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autómatas finitos y

lenguajes regulares

LENGUAJESLENGUAJESFORMALES FORMALES

YYAUTAUTÓÓMATASMATAS

autómatas finitos y lenguajes regulares

CONTENIDOReconocedores [HMU2.1].

Traductores [C8]. Diagramas de Estado [HMU2.1]. Equivalencia entre AF deterministas y no deterministas[HMU2.2-2.3]. Expresiones regulares[HMU3]. Propiedades de lenguajes regulares [HMU4]. Relación entre gramáticas regulares, lenguajes regulares y autómatas finitos [A1-2].


lenguajes regulares



bibliografía

HOPCROFT, JOHN E., MOTWANI, RAJEEV Y ULLMAN, JEFFREY D. “Introducción a la Teoría de Autómatas, Lenguajes y Computación”. Segunda Edición. AddisonWesley. 2002.

COHEN, DANIEL I.A. “Introduction toComputer Theory”, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc. 1997.

AUGUSTO, JUAN CARLOS . “Fundamentos de Ciencias de la Computación” – Notas de Curso. Universidad Nacional del Sur, Argentina. 2002.


lenguajes regulares



autómatas finitos reconocedores

S0 S1

S2

0 0

0

11

1

Autómata FinitoReconocedor

Reconoce el lenguaje sobre Σ={0,1} con un número múltiplo de 3 de 1’s


lenguajes regulares



autómatas finitos traductores

S0/1 S1/0

S2/0

0 0

0

11

1

Autómata FinitoDe Moore

Emite 1 mientras el número de 1’s leídos hasta elmomento sea múltiplo de 3, de lo contrario emite 0


lenguajes regulares



autómatas finitos traductores

S0 S1

S2

0/0 0/0

0/0

1/01/1

1/0

Autómata FinitoDe Mealy

Emite 1 cuando el número de 1’s leídos se vuelve múltiplo de 3 (≠ 0), de lo contrario emite 0


lenguajes regulares



autómatas finitos

Un autómata finito es un modelo que captura las características de una computadora.

Veremos dos tipos de autómatas finitosAutómatas Finitos Reconocedores (AFR)Son capaces de reconocer lenguajes regulares

(exactamente el mismo lenguaje generado por gramáticas de tipo 3)

Autómatas Finitos TraductoresToman una entrada y la traducen en una salida

Autómatas de Moore: las salidas van asociadas a los estadosAutómatas de Mealy: las salidas van asociadas a las transiciones


lenguajes regulares



autómata finito reconocedor

Un autómata finito reconocedor (AFR) es una quíntupla

M = (S, Σ, δ, s0, F),donde:S es un conjunto finito de estados, S≠∅Σ es el alfabeto de entradaδ: S x Σ → S es la función de transicións0 es el estado inicial, s0 ∈ S.F es el conjunto de estados finales oaceptadores (F ⊆ S)


lenguajes regulares




EjemploM = (S, Σ, δ, s0, F),S = {s0, s1, s2}, Σ = {0,1}, F ={s0}

S0 S1

S2

0 0

0

11

1

s0s2s2

s2s1s1

s1s0s0

10δ


lenguajes regulares




EjemploDar un autómata finito reconocedor para

el lenguaje de las cadenas definidas sobre el alfabeto Σ={a,b} tales que empiezan con a.

M = (S, Σ, δ, s0, F),S = {s0, s1, s2}, Σ = {a,b}, F ={s1}

s2s2s2

s1s1s1

s2s1s0

baδ


lenguajes regulares




Ejercicios1. Dar un AFR para el lenguaje definido

sobre el alfabeto Σ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tal que reconozca los números pares.

2. Dar un AFR para el lenguaje definido sobre el alfabeto Σ ={a,b} cuyas cadenas tienen la letra b como segundo símbolo.

3. Dar un AFR para el lenguaje definido sobre el alfabeto Σ ={a,b} cuya longitud es par pero no divisible por 6.

4. Dar un AFR para el lenguaje definido sobre el alfabeto Σ={0,1} tal que las cadenas tienen un número par de 0’s y número par de 1’s.


lenguajes regulares



generalización de la función de transición δ

Definimos δ*: S x Σ* → S como sigue:δ*(q, λ)=qδ*(q, aw)= δ*(δ(q, a),w)donde a ∈ Σ y w ∈ Σ*

Una forma equivalente de definir δ*:δ*(q, λ)=qδ*(q, wa)= δ(δ*(q, w),a)


lenguajes regulares



el lenguaje de un AFR

El lenguaje reconocido por el AFR M = (S, Σ, δ, s0, F), se denota L(M) y se define como:

L(M)={w| δ*(s0,w) ∈ F}Es decir, el lenguaje de M es el conjunto

de cadenas w tales que comenzando del estado inicial de M nos llevan a algún estado final.

