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CENTRO DE ESTUDIOS FILOSÓFICOS EUGENIO PUCCIARELLI 113

BUENOS AIRES2013

CONOCIMIENTO SIMBÓLICOY CONOCIMIENTO GRÁFICO.

HISTORIA Y TEORÍA

OSCAR M. ESQUISABEL - FRANK TH. SAUTTER(Editores)

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CONOCIMIENTO SIMBÓLICOY CONOCIMIENTO GRÁFICO.

HISTORIA Y TEORÍA

OSCAR M. ESQUISABEL - FRANK TH. SAUTTER(Editores)

Centro de Estudios Filosóficos Eugenio Pucciarelli

2013

Todos los derechos reservadosHecho el depósito que previene la Ley 11.723IMPRESO EN LA ARGENTINA

© ACADEMIA NACIONAL DE CIENCIAS DE BUENOS AIRES

Avda. Alvear 1711, 3er. piso – C.P. C1014AAE – Ciudad Autónoma de Buenos Aires –República Argentinahttp://www.ciencias.org.are-mail: [email protected]

ISBN 978-987-45065-0-4

La publicación de los trabajos de los académicos y disertantes invitados se realiza bajo elprincipio de libertad académica y no implica ningún grado de adhesión por parte de otrosmiembros de la Academia, ni de ésta como entidad colectiva, a las ideas o puntos de vistade los autores.

Esquisabel, Oscar MiguelConocimiento simbólico y conocimento gráfico: historia y teoría . - 1ª ed. - La Plata:

Oscar M. Esquisabel, 2013.136 p.; 22 x 15 cm.

ISBN 978-987-45065-0-4

1. Filosofía. I. TítuloCDD 190

Fecha de catalogación: 27/09/2013

Prefacio .......................................................................................................................

Parte I. Conocimiento simbólico y conocimiento gráfico en la matemática

Eduardo N. GiovanniniFelix Klein sobre el valor del razonamiento diagramático en geometría ............

Abel Lassalle CasanaveDiagramas en pruebas geométricas por reductio ad absurdum ............................

Wagner de Campos SanzPostulados, diagramas, ¡acción! ............................................................................

Gisele SeccoConocimiento simbólico en la prueba del Teorema de los Cuatro Colores .........

Parte II. Conocimiento simbólico y conocimiento gráfico en la lógica

Javier LegrisConocimiento gráfico y diagramas desde la perspectiva de C. S. Peirce ............

Bruno Ramos MendonçaConocimiento simbólico y conocimiento gráfico en Venn ....................................

Frank Th. SautterUn tema de Hilbert y Ackermann: formas normales para la prueba de validez ..

Valeria Valiño¿Es la Begriffsschrift de Frege un sistema diagramático? ...................................

Parte III. Antecedentes históricos, extensiones y críticas

Oscar M. EsquisabelConocimiento simbólico y diagramas en la protosemiótica de Hoffbauer ...........

Fabrício Pires FortesEl pensamiento simbólico leibniziano y la notación musical ................................

Sérgio SchultzDiagramas, iconicidad y conocimiento simbólico .................................................

Sobre los autores .......................................................................................................

ÍNDICE

5

11

21

29

37

51

61

71

81

97

109

121

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PREFACIO

Relegados al papel meramente auxiliar en los inicios de la filosofía de lasciencias formales contemporánea, que enfocó el análisis de la lógica y la matemá-tica a partir del concepto de lenguaje formal, los diagramas han vuelto en la actua-lidad a ocupar un papel central en la teoría de las ciencias formales y, por ello, hanobligado a la reflexión filosófica a volver su atención e interés hacia ellos, a par-tir de diversos enfoques y tendencias conceptuales. Los motivos obedecen a diver-sos factores que han marcado el rumbo de la filosofía de las ciencias formales enlos últimos veinte años, entre los cuales se pueden contar un cierto agotamiento delmodelo ‘‘lingüístico’’ como paradigma conceptual para las ciencias formales, laexploración de nuevas metodologías para las ciencias de la computación, así comola introducción de aspectos cognitivos y pragmáticos tanto en el análisis de lógi-ca como de la matemática, todo ello acompañado, es justo decirlo, por la revalo-ración de las reflexiones semióticas de C. S. Peirce.

La presente obra intenta ser una contribución inicial a la problemática de larelevancia de los diagramas en las ciencias formales, tomando como punto de par-tida una tradición filosófica que arranca temporalmente bastante antes que la obrade Peirce y, en ese sentido, entronca con la tradición leibniziana del así llamado‘‘conocimiento simbólico’’, es decir, el conocimiento que puede ser obtenido me-diante la utilización de signos. Así es que en esta línea histórica de reflexión con-ceptual sobre las ciencias formales, los dos tipos de estructura semiótica queexpresan de la manera más perfecta el ideal del conocimiento simbólico están re-presentados por las fórmulas y los diagramas o gráficos, dualidad que, de algúnmodo, hemos querido expresar en el título de la presente obra. Si, de una maneraun poco esquemática, asignamos el campo de lo simbólico a la fórmula (de acuer-do con el modelo del álgebra) y el de lo gráfico al diagrama, la tradición del co-nocimiento simbólico concibió lo simbólico y lo gráfico como pertenecientes a unamisma familia de métodos de representación para la lógica y la matemática, concaracterísticas distintivas, pero también con propiedades y resultados comunes.Así, ha sido nuestro interés explorar inicialmente diversos aspectos históricos yteóricos que afectan a la distinción entre lo simbólico y lo gráfico en el campo delas ciencias formales, aunque no solamente en ellas, con lo cual damos continui-dad a investigaciones que han sido los antecedentes de las presentes. Es por esa ra-zón que hemos dividido la obra en tres partes: la primera está dedicada a ladistinción entre conocimiento simbólico y conocimiento gráfico en la matemáti-ca, la segunda aborda la misma diferenciación en el campo de la lógica, mientras

CONOCIMIENTO SIMBÓLICO Y CONOCIMIENTO GRÁFICO. HISTORIA Y TEORÍA6

que la tercera examina algunos antecedentes históricos poco conocidos, proponeextensiones de la distinción a otras disciplinas y contiene consideraciones críticasacerca de las bases teóricas que subyacen al concepto de conocimiento simbóli-co y de conocimiento gráfico.

Así, en la primera parte, Eduardo Giovannini examina, en ‘‘Felix Klein so-bre el valor del razonamiento diagramático en geometría’’, el papel reservado a laintuición espacial y a los diagramas en la práctica geométrica, según la concepciónde Felix Klein. Giovannini acompaña el desarrollo del pensamiento de Klein so-bre este aspecto, desde su oposición inicial a una concepción puramente simbóli-ca de la prueba geométrica hasta su aproximación a la concepción de Hilbert. Asu vez, en ‘‘Diagramas en pruebas geométricas por reductio ad absurdum’’, AbelLassalle Casanave defiende una concepción de las figuras como muestras, por opo-sición a una concepción de las figuras como instancias. De esta forma, la concep-ción de las figuras como muestras, que se apoya en la distinción de Ken Mandersentre aspectos exactos y coexactos de las figuras, contribuye a la explicación dela naturaleza de las pruebas por reductio ad absurdum, al contrario de la concep-ción rival. Por su parte, ‘‘Postulados, diagramas, ¡acción!’’, de Wagner de Cam-pos Sanz, desarrolla la tesis de que las pruebas de los Elementos de Euclides seentienden a partir de la noción de problema y, más genéricamente, a partir de lanoción de acción. Su propuesta está basada en la interpretación de Kolmogorov dela lógica intuicionista como una lógica de problemas. Finalmente, Gisele Secco in-vestiga, en ‘‘Conocimiento simbólico en la prueba del Teorema de los CuatroColores’’, las propiedades de la sinopticidad e inspeccionabilidad de las pruebasa partir de la prueba asistida por ordenador del denominado ‘‘Teorema de los cua-tro colores’’. La autora utiliza tres diferentes sentidos que pueden ser asociados alas pruebas: pruebas como actos, como objetos y como trazos.

La segunda parte del libro se dedica, como dijimos, a la discusión del proble-ma del conocimiento simbólico y gráfico en la lógica. De este modo, Javier Legrisdefiende, en ‘‘Conocimiento gráfico y diagramas desde la perspectiva de C. S.Peirce’’, que una interpretación topológica de la iconicidad es, según la semióti-ca de C. S. Peirce, preferible a una interpretación operacional de la iconicidad,cuando lo que está en juego es una notación que, como los grafos existenciales, esbidimensional. A continuación, en ‘‘Conocimiento simbólico y conocimiento grá-fico en Venn’’, Bruno Ramos Mendonça analiza la relación entre el álgebra de lalógica de Venn y su método diagramático, relación que es decisiva para esclare-cer la concepción de Venn sobre las relaciones entre lenguaje, lo simbólico y lográfico, al tiempo que la distingue de las concepciones rivales del siglo XIX. Porsu parte, ‘‘Un tema de Hilbert y Ackermann. Formas normales para la prueba devalidez’’, de Frank Th. Sautter, propone un método heterogéneo de prueba parala lógica proposicional clásica; dicho método opera mediante el reconocimientovisual de partes de las proposiciones como átomos de información. El último tra-bajo de la segunda parte se titula ‘‘¿Es la Begriffsschrift de Frege un sistema

PREFACIO 7

diagramático?’’, de Valeria Valiño. La autora sostiene la tesis de que la Begriffs-schrift (Conceptografía) de Frege no es un sistema diagramático, a despecho de sucarácter bidimensional. La tesis se basa en un análisis de las dimensiones ontoló-gica y epistemológica subyacentes al sistema semiótico de Frege.

En la tercera parte del libro, de carácter histórico, ampliativo y crítico, OscarM. Esquisabel examina, en ‘‘Conocimiento simbólico y diagramas en la protose-miótica de Hoffbauer’’, la obra de J. Ch. Hoffbauer, Tentamina semiológica (1789)desde el punto de vista de la tradición del conocimiento simbólico, iniciada por G.W. Leibniz. En esta perspectiva, la obra, sostiene el autor, puede entenderse comouna protosemiótica en la que se revela una tensión latente entre el modelo algebrai-co y diagramático de conocimiento simbólico. Por su parte, Fabrício Pires Fortesutiliza, en ‘‘El pensamiento simbólico leibniziano y la notación musical’’, los as-pectos de sensibilización, ordenación y el factor psicotécnico asociado a los sím-bolos, así como las funciones de subrogación, cálculo y éctesis de los mismos, paraexaminar la notación musical, sus posibilidades y sus límites, mientras que SérgioSchultz discute, en ‘‘Diagramas, iconicidad y conocimiento simbólico’’, las rela-ciones, las semejanzas y las diferencias entre pruebas homogéneas, es decir, laspruebas que utilizan proposiciones, y las pruebas heterogéneas, a saber, las prue-bas que utilizan proposiciones y figuras (o diagramas).

El presente volumen no podría haber sido posible sin el permanente intercam-bio de ideas y colaboración conjunta de los participantes, que ha tenido y tieneactualmente lugar a través de incontables encuentros científicos y reuniones detrabajo y es por eso que deseamos agradecer muy especialmente sus aportaciones.Expresamos también nuestro agradecimiento a la Secretaría de Políticas Univer-sitarias (SPU) del Ministerio de Educación de la Nación y a la Coordenação deAperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) que sostienen financie-ramente el proyecto CAPES/SPU CAFP-BA 042/12, ‘‘Conocimiento gráfico y co-nocimiento simbólico/Conhecimiento simbólico e conhecimiento gráfico’’,desarrollado en el marco del Programa de Centros Asociados para el Fortaleci-miento del Posgrado de Brasil y Argentina (para más datos del proyecto, véasewww.gcfcf.com.br). Destacamos en particular el apoyo financiero que hemos re-cibido de la SPU para la publicación de esta obra. El equipo brasileño, coordina-do por el Prof. Dr. Abel Lassalle Casanave, de la Universidade Federal de Bahia,está integrado por los profesores y alumnos de posgrado de la Universidade Fede-ral de Bahia, de la Universidade Federal de Santa Maria y la Universidade Federalde Goias. Por su parte, el equipo argentino está coordinado por la Profa. Dra. Cris-tina Di Gregori, Directora del Posgrado de Filosofía de la FaHCE-UNLP y por elProf. Dr. Oscar M. Esquisabel y está compuesto por profesores y alumnos deposgrado de la Universidad Nacional de La Plata y la Universidad de Buenos Ai-res. La mayor parte de los trabajos de los investigadores brasileños y argentinosque se incluyen en esta recopilación se ha desarrollado tanto en misiones de tra-bajo como en misiones de estudio que tuvieron lugar en el marco del presente


proyecto. Expresamos, finalmente, nuestro más cálido y afectuoso reconocimientoal alma mater de esta empresa binacional, a nuestro colega y querido amigo Abel,sin el cual nada de esto hubiese sido posible.

LOS EDITORES

La Plata, 28 de agosto de 2013

Parte I

Conocimiento simbólico y conocimiento gráficoen la matemática

FELIX KLEIN SOBRE EL VALOR DEL RAZONAMIENTODIAGRAMÁTICO EN GEOMETRÍA*

EDUARDO N. GIOVANNINI

[email protected]

1. Introducción

El nombre de Felix Klein (1849–1925) suele ser mencionado por los histo-riadores de la matemática como el autor de uno de los programas de investigaciónque más contribuyó, hacia fines del siglo XIX, a la unificación de la geometría, elanálisis y el álgebra como un sistema orgánico. En efecto, en su célebre ‘‘Programade Erlangen’’ de 1872 (Klein 1893c), Klein describió de un modo programáticocómo el concepto algebraico de grupo podía ser utilizado para clasificar y unifi-car el estudio de la geometría, en aquel momento notablemente diseminada en di-versas teorías sin una vinculación aparente. La novedosa idea de Klein consistióen definir las distintas clases de geometrías en virtud del conjunto de propiedadesque permanecen invariantes bajo un grupo de transformaciones determinado. Lautilización de la teoría de grupos en el estudio de la geometría, posteriormente lle-vada a cabo de un modo sistemático por Lie, Poincaré y por varios geómetras ita-lianos (Segre, Fano, Enriques) tuvo como resultado la introducción de un grado deabstracción y generalización, anteriormente desconocido por esta disciplina.

Por otro lado, Klein también es señalado comúnmente como un autodeclaradosimpatizante de la superioridad de las demostraciones basadas en axiomas abstrac-tos, por sobre aquellas que utilizan diagramas. Es decir, como un defensor de latesis propuesta inicialmente por Moritz Pasch (1843–1930), y defendida luego porDavid Hilbert (1862–1943), según la cual un teorema sólo puede considerarsecomo verdaderamente probado, cuando la demostración es completamente inde-pendiente de los diagramas.1 Sin embargo, una rápida mirada sobre sus escritosrevela que Klein fue también un importante promotor de la intuición y el razona-

* El autor agradece el apoyo de los proyectos CAFP-042/12 y PIP-CONICET 112 20080101334 para llevar a cabo la presente publicación.

1 Cf. Pasch 1882, p. 98 y Hilbert 2004, p. 75. Como ejemplo de la simpatía de Klein respectode esta tesis, es habitual citar su análisis de algunos famosos sofismas geométricos –por ejemplo,‘‘todos los triángulos son isósceles’’– en (Klein 1908).


miento basado en diagramas en matemáticas, en un período en el que la validez yla relevancia de este tipo representaciones estaban siendo fuertemente cuestiona-das. Más precisamente, un aspecto constante en toda su obra, aunque ciertamen-te con importantes matices a lo largo del tiempo, fue la defensa de la utilizaciónde diagramas en la práctica geométrica, no sólo como una herramienta heurísticapara facilitar la comprensión, sino sobre todo como un instrumento fundamentalpara el descubrimiento y la exposición de nuevos conceptos matemáticos.

El objetivo de este trabajo es comentar y analizar, de un modo introductorio,los esfuerzos realizados por Klein para encontrar un papel para los diagramas y de-fender su utilización en la práctica geométrica. En particular, intentaré mostrar quesu manera de entender la naturaleza y función de los diagramas en geometría es-tuvo íntimamente relacionada con dos tesis principales, sostenidas prácticamen-te durante toda su producción científica: i) la afirmación de que nuestra intuiciónespacial posee un carácter esencialmente inexacto; ii) una concepción de los axio-mas de la geometría, según la cual su función específica es hacer exacta o rigu-rosa a nuestra intuición geométrica.

2. La naturaleza de la intuición espacial

La cuestión de la naturaleza y función de la intuición en matemática es untema recurrente en el obra de Klein, tanto en sus artículos científicos como en susdiferentes cursos. Asimismo, Klein adopta por lo general una posición relativa-mente bien definida en lo que se refiere al modo de concebir la naturaleza de la in-tuición. Esta posición es expresada claramente en un curso que el autor dictó enGöttingen en 1889, titulado Nicht-Euklidische Geometrie (Klein 1892).2 Klein dis-tingue allí dos concepciones antagónicas respecto de la naturaleza de la intuición.De acuerdo con la primera, la intuición nos proporciona representaciones claras ydistintas de los objetos matemáticos; la segunda, en cambio, niega esta posibilidad,en tanto afirma que la intuición sólo nos puede proporcionar representacionesinexactas.3 Mientras que la primera posición es defendida por el matemático ale-mán Alfred Köpcke en un artículo muy difundido en la época, la segunda posiciónes representada por el propio Klein, quien declara lo siguiente en relación al ca-rácter inexacto de nuestra intuición geométrica:

Afirmo que nuestra representación de las figuras espaciales sólo nos proporciona unaimagen incompleta; si queremos trabajar en matemática con figuras exactas, ellopuede sólo ocurrir cuando se agregan postulados conceptuales. (Klein 1892, p. 299)

Es posible realizar al menos dos observaciones en relación a la posición deKlein. En primer lugar, la inexactitud de las figuras geométricas, o de los diagra-

2 Previamente Klein alude al carácter inexacto de nuestra intuición espacial en (Klein 1873b).3 Cf. Klein 1892, p. 299.

FELIX KLEIN SOBRE EL VALOR DEL RAZONAMIENTO DIAGRAMÁTICO EN GEOMETRÍA 13

mas matemáticos en general, es una consecuencia del carácter esencialmenteinexacto de nuestra intuición espacial. Es decir, el carácter impreciso de los dia-gramas no está relacionado inicialmente con un defecto específico de este tipo derepresentaciones –por ejemplo en la confección de los diagramas–, sino que encambio se explica en razón de que las representaciones que podemos formarnosde los objetos matemáticos por medio de nuestra intuición (geométrica) son intrín-secamente inexactas. De ese modo, Klein adopta una posición empirista respectode la naturaleza de la intuición, que explicita de la siguiente manera:

Considero a las propiedades geométricas de las figuras realmente percibidas (que pre-sento como inexactas) desde la perspectiva de un empirista; pero en tanto se hable deltratamiento matemático, exijo los requerimientos del idealista, que demanda la pre-cisión absoluta en las estipulaciones conceptuales. (Klein 1892, pp. 312–3)

En segundo lugar, a pesar de esta inexactitud o imprecisión adjudicada a nuestraintuición espacial, Klein no niega aquí la posibilidad de que las figuras o diagramaspuedan volverse o convertirse posteriormente en representaciones exactas, y en esesentido, legítimas y utilizables dentro del contexto de la práctica matemática. Por elcontrario, Klein sugiere que si a los diagramas se les asocia o añade postulados con-ceptuales –i.e., axiomas–, entonces es posible imprimirles el carácter riguroso oexacto requerido por la matemática. En otras palabras, Klein defiende la interacciónentre diagramas o figuras y expresiones lingüísticas –los postulados conceptua-les–, antes que la completa expulsión de aquellas representaciones intuitivas dentrode la práctica geométrica.4 Volveré sobre este punto más adelante, pero veamosahora cómo entiende la naturaleza y el papel de los axiomas en la matemática, en fun-ción de este carácter inexacto inherente a nuestra intuición espacial.

3. Naturaleza y función de los axiomas

Del mismo modo que en el caso de la intuición, Klein distingue dos concep-ciones de los llamados ‘‘axiomas’’ de la geometría. De acuerdo con la primera, elobjetivo de los axiomas es capturar y expresar nuestras intuiciones geométricas detal manera que no se sea más necesario apelar a esta intuición en el proceso de ladeducción lógica a partir de los axiomas dados.5 Por el contrario, la segunda con-cepción –defendida por Klein al menos en una etapa inicial– consiste en afirmarque el establecimiento de un conjunto de axiomas para la geometría no agota lafunción de la intuición, sino que en las demostraciones geométricas se debe recu-rrir conjuntamente a los axiomas y a la intuición. Klein adhiere a esta segundaconcepción de los axiomas de la geometría de la siguiente manera:

4 Klein se refiere en múltiples lugares al carácter inexacto de nuestra intuición geométrica.Véase, por ejemplo, Klein 1890 y, principalmente, Klein 1893b.

5 Cf. Klein 1892, p. 355.


Por ello no creo que sea correcto decir que, una vez que los axiomas han sido esta-blecidos, entonces en nuestras investigaciones debemos dejar detrás nuestro a la in-tuición; antes bien, en el pensamiento geométrico real la intuición espacial nosacompaña en cada paso. (Klein 1892, p. 355)

En este pasaje Klein anticipa cual será, en este período inicial, su opinión enlo que toca al valor de los diagramas en geometría. Sin embargo, en lo que respectaa la noción de axioma, encontramos aquí resumida su concepción general: dadala importancia de la intuición para la geometría, el rol fundamental que debencumplir los axiomas es hacer más exacta a la intuición, de modo que las represen-taciones basadas en ellas pueda ser utilizada legítimamente en la práctica matemá-tica. En otras palabras, a la concepción anterior de los axiomas de la geometría,Klein le opone la siguiente noción:

Les adscribo a los axiomas el siguiente significado: ellos deben representar condicio-nes, por medio de las cuales nos elevamos por encima de la inexactitud de la intui-ción o por sobre los límites de la precisión de la intuición. (Klein 1892, p. 356)

Klein afirma así manifiestamente que el papel que deben cumplir los axiomasen geometría no es el de remplazar a la intuición, sino el de hacerla más exacta origurosa. Este punto, sin dudas, está relacionado con la posibilidad de la utiliza-ción de las representaciones diagramáticas en geometría. En resumen, Klein de-fiende dos tesis principales respecto de la intuición y los axiomas en matemática,y en geometría en particular: i.) nuestra intuición espacial o geométrica posee uncarácter inherentemente inexacto, de modo que las representaciones en ella fun-dadas sólo pueden referirse a los objetos y expresar propiedades matemáticas deun modo impreciso; ii.) la función de los axiomas (en geometría) no es reempla-zar o eliminar por completo a la intuición, sino más bien introducir exactitud den-tro de la intuición, postulando de un modo matemáticamente preciso y riguroso laspropiedades y relaciones en ella representadas. Ambas tesis, como veremos a con-tinuación, constituyen dos pilares de la imagen o concepción general de la mate-mática defendida por Klein, y en consecuencia, fueron defendidas por él a lo largode toda su producción. Sin embargo, el modo en que estas dos tesis se relacionancon el valor atribuido a los diagramas en la práctica matemática sufrió ciertos cam-bios; o mejor, puso en evidencia una evolución en su pensamiento. Analizaremosa continuación esta cuestión.

4. Razonamiento diagramático en geometría

4.1 La primera etapa

Es posible distinguir dos etapas principales en las reflexiones y valoracionesde Klein en torno la utilidad y legitimidad de los diagramas y el razonamiento


basado en diagramas en geometría: una primera etapa que se inicia en sus traba-jos sobre geometrías no-euclídeas en la década de 1870 (Klein 1871, 1873a) y quese extiende hasta la aparición de Fundamentos de la geometría de Hilbert (1899);y una segunda etapa posterior a la monografía hilbertiana, plasmada principalmen-te en sus libros de divulgación matemática (Klein 1908, 1926).

La primera etapa se caracteriza por mantener una valoración positiva del usode diagramas y del razonamiento diagramático en geometría. En diversos traba-jos correspondientes a este período Klein advierte que, si bien es cierto que lasrepresentaciones diagramáticas sólo pueden tener un significado matemáticoinexacto, resulta completamente imposible investigar e incluso desarrollar lasdemostraciones geométricas sin su ayuda. Asimismo, sugiere que la tarea funda-mental de los axiomas de la geometría consiste en formular de manera explícita,por medio de enunciados lingüísticos, una serie de reglas que nos permitan ‘‘leer’’o ‘‘interpretar’’ de manera exacta, aquellas propiedades matemáticas relevantesexpresadas en los diagramas. En otras palabras, una vez postuladas las relacionesy propiedades básicas de los objetos por medio de los axiomas, la apelación aconstrucciones diagramáticas en las demostraciones resulta tanto útil como legí-tima:

De ese modo, concibo siempre a una demostración axiomática de la siguiente manera:la figura debería mostrarnos claramente la secuencia de sus partes, la posición rela-tiva de los puntos y líneas, mientras seamos conscientes de que lo que vemos antenosotros es inexacto, y debe ser pensado con exactitud conceptualmente. (Klein 1892,p. 355)6

De este modo, Klein reconoce que la compresión de la demostración de unteorema geométrico sólo puede alcanzarse a través de la interacción entre el con-tenido lógico y exacto formulado en los axiomas, y la traducción intuitiva de di-chas propiedades en los diagramas geométricos. Es claro que al mismo tiempoadmite que el verdadero peso lógico de la demostración descansa en los axiomas;sin embargo, es escéptico respecto de la posibilidad de realizar efectivamente lasdemostraciones sin la asistencia de los diagramas. Más aún, en un pasaje muy in-teresante del primer volumen de Nicht-Euklidische Geometrie (1890), Klein sugie-re que sería posible perfeccionar los diagramas de manera que se vuelvan aptospara ser utilizados en las demostraciones geométricas:

De acuerdo con mi modo de concebir la naturaleza de la intuición, uno puede ganara través de las consideraciones intuitivas de las figuras una cierta guía general respec-to de qué leyes matemáticas están allí involucradas y de cómo deben ser llevadas acabo de un modo general las demostraciones. Sin embargo, una verdadera demostra-ción recién es alcanzada, si los diagramas dados son reemplazados por diagramasque han sido producidos sistemáticamente sobre la base de los axiomas y ejecutan-do la cadena de pensamiento en sus detalles de acuerdo con éstos. El tratar con co-

6 Véase además Klein 1890, p. 381.


sas intuitivas provee al matemático de estímulo y de un panorama general sobre losproblemas de los que ha de ocuparse, pero de ningún modo ejecuta por sí mismo lalabor matemática. (Klein 1892, p. 360. El énfasis es mío)

De esta manera, Klein deja abierta la posibilidad de que los diagramas pue-dan ser utilizados como instrumentos legítimos en las demostraciones. Más pre-cisamente, por un lado reconoce que inicialmente todas las representacionesintuitivas de los objetos geométricos poseen un carácter inexacto, y que por lotanto la verdadera justificación de un teorema sólo puede ser alcanza a través deuna prueba matemática conceptual (exclusivamente lingüística o enunciativa). Sinembargo, por otro lado añade inmediatamente que si las representaciones intuitivasiniciales son reemplazadas por otros diagramas que han sido generados sistemá-ticamente a partir de los axiomas, entonces se puede llegar a una verdadera demos-tración de un teorema geométrico.

Finalmente, esta importancia atribuida por Klein a los diagramas en geome-tría no sólo es una consecuencia de su modo de concebir la naturaleza de la intui-ción, sino que también está íntimamente ligada a su concepción de la matemáticaen general. El siguiente pasaje es muy elocuente al respecto:

Al exigir en general el completo examen lógico del material, enfatizo al mismo tiempoque la compresión intuitiva y el procesamiento de este material debe ser incentivadopor todos los medios. Los desarrollos matemáticos originados en la intuición no pue-den ser considerados como una propiedad permanente de la ciencia, hasta que nohayan sido puestos en una estricta forma lógica. Y a la inversa, las presentacionesabstractas de las relaciones lógicas no pueden satisfacernos, hasta que sus consecuen-cias para todo tipo de intuición sean desarrolladas vívidamente y reconozcamos asílas múltiples conexiones que introduce en nuestro conocimiento el esquema lógicocon sus demás partes, en función del dominio que elijamos. (Klein 1895, p. 240)

El modo en que Klein pondera en esta primera etapa el valor de los diagra-mas en la práctica geométrica se explica así en virtud de su concepción de la in-tuición espacial, de los axiomas y de la matemática en general. Sin embargo,aunque estos tres aspectos se mantienen invariantes en sus trabajos posteriores, elmodo en que concibe dicha importancia será matizado en una etapa posterior.

3.2 La segunda etapa

La llegada de un nuevo siglo provocó en Klein algunos cambios importantesrespecto de su modo de considerar el valor de los diagramas en geometría. Sindudas, la aparición de Fundamentos de la geometría (1899) fue un factor impor-tante para que estos cambios se produjeran. Apelando claramente al abordaje axio-mático abstracto de Hilbert, Klein denomina ‘‘geometría abstracta’’ al resultadode una axiomatización formal de geometría, la cual se encuentra ahora separadacompletamente de la intuición. Es decir, todas las proposiciones de la geometríaabstracta son exactas, y ello se debe a que:


la geometría abstracta comienza poniendo al principio como axiomas en forma ab-soluta, aquellas cosas que son aproximadamente verdaderas en la geometría prácti-ca. Así tiene lugar un cambio conceptual totalmente decisivo. Las relaciones, que enla práctica son sólo aproximadamente correctas, son postuladas con rigurosa exacti-tud, y sobre la base de los axiomas convenidos en la geometría abstracta se obtienenconsecuencias a través del razonamiento puramente lógico. (Klein 1902, p. 15)

De esta manera, dado que los objetos de la geometría abstracta no pueden serasidos por la intuición espacial, no es posible en ella alcanzar de ningún modo unaprueba rigurosa sobre la base de esta intuición, sino que es necesario recurrir a ladeducción lógica a partir de los axiomas. Sin embargo, ello no significa que laintuición pierde completamente su valor en la práctica geometría. Por el contra-rio, Klein advierte que la intuición retiene todavía su valor en la matemática, entanto ‘‘nos ayuda a seguir la línea del argumento y a comprenderlo de una solamirada, más aún, la intuición es una fuente de invenciones y de nuevas conexio-nes de pensamientos’’ (Klein 1902, p. 20).

La posibilidad de construir la geometría como una ‘‘ciencia puramente lógi-ca’’ es considerada ahora por Klein como una alternativa real. Éste fue quizás elmodo en que interpretó la construcción axiomática de la geometría presentada enFundamentos de la geometría (Hilbert 1899). De este modo, se nota un cambiorespecto de su posición anterior, en tanto Klein plantea ahora la posibilidad deconstruir efectivamente la geometría a partir del establecimiento de un conjuntode axiomas, y sin ninguna referencia ulterior a los diagramas y a la intuición:

El significado de los axiomas de orden no debe ser subestimado; ellos son tan impor-tantes como cualquiera de los otros axiomas, si se quiere construir realmente a lageometría como una ciencia lógica, en la que una vez que los axiomas han sido se-leccionados, no es necesario recurrir más a la intuición o a las figuras para las deduc-ción de sus conclusiones. Tal referencia, sin embargo, es estimulante y permanecerácomo una ayuda necesaria en la investigación. (Klein 1908, p. 201)

En mi opinión, lo que puede verse en estas citas, no es un repentino rechazode Klein al valor de la intuición y el razonamiento diagramático en geometría, sinomás bien una plena toma de conciencia de la diferencia fundamental que existeentre la investigación matemática y la presentación y justificación de resultadosmatemáticos; o en términos más contemporáneos, entre el contexto de descubri-miento y el contexto de justificación, como suele denominarse a partir deReichenbach (1938). Es decir, aunque ya en sus primeros trabajos en la década delsetenta –puntualmente en (Klein 1873b)– Klein distingue entre el razonamientointuitivo inexacto y el razonamiento conceptual riguroso basado en axiomas, supreocupación inicial parece haber estado más bien dirigida a defender un modo deconcebir cómo se debe trabajar en matemática. Más precisamente, esta explicaciónse le presentaba a Klein en aquella época como acuciante, dada la notable incom-patibilidad que existía entre su modo de concebir la matemática en general y elconocimiento matemático, y la imagen de la matemática propugnada por los ma-


temáticos pertenecientes a la ‘‘Escuela de Berlin’’ (Weierstrass y Kronecker, en-tre los más importantes). Klein expresa su antipatía para con los matemáticosberlineses, en otro de sus célebres cursos dictados en Göttingen, Einleitung in diehöhere Geometrie (1893):

¿Con qué debería ocuparse a sí mismo el matemático? Algunos dicen que la intuiciónno tiene valor alguno, y por lo tanto debo circunscribirme a las formas puras gene-radas dentro de mí mismo sin la injerencia de la realidad. Ésta es la clave en ciertoslugares en Berlin. Contrariamente, en Göttingen la vinculación de la matemática puracon la intuición espacial y los problemas aplicados fue siempre defendida y los ver-daderos fundamentos de la investigación matemática han reconocido esta apropiadaunión entre teoría y práctica. (Klein 1893d, p. 361)

Por otro lado, la aparición del programa axiomático de Hilbert, y su aplica-ción exitosa a la geometría, parecen haber convencido a Klein de la necesidad dedistinguir con claridad los dos aspectos del razonamiento matemático: el creativodentro del contexto de descubrimiento y el deductivo dentro del contexto de jus-tificación. La intuición, y especialmente la utilización de diagramas, seguirá te-niendo para Klein un valor invaluable dentro de la práctica matemática. Losdiagramas no sólo serán un instrumento vital para la comprensión cabal de losdistintos resultados matemáticos, sino que además la intuición seguirá siendo paraKlein una herramienta indispensable para que el matemático llegue a nuevos des-cubrimientos. Sin embargo, en el plano de la justificación de los teoremas, la de-ducción lógica a partir de los axiomas será el único criterio a seguir para consideraruna proposición como correctamente demostrada.

5. Consideraciones finales

El recorrido que hemos seguido de los trabajos de Klein permite concluir que,en la segunda etapa de su producción que coincide con el cambio de siglo y conla publicación de Fundamentos de la geometría (Hilbert 1899), el matemáticoalemán se inclinó definitivamente por destacar el valor heurístico de los diagramasen la práctica geométrica, negando a su vez su empleo legítimo en las demostra-ciones. En otras palabras, en la segunda etapa de su pensamiento, Klein adhirió sinmás rodeos a la tesis clásica, identificada inicialmente con Pasch y Hilbert, segúnla cual un teorema sólo puede considerarse como verdaderamente probado, cuandosu demostración ha sido llevada a cabo con total independencia de los diagramaso figuras geométricas. Ahora bien, Klein abrazó finalmente esta conclusión lue-go de un importante proceso de reflexión, en donde su concepción general de lamatemática y la geometría, enraizada en gran medida en la tradición de la mate-mática del siglo XIX, desempeñó un papel muy relevante. En este sentido, comopuede apreciarse en la última cita, Klein fue un férreo defensor de una concepciónorganicista de la matemática, que la considera un producto de la íntima interacción


entre sus partes, a saber: de la teoría y la práctica, del pensamiento puro y de la ex-periencia y la intuición. En consecuencia, Klein destacó en un período inicial lafunción trascendente y positiva de los diagramas en geometría, no sólo como uninstrumento heurístico sino además como un elemento inextirpable del razona-miento y de las demostraciones geométricas. De la misma manera, debemos seña-lar que Klein no estuvo quizás primordialmente interesado por investigar cómo lautilización de los diagramas en geometría podía ser llevada a cabo de un modoriguroso, sino que más bien se preocupó denodadamente por defender una imagende la matemática en general, en donde el conocimiento matemático es esencial-mente el producto de la interacción fundamental entre el pensamiento puro y laintuición.

6. Referencias bibliográficas

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Press.

DIAGRAMAS EN PRUEBAS GEOMÉTRICASPOR REDUCTIO AD ABSURDUM*

ABEL LASSALLE CASANAVE

UFBA/ [email protected]

Después del drástico rechazo, a fines del siglo XIX, del uso de recursos quegenéricamente podríamos llamar gráficos en demostraciones matemáticas, la lite-ratura reciente en filosofía de las ciencias formales ha vindicado su legitimidad.Si denominamos homogéneas a las pruebas exclusivamente lingüísticas, que se-gún la concepción standard de demostración predominante durante el siglo XX se-rían las únicas demostraciones posibles, entonces la vindicación mencionadasupone una noción heterogénea de demostración. En particular, las demostracio-nes de la geometría sintética clásica –un caso paradigmático de demostraciónheterogénea– han recibido una atención creciente. Se distingue en una demostra-ción euclidiana la parte textual, que autoriza pasos de la demostración acerca deaspectos denominados exactos, de la parte gráfica –el diagrama– que autorizapasos acerca de aspectos denominados co-exactos. En este trabajo presento, enprimer lugar, y siguiendo a Ken Manders, cómo la distinción exacto / co-exactoha iluminado también el concepto de demostración por reductio ad absurdum.Pero, en segundo lugar, pretendo descartar una posible objeción, con base en laspruebas por absurdo, a la tesis que defendemos, a saber, que las figuras (u otroselementos diagramáticos) pueden ser consideradas bajo la especie de muestras.

