conocimiento didÁctico-matemÁtico del...

CONOCIMIENTO DIDCTICO-MATEMTICO DEL PROFESOR

UNIVERSITARIO PARA LA ENSEANZA DEL OBJETO GRUPO

OMAIDA SEPLVEDA DELGADO

DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACINRED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA - RUDECOLOMBIA

CADE - UNIVERSIDAD PEDAGGICA Y TECNOLGICA DE COLOMBIA

TUNJA 2016

CONOCIMIENTO DIDCTICO-MATEMTICO DEL PROFESOR

UNIVERSITARIO PARA LA ENSEANZA DEL OBJETO GRUPO

OMAIDA SEPLVEDA DELGADO

TRABAJO PARA OPTAR AL TTULO DEDOCTOR EN EDUCACIN

DIRECTORJORGE TOMS URIBE

DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACINRED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA - RUDECOLOMBIA

CADE - UNIVERSIDAD PEDAGGICA Y TECNOLGICA DE COLOMBIA

TUNJA 2016

Nota de aceptacin

JuradoAurora del Ro Cabeza

JuradoPedro Javier Rojas Garzn

JuradoWillian Alfonso Pacheco Serrano

DirectorJorge Toms Uribe

Dedicado a:

Daniel Camilo, Johan Sebastin, Zagalo;a mis padres, hermanos, sobrinos y a todas

las personas que forman parte de mi familia.

Como el camino est sembrado de espinas,Dios ha dado al hombre tres dones:la sonrisa, el sueo y la esperanza.Immanuel Kant (1724 - 1804)

Agradecimientos

Doy gracias:

A Dios, por darme la fuerza y voluntad para llegar al logro de esta gran meta y a todas laspersonas que me ayudaron a consolidar este gran proyecto.

Al doctor Elicer Aldana, que con su ejemplo, dedicacin y conocimiento, se convirti en unmaestro de sabios consejos.

Al doctor Vient Font Moll, que con sus conocimientos supo en el momento oportuno, indicar-me el camino para el desarrollo del trabajo de investigacin.

A la doctora Aurora del Rio Cabeza por su colaboracin, sugerencias y especialmente, por ladireccin en los temas de lgebra Abstracta y su didctica. De igual forma, a los doctores deldepartamento de Didctica de la Matemtica de la Universidad de Granada que me ofrecieronsu colaboracin y me permitieron compartir sus trabajos.

Al doctor Luis Rico y a la doctora Encarnacin Castro, que a travs de sus cursos y textos hi-cieron posible el llegar a comprender algunos de los temas que hacen parte de esta tesis doctoral.

Al doctor Jorge Toms Uribe, por su dedicacin y paciencia; por su comprensin y apoyoincondicional.

Doy gracias al doctor Willian Alfonso Pacheco Serrano, por su gran colaboracin; por susextraordinarias ideas y por su paciencia.

AGRADECIMIENTOS I

Al doctor Pedro Javier Rojas Garzn, por su colaboracin, dedicacin, conocimientos y aportes,en la organizacin del trabajo final.

Al doctor Alfonso Jimnez, por sus consejos, ayuda y direccin y a todos los profesores delDoctorado en Educacin por sus grandes conocimientos y su apoyo: Celina Trimio, AracelyForero, Martha Pardo, Carlos Londoo, Nubia Agudelo, Wilson Valenzuela, Diana Elvira Soto,Luisa Amezquita; Janeth Vargas.

A mis colegas de la Escuela de Matemticas y Estadstica y a mis compaeros del doctorado queme ofrecieron su ayuda, amistad y apoyo en todo momento.

A los docentes de lgebra: Nelsy R. Gonzlez, Misael Gonzlez, Vernica Cifuentes, Wilmer M.Gmez, Cesar Espinosa, Julin Serna, Hctor Surez, Pedro Nel Maluendas, de igual forma, aldoctor Ismael Gutirrez, por su colaboracin, paciencia y aportes en la revisin de documentosimportantes para el desarrollo de la investigacin.

A los estudiantes de formacin matemtica (Licenciados en Matemticas y Matemticos,) lesdoy las gracias por permitirme compartir sus experiencias para llegar a la consolidacin deestos conocimientos.

