AMORTIGUADOR DE MASA SINTONIZADA AMS

Por: Ing. Byron Gallegos Ortiz

1.1 Introduccin

La aparicin de estructuras cada vez ms esbeltas en el panorama de la ingeniera civil, hace que los periodos propios de oscilacin sean ms largos. Este factor hace que cargas que en otra poca podan considerarse estticas, adquieran un carcter dinmico y por tanto cambien por completo la forma de analizar y calcular la estructura. Ante un sismo y fuertes vientos resulta imprescindible proteger los ocupantes y los contenidos de las edificaciones de gran altura. Una alternativa resulta la aplicacin de disipadores sintonizados. Los edificios de gran altura tienden a ser estructuras muy flexibles y con escasa capacidad de disipacin de energa en forma natural. Esto significa que pueden permanecer oscilando durante un tiempo prolongado cuando se exponen a cargas de tipo ssmico y de viento intenso. Los amortiguadores de masa sintonizada (AMS) o "tuned mass dampers" (TMD) introducen masas adicionales, normalmente situadas en la parte alta de los edificios, cuya excitacin absorbe parte de la energa cintica introducida por el terremoto. Fig. 1(R3).

Figura 1 Diferencia con sistema normal y AMS

Los disipadores de masa sintonizada, son dispositivos mecnicos que se componen de una o ms masas que se conectan a una estructura principal mediante sistemas restitutivos y amortiguadores. Los sistemas restitutivos utilizados por estos sistemas de control son en general de tipo elstico, en cuyo caso pueden materializarse mediante resortes lineales. Alternativamente puede utilizarse como fuerza restitutiva la gravedad, cual es el caso de los disipadores de masa sintonizada tipo pndulo. La eficacia de los DMS reside por tanto en la determinacin de sus parmetros ptimos de diseo, los cuales son su frecuencia natural de oscilacin y amortiguamiento critico.(R2) 2. Definicin.- Los amortiguadores de masa sintonizados son dispositivos utilizados en el control estructural, estos mecanismos consisten bsicamente en un sistema masa, resorte y amortiguador, generalmente fijado a un sistema vibrante para reducir la demanda de disipacin de energa en los miembros estructurales primarios bajo la accin de fuerzas externas. Esta reduccin de energa se obtiene cuando la frecuencia del amortiguador de masa se sintoniza a una frecuencia particular de la estructura. Cuando esa frecuencia es alcanzada, el amortiguador vibrar fuera de fase con el movimiento estructural y parte de la energa vibratoria es transferida al amortiguador de masa sintonizada. 3. Obtencin de parmetros de diseo de un sistema de un grado de libertad con masa sintonizada amortiguada (R7)

Figura 2 Modelo para definir ecuacin del movimiento

En toda estructura real existe amortiguamiento. Si bien es cierto los AMS estn pensados para instalarse en estructuras con amortiguamientos ms bien bajos, tomar en cuenta el efecto del amortiguamiento en la estructura primaria es una importante consideracin de diseo a la hora de determinar los parmetros ptimos para el AMS.

En la figura 2 se muestra el sistema primario, provisto de un amortiguador lineal de constante C, junto con un AMS amortiguado. Considerando al sistema excitado por la accin de la fuerza externa y el desplazamiento de suelo , es posible escribir la ecuacin de movimiento del sistema se como:

Desarrollando el sistema anterior obtenemos las siguientes ecuaciones del movimiento:

Ec. 1 y 2 Si consideramos que las acciones externas de la forma:

Ec. 3 Podemos suponer que la respuesta del sistema, en rgimen permanente, se escribe de la siguiente manera

Ec 4 En donde la primera y segunda derivada de las respuestas, reemplazando dichas

expresiones en las ecuaciones 1 y 2 y luego de simplificar el termino eit resulta:

Ec 5 y 6 A partir de la ecuacin 5 despejamos el valor de d de donde obtenemos,

Ec 7 Reemplazando la expresin anterior en la ecuacin 6 y luego simplificar y agrupar los trminos se tiene :

Ec 8 Esta ltima ecuacin puede escribirse abreviado como:

Ec 9

El termino que acompaa a p, es decir D , puede ser escrito como:

Ec 10

Analizando la parte real de D , podemos escribir:

Ec 11 La cual puede ser escrita como:

Ec 12 En trminos a dimensionales la expresin anterior queda como:

Ec 13 O bien

Ec 14

Anlogamente podemos escribir la parte imaginaria de D como sigue

Ec 15 Lo cual es equivalente a:

