construcciÓn de curva de capacidad de marco …

DEL 25 AL 28 DE NOVIEMBRE DE 2015, ACAPULCO, GUERRERO, GRAND HOTEL

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA SÍSMICA A. C.

CONSTRUCCIÓN DE CURVA DE CAPACIDAD DE MARCO GRAVITACIONAL DE 3 NIVELES

Federico Alba González (1), Luis Ángel Amezcua Eccius(2), Benjamín Guzmán Castro (3), Edson Gonzalo

López Cañas(3), Erick Yibran Ochoa Frutos(3),Daniell Martín Salinas Ayala (3),Abraham Salazar

Barbosa(3)

1 Director General, ALBA Proyecto Estructural, Ontario 1090 A, Italia Providencia, Guadalajara, C.P.44648 Tel.38095901

[email protected] 2 Director Academia de Estructuras, Universidad Panamericana campus Guadalajara, Prolongación Calzada No. 49 Ciudad

Granja, Zapopan, C.P. 45010 Tel.3311967395. [email protected] 3 Estudiante, Cuerpo Académico., Ingeniería Civil y Administración, Universidad Panamericana campus Guadalajara,

Prolongación Calzada No. 49 Ciudad Granja, Zapopan, C.P. 45010. [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

RESUMEN

Se construyó una curva de capacidad de manera experimental con la elaboración de un marco plano estructurado en

un sistema tri-lineal mediante tres vigas de diferente capacidad. La prueba se realizó con incrementos de carga

monotónicos del 5% de la carga esperada hasta la falla del marco. Con la recuperación de datos de deformación unitaria

y deformación vertical aunadas de la medición de la carga, se construyó la curva de capacidad y comparó con la

obtenida analíticamente. La curva refleja la pérdida de rigidez gradual del sistema, y aunque no muestra el

comportamiento tri-lineal los resultados se acercan a lo esperado.

ABSTRACT

Capacity curve experimentally with the development of a structured framework plane on a tri-linear system using three

beams of different capacity was built. The test was performed in increments of 5% loading monotonic the expected

load to failure of the frame. With the retrieval of strain and vertical deformation measuring coupled load, capacity

curve was constructed and compared with that obtained analytically. The curve reflects the gradual system loss of

rigidity, and although it shows the tri-linear behavior approach results expected.

INTRODUCCIÓN

Existen diversos procesos aproximados para analizar las consecuencias destructivas de una estructura al momento de

un sismo, dichos procesos tienen en común utilizar la curva de capacidad la cual representa la cortante basal vs el

desplazamiento en el eje horizontal, sin embargo en éste proyecto la finalidad fue demostrar que se puede realizar una

curva de capacidad aplicando una fuerza vertical y no de modo horizontal y además con ayuda de materiales y

herramientas que se pueden encontrar en un laboratorio.

El proyecto consta de varias etapas para llegar al resultado, comparar la curva de capacidad teórica contra la curva de

capacidad práctica. Para comenzar, fue necesario el diseño de la mezcla de concreto tomando en cuenta la teoría del

mailto:[email protected]








diseño (además de tomar como variable la relación agua-cemento para cada uno de los dos marcos que se realizaron.

Por otro lado, el análisis de la estructura para poder predecir su comportamiento y estimar la carga última a la que se

sometería. Y por último, realizar el ensayo tanto de la estructura y todos los aspectos que se refieren a ella, como el

ensaye de los especímenes de concreto para poder determinar las propiedades de cada relación, es decir, la capacidad

a compresión del concreto y el módulo de elasticidad, datos que son necesarios para su análisis.

GEOMETRÍA DEL PROYECTO

Geometría del proyecto

La construcción del marco (ver figura 1) se realizó con el fin de soportar tres vigas apoyadas en dos columnas verticales

en sus extremos, con altura de 99 cm desde su base hasta el nivel superior de su última viga, así mismo la longitud

total de dicho sistema fue de 156 cm de inicio a fin de las columnas verticales y el ancho del marco fue de 10 cm; la

separación entre vigas de centro a centro fue de 33 cm y se colocó otra columna en el centro de las vigas con la finalidad

de transmitir la fuerza P a todas la vigas del sistema.

Figura 1 Geometría general del marco.