A Zagalo Enrique, Daniel Camilo y Johan Sebastin, gracias por su apoyo y cario en todo mo-mento.

ndice general

ndice general II

ndice de tablas XI

ndice de figuras XXII

Resumen XXXI

Introduccin general XXXV

1. Tema y delimitacin del tema 1

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Conocimiento del Profesor Universitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. reas problemticas, antecedentes y problema de investigacin 4

2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Problemtica relacionada con la comprensin de nociones de Teora de Grupos . 5

2.2.1. Estudios sobre la comprensin de nociones de Teora de Grupos . . . . . . . 6

2.2.2. Investigaciones en pensamiento matemtico avanzado . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Problemtica relacionada con el significado de los objetos matemticos . . . . . . . 16

2.3.1. Estudios sobre el significado de los objetos matemticos . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Problemtica relacionada con la comprensin de los objetos matemticos a par-tir de propuestas didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II

NDICE GENERAL III

2.4.1. Investigaciones en la comprensin de la nocin grupo, a partir de pro-puestas didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5. Problemtica relacionada con la determinacipon de los componentes del Cono-cimiento del Profesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1. Investigaciones relacionadas con el Conocimiento Didctico-Matemtico 33

2.6. Formulacin del problema de investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Objetivos y justificacin 42

3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2. Objetivos especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Justificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2. Contexto internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.3. Contexto nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4. Normatividad en educacin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.5. Normatividad de los programas de formacin matemtica . . . . . . . . . . . . 53

4. Marco terico 56

4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2. Pensamiento matemtico avanzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1. El objeto Grupo y el pensamiento matemtico avanzado . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.1.1. La psicologa en el pensamiento matemtico avanzado . . . . . . . . 59

4.2.1.2. Procesos del pensamiento matemtico avanzado . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2. Pensamiento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3. Enfoque ontosemitico del conocimiento y la instruccin matemtica . . . . . . . . 80

4.3.1. Nociones tericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3.2.1. Sistemas de prcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3.2.2. Objeto matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.2.3. Significados de los objetos matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.2.4. Configuraciones de objetos y procesos matemticos . . . . . . . . . . . 87

4.3.2. Facetas y niveles del anlisis didctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.3. Anlisis semitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

NDICE GENERAL IV

4.3.4. El conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.5. La complejidad de los objetos matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.6. Fenomenologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3.7.1. La nocin de significado de Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.7.2. El Objeto grupo y la fenomenologa didctica . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.7.3. El lgebra moderna y la Fenomenologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.4. Modelos para el estudio del Conocimiento del Profesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5. Metodologa 120

5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2. Componentes y fases de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3. Poblacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5. Tcnicas e instrumentos para la recoleccin y el procesamiento de datos . . . . . . 124

6. Estudio epistemolgico, histrico y fenomenolgico del objeto Grupo 126

6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.2. Estudio de los significados del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2.1. Gnesis del lgebra: visin Piagetiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2.1.1. Las ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2.2. poca antigua y edad media (Siglo V-XV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.2.2.1. Perodo cero: Mtodos empricos de solucin de ecuaciones alge-braicas particulares de grado 1, 2,3 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.2.2.2. Periodo cero: El lgebra en las civilizaciones antiguas . . . . . . . . . . 139

6.2.3. Edad Media (siglo V - siglo XV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2.3.1. Periodo cero: Los Hindes y la solucin de las ecuaciones alge-braicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2.3.2. Periodo cero: Los rabes (476-1492) y la solucin de ecuacionesalgebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.2.4. El renacimiento (siglo XV-XVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

NDICE GENERAL V

6.2.4.1. Periodo uno: Determinacin de las relaciones entre los coeficien-tes y las races para la solucin de ecuaciones algebraicas de gra-do 2, 3 y 4 y el simbolismo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2.4.2. Periodo uno: La escuela italiana en el renacimiento y la solucinde ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2.4.3. Perodo uno: El surgimiento del lgebra abstracta . . . . . . . . . . . . . 154

6.2.4.4. Periodo uno: El simbolismo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.2.5. Edad moderna (finales del siglo XVII-XVIII) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.2.5.1. Periodo uno: Newton (1643-1727) y los polinomios simtricos . . . 163

6.2.5.2. Periodo uno: Frmulas de Girard-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2.5.3. Periodo uno: El teorema fundamental del lgebra . . . . . . . . . . . . . 168

6.2.6. Edad contempornea (XIX a la actualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2.6.1. Perodo dos: Bsqueda de mtodos generales para la solucin dela ecuacin algebraica de grado n. Demostracin de la imposibi-lidad solucionar por radicales las ecuaciones algebraicas gene-rales de gradon > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2.6.2. Perodo tres: Determinacin de las familias de ecuaciones alge-braicas de grado n > 4 solubles por radicales y la Teora de Galois 184

6.2.6.3. Perodo tres: Los conjuntos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.2.6.4. Perodo tres: Grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.2.6.5. Perodo cuatro: Establecimiento de la Teora Abstracta de Gruposen los siglos XIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.2.6.6. Perodo cuatro: Los grupos de transformaciones y la clasificacinde las geometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.2.6.7. Perodo cuatro: Los grupos continuos de transformaciones . . . . . . 195