Ec 16 Escribiendo la expresin anterior en trminos adimensionales resulta:

Ec 17 O bien

Ec 18 Combinando las expresiones 14 y 18 se obtiene:

Ec 19 Procedemos a continuacin a reordenar el lado derecho de la ecuacin 8 de donde obtenemos:

Ec 20 O bien

Ec 21

Utilizando los trminos adimensionales resulta:

Ec 22 Finalmente podemos escribir , en virtud de las expresiones 19, 22 y 9 el valor para p como sigue:

Ec 23 Donde

Ec 24 Para determinar el valor de d, sustituimos el valor de p, terminado a partir de Ec 23, dentro de la ecuacin 7, de donde obtenemos la siguiente ecuacin para d :

Ec 25

En donde D esta definido por la ecuacin 19 y F vale:

Ec 26 El cual puede ser escrito utilizando trminos adimensionales como sigue:

Ec 27

Utilizando la expresin para D, dada por la ecuacin 19, podemos obtener el valor de d, mediante la expresin 2 como se muestra a continuacin:

Ec 28 Siguiendo un procedimiento desarrollado para los casos normales, se obtienen las siguientes expresiones para up y ud :

Ec 29 y 30

Nuevamente aqui, los trminos H tienen los factores de amplificacin de las respuestas pseudos estticas, y las cantidades corresponden a los ngulos de fase entre la respuesta y la excitacin. Estos trminos se describen a continuacin:

Ec 31,32,33,34

Ec 35 Asimismo podemos expresar los desfases relativos entre la respuesta del sistema y las acciones externas, mediante el uso de las identidades donde resulta:

Ec 36 a 40

En las figuras 3 y 4 se muestran dos graficas para H6 v/s . A diferencia de lo que ocurre con el caso anteriormente analizado, las curvas de amplicacion dinmica correspondientes a distintos valores de d no poseen puntos en comun. Asimismo, a partir de las ecuaciones 32 a 35, es posible notar que los factores de amplificacion dinamica dependen del amortiguamiento critico del sistema primario. Para determinar en este caso los parametros optimos de diseo del DMSL se deben encontrar los valores de f y d, tales que minimizan el maximo valor que alcanza el factor de amplicacion dinamica asociado a la respuesta que se interesa minimizar. En lo que sigue nos centramos en la determinacion de los parametros optimos asociados a H6, el cual corresponde al factor de amplicacion dinamica para el desplazamiento del sistema primario con respecto del movimiento de suelo. Para este caso la condicion descrita anteriormente se escribe matematicamente como sigue

Ec 41

Esta ultima expresion establece un problema de optimizacion, el cual dada su complejidad, se resuelve de forma numerica. Los valores de f y d, que cumplen con esta condicion, corresponden a los optimos de diseo para el dispositivo. Dichos valores los denominamos como fjOPT y djOPT

Figura 3

Figura 4

En la figura 4 se muestra la curva H6, para fjOPT , y distintos valores de d. Es posible notar que en la condicin optima de diseo, el mximo valor que alcanza el termino H6 es el mnimo posible para las distintas combinaciones de f y d. Para determinar los valores ptimos de f y d, para valores dados de y p, se debe realizar un procedimiento numrico iterativo, en donde las curvas de ampliacin

dinmica se escriben como funcin de la razn de frecuencias . Para cada una de estas curvas se obtiene el mximo valor del factor de ampliacin dinmica. El menor de estos valores, para los distintos y p considerados, corresponde a la condicin optima de diseo. La idea es primero considerar los valores ptimos extremos, es decir aquellos que se obtienen cuando 0 y p = 0. Estos valores optimos se utilizan para calibrar la expresin numrica, obligando a que esta ultima entregue en dichos casos los ptimos correspondientes a 0 y p = 0. Como primer caso consideramos que el sistema primario posee amortiguamiento, pero que la masa del dispositivo es despreciable, es decir 0. Bajo estas condiciones notamos que el valor optimo de la frecuencia natural de oscilacin del dispositivo, debe corresponder con la frecuencia de resonancia para

desplazamiento o sea , siendo n la frecuencia natural de oscilacion del sistema primario. Podemos entonces escribir:

Ec 42

Si ahora el sistema primario no posee amortiguamiento obtenemos la situacin, en donde se demostro que el valor optimo para la razn de frecuencias, f, debe valer

Ec 43

Concluimos por tanto que la expresin para fjOPT debe ser de la forma:

Ec 44

En donde el termino f se determina evaluando la diferencia entre los valores ptimos obtenidos mediante anlisis numricos, y aquellos entregados por el primer termino de la expresin anterior.

