tipo de situaciones. Directamente vinculado ala ecuación precedente se considera un número (que no puede ser real), de-notado por i y denominado unidad imaginaria tal que i2 = −1. Las ope-raciones de R se extienden fácilmente al conjuntoC = {a+bi : a, b ∈ R}. Elresultado es un cuerpo cuyos elementos se conocen como números com-plejos. Como pueden identificarse con los pares ordenados de númerosreales, los números complejos admiten una representación geométrica en elplano cartesiano. Cada número real a puede verse como el complejo a+0iy en consecuencia el conjunto R de los números reales está contenido enel conjunto C de los números complejos (R ⊂ C). En el plano cartesianolos números reales son los pares de la forma (a, 0), situados en el eje deabscisas.

Observación 5.1 En relación con la exposición precedente puedes consultarlos puntos 1.1 y 1.2 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J.Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

5.1 Los números reales

A continuación introduciremos el conjunto de los números reales y repasaremossus propiedades fundamentales a la vez que presentamos sus más importantessubconjuntos.

5.1. Los números reales 5

5.1.1 R es un cuerpo conmutativo

El conjunto de los números reales, con las operaciones suma y producto, tieneestructura de cuerpo conmutativo, es decir, si a, b, y c son números realescualesquiera se cumplen las propiedades siguientes:

1. Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc).

2. Conmutatividad: a + b = b + a y ab = ba.

3. Existe un elemento neutro para la suma y un elemento neutropara el producto (necesariamente únicos) que son distintos y se denotanrespectivamente por 0 y 1

a + 0 = a y a · 1 = a.

4. Existe un número real (forzosamente único) denotado por −a y llamadoopuesto de a tal que a + (−a) = 0.

5. Si a = 0, existe un número real (necesariamente único), denotado por a−1

o 1a y llamado inverso de a tal que aa−1 = 1 (a 1a = 1).

6. Distributividad del producto respecto de la suma:

a(b + c) = ab + ac.

Como consecuencia se cumplen también las siguientes propiedades:

Proposición 5.2 Sean a, b, c, d ∈ R.

i) a + c = b + c⇒ a = b.

ii) c = 0, ac = bc⇒ a = b.

iii) a0 = 0 (por tanto, el cero no tiene inverso).

iv) −(−a) = a y, si a = 0, (a−1)−1 = a.

v) (−1)a = −a.

vi) (−a)b = a(−b) = −(ab).

vii) (−a) + (−b) = −(a + b).

viii) Supongamos a = 0 y b = 0. Entonces a−1b−1 = (ab)−1.

ix) (−a)(−b) = ab.

x) Supongamos a = 0. Entonces (−a)−1 = −a−1.

xi) ab = 0⇒ a = 0 o b = 0.

xii) Supongamos b = 0 y d = 0. Entonces ab + c

d = ad+bcbd y a

bcd = ac

bd .

Observación 5.3 Para poner en práctica todas estas propiedades puedes con-sultar el punto 1.3 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J.Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.


5.1.2 R está totalmente ordenado. Intervalos

Existe una relación binaria en R que se denota por ≤ y cumple las siguientespropiedades:

1. Reflexividad: a ≤ a, ∀a ∈ R.

2. Antisimetría: a, b ∈ R, a ≤ b, b ≤ a⇒ a = b.

3. Transitividad: a, b, c ∈ R, a ≤ b, b ≤ c⇒ a ≤ c.

Por tanto ≤ es una relación de orden y además

1. es total: dados a, b ∈ R se verifica que a ≤ b o b ≤ a.

2. es compatible con la suma: dados a, b, c ∈ R,

a ≤ b⇒ a + c ≤ b + c

3. es compatible con el producto: dados a, b, c ∈ R,

a ≤ b, 0 ≤ c⇒ ac ≤ bc.

Para simplificar la escritura, es conveniente introducir algunas notacionesque utilizaremos frecuentemente:

R+ = {a ∈ R : a > 0} , R+0 = {a ∈ R : a ≥ 0} , R−0 = {a ∈ R : a ≤ 0},

R− = {a ∈ R : a < 0} , R∗ = {a ∈ R : a = 0}.Consideramos ahora ciertos subconjuntos de R, directamente vinculados a

la relación de orden, que desempeñarán un importante papel en el transcursode la asignatura.

Definición 5.4 Dados dos números reales a y b, con a ≤ b, notaremos

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (intervalo cerrado)

Por ejemplo, gráficamente, el intervalo [−2, 3] es

Si a < b, pondremos además

]a, b[= {x ∈ R : a < x < b} = (a, b) (intervalo abierto)

El intervalo ]− 2, 3[ es


]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} = (a, b] (intervalo semiabierto por la izquierda)

El intervalo ]− 2, 3] es

[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b} = [a, b) (intervalo semiabierto por la derecha)

El intervalo [−2, 3[ es

En todos los casos anteriores se dice que los intervalos son de origen a y extremob. Finalmente, para cada número real a, emplearemos la notación que sigue

]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} = (−∞, a] (semirrecta cerrada de extremo a)

[a,+∞[= {x ∈ R : x ≥ a} = [a,+∞) (semirrecta cerrada de origen a)

]−∞, a[= {x ∈ R : x < a} = (−∞, a) (semirrecta abierta de extremo a)

]a,+∞[= {x ∈ R : x > a} = (a,+∞) (semirrecta abierta de origen a)

Por ejemplo, para a = 1:

]−∞, 1] [1,+∞[

]−∞, 1[ ]1,+∞[

Siguiendo con esta notación, el conjunto de los números reales se puede escribircomo R =] − ∞,+∞[= (−∞,+∞). Un subconjunto I de R se dice que esun intervalo si coincide con uno cualquiera de los conjuntos recién definidos(intervalo cerrado, abierto, semiabierto, semirrecta o recta real).

Los intervalos pueden caracterizarse como sigue:

Proposición 5.5 Un subconjunto I de R es un intervalo si, y sólo si, dadosa, b ∈ I, tales que a < b, se tiene que [a, b] ⊂ I.

Por ser R un cuerpo ordenado conmutativo se cumplen automáticamente lassiguientes afirmaciones:

Proposición 5.6 Sean a, b, c, d ∈ R. Entonces

i) a ≤ b⇔−b ≤ −a.


ii) a ≤ b, b < c⇒ a < c.

iii) a < b, b ≤ c⇒ a < c.

iv) a < b, c ≤ d⇒ a + c < b + d.

v) a ≤ b, c ≤ 0⇒ bc ≤ ac.

vi) a < b, c > 0⇒ ac < bc.

vii) a = 0⇒ aa > 0.

viii) 0 < 1 < 1 + 1.

ix) a > 0⇔ a−1 > 0.

x) 0 < a < b⇒ 0 < b−1 < a−1.

xi) 0 < a < b, 0 < c < d⇒ ac < bd.

Observación 5.7 Para poner en práctica el orden y los intervalos puedes con-sultar los puntos 1.4 y 1.5 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos(E. J. Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

5.1.3 Valor absoluto

Definición 5.8 Dado a ∈ R, el número real |a| dado por

|a| ={

a si a ≥ 0−a si a < 0

,

recibe el nombre de valor absoluto de a.

El valor absoluto de a se puede interpretar como la distancia de a a cero.Así, por ejemplo, la distancia de −8 a cero es 8 y la distancia de 5 a cero es 5.Gráficamente:

El siguiente resultado establece algunas propiedades básicas del valor abso-luto:

Proposición 5.9 Sean a y b números reales. Entonces

i) |a| ≥ 0.

ii) |a| = 0⇔ a = 0.

iii) a ≤ |a|.

iv) |a| = | − a|.


v) |ab| = |a| |b|.

vi) Supuesto b = 0, |ab | =|a||b| .

vii) |a| ≤ b⇔−b ≤ a ≤ b.

viii) |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdad triangular)

ix) | |a| − |b| | ≤ |a− b| (desigualdad triangular inversa)

Definición 5.10 La distancia entre dos números reales a y b viene dada comosigue

d(a, b) = |a− b|

Evidentemente,

1. d(a, b) = |a− b| ≥ 0 y d(a, b) = 0 si, y sólo si, a = b.

2. d(a, b) = |a− b| = | − (a− b)| = |b− a| = d(b, a)

3. d(a, c) = |a− c| = |a− b + b− c| ≤ |a− b|+ |b− c| = d(a, b) + d(b, c)

Observación 5.11 Para poner en práctica el valor absoluto y sus propiedadespuedes consultar el punto 1.6 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos(E. J. Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

5.1.4 Resolución de inecuaciones

En este apartado analizaremos distintos tipos de inecuaciones.

Inecuaciones de primer grado

Dados a, b ∈ R, con a = 0, una inecuación de primer grado con unaincógnita x, es aquella que puede expresarse como

ax + b > 0 ax + b < 0ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0

Si analizamos, por ejemplo, el caso ax + b ≥ 0, se tiene que ax ≥ −b. Si a espositivo, el conjunto de soluciones es

{x ∈ R : x ≥ − b

a} = [− b

a,+∞[

Si a es negativo, la desigualdad cambia, de manera que el conjunto de solucioneses

{x ∈ R : x ≤ − b

a} =]−∞,− b

a]

Lo que hemos hecho ha sido despejar la incógnita x teniendo presente que cuandomultiplicamos una inecuación por un número real negativo la desigualdad cam-bia de sentido. En los otros tres casos se procede de forma análoga.


Alternativamente, en los cuatro tipos de inecuaciones, se puede considerarla ecuación ax + b = 0, resolverla y posicionar la raíz obtenida en la recta real,quedando ésta dividida en dos semirrectas. Escogemos un número real de cadasemirrecta y evaluamos en la inecuación. Lo que ocurra con el representanteelegido es válido para todos los puntos de la correspondiente semirrecta.

Para resolver geométricamente la inecuación ax+b > 0 (y lo mismo haríamosen los restantes casos) obtenemos los valores de x para los que la recta y = ax+bestá por encima (de forma estricta) de la recta y = 0, es decir, por encima deleje X. Por ejemplo, en el caso de la inecuación −2x + 3 > 0

Observación 5.12 Para poner en práctica las inecuaciones de primer gradopuedes consultar el punto 1.7 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos(E. J. Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

Inecuaciones de segundo grado

Dados a, b, c ∈ R, con a = 0, una inecuación de segundo grado con unaincógnita x, es aquella que puede expresarse como

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c ≤ 0

En cualquiera de los cuatro casos anteriores, resolvemos la ecuación

ax2 + bx + c = 0.


Geométricamente, si a > 0:

Si a < 0:

Si analizamos, por ejemplo, el caso ax2 + bx + c ≤ 0, según sea el signo deb2 − 4ac, vamos a distinguir tres situaciones. Para comprender mejor la solu-ción obtenida conviene observar los dos gráficos anteriores, posicionándose enla parábola correspondiente, según el signo de a y el número de raíces de laecuación:

1. La ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene dos raíces reales x1 y x2 (podemossuponer que x1 < x2).

• Si a > 0, las ramas de la parábola van hacia arriba, de manera queel conjunto de soluciones de la inecuación ax2 + bx + c ≤ 0 será elintervalo [x1, x2].

• Si a < 0, las ramas de la parábola van hacia abajo, de manera que elconjunto de soluciones será ]−∞, x1] ∪ [x2,+∞[.

2. La ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene una raíz real (doble) x1 = − b2a .


• Si a > 0, las ramas de la parábola van hacia arriba, de manera que laúnica solución de la inecuación ax2+bx+c ≤ 0 es el punto x1 = − b

2a .

• Si a < 0, las ramas de la parábola van hacia abajo, de manera que elconjunto de soluciones de la inecuación ax2 + bx + c ≤ 0 es todo R.

3. La ecuación ax2 + bx + c = 0 no tiene raíces reales.

• Si a > 0, las ramas de la parábola van hacia arriba, de manera queel conjunto de soluciones es vacío.

• Si a < 0, las ramas de la parábola van hacia abajo, de modo que elconjunto de soluciones de la inecuación ax2 + bx + c ≤ 0 es todo R.

En los casos ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx+ c < 0 y ax2 + bx + c ≥ 0 se puedehacer un estudio análogo.

Si se prefiere, en los cuatro tipos de inecuaciones, cabe considerar la ecuaciónax2+ bx+ c = 0, resolverla y posicionar las posibles raíces (dos, una o ninguna)en la recta real, quedando ésta dividida en tres, dos o un solo intervalo, res-pectivamente. Escogemos un número real de cada intervalo y evaluamos en lainecuación. Lo que ocurra con el representante elegido es válido para todos lospuntos del correspondiente intervalo.

Observación 5.13 Para poner en práctica las inecuaciones de segundo gradopuedes consultar el punto 1.7 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos(E. J. Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

Inecuaciones racionales

Dados P (x) y Q(x) dos polinomios en x, con Q(x) = 0, una inecuaciónracional con una incógnita x, es aquella que puede expresarse como

P (x)Q(x) > 0 P (x)

Q(x) < 0P (x)Q(x) ≥ 0 P (x)

Q(x) ≤ 0

En cualquiera de los cuatro casos anteriores, lo más rápido es obtener las raícesde P (x) y Q(x), situarlas en la recta real, escoger un valor de cada uno delos intervalos en los que queda dividida la recta real al posicionar las raíces ysustituir ese valor en el cociente P (x)

Q(x) . Lo que suceda con el representante elegidoes válido en cualquier otro punto del correspondiente intervalo.

Ejemplo 5.14 Halla el conjunto de números reales que verifican la inecuación2x−86x+1 ≥ 0.

2x− 8 = 0⇔ x = 46x + 1 = 0⇔ x = −1

6

Ahora se sitúan las raíces obtenidas (−16 y 4) en la recta real, quedando dividida

ésta en tres intervalos (]−∞,−16 [, ]− 1

6 , 4[ y ]4,+∞[). Escogemos un número


real de cada uno de los intervalos anteriores (en la medida de lo posible, unoque haga las cuentas sencillas), por ejemplo, −1, 0 y 5. A continuación sesustituyen en el cociente 2x−8

6x+1 .

1. Para x = −1, el cociente toma el valor 2, que verifica la desigualdad, portanto, todos los puntos del intervalo ]−∞,−1

6 [ verifican la desigualdad.

2. Para x = 0, el cociente toma el valor −8, que NO verifica la desigualdad,por tanto, ningún punto del intervalo ]− 1

6 , 4[ verifica la desigualdad.

3. Para x = 5, el cociente toma el valor 231 , que verifica la desigualdad, por

tanto, todos los puntos del intervalo ]4,+∞[ verifican la desigualdad.

4. Falta por estudiar lo que sucede con las raíces −16 y 4.

Las raíces del denominador nunca verifican la desigualdad pues la expre-sión racional no está definida en ellas (el cero no tiene inverso y en con-secuencia no se puede dividir por cero). Por tanto, −1

6 no pertenece alconjunto de soluciones.

Las raíces que anulan el numerador verifican la desigualdad si no es es-tricta. Éste es nuestro caso y por tanto 4 es solución.

Así pues, el conjunto de soluciones es ]−∞,−16 [∪[4,+∞[.

Observación 5.15 Para poner en práctica las inecuaciones racionales puedesconsultar el punto 1.7 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J.Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

Inecuaciones irracionales

Llamaremos inecuaciones irracionales en R a aquellas en las que la incógnitafigura en al menos un radical. Ilustraremos el procedimiento para resolverlascon un ejemplo concreto.

Consideremos la inecuación√x2 − x− 12+2 ≤ x. Antes de nada se observa

que el primer miembro es positivo (en realidad mayor o igual que 2). Portanto, el segundo miembro, que es mayor o igual que el primero, también esmayor o igual que 2. En consecuencia, para que un número real x sea soluciónde la inecuación ha de ser necesariamente x ≥ 2. Por otra parte, para que√x2 − x− 12 tenga sentido (análisis del dominio), el radicando x2 − x − 12

tiene que ser mayor o igual que cero, lo que nos da una segunda condición paraque un número real x verifique la inecuación. En concreto, x debe perteneceral conjunto ]−∞,−3] ∪ [4,+∞[. A continuación intentamos “eliminar” la raíz:

√x2 − x− 12 + 2 ≤ x⇔

√x2 − x− 12 ≤ x− 2⇔ (∗)


Teniendo en cuenta que para valores no negativos la desigualdad equivale a laobtenida elevando ambos miembros al cuadrado

(∗)⇔ x2 − x− 12 ≤ (x− 2)2 ⇔ x ≤ 16

3

Gráficamente, la situación es la siguiente:

La solución es el conjunto de la recta real en el que coinciden las tres solucionesobtenidas, es decir, la solución de la inecuación es [4, 163 ].

Inecuaciones con valor absoluto

Dado M ∈ R+, la desigualdad |ax+ b| ≤M puede expresarse equivalentementeen la forma −M ≤ ax + b ≤M .

Tendremos que resolver por tanto las inecuaciones −M ≤ ax+ b y ax+ b ≤M .La intersección de los conjuntos de soluciones de dichas desigualdades coincidecon el conjunto de soluciones de la inecuación |ax + b| ≤ M. La desigualdad|ax+b| < M se resuelve del mismo modo (en este caso aparecen las inecuaciones−M < ax + b y ax + b < M).

Por otra parte, la condición |ax+ b| ≥M equivale a decir que ax+ b ≤ −Mo ax + b ≥M.

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la inecuación |ax + b| ≥ M seobtiene como unión de los conjuntos de soluciones de las inecuaciones

ax + b ≤ −M y ax + b ≥M.


Del mismo modo, el conjunto de soluciones de la inecuación |ax+ b| > M seobtiene como unión de los conjuntos de soluciones de las inecuaciones

ax + b < −M y ax + b > M.

En general, dado M ∈ R+:

• Para la desigualdad |f(x)| ≤M (resp. |f(x)| < M), basta tener en cuentaque

|f(x)| ≤M ⇔−M ≤ f(x) ≤M,

(respectivamente

|f(x)| < M ⇔ −M < f(x) < M)

• Para la desigualdad |f(x)| ≥M (resp. |f(x)| > M), basta tener en cuentaque

|f(x)| ≥M ⇔ f(x) ≤ −M o f(x) ≥M ,

(respectivamente

|f(x)| > M ⇔ f(x) < −M o f(x) > M)

Observación 5.16 Para poner en práctica las inecuaciones con valor absolutopuedes consultar el punto 1.7 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos(E. J. Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

5.1.5 El axioma del supremo

Hasta ahora, hemos comentado que R es un cuerpo conmutativo totalmenteordenado. Nos falta por introducir una propiedad que forma parte esencial dela naturaleza de R y permite distinguirlo de otros cuerpos ordenados.

Definición 5.17 Sea A un subconjunto no vacío de R.Decimos que A está acotado superiormente (o mayorado), si existe

x ∈ R tal que a ≤ x, para todo a ∈ A. Si A está acotado superiormente, cualquiernúmero real x que verifique lo anterior recibe el nombre de cota superior (omayorante) de A. Denotaremos por M(A) al conjunto de los mayorantes deA. Nótese que A está mayorado si, y sólo si, M(A) = ∅.

De forma análoga, decimos que A está acotado inferiormente (o mino-rado), si existe x ∈ R tal que x ≤ a, para todo a ∈ A. Si A está minorado,cualquier número real x en las condiciones anteriores recibe el nombre de cotainferior (o minorante) de A. Denotaremos por m(A) al conjunto de los mi-norantes de A. Claramente A está minorado si, y sólo si, m(A) = ∅.

Decimos que A tiene máximo (resp. mínimo) si existe x ∈ A tal que x esun mayorante (resp. minorante) de A. En tal caso, es inmediato que el elementox es único, recibe el nombre de máximo (resp. mínimo) de A y se denota pormax A (resp. min A).


Si A está mayorado y el conjunto de los mayorantes de A tiene mínimo lla-mamos supremo de A al mínimo del conjunto de los mayorantes de A. Analoga-mente, si A está minorado y el conjunto de los minorantes de A tiene máximo,llamamos ínfimo de A al máximo del conjunto de los minorantes de A. Obvia-mente, el supremo y el ínfimo de un conjunto A, si existen, son únicos y sonrespectivamente un mayorante y un minorante de A. Se denotan por sup A einf A respectivamente.

Finalmente, diremos que A está acotado si A está, al mismo tiempo, ma-yorado y minorado, es decir, si A está acotado superior e inferiormente.

A modo de ejemplo, el conjunto ]0, 1[ está acotado, R no está mayorado niminorado, R+ está minorado pero no está mayorado y R− está mayorado perono está minorado.

Precisamos a continuación la relación que existe entre el máximo y el supremode un conjunto y también la relación entre el mínimo y el ínfimo:

Proposición 5.18 Sea A un subconjunto no vacío de R.

i) Si A tiene máximo entonces A tiene supremo y max A = sup A.

ii) Si A tiene mínimo entonces A tiene ínfimo y min A = inf A.

iii) Supongamos que A tiene supremo. Entoces A tiene máximo si, y sólo si,sup A ∈ A. Además, en caso afirmativo, max A = sup A.

iv) Supongamos que A tiene ínfimo. Entoces A tiene mínimo si, y sólo si,inf A ∈ A. Además, en caso afirmativo, min A = inf A.

Axioma del supremo. Todo conjunto de números reales no vacío y mayo-rado tiene supremo.

Como consecuencia:

Proposición 5.19 Todo conjunto de números reales no vacío y minorado tieneínfimo

Por tanto:

Corolario 5.20 Todo conjunto de números reales no vacío y acotado tienesupremo e ínfimo.

5.1.6 Números naturales. Principio de inducción

Por todos es conocido el conjunto N de los números naturales. Intuitivamentelos números naturales son los que utilizamos para contar y se obtienen a basede sumar unos: 1, 1 + 1, . . . Por tanto, 1 es un natural y, si n es un natural,n + 1 también lo es.

Definición 5.21 Decimos que un subconjunto A de R es inductivo si cumplelas dos condiciones siguientes:


i) 1 ∈ A.

ii) a ∈ A⇒ a + 1 ∈ A.

Nótese, por ejemplo, que {0, 12 , 1, 32 , 2, 52 , 3, 72 , . . . }, [1,+∞[ y R son induc-tivos.

El conjunto de los números naturales contiene los elementos indispensablespara que se verifiquen las condiciones anteriores, ni uno más. Es decir, ha deser el conjunto inductivo “más pequeño”.

Definición 5.22 N denotará la intersección de todos los subconjuntos induc-tivos de R y sus elementos se denominan números naturales.

Como consecuencia inmediata de la definición, N es inductivo y está con-tenido en todo subconjunto inductivo de R. Por tanto:

Teorema 5.23 (Principio de inducción) Sea A un subconjunto inductivode R tal que A ⊂ N. Entonces A = N.

El teorema anterior nos proporciona un procedimiento muy útil para llevara cabo determinadas demostraciones, las denominadas demostraciones porinducción. Con objeto de ilustrarlo, supongamos que para cada natural n setiene una cierta afirmación Pn y queremos probar que Pn es cierta para todon ∈ N. Bastará probar que el conjunto A = {n ∈ N : Pn es cierta} es inductivopues, dado que se trata de un subconjunto de N, el principio de inducción nospermitirá concluir que A = N. Así pues, todo se reduce a probar que P1 es cierta(es decir que 1 ∈ A) y que si Pk es cierta para un natural arbitrario k entoncesPk+1 es cierta (es decir que si k ∈ A entonces k + 1 ∈ A).

El método de inducción puede compararse al “efecto dominó”: si ponemostodas las fichas verticales una tras otra, empujamos una primera ficha (n = 1)y tenemos garantía de que si cae la ficha k-ésima, cae la siguiente, entoncestendremos asegurada la caída de todas las fichas. Es importante tener un puntode partida, pues un error común es dar por cumplida la primera parte delmétodo (no tomar un punto de partida). Aún más grave es dar por sentadoque se verifica la segunda parte del método. Por ejemplo, si consideramos elpolinomio p(n) = n2 + n + 41, nos preguntamos si p(n) es un número primo,para todo n ∈ N. Si calculamos p(1), p(2), p(3),..., p(40) resulta que todos sonnúmeros primos, lo que nos podría llevar a concluir que la propiedad es ciertapara todos los naturales. Sin embargo, si hacemos

p(41) = 412 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 · 43,observamos que no se trata de un número primo.


Ejemplo 5.24 Demuestra que 1+ 3+ 5 + · · ·+ (2n− 3) + (2n− 1) = n2, paratodo n ∈ N.

Resaltamos ahora una propiedad muy importante de N:

Teorema 5.25 (Principio de la buena ordenación de los naturales).Todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo.

Es obvio que el conjunto de los números naturales no tiene máximo (puesn < n + 1 para cada natural n), de hecho, no está mayorado, como veremos acontinuación:

Teorema 5.26 (Principio de Arquímedes). El conjunto de los númerosnaturales no está mayorado. Es decir,

∀x ∈ R, ∃n ∈ N : x < n.

5.1.7 Números enteros, racionales e irracionales

En esta sección identificaremos los números enteros y racionales, obtendremossus propiedades básicas y mostraremos la existencia de números reales que noson racionales.

Definición 5.27 Los elementos del conjunto

Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N}.

reciben el nombre de números enteros.

Definición 5.28 (Potencias de exponente entero) Sea x un número real.Las potencias de exponente natural de x vienen dadas por recurrencia del si-guiente modo:

x1 = x , xn+1 = xnx, ∀n ∈ N.

Si x = 0, definimos además x0 = 1 y x−n = 1xn , ∀n ∈ N.

Es inmediato a partir de la definición anterior que, cualesquiera que seanx ∈ R∗ y p ∈ Z, se verifica que xp = 1

x−p . Recogemos a continuación algunasotras propiedades de las potencias de exponente entero:

Proposición 5.29 Sean x, y ∈ R∗ y p, q ∈ Z. Entonces

i) xp+q = xpxq

ii) (xy)p = xpyp

iii) (xy )p = xp

yp

iv) (xp)q = xpq = (xq)p

Si x, y ∈ R+ y p ∈ N se tiene además:

5.1. Los números complejos 19

v) x < y ⇔ xp < yp

Finalmente, para x > 1 :

vi) p < q ⇔ xp < xq.

Definición 5.30 El conjunto dado por la siguiente igualdad

Q = { p

n: p ∈ Z, n ∈ N}.

recibe el nombre de conjunto de los números racionales.

Proposición 5.31

i) Q es un subcuerpo de R.

ii) Sean r y s números racionales con r < s. Entonces el conjunto

A = {x ∈ Q : r < x < s}es infinito.

Por tanto Q es un cuerpo ordenado conmutativo (con las operaciones yla relación de orden heredadas de R). Además, es obvio que

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Claramente las dos primeras inclusiones son estrictas. Además, es fácil compro-bar que no existe ningún número racional r tal que r2 = 2. Por tanto, la últimainclusión también es estricta. En cambio, el axioma del supremo permite probarque la situación es muy distinta en el caso de R.

Proposición 5.32 Sea a ∈ R+0 y n ∈ N. Entonces existe un único número realx mayor o igual que cero tal que xn = a. El número real x recibe el nombrede raíz n-ésima no negativa de a y se denota por n

√a o bien a

1n . Dados dos

números reales no negativos a y b se tiene que n√ab = n

√a n√b.

Es obvio que, cualquiera que sea n ∈ N, n√

0 = 0 y n√

1 = 1. Por otra parte,dado a ∈ R+0 , 1

√a = a y es costumbre escribir

√a en lugar de 2

√a.