6.2.6.8. Perodo cuatro: La definicin abstracta de Grupo (Cayley) . . . . . . . 196

6.2.6.9. Perodo cuatro: El lgebra moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.2.6.10. Perodo cuatro: Clasificacin de los grupos finitos simples en elsiglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.2.6.11. Perodo cuatro: Los grupos a partir del siglo XX . . . . . . . . . . . . . . 200

6.2.11.1. Perodo cuatro: Grupos cristalogrficos planos . . . . . . . . . . . . . . 201

6.2.11.2. Perodo cuatro: Grupos puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.3. Configuraciones socioepistmicas en problemas relacionados con el objeto

NDICE GENERAL VI

Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.3.1. Problema 0.1: Solucin de las ecuaciones algebraicas de grado 1 y 2 en lamatemtica egipcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.3.2. Problema 0.2: Solucin de ecuaciones: Distribucin de un rea en cua-drados - egipcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.3.3. Problema 0.3: Solucin de ecuaciones algebraicas de grado 2 y 3 por losbabilonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.3.4. Problema 0.4: Solucin de la ecuacin algebraica de grado 2 por los griegos218

6.3.5. Problema 0.5: Solucin de ecuaciones algebraicas de grado 1 y 2 por loshindes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.3.6. Problema 0.6: Solucin de las ecuaciones de grado 2 por los rabes . . . . . . 222

6.3.7. Problema 0.7: Solucin de las ecuaciones de grado 2 aplicando propie-dades de los nmeros cuadrados (Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano oLeonardo Bigollo, Fibonacci) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6.3.8. Problema 0.8: Mtodo de Fibonacci para la solucin de ecuaciones alge-braicas de grado 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.3.9. Problema 0.9: Mtodo de resolucin para un caso especial de la ecuacincbica (Scipione del Ferro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.3.10.Problema 0.10: Mtodo de resolucin de un caso de ecuacin cbica (Nic-colo Fontana-Tartaglia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.3.11.Problema 1.1: Solucin de un caso especial de la ecuacin cbica (Gero-lamo Cardano) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.3.12.Problema 1.2: Solucin por radicales de las ecuaciones algebraicas gene-rales de grado 3 y 4 en la edad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.3.13.Problema 1.3: Solucin general de la ecuacin bicuadrtica (Ludovico Fe-rrari) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.3.14.Problema 1.4: Relacin entre los coeficientes y las races de las ecuaciones

algebraicas (Cardano y Vite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.3.15.Problema 1.5: Solucin general de las ecuaciones de grado 2 (FrancoisVite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.3.16.Problema 1.6: Solucin general de la ecuacin algebraica de grado 3(Francois Vite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.3.17.Problema 1.7: El simbolismo algebraico y la solucin de la ecuacin degrado 4 (Thomas Harriot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.3.18.Problema 1.8: Solucin de la ecuacin algebraica de grado 4 (Euler) . . . . . 240

NDICE GENERAL VII

6.3.19.Problema 1.9: Planteamiento de problemas geomtricos relacionadoscon ecuaciones algebraicas de grado 4 (Ren Descartes) . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.20.Problema 1.10: El problema de Pappus (Descartes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.3.21.Problema 1.11: Problemas en Teora de nmeros: Aritmtica modular

(Fermat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.3.22.Problema 1.12: Problemas en Teora de nmeros: Aritmtica modular

(Euler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.3.23.Problema 1.13: Las resolventes de Lagrange y el conjunto S3 . . . . . . . . . . . 252

6.3.24.Problema 1.14: El teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.3.25.Problema 2.1: Imposibilidad de resolver por radicales la ecuacin generalde grado 5 (Paolo Ruffini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.3.26.Problema 2.2: Generalizacin del Teorema de Rufinni (Agustn LouisCauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.3.27.Problema 2.3: Imposibilidad de resolver por radicales la ecuacin alge-braica general de grado 5 (Niels Henrik Abel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

6.3.28.Problema 3.1: Problemas en aritmtica modular (Carl Friedrich Gauss) . . . 271

6.3.29.Problema 3.2: Solucin de ecuaciones ciclotmicas (Carl Friedrich Gauss) 273

6.3.30.Problema 3.3: Teorema Fundamental del lgebra (Carl Friedrich Gauss) . . 276

6.3.31.Problema 3.4: Ecuaciones solubles por radicales: el grupo de Galois aso-ciado a la ecuacin polinomial (variste Galois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.3.32.Problema 4.1: Propiedades generales de los grupos continuos de trans-formaciones (Sophus Lie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