Aplicando un razonamiento similar concluimos que la expresion para djOPT debe ser de la forma:

Ec 45

Donde el primer termino de la expresion anterior corresponde a djOPT (p = 0). Por otro lado, la diferencia entre los valores ptimos determinados de anlisis numericos, y aquellos correspondientes a djOPT (p = 0), se encuentra representada por d. Todo el procedimiento recin descrito fue realizado por Hsiang-Chuan Tsai y Guan-Cheng Lin . Los valores que se obtuvieron para f y d se ajustaron numricamente considerndolos como polinomios bidimensionales en y . A continuacion se entregan las formulas obtenidas para fjOPT y djOPT :

Ec 46

Ec 47

En las figuras 5 y 6 se muestra la variacin de los parmetros fjOPT y djOPT con respecto a , para distintos valores de la razn de amortiguamiento crtico de la estructura primaria, se ha incluido adems el caso correspondiente a p = 0. Se puede apreciar a partir de la figura 5, que el incremento en la razon de amortiguamiento critico de la estructura primaria trae como consecuencia una disminucion de la razn de frecuencias f para condiciones optimas de diseo. En otras palabras, estructuras de mayor amortiguamiento requieren de dispositivos mas flexibles para minimizar su respuesta. Por otra parte, el incremento en el amortiguamiento de la estructura primaria significa a su vez mayor amortiguamiento critico para el dispositivo en condiciones optimas de diseo, como se desprende del grafico 6. Asimismo, se puede notar que para estructuras cuyo razn de amortiguamiento critico es menor de un 1 %, el error cometido al utilizar las expresiones de los parmetros ptimos para estructuras no amortiguadas es despreciable. Este error sin embargo, se hace cada vez mayor y es apreciable para el amortiguamiento critico del dispositivo a medida que la razon de masas disminuye.

Figura 5

Finalmente notamos a partir de la figura 7, que a medida que la razon de amortiguamiento critico de la estructura primaria aumenta, la disminucion de la maxima respuesta es cada vez menor. Esto ltimo nos indica que en estructuras cuyo amortiguamiento es alto, digamos sobre el 5 %, la reduccion que se obtiene al instalar un AMS no es considerable, y sus efectos solo se hacen notorios cuando la razon de masas se eleva por sobre el 10 %. A partir de este punto, el procedimiento de diseo para el AMS se realiza de manera similar al expuesto para el caso de la estructura primaria no amortiguada.

Figura 6

Figura 7

4. Aplicaciones

Las primeras aplicaciones de los disipadores de masa sintonizada se remontan a principios del siglo pasado (Frahm, 1909), siendo la industria naviera la primera en aprovechar sus ventajas para reducir las vibraciones producidas por los propulsores en los cascos de las embarcaciones. Desde entonces estos dispositivos han sido instalados en numerosas estructuras, desde edificios, chimeneas altas, puentes e incluso en satlites. Ha sido sin embargo la Ingeniera civil la que en los ltimos aos ha incorporado estos sistemas de control estructural. En este mbito, su uso se ha expandido principalmente entre los edificios altos y puentes como sistemas de reduccin de vibraciones. Como ejemplos de su uso en edificios altos y otras estructuras se pueden mencionar los siguientes(R6 y R7): 1. Torre Shinjuku, Tokio: Este edificio de 52 pisos, cuya altura alcanza los 235m,

cuenta con tres disipadores de masa sintonizada tipo pndulo. Cada uno de estos dispositivos, ubicados en el piso 39, estn constituidos por una gran masa de 110 ton, la cual se apoya sobre rodamientos que permiten que la misma oscile. El ngulo de inclinacin es ajustado de manera tal que la masa oscile bajo el mismo periodo que el edificio. Al sintonizar el periodo de oscilacin del dispositivo con el periodo natural del edificio, la masa imparte una fuerza inercial que contrarresta el movimiento del edificio producido por el viento o sismo. El sistema funciona de manera hibrida lo que significa que las masas de los dispositivos oscilan libremente. Solo cuando el movimiento del edificio es muy elevado, lo cual ocurre bajo severas tormentas de viento o grandes terremotos, una serie de actuadores controlan los movimientos de las masas para regular de manera optima su desplazamiento. A pesar de que la ubicacin mas efectiva del sistema de control es en la cima del edificio, ya que de esta forma se logra controlar de manera mas eficiente el modo fundamental de vibrar de la estructura, restricciones arquitectnicas lo acentan impracticable. Aun mas, en su actual ubicacin, el sistema ha sido capaz de reducir la respuesta de la estructura frente al viento cerca de un 50 %.