Si L = L(M) para algún M, entonces L es regular.


lenguajes regulares



autómata finito traductor de Moore

Un autómata finito traductor de Moore es una séxtupla

M = (S, Σ, Γ ,δ, s0, f0),donde:S es un conjunto finito de estados, S≠∅.Σ es el alfabeto de entrada.Γ es el alfabeto de salida.δ: S x Σ → S es la función de transicións0 es el estado inicial, s0 ∈ S.f0: S → Γ es la función de salida.


lenguajes regulares




EjemploM = (S, Σ, Γ ,δ, s0, f0),S = {s0, s1, s2}, Σ = {0,1}, Γ={0,1}

s0

s2

s1

1

0

0

1

f0

s2s2

s1s1

s0s0

0δ S0/1 S1/0

S2/0

0 0

0

11

1


lenguajes regulares




Ejercicio1.Dar un autómata finito traductor de

Moore que emita un 1 cada vez que se hayan leído la secuencia bbba.

2. Dar un autómata finito traductor de Moore que simule la función booleana AND.

3. Dar un autómata finito traductor de Moore que simule la función booleana OR.


lenguajes regulares



autómata finito traductor de Mealy

Un autómata finito traductor de Mealy es una séxtupla

M = (S, Σ, Γ ,δ, s0, f0),donde:S es un conjunto finito de estados, S≠∅.Σ es el alfabeto de entrada.Γ es el alfabeto de salida.δ: S x Σ → S es la función de transicións0 es el estado inicial, s0 ∈ S.f0: S x Σ → Γ es la función de salida.


lenguajes regulares




EjemploM = (S, Σ, Γ ,δ, s0, f0),S = {s0, s1, s2}, Σ = {0,1}, Γ={0,1}

s0/1s2/0s2

s2/0s1/0s1

s1/0s0/0s0

10δ/ f0S0 S1

S2

0/0 0/0

0/0

1/01/1

1/0


lenguajes regulares




Ejercicio1. Convertir los autómatas de Moore de

los ejercicios previos a autómatas de Mealy.

2. Dar un autómata finito traductor de Mealy que realice suma binaria.


lenguajes regulares



autómata finito no determinista

Un autómata finito reconocedor no determinista (AFRND) es una quíntupla

M = (S, Σ, δ, s0, F),donde:S es un conjunto finito de estados, S ≠∅.Σ es el alfabeto de entrada.δ: S x Σ → 2S es la función de transición.s0 es el estado inicial, s0 ∈ S.F es el conjunto de estados finales oaceptadores (F ⊆ S).


lenguajes regulares



autómata finito no determinista

S0 S1

a,b a,b

a

Autómata FinitoReconocedor

No Determinista

EjemploM = (S, Σ, δ, s0, F),

S = {s0, s1}, Σ = {a, b}, F ={s1}

{s1}{s1}s1

{s0 }{s0,s1}s0

baδ

L(M) es el lenguajes de cadenas sobre Σ = {a, b}que contienen al menos una a


lenguajes regulares



autómata finito no determinista con transiciones λ

Un autómata finito reconocedor no determinista con transiciones λ (AFRND-λ) es una quíntupla

M = (S, Σ, δ, s0, F),donde:S es un conjunto finito de estados, S ≠∅Σ es el alfabeto de entrada.δ: S x (Σ ∪ {λ}) → 2S es la función de

transición.s0 es el estado inicial, s0 ∈ S.F es el conjunto de estados finales oaceptadores (F ⊆ S).


lenguajes regulares



autómata finito no determinista con transiciones λ

P0 I0

1 1

0

0

P1 I1

0 0

1

1

P0 I0

1 1

0

0

P1 I1

0 01

1

S0

λ

λ

Número impar de ceros

Número par de unosNúmero impar de ceros o

par de unos


lenguajes regulares



generalización de la función de transición δ

Para AFRND Definimos δ*: S x Σ* → 2S

como sigue:δ*(q, λ)={q}δ*(q, wa)= {r1,r2,…,rm}donde δ*(q,w) = {p1,p2,…,pk} y

δ(pi,a) ={r1,r2,…,rm}Uk

i 1=


lenguajes regulares



el lenguaje de un AFR

El lenguaje reconocido por el AFRND M = (S, Σ, δ, s0, F), se denota L(M) y se define como:

L(M)={w | δ*(s0,w) ∩ F ≠ ∅}Es decir, el lenguaje de M es el conjunto

de cadenas w tales que comenzando del estado inicial de M nos llevan a algún conjunto de estados que contenga al menos un estado final.


lenguajes regulares



equivalencia entre AFR deterministas y no deterministas (tema a verse en clase práctica)

A partir de un AFRNDN = (S, Σ, δ, s0, F) obtenemos un AFR determinista D = (Sd, Σ, δd, {s0}, Fd)Sd = 2S

Fd es el conjunto de subconjuntos Q ∈Sd tal que Q ∩ F ≠ ∅Para cada conjunto Q ⊆ S y para cada símbolo a ∈ Σ

UQp∈

δd (Q,a)= δ(p,a)δd es una función de transición determinista


lenguajes regulares



AFRND -> AFRD(tema a verse en clase práctica)

S0 S1

a,b a,b

a{S0} {S0,S1}

b a,b

a

∅ {S1}

a,b a,b

cadenas sobre Σ = {a,b} que contienen al menos una a.