Las tres vigas que se colocaron cuentan con diferentes áreas de acero y misma geometría (ver figura 2), en la viga 1

ubicada en la parte superior del marco, se colocó 1 varilla del número 2 en su centro, con 2 cm de recubrimiento, en la

viga 2, colocada justo a la mitad del marco, se colocaron 2 varillas del número 2 con 2 cm de recubrimiento y en la

viga 3, ubicada en la parte inferior del marco, se colocaron 3 varillas del número 2 con recubrimiento de 2 cm. Los

recubrimientos que se utilizaron en el proyecto fueron los mínimos recomendados por el ACI 318 para elementos de

concreto reforzado.



Figura 2 Detalle de vigas, visualizando su geometría y detalle de acero.

Las columnas verticales (ver figura 3) se armaron con Armex 12x12-4, cuya finalidad fue únicamente de apoyo a las

vigas, las cuales en un principio transmitían momento, sin embargo se colocaron pasantes de cortantes en la conexión

de vigas y columnas para que después del momento de agrietamiento las vigas trabajaran como simplemente apoyadas.

Figura 3 Corte longitudinal típico de marco.

DISEÑO DE LA MEZCLA

Para realizar la mezcla de concreto, se hicieron dos mezclas. La primera con una relación agua-cemento de 0.5 y la

segunda con una relación de agua-cemento de 0.6. Se tomó en cuenta la teoría del libro “Diseño y control de mezclas

de concreto” (Steve H. Kosmatka, 2004) donde explica con lujo de detalle el cálculo que se realizó para el diseño de

la mezcla del proyecto o también llamado dosificación del concreto por medio de pesos volumétricos absolutos.

Los pasos que se siguieron para realizar la mezcla después del cálculo fue: hacer un diseño de mezcla de ajuste

dependiendo del revenimiento que tenga la mezcla, ya que, es necesario que la mezcla tenga trabajabilidad y

consistencia. Donde el rango adecuado del revenimiento que se desea es de 75mm ± 20mm (Industria de la

construcción del concreto, 1997) .En caso que no esté en el rango, se recalcula el diseño de la mezcla tomando en

cuenta la cantidad de agua que se agregó a la mezcla además de la del diseño para llegar al revenimiento óptimo. Es

necesario calcular el rendimiento de la mezcla de prueba y el agua libre en los agregados. Tomando en cuenta la

cantidad de agua del diseño, la cantidad agregada para llegar al revenimiento óptimo y el agua libre de los agregados,

la suma de todas estas anteriores será igual al volumen de la mezcla, entonces, se hace una relación para determinar la

cantidad real de agua para un metro cúbico de mezcla y se realiza de nuevo el proceso de diseño de mezcla de concreto.

Al tener el diseño de mezcla de ajuste se toma como base para diseñar la mezcla de los marcos, lo primero para el

diseño de las mezclas fue determinar los porcentajes de humedad tanto del agregado fino como del agregado grueso.

Al calcular los valores, se procede a vaciar los valores y determinar las cantidades de los agregados grueso, fino,



cemento portland y agua. Acorde con el método antes mencionado. Ya teniendo todos los elementos, se preparan las

revolvedoras y se coloca un mortero pobre, se deja reposar por tres minutos y se retira. Después seguimos estos pasos:

colocar todo el agregado grueso, el cincuenta por ciento del agua, todo el agregado fino, todo el cemento portland y

finalmente la cantidad restante del agua. Se mezcló por tres minutos, en seguida se dejó reposar un minuto y para

finalizar se mezcló tres minutos más.

Los resultados de la resistencia a compresión de los cilindros de las dos mezclas son: 298.77 kg/cm3 y 362.55 kg/cm3

respectivamente.

Para el diseño de mezcla de relación agua-cemento 0.5 se obtuvo un peso volumétrico en estado fresco de 1997.94

kg/cm3 mientras que el peso volumétrico en estado fresco de la relación agua-cemento 0.6 fue de 1959 kg/cm3.

CONSTRUCCIÓN DE LOS ELEMENTOS

Una vez teniendo preparados la cimbra de los cilindros de concreto, la cimbra para el marco, el armado y el

proporcionamiento de la mezcla, para cada marco a realizarse, se procedió a determinar los porcentajes de humedad

para los agregados y así realizar el ajuste en el proporcionamiento de cada mezcla.