I. Las pruebas por reductio anuncian algo monstruoso. Supongamos doscírculos diferentes, tocándose en un punto G. La Proposición III. 6 de los Elemen-tos reza: Si dos círculos se tocan uno a otro, su centro no será el mismo.1 Aunquenada podría parecer más obvio, la demostración procede por absurdo. Sean ABGy GDE los círculos en cuestión y G el punto donde se tocan. Sea Z el centro deambos círculos. Con alivio, pero también con alguna desilusión, la figura relacio-

* Para la realización de este trabajo el autor fue beneficiado con subsidios de la CAPES/ Bra-sil (CAFP / BA 012/42) y del CNPq / Brasil (304660/2010-8). El autor agradece las observacionesde Frank Sautter (UFSM/Brasil), Sérgio Schultz (PUC / Brasil) y Oscar Esquisabel (UNLP / Argen-tina) a una versión preliminar del trabajo.

1 Seguimos la traducción de María Luisa Puertas Castaño en Euclides (2007), pero cuando nose trata de una cita textual nos permitimos seguirla libremente.


nada exhibe dos círculos (en un sentido a elucidar) que se tocan, pero cuyo supues-to centro claramente no lo es de ambos. (En verdad, ni siquiera es necesario queparezca serlo de uno cualquiera de los círculos.) Tracemos ZG y “al azar” la rec-ta ZEB, construcciones permitidas por el Postulado 1, que autoriza trazar una lí-nea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.

La demostración prosigue así: qua radios, ZG y ZB son iguales por definiciónde círculo, pues Z es el centro del círculo ABG; por la misma razón, son tambiéniguales ZG y ZE, pues Z es el centro del círculo GDE. Como cosas iguales a unamisma cosa son iguales entre sí, por la Noción Común 1, ZB y ZE son tambiéniguales. Pero por el diagrama sabemos que ZE es menor que ZB. Luego, la rec-ta finita menor sería igual a la recta finita mayor, la parte igual al todo, lo cual esabsurdo por la Noción Común 5: el todo es mayor que la parte. Luego, círculos quese tocan no tienen el mismo centro.

Fue Kenneth Manders quien finalmente iluminó la naturaleza de las demos-traciones geométricas en general, así como el rol de las figuras en ellas en parti-cular, a saber, consiguió discriminar cuál es la contribución de la parte textual dela demostración y cuál la contribución de la parte diagramática. En efecto, en lu-gar de la vaga referencia al recurso a figuras en una demostración, Manders ha de-terminado bajo qué condiciones Euclides recurría a las figuras, a saber, cuando setrata de aspectos del diagrama que Manders denomina co-exactos, por oposicióna otros aspectos que llama exactos, establecidos en la parte textual.2

La demostración de III.6 permite ilustrar fácilmente las tesis de Manders. Porejemplo, que dos segmentos sean (no trivialmente) iguales, es establecido en laparte textual: en la demostración anterior, la igualdad de dos segmentos se siguede: a) por definición: los radios de un mismo círculo son iguales; b) por una no-ción común: dos segmentos iguales a un tercero son iguales entre sí. Estas propie-dades son propiedades métricas: la igualdad debe ser textualmente justificada. ¿Enqué momento utilizamos el diagrama? El diagrama nos autorizó a justificar que unsegmento es menor que otro del cual es parte, esto es, basándonos en un aspectomereológico del diagrama que resultó de la interrelación de las sucesivas entradas

2 Para estos tópicos, véase Manders (2008a) y, fundamentalmente, Manders (2008b).

DIAGRAMAS EN PRUEBAS GEOMÉTRICAS POR REDUCTIO AD ABSURDUM 23

diagramáticas: por peor que fueran dibujados los círculos que se tocan y la rectaZB, ZE sería menor que ZB.

Justamente, en la invariancia a la deformación reside que algunos aspectos deldiagrama sean calificados como co-exactos. Consideremos otro ejemplo, la demos-tración de I.1: construir un triángulo equilátero de lado igual a una recta finita dada.Por más deformados que dibujemos dos círculos cuyos centros respectivos seanlos puntos extremos A y B de una recta finita dada, los círculos se cortan en C. Yeso precisamente es ‘‘ser un punto’’:

Pero, a diferencia del caso que examinamos anteriormente, en lugar de unapropiedad mereológica, es una propiedad topológica la que permite obtener el pun-to como resultado de la interacción de las sucesivas entradas diagramáticas. Quelos segmentos AC y AB y BC sean iguales es un aspecto exacto, que solamentepuede ser justificado textualmente, pero no diagramáticamente: que AB y AC, asícomo AB y BC en la figura arriba sean iguales se sigue de la definición de círcu-lo, pues AB y AC son radios del círculo ABC, y AB y BC lo son del círculo ABE.(En general, la igualdad de segmentos depende prima facie de relaciones entreradios de círculos, mientras que igualdad de ángulos rectilíneos –el segundo y prin-cipal tópico de los primeros libros de los Elementos– depende de la congruenciade triángulos.) La demostración de I.1 tiene un paso más: AC y BC son iguales,pues cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. Así se completa la demostra-ción: hemos construido un triángulo equilátero.

Ahora bien, que una línea sea recta o que algo sea círculo es estipulado porel texto: son también aspectos exactos. Es verdad que podríamos pensar que loscírculos podrían ser dibujados de forma tal que la diferencia entre los segmentosparte-todo de III.6 fuese muy difícil de reconocer visualmente, y que la deforma-ción de los círculos en I.1 hiciese desproporcionadamente desiguales los segmen-tos determinados por los extremos del segmento dado y C. No obstante, que eldibujo ofrezca un ‘‘caso claro’’ es parte de la disciplina de usar los diagramas odisciplina diagramática, esto es, la habilidad para dibujar diagramas lo suficien-temente buenos.

En efecto, cuando una entrada textual involucra una línea recta o un círculo,hay un límite para deformación del dibujo que consiste en no introducir u omitirindebidamente aspectos co-exactos. Por ejemplo, sería inaceptable que una recta


fuese dibujada como una curva pronunciada, pues entonces su prolongación po-dría conllevar co-exactos impropios como, por ejemplo, intersecciones con otrasrectas; por otro lado, también sería inaceptable que el dibujo de un círculo no en-cierre una región de forma tal que conlleve la distinción interior-exterior. Ahorabien, como hemos visto, es la topología y la mereologia del diagrama, que no de-pende de la disciplina diagramática, i.e., que no depende de evitar interaccionesindebidas haciendo dibujos lo suficientemente buenos, la que permite legítima-mente justificar pasos de la demostración que es, por lo tanto, heterogénea.

Examinemos un poco más detalladamente desde esta perspectiva la demos-tración de III.6. Por ejemplo, se podría objetar que falta analizar un caso, a saber,que los círculos se toquen ‘‘por fuera’’, esto es, que sean tangentes. Pero la obje-ción no parece correcta, pues el punto de partida es que los círculos que se tocantengan el mismo centro; ahora bien, para que un punto sea centro es condición ne-cesaria que sea interior a ambos círculos. (Un argumento semejante también ex-cluye que el punto G en la circunferencia sea centro. Y, por cierto, que G sea elpunto en que se tocan es también un aspecto exacto que solamente el texto puededeclarar / justificar.) La distinción es relevante, dado que el diagrama nos puedeinformar que un punto es interior a un círculo, ya que es un aspecto topológico,pero no que un punto es centro, pues en este caso se trata de una propiedad mé-trica (aspecto exacto), a saber, la igualdad de las líneas que unen el centro con lacircunferencia.

Por más deformados que dibujemos los círculos, el requisito es que uno deellos esté dentro del otro; por peor que dibujemos el centro, el punto debe ser in-terior a ambos círculos. Y las sucesivas entradas que introducen GZ, ZG y ZB bajolas condiciones dadas harán que ZE y ZB sean uno parte del otro y, por lo tanto,uno menor que el otro. Esta información mereológica puede ser extraída legítima-mente del diagrama. Un tanto paradojalmente, se podría decir que la mejor manerade entender cómo funcionan los elementos diagramáticos es examinar las demos-traciones por el absurdo, no las demostraciones directas, como la de I.1. Esta es larazón por la cual Manders, a quien hemos seguido hasta ahora, discute en su clá-sico Manders 2008b primero las demostraciones por absurdo.

En efecto, la prueba directa de I.1 sugiere una concepción meramenteinstancial de las figuras, que inmediatamente se enreda con los problemas de laperfección y la universalidad de las pruebas. Obviamente, esa concepcióninstancial no se puede aplicar a las demostraciones por absurdo, pues no se pue-de defender que se parta siquiera ‘‘por aproximación’’ de círculos que se tocan conun mismo centro. Y Manders reclama con razón un tratamiento uniforme del usode diagramas, sea en pruebas directas, sea en pruebas indirectas.

II. Para defender una concepción instancial de los elementos diagramáticos,aunque preservando la exactitud de la geometría, se pueden tomar caminos dife-rentes –la abstracción o la mano transcendental entre otros– cuyas dificultades sonbien conocidas. Se puede también simplemente dejar de lado esa concepción y


considerar los elementos diagramáticos desde el punto de vista de la concepciónformal de demostración como constantes de individuos o parámetros que permi-ten la ulterior aplicación de la regla de generalización universal.3 Y esto tambiénvaldría para demostraciones por absurdo (aunque via instanciación existencial).Ahora bien ¿no hay otra alternativa?

Según proponemos, la alternativa puede ser concebir las figuras como mues-tras. Uso la palabra muestras en su sentido primario en castellano, a saber, aquelque utilizamos cuando hablamos del muestrario de tejidos de un sastre, por ejem-plo.4 Ciertamente, una muestra en este sentido supone una porción del tejido delcual decimos que es muestra, pero la condición de muestra involucra un tipo de ge-neralidad. En efecto, la muestra puede, por ejemplo, ser muestra de la textura deun tejido, pero no de un tejido de un color en particular. Tratándose del primercaso, mal habríamos entendido la muestra si cuando nos presentasen el paño lo re-chazásemos porque su color es diferente. O porque el paño tiene forma rectangular,mientras que las porciones de tejido del muestrario fueran circulares. Además, notiene ningún sentido exigir de la muestra que el pedazo de tejido en cuestión sea enalgún sentido perfecto: la muestra circunstancialmente podría tener alguna ‘‘imper-fección’’, por ejemplo, una mancha, pero esto no dejaría de hacerlo una muestra.

Dijimos que en la reconstrucción formal usual de la universalidad de unaprueba euclidiana el diagrama es eliminado recurriendo al uso de la regla de ge-neralización universal. Pero en Netz (1998) se ha objetado, con sólidos argumentosfilológicos, que, por ejemplo, la traducción ‘‘Sea AB un segmento’’ no es apro-piada, que ‘AB’ es, desde el punto de vista semiótico, un índice (en sentidopeirciano) que remite a un diagrama previamente presentado. Por cierto, si unaprueba euclidiana es heterogénea, debe haber alguna forma de interrelación tex-to-diagrama para la cual Netz ofrece una buena explicación. Pero menos satisfac-toria es su explicación subsecuente de la generalización. En efecto, Netz defiendeque la generalización consiste en la posibilidad de repetir la demostración, siguien-do el ejemplo de I.1, para otras rectas finitas o segmentos.5

Yo creo que hay una confusión aquí, cuya base es la compresión meramen-te instancial del diagrama. Acaso en espíritu wittgensteniano, la confusión consiste

3 El locus clásico de esta perspectiva es, por supuesto, Foundations of Geometry de Hilbert.Pero Hilbert no pretendía acompañar la estructura de las pruebas de Euclides, aunque un trabajo enesa dirección lo encontramos en Luengo (1996). La discusión generada en torno de la distinción exacto/ co-exacto ha llevado a formalizaciones de la geometría euclidiana que difieren de la de tipo axio-mática hilbertiana, como la de Avigad, Dean & Mumma (2009) en cálculo de secuentes. Para un en-foque diferente, donde las figuras son símbolos de un sistema formal, véase Miller (2007). En esetrabajo, el problema de la generalización es tratado considerando todas las configuraciones topoló-gicas posibles del diagrama.

4 En el Diccionario de la Real Academia Española se lee que la primera acepción de muestraes: 1. f. Porción de un producto o mercancía que sirve para conocer la calidad del género. Debo alProf. Roberto Torreti la referencia.

5 Véase Netz (1998), pp. 252-258.


en que la prueba no es acerca de la figura, sino con la figura. Pero entonces larepetibilidad de la prueba, que es una condición general para denominar prueba aalgo (qué querría decir tener la prueba de un teorema, si no se la pudiera reprodu-cir), es confundida con repetir la prueba acerca de otra figura, cuando de lo que setrata es simplemente de repetir la prueba misma con otra figura. La repetibilidad deuna prueba, que no exige una copia fiel, supone, es claro, un margen de variaciónaceptable, aunque pueda ser difícil determinar cuál sea ese margen. Ciertamente, sila prueba es con birome roja y no azul, aún podríamos hablar de la misma prueba;pero no diríamos que la prueba fue repetida de una prueba en que los signos utili-zados ya no sean reconocibles (dentro de márgenes aceptables) como los signos co-rrespondientes. Al decir que la prueba es con la figura, decimos que las figuras sonsignos que son utilizados dentro de márgenes de deformación aceptables.

Concebir las figuras como signos tiene una consecuencia inmediata que esafín con las tesis de Manders y que elimina una objeción clásica al uso de figuras,a saber, su imperfección. En efecto, de una instancia puede reclamarse perfección,pero de un signo carece de sentido hacerlo, ya que basta reconocerlo como el signoapropiado. (La idea de que las figuras sean signos ya estaba en Leibniz, quien ade-más declaraba que eran signos con semejanza.) Vista como instancia de un con-cepto geométrico, ciertamente cualquier figura es imperfecta, pero queremosdefender la idea de que en la demostración funciona como una muestra, que jus-tamente es una manera de explicar la (aparente) dimensión de instancia de la fi-gura. Nuestra modesta contribución a la concepción de Manders consistiría enaclarar el estatuto representacional de las figuras (o de elementos diagramáticos engeneral) qua signos, a saber, muestras. Y, por consiguiente, contribuir a la eluci-dación del tipo de generalidad involucrada en las pruebas euclidianas.

Consideremos el segmento AB de I.1. Es verdad que no puedo dibujar tan malel segmento AB como un círculo, pues un segmento no divide el plano en una re-gión exterior y otra interior. Es decir, mientras que la exigencia inaceptable de per-fección se vincula con propiedades métricas, la imperfección admitida debepreservar las propiedades topológico-mereológicas. Y son estas las propiedades deun diagrama que son las relevantes para su condición de muestra. Esto también pa-rece consecuente con Manders cuando afirma:

Euclidean demonstration, I propose, attains uniformity of reasoning for its instancesby licensing attribution based on what the diagram looks like only for co-exactconditions clearly displayed.6

Y esta concepción muestra sus virtudes justamente donde la concepcióninstancial no puede ser aplicada, a saber, en las demostraciones por absurdo:

If diagram imperfections only were in play, one might well hold that the function ofdiagrams could fruitfully be approached by first elaborating a notion of perfectgeometricals of which the text is literally true, then treating diagrams actually drawn

6 Manders 2008a, p. 74.


in geometrical demonstrations as approximations to perfect ones; finally derivingfrom all this an understanding of the bearing of the imperfect diagram on inferencesin the text. But no detour through ontology and semantics which treats of truth in adiagram in a sense which entails joint compatibility of all claims in force in thereductio context can speak to the difficulty with the role of diagrams in reductioarguments, which are pervasive in Euclid.7

Pero, ¿de qué podría ser muestra un diagrama en una demostración porreductio si por definición el diagrama no podría ‘‘instanciar’’ los conceptos invo-lucrados? Aunque no podamos instanciar dos círculos (geométricos) con el mis-mo centro (geométrico), sí podemos instanciar qua predicado físico una formacircular dentro de otra con un punto interior a ambas, de forma tal que serán laspropiedades topológicas de tal medio de representación aquellas cuya considera-ción hará de esa instancia una muestra de la cual se podrá concluir que un segmen-to es parte de otro. Pero esto no es acerca de la figura dibujada, sino acerca de losconceptos geométricos así representados con las figuras qua signos. Con la nociónde muestra, un tipo especial de signo, pretendo evitar caer en una dualidadconfundente entre la figura como instancia de un concepto geométrico y simultá-neamente como signo icónico de un concepto, pues no recurro a ningún tipo de se-mejanza ni figurativa ni estructural.

Las conclusiones que alcanzamos utilizando diagramas de Venn no son –ninadie lo pensaría– acerca de círculos, sino acerca de relaciones entre conceptoscomo subordinación, exclusión, etc., que tales círculos, marcaciones mediante, re-presentan, aunque para ello usemos las propiedades topológicas de formas circu-lares que se solapan. Las pruebas son claramente con los diagramas, sin confusiónposible con lo representado. Eso porque los diagramas de Venn no son muestras.(Y si se dijese que son instancias de círculos solapados no se los estaría conside-rando en su función representativa de las relaciones conceptuales en cuestión.) Lasformas geométricas de los signos utilizados en geometría inducen a pensar que unaprueba es (también) acerca de la figura, pero no (y en qué sentido) con la figura.

Finalmente, obsérvese que para las demostraciones directas vale lo mismo: noes una pretendida perfección de una instancia lo que está en juego, sino los co-exac-tos que no pueden ser ‘‘corregidos’’ mejorando los dibujos. Las formas triangula-res o circulares representan qua muestras las propiedades topológicas/mereológicasdel caso, pero no instancian círculos o triángulos geométricos. Y esto, en el caso par-ticular de las demostraciones por absurdo, nada tiene de monstruoso.

Referencias bibliográficas

Allwein, G., Barwise, J. (eds.) (1996) Logical Reasoning with Diagrams. New York:Oxford University Press.

7 Manders 2008b, pp. 85-86.


Avigad, J., Dean, E., Mumma, J. 2009. ‘‘A Formal System for Euclid’s Elements’’,Review of Symbolic Logic, 2(4): 700-768.

Euclides. 2007. Elementos. Madrid: Editorial Gredos. (Traducción y notas María LuisaPuertas Castaño).

Luengo, I. 1996. ‘‘A Diagrammatic Subsystem of Hilbert’s Geometry’’. In G. Allwein& J. Barwise (ed): Logical Reasoning with Diagrams. New York: OxfordUniversity Press, pp. 149-176.

Mancosu, P. (ed.) (2008) The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: OxfordUniversity Press.

Manders, K.: (2008a) ‘‘Diagram-Based Geometric Practice’’. In: MANCOSU, P. (ed.):The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press 2008.pp. 65-79.

—— (2008b) ‘‘The Euclidean Diagram’’. In: MANCOSU, P. (ed.): The Philosophy ofMathematical Practice. Oxford: Oxford University Press 2008. pp. 80-133.

Miller, N. 2007. Euclid and His Twentieth Century Rivals: Diagrams in the Logic ofEuclidean Geometry. Stanford: CSLI Publications.

Netz, R. 1999. The Shaping of Deduction in Greek Mathematics. Cambridge : CambridgeUniversity Press.

POSTULADOS, DIAGRAMAS, ¡ACCIÓN!*

WAGNER DE CAMPOS SANZ

Universidade Federal de Goiá[email protected]

Aunque no haya sido exactamente un constructivista, Kolmogorov hizo dos

importantes contribuciones a la tentativa de determinar en qué consistiría una ló-gica intuicionista. Es más, esas dos contribuciones fueron los únicos artículos delógica que escribió, cuando aún estaba en el comienzo de su carrera. El primerode ellos fue Sobre el principio del tercero excluido, de 1925, el segundo Sobre lainterpretación de la lógica intuicionista, de 1932.1 En el segundo artículoKolmogorov sugiere que la lógica intuicionista puede ser interpretada como unalógica de problemas. En efecto, hoy en día se considera que la llamada ‘‘Interpre-tación BHK (Brouwer – Heyting – Kolmogorov)’’ de las constantes lógicas debea esa vertiente de la lógica de problemas una de sus intuiciones.

De manera resumida, la lógica de problemas interpretaría como problemasaquello que estamos acostumbrados a llamar proposiciones. Normalmente, la fór-mula del cálculo proposicional p&q es interpretada como una proposición mole-cular constituida por otras dos proposiciones cuyo valor de verdad dependería delos valores de verdad de sus componentes. Kolmogorov propone interpretarla demanera diferente: El problema p&q es el problema de resolver los problemasp y q. La interpretación problemacional de las fórmulas comporta el concepto deresolubilidad, ya que p&q es el problema de resolver p y q, lo cual difiere de la in-terpretación proposicional, pues no es usual decir que p&q es la proposición queestablece la demostrabilidad de las proposiciones p y q.

En la interpretación problemacional el concepto de acción es crucial. Hay unaacción –la de resolver– que es invariablemente aplicada a los problemas; en parti-cular, a los problemas componentes de una fórmula como p&q. En otras palabras,la noción misma de problema depende de la noción de acción en la caracterizaciónde Kolmogorov. Y, al menos para los casos moleculares, eso es dicho explícita-mente.

* Agradezco a A. Lassalle Casanave y a Oscar Miguel Esquisabel por la traducción del textoal español y por sus comentarios. Agradezco también el apoyo recibido de la CAPES/ Brasil (CAFP/ BA 042/12).

1 Los artículos mencionados, traducidos al inglés, se encuentran en Selected Works of A. N.Kolmogorov, páginas 40 y 157 respectivamente.


El lenguaje ordinario posee formas de expresar acciones concretas (tokens)o acciones en cuanto tipo (type). Una acción concreta es usualmente referida porun nombre o una descripción precedida por un artículo definido. Las acciones encuanto tipo son usualmente expresadas por el empleo de un verbo en infinitivo. Yahemos encontrado anteriormente un ejemplo: resolver los problemas p y q.

Ahora bien, si las fórmulas del cálculo lógico representan problemas, porrazones de homogeneidad, las fórmulas atómicas deben también representar pro-blemas. Y, en efecto, Kolmogorov (1932) da ejemplos de problemas que podría-mos considerar atómicos, uno de los cuales destacamos (pág. 151): construir uncírculo que pase por tres puntos dados (x,y,z). Vale la pena observar que el ejem-plo viene acompañado de una nota pie de página donde se apunta que los mediosde construcción permitidos deben ser indicados en la formulación del problema.

Las observaciones precedentes constituyen nuestro punto de partida para unanálisis de la Geometría Euclidiana y de la eterna cuestión del rol de los diagramasen las demostraciones geométricas. El concepto de problema ofrece aparentementeuna interpretación adecuada a la estructura de presentación de muchas proposicio-nes del Libro I de Los Elementos; en particular, de las tres primeras.

En efecto, las proposiciones I.1- I.3 son tradicionalmente llamadas problemas.El término ‘‘proposición’’ en la obra no tiene, en general, el mismo significado quetiene en la lógica contemporánea. Las tres primeras ‘‘proposiciones’’ son ‘‘demos-tradas’’ y sus ‘‘demostraciones’’ terminan, como es bien conocido, con la expre-sión ‘‘que es lo que había que hacer’’. En cambio, proposiciones como la I.32terminan con la expresión ‘‘que es lo que había que demostrar’’.2

El fundamento de la diferencia en las expresiones de la culminación de laprueba deviene de la naturaleza diferente de las tres primeras y I.32, la cual esta-blece la igualdad de la suma de los ángulos internos de un triángulo con dos rec-tos. Aquello que se formula en las primeras no puede propiamente ser afirmado,al paso que otras cabe afirmarlas, i.e., los teoremas como el I.32.3 El concepto con-temporáneo de teorema matemático es justamente el de afirmación demostrada.

La Proposición I.1 contiene (se suele también decir ‘‘pide’’): construir untriángulo sobre una recta finita dada. La expresión es una formulación, en nues-tra terminología, de una acción en cuanto tipo, sin especificar si se trata de esta oaquella recta particular. Intuitivamente, esa acción es considerada como un pro-blema a resolver. Por tratarse de una acción en cuanto tipo estamos acostumbra-dos a pensar que la resolución del problema debe consistir en un procedimientogeneral capaz de solucionar todas las instancias del tipo en cuestión. Pero antes de

2 Seguimos la traducción de M. Castaño en Euclides (2007), pero en algunos momentos pre-ferimos seguir la traducción inglesa de E. Tuttle (2002): http://mysite.du.edu/~etuttle/classics/nugreek/contents.htm.

3 Existe alguna discusión acerca de la naturaleza de la Proposición I.4, pues ella ciertamentees una afirmación, aunque condicional. Pero la condición describe relaciones que deben ser determi-nadas por un procedimiento de comparación.

31POSTULADOS, DIAGRAMAS, ¡ACCIÓN!

continuar con el análisis de la construcción solicitada, es necesario preguntar quése debe entender por recta finita. Hay dos tipos de información inmediatamenterelevantes: las definiciones del Libro I que involucran el término y los dos prime-ros postulados.

Por las cuatro primeras definiciones sabemos: (1) de un punto, que no tienepartes; (2) de una línea, que es una longitud sin anchura (aquí todavía no se pue-de hablar de rectas, pues también una curva es una longitud sin anchura); (3) deuna línea, que tiene ‘‘puntos de parada’’ (y aquí: tampoco es el caso de hablar engeneral de rectas, aunque naturalmente también están comprendidas; debeagregarse que en las traducciones usuales en lugar de ‘‘puntos de parada’’ se lee‘‘puntos extremos’’, pero la expresión pe/ratape/ratape/ratape/ratape/rata shmeia sugiere la interrupciónde una acción –parada o fin–, de manera tal que la sonoridad de ‘‘pérata semeia’’,así como la maleabilidad semántica del griego antiguo, sugieren ‘‘marca de pa-rada’’); (4) de una línea recta que es aquella que yace por igual respecto de lospuntos que están en ella.

La Definición I.4 es difícil de entender. Si consideramos dos puntos de pa-rada cualesquiera y algún tipo de acción como la de ir de un punto al otro, la rec-ta (finita) será aquella línea a la cual corresponde de acuerdo con la intuición– lamenor distancia.4 Pero el trayecto permite no tomar la menor distancia, puede serhecho por una línea que no fuese recta, de forma tal que sus puntos no coincidi-rían con respecto a los puntos de la menor distancia.5

Los postulados que nos interesan son los dos primeros: (1) trazar una línearecta desde un punto cualquiera a un punto cualquiera (trátase de una acción, laacción de trazar, pero no es claro cuál es la actitud que está siendo tomada con laacción de trazar: orden, pedido, autorización, etc.); (2) prolongar continuamenteuna recta finita en una línea recta (nuevamente una acción). Por mor de completud,mencionemos que el Postulado 3 también es formulado en términos de una acción:describir un círculo con cualquier centro y distancia. Ese postulado también seráempleado en la demostración de la Proposición I.1, y las observaciones que hici-mos para las rectas también se aplican al caso de los círculos.

Los dos últimos postulados garantizan la homogeneidad del espacio y el ca-rácter euclidiano del espacio: (4) todos los ángulos rectos son iguales (esta sí unaproposición en el sentido contemporáneo); (5) la versión de Euclides del postuladode paralelas.

Acerca de los postulados, Tuttle (2002) observa que el término griegoAith~mata designa las cosas demandadas, los postulados. En su traducción, uti-liza ‘‘se requiere algo’’ (por ejemplo, ‘‘trazar una recta de cualquier punto a cual-

4 Esa intuición requiere como base la intuición de un plano espacial y, como los planes solo se-rán caracterizados más tarde, las definiciones no pueden ser leídas como verdaderas definiciones, alo sumo como caracterización de empleo de términos.

5 Compárese esa explicación con la definición de superficie plana (def. I. 8), las semejanzas sonclaras.


quier punto’’), e intercalando la conjunción ‘‘y’’ entre postulados, se da continui-dad a las lista de requerimientos. Naturalmente, estamos obligados a preguntarnoscómo interpretar esos requerimientos.

A nuestro juicio, hay varios sentidos en que los requerimientos en cuestiónpueden ser interpretados. Sobre una misma acción hay diferentes actitudes aplica-bles: ordenar, pedir, autorizar, etc. Una forma de interpretar un postulado consisteen decir que establece una acción que está más que autorizada, que es también consi-derada realizable: trazar una recta de un punto a cualquier punto no está solamentepermitido sino que por suposición, y solamente por suposición, es siempre realizable.

Además de los postulados, tenemos todavía las llamadas nociones comunes.En su mayoría, establecen la validez de ciertas relaciones y corresponden o a re-glas de inferencia (la número 1, por ejemplo, las cosas iguales a una misma cosason iguales entre sí) o a una afirmación (la número 5, por ejemplo, el todo esmayor que la parte). El hecho de llamarlas nociones comunes se debe supuesta-mente a que estos principios valen más allá del ámbito geométrico.6 Así, las rela-ciones de las cuales tratan las nociones comunes son aplicables a objetos, perotambién pueden ser aplicadas a acciones y entre trazos de diferentes acciones.

Con base en las observaciones sobre la forma cómo Kolmogorov proponíaque interpretáramos el cálculo proposicional, deseamos extraer ahora algunasconsecuencias sobre los Elementos, restringiéndonos al Libro I.

En primer lugar, al tomar una expresión que designa una acción y anteponer-le la expresión ‘‘el problema de’’ se obtiene una expresión que designa un proble-ma (el problema de construir un triángulo…). Un problema es, por lo tanto, unaespecie de cuestionamiento acerca de la realizabilidad de una acción meramentedescripta, meramente pensada. Vimos que la acción de construir un triánguloequilátero a partir de una recta finita dada expresa una acción en cuanto tipo, puesella depende de un parámetro, así como los algoritmos computacionales dependende parámetros (inputs) para su ejecución. El problema de construir un triánguloequilátero a partir de una recta finita dada crea el cuestionamiento acerca de larealizabilidad de la acción de construir un tal triángulo.

En segundo lugar, al tomar una expresión de la forma ‘‘el problema de…’’y anteponerle la expresión ‘‘resolver’’ se obtiene una expresión que designa nue-vamente una acción en cuanto tipo, cualificada. Esa acción puede ser demandadapor el uso de un imperativo: resuelva el problema de… Ahora bien, hay dos accio-nes que pueden ser demandadas. Pueden ser demandadas tanto la construccióncomo la resolución del problema de construir. Los dos mandatos son distintos. Elmandato de una acción concreta de la forma ‘‘construya un triángulo equilátero apartir de la recta finita dada’’ difiere del mandato de la acción ‘‘resuelva el pro-

6 Aunque debería recordarse que la Noción Común 4 (en las versiones de Elementos que con-sideran que son 8 en total, en cuyo caso la número 5 arriba es la 8) no parece adecuarse a esadescripción: las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.


blema de construir un triángulo equilátero …’’. Las soluciones del primero y segun-do caso son, respectivamente, una construcción particular y un procedimiento gene-ral. Como se puede visualizar, la prueba de la Proposición I.1 contiene el segundo.Así, es por lo menos cuestionable la forma tradicional de interpretar la ProposiciónI.1: que se pide construir un triángulo. Lo que de hecho se hace en la demostraciónes dar un procedimiento general. En ese sentido se podría muy bien interpretar la Pro-posición I.1 como un pedido para resolver el problema de construir. O, por lo me-nos, que lo que se demuestra es que la construcción siempre puede ser demandada,ya que tenemos un procedimiento general para cumplir con mandatos de ese tipo.

A juzgar por las pruebas que siguen a las proposiciones de los Elementos, lageometría euclidiana requeriría dos categorías de acciones en cuanto tipo. La so-lución de ambas requiere procedimientos generales. Las categorías de problemasson: problemas de construcción, cuya solución concluye con la expresión ‘‘que eslo que había que hacer’’; problemas de demostración, cuya solución concluye conla expresión ‘‘que es lo que había que demostrar’’. Como ya dijimos, solamenteel segundo tipo de problemas de los Elementos corresponde a una proposición ensentido contemporáneo.

El tratamiento de las proposiciones ‘‘demostrativas’’ como problema es fá-cil. La solución del problema consiste, según observa Kolmogorov, precisamen-te en, o bien encontrar una demostración, o bien mostrar que no hay demostración.La demostración debe tener algún tipo de generalidad. Pero no solamente en ra-zón de los pasos inferenciales, sino también en razón de las acciones (construccio-nes) involucradas. A partir de los procedimientos para efectuar esas acciones(construcciones), se sigue la validez de alguna relación. En otros términos, se prue-ba que la realización de ciertas acciones resulta en un complejo de trazos con de-terminadas propiedades. Sin embargo, es importante observar que los diagramasno pueden ser dibujos de procedimientos generales.

Los problemas del segundo tipo requieren pasos intermedios de solución deproblemas de construcción. Y ese hecho puede ofrecer un indicio del papel de losdiagramas geométricos en pruebas. Si son puntos de parada y si se trazan rectas,o sea, si se las obtiene en un movimiento que se supone siempre realizable, los dia-gramas son nada más ni nada menos que los trazos de esas acciones. Teóricamente,por tanto, en el nivel elemental al menos, las acciones son objetos de considera-ciones postulacionales de los Elementos y sus trazos pueden ser tratados como sig-nos de esas acciones.

Las acciones se desarrollan en el tiempo. En algunos casos, también en elespacio. Dibujar (en el sentido de trazar, prolongar, describir) es una acción quese desarrolla en el tiempo y el espacio; demostrar es una acción que se desarrollaen el tiempo, siendo el espacio irrelevante.

Retornando a la prueba de I.1, para obtener el triángulo se describen (dibu-jan) dos circunferencias de centro A y centro B respectivamente, siendo A y B lospuntos de parada de AB. El radio de ellas es la distancia AB. El punto C de in-


tersección de las circunferencias es tanto punto de parada de la recta AC cuanto dela recta BC. Que este punto de parada tiene que existir es lo que prueba la construc-ción. Los puntos de parada o detención no son objetos ideales sujetos a una demos-tración de existencia: el punto es solamente aquel lugar donde la acción de dibujaruna recta se termina. Finalmente, después de realizar las acciones relativas a la re-solución del problema de construcción, es necesario todavía mostrar que AC y BCson iguales a AB e iguales entre sí. En ese momento interviene la Noción Común 1y la definición de círculo como figura plana comprendida por una línea (la circun-ferencia) cuyos puntos equidistan del centro (cualquier punto de la circunferencia esun punto de detención de la recta trazada entre el centro y un punto de ella).

La propuesta de Kolmogorov que describimos sucintamente nos permitevislumbrar una semejanza estructural entre una lógica de problemas y una lógicade proposiciones. Vamos más lejos aún, pues creemos que existe una lógica deacciones, siendo la lógica de problemas solamente una parte de ella. A los llama-dos operadores lógicos proposicionales corresponden determinados operadores enel ámbito de las acciones. Pero no todos los operadores de una lógica de accionesson pertinentes para el caso de las proposiciones. Por cierto, una acción comple-ja, como la de construir un triángulo equilátero, exige una coordinación y unaordenación de acciones elementales, descriptas en los postulados. A la ordenaciónde acciones le correspondería una conjunción para la cual no vale la propiedad deconmutatividad. No tendría sentido, por ejemplo, trazar la recta AC en la Propo-sición I.1 antes de trazar las circunferencias.

Que la geometría se haya transformado en una ciencia de objetos ideales talescomo puntos, rectas y planos es una consecuencia de los desarrollos posteriores dela matemática, aunque la semilla ya estuviese presente desde el comienzo. En laaxiomática hilbertiana no importa si estamos hablando de puntos o sillas, importanlas relaciones entre esos objetos. Los axiomas establecen esas relaciones. Sin embar-go, es necesario observar que esa geometría debe hacer algo que parece contrario alespíritu original de la geometría euclidiana. En efecto, los axiomas de Hilbert pos-tulan, por ejemplo, para cualesquiera dos puntos A y B, la existencia de una recta quecontiene esos puntos. Y, de esa manera, desaparece el trazo de la acción.

Hay otras razones históricas para que la noción de acción haya desaparecidodel horizonte matemático. No hay trazo de acción, intuitivamente entendido, quepueda, por ejemplo, corresponder a la oscilación infinita de una línea entre dospuntos localizados a distancia finita. De manera más general, las líneas que corres-ponden a las funciones sobre un plano cartesiano fueron una liberación en térmi-nos de representación y métodos de solución admisibles con respecto a lageometría tradicional. Ese movimiento fue acompañado de una concepción idealy abstracta de entidades que ya había sido iniciada en la matemática griega.