AFRND

AFRD


lenguajes regulares




EjemploM = (S, Σ, δ, s0, F),

S = {s0, s1}, Σ = {a,b}, F ={s1}

s1s1s1

s0{s0,s1}s0

baδ

M = (Sd, Σ, δd, {s0}, Fd)

Sd = {∅,s0, s1,{s0, s1}}, Σ = {a,b}, Fd ={{s1}, {s0, s1}}

{s0}{s0, s1}{s0}{s1}{s1}{s1}{s0,s1}{s0, s1}{s0, s1}

∅∅∅

baδd

AFRND

AFRD


lenguajes regulares




EjercicioObtener el AFRD equivalente a los

dados a continuación

S0 S1

a,b

a

S0 S10

S2 S3

0,10 0

1)

2)

En lo que sigue usaremos AF para referirnos a autómatas finitos reconocedores (independientemente de si los mismos son deterministas o no deterministas)


lenguajes regulares



expresiones regulares

Las expresiones regulares (ER) sobre un alfabeto Σ son cadenas sobre el alfabeto A = Σ ∪{(,),•, +,*, λ,∅} definidas recursivamente como sigue:

1. λ es una ER.2. ∅ es una ER.3. Todo símbolo a ∈ Σ es una ER.4. Si α y β son ER, entonces (α ), α•β,

α+β y α* también son ER.


lenguajes regulares



lenguajes y expresiones regulares

Construimos la función L tal que si α es una ER entonces L(α) es el lenguaje representado por α:

1. L(λ) = {λ }.2. L(∅) = ∅.3. Para cada símbolo a ∈ Σ, L(a) = {a}.4. Si α y β son ER, entonces

L(α•β) = L(α)•L(β), L(α+β) = L(α)∪L(β), L(α*) = L(α)* .


lenguajes regulares



lenguajes y expresiones regulares

Algunos ejemplos de ER sobre el alfabeto Σ={a,b}:

λ, ∅, a+ λ, a*(a+b)*b, b•a*Observaciones:1. El símbolo “•” (concatenación) podrá ser

obviado cuando ello no provoque ambigüedad. Por ejemplo la ER b•a* se escribirá como ba*.

2. Notar que el mismo lenguaje regular puede ser notado mediante diferentes expresiones regulares. Por ejemplo L((0+1)*) =L(((0+1*)*+(01)*)*)


lenguajes regulares



equivalencia entre ER y AF

Teorema de Kleene (detalles en Hopcroft et al., sección 3.2):

Un lenguaje L puede ser expresado por una ER si y sólo si es reconocido por un AF.

PruebaParte 1: Dada una ER, construimos un AF.Parte 2: Dado un AF, construimos una ER.

Stephen Kleene1909-1994


lenguajes regulares



Parte 1: ER → AF

1. λ.

2. ∅.

3. a ∈ Σ.

λ

a


lenguajes regulares



Parte 1: ER → AF

4.1. α+β.

R

S


lenguajes regulares



Parte 1: ER → AF

4.1. α+β.

R

S

λ

λ

λ

λ


lenguajes regulares



Parte 1: ER → AF

4.2. α•β.

R S


lenguajes regulares



Parte 1: ER → AF

4.2. α•β.

R Sλ


lenguajes regulares



Parte 1: ER → AF

4.3. α*.

R


lenguajes regulares



Parte 1: ER → AF

4.3. α*

Rλ

λ

λ

λ


lenguajes regulares



Parte 2: AF → ER

Ejemplo AF → ER (informal)Escribir la expresión regular para los

siguientes AF

S0 S10,1

S20,1

0,11)

S0 S11

S31

0,12) 0

S20 0,1

0+1

0*10


lenguajes regulares



Parte 2: AF → ER

LemaSi ω, β y γ son ER sobre un alfabeto Σ, γ≠ λ, entonces la ecuación ω= β + ωγtiene una única solución y está dada por ω= βγ*

S

γ

β

ωS= β + ωSγ ωS= βγ*

asociar cada estado con una ER


lenguajes regulares



Parte 2: AF → ER

AlgoritmoEntrada: un AF M= (S, Σ, δ, s0 , F)Salida: una ER que denota el LR

reconocido por M.


lenguajes regulares



Parte 2: AF → ER

Paso 1:Plantear una ecuación por cada

estado, como unión de n términos ωsi= ωsj1 • a1 + ωsj2 • a2 ....