Así pues, ya tenemos garantizada la existencia de números reales que noson racionales. Aparecen los números irracionales que denotaremos por R\Q.Por ejemplo

√2 es un número irracional (proponemos la prueba de este hecho

en la relación de ejercicios). Más aún, estamos en condiciones de afirmar quelos irracionales son muy abundantes. Piénsese que la suma de un racional y unirracional es irracional y que el producto de un racional no nulo por un irracionales un irracional. La primera parte del siguiente enunciado nos habla tambiénde la abundancia de irracionales.

Teorema 5.33 Sean x e y números reales tales que x < y. Entonces

i) Teorema de densidad de Q en R : Existe un número racional r tal quex < r < y.

ii) Teorema de densidad de R\Q en R : Existe un número irracional αtal que x < α < y.


5.2 Los números complejos

Aunque posteriormente dispondremos de una idea más precisa e incluso unarepresentación geométrica del número i, de momento sólo necesitamos saberque no pertenece al conjunto de los números reales.

Definición 5.34 El conjunto de los números complejos viene dado por

C = {a + bi : a, b ∈ R}

Proposición 5.35 El conjunto C con las operaciones suma y producto, definidaspor

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)(c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

es un cuerpo conmutativo.

Por tanto, en C se opera como en R (de hecho, como en cualquier cuerpo con-mutativo). Las propiedades asociadas a tal estructura hacen que en la prácticasólo tengamos que recordar que i2 = −1. Además, todo número real a se puedeidentificar con el complejo a+0i, es decir, R es un subconjunto (subcuerpo) deC (R ⊂ C).

Definición 5.36 Sea z = a + bi ∈ C. Los números reales a y b reciben elnombre de parte real y parte imaginaria, respectivamente, de z. Escribimosa = Re(z) y b = Im(z). El complejo z = a− bi se denomina conjugado de z yel número real no negativo |z| =

√a2 + b2 recibe el nombre de módulo de z.

Obsérvese que, si z es de hecho un número real, el módulo de z no es otracosa que su valor absoluto, lo que nos ha permitido emplear la misma notación.

Resumimos a continuación las propiedades básicas de las nociones introduci-das.

Proposición 5.37 Sean z,w ∈ C. Entonces:

i) z = z

ii) z + w = z + w

iii) zw = z w

iv) Si w = 0, ( zw ) = z

w

v) Re(z) = z+z2 , Im(z) = z−z

2i

vi) z = z ⇔ z ∈ R

vii) |z| = |z| = | − z|


viii) zz = |z|2

ix) |zw| = |z| |w|

x) max{ |Re(z)| , | Im(z)| } ≤ |z| ≤ |Re(z)|+ | Im(z)|

xi) |z| = 0⇔ z = 0

xii) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw)

xiii) |z + w| ≤ |z|+ |w| (Desigualdad triangular).

xiv) | |z| − |w| | ≤ |z −w|

xv) |z + w|2 + |z −w|2 = 2(|z|2 + |w|2) (Identidad del paralelogramo).

A diferencia de lo que ocurre en R, en C no existe ningún orden compatiblecon la estructura de cuerpo. Si existiese un tal orden se tendría que i > 0o i < 0. En el primer caso, multiplicando por i, obtendríamos i2 = −1 > 0y, en el segundo, como −i > 0, multiplicando por −i, obtendríamos también(−i)2 = i2 = −1 > 0, una clara contradicción.

Los números complejos admiten una representación geométrica en el planocartesiano. Para ello, identificamos cada complejo a+ bi con el par de númerosreales (a, b). El número i se identifica con el complejo (0, 1) que, como es lógico,se conoce como unidad imaginaria, situada en el eje de ordenadas (o ejeimaginario). Los números reales se sitúan sobre el eje de abscisas (tambiénllamado eje real). Es claro por tanto que los números complejos son, endefinitiva, pares ordenados de números reales.

La figura anterior hace evidente la denominada forma trigonométrica delcomplejo z = a + bi :

z = a + bi = |z| cos θ + |z| sen θ i = |z|(cos θ + i sen θ)

Cualquier número real θ que cumpla la igualdad z = |z|(cos θ + i sen θ) recibeel nombre de argumento de z. En todo intervalo ]a, b], de longitud 2π, existe


exactamente un argumento de cada complejo no nulo z. El único argumentosituado en el intervalo ]−π, π] es conocido como argumento principal de z yse denota por arg(z).

Se tiene que

arg (z) =

arc tg ( ba) − π si a < 0 , b < 0−π2 si a = 0 , b < 0

arc tg ( ba) si a > 0π2 si a = 0 , b > 0arc tg ( ba) + π si a < 0 , b ≥ 0

Una versión simplificada de la forma trigonométrica es la llamada forma polarque consiste en escribir exclusivamente el módulo y un argumento del complejoz. Ponemos concretamente z = |z|θ . Algunas operaciones son especialmentesencillas si los complejos están expresados en forma polar. Sean z = |z|θ yw = |w|φ complejos no nulos. Entonces:

1. zw = (|z| |w|)θ+ϕ

2. zw =

(|z||w|

)θ−ϕ

. En particular, 1w =

(1|w|

)−ϕ

3. z = |z|−θ.

La siguiente definición no es más que una extensión de la correspondiente alcaso real:

Definición 5.38 Sea z un número complejo. Las potencias de exponente na-tural de z vienen dadas por recurrencia del siguiente modo:

z1 = z , zn+1 = znz, ∀n ∈ N.

Si z = 0, definimos además z0 = 1 y z−n = 1zn , ∀n ∈ N.

Notemos C∗ = C\{0}. Es claro que, cualesquiera que sean z ∈ C∗ y p ∈ Z,se verifica que zp = 1

z−p .

Proposición 5.39 Sean z,w ∈ C∗ y p, q ∈ Z. Entonces

i) zp+q = zpzq

ii) (zw)p = zpwp

iii) ( zw )p = zp

wp

iv) (zp)q = zpq = (zq)p.


Las potencias de exponente entero de un complejo no nulo z expresado enforma trigonométrica o en forma polar se obtienen con facilidad (en vista de loque dijimos anteriormente para el producto). Para ser más precisos, si

z = |z| (cos θ + i sen θ) (o, en forma polar, z = |z|θ ),

se tiene que

zk = |z|k (cos(kθ) + i sen(kθ)), para todo k ∈ Z

(en forma polar, zk =(|z|k

)kθ). Se trata de la llamada fórmula de De

Moivre.A título de ejemplo, si consideramos el complejo

z = 1 + i =√

2(cos

π

4+ i sen

π

4

),

se tiene que z5 = 4√

2(cos 5π4 + i sen 5π4 ) = −4− 4i.

Por otra parte, dado un complejo no nulo z y un natural n, existen exac-tamente n complejos ω0, ω1, ..., ωn−1 tales que ωn

j = z, ∀ j ∈ {0, 1, ..., n − 1}(cada complejo distinto de cero posee n raíces n-ésimas). Además, si θ es unargumento de z (esto es, z = |z| (cos θ + i sen θ) = |z|θ) tales raíces puedenexpresarse en la forma

ωj = n√|z|(cos( θ+2jπn ) + i sen(θ+2jπn ))

=(

n√|z|)θ+2jπ

n

, para todo j ∈ {0, 1, ..., n− 1}.

Es inmediato a partir de lo anterior que (para cada natural n ≥ 3) las raícesn-ésimas de un complejo no nulo z ocupan los vértices de un polígono regularde n lados con centro en el origen y radio n

√|z| (téngase en cuenta que todas las

raíces tienen el mismo módulo, igual a n√|z|, y pasamos de una a otra sumando

o restando 2πn al argumento).

Ejemplo 5.40 Resolvamos la ecuación ω3 = i.Teniendo en cuenta que z = i = 1π

2, se tiene que

ωj = cos(π2+2jπ

3 ) + i sen(π2+2jπ

3 ) (j ∈ {0, 1, 2})

Por tanto:

ω0 = cos π6 + i sen π

6 =√32 + 1

2 i = (√32 , 12)

ω1 = cos 5π6 + i sen 5π6 = −

√3

2 + 12 i = (−

√3

2 , 12)ω2 = cos 9π6 + i sen 9π

6 = −i = (0,−1)

Las tres raíces cúbicas están situadas en los vértices de un polígono regular detres lados (un triángulo equilátero) inscrito en la circunferencia de centro el


origen y radio uno:

Raíces cúbicas de iiii

22

3 i+

i−

22

3 i+−

La existencia de raíces n-ésimas es en realidad una manifestación muy particulardel siguiente resultado.

Teorema 5.41 Todo polinomio de una variable, de grado n, con coeficientesen C (en particular en R) posee n raíces complejas, distintas o confundidas.

El cuerpo C de los números complejos es por tanto algebraicamente ce-rrado.

Finalizamos esta sección repasando la fórmula del binomio de Newton. Lossiguientes naturales desempeñan aquí un papel relevante.

Definición 5.42 Para cada entero no negativo n el número n!, que denomi-namos factorial de n, viene dado por la siguiente relación de recurrencia:

0! = 1 , (n + 1)! = n! (n + 1).

Es inmediato que n! ∈ N, cualquiera que sea el entero no negativo n. Además,dados dos enteros n y k en la situación 0 ≤ k ≤ n, notaremos

(n

k

)=

n!

k! (n− k)!.

Cada uno de tales números(nk

)(que leemos n sobre k) recibe el nombre de

número combinatorio.

De la definición se deduce que(nk

)=(

nn−k

).

El resultado que sigue recoge otras dos propiedades básicas de los númeroscombinatorios.

Lema 5.43 Se verifica que

i)(

nk−1)+(nk

)=(n+1k

), para cualesquiera dos naturales n y k con k ≤ n.

ii)(nk

)∈ N, para cualesquiera dos enteros n y k tales que 0 ≤ k ≤ n.

Proposición 5.44 Sean z,w ∈ C y n un natural. Entonces:

i) (z + w)n =∑n

k=0

(nk

)zn−kwk (Fórmula del binomio de Newton)

ii) 2n =∑n

k=0

(nk

).

5.2. Problemas Propuestos 25

5.3 Problemas propuestos

1. Indica a qué conjunto o conjuntos pertenecen los siguientes números:

0,−9

3,4

5,√

81, 3i,−√

3, 2−√

7,3√

27, 1 + i,3√

2,π

3,

44√

256

2. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

(a) x4−125x5x−x2

(b) 4x3−3x−12x4−3x3−4x2+3x+2

3. Opera simplificando el resultado:

a) 53− 5

3

− 35+ 5

3

f) 4x−y − 7

y−x

b) 1xy + 2

xz − 3yz g) x+y

2 − 5−x2

y−x

c)1x+

1y

x+y g) x+32x2+1 − 5

1−2xd)

x1−x5xx−1+1

h) x2+3x+2x(x+2)2(x+1) − 1

x(x+2)(x+5)

e) 12+ 3

1−xi) x−1+y−1

x−2−y−2 · (x−1y−2

(xy)−3 )−1

4. Realiza las siguientes operaciones:

a) (23)−1 + 23

2−1 + 2−123 c)√

5√2−1

√3

1+√2

b) 51−√2+ 3

1+√2

d)√

xy2

x+y

√x2yx−y

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (x + 1)2 − x = x2 + x− 4 e) x3 − x2 − 3x + 3 = 0b) 8x2 + 25 = (x + 5)2 f) 3

x−1 = 8x2x−1

c) x4 − 4 = 0 g) 2x− 5 = 1 +√

2xd) 2x4 + 6x2 − 1 = 0 h) 2 |x− 3|+ x

2 = 5

6. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 1 + 3x ≥ 6− 3x d) 3x2 + 4 < x4 + 3x3 + 3x

b) 6−2x5 > 1−x

10 e) x2+4x−2x2+x > x2−2

x

c) x2 + 6x− 1 ≤ 3x2 + 3x− 6 f) (x + 1) (x− 1) (x− 2) > 0


7. Dados a ∈ R− y b ∈ R+ con |a| > b, determina el signo de las siguientesexpresiones:

a) − a f) |a− b|b) − b g) |a| − ac) a− b h) |b| − bd) a + b i) |a| − |b|e) − a + b j) 1

|a| − 1|b|

8. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) |x| ≥ 1 d) |x + 2| ≤ 2

b) |2x+4||x−1| ≤ 0 e) x ≤ |x + 2|

c) |x− 4| < |x + 1| f) |x(1− x)| < 12

9. Expresa en forma de intervalos los siguientes subconjuntos de R:

a) {x ∈ R : 3x + 1 > 0} d) {x ∈ R : |2x− 1| ≤ 2}b) {x ∈ R : x3 − 3x2 − 4x < 0} e) {x ∈ R : |x− 1| ≤ 2x− 1}c) {x ∈ R : |x− 2| |x + 3| = 1} f) {x ∈ R : x2−x−1

x−1 > 0}

10. Utiliza el método de inducción para demostrar las siguientes afirmaciones:

(a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n− 3) + (2n− 1) = n2

(b) 12 + 22 + 32 + ... + (n− 1)2 + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

(c) 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ... + n(n + 2) =n(n + 1)(2n + 7)

6

(d) 3 + 2 · 31 + 2 · 32 + ... + 2 · 3n = 3n+1

(e) 1 · 1! + 2 · 2! + ... + n · n! = (n + 1)!− 1

(f)1

1 · 2 +1

2 · 3 + ... +1

n · (n + 1)=

n

n + 1

(g) n3 > n2 + 3, ∀n > 1

(h) 32n+2 + 26n+1 =•11 (múltiplo de 11)

(i) 22n + 15n− 1 =•9 (múltiplo de 9)

(j) n! > 2n, ∀n ≥ 4

(k) Dado x ∈]− 1,∞[, (1 + x)n ≥ 1 + nx (Desigualdad de Bernoulli)

11. Demuestra que el conjunto formado por los números primos es infinito.

12. Prueba que:

(a) 0.9̂ = 1

(b) 2.7̂2 = 27099


(c) 1.34̂56 = 134439990

13. Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

(a) x, y ∈ R\Q⇒ x + y ∈ R\Q(b) x ∈ Q, y ∈ R\Q⇒ x + y ∈ Q(c) x ∈ Q, y ∈ R\Q⇒ xy ∈ R\Q(d) x, y ∈ R\Q⇒ xy ∈ R\Q(e) x ∈ Q\{0}, y ∈ R\Q⇒ x

y ∈ Q(f) ∃a ∈ R tal que a2 ∈ R\Q y a4 ∈ Q(g) ∃a, b ∈ R\Q tales que a + b ∈ Q y ab ∈ Q

14. Demuestra que√

2 es irracional.

15. Sabiendo que√

2 es irracional, prueba que√

2+√

3 también es irracional.

16. Dados z1 = −3 + 4i, z2 = 5− 2i, z3 = 32 y z4 = 7i. Calcula:

(a) (z1 − z2)z3

(b) z1 + z−12

(c) z1 + z−12

(d) z12z2−z−14

17. Expresa los números complejos siguientes en forma binómica:

i) (1 + i)2

ii) 1i

iii) (2 + 3i)(3− 4i)

iv) i7 + i16

v) 1 + i + i2 + i3

vi) 12(1 + i)(1 + i−8)

18. Determina el módulo, argumento, forma polar y trigonométrica de lossiguientes números complejos:

(a) 1− 2i

(b) 5i + 4

(c) π

(d) 3i

19. Determina la forma binómica de los siguientes números complejos:


(a)√

3(cos π6 + i sen π

6 )

(b) 1π3

20. Calcula el módulo de los números complejos siguientes, expresando enprimer lugar tales números en forma binómica:

i) 1+i√2

ii) 1+i1−i

iii) i7 + i10

iv) 1(1+i)2

21. Resuelve la ecuación:

(a) ω2 = i

(b) ω3 = 1

(c) ω2 = 4π3

22. En cada caso, identifica los subconjuntos de C constituidos por los com-plejos a + bi que satisfacen la relación dada:

i) a + bi = a− bi

ii) a + bi = |a + bi|iii) (a + bi)2 = (a− bi)2

iv) |a + bi| = |a− bi|v)

∑100k=0 i

k = a + bi

23. Construye una representación del conjunto de los z = a + bi del planocomplejo que verifiquen cada una de las condiciones siguientes:

i) |z| < 1

ii) z − z = i

iii) |z − i| = |z + i|

24. Demuestra la desigualdad de Bernoulli (apartado k) del ejercicio 10) parax > 0, haciendo uso del binomio de Newton.

Tema 6

Límite y continuidad defunciones reales

En este tema repasaremos las nociones de límite y continuidad en un punto delas funciones reales de variable real, describiremos las denominadas funcioneselementales y estudiaremos las propiedades esenciales de las funciones continuasdefinidas en intervalos.

6.1 Conceptos previos

Esta primera sección contiene algunas nociones básicas que serán de utilidad enlo sucesivo.

• Una aplicación f de un conjunto X en un conjunto Y es una correspon-dencia que asocia a cada elemento de X un único elemento en el conjuntoY . Empleamos frecuentemente la notación f : X → Y . Para cada x ∈ Xel símbolo f(x) designa la imagen de x en el conjunto Y. De forma análoga,si B es un subconjunto de X, f(B) representa la imagen mediante la fun-ción f del conjunto B, es decir, f(B) = {f(x) : x ∈ B} . La imagen de fes el conjunto f(X).

• Sean f : X1 → Y1 y g : X2 → Y2 aplicaciones tales que f(X1) ⊂ X2.La composición de f con g es la aplicación h : X1 → Y2 definida porh(x) = g(f(x)), para todo x ∈ X1. Suele denotarse en la forma g ◦ f.

• Una aplicación f : X → Y se dice

inyectiva, si dados x, x′ ∈ X con x = x′ se verifica que f(x) = f(x′)(equivalentemente, f es inyectiva si, dados x, x′ ∈ X, la condiciónf(x) = f(x′) implica x = x′),

sobreyectiva, si dado y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f(x) = y, es decir, sif(X) = Y ,

29

30 Tema 6. Límite y continuidad de funciones reales

biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

• Si f : X → Y es biyectiva llamaremos inversa de f a la aplicaciónf−1 : Y → X determinada por la condición

f−1(f(x)) = x, para todo x ∈ X.

De lo anterior se deduce que f(f−1(y)) = y, para todo y ∈ Y.

• Una función real de variable real es una aplicación f : A→ R, definidaen un subconjunto no vacío A de R. La estructura de este último conjuntopermite definir cómodamente multitud de aplicaciones. Pensemos sin irmás lejos en las funciones f : R → R, g : R∗ → R y h : [−1,+∞[ → R

dadas por

f(x) = x2 + 3x− 1, para todo x ∈ R

g(x) =1

x, para todo x ∈ R∗

h(x) =√

x + 1, para todo x ∈ [−1,+∞[ .

Como puede apreciarse las tres funciones precedentes están definidas ensu dominio natural. Nada nos obliga a proceder de este modo en todoslos casos. Podemos considerar, por ejemplo, la función ϕ : [−1, 1] → R

dada por ϕ(x) = xx2+1 , para todo x ∈ [−1, 1] (a pesar de que la definición

tenga sentido en todo el conjunto de los números reales). En algunasocasiones nos referiremos a una función real de variable real mediantela expresión que define la imagen de un punto genérico, sin precisar demanera explícita el conjunto A en el que dicho punto debe encontrarse.En tales casos debemos entender que A es el dominio natural de la función.Así, por ejemplo, si hablamos de la función 1

x−1 nos estamos refiriendo ala función f : R\ {1} → R dada por f(x) = 1

x−1 , para todo x ∈ R\ {1} .

• Si f, g : A → R son funciones reales de variable real y λ es un númeroreal, f +g, −f, fg y λf denotarán las funciones de A en R definidas comosigue, para cada x ∈ A,

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(−f)(x) = −f(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

(λf)(x) = λf(x).

Además, si g(x) = 0, para todo x ∈ A, 1g ,

fg : A → R serán las funciones

dadas por

1

g(x) =

1

g(x),

f

g(x) =

f(x)

g(x), para todo x ∈ A.

6.1. Conceptos previos 31

• Los conceptos anteriormente mencionados para aplicaciones entre conjun-tos arbitrarios son válidos en particular para las funciones reales de varia-ble real. Nótese por ejemplo que la imagen de la función f : R→ R dadapor f(x) = x2, para todo x ∈ R, es el conjunto R+0 .

• La gráfica de una función real de variable real f : A→ R es el siguientesubconjunto de R2 :

{(x, f(x)) : x ∈ A} .

En la siguiente figura están representadas las gráficas de las funciones x2

y 1x :

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

f(x)=x2

g(x)=1/x

Observación 6.1 Para estudiar dominios de algunas funciones puedes con-sultar el punto 2.2 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J.Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía. En el punto 2.5 aparecen variosejemplos de gráficas de funciones (se determina el dominio, la imagen y lospuntos de corte con el eje X).

• Sean f : A→ R y g : B → R funciones reales de variable real. Si f(A) ⊂ Bpodemos considerar la función g ◦ f : A → R que, como sabemos, vienedada por (g ◦f)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ A. Si g : R→ R es la funciónvalor absoluto (g(x) = |x| , para todo x ∈ R), la composición de f con g serepresenta mediante el símbolo |f | . Así pues, |f | (x) = |f(x)| , para todox ∈ A.

• Sea f : A → R una función real de variable real y supongamos que f esinyectiva. Evidentemente podemos interpretar a f como una aplicaciónbiyectiva de A en f(A). Por tanto, f posee una inversa, de f(A) en A,que naturalmente denotamos por f−1 y viene dada por f−1(f(x)) = x,para todo x ∈ A. Como consecuencia, f(f−1(y)) = y, para todo y ∈ f(A).Obsérvese que la aplicación f−1 no tiene nada que ver con la función 1

f

(que existe si f(x) = 0, para todo x ∈ A). Gráficamente, una funcióninyectiva y su inversa son simétricas con respecto a la recta y = x. Asípues, el punto (a, b) pertenece a la gráfica de f si, y sólo si, el punto (b, a)pertenece a la gráfica de f−1. En la siguiente figura aparece la recta y = xy las gráficas de la función

√x y de su inversa (la función x �→ x2, de R+0


en R+0 ):

Observación 6.2 Para poner en práctica estos conceptos puedes consultar lospuntos 2.3 y 2.4 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J. Es-pinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

• Dada una función real de variable real f : A → R y un subconjunto novacío B de A, la aplicación f |B : B → R definida por f |B(x) = f(x), paratodo x ∈ B, se denomina restricción de f al conjunto B.

• Sea A un subconjunto no vacío de R tal que −x ∈ A,∀x ∈ A. Se dice queuna función f : A → R es par si f(−x) = f(x),∀x ∈ A. Las funcionespares son simétricas con respecto al eje de ordenadas. De forma análoga,se dice que una función f : A → R es impar si f(−x) = −f(x),∀x ∈ A.Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.Nótese por ejemplo que la función x2 es par y la función x3 es impar.

Observación 6.3 Para estudiar la simetría de distintas funciones puedes con-sultar el punto 2.6 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J.Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

• Sea f : A→ R una función real de variable real. Diremos que f está:

acotada superiormente (o mayorada) si el conjunto f(A) está ma-yorado, es decir, si exite M ∈ R tal que f(x) ≤M, para todo x ∈ A.

acotada inferiormente (o minorada) si el conjunto f(A) está mino-rado, es decir, si exite m ∈ R tal que m ≤ f(x), para todo x ∈ A.

acotada si el conjunto f(A) está mayorado y minorado, es decir, si exitenm,M ∈ R tales que m ≤ f(x) ≤ M, para todo x ∈ A. La condiciónanterior equivale a la existencia de un número real M ≥ 0 tal que|f(x)| ≤M (−M ≤ f(x) ≤M), para todo x ∈ A.

• Sea f : A→ R una función real de variable real. Diremos que

6.1. Conceptos previos 33

f : A→ R tiene máximo absoluto si existe x0 ∈ A tal que

f(x) ≤ f(x0),∀x ∈ A

(es decir, si la imagen de f tiene máximo). En tal caso, decimos quef alcanza su máximo absoluto en el punto x0.

f : A→ R tiene mínimo absoluto si existe x0 ∈ A tal que

f(x0) ≤ f(x),∀x ∈ A

(es decir, si la imagen de f tiene mínimo). En tal caso, decimos quef alcanza su mínimo absoluto en el punto x0.

En cualquiera de los dos casos anteriores se dice que f alcanza un ex-tremo absoluto en el punto x0.

• Una función real de variable real f : A→ R se dice

creciente, si dados x, y ∈ A con x < y se verifica que f(x) ≤ f(y),

decreciente, si dados x, y ∈ A con x < y se verifica que f(x) ≥ f(y),

monótona, si es creciente o decreciente,

estrictamente creciente, si dados x, y ∈ A con x < y se verifica quef(x) < f(y),

estrictamente decreciente, si dados x, y ∈ A con x < y se verifica quef(x) > f(y),

estrictamente monótona, si es estrictamente creciente o estrictamentedecreciente.

Si una función es estrictamente monótona es claramente inyectiva. El si-guiente enunciado afirma que su inversa es también estrictamente monótona.

Proposición 6.4 Sea f : A → R una función estrictamente creciente (resp.decreciente). Entonces la función f−1 : f(A) → A es estrictamente creciente(resp. decreciente).

La siguiente noción desempeña un papel relevante en el análisis de las fun-ciones reales de variable real.

Definición 6.5 Consideremos un número real x0. Decimos que un subconjuntoU de R es un entorno de x0 si existe un número real positivo δ tal que elintervalo ]x0 − δ, x0 + δ[ está contenido en U.

Evidentemente, cualquiera que sea δ ∈ R+, el propio intervalo ]x0−δ, x0+δ[es un entorno de x0. Ni que decir tiene que R es un entorno de todo número real yes igualmente inmediato que cualquier intervalo abierto (del tipo ]a, b[ , ]−∞, a[o ]a,+∞[) es un entorno de cada uno de sus puntos. Esta misma propiedad latiene evidentemente todo subconjunto de R que sea unión de intervalos abiertos,como por ejemplo R∗ o R\Z. Los intervalos del tipo [a, b[ , [a,+∞[ y ]−∞, a]son entornos de todos sus puntos excepto del punto a.


Definición 6.6 Sea A un subconjunto de R. Se dice que un número real x0es un punto de acumulación de A si para todo entorno U del punto x0 severifica que U ∩ (A\{x0}) = ∅. El conjunto de los puntos de acumulación de Ase denota por A′.

Nótese que un punto de acumulación de A puede no pertenecer al conjuntoA. Así por ejemplo, si A es un intervalo abierto, A′ es el correspondiente in-tervalo cerrado. Por otra parte, no todo elemento de un cierto conjunto A esnecesariamente un punto de acumulación de A. Para ponerlo de manifiesto seaA = R−∪{1} y veamos que 1 no es un punto de acumulación de A. Basta teneren cuenta que si δ = 1,

]1− δ, 1 + δ[ ∩ (A\{1}) = ]0, 2[ ∩R− = ∅.

Definición 6.7 Dado un subconjunto A de R y x0 ∈ A, decimos que x0 es unpunto aislado de A si x0 no es un punto de acumulación de A.

Obsérvese que x0 es un punto aislado de A si, y sólo si, existe un entornoU de x0 tal que U ∩ A = {x0}. De acuerdo con lo visto anteriormente 1 esun punto aislado del conjunto R− ∪{1}. Puede también comprobarse, por citaralgún ejemplo más, que todo número entero es un punto aislado de Z.