Al tener las cantidades necesarias de los materiales, se procedió a realizar la mezcla. Se preparó la revolvedora con

lechada, para no afectar la cantidad de agua de la mezcla, dejándola durante un minuto y después se retiró de la

revolvedora. Se procedió a realizar la mezcla agregando primero toda la grava y la arena, después solo se agregó la

mitad de la cantidad de agua, después el cemento y por último se fue agregando agua conforme se iba mezclando, para

llevar el control del revenimiento y la calidad del concreto, hasta agotar la otra mitad de agua si era necesario. Se deja

mezclando por 4 minutos, después se deja en reposo durante 1 minuto y se vuelve a mezclar durante otros 4 minutos.

Se realizó este proceso para la realización de la mezcla de los 4 marcos.

Antes de proceder con el colado de los elementos, se efectuó la prueba del revenimiento y se obtuvo el peso volumétrico

de cada una de las mezclas.

Teniendo limpios y engrasados los moldes para 6 cilindros, de 10 cm de diámetro y 15 cm de altura, que serán

ensayados a 28 días para poder determinar el f’c del concreto, y teniendo preparada la cimbra y el armado para ser

colados. Se procede a llenar las cimbras, para el colado de los cilindros, se realiza en 3 capas dando en cada capa 25

golpes con la varilla punta de bala, para minimizar las oquedades de los cilindros.

Para el llenado del marco se empleó una mesa vibratoria, tomando las recomendaciones de la norma ACI 309R-96,

tomando en cuenta la aplicación de la misma a elementos prefabricados, debido a la similitud de la realización de estos

con el procedimiento seguido para la realización de cada marco, el llenado de la cimbra fue a una distancia cercana

para no mover los elementos de refuerzo y para minimizar oquedades (ver figura 4). En la norma ACI 309R-96 también

se menciona que la vibración deberá ser aplicada en capas de espesores entre 250 mm a 400 mm, como el espesor de

los marcos es de tan solo 100 mm, se decidió hacerlo en dos capas para hacer más efectivo la consolidación del concreto

por vibrado, dejando así superficies casi libres de espacios de aire. Además siguiendo la norma ACI 309R-96 el tiempo

de vibrado fue de entre 2 minutos a 30 minutos dependiendo de cada uno de los cuatro casos, por lo regular fue de 8

minutos aproximadamente, y tomando la recomendación de la norma se variaron la frecuencia y la amplitud de las

vibraciones.



Figura 4 Vaciado del concreto en cimbra de un marco

Se enrazaron cada uno de los elementos y se dejaron listos en un área del laboratorio durante 24 horas (ver figura 5),

en lo que endurecía lo suficiente el concreto para poder descimbrar, se procedió a descimbrar los marcos y los cilindros,

los 6 cilindros para cada muestra se introdujeron a una cámara de curado, y los marcos fueron revisados durante el

proceso de curado, agregándoles agua frecuentemente.

Figura 5 Elemento enrazado antes del descimbrado

Una vez completado los 28 días desde el colado, se procedió a realizar las actividades necesarias para el ensaye de los

elementos.

DESARROLLO DE LAS PRUEBAS

Después de un periodo de curado de 28 días de acuerdo a “Practice for Making and Curing Concrete Test Specimens

in the Field” (ASTM C 31) como especifica el ACI 318 (ACI Committee 318, 2011), los marcos y cilindros colados

se prepararon para la realización de las pruebas pertinentes en miras a la obtención de los resultados necesarios en la

elaboración de este experimento.



Como ya se mencionó, el objeto de este reporte en cuestión requiere de pruebas en laboratorio realizadas sobre un

marco de concreto armado. Con el objeto de obtener valores de deformaciones en dicho modelo estructural, previo a

la prueba éste se instrumenta de manera estratégica en zonas de interés; siendo así, en la cara superior de la primer

viga en orden descendente se obtiene la deformación unitaria del concreto a compresión con la utilización de un Strain

Gauge colocado de acuerdo a las especificaciones del ASTM (ver figura 6); a su vez en la cara superior de la última

viga en orden descendente se obtienen las deformaciones por flexión del sistema con la utilización de un micrómetro

en la cara inferior de la misma.

Figura 6 Colocación de Strain Gauge

El registro de los datos durante la prueba exige una estimación de la resistencia, siendo así la carga última, de cada uno

de los marcos utilizados en las pruebas experimentales con la intención de establecer para cada uno intervalos

monotónicos de aumento de carga a razón de un 5%. Para obtener la carga última de cada marco se procedió la prueba

de los cilindros elaborados y determinar el f’c adecuado para los cálculos correspondientes (ver tabla 1).