Para δ(sj,a)=si, uno de los términos de la ecuación ωsi será ωsj•a.

En la ecuación para el estado inicial se agrega el término λ.


lenguajes regulares



Parte 2: AF → ER

Paso 2:despejar ecuaciones según lema ω=β+ωγ entonces ω = βγ *

Paso 3:La ER es la unión de las soluciones

para todos los estados aceptadores del AF.


lenguajes regulares



Parte 2: AF → ER

EjemploM= (S, Σ, δ, s0 , F) S = {s0, s1, s2}, Σ = {a,b}, F ={s1}

s0s2s2

s2s1s1

s1s0s0

baδ

S0 S1

S2

a a

a

bb

b

ωS0= ωS0a+ ωS2b + λωS1= ωS1a+ ωS0bωS2= ωS2a+ ωS1b

Paso 1: Planteamos ecuaciones


lenguajes regulares



Parte 2: AF → ER

ωS0= ωS0a+ ωS2b + λ

Paso 2: ω=β+ωγ entonces ω = βγ *

ωS1= ωS1a+ ωS0b

ωS2= ωS2a+ ωS1b

ωS0= (ωS2b + λ)a*

ωS1= (ωS0b)a*

ωS2= (ωS1b)a*

γ=a y β=ωS2b + λ

γ=a y β=ωS0b

γ=a y β=ωS1b ωS1=(ωS0b)a*ωS1=((ωS2b + λ)a*b)a*ωS1=((ωS1b)a*b + λ)a*b)a*=ωS1ba*ba*ba*+a*ba*ωS1=a*ba*(ba*ba*ba*)*


lenguajes regulares



Parte 2: AF → ER

Paso 3: La ER es la unión de las soluciones para todos los estados aceptadores del AF.

L(M) =a*ba*(ba*ba*ba*)*

S0 S1

S2

a a

a

bb

bωS1=a*ba*(ba*ba*ba*)*


lenguajes regulares



propiedades de los lenguajes regulares

Lema: La clase de los lenguajes aceptados por AF, es decir la clase de los lenguajes regulares, es cerrada bajo:

unión, concatenación, estrella de Kleene, complemento e intersección.


lenguajes regulares



gramáticas regulares o de tipo 3 (repaso)

Gramática Regular (tipo 3)Para cada producción α → β

(excepto S → λ): α ∈ VN y β es de la forma t o tW, donde t ∈ VT y W ∈ VN

EjemploS → aAA → aBB → a | aS


lenguajes regulares



equivalencia entre gramáticas regulares y AF

Si G una gramática regular podemos obtener un autómata M tal que L(M) = L(G), y viceversa, dado el autómata M podemos construir la gramática G.

Mostramos un método simple y ejemplos:

Parte 1: Dada una gramática G mostraremos como construir un autómata M tal que L(G) = L(M).

Parte 2: Dado un autómata M mostraremos como construir una gramática G tal que L(M) = L(G)


lenguajes regulares



gramática regular → AF

Parte 1: Dada G=(VN, VT,S,P) construimos M = (K, VT, δ, S, F) donde K=VN ∪ {A} con A nuevo (no perteneciente a VN)

Si P tiene la producción S →λ entonces F ={A,S} si no F = {A}.

Al definir δ debemos considerar los siguientes casossi B → a ∈ P entonces:

δ(B,a) ⊇ {A},a ∈ VT; B ∈ VN

si B → aC ∈ P entonces:δ(B,a) ⊇ {C},

a ∈ VT; B,C ∈ VN


lenguajes regulares



gramática regular → AF

EjemploG=(VN, VT,S,P)VN ={S,B}VT={a,b}S → a | bBB → bB | b

S A

B

b

a

b b

M = (K, VT, δ, S, F)K ={S,A,B}F = {A} δ(S,a)={A}

.δ(S,b)={B}δ(B,b)={A,B}


lenguajes regulares



AF → gramática regular

Parte 2: Dado M = (S, Σ, δ, s0, F) un AF determinista construimos G=(S, Σ, s0,P) donde P está formado por

s0 → λ, si s0 ∈ FB → aC, si δ(B,a) = C B → a, si δ(B,a) = C y C ∈ F


lenguajes regulares



AF → gramática regular

G=(S, Σ, s0,P)P:s0 → as0 | bA| bA → aA |bB|aB → bs0| aBs0 A

B

a a

a

bb

b

M = (S, Σ, δ, s0, F)Σ ={a,b}F={A}

Ejemplo

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