6.2 Límite de una función. Funciones divergentes.Infinitésimos

Intuitivamente, que una función real de variable real f : A → R tenga límiteen un punto x0 significa que f(x) tiende a un cierto valor fijo (el límite) amedida que x tiende a x0. Para estudiar la existencia de límite no es necesarioque x0 sea un punto de A y, en el caso de que lo sea, el valor de f en x0es irrelevante para la propia existencia o el valor del límite en tal punto. Endefinitiva, consideraremos valores de x que tiendan a x0 y que sean, al mismotiempo, distintos de x0. Naturalmente, para hacerlo posible es necesario que x0sea un punto de acumulación de A. De lo anterior se desprende por otra parteque no tiene sentido hablar de límite de una función f : A → R en los puntosaislados de A.

Definición 6.8 Sea f : A→ R una función real de variable real y x0 un puntode acumulación de A. Decimos que f tiene límite en el punto x0 si existe unnúmero real L de modo que

∀ε ∈ R+, ∃δ ∈ R+ : x ∈ A, 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

En tal caso, es evidente que el número real L es único. Decimos que L es ellímite de f en el punto x0 y escribimos

L = limx→x0

f(x).

6.2. Límite de una función. Funciones divergentes. Infinitésimos 35

Introducimos a continuación los límites laterales de una función en un punto.

Definición 6.9 Sea f : A→ R una función real de variable real, B = {x ∈ A :x < x0} y x0 un punto de acumulación de B. Decimos que f tiene límite porla izquierda en el punto x0 si f |B tiene límite en el punto x0. En tal caso, ellímite de esta última función en el punto x0 recibe el nombre de límite por laizquierda de f en el punto x0 y se denota por limx→x−0

f(x).

De forma análoga, sea C = {x ∈ A : x > x0} y supongamos que x0 esun punto de acumulación de C. Decimos que f : A → R tiene límite por laderecha en el punto x0 si f |C tiene límite en el punto x0. En este caso, el límitede la función f |C en el punto x0 recibe el nombre de límite por la derecha def en el punto x0 y se representa mediante el símbolo limx→x+0

f(x).

Sea A un subconjunto de R y x0 un número real. Es inmediato que x0 esun punto de acumulación de A si, y sólo si, x0 es un punto de acumulación deal menos uno de los conjuntos B o C anteriormente definidos (B = {x ∈ A :x < x0} y C = {x ∈ A : x > x0}). Por tanto, si x0 es un punto de acumulaciónde A, pueden presentarse tres situaciones: que x0 sea un punto de acumulaciónde B pero no de C, que x0 sea un punto de acumulación de C pero no de B y,finalmente, que x0 sea un punto de acumulación de B y C.

Proposición 6.10 Sea f : A → R una función real de variable real y x0 unpunto de acumulación de A. Consideremos los conjuntos B = {x ∈ A : x < x0}y C = {x ∈ A : x > x0}.

i) Si x0 es un punto de acumulación de B pero no de C entonces f tienelímite en el punto x0 si, y sólo si, f tiene límite por la izquierda en elpunto x0. Además, en caso afirmativo, limx→x0 f(x) = limx→x−0

f(x).

ii) Si x0 es un punto de acumulación de C pero no de B entonces f tienelímite en el punto x0 si, y sólo si, f tiene límite por la derecha en el puntox0. Además, en caso afirmativo, limx→x0 f(x) = limx→x+0

f(x).

iii) Si x0 es un punto de acumulación de B y C entonces f tiene límite en elpunto x0 si, y sólo si, f tiene límite por la izquierda y por la derecha enel punto x0 y limx→x−0

f(x) = limx→x+0f(x). Además, en caso afirmativo,

limx→x0 f(x) = limx→x−0f(x) = limx→x+0

f(x).

Obsérvese en particular que si a y b son números reales con a < b, para unafunción f : [a, b] → R, el límite en el punto b, si existe, no es otra cosa que ellímite por la izquierda en el punto b. De forma análoga, el límite en el punto a,caso de existir, coincide con el límite por la derecha en el punto a.

A modo de ejemplo sea f : [−1, 3]→ R la función dada por

f(x) =

x si −1 ≤ x ≤ 01x si 0 < x ≤ 1x2 si 1 < x ≤ 2x + 1 si 2 < x ≤ 3.


entonces limx→−1 f(x) = limx→−1+ f(x) = limx→−1+ x = −1. Por otra parte,limx→0− f(x) = 0 pero f no tiene límite por la derecha en el punto cero.Podemos pues afirmar que f no tiene límite en el punto cero. Es claro quelimx→1− f(x) = 1 = limx→1+ f(x) y por tanto limx→1 f(x) = 1. Por otra parte,limx→2− f(x) = 4 y limx→2+ f(x) = 3, luego f no tiene límite en el punto 2.Finalmente, limx→3 f(x) = limx→3− f(x) = 4.

Observación 6.11 Para trabajar con límites en un punto y límites lateralespuedes consultar los puntos 3.1, 3.2 y 3.3 del libro “Cálculo diferencial. Proble-mas resueltos (E. J. Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

Como extensión natural de la noción de límite en un punto estudiaremosahora los límites en el infinito.

Definición 6.12 Sea f : A→ R una función real de variable real y supongamosque A no está acotado superiormente. Decimos que f tiene límite en +∞ siexiste un número real L de modo que:

∀ε ∈ R+, ∃α ∈ R : x ∈ A, x > α⇒ |f(x)− L| < ε.

En tal caso, es evidente que el número real L es único. Decimos que L es ellímite de f en +∞ y escribimos

L = limx→+∞

f(x).

De forma análoga puede definirse la noción de límite en −∞.

Observación 6.13 Para estudiar límites en +∞ y −∞ puedes consultar elpunto 3.5 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J. EspinosaHerrera y otros)” de la bibliografía.

Estudiaremos ahora la noción de divergencia para funciones reales de va-riable real.

Definición 6.14 Sea f : A→ R una función real de variable real y supongamosque x0 ∈ A′. Decimos que f diverge positivamente en el punto x0 si dadoα ∈ R, existe δ ∈ R+ tal que

x ∈ A, 0 < |x− x0| < δ ⇒ f(x) > α.

En tal caso escribiremos f(x)→ +∞ (x→ x0).Sea B = {x ∈ A : x < x0} y supongamos que x0 ∈ B′. Si f |B diverge

positivamente en el punto x0, diremos que f diverge positivamente por laizquierda en el punto x0, en cuyo caso, escribiremos f(x)→ +∞ (x→ x−0 ).

Análogamente, si C = {x ∈ A : x > x0}, x0 ∈ C′ y f |C diverge positivamenteen el punto x0, diremos que f diverge positivamente por la derecha en elpunto x0. En tal caso, escribiremos f(x)→ +∞ (x→ x+0 ).

6.2. Límite de una función. Funciones divergentes. Infinitésimos 37

Si A no está mayorado, diremos que f diverge positivamente en +∞ sidado α ∈ R, existe ρ ∈ R tal que

x ∈ A, x > ρ⇒ f(x) > α.

En tal caso escribiremos f(x)→ +∞ (x→ +∞).Finalmente, si A no está minorado, diremos que f diverge positivamente

en −∞ si para todo α ∈ R es posible encontrar un número real ρ de modo que

x ∈ A, x < ρ⇒ f(x) > α.

En este caso escribiremos f(x)→ +∞ (x→−∞).

Las nociones relativas a la divergencia negativa se definen y denotan deforma similar.

Observación 6.15 Para estudiar el concepto de divergencia puedes consultarel punto 3.4 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J. EspinosaHerrera y otros)” de la bibliografía.

A continuación resumimos en un solo enunciado el comportamiento alge-braico de las nociones introducidas.

Proposición 6.16 Sean f, g : A→ R funciones reales de variable real y x0 unpunto de acumulación de A.

i) Si f y g tienen límite en x0 entonces f + g y fg tienen límite en x0 y

limx→x0

(f + g)(x) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x).

limx→x0

(fg)(x) = limx→x0

f(x) limx→x0

g(x).

ii) Si limx→x0 f(x) = 0 y existe un entorno U de x0 tal que g|U∩A estáacotada, entonces limx→x0(fg)(x) = 0.

iii) Si f y g tienen límite en el punto x0, g(x) = 0, para todo x ∈ A ylimx→x0 g(x) = 0, entonces f

g tiene límite en el punto x0 y

limx→x0

f

g(x) =

limx→x0 f(x)

limx→x0 g(x).

iv) Si f(x) → +∞ (x→ x0) y existe un entorno U de x0 tal que g|U∩A estáacotada inferiormente, entonces (f + g)(x)→ +∞ (x→ x0).

v) Si f(x) → +∞ (x → x0) y g tiene límite o diverge positivamente en elpunto x0 entonces (f + g)(x)→ +∞ (x→ x0).

vi) Si f(x) → +∞ (x → x0) y existe un entorno U de x0 tal que la fun-ción g|U∩(A\{x0}) está acotada inferiormente por un número real positivo,entonces (fg)(x)→ +∞ (x→ x0).


vii) Si f diverge en el punto x0 y g tiene límite no nulo o diverge en x0 entoncesfg diverge en el punto x0.

viii) Si f tiene límite en el punto x0, g(x) = 0, para todo x ∈ A y g diverge enel punto x0, entonces limx→x0(

fg )(x) = 0.

Existen situaciones sobre las que el resultado anterior no afirma nada, comoocurre con las indeterminaciones 0

0 , ∞−∞, ∞ 0 e ∞∞ . Las funciones afectadas

por ellas requieren un estudio específico. Más adelante estudiaremos algún re-sultado que permite afrontar estas indeterminaciones bajo ciertas hipótesis.

La proposición anterior es también válida, con las modificaciones oportunas,para límites laterales o divergencia lateral y para límites o divergencia en +∞y en −∞.

Observación 6.17 Para poner en práctica el álgebra de límites puedes con-sultar el punto 3.2 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J.Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

Sea A un subconjunto no vacío de R y α un punto de acumulación de A. SiA no está mayorado admitimos también la posibilidad α = +∞ y si A no estáminorado podrá ser α = −∞. Decimos que dos funciones f, g : A\ {α} → R

son equivalentes (por cociente) en α si f(x)g(x) = 0, para todo x ∈ A\ {α} ylimx→α

f(x)g(x) = 1. Obsérvese que los papeles de f y g son intercambiables pues

limx→αf(x)g(x) = 1 si, y sólo si, limx→α

g(x)f(x) = 1.

Si f y g son equivalentes en α y queremos estudiar el comportamiento en αde una cierta aplicación que contenga a una de las funciones f ó g como factorpodemos sustituir una por la otra sin que ello modifique el comporamiento enα de la función objeto de estudio ni el valor, en su caso, del límite. Paraconvencerse de ello sean h, ϕ, ψ : A\ {α} → R funciones tales que ϕ = fh yψ = gh. La proposición anterior y las igualdades

ψ =g

fϕ, ϕ =

f

gψ

garantizan que ϕ y ψ tienen el mismo comportamiento en α. Esta afirmaciónsigue siendo cierta (y la comprobación es igualmente inmediata) si ϕ = h

f y

ψ = hg . La posibilidad de sustituir un factor (o divisor) por otro equivalente

resulta muy útil en la práctica.Señalemos finalmente que si f y g son equivalentes en α y limx→α f(x) =

limx→α g(x) = 0, se dice que f y g son infinitésimos equivalentes.

6.3 Asíntotas

De forma imprecisa pero muy intuitiva las asíntotas de una función real devariable real f : A → R son (en caso de existir) rectas tangentes a la gráficade f en el infinito. Puesto que las rectas en el plano pueden ser verticales,horizontales y oblícuas, se distinguen tres tipos de asíntotas:

6.3. Funciones elementales 39

1. Supongamos que a es un punto de acumulación de A. Decimos que f tieneuna asíntota vertical en el punto a si f diverge positiva o negativamenteen dicho punto, por la izquierda o por la derecha. En tal caso, la recta deecuación x = a recibe el nombre de asíntota vertical de f en el puntoa. Podemos hablar de asíntota vertical en el punto a por la izquierda (opor la derecha) si la divergencia de f se produce exclusivamente por laizquierda (o por la derecha) del punto a. Obsérvese a modo de ejemploque la función f : R∗ → R dada por f (x) = 1

x , para todo x ∈ R∗, tieneuna asíntota vertical en el punto cero.

2. Supongamos que el conjunto A no está mayorado. Se dice que f tiene unaasíntota horizontal en +∞ (o una asíntota horizontal por la derecha) si ftiene límite en +∞. En tal caso, si b = limx→+∞ f(x) la recta de ecuacióny = b recibe el nombre de asíntota horizontal en +∞ de f (o asíntotahorizontal por la derecha de f).

Análogamente, si A no está minorado y f tiene límite en −∞ se dice quef tiene una asíntota horizontal en −∞ (o una asíntota horizontal por laizquierda), en cuyo caso, la recta de ecuación

y = b

siendo b = limx→−∞ f(x), recibe el nombre de asíntota horizontal en −∞de f (o asíntota horizontal por la izquierda de f).

Es obvio que la recta de ecuación y = 0 es una asíntota horizontal en +∞y en −∞ de la función f : R∗ → R anteriormente considerada (f (x) = 1

x ,para todo x ∈ R∗).

3. Decimos que f tiene una asíntota oblicua en +∞ (o una asíntota oblicuapor la derecha) si A no está mayorado y existen los límites

m = limx→+∞

f(x)

xy n = lim

x→+∞(f (x)−mx) , siendo m = 0.

En tal caso, la recta de ecuación y = mx + n se denomina asíntotaoblicua en +∞ de f (o asíntota oblicua por la derecha de f). De formaanáloga se definen las asíntotas oblicuas en −∞ (o asíntotas oblicuas porla izquierda) de f.

Obsérvese que la existencia de asíntotas horizontales por la derecha no escompatible con la existencia de asíntotas oblicuas por la derecha (y lo mismoocurre por la izquierda). De hecho, una misma función no puede tener másde una asíntota (horizontal u oblicua) por la derecha ni más de una asíntota(horizontal u oblicua) por la izquierda.

6.4 Funciones elementales

Las propiedades de los números reales expuestas en el tema precedente permitendefinir las potencias de la forma ab, para todo número real positivo a y todo


número real b, de manera compatible con las potencias de exponente entero yde exponente 1

n (siendo n un natural arbitrario) ya presentadas y manteniendo,al mismo tiempo, su comportamiento algebraico:

1. ab+c = abac, ∀a ∈ R+, ∀b, c ∈ R

2. ab−c = ab

ac , ∀a ∈ R+, ∀b, c ∈ R

3. (ab)c = abc, ∀a ∈ R+, ∀b, c ∈ R

4. (ab)c = acbc, ∀a, b ∈ R+, ∀c ∈ R

5. (ab )c = ac

bc , ∀a, b ∈ R+, ∀c ∈ R.

En relación con las potencias de base y exponente reales merece la penamencionar la función f : R\ [−1, 0] → R dada por f(x) =

(1 + 1

x

)x, para todo

x ∈ R\ [−1, 0] . La función f tiene límite en −∞ y +∞. Ambos límites coincideny es su valor el que convierte a f en una función importante. De hecho, el númeroe puede definirse en los siguientes términos:

e = limx→+∞

f(x)

y, como hemos indicado, también se tiene que e = limx→−∞ f(x). El número ees irracional y sus primeras cifras vienen dadas como sigue:

e = 2, 71828182845904523536 . . .

6.4.1 Función exponencial de base a

Dado a ∈ R+, la función f : R → R definida por f(x) = ax, para todo x ∈ R,recibe el nombre de función exponencial de base a.

La función exponencial de base 1 es la función constantemente igual a 1. Sia = 1, f es una biyección de R en R+ tal que:

1. f(0) = 1, f(1) = a.

2. f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R.

3. Si a > 1, f es estrictamente creciente y

limx→−∞

f(x) = 0 , f(x)→ +∞ (x→ +∞),

mientras que si a < 1, f es estrictamente decreciente y

f(x)→ +∞ (x→−∞) , limx→+∞

f(x) = 0.

Gráficamente,


a>1

0<a<1

a=1

6.4.2 Función logarítmica de base a

Dado a ∈ R+\{1}, llamamos función logarítmica de base a y denotamos porloga a la función inversa de la función exponencial de base a. Por tanto, logaes la función de R+ en R determinada por la condición loga(a

x) = x, para todox ∈ R. Como consecuencia, se tiene también, aloga(x) = x, para todo x ∈ R+.Dado un número real positivo x, el número real loga(x) recibe el nombre delogaritmo en base a de x. En el caso a = e, tenemos la función logaritmoneperiano y escribimos ln en lugar de loge.

La función logarítmica de base a es una biyección de R+ en R tal que:

1. loga(1) = 0, loga(a) = 1.

2. loga(xy) = loga(x) + loga(y), ∀x, y ∈ R+.

3. Si a > 1, la función logarítmica de base a es estrictamente creciente y

loga x→ −∞ (x→ 0) , loga x→ +∞ (x→ +∞),

mientras que si a < 1, loga es estrictamente decreciente y

loga x→ +∞ (x→ 0) , loga x→−∞ (x→ +∞).

4. loga(xy) = y loga(x), ∀x ∈ R+, ∀y ∈ R.

Gráficamente:

a>1

0<a<1

10


Sean a y b números reales positivos distintos de 1. Entonces,

ax = blogb(ax) = bx logb(a), para todo x ∈ R y

loga(x) =logb(x)

logb(a), para todo x ∈ R+.

En particular:

ax = ex lna, ∀x ∈ R , loga(x) =lnx

lna, ∀x ∈ R+ (a ∈ R+\{1}).

6.4.3 Función potencia de exponente b

Sea b un número real arbitrario. La función f : R+ → R definida por f(x) = xb,para todo x ∈ R+, recibe el nombre de función potencia de exponente b.

Evidentemente, la función potencia de exponente cero es la función constan-temente igual a 1. Para b distinto de cero la situación es la siguiente:

Sea b un número real distinto de cero y f : R+ → R la función potencia deexponente b. Entonces f es una biyección de R+ en R+ que verifica las siguientespropiedades:

1. f(1) = 1,

2. f(xy) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R+,

3. Si b > 0, f es estrictamente creciente y

limx→0

f(x) = 0 , f(x)→ +∞ (x→ +∞),

mientras que si b < 0, f es estrictamente decreciente y

f(x)→ +∞ (x→ 0) , limx→+∞

f(x) = 0.

Gráficamente:

b>1

0<b<1

b=1

b=0

b<0

Naturalmente, estas últimas funciones también se expresan de forma sen-cilla a partir de las funciones exponencial y logaritmo neperiano. De hecho,cualesquiera que sean b ∈ R y x ∈ R+, xb = eb lnx. Así, las propiedades queacabamos de enunciar se deducen fácilmente de las propiedades de las funcionesexponencial y logaritmo neperiano.

De acuerdo con el apartado 3) es coherente definir 0b = 0, para todo b ∈ R+.


6.4.4 Funciones trigonométricas

Existen diversos procedimientos para introducir estas funciones con todo rigora partir de las propiedades fundamentales de los números reales. Pueden usarseseries de potencias y definir las funciones coseno y seno, de R en R, como sigue

cos(x) =∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!, sen(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n + 1)!, para todo x ∈ R.

Ambas funciones admiten una definición muy elegante en términos de la funciónexponencial compleja. Se puede hacer uso también de la teoría de curvas rectifi-cables o de la integral de Riemann. En definitiva, cualquiera que sea el métodoelegido, puede conseguirse una definición formal de tales funciones que respondefielmente a la idea geométrica que sin duda ya poseemos de las mismas. En elproceso aparece un número real estrechamente vinculado a las mismas, conocidocomo número π, que desde el punto de vista geométrico representa la relaciónexistente entre la longitud y el diámetro de una circunferencia. Se trata de unnúmero irracional cuyas primeras cifras vienen dadas por:

π = 3, 14159265358979323846 . . .

No nos detendremos en los detalles de la introducción formal de tales fun-ciones y aceptaremos directamente la existencia de dos aplicaciones de R enR, denominadas función coseno y función seno, que denotaremos por cos ysen, respectivamente, interpretables geométricamente en la forma habitual so-bre una circunferencia de radio uno (después volveremos sobre este asunto) ycuyas primeras propiedades resumimos en el siguiente enunciado (para hacermás cómoda la notación escribiremos a menudo cosx y senx en lugar de cos(x)y sen(x)).

Teorema 6.18

i) Para cualesquiera x, y ∈ Rcos(x + y) = cosx cos y − senx sen y

sen(x + y) = senx cos y + cosx sen y

cos(−x) = cosx

sen(−x) = − senx.

ii) La restricción de la función seno al intervalo [−π2 , π2 ] es una biyección

estrictamente creciente de dicho intervalo en [−1, 1] con sen(−π2 ) = −1,

sen 0 = 0 y sen π2 = 1.

iii) Dado x ∈ R y k ∈ Z se verifica que

cos(x + π2 ) = − senx , sen(x + π

2 ) = cosxcos(x + π) = − cosx , sen(x + π) = − senxcos(x + 2π) = cosx , sen(x + 2π) = senxcos(x + 2kπ) = cosx , sen(x + 2kπ) = senx .


iv) La restricción de la función coseno al intervalo [0, π] es una biyecciónestrictamente decreciente de dicho intervalo en [−1, 1] con cos 0 = 1,cos π

2 = 0 y cosπ = −1.

v) La restricción de la función coseno al intervalo [−π, 0] es una biyecciónestrictamente creciente de dicho intervalo en [−1, 1] con cos(−π) = −1,cos(−π

2 ) = 0 y cos 0 = 1.

vi) La restricción de la función seno a cada uno de los intervalos [−π,−π2 ]

y [π2 , π] es estrictamente decreciente con sen(−π) = 0, sen(−π2 ) = −1,

sen π2 = 1 y senπ = 0.

vii) Se verifica que

cosπ

6=

√3

2, cos

π

4=

√2

2, cos

π

3=

1

2,

senπ

6=

1

2, sen

π

4=

√2

2, sen

π

3=

√3

2.

viii) Dados dos números reales a y b tales que a2 + b2 = 1, existe un úniconúmero real x ∈ ]− π, π] tal que cosx = a y senx = b.

ix) Si x e y son números reales tales que cosx = cos y, senx = sen y, existeun entero k tal que x− y = 2kπ.

x) Se verifica que

{x ∈ R : senx = 0} = {kπ : k ∈ Z},{x ∈ R : cosx = 0} = {π2 + kπ : k ∈ Z}.

Como puede apreciarse las funciones coseno y seno son periódicas de periodo2π (por tanto cualquier múltiplo de 2π es igualmente un periodo de ambas fun-ciones). Su representación gráfica puede contemplarse en las siguientes figuras:

La función coseno

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/21

-1

La función seno

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/21

-1

A continuación expondremos, en términos muy intuitivos, la idea geométricaque encierran las funciones coseno y seno. Sea x un número real arbitrario yextraigamos de la recta real el segmento que une los puntos 0 y x (un segmentocuya longitud coincide con el valor absoluto de x). Hagamos coincidir el origende dicho segmento (que corresponde a 0) con el punto (1, 0) del plano y vayamosadhiriendo el segmento a la circunferencia de centro el origen y radio 1 (en sen-tido contrario a las agujas del reloj si x es mayor o igual que cero o en el sentidode las agujas del reloj si x es negativo). Una vez concluido el proceso el extremodel segmento inicial determinará un punto P sobre la citada circunferencia. Lascoordenadas de este punto son precisamente (cosx, senx).


x

y

1

P

x³0

cosx

senx

El número real x determina un arco sobre la circunferencia que, natural-mente, puede identificarse con el ángulo determinado por el eje de abscisas yel vector que une el origen de coordenadas con el punto P. Un ángulo de xradianes, si se quiere hacer referencia a esta conocida unidad. Lo recomendablees trabajar con ella pues no hay diferencia entre el coseno o el seno del númeroreal x y el coseno o el seno de un ángulo de x radianes. Si se manejan otrasunidades para la medida de ángulos, como grados sexagesimales, hemos de teneren cuenta que el coseno o el seno de un ángulo de x grados no coincide con elseno o el coseno del número real x. La conversión de grados a radianes es muysimple. Basta tener en cuenta que la longitud de la circunferencia de radio 1es 2π. Por tanto, 360 grados equivalen a 2π radianes y tenemos así la relaciónexistente entre ambas unidades.

El apartado final del teorema anterior permite introducir cómodamente lasiguiente función.

Definición 6.19 La aplicación tg : R\{π2 + kπ : k ∈ Z} → R dada por,

tgx =senx

cosx, ∀x ∈ R\{π

2+ kπ : k ∈ Z},

recibe el nombre de función tangente.

Sus propiedades fundamentales son consecuencia inmediata de los hechosya estudiados acerca de las funciones coseno y seno. Es claro por ejemplo quetg(x + π) = tgx, para todo x ∈ R\{π2 + kπ : k ∈ Z} y que la restricción de lafunción tangente al intervalo

]−π2 , π2

[es una biyección estrictamente creciente

de dicho intervalo en R. Además, la función tangente diverge negativamente porla derecha en −π

2 , tg 0 = 0, y diverge positivamente por la izquierda en π2 . Todo

ello se aprecia perfectamente en la siguiente figura:

La función tangente

-3π/2 -π -π/2 π/2 π3π/2


Puesto que la restricciones de las funciones seno, coseno y tangente a losintervalos

[−π2 ,

π2

], [0, π] y

]−π2 ,

π2

[, respectivamente, son inyectivas, podemos

considerar sus correspondientes inversas:

Definición 6.20 Llamamos función arco-seno y denotamos por arc sen a lainversa de la restricción de la función seno al intervalo

[−π2 ,

π2

]. Por tanto, la

función arco-seno es una biyección del intervalo [−1, 1] en[−π2 ,

π2

]determinada

por la condición, arc sen (senx) = x, para todo x ∈[−π2 ,

π2

]. Como consecuencia

sen(arc sen x) = x, para todo x ∈ [−1, 1] .

Llamamos función arco-coseno y denotamos por arc cos a la inversa dela restricción de la función coseno al intervalo [0, π] . Por tanto, la funciónarco-coseno es una biyección del intervalo [−1, 1] en [0, π] determinada porla condición, arc cos (cosx) = x, para todo x ∈ [0, π] . De ello se deduce quecos(arc cos x) = x, para todo x ∈ [−1, 1] .

Finalmente, denominamos función arco-tangente y denotamos por arc tga la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo

]−π2 ,

π2

[. En

consecuencia, la función arco-tangente es una biyección de R en]−π2 ,

π2

[de-

terminada por la condición, arc tg (tg x) = x, para todo x ∈]−π2 ,

π2

[. Luego,

también verifica que, tg(arc tg x) = x, para todo x ∈ R.

De las propiedades de las funciones seno, coseno y tangente se obtiene:

Corolario 6.21

i) La función arco-seno es una biyección estrictamente creciente de [−1, 1] en[−π2 ,

π2

]. Verifica que arc sen (−1) = −π

2 , arc sen 0 = 0 y arc sen 1 = π2 .

Gráficamente:

-1 1

-π/2

π/2

arco-seno

ii) La función arco-coseno es una biyección estrictamente decreciente de [−1, 1]en [0, π] . Verifica que arc cos (−1) = π , arc cos 0 = π

2 y arc cos 1 = 0 .


