TEMA N 1 Conjuntos numricos

Aprendizajes esperados:Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numricos en sus diversas formas de expresin, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el mbito cotidiano.Percibir la matemtica como una disciplina en evolucin y desarrollo permanente.Aplicar la operatoria bsica en los nmeros naturales y enteros.

Aplicar las operaciones bsicas y propiedades de los nmeros racionales.Resolver problemas que involucren operaciones con nmeros enteros, decimales y fracciones.Reconocer regularidades numricas (secuencias).

Nmeros Naturales1.1 Consecutividad numrica1.2 Paridad e imparidad1.3 Nmeros primos1.4 Mltiplos y divisores1.5 Mnimo Comn Mltiplo y Mximo Comn Divisor1.6 Operatoria en los naturales2. Nmeros CardinalesConjuntos Numricos3. Nmeros Enteros3.1 Operatoria en los enteros3.2 Propiedades3.3 Prioridad de las operaciones

4.Nmeros racionales (Q)4.1 Propiedades de los racionales4.2 Operatoria en los racionales4.3 Transformaciones de nmeros racionales4.4 Comparacin de fracciones5. Nmeros irracionales (Q*)6. Nmeros reales ( IR )7. Nmeros imaginarios ( II )4.5 Secuencia numrica

1. Nmeros Naturales (N)1.1 Consecutividad numricaConjunto de la forma:IN = {1, 2, 3, 4, 5, }, conjunto infinito.Todo nmero natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al nmero, es decir: SucesorSi n pertenece a IN, su sucesor ser n + 1.

n - 1n + 1nNaturales ConsecutivosAntecesor:Todo nmero natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al nmero, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor ser n - 1

antecesorsucesor

1.2 Paridad e imparidadNmeros Pares {2, 4, 6, 8, 10, 2n} Son de la forma 2n, con n en los naturales. Sucesor par:Se obtiene sumando 2 al nmero. Si el nmero es 2n, entonces su sucesor es 2n+2.Antecesor par:Se obtiene restando 2 al nmero. Si el nmero es 2n, entonces su antecesor es 2n-2.2n - 22n + 22nAntecesor parSucesor par

Se obtiene sumando 2 al nmero. Si el nmero es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1.Nmeros Impares {1, 3, 5, 7, 9 ,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales. Sucesor impar:Antecesor impar:2n - 32n + 12n -1Antecesor imparSucesor imparSe obtiene restando 2 al nmero. Si el nmero es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.

1.3 Nmeros PrimosSon aquellos nmeros que son slo divisibles por 1 y por s mismos:{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}Nota: El 1 no es primo.1.4 Mltiplos y DivisoresMltiplos Se llama mltiplo de un nmero, aquel que se obtiene al multiplicar dicho nmero por otro cualquiera. Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son mltiplos de 5.

Divisores Se llama divisor de un nmero, aquel valor que lo divide exactamente. (Est contenido en l, una cantidad exacta de veces)Por ejemplo:Los divisores de 24 son los nmeros que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.

Mnimo Comn Mltiplo El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o ms nmeros, corresponde al menor de los mltiplos que tienen en comn.Ejemplo:-Algunos mltiplos de 3 son:{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,, 60}-Algunos mltiplos de 6 son:{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 60}-Algunos mltiplos de 15 son:{15, 30, 45, 60, 75,}

m.c.m. = 3 2 5 =30El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los mltiplos que tienen en comn, 30 es el menor).El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a travs del siguiente mtodo:6 15 32 5 2 1 5 5 1 Se divide por nmeros primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m.

Mximo Comn Divisor El mximo comn divisor (M.C.D.) de dos o ms nmeros, corresponde al mayor nmero que los divide simultneamente.Ejemplo:-Los divisores de 36 son:{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}-Los divisores de 18 son:{1, 2, 3, 6, 9, 18}-Los divisores de 24 son:{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en comn, 6 es el mayor).El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a travs del siguiente mtodo:36 18 24 218 9 12 3 6 3 4 Se divide por nmeros primos que sean divisores de cada nmero, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultnea.M.C.D. = 2 3 = 6

1.6 Operaciones en INAdicin, sustraccin, multiplicacin y divisin Esta informacin se encuentra en tu libro en la pgina 18. Propiedades de la Adicin:a) Clausura:b)Conmutativa:Si a y b son nmeros naturales, entonces se cumple que:La suma de dos nmeros naturales es siempre un natural.Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12a + b = b + a

c) Asociativa:

Si a, b y c son nmeros naturales, entonces se cumple que:a + (b+c) = (a+b) + c Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) + 9 13 + (14) =(18) + 9 27 = 27 Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.Propiedades de la Multiplicacin:a)Clausura:

El producto de dos nmeros naturales es siempre un natural.