6.3.33.Problema 4.2: La clasificacin de las Geometras (Felix Klein) . . . . . . . . . . 283

6.3.34.Problema 4.3: La clasificacin de los grupos finitos simples . . . . . . . . . . . . 285

6.3.35.Problema 4.4: La clasificacin de los grupos cristalogrficos . . . . . . . . . . . 286

6.3.36.Problema 4.5: La clasificacin de los grupos puntuales . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.3.37.Problema 4.6: Grupos en Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

6.3.38.Problema 5: Primera definicin abstracta de Grupo (Cayley) . . . . . . . . . . . 292

6.4. Significado global del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6.5. Implicaciones del desarrollo histrico del objeto Grupo en la enseanza . . . . . . . 296

7. El objeto Grupo en los programas y libros de Texto 299

7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

NDICE GENERAL VIII

7.2. La Teora de Grupos en el currculo nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

7.3. La Teora de Grupos en los programas de formacin matemtica . . . . . . . . . . . . . 303

7.4. La Teora de Grupos en los libros de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

7.5. Conclusiones del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

8. Diseo del instrumento para evaluar el Conocimiento Didctico-Matemtico 361

8.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

8.2. Objetivo del instrumento, CDM - Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

8.3. Construccin del instrumento CDM - Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

8.3.1. Criterios para la seleccin de tareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

8.3.2. Seleccin de tareas para la versin piloto del cuestionario . . . . . . . . . . . . . 369

8.3.3. Revisin del instrumento mediante juicio de expertos . . . . . . . . . . . . . . . . 371

8.3.3.1 Las tareas del cuestionario: anlisis del contenido . . . . . . . . . . . . . 372

8.4. Prueba piloto del instrumento CDM-Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

8.4.1. Anlisis cuantitativo de la prueba piloto en el grupo de Licenciados enMatemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

8.4.1.1 Anlisis de la fiabilidad del cuestionario - estudiantes de Licencia-tura en Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

8.4.1.2 Anlisis del ndice de dificultad del cuestionario . . . . . . . . . . . . . . 435

8.4.2. Anlisis cuantitativo de la prueba piloto en el grupo de Matemticos . . . . 449

8.4.2.1 Anlisis de la fiabilidad del cuestionario piloto - Matemticos . . . . 453

8.4.2.2 ndice de Dificultad del cuestionario piloto de los estudiantes de

Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

8.4.3. Anlisis cualitativo de la prueba piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

8.5. Versin final del instrumento CDM-Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478


9. Evaluacin del Conocimiento Didctico-Matemtico 492

9.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

9.2. Mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

9.3. Poblacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

9.4. Material y procedimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

NDICE GENERAL IX

9.5. Conocimiento Didctico-Matemtico de los estudiantes de formacin matem-tica para la enseanza del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

9.5.1. Anlisis de la puntuacin total del cuestionario CDM-Grupo . . . . . . . . . . 495

9.5.2. Anlisis del ndice de dificultad a las preguntas del cuestionario . . . . . . . . 504

9.5.3. Conocimiento didctico-matemtico de los estudiantes de formacin

matemtica y dificultades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

9.5.3.1. Anlisis del Conocimiento Comn del Contenido . . . . . . . . . . . . . 540

9.5.3.2. Sntesis del anlisis de las respuestas a los tems y subtems sobreel Conocimiento Comn del Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

9.5.3.3. Anlisis del Conocimiento Ampliado del Contenido . . . . . . . . . . . 599

9.5.3.4. Sntesis del anlisis de las respuestas a los tems y subtems sobreel Conocimiento Ampliado del Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

9.5.3.5. Anlisis del Conocimiento Especializado del Contenido . . . . . . . . 665

9.5.3.6. Sntesis del anlisis de las respuestas a los tems y subtems sobreel Conocimiento Especializado del Contenido . . . . . . . . . . . . . . . 696


10.Anlisis de resultados y conclusiones generales 705

10.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

10.2.Resultados de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

10.2.1.Primera fase de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

10.2.2.Segunda fase de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

10.2.2.1. Reconstruccin del significado global del objeto Grupo . . . . . . . . 708

10.2.2.2. Caracterizacin del significado del objeto grupo pretendido porlos programas de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

10.2.2.3. Significado del objeto grupo pretendido por los libros de texto . . 709

10.2.3.Tercera fase de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

10.2.3.1. Seleccin de las tareas para evaluar el conocimiento comn, am-pliado y especializado del contenido de los estudiantes de for-macin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

10.2.3.2. Juicio de expertos a la prueba piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

10.2.3.3. Dificultades de los estudiantes de formacin matemtica . . . . . . 714

NDICE GENERAL X

10.2.3.4. Primera aproximacin al estudio de la faceta epistmica delCDM de los estudiantes de formacin matemtica . . . . . . . . . . . 716