En realidad, en la antigüedad ya se tenía la sensación de que los medios ofre-cidos en los Elementos no permitían resolver problemas para los cuales debía haberalgún tipo de solución, problemas inclusive que eran descriptos con aquellos me-


dios. La trisección de un ángulo es un caso de ellos. Las acciones elementalesadmitidas en la geometría euclidiana no permiten obtener el tipo de accióninvolucrada en la solución del problema. La trisectriz de Hipias involucra unaacción mecánica que consiste en el movimiento constante y concomitante de dosrectas, desplazamiento de una y giro de la otra, para la resolución del menciona-do problema. El trazo de de esas acciones coordinadas no puede ser obtenido apartir de los postulados euclidianos.

Ahora bien, dijimos arriba que para los términos más elementales, como rectay punto, las nociones de acción y de trazo correspondiente son suficientes pararesponder a la cuestión de la naturaleza de los diagramas. En general, los diagra-mas son siempre complejos de trazos de acciones. Y, como complejos de accio-nes diferentes pueden producir los mismos complejos de trazos, el paso a laobjetivización de los diagramas permite mayor perspicuidad en el estudio de laspropiedades geométricas. No interesa si la línea fue dibujada de izquierda a dere-cha o viceversa, el trazo es el mismo.

Los trazos complejos pasan entonces a ser considerados unidades en sí mis-mos. Esto permite usarlos de forma relativamente autónoma respecto de los com-plejos de acciones que les daban origen. Si al principio los trazos son signos deacciones, como las huellas en la arena son signos de que alguien caminó por allí,las colecciones espaciales organizadas de huellas o trazos pueden ahora ser usa-dos como objetos. Los triángulos parecerían ser constituidos por los trazos de tresrectas, pero en verdad son constituidos por las acciones relativas a los respectivostrazos. Ahora bien, hay innúmeras maneras de dibujar un triángulo. En común,todas ellas deben encerrar un espacio con tres líneas, según su definición (y aquíse ve la utilidad de las definiciones en los Elementos.)

Los complejos de trazos, después de una reorganización perceptual (que noes meramente sensible), tanto pueden ser tratados como objetos en sí (ya que nosreferimos a ellos por deícticos, descripciones, etc.) cuanto como signos de eseespacio comprendido por ellos, aunque originalmente fuesen signos de un com-plejo de acciones organizadas. O sea, no desaparece el hecho de que esos comple-jos de trazos se resuelven, en última instancia, en acciones elementales.

Desde un cierto momento en adelante, es más económico hablar de esos com-plejos de trazos en cuanto objetos ellos mismos, e inclusive de otros complejosformados con esos objetos, olvidando las acciones que les dieron origen. Las de-finiciones establecen características que deben ser suficientes para identificar com-plejos de esa naturaleza.

Bibliografía

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Kolmogorov, A. N. 1925. ‘‘On the tertium non datur principle’’. En Selected Works of A.N. Kolmogorov, V. I, Mathematics and Mechanics. Ed. T. M. Tichomirov. Dordrecht:Kluwer, 1985.

Kolmogorov, A. N. 1932. ‘‘On the tertium non datur principle’’. En Selected Works of A.N. Kolmogorov, V. I, Mathematics and Mechanics. Ed. T. M. Tichomirov. Dordrecht:Kluwer, 1985.

Euclides. 2007. Elementos. Madrid: Editorial Gredos. (Traducción y notas María LuisaPuertas Castaño).

Tuttle, E. 2002. ‘‘Reading Euclid’’, en http://mysite.du.edu/~etuttle/classics /nugreek/contents.htm.

Sanz, W. 2012. ‘‘Kolmogorov e a lógica de problemas I’’. En Notae PhilosophicaeScientiae Formalis, v. I, n. 2, págs. 184-197.

CONOCIMIENTO SIMBÓLICO EN LA PRUEBADEL TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES

GISELE SECCO

Universidade Federal do Rio Grande do [email protected]

El Teorema de los Cuatro Colores (T4C) afirma que todo mapa, bajo ciertascondiciones, puede ser pintado con sólo cuatro colores sin que cualquier zona ad-yacente sea pintada con el mismo color.1 Su prueba fue publicada en 1977, másde 120 años después de que A. De Morgan hubo presentado al mundo matemáti-co la formulación del entonces Problema de los Cuatro Colores.

La estructura general de la prueba es la de una reductio ad absurdum, cuyaasunción inicial es la existencia de un mapa que se presupone mínimo o, como selo denomina, minimal. Se procede a través de una serie de métodos –desarrolla-dos a partir del primer intento de probar el T4C– de modo de generar una contra-dicción. La reductio incluye una prueba por casos: la aplicación de dichos métodosde reducción muestra que el mapa inicial puede ser todavía menor, en la medidaen que se construya un conjunto de configuraciones, de las cuales todo mapa cincocolorible debe contener al menos una (donde es inevitable). Así, es falsa la asun-ción de que el mapa cinco colorible escogido es minimal, pues se muestra queexiste un conjunto inevitable de configuraciones reducibles. Más precisamente, suconstrucción se resuelve con tres casos, uno de los cuales requiere más de mil sub-casos, prácticamente imposibles de ser construidos, a no ser a través del recursode la ejecución de un programa computacional.

El advenimiento de la prueba del T4C tuvo consecuencias más allá de las ma-temáticas; también los filósofos juzgaron tener algo que decir. En un artículo de1979 sobre el significado filosófico del T4C aparece lo que en otra ocasión deno-minamos de argumento de la introducción de la experimentación en la matemá-tica vía T4C (AIE).2 Las dos primeras premisas de ese argumento, a través del que

1 En rigor de verdad, la versión topológica del teorema enuncia: ‘‘Para todo mapa existe unacuatro-coloración admisible’’ (Fritsch & Fritsch, 1998, p. 86). En la versión combinatoria: ‘‘Todografo planar posee una cuatro-coloración de vértice admisible’’ (op. cit., p. 149).

2 Nuestra tesis de doctorado, dirigida por Luiz Carlos Pereira y titulada ‘‘Entre Provas e Ex-perimentos: uma leitura wittgensteiniana das controvérias em torno na prova do Teorema das QuatroCores’’.


T. Tymoczko lanzó el T4C a la arena de los debates filosóficos, reconstruidas, sonlas siguientes:

(ααααα) Las principales características de las pruebas matemáticas, tradicional-mente consideradas, consisten en que sean (αa) convincentes, (αb) que puedan serinspeccionadas [surveyable] y (αc) formalizadas;

(βββββ) La prueba del T4C, aunque sea (αa) y (αc), no es (αb), dado que los cálcu-los realizados por programas computacionales no pueden ser verificados paso apaso por una persona, en el tiempo de una vida humana.

Las controversias filosóficas relativas a la prueba del T4C consisten en res-puestas en mayor o menor medida conectadas con el argumento de Tymoczko,cuya tercera premisa trata de asociar el uso de computadores con el dominio de laexperimentación, y la conclusión afirma que el concepto tradicional de prueba pre-cisa ser modificado para abarcar la posibilidad de error constitutiva de procesosexperimentales. El objetivo de este texto es delinear una articulación entre uno delos temas que emergen en aquellas respuestas y tópicos de la así llamada tradicióndel conocimiento simbólico. La primera sección presenta una breve lectura de unode los destinos conferidos al tema de la surveyability de pruebas en las disputassobre la prueba del T4C: la distinción entre sinopticidad e inspecionabilidad, apartir de la cual se puede reescribir la segunda premisa del AIE. La segunda sec-ción del texto introduce otra distinción, a saber, entre pruebas concebidas comoactos, como objetos y como trazos, con lo cual se sugiere una asociación con losreferidos tópicos de la tradición del conocimiento simbólico en la nota final.

Sentidos de surveyability en las controversias sobre la prueba del T4C

La noción de surveyability cumple un papel esencial en el AIE, en la medi-da en que sería un aspecto que la prueba del T4C no posee, pues ‘‘ningún mate-mático vio la prueba del T4C, ni la prueba de que hay una prueba’’ (Tymoczko,1979, p. 58). Así, el trabajo realizado por Appel y Haken sería un contraejemploa la caracterización denominada ‘tradicional’ de prueba, para la cual, además deser convincentes y formalizables, las pruebas deben ser surveyable. En un primermomento, por lo tanto, Tymoczko identifica la surveyability de pruebas con lacapacidad de visualizarlas. Pero, ¿qué quiere decir que ningún matemático vio laprueba del T4C?

Ocurre, en la elaboración del AIE, una cierta fluctuación en el sentido atri-buido a las expresiones correspondientes a las de ver, inspeccionar y verificar.Tymoczko parece aceptar que to survey equivale a una inspección más general, enel sentido de la comprensión de los conceptos centrales de la prueba y su modo dearticulación. Ahora bien, una prueba es surveyable, en el caso de que sea inspec-cionable en todos sus pasos calculatorios, cosa que el autor llega a identificar conla realización manual de los cálculos. No obstante, hay una tenaz insistencia en la

CONOCIMIENTO SIMBÓLICO EN LA PRUEBA DEL TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES 39

imposibilidad de inspeccionar o verificar paso a paso los cálculos necesarios parala prueba, pues ‘‘ningún computador imprimió la prueba completa del lema clavede reductibilidad’’ (Tymoczko, 1979, p. 68). El inmediato reconocimiento de que‘‘un tal documento [no] sería de mucho valor para un ser humano» (loc. cit.) esapenas una muestra de que el segundo sentido de surveyability parece no contri-buir para el primero.

El tópico de la surveyability de pruebas es una constante relativamente difusaen las respuestas al AIE de Tymoczko. Sin embargo, cuando la perspectivawittgensteiniana en filosofía de las matemáticas entra en escena ocurre una modi-ficación de punto de vista en lo que se refiere a la conclusión del argumento. Enlas primeras respuestas3 se respondía negativamente a la pregunta por el signifi-cado filosófico de la prueba del T4C. A ella respondiera Tymoczko afirmando quese trataba de una especie de híbrido entre pruebas y experimentos, pues sus ‘‘la-gunas calculatorias’’ son llenadas por un experimento, a saber, los cálculos me-cánicamente ejecutados.

Aunque comparta con Tymoczko algunas premisas del AIE, S. Shanker4 llegaa conclusiones más drásticas. Pruebas y experimentos, se dice à la mode deWittgenstein, son procedimientos categorialmente distintos. Así, sustentar la tesisde la introducción de la experimentación en matemáticas no sería nada más queuna confusión categorial. La navaja wittgensteiniana de ese autor acaba, así, porsuprimir tanto el procedimiento (la prueba) como su resultado (o T4C) del ámbi-to de la práctica matemática. Se trataría, propiamente de un experimento.

Todo sucede, por lo tanto, como si al delegar al computador las tareascalculatórias envueltas en la prueba del T4C, por así decir, perdiésemos el acce-so a las relaciones normativas allí en juego. El ejemplo de esas relaciones remiteal interés tractariano ‘‘por la relación de un número con la ley que genera la se-rie en la cual el número ocurre. Es la ley que gobierna la expansión de la serie, ensu actual expansión, lo que debe ser surveyable’’ (Shanker, 1986, p. 128). Comose sabe, el joven Wittgenstein quiso elaborar una concepción intensional de las ma-temáticas que permitiera concebir la totalidad de los números entendidos no comoobjetos sino como propiedades de una serie formal. Ahora bien, ¿cómo ese ejem-plo se podría asociar al caso de la prueba del T4C? Shanker no responde a la cues-tión, prefiriendo introducir otro ejemplo (extraído del así llamado períodointermedio del pensamiento de Wittgenstein):5

Wittgenstein argumenta que el octaedro de colores debe ser sinóptico en el sentidode que las articulaciones lógicas forjadas por las construcciones gramaticales son

3 Publicados en el volumen 77 del Journal of Philosophy (Teller, 1980) y (Detlefsen & Luker,1980).

4 ‘‘The Appel-Haken solution of the Four-Colour Problem’’ (Shanker, 1986).5 Período que va desde 1929 –cuando, retornando a Cambridge, Wittgenstein retoma también

la filosofía– hasta mediados de 1934, aunque también se consideran algunos textos de 1936. Sobreese punto cf. ‘‘The ‘Middle Wittgenstein and Modern Mathematics’’ (Stenlund, 2012).


perspicuas.6 Del mismo modo, una prueba debe ser sinóptica en el sentido de que po-demos aprender [grasp] la ‘ley’ forjada por la prueba: ‘Debo ser capaz de escribir unaparte de la serie de modo que usted pueda reconocer la ley. Esto es, ninguna descrip-ción debe ocurrir en lo que está escrito, todo debe ser representado’ (PR §190). Masesa es precisamente la condición que la solución de Appel y Haken no satisface: Loque es dado es una descripción de U, junto con las operaciones que el computadorrealizó para probar su reductibilidad, y no una ‘manifestación de la ley’ para la ge-neración de conjuntos inevitables de configuraciones reductibles (Shanker, 1986, p.153).

Se percibe que la comparación pretendida por el autor es la siguiente: unaprueba matemática sería surveyable, en el caso de que fuesen aprehensibles lasrelaciones lógicas o normativas entre sus pasos, del mismo modo que sonaprehensibles ‘‘las articulaciones lógicas forjadas por las construcciones grama-ticales’’ (op. cit.) en el modelo wittgensteiniano de sinopticidad, el octaedro de co-lores. Aun sin demorarnos en la explicitación de lo que se debe comprender por‘articulación lógica’, la utilización de la idea de que ninguna descripción debeocurrir en una prueba tiene el claro objetivo de reforzar la tesis de que la pruebadel T4C no se encaja en la caracterización wittgensteiniana. De hecho, en la segun-da parte del artículo en el cual la prueba del T4C es presentada hay descripciones,de los programas ejecutados por el computador en la construcción de los casosreferentes a la prueba del lema principal. Sin embargo, tal cosa quizá no sea sufi-ciente para que el procedimiento sea excluido del dominio normativo de las prác-ticas matemáticas; asimismo, parece que los elementos para justificarlo estáncontenidos en el propio texto de Shanker.

Volvamos al prematuramente descartado interés del joven Wittgenstein porel sentido en el que se puede hablar de la totalidad de los números naturales. Elfilósofo pretendía aclarar las confusiones que surgen cuando se identifican tota-lidades finitas con procesos o series infinitas (‘‘series formales’’, en el sentido dela aplicabilidad de una operación). Lo que nos importa, en este caso, es que poda-mos construir todos los números a través de la operación de sucesor, la ‘‘ley’’ degeneración de la serie infinita de los números. Solamente en ese sentido, sería le-gítimo hablar de la aprehensibilidad de la totalidad infinita de los mismos. En elvocabulario de la semántica de la teoría de la prueba diríamos que lo que debe sersinóptico es la descripción del procedimiento efectivo para la realización de laoperación, no la ejecución de toda y cada una de las operaciones de las mismas.7

Actualmente, si aplicamos esa idea al caso de la prueba del T4C, tendríamosque, aunque no haya acceso a todas y cada una de las operaciones realizadas porla máquina computadora en la construcción de los casos que establecen la prue-ba del lema principal, la descripción de los programas computacionales conteni-

6 Surveyability y perspicuity son usados indistintamente como traducción para Übersichtlich-keit.

7 Para una discusión desde esta perspectiva cf. Prawitz, 2008.


da en el artículo de Appel y Haken funciona como prescripción para su realización.Cualquier persona dispuesta a realizar los cálculos ‘‘a mano’’, como sugiereTymoczko, podría hacerlo, aunque se pasase el resto de su vida realizando esatarea, sin llegar nunca a su fin. Así, más allá de la crítica más inmediata (Shankerse habría apoyado en una lectura de pasajes de textos del irregular período inter-medio del pensamiento de Wittgenstein)8 destacamos la desestimación de la po-sibilidad de que las descripciones de programas cuenten como prescripciones parala realización de las operaciones por ellos ejecutadas.

Por lo tanto, ese aspecto funcional de las descripciones de programas –aunmás tratándose, como es el caso en la prueba do T4C, de programas escritos enlenguaje de programación de bajo nivel–9 servirían como indicio de que el abor-daje de Shanker puede ser corregido. Creemos poder mostrar que eso puede serrealizado, preservándose la pretendida aura wittgensteiniana de su análisis, recu-rriendo a la distinción sugerida por B. O. Bassler en uno de los artículos contem-poráneos que toman parte en el debate sobre la prueba del T4C: en efecto, en elmencionado artículo, Bassler distingue10 entre surveyability en dos sentidos: unolocal (a partir de ahora inspeccionabilidad) y otro global (sinopticidad).

Una de las ventajas que esa distinción ofrece se refiere a aquella fluctuaciónde sentido de las expresiones relativas a ‘ver’ e ‘inspeccionar’ del artículo deTymoczko. De acuerdo con Bassler, la inspeccionabilidad tiene por requisito mí-nimo la verificación de todo paso individual de la prueba, en un orden determina-do. El autor afirma, y eso es lo que nos interesa, que se debe considerar laposibilidad de la utilización de dispositivos o recursos de control para el registrode los referidos pasos de la prueba. En cuanto a la sinopticidad, la inspección dela prueba como un todo, el requisito mínimo sugerido por Bassler consiste en el‘‘reconocimiento conceptual’’ de que los pasos de la prueba se estructuran en undeterminado orden, que establece la conclusión. Esa capacidad de las pruebas serelaciona con lo que se puede ver ‘‘como un todo’’, es decir, las relaciones inter-nas que se pueden mostrar entre los conceptos en juego en una prueba, y cuya ‘‘vi-sualización’’ no es mecanizable.

En este sentido y, dado el hecho de que existan pruebas matemáticas másuniversalmente ‘‘visibles en una sola mirada’’ que otras, por el simple hecho de

8 No se afirma que la lectura de los textos de ese período sea irrelevante, tratándose de com-prender el desarrollo de determinados movimientos del pensamiento de Wittgenstein. La cuestión essolamente subrayar que sólo con base en esos textos no se puede sustentar una posición legítimamentewittgensteiniana con relación a las pruebas matemáticas. Si hay algo que podría ser considerado como‘‘palabra final’’ de Wittgenstein acerca del tema, ello ciertamente debe ser buscado en los registrosde madurez. El estudio referido en la nota 2 estuvo focalizado, especialmente, en las Remarks on thefoundations of mathematics y en las Lectures sobre el mismo tema, dictadas en 1939.

9 Esas codificaciones son eficientes, aunque matemáticamente poco elegantes, dada la facilidad de‘‘traducción’’ de los comandos para la máquina, en sentido de las operaciones que realiza el nivel físico(desplazamiento o supresión de ceros y unos en los espacios ‘‘vacíos’’ de la memoria, por ejemplo).

10 ‘‘The surveyability of mathematical proof: an historical perspective’’ (Bassler, 2006).


que hay pruebas conceptualmente más simples que otras, tal vez fuese propicio eldiseño de una especie de ‘‘ideal regulativo’’, de lo que haría que una prueba fuese‘‘fully perspicuous’’ (Bassler, 2006, p. 103). Reconociendo la incapacidad de cons-truir un criterio maximal de sinopticidad, Bassler se contenta con enumerar algunasvirtudes comúnmente asociadas a la presentación perspicua de pruebas, tales comola claridad, la subdivisión de la prueba en lemas y secciones, la exclusión de ideasirrelevantes y la disposición de la prueba en términos de ideas clave.

Vale notar que el autor pasa a hablar de la sinopticidad de la presentación depruebas, y no de la sinopticidad de pruebas, lo que tal vez se justifique en la me-dida en que, al hacerlo, está empleando coherentemente la idea de que a diferen-tes grados de sinopticidad corresponden distintas exigencias de rigor.11 De estemodo, aunque una prueba altamente formalizada (como la del T4C) pueda no serinspeccionable, sus variadas posibilidades de presentación contemplan adaptacio-nes a los contextos de enunciación o realización –idea para cuyo esclarecimientocontribuirá la distinción a ser presentada en la próxima sección, o al menos así loesperamos–. De todas maneras, no se debe perder de vista que la presentación su-ficientemente detallada de una prueba puede contar ella misma como prueba.

A continuación, presentemos nuestra relectura de la segunda premisa del AIEcon base en la distinción anteriormente presentada. Valiéndonos de la notación(αb

I) para inspeccionabilidad y (αbS) para sinopticidad, afirmamos:

(βββββ) La prueba del T4C, aunque sea (αa), (αc) e (αbS), no es (αb

I), toda vez quelos cálculos realizados con la ejecución de programas computacionales no puedenser verificados paso a paso por una persona en el tiempo de una vida humana.

Con base en lo expuesto, podría ser subrayado el vínculo de una tal relecturacon la perspectiva wittgensteiniana sobre pruebas matemáticas. Hacerlo, sin embar-go, merecería una atención mayor a la cuestión de la que podemos darle aquí. Noobstante, podríamos preguntar si el modo como Shanker lee la ‘‘exigencia’’wittgensteiniana de Übersichtlichkeit de las pruebas puede ser compatibilizado conla idea de que las pruebas ocurren en diferentes contextos y, por lo tanto, no pueden

11 O de que diferentes dominios de las ciencias, y también de diferentes contextos en el inte-rior de un único dominio, reconocen diferentes nociones de rigor. Ocasionalmente se considera queel tipo relevante de surveyability es la inspeccionabilidad, asociada a la idea de formalización comomecanización de procedimentos (el caso de un abordaje predominantemente formalista y de algunasramas de la ciencia de la computación, como la ingenieria de software). Desde otras perspectivas, laasociación de rigor con el encadenamiento original de conceptos y procedimentos no mecanizablesen un determinado orden –en cuyo caso no es infrecuente que se valoricen virtudes estéticas comola simplicidad y la elegancia– es más relevante que los extensos desarrollos calculatorios, como losde la prueba del T4C. Sería interesante examinar, a partir de ese género de consideración compara-tiva entre exigencias formales y estéticas, las similitudes entre los requisitos de una buena disposi-ción de las ideas de una prueba y los requisitos retórico-literarios para la dispositio adecuada de unbuen discurso. Para una presentación de la noción de perspicuitas (una de las virtudes de la dispositio)en los estudios literarios cfr. los Elementos de retórica literária (Lausberg, 1975).


ser pensadas como algo que siempre, para todo auditorio, debe preservar el mismogrado de sinopticidad, como parece ser la idea en el argumento de Tymoczko. Nosparece adecuarse a ese punto de vista una observación de P. Teller:

El hecho de que yo no pueda acompañar una prueba compleja producida por un buenmatemático no muestra que esa prueba es una prueba en un sentido diferente de unaprueba que yo pueda seguir. Del mismo modo, el hecho de que ningún matemáticopueda acompañar una prueba producida por un computador no muestra que esa prue-ba es sólo una prueba más en un nuevo sentido (Teller, 1980, p. 800).

No suscribimos la idea de que un computador pueda propiamente producir,construir o realizar una prueba. Nuestra posición es que, aun así, algunas pruebaspueden ser asistidas, o incluso parcialmente verificadas por computadores. Conrelación al acto de calcular, es muy probable que ya no se pueda decir lo mismo,aunque tampoco se pueda decir, como Shanker, que el cálculo mecánicamenteejecutado o simulado equivalga a la construcción de soluciones experimentales.Las pruebas, aunque sean asistidas por computadores, son affairs humanos, estan-do insertas en contextos institucionales de prácticas, ya sean escolares, académi-cas o científicas. Durante mucho tiempo, también las verificaciones de pruebasfueron realizadas solamente por seres humanos; sin embargo, dado que parte delos procesos que las constituyen pueden ser mecanizables, ese trabajo puede serrelegado a las máquinas, aunque siempre sea un trabajo supervisado por una per-sona o por un conjunto de ellas.

El pasaje anterior sólo recuerda que verificar (en el sentido de inspeccionarpaso por paso) puede ser un acto mecánicamente auxiliado. En este sentido, lalectura de Shanker, según la cual no tenemos acceso a las relaciones normativasen juego en los cálculos mecánicos, parece ignorar el hecho de que el filósofo nopretendía formular cualquier afirmación que desembocase en una conclusión si-milar a la suya, con relación a una prueba aceptada por la comunidad matemáti-ca en cuanto tal. Wittgenstein, así nos parece, diría que las pruebas asistidas porcomputador son, o pueden transformarse (conforme sean realizadas con una fre-cuencia cada vez mayor), en hechos de la ‘‘historia natural del hombre’’ –una ob-servación que subraya el tenor fuertemente no revisionista de su filosofía engeneral, y de la matemática en particular–.

Pruebas como actos, objetos y trazos

La diversidad de lo que se puede denominar pruebas en general12 con rela-ción a objetivos, contextos y métodos implica una especie de sobredeterminación

12 En nuestro trabajo de doctorado presentamos una distinción entre pruebas en general, prue-bas formales y pruebas asistidas por computadores, con la finalidad de situar la prueba del T4C enun intersticio entre los tres tipos de prueba.


de la noción de prueba, más o menos en los moldes de lo que sugiere G. Sundholmen ‘‘Questions of proofs’’ (Sundholm, 1993). Para Sundholm, las pruebas puedenser consideradas de acuerdo con los siguientes aspectos: como actos, como obje-tos y como trazos. Una de las ventajas de esa distinción consiste en escapar a latradicional distinción proceso-producto a la cual se puede recurrir para hablar depruebas matemáticas. Eso ocurre por la introducción de elementos que explicitanel pasaje de uno (el acto o proceso de probar) al otro (la prueba como objeto re-sultante del acto), o sea, los trazos o instrucciones que, seguidas o ejecutadas, re-gulan los procesos de prueba.

Una manera de comprender la distinción sugerida por Sundholm consiste encomparar prácticas matemáticas y prácticas culinarias. Grosso modo, de acuerdocon Sundholm, el objeto del acto de cocinar es el plato finalizado; del lado de laspruebas, el teorema como resultado o objeto del acto de prueba. Los trazos del actopueden, a su vez, ser considerados según un doble aspecto: como los restos y tras-tos dejados en la cocina –índices de la preparación del plato– y como la receta, contodos sus elementos, a saber, lista de ingredientes, instrumentos y algunas instruc-ciones para su manipulación. Lo que está en juego en esta subdivisión de los tra-zos es que solamente alguien dotado de considerable expertise culinaria sería capazde reproducir satisfactoriamente la preparación de un plato (acto y objeto, por lotanto) sólo con los indicios del acto, sin el auxilio de la receta. En el caso de laspruebas, puede considerarse que su reproducción con base en los, llamémoslos así,restos simbólicos, dependen igualmente de la expertise matemática de quien lapretende reproducir. De todos modos, lo que principalmente nos importa en estacomparación es la idea de que una prueba como trazo, entendida ya sea como re-ceta o como resto, tiene la función de habilitar al practicante para realizar el actode probar e, inevitablemente, llegar al resultado, a saber, la producción del obje-to prueba/teorema. Ahora bien, ¿cómo sería posible asociar esa distinción tantocon la que hemos presentado en la sección anterior cuanto con los tópicos de latradición del conocimiento simbólico?

En un reciente texto sobre el conocimiento simbólico en Leibniz, O. M.Esquisabel formula en seis puntos los aspectos principales del pensamiento sim-bólico –dependiente del uso de fórmulas y diagramas– a través del cual el tiposimbólico del conocimiento es alcanzado:

[1] El pensamiento simbólico exige estructuras simbólicas como sistemas de ob-jetos físicos sujetos a las operaciones de construcción y transformación deacuerdo con reglas, lo cual lo conecta con la idea de que el pensamiento es untipo de cálculo o computación y, por consiguiente, con el proyecto de construc-ción de sistemas simbólicos en los cuales las inferencias son reducidas a trans-formaciones simbólicas regladas, concordando, por lo tanto, con el modelo deuna máquina: ‘‘Obtendríamos, así, el filum mechanicum meditandi’’ (Esqui-sabel, 2012, p. 22).


[2] Cumple una función subrogatoria, en la medida en que es comprendido comoun sucedáneo del conocimiento intuitivo: en lugar de considerar las ideas ‘‘di-rectamente’’, lo que se manipula en este pensamiento son sus substitutos, lasexpresiones simbólicas mismas: ‘‘la estructura del objeto es proyectada en lasintaxis de la expresión simbólica’’ (loc. cit.).

[3] El pensamiento simbólico cumple una importante función cognitiva, dada laposibilidad de captar en la sintaxis de un sistema simbólico específico las es-tructuras formales que determinan el dominio objetivo por ellas representado(el concepto de expresión/representación simbólica puede ser comprendido entérminos de morfismo entre sistema simbólico y dominio objetivo).

[4] Otro trazo distintivo del pensamiento simbólico se refiere al hecho de que lasexpresiones simbólicas pueden ser separadas de su sentido cuando las opera-ciones inferenciales son llevadas a cabo, su función calculatoria: ‘‘El racio-cinio tornase, así, un tipo de computación. Por medio de la misma abstracciónde sentido puede obtenerse aún conocimiento sintáctico y estructural’’ (op. cit.,p. 45).

[5] Hay una función instrumental del pensamiento ejercida por los sistemas designos que satisfacen a las condiciones del pensamiento simbólico: tales sis-temas ofrecen medios perceptivos para las inferencias, de modo que se pue-de probar directamente la corrección de los pasos inferenciales en lacomposición de los símbolos. En otras palabras, el pensamiento simbólicoposibilita la prueba ante los ojos de las articulaciones que presenta, de modoque ‘‘la verdad es determinada, metafóricamente hablando, por medio de untipo empírico de evidencia’’, lo cual, a su vez, aseguraría ‘‘el más alto nivelde certeza que el intelecto humano puede alcanzar’’ (loc. cit.).

[6] Por fin, al simplificar operaciones cognitivas (especialmente la liberación dela memoria) cumple para el conocimiento simbólico una función psicotécnicao abreviativa, que involucra estructuras, relacionándose así directamente con[3].Este brevísimo excurso sobre los tópicos de la concepción leibniziana del

conocimiento simbólico pretende permitir vincular nuestra comparación entreprobar y cocinar como actos orientados por reglas o instrucciones con el punto[1]. Pero no sólo eso. Las pruebas como trazos serán comprendidas adecuadamentesi les reconocemos la función de instruir a alguien para orientarse en un determi-nado espacio. En el caso de las recetas, orientarse en el espacio culinario con vistasa la realización de un plato. En el caso de las pruebas matemáticas, en un espacioque evidentemente difiere en mucho de lo culinario, pues se trata de un espaciosimbólico.

En este sentido, las pruebas como trazos podrían muy bien ser comparadascon mapas ‘‘temáticos’’, a saber, de aquellos a los cuales se recurre para, por ejem-plo, conocer una ciudad. La elección del mapa depende del medio de transportea utilizar (metro, ómnibus, bicicleta, automóvil, o también ninguno de ellos: po-


demos andar a pie), de los lugares a los cuales llegar y, aún, de la finalidad deltraslado (para salir simplemente paseando por la ciudad, no es preciso mediosmecánicos de transporte, ni siquiera de mapas; para llegar rápidamente al aeropuer-to, se precisa de un transporte rápido, un taxi con GPS que indique el mejor cami-no, etc.). Ahora bien, ¿qué tiene que ver la concepción del pensamiento simbólicode Leibniz, con todo ello?

Actualmente, a partir de ella se puede pensar, de un modo tal vez un pocosalvaje, que justamente las pruebas como mapas (que funcionan como trazos,aunque también son objetos) cumplen las funciones cognitiva y ectética del pen-samiento simbólico ([3] y [5] arriba) o sea: un mapa del tipo que estamos imagi-nando no solamente muestra las relaciones internas entre, por ejemplo, lasestaciones de las líneas del metro, sino que ‘‘ofrece a la metáfora del filumcogitandi una cualidad que no está completamente expresada en la idea de unacomputación mecánica’’ (Esquisabel, 2012, p. 23).

Queremos con esto destacar que, si por un lado, el pensamiento simbólico estácaracterizado como una serie de procedimientos de transformación de signos enotros, por reglas explícitas (los ítems [1] y [4] arriba), conduciéndonos así a la ideade mecanización de los actos de cálculo (el filum mechanicum meditandi del quenos habla Esquisabel), por otro lado, contempla alguna idea de comprensión (algovisual) envuelta en sus operaciones: ‘‘Esa comprensión está basada en la forma vi-sual del arreglo simbólico del modo que la operación en él no es explícitamentegobernada por reglas explícitas’’ (loc. cit). Entre comprender una receta y com-prender un mapa, de todos modos, la capacidad de realizar o reproducir la recetao el itinerario, parece envolver la habilidad de ‘‘captar’’ ciertas relaciones inter-nas entre símbolos dispuestos en un determinado orden, aunque puedan ser acti-vidades en parte mecánicamente auxiliadas.

Nota final

El tema de la surveyability de pruebas vinculado al caso de la prueba del T4Cpuede ahora ser retomado. Que esa prueba no sea humana, sino sólo mecánicamen-te inspeccionable en su totalidad, no parecería ser un problema desde la perspec-tiva del conocimiento simbólico, en la medida en que la mecanización deprocedimientos es parte constitutiva de la idea misma del pensamiento simbólico.La operación del computador en la construcción de casos, aunque no sea inspec-cionable, es la ejecución de un algoritmo, al menos formalmente análogo a cual-quier episodio de cálculo humano, o sea, un procedimiento compuesto por unconjunto de instrucciones bien definidas para la manipulación de signos con elobjetivo de resolver un problema (en el caso que nos interesa, construir un conjun-to inevitable de configuraciones reducibles). Esas instrucciones, que en el compu-tador ocurren en diferentes niveles, son reglas para la manipulación (decodificación)


de ciertos signos, al modo de lo que, en la tradición del conocimiento simbólico,se denomina de pensamiento ciego.

Por otro lado, que la prueba sea sinóptica en el sentido de la comprensibili-dad de sus articulaciones conceptuales (que en términos wittgensteinianos se di-rían relaciones lógicas, normativas o internas), nos parece haber quedado sugeridoen la comparación de las pruebas como mapas. Pues, aun sin poder reproducir pasoa paso el ‘‘camino’’ calculatorio recorrido por la máquina computadora, se pue-de, sin problemas, presentar con suficiente detalles las ideas principales involucra-das en la prueba y su modo de articulación, lo cual, insistimos, acaba contandocomo prueba, especialmente si se toma en cuenta el hecho de que las distintas pre-sentaciones de las pruebas poseen el aspecto, por así decirlo, retórico-dialéctico dela adaptabilidad a diferentes auditorios.13

En cualquier caso, es una posibilidad a ser explorada en otra ocasión el queestas más que breves consideraciones podrían vincularse con temas de la filoso-fía de la matemática de Wittgenstein. Aun así, es lícito hacer notar que una cone-xión tal está sugerida en el reciente trabajo de S. Stenlund sobre Wittgenstein y lamatemática simbólica,14 en el que se encuentran elementos bastante pertinentespara sustentarla –algo que ciertamente nos interesaría investigar–.

Bibliografía

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Prawitz, D. 2008. ‘‘Proofs verifying programs and programs producing proofs’’. In:Deduction, Computation, Experiment: Exploring the Effectiveness of Proof. Berlin/Helderberg/New York, Springer, pp. 81-94.

13 La terminología está sugerida en los análisis del concepto de demostración de OswaldoChateaubriand propuestos en Lassalle Casanave 1999 y Lassalle Casanave 2008.

14 ‘‘Wittgenstein and Symbolic Mathematics’’ se encuentra en prensa como contribución delvolumen 33 de la revista brasilera O que nos faz pensar. Debemos agradecer al autor que, gentilmente,nos concedió acceso al trabajo antes de su publicación.


Secco, G. 2013. Entre Provas e Experimentos: uma leitura wittgensteiniana dascontrovérias em torno na prova do Teorema das Quatro Cores. Rio de Janeiro. Tesede Doutorado - Departamento de Filosofia, Pontifícia Universidade Católica do Riode Janeiro. Orientador: Luiz Carlos Pereira.

Shanker, S. 1986. ‘‘The Appel-Haken solution of the Four-Colour Problem’’. In:Wittgenstein: Critical Assessements - Volume Three: from the Tractatus to Remarkson the foundations of mathematics. London, Routledge, pp. 395-412.

Stenlund, S. 2012. ‘‘The ‘Middle Wittgenstein’ and Modern Mathematics’’. In:Epistemology versus Ontology. Logic, Epistemology, and the Unity of ScienceVolume 27, pp. 139-159.

— (en prensa) ‘‘Wittgenstein and Symbolic Mathematics’’. In: O que nos faz pensar, vol33.

Sundholm, G. 1993. ‘‘Questions of proof’’. Manuscrito, XVI (2), pp. 47-70.Teller, P. 1980. ‘‘Computer Proof’’. The Journal of Philosophy, vol. 77, pp. 797-803.Tymoczko, T. 1979. ‘‘The Four-Color Problem and its Philosophical Significance’’. The

Journal of Philosophy, vol 27, nº 2, pp. 57-83.Wittgenstein, L. 1978. Remarks on the foundations of Mathematics. Edited by G. H. Von

Wright, R. Rhees, G. E. M. Anscombe. Translated by G. E. M. Anscombe. ThirdEdition. Basil Blackwell, Oxford.