Gráficamente:

-1 1

π/2

π

arco-coseno

iii) La función arco-tangente es una biyección estrictamente creciente de R en]−π2 ,

π2

[. Verifica que

limx→−∞

arc tg x = −π

2, arc tg 0 = 0 , lim

x→+∞arc tg x =

π

2.

Gráficamente:

-1 1

π/2

−π/2

El conocimiento de ciertos límites relacionados con las funciones elemen-tales nos proporciona interesantes equivalencias por cociente. A continuacióndetallamos algunos infinitésimos equivalentes en el punto cero:

limx→0ln(1+x)

x = limx→0

ex−1x = limx→0

senxx = limx→0

tgxx

= limx→0

arc senxx = limx→0

arctgxx = 1.

Como veremos en el tema que sigue todos ellos expresan directamente la deri-vabilidad en cero de la función contenida en el numerador de cada cociente.

Igualmente útiles son las equivalencias dadas por las igualdades

limx→01−cosxx2/2 = 1 y limx→0

(1+x)b

1+bx = 1

donde b es un número real arbitrario.Los límites anteriores pueden expresarse de un modo más general y útil en

la práctica. Supongamos para ello que α ∈ R∪{−∞,+∞} y sea f : A → R


una función real de variable real tal que limx→α f(x) = 0 y f(x) = 0, para todox ∈ A. Entonces limx→α

ln(1+f(x))f(x) = 1 y lo mismo ocurre en los casos restantes.

Así por ejemplo, si a ∈ R+\{1},

limx→0

ax−1x lna = 1.

Haciendo uso de las equivalencias por cociente puede verse fácilmente que

limx→0

sen(1− cosx)

x tg x4 cosx

= 2.

6.5 Continuidad en un punto

Intuitivamente, que una función real de variable real f : A → R sea continuaen un punto x0 de A significa que f(x) tiende a f(x0) a medida que la variablex se acerca a x0. En esta idea encontramos cierta similitud con el concepto delímite, no obstante, para hablar de continuidad en un punto x0, éste ha de sernecesariamente un elemento de A. No se requiere, sin embargo, que x0 sea unpunto de acumulación de A.

Definición 6.22 Una función real de variable real f : A → R se dice con-tinua en un punto x0 de A si para todo ε ∈ R+, existe δ ∈ R+ tal que

x ∈ A, |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.

Si B es un subconjunto no vacío de A y f es continua en todo punto de Bdecimos que f es continua en B. En particular, f es continua en A si es continuaen todo punto de A.

Ejemplos 6.23 Sea A un subconjunto no vacío de R.

1. Toda función constante f : A→ R es continua en A.

2. La identidad en A (es decir, la aplicación f : A → R dada por f(x) = x,para todo x ∈ A, es continua en A.

3. La función valor absoluto es continua en R.

4. Las funciones elementales son continuas en sus correspondientes dominios.

Observación 6.24 Puedes prácticar con la noción de continuidad en un puntoconsultando el apartado 4.1 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos(E. J. Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

El siguiente enunciado pone de relieve la estabilidad de la continuidad frentea las sumas, productos y cocientes de funciones. Si son continuas las funcionesque intervienen el resultado es siempre una función continua:

6.5. Continuidad en un punto 49

Proposición 6.25 Sean f, g : A → R funciones reales de variable real y x0un punto de A. Supongamos que f y g son continuas en el punto x0. Entoncesf + g y fg son continuas en el punto x0. Además, si g(x) = 0, para todo x ∈ A,entonces f

g es continua en x0.

Definición 6.26 Sea A un subconjunto no vacío de R. Decimos que una fun-ción f : A → R es polinómica si existe un natural p y números reales a0, a1,... , ap tales que

f(x) = a0 + a1x + · · ·+ apxp, ∀x ∈ A.

Una función h : A→ R se dice racional si existen dos funciones polinómicasf, g : A→ R, con g(x) = 0, para todo x ∈ A, tales que

h(x) =f(x)

g(x), ∀x ∈ A.

Toda función racional, y en particular toda función polinómica en A, es con-tinua en A (nótese pues que las funciones racionales son continuas en cualquierconjunto en el que estén definidas). Carece de sentido decir que no soncontinuas en los puntos que anulan el denominador ya que tales pun-tos no pertenecen al conjunto A. Como estamos indicando, en tales puntossólo cabe decir que la función no está definida.

Ejemplo 6.27 Sea f : R∗ → R dada por f(x) = 1x , para todo x ∈ R∗. Esta

función es racional y por tanto continua en R∗. Puesto que 0 /∈ R∗, no tienesentido hablar de la continuidad de la función f en el punto 0. Sin embargo,cero es un punto de acumulación de R∗ (de hecho es un punto de acumulaciónde R− y de R+) y, por tanto, puede estudiarse la existencia de límite en cero.Evidentemente, f(x)→−∞ (x→ 0−) y f(x)→ +∞ (x→ 0+). En particular,f no tiene límite en el punto cero.

El siguiente resultado garantiza que la composición de funciones continuases también una función continua:

Proposición 6.28 Sean f : A → R y g : B → R funciones reales de variablereal tales que f(A) ⊂ B y sea x0 un punto de A. Supongamos que f es continuaen el punto x0 y que g es continua en f(x0). Entonces g ◦ f es continua en elpunto x0. Por tanto, si f es continua en A y g es continua en f(A), la funcióng ◦ f es continua en A.

Si una función f : A → R es continua en un punto x0 de A y B es unsubconjunto de A que contiene al punto x0, es inmediato que f |B es continuaen el punto x0. La afirmación recíproca no es cierta en general. No obstante, setiene el siguiente resultado:

Proposición 6.29 (Carácter local de la continuidad). Sea f : A→ R unafunción real de variable real, x0 un punto de A y U un entorno de x0. Si f |A∩Ues continua en x0 entonces f es continua en x0. En particular, si existe unentorno U de x0 tal que U ⊂ A y f |U es continua en x0 entonces f es continuaen x0.


Ejemplo 6.30 Sea f : R∗ → R definida por

f(x) =

{1x si x < 0x si x > 0.

Evidentemente, f |R− es continua en R− pues se trata de una función racional.Dado que R− es un entorno de cada uno de sus puntos, el resultado precedentepermite afirmar que f es continua en R−. De forma análoga se prueba que f escontinua en R+. Por tanto, f es continua en R∗.

Del carácter local de la continuidad se deduce también que cualquier fun-ción f : A→ R es continua en todo punto aislado de A. En efecto, si x0 esun punto aislado de A, existe un entorno U de x0 tal que U ∩A = {x0}. Puestoque la función f |U∩A es trivialmente continua en x0 (ya que es constante), laproposición anterior nos permite concluir que f es continua en x0.

Teorema 6.31 (Relación entre límite y continuidad). Sea f : A → R

una función real de variable real y x0 un punto de A que sea, al mismo tiempo,un punto de acumulación de A (x0 ∈ A ∩ A′). Entonces f es continua en elpunto x0 si, y sólo si,

limx→x0

f(x) = f(x0).

Así pues, si x0 ∈ A ∩A′ y f : A→ R no es continua en el punto x0 puedendarse dos situaciones:

1. La función f tiene límite en el punto x0 pero no coincide con f(x0). De-cimos en tal caso que f tiene una discontinuidad evitable en el puntox0. Nótese que la función g : A→ R definida por g(x) = f(x), para todox ∈ A\{x0}, g(x0) = limx→x0 f(x) es continua en el punto x0 (y coincidecon f en los restantes puntos de A).

2. La función f no tiene límite en el punto x0.

Si además, x0 ∈ B′ ∩ C′ (B = {x ∈ A : x < x0}, C = {x ∈ A : x > x0}),caben dos alternativas:

(a) Alguno de los límites laterales no existe.

(b) Existen ambos límites laterales pero no coinciden. En este caso de-cimos que f tiene una discontinuidad de salto en el punto x0.

Ejemplo 6.32 Sea f : R→ R definida por

f(x) =

x si x < 01 si x = 0x2 si 0 < x < 1x + 1 si 1 ≤ x ≤ 21

x−2 si x > 2

6.5. Funciones continuas definidas en intervalos 51

a) f tiene una discontinuidad evitable en el punto 0.

b) f tiene una discontinuidad de salto en el punto 1.

c) f no tiene límite en el punto 2 (ya que no existe límite por la derecha ental punto) y por tanto f no es continua en 2.

d) f es continua en los restantes puntos de R, pues las funciones f |R− , f |]0,1[ ,f |]1,2[ y f |]2,+∞[ son racionales (las tres primeras de hecho polinómicas) ypor tanto continuas (nótese además que los cuatro intervalos involucradosson entornos de todos sus puntos).

6.6 Funciones continuas definidas en intervalos

Las funciones continuas definidas en intervalos presentan las propiedades demayor relevancia. Los teoremas del valor intermedio y de Weierstrass, queenseguida estudiaremos, ofrecen una buena muestra de ello.

Lema 6.33 Sea f : A → R una función real de variable real y x0 un puntode A. Supongamos que f es continua en x0 con f(x0) = 0. Entonces existe unentorno U del punto x0 tal que f(x)f(x0) > 0, para todo x ∈ A∩U , es decir, fmantiene su signo en un entorno de x0.

Teorema 6.34 (Bolzano) Sean a y b números reales tales que a < b y f :[a, b] → R una función continua en [a, b]. Supongamos que f(a)f(b) < 0. En-tonces existe x0 ∈ ]a, b[ tal que f(x0) = 0.

Consideremos por ejemplo la función f : [0, 2]→ R dada por f(x) = x2 − 1,para todo x ∈ [0, 2] . Evidentemente f es continua en [0, 2], f(0) = −1 y f(2) =3. La situación es la siguiente:

El teorema de Bolzano afirma que una función continua en un intervalocerrado y acotado, con valores de distinto signo en los extremos del intervalo, hade anularse al menos en un punto. De forma más general, si una función continuaen un intervalo (de cualquier tipo) toma dos valores, ha de tomar necesariamentetodos los valores comprendidos entre ellos, afirmación que enunciamos en elsiguiente resultado:


Corolario 6.35 (teorema del valor intermedio) Sea f : I → R una fun-ción continua en un intervalo I. Entonces f(I) es un intervalo.

Ejemplo 6.36 La función f : ]0, 3[→ R definida por

f(x) =

x si 0 < x ≤ 13− 2x si 1 < x ≤ 2x− 3 si 2 < x < 3

es continua en ]0, 3[ y su imagen es el intervalo [−1, 1] (véase la figura siguiente).

Así pues, bajo las hipótesis del corolario precedente, el intervalo imagen no esen general del mismo tipo que el intervalo de partida. Sin embargo, si la funciónconsiderada está definida (y es continua) en un intervalo cerrado y acotado, laimagen es también un intervalo cerrado y acotado.

Teorema 6.37 (Weierstrass) Sean a y b números reales tales que a ≤ b yf : [a, b]→ R una función continua en [a, b]. Entonces existen números reales cy d tales que c ≤ d y f ([a, b]) = [c, d].

El teorema anterior garantiza que toda función continua definida en un in-tervalo cerrado y acotado tiene máximo y mínimo absolutos (en particular estáacotada).

Una función continua en un intervalo que no sea cerrado y acotado puede noestar ni siquiera acotada (piénsese por ejemplo en la función f : ]0, 1[→ R dadapor f(x) = 1

x , para todo x ∈ ]0, 1[) y por tanto carecer de alguno o de ambosextremos absolutos. Puede incluso estar acotada y no tener extremos absolutos(como ocurre con la identidad en un intervalo abierto o la función g : R+ → R

definida por f(x) = 11+x , para todo x ∈ R+).

A continuación estudiaremos la interacción entre la monotonía y la con-tinuidad de una función real de variable real. Los intervalos intervienen nueva-mente de forma decisiva.

Teorema 6.38 Sea f : A → R una función real de variable real. Supongamosque f es monótona y que f(A) es un intervalo. Entonces f es continua.

Corolario 6.39 Sea I un intervalo y f : I → R una función estrictamentemonótona. Entonces f−1 es continua.


Una función estrictamente monótona es, como sabemos, inyectiva pero laafirmación recíproca no es cierta en general (piénsese en la función g : R → R

dada por g(x) = x si x ≤ 0 y g(x) = 1x si x > 0). Sin embargo, ambas

propiedades son equivalentes para funciones continuas definidas en un intervalo.

Teorema 6.40 Sea I un intervalo y f : I → R una función continua e in-yectiva. Entonces f es estrictamente monótona. Como consecuencia, f−1 escontinua.

6.7 Problemas Propuestos

1. Determina el dominio natural de definición de las siguientes funciones:

a) f(x) = x+1x2−4x+3 g) f(x) = e

−3x

b) f(x) = 1x3−3x2+3x−1 h) f(x) = ln( 1+x

1−x)

c) f(x) =√

x2 + 2x− 3 i) f(x) = sen 2x2−4

d) f(x) = 3√

2x + 1 j) f(x) = arctg ( 1ex )

e) f(x) =√x2 + 4 k) f(x) = 2x

f) f(x) =√

x−1x2+1 l) f(x) = 1

|x|−x

2. Halla el dominio y la imagen de las siguientes funciones. Dibuja su gráfica.

a) f(x) =√x− 1 f) f(x) = log 1

2(x)

b) f(x) = x2 g) f(x) = 2x

c) f(x) = x|x| h) f(x) =

(12

)x

d) f(x) = 1|x| i) f(x) =

√x + 2

e) f(x) = log2(x) j) f(x) =√

senx

3. Sean f : R\{2} → R y g : R→ R las funciones definidas por f(x) = 1x−2 y

g(x) = x2− cosx. Determina la función g ◦ f y analiza si cabe considerartambién la función f ◦ g.

4. Estudia la inyectividad de las siguientes funciones y, en caso afirmativo,determina la correspondiente inversa:

a) f(x) = 4x− 7 d) f(x) = 9− x2, x ≥ 0b) f(x) = x2 + 1 e) f(x) = 3

2−x

c) f(x) = ex − 1 f) f(x) =√x, x ≥ 0

5. Estudia si las siguientes funciones presentan alguna simetría:

a) f(x) = xx2−1 c) f(x) = tgx

b) f(x) = |x− 3| d) f(x) = ln( 1+x1−x)


6. Estudia la acotación, monotonía, comportamiento en ±∞ y extremos ab-solutos de las funciones cuyas gráficas son:

a) b)

7. Estudia la existencia de límite en los puntos −5/2, −1 y 0 de la funcióndada por la siguiente gráfica:

8. Estudia la existencia de límite en α de la función f : A→ R en cada unode los siguientes casos:

(a) A = R, α = 3, f(x) = x2 − 2x + 2, ∀x ∈ A

(b) A = R\{2}, α = 2, f(x) = x2−2xx2−4x+4 , ∀x ∈ A

(c) A = R\{0}, α = +∞, f(x) = 1+x3

x3 , ∀x ∈ A

(d) A = R, α = +∞, f(x) =√

x2 + x + 1− x, ∀x ∈ A

(e) A = R\{1}, α = 1, f(x) = 11−x − 3

1−x3 , ∀x ∈ A

(f) A = R, α = +∞, f(x) =√

x2 + x + 1−√x2 − 2x + 2, ∀x ∈ A

(g) A = R\{−13 , 0}, α = −∞, f(x) = xe

1x

3x+1 , ∀x ∈ A

(h) A = R\{−13 , 0}, α = +∞, f(x) = xe

1x

3x+1 , ∀x ∈ A

(i) A = R, α = +∞, f(x) = x2+e−x

6x2+2 , ∀x ∈ A

(j) A = R\{a}, α = a, f(x) =√x−√ax−a , ∀x ∈ A (a ∈ R+)

(k) A = R, α = +∞, f(x) =x− 1

x2−3

2x2+ 1x2+5

, ∀x ∈ A

(l) A = R, α = +∞, f(x) = 1 + e−3x, ∀x ∈ A.


9. Halla, si existen, los límites en 0 y en 1 de la función:

f(x) =

x− 1 si x ≤ 0x2 si 0 < x < 12− x si x > 1

10. Calcula, si existen, los siguientes límites laterales:

a) limx→2−

x−2|x−2| d) lim

x→0+

x senx|x|

b) limx→2+

x−2|x−2| e) lim

x→1+x(x+3)

(x−1)(x−2)

c) limx→0−

x senx|x| f) lim

x→0−(x4+2)|x|

x

11. Calcula el valor de los límites limx→1x3−1x−1 y limx→1

3√x−1

x−1 (en el siguientetema podremos utilizar las reglas de L’Hôpital).

12. Mediante el uso de equivalencias determina los siguientes límites:

a) limx→+∞

(x ln

√x+ax−a

)c) lim

x→+∞

(1 + ln x2−3x+5

x2−9

) 2x2−3x+1

b) limx→0

1−cosxarc sen (3x2) d) lim

x→+∞(3x2+1)(1−cos 1x)(x2−2) ln(1+ 1

x2)

13. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2(x2−9)x2−4 d) f(x) = ln(x2 + 3x + 2)

b) f(x) = 2x3−x+7x2+1 e) f(x) = x3+2x

(x−1)2

c) f(x) =√

x3

x−1 f) f(x) = xx2−1

14. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y clasifica sus discon-tinuidades:

a) f(x) =

{sen 1

x si x < 01 si x ≥ 0

f) f(x) = 3

√x2+1x−2

b) f(x) =

{1

1+e1x

si x = 0

0 si x = 0g) f(x) = e

−1x

c) f(x) =√|x| − 4x h) f(x) =

{1

x2−1 si x < 0

x− 1 si x > 0

d) f(x) =

11+x si x < −1

1− x2 si 1 ≤ x ≤ 2E (x) si 3 ≤ x ≤ 5

i) f(x) =

{ x|x| si x = 0

0 si x = 0

e) f(x) =√

x2−1x−2 j) f(x) =

{x2 si |x| < 1x3 si |x| ≥ 1


15. Estudia si para algunos valores concretos de a y b las siguientes funcionesson continuas en todo R:

f(x) =

{e2x x < 0a + x x ≥ 0

ϕ(x) =

{x sen( 1x) x = 0b x = 0

g(x) =

1

1 + xx < −1

a x = −11 + x2 x > −1

ψ(x) =

−3 senx x ≤ −π

2a senx + b −π

2 < x < π2

cosx x ≥ π2

h(x) =

b cosx x ≤ 0√4− x2 0 < x < 1

b + ax x ≥ 1

16. ¿Qué valor debe tomar el número real a para que la función

f(x) =

a2x si x ≤ 1x3 si 1 < x < 2x2 + 4a si x ≥ 2

sea continua en el punto 1 y presente algún tipo de discontinuidad en elpunto 2?

17. Encuentra un intervalo de longitud uno en el que cada una de las siguientesecuaciones tenga alguna solución:

(a) x3 − x + 5 = 0

(b) x5 + 4x3 − 2x + 2 = 0

18. Prueba que la ecuación 2x3 − 6x + 1 = 0 tiene soluciones en R.

19. Demuestra que la función f(x) = ex − 3x se anula al menos una vez.

20. Demuestra que la ecuación x3x − 1 = 0 tiene al menos una raíz en elintervalo [0, 1].

21. ¿Existe alguna solución real de la ecuación senx = x− 1?

Tema 7

Derivabilidad de funcionesreales

La noción que abordamos ahora es más restrictiva que la continuidad pues comoveremos enseguida toda función derivable en un punto es continua en dichopunto. Apoyándonos en este nuevo concepto llevaremos a cabo un estudio másprofundo de las funciones reales de variable real. En claro paralelismo con elcontenido del tema precedente los resultados de mayor relevancia tendrán lugaren el contexto de las funciones derivables definidas en intervalos.

7.1 Derivabilidad en un punto

Una forma natural de analizar el comportamiento de una función real de variablereal f consiste en cuantificar la variación que sufre f(x) en relación con lade x. Saber, por ejemplo, si pequeñas variaciones de x se corresponden conpequeños cambios en f(x) o si, por el contrario, alteraciones insignificantes dex pueden provocar variaciones comparativamente mayores en f(x). Esta es agrandes rasgos y sin entrar todavía en otro tipo de consideraciones (como las decarácter geométrico que realizaremos después) la cuestión que se afronta en elsiguiente concepto:

Definición 7.1 Sea f : A→ R una función real de variable real y x0 ∈ A∩A′.Decimos que f es derivable en el punto x0 si la función x �→ f(x)−f(x0)

x−x0, de

A\{x0} en R, tiene límite en el punto x0. En tal caso, dicho límite recibe elnombre de derivada de f en el punto x0 y se denota por f ′(x0). Así pues,

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Si B es un subconjunto de A∩A′ y f es derivable en todo punto de B decimosque f es derivable en B. Finalmente, la función que a cada punto de A∩A′ en

57

58 Tema 7. Derivabilidad de funciones reales

el que f sea derivable le asocia la derivada de f en tal punto recibe el nombrede función derivada de f (o simplemente derivada de f) y se denota por f ′.

A modo de ejemplo consideremos la función f : R∗ → R dada por f(x) =1

x,

para todo x ∈ R∗. Fijemos un punto x0 ∈ R∗ (con lo que evidentemente x0 estambién un punto de acumulación de R∗) y veamos que f es derivable en x0.En efecto, cualquiera que sea x ∈ R∗\{x0},

f(x)− f(x0)

x− x0=

1

x− 1

x0x− x0

=

x0 − x

xx0x− x0

=−1

xx0

y, en consecuencia, limx→x0f(x)−f(x0)

x−x0= limx→x0

−1xx0

= −1x20

. Por tanto f es

derivable en x0 con f ′(x0) = −1x20

. Puesto que esto ocurre en todo punto de R∗

podemos concluir que f es derivable en R∗ y que su función derivada f ′ : R∗ → R

viene dada por f ′(x) = −1x2 , para todo x ∈ R∗.

Observación 7.2 Sea A un subconjunto de R, x0 un número real y

H = {h ∈ R : x0 + h ∈ A} .

Entonces x0 ∈ A ∩ A′ si, y sólo si, 0 ∈ H ∩ H ′. Consideremos una funciónf : A→ R y supongamos que x0 ∈ A∩A′. Se comprueba inmediatamente que f

es derivable en x0 si, y sólo si, la función h �→ f(x0+h)−f(x0)h , de H\{0} en R,

tiene límite en cero. Además, en caso afirmativo,

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Para practicar con estos límites puedes consultar el ejercicio 3.5.2 (pág. 194)y el punto 5.2 del libro “Cálculo diferencial. Problemas resueltos (E. J. EspinosaHerrera y otros)” de la bibliografía.

Proposición 7.3 Una función real de variable real f : A → R es derivableen un punto x0 ∈ A ∩ A′ si, y sólo si, existe una función polinómica de gradomenor o igual que uno g : R→ R tal que f(x0) = g(x0) y limx→x0

f(x)−g(x)x−x0

= 0.Además, en tal caso, la función g es única y viene dada por

g(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0), ∀x ∈ R.

Las funciones polinómicas de grado menor o igual que uno reciben el nombrede funciones afines.

El resultado anterior encierra el significado geométrico de la derivada deuna función en un punto. Si f es derivable en x0 y g es la función que semenciona en el enunciado anterior la condición f(x0) = g(x0) nos dice quelas graficas de f y g coinciden en el punto de abscisa x0. Por otra parte, lacondición limx→x0

f(x)−g(x)x−x0

= 0 se puede reescribir (teniendo en cuenta que

7.1. Derivabilidad en un punto 59

f(x0) = g(x0)) en la forma limx→x0f(x)−f(x0)

x−x0= limx→x0

g(x)−g(x0)x−x0

. El cocienteg(x)−g(x0)

x−x0no depende de x (por ser g una función polinómica de grado menor o

igual que uno) y coincide con la pendiente de la recta de ecuación y = g(x) (lagráfica de g). Por otra parte, la pendiente de la recta secante a la gráfica de fque pasa por el punto (x0, f(x0)) y un punto genérico (x, f(x)) con x = x0 esprecisamente f(x)−f(x0)

x−x0. Puesto que este cociente tiende a coincidir, a medida

que x tiende a x0, con la pendiente de la recta y = g(x) que, como hemosseñalado, pasa por el punto (x0, f(x0)), es lógico decir que se trata de la rectatangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)). Una recta cuya ecuaciónviene dada por

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

Así pues, geométricamente, la derivada de una función f en un puntox0 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto(x0, f(x0)).

Recta tangente a la gráfica de f en el punto x0

x0

f(x0)gráfica de f

y=f(x0)+f '(x0)(x-x0)

Proposición 7.4 (toda función derivable es continua) Sea A un subcon-junto de R, x0 ∈ A ∩ A′ y f : A → R una función derivable en el punto x0.Entonces f es continua en x0.

En efecto, dado x ∈ A\{x0}, se tiene que

f(x) = f(x0) +f(x)− f(x0)

x− x0(x− x0),

y como limx→x0f(x)−f(x0)

x−x0= f ′(x0) , deducimos inmediatamente que

limx→x0

f(x) = f(x0).

Por tanto, f es continua en el punto x0.

Algunos ejemplos básicos. Sea A un subconjunto no vacío de R.

1. Si f : A → R es una función constante y x0 ∈ A ∩ A′, entonces f esderivable en x0 y f ′(x0) = 0.


2. Sea f : A → R la identidad en A (f(x) = x, para todo x ∈ A). Dadox0 ∈ A ∩A′, f es derivable en el punto x0 con f ′(x0) = 1.

3. La función f : R→ R dada por f(x) = ex, para todo x ∈ R, es derivableen R y coincide con su derivada (f ′(x) = ex, para todo x ∈ R).

4. Las funciones coseno y seno son derivables en R y se verifica que

cos′ x = − senx , sen′ x = cosx , ∀x ∈ R.

5. Puesto que la función f : R→ R dada por

f(x) =

{x si x < 0x + 1 si x ≥ 0

no es continua en el punto cero, la proposición anterior permite afirmarque tampoco es derivable en tal punto.

6. La continuidad en un punto no implica la derivabilidad en dichopunto. Para ponerlo de manifiesto, consideremos la función f : R → R

definida por f(x) = |x| , para todo x ∈ R. Ya habíamos comentado quef es continua en R y, en particular, en el punto cero. Sin embargo, lafunción x �→ |x|

x , de R\{0} en R, es constantemente igual a −1 en R−

y constantemente igual a 1 en R+, luego tiene límite por la izquierda ypor la derecha en el punto cero. Puesto que tales límites no coinciden(pues son, respectivamente, −1 y 1), la función indicada no tiene límite endicho punto. Se prueba así que la función valor absoluto no es derivableen cero. Este ejemplo, junto con la proposición anteriormente probada,nos permite afirmar que la derivabilidad es una propiedad estrictamentemás exigente que la continuidad.

Los límites laterales conducen de forma natural a la consideración de lossiguientes conceptos:

Definición 7.5 Sea f : A→ R una función real de variable real y x0 un puntode A que sea a la vez un punto de acumulación del conjunto

B = {x ∈ A : x < x0} (resp. del conjunto C = {x ∈ A : x > x0}).Decimos que f es derivable por la izquierda (resp. por la derecha) enel punto x0 si la función f |B∪{x0} (resp. f |C∪{x0}) es derivable en el punto

x0. En tal caso, el número real(f |B∪{x0}

)′(x0) (resp.