10.2.3.5. Caracterizacin de la faceta epistmica del CDM . . . . . . . . . . . . . 716

10.2.3.6. Anlisis de la dimensin epistmica del CDM de los estudiantesde formacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725

10.3.Implicaciones del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731

10.4.Principales aportes del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

10.5.Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

10.6.Perspectivas a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

10.7.Contribuciones del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

A. Anexos 739

A.1. Formato para el juicio de expertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

A.2. Observaciones de los expertos a la prueba piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

A.3. Cuestionario para la prueba piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

A.4. Respuesta de los estudiantes de Licenciatura en Matemticas a la prueba piloto . 776

A.5. Respuesta de los estudiantes de Matemticas a la prueba piloto . . . . . . . . . . . . . 796

A.6. Cuestionario final CDM-Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815

A.7. Respuesta de los estudiantes de formacin matemtica al cuestionario finalCDM-Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

Referencias 822

ndice de tablas

4.1. Variables que caracterizan la actividad algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2. Tringulo semntico (trmino) de Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3. Tringulo semntico (concepto) de Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4. Grupo V-4 de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.5. Conocimiento matemtico para la enseanza - MKT (Hill et al., 2008) . . . . . . . . . 114

4.6. Conocimiento comn, especializado y ampliado del contenido matemtico . . . . 119

5.1. Fases de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.1. Perodo cero: 1. Civilizaciones antiguas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2. Perodo cero: 2. Edad Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.3. Significado dado al objeto Grupo en las civilizaciones antiguas y al inicio de laedad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.4. Perodo uno: Edad Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.5. Perodo uno: Edad Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.6. Perodo uno: Edad Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.7. Significados dados al objeto Grupo en las civilizaciones antiguas, en la edad me-dia y en la edad moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.8. Perodo dos: Edad Contempornea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.9. Significados dados al objeto Grupo en la edad contempornea . . . . . . . . . . . . . . 184

6.10.Perodo tres: Edad contempornea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.11.Significados dados al objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

XI

NDICE DE TABLAS XII

6.12.Perodo cuatro: el objeto grupo en el siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.13.Significado del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.15.Configuracin epistmica CE0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229


6.19.Configuracin epistmica CE1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.20.Configuracin epistmica CE1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262



6.23.Configuracin epistmica CE3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282






7.1. Programa de Teora de Grupos - Licenciatura en Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . 304

7.2. Programa de Teora de Grupos - Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

7.3. Libros de texto de Teora de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

7.4. Libro 1: Contemporary Abstract Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

7.5. Texto Contemporary Abstract Algebra: entidades matemticas (unidades ele-mentales), captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

7.6. Texto Contemporary Abstract Algebra: entidades matemticas (unidades ele-mentales), captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

7.7. Libro 2: Abstract Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

7.8. Texto Abstract Algebra: entidades matemticas (unidades elementales) . . . . . . . 327

7.9. Libro 3: Cuaderno de lgebra No. 1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

7.10.Texto 3: Cuadernos de lgebra No. 1 Grupos: entidades matemticas (unidadeselementales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

7.11.Libro 4: Teora de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

7.12.Texto 4: Teora de grupos: entidades matemticas (unidades elementales) . . . . . 351

8.1. Criterio 1: Significados del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

NDICE DE TABLAS XIII

8.2. Criterio 2: Contenido curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

8.3. Criterio 3: Conocimiento Didctico-Matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

8.4. Significados del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

8.5. Contenidos curriculares para el estudio del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

8.6. Categoras del Conocimiento Didctico-Matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

8.7. Tareas del cuestionario piloto CDM-GRUPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

8.8. Prueba piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

8.9. Resultados de la prueba piloto - Licenciados en Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . 429

8.10.Resultados en la prueba piloto de los Licenciados en Matemticas . . . . . . . . . . . 431

8.11.Distribucin de frecuencias de la puntuacin total en el grupo de Licenciadosen Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

8.12.Distribucin de frecuencias de la puntuacin total de los Licenciados en Mate-mticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

8.13.Puntuacin total en la prueba piloto para los Licenciados en Matemticas . . . . . 433

8.14.ndice de dificultad de la prueba piloto para los Licenciados en Matemticas . . . 435

8.15.Resultados de la prueba piloto - Matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

8.16.Resultados de Matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

8.17.Distribucin de frecuencias para la puntuacin total de los Matemticos . . . . . . 451

8.18.Distribucin de frecuencias para la puntuacin total de los Matemticos . . . . . . 452

8.19.Puntuacin total en la prueba piloto de los Matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