Parte II

Conocimiento simbólico y conocimiento gráficoen la lógica

CONOCIMIENTO GRÁFICO Y DIAGRAMASDESDE LA PERSPECTIVA DE C. S. PEIRCE*

JAVIER LEGRIS

[email protected]

Este trabajo tiene por objetivo situar la representación diagramática en el con-texto del ‘‘conocimiento simbólico’’, empleando para ello conceptos tomados dela teoría del signo de Charles Sanders Peirce. En esta teoría los diagramas caendentro de la clase de los íconos, esto es, signos que representan por su semejanzaestructural con el objeto representado. En el trabajo se mostrarán las limitacionesde una interpretación operacional de los íconos, es decir, como signos sobre losque se puede operar (componiendo o descomponiendo sus partes) y se discutiráuna concepción amplia de ícono que destaque sus aspectos topológicos. Comoejemplo se analizará brevemente la interpretación del condicional material en elsistema lógico de los Gráficos Existenciales de Peirce.

1. Representación gráfica y diagramas

El conocimiento gráfico aparece como un modo especial del conocimientosimbólico que se funda primariamente en la analogía entre una estructura semió-tica y aquello que representa, y por ello en él es predominante la funciónsurrogativa del conocimiento simbólico (véase Esquisabel 2012 sección 4). Ahorabien, dentro de la representación gráfica se incluyen signos muy diversos comodiagramas, tablas, mapas, cuadros estadísticos, sistemas de señales, infografías, etc.Todas estas herramientas de conocimiento ocupan un lugar importante en la ma-temática y en las ciencias naturales y sociales. El creciente interés por analizar lapráctica científica ha causado que la representación gráfica ocupe un lugar privi-legiado en la filosofía de la ciencia.

En un trabajo publicado en 1995, dos investigadores en ciencia cognitiva for-mularon explícitamente la distinción entre representaciones gráficas y represen-taciones lingüísticas (véase Sterling & Oberlander 1995), y un poco más tarde

* Este trabajo fue elaborado en el marco de los proyectos CAFP-BA 042/12, ‘‘Conocimientográfico y conocimiento simbólico’’ y PIP 11220080101334, CONICET (Argentina).


Atsushi Shimojima presentó siete criterios para distinguir ambos tipos de represen-taciones, con el objetivo de obtener una definición satisfactoria del concepto de re-presentación gráfica (véase Shimojima 2001). El tercer criterio distingue entreaquellas representaciones en las que no hay signos para relaciones y las que em-plean signos para representar relaciones. Shimojima refiere a ideas expresadas porBertrand Russell en su artículo ‘‘Vagueness’’. Allí, se señala que ‘‘las palabras quesignifican relaciones, no son ellas mismas relaciones’’. Russell ilustra con el casode los mapas, ya que ‘‘el hecho de que un lugar esté al oeste de otro se represen-ta por el hecho de que el lugar correspondiente en el mapa está a la izquierda deotro, esto es, una relación es representada por una relación’’. Y en este aspecto elmapa es, según Russell, ‘‘superior al lenguaje’’ (Russell 1923).1 Estas afirmacio-nes dan ocasión a algunos comentarios. Sin duda, en la información gráfica la or-ganización espacial tiene un papel representacional, que cumple la función de lospredicados relacionales del lenguaje formal de la lógica. Por ejemplo, la relaciónde implicación entre conceptos o clases se representa en los diagramas de Eulermediante la un círculo inserto dentro de otro. Este aspecto espacial también estápresente en otro de los criterios ofrecidos por Shimojima, que distingue entre re-presentaciones bidimensionales y representaciones secuenciales. Sin embargo, haydiagramas que incluyen signos relacionales que se añaden a la estructura espacial.

La manifestación más clara y sistemática del conocimiento gráfico se da en elmarco de sistemas de inferencias que emplean diagramas, es decir, sistemas derazonamiento diagramático, que constituyen una tradición de peso en la historia dela lógica y la metodología de la matemática. En un sentido amplio, un diagrama esuna representación en un espacio de dos dimensiones. Estas relaciones tienen uncarácter geométrico o topológico. Por lo tanto, la idea de diagrama presupone un con-cepto de espacio. La siguiente caracterización intenta ser más exacta:

‘‘Un diagrama es un conjunto de objetos en el plano que denotan objetos en una si-tuación [una estructura], cuyas mutuas relaciones espaciales y gráficas denotan rela-ciones en aquella estructura’’ (Lemon & Pratt 1997).

En este nivel de generalidad, un diagrama puede estar constituido por enti-dades cualesquiera. No obstante, la representación es únicamente bidimensional,de modo que se excluye cosas como los modelos a escala. Su rasgo más peculiarreside en que las relaciones entre los objetos del diagrama representan o denotanrelaciones externas al diagrama mismo. En otras palabras, la estructura del diagra-ma pretende ser semejante a la estructura que el diagrama representa. Esta seme-janza estructural a veces se ha calificado como un isomorfismo entre el diagramay aquello que representa, o sea ambos comparten una misma estructura. En todocaso, con esta semejanza estructural se ponen de relieve las diferencias entre la re-presentación diagramático y la lingüística.

1 Las observaciones de Russell se dirigen claramente a la ‘‘teoría pictórica del lenguaje’’ de-sarrollada por Wittgenstein pocos años antes en el Tractatus.

CONOCIMIENTO GRÁFICO Y DIAGRAMAS DESDE LA PERSPECTIVA DE C. S. PEIRCE 53

La referencia a relaciones espaciales y gráficas sugiere la complejidad quepuede presentar la construcción de un diagrama en comparación con los signos deuna notación. Por ejemplo, son bien conocidas las dificultades de extender los dia-gramas de Venn a un número grande de términos. De hecho, estos diagramas sevuelven irrealizables desde el punto de vista gráfico, y esto aparece como una im-portante limitación para el razonamiento diagramático (aunque, por cierto, no ex-clusivo de este; las notaciones se enfrentan también con límites prácticos).Asimismo, la formulación exhaustiva de las reglas de construcción de diagramasexige explicitar relaciones y propiedades espaciales de las figuras, como el hechode estar arriba, o a la izquierda unas de otras. Comprender la naturaleza misma delos diagramas exige una enorme cantidad de presupuestos y limitaciones, que tor-nan difícil plasmar en ellos el ideal de precisión que guiaba la construcción delenguajes formales.

2. Diagramas en la teoría del signo de Peirce

La teoría del signo, o semiótica, de Peirce parte de la relación triádica entresignificante, significado e interpretante, mediante la cual se define el concepto designo. En palabras ya clásicas escribe Peirce en su Gramática especulativa:

‘‘Un signo, o representamen, es algo que está en lugar de algo para alguien en algúnrespecto o capacidad’’ (Peirce CP 2.228).

Es decir, hay una entidad que dado un interpretante (un sistema semiótico) re-fiere a otra entidad, de acuerdo con ciertas propiedades que presentan al objetomediante el signo. Por ejemplo, un diagrama de compuertas representa un circuitológico en relación con las operaciones booleanas que están en la base de estos cir-cuitos. De esta relación entre signo, referencia e interpretante resulta el proceso desemiosis, en el que el signo se constituye como tal.

Una de las clasificaciones de los signos distingue entre íconos, índices y sím-bolos (véase Peirce CP 2.247 y ss.). Para Peirce esta era ‘‘la más fundamental di-visión de los signos’’ (CP 2.275). Los diagramas caen dentro de la categoría deíconos y en ocasiones Peirce hace a ambos conceptos equivalentes. La idea que setiene de un ícono es, en general, la de un signo que se refiere a su objeto median-te una relación de similaridad. Para entender los rasgos distintivos de los diagra-mas en tanto íconos es indispensable aclarar con precisión en qué consiste estarelación de similaridad.

Peirce analizaba el concepto de ícono en el contexto de su aplicación a razo-namientos y este análisis parece indisoluble de la formulación de su sistema de ló-gica diagramática, los Gráficos Existenciales (Existential Graphs). De hecho, apartir del concepto de diagrama, Peirce elabora su concepción de la deducción(véase inter alia Legris 2012 y la bibliografía allí citada). Así, él llamaba


diagramática a toda forma de ‘‘razonamiento necesariamente válido’’ (es decir, ra-zonamientos deductivos; véase, por ejemplo, CP 4.431). En este marco, la deduc-ción consiste para Peirce en la construcción de un ícono o diagrama, cuyasrelaciones son análogas a las existentes en el ‘‘objeto del razonamiento’’. En el ca-pítulo segundo de su obra Gramática especulativa, Peirce describe este procesocomo la construcción del diagrama en la imaginación a la manera de un esque-leto o esbozo, donde se hacen las modificaciones requeridas por ‘‘el estado de co-sas hipotético’’ y se observa si el resultado concuerda con lo que se quiere deducir.Con este procedimiento se obtienen conclusiones que son ‘‘verdaderas de los sig-nos en todos los casos’’ (CP 2.227).

Por lo tanto, la función del ícono consiste, en este caso, en hacer visible (o‘‘visualizar’’) la estructura del razonamiento (y esto es algo que no es posible ha-cer en el lenguaje ordinario). En un pasaje de su obra The New Elements ofMathematics, Peirce afirma:

‘‘Un diagrama es un ícono de un conjunto de objetos racionalmente relacionados. […]El diagrama no sólo representa los correlatos vinculados, sino también, y de mane-ra mucho más definida, la relación entre ellos. […] El razonamiento necesario llevaa una conclusion evidente. ¿Qué es esta ‘evidencia’? Ella consiste en el hecho de quela verdad de la conclusión es percibida en toda su generalidad, y en la generalidaddel cómo y por qué la conclusión es percibida. […] Un rasgo extraordinario de losdiagramas es que ellos muestran […] que se sigue una consecuencia. […] De todosmodos, no es el diagrama-ícono estático que muestra directamente esto, sino el diagra-ma-ícono construido con una intención’’ (Peirce, NEM IV 316).

Así, la idea de Peirce acerca del carácter icónico de la deducción puede in-terpretarse en los términos siguientes. La relación de similaridad entre significantey significado que vale para el caso de los diagramas es la de una similaridad es-tructural; una similaridad exclusivamente entre las relaciones. El diagrama es unaestructura compleja que puede ser manipulada, de modo de hacer lo que Peirce lla-ma experimentos sobre ella. En estos experimentos se va determinando aquello quedetermina la construcción del diagrama. Es decir, al ver y manipular el diagrama,se aprende sobre las reglas de su construcción. De estas operaciones resulta unsigno que muestra información implícita en el diagrama. Se puede decir que se estáfrente a una forma operacional de iconicidad. En obras anteriores de Peirce ya seobservan aproximaciones a este concepto. En su conocido trabajo de 1885 sobreálgebra de la lógica puede leerse:

‘‘Todo razonamiento deductivo […] contiene un elemento de observación; es de-cir, la deducción consiste en construir un ícono o diagrama, la relación de cuyas par-tes presenta una completa analogía con la de las partes del objeto de razonamiento,en experimentar sobre esta imagen en la imaginación y en observar el resultado, demodo de descubrir relaciones no advertidas y ocultas entre las partes’’ (CP 5.165;3.363).


Tanto los diagramas como las expresiones del álgebra son íconos y los sis-temas construidos respectivamente en ambos casos realizan un análisis del procesode deducción en sus elementos básicos (véase CP 4.424).

Como consecuencia, también los sistemas semióticos del álgebra de la lógi-ca tienen un carácter icónico. La diferencia entre los signos algebraicos y los dia-gramas reside en que los aspectos icónicos son preponderantes en los diagramas;estos hacen visible la información lógica. Y este hecho es una ventaja que los dia-gramas tienen respecto de los signos del álgebra.

Para explicar mejor su funcionamiento, Peirce compara el empleo de diagra-mas en las ciencias formales con el uso de mapas en una campaña militar (PeirceCP 4.530): en el mapa se van señalando las diferentes ubicaciones posibles e hi-potéticas según los diferentes cursos o caminos alternativos que vaya tomando unabatalla. Así se entiende que los diagramas permitan hacer ‘‘experimentos’’, es de-cir manipular los diagramas de manera tal que sea posible visualizar las situacio-nes hipotéticas, y en este punto Peirce recurre a la analogía con los experimentosen química y física (loc. cit.). En estos casos los objetos de la investigación son es-tructuras físicas tales como estructuras moleculares y la experimentación conciernea las relaciones dentro y entre estructuras moleculares. En el caso de los diagra-mas lógicos, el objeto está constituido por la forma de una relación, y esta formade la relación es la misma que la que se da entre dos elementos del diagrama.

De acuerdo con esto, los procedimientos deductivos incluyen –en contra dela opinión usual– la experimentación sobre ‘‘imágenes en la imaginación’’, queson prima facie asimilables a los ‘‘estados de cosas hipotéticos’’ mencionados an-tes, y Peirce, en los New Elements enfatiza –con retórico entusiasmo– su impor-tancia:

‘‘¡El mejor pensamiento, especialmente sobre temas matemáticos, se hace experimen-tando en la imaginación sobre un diagrama u otro esquema!’’ (NEM 1, 122).

Ahora bien, la experimentación está conectada con la existencia de supues-tos o hipótesis en las demostraciones. Este hecho fue explícitamente analizado porPeirce en los New Elements, apelando a su distinción, que tiene sus raíces en la tra-dición euclídea, entre deducciones corolariales y teoremáticas (Peirce NEM IV p.38). Estas últimas son las que incluyen supuestos. En ellas ‘‘es necesario experi-mentar en la imaginación’’ para llegar a la conclusión. Más específicamente, enellas se introduce una ‘‘idea externa’’ que es eliminada una vez deducida la con-clusión (Peirce, NEM IV, p. 42). Por el contrario, en la deducciones corolarialesbasta ‘‘imaginar cualquier caso en que las premisas sean verdaderas’’ para obte-ner la conclusión. Peirce menciona en este contexto la proposición 16 del Libro Ide los Elementos, con el fin de mostrar los problemas que enfrentan las demostra-ciones teoremáticas (v. loc. cit.). Con estos procedimientos de observación y ma-nipulación de los diagramas se obtienen conclusiones que son ‘‘verdaderas de lossignos en todos los casos’’ (CP 2.227), esto es, verdaderas universalmente. Las


verdades en las ciencias formales surgen de esta experimentación en la imagina-ción que tiene como apoyo material a los diagramas. Esto lleva a suponer una cier-ta unidad metodológica de todas las ciencias, que rompe con algunos de loscriterios tradicionales para distinguir entre ciencias formales y ciencias fácticas.

Todo esto lleva a destacar el valor gnoseológico de los sistemas diagramá-ticos. A través de la manipulación de ellos y experimentando con diagramas, puedeconocerse acerca del objeto representado más de lo que establecen explícitamen-te las reglas de construcción del sistema, y por lo tanto ellos contienen una infor-mación implícita a la que se puede acceder.

En suma, Peirce ofrece en el marco de su teoría del signo una conceptualiza-ción rica y útil de lo que es un diagrama. Para Peirce los íconos son esencialmen-te signos que pueden ser manipulados con el fin de extraer información acerca desus denotados. Esta caracterización implica la observación de signos y también ac-ciones sobre estos. Hacia el final de su vida, Peirce desarrolló todas sus ideas so-bre diagramas en conexión con sus sistemas de Gráficos Existenciales para lalógica de enunciados, la lógica de predicados, la lógica modal y la lógica de or-den superior. Como es sabido, en los dos primeros casos desarrolló sistemas ade-cuados para la lógica clásica de primer orden (Véase, por ejemplo, Legris 2012).2

3. Iconicidad y espacio

Frederik Stjernfelt ha defendido con suficiente evidencia textual que paraPeirce los diagramas se caracterizan, en parte, por la iconicidad operacional an-tes descripta (véase Stjernfelt 2006). Como consecuencia, los signos del álgebra,los lenguajes formales y otros sistemas semióticos secuenciales son tambiéndiagramáticos. La manipulación de signos, incluyendo la idea peirceana de la ex-perimentación con ellos, es el núcleo de esta caracterización y esto lleva a que elconocimiento diagramático sea una forma de conocimiento simbólico, en el sen-tido de conocimiento por medio de manipulación de signos (véase Esquisabel2012). De acuerdo con esta interpretación, el aspecto espacial no sería esencial. Porejemplo, podría conjeturarse en este contexto que todo sistema diagramáticobidimensional puede traducirse a otro unidimensional y la conversa. Los rasgos es-paciales serían entonces secundarios y estarían ligados con las ventajas cognitivas(‘‘psicotécnicas’’) de la representación en dos dimensiones. Sobre esta base, po-dría reservarse el término ‘‘gráfico’’ para referirse a diagramas que emplean dosdimensiones.

Sin embargo, existe una concepción de la iconicidad que no puede obviar losaspectos espaciales, tal como se evidencia en la definición dada por Lemon y Pratt

2 En el caso de los dos últimos sistemas, la formulación fue tan solo parcial, véase al respectoRoberts 1973.


citada anteriormente y en la siguiente, debida al estudioso de la semiótica ThomasSebeok:

‘‘Se dice que un signo es icónico cuando existe una similaridad topológica entre unsignificante y sus denotados’’ (Sebeok 1976, pp. 117).

De este modo, se destaca que la semejanza estructural se presenta en térmi-nos espaciales, lo que vuelve a introducir en la discusión la bidimensionalidad pro-pia de los gráficos. Stjernfelt se refiere también a una iconicidad óptima como unsegundo concepto de iconicidad en Peirce, que contiene mayores requisitos y quepretende representar el objeto ‘‘tal como es’’ (véase Stjernfelt 2006, pp. 74 ss.).

En relación con sus Gráficos Existenciales, Peirce lleva a cabo un análisis depropiedades espaciales, esto es, topológicas, de modo que la concepción que Peircetenía de los sistemas diagramáticos prestaba especial atención a los aspectos es-paciales y el tratamiento formal de los diagramas fue realizado casi exclusivamenteen términos topológicos.

La topología es una disciplina que vio la luz prácticamente en vida de Peirce.Sus ideas sobre esta disciplina surgieron de la idea de una ‘‘geometría general’’y puede conjeturarse que esta disciplina debía interesarle por su posición metafí-sica acerca del continuo. A través de sus colegas Cayley y Silvester, Peirce tuvoacceso a la obra de Johann Benedict Listing Vorstudien zur Topologie de 1847. Enlos New Elements, Peirce ofrecía la siguiente caracterización:

‘‘La topología, o geometría tópica, es el estudio de la manera en la que se conectanintrínsecamente los lugares sin tomar en cuenta sus relaciones ópticas o métricas’’(Peirce 1895 NEM 2, p. 165).

Las propiedades topológicas son aquellas que se preservan cuando una figurageométrica es deformada en forma continua, esto es, sin que la deformación im-plique rupturas, separaciones o uniones. Por ejemplo, si un círculo se deforma,pierde algunas de sus propiedades geométricas, pero conservará la propiedadtopológica de ser una curva cerrada que no se interseca a sí misma. Así, estopológicamente relevante el exterior e interior de una curva, o que una línea seacerrada o abierta.

En la construcción de los propios Gráficos Existenciales, se hace uso de no-ciones topológicas. Una breve y rápida ilustración es la siguiente. En las primerasformulaciones del sistema Alpha para la lógica de enunciados, Peirce se ocupó pri-meramente de diagramar el condicional material como un ‘‘rizo’’ (scroll) por me-dio de una única línea continua, originando dos elipses en contacto, una dentro dela otra (véase Peirce MS 450, p. 14, cit en Roberts 1973, p. 34.) El diagrama ob-tenido era el siguiente


Peirce entendía estos rizos como formas de ‘‘cortes’’ (cuts) en la ‘‘hoja deaseveración’’, con la intención de representar el carácter hipotético del condicio-nal. La línea interior recibía el nombre de ‘‘lazo’’ (loop). De este modo un enun-ciado como ‘‘Si A, entonces B’’ quedaba diagramado en el sistema Alpha como

Fig. 1

Fig. 2

(véase Oostra 2010, de donde se adopta la terminología en castellano). Así, es sen-cillo diagramar cadenas de condicionales como ‘‘Si se da A, entonces, si B enton-ces C’’, en los que las líneas más exteriores remarcaban el papel de hipótesis quetenían A y B en el enunciado condicional.

Fig. 3

Sin embargo, esta representación conllevaba problemas en el desarrollo de lasreglas de derivación de Alpha y en la representación de equivalencias, especial-mente cuando se trata de representar negaciones. Piénsese que en la lógica clási-ca un enunciado condicional ‘‘Si A, entonces B’’ es equivalente con el enunciado‘‘No se da que A y no B’’. Peirce representaba la negación con cortes simples enla hoja de aseveración, esto es

Fig. 4


Ahora bien, según esto, la representación diagramática de ‘‘No se da que Ay no B’’ resulta ser:

Fig. 5

Esta representación no es topológicamente la misma que la del condicionalde la figura 2, pues el lazo interior aparece separado de la línea exterior. Esto con-dujo a Peirce a no diagramar el condicional usando una única línea continua, sinocomo dos cortes anidados, de modo que la representación diagramática fuera lamisma para ambos enunciados equivalentes. Por lo tanto, en los Gráficos Existen-ciales hay una regla topológica (implícita), según la cual no es relevante el hechode que una línea interior esté en contacto con una línea exterior, y que establecela equivalencia entre los dos gráficos de las figuras 2 y 5 respectivamente.3

Este no es el único presupuesto topológico en los Gráficos Existenciales. Al-gunos tienen que ver con gráficos continuamente menguantes (shrinking) o con loscontactos entre líneas. También las reglas para transformar gráficos determinancambios exclusivamente en el interior o exterior de un gráfico, según el caso. Estopone en evidencia que las propiedades espaciales son esenciales en el sistema delos Gráficos Existenciales.

En suma, la idea de una iconicidad operacional es muy útil para elucidar la ideade semejanza estructural y establecer relaciones entre sistemas diagramáticos con no-taciones ‘‘secuenciales’’ o ‘‘unidimensionales’’. No obstante, esta idea debe sercomplementada con consideraciones topológicas, pues algunas relaciones son repre-sentadas por medio de relaciones en un espacio de dos dimensiones en el caso de undiagrama. Esto significa que los cambios en el espacio bidimensional resultantes dela manipulación de signos son también informativos. En este punto es donde la re-presentación diagramática diverge de las notaciones. Cabe observar, para concluir,la actualidad de las observaciones hechas por Russell hace casi un siglo.

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3 La ausencia de esa regla sugiere que la figura 2 corresponde a un condicional no clásico (dehecho, un antecesor del que entendemos actualmente como el condicional intuicionista. Al respec-to, véase Oostra 2010).


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CONOCIMIENTO SIMBÓLICO Y CONOCIMIENTO GRÁFICOEN VENN*

BRUNO RAMOS MENDONÇA

Universidade Federal de Santa [email protected]

1. Introducción

La distinción entre gráfico y lingüístico (simbólico) se ha convertido, en laliteratura filosófica reciente, en un importante problema. En la filosofía de las cien-cias formales, se procura evaluar la medida en que los métodos gráficos y lingüís-ticos de representación y prueba son comparables. Esa investigación se interesa porevaluar, en primer lugar, cuales son los recursos representacionales que están enjuego en métodos gráficos y lingüísticos, y, en segundo lugar, cuales son las ven-tajas epistemológicas específicas a obtenerse con el uso de esos métodos en prue-bas lógicas y matemáticas. El trabajo que aquí presentamos ofrece una modestacontribución a esa investigación filosófica. A fin de evaluar las ventajas epistemo-lógicas relativas a los métodos gráficos y lingüísticos de prueba, analizaremos uncaso histórico importante: examinaremos el papel que cumplen un método simbó-lico y un método gráfico de prueba en la obra lógica de Venn, Symbolic Logic(1881; 1894). El método gráfico a ser analizado son los diagramas de Venn, y elmétodo simbólico a examinar es su álgebra de la lógica. Venn es un importante re-presentante de la tradición del siglo XIX de álgebra de la lógica, tradición pione-ra en el desarrollo de la moderna lógica matemática. Esa exposición está divididaen dos secciones. En la primera sección, presentamos los diagramas de Venn y suálgebra de la lógica. En la segunda sección, examinamos el papel que el álgebrade la lógica y los diagramas de Venn cumplen en su proyecto lógico.

2. El Álgebra de La Lógica y Los Diagramas de Venn

La tradición del álgebra de la lógica del siglo XIX empezó a desarrollarse sis-

* Ese trabajo es resultado de la investigación de maestría desarrollada en el periodo de marzode 2011 a marzo de 2013. Agradezco al proyecto CAFP-BA 042/12, SPU/Argentina y CAPES/Bra-sil por el financiamiento de una beca que hizo posible esta contribución.


temáticamente a partir del proyecto de Boole de simbolización de la lógica (aun-que se pueda encontrar alguna anticipación de esa tradición en los escritos deLeibniz y otros autores (cf. Hailperin, 2000a). La propuesta de Boole, que se con-virtió en un paradigma para los demás representantes de la tradición, sufrió undrástico cambio en los desarrollos posteriores. Así, algebristas de la lógica talescomo Jevons, Schroeder y Peirce entre otros modificaron la propuesta original deBoole, construyendo sistemas de álgebra de la lógica mejores bajo diversos aspec-tos.1 En el interior de tal tradición, Venn ocupa una posición bastante moderada.En Venn (1881; 1894) se presenta un álgebra de la lógica en moldes muy seme-jantes a los del álgebra de Boole (aunque no idénticos, como examinaremos ade-lante).

Un álgebra de la lógica consiste en un método de representación lógica apartir del uso del simbolismo algébrico. En el álgebra de la lógica de Venn las pro-posiciones son formalizadas como ecuaciones o inecuaciones. Así, en ese sistemade lógica, toda proposición se remite a una de las siguientes estructuras generales:

a = b, o a > b‘‘a’’ y ‘‘b’’ representan términos generales para clases (Venn, 1894, p. 35).

En especial, podemos sustituir ‘‘a’’ y ‘‘b’’ por los valores ‘‘0’’ y ‘‘1’’ que signi-fican, respectivamente, la clase vacía y la clase universal (Venn, 1894, p. 63).2 Po-demos representar proposiciones categóricas universales en el siguiente modo:

a . b = 0 (Ningún A es B)a . no-b = 0 (Todo A es B)no-a . b = 0 (Todo B es A)a . no- (b . c) = 0 (Todo A es BC)

Notemos que, en ese sistema de lógica, concebimos las operaciones lógicascomo siendo aplicables a términos que generan como resultado nuevos términos(términos complejos). Ese modo de concebir las operaciones lógicas permite, inclu-so, la expresión de proposiciones categóricas no previstas en la silogística tradicio-nal: por ejemplo, de ese modo, podemos expresar la cuarta forma proposicional dela lista anterior.

En el álgebra de la lógica de Venn, representamos las operaciones lógicas através de operaciones algébricas. De ese modo, representamos la operación lógi-ca de conjunción a partir de la operación algébrica de multiplicación «.»; del mis-mo modo, representamos la operación de disyunción a través de la operaciónalgébrica de suma ‘‘+’’. Además, representamos la operación lógico-conjuntistade diferencia a través de la operación algébrica de sustracción ‘‘–’’; finalmente,representamos una cuarta operación lógica, inversa a la operación de conjunción,

1 Cabe notar que el sistema algébrico hoy conocido como ‘‘álgebra booleana’’ no es la propues-ta original de Boole, consistiendo más bien en una modificación introducida por otros algebristas dela lógica. cf. Hailperin, 2000b.

2 El álgebra de la lógica de Venn satisface incluso una interpretación proposicional. Por razo-nes de espacio, de esa interpretación no trataremos en el presente contexto.

CONOCIMIENTO SIMBÓLICO Y CONOCIMIENTO GRÁFICO EN VENN 63

a través de la operación algébrica de división ‘‘/’’. Naturalmente, un álgebra de lalógica de esta clase permite no sólo representar la forma de proposiciones sinotambién efectuar inferencias. Ahora bien, el proceso deductivo ofrecido por esesistema de lógica depende del recurso a propiedades formales de las operacionesalgébricas arriba especificadas y consiste en la resolución de conjuntos de ecua-ciones e inecuaciones.

El álgebra de la lógica de Venn ofrece incluso modos alternativos de repre-sentación de las proposiciones universales. Podemos representar las proposicionesuniversales del siguiente modo:

(a . no-b) + (no-a . b) + (no-a . no-b) = 1 (Ningún A es B)(no-a . no-b) + (a . no-b) + (a . b) = 1 (Todo B es A)(no-a . no-b) + (no-a . b) + (a . b) = 1 (Todo A es B)(no-a . b) + (a . no-b) + (a . b) = 1 (Todo no A es B)

Finalmente, podemos representar las proposiciones universales con el uso delsímbolo especial ‘‘0/0’’. Ese símbolo significa la división lógica (operación inver-sa de la conjunción a la cual aludimos arriba) de la clase vacía por sí misma. Enel álgebra de la lógica de Venn, el símbolo ‘‘0/0’’ designa una clase cuya exten-sión es indefinida. Podemos representar una proposición de la forma ‘‘Todo A esB’’ con la siguiente ecuación:

a = 0/0 . bTal ecuación significa ‘‘la extensión de la clase A es igual a una parte inde-

finida de la extensión de la clase B’’. La formalización de proposiciones particu-lares se presenta como un problema especial en la tradición del álgebra de la lógicadel siglo XIX. Boole formaliza proposiciones particulares a través de ecuaciones.Así, el álgebra de la lógica de Boole representa una proposición de la forma ‘‘Al-gún A es B’’ a partir de la siguiente ecuación:

a . b = uEn esa ecuación, ‘‘u’’ designa una clase de extensión parcialmente indefini-

da, i.e., una clase que posee al menos un miembro. Pero esa manera de formali-zar proposiciones particulares tiene problemas: por ejemplo, considérese laformalización del argumento ‘‘Existe A; Existe B; Luego, A es idéntico a B’’:

a = ub = ua = b

Por el ejemplo anterior, se puede ver qué ese modo de formalización no eslógicamente correcto, pues atribuye validez a argumentos que no son válidos(Kneale, 1948). A pesar de esas dificultades, Venn (1881) adopta ese modelo deformalización de las proposiciones particulares. No obstante, posteriormente, Venn(1894) cambia de idea y pasa a representar proposiciones categóricas a través deinecuaciones. Así, Venn pasa a simbolizar del siguiente modo proposiciones de laforma ‘‘Algún A es B’:

a . b > 0


En Symbolic Logic (1881; 1894) se presentan los diagramas de Venn comosustitutos de los diagramas de Euler. Venn argumenta que sus diagramas ofrecen unarepresentación lógica más eficiente que la obtenida con diagramas de Euler. Bási-camente, su crítica se focaliza en la incapacidad de los diagramas de Euler de repre-sentar porciones parciales de información. Podemos constatar ese defecto de losdiagramas de Euler considerando, por ejemplo, que, tal como se muestra en la Fi-gura 1 abajo ese sistema diagramático no es capaz de representar, con un único dia-grama, una proposición categórica de la forma ‘‘Todo A es B’’ (cf. Bernhard, 2006).

Venn constata que los diagramas de Euler poseen ese defecto porque no di-ferencian dos niveles de representación lógica, es decir, el nivel de representaciónde los términos y el nivel de representación de las proposiciones. Los diagramasde Venn, a su vez, representan la forma lógica en dos niveles. En el primer nivel,el nivel de representación de los términos, los diagramas de Venn representan tér-minos con la inserción de círculos en la pizarra de dibujo. El área interna de cadacírculo representa un término, mientras que su área externa representa su comple-mento.3 Cada uno de los círculos se superpone parcialmente con todos los restan-tes. De esa forma, los diagramas de Venn permiten representar todas las relacioneslógicas posibles que cierto número de términos puede mantener entre si.

Figura 1: Representación de ‘‘Todo A es B’’ por diagramas de Euler.

3 El área total de la pizarra de dibujo también significa una clase, es decir, el área total de lapizarra significa la clase universal.

Vemos aquí la diferencia fundamental entre los diagramas de Venn y los deEuler: el diagrama de la Figura 2 abajo, en el cuadro de los diagramas de Venn,representa todas las relaciones posibles entre los términos, pero el mismo diagra-ma, en el cuadro de los diagramas de Euler, representa relaciones actuales entredos términos. En los diagramas de Venn, representamos las relaciones actualesentre dos términos con la inserción de signos especiales en las áreas del diagrama.


Así, representamos proposiciones universales con la inserción de sombreados enáreas específicas del diagrama, tal como en la Figura 3 abajo. El sombreado sig-nifica inexistencia. Por otro lado, representamos proposiciones particulares con lainserción del signo ‘‘x’’ en áreas específicas del diagrama. El signo ‘‘x’’ signifi-ca existencia4.

Figura 2: Diagrama de Venn representando dos términos, ‘‘A’’ y ‘‘B’’.

Además, la mayor eficiencia de la representación lógica mediante diagramasde Venn frente a la representación por diagramas de Euler se revela en los méto-dos deductivos que esos sistemas gráficos proporcionan. La prueba de validez deun argumento por diagramas de Euler depende de un examen de casos. Los dia-gramas de Venn, por otro lado, permiten evaluar la validez de argumentos a par-tir del examen de un único diagrama.

Figura 3: Diagrama de Venn representando ‘‘Todo A es B’’.

4 La notación ‘‘X’’ para la representación de proposiciones particulares no fue introducida por Venn.Venn (1894, pp. 131-2) marca tales proposiciones con la inserción de numerales en el área del diagrama.


3. Métodos Gráficos y Lingüísticos en La Lógica de Venn

El examen de la literatura reciente sobre la distinción entre métodos de repre-sentación gráficos y lingüísticos muestra un resultado importante para el trabajo queaquí desarrollamos. Esquisabel (2012), a partir del análisis historiográfico de escritosde Leibniz, sistematiza las diferentes funciones del conocimiento simbólico. Así,Esquisabel muestra que el conocimiento simbólico está vinculado, en primer lugar,con el desempeño de la función subrogativa: el conocimiento simbólico es conoci-miento que obtenemos sobre un dominio cualquier de objetos sin inspeccionar di-rectamente los objetos estudiados. El conocimiento simbólico puede cumplir esafunción porque, a su vez, está asociado a otras funciones epistemológicas. Así, elconocimiento simbólico cumple una función operativa, pues descubrimos verdadesacerca del dominio estudiado calculando con los símbolos. Por otra parte, el cono-cimiento simbólico cumple una función ectética, pues sus símbolos dejan visualizar,en sus estructuras gráficas, propiedades de los objetos estudiados. Por último, elconocimiento simbólico cumple una función heurística, pues sugiere extensiones delconocimiento acerca del dominio de estudios, y cumple también una funciónpsicotécnica, pues facilita la obtención del conocimiento.

Ahora, podemos extender la sistematización de Esquisabel de las funcionesdel conocimiento simbólico más allá del terreno de los símbolos e intentar expli-car el papel epistemológico que los diagramas cumplen en la representación lógica.Por ejemplo, es posible mostrar que los diagramas de Venn cumplen funciónoperativa (cf. Sautter, 2010). De ese modo, podemos sustentar que no hay unaestricta distinción entre métodos gráficos y métodos lingüísticos de representación.Como mucho, hay una diferencia de grado entre gráfico y lingüístico, o sea, haymétodos más o menos gráficos, más o menos simbólicos. Sin embargo tal vez seaposible decir que algunas funciones epistemológicas son más propiamente gráfi-cas, mientras que otras son más propiamente lingüísticas. Así, es posible propo-ner que la función ectética sea más propia de los métodos gráficos. Obtenemos unasugestión en ese sentido a través de análisis del papel que los métodos gráficos ymétodos simbólicos cumplen en la lógica de Venn.

En Symbolic Logic (1881; 1894), el álgebra de la lógica apunta a un fin prag-mático: se desea construir un sistema de lógica que permita realizar inferencias apartir de un conjunto cualquiera de premisas. Ese objetivo revela que, según Venn,el álgebra de la lógica está íntimamente conectada con la función operativa. Sinembargo hay una disputa interna en la tradición del álgebra de la lógica del sigloXIX sobre el modo en que el simbolismo algébrico debe cumplir la funciónsubrogativa. Lassalle Casanave (2012) reconoce tres concepciones sobre el modoen que el conocimiento simbólico puede satisfacer la función subrogativa. En pri-mer lugar, se puede concebir que el conocimiento simbólico cumple estrictamentela función subrogativa. En ese sentido, se concibe que cada elemento del


simbolismo representa un elemento del dominio de estudios. En segundo lugar, elconocimiento simbólico puede ser una extensión conservativa del dominio de es-tudios. En ese caso, se concibe que ciertos elementos del simbolismo representanelementos del dominio de estudios, mientras que otros elementos del simbolismono representan elementos del dominio de estudios. Los elementos simbólicos queno representan elementos del dominio de estudio son considerados elementos idea-les, o sea, elementos eliminables sin pérdida de resultados sobre el dominio deestudios. Por fin, se puede concebir el conocimiento simbólico como subrogaciónde estructuras formales. En ese caso, no se supone que el simbolismo representecualquier dominio específico de estudio, sino que, más bien, representa estructu-ras formales que pueden o no subyacer a un dominio cualquier de estudios.