Tabla 1. Resultados de pruebas en cilindros

N° Cilindro Marco a/c=0.6

Marco a/c=0.5

1 302.36 356.65

2 301.69 351.50

3 304.12 361.58

4 293.18 383.41

5 288.85 309.31



6 297.86 380.49

Media 298.77 362.55

Con los valores de resistencia de los cilindros se calcula la media de los mismos despreciando valores extremos. El

valor medio (la tabla 1) se utilizó para calcular la resistencia esperada de cada viga de los marcos realizados; y así

poder estimar un resultado.

Cada marco construido se colocó en la de tal manera que la prensa generó una carga puntual en el centro de las vigas.

La prensa utilizada consta de un sistema hidráulico manual por lo que la exactitud en los incrementos de carga varía a

los programados, siendo únicamente indicación del proceso esperado de la prueba.

Para cada incremento de carga se registran las deformaciones tanto del Strain Gauge como del Micrómetro. Este

proceso se llevó a cabo hasta el momento del colapso de la estructura, pasando por lo tanto por los momentos de

ruptura, momentos de fluencia y momentos de falla de cada una de las vigas del sistema, hasta que la última colapsa.

A manera que la carga se aumenta se aprecian las deformaciones que sufre la estructura a raíz de los esfuerzos que está

teniendo la misma. De manera gradual la estructura sufre de agrietamientos en su mayoría a paño de los apoyos,

generando una articulación de las vigas; en este momento podemos decir que el sistema pasa de ser un marco plano

para volverse un sistema de tres vigas simplemente apoyadas cuya deformación en todas tiene el mismo valor;

cumpliendo así la hipótesis especificada.

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Los resultados del experimento para ambos marcos reflejan el comportamiento real que tuvo la estructura durante el

proceso de las pruebas (ver tabla 2).

Tabla 2. Resultados prácticos de los marcos

A/C =0.5 A/C =0.6

# Incremento Carga Deflexión Carga Deflexión

[kg] [mm] [kg] [mm]

0 0 0 0 0

1 107 0.21 90 0.214

2 198 0.401 175 0.395

3 300 0.669 252 0.557

4 408 1.008 341 0.849

5 497 1.499 430 1.342

6 597 2.35 500 1.804

7 702 3.085 591 2.495

8 797 3.77 674 3.165

9 912 4.54 762 3.756

10 1006 5.155 840 4.439



11 1102 5.8 937 5.099

12 1199 6.49 1009 5.736

13 1304 7.15 1093 6.265

14 1398 7.718 1181 6.945

15 1506 8.34 1263 7.521

16 1609 9.13 1350 8.215

17 1708 9.806 1433 8.725

18 1800 10.61 1512 9.458

19 1596 10.02

20 1696 10.797

21 1781 11.433

22 1850 12.007

23 1937 12.687

24 2025 13.635

Con los datos de la tabla anterior obtenemos la curva de capacidad de manera experimental del marco con relación

agua-cemento de 0.5 (ver Figura 8) y a su vez de del marco con relación agua-cemento de 0.6 (ver Figura 7).

Figura 7 Curva de capacidad experimental marco a/c 0.6



Figura 8 Curva de capacidad experimental marco a/c 0.5

ANÁLISIS TEÓRICO DE LA ESTRUCTURA

Para el análisis teórico de la estructura se comparó los resultados obtenidos en campo contra dos técnicas teóricas que

a continuación se presentarán; es importante mencionar que se consideró un deformación igual en las tres vigas del

marco y que la estructura se construyó para que se presentaran dos etapas, la primera que hace referencia a una viga

empotrada es decir el concreto trabaja y el acero no y la segunda que hace referencia una viga simplemente apoyada,

es decir una vez que el concreto se agrieta (ver Figura 9) el acero empieza a trabajar.



Figura 9 Falla en el extremo derecho del marco.