8.20.ndice de dificultad de la prueba piloto para los Matemticos . . . . . . . . . . . . . . . 455

8.21.Organizacin de tareas del cuestionario CDM-Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

8.22.Dificultades de los estudiantes de Licenciatura en Matemticas . . . . . . . . . . . . . 484

8.23.Dificultades de los estudiantes de Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

8.24.Conocimientos didcticos-matemticos de los estudiantes de formacin mate-mtica: una primera aproximacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

9.1. Puntuacin para el cuestionario CDM-Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

9.2. Estadsticos descriptivos de la puntuacin en el grupo G1 de Licenciatura . . . . . 496

9.3. Estadsticos descriptivos de la puntuacin en el grupo G2 de Licenciatura . . . . . 500

9.4. Estadsticos descriptivos de la puntuacin en el grupo G3 de Matemticos . . . . . 503

9.5. Puntuaciones y Frecuencias en el cuestionario CDM-Grupo: Licenciatura-G1 . . . 505

NDICE DE TABLAS XIV

9.6. ndice de dificultad de las preguntas del cuestionario CDM-Grupo: Licenciatura-

G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

9.7. Puntuaciones y Frecuencias en el cuestionario CDM-Grupo: Licenciatura-G2 . . . 510

9.8. ndice de dificultad de las preguntas del cuestionario CDM-Grupo: Licenciatura-

G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

9.9. Puntuaciones y Frecuencias en el cuestionario CDM-Grupo: Matemticos-G3 . . 514

9.10.ndice de dificultad de las preguntas del cuestionario CDM-Grupo:

Matemticos-G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

9.11.ndice de dificultad del cuestionario CDM-Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

9.12.Subtems de mayor grado de dificultad en el cuestionario CDM-GRUPO gruposG1 y G2 de Licenciatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

9.13.Subtems de mayor grado de dificultad en el cuestionario CDM-GRUPO gruposG1, G2, G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

9.14.Subtems de menor grado de dificultad en el cuestionario CDM-GRUPO gruposG1, G2, G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

9.15.Cuestionario CDM-GRUPO y categoras del CDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

9.16.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 1a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

9.17.Tipos de respuestas al subtem 1a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

9.18.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 2d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

9.19.Tipos de respuestas subtem 2d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546





9.24.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 5b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

9.25.Tipos de respuestas al subtem 5b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

9.26.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 6a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

NDICE DE TABLAS XV


9.28.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 6b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558


9.30.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 6c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

9.31.Tipos de respuestas al subtem 6c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

9.32.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 6d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

9.33.Tipos de respuestas al subtem 6d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563



9.36.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566


9.38.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568











NDICE DE TABLAS XVI


9.50.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580




9.54.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 10a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

9.55.Tipos de respuestas al subtem 10a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

9.56.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 10b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

9.57.Tipos de respuestas al subtem 10b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

9.58.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 10c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

9.59.Tipos de respuestas al subtem 10c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

9.60.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 10d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

9.61.Tipos de respuestas al subtem 10d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

9.62.Conocimiento Comn del Contenido de los estudiantes de formacin matem-tica - subtem 11a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

9.63.Tipos de respuestas al subtem 11a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

9.64.Conocimiento Ampliado del Contenido de los estudiantes de formacin mate-mtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601






9.70.Conocimiento ampliado del contenido de los estudiantes de formacin mate-mtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

NDICE DE TABLAS XVII

9.71.Tipos de respuestas subtem 2a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614


9.73.Tipos de respuestas subtem 2b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616


9.75.Tipos de respuestas subtem 2c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

















NDICE DE TABLAS XVIII



















NDICE DE TABLAS XIX



9.112.Tipos de respuestas al subtem 11b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657


9.114.Tipos de respuestas al subtem 11c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659


9.116.Tipos de respuestas al subtem 11d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

9.117.Conocimiento especializado del contenido de los estudiantes de formacin ma-temtica - subtem 1a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

9.118.Conocimiento especializado del contenido de los estudiantes de formacin ma-temtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667











NDICE DE TABLAS XX


















NDICE DE TABLAS XXI


10.1.Dificultades de los estudiantes de Licenciatura en Matemticas . . . . . . . . . . . . . 714

10.2.Dificultades de los estudiantes de Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

ndice de figuras

3.1. Significado Global del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Promedios por semestre de la asignatura Teora de Grupos o lgebra I . . . . . . . . 48