Figura 8 Representacin grafica del pndulo tipo AMS

2. Edificio Taipei 101, Taiwan: Este edificio de 101 pisos y 508m de altura,

cuenta con un disipador de masa tipo pndulo para controlar las vibraciones producidas por el viento. El edificio, estructurado en base a marcos de acero, posee un amortiguamiento critico en su modo fundamental estimado en un 1 %. Este bajo amortiguamiento puede generar en los pisos altos aceleraciones consideradas como no aceptables. Para reducir estas aceleraciones se instalo un amortiguador de masa tipo pndulo ubicado entre los niveles 87 y 91. El dispositivo, diseado por Motioneering en Canada, consiste en una gran esfera de metal de 660 ton sostenida por cuatro grupos de cables a la estructura, creando de esta manera un pndulo equivalente al 0.26% de la masa del edificio. Modificando la longitud libre de los cables es posible ajustar el periodo de vibrar del sistema para que coincida con el de la torre. De esta forma, cuando el edificio oscila, la masa empuja a travs de grandes amortiguadores en la direccin contraria. Como consecuencia de ello parte de la energa suministrada por el viento a la estructura se disipa en forma de calor en los amortiguadores.

Figura 9 AMS tipo pendulo

3. Edificio Citicorp Center, New York: Una de las primeros edificios en utilizar

estos dispositivos. Con 59 pisos y 279m de altura, cuenta con un disipador de masa sintonizada instalado en su cima. El dispositivo, compuesto por una masa de 400 ton, descansa sobre un sistema de cojinetes que le permiten desplazarse hasta 1.4m. Para controlar la respuesta de la estructura frente al viento el sistema oscila con un periodo variable entre 6.25s +/- 20 %, siendo 6.5s el periodo fundamental de vibrar del edificio. De esta manera los mximos desplazamientos experimentados por la torre son reducidos cerca de un 50 %. Esta reduccin equivale a incrementar el amortiguamiento critico de la estructura desde un 1% original hasta un 4 %. En trminos econmicos, esto supuso un ahorro de 2800 ton de acero estructural que hubieran sido necesarias para cumplir con los requisitos de desplazamientos mximos alcanzados por el AMS.

Figura 10 AMS de concreto del edificio Citicorp

4. John Hancock Center, Chicago: Construido el ao 1969, esta estructura de 100 pisos y 344m de altura, diseada por el ingeniero estructural Fazlur Khan, fue en su poca el edifico mas alto del mundo fuera de Nueva York. Actualmente ostenta el tercer lugar en altura en Chicago y el cuarto en todo Estados Unidos. Considerado como una de las estructuras mas famosas del llamado expresionismo estructural, este rascacielos se caracteriza por sus arrostramientos exteriores, los cuales, junto con las columnas, forman parte del sistema tubular que ayuda al edificio a sostenerse durante cargas ssmicas o de viento. No obstante lo anterior, posteriores revisiones al proyecto original, desarrolladas por I.M. Pei & Partners, demostraron que el edificio no pose a suficientes arrostramientos laterales para asegurar el confort de los ocupantes durante la ocurrencia de vientos de moderada o severa intensidad. Se decidi por tanto incorporar dos AMS de 270ton en cada uno de los extremos del piso 58. Diseados para trabajar en la direccion este-oeste, estos dispositivos redujeron los desplazamientos de la estructura cerca de un 50%. Al igual que en el caso del edificio Shinjuku, estos sistemas de control son del tipo hibrido, de forma tal que bajo la ocurrencia de fuertes vientos son controlados por dispositivos auxiliares que optimizan sus desplazamientos.

Figura 11 AMS tipo hibrido Edificio John Hancock

5. Chimenea alta en Hannover, Alemania: Las chimeneas altas son estructuras que se favorecen de la tecnologa de los AMS. En la actualidad numerosas de estas estructuras alrededor del mundo cuentan con este tipo de dispositivos para controlar su repuesta al viento. Las chimeneas altas, que dadas sus carcter estticas, son muy esbeltas y poseen un bajo amortiguamiento estructural, son particularmente susceptibles a las vibraciones ocasionadas por el viento. Uno de los mtodos mas capaces para controlar la respuesta dinmica de las chimeneas altas estn el uso de los AMS anulares tipo pndulo. Estos sistemas de control se instalan por lo general en la cima de la estructura. En la figura 7 se muestra el dispositivo instalado en la cima de una chimenea alta ubicada en Traba, Hannover. Para ello se utilizo un gran anillo metlico suspendido desde la chimenea por cables de acero, adicionalmente se usaron tres amortiguadores para controlar el movimiento del dispositivo. En este caso los amortiguadores, adems de controlar la respuesta de la chimenea, impiden que el anillo de acero golpee la estructura durante la ocurrencia de fuertes vientos.