Ahora bien, Boole y Venn encararon críticas sobre el modo en que susálgebras de la lógica cumplen la función subrogativa. Así, Jevons critica que enel álgebra de la lógica de Boole se haga uso de elementos simbólicos que no re-presentan elementos lógicos (Halsted, 1878). Tal crítica apunta a diversos aspec-tos del álgebra de la lógica de Boole, pero su foco principal es el reconocimientode la operación de división lógica. Según esa crítica, es incorrecto atribuir signi-ficado lógico al símbolo algébrico de división ‘‘/’’. Puesto que la división lógicaestá también presente en el álgebra de la lógica de Venn, las críticas que Jevonsdirige al álgebra de la lógica de Boole valen también para Venn. Boole y Venncontestan de forma diferente a esas críticas. Boole busca legitimar el carácter deextensión conservativa de su álgebra de la lógica, i.e., el reconoce que su sistemade lógica hace uso de elementos ideales, pero argumenta que tal uso es legítimoen la medida en que tales elementos son eliminables del sistema (Van Evra, 2000).Venn, por su parte, busca mostrar que su álgebra de la lógica, aun reconociendola operación de división lógica, subroga estrictamente su dominio de estudios. Porconsiguiente, Venn busca mostrar que hay una operación de división lógica.

La principal objeción al reconocimiento de la operación de división lógica sedebe a que su aplicación ofrece, como resultado, clases con extensión indefinida.Por lo tanto, con la intención de mostrar que hay una operación de división lógi-ca, Venn necesita argumentar que hay un sentido de ‘‘extensión indefinida’’ ló-gicamente aceptable. Una clase con extensión indefinida es una clase de la cual nose puede decir si posee uno, varios o ningún miembro. En la tradición del álgebrade la lógica, se argumentó que no pueden existir clases con ese tipo de extensión.Ahora bien, Venn está de acuerdo en ese punto: de hecho las clases no puedenposeer extensión realmente indefinida, sin embargo es posible decir de una claseque su extensión es epistemológicamente indefinida. En tal caso, aunque la claseposea extensión definida, nosotros no podemos decir cuál es su extensión. Así,Venn entiende no sólo que es posible atribuir significado lógico a la noción epis-temológica de extensión indefinida, sino que, incluso, piensa que es necesariohacerlo para obtener una buena formalización lógica. Esa necesidad es aclarada através de los diagramas de Venn.


En efecto, si Venn concibe el álgebra de la lógica como instrumento paraefectuar cálculos lógicos, su sistema diagramático consiste en una ‘‘ilustración sen-sible de las relaciones entre términos y proposiciones’’ [sensible illustration of therelations of terms and propositions to each other] (Venn, 1894, p. 110. Nuestratraducción). En especial, los diagramas permiten visualizar el significado de lanoción epistemológica de extensión indefinida. Siendo esto así, veamos nueva-mente el diagrama de Venn presentado en la Figura 3 arriba en el cual se repre-senta proposiciones de la forma ‘‘Todo A es B’’: en ese diagrama, simbolizamos,a través del uso de sombreados, que no existen As que no son Bs; no obstante, enel mismo diagrama, representamos también que no sabemos si existen As que sonBs, así como también representamos que no sabemos si existe Bs que no son As.Las informaciones sobre lo que no sabemos acerca de la extensión de los térmi-nos involucrados son representadas por la ausencia de signos en áreas específicasdel diagrama. Además, la comparación entre diagramas de Venn y de Euler revelaque la noción epistemológica de extensión indefinida es esencial para una buenaformalización lógica. Los diagramas de Euler no pueden representar porcionesparciales de información porque no pueden expresar el desconocimiento de la realextensión de las clases involucradas en la proposición.

4. Conclusión

En ese trabajo, verificamos que el algebra de la lógica y los diagramas deVenn cumplen papeles distintos en su proyecto lógico. En primer lugar, vemos queVenn concibe el álgebra de la lógica como un potente instrumento deductivo. Sinembargo el significado lógico de ciertos elementos de ese sistema simbólico no esclaro. En ese punto gana importancia, en su proyecto lógico, los diagramas deVenn. Así, vemos que Venn concibe su sistema diagramático meramente como unmedio de visualización del significado lógico del sistema algébrico. De este exa-men, podemos extraer conclusiones sobre la manera en que los métodos gráficosy lingüísticos de representación son concebidos en el proyecto lógico de Venn.Claro está que, para Venn, ambos sistemas de representación subrogan estricta-mente el dominio de la lógica. Por otro lado, vemos que, según Venn, la funciónoperativa está más presente en su álgebra de la lógica, mientras que su sistemadiagramático satisface mejor la función ectética.

Estudios recientes sobre el tema de la distinción entre gráfico y lingüísticoparecen corroborar los resultados que aquí se han obtenido. Una importante tra-dición reciente de investigación sugiere que los gráficos son más visuales que lossímbolos (cf. Shimojima, 2001, pp. 12-14).5 De todos modos, los resultados a que

5 Esa tradición vincula la supuesta mayor capacidad visual de los gráficos a cierta noción desemejanza estructural. El trabajo acá desarrollado no corrobora ni refuta tal hipótesis. Para un aná-lisis más crítico de esa tesis, cf. Schultz, 2010; 2012.


se llegó aquí indican, por otro lado, que, en lo que respecta a las demás funcionesepistemológicas de los signos, las representaciones gráficas están subordinadas alas representaciones simbólicas. Asimismo, Venn insinúa que sus diagramas sonsistemas deductivos inferiores al álgebra de la lógica. Sin embargo, es necesariotener en cuenta que es justo dudar que, aun en el interior de la tradición de álge-bra de la lógica del siglo XIX, siempre se haya concebido los gráficos en una si-tuación de subordinación respecto de los símbolos.

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UN TEMA DE HILBERT Y ACKERMANNFORMAS NORMALES PARA LA PRUEBA DE VALIDEZ*

FRANK THOMAS SAUTTER

Universidade Federal de Santa [email protected]

1. Introducción

En Sautter (2012b) presenté un nuevo método diagramático de decisión parala silogística categórica sin presupuestos existenciales: los Grafos de Carroll. Enel XV Colóquio Conesul de Filosofia das Ciências Formais, cuando el método fuepresentado por primera vez, Marco Panza observó que el funcionamiento de losGrafos de Carroll pertenece a una diferente clase de aquella a la cual correspon-den las operaciones de otros métodos diagramáticos, tales como los Diagramas deVenn, e incluso, los Diagramas Triliterales de Carroll. La característica distintiva,en relación con otros métodos, es el carácter saliente de las representaciones grá-ficas de las proposiciones, es decir, que no existe superposición de representacio-nes gráficas de las distintas proposiciones. Esta característica distintiva permite laevaluación de la validez o invalidez de los silogismos a través de inspección vi-sual, es decir, por medio de la observación de la mera presencia y la disposiciónde determinadas representaciones gráficas, sin que sea necesaria ninguna opera-ción adicional con las figuras.

El objetivo de este trabajo es presentar un ‘‘nuevo’’ método de decisión parala Lógica Proposicional Clásica, en la cual la determinación de validez o invali-dez de un argumento se daría también por inspección visual y, además, estafuncionalidad es consecuencia del carácter destacado de las representaciones delas proposiciones.

El método es importante para la discusión de dos temas relativos al conoci-miento gráfico y sus relaciones con el conocimiento propiamente simbólico. Enprimer lugar, el problema de la demarcación entre lo propiamente simbólico y lográfico. Mediante el uso de símbolos, pero manipulándolo como figuras, el método

* Una versión inicial de este trabajo fue presentada en el XVI Colóquio Conesul de Filosofiadas Ciências Formais: Teoria dos Conjuntos / Mereologia, realizado en Santa María (Brasil), entreel 06 y el 10 de noviembre de 2012. Agradezco a Horacio Héctor Mercau por la traducción del tex-to al castellano.


es, en sí mismo, un argumento a favor de la tesis de una diferencia de grado y node naturaleza, entre el conocimiento propiamente simbólico y el conocimientográfico. En el trabajo ‘‘Linear K’’ (Sautter, 2012a) presente un método de deci-sión para la silogística con esa misma característica, haciendo uso de un métodosimilar desarrollado por Charles Sanders Peirce. En segundo lugar, aunque la ca-racterística sinóptica se presenta generalmente como la virtud principal de los mé-todos gráficos frente a los métodos estrictamente simbólicos, varios métodosdiagramáticos tienen una mejor capacidad para presentar nociones lógicas en tér-minos de piezas de información antes que en términos de verdad. El método pro-puesto aquí acentúa primordialmente esa característica debido al carácterdestacado de las representaciones de las proposiciones. Esta característica es quizásaún más importante, al menos en términos fundacionales, que el carácter sinópti-co de los métodos gráficos.

Excepto por una pequeña diferencia en la caracterización de las formas nor-males conyuntivas y disyuntivas, y mediante el uso de una base semántica distinta,el método aquí propuesto ya fue empleado en el §8 de Gründzuge der Theoreti-schen Logik, de Hilbert y Ackermann (1928). En realidad, este procedimiento noes más eficaz que los métodos conocidos, sino que es más ineficaz que la mayo-ría de los otros métodos. Sin embargo, la principal motivación para su desarrolloes el restablecimiento de la utilización de la noción de información como unanoción semántica primitiva y la equiparación de validez de un argumento con lano ampliación de la información transmitida por sus premisas.

2. Mereologia de la Fórmula y Mereologia de la Información de la Fórmula

Voy a comenzar con una comparación entre una relación sintáctica y una re-lación semántica.

La relación sintáctica entre una fórmula y sus subfórmulas es tal que las partesson subfórmulas, en sentido mereológico, de la fórmula, es decir, el predicado Fxy–x es una subfórmula de y– satisface las siguientes condiciones:

• (Reflexividad) �x Fxx;• (Transitividad) �x �y �z [(Fxy ∧ Fyz) → Fxz] ;• (Antisimetría) �x �y [(Fxy ∧ Fyx) → x=y].

Por otra parte, las subfórmulas de una fórmula son partes destacadas de ella,dicho de otro modo, la inspección visual de una fórmula proporciona sussubfórmulas componente.

A su vez, la información transmitida por las subfórmulas de una fórmula noson, en general, partes de la información transmitida por la fórmula, en sentidomereológico. Por ejemplo, la información transmitida por p y la información trans-

UN TEMA DE HILBERT Y ACKERMANN: FORMAS NORMALES PARA LA PRUEBA DE VALIDEZ 73

mitida por q, donde p y q no son lógicamente equivalentes, no son partes de la in-formación transmitida por p ∨ q. Por otra parte, la conyunción es tal que la infor-mación transmitida por p y la información transmitida por q son, ambas, partes dela información que transmite p ∧ q. Esta característica única de la conyunción escrucial en el método de decisión que aquí se propone, el cual se rige por inspec-ción visual.

3. La lógica basada en la Mereología

¿Cómo, exactamente, las proposiciones se relacionan con la informacióntransmitida por ellas? Esta relación se puede expresar por la siguiente medida re-lativa: la información transmitida por la proposición p es una parte, en sentidomereológico, de la información transmitida por la proposición q si y sólo si p esuna consecuencia lógica de q.

Las proposiciones lógicamente equivalentes transmiten la misma informa-ción. Por lo tanto, cuando se trata de la información transmitida por p, por ejem-plo, estamos tratando la información transmitida por todas las proposiciones quepertenecen a la clase de equivalencia de p. En consecuencia, la información trans-mitida por una tautología es lo mínimo es decir, la información transmitida poruna tautología, la información nula, es parte de cualquier información transmiti-da por las proposiciones. Del mismo modo, la información transmitida por unacontradicción es lo máximo es decir, cualquier información transmitida por las pro-posiciones es parte de la información transmitida por una contradicción, la infor-mación total. Lo mínimo es un átomo mereológico, es decir, no tiene sus propiaspartes. Si hay una cantidad numerable de proposiciones, cada cual lógicamenteindependiente de las demás, es trivial obtener, para cada proposición no tautoló-gica dada, una proposición más débil: la disyunción entre la proposición y una pro-posición independiente es más débil que la proposición, es decir, que la disyunciónes una consecuencia lógica de la proposición original, pero no viceversa, en cuyocaso la información de toda proposición no tautológica está constituida por el áto-mo y por material viscoso (gunk, en la terminología introducida por David Lewis,es decir, un todo mereológico inseparable en átomos mereológicos). La presenciae, incluso, el predominio del material viscoso no son relevantes en el presente con-texto, ya que, según el método que aquí se propone, para cada argumento hay áto-mos relativos al argumento, es decir, las proposiciones de un argumento son talesque las informaciones por ellas transmitida se componen por determinada recopi-lación de información –los átomos en relación con el argumento– de tal maneraque la composición interna de estos átomos en relación con el argumento es irre-levante para la prueba de validez.

La definición general de argumento (deductivamente) válido, expresada entérminos mereológicos e informativos, es la siguiente: un argumento es válido si,


y sólo si, la información transmitida por la conclusión es una parte, propia o im-propia, de la fusión de las informaciones transmitidas por las premisas.

4. El método de Decisión

El método hace uso de una característica de la Lógica Proposicional Clásicaque no se encuentra, por ejemplo, en la Lógica Cuantificacional Clásica: para cadaproposición hay una proposición lógicamente equivalente en forma normal con-yuntiva y una proposición lógicamente equivalente en forma normal disyuntiva.La forma normal conyuntiva tal como la utilizan Hilbert y Ackermann, y tal comose emplea por lo general, admite que un conyunto contenga una ocurrencia afir-mativa de un literal1, por ejemplo, p, y contenga una ocurrencia negativa del mis-mo literal, por ejemplo, ¬ p; en cuyo caso el conyunto es lógicamente equivalentea la constante lógica verdadera y puede ser eliminada. Del mismo modo, la for-ma normal disyuntiva, tal como se emplea por lo general, admite que un disyuntocontenga una ocurrencia afirmativa de un literal y una ocurrencia negativa delmismo literal; en este caso, el disyunto es lógicamente equivalente a la constantelógica falsa y también puede ser eliminado. Empleo las formas normales disyun-tiva y conyuntiva modificadas, de manera que estos usos ‘‘dobles’’ de literales noestén permitidos. Por lo tanto, se da la pérdida de universalidad para las formasnormales conyuntivas y disyuntivas: no hay forma normal conyuntiva para unatautología y no hay forma normal disyuntiva para una contradicción. Esto, sin em-bargo, no es un problema en el método desarrollado aquí porque el reconocimientode tautologías se puede realizar fácilmente con la ayuda de la forma normaldisyuntiva, y el reconocimiento de contradicciones se puede realizar sencillamentecon la ayuda de la forma normal conyuntiva. Este cambio en las nociones de for-ma normal conyuntiva y disyuntiva no es algo antojadizo, sino que está determi-nado por el enfoque informacional aquí adoptado: las ‘‘duplicidades’’ de literalesno tienen sentido desde el punto de vista de la información.

La Figura 1 –que se encuentra en la página siguiente– muestra el diagramade flujo del método de decisión.

El primer paso consiste en colocar la conclusión en forma normal disyunti-va (modificada), si esto es posible, pues si la conclusión fuera una contradicción,ello no se podría hacer.

El segundo paso consiste en probar esta forma normal disyuntiva (modifica-da) en cuanto a la tautologicidad. Si la conclusión es una tautología, el argumen-to es válido, ya que una tautología no transmite ninguna información y, por lotanto, ciertamente no habrá ampliación de la información proporcionada por laspremisas. Si la conclusión no es una tautología, aplicamos el tercer paso.

1 Se define literal a cada ocurrencia de una variable (afirmada o negada) en una expresión lógica.


Figura 1. Diagrama de flujo del método de decisión.


El tercer paso consiste en colocar las premisas y la conclusión en forma nor-mal conyuntiva completa (modificada) relativa a los átomos del argumento. En elsegundo paso encontramos una garantía de que esto se puede hacer con respectoa la conclusión. Si una premisa no se puede colocar en forma normal conyuntivacompleta (modificada), por ser una tautología, ella puede ser ignorada, porque unatautología no transmite ninguna información y, por lo tanto, no es relevante parala prueba de la no ampliación de las informaciones transmitidas por las premisas.

En el tercer paso, para que se obtengan formas normales completas, el requi-sito radica en que se puedan articular adecuadamente las conexiones internas delas proposiciones, las conexiones entre las premisas, y de estas con la conclusión.Por ejemplo, el Modus Ponendo Ponens en forma normal conyuntiva, pero no enforma normal conyuntiva completa, se expresa como {¬P ∨ Q, P} |= Q, en el casode que no se perciba la contribución de la premisa P para la conclusión. Colocar-lo en la forma normal completa consiste en operar la siguiente transformación {¬P∨ Q, P ∨ (Q ∧ ¬Q)} |= Q ∨ (P ∧ ¬P), que resulta en {¬P ∨ Q, (P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q)}|= (P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q), en la cual se perciben claramente las conexiones, tanto in-ternas como entre las proposiciones (Ver en la Figura 2, el detalle de las conexio-nes informativas en Modus Ponendo Ponens).

El cuarto paso es para probar si cada conjuntivo de la conclusión es tambiénun conjuntivo de al menos una premisa. Si es así, el argumento es válido, si no, esinválido. Este cuarto paso descansa en el carácter único de la conyunción: la in-formación transmitida por los conyuntos son partes mereológicas de la informa-ción transmitida por la conyunción y, por otra parte, ellas juntas agotan lainformación transmitida por la conyunción.

Una pregunta interesante es la siguiente: ¿pueden los últimos pasos del mé-todo caracterizarse adecuadamente como procedimientos sobre las figuras, aunqueel objeto de los procedimientos sean proposiciones?

La Figura 2 muestra un ejemplo de aplicación del método usando un argu-mento válido, el Modus Ponendo Ponens. Los elementos de información de la con-clusión están identificados por un trapecio y un rectángulo alrededor de lasproposiciones que las transmiten, y cuya fusión corresponde al total de la infor-mación transmitida por la conclusión, estando cada una transmitida por una pre-misa. El argumento no sólo es válido, sino que además, cada premisa contribuyede manera esencial a su validez.

La Figura 3 muestra un ejemplo de aplicación del método a un argumento in-válido, la Falacia de Negación del Antecedente. Una parte de información de laconclusión, que queda identificada por un trapecio sombreado alrededor de la pro-posición que transmite, no es transmitida por ninguna premisa. No sólo el argu-mento es inválido, sino que, además, la primera premisa no contribuye en nada asu validez.

Hilbert y Ackermann, en un trabajo anteriormente citado, utilizan un méto-do similar para probar la validez e invalidez de los argumentos, obtener conclu-


Figura 2. Modus Ponendo Ponens.

Figura 3. Falacia de Negación del Antecedente.

siones a partir de premisas preestablecidas y completar mínimamente las premisasde un argumento inválido, de tal modo que el argumento resultante sea válido. Lomismo se puede hacer con respecto al método que aquí se propone; además, ellose puede llevar a cabo visualmente, lo que sería una compensación en relación asu ineficiencia en comparación con otros métodos.

El método también se puede ampliar para dar cuenta de un típico problemalógico del siglo XIX el Problema de la Eliminación: « En la medida en que la con-clusión debe expresar una relación entre la totalidad o entre una parte de los ele-mentos que intervienen en las premisas, es un requisito disponer de los medios paraeliminar aquellos elementos que no deseamos que aparezcan en la conclusión y de-


terminar la cantidad total de las relaciones implicadas por las premisas entre loselementos que queremos conservar’’ (Boole citado en Craig, 2008, p. 322). Esteproblema surge de la Silogística, donde el término medio es eliminado y se retie-nen los otros términos. En el método que aquí se presenta, la solución al Proble-ma de la Eliminación consiste en encontrar pares de conyuntos que se diferenciensólo por la ocurrencia de la proposición, para ser eliminada en uno de ellos y desu negación en la otra; en cuyo caso el par es equivalente a material lógico comúna ambas. Por ejemplo, en la Figura 2, el Modus Ponendo Ponens se expresó en for-ma normal conyuntiva completa, por {¬P ∨ Q, (P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q)} |= (P ∨ Q) ∧(¬P ∨ Q); si eliminamos P, obtenemos Q en las premisas, a través de la simplifi-cación del conyunto de la primera premisa con el primer conyunto de la segundapremisa, y obtenemos Q en la conclusión, a través de las simplificación de losconyuntos de la conclusión.

5. Consideraciones finales

La implicación material tiene el mismo carácter destacado de la conyunción.Esto se puede ilustrar por el siguiente argumento válido:

(p→q)→qp→q∴q

La semántica de la implicación material se puede expresar en términos de in-formación, como sigue: si la información transmitida por el antecedente está dis-ponible, entonces la información transmitida por el consecuente también estádisponible. En consecuencia, la validez del argumento anterior se puede estable-cer visualmente: la primera premisa, equivalente a la disyunción inclusiva de p yq, expresa que si la información transmitida por p→q está disponible, entonces lainformación transmitida por q también está disponible; la segunda premisa propor-ciona información transmitida por p→q; luego, la información transmitida por qtambién está disponible.

Además, Alonzo Church (1956) proporcionó una forma normal implicativapara las proposiciones de la Lógica Proposicional Clásica, una forma normal enla que se usan sólo literales de átomos, la implicación material, y la constante ló-gica de falsedad. Esto podría sugerir que se podría obtener otro método de deci-sión por inspección visual. Sin embargo, hay argumentos a favor de que la formanormal implicativa de las proposiciones pierde su carácter destacado. Por ejemplo,el Modus Ponendo Ponens puede expresarse, en términos de la forma normalimplicativa, de la siguiente manera:

p→(¬q →⊥)¬p→⊥

∴¬q→⊥


Si se admite un cambio en la forma normal implicativa de tal manera que sus-tituyésemos las ocurrencias de ¬α→⊥ por α, esto permitiría la demostración dela validez del Modus Ponendo Ponens, expresada en los términos de la forma nor-mal implicativa modificada, mediante inspección visual, pero no resolvería el pro-blema en relación con otros argumentos válidos como el Modus Tollendo Tollens,el cual en forma normal implicativa modificada tendría la siguiente formulación:

p→qq→⊥

∴p→⊥

La Lógica de Predicados Monádicos de Primer Orden sin Igualdad, un frag-mento decidible de la Lógica Cuantificacional Clásica y, en un sentido muy pre-ciso, una extensión natural de la Silogística Categórica y, simultáneamente, de laLógica Proposicional Clásica, es un candidato natural para la obtención de un mé-todo de decisión por inspección natural para una lógica más expresiva, pero esoes un tema para otro momento.

Bibliografia

Church, A. 1956. Introduction to Mathematical Logic. Volume I. Princeton, PrincetonUniversity Press.

Craig, W. 2008. ‘‘Elimination problems in logic: a brief history’’. Synthese, v. 164, pp.321-332.

Hilbert, D. & Ackermann, W. 1928. Grundzüge der theoretischen Logik. Berlin, Springer.Sautter, F. T. 2012a. ‘‘Linear K’’. In: Lassalle Casanave, A. & Sautter, F.T. (Eds.)

Visualização nas Ciências Formais. London, College Publications, pp. 145-161.Sautter, F. T. 2012b. ‘‘Dois Novos Métodos para a Teoria do Silogismo: Método

diagramático e método equacional’’. Notae Philosophicae Scientiae Formalis, v. 1,n. 1, pp. 14-22.

¿ES LA BEGRIFFSSCHRIFT DE FREGEUN SISTEMA DIAGRAMÁTICO?*

VALERIA SOL VALIÑO

[email protected]

En el presente trabajo examino, en primer lugar, el sistema semiótico artifi-cial confeccionado por Frege –su Begriffsschrift o Conceptografía– centrándomeen lo que denomino su dimensión ontológica y su dimensión epistemológica. Ensegundo lugar, examino los elementos que conforman dicho sistema, poniendo elénfasis en su naturaleza bidimensional. Luego, considero dos lecturas recientemen-te ofrecidas que sugieren adherir a una concepción diagramática de la Begriffs-schrift. Finalmente, evalúo la consistencia de tal concepción con ciertas reflexionesde Frege más generales sobre lógica y matemática que subyacen a su logicismo.La idea que pretendo defender, y como resultado de lo anterior, es que aun cuan-do la Begriffsschrift posea ciertos aspectos diagramáticos, ellos no sólo no son re-levantes sino que conllevan la adopción de un marco teórico ajeno a Frege.

1. Acerca de la necesidad de un nuevo sistema: la Begriffsschrift

En el prólogo a Begriffsschrift, obra temprana con la cual sienta las basesde lo que será su programa logicista, esto es, su intento de fundamentar la arit-mética en la lógica, Frege afirma: ‘‘la aritmética ha sido el punto de partida delcurso de pensamiento que me ha conducido a mi conceptografía [Begriffsschrift].A esta ciencia, por tanto, pensé aplicarla primero, tratando de analizar más susconceptos y de fundamentar más a fondo sus teoremas’’.1 Tal interés en estable-

* Este trabajo fue realizado en el marco de una beca de posgrado otorgada por el Consejo Na-cional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET, Argentina), el proyecto PIP 112-200801-01334 ‘‘El concepto de lenguaje universal en la lógica simbólica y en la lingüística moderna. Unanálisis histórico y sistemático de casos’’ financiado por el CONICET y el proyecto CAFP-BA 042/12 ‘‘Conocimiento simbólico y conocimiento gráfico’’ subsidiado conjuntamente por la SPU del Mi-nisterio de Educación de la Nación (Argentina) y la CAPES (Brasil). Quiero agradecer a Javier Legrispor las usuales discusiones sobre el tema y por sus observaciones a versiones anteriores del presen-te trabajo.

1 Frege 1879, Prólogo.


cer la naturaleza lógica de las leyes y los conceptos aritméticos, sumado a la ideade que la gramática del lenguaje ordinario enmascara el pensamiento conceptualy sus relaciones lógicas intrínsecas, llevan a Frege a percatarse de la necesidadde contar con un sistema lógico que se constituya como la herramienta adecua-da mediante la cual ‘‘ensayar qué tan lejos se podría llegar en la aritmética ex-clusivamente por medio de inferencias, apoyado sólo en las leyes delpensamiento’’.2 Por ello, hacia 1879 diseña su Begriffsschrift: un sistema lógi-co que, formulado mediante una notación absolutamente novedosa, sirva ‘‘paraprobar de la manera más segura la precisión de una cadena de inferencias y paradenunciar toda proposición que quisiera colarse inadvertidamente y poder inves-tigarla en su origen. Por ello, se renuncia a expresar todo aquello que carezca designificado para la secuencia de inferencias [Schlussfolge]. En § 3, he designadocomo contenido conceptual [begrifflicher Inhalt] exclusivamente aquello que meera de importancia’’.3

En reiterados escritos4, Frege señala que la confección misma de la Begriffs-schrift se vio motivada por el ideal leibniziano de crear una suerte de lenguaje sim-bólico universal que permita tanto expresar perspicuamente como calcularrigurosamente: ‘‘Podemos exponer el propósito de mi notación conceptual: des-de el principio tuve en mente la expresión de un contenido. Lo que pretendo lue-go es una lingua caracteri[sti]ca en una primera instancia para la matemática, noun cálculo restringido a la lógica pura’’.5 No obstante, la Begriffsschrift debía, asímismo, permitir calcular: ‘‘No deseaba representar una lógica abstracta en fórmu-las, sino expresar un contenido a través de símbolos escritos en una forma más pre-cisa y perspicua de la que es posible con palabras. De hecho, yo quería producir,no un mero calculus ratiocinator, sino una lingua characteri[sti]ca, en el senti-do de Leibniz. Al hacerlo, sin embargo, reconozco que el cálculo deductivo es uncomponente necesario de una Begriffsschrift’’.6 Tal aspecto dual permite distin-guir en la Begriffsschrift (i) una dimensión ontológica de (ii) una dimensión epis-temológica.

La dimensión ontológica de la Begriffsschrift alude a su función de expresarperspicuamente aquello que ‘‘influye en las posibles consecuencias [möglichenFolgerungen]’’: el ‘‘contenido conceptual’’ (o ‘‘contenido judicable’’) y sus re-laciones lógicas intrínsecas, cuya estructura lógica es objetiva y única, esto es, esfija. Si se toman ‘‘las dos proposiciones: ‘en Platea derrotaron los griegos a lospersas’ y ‘en Platea fueron derrotados los persas por los griegos’ […] a aquella par-te del contenido que es la misma en ambas, la llamo el contenido judicable

2 Ibidem.3 Ibidem.4 Cfr. Frege 1879, 1882a, 1882b, 1882c.5 Frege 1880/81, p. 12.6 Frege 1882c, pp. 97-98.Cfr. Frege 1884,§91. Para un desarrollo ulterior, véase Van Heijenoort

1967, Peckhaus 2004, Legris 2008 y Legris 2011.

¿ES LA BEGRIFFSSCHRIFT DE FREGE UN SISTEMA DIAGRAMÁTICO? 83

[beurteilbarer Inhalt]’’.7 Así, el sistema fregeano se diferencia de los sistemas sim-bólicos ofrecidos por Boole y Schröder, entre otros, en tanto estos últimos sonsistemas meramente formales en términos de cálculo inferencial abstracto caren-te de contenido.8 Frege señala que el contenido conceptual de una determinadaproposición depende de sus constituyentes: los conceptos y sus diversas articula-ciones. Por ello la Begriffsschrift es construida sobre la base de los conceptos deargumento y función (a diferencia de la gramática del lenguaje ordinario que,construida sobre los conceptos de sujeto y predicado, enmascara el contenido y susrelaciones lógicas) a los fines de posibilitar el análisis de los conceptos involucra-dos en los juicios aritméticos –dado que los conceptos son, según Frege, un tipoparticular de función–.9 Si consideramos, siguiendo el ejemplo de Frege enBegriffsschrift § 9, la proposición ‘‘Catón mató a Catón’’, podemos representar sucontenido conceptual de diversos modos, a partir de qué parte de la proposicióntomemos como constante y qué como variable, esto es, como función y argumentorespectivamente: ‘‘Si pensamos aquí ‘Catón’ como reemplazable en el primer lu-gar, entonces ‘matar a Catón’ es la función; si pensamos ‘Catón’ como reempla-zable en el segundo lugar, entonces ‘ser matado por Catón’ es la función;finalmente, si pensamos ‘Catón’ como reemplazable en ambos lugares, entonces‘matarse a sí mismo’ es la función’’.10 Dado que los contenidos conceptuales ‘‘ge-neralmente resultan ser complejos; tenemos que analizarlos […] sólo alcanzamosla comprensión completa avanzando hasta que lleguemos a lo que es absolutamen-te simple’’11: la distinción entre función y argumento, así, nos permite descompo-ner una proposición, y llevar a cabo diversos análisis de la misma hasta llegar a losconceptos. Ya desde sus escritos tempranos12 Frege defiende la idea de que losconceptos se forman a partir de los juicios, rechazando la concepción clásica ini-ciada por Aristóteles, y defendida tanto por Boole en su álgebra de la lógica comopor Husserl en su Filosofía de la Aritmética, según la cual la actividad lógica –ypsicológica– primaria es la formación de conceptos por abstracción, siendo tantoel juicio como la inferencia lógicamente secundarios. En contra de dicha concep-ción, afirma que los conceptos no se forman por abstracción psicológica sino quenos son dados en los juicios a partir del análisis conceptual, esto es, analizando loscontenidos de los juicios hasta llegar a los conceptos.

Empero, la Begriffsschrift debía ser así mismo la herramienta de la demostra-ción requerida por su ideal logicista de deducir las leyes de la aritmética de princi-

7 Frege 1879, §3. Dado que ambas proposiciones expresan el mismo contenido, son equipolen-tes: las consecuencias que se pueden derivar de una se siguen también de la otra, véase Frege 1906a,p. 189 y Frege 1906b, p. 193.

8 Cfr. Frege 1882a.9 Véase Frege 1891.10 Frege 1879, § 9.11 Frege 1879-1891, p. 6.12 Véase Frege 1880/81, Frege 1882c y Frege 1894.


pios exclusivamente lógicos: ‘‘para que no pudiera introducirse inadvertidamentealgo intuitivo, se debió llegar a suprimir toda laguna en la cadena deinferencias’’13; una demostración sin lagunas, esto es, cuyo rigor asegure que todopaso de la cadena deductiva manifiesta cada axioma sobre los que se basa la de-mostración, a los fines de obtener el fundamento lógico último de los teoremas dela aritmética que conocemos por medio de la fuente lógica de conocimiento. Se hasostenido que Frege adhirió a una concepción racionalista acerca del conocimientológico y aritmético14: éste es a priori y analítico. Sin embargo, cabe destacar quetal concepción del conocimiento está íntimamente vinculada a la idea fregeana dejustificación de un juicio, esto es, a su derivación por medio de una demostraciónmás que a la acepción kantiana clásica que alude exclusivamente al contenido deun juicio. Para Frege, lo analítico es concebido en términos de verdades cuya de-mostración descansa en leyes lógicas generales y ciertas definiciones, mientras quelo a priori es entendido en tanto verdades cuya demostración se realiza partiendosólo de leyes generales que no pueden ni precisan ser demostradas.15 En especial,el carácter analítico del conocimiento lógico y aritmético establece la imposibili-dad de basarse en algún tipo de facultad cognitiva no lógica aunque a priori comola intuición espacial (a diferencia de la geometría, disciplina que según Frege sí sefundamenta en la intuición), razón por la cual Frege rechaza, y se distingue de, lafilosofía kantiana de la matemática. Así, la dimensión epistemológica de laBegriffsschrift alude a su función de exhibir la secuencia de inferencias quesubyace a la demostración, posibilitando el conocimiento del fundamento lógicode las leyes aritméticas demostradas. Bajo la idea de que mediante tal sistema‘‘calcular sería deducir [Rechnen wäre Schlussfolgern]’’16, obtenemos demostra-ciones cuyo rigor asegura que la fundamentación de la aritmética es estrictamen-te lógica, esto es, que en la cadena deductiva no intervienen ‘‘presuposicionestácitas y hechas sin clara conciencia’’ que, apoyadas en la intuición, ‘‘impiden lacomprensión de la naturaleza epistemológica de una ley’’.17 En otras palabras, lanotación fregeana posibilita el conocimiento aritmético en tanto permite obteneruna clara comprensión de la red de inferencias que apoyan una verdad y así, des-cubrir qué son las verdades primitivas18, de lo contrario se estarán derivando lasleyes de la aritmética por medio de demostraciones que dejan pasos sin demostraro explicitar en la cadena inferencial, tal como, según Frege, sucede en el intentologicista de Dedekind19e, incluso aun, en las demostraciones euclídeas.20

13 Frege 1879, Prólogo.14 Véase Wagner 1987.15 Cfr. Frege 1884, § 2.16 Frege 1884, § 87.17 Frege 1893, Introducción, p. 167.18 Véase Frege 1914, p. 205.19 Cfr. Frege 1893, Prólogo e Introducción.20 Cfr. Frege 1882a, p. 85.


2. Los elementos del sistema semiótico de Frege

La notación ofrecida en Begriffsschrift es un lenguaje artificial escrito, elabo-rado ‘‘con el fin de crear una notación conceptual que haga posible prescindir de pa-labras en el transcurso de una demostración, y así asegurar el mayor grado derigor’’.21 En tanto ‘‘lenguaje de fórmulas para el pensamiento puro’’,diseñado enanalogía con el lenguaje de fórmulas de la aritmética –aunque complementado consignos para las relaciones lógicas–, es una notación bidimensional: sus signos (a di-ferencia de lo que sucede con los signos tanto del lenguaje ordinario como lógicos,que poseen una sola dimensión) se escriben a modo de cálculo bajo columnas, a tra-vés de diversas barras y letras que se combinan a partir de las conexiones entre loscontenidos de los juicios mediante una única regla deductiva explícita –la regla deseparación (modus ponens)– y determinados signos primitivos que representan eljuicio, el condicional, la negación, la generalidad (cuantificador universal) y la identi-dad. El resto de las expresiones lógicas se representa a partir de sus equivalencias ló-gicas utilizando algunos de aquellos signos básicos, en tanto el contenido conceptualde las equivalencias lógicas es el mismo, por lo que la notación fregeana permite re-presentar expresiones tanto de la lógica de conectivos como de la actual lógica cuan-tificacional. A modo de ejemplo, veamos sucintamente algunos signos primitivos:

– Un juicio se expresa por medio del signo colocado a la izquierda delsímbolo –o combinaciones de símbolos– que indica el contenido del jui-cio. La barra horizontal, llamada barra del contenido [Inhaltsstrich] indicaque el contenido puede ser aseverado, i.e. juzgado como verdadero. Labarra vertical, denominada barra del juicio [Urtheilsstrich], indica que talcontenido es efectivamente aseverado. Así representa el juicio deque la proposición A es verdadera, esto es, sus signos expresan que ‘‘Atiene lugar’’21 bis.