Las dos técnicas teóricas que se utilizaron y que se explicarán más adelante son, en primera instancia, una aproximación

analítica realizada en Excel considerando la teoría de Branson y en segunda instancia una aproximación analítica en

SAP2000. Para dichos análisis fue necesario determinar y conocer varias propiedades de un estructura, tales como la

resistencia del concreto f’c, módulo de elasticidad del concreto ϵc y acero ϵs, módulo de ruptura del concreto Mcr y

esfuerzo último del acero fu. (Ver tabla 3)

Tabla 3 Propiedades de los marcos

Propiedades Resultados A/C 0.6 [kg/cm2]

Resultados A/C 0.5 [kg/cm2]

f'c 298.77 362.55

Ec 172849.65 190407.46

fr 34.57 38.08

Mcr 3687.46 kg-cm 4062.03 kg-cm

fu 7200.00 7200.00

Es 2039000.00 2039000.00

Aproximación Analítica con Branson

Tomando como parámetro el momento de ruptura de las vigas, si el momento actuante es menor al momento de ruptura

entonces se tomará como viga empotrada, por otro lado, si el momento actuante es mayor al momento de ruptura se

tomará como viga simplemente apoyada.

IE

PL

c48

3

(1)

En la ecuación anterior, “ec. 1” representa de deformación que se genera en la viga antes de que el momento actuante

sea igual al momento resistente. Pero, el momento de inercia de masa de la “ec. 1” varía de acuerdo si se toma como

una viga simplemente apoyada o una viga empotrada. En el caso que sea una viga simplemente apoyada se toma como:

12

3BHI g (2)

Pero si la viga sobrepasa el momento resistente, entonces se toma como momento de inercia de masa la “ec. 3” (ACI

Committee 318, 2011)

cr

a

cr

g

a

cr

e IM

MI

M

MI

3

1 (3)

Donde la variable Icr está representado por la siguiente ecuación (ACI Committee 435, 2003):



2

3

3kddAn

kdbI scr

(4)

Y la variable n es:

c

s

E

En (5)

Además, la variable kd de la “ec. 4” es:

B

dBkd

112 (6)

Finalmente, la variable B de la “ec. 6” es:

sAn

bB (7)

Por otro lado, se calculó el módulo de elasticidad del concreto por medio de la siguiente ecuación, tomando en cuenta

el reglamento que rige la zona. Ya que depende de los agregados y esos agregados a su vez sus propiedades dependen

del lugar de donde son extraídos.

cfEc '10000 (8)

Tomando en cuenta todas las ecuaciones anteriores, se llegaron a los resultados teóricos de los dos marcos que se

realizaron. Teniendo las dos partes del cálculo, la primera parte con vigas empotradas y el siguiente paso con las vigas

simplemente apoyadas que depende del momento actuante comparado con el momento resistente de cada una de las

vigas.

Los resultados del marco con relación agua-cemento 0.6 son los siguientes:

Tabla 4. Resultados teóricos del marco con relación agua-cemento 0.6

Resultados Viga 1 Viga 2 Viga 3

PTotal v P Ma Ie v P Ma Ie v P Ma Ie v

0.0 0.0000 0.00 0.00 426.667 0.00000 0.00 0.00 426.667 0.0000 0.00 0.00 426.667 0.00000

50.0 0.0129 16.67 291.73 426.667 0.01292 16.67 291.73 426.667 0.01292 16.67 291.73 426.667 0.01292

100.0 0.0258 33.33 583.28 426.667 0.02584 33.33 583.28 426.667 0.02584 33.33 583.28 426.667 0.02584

200.0 0.0517 66.67 1166.73 426.667 0.05168 66.67 1166.73 426.667 0.05168 66.67 1166.73 426.667 0.05168

300.0 0.0775 100.00 1750.00 426.667 0.07751 100.00 1750.00 426.667 0.07751 100.00 1750.00 426.667 0.07751



400.0 0.1034 133.33 2333.28 426.667 0.10335 133.33 2333.28 426.667 0.10335 133.33 2333.28 426.667 0.10335

500.0 0.1292 166.67 2916.73 426.667 0.12919 166.67 2916.73 426.667 0.12919 166.67 2916.73 426.667 0.12919

600.0 0.1550 200.00 3500.00 426.667 0.15503 200.00 3500.00 426.667 0.15503 200.00 3500.00 426.667 0.15503

700.0 0.4773 209.38 3664.15 426.667 0.16230 226.62 7931.70 157.091 0.47711 264.00 9240.00 182.913 0.47735

800.0 0.6014 213.99 7489.48 118.025 0.60143 265.70 9299.50 145.663 0.60143 320.30 11210.50 175.633 0.60143

900.0 0.7054 231.92 8117.31 109.050 0.70540 299.25 10473.67 140.057 0.70540 368.83 12909.02 172.436 0.70540