Figura 12 AMS tipo pndulo en forma de anillo

6. Puente Akashi-Kaikyo, Osaka Japon: Construido en el ao 1998 este puente,

de 3911m de longitud, es en la actualidad el puente colgante mas largo del mundo. Esta monumental estructura esta situada en uno de los pases con mayor actividad ssmica del planeta y debe soportar adems el embate de huracanes que con frecuencia ocurren en la zona. En el ao 1995 el terremoto de Kobe, de intensidad 6.9 en la escala de Richter, afecto la zona convirtindose en uno de los terremotos mas destructivos en la historia de Japn. La falla de Nojima, que pasa justo entre las torres del puente, causo que las mismas se distanciaran permanentemente entre s__ cerca de un metro, razn por la cual la longitud total del mismo es de 3911m y no los 3910 proyectados en un inicio. Afortunadamente solo las torres de la estructura, de 297m de altura cada una, se encontraban completas a la fecha del sismo resultando sin daos luego de la catstrofe. Lo anterior se debi en parte a la instalacin de AMS en distintas ubicaciones de las torres a medida que se avanzaba en su construccin. Los dispositivos se disearon para limitar los desplazamientos de estas estructuras a un mximo de 1/5000 (cerca de 6cm) de su altura total frente a cargas ssmicas y de viento.

Figura 13 AMS en puente colgante

7. Chiba Port Tower (Kitamura et al. 1988).

Chiva Port Tower (Terminada de construir en 1986) fue la primera torre en Japn equipada con AMS. El Chiva Port Tower es una estructura de acero de 125m de altura con un peso de 1950 toneladas, con forma de rombo en planta de 15m de lado. Los periodos del primer y segundo modo de vibrar son 2.25s y 0.51s respectivamente para la direccin X, 2.7s y 0.57s para la direccin Y. El amortiguamiento para el modo fundamental es de 0.5%. Al equipar la torre con AMS se incremento el amortiguamiento del primer modo en las direcciones X e Y. La figura 9 muestra el amortiguador de masa sintonizada. Fue construido por Mitsubishi Steel Manufacturing Co., Ltda., el AMS tiene: una razn de masa respecto de la masa modal del primer modo de 1/120 en la direccin X y 1/80 en la direccin Y; los periodos en la direccin X e Y son de 2.24s y 2.72s respectivamente; y una razn de amortiguamiento del 15%. El mximo desplazamiento relativo del AMS con respecto a la torre es de 1m en cada direccin. Con el AMS se redujo alrededor del 30% al 40% el desplazamiento de la parte superior de la torre y un 30% el momento flector.

Figura 14 AMS en Japon Edifcio Chiba port Power

5. Referencias R1 --Ambrosini A. Brassoti R.(2007), Sobre la utilizacin de

Amortiguadores de masa sintonizados en la provincia de Mendoza, Asociacion Argentina de Mecanica Computacional, Mecanica Computacional Vol XXVI,pp 2321.Argentina.

R2 --Boroschek R. Rozas L(2010) ,Disipadores de columna liquida para controlar la respuesta estructural de edificios bajo acciones ssmica,10 Congreso de Sismologia y Ingenieria antissmica,Valdivia, Chile

R3 --Alvares M.(2010) Aislamiento Ssmico y Disipadores de Energia en Chile,III Congreso de AICE 2010, Chile

R4 --Tejada A.(2011),Analsis dinamico de estructuras en el dominio de la frecuencia,Tesis Universidad Politecnica de Madrid,Espaa.

R5 --Yefi S.(2011),Estudio de la Eficiencia de los Amortiguadores de Masa Sintonizados en la respuesta ssmica de edificios estructurados en base marcos de hormign armado, Tesis, Universidad Autral de Chile, Chile.

R6 --Bassotti D.(2011),Control de vibraciones torsionales en estructuras sismoresistentes, Tesis, Universidad de Tucuman, Argentina.

R7 --Rozas L.(2009)Reduccin de la Respuesta Estructural por Medio del Uso de Disipadores de Masa Sintonizada y Disipadores de Columna Lquida Sintonizada, Tesis Universidad de Chile, Santiago ,Chile