4 (15) = (20) 3Si a y b son nmeros naturales, entonces se cumple que:Por ejemplo: 4 (53) = (45) 3Por ejemplo: 345 = 534a (bc) = (ab) c b)Conmutativa:

c) Asociativa:Si a, b y c son nmeros naturales, entonces se cumple que:Nota: El elemento neutro de la multiplicacin es el 1.Ver ms en las pginas 18 y 19 del Libro.ab = ba 170 = 17060 = 60

2. Nmeros Cardinales ( N0)Conjunto de la forma:IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }, conjunto infinito.2.1 Operaciones en IN0Adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin Si a es un nmero cardinal, entonces: En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razn posee elemento neutro aditivo.a + 0 = 0 + a = a

3. Nmeros Enteros (Z)Conjunto de la forma:Z = {, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }, infinito.Se puede representar como:Z = Z- U IN0Z = Z- U {0} U Z+Recta numrica:Z-Z+

Valor absoluto:El valor absoluto de un nmero representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numrica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notacin es: |5| = 5 y |-5| = 5Luego, |-20| = 20 |34| = 34|-12| = 12

3.1 Operaciones en ZAl realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: Si a y b son nmeros enteros entonces,se cumple que: a) a + -b = a b Ejemplo: 5 + - 9 = 5 9 = -4Ejemplo: b) a (-b) = a + b 12 (-8) = 12 + 8 = 20

c) Al sumar enteros de igual signo, ste se mantiene. Ejemplo: 25 + 8 = +33d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del mayor. Ejemplo: -10 + 7 = -375 + -9 = +66-5 + - 9 = -14

-42 -8 = + 336 e) Si a y b son dos nmeros enteros de igual signo (positivos o negativos), entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es positivo. f) Si a y b son dos nmeros enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es negativo. Ejemplo: Ejemplo: 28 : 7 = + 4 125 : -5 = -25 37 -5 = -185

3.2 Propiedades La suma de nmeros enteros cumple con la propiedad Conmutativa y Asociativa. Ejemplo: (-3) + 2 = 2 + (-3) -1 = -1 La suma en los nmeros enteros tiene elemento neutro: el cero.Ejemplo: (-8)+ 0 = -8

3.3 Prioridad en las operaciones Tanto en los nmeros naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como: -5 + 15 : 3 - 3 = ?Qu se resuelve primero? El orden para ejecutar las operaciones que involucran parntesis y operaciones combinadas es:1 Parntesis2 Potencias4 Adiciones y sustracciones3 Multiplicacin y/o divisin (de izquierda a derecha)

Resolver :-5 + 15 : 3 - 3= -5 + 5 3= 0 3= 3

4.Nmeros Racionales (Q)Es el conjunto de todos aquellos nmeros que se pueden escribir como fraccin, es decir:Ejemplos:a: numerador y b: denominador

Todo nmero entero es racional.

Diagrama representativo:

4.1 Propiedades de los racionales (pg. 23 del libro) Amplificar y simplificar fracciones Ejemplo:Amplificar una fraccin, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo nmero.=

Ejemplo:Simplificar una fraccin, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo nmero.= Inverso multiplicativo o recproco de una fraccines:Ejemplo:

4.2 Operatoria en los racionales (pg. 24 del libro) Suma y restaEjemplos:1. Si los denominadores son iguales: = 2. Si uno de los denominadores es mltiplo del otro: = = = y

3. Si los denominadores son primos entre s: = = 4. Aplicando mnimo comn mltiplo (m.c.m.):= =

Multiplicacin:Ejemplo:- Divisin:Ejemplo: Nmero Mixto:Ejemplo:8

4.3 Transformacin de nmeros racionales (pg. 24 del libro) De fraccin a decimal:Ejemplo:Se divide numerador por denominador. De decimal finito a fraccin:Ejemplo:El numerador corresponde al nmero sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del nmero de decimales que tenga el nmero.

De un nmero decimal peridico a fraccin:1.El numerador de la fraccin es la diferencia entre el nmero decimal completo, sin la coma, y la parte entera.2.El denominador est formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el perodo.Ejemplo 1:Ejemplo 2:

De un nmero decimal semi peridico a fraccin:1.El numerador de la fraccin corresponde a la diferencia entre el nmero decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante perodo.2.El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el perodo, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante perodo. Nota: Se llama ante perodo a los nmeros que hay entre la coma, y el perodo.Ejemplo:

4.4 Comparacin de fracciones (pg. 25 del libro)Multiplicacin cruzada:Ejemplo: 13 10 y 15 9130 y 135Como 130 < 135, entonces:

Igualar denominadores:Ejemplo:yyComo 52 > 35, entonces >

Transformar a decimal:Ejemplo:= 0,86666666= 0,58333333>, entonces

Ejemplo:En la secuencia:Es decir:Respuesta:4.5 Secuencia Numrica

Observacin:La secuencia anterior tambin se puede analizar de la siguiente manera:... ,1234... ,7Lo que nos permitira saber, por ejemplo,cul es el valor del n-simo trmino de la secuencia? Respuesta:(Con n = posicin del trmino)

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fraccin (decimales infinitos NO peridicos). 5. Nmeros Irracionales (Q*)Q* =

Es el conjunto formado por la unin entre los nmeros racionales y los nmeros irracionales.Ejemplos:Diagrama representativo:3,-89,23,491002

7. Nmeros imaginarios (II)Todos aquellos nmeros que NO son reales, son imaginarios.Ejemplo:Races de ndice par y parte subradical negativa:

8. Nmeros complejos (C)Es el conjunto formado por la unin entre los nmeros reales y los nmeros imaginarios.Ejemplos:5, -68, Diagrama representativo:

Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la pgina 14 a la 28.