– Si en la parte inferior de la barra del contenido se añade una pequeña ba-rra vertical, llamada barra de negación [Verneinungsstrich], se represen-ta la negación: la circunstancia de que el contenido no tiene lugar. Así,

significa ‘‘A no tiene lugar’’.22

– El condicional, en cambio, se representa mediante la denominada barra decondición [Bedingungsstrich], una barra vertical que une dos barras hori-zontales; si se quiere representar el condicional ‘‘Si B entonces A’’, siendotanto A como B contenidos conceptuales, tenemos , que exhibecómo ‘‘los contenidos judicables A y B están conectados por la barra decondición’’ que conecta el antecedente (representado mediante la barra ho-rizontal inferior) con el consecuente (representado por la superior).23

21 Frege 1882b, p. 47. Véase, asimismo, Frege 1884, § 1.21 bis Frege 1879, § 2.22 Frege 1879, § 7.23 Frege 1880/81, p. 35. Véase también Frege 1879, § 5.


– La generalidad, elaborada a la luz de la distinción entre de función y ar-gumento, se representa colocando en el lugar del argumento una letra gó-tica e insertando en la barra del contenido una concavidad [Höhlung] enla cual se pone esta misma letra: significa el juicio de que esafunción, sea lo que fuere lo que se considere como su argumento, es un he-cho’’.24

Es mediante tales signos primitivos que Frege expresa, en las partes II y IIIde Begriffsschrift, las formulae de su sistema: determinados axiomas, ciertas de-finiciones y los teoremas derivados de ellas. A modo de ejemplo, considérese laexpresión de tres de las nueve leyes pensamiento que constituyen el núcleo a partirdel cual realizar las derivaciones:

25 26 27

La representación de dichos axiomas involucra fórmulas complejas que se ob-tienen a partir de la combinación de los signos primitivos. En particular, tales fór-mulas muestran cómo las expresiones escritas mediante la notación fregeana son‘‘una representación perspicua de las relaciones lógicas por medio de signos es-critos’’28, cuya forma gráfica peculiar exhibe el modo en que la barra del conte-nido ‘‘combina en un todo los símbolos que le siguen […] sirve también, además,para poner en relación cualquier símbolo con el todo de símbolos que sigue a labarra’’29. Así, la escritura bidimensional fregeanos permite articular los conteni-dos (del lado de la derecha, escritos unos debajo de otros a través de las correspon-dientes letras) con sus relaciones lógicas inherentes (del lado de la izquierda,escritas mediante las diversas combinaciones de barras)30; su ventaja radica enello: las relaciones espaciales de los símbolos escritos mediante dicha notaciónbidimensional permiten expresar de muchas más maneras las relaciones lógicas in-ternas, a diferencia de lo que sucede con una notación unidimensional o secuencial,‘‘y esto facilita la aprehensión de aquello a los que dirigimos nuestra atención’’31,explicitando aquello que resultaba ser velado por el lenguaje ordinario.

24 Frege 1879, § 11.25 Ibidem, § 14, fórmula 1.26 Ibidem, § 17, fórmula 28.27 Ibidem, § 22, fórmula 58.28 Frege 1880/81, p. 14.29 Frege 1879, § 2.30 Cfr. Frege 1896, p. 236.31 Frege 1882a, p. 87.


3. La Begriffsschrift como un sistema diagramático

En los últimos años han surgido diversas lecturas que señalan que la Begriffs-schrift debe ser concebida como un sistema diagramático, en oposición a la con-cepción tradicional de considerarla un sistema semiótico aunque fundamentalmen-te lingüístico. Ello se vincula a la actual revalorización del uso de diagramas enlógica y matemática como una herramienta fundamental, más que meramenteheurística, para representar la inferencia deductiva: en virtud de su naturaleza grá-fica, y su consiguiente riqueza visual, se considera que los diagramas ofrecen cier-tas ventajas cognoscitivas (a diferencia de lo que sucede con toda representaciónde índole simbólica) que los torna un componente irreductible de la demostra-ción.32

Es sabido que el uso de diagramas en la historia de las ciencias formales, talcomo ha sido el caso, por ejemplo, de las construcciones auxiliares gráficas ofre-cidas por Euclides, los diagramas desarrollados por Venn o los gráficos existen-ciales elaborados por Peirce, motivó la idea de que la visualización gráfica es unaherramienta necesaria, y no meramente heurística, en el transcurso de la demos-tración. A grandes rasgos, los diagramas se caracterizan por ser representacionesgráficas bidimensionales que, en tanto íconos –tal como ha señalado Peirce– re-presentan por similaridad con aquello representado.33 Bajo la idea de que hay unasimilaridad estructural entre el diagrama y aquello representado, se considera quela función del diagrama es exhibir, a través de su estructura (i.e., hacer ‘‘visible’’a través de las relaciones entre las partes del diagrama) relaciones no advertidaso implícitas entre las partes de lo representado. En particular, el uso de diagramasen la representación del razonamiento deductivo nos permite percibir relacionesque no estaban mencionadas explícitamente en las premisas, y ello sería imposi-ble si, en cambio, lo representamos mediante un lenguaje secuencial. Por ello, seconsidera que los diagramas involucran la percepción sensible o la intuición comofacultades de conocimiento. La primera, si se considera que ella permite visualizarnuevas relaciones entre las partes de lo representado, por medio de una experimen-tación sobre el diagrama, y la consiguiente observación de ello. En cambio, se pue-de pensar que en los diagramas interviene la intuición, la cual de modo análogo ala percepción sensible, permite ‘‘percibir la estructura’’, esto es, intuirla qua ‘‘cap-tación completa de las relaciones entre las diferentes partes del diagrama’’.34

Recientemente, tales aspectos prototípicos de los diagramas han sido utiliza-dos en la literatura especializada como clave interpretativa para la Begriffsschriftde Frege, bajo la idea de que tal interpretación recoge cierta riqueza expresiva y

32 Véase Barwise& Etchemendy 1991 y Legg 2013.33 Véase Legris 2012 y Legg 2013.34 Legg 2013, p. 15.


cognoscitiva que no es posible capturar si, en cambio, aquella es interpretada entérminos de sistema simbólico.35 La idea que subyace a tal matriz hermenéuticaconcierne al estatus de la Begriffsschrift en tanto herramienta para el logicismofregeano: ¿es ella una herramienta meramente heurística o una herramienta nece-saria para la fundamentación fregeana de la aritmética en la lógica?

En su artículo ‘‘Meaning, Use, and Diagrams’’,36 Macbeth establece que laBegriffsschrift de Frege debe ser concebida diagramáticamente, en virtud del rolque desempeña el análisis del contenido de las expresiones –en función y argumen-to– en las demostraciones fregeanas. Según la autora, ‘‘así como una figura dibu-jada […] funciona icónicamente en una demostración euclidiana en tanto exhibelas relaciones de las partes en una figura geométrica, del mismo modo un conjuntode signos primitivos (concebido de acuerdo a determinados análisis en función yargumento) funciona en la notación de Frege para exhibir el contenido, el senti-do, de una palabra para concepto’’.37 Macbeth sostiene que tales expresiones, ul-teriormente enmarcadas en el curso de una demostración, nos permiten percibirrelaciones que no estaban mencionadas explícitamente en las premisas: ‘‘el razonaren la Begriffsschrift de Frege implica, pues, precisamente el mismo tipo de habi-lidad perceptual que se requiere en el razonamiento diagramático de Euclides […]el razonamiento en el sistema lógico de Frege, tal como en Euclides, constitutiva-mente implica una habilidad perceptual, la capacidad de ver un conjunto dado designos de una manera y de otro […] La demostración no está en las oraciones sinoen lo que ellas nos permiten ver, es decir, una cierta relación entre las premisas yla conclusión, la relación de inferencia’’38; así, la Begriffsschrift muestra algo: enlas conclusiones de sus demostraciones se exhiben ciertas verdades que amplíannuestro conocimiento matemático, a partir de relaciones inferenciales nuevas quevemos gracias a los diversos análisis de las expresiones en función y argumento.De este modo, de la lectura de Macbeth se sigue que la Begriffsschrift es más queuna herramienta: es un componente irreductible de la demostración fregeana. Y,dada su naturaleza diagramática, la percepción se constituye como una facultad deconocimiento que efectivamente interviene en las demostraciones de las leyes dela aritmética.

En consonancia con la matriz hermenéutica defendida por Macbeth, Toaderadhiere a una concepción diagramática de la Begriffsschrift en su artículo ‘‘OnFrege’s logical diagrams’’.39 La idea del autor es que al representar, por ejemplo,

35 Cabe señalar que tal matriz hermenéutica actual había sido ya sugerida por Venn, aunque nodesarrollada en detalle, en su Symbolic Logic de 1881, esto es, tan sólo dos años después de la pu-blicación de Begriffsschrift. Allí, Venn señalaba: ‘‘El proyecto de Frege (Begriffsschrift, 1879) me-rece casi tanto ser llamado diagramático como simbólico’’ (Venn 1881, p. 415).

36 Macbeth 2009. Cfr. también Macbeth 2012.37 Macbeth 2009, p. 380.38 Ibidem, pp. 381-382.39 Toader 2004.


la inferencia ‘‘�a(h(a) → g(a)) → (�a(g(a) → f(a)) → (h(x) → f(x)))’’ mediantela notación conceptual como:

obtenemos un diagrama cuya ventaja ‘‘es que nos permite visualizar de manera máseficiente y comprender la estructura lógica de la inferencia. Sostengo que ello es de-bido a una apelación a la intuición. Es como el uso de un mapa de orientación (enel ‘‘espacio lógico’’), en contra de algunas orientaciones verbales (es decir,unidimensionales) […] En el caso de Frege, sostengo, vemos (percibimos) el diagra-ma, y por lo tanto tendemos a ver más lejos (intuimos) a través del diagrama, haciael ámbito objetivo de los conceptos’’.40 Toader aclara que tal intervención del actode intuir ‘‘es el modo en que usamos la notación a los fines de ‘probar’ la estruc-tura lógica que ella pretende representar’’.41 Así, la interpretación de Toader pare-ce sugerir, en conformidad con la interpretación de Macbeth, que la Begriffsschriftes más que una mera herramienta heurística: en virtud de su carácter diagramático,ella posibilita la aprehensión de la estructura lógica; sin embargo, y a diferencia deMacbeth, ello se debe a la efectiva participación de la intuición.

4. La Begriffsschrift como un sistema lingüístico

En lo que sigue, señalaré que aun cuando el sistema de Frege posea ciertosaspectos diagramáticos, ellos no son relevantes en la propuesta fregeana. Más aun,intentaré mostrar que la interpretación de la Begriffsschrift en clave diagramáticase torna incompatible con ciertas consideraciones sobre la aritmética y la lógicaque subyacen al logicismo de Frege.

4.1. La Begriffsschrift es esencialmente simbólica, aunque pueda presentarmatices icónicos. El ‘‘lenguaje de fórmulas’’ desarrollado por Frege en su obratemprana es, como todo lenguaje, fundamentalmente simbólico: sus signos repre-sentan por convención más que por similaridad con aquello representado. Se di-ferencia del lenguaje ordinario en que es más adecuado a los fines científicos defundamentar la aritmética, de modo análogo a lo que diferencia al microscopio, entanto aparato óptico científico, del ojo, en tanto aparato óptico cotidiano.42 Es ‘‘un

40 Ibidem, p. 24.41 Ibidem, p. 25.42 Véase Frege 1879, Prólogo.


sistema de símbolos, en el que estando prohibida la ambigüedad, tiene la estrictaforma lógica de la cual no pueda escapar el contenido’’43, y cuyos símbolos, es-trictamente definidos, permiten expresar perspicuamente los contenidos con sus re-laciones lógicas, por lo que posibilitan ‘‘elevarnos hacia el pensamientoconceptual’’.44 Es este último aspecto el que constituye la dimensión ontológicade la Begriffsschrift.

Considérese, a modo de ejemplo, la regla de separación o modus ponens queFrege presenta en el § 6 de Begriffsschrift. Ésta es introducida sobre la base de ladefinición ofrecida acerca del condicional en el § 5; allí establece que hay 3 po-sibilidades para el condicional : 1) A es afirmada y B es afirmada; 2)A es afirmada y B es negada; 3) A es negada y B es negada, mientras que el únicocaso que no puede darse es 4) A es negada y B es afirmada. Dado que dicha reglaafirma B, de aquí se sigue el juicio de que A, lo que queda representado como:

De este modo, Frege da una justificación conceptual de la regla de separación:ésta se justifica por su contenido mismo, y no a partir de algo que sea visible a par-tir de su escritura por medio de la notación conceptual. Más aun, que la represen-tación de dicha inferencia explicite que de dos juicios (las premisas), se sigue unnuevo juicio (la conclusión)45, es independiente del lenguaje que la represente con-vencionalmente, sea el imperfecto lenguaje ordinario o su rigurosa notación con-ceptual. Por ello, el sistema semiótico fregeano es una herramienta auxiliar a lacomprensión del razonar, y no una herramienta necesaria a la manera de los dia-gramas: a diferencia de lo que sucede con los diagramas, lo cuales en tanto íconos,muestran o exhiben algo más, por lo que se constituyen como herramienta nece-saria para el proceso inferencial propio de las demostraciones, la Begriffsschrift,en cambio, es sólo una herramienta auxiliar para el conocimiento aritmético.

Cabe señalar, sin embargo, que la notación fregeana, aun siendo esencialmen-te simbólica, presenta matices icónicos, en tanto nos permite visualizar la estruc-tura lógica de las inferencias al separar, en toda fórmula, la forma lógica, del ladode las barras, del contenido, del lado de las letras, favoreciendo el análisisproposicional. Su escritura en forma bidimensional presenta rasgos icónicos entanto una fórmula de la Begriffsschrift ofrece una guía estructural del contenidoconceptual de una expresión, o del pensamiento expresado por ella –como diráFrege poco después de 1880– a diferencia de lo que sucede con los signos tantodel lenguaje ordinario como de la lógica simbólica, los cuales poseen una sola di-mensión. De modo análogo, una demostración realizada mediante el sistema se-

43 Frege 1882a, p. 86.44 Ibidem, p. 84.45 Frege 1879, § 6.


miótico fregeano, efectivamente manifiesta su estructura inferencial al exhibir grá-ficamente las relaciones entre premisas y consecuencias –a diferencia de lo que su-cede con una demostración realizada por medio de una escritura secuencial yunidimensional; sin embargo, a diferencia de Macbeth, considero que no hay unplus en una demostración que se sirva de la Begriffsschrift: la demostración radi-ca exclusivamente en los juicios que la componen; el matiz icónico únicamenteresalta las relaciones de los juicios entre sí, no forma parte de la demostraciónmisma.

4.2. La Begriffsschrift involucra la lógica como única facultad de conoci-miento, siendo la percepción exclusivamente un recurso gnoseológico auxiliar: Enun escrito tardío46 Frege distingue tres fuentes de conocimiento: la percepciónsensible, la fuente de conocimiento geométrico y temporal y la fuente de conoci-miento lógico, esto es, la razón o el pensar. La aritmética, en virtud de su logicis-mo, involucra exclusivamente la lógica como fuente de conocimiento, y no algunade las otras dos fuentes, esto es, ni la percepción sensible ni la intuición geométricay temporal. Tal como se ha visto anteriormente, Frege rechaza la apelación a al-gún tipo de facultad a priori no lógica como la intuición en su fundamentación delas verdades analíticas y a priori de la aritmética. Asimismo, la apelación a una fa-cultad como la percepción sensible resulta igualmente desestimada: ‘‘La aritmé-tica no necesita apelar a la experiencia en sus pruebas […] la aritmética no necesitaapelar a la percepción sensorial en sus pruebas’’47. Por ello, la concepción fregeanaacerca de la prueba lógica requiere de demostraciones que partan de axiomas y de-finiciones, de modo análogo a las demostraciones ofrecidas por Euclides en susElementos pero, a diferencia de este último, que no involucren supuestos ni requie-ran de construcciones auxiliares. Es justamente el racionalismo que subyace allogicismo de Frege lo que torna problemático adherir a una lectura de su Begriffs-schrift en clave diagramática: al ser las verdades de la lógica y la aritmética, ana-líticas y a priori, la apelación a alguna facultad no lógica como la percepciónsensible o bien la intuición, sea intuición empírica o intuición a priori, resulta ajenaa, y discordante con, el espíritu fregeano.

Empero, Frege señala que la fuente lógica de conocimiento, al estar ‘‘íntima-mente vinculada al lenguaje’’48, debe auxiliarse en el lenguaje como su herramien-ta. Y dado que el lenguaje ordinario es una herramienta imperfecta49, dicha fuentedebe apoyarse en la Begriffsschrift: esta característica es su anteriormente mencio-nada dimensión epistemológica. En tanto la fuente lógica, que es la que nos per-mite conocer las leyes de la aritmética, descansa en el lenguaje, la notación

46 Frege 1924/1925a.47 Frege 1924/25 b, p. 278.48 Frege 1924/1925a, p. 269.49 Cfr. Frege 1924/25a, p. 273.


conceptual es, en virtud de la rigurosidad que le garantiza a toda demostración, laherramienta adecuada para el conocimiento matemático: mediante las inferenciasdeductivas que retrotraen, en último término, a las leyes lógicas fundamentales,tenemos conocimiento de las verdades aritméticas. La notación conceptual cum-ple así la función psicotécnica del conocimiento simbólico.50A lo largo de toda suproducción filosófica, Frege mantendrá la idea de utilizar el sistema semióticoideado en su obra temprana como una herramienta epistemológica para el cono-cimiento lógico y matemático, dadas las dificultades que ocasiona el lenguaje or-dinario: ‘‘el trabajo en lógica es […] una lucha con los defectos lógicos dellenguaje, y aun así el lenguaje permanece para nosotros como una herramienta in-dispensable. Sólo cuando nuestra tarea lógica haya sido completada poseeremosun instrumento más perfecto’’.51

Sin embargo, a pesar de las anteriores consideraciones acerca de la lógicacomo única facultad de conocimiento involucrada en la Begriffsschrift, es posibleconsiderar que la percepción efectivamente se constituye, para Frege, en un recur-so gnoseológico auxiliar, ya que ella interviene en tanto el lenguaje es, por nues-tra naturaleza, perceptible: ‘‘Nuestro pensamiento está estrechamente vinculadoal lenguaje y por tanto con el mundo de los sentidos [...] Ahora, por supuesto tam-bién podemos pensar en signos matemáticos; pero incluso entonces el pensamientoestá atado a lo que es perceptible con los sentidos [...] Sin embargo ello no resideen la naturaleza del pensamiento sino en nuestra propia naturaleza [...] para noso-tros los hombres esto es una necesidad’’.52 No obstante, considerar a la percepcióncomo un recurso gnoseológico auxiliar es, en la concepción fregeana, problemá-tico, tal como el mismo Frege señala: ‘‘No estoy aquí en la afortunada situaciónde un mineralogista que muestra a su auditorio un cristal de roca. No puedo po-ner un pensamiento en las manos de mis lectores […]. Tengo que conformarmecon ofrecer al lector el pensamiento, en sí imperceptible, envuelto en la forma lin-güística perceptible. El aspecto figurativo del lenguaje presenta dificultades. Loperceptible irrumpe constantemente y hace a la expresión figurativa y, por tanto,inapropiada. Así se origina una lucha con el lenguaje, y me veo obligado a ocu-parme del lenguaje aunque esa no es aquí mi tarea propia’’.53

Referencias

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50 Véase Esquisabel 2012, p.22.51 Frege 1915, p. 252.52 Frege 1924/1925a, p. 269. Véase también Frege 1899-1906?, p. 167.53 Frege 1918-1919, p. 208 n.4.


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Parte III

Antecedentes históricos, extensiones y críticas

CONOCIMIENTO SIMBÓLICO Y DIAGRAMASEN LA PROTOSEMIÓTICA DE HOFFBAUER*

OSCAR M. ESQUISABEL

[email protected]

1. Introducción

Con su concepto de conocimiento simbólico, Leibniz inauguró una tradiciónque tuvo consecuencias significativas para la reflexión sobre la relevancia de lossignos en lo relativo al pensamiento y al conocimiento humanos. Aunque de unamanera poco sistemática, Leibniz mismo se dedicó a reflexionar sobre la estrecharelación entre pensamiento, conocimiento y signo, con el objeto de analizar lasventajas y desventajas que pueden deparar para el avance del conocimiento huma-no la utilización de los distintos tipos de sistemas semióticos. En gran medida (aun-que no exclusivamente) sus indagaciones semióticas estuvieron motivadas por labúsqueda de un sistema de notación perfecto que obrase al modo de un instrumen-to amplificador de nuestras capacidades cognitivas.1 Los múltiples aspectos de estabúsqueda quedaron plasmados en el proyecto leibniziano de la characteristicauniversalis, el cual, por cierto, está sujeto a múltiples interpretaciones.

Si bien, como hemos dicho, las reflexiones leibnizianas sobre la cuestión se-miótica, aunque abundantes, tuvieron un carácter poco sistemático, ejercieron unanotable influencia, ya sea de modo directo, ya sea indirectamente, en el pensamien-to semiótico alemán del siglo XVIII, por lo cual podemos hablar de una tradiciónleibniziana en las reflexiones semióticas correspondientes a dicho período de lafilosofía aleman a, tradición que se caracteriza fundamentalmente por abordar lacuestión de los signos a partir del concepto leibniziano de conocimiento simbóli-

* El presente trabajo ha sido realizado en el marco de los proyectos CAFP-BA 042/12, ‘‘Co-nocimiento simbólico y conocimiento gráfico’’, financiado conjuntamente por la SPU (Argentina) yCAPES (Brasil), PIP-CONICET 112 200801 01334, ‘‘El concepto de lenguaje universal en la lógi-ca simbólica y en la lingüística moderna. Un análisis histórico y sistemático de casos’’ y H622-UNLP,‘‘Diagramas, visualización y formalismo. Problemas históricos y sistemáticos en la filosofía de lasciencias formales de Leibniz a las concepciones del siglo XX’’. Este trabajo no hubiese sido posiblesin el estímulo y las sugerencias de Abel Lassalle Casanave, Wagner de Campos Sanz, Javier Legrisy Frank Th. Sautter.

1 Lassalle Casanave (2012), esp. cap. 1.


co, es decir, del conocimiento que se puede obtener mediante la mediación de lossignos. Más allá de que esta tradición coincida en parte o no con las ideas leibni-zianas, consideramos que lo fundamental definiría esta tradición está dado por elenfoque, centrado en el conocimiento, lo cual sitúa a la reflexión semiótica en unaperspectiva que acentúa los aspectos cognitivos, epistémicos y lógicos del uso designos, por encima de otras cuestiones (tales como pueden ser, por ejemplo, la co-municación humana). Es por esa razón que el tratamiento de los signos es subsi-diario de otras cuestiones, ya sean ontológicas (Wolff, Baumgarten), psicológicas(Wolff) o lógico-epistemológicas (Lambert), por nombrar sólo algunos autores im-portantes.2 Asimismo, dichas reflexiones se encuentran marcadamente influidaspor el carácter normativo de las indagaciones leibnizianas y, por ello, no llama laatención que estén orientadas, de un modo u otro, a la construcción de un sistemasemiótico perfecto o ‘‘científico’’, ya sea que se denomine lenguaje universal ocálculo universal. Se puede ver aquí, claramente, de qué modo las reflexionessemióticas plantean una continuidad casi natural con la recepción del proyectoleibniziano de la characteristica universalis. En síntesis, lo que caracteriza el tra-tamiento de la cuestión de los signos en la tradición leibniziana es el hecho de queno son objeto de un tratamiento independiente, no hay una semiótica como tal, quela independice de la cuestión del conocimiento y que los aborde de una manerasistemática y autónoma.

Es por esa razón que la obra de Hoffbauer (1766-1827), Tentamina semioló-gica (Ensayos para una teoría de los signos)3 reviste, desde nuestro punto de vista,un gran interés. En efecto, por una parte podría considerársela como uno de los pri-meros intentos de constituir la semiótica como una investigación relativamenteindependizada de las consideraciones lógicas, metodológicas y epistemológicas,mientras que, por la otra, su enfoque y desarrollo, sus temáticas y conclusiones seorientan de acuerdo con la tradición leibniziana, ya que el análisis semiótico estáclaramente determinado por la importancia de los signos como portadores o me-diadores del conocimiento. En síntesis, los Tentamina semiológica, gracias a loscuales su autor obtuvo el título de Doctor en la universidad de Halle en 1789, seproponen bosquejar una teoría del signo orientada por el ideal de la ‘‘perfeccióndel signo’’, que se traduce en términos de un sistema semiótico al servicio de lacerteza y el aumento de nuestro conocimiento. De esta manera, los distintos aspec-tos de la tradición leibniziana del conocimiento simbólico, tales como la relaciónentre pensamiento, signo y realidad, la aritmética y el álgebra como casos paradig-máticos de conocimiento simbólico4, la relación entre signo e invención, así comola posibilidad de diseñar un lenguaje universal, entre otros temas, aparecen aquísintetizados y conectados sistemáticamente de una manera casi ejemplar. En parti-

2 Favaretti Camposampiero (2009); Esquisabel (2006).3 Hoffbauer (1789). Para una síntesis biográfica del autor, véase Innis (1991), en Hoffbauer

(1789).4 Tentamina Semiologica (de ahora en adelante TS), Lectori s.d. Auctor, p. 51 (viii).

CONOCIMIENTO SIMBÓLICO Y DIAGRAMAS EN LA PROTOSEMIÓTICA DE HOFFBAUER 99

cular, cosa que nos interesa particularmente aquí, analiza los aspectos cognitivosy semánticos de los diagramas, a los cuales concede un lugar especial entre lossistemas semióticos que poseen la apropiada perfección para el conocimientohumano. Aparece, así, una tensión entre fórmulas y diagramas que, en cierto modo,ya se encontraba presente en las orientaciones semióticas del propio Leibniz.5

2. Las ideas centrales de los Tentamina semiologica

El curso y desarrollo de los exámenes de esta protosemiótica, si se nos per-mite designarla así, está regido por dos puntos de vista que, aunque se conectany entrelazan, pueden distinguirse con bastante claridad. El primer enfoque, deno-minado por Hoffbauer ‘‘subjetivo’’, aborda al signo desde el punto de vista de surelación con las condiciones psicológicas de la cognición humana, mientras queel segundo, que recibe el título de ‘‘objetivo’’, examina el signo desde la perspec-tiva de su relación con el objeto designado y, por esa razón, enfatiza los aspectossintácticos y semánticos de los signos.6 Aunque en ocasiones no es tan sencilloseparar ambos planos en las argumentaciones y análisis de Hoffbauer, se trata deuna distinción analítica interesante, que no aparece claramente en autores anterio-res. La división entre aspectos subjetivos y objetivos se superpone con la distin-ción entre la necesidad y posibilidad psicológica del signo, por un lado, y superfección lógica, por el otro.7 En síntesis, lo que está en juego en el primer aspectoes la dependencia del pensamiento, sobre todo del pensamiento abstracto, respectode un sustrato sensible, mientras que en el segundo aspecto se examina el signomás bien en lo que respecta a su capacidad de brindarnos una representación ade-cuada de los objetos, así como de posibilitarnos la realización de inferencias acercade ellos, ya sea ciertas, ya sea meramente probables.

El lado subjetivo

Como ocurre en otros casos, el punto de partida del análisis es la definiciónmisma de signo, que Hoffbauer toma de la tradición wolffiana y cuya fuente, a suvez, se remonta a la definición estoica de signo. En síntesis, de acuerdo con estadefinición, el signo está constituido por el hecho de que es una cosa que remite aotra para alguien, siendo esta referencia caracterizada en términos de conocimien-to, es decir, el signo es algo que nos permite conocer la existencia de otra cosa, ala cual remite.8 Tenemos así el signo, lo designado, es decir, la cosa conocida a

5 Esquisabel (2012), pp. 23-32.6 TS, § 4, p. 59 (5); § 23, p. 92 (38).7 TS, § 4, p. 59 (5).8 TS, § 1, p. 57 (3).


través del signo y, finalmente, la relación de remisión misma, que Hoffbuer deno-mina significado. El significado, es decir, el nexo entre signo y designado, es labase para una clasificación elemental de los signos, que se dividen en naturales yconvencionales, en la medida en que el nexo sea natural o convencional.9 Comonexo natural Hoffbauer reconoce únicamente los nexos causales, lo cual es, cier-tamente una limitación importante. De todos modos, veremos más adelante que larelación entre signo y designado, implícitamente, adquiere matices más ricos, quesobrepasan esta división un tanto esquemática.10

Sea de ello lo que fuere, Hoffbauer despacha los signos naturales rápidamen-te, para dedicarse fundamentalmente al análisis de los signos convencionales, queconsidera los más importantes para la problemática del conocimiento y por ello noles da una denominación especial, por lo cual emplea la denominación de signoprácticamente de modo exclusivo para referirse a los signos convencionales.11

Hoffbauer sigue la tradición mentalista y representacionalista típica del pen-samiento moderno, por lo cual los designados por excelencia de los signos estándados por las nociones o ideas, las cuales, a su vez, se remiten a sus correspondien-tes objetos. Como ocurre con otras concepciones representacionalistas, el conceptode noción abre la puerta para dos tipos de consideraciones, ya sea que se ponga elacento en la relación de la noción con su sujeto, ya sea que se la considere en loque respecta a su contenido ‘‘objetivo’’ (recuérdese la distinción cartesiana entrerealidad formal y realidad objetiva de la idea). Así, la relación de significaciónpuede analizarse desde los dos puntos de vista, dando lugar de este modo a las con-sideraciones ‘‘subjetivas’’ u ‘‘objetivas’’, a las que nos referimos anteriormente.

En lo que respecta al aspecto subjetivo, Hoffbauer se plantea la dependenciao independencia de nuestra pensamiento (y por tanto, de nuestra cognición) res-pecto de los signos. Ya que la cognición tiene lugar a través de nociones, la cues-tión viene a identificarse con el problema de si es posible pensar nociones sinrecurrir a signos. La respuesta, como ocurre en la mayoría de los casos en estatradición, es problemática y ambigua. En efecto, desde el punto de vista psicoló-gico, la noción o concepto es de carácter vago, fluyente y difuso, por lo cual re-quiere que se la conecte o se la asocie con una representación vivaz y constantepara se la pueda fijar y pensar.12 De este modo, la relación de significación es, enel fondo, más compleja que la mera remisión, en la medida en que la noción mis-ma se constituye, como objeto de pensamiento, a través de un elemento sensiblecomo lo es el signo. Sin embargo, por más que el elemento semiótico sea funda-mental para la constitución de las nociones, la relación de remisión requiere queel concepto tenga una existencia previa, como Hoffbauer mismo lo admite. Así,es manifiesto que existe una tensión entre constitución y referencia, tensión de la

9 Ibidem.10 Cfr. TS, §§ 22, 29, 30 y 33.11 TS, § 4, p. 59 (5).12 TS, § 5, p. 59-60 (5-6).


que adolece la tradición a la que Hoffbauer pertenece. Sea de ello lo que fuere, secomprende también en qué medida el signo contribuye a la perfección lógica dela cognición, ya que le proporciona a la noción claridad, distinción y certeza.13

El estrecho nexo entre pensamiento y signo se conecta de manera natural conel problema de la cognición mediante signos, es decir, la cuestión central del co-nocimiento o la cognición simbólica. La cuestión es, en cierto modo, de doble vía,ya que tanto podemos formularnos la pregunta de si es posible una cognición sinsignos como, a la inversa, plantearnos si hay cognición puramente semiótica, esdecir, tal que no requiera la referencia a noción alguna, cognición que se denominó‘‘ciega’’ en la tradición leibniziana. En efecto, nuestro autor parte de la distinciónentre cognición intuitiva y cognición simbólica.14 Admite, sin más discusión, laposibilidad de la cognición intuitiva como aquella en la que nos representamos elobjeto sin recurrir a signo alguno, mientras que la cognición simbólica es aquellaen la que recurrimos a algún tipo de soporte semiótico. La cuestión se reduce, sim-plificando un poco, a si es indispensable que en la cognición simbólica el uso delos signos esté acompañado de una comprensión actual de su significado o si po-demos prescindir de ella. De una manera bastante ajustada, Hoffbauer reconocedos maneras de concebir la cognición simbólica, a saber, la puramente simbólica,que atribuye a Wolff, y la parcialmente simbólica, que sostiene Baumgarten. Fi-nalmente, concede a Leibniz la formulación de ambos tipos de cognición simbó-lica. De acuerdo con la primera, el uso de símbolos puede estar acompañado de larepresentación de su significado, aunque no es preciso que sea así, mientras quepara la segunda, el signo debe estar acompañado de su correspondiente noción. Elhecho de que la distinción se encuentre ya en Leibniz es problemático, pero no dis-cutiremos este punto aquí. Sea de ello lo que fuere, la distinción que formulaHoffbauer es importante, porque rige, hasta cierto punto, el tenor de sus investi-gaciones dirigidas a la búsqueda de la ‘‘perfección del signo’’, que, en el límite,debería constituir una síntesis de los aspectos objetivos o lógicos y subjetivos ocognitivos. En este sentido, Hoffbauer se inclina por la posición wolffiana, aun-que parece privilegiar los sistemas semióticos cuyos signos producen una com-prensión más o menos inmediata del significado, tal como ocurre con losdiagramas.

El lado objetivo: el análisis del signo qua signo

La relevancia de los signos para la cognición tiene como contrapartida lanecesidad de someter al signo a un análisis desde el punto de vista lógico u obje-tivo, tomando esta vez como punto de partida su relación con lo designado, es

13 Ibidem.14 TS, § 6, p. 61 (7).


decir, con la noción y, de manera mediata, con su objeto. O, dicho de otro modo,si los signos son un recurso casi indispensable para la cognición, debe realizarseun escrutinio de la relación de significación en orden a asegurar la certeza y laverdad de dicha cognición. De allí que sea necesario abordarlo desde una perspec-tiva objetiva o lógica, teniendo como meta la idea de una perfección lógica delsigno. Por esta vía, Hoffbauer llega a la idea de sistema semiótico (o sistema designos) dentro del cual puede darse la ‘‘perfección del signo’’.

Se establece una primera distinción fundamental entre la materia del signo ysu forma, que, de una manera bastante aproximada, corresponde a la distinción en-tre significante y significado en la tradición de Saussure. Así, la parte sensible delsigno representa su parte material, mientras que su significado, las ideas o nocio-nes, constituyen su parte formal.15 A su vez, los signos, materialmente considera-dos, se dividen en primitivos y derivativos. Un signo primitivo es tal que ya nopuede subdividirse en partes significantes, mientras que un signo derivativo esanalizable en términos de otros signos.16

Los signos que componen los signos derivativos son sus elementos. Estosúltimos pueden clasificarse en elementos formales y materiales, división que co-rresponde, aproximadamente, a la clásica distinción entre términos sincategoremá-ticos y categoremáticos. Ambos tipos de elementos se distinguen por la clase deobjetos o nociones que designan. Así, los elementos formales significan relacio-nes u operaciones, mientras que los elementos materiales se refieren a los objetosrelacionados o sometidos a una operación. Tanto por los ejemplos como por el tipode análisis, es claro que Hoffbauer está tomando como paradigma la aritmética yel álgebra. Los elementos formales se introducen generalmente mediante signosespeciales para las relaciones u operaciones, aunque pueden consistir también enel orden o en la combinación de signos y orden. También forman parte de los ele-mentos formales las desinencias y los prefijos. Así, la forma es la totalidad de loselementos formales de un signo derivativo, mientras que su materia está dada porla totalidad de los elementos materiales.17 Esta denominación es algo confundente,ya que se superpone con la anterior distinción entre materia y forma del signo engeneral.

El signo derivativo, con su elementos formales y materiales, es la clave parael diseño de un sistema semiótico apto para nuestras necesidades cognoscitivas,sistema que, en principio, debe reunir dos condiciones fundamentales, una cogni-tiva y otra más bien lógica: la primera consiste en que el sistema de signos tieneque facilitarnos una comprensión clara y distinta de las nociones, así como de susrelaciones y articulaciones;18 la segunda condición consiste en que el diseño de los

15 TS, § 7, p. 63 (9).16 TS, § 8, p. 63 (9).17 TS, § 9, pp. 64-65 (10-11).18 TS, §§ 11-12, pp. 66-67 (12-13).


signos debe ser tal que facilite la realización de inferencias y, por esa vía, posibi-lite la invención.