(f |C∪{x0}

)′(x0)) recibe

el nombre de derivada por la izquierda (resp. por la derecha) de f enel punto x0 y se denota por f ′−(x0) (resp. f ′+(x0)). Si f es derivable por laizquierda (resp. por la derecha) en el punto x0

f ′−(x0) =(f |B∪{x0}

)′(x0) = lim

x→x−0

f(x)−f(x0)x−x0

(resp. f ′+(x0) =(f |C∪{x0}

)′(x0) = lim

x→x+0

f(x)−f(x0)x−x0

).

7.1. Derivabilidad en un punto 61

Proposición 7.6 (Relación entre derivabilidad lateral y derivabilidad).Sea f : A → R una función real de variable real y x0 ∈ A ∩ A′. Consideremoslos conjuntos B = {x ∈ A : x < x0} y C = {x ∈ A : x > x0}

1. Si x0 es un punto de acumulación de B pero no de C, entonces f esderivable en el punto x0 si, y sólo si, f es derivable por la izquierda endicho punto. En tal caso, f ′(x0) = f ′−(x0).

2. Si x0 es un punto de acumulación de C pero no de B, entonces f esderivable en el punto x0 si, y sólo si, f es derivable por la derecha en talpunto. En caso afirmativo, f ′(x0) = f ′+(x0).

3. Si x0 es un punto de acumulación de B y C, f es derivable en el punto x0si, y sólo si, f es derivable por la izquierda y por la derecha en el puntox0 y ambas derivadas laterales coinciden. En tal caso,

f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′+(x0).

La mera existencia de las derivadas laterales en un punto (aunque no coin-cidan) implica la continuidad en dicho punto. Así pues, si una función no escontinua en un punto, una al menos de las derivadas laterales no existe. A modode ilustración consideremos la función f : IR→ IR definida por

f(x) =

{x2 + 1 si x < 0−x2 + 4 si x ≥ 0

que como puede apreciarse no es continua en el punto cero. Evidentementef ′+(0) = 0 mientras que, para todo número real x < 0,

f(x)− f(0)

x− 0=

x2 − 3

x

y, en consecuencia, f(x)−f(0)x−0 → +∞ (x→ 0−). En particular, f no es derivable

por la izquierda en el punto cero.Consideremos ahora una función real de variable real f : A→ R, un subcon-

junto B de A y un punto x0 de B ∩B′ (en consecuencia x0 ∈ A ∩A′). Si f esderivable en el punto x0 es inmediato que f |B es también derivable en el puntox0 y (f |B)′(x0) = f ′(x0). La afirmación recíproca no es cierta en general, perosí lo es si B es la intersección con A de un entorno de x0:

Proposición 7.7 (Carácter local de la derivabilidad). Sea f : A → R

una función real de variable real, x0 un punto de A∩A′, U un entorno de x0 yB = A∩U. Entonces x0 ∈ B∩B′ y f es derivable en el punto x0 si, y sólo si, f |Bes derivable en el punto x0. Además, en caso afirmativo, f ′(x0) = (f |B)′(x0).

En muchas ocasiones existe un un entorno U de x0 contenido en A. Ental caso, de acuerdo con la proposición anterior, f es derivable en el puntox0 si, y sólo si, f |U es derivable en el punto x0. Además, en caso afirmativo,f ′(x0) = (f |U )′(x0).


Ejercicio 7.8 Estudia la derivabilidad de la función f : R→ R definida por

f(x) =

{ex si x < 0x + 1 si x ≥ 0

y calcula f ′ (x) donde tenga sentido.

7.2 Operaciones con funciones derivables

Estudiaremos en este apartado el comportamiento algebraico de la derivación.De forma más concreta veremos que las sumas, productos, cocientes y com-posiciones de funciones derivables son también funciones derivables,precisando la expresión de la derivada en cada caso. Analizaremos finalmentela derivabilidad de la inversa de una función inyectiva y derivable.

Proposición 7.9 Sea A un subconjunto de R, x0 ∈ A ∩ A′ y f, g : A → R

funciones derivables en el punto x0. Se verifican las siguientes afirmaciones:

i) f + g es derivable en el punto x0 con (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0)

ii) fg es derivable en el punto x0 con (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0).En particular, cualquiera que sea λ ∈ R, (λf)′(x0) = λf ′(x0).

iii) Si g(x) = 0, para todo x ∈ A, entonces fg es derivable en el punto x0 con

( fg )′(x0) = f ′(x0)g(x0)−f(x0)g

′(x0)g(x0)2

.

Sea A un subconjunto no vacío de R tal que A ⊂ A′ (lo que nos permitehablar de la derivabilidad en todo punto de A de cualquier función real definidaen A). Obsérvese que la condición A ⊂ A′ se cumple automáticamente si A espor ejemplo un intervalo no reducido a un punto. Las dos primeras afirmacionesde la proposición precedente permiten deducir que toda función polinómica deA en R es derivable en A y que su derivada es también una función polinómica.La afirmación iii) garantiza entonces que, de hecho, toda función racional en Aes derivable y que su derivada es una nueva función racional en A.

La derivabilidad es también estable frente a la composición de aplicaciones:

Proposición 7.10 (regla de la cadena). Sean f : A → R y g : B → R fun-ciones reales de variable real tales que f(A) ⊂ B y sea x0 ∈ A∩A′. Supongamosque f es derivable en x0, que f(x0) es un punto de acumulación de B y que ges derivable en f(x0). Entonces g ◦ f es derivable en x0 y

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))f′(x0).

Poniendo en juego la proposición anterior obtendremos algunas derivadas decierto interés.Ejemplos:

Sea f : A → R una función real de variable real derivable en un puntox0 ∈ A ∩A′.

7.2. Operaciones con funciones derivables 63

1. La función h : A → R definida por h(x) = ef(x), para todo x ∈ A, esderivable en x0 con h′(x0) = f ′(x0)ef(x0) (se trata de una consecuenciainmediata de la regla de la cadena pues h es la composición de f conla función exponencial, que es derivable en todo punto y coincide con suderivada).

De forma más concreta, sea h : R→ R la función dada por h(x) = ex

x2+1 ,para todo x ∈ R. Entonces h es derivable en R con

h′(x) = 1−x2

(x2+1)2 ex

x2+1 , ∀x ∈ R.

2. Análogamente, si a es un número real positivo y h : R→ R es la funciónexponencial de base a (h(x) = ax = ex lna, para todo x ∈ R), es claro queh es derivable en R y que h′(x) = ax lna, para todo x ∈ R.

3. La función h : A→ R definida por h(x) = cos(f(x)), para todo x ∈ A, esderivable en el punto x0 y h′(x0) = −f ′(x0) sen(f(x0)).

4. Del mismo modo, la función h : A → R definida por h(x) = sen(f(x)),para todo x ∈ A, es derivable en el punto x0 y h′(x0) = f ′(x0) cos(f(x0)).

Analizamos ahora la derivabilidad de la inversa de una función inyectiva yderivable:

Proposición 7.11 Sea f : A→ R una función inyectiva y x0 ∈ A∩A′. Supon-gamos que f es derivable en el punto x0, que f ′(x0) = 0 y que f−1 es continua enf(x0). Entonces f(x0) es un punto de acumulación de f(A) y f−1 es derivableen f(x0) con (f−1)′(f(x0)) = 1

f ′(x0).

Haciendo uso del resultado anterior obtendremos a continuación las derivadasde algunas funciones elementales.Ejemplos:

1. La función exponencial es inyectiva y derivable en R, su derivada es lapropia función exponencial y, por tanto, es distinta de cero en todo punto.Además, su inversa es la función logaritmo neperiano que, como sabemos,es continua en R+. Así pues, cualquiera que sea x ∈ R, se verifican lashipótesis de la proposición anterior en el punto x y, por tanto, la funciónlogaritmo neperiano es derivable en el punto ex con ln′(ex) = 1

ex . Dadox ∈ R+, podemos aplicar lo anterior al número real lnx para obtener queln es derivable en x (= elnx) con ln′ x = 1

x . Acabamos de probar que lafunción logaritmo neperiano es derivable en R+ y que ln′ x = 1

x , para todox ∈ R+.

2. Si a es un número real positivo distinto de uno sabemos que loga(x) = lnxlna ,

para todo x ∈ R+. De ello se sigue, en vista del ejemplo anterior, que lafunción logarítmica de base a es derivable en R+ con

log′a(x) =1

x lna=

1

xloga(e), para todo x ∈ R+.


3. Sea b un número real y h : R+ → R la función potencia de exponente b(h(x) = xb = eb lnx, para todo x ∈ R+). Se tiene claramente, de acuerdocon lo probado a propósito de la regla de la cadena y con la derivabilidadde la función logaritmo neperiano, que h es derivable en R+ con

h′(x) = b1

xeb lnx = bxb−1, para todo x ∈ R+.

4. Sea f : A → R una función real de variable real tal que f(A) ⊂ R+ yconsideremos la función h : A → R definida por h(x) = ln(f(x)), paratodo x ∈ A. Supongamos que f es derivable en un punto x0 ∈ A ∩ A′.Puesto que ln es derivable en R+, en particular lo es en el punto f(x0) yla regla de la cadena nos permite concluir que h es derivable en x0 conh′(x0) = ln′(f(x0))f

′(x0) = f ′(x0)f(x0)

.

5. Sean f, g : A→ R funciones derivables en un punto x0 ∈ A∩A′ y suponga-mos además que f(A) ⊂ R+. Es claro entonces que la función h : A→ R

definida por h(x) = f(x)g(x), para todo x ∈ A, es derivable en x0 con

h′(x0) = h(x0)(g′(x0) ln(f(x0)) + g(x0)

f ′(x0)

f(x0)).

Para comprobar este hecho basta tener en cuenta que h(x) = eg(x) ln(f(x)),para todo x ∈ A, y aplicar los resultados anteriores.

Resumimos en la siguiente tabla las principales reglas de derivación (sinmencionar las hipótesis bajo las cuales se cumplen pues son completamentenaturales y pueden verse en los resultados precedentes):

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

(λf)′(x) = cf ′(x)

(f

g)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g(x)2

(g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x)

(f−1)′(f(x)) =1

f ′(x).

7.2. Teoremas del valor medio 65

Incluimos también una tabla con las derivadas de las funciones elementales:

g(x) = xb, ∀x ∈ R+ (b ∈ R) g′(x) = bxb−1, ∀x ∈ R+g(x) = ax, ∀x ∈ R (a ∈ R+) g′(x) = ax lna, ∀x ∈ Rg(x) = ex, ∀x ∈ R g′(x) = ex, ∀x ∈ Rg(x) = loga x, ∀x ∈ R+ (a ∈ R+\ {1} ) g′(x) = 1

x lna , ∀x ∈ R+g(x) = lnx, ∀x ∈ R+ g′(x) = 1

x , ∀x ∈ R+g(x) = senx, ∀x ∈ R g′(x) = cosx, ∀x ∈ Rg(x) = cosx, ∀x ∈ R g′(x) = − senx, ∀x ∈ Rg(x) = tgx, ∀x ∈ A (A = R\

{π2 + kπ : k ∈ Z

}) g′(x) = 1

cos2 x = (1 + tg2 x), ∀x ∈ Ag(x) = arcsenx, ∀x ∈ [−1, 1] g′(x) = 1√

1−x2, ∀x ∈ ]−1, 1[

g(x) = arccosx, ∀x ∈ [−1, 1] g(x)′ = − 1√1−x2

, ∀x ∈ ]−1, 1[

g(x) = arctgx, ∀x ∈ R g′(x) = 11+x2 , ∀x ∈ R.

La interacción de las anteriores derivadas con la regla de la cadena se recoge acontinuación. En cada caso, la imagen de f se supone contenida en el dominiode derivabilidad de la función elemental con la que se compone y x es cualquierpunto en el que f sea derivable.

h(x) = f(x)b (b ∈ R) h′(x) = bf(x)b−1f ′(x)h(x) = af(x) (a ∈ R+) h′(x) = af(x)f ′(x) ln ah(x) = ef(x) h′(x) = f ′(x)ef(x)

h(x) = loga f(x) (a ∈ R+\ {1} ) h′(x) = f ′(x)f(x) lna

h(x) = ln f(x) h′(x) = f ′(x)f(x)

h(x) = sen f(x) h′(x) = f ′(x) cos f(x)h(x) = cos f(x) h′(x) = −f ′(x) sen f(x)

h(x) = tg f(x) h′(x) = f ′(x)cos2 f(x) =

(1 + tg2 f(x)

)f ′(x)

h(x) = arcsen f(x) h′(x) = f ′(x)√1−f(x)2

h(x) = arccos f(x) h′(x) = − f ′(x)√1−f(x)2

h(x) = arctg f(x) h′(x) = f ′(x)1+f(x)2 .

Observación 7.12 Para poner en práctica las reglas de derivación y la tabla dederivadas puedes consultar el punto 6 del libro “Cálculo diferencial. Problemasresueltos (E. J. Espinosa Herrera y otros)” de la bibliografía.

7.3 Teoremas del valor medio

En primer lugar, introduciremos los extremos relativos, también llamados ex-tremos locales, de las funciones reales de variable real.

Definición 7.13 Sea f : A→ R una función real de variable real y x0 un puntode A. Decimos que f alcanza un máximo relativo (resp. mínimo relativo)en el punto x0 si existe un entorno U de x0 tal que U ⊂ A y f(x) ≤ f(x0), para


todo x ∈ U (resp. f(x0) ≤ f(x), para todo x ∈ U). Si, de hecho, f(x) < f(x0),para todo x ∈ U\{x0} (resp. f(x0) < f(x), para todo x ∈ U\{x0}), se dice quef alcanza un máximo relativo estricto (resp. mínimo relativo estricto)en el punto x0. Decimos que f alcanza un extremo relativo en el punto x0 sif alcanza un máximo o un mínimo relativo en el punto x0. Finalmente, decimosque f alcanza un extremo relativo estricto en el punto x0 si f alcanza unmáximo o un mínimo relativo estricto en el punto x0.

Nótese que para que una función f : A → R alcance un extremo relativoen un punto x0 de A es necesario que A sea un entorno de x0. Para ilustrar laimportancia de esta condición y, de paso, comentar la relación entre los extremosabsolutos y relativos, observemos, por ejemplo, que la función f : [0, 1] → R

definida por f(x) = x, para todo x ∈ [0, 1], tiene máximo y mínimo absolutos,que alcanza en los puntos 1 y 0, respectivamente. Sin embargo, no alcanza unmáximo relativo en el punto 1, ni tampoco un mínimo relativo en el punto 0,pues [0, 1] no es un entorno de 0 ni de 1. Si una función f : A→ R tiene máximoabsoluto (resp. mínimo absoluto) y lo alcanza en un punto x0 de A entonces falcanza un máximo relativo (resp. mínimo relativo) en el punto x0 si, y sólo si,A es un entorno de x0. Así, por ejemplo, la función valor absoluto tiene mínimoabsoluto, que es cero y que alcanza en el punto cero, y como, trivialmente, Res un entorno de cero, también alcanza un mínimo relativo en el punto cero.Digamos finalmente que un extremo relativo puede perfectamente no ser unextremo absoluto. Se comprueba fácilmente que la función f : R → R definidapor

f(x) =

x + 1 si x < 01− x si 0 ≤ x ≤ 1x− 1 si 1 < x

alcanza un máximo relativo estricto en el punto cero y un mínimo relativoestricto en el punto uno y, sin embargo, no está mayorada ni minorada, por loque en particular no tiene máximo ni mínimo absolutos.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

Las funciones derivables sólo pueden alcanzar extremos relativos en puntoscon derivada nula:


Teorema 7.14 (Condición necesaria de extremo relativo).Sea f : A → R una función real de variable real y x0 un punto de A.

Supongamos que f alcanza un extremo relativo en el punto x0 y que además fes derivable en dicho punto. Entonces f ′(x0) = 0.

De acuerdo con la interpretación geométrica de la derivada, el resultadoanterior nos dice que si una función f es derivable y alcanza un extremo relativoen un punto x0, entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisax0 tiene pendiente cero, es decir, es paralela al eje de abscisas, lo cual es, porotra parte, muy intuitivo.

Además de su importancia como punto de partida para la obtención de losprincipales resultados de este apartado y, por tanto, de este tema, el teoremaprecedente proporciona un criterio muy útil para la determinación de los ex-tremos absolutos de ciertas funciones. Para ponerlo de manifiesto sean a y bnúmeros reales con a < b y f : [a, b]→ R una función continua en [a, b]. El Teo-rema de Weierstrass garantiza que f tiene máximo y mínimo absolutos. Sea x0un punto de [a, b] en el cual f alcanza uno de sus extremos absolutos. Entoncespueden presentarse las siguientes situaciones:

1. x0 es uno de los extremos del intervalo, es decir, x0 ∈ {a, b}

2. x0 ∈ ]a, b[ y f no es derivable en el punto x0

3. x0 ∈ ]a, b[ y f es derivable en el punto x0.

Puesto que en los dos últimos casos f alcanza un extremo relativo en elpunto x0, el teorema anterior nos garantiza que en la última situaciónf ′(x0) = 0.

Es decir, los puntos en los que la función continua f : [a, b] → R alcanza susextremos absolutos se encuentran necesariamente en el conjunto constituidopor los extremos del intervalo, los puntos del intervalo ]a, b[ en los que f no esderivable y los puntos del intervalo ]a, b[ en los que f es derivable con derivadaigual a cero.

Como aplicación de lo que acabamos de exponer consideremos la funciónf : [−1, 4] → R definida por f(x) = x2 − 4 |x| + 4, para todo x ∈ [−1, 4] .Evidentemente f es continua en el intervalo [−1, 4] (en realidad f es la restriccióna este intervalo de una función continua en R). Además, f puede expresarse delsiguiente modo:

f(x) =

{x2 + 4x + 4 si x ∈ [−1, 0[x2 − 4x + 4 si x ∈ [0, 4]

de donde, en virtud del carácter local de la derivabilidad, se sigue fácilmente quef es derivable en [−1, 0[ con f ′(x) = 2x + 4, para todo x ∈ [−1, 0[ , y en ]0, 4]con f ′(x) = 2x−4, para todo x ∈ ]0, 4] . Además, f es derivable por la izquierday por la derecha en el punto cero pero las correspondientes derivadas lateralesno coinciden, pues son respectivamente 4 y −4. Así pues, el único punto en el


que f no es derivable es el punto cero y el único elemento del intervalo ]−1, 4[en el que f es derivable con derivada igual a cero es obviamente el punto 2. Portanto, f alcanza su máximo y su mínimo absolutos entre los puntos del conjunto{−1, 0, 2, 4}. Obsérvese que éste es el conjunto constituido por los extremos delintervalo, los puntos del intervalo ]−1, 4[ en los que f no es derivable y los puntosdel intervalo ]−1, 4[ en los que f es derivable con derivada igual a cero. Dadoque

f(−1) = 1, f(0) = 4, f(2) = 0 y f(4) = 4,

es claro que el máximo absoluto de f es 4, que lo alcanza en los puntos 0 y 4,mientras que el mínimo absoluto de f es 0, que lo alcanza en el punto 2. Depaso, tenemos también la imagen de f. En concreto, f ([−1, 4]) = [0, 4] .

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

x

y

En el resto del presente apartado y salvo que se especifique lo contrario a yb denotarán números reales en la situación a < b. Sea f : [a, b]→ R una funcióncontinua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[ .Supongamos además que f(a) = f(b). Es intuitivamente claro que debe existiral menos un punto c en el intervalo ]a, b[ tal que la recta tangente a la gráficade f en el punto (c, f(c)) sea paralela al eje de abscisas. La formulación precisade este hecho nos la da el siguiente resultado.

Corolario 7.15 (Teorema de Rolle) Sea f : [a, b] → R una función con-tinua en [a, b] y derivable en ]a, b[ . Supongamos además que f(a) = f(b). En-tonces existe c ∈ ]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

a bc

f(a)=f(b)

Así como el teorema de Bolzano constituye un interesante recurso para pro-bar la existencia de soluciones de diversas ecuaciones, el teorema de Rolle nos


proporciona, en ciertos casos, la unicidad de las mismas. Consideremos, porejemplo, la ecuación 2x3 + 3x2 + 6x− 6 = 0. Puesto que la función f : R→ R

dada porf(x) = 2x3 + 3x2 + 6x− 6, ∀x ∈ R,

es continua en R, f(0) = −6 y f(1) = 5, el teorema de Bolzano garantiza quef se anula en algún punto del intervalo ]0, 1[ . Por tanto, la ecuación anteriortiene al menos una solución real. Si existiesen dos soluciones, a y b, con a < b,tendríamos que f(a) = f(b) = 0 y el teorema de Rolle aplicado a la función f |[a,b](nótese que f es derivable en R con f ′(x) = 6(x2+x+1), para todo x ∈ R y que,por tanto, su restricción al intervalo [a, b] cumple las hipótesis de dicho teorema)nos daría un punto c en el intervalo ]a, b[ tal que f ′(c) = 0. Obsérvese, sinembargo, que f ′(x) > 0, para todo x ∈ R. Luego, la ecuación considerada poseeuna única solución en R que, como hemos visto, se encuentra en el intervalo]0, 1[. En realidad, la condición f ′(x) > 0, para todo x ∈ R, implica, comoenseguida veremos, que f es estrictamente creciente. Una propiedad de f que,en particular, nos asegura también la unicidad de la solución.

Si en el teorema de Rolle se prescinde de la hipótesis f(a) = f(b) es igual-mente intuitivo que debe existir un punto c en el intervalo ]a, b[ tal que la rectatangente a la gráfica de f en el punto (c, f(c)) sea paralela a la recta deter-minada por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Obsérvese que la pendiente de estarecta es f(b)−f(a)

b−a .

Corolario 7.16 (Teorema del Valor Medio) Sea f : [a, b]→ R una funcióncontinua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Entonces existe c ∈ ]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

a bc

f(a)

f(b)

Este resultado se conoce también como teorema del valor medio de Lagrangeo teorema de los incrementos finitos. Si la función f considerada en el enunciadoverifica además la condición f(a) = f(b) es obvio que f ′(c) = 0. Por tanto, elteorema de Rolle no es más que un caso particular del teorema del valor medio.

A su vez, el teorema del valor medio de Lagrange puede deducirse fácilmentedel siguiente enunciado (considerando como g la identidad en [a, b]).

Corolario 7.17 (Teorema del valor medio generalizado).Sean f, g : [a, b] → R funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[ .

Entonces existe c ∈ ]a, b[ tal que (f(b)− f(a))g′(c) = (g(b)− g(a))f ′(c).


El resultado precedente se conoce también como teorema del valor medio deCauchy. Exponemos a continuación algunas consecuencias del teorema del valormedio.

Corolario 7.18 Sea I un intervalo no reducido a un punto y f : I → R unafunción derivable en I. Se verifican las siguientes afirmaciones:

i) f es creciente si, y sólo si, f ′(x) ≥ 0, para todo x ∈ I

ii) f es decreciente si, y sólo si, f ′(x) ≤ 0, para todo x ∈ I

iii) f es constante si, y sólo si, f ′(x) = 0, para todo x ∈ I

iv) Si f ′(x) > 0, para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente creciente

v) Si f ′(x) < 0, para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente decreciente

vi) f ′(I) es un intervalo

vii) Si f ′(x) = 0, para todo x ∈ I, entonces f ′(x) > 0, para todo x ∈ I, of ′(x) < 0, para todo x ∈ I. Por tanto, f es estrictamente monótona.Además, f−1 es derivable en f(I) con

(f−1)′(f(x)) =1

f ′(x), ∀x ∈ I.

En relación con los apartados iv) y v) conviene observar que las corres-pondientes afirmaciones recíprocas no son ciertas en general. Para ponerlo demanifiesto basta considerar la función f : R → R definida por f(x) = x3, paratodo x ∈ R, que es estrictamente creciente y, sin embargo, f ′(0) = 0.

El apartado vi) suele denominarse teorema del valor intermedio paralas derivadas. Se trata de un resultado más general que el teorema del valorintermedio pues toda función continua en un intervalo (no reducido a un punto)es la función derivada de otra. El apartado vii) es conocido como teorema dela función inversa y suele ser más útil en la práctica que la proposición 7.11.

Una vez estudiada la monotonía de una función puede obtenerse informaciónsobre la existencia de extremos relativos.

Ejercicio 7.19 Estudia la monotonía y los extremos relativos de la funciónf(x) = x4+1

x2 .

Terminamos el presente apartado con un ejemplo de función derivable en unintervalo cuya derivada no es una función continua. Sea f : R → R la funcióndefinida por f(x) = x2 sen( 1x), para todo x ∈ R∗, f(0) = 0. Es fácil comprobarque f es derivable en R con

f ′(x) = 2x sen(1

x)− cos(

1

x), ∀x ∈ R∗, f ′(0) = 0.

7.3. Reglas de L’Hopital 71

De ello se deduce inmediatamente que f ′ no es continua en cero. A continuaciónincorporamos las gráficas de f y f ′.

7.4 Reglas de L’Hôpital

Presentamos en esta sección una herramienta muy útil para el cálculo de límitesde cocientes de funciones que, en muchos casos, permite resolver las indetermi-naciones del tipo 0

0 e ∞∞ . Puesto que otras muchas indeterminaciones, como las

del tipo ∞−∞, 0∞, 1∞, 00 e ∞0, pueden transformarse razonablemente enalguna de las dos primeras, las reglas de L’Hôpital serán aplicables a todas ellasen situaciones muy diversas. Comenzaremos con la versión correspondiente alos límites o divergencia en un punto y más adelante presentaremos la versiónque corresponde a límites o divergencia en el infinito.

Teorema 7.20 Sea I un intervalo no reducido a un punto, x0 un punto deI y f, g : I \{x0} → R funciones derivables en I \{x0} tales que g(x) = 0,g′(x) = 0, para todo x ∈ I \{x0}. Supongamos además que se verifica una de lasdos condiciones siguientes:

i) limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x) = 0 o

ii) |g| diverge positivamente en el punto x0.

Entonces se verifican las siguientes afirmaciones:

a) Si f ′

g′ tiene límite en el punto x0,fg tiene límite en el punto x0 y

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x).

b) Si f′

g′ diverge positivamente (resp. negativamente) en el punto x0,fg di-

verge positivamente (resp. negativamente) en el punto x0.


Ejemplos:

1. Estudia la continuidad de la función h : R+ → R definida por

h(x) =lnx

x− 1, para todo x ∈ R+\{1}, f(1) = 1.

Sólo precisa atención el punto uno, pues en los demás puntos de R+ h escontinua, como consecuencia del carácter local de la continuidad. Con-sideremos las funciones f, g : R+\{1} → R definidas por f(x) = lnx,g(x) = x− 1, para todo x ∈ R+\{1}, que claramente cumplen las hipóte-sis del teorema anterior (caso i)) con I = R+ y x0 = 1. Puesto quelimx→1

f ′(x)g′(x) = limx→1

1x = 1, tenemos que limx→1

f(x)g(x) = 1, es decir,

limx→1 h(x) = h(1). Luego h es continua en el punto uno.