1000.0 0.8067 249.57 8734.84 102.563 0.80673 333.37 11667.88 136.438 0.80673 417.07 14597.28 170.565 0.80673

1100.0 0.9062 267.13 9349.51 97.697 0.90617 367.79 12872.50 134.023 0.90617 465.09 16277.99 169.395 0.90617

1200.0 1.0041 284.74 9965.92 93.949 1.00412 402.41 14084.45 132.357 1.00412 512.85 17949.63 168.626 1.00412

1300.0 1.1009 302.48 10586.81 91.005 1.10087 437.18 15301.15 131.173 1.10087 560.34 19612.03 168.100 1.10087

1400.0 1.1966 320.39 11213.74 88.657 1.19664 472.02 16520.63 130.311 1.19664 607.59 21265.63 167.727 1.19664

1500.0 1.2916 338.50 11847.45 86.763 1.29160 506.90 17741.46 129.669 1.29160 654.60 22911.08 167.455 1.29160

1600.0 1.3980 347.29 12155.00 85.981 1.33586 545.84 19104.35 129.133 1.39798 706.88 24740.65 167.231 1.39798

1700.0 1.5127 347.29 12155.00 85.981 1.33586 588.64 20602.45 128.697 1.51272 764.07 26742.55 167.052 1.51272

1800.0 1.6271 347.29 12155.00 85.981 1.33586 631.53 22103.65 128.370 1.62707 821.18 28741.35 166.919 1.62707

1850.0 1.6987 347.29 12155.00 85.981 1.33586 645.74 22601.00 128.280 1.66485 856.97 29994.00 166.853 1.69866

1888.4 1.7754 347.29 12155.00 85.981 1.33586 645.74 22601.00 128.280 1.66485 895.34 31337.00 166.794 1.77535

1888.4 1.7754 347.29 12155.00 85.981 1.33586 645.74 22601.00 128.280 1.66485 895.34 31337.00 166.794 1.77535

Como se puede apreciar en la tabla 4, de modo teórico el marco con relación agua-cemento de 0.6 tuvo una carga

última de 1888 kilogramos, mientras que la última carga registrada en el experimento fue de 2025 kilogramos.

A continuación, se presenta la curva de capacidad del marco con relación agua-cemento de 0.6 (ver figura 10). Dicha

gráfica inicia con una línea con cierta pendiente que parte del origen, representando el momento resistente del marco.

Después de esta línea se encuentra la transición del análisis de una viga empotrada a una viga simplemente apoyada.

Finalmente, se encuentra la línea donde el momento actuante es mayor al resistente.



Figura 10. Curva de capacidad teórica

En la siguiente tabla (ver tabla 5) se muestran los resultados del marco con relación agua-cemento 0.5

Tabla 5. Resultados teóricos del marco con relación agua-cemento 0.5

Resultados Viga 1 Viga 2 Viga 3

PTotal v P1 Ma Ie v P2 Ma Ie v P3 Ma Ie v

0.0 0.0000 0.00 0.00 426.667 0.00000 0.00 0.00 426.667 0.0000 0.00 0.00 426.667 0.00000

50.0 0.0117 16.67 291.73 426.667 0.01173 16.67 291.73 426.667 0.01173 16.67 291.73 426.667 0.01173

100.0 0.0235 33.33 583.28 426.667 0.02345 33.33 583.28 426.667 0.02345 33.33 583.28 426.667 0.02345

200.0 0.0469 66.67 1166.73 426.667 0.04691 66.67 1166.73 426.667 0.04691 66.67 1166.73 426.667 0.04691

300.0 0.0704 100.00 1750.00 426.667 0.07037 100.00 1750.00 426.667 0.07037 100.00 1750.00 426.667 0.07037

400.0 0.0938 133.33 2333.28 426.667 0.09382 133.33 2333.28 426.667 0.09382 133.33 2333.28 426.667 0.09382

500.0 0.1173 166.67 2916.73 426.667 0.11728 166.67 2916.73 426.667 0.11728 166.67 2916.73 426.667 0.11728

600.0 0.1407 200.00 3500.00 426.667 0.14073 200.00 3500.00 426.667 0.14073 200.00 3500.00 426.667 0.14073

700.0 0.3754 232.12 4062.02 426.667 0.16333 232.12 4062.02 426.667 0.16333 235.77 8251.90 188.563 0.37539