De una manera más o menos tácita, Hoffbauer sostiene una concepción‘‘composicional’’ del significado de un término derivativo. Esto es, su significadose obtiene por la composición de los significados de los elementos formales y ma-teriales. De un modo bastante explícito, ello implica un isomorfismo al menos en-tre el signo y la noción correspondiente, es decir, el signo reproduce el orden y lacomposición de su designado. A partir de esta concepción ‘‘composicional’’,Hoffbauer formula los requisitos de un signo derivativo perfecto, al cual da el nom-bre de ‘‘esencial’’. En efecto, para que tengamos un signo derivativo ‘‘esencial’’,debemos formular reglas universales de construcción de signos derivativos a partirde signos materiales primitivos y reglas de asignación unívoca de significado a lossignos primitivos. De este modo, las reglas de derivación nos permiten obtener el sig-nificado de la expresión compleja (signo derivativo) a partir de los significados delos elementos materiales, que en principio son signos primitivos. No queda claro, sinembargo, que estatuto poseen los elementos formales en esta derivación, aunque ne-cesariamente tienen que cumplir un papel fundamental. Es claro, de todos modos,que Hoffbauer no les concede el mismo rango que a los signos materiales en lo querespecta a su significado. La segunda condición para el signo esencial está dada porla desambiguación de los signos materiales y formales, en el sentido de que cadasigno material debe tener uno y sólo un designado. Dado que los elementos primiti-vos tienen que estar dotados de significado, el ‘‘signo esencial’’ tiene asignado siem-pre un significado y, como condición cognitiva, dicho significado siempre tiene quepoder ser comprendido fácilmente a partir de los significados asignados a los signosprimitivos. Al respecto, y siguiendo la tradición leibniziana, Hoffbauer propone elarte característico derivativo como una disciplina cuyo fin es la formulación dereglas universales para la construcción de sistemas de signos esenciales en general.19

Precisamente, en conexión con el concepto de signo esencial es que Hoffbauerintroduce el concepto de sistema semiótico (o sistema de signos, para ser más pre-cisos). Un sistema semiótico es un sistema de signos esenciales diseñados para unaclase especial de objetos. En un sistema semiótico, se debe poder construir un sig-no para designar cualquier objeto de la clase a partir de los signos primitivos oelementales y las correspondientes reglas de derivación. Un caso paradigmático desistema semiótico está representado por la numeración arábiga, en la que se cumplede manera satisfactoria la posibilidad de construir signos esenciales para todos losnúmeros enteros a partir de la serie básica de signos del 0 al 9. La extrapolacióndel concepto de sistema semiótico a la totalidad de los objetos da por resultado unsistema semiótico universal o, lo que es lo mismo, un lenguaje universal, al esti-lo del que había propuesto Leibniz.20

19 TS, § 12, p. 67-68 (13-14).20 TS, § 13, p. 70 (16), § 14, p. 71 (17).


Los sistemas semióticos se distinguen por poseer distintos grados de perfec-ción, la cual está dada por el hecho de si sus signos materiales primitivos desig-nan algo primitivo o compuesto. En el supuesto de que todos los objetos de la clasecorrespondiente sean analizables en términos de un número finito de objetos en símismos inanalizables, es más perfecto aquel sistema semiótico que asigna a cadaobjeto simple un signo primitivo. Así, por ejemplo, la numeración binaria es másperfecta que la decádica, ya que la primera requiere sólo dos signos, el 0 y el 1,para expresar la totalidad de los números, mientras que la numeración decádicanecesita los caracteres del 0 al 9.

De acuerdo con las consideraciones anteriores, Hoffbauer concibe el signoperfecto fundamentalmente dentro del marco de los sistemas semióticos enten-didos como sistemas de construcción de signos esenciales, en el que los conte-nidos semánticos se fijan a través de los signos primitivos materiales (y formales,si cabe) y las reglas de derivación a partir de los primeros. En términos genera-les, el sistema semiótico resultante es un lenguaje o un sistema análogo a unlenguaje.21

Sin embargo, Hoffbauer admite otro tipo de signo, diferente del ‘‘signoesencial’’. En este caso, el signo se aparta del modelo del signo esencial, demodo tal que la relación de significación se torna más matizada. Se trata del sig-no jeroglífico, designación que Hoffbauer toma de la Psicología Empírica deWolff.22 En efecto, el rasgo fundamental del signo jeroglífico (que podríamos tra-ducir sin demasiada arbitrariedad por ‘signo icónico’) consiste en que la relaciónde significación es más compleja que los dos tipos de conexión entre signo y de-signado que Hoffbauer había aceptado al principio de sus análisis. Recordemosque dicho nexo era o bien de carácter natural o bien convencional. Pues bien, enel signo jeroglífico la relación de significación se da a través de una transferenciametafórica, fundada en una relación de analogía estructural. De este modo, laforma del signo mismo es transferida o proyectada sobre lo designado, de modotal que aquél se convierte en la imagen visual de éste, de acuerdo con el esque-ma de la distinción entre denominación propia e impropia. Así, todo lo que puedeafirmarse propiamente del signo en cuanto tal, vale impropiamente también paralo designado. A partir de este esquema, que merece profundizarse, Hoffbauerpuede incorporar los diagramas como casos de conocimiento simbólico que nopueden reducirse fácilmente a los requisitos de un sistema semiótico de tipo‘‘lingüístico’’.23 Como ejemplos paradigmáticos de signo jeroglífico examina losdiagramas lineales de Lambert y Euler para las proposiciones categóricas, quesomete a una evaluación comparativa.

21 TS, § 20, pp. 78-79 (24-25).22 Wolff (1736), § 157, pp. 69-70.23 TS, § 22, p. 88 (34) y ss.


Signo e invención

La importancia de los sistemas semióticos (que llevan a los signos a su ‘‘per-fección’’) se revela fundamentalmente en su aplicación a la invención, es decir, ala ampliación de nuestro conocimiento. En este punto es donde, también, podemosconfrontar la eficacia comparativa de los signos esenciales en relación con los sig-nos jeroglíficos o icónicos. Trataremos de mostrar que, en términos generales,Hoffbauer, siguiendo ideas de Lambert, muestra cierta preferencia por los signosjeroglíficos, especialmente cuando se trata de evaluar las ventajas de los sig-nos desde el punto de vista cognitivo.24

En la sección anterior abordamos la cuestión de los signos desde el punto devista de la clarificación del significado, es decir, de la relación semántica. En esteapartado nos dedicaremos, de manera sintética, al aspecto inferencial de la utili-zación de los signos, es decir, qué es lo que hace posible que los signos nos per-mitan realizar inferencias que produzcan una ampliación de nuestro conocimiento,es decir, en qué medida son o pueden ser instrumentos para la invención. En prin-cipio, nuestro autor caracteriza la invención siguiendo, de manera más o menos im-plícita, el paradigma de la matemática y, especialmente, del álgebra, ya que ladefine como el conocimiento de las cosas desconocidas a partir de las conocidas,utilizando el razonamiento. Por eso, su concepción de la invención es fuertementeinferencial y deductiva, en la medida en que supone que lo desconocido está de-terminado por sus relaciones con lo conocido.25

Hoffbauer concibe las reglas de inferencia como parte las reglas de deriva-ción de un sistema semiótico, aunque no las distingue claramente de las reglas dederivación semántica. Parece conformarse con la aclaración sumamente vaga deque en un sistema semiótico las reglas derivadoras suponen que la cosa designa-da (por un signo derivativo) está determinada por las relaciones que mantiene conel resto de los objetos que constituyen el dominio del sistema.

En la práctica, las reglas de inferencia se ejemplifican mediante leyesalgebraicas y son de dos tipos: o bien permiten una comprensión inmediata de laley que determina lo buscado o bien se debe realizar una transformación regula-da para hallar la regla de solución, como ocurre en la solución de una ecuacióngeneral. De este modo, partiendo del paradigma del álgebra, obtenemos un modeloalgorítmico de la invención mediante signos. En cualquier caso, a pesar de la efi-ciencia del álgebra, no se la puede considerar como un verdadero sistema se-miótico, ya que sus signos no son esenciales. Así, su estatuto queda un tantoindeterminado y, hasta cierto punto, es dependiente del lenguaje común.26

24 Esquisabel (2006).25 TS, § 25, pp. 96-98 (42-44).26 TS, §§ 26-27, pp. 98-102 (44-48).


En lo que respecta al signo jeroglífico o diagrama, las reflexiones de Hoff-bauer se limitan a los diagramas de Lambert y de Euler, por lo cual sus conclusio-nes valen precisamente para esos casos y, más concretamente, para Lambert. Encualquier caso, se puede concebir como un modelo de lo que un diagrama debe-ría proporcionar. En suma, el rasgo distintivo de la inferencia mediante los signosjeroglíficos consiste en que el trazado mismo de los datos, que en el caso deLambert y de Euler son las premisas, determina inmediatamente la conclusión, locual puede comprobarse ante los ojos, por las propiedades mismas del signo jero-glífico.27 Al tipo de inferencia (o invención) diagramática, Hoffbauer la denomi-na ‘‘metafórica’’, por la naturaleza misma del signo jeroglífico. En efecto, comodijimos anteriormente, la inferencia tiene lugar en la medida en que todo lo que sedice propiamente del signo jeroglífico vale también, pero impropiamente, de lo de-signado. Esta transposición metafórica funda una especie de isomorfismo entre elsigno jeroglífico y su significado, que Hoffbauer denomina ‘‘paralelismo’’: tieneque haber una correspondencia biunívoca entre los elementos del signo y los ele-mentos del designado. Del mismo modo, las relaciones que se dan entre los ele-mentos del signo tienen que tener su correspondencia en las relaciones que se danentre los elementos del designado. Desde este punto de vista, y siguiendo ideas deLambert, en la representación diagramática se produce, idealmente, la fusión delsigno con lo significado, de modo tal que la teoría del signo se funde con la teo-ría del designado.28

En suma, y teniendo en cuenta que la perfección del signo para el conoci-miento simbólico debe cumplir con los requisitos tanto de una adecuada cognición(‘‘perfección subjetiva’’) como de una representación exacta del objeto y apta parala realización de inferencias (‘‘perfección objetiva’’), los signos jeroglíficos pa-recieran ser los portadores por excelencia de conocimiento simbólico, en la me-dida en que, como sostenía Lambert, la transposición metafórica permite poner la‘‘cosa misma’’ ante los ojos.

Conclusión

En nuestra exposición, hemos intentado presentar los puntos principales delas concepciones semióticas de Hoffbauer, tal como las sistematiza en los Tenta-mina semiologica. Más allá de sus méritos o defectos, la mencionada obrita cons-tituye una estupenda síntesis en la que se refleja, en pequeño y casi liminarmente,ese gran programa de sistematización de los lenguajes científicos que Leibnizhabía iniciado en el siglo XVII, a la par de sus reflexiones sobre la importanciacognoscitiva de los sistemas semióticos. Es más, como para comprobar que esa

27 TS, § 29, p. 104 (50).28 TS, § 30, pp. 106-107 (52-53).


tradición leibniziana genera en sí misma una tensión intrínseca, que podría expre-sarse de una manera sintética a través de la oposición entre visualización (lo grá-fico) y cálculo ciego (lo simbólico), hemos visto que reaparece, nuevamente, enesta pequeña gema de los inicios de la semiótica sistemática. De acuerdo con losactuales desarrollos acerca de esa misma problemática, quizá podemos decir quese trata de una cuestión que pertenece ‘‘a la cosa misma’’.

Bibliografía

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Esquisabel, O. M. 2012. ‘‘Representing and Abstracting. An Analysis of Leibniz’s Conceptof Symbolic Knowledge’’, en: Lassalle Casanave (2012), pp. 1-49.

Favaretti Camposampiero, M. 2009. Pensiero e linguaggio in Christian Wolff e nella primaetà moderna. Hildesheim, Olms.

Hoffbauer, J. Ch. 1789. Tentamina Semiologica sive quaedam Generalem TheoriamSignorum Spectantia. Halle. [Semiological Investigations or Topics Pertaining to theGeneral Theory of Signs. Reprint of the original text. Edited, translated and with anIntroduction by Robert E. Innis. Amsterdam/Philadelphia, John Benjamins PublishingCompany, 1991].

Lassalle Casanave, A. 2012. Symbolic Knowledge from Leibniz to Husserl. London,College Publications.

Wolff, Ch. 1736. Psychologia Empirica, Methodo Scientifica Pertractata. Verona.

EL PENSAMIENTO SIMBÓLICO LEIBNIZIANOY LA NOTACIÓN MUSICAL*

FABRÍCIO PIRES FORTES

Universidade Federal da [email protected]

1. Introducción

¿Es posible llevar a cabo operaciones de pensamiento sin considerar directa-mente las nociones involucradas? Leibniz creía que sí. Aún más: para el filósofoy matemático de Leipzig tal vez esta sea la única manera que el intelecto huma-no es capaz de obrar. La razón radica en el hecho de que debido, por un lado, a lacomplejidad de las nociones con las que normalmente se opera, y por otro, a laslimitaciones cognitivas humanas, es necesario el uso de signos para realizar conéxito nuestras operaciones cognitivas. Desde esta perspectiva, Leibniz introdujola distinción entre los tipos de pensamiento (o de conocimiento) intuitivo y sim-bólico. El primero, en general, sería aquél en que los conceptos involucrados sonconsiderados de manera directa, exhaustiva, completa y simultánea por el sujetodel conocimiento; el último, a su vez, tendría como característica básica el uso designos en lugar de los conceptos (o las cosas), y la realización de las operacionesde construcción y de transformación simbólica en lugar de una consideración di-recta, exhaustiva, completa y simultánea de los conceptos (o las cosas) que susti-tuyen.

Sin embargo, Leibniz no parece haber sido demasiado optimista sobre la po-sibilidad del pensamiento intuitivo dadas las condiciones cognitivas humanas. Te-niendo en cuenta los requisitos de la contemplación directa, exhaustiva, completay simultánea de las nociones implicadas, las operaciones del pensamiento huma-no mantienen –al menos en la mayoría de los casos– una relación de dependenciacon el uso de los signos. Por lo tanto, lo que Leibniz llama pensamiento intuitivopuede ser visto como un caso límite, para el que puede, incluso, no haber un ejem-

* Agradezco a la Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES, Bra-sil), por el financiamiento de la investigación que resultó en este capítulo, a través del projeto 042/12 CAFP-BA, ‘‘Conhecimento Simbólico e Conhecimento Gráfico’’, y a los profesores Abel LassalleCasanave (UFBA, Brasil) y Oscar Miguel Esquisabel (UNLP, Argentina), por la orientación de la in-vestigación y por todas las valiosas contribuiciones a este trabajo.


plo concreto, de modo que el pensamiento simbólico se entiende como una necesi-dad. Por ejemplo, en ciertas operaciones aritméticas relativamente triviales, como laadición de grandes cantidades, tener que considerar directamente y a la vez cada unade las ideas en cuestión involucraría un gran esfuerzo del pensamiento y de la me-moria, y sólo con mucha demora uno llegaría al resultado con tal procedimiento. Sinembargo, con el uso de una notación aritmética eficiente y con la aplicación de de-terminadas reglas de construcción y transformación a los signos de esta notación, elresultado se puede obtener fácilmente por manipulación simbólica. En la práctica,este último modelo se emplea efectivamente en tales operaciones.

Situaciones como esta se pueden observar en la música. A menudo, tanto en lacomposición y en la ejecución, los objetos con los que se trabaja exceden los lími-tes de la aprehensión intelectual humana. Por ejemplo, se puede pensar el caso detener que dividir un pasaje musical en notas de duración muy rápida, como lascuartifusas (1/128). En tal caso, no parece razonable aceptar que sea posible (poranalogía) considerar directamente y a la vez cada uno de los sonidos que componenel tramo resultante (en un movimiento Allegro, por ejemplo, cada nota tendría unaduración de aproximadamente 0,0039 segundo). Además, se puede considerar el casoen el que la composición consiste en un gran número de superposiciones de voces ysecuencias de muy larga duración. Si al componer una sinfonía, por ejemplo, el autorse viera obligado a tener en cuenta, cada vez, todos los elementos que componen laobra, nunca podría ser capaz de llevar a cabo una composición. Por lo tanto, es ne-cesario hacer uso de algún sistema simbólico sobre cuyos límites y posibilidades lacomposición, incluso haciendo uso de ideas altamente complejas, se pueda realizar.

En este capítulo, tratamos de aplicar las ideas de Leibniz sobre el pensamientosimbólico, generalmente asociadas con las observaciones sobre la aritmética y elálgebra, al caso específico de la notación musical tradicional. Para esto, en la sec-ción 2, basada, en gran parte, en la investigación colectiva sobre la noción de pen-samiento simbólico de Leibniz a Husserl que encontramos en Lassalle Casanave(ed.) (2012), se hace una caracterización general de esta noción. En la sección 3,se pretende mostrar cómo los aspectos fundamentales del pensamiento simbólicopueden estar asociados con el caso de la notación musical tradicional.

2. El pensamiento simbólico

Esquisabel,1 en un análisis profundo de la noción de pensamiento simbólico enLeibniz,2 señala varios aspectos que caracterizan la utilización de los signos. Se pue-

1 ‘‘Representing and Abstracting: an analysis of Leibniz’s concept of symbolic knowledge’’(Esquisabel, 2012).

2 Como señaló Esquisabel (op. cit., pp. 1-4), la terminología de Leibniz para este concepto hacambiado en toda su obra. Términos como pensamiento ciego (cogitatio caeca), conocimiento cie-go (cognitio caeca), conocimiento supositivo (cognitio suppositiva), pensamiento simbólico (cogitatio

EL PENSAMIENTO SIMBÓLICO LEIBNIZIANO Y LA NOTACIÓN MUSICAL 111

den destacar, inicialmente, tres de estos aspectos. En primer lugar, es importantetener en cuenta que los signos como objetos físicos permiten la sensibilización deldesignado. Por lo tanto, sobre el soporte de los signos, los pensamientos son trata-dos visualmente, de modo que muchos aspectos de las nociones implicadas –loscuales podrían permanecer ocultos sin el uso de tal recurso– se muestran a la percep-ción en el ámbito sensible. En segundo lugar, los signos tienen un aspecto ordena-dor, es decir, permiten la organización de ideas sobre la estabilidad de una basesensible. De ahí la ventaja de que, con el uso de signos, se tiene una especie de guíapara el pensamiento, con lo cual se evitan errores debido a la obediencia a las reglasde manipulación simbólica. En tercer lugar, se debe considerar el hecho de que lossignos agilizan la realización de las operaciones del pensamiento, relevando al in-telecto humano de tareas que –si fueran realizables– serían extremamente arduas sinrecurrir a este tipo de soporte. De acuerdo con la terminología empleada por Esqui-sabel, este sería un factor psicotécnico asociado con el pensamiento simbólico, ytendría como características básicas la economía del pensamiento y de la memoria.

Además de estos aspectos, también se pueden asignar determinadas funcio-nes a los signos desde el punto de vista del pensamiento simbólico leibniziano.Esquisabel presenta y analiza una lista de tales funciones, entre las que se puedendestacar la función de subrogación, la función de cálculo y la función ectética. Lafunción de subrogación puede ser caracterizada como la capacidad que tienen lossignos de reemplazar (o ‘‘estar por’’), cosas, ideas o nociones, de manera que lamanipulación simbólica puede dispensar la consideración directa, exhaustiva,completa y simultánea de entidades o conceptos. Cuando hablamos, en general, notenemos en cuenta los significados de las palabras que empleamos. No obstante,podemos comunicarnos e incluso hacer inferencias con ellas. Este rasgo del pen-samiento simbólico plantea el siguiente problema: puesto que se puede pensar conpalabras de significado vago o inclusive contradictorio, ¿cómo garantizar laconfiabilidad de los pensamientos que se hacen sin la consideración de los concep-tos o entidades subrogados? Leibniz asocia este problema a la naturaleza mismadel lenguaje ordinario, y apunta como solución la regimentación de este lengua-je con el uso de reglas inequívocas y definiciones reales.3 De acuerdo con Leibniz,si tuviéramos –al servicio del pensamiento filosófico, por ejemplo– un lenguaje taneficiente cuanto el que utilizan los matemáticos, podríamos tratar los conceptosfilosóficos con la exactitud con que tratamos los conceptos aritméticos y losalgebraicos. Así, tal solución está asociada con la segunda función destacada an-teriormente, es decir, la función de cálculo.

symbolica) y conocimiento simbólico (cognitio symbolica) son utilizados por el autor en diferentesobras, para referirse a un tipo de pensamiento que se lleva a cabo con los signos, en detrimento deuna supuesta consideración de las ideas.

3 Las definiciones reales se diferencian de las llamadas definiciones nominales por el hecho deque no solamente enumeran las notas del concepto definido, sino que muestran que el concepto es po-sible (Leibniz, 2011, pp. 117-118). Este problema es también tratado en Esquisabel, 2012, pp. 7-8.


Esta, por su parte, se caracteriza, en primer lugar, por permitir, a partir de laaplicación de reglas de construcción y transformación simbólica a los signos, ladeducción de otros signos. Dicho de otro modo, un sistema simbólico que reali-za esa función permite pasar mecánicamente de un determinado conjunto de sig-nos a otro, sin dejar espacio para la incertidumbre. Además, un tal sistema permitela inspección visual de los pasos de la operación, de modo que los errores tambiénpueden ser localizados por la simple atención a los signos, proporcionando así unacerteza ad oculos. Por consiguiente, asumen importancia los aspectos de sensibi-lización del designado y de ordenamiento, vistos anteriormente.4

Se pueden hacer aquí algunos breves apuntes sobre la relación entre la fun-ción de cálculo y la función de subrogación, vista anteriormente. En un sentido,se puede hablar de una función de cálculo vinculada a la subrogación de entida-des. Así, los signos son entendidos como sustitutos de los objetos, conceptos oideas, por lo que, para cada signo, se debe aceptar que existe algún tipo de enti-dad correspondiente. Sin embargo, en otro sentido, el cálculo se entiende mejorcomo la realización de operaciones en los signos mismos, sin que, en algún mo-mento, la consideración directa de estas entidades pueda interferir en las operacio-nes. Más aún, esta forma de entender el concepto de cálculo abre espacio a lapregunta sobre si es posible incluso, en algún sentido, considerar directamente lasnociones, fuera de la esfera simbólica. Por lo tanto, tal vez no se pueda decir quelos objetos, ideas o conceptos queden siempre aparte durante la operación, ya queen ciertas operaciones (como las del álgebra), ni siquiera están involucrados cua-lesquiera objetos, ideas o conceptos. Las operaciones simbólicas, así entendidas,no son operaciones con las entidades a través de signos, sino que son operacionesúnicamente sobre los signos.

Por último, considérese la función ectética. Se puede entender esta funcióncomo la capacidad que tienen ciertos sistemas simbólicos de exhibir las estructu-ras conceptuales a través de la sintaxis, es decir, de hacer visibles, en las formaso relaciones existentes en la estructura simbólica, ciertas formas o relaciones quese atribuyen al designado. Así, la función ectética está directamente ligada a lanoción de expresión, de manera que, para que sea posible decir que un signo oconjunto de signos cumplan esta función, es necesario que este signo o conjuntode signos no sólo sustituya a las nociones designadas, sino que exprese las conexio-nes entre las ideas que las componen.5

4 Sobre este punto, el siguiente pasaje de un texto de Leibniz, probablemente escrito entre 1677y 1678, es muy instructivo. ‘‘[L]as matemáticas llevan la prueba consigo mismas, pues cuando se mepresenta un teorema falso no me hace falta examinarlo, y ni siquiera saber su demostración, ya quedescubriré su falsedad a posteriori mediante un sencillo experimento que sólo requiere tinta y papel,es decir, por medio del cálculo, el cual mostrará el error, por pequeño que sea’’ (Leibniz, 2011, p. 20).

5 ‘‘Se dice que expresa una cosa aquello en que hay respectos (habitudines) que responden alos respectos de la cosa que va a expresarse. Pero esas expresiones son varias, por ejemplo, las me-didas de la máquina expresan la máquina misma, la proyección de la cosa sobre un plano expresa elsólido, el discurso expresa pensamientos y verdades, las cifras expresan números, la ecuación alge-


De manera similar a lo que hicimos con la función de cálculo, es interesantehacer aquí algunas observaciones sobre la relación entre la función ectética y lafunción de subrogación. Si la función ectética es entendida en vinculación con lasubrogación, entonces un sistema de signos que cumple tal función tendría unaespecie de correspondencia estructural con respecto a la estructura designada. Así,la función ectética puede ser pensada como una función estrechamente asociadacon la idea de morfismo. Sin embargo, cuando se consideran ciertos casos, comoel álgebra, no podemos decir que siempre esté en cuestión la subrogación. Aun-que en cierto sentido, el álgebra pueda ser considerada como un método para laresolución de problemas aritméticos y geométricos, otra perspectiva considera ladisciplina como un tipo de conocimiento puramente formal. Los signos del álge-bra, en consecuencia, no estarían en lugar de entidades o conceptos: exhibiríansintácticamente ciertas estructuras o formas. En casos como estos, la funciónectética, así como ocurre con la función de cálculo, no puede ser entendida envinculación con la función de subrogación.

Considérese ahora otro tema relacionado con el análisis de las diferentes fun-ciones desempeñadas por los signos. A partir de la consideración de tales funcio-nes, se puede establecer, como lo hace Lassalle Casanave,6 una distinción entre tressentidos según los cuales el concepto de pensamiento simbólico puede ser enten-dido. En el primer sentido, se puede caracterizar este tipo de pensamiento comoun sustituto o sucedáneo para el pensamiento intuitivo. En otras palabras, al sus-tituir las cosas, ideas o nociones por signos, la manipulación simbólica permitiríalograr resultados que podrían, en principio, ser alcanzados por el pensamientointuitivo, es decir, sin la apelación a los signos. En un segundo sentido, el pensa-miento simbólico puede entenderse mejor como una extensión del pensamientointuitivo. Una vez admitidos en la operación no sólo signos que ‘‘están en lugarde objetos’’, sino también algunos elementos que se caracterizan simplementecomo reglas o elementos de cálculo –tales como, por ejemplo, la raíz cuadrada denúmeros negativos– no parece que se esté simplemente reemplazando el pensa-miento intuitivo, sino que se va más allá de su alcance. En este segundo sentidose entiende que los signos permiten ciertas ventajas (tales como la rapidez, porejemplo) y que llegan incluso, en algunos casos, a posibilitar ciertas operacionescognitivas que no se podrían realizar según el modelo leibniziano de pensamien-to intuitivo. Por último, sobre todo teniendo en cuenta la función ectética en su

braica expresa círculos u otras figuras. Y lo que todas estas expresiones tienen en común es que sólopor la contemplación de los respectos de aquello que expresa podemos llegar al conocimiento de pro-piedades que corresponden a la cosa que va a expresarse. De ahí resulta evidente que no es necesa-rio que aquello que expresa sea igual a la cosa expresada siempre que se conserve alguna analogíapara los respectos’’ (Leibniz, 2011, p. 25).

6 ‘‘Kantian Avatars of Symbolic Knowledge: the role of symbolic manipulation in Kant’sphilosophy of mathematics’’ (Lassalle Casanave, 2012, pp. 52-56); ‘‘Conocimiento Simbólico’’(Lassalle Casanave, 2010, pp. 21-27).


acepción más fuerte, el pensamiento simbólico se puede tomar en un tercer sen-tido, es decir, como una especie de pensamiento formal. En otras palabras, seríaun pensamiento cuya noción no involucra ningún compromiso con los objetosmismos, sino que sólo se refiere a estructuras o relaciones simbólicamente expre-sadas.

En esta perspectiva, consideremos de nuevo el llamado factor psicotécnicoasignado a los signos, asociado a cada uno de estos sentidos de pensamiento sim-bólico. Si la noción de pensamiento simbólico es tomada en el sentido de un merosustituto para el pensamiento intuitivo, entonces, se puede decir que el factorpsicotécnico se configura como la única ventaja del pensamiento simbólico, puestoque, desde este punto de vista, las mismas operaciones que se llevan a cabo conlos signos podrían realizarse via la consideración de las ideas o nociones, aunquepodrían exigir más tiempo y esfuerzo. Diferentemente, si el pensamiento simbó-lico se entiende como una extensión del pensamiento intuitivo, no se puede decirque la economía del pensamiento y de la memoria sea la única ventaja asociadacon el uso de signos, pues se debe aceptar que algunas de las operaciones que serealizan con los signos no se podrían llevar a cabo intuitivamente. Finalmente, silo que está en cuestión es un modelo de pensamiento simbólico como un pensa-miento puramente formal, entonces ni siquiera se puede asignar un factorpsicotécnico a la utilización de los signos, excepto quizás si pensamos en algunaulterior aplicación de ese conocimiento formal a alguna estructura o relación es-pecífica. Si el pensamiento es de carácter puramente formal, de manera que no serefiere a la consideración de los objetos o conceptos, se sigue que ni siquiera se-ría posible lo que Leibniz llama pensamiento intuitivo. Por lo tanto, cuando serealizan manipulaciones simbólicas, tal vez no estemos propiamente ahorrando elpensamiento o la memoria, ya que no se puede guardar lo que no se tiene.

3. La notación musical bajo la perspectiva del pensamiento simbólico

En esta sección, se investigan las posibles aplicaciones de las funciones vis-tas anteriormente, así como las distintas concepciones del pensamiento simbóli-co que emergen de ellas, a los signos de la notación musical. Para eso, considérese,en primer lugar, la llamada función de subrogación. Una explicación muy simple–y también muy apresurada– para la aplicación de esta función al caso de la mú-sica y su notación puede ser de la siguiente manera: los signos de la notaciónmusical (o, al menos, una parte de ellos) sustituyen los objetos (o imágenes) acús-ticos.7 Así, cada sonido sería reemplazado por una figura específica puesta en una

7 Por motivos de brevedad, no contemplamos, en este capítulo, la discusión acerca de la semán-tica de la notación musical. Términos tales como ‘‘sonidos’’, ‘‘imágenes acústicas’’ y ‘‘objetosmusicales’’ se utilizan en distintos momentos de la investigación, para hacer referencia muy gene-ral al designado de esta notación.


posición determinada en relación a la clave en el pentagrama, y cada momento desilencio sería, a su vez, reemplazado por una figura de silencio. Ahora bien, seríaapropiado preguntar: ¿qué se quiere decir cuando se afirma que las figuras de lossilencios sustituyen objetos? Se podría decir, si se está de acuerdo en que los so-nidos musicales son objetos, que los silencios indican precisamente la ausencia deestos objetos, y eso no parece una relación de sustitución. Por lo tanto, a primeravista, no se puede tratar la relación entre la música como ‘‘hecho acústico’’ y lossignos de la notación musical como una simple relación de sustitución o subroga-ción.

Así, tampoco parece razonable sostener, en el caso de la notación musical,una concepción de pensamiento simbólico como mero sucedáneo del pensamientointuitivo. Tal concepción involucraría la afirmación de que, en la composición, lasoperaciones con signos podrían en principio ser llevadas a cabo a través de laconsideración directa de los objetos o ideas musicales. El papel de la notación, porlo tanto, no sería más que el de abreviar o acelerar la ejecución de las tareas quepodrían realizarse sin el recurso a la esfera simbólica. Por lo tanto, los procesos decomposición y ejecución podrían ser descritos de la siguiente manera: el compo-sitor sustituye a las imágenes acústicas que constituyen una obra por los signos dela notación musical; un músico o grupo de músicos familiarizados con el funcio-namiento de la notación pueden reproducir, por mera atención a los signos, lasimágenes acústicas por las cuales estos signos están.

Este planteamiento está de acuerdo con aquello que Zampronha (2000) lla-ma la concepción tradicional de la notación musical,8 según la cual esta notaciónse entiende como un código secundario de registro, exterior a la música y diferentede ella. Sin embargo, como se discutió anteriormente, si se toman en cuenta loscasos en que las obras se componen de estructuras muy complejas, que involucranun gran número de voces superpuestas, largas y altamente sofisticadas progresio-nes armónicas y secuencias melódicas, organizadas en numerosos movimientos,no parece razonable sostener que una consideración directa de ideas u objetos seaposible. Por lo tanto, tal vez la notación musical deba entenderse no como un có-digo secundario, un sustituto de la intuición, sino como un aspecto constitutivo dela propia música. Si es así, incluso en los casos de combinaciones musicales nodemasiado complejas, algún sistema de signos, aunque rudimentario, es necesa-rio para la composición.

Considérese ahora la segunda función caracterizada en la sección anterior, lallamada función de cálculo. Por tal función, sobre todo en el caso de la matemá-tica, se entiende la capacidad que tienen algunos sistemas simbólicos de permitirextraer, de un conjunto previamente estipulado de signos, via la aplicación de cier-tas reglas, otros signos que no eran explícitos en el conjunto anterior. En el caso

8 ‘‘Notação, Representação e Composição: um novo paradigma da escritura musical’’ (Zam-pronha, 2000, pp. 21-40).


de la notación musical tradicional, una aplicación de esta función consistiría en laposibilidad de calcular, con el uso del sistema simbólico musical, combinacionesentre los sonidos. Así, las posibilidades de combinación de los ‘‘objetos musica-les’’ estarían determinadas, en algún sentido, por las posibilidades de combinaciónentre los signos de la notación musical utilizada. Por lo tanto, una simple manipu-lación simbólica, dentro de estas posibilidades, permite extraer combinaciones queresponden a un patrón predeterminado.

También se debe señalar casos como el de la música dodecafónica deSchoenberg y Webern. A diferencia de la música tonal tradicional, en la que hayuna jerarquía entre los grados de la escala, en el atonalismo dodecafónico, los docesonidos que constituyen a la ‘‘escala cromática’’ son tratados por igual. Así, elprincipio ordenador del sistema ya no es la idea de la tonalidad, sino el conceptode la serie dodecafónica. En general, este concepto se refiere a una secuencia enla que deben aparecer los doce sonidos, sin que se repitan hasta que todos sean eje-cutados. A partir de entonces se pueden realizar cambios en esta serie, dando comoresultado, por ejemplo, la retrogradación (la serie original ejecutada de adelantehacia atrás), la inversión (la serie original con todos los intervalos invertidos) y lainversión retrógrada (la serie original ejecutada de adelante hacia atrás con losintervalos invertidos). Ahora bien, aquí más explícitamente, la función de cálcu-lo se muestra esencial, ya que se refiere, al igual que el caso de la aritmética y elálgebra, a algún tipo de derivación de signos a partir de otros establecidos previa-mente.

Otro aspecto relacionado con el cálculo se refiere al uso de los signos que, porasí decirlo, no están por los objetos, sino que sirven como herramientas útiles.Como vimos anteriormente, en la aritmética, elementos como los números irracio-nales, los complejos (o imaginarios) y los infinitesimales son buenos ejemplos deestas ‘‘ficciones’’ útiles para el cálculo. También de acuerdo con las notas de lasección anterior, teniendo en cuenta estos elementos, aunque se acepta que otrossignos puedan cumplir con la función de subrogación, el pensamiento simbólicoya no puede ser tratado como un mero sustituto del pensamiento intuitivo. Pues-to que no se tiene una relación en la que todos los signos están por algún objeto,sino que se utilizan signos que no subrogan con el fin de optimizar las operacio-nes, el pensamiento simbólico se caracteriza mejor como una extensión del pen-samiento intuitivo. En la notación musical, se pueden caracterizar las figuras desilencio como ejemplos de este tipo de elemento. Teniendo en cuenta que, comose ha visto anteriormente, tales figuras no están por objetos y, sin embargo, sonherramientas extremadamente útiles tanto para la composición y la ejecución,pueden ser tratados como elementos de cálculo en el mismo sentido que, por ejem-plo, lo es el numeral ‘‘0’’ en la aritmética.

Finalmente, considérese la función ectética asignada al pensamiento simbó-lico. Como se ha visto anteriormente, esta función se caracteriza por la exhibición,a través de algunos tipos de signos (y de las relaciones entre estos signos), de cier-


tas conexiones estructurales de lo designado. En este sentido, apuntamos hacia lahipótesis de que se puede hablar, también en el caso de la notación musical occi-dental, de una función ectética realizada por los signos, y esto se evidencia en laconsideración de algunos aspectos relacionados con esta notación y la música quese hace con ella. Consideremos más detenidamente en lo que sigue, algunos deestos aspectos.