2. Sea h : R+ → R la función definida por h(x) = xx, para todo x ∈ R+ yestudiemos la existencia de límite en el punto cero. Obsérvese que nos en-contramos ante una indeterminación del tipo 00. Dado que h(x) = ex lnx,para todo x ∈ R+, todo se reduce a estudiar el límite en cero de la funciónque aparece como exponente y que obviamente se ve afectada por la inde-terminación 0∞. Equivalentemente, hemos de analizar el comportamientoen cero de la función f

g , donde f es la función logaritmo neperiano y g, deR+ en R, es la función definida por g(x) = 1

x , para todo x ∈ R+, con lo quela indeterminación a resolver es ahora del tipo ∞

∞ . De las reglas de L’Hôpi-

tal se sigue claramente que limx→0f(x)g(x) = limx→0

f ′(x)g′(x) = limx→0(−x) = 0,

lo que unido a la continuidad de la función exponencial en el punto ceronos da finalmente que, limx→0 h(x) = e0 = 1.

3. Sea ahora h : R∗ → R la función dada por h(x) = senx|x| , para todo x ∈ R∗.

Si f, g : R+ → R denotan la restricción a R+ de la función seno y de laidentidad en R, respectivamente, podemos aplicar la regla correspondienteal caso i), cuyas hipótesis se cumplen con I = R+0 y x0 = 0, para obtenerque

limx→0+

h(x) = limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0f ′(x)

g′(x)= lim

x→0cosx = cos 0 = 1.

De forma análoga se prueba que limx→0− h(x) = −1. Mostramos así lautilidad de las reglas de L’Hôpital para estudiar límites laterales.

4. Las reglas L’Hôpital pueden usarse de forma reiterada si las condicionesexigidas también las verifican las funciones derivadas. Así, por ejemplo,usándolas dos veces (tres, si se quiere) obtenemos que

limx→0

x− senx

x3= lim

x→0

1− cosx

3x2= lim

x→0senx

6x=

1

6.

7.4. El Teorema de Taylor. Extremos relativos 73

5. Sean f, g : R∗ → R las funciones definidas por f(x) = x2 sen( 1x), g(x) = x,

para todo x ∈ R∗. Es inmediato que limx→0f(x)g(x) = 0, mientras que la

función f ′

g′ = f ′ no tiene límite, como sabemos, en el punto cero. Así pues,las afirmaciones recíprocas de las enunciadas en las reglas de L’Hôpital noson ciertas en general.

Enunciamos ya la versión que se ocupa de los límites en el infinito:

Corolario 7.21 Sea I un intervalo no mayorado y f, g : I → R funcionesderivables en I tales que g(x) = 0, g′(x) = 0, para todo x ∈ I. Supongamosademás que se verifica una de las dos condiciones siguientes:

i) limx→+∞ f(x) = limx→+∞ g(x) = 0 o

ii) |g| diverge positivamente en +∞.

Entonces se verifican las siguientes afirmaciones:

a) Si f ′

g′ tiene límite en +∞, fg tiene límite en +∞ y

limx→+∞

f(x)

g(x)= lim

x→+∞f ′(x)

g′(x).

b) Si f ′

g′ diverge positivamente (resp. negativamente) en +∞, fg diverge po-

sitivamente (resp. negativamente) en +∞.

El enunciado correspondiente a los límites en −∞ es análogo.La condición g′(x) = 0, para todo x ∈ I, implica que g es estrictamente

monótona y que por tanto se anula, a lo sumo, en un punto de I, luego lahipótesis g(x) = 0, para todo x ∈ I, que hemos exigido, es prácticamenteautomática.

Sea b un número real positivo y consideremos, a modo de ejemplo, lasfunciones f, g : R+ → R definidas por f(x) = lnx, g(x) = xb, para todox ∈ R+. Obviamente se cumplen las condiciones del resultado anterior (caso ii))y además, limx→+∞

f ′(x)g′(x) = limx→+∞

1bxb

= 0. Por tanto, limx→+∞f(x)g(x) = 0, es

decir,

limx→+∞

lnx

xb= 0 (b > 0)

De lo anterior se sigue que

limx→+∞

xb

ex= lim

x→+∞eb lnx−x = lim

x→+∞ex(b

ln xx −1) = 0.

Por otra parte, limx→+∞ex

xx = 0, como se deduce directamente del compor-tamiento de la función logaritmo neperiano en +∞ y de la función exponencialen −∞.


7.5 El Teorema de Taylor. Extremos relativos

La derivación está directamente relacionada con la posibilidad de aproximarlocalmente funciones suficientemente regulares mediante funciones más sencillas.

Sea f : A→ R una función real de variable real, B el conjunto de puntos deA ∩ A′ en los que f es derivable y x0 ∈ B ∩ B′. Decimos que f es dos vecesderivable en el punto x0 si la función f ′ es derivable en dicho punto. En estecaso, la derivada de f ′ en x0 recibe el nombre de derivada segunda de f enel punto x0 y se denota por f ′′(x0). La función que a cada punto de B ∩ B′

en el que f sea dos veces derivable le hace corresponder la derivada segundade f en tal punto se denomina función derivada segunda de f y se denotapor f ′′. Reiterando esta definición por recurrencia se introducen las derivadasde orden superior. La función derivada n-ésima de f se denota por f (n) y, enconsecuencia, su valor en un punto x0, que es la derivada n-ésima de f en x0,se reprensenta por f (n)(x0).

Como ha podido apreciarse es costumbre escribir f ′, f ′′, f ′′′ en lugar de f (1),f(2), f(3), respectivamente. Para n ≥ 4, emplearemos generalmente la notaciónque acabamos de presentar, f (n). Señalemos también que f(0) será la propiafunción f.

Sea n un natural arbitrario, A un subconjunto no vacío de R tal que A ⊂ A′

(en particular A puede ser un intervalo no reducido a un punto) y f, g : A→ R

funciones n veces derivables en todo punto de A. Entonces, cualquiera que seaα ∈ R, puede comprobarse fácilmente por inducción que f + g, αf y fg son nveces derivables en todo punto de A con

(f + g)(n)(x) = f(n)(x) + g(n)(x),

(αf)(n)(x) = αf (n)(x),

(fg)(n)(x) =n∑

k=0

(n

k

)f (n−k)(x)g(k)(x),

para todo x ∈ A. La anterior expresión para la derivada n-ésima de un productose conoce como fórmula de Leibnitz. Si además g(x) = 0, para todo x ∈ A,la función f

g también es n veces derivable en todo punto de A y su derivada n-ésima es de la forma ϕ

g2n, donde ϕ es una función que puede expresarse mediante

sumas, diferencias y productos de las funciones f, f ′, ..., f(n) y g, g′, ..., g(n).Sean ahora A y B subconjuntos no vacíos de R tales que A ⊂ A′ y B ⊂ B′.

Consideremos además una función f : A→ R n veces derivable en todo punto deA y una función g : B → R n veces derivable en todo punto de B. Si f(A) ⊂ B,un sencillo argumento de inducción permite demostrar que la función g ◦ f es nveces derivable en todo punto de A y que su derivada n-ésima puede expresarsemediante sumas y productos de las funciones g′ ◦f, ..., g(n) ◦f y f ′, ..., f(n). Paraello se usará convenientemente lo que acabamos de comentar sobre el productode funciones n veces derivables en todo punto de un cierto conjunto.

Sea I es un intervalo no reducido a un punto, f : I → R una función y nun natural. Diremos que f es de clase Cn en I si f es n veces derivable en


todo punto de I y la función derivada n-ésima de f, f(n) : I → R, es continuaen I. Denotaremos por Cn(I) el conjunto de las funciones de clase Cn en I.Que f sea de clase C0 en I significará simplemente que f es continua en I.Consecuentemente, C0(I) denotará el conjunto de las funciones continuas en I.Finalmente, diremos que f es de clase C∞ en I si f es de clase Cn en I, paratodo n ∈ N. El conjunto de las funciones de clase C∞ en I se denota por C∞(I).

Es claro que C∞(I) ⊂ Cn+1(I) ⊂ Cn(I) ⊂ C0(I), para todo n ∈ N. Además,puede comprobarse fácilmente que todas las inclusiones son estrictas.

Por otra parte, de acuerdo con la discusión anterior, las sumas, productos,cocientes y composiciones de funciones de clase Cn (donde n puede ser un na-tural o ∞) son también funciones de clase Cn. En particular, toda funciónracional (luego también toda función polinómica) en I pertenece a C∞(I).

Proposición 7.22 Sea I un intervalo no reducido a un punto, n un naturalmayor o igual que 2 y f, g : I → R funciones n − 1 veces derivables en I y n

veces derivables en un punto x0 ∈ I. Entonces limx→x0f(x)−g(x)(x−x0)n

= 0 si, y sólo

si, f(x0) = g(x0), f ′(x0) = g′(x0), ... , f (n)(x0) = g(n)(x0).

Si f : I → R es una función derivable en un punto x0 ∈ I, sabemos que existeuna única función afín g : R→ R tal que limx→x0

f(x)−g(x)x−x0

= 0. Concretamenteg viene dada por g(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0), para todo x ∈ R. Si f verificalas hipótesis de la proposición anterior, es decir, si f es n− 1 veces derivable enI y n veces derivable en el punto x0 (con n ≥ 2), no cabe esperar que la funciónafín g verifique la condición limx→x0

f(x)−g(x)(x−x0)n

= 0. De hecho, no la verifica si

una de las derivadas f ′′(x0), ..., f (n)(x0) es distinta de cero, lo que puede ocurrirperfectamente. Sin embargo, es natural preguntarse si existe alguna funciónpolinómica P : R → R tal que limx→x0

f(x)−P (x)(x−x0)n

= 0, o equivalentemente, tal

que f(x0) = P (x0), f ′(x0) = P ′(x0), ... , f (n)(x0) = P (n)(x0). La respuesta esafirmativa ya que la función P : R→ R dada por

P (x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+f ′′(x0)

2!(x−x0)

2+· · ·+f (n)(x0)

n!(x−x0)

n, ∀x ∈ R,

verifica claramente las condiciones pedidas. Además, P es de hecho la únicafunción polinómica de grado menor o igual que n que cumple tales condiciones(pues las funciones polinómicas de grado menor o igual que n quedan determi-nadas por su valor en un punto arbitrario x0 y el valor de las derivadas sucesivashasta la n-ésima en tal punto).

Definición 7.23 Sea n un natural y f : A → R una función real de variablereal n veces derivable en un punto x0 ∈ A. La función polinómica Pn : R → R

definida por

Pn(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)

2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)

n,

para todo x ∈ R, recibe el nombre de polinomio de Taylor de orden n de f enel punto x0. Además, la función Rn : A→ R dada por Rn(x) = f(x)− Pn(x),


para todo x ∈ A, se denomina resto de Taylor de orden n de f en el puntox0.

Ejemplo 7.24 Los polinomios de Taylor de orden n de la función coseno en elpunto cero (para todo natural n ≤ 10) vienen dados por

P1(x) = 1

P2(x) = 1− x2

2

P3(x) = 1− x2

2

P4(x) = 1− x2

2 + x4

24

P5(x) = 1− x2

2 + x4

24

P6(x) = 1− x2

2 + x4

24 − x6

720

P7(x) = 1− x2

2 + x4

24 − x6

720

P8(x) = 1− x2

2 + x4

24 − x6

720 + x8

40320

P9(x) = 1− x2

2 + x4

24 − x6

720 + x8

40320

P10(x) = 1− x2

2 + x4

24 − x6

720 + x8

40320 − x10

3628800

A continuación representamos gráficamente la función coseno y los polinomiosanteriores:

Bajo ciertas condiciones, el polinomio de Taylor de orden n de una función fen un punto x0 nos proporciona una aproximación de f en un entorno del puntox0 que es tanto más perfecta cuanto mayor sea el natural n. Concretamente,tenemos lo siguiente:

Corolario 7.25 Sea I un intervalo no reducido a un punto, n un natural mayoro igual que 2 y f : I → R una función n − 1 veces derivables en I y n vecesderivables en un punto x0 ∈ I. Sea además Pn el polinomio de Taylor de ordenn de f en el punto x0. Entonces limx→x0

f(x)−Pn(x)(x−x0)n

= 0.

Como consecuencia inmediata de este resultado puede probarse el siguienteenunciado de utilidad para el estudio de extremos relativos.

Corolario 7.26 (Criterio de clasificación de extremos relativos). SeaI un intervalo no reducido a un punto, n un natural mayor o igual que 2 y


f : I → R una función n − 1 veces derivable en I y n veces derivable en unpunto x0 ∈ I. Supongamos que I es un entorno de x0 y que

f ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = f(n−1)(x0) = 0 , f (n)(x0) = 0.

Entonces:

i) Si n es par y f(n)(x0) < 0, la función f alcanza un máximo relativo estrictoen el punto x0.

ii) Si n es par y f (n)(x0) > 0, la función f alcanza un mínimo relativo estrictoen el punto x0.

iii) Si n es impar, la función f no alcanza un extremo relativo en el punto x0.

El resultado anterior, en el caso n = 2, se conoce como criterio de lasegunda derivada..

Ejercicio 7.27 Comprueba que la función f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1presenta un mínimo relativo estricto en el punto uno (f alcanza de hecho sumínimo absoluto en tal punto).

El resultado principal del presente apartado, que enunciamos a continuación,nos proporciona una expresión del resto de Taylor de orden n de f en el puntox0, lo que nos permitirá a menudo controlar el error que se comete al sustituirla función f por su polinomio de Taylor.

Teorema 7.28 (Fórmula de Taylor). Sea I un intervalo no reducido a unpunto, n un natural y f : I → R una función de clase Cn en I y n + 1 vecesderivable en todo punto de I que no sea un extremo de I. Entonces, dados dospuntos x0 y x de I con x0 = x, existe un punto c en el intervalo abierto deextremos x0 y x tal que

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)

2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)

n+

+f (n+1)(c)

(n + 1)!(x− x0)

n+1.

Es decir, Rn(x) = f(n+1)(c)(n+1)! (x − x0)

n+1, donde Rn es el resto de Taylor deorden n de f en el punto x0.

El resultado anterior también se verifica para n = 0, de hecho, la afirmaciónque resulta para este valor de n no es otra que el teorema del valor medioaplicado a la restricción de f al intervalo cerrado de extremos x0 y x. Vemos asíque el teorema de Taylor es una extensión del teorema del valor medio.

La fórmula de Taylor centrada en el punto cero se conoce también comofórmula de MacLaurin.


Ejemplo 7.29 Determinemos un valor aproximado del número real e haciendouso del teorema de Taylor. Sea pues f : R→ R la función exponencial (f(x) =ex, para todo x ∈ R). Evidentemente, cualquiera que sea el natural n, la funciónf es n veces derivable en todo punto x de R con f (n)(x) = ex. Luego f es declase C∞ en R y por tanto se cumplen las hipótesis del teorema de Taylorpara cualesquiera n ∈ N y x0 ∈ R. Fijemos un natural n y sea x0 = 0. Dadoun número real x = 0 el teorema de Taylor nos proporciona un punto c en elintervalo abierto de extremos 0 y x de modo que

f(x) = 1 + x +1

2!x2 + · · ·+ 1

n!xn +

ec

(n + 1)!xn+1.

Ni que decir tiene que el número real c depende de n, del punto x0 en el quecentramos el desarrollo (en nuestro caso cero), del punto x y por supuesto de f.Si x = 1 el punto c pertenece al intervalo ]0, 1[ y

f(1) = 1 + 1 +1

2!+ · · ·+ 1

n!+

ec

(n + 1)!.

Así pues, Pn(1) = 1+1+ 12! + · · ·+ 1

n! y Rn(1) = ec

(n+1)! donde Rn (resp. Pn) esel resto (resp. polinomio) de Taylor de orden n de f en el punto cero. Puestoque c ∈ ]0, 1[ , el error que se comete al considerar a Pn(1) como valor de f(1),es decir, como valor de e, puede acotarse como sigue

|Rn(1)| <3

(n + 1)!.

Podemos conseguir por tanto una aproximación de e con un error tan pequeñocomo se desee sin más que tomar n suficientemente grande. Así por ejemplo, elnúmero real

P6(1) = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+

1

6!= 2.71805555...

es una aproximación del número e con un error inferior, en valor absoluto, a37! = 1

1680 . Es claro que P6(1) + ec

7! = f(1) = e (para conveniente c ∈ ]0, 1[) ycomo

2.718 < P6(1) < P6(1) +ec

7!< P6(1) +

3

7!< 2.719

cabe deducir que e = 2.718...

7.6 Funciones convexas

Estudiamos en este apartado algunos resultados que muestran la interacciónentre la derivabilidad y convexidad de una función en un intervalo.

7.6. Funciones convexas 79

Definición 7.30 Sea I un intervalo de R. Se dice que f : I → R es unafunción convexa si para cualesquiera dos puntos a, b ∈ I con a < b y paratodo número real t ∈ ]0, 1[ se verifica que

f ((1− t) a + tb) ≤ (1− t) f (a) + tf (b) .

(Nótese que cuando t recorre el intervalo ]0, 1[, el punto (1− t) a+ tb recorre elintervalo ]a, b[ que está contenido en I). Se dice que f : I → R es una funcióncóncava si la función −f es convexa, es decir, si para cualesquiera dos puntosa, b ∈ I con a < b y para todo número real t ∈ ]0, 1[ se verifica que

f ((1− t) a + tb) ≥ (1− t) f (a) + tf (b) .

Geométricamente, una función f : I → R es convexa (resp. cóncava) si,y sólo si, para cualesquiera a, b ∈ I con a < b la gráfica de la restricción def al intervalo [a, b] “se encuentra situada por debajo (resp. por encima)” delsegmento de extremos (a, f(a)) y (b, f(b)).

x

y

a b(1-t)a+tb

(1-t)f(a)+tf(b)f(a)

f(b)

f((1-t)a+tb)

convexa

x

y

a b(1-t)a+tb

(1-t)f(a)+tf(b)f(a)

f(b)f((1-t)a+tb)

cóncava

Por ejemplo, la función valor absoluto y la función exponencial son convexas(en R) y la función logaritmo neperiano es cóncava (en R+). Las funciones senoy coseno no son convexas ni cóncavas (globalmente).

Toda función convexa (resp. cóncava) en un intervalo I es derivable la-teralmente (pero no necesariamente derivable, como muestra la función valorabsoluto) en todo punto interior1 de I. En particular, las funciones convexaso cóncavas en I son continuas en todo punto interior de I. Si I = [a, b] , lacontinuidad de las función convexas o cóncavas en I no está garantizada en lospuntos a y b (pero sí en los restantes puntos de I). Del mismo modo, si elintervalo I es del tipo [a, b[ , ]a, b] , ]−∞, b] o [a,+∞[ , la continuidad de talesfunciones no está garantizada en a o b (según proceda). Las funciones convexaso cóncavas en un intervalo abierto I no necesariamente acotado (I puede ser enparticular una semirrecta abierta o todo R) son continuas en I.

1Un punto interior de un intervalo I es un punto de I que no sea un extremo de dichointervalo. Evidentemente x0 es un punto interior de I si, y sólo si, I es un entorno de x0.Todos los puntos de un intervalo abierto (incluidas las semirrectas abiertas y el propio R soninteriores).


Definición 7.31 Sea f : A → R una función real de variable real y x0 ∈ A.Se dice que x0 es un punto de inflexión de f si se cumplen las siguientescondiciones:

i) f es continua en el punto x0.

ii) Existe δ ∈ R+ tal que ]x0 − δ, x0 + δ[ ⊂ A, f es cóncava en ]x0 − δ, x0[ yconvexa en ]x0, x0 + δ[ o bien f es convexa en ]x0 − δ, x0[ y cóncava en]x0, x0 + δ[).

Si x0 es un punto de inflexión de f y δ es un número real positivo en lascondiciones de la definición se tiene de hecho lo siguiente:

i) f es continua en un entorno de x0

ii) f es cóncava en ]x0 − δ, x0] y convexa en [x0, x0 + δ[ o bien f esconvexa en ]x0 − δ, x0] y cóncava en [x0, x0 + δ[).

En lo sucesivo nos limitaremos a considerar funciones convexas. Natural-mente toda propiedad de las funciones convexas se traduce automáticamente enuna propiedad de las funciones cóncavas.

Proposición 7.32 Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable en I.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) f es una función convexa

ii) f ′ es una función creciente

iii) f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0),∀x, x0 ∈ I.

La afirmación iii) tiene también una clara interpretación geométrica: f esconvexa si, y sólo si, la gráfica de f “se halla situada por encima” de la rectatangente a f en cualquier punto x0 de I.

convexa

y=f(x0)+f '(x0)(x-x0)

f(x0)

x0

cóncava

y=f(x0)+f '(x0)(x-x0)

f(x0)

x0

Corolario 7.33 Sea I un intervalo y f : I → R una función derivable dos vecesen I. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

7.6. Funciones convexas 81

i) f es una función convexa.

ii) f ′′(x) ≥ 0,∀x ∈ I.

Ejemplos 7.34 A la luz del resultado precedente repasemos el comportamientode algunas funciones elementales:

1. La función exponencial coincide con su función derivada segunda y

ex > 0,∀x ∈ R.

Por tanto, como se indicó anteriormente, la función exponencial es con-vexa.

2. La función logaritmo neperiano es cóncava (como habíamos señalado) pues

ln′′(x) = − 1

x2< 0,∀x ∈ R+.

3. También habíamos comentado que la función seno no es convexa ni cón-cava. No obstante tenemos

sen′′ (x) = − senx,∀x ∈ R,

con lo que la restricción de la función seno a cualquier intervalo de la forma[(2k − 1)π, 2kπ] con k ∈ ZZ es una función convexa, mientras que la restric-ción de la función seno a cualquier intervalo de la forma [2kπ, (2k + 1)π]con k ∈ ZZ es una función cóncava. Algo parecido sucede con la funcióncoseno.

4. Para la función arco-tangente tenemos

arctg′′ (x) =−2x

(1 + x2)2,∀x ∈ R.

Así la restricción de esta función al intervalo R−0 es una función convexa,mientras que la restricción a R+0 es una función cóncava.

Ejercicio 7.35 Estudia los intervalos de concavidad y convexidad (curvatura)de la función f(x) = x2+1

x2−4 , ∀x ∈ R\{−2, 2}.


7.7 Representación gráfica de funciones realesde variable real

La teoría desarrollada sobre las funciones reales de variable real nos proporcionaherramientas de cierta utilidad para abordar la representación gráfica de dichasfunciones. En el estudio previo a la representación se combinan adecuadamentelas citadas herramientas por lo que se trata de una actividad extraordinaria-mente formativa. Recordemos que la gráfica de una función real de variable realf : A→ R es el siguiente subconjunto de R2: {(x, f (x)) : x ∈ A}.

Para obtener un esbozo aceptablemente bueno de la gráfica de una funciónpodemos concentrarnos en los siguientes puntos:

1. Dominio de la función (si no se especifica de manera explícita).

2. Puntos de corte con los ejes coordenados.

3. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

4. Monotonía (crecimiento y decrecimiento) y extremos relativos.

5. Curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión.

Al mismo tiempo debemos estar atentos a la eventual presencia de simetríaso periodicidades. También puede ser útil un estudio del signo de la función.


1. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica dela función f definida en cada uno de los siguientes apartados en el puntoque se indica:

i) f (x) = tg (3x) en el punto (0, 0).

ii) f (x) = 2x2 − 4x + 5 en el punto (3, 11).

iii) f(x) = (x + 1) 3√

3− x en el punto (2, 3).

2. Sean a, b ∈ R y f : R → R tal que f (x) = x2 + ax + b, para todox ∈ R. Encuentra los valores de a y b que hacen que el punto (2, 4)pertenezca a la gráfica de f y que la recta tangente a la misma en dichopunto sea la recta de ecuación 2x− y = 0.

3. Sean a, b, c ∈ R y f, g : R → R las funciones reales de variable real dadaspor f (x) = x2 + ax + b y g (x) = x3 − c, para todo x ∈ R. Determina losvalores de a, b, y c que hacen que las gráficas de f y g pasen por el punto(1, 2) y tengan la misma recta tangente en dicho punto.

4. Demuestra que la función f : R→ R dada por f(x) = |x2−2x|, para todox ∈ R, presenta puntos angulosos2 en 0 y 2.

5. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

a) f (x) =

x2 + 1 si x < 02x + 1 si 0 ≤ x ≤ 1x + 1

xsi x > 1

b) g(x) =

x + x3 si x < 00 si x = 0

senx si x > 0

c) h(x) =

−2x− 1 si x ≤ −1x2 si − 1 < x < 0senx si x ≥ 0

6. Estudia la continuidad y derivabilidad en cero de las funciones

a) f (x) =

{x3 si x < 0ex − 1 si x ≥ 0

b) g (x) =

{x3 sen

1

xsi x = 0

0 si x = 0.

Demuestra además que g′ es continua pero no derivable en dicho punto.

7. Sean a, b, c ∈ R y f : R→ R la función dada por

f (x) =

{x2 si x ≤ cax+b si x>c

Determina a y b en función de c para que exista f ′ (c).

2Recibe este nombre cualquier punto en el que existan y sean distintas las derivadas late-rales de f.

83


8. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = |3x − 3| en elpunto x = 1.

9. Halla la derivada donde tenga sentido de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x1/2 + x−5 b) f(x) = sen(cosx)c) f(x) = cos2 x− (x2 + 3x− 2)4 d) f(x) = cos(3x)

e) f(x) = ex+1 f) f(x) = tg(√x−1

x2+1 )g) f(x) = esenx h) f(x) = arccos(lnx)i) f(x) = 2tg x j) f(x) = arctg (2− 3x)

k) f(x) = ex2 lnx l) f(x) =

(1 +

2

x

)x

m) f(x) = ln( 1+x1−x) n) f(x) =

(lnx)x

xlnxo) f(x) = log2(senx) p) f(x) = cos(x2)q) f(x) = ln( 2 tgx+1tgx+2 ) r) f(x) = sen(ecosx)

s) f(x) = (1 + x)ln(1+x) t) f(x) = x1x

u) f(x) = (4 + x2)arctg(x2 ) v) f(x) = xtg x

w) f(x) = x arctg (2x)− ln(√

1 + x2) x) f(x) =

{x3 − 2 si x < 0x2 + 1 si x ≥ 0

10. Determina la imagen de la función f : [0, 2]→ R dada por:

f(x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x + 1, para todo x ∈ [0, 2] .

11. Calcula, si existen, los extremos absolutos de la función f : [−π3 ,

π3 ] → R

dada por f(x) = cos(x2), para todo x ∈ [−π3 ,

π3 ].

12. Determina la imagen de las siguientes funciones de R en R:

f (x) =x2

x2 + 3

g (x) =2

1 + e|x|.

13. Estudia si las funciones f : [0, π]→ R y g : [−1, 1]→ R dadas por

f(x) =

{tg x si x ∈ [0, π] \

{π2

}

0 si x = π2

g(x) = |x| , ∀x ∈ [−1, 1]

cumplen las hipótesis del teorema de Rolle.

14. Sea f : [0, 4]→ R definida por f(x) = x2−4xx+2 , para todo x ∈ [0, 4]. Estudia

si se verifican las hipótesis del teorema de Rolle. En caso afirmativo,calcula los puntos del intervalo ]0, 4[ en los que se anula la derivada.


15. Prueba, haciendo uso del teorema de Rolle, que la ecuación 5x4−6x+1 = 0no tiene más de dos raíces reales.

16. Demuestra que las ecuaciones

(a) 2x5 + 8x3 + 5x− 6 = 0

(b) x3 + 3x = 2x2 + 5

(c) 4x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0

tienen una única sólución real.