3.3. Promedios por semestre de la asignatura: Teora de Grupos en los programas deformacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1. Objetos matemticos (Godino et al., 1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2. Objetos y procesos matemticos (Godino et al., 1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3. Tipologa de significados sistmicos (Pino-Fan, 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4. Configuracin epistmica (Font & Godino, 2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5. Facetas del Anlisis Didctico (Godino, 2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.6. Idoneidad didctica (Godino, 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7. Relacin entre los modelos: MKT y CDM (Pino-Fan, 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.1. Clasificacin de los grupos finitos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2. Grupo cristalogrfico plano, (Rivero, 1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.3. Papiro Rhind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.4. Signos para sumar y restar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.5. Tablilla de arcilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.6. Portada del al-jabr de Al-Juarismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.7. Caso particular para cuatro rectas (Chavarra, 2014, p. 69) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.8. Caso particular para cuatro rectas y los ngulos dados (Chavarra, 2014, p. 70) . . 248

6.9. Teora Generale delle Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

XXII

NDICE DE FIGURAS XXIII

6.10.Teora Generale delle Equazioni - Tabla de contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.11.Demostracin del teorema de Ruffini de 1813 (dimat.unipv.it/ rosso/Ruffini-Abel)264

6.12.Clasificacin de los grupos cristalogrficos (Rivero, 1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.13.Significado epistmico global del objeto Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.1. Tareas segn el significados del objeto Grupo y su grado de relevancia . . . . . . . . 416

8.2. Tareas segn el contenido curricular para el objeto Grupo y grado de relevancia: OB=Operacin binaria; EA=Estructuras algebraicas; GEC=Grupo, ejemplos ycontraejemplos; S=Subgrupo; OG=Orden del grupo; PG=Propiedades del grupo. 418

8.3. Tareas de la subcategora del CDM y grado de relevancia: CCC=Conocimientocomn del contenido; CAC= Conocimiento ampliado del contenido;CEC=Conocimiento especializado del contenido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

8.4. Sugerencia de expertos a la tarea 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421






8.10.Sugerencia de expertos a la tarea 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423



8.13.Sugerencia de expertos a la tarea 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

8.14.Sugerencia de expertos a la tarea 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

8.15.Resultados de la prueba piloto en el grupo de estudiantes de Licenciatura enMatemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

8.16.Distribucin de las puntuaciones y puntuacin media en la prueba piloto de losestudiantes de Licenciatura en Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

8.17.Dificultad de los tems en la prueba piloto - estudiantes de Licenciatura en Ma-

temticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

8.18.Preguntas e ndice de dificultad de la prueba piloto - estudiantes de Licenciaturaen Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

8.19.Respuesta a la pregunta 1 - estudiante L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

8.20.Respuesta a la pregunta 2 - estudiante L11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

NDICE DE FIGURAS XXIV

8.21.Respuesta a la pregunta 3 - estudiante L11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442





8.26.Resultados de la prueba piloto a los Matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

8.27.Distribucin de las puntuaciones y puntuacin media en la prueba piloto de losMatemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

8.28.Dificultad de los tems en la prueba piloto: Estudiantes de Matemticas . . . . . . . 457

8.29.Preguntas e ndice de dificultad - Estudiantes de Matemticas . . . . . . . . . . . . . . 457

8.30.Respuesta a la pregunta 1 - estudiante M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459







9.1. Distribucin de las puntuaciones totales y puntuacin media en el grupo G1 deLicenciatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

9.2. Diagrama de caja de las puntuaciones totales y puntuacin media en el grupoG1 de Licenciatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

9.3. Histograma de las puntuaciones totales del grupo G1 de estudiantes de Licen-ciatura en Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

9.4. Distribucin de las puntuaciones totales y puntuacin media en el grupo G2 deLicenciatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

9.5. Diagrama de caja de las puntuaciones totales y puntuacin media en el grupoG2 de Licenciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

9.6. Histograma de las puntuaciones totales del grupo G2 de estudiantes de Licen-ciatura en Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

9.7. Distribucin de las puntuaciones totales y puntuacin media en el grupo G3 deMatemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

NDICE DE FIGURAS XXV

9.8. Diagrama de caja de las puntuaciones totales y puntuacin media en el grupoG3 de Matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

9.9. Histograma de las puntuaciones totales para el grupo G3 de Matemticos . . . . . 505

9.10.Dificultad de los tems: Estudiantes de Licenciatura - G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

9.11.Dificultad de los tems: Estudiantes de Licenciatura - G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

9.12.Dificultad de los tems: estudiantes de Matemticas - G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

9.13.Subtems del Conocimiento Comn del Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

9.14.Respuesta al subtem 1a -CCC- estudiante LM15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

9.15.Respuesta al subtem 2d -CCC- estudiante LM32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547


9.17.Respuesta al subtem 4a -CCC- estudiante M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

9.18.Respuesta al subtem 5b -CCC- estudiante LM14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555


9.20.Respuesta al subtem 6b -CCC- estudiante M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