800.0 0.5385 232.12 4062.03 426.667 0.16333 261.24 9143.51 145.661 0.53847 306.64 10732.44 170.973 0.53847

900.0 0.6550 240.94 8432.89 110.442 0.65498 298.39 10443.75 136.778 0.65498 360.67 12623.37 165.324 0.65498

1000.0 0.7561 258.80 9058.08 102.759 0.75615 331.98 11619.30 131.815 0.75615 409.22 14322.62 162.483 0.75615

1100.0 0.8551 276.34 9671.78 97.027 0.85507 365.92 12807.26 128.482 0.85507 457.74 16020.96 160.722 0.85507

1200.0 0.9522 293.73 10280.63 92.613 0.95222 400.16 14005.55 126.170 0.95222 506.11 17713.82 159.576 0.95222

1300.0 1.0479 311.11 10888.98 89.135 1.04793 434.62 15211.77 124.520 1.04793 554.26 19399.25 158.798 1.04793



1400.0 1.1425 328.56 11499.68 86.344 1.14247 469.25 16423.70 123.315 1.14247 602.19 21076.63 158.251 1.14247

1500.0 1.2361 346.13 12114.54 84.074 1.23605 503.98 17639.46 122.416 1.23605 649.89 22746.00 157.855 1.23605

1600.0 1.3426 351.57 12305.00 83.460 1.26471 543.99 19039.70 121.646 1.34262 704.44 24655.30 157.525 1.34262

1700.0 1.4546 351.57 12305.00 83.460 1.26471 586.45 20525.77 121.042 1.45463 761.98 26669.23 157.271 1.45463

1800.0 1.5661 351.57 12305.00 83.460 1.26471 629.03 22016.12 120.590 1.56611 819.40 28678.88 157.084 1.56611

1900.0 1.6942 351.57 12305.00 83.460 1.26471 662.91 23202.00 120.308 1.65433 885.51 30993.00 156.924 1.69420

1948.5 1.7880 351.57 12305.00 83.460 1.26471 662.91 23202.00 120.308 1.65433 934.00 32690.00 156.834 1.78799

En este caso, el marco arrojó la carga última teórica de 1948.5 kilogramos contra la carga última registrada en el

experimento de 1800 kilogramos.

De igual manera al sistema anterior, representamos la curva de capacidad (ver figura 11)

Figura 11. Curva de capacidad teórica

Si se compara la figura 10 con la figura 11, se puede apreciar que las fases de la figura también aparecen en esta gráfica.

Y mucha similitud entre las gráficas, aunque la resistencia de los marcos sea diferente.

Aproximación Analítica en SAP2000

Para realizar el análisis en SAP2000, primero se introdujeron las dimensiones del marco, pero utilizando apoyos en

los extremos de las vigas en lugar de utilizar las columnas laterales, además se definieron las propiedades de los

materiales, las cuales se presentaron en la tabla #. Cabe mencionar que el análisis en SAP2000 se diferencia del anterior

por el valor que toma el momento de inercia efectivo Ie, el cual se consideró del 0.5Ig tomando como referencia la tabla

de rigidez efectiva de elementos en FEMA 356 y los factores de reducción Paulay y Priestley.



Se tomaron los principios ya antes mencionados, por lo que al principio los apoyos en las vigas fueron empotrados,

como se muestra en la figura 7.

Figura 12. Esquema en SAP2000 con apoyos empotrados

Se aplicó una carga puntual en incrementos de 100 kg y se tomaron los datos de la deformación, hasta que el

momento actuante de cada una de las vigas fue igual al momento de ruptura Mcr. En dicho instante se cambiaron los

apoyos como se muestra en la figura 8.



Figura 13. Esquema en SAP2000 con vigas simplemente apoyadas

Se continuó aplicando los incrementos de carga y tomando las deformaciones hasta llegar al instante en el que falla

la primer viga, que es cuando el momento actuante es igual al momento último de la primer viga Mn1. A partir de

ese instante se articuló la primera viga como se muestra en la figura 9.

Figura 14. Esquema en SAP2000 viga 1 articulada

Al articular la viga 1, la carga aplicada fue la diferencia de la carga total que continua en los incrementos menos la

carga última al momento de la falla de la viga 1, y se tomaron las deformaciones por cada incremento. Al momento

de llegar a la falla de la segunda viga, cuando el momento actuante es igual al momento último de la segunda viga

Mn2, y se articuló la viga 2 como se muestra en la figura 15.