17. Separa en intervalos las raíces de las siguientes ecuaciones:

(a) 2x3 + 3x2 − 72x + 12 = 0

(b) x lnx = 1

(c) ex + x = 0

(d) x− x2 − ln (x + 1) = 0.

18. Establece las desigualdades

1− a

b≤ ln

b

a≤ b

a− 1

donde los números reales a, b verifican 0 < a ≤ b. Utiliza este resultado

para probar que1

6≤ ln 1.2 ≤ 1

5. Indicación: En el caso a < b aplica

el teorema del valor medio de Lagrange a la función f (x) = lnx en elintervalo cerrado [a, b].

19. Aplica el teorema del valor medio de Cauchy a las funciones

f, g :

[π

4,3π

4

]→ R

definidas por

f (x) = senx, g (x) = cosx, para todo x ∈[π

4,3π

4

]

y halla los puntos de]π

4,3π

4

[en los que se cumple la tesis del teorema.

20. Procede como en el ejercicio anterior con las funciones

f(x) = x2 − 2x + 3

yg(x) = x3 − 7x2 + 20x− 5

en el intervalo [1, 4].


21. Estudia la monotonía y determina los extremos relativos de la función

f(x) =1

3x3 − 5

2x2 + 6x.

22. Halla los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) f(x) = x4e−x2 e) f(x) = 3x4 − 12x2 − 7

b) f(x) = x(x− 2)2(x + 1)3 f) f(x) = ln(√

2x3 + 3x2)

c) f(x) = x3

(x+1)2 g) f(x) = 1(x2−8x+17)1/3

d) f(x) = x2e−x h) f(x) = x+3x2+x−2 .

23. Se desea fabricar una lata de conservas cilíndrica con tapa de un litrode capacidad. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que se utilice elmínimo posible de metal?

24. Un depósito con tapa está formado por un cilindro de altura h cerrado ensu parte inferior por una semiesfera de radio r. Calcular las dimensionesdel depósito si debe tener un volumen V y se desea que el área total seamínima. (Recuerda que el volumen viene dado por V = πr2h+ 2

3πr3 y el

área es A = 2πrh + 3πr2).

25. Halla los catetos del triángulo rectángulo de área máxima cuya hipotenusasea de 20 centímetros.

26. Calcula, si existen, los siguientes límites:

a) limx→0

(tgx)tg(2x) c) limx→0

( 1x)senx e) lim

x→2π(1− cosx)senx

b) limx→0

(1

x)tgx d) lim

x→+∞(lnx)

1x f) lim

x→+∞5x+7x

5x−7x .


27. Analiza la existencia y calcula el valor, si procede, de los siguientes límites:

i) limx→0

x

x + senxxvii) lim

x→01−cosx−sen2(2x) cos(3x)

1−cosx

ii) limx→0

(x lnx) xviii) limx→0

ax−asenx

x3

iii) limx→0

x2

1− cos(3x)xix) lim

x→∞

(3x2−x+12x2+x+1

) x3

1−x

iv) limx→0

x sen(4x)

1− cos(3x)xx) lim

x→∞x3x

v) limx→1

lnx

1− x2xxi) lim

x→∞

(x+ax−a

)x

vi) limx→0

(x2 lnx) xxii) limx→0

(1 + x2)1/ tg2x

vii) limx→0

x arcsenx

1− cos(2x)xxiii) lim

x→0sen2 xx2+x3

viii) limx→0

ex2−1

1−cosx xxiv) limx→0

(x ln(tg x))

ix) limx→0

(√

x)tg x xxv) limx→π

2

cos2 x2x−π

x) limx→0

(e2x − 1)1

ln 2x xxvi) limx→0

(ex−1) senxx2

xi) limx→0

(x + 3

x + 4

)5x+2xxvii) lim

x→0ln(sen(2x))ln(senx)

xii) limx→∞

(x + 1

x− 1

)x

xxviii) limx→0

(xn lnx) (n ∈ IN)

xiii) limx→∞

[x(2

1x − 1)

]xxix) lim

x→0( 1x)

senx

xiv) limx→0

1x ln

√x+11−x xxx) lim

x→1( 1lnx − 1

x−1 )

xv) limx→0

((ex − 1) tg(

π

2+ x)

)xxxi) lim

x→+∞ex+senxex+cosx

xvi) limx→0

1+senx−cosx1+sen px−cos px xxxii) lim

x→+∞(x + 4)

1x .

28. Halla la derivada n-ésima de las siguientes funciones:

a) f(x) = 1x−5

b) f(x) = 1x2−8x+12 (Indicación: Antes de derivar conviene tener en

cuenta que 1x2−8x+12 = −1

4(x−2) + 14(x−6)).

29. Desarrolla en potencias de (x− 2) el polinomio x3+4x2−5x+8 haciendouso de la fórmula de Taylor.

30. Sea f : R+ → R la función dada por f(x) = lnxx , para todo x ∈ R+.

Calcula el polinomio de Taylor de orden dos en el punto x0 = 1.

31. Escribe la fórmula de Taylor de segundo orden de la función f(x) = sen2 xen el punto x0 = 0.

32. Calcula el polinomio de Taylor de orden cuatro en el punto cero de lafunción f(x) =

√x + 1.


33. Halla un valor aproximado de cos 32◦ (en términos de números irracionalesfrecuentemente utilizados) mediante un polinomio de Taylor de orden 2.Estima el error cometido.

34. Encuentra una aproximación de√

2 utilizando un polinomio de Taylor deorden 3 y estima el error cometido.

35. Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes fun-ciones:

a) f(x) = e−x2 c) f(x) = e−x(x2 + 6x + 8)b) f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 8 d) f(x) = senx cosx (en [0, π]) .

36. Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones:

a) f(x) = x4 − 18x2 + 32 e) f(x) =2x2 − 3x− 2

x2 − 1

b) f(x) =x2 − 4x + 5

x− 2f) f(x) = (x− 1) ex

c) f(x) =x2 − 5x + 4

x2 + 5x + 4g) f(x) =

√x2 + 1

d) f(x) =x3

x− 3h) f(x) = ln

(x2 + 1

).

Tema 8

Integrabilidad de funcionesreales

Expondremos en este tema algunos hechos básicos sobre la integral de Riemann.El más importante es sin duda el teorema fundamental del cálculo, que relacionalas tres nociones de mayor relevancia en el contexto de las funciones reales devariable real: continuidad, derivabilidad e integración. De acuerdo con el teo-rema mencionado la integración es, en cierto sentido, la operación inversa de laderivación. Debemos resaltar además otro teorema clave, la regla de Barrow,que aporta un método muy efectivo para el cálculo de integrales. Estudiare-mos también las denominadas integrales impropias y finalizaremos el tema conalgunas aplicaciones de la integral definida.

8.1 Concepto de función integrable

En este tema a y b serán, salvo mención en contra, dos números reales talesque a < b. Una partición del intervalo [a, b] es, por definición, un subconjuntofinito P de [a, b] que contiene a los puntos a y b. Los elementos de cualquierpartición P = {x0, x1, ..., xn} del intervalo [a, b] se expresarán siempre ordenadosde menor a mayor:

a = x0 < x1 < · · · < xn = b.

El símbolo P([a, b]) denotará el conjunto de todas las particiones del intervalo[a, b].

Sea f : [a, b]→ R una función acotada y P = {x0, x1, ..., xn} una partición de[a, b]. Cualquiera que sea k ∈ {1, ..., n} la función f está acotada, en particular,

89

90 Tema 8. Integrabilidad de funciones reales

en el intervalo [xk−1, xk] . Podemos por tanto definir

s(f, P ) =n∑

k=1

inf f ([xk−1, xk]) (xk − xk−1) ,

S(f, P ) =n∑

k=1

sup f([xk−1, xk]) (xk − xk−1).

Los números reales s(f, P ) y S(f, P ) reciben el nombre de suma inferior ysuma superior, respectivamente, de la función f respecto de la particiónP .

Suma Inferior Suma Superior

Amodo de ejemplo, sea f : [0, 1]→ R la función dada por f (x) = x2+1, paratodo x ∈ [0, 1] . El siguiente cuadro contiene las sumas inferiores y superiores queresultan al dividir el intervalo original [0, 1] en n subintervalos de igual longitud(para distintos valores de n):

Número n desubintervalos

Suma inferior Suma superior Diferencia

10 1.285 1.385 0.130 1.31685 1.35019 0.0333450 1.3234 1.3434 0.0270 1.32622 1.34051 0.0142990 1.3278 1.33891 0.01111110 1.3288 1.33789 0.00909130 1.3295 1.33719 0.00769150 1.33001 1.33667 0.00666

Puede apreciarse cómo la diferencia entre ambas sumas tiende a cero a medidaque n crece. Este hecho es muy intuitivo y, tal como ocurre en este ejemplo con-creto, tiene lugar para una amplia clase de funciones (aunque debemos señalar,en honor a la verdad, que no sucede lo mismo con todas las funciones acotadasen un intervalo cerrado y acotado. Pronto expondremos algún caso que ilus-tra perfectamente este último comentario). Pero avanzando un poco más en ladirección sugerida por nuestra propia intuición sería deseable que la diferenciaentre las sumas superiores e inferiores tienda a cero incluso para particionesmás generales que las consistentes en dividir un intervalo en trozos de idénticalongitud. Como ya hemos señalado, esto no sucederá con todas las funcionesacotadas en [a, b], pero nadie puede negar el interés de la familia constituida por

8.1. Concepto de función integrable 91

aquellas funciones acotadas en [a, b] para las que se cumple la propiedad indi-cada (tendencia a cero de las diferencias entre las sumas superiores e inferiores).A las funciones de esta clase dedicamos el presente tema.

Volviendo a nuestro planteamiento, sea f : [a, b] → R una función acotaday P una partición de [a, b]. Evidentemente s(f, P ) ≤ S(f, P ) y es rutinariocomprobar que si P ′ es otra partición del intervalo [a, b] tal que P ⊂ P ′ entonces

s(f, P ) ≤ s(f, P ′) y S(f, P ′) ≤ S(f, P ).

De ello se deduce que toda suma inferior es menor o igual que cualquier sumasuperior. Es decir, si P1 y P2 son particiones arbitrarias de [a, b],

s(f, P1) ≤ S(f, P2).

En particular, el conjunto {s(f, P ) : P ∈ P([a, b])} está mayorado (cualquiersuma superior de f es un mayorante de este conjunto) y el conjunto

{S(f,P ) : P ∈ P([a, b])}

está minorado (toda suma inferior de f es un minorante). Esto da sentido a lossiguientes conceptos:

Definición 8.1 Sea f : [a, b]→ R una función acotada. Los números reales

∫

−

f = sup {s(f,P ) : P ∈ P([a, b])} ,

−∫f = inf {S(f, P ) : P ∈ P([a, b])},

reciben el nombre de integral inferior e integral superior de f , respectiva-mente.

Observemos que, para toda función acotada f : [a, b]→ R,

(b− a) inf f([a, b]) ≤∫

−

f ≤−∫f ≤ (b− a) sup f([a, b]).

La desigualdad central es consecuencia inmediata de los comentarios previos a ladefinición. Con respecto a las dos restantes, téngase en cuenta que los númerosreales

(b− a) inf f([a, b]) y (b− a) sup f([a, b])

son, respectivamente, la suma inferior y la suma superior de f asociadas a lapartición trivial {a, b}. Notemos de paso que (b − a) inf f([a, b]) es el mínimodel conjunto {s(f, P ) : P ∈ P([a, b])} y que (b− a) sup f([a, b]) es el máximo de{S(f, P ) : P ∈ P([a, b])} (con lo que ambos conjuntos están acotados).


Definición 8.2 Decimos que una función f : [a, b] → R es integrable si estáacotada y las integrales inferior y superior de f coinciden. En tal caso, llamamosintegral de f y denotamos por

∫ b

af al valor común de las integrales superior e

inferior de f. A menudo escribiremos1∫ b

a f(x) dx en lugar de∫ b

a f.

Las funciones constantes son sin duda los ejemplos más sencillos de fun-ciones integrables en intervalos cerrados y acotados. Si α es un número real yf : [a, b]→ R es la función dada por f(x) = α, para todo x ∈ [a, b], se compruebainmediatamente que f es integrable en [a, b] con

∫ b

a f(x) dx = α(b− a). Escribi-

mos por tanto∫ b

a αdx = α(b− a) y, si α = 1, es costumbre poner∫ b

a dx = b− a

en lugar de∫ b

a1dx = b− a.

En el siguiente enunciado recogemos algunas propiedades básicas de la in-tegrabilidad y de la integral que expresan la compatibilidad de tales conceptoscon la estructura de R.

Proposición 8.3 Sean f, g : [a, b] → R funciones integrables y λ un númeroreal. Entonces

i) Las funciones f + g y λf son integrables con∫ b

a(f + g) =

∫ b

af +

∫ b

ag ,∫ b

a (λf) = λ∫ b

a f .

ii) Si f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ [a, b], se verifica que∫ b

af ≤

∫ b

ag .

iii) La función |f | es integrable y se verifica que |∫ b

af | ≤

∫ b

a|f | .

iv) La función fg es integrable.

En relación con el tercer apartado conviene observar que la correspondienteafirmación recíproca no es cierta en general. Es decir, la integrabilidad de |f |no implica la integrabilidad de f. Consideremos, para ponerlo de manifiesto, lafunción f : [0, 1]→ R definida por f(x) = 1, para todo x ∈ [0, 1]∩Q, f(x) = −1,para todo x ∈ [0, 1]∩ (R\Q). Dada una partición P del intervalo [0, 1], se tiene,en virtud de la densidad en R de los conjuntos Q y R\Q, que s(f, P ) = −1 yS(f, P ) = 1. Por tanto,

∫

−

f = −1, mientras que

−∫f = 1.

Luego f no es integrable y, sin embargo, |f | es constante y en particular inte-grable en el intervalo [0, 1].

Resaltamos ahora una importante propiedad que posibilita el estudio de laintegrabilidad y, en su caso, el cálculo de la integral, fraccionando el intervalode integración.

1La notación clásica admite, como es lógico, cualquier otra letra en el papel de x. Así porejemplo, el símbolo

∫b

af(t) dt tiene el mismo significado que

∫b

af(x) dx .

8.1. El Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow 93

Proposición 8.4 Sea f : [a, b] → R una función acotada y c ∈ ]a, b[ . Lassiguientes afirmaciones son equivalentes.

i) f es integrable en [a, b]

ii) f es integrable en [a, c] y en [c, b] .

Además, en caso afirmativo,∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf.

El siguiente resultado nos ofrece una idea de la amplitud de la clase de lasfunciones integrables:

Teorema 8.5 Se verifica que

i) Toda función monótona f : [a, b]→ R es integrable.

ii) Toda función continua f : [a, b]→ R es integrable.

Además, como puede deducirse del siguiente enunciado, existen funcionesintegrables que no son monótonas ni continuas.

Proposición 8.6 Sea f : [a, b]→ R una función acotada.

i) Si f es integrable, toda función g : [a, b] → R para la que el conjunto{x ∈ [a, b] : f(x) = g(x)} sea finito es también integrable y se tiene que∫ b

ag(x)dx =

∫ b

af(x)dx.

ii) Si el conjunto de puntos de [a, b] en los que f no es continua es finitoentonces f es integrable.

8.2 El teorema fundamental del cálculo y la reglade Barrow

Sea f : A→ R una función real de variable real. Dado a ∈ A, es coherente conlas propiedades de la integral admitir que f es integrable en [a, a] y que

∫ a

a

f = 0.

Consideremos ahora dos números reales a y b con a < b y supongamos que[a, b] ⊂ A. Si f es integrable en [a, b], definimos

∫ a

b

f = −∫ b

a

f.

La aditividad de la integral respecto del intervalo de integración puede ge-neralizarse fácilmente a esta nueva situación. En efecto, sean a, b y c númerosreales, α = min{a, b, c}, β = max{a, b, c} y consideremos una función real de


variable real f : A→ R tal que [α, β] ⊂ A. Supongamos que f es integrable en[α, β]. Entonces

∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f.

Obsérvese pues que la igualdad anterior se verifica aunque c no sea un puntointermedio entre a y b.

Definición 8.7 Sea I un intervalo de R y f : I → R una función. Diremos quef es localmente integrable en I si es integrable en todo intervalo cerrado yacotado contenido en I. En tal caso, dado a ∈ I, la función F : I → R definidapor

F (x) =

∫ x

a

f, ∀x ∈ I,

recibe el nombre de función integral asociada a f con origen en el punto a.

Observemos que si f es continua o monótona en I entonces f es localmenteintegrable en I. Además, si I es un intervalo cerrado y acotado, f es localmenteintegrable en I si, y sólo si, f es integrable en I. Finalmente, nótese que laintegrabilidad local de una función f en un intervalo I da perfecto sentido a ladefinición de las funciones integrales pues, dados a y x en I, el intervalo cerradode extremos a y x está contenido en I y f es integrable en dicho intervalo porser localmente integrable en I.

Si f : I → R es una función localmente integrable en I, a, b ∈ I y F,G sonlas funciones integrales asociadas a f con origen en los puntos a y b, respecti-vamente, entonces

F (x)−G(x) =

∫ x

a

f −∫ x

b

f =

∫ b

a

f, para todo x ∈ I.

Por tanto, dos funciones integrales asociadas a una misma función (localmenteintegrable) se diferencian en una constante.

Enunciamos ya el Teorema Fundamental del Cálculo:

Teorema 8.8 Sea I un intervalo no reducido a un punto, f : I → R unafunción localmente integrable en I y F la función integral asociada a f conorigen en un punto a de I (F (x) =

∫ x

af, ∀x ∈ I). Se verifica que:

i) F es continua en I.

ii) Si f es continua en un punto x0 ∈ I, entonces F es derivable en el punto x0con F ′(x0) = f(x0). Como consecuencia, si f es continua en I, entoncesF es derivable en I y se tiene que

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

8.2. El Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow 95

Del resultado anterior se deduce inmediatamente que toda función continuaen un intervalo (no reducido a un punto) es la función derivada de otra. Con-cretamente, de cualquiera de sus funciones integrales asociadas.

Consideremos, como ejemplo de aplicación del resultado anterior, la funciónf : R→ R definida por f(x) = e−x2 , para todo x ∈ R, y sea h : R→ R la funcióndefinida por h(x) =

∫ senx0

f, para todo x ∈ R. Nótese que f es continua en R ypor tanto localmente integrable en R, lo que da sentido a la función h. Si F es lafunción integral asociada a f con origen en el punto cero (F (x) =

∫ x

0 f, ∀x ∈ R),es claro que h = F ◦ g, siendo g la función seno. Puesto que f es continua en R,el teorema anterior garantiza que F es derivable en R con F ′(x) = f(x) = e−x2 ,para todo x ∈ R. La regla de la cadena nos permite deducir entonces que h esderivable en R con h′(x) = F ′(g(x))g′(x) = e− sen

2 x cosx, para todo x ∈ R.Sea A un subconjunto no vacío de R tal que A ⊂ A′ y f : A → R una

función. Si existe una función G : A → R, derivable en A, tal que G′ = f,decimos que f admite primitiva y que G es una primitiva de f en A. Comopuede apreciarse, la condición A ⊂ A′ nos permite hablar de la derivabilidadde G en todo punto de A. Es inmediato que la diferencia entre dos primitivasde f en A es una función con derivada cero en todo punto de A. En particular,si I es un intervalo no reducido a un punto y f : I → R admite primitiva,la diferencia entre dos cualesquiera de ellas es constante. Como consecuencia,todas las primitivas de f pueden describirse fácilmente a partir de una cualquierade ellas.

Teorema 8.9 (Regla de Barrow) Sea f : [a, b] → R una función integrabley supongamos que existe una aplicación G : [a, b] → R, continua en [a, b] yderivable en ]a, b[ , tal que G′(x) = f(x), para todo x ∈ ]a, b[ . Entonces

∫ b

a

f = G(b)−G(a).

Obsérvese que la condición sobre G se cumple en particular si G es unaprimitiva de f en [a, b] (es decir, si G es derivable en [a, b] con G′(x) = f(x),para todo x ∈ [a, b]).

Consideremos, por ejemplo, la función f : [0, 1]→ R definida por

f(x) =x

x2 + 1, para todo x ∈ [0, 1] .

Evidentemente f es continua y en particular integrable en [0, 1] . Además, laaplicación G : [0, 1] → R dada por G(x) = 1

2 ln(x2 + 1

), para todo x ∈ [0, 1] ,

es una primitiva de f. Por tanto,∫ 1

0

x

x2 + 1dx = G(1)−G(0) =

1

2ln 2.

Las dos hipótesis presentes en la regla de Barrow (integrabilidad de f yexistencia de G) son independientes. Por ejemplo, la función f : [−1, 1] → R

dada por f(x) = 0, para todo x ∈ [−1, 0] , f(x) = 1, para todo x ∈ ]0, 1] , es


integrable en [−1, 1] pero no admite ninguna función G : [−1, 1] → R en lascondiciones de la regla de Barrow2 . Por otra parte, la aplicación f : [−1, 1]→ R

definida por f(x) = 1√1−x2

, para todo x ∈ ]−1, 1[ , f(−1) = f(1) = 0, noes integrable pues evidentemente no está acotada en [−1, 1] y, sin embargo, lafunción arco-seno cumple todo lo que, para G, exige la regla de Barrow.

Señalemos finalmente que aunque una función admita primitiva no siemprees posible expresarla en términos de las funciones elementales mediante las ope-raciones habituales. Tal es el caso, por ejemplo, de las funciones f, g : R → R

dadas por f(x) = ex2

, g(x) = sen(x2), para todo x ∈ R. La regla de Barrow noresulta útil en situaciones de este tipo.

8.3 Dos métodos de integración fundamentales

Los recursos que ponemos a punto en esta sección permiten reducir ciertasintegrales a otras más sencillas. Nos ocuparemos concretamente de la fórmuladel cambio de variable o método de sustitución y de la fórmula de integración porpartes. Las versiones que incorporamos se refieren como es lógico a la integralque venimos desarrollando, conocida a menudo como integral definida. Existenmétodos muy similares para el cálculo de primitivas (o integrales indefinidas)que tendremos ocasión de ejercitar en las sesiones prácticas. La importancia deestas últimas técnicas es clara en vista de la regla de Barrow.

Sean a y b números reales con a < b y ϕ : [a, b]→ R una función derivable en[a, b] tal que su función derivada, ϕ′, es integrable. Consideremos un intervalo I(no reducido a un punto) que contenga a ϕ([a, b]) y sea f : I → R una funcióncontinua. Entonces la función (f ◦ ϕ)ϕ′ es integrable en [a, b] y se verifica lasiguiente igualdad, conocida como fórmula del cambio de variable:

∫ b

a

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x) dx. (8.1)

Este resultado es una consecuencia prácticamente inmediata de la regla dela cadena, el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow.

El nombre que recibe la igualdad (8.1) se comprende aún más si hacemosuso de la notación clásica para las derivadas. Concretamente, si en la integraldel primer miembro hacemos la sustitución x = ϕ(t), se tiene, con tal notación,dx = ϕ′(t)dt y adaptando los límites de integración a la variable x (para t = ay t = b se obtiene respectivamente x = ϕ(a) y x = ϕ(b)) llegamos a la integraldel segundo miembro.Ejemplo. Consideremos un número real positivo r y calculemos el valor de la

2Si existiese una tal función G las reglas de L’Hôpital nos conducirían fácilmente a unacontradicción:

0 = f(0) = G′(0) = limx→0

G(x)−G(0)

x− 0= lim

x→0+

G(x)−G(0)

x− 0= limx→0+

G′(x) = limx→0+

f(x) = 1.

8.3. Dos métodos de integración fundamentales 97

siguiente integral ∫ r

−r

√r2 − x2 dx.

De acuerdo con (8.1) el cambio x = r sen t nos permite escribir 3

∫ r

−r

√r2 − x2 dx =

∫ π2

−π2

√r2 − r2 sen2 t r cos t dt =

∫ π2

−π2

r2 cos2 t dt

= r2∫ π

2

−π2

1+cos 2t2 dt = r2(G(π2 )−G(−π

2 ))

= r2(π4 − (−π4 )) = πr2

2

donde G(t) = t2 + sen 2t

4 , para todo t ∈ [−π2 ,

π2 ] (una primitiva en tal intervalo

de la función t �→ 1+cos 2t2 ).

Obsérvese que la gráfica de la función f : [−r, r]→ R definida por

f(x) =√

r2 − x2, para todo x ∈ [−r, r],

es la semicircunferencia superior de centro el origen y radio r (pues evidente-mente {(x, f(x)) : x ∈ [−1, 1]} = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 = r2, y ≥ 0}). Así pues,desde el punto de vista geométrico, la integral considerada representa el área deun semicírculo de radio r. De ello se deduce que el área del círculo de radio r esπr2. En la sección dedicada a las aplicaciones de la integral consideraremos elcálculo de áreas con mayor detenimiento.

Nos centramos ya en el segundo de los métodos anteriormente anunciados:Sean u, v : [a, b]→ R funciones derivables en [a, b] y supongamos que u′ y v′

son integrables en dicho intervalo. Entonces uv′ y u′v son integrables en [a, b] yse verifica la siguiente igualdad, conocida como fórmula de integración porpartes:

∫ b

a

u(x)v′(x) dx = u(b)v(b)− u(a)v(a)−∫ b

a

u′(x)v(x) dx. (8.2)

Se trata, en este caso, de una consecuencia inmediata de la regla de derivaciónde un producto y la regla de Barrow (junto a las propiedades básicas de laintegral).

Evidentemente las hipótesis sobre u y v se cumplen en particular si talesfunciones son de clase C1 en el intervalo [a, b] , una situación que se presenta amenudo en la práctica.Ejemplos. Determinemos el valor de las siguientes integrales

∫ π2

0

x senxdx,

∫ π2

0

x2 cosx dx,

∫ π

0

ex senxdx,

∫ 1

0

arctg xdx.

3Nótese que la función ϕ : R → R dada por ϕ(t) = r sen t es derivable, con derivadacontinua, y ϕ(R) = [1, 1]. Por tanto, es integrable en cualquier intervalo cerrado y acotado,en particular, en el intervalo [−π

2, π2]. Además, ϕ(−r) = −π

2y ϕ(r) = π

2.


Las funciones u, v :[0, π2

]→ R dadas por u(x) = x, v(x) = − cosx, para

todo x ∈[0, π2

]son de clase C∞ y, en particular, cumplen las hipótesis previstas

para (8.2). Así pues, las funciones uv′ y u′v son integrables en[0, π2

]y se tiene

que ∫ π2

0

u(x)v′(x) dx = u(π

2)v(

π

2)− u(0)v(0)−

∫ π2

0

u′(x)v(x) dx.

Esto es, ∫ π2

0

x senxdx =

∫ π2

0

cosxdx = 1

donde se ha usado la regla de Barrow (para obtener la segunda igualdad).La fórmula de integración por partes se aplica a veces de forma reiterada.

Ilustramos este uso mediante la segunda integral:Sean ahora u y v, de

[0, π2

]en R, las funciones definidas por u(x) = x2,

v(x) = senx, para todo x ∈[0, π2

]. Puesto que cumplen sobradamente las

condiciones de (8.2), las funciones uv′ y u′v son integrables en[0, π2

]y se verifica

que ∫ π2

0

u(x)v′(x) dx = u(π

2)v(

π

2)− u(0)v(0)−

∫ π2

0

u′(x)v(x) dx.