Uno de ellos es el hecho de que tal notación se presta, por lo menos con res-pecto a la altura y la duración de los sonidos, a la tarea de mostrar o exhibir rela-ciones. Por una parte, la exhibición se produce por las propias relaciones entre lossignos, como en el caso de la sucesión temporal, en que la secuencia temporal delos sonidos es representada espacialmente por la secuencia horizontal de izquier-da a derecha. Por otra parte, se utilizan signos específicos para las relaciones dealtura, de manera que tales relaciones no están indicadas solamente por la coloca-ción vertical de las notas, sino que es necesario añadir los signos de alteración(sostenido, bemol, etc). Una vez que se tenga el dominio sobre las normas querigen este sistema de notación, la atención a los signos permite la aprehensión delas relaciones de altura y de duración en la propia esfera simbólica. Por lo tanto,la expresividad del sistema simbólico es determinante, y eso se pude observar enla comparación de la notación musical tradicional con sistemas más rudimentariosde representación. Si se intenta representar una línea melódica, aunque muy sim-ple, solamente con palabras (do, re, mi, etc.), por ejemplo, lo máximo que se po-dría visualizar sería la mera sucesión temporal, por el orden en que las notas debenser leídas. Sin embargo, esta escritura no podría decir, a partir de sus propiedades,nada sobre el movimiento melódico en sí mismo, ni sobre la duración de cada nota.

Otro aspecto que enfatiza la idea de una exhibición estructural en la notaciónmusical tradicional es la imposibilidad, en algunos casos, de utilizar esta notaciónpara producir composiciones propias de otros sistemas musicales, tales como lamúsica hindú. El sistema tradicional de la música occidental está compuesto pordoce sonidos fijos, separados por intervalos de altura idénticos. Para este sistema,la notación musical tradicional es suficientemente eficiente. Sin embargo, si seintentase producir con tal notación composiciones similares a las de la música dela India, que se hace en un sistema con un mayor número de sonidos separados porintervalos que no son fijos, se enfrentaría un número –tal vez insuperable– de di-ficultades.

Lo mismo ocurre, por ejemplo, en ciertas situaciones que se crearon en elpropio contexto de la música occidental, tales como la música microtonal (tambiénllamada ultracromatismo). A partir de los experimentos llevados a cabo por JuliánCarrillo9 en 1895, se logró un temperamento igual que divide la octava no en 12intervalos, sino en 96. Obviamente, la notación tradicional no podría dar cuentade tal sistema, puesto que las estructuras difieren mucho entre sí con respecto al

9 ‘‘El Sonido 13: el infinito en las escalas y en los acordes’’ (Carrillo, 1957).


número de elementos involucrados. Esto llevó al compositor mexicano a crear unnuevo sistema de notación para la música desarrollada en este nuevo temperamen-to. Esto es debido al hecho de que el sistema de notación tradicional es bastanteeficiente para la designación de las ‘‘estructuras musicales’’ dentro de un ciertoconjunto de posibilidades que caracterizan lo que se llama, muy generalmente, el‘‘sistema musical occidental’’. Sin embargo, cuando se trata de utilizarlo para pro-ducir una música cuyo sistema trasciende estos límites, su efectividad no estáigualmente garantizada. En otras palabras, el sistema de notación tradicional nomuestra estructuras musicales cualesquiera, sino una muy específica: la estructu-ra del sistema tradicional de la música occidental.

Cabe ahora llamar la atención a lo siguiente: como se ha visto anteriormen-te, la función ectética puede ser tratada de dos diferentes maneras, dependiendo dela relación con la función de subrogación. Si se trata de la función ectética en aso-ciación con la subrogación, es decir, si se considera que la estructura de esta no-tación reemplaza o refleja una estructura sonora preexistente, el pensamientosimbólico en cuestión debe ser entendido como un sustituto, o a lo sumo, como unaextensión del pensamiento intuitivo. Esta perspectiva, aunque no trate el designadode la notación como una especie de objeto, todavía estaría en consonancia con lavisión tradicional de la notación musical. Sin embargo, otro punto de vista posi-ble trata de asignar a la notación un carácter constitutivo en relación con el fenó-meno musical, es decir, una suerte de prioridad de la notación en relación con lacomposición. De acuerdo con esta forma de entender, la manipulación simbólicano se refiere a un sistema de música pre-existente, reflejado –aunque estructural-mente– en el sistema simbólico, sino que es entendida como realizando operacio-nes simbólicas. En esta perspectiva, tanto en la notación musical como en otrossistemas simbólicos, lo que generalmente se llama representación se caracterizamejor como una forma de ‘‘invención’’ o de ‘‘creación’’. Por lo tanto, quizás elconjunto de posibilidades para la manipulación simbólica sobre la base de la no-tación musical sea lo que constituye el sistema y no lo contrario. Por consiguien-te, el pensamiento simbólico es así entendido en su sentido más fuerte, es decir,como un tipo de pensamiento puramente formal y, por lo tanto, como algo ajenoa la posibilidad misma del pensamiento intuitivo.

Si bien esta tesis puede parecer demasiado radical, es posible defenderla so-bre la base de algunas consideraciones relativas a la relación entre la historia dela música y la historia de la notación musical. De acuerdo con la concepción tra-dicional, la evolución histórica de la notación musical se entiende como un mo-vimiento para satisfacer las demandas generadas por la introducción de nuevoselementos a la música. Por lo tanto, las mejoras en la notación se tratan comoaumentos en el nivel de precisión de la representación. Sin embargo, como ha se-ñalado Zampronha,10 se pueden identificar en la historia de la música algunos mo-

10 Zampronha, 2000, pp. 14-15.


mentos en que la evolución de la notación musical fue lo que hizo posibles gran-des cambios de paradigma en la composición. Considérese, por ejemplo, el pasa-je de la monodia a la polifonía11 en el siglo XII. Este cambio radical en la manerade concebir y producir la música sólo fue posible cuando el sistema de notaciónutilizado pasó a permitir la designación de las relaciones exactas de duración.12 Sinesta exactitud, obviamente no habría como superponer con precisión tan numero-sas y diferentes líneas melódicas. Sin embargo, la introducción de estos rasgos seprodujo en el contexto de la música monódica, dirigidos sólo a la representaciónde este tipo de composición. La evolución que ha sufrido la música después de estose debió a las nuevas posibilidades que el sistema de notación pasó a ofrecer.

Así, el rol de la notación musical va más allá del mero registro o reproduc-ción de la ‘‘información musical’’ que contienen las obras, sino que, por encimade ello, la propia notación constituye, en el sentido de que hace posible, tal infor-mación en el ámbito simbólico. De ahí que haya elementos para sostener que elpensamiento simbólico no es solamente una herramienta útil a las ‘‘operacionesmusicales’’, sino que se caracteriza como una condición necesaria para la músi-ca, tal como la conocemos.

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11 La monodia se caracteriza por el uso de una sola línea melódica, ejecutada por todos losinstrumentos o voces; el pasaje a la polifonía consiste en la intrudución de la superposición de va-rias líneas melódicas sincronizadas.

12 Antes de la introducción de la división binaria de las duraciones relativas a la notación, sedeterminaba la temporalidad de las notas de modo demasiado vago, con un conjunto reducido de sig-nos, de manera que el ritmo del texto cantado servía, en gran parte, como referencia.


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Zampronha, E. S. 2000. Representação, Notação e Composição: um novo paradigma daescritura musical. São Paulo, Annablume.

DIAGRAMAS, ICONICIDAD Y CONOCIMIENTO SIMBÓLICO*

SÉRGIO SCHULTZ

Pós-Doutorando, PUC-Rio - [email protected]

Si concebimos los diagramas como íconos, podemos fácilmente diferenciar-los de sentencias y, así, distinguir entre demostraciones o inferencias sentencialesy demostraciones diagramáticas. Si aceptamos que las pruebas con diagramas soninstancias de conocimiento simbólico, se sigue que una prueba con diagramas seríasemejante a un cálculo, como el de la adición, en el que manipulamos signos se-gún reglas para obtener un resultado. Con esto, evitaríamos los problemas deriva-dos de la concepción usual que defiende que las inferencias con diagramas soncasos de inferencias visuales. Es tentador, entonces, asumir ambas tesis: que losdiagramas son íconos, y que las demostraciones con diagramas son instancias deconocimiento simbólico. En este trabajo, sin embargo, nos preguntamos si talestesis pueden ser conciliadas.

En primer lugar, presentamos esquemáticamente la concepción peirciana delos diagramas como íconos, destacando la posibilidad de defender, a partir de ésta,que las pruebas diagramáticas posibilitan el conocimiento simbólico. A continua-ción, nos preguntamos si, al asumir que la manipulación de diagramas resulta enuna forma de conocimiento simbólico, no seríamos llevados también a admitir quela manipulación de otros íconos tales como muestras, cobayos y modelos de ob-jetos también darían como resultado aquel tipo de conocimiento. En especial, noes claro por qué solamente en el caso de diagramas sería legítimo hablar de reglassintácticas y semánticas o de cálculo, y no en otros casos de íconos. Concluimos,

* Este trabajo es parte del proyecto de posdoctorado ‘‘Intuição Intelectual e ConhecimentoSimbólico’’, financiado por la FAPERJ y retoma algunos tópicos de mi ponencia en el Primer Con-greso de la Sociedad Filosófica del Uruguay (Montevideo, mayo de 2012), intitulada ‘‘Diagramas eIsomorfismo’’ y en mi ponencia en la V Jornada ‘‘Peirce en Argentina’’ (Buenos Aires, agosto de2012), intitulada ‘‘Diagramas, Iconicidad y Conocimiento Simbólico’’. Agradezco al público presenteen aquellas ocasiones por las preguntas, críticas y sugerencias que me ayudaron a desarrollar los ar-gumentos que presento aquí. En particular, agradezco a Javier Legris (UBA/CONICET), FrankThomas Sautter (UFSM) y, especialmente, Oscar Miguel Esquisabel (UNLP/UNQ/CONICET) y AbelLassalle Casanave (UFBA), por sus críticas y sugerencias. Deseo agradecer también el apoyo del pro-yecto CAFP-BA 042/12, subsidiado por la SPU (Argentina) y CAPES (Brasil), que ha hecho posi-ble la publicación del presente trabajo. Agradezco también a Julia Graciana Fernández por elinestimable auxilio en la producción de la versión en español de este artículo.


así, que se vuelve dudoso el que podamos afirmar que las pruebas diagramáticasofrecen casos de conocimiento simbólico y, aun así, negar que el mismo ocurra conprocedimientos que involucran muestras, cobayos o modelos.

1. Diagramas e iconicidad

Las pruebas diagramáticas (o heterogéneas) parecerían ser sustancialmente di-ferentes de los razonamientos proposicionales o sentenciales. Los pasos inferen-ciales en un razonamiento sentencial o proposicional pueden ser entendidos comoresultado ya sea de la aplicación de reglas lógicas de inferencia que rigen o codi-fican el modo de uso de las constantes lógicas, ya sea gracias a nuestra compren-sión del significado de los términos lógicos del lenguaje. En los razonamientos condiagramas, a su vez, el papel de las constantes lógicas es nulo: dibujamos el diagra-ma y entonces extraemos de él (leemos) la conclusión.1

La diferencia entre pruebas diagramáticas y proposicionales se relaciona es-trechamente con la diferencia entre diagramas y proposiciones en cuanto sistemasde representación. La relación entre expresiones lingüísticas y aquello que ellas re-presentan es formulada en términos de nociones como las de referencia, satisfac-ción, verdad, falsedad, etc. En cambio, la relación entre un diagrama y aquello queel diagrama representa suele ser pensada en los mismos moldes de la relación entreun mapa –él mismo siendo considerado un diagrama– y la región representada porel mapa. Así como un mapa, un diagrama no describiría ni denotaría, sino querepresentaría algo. Además, podríamos leer informaciones de un diagrama, demodo similar a aquél en el que leemos informaciones a partir de un mapa y en esto,mapas y diagramas serían distintos de sentencias o proposiciones.

Caracterizar la noción de inferencia diagramática, como vimos anteriormente,implica, esencialmente, caracterizar la noción de diagrama, el medio de representa-ción en el cual las inferencias diagramáticas son realizadas, diferenciándolo de otrosmedios de representación, como las expresiones lingüísticas. Es aquí que entra enjuego la tesis de la iconicidad de los diagramas, como una marca característica quelos distinguiría de sentencias o enunciados. Las sentencias representan por conven-ciones. Los diagramas, por parte, representarían mediante semejanza estructural.

Es importante resaltar que, con esto, no se pretende marcar sólo una diferen-cia accidental entre diagramas y sentencias. Cuando se afirma que los diagramasrepresentan mediante semejanza estructural, lo que se tiene en mente no es sola-mente que exista una semejanza estructural entre el diagrama y aquello que esdiagramado, sino que la semejanza estructural sería constitutiva de la relación entreun diagrama y aquello que representa. Se puede afirmar que algunas sentencias,

1 Acerca de la distinción entre inferencias sentenciales o proposicionales e inferencias diagra-máticas como expuestas aquí, vea Seoane 2006

DIAGRAMAS, ICONICIDAD Y CONOCIMIENTO SIMBÓLICO 123

o clases de sentencias, también son estructuralmente semejantes a aquello querepresentan, por ejemplo, la sentencia ‘‘a está a la izquierda de b’’. Sin embargo,a diferencia de lo que ocurriría con los diagramas, la semejanza estructural quepudiera haber entre las sentencias y los hechos descriptos por ellas no es consti-tutiva de la relación entre sentencias y realidad. En otras palabras, en el caso desentencias, cualquier semejanza con el hecho representado es irrelevante para lapregunta sobre lo que la sentencia representa. En cambio, en el caso de diagramas,la pregunta sobre aquello que un diagrama representa se respondería con referenciaa la semejanza entre el diagrama y aquello que sería representado por él.

El principal defensor de este tipo de concepción –de diagramas como íconos–fue Peirce. Para él, los diagramas representarían en virtud de dos factores. El pri-mero de ellos es que el diagrama es una representación –un signo– en la medidaen que es tomado por tal, esto es, en la medida en que el diagrama es considera-do o pensado como una representación. Sin embargo, tal cosa sería una caracte-rística de toda representación: algo solamente es una representación si es pensadocomo tal. El segundo factor, que sería característico de los diagramas, es que ellosrepresentarían relaciones entre objetos por medio de relaciones entre sus compo-nentes.2 Las relaciones entre los objetos serían semejantes a las relaciones entre laspartes del diagrama, y así, el diagrama representaría, por semejanza, aquellas re-laciones entre objetos. Por ejemplo, un diagrama de Venn representaría relacionesentre conceptos a través de las relaciones análogas entre los círculos que compo-nen el diagrama.

Que los diagramas representan por semejanza estructural no significa, se-gún Peirce, que sean una especie de signos ‘‘naturales’’. Los íconos, sostienenuestro autor, pueden ser convencionales, como sería el caso de las fórmulasalgebraicas. Una fórmula algebraica, del mismo modo que un diagrama, tambiénrepresenta por semejanza. Los componentes de una fórmula –los símbolosalgebraicos– se relacionan de acuerdo con convenciones de conmutación, aso-ciación y distribución de signos, y las relaciones entre los símbolos son, segúnPeirce, análogas a las relaciones algebraicas mismas.3 Ahora bien, lo mismopodría decirse de los diagramas de Venn: las ‘‘reglas sintácticas’’ que rigen laconstrucción y transformación de tales diagramas –para mencionar un ejemplo,la regla que determina cómo los círculos deben ser sobrepuestos– serían análo-gas a las relaciones lógicas entre conceptos y, así, un diagrama de Venn tambiénrepresentaría por semejanza.

No es nuestro propósito aquí examinar en detalle las concepciones peircianas,ni intentar ofrecer una interpretación de las ideas de Peirce. Nuestro interés es ilus-trar dos aspectos de la concepción icónica de los diagramas. Uno de ellos es queconcebir los diagramas como íconos –representación por semejanza– no implica

2 Cf. CP 2.277.3 Cf. CP 2.279.


negar el carácter convencional de los mismos y sostener que los diagramas seríansignos naturales. El diagrama puede representar mediante semejanza justamentepor el hecho de que sus convenciones serían semejantes a relaciones u operacio-nes entre los objetos representados. Por lo tanto, tenemos en Peirce una concep-ción más sofisticada que la defendida en la literatura actual por autores comoBarwise, Etchemendy, Hammer y Shin, según los cuales los diagramas proporcio-narían convenciones en favor de la visualización de sus características, por lo quelos razonamientos diagramáticos serían, en algún sentido, visuales.4

El segundo aspecto, íntimamente relacionado con el primero, se conecta conel hecho de que, si la semejanza es pensada en términos peircianos, cabe decirque nos estamos aproximando a la idea central de la noción del conocimientosimbólico.5 Tendríamos un sistema de signos –los diagramas– que, en virtud desus convenciones, es estructuralmente semejante al dominio conceptual repre-sentado por estos signos. Como la semejanza es entendida en términos de lasreglas o convenciones que rigen los diagramas, y no en términos de la aparien-cia de los mismos, las pruebas diagramáticas podrían ser descriptas como pro-cedimientos de manipulación reglada de signos que, como tal, proveeríanconocimiento simbólico.6

Aunque Peirce hable sobre la adquisición de conocimiento acerca de objetosvía ‘‘observación directa’’ de los íconos correspondientes, esto no significa quese trate de una percepción sensible. Si la semejanza entre diagrama y diagramadono es pensada en términos de semejanza física o visualización, entonces se podríapensar que el conocimiento adquirido por medio de diagramas es conocimientosimbólico. Manipulamos signos diagramáticos y ‘‘observamos’’ el resultado, exac-tamente de la misma forma en que ‘‘observamos’’ el resultado del cálculo usualde la adición.

Lo anterior se constituiría en una interesante alternativa para la concepciónque podríamos denominar ‘‘estándar’’, de acuerdo con la cual, las pruebas con dia-gramas involucrarían inferencias visuales. Ahora bien, si las pruebas diagramáti-cas dependieran de la mera visualización de diagramas, entonces no sería enabsoluto claro cómo se podría evitar la conclusión de que las pruebas con diagra-mas ofrecen solamente evidencias empíricas para los resultados probados. Ade-más, otro punto oscuro sería el de cómo podríamos probar teoremas generales apartir de la visualización de diagramas particulares. Estos problemas no surgiríansi concibiésemos las pruebas diagramáticas como procedimientos de manipulaciónsimbólica, similares, en cierta medida, a procedimientos de cálculo.

4 Véase Shin, 1994, Barwise e Etchementy, 1996a e 1996b, también Barwise y Hammer, 1996.5 Para la noción de conocimiento simbólico, véase los trabajos compilados en Lassalle Casa-

nave, 2012.6 Este tipo de concepción parece estar presente en la manera como Legris presenta los gráfi-

cos existenciales de Peirce como cálculos formales, aunque él no hable explícitamente de conocimien-to simbólico. Sobre esto, véase Legris, 2012.


2. Iconicidad y conocimiento simbólico

Que los diagramas sean íconos y que las inferencias diagramáticas proveanconocimiento simbólico, parecen constituir, por decirlo de alguna manera, el mejorde los mundos posibles. Por un lado, afirmando que los diagramas son íconos, seconsigue distinguir nítidamente entre diagramas y enunciados y, por consiguien-te, entre inferencia diagramática e inferencia sentencial. Por otro lado, concibiendolos raciocinios diagramáticos como razonamientos simbólicos, evitaríamos losproblemas resultantes de aquellas concepciones que defienden que tales inferen-cias serían visuales en algún sentido sustancial del término, como lo hacen, segúnya dijimos, Barwise, Etchemendy, Hammer y Shin.7 En particular, evitaríamos elproblema de explicar por qué sería legítimo extraer conclusiones generales a partirde la visualización de diagramas particulares y por qué la visualización no haríadel conocimiento resultante un conocimiento empírico. Estos beneficios, no obs-tante, acaso vengan acompañados de sus propios problemas, especialmente enrelación con la noción del conocimiento simbólico en cuestión, esto es, del cono-cimiento adquirido por medio de signos.

Formulada groseramente, la noción de conocimiento simbólico se refiere alconocimiento adquirido acerca de los objetos o conceptos únicamente a través dela consideración de los signos que los representan. Tradicionalmente, la noción deconocimiento simbólico se contrapone a la de conocimiento intuitivo. Sin entraren detalles sobre el concepto de intuición, podemos explicar mejor la noción deconocimiento simbólico como siendo un conocimiento adquirido por medio deprocedimientos simbólicos para así aclarar esta última noción usando el concep-to de acceso (epistémico) a entes. Los procedimientos simbólicos involucraríansolamente el acceso a los signos que sustituyen (o que significan, o representan)a los entes acerca de los cuales adquirimos conocimiento. En contraste con losprocedimientos simbólicos, podemos hablar de procedimientos que involucrantambién el acceso a los entes o a los conceptos representados.

Ejemplos paradigmáticos de conocimiento simbólico son aquellos ofrecidospor procedimientos de cálculo, como la operación común de adición. En ese caso,todo lo que hacemos puede ser descrito en términos de reglas de manipulaciónsimbólica, i. e., reglas cuya aplicación presupone sólo que sepamos reconocer lossignos a los cuales las reglas se aplican. Por otro lado, cuando inferimos, por ejem-plo, que ‘‘a está a la izquierda de c’’, a partir de las premisas ‘‘c está derecha deb’ y ‘‘b está a la derecha de a’’, no estamos adquiriendo conocimiento simbólicoporque la inferencia es realizada con base en nuestra comprensión del significa-do de ‘‘estar a la derecha de’’ y ‘‘estar a la izquierda de’’, i. e., nuestro acceso a

7 Estos problemas acerca de pruebas con diagramas son expuestos, en el contexto de la filosofíade la geometría de Kant, en Lassalle Casanave, 2007.


los conceptos correspondientes. Cuando examinamos muestras en un laboratorio,tampoco adquirimos conocimiento simbólico, pues la prueba implica el acceso alos entes mismos, las muestras, y no solamente a los signos.

Como queda claro a partir de lo que acabamos de decir, lo que significa ‘‘co-nocimiento por manipulación de signos’’ o ‘‘a través de signos’’ va a dependermucho de lo que estamos dispuestos a considerar como signos, ya que el conceptode signo no parece tener un significado intuitivo claro y bien definido. Las expre-siones lingüísticas ciertamente son signos, y parecería un abuso de lenguaje afirmarque un representante político es un signo. Ziff, por ejemplo, se cuestiona si todapintura o escultura –independientemente de que sean representacionales o no– se-rían signos también, o si una máscara sería un signo. 8 Podemos igualmentecuestionarnos si las imágenes reflejadas en un espejo (o en un negativo fotográfico)serían signos. Si son signos, los casos en los cuales extraemos informaciones a partirde ellas podrían ser considerados instancias de conocimiento simbólico. Asimismo,si los mapas son signos, al extraer informaciones de un mapa estaríamos adquiriendoconocimiento simbólico. En gran medida, esto dependerá de si las imágenes en unespejo, los negativos fotográficos y los mapas son signos en sentido relevante.

Peirce, se guiaba por un concepto de signo fundado en la noción de subroga-ción o representación: signo es algo que está por alguna cosa, en algún aspecto ocapacidad.9 De esta forma, afirma que ‘‘un portavoz, un diputado (deputy), abo-gado, vicario, diagrama, síntoma, ficha de juego, descripción, concepto, premisa,testigo, todos representan alguna otra cosa, de diferentes modos, para las mentesque así los consideran.’’10 Aisladamente, un concepto de signo generoso como elde Peirce no nos parece especialmente problemático, pero cuando adoptamos unconcepto de signo tan amplio como el de Peirce, hay un riesgo real de que el con-cepto de conocimiento simbólico se vuelva excesivamente amplio, especialmen-te cuando consideramos el caso de los íconos.

Si un ícono es algo que representa por semejanza, es lícito concluir que lasmuestras serían íconos. En lugar de examinar todos los objetos de un determina-do tipo, utilizamos muestras, de modo que los resultados que obtenemos con baseen los experimentos realizados sobre aquellas muestras procuren conocimientosobre los objetos de donde se toma el muestreo. Los cobayos y los especímenestambién serían íconos, así como los modelos de objetos. Si el conocimiento adqui-rido por medio de diagramas es conocimiento simbólico, ¿por qué el conocimientoadquirido usando muestras, especímenes, cobayos y modelos no serían tambiéncasos de conocimiento simbólico?

La razón que tendríamos, en principio, para afirmar que las pruebas concobayos o modelos no constituyen conocimiento simbólico es que tales recursos

8 Véase Ziff, 1971, p. 509.9 Véase CP 2.228.10 CP. 2.273


implicarían el acceso a cosas que no son signos, como ratones de laboratorio omodelos de objetos (digamos, el modelo en escala reducida de un avión probadoen un túnel de viento). Las Pruebas y los experimentos, claramente, serían casosde conocimiento intuitivo en el sentido descrito arriba. Sin embargo, si aceptamossignos por semejanza, los cobayos, los modelos, las muestras, etc., son íconos yparecería, entonces, que las pruebas en un túnel de viento, las pruebas de impac-to, tales como los usados para investigar la seguridad de automóviles o, aun más,los experimentos realizados con ratones en laboratorio, ofrecen instancias de co-nocimiento simbólico. En todos estos casos, manipulamos íconos, tal como ocu-rriría en el caso de pruebas con diagramas.

Podría argumentarse que, al contrario de las pruebas y los experimentos conmuestras, modelos o cobayos, las pruebas diagramáticas son procedimientos regla-dos. Con todo, en primer lugar, los experimentos y ensayos que incluyen muestras,cobayos o modelos también involucran procedimientos reglados, que garantizan lacorrección de los ensayos, incluyendo normas que nos dicen cómo usar y manipu-lar los íconos involucrados. Considérese, por ejemplo, las normas que nos prescri-ben cómo tomar, almacenar y manipular muestras de tejidos en un laboratorio.

Admitir que el uso de diagramas envuelve reglas sintácticas tampoco sería demucha ayuda, pues no es claro por qué, solamente en el caso de diagramas, seríalegítimo decir que sus reglas son sintácticas, y no en otros casos de signos del mis-mo tipo. En otras palabras, no es claro cuál sería la diferencia entre las reglas de losdiagramas y las reglas de otros íconos como las muestras, los cobayos o los mode-los. En ambos casos, tenemos signos que representan por semejanza, y no por con-vención, y también lo que nos autoriza a extraer conclusiones acerca de las cosasrepresentadas es la semejanza entre los signos y aquello que ellos representan. Losprocedimientos de manipulación de estos signos, entonces, pueden ser concebidoscomo expresando o constituyendo condiciones para que los signos sean, de hecho,semejantes a lo que se quiere representar y determinando, dada la semejanza entresigno y aquello que el signo representa, qué conclusiones pueden ser extraídas.

En segundo lugar, las pruebas diagramáticas incluyen un elemento no norma-tivo en la forma de las características geométricas de los diagramas. Tomando elcaso de una prueba de la validez de Barbara usando diagramas de Venn, podría-mos decir que la construcción del diagrama se da según las reglas. No obstante, queno sea posible diseñar un diagrama de Venn que represente las premisas del silo-gismo, sin que represente también la conclusión, no es tampoco una consecuen-cia de las reglas, sino del hecho geométrico de que, dada la disposición de loscírculos, no es posible que el área de los Ss, que no son Ms, y el área de los Ms queno son Ps, estén sombreadas sin que el área de los Ss que no son Ms, también estésombreada.11 De este modo, una prueba con diagramas no puede ser entendida

11 Esta descripción de pruebas diagramáticas está basada en las concepciones que encontramosen Barwise e Shimojima, 1995 y Shimojima, 1996. Para una concepción diferente, que también des-


como siendo totalmente reglada, al menos no en el mismo sentido en que un cálcu-lo aritmético o algebraico es totalmente reglado.

El problema de distinguir entre pruebas diagramáticas y procedimientos decálculo tiene su origen, así lo creemos, en la propia concepción icónica de diagra-mas. No importa que la semejanza entre el diagrama y lo diagramado sea consi-derada como estructural y con respecto a las convenciones que rigen los diagramasy las relaciones o operaciones entre los objetos representados. La noción de seme-janza entre dos cosas es siempre no normativa. En otras palabras, la semejanzaentre dos cosas no es algo que podamos convenir. De esta forma, tanto en el casode los íconos tales como los diagramas, cuanto en el caso de íconos del tipo de loscobayos, los modelos y las muestras, el ‘contenido’ del ícono –la respuesta a lapregunta ‘‘¿qué es lo que representa?’’– estaría determinado por relaciones no con-vencionales entre los íconos y los demás entes. Las relaciones entre los círculosque componen un diagrama de Venn son semejantes a las relaciones lógicas en-tre conceptos; es por eso que podemos representar icónicamente relaciones lógi-cas entre conceptos por medio de diagramas de Venn. Así, la pregunta acerca delcontenido de un diagrama se torna una cuestión acerca de las semejanzas entrediagrama y otros entes, y no una cuestión acerca de normas.

La misma convencionalidad –o no naturalidad– que pueda existir en caso delos signos por semejanza estructural, también existe en el caso de signos por se-mejanza no estructural. Si es correcto hablar de un cálculo de diagramas, con re-glas sintácticas y semánticas y con pruebas diagramáticas, ¿por qué no podríamoshablar de un cálculo de muestras, modelos, cobayos, etc., con reglas sintácticas ysemánticas? Y si podemos hablar de conocimiento simbólico con respecto a lamanipulación de diagramas, por qué no podríamos hablar de conocimiento sim-bólico también con respecto a la manipulación de muestras, cobayos y modelos?

Conclusión

No pretendemos, de ninguna manera, negar que las pruebas o razonamientoscon diagramas representen casos de conocimiento simbólico. Sin embargo, nosparece que la conjunción de tal tesis con una concepción icónica de los diagramaspuede concluir en una concepción excesivamente amplia de conocimiento simbó-lico. Cuando pensamos los diagramas como íconos, concebimos la relación entreun diagrama y aquello que él representa como siendo, en términos generales, lamisma relación que entre una muestra y aquello que representa, a saber, la rela-ción de semejanza. Por lo tanto, si los diagramas son signos, podríamos concluir

taca el papel desempeñado por la topología de los diagramas en las pruebas, véase Manders, 2008ay 2008b. Una exposición sucinta de la concepción de Manders se encuentra en Lassalle Casanave, Vazy Schultz, 2010 y Lassalle Casanave, 2012, sec. 2.


que también son signos las muestras, los cobayos y los modelos. Además de ello,no es claro por qué podríamos hablar de reglas sintácticas y de cálculo respecto delos diagramas y no podríamos usar los mismos conceptos con respecto a las demásclases de íconos. El aspecto relevante aquí en relación con el problema del cono-cimiento es que aquello que nos autoriza a extraer conclusiones acerca de las co-sas representadas por los íconos es la semejanza. Así, no es claro cuál sería ladiferencia entre el caso en que extraemos conclusiones a partir de un diagrama yel caso en que extraemos conclusiones a partir de muestras. El problema, tal vez,se encuentre en la falta de claridad acerca de los conceptos de signo, regla y ma-nipulación de signos.

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4 (Oct., 1971), pp. 509-515.

SOBRE LOS AUTORES

OSCAR M. ESQUISABEL

UNLP-UNQ-CONICETEmail: [email protected]

Es Doctor en Filosofía por la UNLP (Argentina). Actualmente, es miembro dela Carrera del Investigador Científico del CONICET (Argentina). Asimismo,se desempeña como Profesor Titular Ordinario de Metafísica en la UNLP. Susáreas de investigación son la filosofía moderna, la historia de la lógica y lametafísica. Entre otras instituciones académicas y de investigación, es miem-bro fundador del Grupo Conesul de Filosofia das Ciências Formais (GCFCF),del Centro de Estudios Filosóficos de la Academia Nacional de Ciencias deBuenos Aires y de la Association for the Philosophy of Mathematical Practice.

EDUARDO N. GIOVANNINI

CONICETEmail: [email protected]

Doctor en Filosofía por la Universidad de Buenos Aires (Argentina). Ha rea-lizado estudios doctorales en la Universidad de Paderborn (Alemania) ypostdoctorales en el Max Planck Institute for the History of Science (Berlin). Actualmente se desempeña como becario postdoctoral del Consejo Nacionalde Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET).

ABEL LASSALLE CASANAVE

UFB-CNPqEmail: [email protected]

Es Profesor Asociado en la Universidad Federal da Bahia e Investigador delConselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) deBrasil. Su área de investigación es la filosofía de las ciencias formales. Ha sidoel idealizador de los Coloquios Cono Sur de Filosofía de las Ciencias Forma-les –actualmente en su decimaséptima edición–; es miembro fundador del Gru-po Conesul de Filosofia das Ciências Formais (GCFCF) y uno de los nueveco-fundadores de la Association for the Philosophy of Mathematical Practice.


JAVIER LEGRIS

HEP-BAIRES-CONICET-UBAEmail: [email protected]

Es Doctor en Filosofía por la Universidad de Regensburg (Alemania); actual-mente es investigador del CONICET (Argentina), desarrollando sus tareas enel IIEP-BAIRES (FCE-UBA), y también Profesor Regular Titular de Lógica(FCE-UBA). Es miembro del Centro de Estudios Filosóficos de la AcademiaNacional de Ciencias de Buenos Aires y miembro fundador del Grupo Conesulde Filosofia das Ciências Formais (GCFCF). Sus áreas de investigación son lahistoria de la lógica simbólica, la filosofía de las ciencias formales y la filosofíade la economía.

FABRÍCIO PIRES FORTES

Email: [email protected] su título de Licenciado y de Magister en Filosofía por la Universida-de Federal de Santa Maria (Brasil), y actualmente es estudiante de doctoradoen filosofía en la Universidade Federal da Bahia (Brasil).

BRUNO RAMOS MENDONÇA

E-mail: [email protected] graduó en Filosofía, por la Universidade Federal de Santa Maria (Brasil),y obtuvo su título de Magister en Filosofía, en 2013, por el Programa dePosgrado en Filosofía de la misma institución.

WAGNER DE CAMPOS SANZ

UFGEmail: [email protected]

Doctorado en Filosofía por la Unicamp (Brasil), 2006. Posdoctorado por laUniversidad de Tübingen 2008 (beca CAPES). Profesor visitante de la Univer-sidad Autónoma de Madrid, 2009 (beca Fundación Carolina). Profesor visitan-te de la Universidad de Tübingen, 2011 (beca Capes-DAAD). Actualmente,profesor de la Facultad de Filosofía y del Pos-grado en Filosofía de la Univer-sidad Federal de Goiás. Es miembro fundador del Grupo Conesul de Filosofiadas Ciências Formais (GCFCF).

SOBRE LOS AUTORES 133

FRANK TH. SAUTTER

Universidade Federal de Santa MariaEmail: [email protected]

Obtuvo su título de Doctor en Filosofia por la Universidade Estadual deCampinas (Brasil), 2000. Actualmente ocupa un cargo de Profesor Asociadoen el Departamento de Filosofia de la Universidade Federal de Santa Maria yes investigador del Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tec-nológico (CNPq) de Brasil. Es miembro fundador del Grupo Conesul deFilosofia das Ciências Formais (GCFCF).

SÉRGIO SCHULTZ

PUC-RioEmail: [email protected]

Es Profesor de Filosofía (2003) y Maestro en Filosofía (2005) por la UFSM(Brasil) y Doctor en Filosofía (2010) por la PUC-Rio (Brasil), donde actual-mente realiza estudios de postdoctorado. Sus áreas de interés son filosofía delas ciencias formales y metafísica. Es miembro asociado del Grupo Conesul deFilosofia das Ciências Formais (GCFCF).

GISELE SECCO

Universidade Federal do Rio Grande do SulEmail: [email protected]

Obtuvo su título de Magister en Filosofía por la Universidade Federal de SantaMaría (Brasil) y el título de Doctor en Filosofía por la Pontificia UniversidadCatólica de Río de Janeiro (Brasil). En la Universidad Federal de Santa Maríase desempeñó como Profesora Auxiliar entre los años 2007 y 2008. Tambiénactuó como Profesora del Curso de Ciencias Sociales e Historia de la Funda-ción Getulio Vargas de Río de Janeiro entre los años 2010 y 2011. Actualmenteocupa un cargo de Profesor Adjunto en el Departamento de Filosofía de laUniversidad Federal de Río Grande do Sul. Es miembro asociado del GrupoConesul de Filosofia das Ciências Formais (GCFCF).

VALERIA SOL VALIÑO

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Becaria de posgrado del CONICET (Argentina), realiza su doctorado en Filo-sofía en la Universidad de Buenos Aires (UBA) sobre la concepción semánti-ca de Frege y sus raíces en el logicismo.

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Impreso en el mes de noviembre de 2013 en Ronaldo J. Pellegrini Impresiones,Bacacay 2664, 6º Piso, Depto. 23, Ciudad de Buenos Aires, República Argentina

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