9.21.Respuesta al subtem 6c -CCC- estudiante LM31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561


9.23.Respuesta al subtem 7a -CCC- estudiante M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565


9.25.Respuesta al subtem 7c -CCC- estudiante LM4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569



9.28.Respuesta al subtem 8b -CCC- estudiante LM5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575



9.31.Respuesta al subtem 9c -CCC- estudiante M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

9.32.Respuesta al subtem 9d -CCC- estudiante LM4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

9.33.Respuesta al subtem 10a -CCC- estudiante M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587


9.35.Respuesta al subtem 10c -CCC- estudiante LM3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

9.36.Respuesta al subtem 10d -CCC- estudiante M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

NDICE DE FIGURAS XXVI

9.37.Respuesta al subtem 11a -CCC- estudiante LM18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

9.38.Conocimiento Comn del Contenido - respuestas correctas . . . . . . . . . . . . . . . . 598

9.39.Conocimiento Comn del Contenido - respuestas parcialmente correctas . . . . . 599

9.40.Subtems del Conocimiento Ampliado del Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

9.41.Respuesta al subtem 1b -CAC- estudiante M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

9.42.Respuesta al subtem 1c - CAC - estudiante LM6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

9.43.Respuesta al subtem 1d -CAC- estudiante LM15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

9.44.Respuesta al subtem 2a -CAC- estudiante LM31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

9.45.Respuesta al subtem 2b -CAC- estudiante LM32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

9.46.Respuesta al subtem 2c -CAC- estudiante LM17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

9.47.Respuesta al subtem 3b -CAC- estudiante LM12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623


9.49.Respuesta al subtem 3d -CAC- estudiante M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

9.50.Respuesta al subtem 4d -CAC- estudiante LM17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

9.51.Respuesta al subtem 5a -CAC- estudiante LM29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635


9.53.Respuesta al subtem 11b -CAC- estudiante LM20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658


9.55.Respuesta al subtem 11d -CAC- estudiante LM20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

9.56.Conocimiento Ampliado del Contenido - respuestas correctas . . . . . . . . . . . . . . 663

9.57.Conocimiento Ampliado del Contenido - respuestas parcialmente correctas . . . . 664

9.58.Subtems del Conocimiento Especializado del Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

9.59.Conocimiento Especializado del Contenido - respuestas correctas . . . . . . . . . . . 698

9.60.Conocimiento Especializado del Contenido - respuestas parcialmente correctas . 699

A.1. p1L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776

A.2. p1L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777

A.3. p1L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

A.4. p1L4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779

A.5. p1L5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

A.6. p1L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

NDICE DE FIGURAS XXVII

A.7. p1L7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

A.8. p1L8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

A.9. p1L9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

A.10.p1L10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

A.11.p1L11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

A.12.p2L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

A.13.p2L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

A.14.p2L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

A.15.p2L4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

A.16.p2L5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

A.17.p2L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

A.18.p2L7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786

A.19.p2L8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786

A.20.p2L9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

A.21.p2L10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

A.22.p2L11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

A.23.p3L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

A.24.p3L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

A.25.p3L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

A.26.p3L4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

A.27.p3L5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

A.28.p3L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

A.29.p3L7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

A.30.p3L9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

A.31.p3L10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

A.32.p3L11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

A.33.p4L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

A.34.p4L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

A.35.p4L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

A.36.p4L5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

NDICE DE FIGURAS XXVIII

A.37.p4L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792

A.38.p4L8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792

A.39.p4L9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792

A.40.p5L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

A.41.p5L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

A.42.p5L4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

A.43.p5L5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

A.44.p5L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

A.45.p5L8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

A.46.p5L9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

A.47.p5L10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

A.48.p5L11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

A.49.p6L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

A.50.p7L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

A.51.p7L5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

A.52.p7L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

A.53.p8L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

A.54.p8L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

A.55.p9L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798

A.56.p10L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798

A.57.p10L6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798

A.58.p11L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

A.59.p1M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

A.60.p1M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800

A.61.p1M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

A.62.p1M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

A.63.p1M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

A.64.p2M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

A.65.p2M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803

A.66.p2M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

NDICE DE FIGURAS XXIX

A.67.p2M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

A.68.p2M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

A.69.p3M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

A.70.p3M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

A.71.p3M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

A.72.p3M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

A.73.p3M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

A.74.p3M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

A.75.p4M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

A.76.p4M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

A.77.p4M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

A.78.p4M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

A.79.p5M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

A.80.p5M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809

A.81.p5M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809

A.82.p5M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810

A.83.p5M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810

A.84.p5M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810

A.85.p6M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

conocimiento didÁctico-matemÁtico del...

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