Figura 15. Esquema en SAP2000 viga 1 y 2 articuladas

Al articular la viga 2, la carga aplicada fue la diferencia de la carga total que continua en los incrementos menos la

carga última al momento de la falla de la viga 1 menos la carga última de la viga 2, y se tomaron las deformaciones

por cada incremento, hasta llegar al instante la falla de la tercera y última viga de la estructura, cuando el momento

actuante es igual al momento último de la tercera viga Mn3.

Los valores de los momentos últimos Mn de cada viga para los dos marcos se presentan a continuación (ver tabla 6):

Tabla 6.Valores de Mn

Mn1 Mn2 Mn3

a/c 0.6 12,155.0

22,600.5

31,336.7

a/c 0.5 12,305.3

23,202.0

32,689.9

Las deformaciones para cada incremento de carga de los marcos se muestran en la siguiente tabla (ver tabla 7):

Tabla 7.Resultados aproximación con SAP2000

A/C =0.6 A/C =0.5

Carga Deflexión Carga Deflexión

[kg] [mm] [kg] [mm]

0 0 0 0

100 0.0251 100 0.0204

200 0.0422 200 0.0344

300 0.0594 300 0.0484

400 0.0765 400 0.0624

500 0.0936 500 0.0764

600 0.4002 600 0.0904

700 0.4614 700 0.4191

800 0.5226 800 0.4747

900 0.5838 900 0.5302

1000 0.6189 1,000 0.5759

1100 0.7108 1,100 0.6593

1200 0.8027 1,200 0.7427

1300 0.8946 1,300 0.8261

1400 0.9865 1,400 0.9096



1500 1.0784 1,500 0.9930

1600 1.1642 1,600 1.0537

1700 1.3481 1,700 1.2206

1800 1.5320 1,800 1.3876

1850 1.6240 1,850 1.4711

Para tener mejor visualización de los resultados se realizó una gráfica del marco con a/c=0.6 (ver figura 16) así como

una gráfica del marco a/c=0.5 (ver figura 17).

Figura 16. Gráfica analítica con ayuda de SAP2000, Marco a/c=0.6

Figura 17. Gráfica analítica con ayuda de SAP2000, Marco a/c=0.5

CONCLUSIONES



Después de un análisis de los resultados obtenidos por la serie de pruebas y cálculos realizados para la comprobación

de la hipótesis planteada en miras a la construcción de una curva de capacidad de cargas gravitacionales se puede

apreciar una similitud de los comportamientos en los tres casos, el práctico y los dos teóricos (ver figura 18 y 19);

como se puede apreciar en la figura siguiente, las deformaciones teóricas contra las de campo son muy parecidas, sin

embargo, nuestra aproximación con SAP2000 muestra con mayor exactitud la trilinealidad del marco, representando

una diferente pendiente en cada viga, es decir, cada vez que una de las vigas deja de aportar resistencia, cambia la

pendiente de la recta y la viga siguiente es la que continuará resistiéndose.

Es importante mencionar que en las aproximaciones teóricas presentan un transición con muy poca pendiente,

representando el cambio de viga empotrada a simplemente apoyada.

Por lo tanto es válido aceptar la posibilidad de construir una curva de capacidad de un edificio con los elementos

encontrados en el laboratorio de cualquier Universidad para la demostración de su uso a los alumnos de la misma.

Siendo este un método alternativo al que convencionalmente se utiliza.

Figura 18. Curva de capacidad práctica (roja), SAP2000 (verde), Branson (azul), Marco a/c=0.6



Figura 19. Curva de capacidad práctica (roja), SAP2000 (verde), Branson (azul), Marco a/c=0.5

REFERENCIAS

American Society for Testing Materials (2003). ASTM-39, 14 paginas

Industria de la Construcción del concreto (1997). NMX-C-156-1997-ONNCCE, 4 paginas

Kosmatka, S.H, Kerkhoff, B. Panarese, W.C. Y Tanesi. (2004), Diseño y control de mezclas de concreto, Portlan

Cement Association.

ACI Committee 318 (2011), Requisitos de reglamentos para concreto estructural.

ACI Committee 435 (2003), Control of Deflection in Concrete Structure.

construcciÓn de curva de capacidad de marco …

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