Así pues, ∫ π2

0

x2 cosxdx =π2

4− 2

∫ π2

0

x senxdx =π2

4− 2.

La determinación de la integral∫ π

2

0x senx dx constituiría nuestra segunda apli-

cación de la fórmula de integración por partes, pero se trata de una integral queya tenemos calculada.

En algunos casos la integral obtenida en el segundo miembro de la fórmulade integración por partes es del mismo tipo que la de partida. Si no hemosconseguido ninguna simplificación es razonable que pensemos en otro método.Sin embargo, no debemos precipitar esta decisión pues, a veces, una segundaaplicación de la fórmula nos conduce a la integral inicial y la igualdad conseguidaen este proceso permite despejar su valor.

La tercera integral,∫ π

0 ex senxdx, es del tipo que acabamos de mencionar.Consideremos pues las funciones u y v, de [0, π] en R, definidas por

u(x) = ex, v(x) = − cosx, para todo x ∈ [0, π] .

Es claro que las funciones uv′ y u′v son integrables en [0, π] y se tiene que

∫ π

0

u(x)v′(x) dx = u(π)v(π)− u(0)v(0)−∫ π

0

u′(x)v(x) dx.

Luego, ∫ π

0

ex senx dx = eπ + 1 +

∫ π

0

ex cosx dx.

8.3. Integrales impropias 99

De forma similar se obtiene que∫ π

0ex cosxdx = −

∫ π

0ex senxdx. Por tanto,

∫ π

0

ex senx dx = eπ + 1−∫ π

0

ex senxdx

de donde se deduce que∫ π

0 ex senx dx = eπ+12 .

En los ejemplos precedentes el integrando se expresa de forma explícita comoproducto de dos funciones. Que ésta no sea la situación no implica necesaria-mente que debamos prescindir de la integración por partes. A veces, como ocurrecon la última de las integrales propuestas,

∫ 10 arctg xdx, es útil considerar como

factor v′ la función constantemente igual a uno. De acuerdo con ello, sean u yv, de [0, 1] en R, las funciones definidas por u(x) = arctg x, v(x) = x, para todox ∈ [0, 1] . Evidentemente uv′ y u′v son integrables en [0, 1] y se verifica que

∫ 1

0

u(x)v′(x) dx = u(1)v(1)− u(0)v(0)−∫ 1

0

u′(x)v(x) dx.

Por tanto,

∫ 1

0

arctgx dx =π

4−∫ 1

0

x

1 + x2dx =

π

4− 1

2

∫ 1

0

2x

1 + x2dx =

π

4− ln 2

2.

Naturalmente, la última igualdad se ha obtenido con la regla de Barrow puesla función x �→ ln(1 + x2) es una primitiva (en todo R y, en particular, en elintervalo [0, 1]) de la función x �→ 2x

1+x2 .Las cuatro integrales que acabamos de estudiar pueden calcularse análoga-

mente obteniendo una primitiva de cada integrando y aplicando después la reglade Barrow (la determinación de las correspondientes primitivas sigue un método,también por partes, muy similar al aquí expuesto). Este comentario no restainterés a la fórmula (8.2) que es válida (y puede ser útil) aunque no se dispongade primitivas concretas de los integrandos.

8.4 Integrales impropias

La noción de integrabilidad que hemos estudiado tiene importantes limitacionespues está concebida para funciones acotadas definidas en intervalos cerrados yacotados. En este apartado extenderemos tal noción de modo que podamosaplicarla a funciones no necesariamente acotadas en intervalos abiertos o se-miabiertos, que perfectamente podrán no ser acotados. Aunque, como se veráenseguida, la extensión es completamente natural, hemos de señalar que en esteproceso se pierde alguna propiedad básica de la integral y es por ello que lasintegrales resultantes se califican de impropias.

Sea a ∈ R y b ∈ R (= R ∪ {+∞,−∞}) tales que a < b (nótese que b puedeser un número real o bien +∞). Consideremos un subconjunto A de R tal que[a, b[ ⊂ A y sea f : A→ R una función localmente integrable en [a, b[ . Decimosque f es impropiamente integrable en [a, b[ si la función F : [a, b[ → R


definida por F (x) =∫ x

af, para todo x ∈ [a, b[ , tiene límite en b. En tal caso, el

valor de dicho límite recibe el nombre de integral impropia de f en [a, b[ y sedenota por

∫ b

a f. Así pues,

∫ b

a

f = limx→b

F (x) = limx→b

∫ x

a

f .

Ejemplos:

1. La función f : R∗ → R definida por f(t) = 1t2 , para todo t ∈ R∗, es

continua y en particular localmente integrable en [1,+∞[ . Además, paratodo número real x ≥ 1, la regla de Barrow nos permite afirmar que

∫ x

1

f(t) dt =

∫ x

1

1

t2dt = −1

x+ 1,

luego, limx→+∞∫ x

1f = limx→+∞(− 1

x + 1) = 1. En consecuencia f esimpropiamente integrable en [1,+∞[ con

∫+∞1

f = 1. Podemos tambiénescribir

∫+∞1

1t2 dt = 1 y, como ya hemos indicado, la letra t puede susti-

tuirse por cualquier otra.

2. Consideremos la función f : [0, 1[ → R dada por f(t) =√t + 1√

1−t, para

todo t ∈ [0, 1[ . Obviamente f es continua y, en consecuencia, localmenteintegrable en [0, 1[ . Además, la función G : [0, 1[→ R definida por

G(t) =2

3t√t− 2

√1− t, para todo t ∈ [0, 1[ ,

es una primitiva de f. Así pues, cualquiera que sea x ∈ [0, 1[ ,

∫ x

0

f =2

3x√x− 2

√1− x + 2,

de donde, limx→1

∫ x

0f = 2

3 + 2 = 83 . Por tanto, f es impropiamente

integrable en [0, 1[ con∫ 10 f = 8

3 .

3. La función f : [0,+∞[ → R dada por f(t) = 1t+1 , para todo t ∈ [0,+∞[ ,

es localmente integrable (ya que es de hecho continua) en [0,+∞[ . Esclaro además que para todo x ∈ [0,+∞[ ,

∫ x

0

f =

∫ x

0

1

t + 1dt = ln(x + 1),

luego la función x �→∫ x

0f, de [0,+∞[ en R, no tiene límite (nótese que

diverge positivamente) en +∞ y, en consecuencia, f no es impropiamenteintegrable en [0,+∞[ .

8.4. Integrales impropias 101

De forma análoga se definen las integrales impropias en intervalos del tipo]a, b] , donde a ∈ R, b ∈ R y a < b (a puede ser un número real o −∞).Concretamente, si A es un subconjunto de R que contiene un intervalo ]a, b] deltipo mencionado y f : A → R es una función localmente integrable en ]a, b] ,decimos que f es impropiamente integrable en ]a, b] si la función F, de ]a, b]

en R, definida por F (x) =∫ b

x f, para todo x ∈ ]a, b] , tiene límite en el punto a.En tal caso, el valor de dicho límite recibe el nombre de integral impropia def en ]a, b] y se denota por

∫ b

af. Así pues,

∫ b

a

f = limx→a

F (x) = limx→a

∫ b

x

f.

Notemos, a modo de ejemplo, que la función exponencial es localmente in-tegrable en R y, en particular, en ]−∞, 0] . Además, para todo número realx ≤ 0, ∫ 0

x

et dt = 1− ex.

Por tanto, limx→−∞∫ 0xet dt = limx→−∞(1 − ex) = 1. Se prueba así que la

función exponencial es impropiamente integrable en ]−∞, 0] con∫ 0−∞ et dt = 1.

Supongamos ahora que a y b son elementos de R con a < b. Si A es unsubconjunto de R tal que ]a, b[ ⊂ A y f : A → R es una función localmenteintegrable en ]a, b[ , decimos que f es impropiamente integrable en ]a, b[ siexiste un número real c ∈ ]a, b[ tal que f es impropiamente integrable en ]a, c] yen [c, b[ . Además, en caso afirmativo, el número real

∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f,

recibe el nombre de integral impropia de f en ]a, b[ .Consideremos, por ejemplo, la función f : R→ R definida por

f(t) =1

1 + t2, para todo t ∈ R.

Evidentemente f es localmente integrable en R y, cualquiera que sea x ∈ R,∫ x

0

f =

∫ x

0

1

1 + t2dt = arctgx.

Por tanto, limx→+∞∫ x

0 f = limx→+∞ arctgx = π2 y

limx→−∞

∫ 0

x

f = limx→−∞

(− arctg x) = −(−π

2) =

π

2.

Se prueba así que la función f es impropiamente integrable en [0,+∞[ y en]−∞, 0] con

∫+∞0

f =∫ 0−∞ f = π

2 . En consecuencia, f es impropiamente inte-

grable en R (es decir, en ]−∞,+∞[ ) con∫+∞−∞ f = π

2 + π2 = π.


8.5 Aplicaciones de la integral

El cálculo integral resulta extraordinariamente útil en multitud de disciplinas.En este apartado abordaremos algunas aplicaciones típicas que, en definitiva,no son más que una pequeña muestra entre las diversas propuestas que podríanincluirse.

Área de una región plana

Sea I un intervalo no reducido a un punto y f, g : I → R funciones localmenteintegrables en I tales que g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I. Consideremos elconjunto

R = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ I, g(x) ≤ y ≤ f(x)}.Como puede apreciarse, se trata de una región del plano comprendida entre lasgráficas de f y g. Si I es un intervalo cerrado y acotado es claro que f y g sonintegrables en I y es natural decir que la integral de f − g en I es el área de R.Si I es un intervalo de cualquier otro tipo, diremos que R tiene área si f − ges impropiamente integrable en I. En tal caso, la integral impropia de f en Irecibe el nombre de área de R.

Ejemplos:

1. Anteriormente hemos visto que la función x �→ 11+x2 , de R en R, es im-

propiamente integrable en R con∫ +∞−∞

11+x2 dx = π. Es claro entonces que

el área del conjunto

{(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1

1 + x2}

es π.

π=+∫

∞+

∞− 21 x

dx

2. Hallemos ahora el área de la región limitada por la parábola de ecuacióny = x2 y la recta y = 2x. La región en cuestión es claramente el conjunto

R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x}.

Por tanto el área pedida es∫ 20(2x− x2) dx = 4

3 .

-2 2

2

4

8.5. Aplicaciones de la integral 103

3. Para determinar el área comprendida entre la gráfica de la función loga-ritmo neperiano y el eje de abscisas, a lo largo del intervalo ]0, e] , debemostener en cuenta que lnx ≤ 0, para todo x ∈ ]0, 1] , mientras que lnx ≥ 0,para todo x ∈ [1, e] :

1 2

-1

1

e

Observemos además que si a y b son números reales y 0 < a < b, la fórmulade integración por partes con u(t) = ln t y v(t) = t, para todo t ∈ [a, b] ,nos permite afirmar que

∫ b

a

ln t dt = b ln b− a lna−∫ b

a

t1

tdt = b ln b− a lna− (b− a).

Evidentemente, el área buscada viene dada por∫ e

0

|ln t| dt = limx→0+

∫ e

x

|ln t| dt

= limx→0+

(∫ 1

x

|ln t| dt +∫ e

1

|ln t| dt)

=

∫ e

1

ln t dt− limx→0+

∫ 1

x

ln t dt

= e ln e− 1 ln 1− (e− 1)− limx→0+

(1 ln 1− x lnx− (1− x))

= 1− limx→0+

(−x lnx− (1− x))

= 1 + limx→0+

(x lnx + 1− x)

= 2 + limx→0+

lnx

1/x

= 2 + limx→0+

1/x

−1/x2

= 2 + limx→0+

(−x)

= 2.

4. De forma análoga, para calcular el área encerrada por las gráficas de lasfunciones seno y coseno entre −π y π, hemos de tener presente que

cosx ≤ senx, para todo x ∈ [−π,−3π/4]

senx ≤ cosx, para todo x ∈ [−3π/4, π/4]

cosx ≤ senx, para todo x ∈ [π/4, π] .


senocoseno

π/4 π/2 3π/4

π

−π/4−π/2−3π/4

−π

−1

1

Evidentemente la aplicación G : R→ R dada por G(x) = − cosx− senx,para todo x ∈ R, es una primitiva de la función f : R → R definida porf(x) = senx− cosx, para todo x ∈ R.Haciendo uso de las consideraciones anteriores podemos calcular el áreamencionada en los siguientes términos:

∫ π

−π

|senx− cosx| dx

=

∫ −3π4

−π

f(x) dx−∫ π

4

−3π4

f(x) dx +

∫ π

π4

f(x) dx

= G(−3π4 )−G(−π)−(G(π4 )−G(−3π4 )

)+ G(π)−G(π4 )

= 2(G(−3π4 )−G(π4 )

)

= 4√

2.

Como puede apreciarse 4√

2 = 2∫ π

4−3π4

(cosx− senx) dx.

Longitud de una curva

Sea A un conjunto no vacío y γ : A → R2 una aplicación. Evidentementeexisten dos aplicaciones (determinadas de forma única) γ1, γ2 : A→ R tales queγ(t) = (γ1(t), γ2(t)), para todo t ∈ A. Son las llamadas funciones coordenadasde γ. Una curva en R2 es, por definición, una aplicación γ : [a, b] → R2,definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b] de R, con a < b, cuyas funcionescoordenadas, γ1, γ2 : [a, b]→ R, son continuas en [a, b]. Si, de hecho, γ1 y γ2 sonde clase C1, es decir, si son derivables y sus derivadas, γ′1 y γ′2, son continuas en[a, b] se dice que γ es una curva de clase C1. En este último caso, el númeroreal

l(γ) =

∫ b

a

√(γ′1(t))

2 + (γ′2(t))2 dt

recibe el nombre de longitud de la curva γ (obsérvese que, por hipótesis, elintegrando es una función continua y por tanto integrable en [a, b]). El conjuntoγ([a, b]) = {γ(t) : t ∈ [a, b]} = {(γ1(t), γ2(t)) : t ∈ [a, b]} se denomina soportede la curva γ. (A veces se usa también la denominación de curva para referirse asu soporte, pero esta costumbre debería limitarse a los casos en los que no hayconfusión posible).


Señalemos, como caso particular especialmente relevante, que la gráfica deuna función continua f : [a, b] → R es el soporte de una curva (asociada deforma natural a f). Para ponerlo de manifiesto, consideremos la aplicación γ,de [a, b] en R2, definida por γ(t) = (t, f(t)), para todo t ∈ [a, b]. Por tanto, eneste caso, γ1(t) = t y γ2(t) = f(t), para todo t ∈ [a, b]. Puesto que se trata de laidentidad y la propia f, las funciones γ1 y γ2 son continuas (no olvidemos quef lo es por hipótesis). Luego γ es una curva y su soporte es la gráfica de f :

γ([a, b]) = {(γ1(t), γ2(t)) : t ∈ [a, b]} = {(t, f(t)) : t ∈ [a, b]}.

En lo que sigue nos referiremos a γ como la curva asociada a la gráfica de f.Como γ1 es derivable con derivada continua (de hecho constante) y γ2 = f, lacurva γ es de clase C1 si, y sólo si, f es de clase C1. Además, en caso afirmativo,

l(γ) =

∫ b

a

√(γ′1(t))

2 + (γ′2(t))2dt =

∫ b

a

√1 + (f ′(t))2dt,

número que también recibe el nombre de longitud de la gráfica de f.Por otra parte, merece la pena comentar que existen curvas de clase C1 con el

mismo soporte y distinta longitud (he aquí una buena razón para distinguir unacurva, que es una aplicación, de su soporte, que es un conjunto, concretamenteel conjunto imagen de tal aplicación). Sean, por ejemplo, γ y ξ, de [−π, π] enR2, las aplicaciones definidas por

γ(t) = (cos t, sen t), ξ(t) = (cos 2t, sen 2t), para todo t ∈ [−π, π].

Sus respectivas funciones coordenadas son de clase C1 (de hecho, de clase C∞)y, por tanto, γ y ξ son curvas de clase C1. Además,

γ([−π, π]) = ξ([−π, π]) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1},

es decir, el soporte de ambas es la circunferencia de centro el origen y radio 1.No obstante,

l(γ) =

∫ π

−π

√(− sen t)2 + (cos t)2dt =

∫ π

−π

dt = 2π,

l(ξ) =

∫ π

−π

√(−2 sen 2t)2 + (2 cos 2t)2dt =

∫ π

−π

2dt = 4π

(la curva γ recorre su soporte una vez mientras que ξ lo hace dos veces).La situación es distinta si γ : [a, b] → R2 y ξ : [c, d] → R2 son las curvas

asociadas a las gráficas de dos funciones de clase C1, f : [a, b] → R y g, de[c, d] en R, respectivamente (es decir, γ(t) = (t, f(t)), para todo t ∈ [a, b] yξ(s) = (s, g(s)), para todo s ∈ [c, d]). En efecto, supongamos que ambas curvastienen el mismo soporte:

γ([a, b]) = ξ([c, d]).

Entonces, dado t ∈ [a, b], existe s ∈ [c, d] tal que γ(t) = ξ(s) (pues γ(t) pertenecea γ([a, b]) y por tanto a ξ([c, d])). Luego, (t, f(t)) = (s, g(s)) y así t = s y


f(t) = g(s). Esto prueba que [a, b] ⊂ [c, d] y que f y g coinciden en [a, b]. Delmismo modo se prueba que [c, d] ⊂ [a, b] y que f y g coinciden en [c, d]. Enconsecuencia4 , [a, b] = [c, d] y f = g. Concluimos que

l(γ) =

∫ b

a

√1 + (f ′(t))2 dt =

∫ d

c

√1 + (g′(t))2 dt = l(ξ).

Por tanto, no hay ambigüedad al hablar de la longitud de la gráfica de unafunción de clase C1 (pues, aunque se trata de un conjunto, determina de formaúnica a la función en cuestión).

De forma más general, dado un natural �, una curva en R� es una aplicaciónγ : [a, b]→ R�, definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b] de R, con a < b,cuyas funciones coordenadas, γ1, ..., γ� : [a, b] → R son continuas en [a, b]. Si,de hecho, γ1, ..., γ� son de clase C1, es decir, si son derivables y sus derivadas,γ′1, ..., γ

′�, son continuas en [a, b] se dice que γ es una curva de clase C1. En

tal caso, el número real

l(γ) =

∫ b

a

√(γ′1(t))

2 + · · ·+ (γ′�(t))2 dt

recibe el nombre de longitud de la curva γ. El conjunto

γ([a, b]) = {γ(t) : t ∈ [a, b]} = {(γ1(t), ..., γ�(t)) : t ∈ [a, b]}

se denomina soporte de la curva γ.

Ejemplos:

1. Sean r y ρ números reales positivos. Determinemos la longitud de lascurvas (de clase C1) γ : [−π, π]→ R2 y ξ : [−π, 3π]→ R3 definidas por

γ(t) = (r cos3 t, r3

sen t), para todo t ∈ [−π, π],

ξ(t) = (r cos t, r sen t, ρt), para todo t ∈ [−π, 3π].

La curva γ recibe el nombre de astroide y ξ es una hélice.

Astroide

4El mismo razonamiento demuestra que una aplicación entre dos conjuntos cualesquieraestá determinada por su gráfica. Es decir, si f : A → B y g : C → D son aplicaciones talesque {(t, f(t)) : t ∈ A} = {(s, f(s)) : s ∈ C}, entonces A = C y f = g.


Evidentemente

l(γ) =

∫ π

−π

√(−3r cos2 t sen t)2 + (3r sen2 t cos t)2 dt

=

∫ π

−π

√9r2 cos4 t sen2 t + 9r2 sen4 t cos2 t dt

=

∫ π

−π

√9r2 cos2 t sen2 t dt

= 3r

∫ π

−π

|cos t sen t| dt

(∗) = 3r

(∫ 0

−π

|cos t| (− sen t) dt +

∫ π

0

|cos t| sen t dt

)

= 3r

(∫ 1

−1|x| dx−

∫ −1

1

|x| dx)

= 6r

∫ 1

−1|x| dx

= 6r

(∫ 0

−1(−x) dx +

∫ 1

0

x dx

)

= 12r

∫ 1

0

xdx

= 6r.

En las dos integrales de la línea (∗) se ha hecho el cambio x = cos t.

Por otra parte,

l(ξ) =

∫ 3π

−π

√(−r sen t)2 + (r cos t)2 + ρ2 dt =

∫ 3π

−π

√r2 + ρ2 dt = 4π

√r2 + ρ2.

Hélice (sobre un cilindro)

2. Calculemos ahora la longitud de la gráfica de la función (de clase C1)f : [−π

4 ,π4 ]→ R definida por f(t) = ln(cos t), para todo t ∈ [−π

4 ,π4 ].

Como hemos visto anteriormente, la longitud de la gráfica de f viene dada


por la siguiente integral∫ π

4

−π4

√1 + (f ′(t))2 dt

=

∫ π4

−π4

√1 + (− sen tcos t )2 dt

=

∫ π4

−π4

√cos2 t+sen2 t

cos2 t dt

=

∫ π4

−π4

1cos t dt (1)

=

∫ √22

−√22

11−x2 dx

=

∫ √22

−√22

12(

11−x + 1

1+x) dx

= G(√22 )−G(−

√22 ) (2)

= 12(ln(1 +

√22 )− ln(1−

√22 ))− 1

2(ln(1−√22 )− ln(1 +

√22 ))

= ln(1 +√22 )− ln(1−

√22 )

= ln( 2+√2

2−√2)

= ln(3 + 2√

2).

Nótese que en (1) se ha usado el cambio x = sen t. Por otra parte, lafunción G que aparece en (2) viene dada porG(x) = 1

2(ln(1+x)−ln(1−x)),

para todo x ∈ [−√22 ,

√22 ] (una primitiva de la función x �→ 1

2(1

1−x + 11+x)

en tal intervalo).

Volúmenes y superficies de revolución

Sean a y b números reales con a < b y f : [a, b] → R una función continuaen [a, b].

a b

Cuerpo de revolución

generado por

la gráfica de f

El volumen, Vf , del cuerpo generado al hacer girar la gráfica de f alrededor deleje de abscisas viene dado por

Vf = π

∫ b

a

f(x)2dx.


Si, de hecho, f es de clase C1 en [a, b], el área, Af , de la correspondiente super-ficie de revolución puede calcularse como sigue:

Af = 2π

∫ b

a

|f(x)|√

1 + (f ′(x))2dx.

Ejemplos:

1. Sean r y h números reales positivos. Determinemos el volumen y la su-perficie de un cono de radio r y altura h, haciendo uso de las integralesanteriores.

Consideremos la función f : [0, h]→ R definida por f(x) = rh x, para todo

x ∈ [0, h] (cuya gráfica, girando alrededor del eje de abscisas, genera uncono de radio r y altura h)

h

r

Cono generado por la recta

y=(r/h)x

El volumen del cono es, por tanto,

Vf = π

∫ h

0

f(x)2dx = π

∫ h

0

r2

h2 x2 dx = πr2

h2h3

3 = πr2h3 .

De forma similar, el área de la superficie cónica (sin considerar la base),viene dada por

Af = 2π

∫ h

0

|f(x)|√

1 + (f ′(x))2dx

= 2π

∫ h

0

rh x√

1 + ( rh)2dx

= 2πrh2

√r2 + h2

∫ h

0 xdx

= 2πrh2

√r2 + h2 h

2

2

= πr√

r2 + h2.

2. El volumen de revolución (alrededor del eje de abscisas) generado por lagráfica de la función f : [0, 1] → R dada por f(x) =

√x + 1, para todo


x ∈ [0, 1] , se reduce a una integral inmediata:

Vf = π

∫ 1

0

(x + 1) dx =3π

2.

También resulta muy sencillo, aunque no tan directo, el cálculo del áreade la correspondiente superficie de revolución:

Af = 2π

∫ 1

0

√x + 1

√1 + 1

4(x+1)dx

= π

∫ 1

0

√4x + 5dx

=π

4

∫ 9

5

√tdt

=π

6(27− 5

√5).



1. Prueba que la función h : R → R definida por h(x) =∫ cosxsenx et

2

dt, paratodo x ∈ R, es derivable en R y calcula su derivada.

2. Estudia la continuidad uniforme y la derivabilidad de la función h, de R+0en R, definida por

h(x) =

∫ √x

0

e−t2dt, ∀x ∈ R+0 .

3. Calcula las siguientes integrales:

∫ 1

0

x2√x3+2

dx ,∫ π

4

0

√cosx senx dx ,

∫ 21

x2

1−2x3 dx ,∫ e2

edx

x lnx

∫ 12

0

x2√1−x6

dx ,∫ 10

xx4+3 dx ,

∫ 12

0dx√

20+8x−x2

∫ 1

0

x+3√3+4x−4x2 dx ,

∫ 21 x lnxdx ,

∫ e

1lnxx dx ,

∫ 10

dx(1+x2)2

∫ e3

e2lnxdx ,

∫ 2

1

ln2 xdx ,

∫ 1

0

dx1+x4 ,

∫ 12

− 12

dxx4−1 ,

∫ π2

0dx

2−cosx

∫ 4

0

x(1 + 2x)−32 dx ,

∫ 4

0

x3(1 + 2x2)−32 dx .

4. Comprueba si es correcto el valor que se asigna a cada una de las siguientesintegrales impropias:

∫ 1

0

√x√1−x

dx = π2 ,

∫ 1−1

1√1−x2

dx = π ,∫ +∞1

1x2 dx = 1

∫ 1

0

1√xdx = 2 ,

∫ 30

dx√9−x2

= π2 ,

∫ π2

0cosx√1−senx dx = 2

∫ +∞

−∞dx

ex+e−x = π2 ,

∫ +∞0

e−√x

√x

= 2 ,∫ +∞2

dxx(lnx)2 = 1

ln 2

∫ b

a

dx√(x−a)(b−x)

= π (para cualesquiera a, b ∈ R con a < b).

∫ +∞

−∞dx

(1+x2)2 = π2 ,

∫ +∞1

dxx(1+x2) = ln 2

2


∫ +∞

2

dx(x−1)

√x2−2x = π

2 ,∫ +∞−∞ (x2 − 2x + 2)−

32 dx = 2

∫ +∞

115

dx√x3 4√x2+x

= 283 ,

∫+∞1

dx4√x10+x12

= 23 ( 4√

8− 1).

5. Halla el área de los dos recintos limitados por la circunferencia de ecuaciónx2 + y2 = 1 y la recta x + y = 1.

6. Calcula el área comprendida entre el eje de abscisas y la parábola deecuación y = 4x− x2.

7. Determina el área comprendida entre la parábola de ecuación y2 = 4x yla recta y = 2x− 4.

8. Halla la longitud de la curva (de clase C1) γ : [0, 4] → R2 dada porγ(t) = (et cos t, et sen t), para todo t ∈ [0, 4].

9. Calcula la longitud de la gráfica de la función f : [1, 2]→ R definida por

f(x) = x4+36x , para todo x ∈ [1, 2].

10. Determina el volumen del cuerpo generado al hacer girar alrededor del ejede abscisas la gráfica de la función f : [0, 16]→ R definida por f(x) =

√x2 ,

para todo x ∈ [0, 16].

11. Calcula el área de la superficie de revolución generada al hacer girar alrede-dor del eje de abscisas la gráfica de la función f : [0, 3] → R dada porf(x) = x3

3 , para todo x ∈ [0, 3].

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